એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની ત્રણ વ્યાખ્યાઓ. સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કેવી રીતે કરવી? એક બિંદુ પર અને અંતરાલ પર કાર્યની સાતત્ય

વ્યાખ્યા.કાર્ય y = f(x) ને બિંદુ x0 અને તેના કેટલાક પડોશ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ફંક્શન y = f(x) કહેવાય છે બિંદુ x0 પર સતત, જો:

1. અસ્તિત્વમાં છે
2. આ મર્યાદા મૂલ્યની સમાનબિંદુ x0 પર કાર્યો:

મર્યાદાને વ્યાખ્યાયિત કરતી વખતે, એ વાત પર ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો કે f(x) બિંદુ x0 પર વ્યાખ્યાયિત ન થઈ શકે, અને જો તે આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો f(x0) નું મૂલ્ય મર્યાદા નક્કી કરવામાં કોઈપણ રીતે ભાગ લેતું નથી. સાતત્ય નક્કી કરતી વખતે, તે મૂળભૂત છે કે f(x0) અસ્તિત્વમાં છે, અને આ મૂલ્ય lim f(x) ની બરાબર હોવું જોઈએ.

વ્યાખ્યા.કાર્ય y = f(x) ને બિંદુ x0 અને તેના કેટલાક પડોશ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ફંકશન f(x) એ બિંદુ x0 પર સતત કહેવાય છે જો બધા ε>0 માટે ધન સંખ્યા δ હોય જેમ કે તમામ x માટે બિંદુ x0 (એટલે કે |x-x0|
અહીં તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે કે મર્યાદાનું મૂલ્ય f(x0) ની બરાબર હોવું જોઈએ, તેથી, મર્યાદાની વ્યાખ્યાની તુલનામાં, δ-નેબરહુડ 0 ના પંચરની સ્થિતિ દૂર કરવામાં આવે છે.
ચાલો ઇન્ક્રીમેન્ટના સંદર્ભમાં વધુ એક (અગાઉની સમકક્ષ) વ્યાખ્યા આપીએ. ચાલો Δх = x - x0 દર્શાવીએ; આપણે આ મૂલ્યને દલીલની વૃદ્ધિ કહીશું. ત્યારથી x->x0, પછી Δx->0, એટલે કે Δx - b.m. (અનંત) જથ્થો. ચાલો Δу = f(x)-f(x0) દર્શાવીએ, આપણે આ મૂલ્યને ફંક્શનની વૃદ્ધિ કહીશું, કારણ કે |Δу| (પર્યાપ્ત નાના માટે |Δх|) એક મનસ્વી સંખ્યા ε>0 કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ, પછી Δу- પણ b.m છે. મૂલ્ય, તેથી

વ્યાખ્યા.કાર્ય y = f(x) ને બિંદુ x0 અને તેના કેટલાક પડોશ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ફંક્શન f(x) કહેવાય છે બિંદુ x0 પર સતત, જો દલીલમાં અમર્યાદિત વધારો કાર્યમાં અમર્યાદિત વૃદ્ધિને અનુરૂપ હોય.

વ્યાખ્યા.ફંક્શન f(x), જે બિંદુ x0 પર સતત નથી, અવ્યવસ્થિત કહેવાય છેઆ બિંદુએ.

વ્યાખ્યા.ફંક્શન f(x)ને સેટ X પર સતત કહેવામાં આવે છે જો તે આ સમૂહના દરેક બિંદુ પર સતત હોય.

સરવાળો, ઉત્પાદન, ભાગની સાતત્ય પર પ્રમેય

સતત કાર્યની નિશાની હેઠળ મર્યાદા સુધી પેસેજ પર પ્રમેય

સુપરપોઝિશન સાતત્ય પ્રમેય સતત કાર્યો

ફંક્શન f(x) ને અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને આ અંતરાલ પર એકવિધ બનો. પછી f(x) પાસે આ સેગમેન્ટ પર પ્રથમ પ્રકારના માત્ર વિરામ બિંદુઓ હોઈ શકે છે.

મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય.જો ફંક્શન f(x) સેગમેન્ટ પર સતત હોય અને બે બિંદુઓ પર a અને b (a b કરતાં ઓછું હોય) અસમાન મૂલ્યો લે A = f(a) ≠ B = f(b), તો કોઈપણ સંખ્યા C માટે A અને B ની વચ્ચે એક બિંદુ c ∈ છે જેના પર ફંક્શનની કિંમત C: f(c) = C ની બરાબર છે.

અંતરાલ પર સતત કાર્યની સીમા પર પ્રમેય.જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય, તો તે આ અંતરાલ પર બંધાયેલ છે.

ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચવા પર પ્રમેય.જો ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય, તો તે આ અંતરાલ પર તેની નીચલા અને ઉપરની સીમા સુધી પહોંચે છે.

સાતત્ય પ્રમેય વ્યસ્ત કાર્ય. ફંક્શન y=f(x) ને અંતરાલ [a,b] પર સતત અને સખત રીતે વધતું (ઘટતું) રહેવા દો. પછી સેગમેન્ટ પર એક વ્યસ્ત ફંક્શન x = g(y) છે, તે પણ એકવિધ રીતે વધતું (ઘટતું) ચાલુ અને સતત.

એક બિંદુ પર સાતત્ય માટે કાર્યનો અભ્યાસ પહેલેથી જ સ્થાપિત નિયમિત યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાં તપાસનો સમાવેશ થાય છે. ત્રણ શરતોસાતત્ય

ઉદાહરણ 1

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

ઉકેલ:

1) કાર્યક્ષેત્રમાં એકમાત્ર બિંદુ એ છે જ્યાં કાર્ય વ્યાખ્યાયિત નથી.

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને સમાન છે.

આમ, બિંદુ પર કાર્ય દૂર કરી શકાય તેવી વિરામનો ભોગ બને છે.

આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે?

હું સરળ બનાવવા માંગુ છું , અને એવું લાગે છે કે એક સામાન્ય પેરાબોલા પ્રાપ્ત થાય છે. પરંતુમૂળ કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી નીચેની કલમ જરૂરી છે:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે દૂર કરી શકાય તેવી વિરામનો ભોગ બને છે.

કાર્યને વધુ સારી રીતે અથવા એટલી સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ સ્થિતિ અનુસાર આ જરૂરી નથી.

તમે કહો છો કે આ એક દૂરનું ઉદાહરણ છે? બિલકુલ નહિ. વ્યવહારમાં આવું ડઝનેક વખત બન્યું છે. સાઇટના લગભગ તમામ કાર્યો વાસ્તવિક સ્વતંત્ર કાર્ય અને પરીક્ષણોમાંથી આવે છે.

ચાલો અમારા મનપસંદ મોડ્યુલોથી છૂટકારો મેળવીએ:

ઉદાહરણ 2

અન્વેષણ કાર્ય સાતત્ય માટે. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

ઉકેલ: કેટલાક કારણોસર, વિદ્યાર્થીઓ ડરતા હોય છે અને મોડ્યુલ સાથેના કાર્યોને પસંદ કરતા નથી, જો કે તેમાં કંઈ જટિલ નથી. અમે પાઠમાં આવી વસ્તુઓ પર થોડો સ્પર્શ કર્યો છે. ભૌમિતિક પરિવર્તનોઆલેખ. મોડ્યુલ બિન-નકારાત્મક હોવાથી, તે નીચે પ્રમાણે વિસ્તૃત થયેલ છે: , જ્યાં "આલ્ફા" અમુક અભિવ્યક્તિ છે. IN આ કિસ્સામાં, અને અમારું કાર્ય ભાગરૂપે લખવું જોઈએ:

પરંતુ બંને ટુકડાઓના અપૂર્ણાંકો દ્વારા ઘટાડવું આવશ્યક છે. ઘટાડો, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, પરિણામો વિના થશે નહીં. મૂળ કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે છેદ શૂન્ય પર જાય છે. તેથી, સિસ્ટમે વધુમાં શરતનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ અને પ્રથમ અસમાનતાને કડક બનાવવી જોઈએ:

હવે ખૂબ વિશે ઉપયોગી સ્વાગતઉકેલો: ડ્રાફ્ટ પર કાર્યને અંતિમ સ્વરૂપ આપતા પહેલા, ચિત્ર બનાવવાનું ફાયદાકારક છે (પછી ભલે તે શરતો દ્વારા જરૂરી હોય કે નહીં). આનાથી, પ્રથમ, સાતત્યના બિંદુઓ અને વિરામના બિંદુઓ તરત જ જોવામાં મદદ મળશે, અને, બીજું, તે એકતરફી મર્યાદા શોધતી વખતે તમને ભૂલોથી 100% સુરક્ષિત કરશે.

