પ્રાકૃતિક લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રોનો પુરાવો અને વ્યુત્પત્તિ અને લઘુગણકને આધાર a. ln 2x, ln 3x અને ln nx ના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણો. પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને nth ક્રમ લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રનો પુરાવો ગાણિતિક ઇન્ડક્શન.

પ્રાકૃતિક લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રોની વ્યુત્પત્તિ અને a ને બેઝ કરવા લઘુગણક

x ના પ્રાકૃતિક લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન x દ્વારા વિભાજિત એક સમાન છે:
(1) (ln x)′ =.

બેઝ a માટે લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન ચલ x દ્વારા ગુણાકાર કરીને ભાગ્યા સમાન છે કુદરતી લઘુગણકએક થી:
(2) (લોગ a x)′ =.

પુરાવો

કેટલાક રહેવા દો હકારાત્મક સંખ્યા, નહી એક સમાન. ચલ x પર આધાર રાખીને ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો, જે બેઝ માટે લઘુગણક છે:
.
આ કાર્ય પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
(3) .

ચાલો x ચલના સંદર્ભમાં તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ. વ્યાખ્યા દ્વારા, વ્યુત્પન્ન નીચેની મર્યાદા છે:ચાલો આ અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી તેને જાણીતા લોકો સુધી ઘટાડવામાં આવે
ગાણિતિક ગુણધર્મોઅને નિયમો. આ કરવા માટે આપણે નીચેની હકીકતો જાણવાની જરૂર છે:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
એ)લઘુગણકના ગુણધર્મો. અમને નીચેના સૂત્રોની જરૂર પડશે:
(7) .
બી)
લોગરીધમનું સાતત્ય અને સતત કાર્ય માટે મર્યાદાઓની મિલકત:અહીં એક કાર્ય છે જેની મર્યાદા છે અને આ મર્યાદા હકારાત્મક છે.
(8) .

માં)
.
બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદાનો અર્થ:

.

ચાલો આ તથ્યોને આપણી મર્યાદામાં લાગુ કરીએ. પ્રથમ આપણે બીજગણિત અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર કરીએ છીએ આ કરવા માટે, અમે ગુણધર્મો (4) અને (5) લાગુ કરીએ છીએ. (8):
.

ચાલો પ્રોપર્ટી (7) અને બીજા નો ઉપયોગ કરીએ
.
નોંધપાત્ર મર્યાદા અને અંતે, અમે મિલકત લાગુ કરીએ છીએ (6):લોગરીધમ થી આધાર ઇકહેવાય છે
.
કુદરતી લઘુગણક
.

. તે નીચે મુજબ નિયુક્ત થયેલ છે:

પછી;

આમ, અમે લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર (2) મેળવ્યું.
.
કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન
(1) .

ફરી એક વાર આપણે લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર લખીએ છીએ a. આ સૂત્ર કુદરતી લઘુગણક માટે સૌથી સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે, જેના માટે , .પછી
.

આ સરળતાને કારણે, પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો ગાણિતિક વિશ્લેષણ અને વિભેદક કલન સાથે સંબંધિત ગણિતની અન્ય શાખાઓમાં ખૂબ જ વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
.

લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન સાબિત કરવાની અન્ય રીતો

અહીં આપણે ધારીએ છીએ કે આપણે ઘાતાંકીયના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ:
(9) .
પછી આપણે પ્રાકૃતિક લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ, જો કે લઘુગણક એ ઘાતાંકીયનું વ્યસ્ત કાર્ય છે.

ચાલો પ્રાકૃતિક લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રને સાબિત કરીએ, વ્યસ્ત કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર લાગુ કરવું:
.
અમારા કિસ્સામાં.
.
કુદરતી લઘુગણકનું વ્યસ્ત કાર્ય ઘાતાંકીય છે:
.
તેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર (9) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચલોને કોઈપણ અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરી શકાય છે. ફોર્મ્યુલા (9) માં, ચલ x ને y સાથે બદલો:
.
ત્યારથી
.
પછી

સૂત્ર સાબિત થાય છે. હવે આપણે પ્રાકૃતિક લઘુગણકના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રને સાબિત કરીએ છીએ તફાવત નિયમો જટિલ કાર્ય
.
. વિધેયો અને એકબીજાથી વિપરીત હોવાથી, પછી
(10) .
ચાલો આ સમીકરણને ચલ xના સંદર્ભમાં અલગ કરીએ:
.
x નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે:
.
અમે જટિલ કાર્યોના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
.
અહીં . ચાલો (10) માં બદલીએ:
.

અહીંથી

ઉદાહરણ ના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો ln 2x, ln 3x અને.

lnnx

ઉકેલ મૂળ કાર્યો છેસમાન દેખાવ . તેથી આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીશું y = લોગ nx . પછી આપણે n = 2 અને n = 3 ને બદલીએ છીએ. અને, આમ, અમે ના ડેરિવેટિવ્ઝ માટે સૂત્રો મેળવીએ છીએ ln 2x ln 2x, .

