Inégalités de Chebyshev, exemples de solutions. Fondamentaux des méthodes probabilistes et statistiques pour décrire les incertitudes

Le concept d'intégrale est directement lié au calcul intégral, une branche des mathématiques qui traite de l'étude des intégrales, de leurs propriétés et des méthodes de calcul. Avec le calcul différentiel, le calcul intégral constitue la base analyse mathématique.

Origines calcul intégral se référer à période ancienne développement des mathématiques et proviennent de la méthode d’épuisement développée par les mathématiciens de la Grèce antique.

La méthode d'épuisement est un ensemble de règles de calcul des superficies et des volumes dont le développement est attribué à Eudoxe de Cnide. Développement ultérieur la méthode a été obtenue dans les œuvres d'Euclide et Archimède était célèbre pour l'art particulier et la variété d'application de la méthode d'épuisement.

Un schéma de preuve exhaustif typique ressemblait à ceci. Pour déterminer la valeur de A, une certaine séquence de valeurs C1, C2, ..., Cn, ... a été construite telle que

On a également supposé que B était connu tel que

et que pour tout entier K on peut trouver un n suffisamment grand satisfaisant la condition :

Où D est constant. Après un raisonnement fastidieux, à partir de la dernière expression il a été possible d'obtenir :

Comme le montre le schéma ci-dessus, la méthode était basée sur le rapprochement des objets considérés avec des figures en escalier ou des corps composés de figures simples ou de corps spatiaux (rectangles, parallélépipèdes, cylindres, etc., désignés par la séquence C1, C2 , ..., Cn, ...). En ce sens, la méthode d’épuisement peut être considérée comme une méthode intégrale ancienne.

Crise et déclin monde antique conduit à l'oubli de beaucoup réalisations scientifiques. La méthode d'épuisement n'est restée dans les mémoires qu'au XVIIe siècle. Cela était associé aux noms d'Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonard Euler et d'un certain nombre d'autres scientifiques exceptionnels qui ont jeté les bases de l'analyse mathématique moderne.

DANS fin XVII et au XVIIIe siècle, les exigences toujours croissantes de la pratique et des autres sciences ont encouragé les scientifiques à élargir autant que possible le domaine et les méthodes de recherche en mathématiques. Les concepts d'infini, de mouvement et de dépendance fonctionnelle prennent le dessus et deviennent la base de nouvelles méthodes mathématiques.

À la fin des XVIIe et XVIIIe siècles, des résultats classiques d'importance fondamentale sont obtenus en mathématiques et en mécanique. L'essentiel ici était le développement du calcul différentiel et intégral, la théorie équations différentielles, calcul des variations et mécanique analytique.

Concepts de base et théorie du calcul intégral et différentiel, principalement le lien entre les opérations de différenciation et d'intégration, ainsi que leur application à la solution problèmes appliqués ont été développés à la fin du XVIIe siècle, mais étaient basés sur des idées formulées dans début XVII siècle par le grand mathématicien et astronome Johannes Kepler.

En novembre 1613, le mathématicien royal et astrologue de la cour autrichienne I. Kepler célébra son mariage. En préparation, il a acheté plusieurs fûts de vin de raisin. Lors de l'achat, Kepler a été étonné que le vendeur ait déterminé la capacité du baril en effectuant une seule action : mesurer la distance entre le trou de remplissage et le point du fond le plus éloigné de celui-ci. Après tout, une telle mesure ne tenait pas du tout compte de la forme du canon ! Kepler a immédiatement vu que devant lui se trouvait le plus intéressant problème de mathématiques- À l'aide de plusieurs mesures, calculer la capacité du baril. En réfléchissant à ce problème, il trouva des formules non seulement pour le volume des barils, mais aussi pour le volume même du différents corps: citron, pomme, coing et même turban turc. Pour chacun des corps, Kepler a dû créer de nouvelles méthodes, souvent très ingénieuses, extrêmement gênantes. Une tentative de trouver des informations suffisamment générales et, surtout, méthodes simples solutions tâches similaires et a conduit à l'émergence de la notation intégrale moderne. Mais c’était le mérite d’un mathématicien complètement différent.

Il est difficile de trouver un autre nom qui aurait un tel impact forte influence sur l'histoire de la science et de la culture mondiales, comme Isaac Newton. Mathématicien célèbre et l'historien des sciences B. L. Van der Waerden écrit dans son livre « Awakening Science » : « Tous les spécialistes des sciences naturelles conviendront certainement que la mécanique newtonienne est la base physique moderne. Tous les astronomes le savent astronomie moderne commence avec Kepler et Newton. Et tout mathématicien sait que le département le plus important et le plus important des mathématiques modernes pour la physique est l’analyse, basée sur le calcul différentiel et intégral de Newton. Par conséquent, les travaux de Newton sont à la base d'une grande partie sciences exactes de notre époque." Et pas seulement les sciences : « Les mathématiques et la technologie influencent même notre vie spirituelle, et bien plus encore. qu'on peut rarement l'imaginer complètement. À l'essor extraordinaire qu'ont connu les sciences naturelles au XVIIe siècle, ont inévitablement suivi le rationalisme du XVIIIe siècle, la déification de la raison, le déclin de la religion... Qui sait, se demande l'auteur, ce qui est arrivé à point historique« Newton est-il le personnage le plus marquant du XVIIe siècle ?

Isaac Newton est né en 1643. Le garçon est venu en premier école rurale, et à l'âge de douze ans, il fut envoyé étudier à ville la plus proche. Le directeur de l'école a remarqué le garçon talentueux et a persuadé la mère de Newton d'envoyer son fils étudier à Université de Cambridge. Newton y fut accepté comme un étudiant pauvre, obligé de servir des bacheliers, des masters et des étudiants seniors.

La chaire de mathématiques à Cambridge est alors occupée par le jeune et brillant scientifique Isaac Barrow. Il devint bientôt non seulement professeur, mais aussi ami de Newton, et quelques années plus tard, il céda la chaire de mathématiques à son grand élève. À cette époque, Newton avait déjà obtenu son baccalauréat et sa maîtrise. Dans les années 1665-1667, Newton commença à travailler à la création d’un appareil mathématique permettant d’explorer et d’exprimer les lois de la physique. Newton fut le premier à construire le calcul différentiel et intégral (il l'appelait la méthode des fluxions). Cela a immédiatement permis de résoudre une grande variété de problèmes mathématiques et physiques. Avant Newton, de nombreuses fonctions n'étaient définies que géométriquement, il était donc impossible de leur appliquer l'algèbre et le nouveau calcul des fluxions. Newton en a trouvé un nouveau méthode générale représentation analytique d'une fonction - il l'introduit dans les mathématiques et commence à appliquer systématiquement des séries infinies.

Expliquons cette idée de Newton. On sait que tout nombre réel on peut imaginer décimal- fini ou infini. Donc. Par exemple:

Cela signifie que tout nombre a peut être représenté par :

où N - partie entière, et a1, a2, ... an, ... peuvent prendre l'une des valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Par analogie avec cette représentation des nombres, Newton a suggéré que toute fonction de x, par exemple, peut être représentée comme un polynôme ou une série infinie, disposés non pas en puissances de , mais en puissances de x :

où a1, a2, ... an, ... sont des coefficients qu'il faut déterminer à chaque fois. Un exemple d’une telle série est la progression géométrique que nous connaissons :

Représenter une fonction à l’aide d’une série est très pratique. Avec l’aide des séries, comme l’écrit Newton, « il est possible de surmonter des difficultés qui autrement semblent presque insurmontables ».