ચાલો ડ્રોઈંગ કરીએ. અમારી ગણતરીઓ અનુસાર, બિંદુની ડાબી બાજુએ પેરાબોલાનો ટુકડો દોરવો જરૂરી છે ( વાદળી), અને જમણી બાજુએ પેરાબોલા (લાલ) નો ટુકડો છે, જ્યારે કાર્ય બિંદુ પર જ વ્યાખ્યાયિત નથી:

જો શંકા હોય તો, થોડા x મૂલ્યો લો અને તેમને ફંક્શનમાં પ્લગ કરો (યાદ રાખીને કે મોડ્યુલ સંભવિત માઈનસ ચિહ્નનો નાશ કરે છે) અને ગ્રાફ તપાસો.

ચાલો વિશ્લેષણાત્મક રીતે સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરીએ:

1) કાર્ય બિંદુ પર નિર્ધારિત નથી, તેથી આપણે તરત જ કહી શકીએ કે તે તેના પર સતત નથી.

2) ચાલો વિરામની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરીએ, આ કરવા માટે, અમે એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ:

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે. નોંધ કરો કે બ્રેક પોઈન્ટ પરનું કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે નહીં તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

હવે જે બાકી છે તે ડ્રાફ્ટમાંથી ડ્રોઇંગને સ્થાનાંતરિત કરવાનું છે (તે સંશોધનની મદદથી બનાવવામાં આવ્યું હતું ;-)) અને કાર્ય પૂર્ણ કરો:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

કેટલીકવાર તેમને અસંતુલિત કૂદકાના વધારાના સંકેતની જરૂર હોય છે. તે સરળ રીતે ગણવામાં આવે છે - જમણી મર્યાદામાંથી તમારે ડાબી મર્યાદાને બાદ કરવાની જરૂર છે: , એટલે કે, વિરામ બિંદુ પર અમારું કાર્ય 2 એકમ નીચે ગયું (જેમ કે માઈનસ ચિહ્ન અમને કહે છે).

ઉદાહરણ 3

અન્વેષણ કાર્ય સાતત્ય માટે. જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો ફંક્શન ડિસઓન્ટિન્યુટીઝની પ્રકૃતિ નક્કી કરો. એક ચિત્ર બનાવો.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય, અંદાજિત નમૂનાપાઠના અંતે ઉકેલો.

ચાલો કાર્યના સૌથી લોકપ્રિય અને વ્યાપક સંસ્કરણ પર આગળ વધીએ, જ્યારે કાર્યમાં ત્રણ ભાગો હોય છે:

ઉદાહરણ 4

સાતત્ય માટે ફંક્શનની તપાસ કરો અને ફંક્શનનો આલેખ બનાવો

ઉકેલ: તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના ત્રણેય ભાગો અનુરૂપ અંતરાલો પર સતત છે, તેથી તે ટુકડાઓ વચ્ચે "જંકશન" ના ફક્ત બે બિંદુઓને તપાસવાનું બાકી છે. પ્રથમ, ચાલો એક ડ્રાફ્ટ ડ્રોઇંગ બનાવીએ; મેં લેખના પહેલા ભાગમાં પૂરતી વિગતમાં બાંધકામ તકનીક પર ટિપ્પણી કરી. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આપણે કાળજીપૂર્વક અમારા એકવચન બિંદુઓને અનુસરવાની જરૂર છે: અસમાનતાને લીધે, મૂલ્ય સીધી રેખા ( લીલો બિંદુ), અને અસમાનતાને લીધે, મૂલ્ય પેરાબોલા (લાલ બિંદુ) નું છે:

સારું, સૈદ્ધાંતિક રીતે, બધું સ્પષ્ટ છે =) જે બાકી છે તે નિર્ણયને ઔપચારિક બનાવવાનું છે. બે "સંયુક્ત" બિંદુઓમાંથી પ્રત્યેક માટે, અમે પ્રમાણભૂત રીતે 3 સાતત્ય શરતો તપાસીએ છીએ:

હું)

એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

ચાલો જમણી અને ડાબી મર્યાદા વચ્ચેના તફાવત તરીકે અસંતુલિત કૂદકાની ગણતરી કરીએ:
, એટલે કે, ગ્રાફ એક એકમ ઉપર ધક્કો માર્યો.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

- એકતરફી મર્યાદાઓ મર્યાદિત અને સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

અંતિમ તબક્કે, અમે ડ્રોઇંગને અંતિમ સંસ્કરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, ત્યારબાદ અમે અંતિમ તાર મૂકીએ છીએ:

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત રહે છે, તે બિંદુ સિવાય કે જ્યાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

ઉદાહરણ 5

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો .

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો, ટૂંકા ઉકેલઅને પાઠના અંતે કાર્યનો અંદાજિત નમૂનો.

કોઈ એવી છાપ મેળવી શકે છે કે એક તબક્કે કાર્ય સતત હોવું જોઈએ, અને બીજા સમયે વિરામ હોવો જોઈએ. વ્યવહારમાં, આ હંમેશા કેસ નથી. બાકીના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો - ત્યાં ઘણી રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ સુવિધાઓ હશે:

ઉદાહરણ 6

એક ફંકશન આપ્યું . પોઈન્ટ પર સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. એક ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ: અને ફરીથી તરત જ ડ્રાફ્ટ પર ડ્રોઇંગ ચલાવો:

વિલક્ષણતા આ શેડ્યૂલનીતે છે જ્યારે ભાગ પ્રમાણે કાર્ય x-અક્ષના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિસ્તાર અહીં દોરવામાં આવ્યો છે લીલો, અને નોટબુકમાં તે સામાન્ય રીતે સરળ પેન્સિલ વડે બોલ્ડમાં પ્રકાશિત થાય છે. અને, અલબત્ત, અમારા રેમ્સ વિશે ભૂલશો નહીં: મૂલ્ય સ્પર્શક શાખા (લાલ બિંદુ) નું છે, અને મૂલ્ય સીધી રેખા સાથે સંબંધિત છે.

ડ્રોઇંગમાંથી બધું સ્પષ્ટ છે - ફંક્શન આખી નંબર લાઇન સાથે સતત છે, જે બાકી છે તે ઉકેલને ઔપચારિક બનાવવાનું છે, જે 3-4 સમાન ઉદાહરણો પછી શાબ્દિક રીતે સંપૂર્ણ ઓટોમેશનમાં લાવવામાં આવે છે:

હું)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય મર્યાદા છે.

અહીં થોડી રમુજી વાત બની. હકીકત એ છે કે મેં ઘણી બધી સામગ્રી બનાવી છે કાર્યની મર્યાદાઓ વિશે, અને ઘણી વખત હું ઇચ્છતો હતો, પરંતુ ઘણી વખત હું એક વિશે ભૂલી ગયો સરળ પ્રશ્ન. અને તેથી, ઇચ્છાશક્તિના અવિશ્વસનીય પ્રયાસ સાથે, મેં મારી જાતને વિચાર ન ગુમાવવા દબાણ કર્યું =) સંભવતઃ, કેટલાક "ડમી" વાચકો શંકા કરે છે: શા માટે સમાન મર્યાદાસ્થિરાંકો?અચલની મર્યાદા અચલની જ છે. આ કિસ્સામાં, શૂન્યની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે (ડાબા હાથની મર્યાદા).

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

આમ, એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર કાર્ય સતત છે.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

અને અહીં, જમણી બાજુની મર્યાદામાં, એકતાની મર્યાદા પોતે એકતા સમાન છે.