અને
. તેથી આપણે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીશું .
તેથી, અમે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધી રહ્યા છીએ
1) ચાલો આ ફંક્શનને એક જટિલ ફંક્શન તરીકે કલ્પના કરીએ જેમાં બે ફંક્શન હોય છે:
2) ચલ પર આધાર રાખીને કાર્યો: ;
ચલ પર આધાર રાખીને કાર્યો: .
.

પછી મૂળ ફંક્શન ફંક્શનથી બનેલું છે અને:
.
ચાલો x ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.
ચાલો ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.
અમે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ.

અહીં અમે તેને સેટ કર્યું છે.
(11) .
તેથી અમને મળ્યું:
.
આપણે જોઈએ છીએ કે વ્યુત્પન્ન n પર નિર્ભર નથી.
.

આ પરિણામ તદ્દન સ્વાભાવિક છે જો આપણે ઉત્પાદનના લઘુગણક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મૂળ કાર્યને રૂપાંતરિત કરીએ:

; ; .

- આ સતત છે. તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. પછી, રકમના તફાવતના નિયમ અનુસાર, અમારી પાસે છે:

જવાબ આપો મોડ્યુલસ x ના લઘુગણકનું વ્યુત્પન્નચાલો બીજાનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
(12) .

મહત્વપૂર્ણ કાર્ય
.
- મોડ્યુલસ x નો કુદરતી લઘુગણક:
.

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.
,
પછી કાર્ય આના જેવું દેખાય છે:
તેનું વ્યુત્પન્ન સૂત્ર (1) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
.
ત્યારથી
.

હવે ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.
.

પછી કાર્ય આના જેવું દેખાય છે:
.

ક્યાં.

પરંતુ અમને ઉપરના ઉદાહરણમાં આ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન પણ મળ્યું. તે n પર નિર્ભર નથી અને તેની બરાબર છે
.
અમે આ બે કેસોને એક સૂત્રમાં જોડીએ છીએ:
(13) .

તદનુસાર, લઘુગણક a ને બેઝ કરવા માટે, અમારી પાસે છે:
.
ચાલો ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.
ચાલો ચોથો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.

તમે નોંધ કરી શકો છો કે nth ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન ફોર્મ ધરાવે છે:
(14) .
ચાલો આને ગાણિતિક ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત કરીએ.

પુરાવો

ચાલો n = 1 ને સૂત્ર (14) માં બદલીએ:
.
ત્યારથી, પછી જ્યારે n = 1 , સૂત્ર (14) માન્ય છે.

ચાલો ધારીએ કે સૂત્ર (14) n = k માટે સંતુષ્ટ છે. + 1 .

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ સૂચવે છે કે સૂત્ર n = k માટે માન્ય છે
.
ખરેખર, n = k માટે અમારી પાસે છે:

.
ચલ x ના સંદર્ભમાં તફાવત કરો:
.
તેથી અમને મળ્યું: 1 આ સૂત્ર n = k + માટેના સૂત્ર (14) સાથે એકરુપ છે 1 .

.

આમ, ધારણા પરથી કે સૂત્ર (14) n = k માટે માન્ય છે, તે અનુસરે છે કે સૂત્ર (14) n = k + માટે માન્ય છે.

તેથી, ફોર્મ્યુલા (14), nમા ક્રમના વ્યુત્પન્ન માટે, કોઈપણ n માટે માન્ય છે.
.
લોગરીધમના ઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્સ બેઝ a
.

બેઝ a માટે લઘુગણકનો nમો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે તેને કુદરતી લઘુગણકના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે:

સૂત્ર (14) લાગુ કરીને, આપણને nમું વ્યુત્પન્ન મળે છે:
(1) ઘાતાંકીય (e થી x ઘાત) અને ઘાતાંકીય કાર્ય (a થી x ઘાત) ના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રોનો પુરાવો અને વ્યુત્પત્તિ. e^2x, e^3x અને e^nx ના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણો. ઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના સૂત્રો..

ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન એ ઘાતાંકની બરાબર છે (x ઘાત માટે e નું વ્યુત્પન્ન x ઘાતની e ની બરાબર છે):
(2) .

(e x )′ = e x

આધાર a સાથેના ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એ a ના કુદરતી લઘુગણક દ્વારા ગુણાકાર કરેલા કાર્યની બરાબર છે:
.
ઘાતાંકીયના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ, e માટે x ઘાત ઘાતાંકીય એ ઘાતાંકીય ફંક્શન છે જેનો પાવર બેઝ e નંબરની બરાબર છે, જે નીચેની મર્યાદા છે:અહીં તે કુદરતી અને બંને હોઈ શકે છે

વાસ્તવિક સંખ્યા

. આગળ, આપણે ઘાતાંકીયના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર (1) મેળવીએ છીએ.
ઘાતાંકીય વ્યુત્પન્ન સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ
x ઘાત માટે ઘાતાંકીય, e ને ધ્યાનમાં લો:
(3) .

y = e x .
ગાણિતિક ગુણધર્મોઆ કાર્ય દરેક માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
(4) ;
એ)ચાલો x ચલના સંદર્ભમાં તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ.
(5) ;
લોગરીધમનું સાતત્ય અને સતત કાર્ય માટે મર્યાદાઓની મિલકત:લઘુગણકના ગુણધર્મો. અમને નીચેના સૂત્રોની જરૂર પડશે:
(6) .
બી)
વ્યાખ્યા દ્વારા, વ્યુત્પન્ન નીચેની મર્યાદા છે:અહીં એક કાર્ય છે જેની મર્યાદા છે અને આ મર્યાદા હકારાત્મક છે.
(7) .