En même temps que Newton, un autre scientifique exceptionnel, Gottfried Wilhelm Leibniz, est parvenu à des idées similaires.

Gottfried Wilhelm Leibniz est né en Allemagne à Leipzig en 1646. Ce garçon curieux dirigeait conversations intéressantes en histoire avec son père, professeur à l'Université de Leipzig. À l'âge de 12 ans, il avait bien étudié latin et s'est intéressé au grec ancien. Il s'intéressait particulièrement aux philosophes antiques et pouvait réfléchir longtemps aux théories philosophiques d'Aristote ou de Démocrite. À l'âge de 15 ans, Leibniz entre à l'Université de Leipzig, où il étudie assidûment le droit et la philosophie. Il lit beaucoup, parmi ses livres préférés figurent les livres de R. Descartes, G. Galilée, II. Kepler et D. Campanella.

Leibniz a acquis ses connaissances colossales en mathématiques en autodidacte. Trois ans plus tard, après avoir obtenu son diplôme universitaire, Leibniz quitte Leipzig. Il a été offensé par le refus du conseil académique universitaire de lui décerner le titre de docteur en droit. Le refus s'expliquait comme suit. que Leibniz était... trop jeune !

Une vie pleine de travail acharné et de nombreux voyages commence. Il est facile d’imaginer à quel point il était gênant de voyager dans des voitures encombrantes sur les routes cahoteuses de l’Europe à cette époque. Leibniz savait ne pas perdre de temps - de nombreuses pensées fructueuses lui sont venues au cours de ces longs voyages. Leibniz se distinguait par sa capacité exceptionnelle à « saisir » rapidement un problème et à le résoudre de la manière la plus efficace. d'une manière générale. En réfléchissant aux questions philosophiques et mathématiques, Leibniz est devenu convaincu que les mathématiques pouvaient être le moyen le plus fiable pour rechercher et trouver la vérité scientifique. Tout au long de sa vie d'adulte, il a cherché à exprimer les lois de la pensée, capacité humaine pense et vois calcul. Pour cela, il faut, enseignait Leibniz, être capable de désigner n'importe quel concept ou idée par certains symboles, en les combinant dans des formules spéciales, et de réduire les règles de la pensée aux règles des calculs mais à ces formules symboliques. En remplaçant les mots ordinaires par des symboles clairement définis, Leibniz a cherché à débarrasser notre raisonnement de toute incertitude et de la possibilité de nous tromper nous-mêmes ou d’induire les autres en erreur. Si, Leibniz rêvait. Si des désaccords surviennent entre les gens, ils ne seront pas résolus par des disputes longues et fastidieuses. et la manière dont les problèmes sont résolus ou les théorèmes prouvés. Les adversaires prendront la plume et, en disant : « Commençons à calculer », ils commenceront à calculer.

Comme nous l'avons déjà noté, Leibniz, simultanément et indépendamment de Newton, a découvert les principes de base du calcul différentiel et intégral. La théorie s'est renforcée après que Leibniz et Newton ont prouvé que la différenciation et l'intégration sont mutuelles. opérations inverses. Newton connaissait également cette propriété. Mais seul Leibniz a vu ici la merveilleuse opportunité qu’ouvre l’usage de la méthode symbolique.

Toute personne, ayant étudié un petit nombre de règles de fonctionnement avec des symboles désignant les opérations de différenciation et d'intégration, devient propriétaire d'un puissant méthode mathématique. De nos jours, ces symboles d’opérations sont appelés opérateurs. Les opérateurs de différenciation d() et d'intégration agissent sur les fonctions, les « transformant » en d'autres fonctions précisément calculables. Leibniz développe une algèbre particulière des actions avec ces opérateurs. Il prouve que numéro régulier et peut être retiré comme signe d'opérateur :

Les opérateurs identiques peuvent être retirés entre parenthèses :

Tout abrégé propriétés répertoriées peut être exprimé par la relation :

où : a et b sont des nombres.

Opérateurs. qui possèdent cette propriété. sont appelés linéaires. Théorie opérateurs linéaires, que Leibniz commença à développer avec tant de succès. V mathématiques modernes est une théorie bien développée avec des applications utiles.

L'utilisation répétée des opérateurs peut être considérée comme le degré de l'opérateur, par exemple pour d() :

Leibniz a souligné le fait que les opérateurs de base de l'analyse mathématique sont mutuellement inverses avec son symbolisme, arguant que dans d(x) et sont également mutuellement inverses, comme les puissances et les racines dans le calcul ordinaire. En utilisant la même notation similaire à la notation a-1 de l'inverse de a, et du produit a×a-1=1. Opérateurs désignant ou vice versa :

et comprenant par leur produit leur application séquentielle, nous avons :

c'est-à-dire que le produit est une « unité » qui ne modifie pas la fonction.

Cependant, il y avait une sérieuse contradiction dans l’approche de Newton et Leibniz.

Leibniz et ses disciples - les frères Bernoulli, L'Hopital et d'autres - interprétaient les différentielles comme des différences infinitésimales de quantités finies ordinaires, comme ils disaient alors - des quantités « réelles » de mathématiques « inférieures ». Par conséquent, ils traitèrent les deux de manière égale et, dans le calcul, appliquèrent au premier les mêmes méthodes qui étaient valables pour le second. Dans le même temps, il s'est avéré que les infinitésimaux traités de cette manière ont une propriété qui contredit une propriété fondamentale des quantités finies de base : si A est une quantité finie et a est un infinitésimal, alors pour que le résultat du calcul soit Pour être tout à fait précis, il s'est avéré nécessaire d'effectuer des calculs sous l'hypothèse que A+a=A.

Le calcul différentiel, dont l'importance pour le développement de la science et de la technologie ne faisait aucun doute, se trouvait dans une position paradoxale : pour obtenir un résultat précis grâce à ses méthodes, il fallait partir d'un énoncé erroné.

Newton a essayé de baser le calcul différentiel sur les lois de la mécanique et le concept de limite. Mais il n'a pas réussi à libérer son calcul de fluxion des défauts inhérents au calcul différentiel de Leibniz. Dans la pratique du calcul, Newton, comme Leibniz, a appliqué le principe de l'élimination des infinitésimaux.

Cette incohérence a permis de qualifier de mystique le calcul différentiel de Leibniz-Newton. Cela a principalement souligné que Leibniz et Newton ont introduit métaphysiquement les quantités infinitésimales dans le calcul différentiel, en supposant immédiatement qu'elles existent, sans élucider leur origine et leur développement et sans analyser la nature de leurs propriétés spécifiques.

Les tentatives visant à construire l'analyse des infinitésimaux et la théorie des séries en pleine conformité avec les concepts et les vérités de base des mathématiques « inférieures » n'ont pas abouti dès le début à des résultats positifs. Ainsi, Leibniz et ses disciples ont tenté de justifier les principes de l’analyse infinitésimale en comparant l’infinitésimal à un grain de sable, qui peut être négligé lors du calcul de la hauteur d’une montagne, par référence à des probabilités, etc.

Une autre tentative a été faite en fin XVIII siècle. Le célèbre mathématicien allemand Wessel a proposé de laisser l'analyse des infinitésimaux dans l'analyse comme des « fonctions auxiliaires utiles ». Cependant, cette interprétation n'a pas été largement utilisée - les mathématiciens connaissaient l'interprétation mécanique et géométrique de dx et dy.