- એક સામાન્ય મર્યાદા છે.

3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.

આમ, એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા દ્વારા એક બિંદુ પર કાર્ય સતત છે.

હંમેશની જેમ, સંશોધન પછી અમે અમારા ડ્રોઇંગને અંતિમ સંસ્કરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ.

જવાબ આપો: કાર્ય બિંદુઓ પર સતત છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે શરતમાં અમને સાતત્ય માટે સમગ્ર કાર્યનો અભ્યાસ કરવા વિશે કંઈપણ પૂછવામાં આવ્યું ન હતું, અને તે ઘડવાનું સારું ગાણિતિક સ્વરૂપ માનવામાં આવે છે. ચોક્કસ અને સ્પષ્ટપૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ. માર્ગ દ્વારા, જો પરિસ્થિતિઓમાં તમારે ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર નથી, તો તમને તે ન બનાવવાનો સંપૂર્ણ અધિકાર છે (જોકે પછીથી શિક્ષક તમને આ કરવા દબાણ કરી શકે છે).

તેને જાતે હલ કરવા માટે એક નાનું ગાણિતિક "જીભ ટ્વિસ્ટર":

ઉદાહરણ 7

એક ફંકશન આપ્યું .

પોઈન્ટ પર સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો. બ્રેકપોઈન્ટનું વર્ગીકરણ કરો, જો કોઈ હોય તો. ડ્રોઇંગ ચલાવો.

બધા "શબ્દો" ને યોગ્ય રીતે "ઉચ્ચારણ" કરવાનો પ્રયાસ કરો =) અને ગ્રાફને વધુ ચોક્કસ, ચોકસાઈથી દોરો, તે દરેક જગ્યાએ અનાવશ્યક રહેશે નહીં;-)

જેમ તમને યાદ છે, મેં તરત જ ડ્રાફ્ટ તરીકે ડ્રોઇંગ પૂર્ણ કરવાની ભલામણ કરી હતી, પરંતુ સમયાંતરે તમે એવા ઉદાહરણો જુઓ છો જ્યાં તમે તરત જ આકૃતિ કેવો દેખાય છે તે સમજી શકતા નથી. તેથી, સંખ્યાબંધ કેસોમાં, પ્રથમ એકતરફી મર્યાદા શોધવાનું ફાયદાકારક છે અને તે પછી જ, અભ્યાસના આધારે, શાખાઓનું નિરૂપણ કરવું. બે માં અંતિમ ઉદાહરણોવધુમાં, અમે કેટલીક એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરવાની તકનીકમાં નિપુણતા મેળવીશું:

ઉદાહરણ 8

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને તેનો યોજનાકીય ગ્રાફ બનાવો.

ઉકેલ: ખરાબ બિંદુઓ સ્પષ્ટ છે: (ઘાતના છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે) અને (સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંકના છેદને શૂન્ય સુધી ઘટાડે છે). આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે સ્પષ્ટ નથી, જેનો અર્થ છે કે પહેલા કેટલાક સંશોધન કરવું વધુ સારું છે:

હું)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

2) એકતરફી મર્યાદા શોધો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો એકતરફી મર્યાદાની ગણતરી કરવા માટેની લાક્ષણિક પદ્ધતિ: "x" ને બદલે આપણે બદલીએ છીએ. છેદમાં કોઈ ગુનો નથી: "ઉમેરો" "માઈનસ શૂન્ય" ભૂમિકા ભજવતો નથી, અને પરિણામ "ચાર" છે. પરંતુ અંશમાં થોડું રોમાંચક ચાલી રહ્યું છે: પ્રથમ આપણે સૂચકના છેદમાં -1 અને 1 ને મારીએ છીએ, પરિણામે . દ્વારા વિભાજિત એકમ , "માઈનસ અનંત" ની બરાબર છે, તેથી: . અને અંતે, "બે" માં અનંત વિશાળ નકારાત્મક ડિગ્રી શૂન્યની બરાબર: . અથવા, વધુ ચોક્કસ થવા માટે: .

ચાલો જમણી બાજુની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ:

અને અહીં - "X" ને બદલે આપણે બદલીએ છીએ. છેદમાં, "એડિટિવ" ફરીથી ભૂમિકા ભજવતું નથી: . અંશમાં, અગાઉની મર્યાદા જેવી જ ક્રિયાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે: અમે નાશ કરીએ છીએ વિરોધી સંખ્યાઓઅને એક વડે વિભાજીત કરો :

જમણી બાજુની મર્યાદા અનંત છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય બિંદુ પર 2જી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

II)અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) કાર્ય આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ નથી.

2) ચાલો ડાબી બાજુની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ:

પદ્ધતિ સમાન છે: આપણે ફંક્શનમાં "X" ને બદલીએ છીએ. અંશમાં કંઈ રસપ્રદ નથી - તે એક મર્યાદિત હકારાત્મક સંખ્યા હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અને છેદમાં આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ, "ત્રણ" દૂર કરીએ છીએ, અને નિર્ણાયક ભૂમિકા"એડિટિવ" નાટકો.

પરિણામે, અંતિમ હકારાત્મક સંખ્યા વડે ભાગ્યા અનંત હકારાત્મક સંખ્યા, "વત્તા અનંત" આપે છે: .

જમણી બાજુની મર્યાદા જોડિયા ભાઈ જેવી છે, એકમાત્ર અપવાદ સિવાય કે તે છેદમાં દેખાય છે અનંત નકારાત્મક સંખ્યા:

એકતરફી મર્યાદા અનંત છે, જેનો અર્થ છે કે કાર્ય બિંદુ પર 2જી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે.

આમ, આપણી પાસે બે વિરામ બિંદુઓ છે, અને, દેખીતી રીતે, ગ્રાફની ત્રણ શાખાઓ. દરેક શાખા માટે તે હાથ ધરવા માટે સલાહ આપવામાં આવે છે બિંદુવાર બાંધકામ, એટલે કે ઘણા "x" મૂલ્યો લો અને તેને માં બદલો. નોંધ કરો કે સ્થિતિ યોજનાકીય રેખાંકન બનાવવાની મંજૂરી આપે છે, અને આવી છૂટછાટ કુદરતી છે સ્વયં બનાવેલ. હું પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ બનાવું છું, તેથી મને આવી મુશ્કેલીઓ નથી, અહીં એકદમ સચોટ ચિત્ર છે:

પ્રત્યક્ષ છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ આ કાર્યના ગ્રાફ માટે.

જવાબ આપો: ફંક્શન સમગ્ર નંબર લાઇન પર સતત રહે છે, સિવાય કે તે પોઈન્ટ કે જેના પર તે 2જી પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે.

વધુ સરળ કાર્યસ્વતંત્ર ઉકેલ માટે:

ઉદાહરણ 9

સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરો અને યોજનાકીય ચિત્ર બનાવો.

અંતમાં અંદાજિત નમૂનાનું સોલ્યુશન જે કોઈનું ધ્યાન ગયું નથી.

ટૂંક સમયમાં મળીશું!

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 3:ઉકેલ : કાર્યને રૂપાંતરિત કરો: . મોડ્યુલ ડિસ્ક્લોઝર નિયમને ધ્યાનમાં લેતા અને હકીકત એ છે કે , અમે ફંક્શનને ટુકડા સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

ચાલો સાતત્ય માટે કાર્યની તપાસ કરીએ.

1) કાર્ય બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત નથી .

એકતરફી મર્યાદા મર્યાદિત અને ભિન્ન છે, જેનો અર્થ એ થાય છે કે બિંદુ પર કૂદકા સાથે ફંક્શન 1લી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે. . ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

જવાબ આપો: બિંદુ સિવાય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર કાર્ય સતત છે , જેમાં તે કૂદકા સાથે પ્રથમ પ્રકારની વિરામનો ભોગ બને છે. જમ્પ ગેપ: (બે એકમો ઉપર).

