એકમનો ભાગ અથવા તેના કેટલાક ભાગોને સાધારણ અથવા સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. સમાન ભાગોની સંખ્યા કે જેમાં એકમ વિભાજિત થાય છે તેને છેદ કહેવામાં આવે છે, અને લેવાયેલા ભાગોની સંખ્યાને અંશ કહેવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંક આ રીતે લખાયેલ છે:
IN આ બાબતે a એ અંશ છે, b એ છેદ છે.
જો અંશ છેદ કરતાં ઓછું, તો અપૂર્ણાંક 1 કરતા ઓછો છે અને તેને યોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. જો અંશ છેદ કરતા મોટો હોય, તો અપૂર્ણાંક 1 કરતા મોટો હોય, તો અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.
જો અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ સમાન હોય, તો અપૂર્ણાંક સમાન છે.
1. જો અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય, તો આ અપૂર્ણાંક ભાગાકારના ભાગ સમાન છે:
જો ભાગાકાર શેષ સાથે કરવામાં આવે છે, તો પછી આ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મિશ્ર સંખ્યા દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:
પછી 9 એ અપૂર્ણ ભાગ છે ( આખો ભાગમિશ્ર સંખ્યા),
1 - શેષ (અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ),
5 છેદ છે.
મિશ્ર સંખ્યાને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે મિશ્ર સંખ્યાના સંપૂર્ણ ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે.
પરિણામી પરિણામ સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ હશે, પરંતુ છેદ એ જ રહેશે.
અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી
અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ.જો તમે તેના અંશ અને છેદને શૂન્ય સિવાયની સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો તો અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
દાખ્લા તરીકે:
અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી જો તમે તેના અંશ અને છેદને શૂન્ય સિવાયની સમાન સંખ્યા વડે વિભાજીત કરો છો.
દાખ્લા તરીકે: 
અપૂર્ણાંકની તુલના.સમાન અંશ સાથેના બે અપૂર્ણાંકમાંથી, જેનો છેદ નાનો છે તે મોટો છે:
સાથે બે અપૂર્ણાંકમાંથી સમાન છેદજેનો અંશ મોટો છે:
અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવા માટે કે જેના અંશ અને છેદ અલગ હોય, તેમને વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે, એટલે કે, તેમને લાવવું સામાન્ય છેદ. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના અપૂર્ણાંકોને ધ્યાનમાં લો: 
અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી.જો અપૂર્ણાંકોના છેદ સમાન હોય, તો અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે, અને અપૂર્ણાંકને બાદબાકી કરવા માટે, તમારે તેમના અંશને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે. પરિણામી સરવાળો અથવા તફાવત એ પરિણામનો અંશ હશે, પરંતુ છેદ એ જ રહેશે. જો અપૂર્ણાંકના છેદ અલગ હોય, તો તમારે પહેલા અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવો પડશે. ઉમેરતી વખતે મિશ્ર સંખ્યાઓતેમના સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક ભાગો અલગથી ઉમેરવામાં આવે છે. મિશ્ર સંખ્યાઓને બાદ કરતી વખતે, તમારે પહેલા તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે, પછી બીજામાંથી એક બાદબાકી કરો, અને પછી પરિણામને ફરીથી, જો જરૂરી હોય તો, મિશ્ર સંખ્યાના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો.
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના અંશ અને છેદને અલગથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અને પ્રથમ ઉત્પાદનને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
અપૂર્ણાંકનું વિભાજન. સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે આ સંખ્યાને પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
દશાંશ- આ એકને દસ, સો, હજાર, વગેરે વડે ભાગવાનું પરિણામ છે. ભાગો. પ્રથમ, સંખ્યાનો સંપૂર્ણ ભાગ લખવામાં આવે છે, પછી જમણી બાજુએ દશાંશ બિંદુ મૂકવામાં આવે છે. દશાંશ બિંદુ પછીનો પહેલો અંક એટલે દશાંશની સંખ્યા, બીજો - સોની સંખ્યા, ત્રીજો - હજારમાની સંખ્યા વગેરે. દશાંશ બિંદુ પછી સ્થિત સંખ્યાઓને દશાંશ કહેવામાં આવે છે.
દાખ્લા તરીકે: 
દશાંશના ગુણધર્મો
ગુણધર્મો:
- જો તમે જમણી બાજુએ શૂન્ય ઉમેરશો તો દશાંશ અપૂર્ણાંક બદલાતો નથી: 4.5 = 4.5000.
- જો તમે દશાંશના અંતમાં શૂન્યને દૂર કરો તો દશાંશ બદલાતો નથી: 0.0560000 = 0.056.
- દશાંશ 10, 100, 1000, વગેરેથી વધે છે. વખત, જો તમે દશાંશ બિંદુ એક, બે, ત્રણ, વગેરે ખસેડો છો. જમણી બાજુની સ્થિતિ: 4.5 45 (અપૂર્ણાંક 10 ગણો વધ્યો છે).
- દશાંશ અપૂર્ણાંક 10, 100, 1000, વગેરે દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે. વખત, જો તમે દશાંશ બિંદુ એક, બે, ત્રણ, વગેરે ખસેડો છો. ડાબી બાજુની સ્થિતિ: 4.5 0.45 (અપૂર્ણાંક 10 ગણો ઘટ્યો છે).
સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં અંકોના અનંત પુનરાવર્તિત જૂથનો સમાવેશ થાય છે જેને પિરિયડ કહેવાય છે: 0.321321321321…=0,(321)
દશાંશ સાથે કામગીરી
દશાંશ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી તે જ રીતે પૂર્ણ સંખ્યાઓને ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવામાં આવે છે, તમારે ફક્ત અનુરૂપ લખવાની જરૂર છે. દશાંશએક બીજાની નીચે.
દાખ્લા તરીકે:
દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર ઘણા તબક્કામાં કરવામાં આવે છે:
- આપણે દશાંશ બિંદુને અવગણીને, દશાંશને પૂર્ણ સંખ્યા તરીકે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
- નિયમ લાગુ પડે છે: ઉત્પાદનમાં દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા તમામ પરિબળોમાં દશાંશ સ્થાનોના સરવાળા જેટલી છે.
દાખ્લા તરીકે:
અવયવોમાં દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાઓનો સરવાળો બરાબર છે: 2+1=3. હવે તમારે પરિણામી સંખ્યાના અંતથી 3 અંકોની ગણતરી કરવાની અને દશાંશ બિંદુ મૂકવાની જરૂર છે: 0.675.
દશાંશ વિભાજન. દશાંશ અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવું: જો ડિવિડન્ડ વિભાજક કરતાં ઓછું, પછી તમારે ભાગના પૂર્ણાંક ભાગમાં શૂન્ય લખવાની અને તેના પછી દશાંશ બિંદુ મૂકવાની જરૂર છે. પછી, ડિવિડન્ડના દશાંશ બિંદુને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અપૂર્ણાંક ભાગનો આગળનો અંક તેના સંપૂર્ણ ભાગમાં ઉમેરો અને ફરીથી ડિવિડન્ડના પરિણામી સંપૂર્ણ ભાગની વિભાજક સાથે તુલના કરો. જો નવી સંખ્યા ફરીથી વિભાજક કરતા ઓછી હોય, તો ઓપરેશનનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. પરિણામી ડિવિડન્ડ વિભાજક કરતા વધારે ન થાય ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયા પુનરાવર્તિત થાય છે. આ પછી, વિભાજન પૂર્ણાંકો માટે કરવામાં આવે છે. જો ડિવિડન્ડ વિભાજક કરતા વધારે અથવા સમાન હોય, તો પ્રથમ તેના સંપૂર્ણ ભાગને વિભાજીત કરો, ભાગાકારમાં ભાગાકારનું પરિણામ લખો અને દશાંશ બિંદુ મૂકો. આ પછી, વિભાજન પૂર્ણાંકોના કિસ્સામાં ચાલુ રહે છે.