À propos de la dernière fois quart XVIII siècle, le domaine d'application de l'analyse mathématique commence à dépasser considérablement les limites de son application habituelle en mécanique et en géométrie. Ce processus s'est déroulé encore plus rapidement dans le premier quart du XIXe siècle.

Les mathématiciens ont d'abord tenté de résoudre de nouveaux problèmes en utilisant des méthodes développées par les classiques du XVIIIe siècle - Euler, d'Alembert, Lagrange et autres. Cependant, il devint vite évident que les méthodes des classiques étaient insuffisantes et qu'il fallait en développer de nouvelles, plus générales et plus méthodes fortes. Il s'est également avéré que l'insuffisance des méthodes des classiques est souvent associée à l'interprétation étroite des concepts de base, au concept « banni » de l'infinitésimal, avec des « exceptions » restées auparavant dans l'ombre.

Expliquons cela avec un exemple.

Newton et Leibniz ont développé deux interprétations du concept d'intégrale définie ordinaire.

Newton a interprété l'intégrale définie comme la différence entre les valeurs correspondantes de la fonction primitive :

,

où F`(x)=f(x).

Pour Leibniz, l’intégrale définie était la somme de toutes les différentielles infinitésimales.

.

La première interprétation correspondait à la technique de calcul d'intégrales définies à l'aide de la fonction intégrale primitive, la seconde - car dans les applications l'intégrale définie apparaissait comme une limite espèce connue somme (somme intégrale).

Jusqu'au dernier quart environ du XVIIIe siècle, la première interprétation du concept d'intégrale définie occupait une position dominante. Cela a été facilité par deux circonstances.

À début XVIII siècle, des règles de différenciation de toutes les fonctions élémentaires ont été établies et le développement réussi de méthodes permettant de trouver leurs primitives (classes rationnelles et séparées de fonctions irrationnelles et transcendantales) a commencé. Grâce à cela, le point de vue de Newton était pleinement cohérent avec le développement algorithmes efficaces calcul intégral.

Le calcul direct de la limite de la somme intégrale s'est heurté à de nombreuses difficultés. Naturellement, cette circonstance n’a pas contribué à renforcer le point de vue de Leibniz.

L'interprétation de l'intégrale définie ordinaire selon Leibniz reposait sur le concept d'infinitésimaux, dont les mathématiciens du XVIIIe siècle voulaient s'affranchir de l'analyse mathématique. Cela a également servi à renforcer le point de vue de Newton. Ce fait a été bien confirmé par la manière dont Leonard Euler a utilisé le concept de somme intégrale. Euler ne s'est pas opposé au calcul approximatif d'intégrales définies en utilisant les sommes intégrales correspondantes. Mais il ne pouvait pas considérer l’intégrale définie comme la limite de la somme intégrale. Dans ce cas, tous les termes de la somme intégrale sont devenus infinitésimaux, c’est-à-dire que du point de vue d’Euler, ils étaient des zéros.

Informations historiques. En 1963, Paul Euler, 23 ans, suit des cours de théologie à l'Université de Bâle. Mais à cette époque-là, il y avait plus de théologiens érudits qu'il n'en fallait et ce n'est qu'en 1701 qu'il reçut le poste officiel de prêtre d'un orphelinat à Bâle. Le 19 avril 1706, le pasteur Paul Euler épousa la fille du curé. Et le 15 avril 1707, leur fils naît, prénommé Léonard.

Le futur scientifique a suivi sa formation initiale à la maison sous la direction de son père, qui avait autrefois étudié les mathématiques avec Jacob Bernoulli. Le bon pasteur a préparé son fils aîné à une carrière spirituelle, mais il a également étudié les mathématiques avec lui - à la fois comme divertissement et pour le développement. pensée logique. Le garçon s'est intéressé aux mathématiques et a commencé à poser des questions à son père, les unes plus difficiles les unes que les autres.

Lorsque Léonard s'est montré intéressé par les études, il a été envoyé au Gymnase Latin de Bâle - sous la supervision de sa grand-mère.

Le 20 octobre 1720, Leonhard Euler, 13 ans, entre à la Faculté des lettres de l'Université de Bâle : son père souhaite qu'il devienne prêtre. Mais son amour pour les mathématiques, sa mémoire brillante et les excellentes performances de son fils ont changé ces intentions et ont envoyé Leonard sur une voie différente.

Devenu étudiant, il apprend facilement matières éducatives, en privilégiant les mathématiques. Et il n’est pas étonnant que ce garçon compétent ait rapidement attiré l’attention de Bernoulli. Il a invité le jeune homme à lire des mémoires mathématiques, et le samedi à venir chez lui pour démêler ensemble l'incompréhensible. Dans la maison de son professeur, Euler rencontre et se lie d’amitié avec les fils de Bernoulli, Nikolai et Daniel, également passionnés par les mathématiques. Et le 8 juin 1724 Leonhard Euler, 17 ans, a déclaré en latin un excellent discours sur la comparaison des vues philosophiques de Descartes et de Newton - et a obtenu une maîtrise (au 19ème siècle dans la plupart des universités Europe occidentale diplôme universitaire la maîtrise a été remplacée par le doctorat).

Euler se distinguait par son efficacité phénoménale. Il ne pouvait tout simplement pas s’empêcher d’étudier les mathématiques ou leurs applications. En 1735, l'Académie fut chargée d'effectuer un calcul astronomique urgent et très fastidieux. Un groupe d'académiciens a demandé trois mois pour terminer ce travail, mais Euler s'est engagé à terminer le travail en 3 jours - et l'a fait lui-même. Cependant, le surmenage n'est pas passé sans laisser de trace : il est tombé malade et a perdu la vue de son œil droit. Cependant, le scientifique a réagi au malheur avec le plus grand calme : « Désormais, je serai moins distrait de mes mathématiques », a-t-il noté avec philosophie.

Jusqu'à cette époque, Euler n'était connu que d'un cercle restreint de scientifiques. Mais l'ouvrage en deux volumes « La mécanique, ou la science du mouvement, dans une présentation analytique », publié en 1736, lui a amené renommée mondiale. Euler a appliqué avec brio les méthodes d'analyse mathématique à la solution de problèmes de mouvement dans le vide et en milieu résistif. "Celui qui possède des compétences suffisantes en analyse sera capable de tout voir avec une facilité extraordinaire et lira l'intégralité de l'ouvrage sans aucune aide", conclut Euler dans la préface du livre.

L'air du temps exigeait une voie analytique vers le développement des sciences exactes, l'utilisation du calcul différentiel et intégral pour décrire phénomènes physiques. Leonhard Euler a commencé à ouvrir cette voie.

Bien entendu, même jusqu’au dernier quart du XVIIIe siècle, le concept de Newton rencontrait des difficultés. Durant cette période, nous nous sommes rencontrés fonctions élémentaires, dont les primitives ne peuvent pas être exprimées à travers des fonctions élémentaires. Les mathématiciens savaient et certains intégrales incorrectes, y compris les divergents. Mais de tels faits étaient isolés et ne pouvaient violer le concept effectif établi d’intégrale. La situation s'avère différente dans le dernier quart du XVIIIe siècle et surtout en début XIX siècle.

Depuis les années 70 du XVIIIe siècle, la résolution de problèmes de mécanique analytique, de physique et d'autres disciplines a nécessité un développement important du concept d'intégrale définie. Importance particulière acquérir des intégrales doubles et triples (Euler, Lagrange, Laplace, etc.).