ઉદાહરણ 5:ઉકેલ : દરેક ત્રણ ભાગોકાર્ય તેના અંતરાલ પર સતત છે.
હું)
1)

2) ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય મર્યાદા છે.
3) - એક બિંદુ પર ફંક્શનની મર્યાદા આપેલ બિંદુ પર આ ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે.
તેથી કાર્ય એક બિંદુ પર સતત એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યને વ્યાખ્યાયિત કરીને.
II) અમે સાતત્ય માટે બિંદુની તપાસ કરીએ છીએ

1) - કાર્ય આપેલ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કાર્ય બિંદુ પર 2જી પ્રકારનું વિરામ ભોગવે છે

ફંક્શનનું ડોમેન કેવી રીતે શોધવું?

ઉકેલોના ઉદાહરણો

જો કંઈક ક્યાંક ખૂટે છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે ક્યાંક કંઈક છે

અમે "કાર્યો અને આલેખ" વિભાગનો અમારો અભ્યાસ ચાલુ રાખીએ છીએ, અને અમારી મુસાફરીનું આગલું સ્ટેશન છે કાર્ય ડોમેન. સક્રિય ચર્ચા આ ખ્યાલપ્રથમ પાઠમાં શરૂ કર્યું કાર્ય ગ્રાફ વિશેજ્યાં મેં સમીક્ષા કરી પ્રાથમિક કાર્યો, અને, ખાસ કરીને, તેમની વ્યાખ્યાના ડોમેન. તેથી, હું ભલામણ કરું છું કે ડમી વિષયની મૂળભૂત બાબતોથી પ્રારંભ કરો, કારણ કે હું કેટલાક મૂળભૂત મુદ્દાઓ પર ફરીથી ધ્યાન આપીશ નહીં.

એવું માનવામાં આવે છે કે વાચક મુખ્ય કાર્યોની વ્યાખ્યાના ડોમેન્સ જાણે છે: રેખીય, ચતુર્ભુજ, ઘન કાર્ય, બહુપદી, ઘાતાંક, લઘુગણક, સાઈન, કોસાઈન. તેઓ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ટેન્જેન્ટ્સ, આર્ક્સાઇન્સ માટે, તેથી તે બનો, હું તમને માફ કરું છું =) દુર્લભ આલેખ તરત જ યાદ નથી.

વ્યાખ્યાનો અવકાશ એક સરળ વસ્તુ લાગે છે, અને એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: લેખ શેના વિશે હશે? ચાલુ આ પાઠહું ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેન શોધવાની સામાન્ય સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીશ. વધુમાં, અમે પુનરાવર્તન કરીશું એક ચલ સાથે અસમાનતા, જેમાંથી ઉકેલની કુશળતા અન્ય કાર્યોમાં જરૂરી રહેશે ઉચ્ચ ગણિત. સામગ્રી, માર્ગ દ્વારા, બધી શાળા સામગ્રી છે, તેથી તે માત્ર વિદ્યાર્થીઓ માટે જ નહીં, પણ વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ ઉપયોગી થશે. માહિતી, અલબત્ત, જ્ઞાનકોશીય હોવાનો ડોળ કરતી નથી, પરંતુ અહીં દૂરના "મૃત" ઉદાહરણો નથી, પરંતુ શેકેલા ચેસ્ટનટ્સ, જે વાસ્તવિક વ્યવહારુ કાર્યોમાંથી લેવામાં આવ્યા છે.

ચાલો વિષયમાં ઝડપી ડાઇવ સાથે પ્રારંભ કરીએ. સંક્ષિપ્તમાં મુખ્ય વસ્તુ વિશે: અમે એક ચલના કાર્ય વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર છે "x" ના ઘણા અર્થો, જેના માટે અસ્તિત્વમાં છે"ખેલાડીઓ" નો અર્થ. ચાલો વિચાર કરીએ શરતી ઉદાહરણ:

આ કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન અંતરાલોનું જોડાણ છે:
(જેઓ ભૂલી ગયા છે તેમના માટે: - એકીકરણ ચિહ્ન). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તમે અંતરાલ માંથી "x" નું કોઈપણ મૂલ્ય લો છો, અથવા માંથી , અથવા માંથી, તો પછી આવા દરેક "x" માટે "y" મૂલ્ય હશે.

આશરે કહીએ તો, જ્યાં વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર છે, ત્યાં કાર્યનો ગ્રાફ છે. પરંતુ અર્ધ-અંતરાલ અને "tse" બિંદુ વ્યાખ્યા ક્ષેત્રમાં સમાવિષ્ટ નથી, તેથી ત્યાં કોઈ ગ્રાફ નથી.

હા, માર્ગ દ્વારા, જો પ્રથમ ફકરાઓની પરિભાષા અને/અથવા સામગ્રીમાંથી કંઈપણ સ્પષ્ટ ન હોય, તો લેખ પર પાછા ફરવું વધુ સારું છે. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો.

વ્યાખ્યા
કાર્ય f (x)કહેવાય છે બિંદુ x પર સતત 0 આ બિંદુની પડોશી, અને જો x તરીકેની મર્યાદા x તરફ વળે છે 0 x પર ફંક્શન મૂલ્યની બરાબર 0 :
.

ફંક્શનની મર્યાદાની Cauchy અને Heine વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આપી શકીએ છીએ એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્યની વિસ્તૃત વ્યાખ્યાઓ .

માં સાતત્યનો ખ્યાલ આપણે ઘડી શકીએ છીએ ઇન્ક્રીમેન્ટની દ્રષ્ટિએ. આ કરવા માટે, અમે એક નવું ચલ રજૂ કરીએ છીએ, જેને બિંદુ પર x ચલનો વધારો કહેવામાં આવે છે.
.
પછી કાર્ય જો બિંદુ પર સતત છે
.
ચાલો એક નવું કાર્ય રજૂ કરીએ: તેઓ તેણીને બોલાવે છેકાર્ય વધારો
.

બિંદુ પર
કાર્ય f (x)કહેવાય છે પછી કાર્ય જો બિંદુ પર સતત છે 0 જમણી બાજુએ સાતત્યની વ્યાખ્યા (ડાબે) 0 x પર ફંક્શન મૂલ્યની બરાબર 0 :
.

બિંદુ x પર જમણી બાજુએ (ડાબે) સતત
, જો તે આ બિંદુના અમુક જમણી બાજુવાળા (ડાબી બાજુવાળા) પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોય, અને જો બિંદુ x પર જમણી (ડાબી) મર્યાદા હોય (x)સતત કાર્યની સીમા પર પ્રમેય 0 ચાલો ફંક્શન f બિંદુ x પર સતત છે.

પછી એક પડોશ U છે
(x0)
.
, જેના પર કાર્ય મર્યાદિત છે.
સતત કાર્યના સંકેતની જાળવણી પર પ્રમેય

બિંદુ પર કાર્ય સતત રહેવા દો.અને આ બિંદુએ તેને હકારાત્મક (નકારાત્મક) મૂલ્ય રાખવા દો:
પછી બિંદુનો એક પડોશી છે જ્યાં ફંક્શનનું હકારાત્મક (નકારાત્મક) મૂલ્ય છે:
ખાતે
અંકગણિત ગુણધર્મો

સતત કાર્યો
વિધેયોને દો અને બિંદુ પર સતત રહો.

પછી કાર્યો , અને બિંદુ પર સતત છે.

જો , તો પછી કાર્ય બિંદુ પર સતત છે.

સાતત્ય પ્રમેય ડાબી-જમણી સાતત્ય મિલકત
ફંક્શન એક બિંદુ પર સતત હોય છે જો અને માત્ર જો તે જમણી અને ડાબી બાજુએ સતત હોય.
પ્રોપર્ટીઝના પ્રૂફ "એક બિંદુ પર સતત ફંક્શન્સના પ્રોપર્ટીઝ" પેજ પર આપવામાં આવ્યા છે.

જટિલ કાર્યની સાતત્ય

જટિલ કાર્ય
બિંદુ પર કાર્ય સતત રહેવા દો.
.
અને કાર્યને બિંદુ પર સતત રહેવા દો. 0 પછી જટિલ કાર્ય બિંદુ પર સતત છે.
જટિલ કાર્યની મર્યાદા
ફંક્શનના સતત કાર્યની મર્યાદા પર પ્રમેય
.