એક દશાંશ અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવું: પ્રથમ, ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં દશાંશ બિંદુઓ વિભાજકમાં દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે, એટલે કે, આપણે વિભાજકને પૂર્ણાંક બનાવીએ છીએ, અને ઉપર વર્ણવેલ ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે.
રિવર્સ કરવા માટે દશાંશસામાન્યમાં, તમારે અંશ તરીકે દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યા લેવાની અને છેદ તરીકે દસની kth ઘાત લેવાની જરૂર છે (k એ દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા છે). બિન-શૂન્ય પૂર્ણાંક ભાગ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં સંગ્રહિત થાય છે; શૂન્ય પૂર્ણાંક ભાગ અવગણવામાં આવ્યો છે.
દાખ્લા તરીકે: 
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે ભાગાકારના નિયમો અનુસાર અંશને છેદ વડે ભાગવું આવશ્યક છે.
ટકાવારી એ એકમનો સોમો ભાગ છે, ઉદાહરણ તરીકે: 5% એટલે 0.05. ગુણોત્તર એ એક સંખ્યાનો ભાગ બીજી સંખ્યાનો ભાગ છે. પ્રમાણ એ બે ગુણોત્તરની સમાનતા છે.
દાખ્લા તરીકે:
પ્રમાણની મુખ્ય મિલકત: પ્રમાણની આત્યંતિક શરતોનું ઉત્પાદન તેની મધ્યમ શરતોના ગુણાંક જેટલું છે, એટલે કે, 5x30 = 6x25. બે પરસ્પર આશ્રિત માત્રાજો તેમના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર યથાવત રહે તો તેને પ્રમાણસર કહેવામાં આવે છે (પ્રમાણસરતા ગુણાંક).
આમ, નીચેની અંકગણિત કામગીરી ઓળખવામાં આવી છે.
દાખ્લા તરીકે:
તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં સકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ (પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંક) અને શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે. વધુ ચોક્કસ વ્યાખ્યાતર્કસંગત સંખ્યાઓ, જે ગણિતમાં સ્વીકૃત છે, તે નીચે મુજબ છે: જો કોઈ સંખ્યાને સામાન્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય તો તેને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે અફર અપૂર્ણાંકફોર્મનું:, જ્યાં a અને b પૂર્ણાંકો છે.
નકારાત્મક સંખ્યા માટે સંપૂર્ણ મૂલ્ય(મોડ્યુલસ) એક સકારાત્મક સંખ્યા છે જે તેના ચિહ્નને “-” થી “+” માં બદલીને મેળવે છે; માટે હકારાત્મક સંખ્યાઅને શૂન્ય એ જ સંખ્યા છે. સંખ્યાના મોડ્યુલસને દર્શાવવા માટે, બે સીધી રેખાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેની અંદર આ સંખ્યા લખેલી છે, ઉદાહરણ તરીકે: |–5|=5.
સંપૂર્ણ મૂલ્યના ગુણધર્મો
સંખ્યાનું મોડ્યુલસ આપવા દો 
, જેના માટે નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે: 
મોનોમિયલ એ બે અથવા વધુ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક કાં તો સંખ્યા, એક અક્ષર અથવા અક્ષરની શક્તિ છે: 3 x a x b. ગુણાંકને મોટે ભાગે માત્ર સંખ્યાત્મક ગુણક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. મોનોમિયલ્સને સમાન કહેવામાં આવે છે જો તે સમાન હોય અથવા માત્ર ગુણાંકમાં અલગ હોય. મોનોમિયલની ડિગ્રી તેના તમામ અક્ષરોના ઘાતાંકનો સરવાળો છે. જો મોનોમિયલ્સના સરવાળામાં સમાન હોય, તો સરવાળો ઘટાડી વધુ કરી શકાય છે સરળ દૃશ્ય: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). આ ઓપરેશનને કાસ્ટિંગ કહેવામાં આવે છે સમાન સભ્યોઅથવા તેને કૌંસની બહાર મૂકીને.
બહુપદી છે બીજગણિત રકમમોનોમિયલ બહુપદીની ડિગ્રી એ આપેલ બહુપદીમાં સમાવિષ્ટ મોનોમિયલ્સની ડિગ્રીમાં સૌથી મોટી છે.
અસ્તિત્વમાં છે નીચેના સૂત્રોસંક્ષિપ્ત ગુણાકાર:
ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિઓ:
બીજગણિત અપૂર્ણાંક એ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યાં A અને B સંખ્યા, એકપદી અથવા બહુપદી હોઈ શકે છે.
જો બે અભિવ્યક્તિઓ (સંખ્યાત્મક અને આલ્ફાબેટીક) "=" ચિહ્ન દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો તેઓ સમાનતા બનાવે છે. કોઈપણ સાચી સમાનતા, બધા સ્વીકાર્ય માટે માન્ય સંખ્યાત્મક મૂલ્યોતેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોને ઓળખ કહેવામાં આવે છે.
સમીકરણ એ શાબ્દિક સમાનતા છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોના ચોક્કસ મૂલ્યો માટે માન્ય છે. આ અક્ષરોને અજ્ઞાત (ચલ) કહેવામાં આવે છે, અને તેમના મૂલ્યો કે જેના પર આપેલ સમીકરણઓળખમાં ફેરવાય છે - સમીકરણના મૂળ દ્વારા.
સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ મૂળ શોધવા. બે અથવા વધુ સમીકરણો સમકક્ષ કહેવાય છે જો તેમના મૂળ સમાન હોય.
- શૂન્ય એ સમીકરણનું મૂળ હતું;
- સમીકરણ માત્ર હતું અંતિમ સંખ્યામૂળ
બીજગણિત સમીકરણોના મૂળભૂત પ્રકારો:
રેખીય સમીકરણ ax + b = 0 માટે:
- જો x 0 હોય, તો ત્યાં એક જ મૂળ x = -b/a છે;
- જો a = 0, b ≠ 0, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી;
- જો a = 0, b = 0 હોય, તો રુટ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
સમીકરણ xn = a, n N:
- જો n - એકી સંખ્યા, કોઈપણ માટે a/n બરાબર વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે;
- જો n એ સમ સંખ્યા છે, તો 0 માટે, તો તેના બે મૂળ છે.
પાયાની ઓળખ પરિવર્તન: એક અભિવ્યક્તિને બીજી અભિવ્યક્તિ સાથે બદલવી જે તેની સમાન હોય; વિરોધી ચિહ્નો સાથે સમીકરણની શરતોને એક બાજુથી બીજી તરફ સ્થાનાંતરિત કરવી; શૂન્ય સિવાયના સમાન અભિવ્યક્તિ (સંખ્યા) દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર.
એક અજ્ઞાત સાથેનું રેખીય સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે: ax+b=0, જ્યાં a અને b છે જાણીતી સંખ્યાઓ, અને x એ અજ્ઞાત જથ્થો છે.
બે સિસ્ટમ્સ રેખીય સમીકરણોબે અજાણ્યાઓ સાથે ફોર્મ છે:
જ્યાં a, b, c, d, e, f - આપેલ નંબરો; x, y અજાણ્યા છે.
સંખ્યાઓ a, b, c, d એ અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક છે; e, f- મફત સભ્યો. સમીકરણોની આ સિસ્ટમનો ઉકેલ બે મુખ્ય પદ્ધતિઓ દ્વારા શોધી શકાય છે: અવેજી પદ્ધતિ: એક સમીકરણમાંથી આપણે એક અજ્ઞાતને ગુણાંક અને બીજા અજ્ઞાત દ્વારા વ્યક્ત કરીએ છીએ, અને પછી તેને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, આપણે પહેલા છેલ્લું સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ; એક અજ્ઞાત શોધો, પછી આપણે પ્રથમ સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ અને બીજું અજ્ઞાત શોધીએ છીએ; એક સમીકરણને બીજામાંથી ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાની પદ્ધતિ.