ચાલો આ અભિવ્યક્તિને જાણીતા ગાણિતિક ગુણધર્મો અને નિયમોમાં ઘટાડવા માટે રૂપાંતરિત કરીએ. આ કરવા માટે અમને નીચેના તથ્યોની જરૂર છે:
;
.

ઘાતાંક ગુણધર્મ:
લઘુગણકની મિલકત:
.
જી)
.

ચાલો આ હકીકતોને આપણી મર્યાદામાં લાગુ કરીએ (3). અમે મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (4):
.

ચાલો એક અવેજી બનાવીએ.
પછી; .
.

ઘાતાંકીયની સાતત્યતાને કારણે,
.
અહીં અમે બીજી નોંધપાત્ર મર્યાદા (7) નો પણ ઉપયોગ કર્યો. પછી
.

આમ, અમે ઘાતાંકીયના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર (1) મેળવ્યું.

ઘાતાંકીય કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

હવે આપણે ડિગ્રી a ના આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર (2) મેળવીએ છીએ.
(8)
અમે માનીએ છીએ કે અને.

પછી ઘાતાંકીય કાર્ય દરેક માટે વ્યાખ્યાયિત.ચાલો ફોર્મ્યુલાનું રૂપાંતર કરીએ (8). આ માટે આપણે ઉપયોગ કરીશું
;
.
ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો
.

અને લઘુગણક.

તેથી, અમે ફોર્મ્યુલા (8) ને નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કર્યું:
(14) .
(1) .

e થી x પાવરના ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ
;
.

હવે ચાલો ઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ. ચાલો પહેલા ઘાતાંક જોઈએ:
.

આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શન (14) નું ડેરિવેટિવ ફંક્શન (14) ની બરાબર છે. ભિન્નતા (1), અમે બીજા અને ત્રીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્સ મેળવીએ છીએ:

આ બતાવે છે કે nth ઓર્ડર ડેરિવેટિવ પણ મૂળ કાર્યની સમાન છે: ઘાતાંકીય કાર્યના ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝહવે વિચાર કરીએ
.
અમે આ બે કેસોને એક સૂત્રમાં જોડીએ છીએ:
(15) .

ઘાતાંકીય કાર્ય
;
.

પાવર બેઝ a સાથે:
.

ભિન્નતા (15), અમે બીજા અને ત્રીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્સ મેળવીએ છીએ:
આપણે જોઈએ છીએ કે દરેક ભિન્નતા મૂળ કાર્યના ગુણાકાર તરફ દોરી જાય છે.

તેથી, nth ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે:

જટિલ ડેરિવેટિવ્ઝ. લઘુગણક વ્યુત્પન્ન. પાવર-ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્નઅમે અમારી ડિફરન્સિએશન ટેકનિકમાં સુધારો કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આ પાઠમાં, અમે જે સામગ્રીને આવરી લીધી છે તેને એકીકૃત કરીશું, વધુ જટિલ ડેરિવેટિવ્સને જોઈશું અને વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેની નવી તકનીકો અને યુક્તિઓથી પણ પરિચિત થઈશું, ખાસ કરીને, લઘુગણક વ્યુત્પન્ન સાથે. જે વાચકો પાસે છેનીચું સ્તર તૈયારી, તમારે લેખનો સંદર્ભ લેવો જોઈએવ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું? ઉકેલોના ઉદાહરણો , જે તમને લગભગ શરૂઆતથી તમારી કુશળતા વધારવાની મંજૂરી આપશે. આગળ, તમારે પૃષ્ઠનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરવાની જરૂર છેજટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન , સમજો અને ઉકેલોબધા મેં આપેલા ઉદાહરણો.આ પાઠ

તાર્કિક રીતે ત્રીજું, અને તેમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કર્યા પછી તમે વિશ્વાસપૂર્વક એકદમ જટિલ કાર્યોને અલગ પાડશો. “બીજું ક્યાં? હા, તે પૂરતું છે ”, કારણ કે બધા ઉદાહરણો અને ઉકેલો વાસ્તવિકમાંથી લેવામાં આવ્યા છે તૈયારી, તમારે લેખનો સંદર્ભ લેવો જોઈએપરીક્ષણો અને ઘણી વખત વ્યવહારમાં આવે છે.- તમારે ઘણી વાર ભેદ પાડવો પડશે, અને ઉદાહરણોનું વિગતવાર વર્ણન કરવું હંમેશા અનુકૂળ નથી (અને હંમેશા જરૂરી નથી). તેથી, અમે મૌખિક રીતે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની પ્રેક્ટિસ કરીશું. આ માટે સૌથી યોગ્ય "ઉમેદવારો" એ સૌથી સરળ જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ છે, ઉદાહરણ તરીકે:

જટિલ કાર્યોના ભિન્નતાના નિયમ અનુસાર :

ભવિષ્યમાં અન્ય મટન વિષયોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, આ વિગતવાર પ્રવેશમોટે ભાગે તે જરૂરી નથી, એવું માનવામાં આવે છે કે વિદ્યાર્થી ઓટોપાયલટ પર આવા ડેરિવેટિવ્સ કેવી રીતે શોધવું તે જાણે છે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે સવારે 3 વાગ્યે એ ફોન કૉલ, અને સુખદ અવાજપૂછ્યું: "બે X ના સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન શું છે?" આને લગભગ તાત્કાલિક અને નમ્ર પ્રતિસાદ દ્વારા અનુસરવું જોઈએ: .