પર કાર્યની મર્યાદા હોવા દો, અને તે સમાન છે:
અહીં બિંદુ ટી છે
મર્યાદિત અથવા અનંત દૂર હોઈ શકે છે: . અને કાર્યને બિંદુ પર સતત રહેવા દો.પછી એક જટિલ કાર્યની મર્યાદા છે, અને તે સમાન છે:
જટિલ કાર્યની મર્યાદા પર પ્રમેય
.

ફંક્શનને એક મર્યાદા રાખવા દો અને બિંદુના પંચર થયેલ પડોશને બિંદુના પંચર પડોશી પર નકશા બનાવો.

કાર્યને આ પડોશી પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને તેના પર મર્યાદા રાખો.
બિંદુના કેટલાક પંચર પડોશીઓ પર કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. બિંદુ કહેવાય છેકાર્ય વિરામ બિંદુ
, જો બેમાંથી એક શરતો પૂરી થાય છે:
1) માં વ્યાખ્યાયિત નથી;

2) પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ આ બિંદુએ નથી.
1લી પ્રકારના વિરામ બિંદુનું નિર્ધારણ બિંદુ કહેવાય છેપ્રથમ પ્રકારનો વિરામ બિંદુ
.

, જો વિરામ બિંદુ છે અને ડાબી અને જમણી બાજુએ મર્યાદિત એકતરફી મર્યાદાઓ છે:
ફંક્શન જમ્પની વ્યાખ્યાજમ્પ Δ ફંક્શન
.

એક બિંદુએ જમણી અને ડાબી બાજુની મર્યાદાઓ વચ્ચેનો તફાવત છે
1લી પ્રકારના વિરામ બિંદુનું નિર્ધારણ વિરામ બિંદુ નક્કી કરી રહ્યા છીએદૂર કરી શકાય તેવું વિરામ બિંદુ
,
, જો ત્યાં મર્યાદા છે

પરંતુ બિંદુ પરનું કાર્ય કાં તો વ્યાખ્યાયિત નથી અથવા તે મર્યાદા મૂલ્યની બરાબર નથી: . આમ, દૂર કરી શકાય તેવા વિરામનો બિંદુ એ 1લા પ્રકારનો એક વિરામ બિંદુ છે, જેના પર કાર્યનો જમ્પ.

શૂન્ય બરાબર
1લી પ્રકારના વિરામ બિંદુનું નિર્ધારણ 2 જી પ્રકારના વિરામ બિંદુનું નિર્ધારણબીજા પ્રકારનો વિરામનો મુદ્દો

, જો તે 1 લી પ્રકારનું વિરામ બિંદુ નથી.

એટલે કે, જો ત્યાં ઓછામાં ઓછી એક બાજુની મર્યાદા ન હોય, અથવા એક બિંદુ પર ઓછામાં ઓછી એક એકતરફી મર્યાદા અનંતની બરાબર હોય.
અંતરાલ પર સતત કાર્યોના ગુણધર્મો

અંતરાલ પર સતત કાર્યની વ્યાખ્યા
કાર્યને અંતરાલ (એટ) પર સતત કહેવામાં આવે છે જો તે અનુક્રમે ખુલ્લા અંતરાલ (એટ) અને બિંદુઓ a અને b પર સતત હોય.

વિયરસ્ટ્રાસનું પ્રથમ પ્રમેય અંતરાલ પર સતત કાર્યની સીમા પર
જો કોઈ ફંક્શન કોઈ અંતરાલ પર સતત હોય, તો તે આ અંતરાલ પર બંધાયેલ છે.
મહત્તમ (લઘુત્તમ) ની પ્રાપ્યતા નક્કી કરવી

ફંક્શન સેટ પર તેની મહત્તમ (લઘુત્તમ) સુધી પહોંચે છે જો તેના માટે કોઈ દલીલ હોય
દરેક માટે.
.

ઉપલા (નીચલા) ચહેરાની પહોંચની ક્ષમતા નક્કી કરવી
ફંક્શન સેટ પર તેના ઉપલા (નીચલા) બાઉન્ડ પર પહોંચે છે જો ત્યાં તેના માટે દલીલ હોય સતત કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ પર વેરસ્ટ્રાસનું બીજું પ્રમેયસેગમેન્ટ પર સતત ફંક્શન તેની ઉપરની અને ઉપરની સીમા સુધી પહોંચે છે.

નીચેની કિનારીઓ
અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, અંતરાલમાં તેની મહત્તમ અને લઘુત્તમ સુધી પહોંચે છે. બોલઝાનો-કોચી મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેયકાર્યને સેગમેન્ટ પર સતત રહેવા દો.
.

અને C રહેવા દો
મનસ્વી સંખ્યા , સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શન મૂલ્યો વચ્ચે સ્થિત છે: અને .પછી જેના માટે એક બિંદુ છે
.

કોરોલરી 1
કાર્યને સેગમેન્ટ પર સતત રહેવા દો.
સતત કાર્યના સંકેતની જાળવણી પર પ્રમેય

વ્યસ્ત કાર્યો

વ્યસ્ત કાર્યની વ્યાખ્યા
ફંક્શનમાં વ્યાખ્યા Xનું ડોમેન અને Y મૂલ્યોનો સમૂહ હોવા દો.
મહત્તમ (લઘુત્તમ) ની પ્રાપ્યતા નક્કી કરવી
અને તેની પાસે મિલકત હોવા દો: પછી સમૂહ Y ના કોઈપણ તત્વ માટે સમૂહ X ના ફક્ત એક જ તત્વને સાંકળી શકે છે જેના માટે .આ પત્રવ્યવહાર કહેવાય કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરે છે
.

વ્યસ્ત કાર્ય
;
થી . વ્યસ્ત કાર્ય નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે:
મહત્તમ (લઘુત્તમ) ની પ્રાપ્યતા નક્કી કરવી

વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે
દરેક માટે;

પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત કાર્યોની પરસ્પર એકવિધતા પર લેમ્મા
જો ફંક્શન સખત રીતે વધી રહ્યું છે (ઘટાડી રહ્યું છે), તો ત્યાં એક વ્યસ્ત ફંક્શન છે જે સખત રીતે વધી રહ્યું છે (ઘટાડી રહ્યું છે).

પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત કાર્યોના આલેખની સમપ્રમાણતાની મિલકત
પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત કાર્યોના આલેખ સીધી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે.

અંતરાલ પર વ્યસ્ત કાર્યના અસ્તિત્વ અને સાતત્ય પર પ્રમેય

કાર્યને સેગમેન્ટ પર સતત અને સખત રીતે વધતું રહેવા દો (ઘટાડો).
પછી વ્યસ્ત કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને સેગમેન્ટ પર સતત છે, જે સખત રીતે વધે છે (ઘટાડે છે).

વધતા કાર્ય માટે.
ઘટાડવા માટે - .

અંતરાલ પર વ્યસ્ત કાર્યના અસ્તિત્વ અને સાતત્ય પર પ્રમેય

ખુલ્લા મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલ પર કાર્યને સતત અને સખત રીતે વધતું (ઘટતું) રહેવા દો.

પછી વ્યસ્ત કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને અંતરાલ પર સતત છે, જે સખત રીતે વધે છે (ઘટાડે છે).

વધતા કાર્ય માટે.

ઘટાડવા માટે: . એવી જ રીતે, આપણે અર્ધ-અંતરાલ પર વ્યસ્ત કાર્યના અસ્તિત્વ અને સાતત્ય પર પ્રમેય ઘડી શકીએ છીએ.પ્રાથમિક કાર્યોની ગુણધર્મો અને સાતત્ય > 0 પ્રાથમિક કાર્યો અને તેમના વ્યુત્ક્રમો તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત છે. નીચે અમે અનુરૂપ પ્રમેયના ફોર્મ્યુલેશન રજૂ કરીએ છીએ અને તેમના પુરાવાઓની લિંક પ્રદાન કરીએ છીએ.
,
ઘાતાંકીય કાર્ય ઘાતાંકીય કાર્ય f(x) = કુહાડી
.