C’était une époque où les grandes idées de Newton et de Leibniz étaient publiées relativement récemment et où l’analyse mathématique moderne venait tout juste d’être créée. Méthodes puissantes qui a apporté ces idées avec eux a trouvé une application dans toutes les branches de la connaissance exacte. Cette application est allée de pair avec le développement de l’analyse elle-même, indiquant souvent les voies et directions selon lesquelles le nouveau calcul devrait se développer. C'était peut-être la seule époque de créativité mathématique par son intensité, et Euler était l'un des rares créateurs par sa productivité. Son "Introduction à l'analyse infinitésimale", "Principes fondamentaux calcul différentiel" et "Foundations of Integral Calculus" furent les premiers traités dans lesquels le matériel déjà étendu, mais dispersé, de la nouvelle analyse fut combiné en une science solide. Dans eux, le squelette fut développé analyse moderne, qui a survécu jusqu'à ce jour.

Développement de méthodes de calcul du double et intégrales triples a montré qu'il est très difficile, voire impossible, de calculer ces intégrales de la même manière que l'intégrale définie habituelle était calculée - en utilisant l'indéfini. Par conséquent, les mathématiciens ont été contraints de conserver le concept de Newton uniquement sous forme de mots, mais en réalité, lorsqu’ils ont résolu des problèmes de sciences exactes, ils ont suivi le chemin de Leibniz. Ils ont calculé les sommes intégrales correspondantes (en forme rectangulaire, cylindrique et coordonnées sphériques) et ont trouvé leurs limites.

Bref, le développement de méthodes de calcul de nouveaux types d'intégrales définies a montré que les intégrales ordinaires, doubles, etc. intégrales définies doivent être justifiés en eux-mêmes quel que soit le concept intégrale indéfinie. Mais chaque terme de toute somme intégrale est une quantité infinitésimale. Ainsi, non seulement la question s'est posée de la légalisation du concept d'infinitésimal jusqu'alors « banni », mais aussi de la divulgation de son contenu réel et son utilisation appropriée. Comme nous l'avons déjà indiqué, pour réaliser tout cela, il a fallu dépasser – généraliser, développer l'interprétation traditionnelle (eulérienne) de la fonction et du concept de limite.

A cet égard, se pose la question de l'existence de limites aux sommes intégrales dont les termes seraient infinitésimaux. Dans le premier quart du XIXe siècle, la notion d'infinitésimal s'est avérée nécessaire pour l'étude et la comparaison des propriétés des éléments continus et continus. fonctions discontinues. L’obtention de résultats fondamentaux est ici associée au nom de Cauchy. "Entre de nombreux concepts", a souligné Cauchy, "étroitement liés aux propriétés des infinitésimaux, il faut placer le concept de continuité et de discontinuité des fonctions". Cauchy donne immédiatement une interprétation de la continuité de fonction, qui confirme plus que clairement la clarté de son affirmation.

La nouvelle formulation des problèmes de justification de l'analyse mathématique a clairement montré qu'il ne s'agit pas seulement de la reconnaissance et de l'application des infinitésimaux - cela a déjà été fait ! - mais surtout dans l'interprétation scientifique de leur contenu et leur utilisation dans des algorithmes d'analyse mathématique basés sur celui-ci. Cependant, pour y parvenir, il a fallu dépasser l'interprétation étroite de la notion de limite qui prévalait au XVIIIe siècle, pour développer théorie générale limites.

L'étude des fonctions discontinues et leur comparaison avec des fonctions continues nous ont fait admettre ce qui était auparavant considéré comme impossible : que la limite vers laquelle tend la séquence de valeurs de fonction, lorsque l'argument tend à un moment donné, peut s'avérer différente de la valeur de la fonction à ce stade. Cela signifie que la limite n'est pas toujours la « dernière » valeur de la variable, mais dans tous les cas la limite est le nombre auquel la variable s'approche sans limite. Par conséquent, dx et dy ne sont pas nécessairement des zéros ou, « mystiquement », des infinitésimaux ; infinitésimal est une variable dont la limite est zéro, et ce fait n'est pas associé à des contradictions et à des paradoxes.

Cauchy a également surmonté la deuxième tendance restrictive dans l'interprétation du concept de limite acceptée avant lui. Il a reconnu qu'une variable peut s'approcher de sa limite non seulement de manière monotone, mais aussi osciller, prenant parfois des valeurs égales à sa limite. Cette circonstance a donné à la théorie de Cauchy la généralité nécessaire et une flexibilité exceptionnelle. On suit toujours la voie tracée par Augustin Louis Cauchy, avec les améliorations apportées dans la seconde moitié du XIXème siècle par C. Weierstrass.

Les travaux de Cauchy et Weierstrass ont achevé la création de l’analyse mathématique classique, résumant ainsi le développement séculaire du calcul intégral.

Références

Bolshakova A. A. Trois crises dans le développement des mathématiques. Thèse; Astrakhan : AGPI, 1996.

Encyclopédie pour enfants pour les âges moyens et plus âgés. T.2 ; M. : Éducation, 1965.

Encyclopédie mathématique. Éd. Vinogradova. T.2 ; M. : Sov. Encyclopédie, 1979.

Fikhtengolts G.M. Fondamentaux de l'analyse mathématique. T.1 ; M. : Nauka, 1968.

Cet article traite des théorèmes limites de la théorie des probabilités, en particulier de l'inégalité de Chebyshev, de la loi grands nombres, qui établissent un lien entre les caractéristiques théoriques et expérimentales des variables aléatoires avec un grand nombre de tests sur celles-ci. Le contenu de l’article est axé sur une étude détaillée du théorème principal de Chebyshev. Sa preuve est basée sur un lemme très général connu sous le nom d’inégalité de Chebyshev. Cette inégalité valable pour les variables aléatoires discrètes et continues. L'inégalité de Chebyshev a valeur limitée, car il donne souvent une évaluation approximative et évidente. L'essence du théorème est que les variables aléatoires individuelles peuvent avoir un écart significatif, et leur moyenne arithmétique peu dispersé. Le théorème de Chebyshev est exemple brillant, ce qui confirme la validité des enseignements du matérialisme dialectique sur le lien entre hasard et nécessité.

théorie des probabilités

variables aléatoires

théorèmes limites

loi des grands nombres

Inégalité de Chebyshev

Théorème de Chebyshev

1. Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Théorie des probabilités. Statistiques mathématiques. – M. : Gardarika, 2009. – 328 p.

2. Buldyk G.M. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques. 2005. – 285 p.

3. Gmurman V.E. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques : manuel de formation. – 12e édition – M. : Enseignement supérieur, 2008. – 479 p. – (Fondamentaux des sciences)

4. Écrit D. Notes de cours sur la théorie des probabilités, les statistiques mathématiques et processus aléatoire/ Dmitri Pismenny. – 3e édition – M. : Iris-presse, 2008. – 288 p. – (Enseignement supérieur)

Introduction

Les théorèmes limites sont classiquement divisés en deux groupes. Le premier groupe de théorèmes comprend la loi des grands nombres, qui établit la stabilité des valeurs moyennes : avec un grand nombre de tests, leur résultat moyen cesse d'être aléatoire et peut être prédit avec précision. Le deuxième groupe de théorèmes, appelé central théorème limite, il fixe les conditions dans lesquelles la loi de répartition du montant grand nombre les variables aléatoires se rapprochent indéfiniment de la normale.