પ્રથમ ઉદાહરણ તરત જ માટે બનાવાયેલ હશે સ્વતંત્ર નિર્ણય.

ઉદાહરણ 1

નીચેના ડેરિવેટિવ્ઝને મૌખિક રીતે, એક ક્રિયામાં શોધો, ઉદાહરણ તરીકે: . કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે તમારે ફક્ત ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે પ્રાથમિક કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક(જો તમને તે હજુ સુધી યાદ ન હોય તો). જો તમને કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય, તો હું પાઠ ફરીથી વાંચવાની ભલામણ કરું છું તૈયારી, તમારે લેખનો સંદર્ભ લેવો જોઈએ.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

પાઠના અંતે જવાબો

જટિલ ડેરિવેટિવ્ઝ

પ્રારંભિક આર્ટિલરી તૈયારી પછી, કાર્યોના 3-4-5 માળખાંવાળા ઉદાહરણો ઓછા ડરામણી હશે. કદાચ નીચેના બે ઉદાહરણો કેટલાકને જટિલ લાગશે, પરંતુ જો તમે તેમને સમજો છો (કોઈને પીડા થશે), તો પછી લગભગ બધું જ વિભેદક કલનતે બાળકની મજાક જેવું લાગશે.

ઉદાહરણ 2

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધતી વખતે, સૌ પ્રથમ, તે જરૂરી છે અધિકારતમારા રોકાણને સમજો. એવા કિસ્સામાં જ્યાં શંકા હોય, હું તમને યાદ કરું છું ઉપયોગી યુક્તિ: અમે "x" નું પ્રાયોગિક મૂલ્ય લઈએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, અને તેને બદલવાનો પ્રયાસ કરો (માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટમાં). આપેલ મૂલ્ય"ભયંકર અભિવ્યક્તિ" માં.

1) પ્રથમ આપણે અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સરવાળો સૌથી ઊંડો એમ્બેડિંગ છે.

2) પછી તમારે લઘુગણકની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

4) પછી કોસાઇનને ક્યુબ કરો:

5) પાંચમા પગલા પર તફાવત છે:

6) અને અંતે, સૌથી બાહ્ય કાર્ય એ વર્ગમૂળ છે:

જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર માં ઉપયોગ કરવામાં આવશે વિપરીત ક્રમ, બાહ્યતમ કાર્યથી અંદરના સુધી. અમે નક્કી કરીએ છીએ:

એવું લાગે છે કે કોઈ ભૂલો નથી...

(1) આપણે નું વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ વર્ગમૂળ.

(2) અમે નિયમનો ઉપયોગ કરીને તફાવતનું વ્યુત્પન્ન કરીએ છીએ

(3) ત્રિવિધનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. બીજા શબ્દમાં આપણે ડિગ્રી (ક્યુબ) નું વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ.

(4) કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન લો.

(5) લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન લો.

(6) અને અંતે, અમે સૌથી ઊંડા એમ્બેડિંગનું વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ.

તે ખૂબ મુશ્કેલ લાગે છે, પરંતુ આ સૌથી ઘાતકી ઉદાહરણ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કુઝનેત્સોવનો સંગ્રહ લો અને તમે વિશ્લેષણ કરેલ વ્યુત્પન્નની તમામ સુંદરતા અને સરળતાની પ્રશંસા કરશો. મેં જોયું કે તેઓ પરીક્ષામાં સમાન વસ્તુ આપવાનું પસંદ કરે છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે કે કોઈ વિદ્યાર્થી જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું તે સમજે છે કે નહીં.

આગલું ઉદાહરણસ્વતંત્ર નિર્ણય માટે.

ઉદાહરણ 3

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

સંકેત: પહેલા આપણે રેખીયતાના નિયમો અને ઉત્પાદનના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ

સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

તે કંઈક નાના અને સરસ તરફ આગળ વધવાનો સમય છે.
એક ઉદાહરણ માટે બે નહીં, પરંતુ નું ઉત્પાદન દર્શાવવું અસામાન્ય નથી ત્રણ કાર્યો. નું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું ત્રણ ઉત્પાદનોમલ્ટિપ્લાયર્સ?

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

પહેલા આપણે જોઈએ, શું ત્રણ ફંક્શનના ગુણને બે ફંક્શનના ગુણાંકમાં ફેરવવું શક્ય છે? ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણી પાસે ઉત્પાદનમાં બે બહુપદી હોય, તો આપણે કૌંસ ખોલી શકીએ. પરંતુ વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તમામ કાર્યો અલગ છે: ડિગ્રી, ઘાતાંક અને લઘુગણક.