, આધાર a સાથે ક્રમની મર્યાદા છે
જ્યાં એક મનસ્વી ક્રમ છે
તર્કસંગત સંખ્યાઓ, x તરફ વલણ:
પ્રમેય. ગુણધર્મોઘાતાંકીય કાર્ય 1 ઘાતાંકીય કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
(પૃ.0)વ્યાખ્યાયિત, માટે, બધા માટે;
(પૃ.1) ;
≠ માટે ;
ઘણા અર્થો છે; ;
(પૃ.2) ;
પર સખત રીતે વધે છે , સખત રીતે ઘટે છે , પર સ્થિર છે ; ;
(પૃ.3) ;
(પૃ.3*)(પૃ.4)
(પૃ.5)(પૃ.6)
સતત કાર્યના સંકેતની જાળવણી પર પ્રમેય

(પૃ.7)

(પૃ.8)બધા માટે સતત; (પૃ.9)ખાતે;લઘુગણક

લઘુગણક કાર્ય
, અથવા લઘુગણક, y = લોગ કુહાડી, આધાર a સાથે
આધાર a સાથે ઘાતાંકીય કાર્યનો વ્યસ્ત છે.પ્રમેય. લઘુગણકના ગુણધર્મો આધાર a, y = સાથે લઘુગણક કાર્યલોગ a x
(એલ.2)ઘાતાંકીય કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
(એલ.3)સખત રીતે વધે છે , કડક રીતે ઘટે છે ;
(L.4)(પૃ.6)
(પૃ.6)
(એલ.5) ;
(L.6)(પૃ.6)
(L.7)(પૃ.6)
(L.8)(પૃ.6)
(L.9)સતત કાર્યના સંકેતની જાળવણી પર પ્રમેય

ઘાતાંક અને કુદરતી લઘુગણક

ઘાતાંકીય કાર્ય અને લઘુગણકની વ્યાખ્યાઓમાં, એક સ્થિરાંક દેખાય છે, જેને પાવરનો આધાર અથવા લઘુગણકનો આધાર કહેવામાં આવે છે. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, વધુ સરળ ગણતરીઓ, જો તમે આધાર તરીકે e નંબરનો ઉપયોગ કરો છો:
.
આધાર e સાથેના ઘાતાંકીય કાર્યને ઘાતાંક કહેવાય છે: , અને આધાર e સાથેના લઘુગણકને કુદરતી લઘુગણક કહેવાય છે: .

ઘાતાંકના ગુણધર્મો અને કુદરતી લઘુગણક પૃષ્ઠો પર પ્રસ્તુત છે
"ઘાત, e x ની ઘાત",
"કુદરતી લઘુગણક, ln x કાર્ય"

પાવર કાર્ય

પાવર કાર્યઘાતાંક સાથે pફંક્શન f છે (x) = xp, બિંદુ x પર જેનું મૂલ્ય બિંદુ p પર આધાર x સાથે ઘાતાંકીય કાર્યના મૂલ્ય જેટલું છે.
વધુમાં, એફ (0) = 0 પી = 0 p માટે > 0 .

અહીં આપણે દલીલના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પાવર ફંક્શન y = x p ના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈશું.
તર્કસંગત m માટે, વિષમ m માટે, પાવર ફંક્શન નેગેટિવ x માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આ કિસ્સામાં, તેના ગુણધર્મો સમ અથવા બેકીનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
આ કેસોની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે અને "પાવર ફંક્શન, તેના ગુણધર્મો અને આલેખ" પૃષ્ઠ પર સચિત્ર છે.
પ્રમેય. પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મો (x ≥ 0)પાવર ફંક્શન, y = x p, ઘાતાંક p સાથે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:
(C.1)
સેટ પર નિર્ધારિત અને સતત

ખાતે,

ખાતે ".
ત્રિકોણમિતિ કાર્યો ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સાતત્યતા પર પ્રમેયત્રિકોણમિતિ કાર્યો: સાઈન ( પાપ x), કોસાઇન ( cos x), સ્પર્શક ( tg x

) અને કોટેન્જેન્ટ (
ctg x વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની સાતત્ય પર પ્રમેયવ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો: આર્ક્સીન ( આર્ક્સીન એક્સ), આર્ક કોસાઇન ( આર્કોસ એક્સ), આર્કટેન્જેન્ટ ( આર્ક્ટન એક્સ) અને ચાપ સ્પર્શક (

arcctg x
), તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત છે.
વપરાયેલ સાહિત્ય: ઓ.આઈ. બેસોવ. ગાણિતિક વિશ્લેષણ પર પ્રવચનો. ભાગ 1. મોસ્કો, 2004.એલ.ડી. કુદ્ર્યાવત્સેવ. વેલ
ગાણિતિક વિશ્લેષણ

. વોલ્યુમ 1. મોસ્કો, 2003.

સતત કાર્ય ગાણિતિક રીતે એક ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે જેનો આપણે વ્યવહારમાં વારંવાર સામનો કરીએ છીએ, એટલે કે સ્વતંત્ર ચલમાં એક નાનો વધારો એ આશ્રિત ચલ (કાર્ય) માં નાના વધારાને અનુરૂપ છે. ઉત્તમ ઉદાહરણોસતત કાર્ય સેવા આપી શકે છે વિવિધ કાયદાશરીરની હિલચાલ \(s=f(t)\), શરીર દ્વારા સમયસર પસાર થતા પાથ \(s\)ની અવલંબન વ્યક્ત કરે છે \(t\) . સમય અને અવકાશ સતત છે, જ્યારે શરીરની ગતિનો એક અથવા બીજો નિયમ \(s=f(t)\) તેમની વચ્ચે ચોક્કસ સતત જોડાણ સ્થાપિત કરે છે, જે હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે સમયનો એક નાનો વધારો પાથના નાના વધારાને અનુરૂપ છે.

માણસ કહેવાતા અવલોકન કરીને સાતત્યના અમૂર્તતા પર આવ્યો સાતત્ય- ઘન, પ્રવાહી અથવા વાયુ, ઉદાહરણ તરીકે ધાતુઓ, પાણી, હવા. હકીકતમાં, જેમ હવે જાણીતું છે, દરેક ભૌતિક વાતાવરણએક ક્લસ્ટર છે મોટી સંખ્યામાંફરતા કણો એકબીજાથી અલગ પડે છે. જો કે, આ કણો અને તેમની વચ્ચેનું અંતર મીડિયાના જથ્થાની તુલનામાં એટલું નાનું છે કે આપણે મેક્રોસ્કોપિકમાં તેનો સામનો કરવો પડે છે. ભૌતિક ઘટના, જો આપણે અભ્યાસ કરેલ માધ્યમના અંદાજે દળને કોઈપણ અંતર વગર, તેના દ્વારા કબજે કરેલી જગ્યામાં સતત વિતરિત કરીએ તો આવી ઘણી ઘટનાઓનો ખૂબ સારી રીતે અભ્યાસ કરી શકાય છે. ઘણા લોકો આ ધારણા પર આધારિત છે. શારીરિક શિસ્ત, ઉદાહરણ તરીકે હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, એરોડાયનેમિક્સ, સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત. ગાણિતિક ખ્યાલસાતત્ય કુદરતી રીતે આ શાખાઓમાં મોટી ભૂમિકા ભજવે છે, જેમ કે અન્ય ઘણા લોકોમાં.

ચાલો અમુક ફંક્શન \(y=f(x)\) અને સ્વતંત્ર ચલ \(x_0\) ની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કિંમત ધ્યાનમાં લઈએ. જો આપણું કાર્ય કેટલાક પ્રતિબિંબિત કરે છે સતત પ્રક્રિયા, તો પછી \(x\) ની કિંમતો જે \(x_0\) થી થોડી અલગ હોય છે તે કાર્ય \(f(x)\) ના મૂલ્યો સાથે અનુરૂપ હોવા જોઈએ જે મૂલ્ય \(f(x_0) થી થોડું અલગ છે )\) બિંદુ પર \(x_0\) . આમ, જો સ્વતંત્ર ચલનો વધારો \(x-x_0\) નાનો હોય, તો ફંક્શનનો અનુરૂપ વધારો \(f(x)-f(x_0)\) પણ નાનો હોવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સ્વતંત્ર ચલ \(x-x_0\) ની વૃદ્ધિ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, તો ફંક્શનનો વધારો \(f(x)-f(x_0)\) બદલામાં, શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, જે નીચે મુજબ લખી શકાય.