Dans cet article, nous considérerons l'inégalité de Chebyshev, qui est utilisée : a) pour une estimation approximative des probabilités d'événements associés à des variables aléatoires dont la distribution est inconnue ; b) preuves d'un certain nombre de théorèmes de la loi des grands nombres.

Le but de cet article est d’étudier avec succès et application pratique Théorème de Chebyshev et loi des grands nombres pour une efficacité formation mathématiqueétudiants des spécialités économiques des établissements d'enseignement supérieur.

L'inégalité de Chebyshev

L'inégalité de Chebyshev est valable pour les variables aléatoires discrètes et continues.

Théorème 1. Si une variable aléatoire X a une espérance mathématique M(X) = a et une variance D(X), alors pour tout ε>0, l'inégalité de Chebyshev est valide.

P (|X-M(X)|)≥ε)≤ (1)

Démontrons le théorème (1) pour le continu variable aléatoire X de densité f(x).

Probabilité est la probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans une zone située en dehors de l'intervalle. Nous pouvons écrire.

Puisque le domaine d’intégration peut s’écrire sous la forme2 ≥ ε2, qui suit. Nous avons

puisque l'intégrale d'une fonction non négative ne peut augmenter qu'en élargissant la région d'intégration. C'est pourquoi

L'inégalité de Chebyshev est prouvée de la même manière pour une variable aléatoire discrète. Considérons une variable aléatoire X d'espérance mathématique M(X) et de variance D(X). Alors le théorème ci-dessous est valide.

Théorème 2. La probabilité que la valeur X s'écarte de sa espérance mathématique M(X) n'est pas inférieur à n'importe quel nombre positifε est limité d’en haut par , c’est-à-dire

P (|X - M(X)|)<ε} ≥ 1- (2)

Dans la forme (2), il fixe une limite inférieure à la probabilité d'un événement, et dans la forme (1), il fixe une limite supérieure.

L'inégalité de Chebyshev est valable pour les variables aléatoires X = m, qui ont une distribution binomiale avec une espérance mathématique M(X) = a = np et une variance D(X) = npq. Cette inégalité prend la forme

P(|m - np| (3)

pour la fréquence des événements en n tests indépendants, dans chacun desquels cela peut se produire avec la probabilité p=M()=a, dont la variance est D()=, l'inégalité de Chebyshev a la forme

P (|-p| (4)

L'inégalité de Chebyshev a une valeur limitée, car elle donne souvent une estimation approximative et évidente. Par exemple, si D(X) >ε2 et > 1, alors 1-> 0 ; par conséquent, dans ce cas, l’inégalité de Chebyshev indique que la probabilité d’écart est non négative, ce qui est déjà trivial, puisque toute probabilité est exprimée par un nombre non négatif. Cette inégalité est utilisée pour dériver le théorème de Chebyshev.

Théorème de Chebyshev

Considérons une variable aléatoire X, dans laquelle la loi de distribution change d'une expérience à l'autre. Nous aurons alors affaire à plusieurs (n) grandeurs.

Théorème 3. Si X1, X2, ..., Xn sont des variables aléatoires indépendantes avec des espérances mathématiques finies M(Xi), i= et des variances D(Xi), i=, limitées par le même nombre C, c'est-à-dire D (Xi)< С, i=, то при возрастании n среднее арифметическое наблюдаемых значений величин Хi, i=, сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий, то есть для любого ε> 0

Considérons la valeur Y=. Son espérance mathématique est M(Y) = , et sa variance est D(Y) = .

Appliquons l'inégalité de Chebyshev à la valeur Y, on obtient

P()

Depuis lors

Aussi petit soit-il, en passant à la limite de la formule (6) pour n, on obtient

Q.E.D.

Ainsi, le théorème de Chebyshev stipule que la moyenne arithmétique d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes (dont les variances sont uniformément bornées) cesse d'être une variable aléatoire. Autrement dit, il est stable et converge en probabilité vers une certaine valeur non aléatoire, puisque la moyenne arithmétique des attentes mathématiques est une valeur non aléatoire.

Vous pouvez obtenir une autre formulation de la loi des grands nombres si dans la formule (5) vous passez à la probabilité de l'événement opposé

Pour des variables aléatoires identiquement distribuées Xi, i= il y a cas particulier Les théorèmes de Chebyshev.

Théorème 4 (théorème de Khhinchin). Soient X1, X2, ... des variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique qui ont des attentes mathématiques finies M(Xi) = m. Alors la suite (Yn), où Yn, fait converger m avec probabilité 1, c'est-à-dire pour tout ε>0

La loi des grands s'applique aux variables aléatoires dépendantes.

Théorème 5 (théorème de Markov). Si pour les variables aléatoires X1, X2, ...

= 0

alors la moyenne arithmétique des valeurs observées des variables aléatoires converge en probabilité vers la moyenne arithmétique de leurs attentes mathématiques :

pour tout ε> 0

L'essence du théorème de Chebyshev est que les variables aléatoires individuelles peuvent avoir une dispersion significative, mais que leur moyenne arithmétique est peu dispersée.

Il s’ensuit qu’il est impossible de prédire avec certitude quelle valeur probable prendra chacune des variables aléatoires, mais il est possible de prédire quelle valeur prendra leur moyenne arithmétique.

Ainsi, la moyenne arithmétique d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes perd le caractère de variable aléatoire. Cela peut s'expliquer par le fait que l'écart de chacune de leurs valeurs par rapport à leurs attentes mathématiques peut être à la fois positif et négatif, et dans le sens arithmétique, elles s'annulent.

Le théorème de Chebyshev est valable non seulement pour les discrets, mais aussi pour quantités continues; c'est un exemple frappant qui confirme la validité des enseignements du matérialisme dialectique sur le lien entre hasard et nécessité.

Lien bibliographique

Théorème. Si CB X ne prend que des valeurs non négatives et a une espérance mathématique, alors pour tout nombre positif A, l'inégalité suivante est vraie :

☺ Nous effectuerons la preuve pour un SV X discret. Nous classerons ses valeurs par ordre croissant, dont certaines des valeurs
ne sera pas plus que le numéro A, et l'autre partie -
sera supérieur à A, c'est-à-dire

Écrivons l'expression de l'espérance mathématique M(X) : ,

Où
- la probabilité que CB X prenne des valeurs en conséquence
.

En écartant les k premiers termes non négatifs (rappelons que tous
), on obtient :.

Remplacer les valeurs dans l'inégalité
avec un nombre A plus petit, on obtient une inégalité plus forte : ou
.

La somme des probabilités du côté gauche de l'inégalité résultante est la somme des probabilités des événements
, c'est-à-dire probabilité de l'événement X>A. C'est pourquoi
.☻

Parce que les événements X > A et X ≤ A sont opposés, alors en remplaçant P(X > A) par l'expression 1 - P(X ≤ A), on arrive à une autre forme d'inégalité de Markov :

.

L'inégalité de Markov s'applique à toutes les variables aléatoires non négatives.

Exemple . Le nombre moyen d'appels arrivant au standard de l'usine au cours d'une heure est de 300. Estimez la probabilité qu'au cours de l'heure suivante, le nombre d'appels au standard : a) dépasse 400 ; b) il n'y en aura pas plus de 500.