મૂળ સાથે કામગીરી:
અંકગણિત nth મૂળબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા a ની શક્તિઓ કહેવાય છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, nમી ડિગ્રીજે a ની બરાબર છે. બીજગણિત મૂળ nમી ડિગ્રીથી આપેલ નંબરઆ સંખ્યાના તમામ મૂળના સમૂહને કહેવામાં આવે છે.
અતાર્કિક સંખ્યાઓ, તર્કસંગત સંખ્યાઓથી વિપરીત, m/n ફોર્મના સામાન્ય અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં m અને n પૂર્ણાંકો છે. આ એક નવા પ્રકારની સંખ્યાઓ છે જેની ગણતરી કોઈપણ ચોકસાઇ સાથે કરી શકાય છે, પરંતુ બદલી શકાતી નથી તાર્કિક અંક. તેઓ ભૌમિતિક માપનના પરિણામે દેખાઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે: ચોરસના કર્ણની લંબાઈ અને તેની બાજુની લંબાઈનો ગુણોત્તર સમાન છે.
ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે બીજગણિતીય સમીકરણબીજી ડિગ્રી ax2+bx+c=0, જ્યાં a, b, c સંખ્યાત્મક અથવા અક્ષર ગુણાંક આપવામાં આવે છે, x અજ્ઞાત છે. જો આપણે આ સમીકરણની તમામ શરતોને a વડે વિભાજીત કરીએ, તો પરિણામ x2+px+q=0 છે - ઘટાડેલું સમીકરણ p=b/a, q=c/a. તેના મૂળ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: 
જો b2-4ac>0, તો બે અલગ-અલગ મૂળ છે, b2- 4ac=0, તો બે છે. સમાન મૂળ; b2-4ac મોડ્યુલી ધરાવતા સમીકરણો
મોડ્યુલ ધરાવતાં મૂળભૂત પ્રકારનાં સમીકરણો:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, જ્યાં f(x), g(x), fk(x), gk(x) ફંક્શન આપવામાં આવે છે.
આ લેખ વિશે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. અહીં આપણે સંપૂર્ણના અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ રજૂ કરીશું, જે આપણને સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જશે. આગળ આપણે ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું સ્વીકૃત નોટેશન્સસામાન્ય અપૂર્ણાંકો માટે અને અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો આપો, ચાલો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ વિશે વાત કરીએ. આ પછી, અમે યોગ્ય અને અયોગ્ય, ધન અને નકારાત્મક અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યા આપીશું અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સ્થિતિને પણ ધ્યાનમાં લઈશું. સંકલન કિરણ. નિષ્કર્ષમાં, અમે અપૂર્ણાંક સાથે મુખ્ય કામગીરીની સૂચિ બનાવીએ છીએ.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
સમગ્ર ના શેર
પ્રથમ અમે પરિચય આપીએ છીએ શેરનો ખ્યાલ.
ચાલો માની લઈએ કે આપણી પાસે અમુક એકદમ સરખા (એટલે કે સમાન) ભાગોથી બનેલો પદાર્થ છે. સ્પષ્ટતા માટે, તમે કલ્પના કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સફરજનને ઘણા સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે, અથવા નારંગીમાં ઘણા સમાન ટુકડાઓ હોય છે. આ દરેક સમાન ભાગો બનાવે છે સમગ્ર વિષય, કહેવાય છે સમગ્ર ભાગોઅથવા સરળ રીતે શેર.
નોંધ કરો કે શેર અલગ છે. ચાલો આ સમજાવીએ. ચાલો આપણે બે સફરજન લઈએ. પ્રથમ સફરજનને બે સમાન ભાગોમાં અને બીજાને 6 સમાન ભાગોમાં કાપો. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ સફરજનનો હિસ્સો બીજા સફરજનના શેર કરતા અલગ હશે.
સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ બનાવે છે તે શેરની સંખ્યાના આધારે, આ શેરના પોતાના નામ છે. ચાલો તેને સૉર્ટ કરીએ ધબકારાનાં નામ. જો કોઈ ઑબ્જેક્ટ બે ભાગો ધરાવે છે, તો તેમાંથી કોઈપણને સમગ્ર ઑબ્જેક્ટનો બીજો ભાગ કહેવામાં આવે છે; જો કોઈ વસ્તુમાં ત્રણ ભાગો હોય, તો તેમાંથી કોઈપણને ત્રીજો ભાગ કહેવામાં આવે છે, વગેરે.
એક સેકન્ડ શેર છે ખાસ નામ – અડધા. એક તૃતીયાંશ કહેવાય છે ત્રીજું, અને એક ક્વાર્ટર ભાગ - ચોથા ભાગનું.
સંક્ષિપ્તતા માટે, નીચેની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી: બીટ પ્રતીકો. એક સેકન્ડ શેર અથવા 1/2 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, એક ત્રીજો શેર અથવા 1/3 તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે; એક ચોથો શેર - લાઇક અથવા 1/4, અને તેથી વધુ. નોંધ કરો કે આડી પટ્ટી સાથેનો સંકેત વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે. સામગ્રીને મજબુત બનાવવા માટે, ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ આપીએ: એન્ટ્રી સમગ્રનો એકસો સાઠ સાતમો ભાગ દર્શાવે છે.
શેરની વિભાવના કુદરતી રીતે વસ્તુઓથી જથ્થા સુધી વિસ્તરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, લંબાઈના માપદંડોમાંનું એક મીટર છે. મીટર કરતાં નાની લંબાઈને માપવા માટે, મીટરના અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. તેથી તમે ઉપયોગ કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, અડધો મીટર અથવા દસમો અથવા મીટરનો હજારમો. અન્ય જથ્થાના શેર સમાન રીતે લાગુ પડે છે.
સામાન્ય અપૂર્ણાંક, વ્યાખ્યા અને અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો
અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ તે શેરની સંખ્યાનું વર્ણન કરવા માટે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ જે આપણને સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાનો સંપર્ક કરવા દેશે.
નારંગીમાં 12 ભાગો થવા દો. આ કિસ્સામાં દરેક શેર સંપૂર્ણ નારંગીના બારમા ભાગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે. આપણે બે ધબકારા આ રીતે દર્શાવીએ છીએ, ત્રણ ધબકારા આ રીતે, અને તેથી વધુ, 12 ધબકારા તરીકે આપણે સૂચવીએ છીએ. આપેલ દરેક એન્ટ્રીને સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે.
હવે એક જનરલ આપીએ સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકની અવાજવાળી વ્યાખ્યા આપણને આપવા દે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો: 5/10, 21/1, 9/4, . અને અહીં રેકોર્ડ છે 
સામાન્ય અપૂર્ણાંકની જણાવેલ વ્યાખ્યામાં બંધબેસતા નથી, એટલે કે, તે સામાન્ય અપૂર્ણાંક નથી.
અંશ અને છેદ
સગવડ માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અલગ પાડવામાં આવે છે અંશ અને છેદ.
વ્યાખ્યા.
અંશસામાન્ય અપૂર્ણાંક (m/n) એ કુદરતી સંખ્યા m છે.
વ્યાખ્યા.
છેદસામાન્ય અપૂર્ણાંક (m/n) એ કુદરતી સંખ્યા n છે.
તેથી, અંશ અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર સ્થિત છે (સ્લેશની ડાબી બાજુએ), અને છેદ અપૂર્ણાંક રેખાની નીચે (સ્લેશની જમણી બાજુએ) સ્થિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંક 17/29 લઈએ, આ અપૂર્ણાંકનો અંશ નંબર 17 છે, અને છેદ 29 નંબર છે.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં સમાવિષ્ટ અર્થની ચર્ચા કરવાનું બાકી છે. અપૂર્ણાંકનો છેદ બતાવે છે કે એક પદાર્થ કેટલા ભાગો ધરાવે છે, અને અંશ, બદલામાં, આવા ભાગોની સંખ્યા સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 12/5 ના છેદ 5 નો અર્થ છે કે એક પદાર્થ પાંચ શેર ધરાવે છે, અને અંશ 12 નો અર્થ છે કે આવા 12 શેર લેવામાં આવ્યા છે.