\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)

આ સંબંધ એ બિંદુ \(x_0\) પર કાર્યની સાતત્યની ગાણિતિક વ્યાખ્યા છે.

જો સમાનતા (1) સંતુષ્ટ હોય તો કાર્ય \(f(x)\) બિંદુ \(x_0\) પર સતત કહેવાય છે.

ચાલો બીજી વ્યાખ્યા આપીએ:

કાર્યને સંબંધિત તમામ મૂલ્યો માટે સતત હોવાનું કહેવાય છે આ સેગમેન્ટ, જો તે આ સેગમેન્ટના દરેક બિંદુ \(x_0\) પર સતત હોય, એટલે કે. આવા દરેક બિંદુએ સમાનતા (1) સંતુષ્ટ છે.

આમ, દાખલ કરવા માટે ગાણિતિક વ્યાખ્યાફંક્શનનો ગુણધર્મ, જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે તેનો આલેખ એક સતત (આ શબ્દની સામાન્ય સમજમાં) વળાંક છે, તે પહેલાં સાતત્યની સ્થાનિક, સ્થાનિક મિલકત (બિંદુ \(x_0\) પર સાતત્ય નક્કી કરવું જરૂરી બન્યું છે. ), અને પછી, આ આધારે, સમગ્ર સેગમેન્ટમાં કાર્યની સાતત્ય નક્કી કરો.

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા, છેલ્લી સદીની શરૂઆતમાં કોચી દ્વારા સૂચવવામાં આવી હતી, જે સામાન્ય રીતે આધુનિક ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં સ્વીકારવામાં આવે છે. સંખ્યાબંધ પર તપાસ ચોક્કસ ઉદાહરણોદર્શાવે છે કે આ વ્યાખ્યા સતત કાર્યના અમારા વર્તમાન વ્યવહારિક ખ્યાલને સારી રીતે અનુરૂપ છે, ઉદાહરણ તરીકે, સતત આલેખનો ખ્યાલ.

સતત કાર્યોના ઉદાહરણોમાં જાણીતાનો સમાવેશ થાય છે શાળા ગણિતપ્રાથમિક કાર્યો \(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \(\lg(x),\) \( \arcsin(x),\) \(\arccos(x)\) . બધા સૂચિબદ્ધ કાર્યોફેરફારના અંતરાલો પર સતત હોય છે \(x\) જ્યાં તેઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

જો સતત વિધેયો ઉમેરવામાં આવે, બાદબાકી કરવામાં આવે, ગુણાકાર કરવામાં આવે અને વિભાજિત કરવામાં આવે (એક છેદ સાથે જે શૂન્યની બરાબર ન હોય), તો પરિણામે આપણે ફરીથી સતત કાર્ય પર આવીશું. જો કે, વિભાજન કરતી વખતે, સાતત્ય સામાન્ય રીતે \(x_0\) ના તે મૂલ્યો માટે તૂટી જાય છે કે જેના પર છેદમાં કાર્ય શૂન્ય પર જાય છે. વિભાજનનું પરિણામ પછી બિંદુ \(x_0\) પર અખંડિત કાર્ય રજૂ કરે છે.

ફંક્શન \(y=\frac(1)(x)\) બિંદુ \(y=0\) પર અખંડિત કાર્યના ઉદાહરણ તરીકે સેવા આપી શકે છે. સંખ્યાબંધ અન્ય ઉદાહરણો અવ્યવસ્થિત કાર્યોફિગમાં બતાવેલ આલેખ આપો. 1.

અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે આ ગ્રાફની કાળજીપૂર્વક સમીક્ષા કરો. નોંધ કરો કે વિધેયોની અખંડિતતાઓ અલગ છે: કેટલીકવાર જ્યારે \(x\) બિંદુ \(x_0\) સુધી પહોંચે છે જ્યાં ફંક્શન અખંડિતતામાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે મર્યાદા \(f(x)\) અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ \(f થી અલગ છે. (x_0)\ ), અને કેટલીકવાર, ફિગમાંની જેમ. 1c, આ મર્યાદા ફક્ત અસ્તિત્વમાં નથી. એવું પણ બને છે કે જેમ જેમ \(x\) એક તરફ \(x_0\) ની નજીક આવે છે \(f(x)-f(x_0)\to0\), અને જો \(x\to x_0\) પરથી નજીક આવે છે. બીજી તરફ, પછી \(f(x)-f(x_0)\) હવે શૂન્ય તરફ વળતું નથી. આ કિસ્સામાં, અલબત્ત, અમારી પાસે કાર્યની વિરામ છે, જો કે આપણે તેના વિશે કહી શકીએ કે આ બિંદુએ તે "એક બાજુ સતત" છે. આ તમામ કિસ્સાઓ આપેલ આલેખમાં શોધી શકાય છે.

કાર્યની સાતત્યની વ્યાખ્યા

1. ફંક્શન \(y=f(x)\) બિંદુ \(x=a\) પર સતત છે જો ડાબી અને જમણી બાજુની મર્યાદાઓ આ બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યની સમાન અને સમાન હોય, એટલે કે.

\(\lim_(x\to a-0)f(x)=\lim_(x\to a+0)f(x)=f(a).\)

2. ફંક્શન \(y=f(x)\) બિંદુ \(x=a\) પર સતત છે જો તે આ બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોય અને જો દલીલમાં અમર્યાદિત વધારો કાર્યમાં અનંત વધારાને અનુરૂપ હોય, એટલે કે \(\lim_(\Delta x\to 0)\Delta y=0\)બિંદુની નજીક \(a\) .

સતત કાર્યોની મર્યાદિત સંખ્યાનો સરવાળો, તફાવત અને ઉત્પાદન એ સતત કાર્ય છે.

અંતરાલ \(\) પર સતત કાર્ય તેના સૌથી નાના \(m\) અને સૌથી મોટા \(M\) મૂલ્ય વચ્ચે કોઈપણ મધ્યવર્તી મૂલ્ય લે છે, એટલે કે \(m\leqslant f(x)\leqslant M\)બધા માટે \(x\in\) . તે અનુસરે છે કે જો સેગમેન્ટના સીમા બિંદુઓ પર \(\) ફંક્શનમાં વિવિધ ચિહ્નો હોય, તો સેગમેન્ટની અંદર ઓછામાં ઓછું એક મૂલ્ય \(x=c\) હોય છે જેના પર કાર્ય અદૃશ્ય થઈ જાય છે. વિધેયોની સાતત્યતાની આ ગુણધર્મ વ્યક્તિને લગભગ બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

કાર્ય વિરામ બિંદુઓ

દલીલ મૂલ્યો કે જે સાતત્યની શરતોને સંતોષતા નથી તેને કહેવામાં આવે છે કાર્ય વિરામ બિંદુઓ. આ કિસ્સામાં, બે પ્રકારના ફંક્શન ડિસકોન્ટિન્યુટી પોઈન્ટ્સને અલગ પાડવામાં આવે છે.

જો ડાબી બાજુએ \(x\to a\) માટે ફંક્શન છે અંતિમ મર્યાદા\(k_1\) , અને જમણી બાજુના \(x\to a\) માટે ફંક્શનની મર્યાદિત મર્યાદા \(k_2\) અને \(k_1\ne k_2\), પછી તેઓ કહે છે કે \(x માટેનું કાર્ય =a\) ધરાવે છે પ્રથમ પ્રકારનું ભંગાણ. તફાવત \(|k_1-k_2|\) બિંદુ \(x=a\) પર કાર્યનો જમ્પ નક્કી કરે છે. \(x=a\) પરના કાર્યની કિંમત કોઈપણ સંખ્યા \(k_3\) સમાન હોઈ શકે છે.