આવા કિસ્સાઓમાં તે જરૂરી છે અનુક્રમેઉત્પાદન તફાવત નિયમ લાગુ કરો બે વાર

યુક્તિ એ છે કે "y" દ્વારા આપણે બે કાર્યોનું ઉત્પાદન સૂચવીએ છીએ: , અને "ve" દ્વારા આપણે લઘુગણકને સૂચિત કરીએ છીએ: . આ કેમ કરી શકાય? તે ખરેખર છે - આ બે પરિબળોનું ઉત્પાદન નથી અને નિયમ કામ કરતું નથી?! ત્યાં કંઈ જટિલ નથી:

હવે બીજી વખત નિયમ લાગુ કરવાનો બાકી છે કૌંસ માટે:

તમે હજી પણ વિકૃત થઈ શકો છો અને કૌંસમાંથી કંઈક લઈ શકો છો, પરંતુ અંદર આ કિસ્સામાંઆ ફોર્મમાં જવાબ છોડવો વધુ સારું છે - તે તપાસવું વધુ સરળ રહેશે.

ગણવામાં આવેલ ઉદાહરણ બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે:

બંને ઉકેલો એકદમ સમાન છે.

ઉદાહરણ 5

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

આ એક સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, જે પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

ચાલો વિચાર કરીએ સમાન ઉદાહરણોઅપૂર્ણાંક સાથે.

ઉદાહરણ 6

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

તમે અહીં જઈ શકો તેવી ઘણી રીતો છે:

અથવા આની જેમ:

પરંતુ જો આપણે પ્રથમ ભાગના તફાવતના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ તો ઉકેલ વધુ સઘન રીતે લખવામાં આવશે , સમગ્ર અંશ માટે લેતા:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉદાહરણ હલ થઈ ગયું છે, અને જો તે છે તેમ છોડી દેવામાં આવે, તો તે ભૂલ હશે નહીં. પરંતુ જો તમારી પાસે સમય હોય, તો હંમેશા ડ્રાફ્ટ પર તપાસ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે કે શું જવાબ સરળ બનાવી શકાય છે? ચાલો અંશની અભિવ્યક્તિ ઘટાડીએ સામાન્ય છેદ ln 3x ચાલો ત્રણ માળના અપૂર્ણાંકથી છુટકારો મેળવીએ:

માઈનસ વધારાની સરળીકરણોતે છે કે વ્યુત્પન્ન શોધતી વખતે ભૂલ કરવાનું જોખમ નથી, પરંતુ મામૂલી શાળા પરિવર્તન દરમિયાન. બીજી બાજુ, શિક્ષકો ઘણીવાર સોંપણીને નકારી કાઢે છે અને વ્યુત્પન્નને "ધ્યાનમાં લાવવા" કહે છે.

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટેનું એક સરળ ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 7

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

અમે વ્યુત્પન્ન શોધવાની પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા મેળવવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ, અને હવે જ્યારે "ભયંકર" લઘુગણકને ભિન્નતા માટે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવે ત્યારે અમે એક લાક્ષણિક કેસને ધ્યાનમાં લઈશું.

ઉદાહરણ 8

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અહીં તમે લાંબા માર્ગે જઈ શકો છો:

પરંતુ પ્રથમ પગલું તરત જ તમને હતાશામાં ડૂબી જાય છે - તમારે અપ્રિય વ્યુત્પન્ન લેવું પડશે અપૂર્ણાંક શક્તિ, અને પછી અપૂર્ણાંકમાંથી પણ.

તેથી જ પહેલાં"આધુનિક" લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે લેવું, તે જાણીતી શાળા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ સરળ બનાવવામાં આવે છે:

! જો તમારી પાસે હાથ પર પ્રેક્ટિસ નોટબુક હોય, તો આ સૂત્રોની સીધી ત્યાં નકલ કરો. જો તમારી પાસે નોટબુક ન હોય, તો તેને કાગળના ટુકડા પર નકલ કરો, કારણ કે પાઠના બાકીના ઉદાહરણો આ સૂત્રોની આસપાસ ફરશે.

ઉકેલ પોતે આના જેવું કંઈક લખી શકાય છે:

ચાલો ફંક્શનને રૂપાંતરિત કરીએ:

વ્યુત્પન્ન શોધવું:

ફંક્શનને પૂર્વ-રૂપાંતરિત કરવાથી ઉકેલને ખૂબ જ સરળ બનાવવામાં આવ્યો છે. આમ, જ્યારે ભિન્નતા માટે સમાન લઘુગણકની દરખાસ્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેને હંમેશા "તોડવું" સલાહ આપવામાં આવે છે.

અને હવે તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટેના કેટલાક સરળ ઉદાહરણો:

ઉદાહરણ 9

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉદાહરણ 10

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

બધા પરિવર્તનો અને જવાબો પાઠના અંતે છે.

લઘુગણક વ્યુત્પન્ન

જો લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન એવું મધુર સંગીત છે, તો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું કેટલાક કિસ્સાઓમાં લઘુગણકને કૃત્રિમ રીતે ગોઠવવાનું શક્ય છે? કરી શકો છો! અને જરૂરી પણ.