છેદ 1 સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે કુદરતી સંખ્યા
સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ હોઈ શકે છે એક સમાન. આ કિસ્સામાં, આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે ઑબ્જેક્ટ અવિભાજ્ય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે કંઈક સંપૂર્ણ રજૂ કરે છે. આવા અપૂર્ણાંકનો અંશ દર્શાવે છે કે કેટલી બધી વસ્તુઓ લેવામાં આવી છે. આમ, સામાન્ય અપૂર્ણાંકફોર્મ m/1 નો અર્થ કુદરતી સંખ્યા m છે. આ રીતે અમે સમાનતા m/1=m ની માન્યતા સાબિત કરી.
ચાલો છેલ્લી સમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ: m=m/1. આ સમાનતા આપણને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m ને સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 4 એ અપૂર્ણાંક 4/1 છે, અને સંખ્યા 103,498 અપૂર્ણાંક 103,498/1 ની બરાબર છે.
તેથી, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m ને 1 ના છેદ સાથે m/1 તરીકે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને m/1 સ્વરૂપના કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા m દ્વારા બદલી શકાય છે..
વિભાજન ચિહ્ન તરીકે અપૂર્ણાંક બાર
મૂળ વસ્તુને n શેરના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી એ n સમાન ભાગોમાં વિભાજન કરતાં વધુ કંઈ નથી. આઇટમને n શેરમાં વિભાજિત કર્યા પછી, અમે તેને n લોકોમાં સમાન રીતે વહેંચી શકીએ છીએ - દરેકને એક શેર પ્રાપ્ત થશે.
જો આપણે શરૂઆતમાં એમ સમાન વસ્તુઓ, જેમાંથી દરેકને n શેરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો પછી આપણે આ m વસ્તુઓને n લોકો વચ્ચે સમાનરૂપે વિભાજીત કરી શકીએ છીએ, દરેક વ્યક્તિને દરેક m વસ્તુઓમાંથી એક શેર આપીને. આ કિસ્સામાં, દરેક વ્યક્તિ પાસે 1/n ના m શેર હશે, અને 1/n ના m શેર સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n આપે છે. આમ, સામાન્ય અપૂર્ણાંક m/n નો ઉપયોગ n લોકો વચ્ચે m વસ્તુઓના વિભાજનને દર્શાવવા માટે થઈ શકે છે.
આ રીતે આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક અને ભાગાકાર વચ્ચે સ્પષ્ટ જોડાણ મેળવ્યું (કુદરતી સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાનો સામાન્ય વિચાર જુઓ). આ જોડાણ નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે: અપૂર્ણાંક રેખાને વિભાજન ચિહ્ન તરીકે સમજી શકાય છે, એટલે કે, m/n=m:n.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે ભાગાકારનું પરિણામ લખી શકો છો કુદરતી સંખ્યાઓ, જેના માટે અભિન્ન વિભાજન કરવામાં આવતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 5 સફરજનને 8 લોકો દ્વારા વિભાજીત કરવાનું પરિણામ 5/8 તરીકે લખી શકાય છે, એટલે કે, દરેકને સફરજનના પાંચ-આઠમા ભાગ મળશે: 5:8 = 5/8.
સમાન અને અસમાન અપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંકની સરખામણી
એકદમ કુદરતી ક્રિયા છે અપૂર્ણાંકની તુલના, કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે નારંગીનો 1/12 ભાગ 5/12 કરતા અલગ છે, અને સફરજનનો 1/6 ભાગ આ સફરજનના બીજા 1/6 સમાન છે.
બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરવાના પરિણામે, પરિણામોમાંથી એક પ્રાપ્ત થાય છે: અપૂર્ણાંક કાં તો સમાન અથવા અસમાન છે. પ્રથમ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અને બીજામાં - અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો સમાન અને અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા આપીએ.
વ્યાખ્યા.
સમાન, જો સમાનતા a·d=b·c સાચી હોય.
વ્યાખ્યા.
બે સામાન્ય અપૂર્ણાંક a/b અને c/d સમાન નથી, જો સમાનતા a·d=b·c સંતુષ્ટ ન હોય.
અહીં સમાન અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1/2 એ અપૂર્ણાંક 2/4 ની બરાબર છે, કારણ કે 1·4=2·2 (જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના નિયમો અને ઉદાહરણો જુઓ). સ્પષ્ટતા માટે, તમે બે સમાન સફરજનની કલ્પના કરી શકો છો, પ્રથમ અડધા ભાગમાં કાપવામાં આવે છે, અને બીજું 4 ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે સફરજનના બે ચતુર્થાંશ 1/2 શેર બરાબર છે. સમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અન્ય ઉદાહરણો છે અપૂર્ણાંક 4/7 અને 36/63, અને અપૂર્ણાંકની જોડી 81/50 અને 1,620/1,000.
પરંતુ સામાન્ય અપૂર્ણાંક 4/13 અને 5/14 સમાન નથી, કારણ કે 4·14=56, અને 13·5=65, એટલે કે, 4·14≠13·5. અસમાન સામાન્ય અપૂર્ણાંકના અન્ય ઉદાહરણો અપૂર્ણાંક 17/7 અને 6/4 છે.
જો, બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની તુલના કરતી વખતે, તે તારણ આપે છે કે તેઓ સમાન નથી, તો તમારે આમાંથી કયા સામાન્ય અપૂર્ણાંકો શોધવાની જરૂર પડી શકે છે. ઓછુંઅલગ, અને કયું - વધુ. તે જાણવા માટે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેનો સાર એ છે કે તુલનાત્મક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં લાવવો અને પછી અંશની તુલના કરવી. આ વિષય પરની વિગતવાર માહિતી અપૂર્ણાંકની તુલના લેખમાં એકત્રિત કરવામાં આવી છે: નિયમો, ઉદાહરણો, ઉકેલો.
અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ
દરેક અપૂર્ણાંક એક સંકેત છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા. એટલે કે, અપૂર્ણાંક એ અપૂર્ણાંક સંખ્યાનો માત્ર "શેલ" છે, તેના દેખાવ, અને તમામ સિમેન્ટીક લોડ અપૂર્ણાંક સંખ્યામાં સમાયેલ છે. જો કે, સંક્ષિપ્તતા અને સગવડતા માટે, અપૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાની વિભાવનાઓને જોડવામાં આવે છે અને તેને સરળ રીતે અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. અહીં પુનઃપ્રાપ્તિ કરવી યોગ્ય છે પ્રખ્યાત કહેવત: અમે અપૂર્ણાંક કહીએ છીએ - અમારો અર્થ છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા, અમે અપૂર્ણાંક સંખ્યા કહીએ છીએ - અમારો અર્થ અપૂર્ણાંક છે.
સંકલન કિરણ પરના અપૂર્ણાંક
સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને અનુરૂપ તમામ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓનું પોતાનું આગવું સ્થાન હોય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકો અને સંકલન કિરણના બિંદુઓ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર હોય છે.
અપૂર્ણાંક m/n ને અનુરૂપ સંકલન કિરણ પરના બિંદુ પર જવા માટે, તમારે મૂળમાંથી m સેગમેન્ટ્સને હકારાત્મક દિશામાં અલગ રાખવાની જરૂર છે, જેની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટનો 1/n અપૂર્ણાંક છે. આવા સેગમેન્ટ્સને એકમ સેગમેન્ટને n સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરીને મેળવી શકાય છે, જે હંમેશા હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અપૂર્ણાંક 14/10 ને અનુરૂપ, સંકલન કિરણ પર બિંદુ M બતાવીએ. બિંદુ O પર સમાપ્ત થાય છે અને તેની સૌથી નજીકનો બિંદુ, નાના ડેશ સાથે ચિહ્નિત થયેલ સેગમેન્ટની લંબાઈ એકમ સેગમેન્ટનો 1/10 છે. કોઓર્ડિનેટ 14/10 સાથેના બિંદુને મૂળમાંથી આવા 14 સેગમેન્ટના અંતરે દૂર કરવામાં આવે છે.