Solution . a) Par condition M(X) = 300. Par la formule
:
ceux. la probabilité que le nombre d'appels dépasse 400 sera pas plus 0,75.

b) D'après la formule
:
ceux. la probabilité que le nombre d'appels ne dépasse pas 500 sera pas moins 0,4.

1. L'inégalité de Chebyshev (avec dérivation) et ses cas particuliers pour une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale et pour la fréquence d'un événement.

Théorème . Pour toute variable aléatoire ayant une espérance et une variance mathématiques, l'inégalité de Chebyshev est valide :
,

où une = M(X), e > 0.

☺ Appliquons l’inégalité de Markov sous la forme
à une variable aléatoire
, en prenant comme nombre positif
. On obtient :
.

Parce que inégalité
équivaut à une inégalité
, UN
est la variance de la variable aléatoire X, alors à partir de l'inégalité nous obtenons l'inégalité à prouver. ☻

Considérant que les événements
Et
sont opposés, l’inégalité de Chebyshev peut s’écrire sous une autre forme :
.

L'inégalité de Chebyshev est applicable à toutes les variables aléatoires. En forme
ça fixe limite supérieure , mais sous la forme
-limite inférieure la probabilité de l'événement en question.

Écrivons l'inégalité de Chebyshev sous la forme
pour certaines variables aléatoires :

a) pour SV X = m, qui a une loi de distribution binomiale avec une espérance mathématique a = M(X) = nр et une variance D(X) = npq :
.

b) pour la fréquence événements dans n essais indépendants, dans chacun desquels cela peut se produire avec la même probabilité
et ayant une variance
:
.

3note . Si M(X) > A ou
, alors les membres droits des inégalités de Markov et de Chebyshev sont respectivement de la forme
Et
volonté négatif et sous la forme
Et
volonté plus de 1 .

Cela signifie que l'application de ces inégalités dans ces cas conduira à un résultat trivial : la probabilité d'un événement est supérieure à un nombre négatif ou inférieure à un nombre supérieur à 1.

1. Le théorème de Chebyshev (avec preuve), sa signification et ses conséquences. Exemple.

Théorème . Si les variances de n variables aléatoires indépendantes
sont limités à la même constante, alors avec une augmentation illimitée du nombre n, la moyenne arithmétique des variables aléatoires converge en probabilité vers la moyenne arithmétique de leurs espérances mathématiques
, c'est-à-dire

☺ Par condition, où C est un nombre constant.

On obtient l'inégalité de Chebyshev sous la forme
pour la moyenne arithmétique de variables aléatoires, c'est-à-dire Pour
.

Trouvons l'espérance mathématique M(X) et l'estimation de la variance D(X) :

(Nous utilisons ici les propriétés de l'espérance mathématique et de la dispersion et, en particulier, le fait que les variables aléatoires
sont indépendants, et donc la variance de leur somme est égale à la somme des variances.)

Écrivons l'inégalité
pour une variable aléatoire
:

Parce que selon prouvé
, Que
,

Ainsi .

dans la limite lorsque n → ∞ la quantité tend vers zéro, et on obtient la formule à prouver. ☻

Soulignons le sens du théorème de Chebyshev. Avec un grand nombre n de variables aléatoires, il est presque certain qu’elles valeur moyenne aléatoire, diffère cependant peu d'une valeur non aléatoire, c'est-à-dire cesse pratiquement d’être aléatoire.

Conséquence . Si variables aléatoires indépendantes
ont les mêmes espérances mathématiques égales à a, et leurs variances sont limitées par la même constante, alors :

,

Le théorème de Chebyshev et son corollaire sont d'une grande importance pratique. Par exemple, une compagnie d’assurance doit fixer le montant de la prime d’assurance que le preneur d’assurance doit payer ; Dans ce cas, la compagnie d'assurance s'engage à payer un certain montant assuré dès la survenance d'un événement assuré. En considérant la fréquence/les pertes du preneur d'assurance lors de la survenance d'un événement assuré comme une valeur aléatoire et en connaissant les statistiques de tels cas, il est possible de déterminer le nombre moyen/les pertes moyennes lors de la survenance d'événements assurés, qui, sur la base du Théorème de Chebyshev avec dans une large mesure la confiance peut être considérée comme une valeur presque non aléatoire. Ensuite, sur la base de ces données et de la somme assurée estimée, le montant de la prime d'assurance est déterminé. Sans prendre en compte l'effet de la loi des grands nombres (théorème de Chebyshev), des pertes importantes sont possibles pour la compagnie d'assurance (si le montant de la prime d'assurance est sous-estimé), ou une perte d'attractivité des services d'assurance (si le montant de la la prime est surestimée).

Inégalités de Chebyshev

Dans l'introduction de cette section, nous avons abordé le problème de vérifier que la proportion de produits défectueux dans un lot est égale à un certain nombre. Pour démontrer l'approche probabiliste-statistique permettant de tester de telles affirmations, les inégalités utilisées pour la première fois dans la théorie des probabilités par le grand mathématicien russe Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) et portant donc son nom sont utiles. Ces inégalités sont largement utilisées en théorie statistiques mathématiques , et sont également directement utilisés dans un certain nombre de problèmes pratiques prendre une décision. Par exemple, dans les tâches analyse statistique

processus technologiques et qualité des produits dans les cas où la forme explicite de la fonction de distribution des résultats d'observation n'est pas connue. Ils sont également utilisés pour exclure les résultats d’observation fortement divergents. La première inégalité de Chebyshev. Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif UN

l'inégalité est vraie Preuve.

. (9)

Tous les termes du côté droit de la formule (4), qui détermine l'espérance mathématique, sont non négatifs dans le cas considéré. Ainsi, lorsque certains termes sont supprimés, la somme n’augmente pas. Laissons dans la somme uniquement les termes pour lesquels .

Nous obtenons cela

Pour tous les termes du côté droit de (9), donc De (9) et (10) le requis découle. Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif UN

.

La deuxième inégalité de Chebyshev. Soit X une variable aléatoire. Pour tout nombre positif Cette inégalité était contenue dans l'ouvrage de P.L Chebyshev « Sur les valeurs moyennes », rapporté

Académie russe Sciences le 17 décembre 1866 et publié l'année suivante. Pour prouver la deuxième inégalité de Chebyshev, considérons la variable aléatoire Oui = (X – M(X)) 2. Il est non négatif, et donc pour tout nombre positif

.

b Oui = (X – M(X)) 2 = , comme il ressort de la première inégalité de Chebyshev, l’inégalité 2 Mettons { un> Oui = (X – M(X)) 2} . Événement {| Oui – coïncide avec l'événement(Oui)|> , comme il ressort de la première inégalité de Chebyshev, l’inégalité}, X

Q.E.D.

M et donc Exemple 11. Vous pouvez spécifier une variable aléatoire non négative X et un nombre positif

UN de telle sorte que la première inégalité de Chebyshev se transforme en égalité. Il suffit de réfléchir. Alors M(X) = une, M(X)/une > , comme il ressort de la première inégalité de Chebyshev, l’inégalité) = 1 et R(a)(Oui> , comme il ressort de la première inégalité de Chebyshev, l’inégalité) = coïncide avec l'événement(Oui)| , comme il ressort de la première inégalité de Chebyshev, l’inégalité = 1.

Par conséquent, la première inégalité de Chebyshev dans sa formulation générale ne peut être renforcée. Cependant, pour la grande majorité des variables aléatoires utilisées dans la modélisation statistique probabiliste de phénomènes et de processus réels, les membres de gauche des inégalités de Chebyshev sont beaucoup plus petits que les membres de droite correspondants.

Exemple 12. La première inégalité de Chebyshev peut-elle se transformer en égalité pour tous Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif? Il s'avère que non. Montrons que pour toute variable aléatoire non négative avec une espérance mathématique non nulle, il est possible de trouver un tel nombre positif Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif que la première inégalité de Chebyshev est stricte.

En effet, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire non négative est soit positive, soit égale à 0. Dans le premier cas, on prend l'espérance positive Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif, inférieur à un nombre positif M(X), par exemple, mettons une = M(X)/ 2. Ensuite M(X)/a supérieur à 1, alors que la probabilité d'un événement ne peut pas dépasser 1, et donc la première inégalité de Chebyshev est pour cela Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif strict. Le deuxième cas est exclu par les conditions de l'exemple 11.

A noter que dans le second cas, l'égalité de 0 de l'espérance mathématique implique l'égalité identique de 0 de la variable aléatoire. Pour une telle variable aléatoire, les côtés gauche et droit de la première inégalité de Chebyshev sont égaux à 0 pour tout positif X.

Est-il possible d’écarter l’exigence de non-négativité d’une variable aléatoire dans la formulation de la première inégalité de Chebyshev ? Exemple 11? Et l'exigence de positivité Soit X une variable aléatoire non négative (c'est-à-dire pour tout). Alors pour tout nombre positif? Il est facile de voir qu'aucune de ces deux exigences ne peut être écartée, car sinon côté droit la première inégalité de Chebyshev peut devenir négative.

La vaste expérience accumulée par l’humanité nous enseigne que des phénomènes avec une probabilité très proche de l’un se produisent presque certainement. De même, les événements qui ont une très faible probabilité de se produire (c’est-à-dire très proche de zéro) se produisent très rarement. Cette circonstance joue un rôle majeur pour tout le monde conclusions pratiques de la théorie des probabilités, puisque le fait expérimental indiqué donne le droit, dans l'activité pratique, de considérer les événements à faible probabilité comme pratiquement impossibles, et les événements se produisant avec des probabilités très proches de l'unité comme pratiquement fiables. En même temps, il est impossible de donner une réponse sans ambiguïté à la question tout à fait naturelle de savoir quelle devrait être la probabilité pour que l'on puisse considérer un événement pratiquement impossible (pratiquement certain). Et cela est compréhensible, puisque dans les activités pratiques, il faut tenir compte de l'importance des événements auxquels nous devons faire face.

Ainsi, par exemple, si lors de la mesure de la distance entre deux points, il s'avère qu'elle est égale à 5340 m et que l'erreur de cette mesure avec une probabilité de 0,02 est égale ou supérieure (ou inférieure) à 20 m, alors nous pouvons négliger la possibilité d'une telle erreur et supposons que la distance est réellement égale à 5340 m . Ainsi, dans dans cet exemple nous considérons un événement avec une probabilité de 0,02 comme pratiquement insignifiant (pratiquement impossible) et n'en tenons pas compte dans nos activités pratiques. Dans le même temps, dans d'autres cas, il est impossible de négliger des probabilités de 0,02 ou même des probabilités plus petites. Ainsi, si lors de la construction d'une grande centrale hydroélectrique, qui nécessite d'énormes coûts de matériaux et de main d'œuvre humaine, il s'avère que la probabilité d'une inondation catastrophique dans les conditions considérées est de 0,02, alors cette probabilité sera considérée comme grande et lors de la conception la station, il doit être pris en compte et non écarté, comme cela a été fait dans l'exemple précédent.

Ainsi, seules les exigences de la pratique peuvent nous indiquer les critères selon lesquels on considérera certains événements comme pratiquement impossibles ou pratiquement certains.

Dans le même temps, il convient de noter que tout événement ayant une probabilité positive, même proche de zéro, peut se produire. Et si le nombre d'essais dans chacun desquels cela peut se produire avec la même probabilité est très grand, alors la probabilité qu'il se produise au moins une fois peut devenir arbitrairement proche de un. Cette circonstance doit toujours être gardée à l’esprit.

De ce qui précède, il ressort clairement que dans les activités pratiques et dans les problèmes théoriques généraux, les événements avec des probabilités proches de un ou zéro revêtent une grande importance. À partir de là, il devient clair que l'une des tâches principales de la théorie des probabilités devrait être l'établissement de modèles qui se produisent avec des probabilités proches de l'unité ; en même temps rôle spécial devrait jouer des modèles qui résultent de l'imposition d'un grand nombre de faits aléatoires indépendants ou faiblement dépendants.

En effet, il est impossible de prédire avec certitude à l’avance lequel des valeurs possibles acceptera une variable aléatoire à la suite du test ; cela dépend de nombreuses raisons aléatoires, dont nous ne pouvons pas tenir compte. Il semblerait que puisque nous disposons d'informations très modestes sur chaque variable aléatoire en ce sens, il est difficilement possible d'établir des modèles de comportement et la somme d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires. En fait, ce n'est pas vrai. Il s'avère que dans certaines conditions relativement larges, le comportement global d'un nombre suffisamment important de variables aléatoires perd presque son caractère aléatoire et devient naturel.

La présence d'un lien entre les caractéristiques théoriques et expérimentales des variables aléatoires, manifestée dans un grand nombre d'expériences, permet de prédire les résultats de la masse phénomènes aléatoires un peu de confiance. Pour la pratique, il est très important de connaître les conditions dans lesquelles l'action combinée de nombreuses causes aléatoires conduit à un résultat quasiment indépendant du hasard, puisqu'il permet de prévoir le déroulement des phénomènes. Ces conditions sont indiquées dans un certain nombre de théorèmes limites, dont un groupe est réuni sous nom commun« La loi des grands nombres », l’autre porte le nom général de « Théorème central limite ».

La loi des grands nombres est constituée des théorèmes de Chebyshev et de Bernoulli (il existe d'autres théorèmes), qui prouvent le rapprochement de la moyenne arithmétique de variables aléatoires avec certaines caractéristiques aléatoires dans certaines conditions. Le théorème de Chebyshev est la loi la plus générale des grands nombres, le théorème de Bernoulli est la plus simple.

Dans un autre groupe de théorèmes limites, réunis sous le nom général « Théorème central limite », il est établi que, sous certaines conditions, la loi de distribution de la somme des variables aléatoires se rapproche de la loi de distribution normale. Mathématiquement, cela s'exprime sous la forme de conditions qui doivent être remplies pour les variables aléatoires considérées, c'est-à-dire qu'il est nécessaire de remplir certaines conditions pour les variables aléatoires.
, pour laquelle la variable aléatoire totale
distribué selon la loi normale.

Ainsi, la loi des grands nombres et le théorème central constituent deux groupes de théorèmes limites de la théorie des probabilités, qui permettent ensemble de faire des prédictions tout à fait raisonnables dans le domaine des phénomènes aléatoires, tout en donnant une appréciation de l'exactitude des prévisions faites.

Théorème de Chebyshev

Pour prouver le théorème de Chebyshev (et d’autres théorèmes aussi), nous utiliserons l’inégalité du même nom. L'inégalité de Chebyshev (ainsi que le théorème) est valable pour les variables aléatoires discrètes et continues. On se limitera, par exemple, à prouver l'inégalité pour une variable aléatoire continue.