ઉદાહરણ 11

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

અમે તાજેતરમાં સમાન ઉદાહરણો જોયા. શું કરવું? તમે અનુક્રમે ગુણાંકના ભિન્નતાના નિયમ અને પછી ઉત્પાદનના ભિન્નતાના નિયમને લાગુ કરી શકો છો. આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ છે કે તમે એક વિશાળ ત્રણ-માળના અપૂર્ણાંક સાથે સમાપ્ત કરો છો, જેની સાથે તમે બિલકુલ વ્યવહાર કરવા માંગતા નથી.

પરંતુ સિદ્ધાંત અને વ્યવહારમાં લઘુગણક વ્યુત્પન્ન જેવી અદ્ભુત વસ્તુ છે. લોગરીધમ્સને બંને બાજુએ "લટકાવી" દ્વારા કૃત્રિમ રીતે ગોઠવી શકાય છે:

હવે તમારે શક્ય તેટલું જમણી બાજુના લઘુગણકને "તૂટવાની" જરૂર છે (તમારી આંખોની સામે સૂત્રો?). હું આ પ્રક્રિયાનું વિગતવાર વર્ણન કરીશ:

ચાલો ભિન્નતા સાથે પ્રારંભ કરીએ.
ચાલો બંને ભાગો પૂર્ણ કરીએ:

જમણી બાજુનું વ્યુત્પન્ન તદ્દન સરળ છે, હું તેના પર ટિપ્પણી કરીશ નહીં, કારણ કે જો તમે આ લખાણ વાંચી રહ્યાં છો, તો તમે તેને આત્મવિશ્વાસથી હેન્ડલ કરી શકશો.

ડાબી બાજુ વિશે શું?

ડાબી બાજુએ આપણી પાસે છે જટિલ કાર્ય. હું પ્રશ્નની આગાહી કરું છું: "શા માટે, લોગરીધમ હેઠળ એક અક્ષર "Y" છે?"

હકીકત એ છે કે આ "એક અક્ષરની રમત" - પોતે જ એક કાર્ય છે(જો તે ખૂબ સ્પષ્ટ ન હોય તો, સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન લેખનો સંદર્ભ લો). તેથી, લઘુગણક એ બાહ્ય કાર્ય છે, અને "y" છે આંતરિક કાર્ય. અને આપણે જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ :

ડાબી બાજુએ, જાણે જાદુ દ્વારા જાદુઈ લાકડીઅમારી પાસે એક વ્યુત્પન્ન છે. આગળ, પ્રમાણના નિયમ અનુસાર, અમે "y" ને ડાબી બાજુના છેદમાંથી જમણી બાજુની ટોચ પર સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

અને હવે ચાલો યાદ કરીએ કે ભિન્નતા દરમિયાન આપણે કયા પ્રકારનાં “પ્લેયર”-ફંક્શન વિશે વાત કરી હતી? ચાલો સ્થિતિ જોઈએ:

અંતિમ જવાબ:

ઉદાહરણ 12

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. ઉદાહરણ ડિઝાઇન ઉદાહરણ આ પ્રકારનાપાઠના અંતે.

લઘુગણક વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને, ઉદાહરણ નંબર 4-7માંથી કોઈપણને ઉકેલવાનું શક્ય હતું, બીજી બાબત એ છે કે ત્યાંના કાર્યો સરળ છે, અને, કદાચ, લઘુગણક વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ ખૂબ ન્યાયી નથી.

પાવર-ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

અમે હજી સુધી આ કાર્યને ધ્યાનમાં લીધું નથી. પાવર-ઘાતાંકીય કાર્ય એ એક કાર્ય છે જેના માટે ડિગ્રી અને આધાર બંને "x" પર આધાર રાખે છે. ઉત્તમ ઉદાહરણ, જે તમને કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકમાં અથવા કોઈપણ વ્યાખ્યાનમાં આપવામાં આવશે:

પાવર-ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું?

ફક્ત ચર્ચા કરેલી તકનીકનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે - લઘુગણક વ્યુત્પન્ન. અમે બંને બાજુએ લઘુગણક લટકાવીએ છીએ:

નિયમ પ્રમાણે, જમણી બાજુએ લઘુગણકની નીચેથી ડિગ્રી લેવામાં આવે છે:

પરિણામે, જમણી બાજુએ અમારી પાસે બે કાર્યોનું ઉત્પાદન છે, જે દ્વારા અલગ પાડવામાં આવશે પ્રમાણભૂત સૂત્ર .

અમે આ કરવા માટે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ, અમે બંને ભાગોને સ્ટ્રોક હેઠળ બંધ કરીએ છીએ:

આગળનાં પગલાંસરળ છે:

છેલ્લે:

જો કોઈપણ રૂપાંતરણ સંપૂર્ણ રીતે સ્પષ્ટ ન હોય, તો કૃપા કરીને ઉદાહરણ #11 ના સ્પષ્ટીકરણો કાળજીપૂર્વક ફરીથી વાંચો.

IN વ્યવહારુ કાર્યોલેક્ચરમાં ચર્ચા કરવામાં આવેલ ઉદાહરણ કરતાં પાવર-ઘાતાંકીય કાર્ય હંમેશા વધુ જટિલ હશે.