સમાન અપૂર્ણાંક સમાન અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુરૂપ છે, એટલે કે, સમાન અપૂર્ણાંકસંકલન કિરણ પર સમાન બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઓર્ડિનેટ્સ 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 કોઓર્ડિનેટ કિરણ પરના એક બિંદુને અનુરૂપ છે, કારણ કે તમામ લેખિત અપૂર્ણાંક સમાન છે (તે મૂકેલા અડધા એકમ સેગમેન્ટના અંતરે સ્થિત છે. સકારાત્મક દિશામાં મૂળમાંથી).
આડા અને જમણે નિર્દેશિત સંકલન કિરણ પર, એક બિંદુ જેનો સંકલન છે મોટો અપૂર્ણાંક, બિંદુની જમણી બાજુએ સ્થિત છે જેનું સંકલન છે નાનો અપૂર્ણાંક. એ જ રીતે, નાના કોઓર્ડિનેટ ધરાવતું બિંદુ મોટા કોઓર્ડિનેટવાળા બિંદુની ડાબી બાજુએ આવેલું છે.
યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો, વ્યાખ્યાઓ, ઉદાહરણો
સામાન્ય અપૂર્ણાંકો વચ્ચે છે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક . આ વિભાજન અંશ અને છેદની સરખામણી પર આધારિત છે.
ચાલો આપણે યોગ્ય અને અયોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.
વ્યાખ્યા.
યોગ્ય અપૂર્ણાંક
એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ છેદ કરતા ઓછો છે, એટલે કે, જો m વ્યાખ્યા.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકએ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેમાં અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા તેના સમાન હોય છે, એટલે કે, જો m≥n હોય, તો સામાન્ય અપૂર્ણાંક અયોગ્ય છે. અહીં યોગ્ય અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: 1/4, , 32,765/909,003. ખરેખર, દરેક લેખિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય છે (જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સરખામણી કરતો લેખ જુઓ), તેથી તેઓ વ્યાખ્યા દ્વારા સાચા છે. અહીં અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો છે: 9/9, 23/4, . ખરેખર, લેખિત સામાન્ય અપૂર્ણાંકોમાંથી પ્રથમનો અંશ છેદ સમાન છે, અને બાકીના અપૂર્ણાંકોમાં અંશ છેદ કરતા મોટો છે. એક સાથે અપૂર્ણાંકની સરખામણીના આધારે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યાઓ પણ છે. વ્યાખ્યા. યોગ્ય, જો તે એક કરતા ઓછું હોય. વ્યાખ્યા. સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે ખોટું, જો તે કાં તો એક સમાન હોય અથવા 1 કરતા વધારે હોય. તેથી સામાન્ય અપૂર્ણાંક 7/11 સાચો છે, 7/11 થી<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, અને 27/27=1. ચાલો વિચારીએ કે કેવી રીતે છેદ કરતા મોટા અથવા સમાન અંશ સાથેના સામાન્ય અપૂર્ણાંક આવા નામને લાયક છે - "અયોગ્ય". ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 9/9 લઈએ. આ અપૂર્ણાંકનો અર્થ એ છે કે નવ ભાગોનો સમાવેશ કરતી વસ્તુના નવ ભાગો લેવામાં આવે છે. એટલે કે ઉપલબ્ધ નવ ભાગોમાંથી આપણે એક આખો પદાર્થ બનાવી શકીએ છીએ. એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 9/9 આવશ્યકપણે સમગ્ર ઑબ્જેક્ટ આપે છે, એટલે કે, 9/9 = 1. સામાન્ય રીતે, છેદ સમાન અંશ સાથેના અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો એક સંપૂર્ણ પદાર્થ દર્શાવે છે, અને આવા અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા 1 દ્વારા બદલી શકાય છે. હવે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 7/3 અને 12/4 ને ધ્યાનમાં લો. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે આ સાત ત્રીજા ભાગમાંથી આપણે બે આખા ઓબ્જેક્ટ કંપોઝ કરી શકીએ છીએ (એક આખું ઓબ્જેક્ટ 3 ભાગોથી બનેલું છે, પછી બે સંપૂર્ણ ઑબ્જેક્ટ કંપોઝ કરવા માટે આપણને 3 + 3 = 6 ભાગોની જરૂર પડશે) અને હજી એક તૃતીયાંશ હશે. ભાગ બાકી. એટલે કે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક 7/3 નો આવશ્યકપણે અર્થ થાય છે 2 વસ્તુઓ અને તે પણ આવા પદાર્થનો 1/3. અને બાર ચતુર્થાંશ ભાગોમાંથી આપણે ત્રણ આખા ઓબ્જેક્ટ બનાવી શકીએ છીએ (દરેક ભાગો સાથે ત્રણ વસ્તુઓ). એટલે કે, અપૂર્ણાંક 12/4 એ આવશ્યકપણે 3 સંપૂર્ણ વસ્તુઓનો અર્થ થાય છે. ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણો આપણને નીચેના નિષ્કર્ષ પર લઈ જાય છે: અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા બદલી શકાય છે, જ્યારે અંશને છેદ દ્વારા સમાનરૂપે વિભાજિત કરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 9/9=1 અને 12/4=3), અથવા સરવાળો દ્વારા કુદરતી સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકનો, જ્યારે અંશ છેદ દ્વારા સરખે ભાગે વિભાજ્ય ન હોય (ઉદાહરણ તરીકે, 7/3=2+1/3). કદાચ આને કારણે જ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને "અનિયમિત" નામ મળ્યું. પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક (7/3=2+1/3) ના સરવાળા તરીકે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ એ ખાસ રસ છે. આ પ્રક્રિયાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાંથી સમગ્ર ભાગને અલગ પાડવો કહેવામાં આવે છે, અને તે એક અલગ અને વધુ સાવચેત વિચારણાને પાત્ર છે. તે નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ વચ્ચે ખૂબ નજીકનો સંબંધ છે. દરેક સામાન્ય અપૂર્ણાંક સકારાત્મક અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે (ધન અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ પરનો લેખ જુઓ). એટલે કે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે હકારાત્મક અપૂર્ણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય અપૂર્ણાંક 1/5, 56/18, 35/144 ધન અપૂર્ણાંક છે. જ્યારે તમારે અપૂર્ણાંકની હકારાત્મકતાને પ્રકાશિત કરવાની જરૂર હોય, ત્યારે તેની સામે વત્તાનું ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, +3/4, +72/34. જો તમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકની સામે બાદબાકીનું ચિહ્ન મૂકો છો, તો આ પ્રવેશ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક સંખ્યાને અનુરૂપ હશે. આ કિસ્સામાં આપણે વાત કરી શકીએ છીએ નકારાત્મક અપૂર્ણાંક. અહીં નકારાત્મક અપૂર્ણાંકના કેટલાક ઉદાહરણો છે: −6/10, −65/13, −1/18. હકારાત્મક અને ઋણ અપૂર્ણાંક m/n અને −m/n એ વિરોધી સંખ્યાઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 5/7 અને −5/7 વિરોધી અપૂર્ણાંકો છે. સકારાત્મક અપૂર્ણાંકો, જેમ કે