જો \(x=a\) પર ફંક્શનનું મૂલ્ય \(k_1\) ની બરાબર હોય, તો ફંક્શનને સતત છોડી દેવાનું કહેવાય છે; જો \(k_2\) , તો તેઓ કહે છે કે કાર્ય યોગ્ય સતત છે.

જો \(k_1=k_2\ne k_3\) તેઓ કહે છે કે કાર્ય બિંદુ પર છે \(a\) સમારકામ કરી શકાય તેવું અંતર.

જો જમણી કે ડાબી બાજુએ \(x\to a\) માટે, કાર્યની મર્યાદા અસ્તિત્વમાં નથી અથવા અનંતની બરાબર છે, એટલે કે, \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), પછી તેઓ કહે છે કે \ (x=a\) માટે ફંક્શન છે બીજા પ્રકારની અવ્યવસ્થા.

ઉદાહરણ 1. મૂલ્યોનો સમૂહ શોધો \(x\) જેના માટે કાર્ય \(y=x^3-2x\) સતત છે.

ઉકેલ. ચાલો ફંક્શનની વૃદ્ધિ શોધીએ

\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2-2).\)

ચલના કોઈપણ મૂલ્યો માટે \(x\) વધારો \(\Delta y\to0\) છે સિવાય કે \(\Delta x\to0\) તેથી કાર્ય બધા માટે સતત છે વાસ્તવિક મૂલ્યોચલ \(x\) .

ઉદાહરણ 2. બિંદુ \(x=3\) પર કાર્ય \(y=\frac(1)(x-1)\) ની સાતત્યતા સાબિત કરો.

ઉકેલ. આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો ફંક્શનનો વધારો શોધીએ \(y\) જ્યારે દલીલનું મૂલ્ય \(x=3\) થી \(x=3+\Delta x\) તરફ જાય છે.

\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)

ચાલો ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટની મર્યાદા \(\Delta x\to0\) પર શોધીએ.

\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)

કારણ કે \(\Delta x\to0\) પર ફંક્શનની વૃદ્ધિની મર્યાદા શૂન્યની બરાબર છે, તો પછી \(x\to3\) પરનું કાર્ય સતત છે.

ઉદાહરણ 3. ફંક્શનની અખંડિતતાની પ્રકૃતિ નક્કી કરો અને આલેખ બનાવો:

\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\begin(cases)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\text (જો)~x=2;\અંત(કેસો)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ ઓપરેટરનું નામ(arctg)\frac(1)(x).\)

ઉકેલ.

a) જ્યારે \(x=1\) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત ન હોય, ત્યારે આપણે આ બિંદુએ એકતરફી મર્યાદા શોધીએ છીએ:

\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ infty.\)

પરિણામે, બિંદુ \(x=1\) પર ફંક્શન બીજા પ્રકારનું વિરામ ધરાવે છે.

b) \(x<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). જ્યારે \(x>0\) મર્યાદા બરાબર છે \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). પરિણામે, બિંદુ \(x=1\) પર ફંક્શન \(y\) પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ ધરાવે છે અને ફંક્શનનો જમ્પ \(|k_1-k_2|=|-1-1|= સમાન છે. 2\).

c) કાર્ય સમગ્ર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે સંખ્યા અક્ષ, બિન-પ્રાથમિક, કારણ કે બિંદુ પર \(x=2\) વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિકાર્યોમાં ફેરફાર. ચાલો બિંદુ \(x=2\) પર કાર્યની સાતત્યતા તપાસીએ :

\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)

તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ \(x=2\) પર કાર્યને દૂર કરી શકાય તેવી વિરામ છે.

d) બિંદુ \(x=0\) પર કાર્યની ડાબી અને જમણી મર્યાદા શોધો :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)

તેથી, બિંદુ \(x=0\) પર ફંક્શનમાં જમણી બાજુએ બીજા પ્રકારનું વિરામ છે અને ડાબી બાજુએ સાતત્ય છે.

e) બિંદુ \(x=0\) પર કાર્યની એકતરફી મર્યાદા શોધો :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)

તેથી, કાર્યની બંને બાજુએ બિંદુ \(x=0\) પર \(y=\operatorname(arctg)\frac(1)(x)\)ઘોડા દોડ

તમારા બ્રાઉઝરમાં Javascript અક્ષમ છે.
ગણતરીઓ કરવા માટે, તમારે ActiveX નિયંત્રણોને સક્ષમ કરવું આવશ્યક છે!

એક બિંદુ પર કાર્યની સાતત્ય નક્કી કરવી
કાર્ય f (x)કહેવાય છે બિંદુ x પર સતત 0 પડોશી યુ બિંદુ x પર સતત છેઆ બિંદુ, અને જો x તરીકે મર્યાદા x તરફ વળે છે 0 અસ્તિત્વમાં છે અને x પર ફંક્શનના મૂલ્યની બરાબર છે 0 :
.

આ સૂચવે છે કે x 0 - આ અંતિમ બિંદુ. તેમાં ફંક્શન વેલ્યુ માત્ર હોઈ શકે છે મર્યાદિત સંખ્યા.

ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1

Heine અને Cauchy વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે કાર્ય બધા x માટે સતત છે.

ત્યાં એક મનસ્વી સંખ્યા દો. ચાલો તે સાબિત કરીએ આપેલ કાર્યબિંદુ પર સતત છે.

કાર્ય બધા x માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

તેથી, તે એક બિંદુ પર અને તેના કોઈપણ પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
.
અમે હેઈનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ
.
ચાલો ઉપયોગ કરીએ. એક મનસ્વી ક્રમ થવા દો જેમાં કન્વર્જિંગ થાય છે:

અમારી પાસે ક્રમના ઉત્પાદનની મર્યાદાની મિલકત લાગુ કરવી:

કારણ કે ત્યાં એક મનસ્વી ક્રમ છે જેનું રૂપાંતર થાય છે, પછી
સાતત્ય સાબિત થયું છે.
અમે કોચી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ .

ચાલો ઉપયોગ કરીએ.
.
ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.

;
અમને બિંદુના કોઈપણ પડોશના કાર્યને ધ્યાનમાં લેવાનો અધિકાર છે. .

તેથી અમે તે ધારીશું (A1.1)ચાલો સૂત્ર લાગુ કરીએ:
;
ધ્યાનમાં લેતા (A1.1), અમે નીચેનો અંદાજ લગાવીએ છીએ: .
.
(A1.2)

(A1.2) લાગુ કરીને, અમે અંદાજ લગાવીએ છીએ
.
.

.
સંપૂર્ણ મૂલ્ય

તફાવતો: (A1.3)અસમાનતાના ગુણધર્મો અનુસાર, જો (A1.3) સંતુષ્ટ છે, જો અને જો , તો . હવે મુદ્દા પર નજર કરીએ..

આ કિસ્સામાં

આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય બિંદુ પર સતત છે.

એવી જ રીતે, કોઈ સાબિત કરી શકે છે કે ફંક્શન , જ્યાં n છે

કુદરતી સંખ્યા
, સતત
વાસ્તવિક ધરી .

ચાલો ઉપયોગ કરીએ.
ઉદાહરણ 2 .
ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે કાર્ય બધા માટે સતત છે.
.

આપેલ કાર્ય પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

.
ચાલો સાબિત કરીએ કે તે બિંદુ પર સતત છે.
.

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.

.
ચાલો સાબિત કરીએ કે તે બિંદુ પર સતત છે.
અમને બિંદુના કોઈપણ પડોશના કાર્યને ધ્યાનમાં લેવાનો અધિકાર છે. .

તેથી અમે તે ધારીશું (A2.1)(A2.2)
.
ચાલો મૂકીએ.

પછી
.
સંપૂર્ણ મૂલ્ય

ધ્યાનમાં લેતા (A2.1), અમે નીચેનો અંદાજ લગાવીએ છીએ:
.
તેથી,
.

આ અસમાનતાને લાગુ કરીને અને (A2.2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે તફાવતનો અંદાજ લગાવીએ છીએ:
.
(A2.3)

દાખલ કરો

arcctg x
), તેમની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત છે.
હકારાત્મક સંખ્યાઓ
ગાણિતિક વિશ્લેષણ