ઉદાહરણ 13

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

અમે લોગરીધમિક ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

જમણી બાજુએ આપણી પાસે સતત અને બે પરિબળોનું ઉત્પાદન છે - “x” અને “લૉગરિધમ x નો લોગરિધમ” (બીજો લઘુગણક લઘુગણક હેઠળ નેસ્ટ થયેલ છે). ભિન્નતા કરતી વખતે, જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, સતતને વ્યુત્પન્ન ચિહ્નમાંથી તરત જ ખસેડવું વધુ સારું છે જેથી તે માર્ગમાં ન આવે; અને, અલબત્ત, અમે પરિચિત નિયમ લાગુ કરીએ છીએ :

જેમ તમે જોઈ શકો છો, લઘુગણક વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવા માટેના અલ્ગોરિધમમાં કોઈ ખાસ યુક્તિઓ અથવા યુક્તિઓ હોતી નથી, અને પાવર-ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવું સામાન્ય રીતે "યાતના" સાથે સંકળાયેલું નથી.

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.

વ્યુત્પન્નને દલીલની વૃદ્ધિ અને વૃદ્ધિના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નહીં) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓને ઉકેલવાના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક દેખાયું અને બરાબર ચોક્કસ નિયમોતફાવત ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.

તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેનો અલ્ગોરિધમ યોગ્ય છે.

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. વધુ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રાથમિક કાર્યોઅમે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ ભિન્નતાના નિયમોમાં છે. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમો પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.

ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "X" નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે તફાવત કરીએ છીએ જેમાં બીજા શબ્દમાં સ્થિર પરિબળ હોય છે તે વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે અંગે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉદ્ભવતા હોય, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને ભેદભાવના સરળ નિયમો સાથે પરિચિત થયા પછી સાફ થઈ જાય છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.

સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે
2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આને લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે
3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.
4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન
5. વર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન
6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન
7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન
8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન
9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન
11. આર્કોસીનનું વ્યુત્પન્ન
12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન
15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન
17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતાના નિયમો

1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન
2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન
2a. અચલ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન
3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન
4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

નિયમ 1.જો કાર્યો

અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એક જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે

અને

તે વિધેયોના બીજગણિત સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે બીજગણિતીય સરવાળોઆ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ.

પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે

નિયમ 2.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે

અને

તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

કોરોલરી 1. સતત ગુણકવ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:

નિયમ 3.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને

તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ

અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી

જ્યારે ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને તેમાંનો ભાગ શોધો વાસ્તવિક સમસ્યાઓતેથી, એકસાથે ઘણા ભિન્નતા નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે વધુ ઉદાહરણોઆ ડેરિવેટિવ્ઝ માટે - લેખમાં"ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".

ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે ​​​​કે સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને સતત પરિબળના કિસ્સામાં, તે વ્યુત્પન્નતાની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિક ભૂલ, જે પર થાય છે પ્રારંભિક તબક્કોડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરે છે, પરંતુ જેમ જેમ તેઓ ઘણા એક- અને બે-ભાગના ઉદાહરણો ઉકેલે છે, સરેરાશ વિદ્યાર્થી હવે આ ભૂલ કરતો નથી.

અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસ ઉદાહરણ 10 માં ચર્ચા કરવામાં આવ્યો છે).

અન્ય સામાન્ય ભૂલ - યાંત્રિક ઉકેલસરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. તેથી જ જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું સરળ કાર્યો.

રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓ ln 3x અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .

જો તમે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના ઉકેલો શોધી રહ્યા હોવ તો પાવર અને મૂળ સાથે, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે , પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.

જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે , પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું

ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:

આગળ, અમે સરવાળાના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમને મળે છે નીચેના મૂલ્યોડેરિવેટિવ્ઝ:

અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આપણે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:

આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:

જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, , પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .

જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્યના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય તો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, એટલે કે, જ્યારે ફંક્શન જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .

ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. ઉત્પાદનના તફાવતના નિયમ અનુસાર અને કોષ્ટક મૂલ્યવર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન આપણને મળે છે:

ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોના ભિન્નતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

અંશમાં અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરો.

આ પાઠમાં આપણે ભિન્નતાના સૂત્રો અને નિયમો લાગુ કરવાનું શીખીશું.

ઉદાહરણો. કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. નિયમ લાગુ કરવો આઈ, સૂત્રો 4, 2 અને 1. અમને મળે છે:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. અમે સમાન સૂત્રો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમાન રીતે હલ કરીએ છીએ 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

નિયમ લાગુ કરવો આઈ, સૂત્રો 3, 5 ln 3x 6 ln 3x 1.

નિયમ લાગુ કરવો IV, સૂત્રો 5 ln 3x 1 .

પાંચમા ઉદાહરણમાં, નિયમ મુજબ આઈસરવાળોનું વ્યુત્પન્ન એ ડેરિવેટિવ્સના સરવાળા જેટલું છે, અને અમને હમણાં જ 1 લી શબ્દનું વ્યુત્પન્ન મળ્યું છે (ઉદાહરણ 4 ), તેથી, આપણે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીશું 2જીઅને 3જીશરતો, અને 1 લી માટે summand અમે તરત જ પરિણામ લખી શકીએ છીએ.