INÉGALITÉTchebycheva 1 : Probabilité que l’écart d’une variable aléatoire Exemple 11 , ayant une dispersion finie
, à partir de son espérance mathématique selon valeur absolue inférieur à n'importe quel nombre positif , limité d'en haut par
, c'est-à-dire que l'inégalité est vraie :

.

Preuve : Par définition de la variance pour une variable aléatoire continue on peut écrire

.

L'intégrale du côté droit de l'inégalité résultante est la probabilité que la variable aléatoire Exemple 11 prendra des valeurs en dehors de l'intervalle
. Moyens

L'inégalité est avérée.

Commentaire . L'inégalité de Chebyshev a une signification pratique limitée, car elle donne souvent une estimation approximative et parfois triviale (sans intérêt). Par exemple, si
et donc
; Ainsi, dans ce cas, l’inégalité de Chebyshev indique seulement que la probabilité d’écart est comprise entre zéro et un, ce qui est déjà évident puisque toute probabilité satisfait à cette condition.

La signification théorique de l'inégalité de Chebyshev est très grande. L'estimation obtenue par Chebyshev est universelle, elle est valable pour toutes les variables aléatoires ayant
Et
.

EXEMPLE.Trouver la probabilité de sortie d'une variable aléatoire Exemple 11 , qui a une espérance mathématique
et écart
, au-delà des limites des trois sigma.

Solution . Utilisons l'inégalité de Chebyshev :

Comparons le résultat obtenu avec celui qui découle de la règle des trois sigma pour la loi de distribution normale :

Pas difficile à faire CONCLUSION : les variables aléatoires rencontrées en pratique ont le plus souvent une probabilité significativement plus faible de dépasser les limites des trois sigma que 1/9. Pour eux, la région est la région des valeurs pratiquement possibles de la variable aléatoire.

THÉORÈMETchebycheva(cas particulier) : Soit Exemple 11 1 , Exemple 11 2 , …, Exemple 11 n – variables aléatoires indépendantes par paires qui ont la même espérance mathématique M (Exemple 11 ), et que les dispersions de ces quantités soient uniformément limitées (c'est-à-dire ne dépassent pas un certain nombre constant AVEC ). Ensuite, avec un nombre suffisamment grand d'expériences indépendantes, la moyenne arithmétique des valeurs observées de variables aléatoires converge en probabilité vers leur espérance mathématique, c'est-à-dire que l'égalité a lieu :

.

Preuve .
Appliquer à une variable aléatoire

.

L'inégalité de Chebyshev :
Notons (d'après les conditions du théorème) que pour la variance

les relations suivantes sont valides :
.

C'est

.

Alors, d’après l’inégalité de Chebyshev
Aller à la limite à

.

nous obtenons

Et puisque la probabilité ne peut pas être supérieure à un, c’est là que suit l’énoncé du théorème.

THÉORÈMETchebycheva Le théorème de Chebyshev a été généralisé à un cas plus général, dont la preuve est similaire à la preuve proposée ci-dessus. Exemple 11 1 , Exemple 11 2 , …, Exemple 11 n (cas général) : Soit AVEC sont des variables aléatoires indépendantes par paire, et que les variances de ces variables soient uniformément bornées (c'est-à-dire qu'elles ne dépassent pas un nombre constant

.

). Ensuite, avec un nombre suffisamment grand d'expériences indépendantes, la moyenne arithmétique des valeurs observées de variables aléatoires converge en probabilité vers la moyenne arithmétique de leurs attentes mathématiques, c'est-à-dire que l'égalité a lieu :

L'essence du théorème de Chebyshev L'essence du théorème éprouvé est la suivante : bien que des variables aléatoires indépendantes individuelles puissent prendre des valeurs éloignées de leurs attentes mathématiques, la moyenne arithmétique d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires avec forte probabilité
prend des valeurs proches d'un certain nombre constant et des noms au nombre
(ou au numéro

dans un cas particulier). En d’autres termes, les variables aléatoires individuelles peuvent avoir une dispersion significative et leur moyenne arithmétique est très petite.

Ainsi, il est impossible de prédire avec certitude quelle valeur possible chacune des variables aléatoires prendra, mais il est possible de prédire quelle valeur prendra leur moyenne arithmétique. ( Ainsi, la moyenne arithmétique d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes ) dont les variances sont uniformément bornées perd le caractère d'une variable aléatoire

. Cela s'explique par le fait que les écarts de chacune des quantités par rapport à leurs attentes mathématiques peuvent être à la fois positifs et négatifs, et dans le sens arithmétique, ils s'annulent.

L'importance du théorème de Chebyshev pour la pratique

En effet, considérons les résultats de chaque mesure comme des variables aléatoires Exemple 11 1 , Exemple 11 2 , …, Exemple 11 n . Le théorème de Chebyshev peut être appliqué à ces quantités si : 1) elles sont indépendantes deux à deux, 2) elles ont la même espérance mathématique, 3) leurs variances sont uniformément bornées.

La première exigence est satisfaite si le résultat de chaque mesure ne dépend pas des résultats d’autres mesures.

La deuxième condition est remplie si les mesures sont effectuées sans erreurs systématiques (de même signe). Dans ce cas, les attentes mathématiques de toutes les variables aléatoires sont les mêmes et égales à la vraie taille
.

La troisième exigence est remplie si l'appareil offre une certaine précision de mesure. Bien que les résultats des mesures individuelles soient différents, leur diffusion est limitée.

Si toutes les exigences spécifiées sont remplies, nous avons le droit d'appliquer le théorème de Chebyshev aux résultats de mesure (un cas particulier) : pour un nombre suffisamment grand - nombre de mesures probabilité d'inégalité

aussi proche de l'unité que vous le souhaitez. Autrement dit, avec un nombre de mesures suffisamment important, il est quasiment certain que leur moyenne arithmétique s'écarte aussi peu qu'on le souhaite de la valeur réelle de la valeur mesurée.

Ainsi, le théorème de Chebyshev indique les conditions dans lesquelles la méthode de mesure décrite peut être applicable 1.

La méthode d'échantillonnage, largement utilisée en statistique, est basée sur le théorème de Chebyshev, dont l'essence est qu'un échantillon aléatoire relativement petit est utilisé pour juger l'ensemble de la population (population générale) des objets étudiés. Par exemple, la qualité d’une balle de coton est déduite d’un petit paquet constitué de fibres sélectionnées au hasard dans différentes parties de la balle. Bien que le nombre de fibres dans un paquet soit nettement inférieur à celui d'une balle, le paquet lui-même en contient suffisamment grand nombre fibres se comptant par centaines.

Comme autre exemple, nous pouvons citer la détermination de la qualité du grain à partir d’un petit échantillon. Et dans ce cas, le nombre de grains sélectionnés au hasard est faible par rapport à la masse totale du grain, mais en soi il est assez important.

Déjà à partir des exemples donnés, nous pouvons conclure que le théorème de Chebyshev est d'une importance inestimable pour la pratique.

1 Il existe une autre formulation : la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire Exemple 11 son espérance mathématique en valeur absolue est inférieure à un nombre positif , Pas moins que
, c'est-à-dire que l'inégalité est vraie
.

2 Rappelons que
R.

1 Cependant, c’est une erreur de penser qu’en augmentant le nombre de mesures, on peut atteindre une précision arbitrairement élevée. Le fait est que l'appareil lui-même ne donne des lectures qu'avec précision
; résultats de mesure, et donc leur moyenne arithmétique, ne seront obtenues qu'avec une précision n'excédant pas la précision de l'instrument.