ચાલો તફાવત કરીએ 2જી ln 3x 3જીસૂત્ર અનુસાર શરતો 4 . આ કરવા માટે, આપણે છેદમાં ત્રીજી અને ચોથી શક્તિઓના મૂળને c ની શક્તિઓમાં પરિવર્તિત કરીએ છીએ. નકારાત્મક સૂચકાંકો, અને પછી, દ્વારા 4 સૂત્ર, આપણે શક્તિઓના વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.

જુઓ આ ઉદાહરણઅને પરિણામ પ્રાપ્ત થયું. શું તમે પેટર્ન પકડી? દંડ. આનો અર્થ એ કે અમને મળ્યું નવું સૂત્રઅને અમે તેને અમારા ડેરિવેટિવ્સ ટેબલમાં ઉમેરી શકીએ છીએ.

ચાલો છઠ્ઠું ઉદાહરણ ઉકેલીએ અને બીજું સૂત્ર મેળવીએ.

ચાલો નિયમનો ઉપયોગ કરીએ IVઅને સૂત્ર 4 . ચાલો પરિણામી અપૂર્ણાંકોને ઘટાડીએ.

ચાલો જોઈએ આ કાર્યઅને તેનું વ્યુત્પન્ન. તમે, અલબત્ત, પેટર્નને સમજો છો અને સૂત્રને નામ આપવા માટે તૈયાર છો:

નવા સૂત્રો શીખવા!

ઉદાહરણો.

1. દલીલનો વધારો અને કાર્ય y= ની વૃદ્ધિ શોધો x 2, જો પ્રારંભિક મૂલ્યદલીલ સમાન હતી 4 , અને નવું - 4,01 .

ઉકેલ.

નવી દલીલ મૂલ્ય x=x 0 +Δx. ચાલો ડેટાને બદલીએ: 4.01=4+Δx, તેથી દલીલનો વધારો Δх=4.01-4=0.01. ફંક્શનનો વધારો, વ્યાખ્યા દ્વારા, ફંક્શનના નવા અને અગાઉના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે, એટલે કે. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). કારણ કે અમારી પાસે એક કાર્ય છે y=x2, તે Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

જવાબ: દલીલમાં વધારો Δх=0.01; કાર્ય વધારો Δу=0,0801.

ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટ અલગ રીતે શોધી શકાય છે: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ શોધો y=f(x)બિંદુ પર x 0, જો f "(x 0) = 1.

ઉકેલ.

સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય x 0અને સ્પર્શકોણના સ્પર્શકનું મૂલ્ય છે ( ભૌમિતિક અર્થવ્યુત્પન્ન). અમારી પાસે છે: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,કારણ કે tg45°=1.

જવાબ: આ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એક ખૂણો બનાવે છે જેની બરાબર ઓક્સ અક્ષની હકારાત્મક દિશા હોય છે. 45°.

3. ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર મેળવો y=xn.

ભિન્નતાફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની ક્રિયા છે.

ડેરિવેટિવ્ઝ શોધતી વખતે, વ્યુત્પન્નતાની વ્યાખ્યાના આધારે વ્યુત્પન્ન થયેલા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો, જેમ આપણે વ્યુત્પન્ન ડિગ્રી માટે સૂત્ર મેળવ્યું છે તે રીતે: (x n)" = nx n-1.

આ સૂત્રો છે.

ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટકમૌખિક ફોર્મ્યુલેશનનો ઉચ્ચારણ કરીને યાદ રાખવું સરળ બનશે:

1. વ્યુત્પન્ન સતત મૂલ્યશૂન્ય બરાબર.

2. X પ્રાઇમ એક બરાબર છે.

3. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

4. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન સમાન આધાર સાથે ડિગ્રી દ્વારા આ ડિગ્રીના ઘાતાંકના ગુણાંક જેટલું છે, પરંતુ ઘાત એક ઓછું છે.

5. મૂળનું વ્યુત્પન્ન બે સમાન મૂળ વડે એક ભાગ્યા બરાબર છે.

6. એક ભાગ્યા xનું વ્યુત્પન્ન એટલે માઈનસ વન ભાગ્યા x વર્ગના બરાબર.

7. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન જેટલું છે.

8. કોસાઈનનું વ્યુત્પન્ન માઈનસ સાઈન બરાબર છે.

9. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા વિભાજિત એક સમાન છે.

10. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન સાઈનના વર્ગ દ્વારા ભાગ્યા ઓછા એકના બરાબર છે.

અમે શીખવીએ છીએ તફાવત નિયમો.

1. બીજગણિતીય સરવાળોનું વ્યુત્પન્ન એ શરતોના વ્યુત્પન્નોના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે.

2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન એ પ્રથમ પરિબળના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને બીજા વત્તા પ્રથમ પરિબળના ઉત્પાદન અને બીજાના વ્યુત્પન્નના ગુણાંક જેટલું છે.

3. “y” નું વ્યુત્પન્ન “ve” વડે વિભાજિત એ અપૂર્ણાંક સમાન છે જેમાં અંશ “y અવિભાજ્ય ગુણ્યા “ve” ઓછા “y અવિભાજ્ય ગુણ્યા ve પ્રાઇમ” છે, અને છેદ “ve વર્ગ” છે.

4. ખાસ કેસસૂત્રો 3.

ચાલો સાથે શીખીએ!

પૃષ્ઠ 1 માંથી 1 1