સામાન્ય રીતે સકારાત્મક સંખ્યાઓ, ઉમેરણ, આવક, કોઈપણ મૂલ્યમાં ઉપરનો ફેરફાર વગેરે દર્શાવે છે. નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ખર્ચ, દેવું અથવા કોઈપણ જથ્થામાં ઘટાડોને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક −3/4 ને દેવું તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે જેની કિંમત 3/4 ની બરાબર છે. આડી અને જમણી દિશામાં, નકારાત્મક અપૂર્ણાંક મૂળની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. સંકલન રેખાના બિંદુઓ, જેના સંકલન ધન અપૂર્ણાંક m/n અને ઋણ અપૂર્ણાંક −m/n છે, મૂળથી સમાન અંતરે સ્થિત છે, પરંતુ O બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર. અહીં તે 0/n ફોર્મના અપૂર્ણાંકોનો ઉલ્લેખ કરવા યોગ્ય છે. આ અપૂર્ણાંકો શૂન્ય સંખ્યાની બરાબર છે, એટલે કે, 0/n=0. સકારાત્મક અપૂર્ણાંક, ઋણ અપૂર્ણાંક અને 0/n અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યાઓ બનાવવા માટે ભેગા થાય છે. અમે સામાન્ય અપૂર્ણાંકો સાથેની એક ક્રિયાની ચર્ચા કરી છે - અપૂર્ણાંકની તુલના - ઉપર. ચાર વધુ અંકગણિત કાર્યો વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી- અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. ચાલો તેમાંના દરેકને જોઈએ. અપૂર્ણાંકો સાથેની કામગીરીનો સામાન્ય સાર કુદરતી સંખ્યાઓ સાથેના અનુરૂપ કામગીરીના સાર જેવો જ છે. ચાલો એક સામ્યતા બનાવીએ. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકારઅપૂર્ણાંકમાંથી અપૂર્ણાંક શોધવાની ક્રિયા તરીકે વિચારી શકાય. સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો આપણે એક સફરજનનો 1/6 ભાગ લઈએ અને આપણે તેમાંથી 2/3 લેવાની જરૂર છે. આપણને જે ભાગની જરૂર છે તે અપૂર્ણાંક 1/6 અને 2/3ના ગુણાકારનું પરિણામ છે. બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ગુણાકારનું પરિણામ એ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે (જે ખાસ કિસ્સામાં કુદરતી સંખ્યાની બરાબર છે). આગળ, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર - નિયમો, ઉદાહરણો અને ઉકેલો લેખમાંની માહિતીનો અભ્યાસ કરો. ગ્રંથસૂચિ. ગણિતમાં, અપૂર્ણાંક એ એક અથવા વધુ એકમોથી બનેલી સંખ્યા છે. એટલે કે, અપૂર્ણાંક એક સંપૂર્ણના અમુક ભાગને દર્શાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ વસ્તુને 4 સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે અને તેમાંથી 1 લઈએ, તો આપણને અપૂર્ણાંક 1/4 મળે છે, જ્યાં 3 અંશ છે, 4 છેદ છે, અને આવા ભાગાકારનું પરિણામ (0.25) છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં વિવિધ અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે તેમના પ્રકાર પર આધારિત છે. રેકોર્ડિંગ પદ્ધતિ અનુસાર, સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંકને અલગ પાડવામાં આવે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંકને સરળ અપૂર્ણાંક પણ કહેવામાં આવે છે. તે નીચેની છબીની જેમ, આડી અથવા સ્લેશ દ્વારા વિભાજિત બે કુદરતી સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે. દશાંશ એ એક સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે જેમાં એકના છેદ પછી શૂન્ય આવે છે, આવા અપૂર્ણાંકનું ઉદાહરણ નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. જો કે, આવા અપૂર્ણાંકો સામાન્ય રીતે છેદ વિના લખવામાં આવે છે, અને અલ્પવિરામ (0.3) નો ઉપયોગ સમગ્રનો એક ભાગ દર્શાવવા માટે થાય છે. આ કિસ્સામાં, સરળ અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્ય હોવાથી દશાંશ બિંદુ પછી જેટલી સંખ્યાઓ સૂચવવામાં આવે છે. સ્થિત બિંદુ પહેલાં લખાયેલ દશાંશ અપૂર્ણાંકના ભાગને અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ કહેવામાં આવે છે, તેના પછી - દશાંશ સ્થાનો. વધુમાં, દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા કાં તો મર્યાદિત (2.3) અથવા અનંત (2.333333) હોઈ શકે છે. પછીના કિસ્સામાં, અમે સામયિક અપૂર્ણાંક વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, કારણ કે પુનરાવર્તિત સંખ્યાઓને અવધિ કહેવામાં આવે છે. લેખિતમાં, સમયગાળો કૌંસમાં બંધ કરવાનો રિવાજ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 2,(3). આ એન્ટ્રી આ રીતે વાંચે છે: બે પૂર્ણાંક અને ત્રણ સમયગાળામાં. જો કે, સામયિક અપૂર્ણાંક ગોળાકાર હોઈ શકે છે, પછી તેને ઘણીવાર રાઉન્ડ અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે, જો કે ગણિતમાં ગોળાકાર અપૂર્ણાંક કહેવું વધુ યોગ્ય રહેશે. જ્યારે અંશનું મોડ્યુલસ છેદના મોડ્યુલસ કરતા ઓછું હોય ત્યારે અપૂર્ણાંકને યોગ્ય કહેવામાં આવે છે તે જ સમયે, કોઈપણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, આવા અપૂર્ણાંકનું ઉદાહરણ નીચે આપવામાં આવ્યું છે. અહીં 1 એ મિશ્ર સંખ્યાનો પૂર્ણાંક ભાગ છે અને 1/2 એ અપૂર્ણાંક ભાગ છે. મિશ્ર સંખ્યાને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે સંપૂર્ણ ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી મૂલ્યમાં અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે. આવી ક્રિયાઓના પરિણામે, સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ જોવા મળે છે, જ્યારે છેદ સમાન રહે છે. જ્યારે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે (એક સિવાય), અપૂર્ણાંકને ઘટાડી શકાય તેવું કહેવામાં આવે છે, અન્ય કોઈપણ કિસ્સામાં - અફર કરી શકાય તેવું. દાખ્લા તરીકે: ઘણીવાર શાળાના બાળકો સમજી શકતા નથી કે કયા અપૂર્ણાંકને પારસ્પરિક કહેવામાં આવે છે અને કયો સંયુક્ત છે. તે તારણ આપે છે કે બધું એકદમ સરળ છે. જો આપણે અપૂર્ણાંક 7/8 લઈએ અને અંશ અને છેદને અદલાબદલી કરીએ, તો આપણને અપૂર્ણાંક 8/7 મળશે. તે આ અપૂર્ણાંકો છે (7/8 અને 8/7) જેને પારસ્પરિક કહેવામાં આવે છે. તદુપરાંત, એ નોંધવું જોઈએ કે આવા અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન હંમેશા 1 ની બરાબર છે. સંયોજન અપૂર્ણાંકમાં અભિવ્યક્તિઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં અપૂર્ણાંકની ઘણી વિશેષતાઓ શામેલ હોય છે. આવા અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો નીચે આપેલ છે. વધુમાં, હકારાત્મક અને નકારાત્મક અપૂર્ણાંકો વચ્ચે તફાવત કરવામાં આવે છે. બાદમાં દર્શાવવા માટે, અપૂર્ણાંક પહેલા "-" ચિહ્ન મૂકવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, "+" ચિહ્ન સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવતું નથી, જેમ કે સકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથે. આપણે જીવનમાં અપૂર્ણાંકોને શાળામાં ભણવાનું શરૂ કરતાં ઘણા વહેલા મળીએ છીએ. જો આપણે એક આખું સફરજન અડધું કાપીએ, તો આપણને ½ ફળ મળે છે. ચાલો તેને ફરીથી કાપીએ - તે ¼ હશે. આ અપૂર્ણાંકો છે. અને બધું સરળ લાગતું હતું. પુખ્ત વયના લોકો માટે. બાળક માટે (અને આ વિષય પ્રાથમિક શાળાના અંતે અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરે છે), અમૂર્ત ગાણિતિક વિભાવનાઓ હજી પણ ભયાનક રીતે અગમ્ય છે, અને શિક્ષકે સ્પષ્ટપણે સમજાવવું જોઈએ કે યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક, સામાન્ય અને દશાંશ શું છે, કઈ ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. તેમની સાથે અને, સૌથી અગત્યનું, આ બધું શા માટે જરૂરી છે. શાળામાં નવા વિષયનો પરિચય સામાન્ય અપૂર્ણાંકોથી શરૂ થાય છે. ઉપર અને નીચે - બે સંખ્યાઓને અલગ કરતી આડી રેખા દ્વારા તેઓ સરળતાથી ઓળખી શકાય છે. ઉપરના ભાગને અંશ કહેવાય છે, નીચેનો ભાગ છેદ કહેવાય છે. અયોગ્ય અને યોગ્ય સામાન્ય અપૂર્ણાંકો લખવા માટે એક લોઅરકેસ વિકલ્પ પણ છે - સ્લેશ દ્વારા, ઉદાહરણ તરીકે: ½, 4/9, 384/183. આ વિકલ્પનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે લાઇનની ઊંચાઈ મર્યાદિત હોય અને "ટુ-સ્ટોરી" એન્ટ્રી ફોર્મનો ઉપયોગ કરવો શક્ય ન હોય. શા માટે? હા, કારણ કે તે વધુ અનુકૂળ છે. આ આપણે થોડી વાર પછી જોઈશું. સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, દશાંશ અપૂર્ણાંક પણ છે. તેમને અલગ પાડવું ખૂબ જ સરળ છે: જો એક કિસ્સામાં આડા અથવા સ્લેશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો બીજામાં અલ્પવિરામનો ઉપયોગ સંખ્યાઓના ક્રમને અલગ કરવા માટે થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: 2.9; 163.34; 1.953. સંખ્યાઓને સીમિત કરવા માટે અમે જાણી જોઈને સેપરેટર તરીકે અર્ધવિરામનો ઉપયોગ કર્યો છે. તેમાંથી પ્રથમ આ રીતે વાંચશે: "બે પોઇન્ટ નવ." ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકો પર પાછા જઈએ. તેઓ બે પ્રકારના આવે છે. યોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે: તે એક અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ તેના છેદ કરતા ઓછો છે. શા માટે તે મહત્વનું છે? અમે હવે જોઈશું! તમારી પાસે ઘણાં સફરજન છે, અડધાં. કુલ - 5 ભાગો. તમે કેવી રીતે કહેશો: શું તમારી પાસે "અઢી" અથવા "સાડા પાંચ" સફરજન છે? અલબત્ત, પ્રથમ વિકલ્પ વધુ કુદરતી લાગે છે, અને મિત્રો સાથે વાત કરતી વખતે અમે તેનો ઉપયોગ કરીશું. પરંતુ જો આપણે ગણતરી કરવાની જરૂર હોય કે દરેક વ્યક્તિને કેટલા ફળો મળશે, જો કંપનીમાં પાંચ લોકો હોય, તો આપણે સંખ્યા 5/2 લખીશું અને તેને 5 વડે ભાગીશું - ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ વધુ સ્પષ્ટ થશે. . તેથી, યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના નામકરણ માટે, નિયમ આ છે: જો સંપૂર્ણ ભાગને અપૂર્ણાંક (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) માં ઓળખી શકાય, તો તે અનિયમિત છે. જો આ કરી શકાતું નથી, જેમ કે ½, 13/16, 9/10 ના કિસ્સામાં, તે સાચું હશે. જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને એકસાથે સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવામાં આવે તો તેનું મૂલ્ય બદલાતું નથી. કલ્પના કરો: તેઓએ કેકને 4 સમાન ભાગોમાં કાપી અને તમને એક આપ્યો. તેઓએ એક જ કેકને આઠ ટુકડા કરી અને તમને બે આપ્યા. શું તે ખરેખર વાંધો છે? છેવટે, ¼ અને 2/8 એ જ વસ્તુ છે! ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકોમાં સમસ્યાઓ અને ઉદાહરણોના લેખકો વારંવાર એવા અપૂર્ણાંકો આપીને વિદ્યાર્થીઓને મૂંઝવવાનો પ્રયત્ન કરે છે જે લખવા માટે બોજારૂપ હોય છે પરંતુ વાસ્તવમાં સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે. અહીં યોગ્ય અપૂર્ણાંકનું ઉદાહરણ છે: 167/334, જે, એવું લાગે છે, ખૂબ "ડરામણી" લાગે છે. પરંતુ આપણે ખરેખર તેને ½ તરીકે લખી શકીએ છીએ. 334 નંબર શેષ વિના 167 વડે વિભાજ્ય છે - આ ઓપરેશન કર્યા પછી, આપણને 2 મળે છે. અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મિશ્ર સંખ્યા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સમગ્ર ભાગને આગળ લાવવામાં આવે છે અને આડી રેખાના સ્તરે લખવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, અભિવ્યક્તિ રકમનું સ્વરૂપ લે છે: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 અને તેથી વધુ. આખો ભાગ લેવા માટે, તમારે છેદ દ્વારા અંશને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે. વિભાગનો બાકીનો ભાગ ટોચ પર, રેખાની ઉપર અને સંપૂર્ણ ભાગ - અભિવ્યક્તિ પહેલાં લખો. આમ, આપણને બે માળખાકીય ભાગો મળે છે: સંપૂર્ણ એકમો + યોગ્ય અપૂર્ણાંક. તમે વ્યસ્ત કામગીરી પણ કરી શકો છો - આ કરવા માટે, તમારે પૂર્ણાંક ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી મૂલ્યને અંશમાં ઉમેરવાની જરૂર છે. કંઈ જટિલ નથી. વિચિત્ર રીતે, અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર ઉમેરવા કરતાં વધુ સરળ છે. ફક્ત આડી રેખાને લંબાવવાની જરૂર છે: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5. વિભાજન સાથે, બધું પણ સરળ છે: તમારે અપૂર્ણાંકને ક્રોસવાઇઝ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16. જો તમારે ઉમેરણ કરવાની જરૂર હોય અથવા તેઓના છેદમાં સંખ્યાઓ અલગ હોય તો શું કરવું? તે ગુણાકારની જેમ જ કામ કરશે નહીં - અહીં તમારે યોગ્ય અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યા અને તેના સારને સમજવું જોઈએ. શરતોને સામાન્ય છેદ પર લાવવા માટે જરૂરી છે, એટલે કે, બંને અપૂર્ણાંકના નીચેના ભાગમાં સમાન સંખ્યાઓ હોવી આવશ્યક છે. આ કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ: બંને ભાગોને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો. ઉદાહરણ તરીકે, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½. શરતોને ઘટાડવા માટે કયા છેદને કેવી રીતે પસંદ કરવું? આ લઘુત્તમ સંખ્યા હોવી જોઈએ જે અપૂર્ણાંકના છેદમાં બંને સંખ્યાઓનો ગુણાંક છે: 1/3 અને 1/9 માટે તે 9 હશે; ½ અને 1/7 - 14 માટે, કારણ કે શેષ વિના 2 અને 7 વડે ભાગી શકાય તેવી કોઈ નાની કિંમત નથી. અયોગ્ય અપૂર્ણાંક શેના માટે વપરાય છે? છેવટે, આખો ભાગ તરત જ પસંદ કરવો, મિશ્ર નંબર મેળવવો - અને તેની સાથે પૂર્ણ કરવું વધુ અનુકૂળ છે! તે તારણ આપે છે કે જો તમારે બે અપૂર્ણાંકને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરવાની જરૂર હોય, તો અનિયમિતનો ઉપયોગ કરવો વધુ નફાકારક છે. ચાલો નીચેનું ઉદાહરણ લઈએ: (2 + 3/17) / (37 / 68). એવું લાગે છે કે કાપવા માટે કંઈ જ નથી. પરંતુ જો આપણે પ્રથમ કૌંસમાં વધારાના પરિણામને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ તો શું? જુઓ: (37/17) / (37/68) હવે બધું જગ્યાએ પડે છે! ચાલો ઉદાહરણને એવી રીતે લખીએ કે બધું સ્પષ્ટ થઈ જાય: (37*68) / (17*37). ચાલો અંશ અને છેદમાં 37 ને રદ કરીએ અને છેલ્લે ઉપર અને નીચેને 17 વડે ભાગીએ. શું તમને યોગ્ય અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક માટેનો મૂળભૂત નિયમ યાદ છે? જ્યાં સુધી આપણે તે એક જ સમયે અંશ અને છેદ માટે કરીએ છીએ ત્યાં સુધી આપણે તેમને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગી શકીએ છીએ. તેથી, અમને જવાબ મળે છે: 4. ઉદાહરણ જટિલ લાગતું હતું, પરંતુ જવાબમાં ફક્ત એક જ સંખ્યા છે. આ ગણિતમાં વારંવાર થાય છે. મુખ્ય વસ્તુ ડરવાની અને સરળ નિયમોનું પાલન કરવાની નથી. અમલ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થી સરળતાથી સામાન્ય ભૂલોમાંથી એક કરી શકે છે. સામાન્ય રીતે તેઓ બેદરકારીને કારણે થાય છે, અને કેટલીકવાર એ હકીકતને કારણે કે અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી હજુ સુધી માથામાં યોગ્ય રીતે સંગ્રહિત કરવામાં આવી નથી. ઘણી વખત અંશમાં સંખ્યાઓનો સરવાળો તમને તેના વ્યક્તિગત ઘટકો ઘટાડવા ઈચ્છે છે. ચાલો ઉદાહરણમાં કહીએ: (13 + 2) / 13, કૌંસ વિના લખાયેલ (આડી લીટી સાથે), ઘણા વિદ્યાર્થીઓ, બિનઅનુભવીને કારણે, ઉપર અને નીચે 13ને પાર કરે છે. પરંતુ આ કોઈ પણ સંજોગોમાં ન કરવું જોઈએ, કારણ કે આ એક ગંભીર ભૂલ છે! જો વધારાને બદલે ગુણાકારની નિશાની હોત, તો અમને જવાબમાં નંબર 2 મળશે, પરંતુ જ્યારે સરવાળો કરવામાં આવે ત્યારે, ફક્ત સંપૂર્ણ રકમ સાથે કોઈ એક શબ્દ સાથે કોઈ ક્રિયા કરવાની મંજૂરી નથી. અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરતી વખતે ગાય્સ પણ ઘણીવાર ભૂલો કરે છે. ચાલો બે યોગ્ય અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક લઈએ અને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરીએ: (5/6) / (25/33). વિદ્યાર્થી તેને મિશ્રિત કરી શકે છે અને પરિણામી અભિવ્યક્તિ (5*25) / (6*33) તરીકે લખી શકે છે. પરંતુ આ ગુણાકાર સાથે થશે, પરંતુ અમારા કિસ્સામાં બધું કંઈક અંશે અલગ હશે: (5*33) / (6*25). અમે જે શક્ય છે તે ઘટાડીએ છીએ, અને જવાબ 11/10 હશે. અમે પરિણામી અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ - 1.1 તરીકે લખીએ છીએ. યાદ રાખો કે કોઈપણ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિમાં ઑપરેશનનો ક્રમ ઑપરેશન ચિહ્નોની અગ્રતા અને કૌંસની હાજરી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અન્ય તમામ વસ્તુઓ સમાન હોવાથી, ક્રિયાઓનો ક્રમ ડાબેથી જમણે ગણવામાં આવે છે. આ અપૂર્ણાંક માટે પણ સાચું છે - અંશ અથવા છેદમાં અભિવ્યક્તિ આ નિયમ અનુસાર સખત રીતે ગણવામાં આવે છે. છેવટે, આ એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવાનું પરિણામ છે. જો તેઓ સમાનરૂપે વિભાજિત ન હોય, તો તે અપૂર્ણાંક બની જાય છે - બસ. માનક સાધનો હંમેશા બે "સ્તરો" ધરાવતા અપૂર્ણાંક બનાવવાની મંજૂરી આપતા નથી, તેથી વિદ્યાર્થીઓ કેટલીકવાર વિવિધ યુક્તિઓનો આશરો લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ પેઇન્ટ ગ્રાફિક એડિટરમાં અંશ અને છેદની નકલ કરે છે અને તેમની વચ્ચે એક આડી રેખા દોરે છે. અલબત્ત, ત્યાં એક સરળ વિકલ્પ છે, જે, માર્ગ દ્વારા, ઘણી બધી વધારાની સુવિધાઓ પ્રદાન કરે છે જે ભવિષ્યમાં તમારા માટે ઉપયોગી થશે. માઈક્રોસોફ્ટ વર્ડ ખોલો. સ્ક્રીનની ટોચ પરની એક પેનલને "ઇનસર્ટ" કહેવામાં આવે છે - તેને ક્લિક કરો. જમણી બાજુએ, જ્યાં વિન્ડો બંધ કરો અને નાનું કરો ચિહ્નો સ્થિત છે, ત્યાં એક "ફોર્મ્યુલા" બટન છે. આ બરાબર છે જે આપણને જોઈએ છે! જો તમે આ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરો છો, તો સ્ક્રીન પર એક લંબચોરસ વિસ્તાર દેખાશે જેમાં તમે કીબોર્ડ પર ન હોય તેવા કોઈપણ ગાણિતિક ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તેમજ ક્લાસિક સ્વરૂપમાં અપૂર્ણાંક લખી શકો છો. એટલે કે, અંશ અને છેદને આડી રેખા વડે વિભાજિત કરવું. તમને આશ્ચર્ય પણ થશે કે આટલો યોગ્ય અપૂર્ણાંક લખવા માટે આટલો સરળ છે. જો તમે ગ્રેડ 5-6માં છો, તો ટૂંક સમયમાં જ શાળાના ઘણા વિષયોમાં ગણિતનું જ્ઞાન (અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાની ક્ષમતા સહિત!)ની જરૂર પડશે. ભૌતિકશાસ્ત્રની લગભગ કોઈપણ સમસ્યામાં, રસાયણશાસ્ત્રમાં, ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિમાં પદાર્થોના સમૂહને માપતી વખતે, તમે અપૂર્ણાંક વિના કરી શકતા નથી. ટૂંક સમયમાં તમે કાગળ પર અભિવ્યક્તિઓ લખ્યા વિના, તમારા માથામાં દરેક વસ્તુની ગણતરી કરવાનું શીખી શકશો, પરંતુ વધુ અને વધુ જટિલ ઉદાહરણો દેખાશે. તેથી યોગ્ય અપૂર્ણાંક શું છે અને તેની સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું તે શીખો, તમારા અભ્યાસક્રમ સાથે રાખો, તમારું હોમવર્ક સમયસર કરો, અને તમે સફળ થશો. શરૂ કરવા માટે, તે કહેવું આવશ્યક છે કે સામાન્ય રીતે બે પ્રકારના અપૂર્ણાંક હોય છે: સામાન્ય અપૂર્ણાંક અને દશાંશ અપૂર્ણાંક. સામાન્ય અપૂર્ણાંક આ રીતે લખવામાં આવે છે: કોઈપણ અપૂર્ણાંક એ સમગ્રનો ભાગ છે. સામાન્ય રીતે સમગ્ર તરીકે લેવામાં આવે છે 1
(એકમ). અપૂર્ણાંકનો છેદ બતાવે છે કે સમગ્ર કેટલા ભાગોમાં વિભાજિત છે ( 1
), અને અંશ એ છે કે કેટલા ભાગો લેવામાં આવ્યા હતા. જો આપણે કેકને 6 સમાન ભાગોમાં કાપીએ (ગણિતમાં તેઓ કહે છે શેર
), પછી કેકનો દરેક ભાગ 1/6 જેટલો હશે. જો વાસ્યાએ 4 ટુકડાઓ ખાધા, તો તેનો અર્થ એ કે તેણે 4/6 ખાધા. બીજી બાજુ, સ્લેશ એ ડિવિઝન ચિહ્ન કરતાં વધુ કંઈ નથી. તેથી, અપૂર્ણાંક એ બે સંખ્યાઓનો ભાગ છે - અંશ અને છેદ. સમસ્યાઓના લખાણમાં અથવા વાનગીઓમાં, અપૂર્ણાંક સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે: 2/3, 1/2, વગેરે. કેટલાક અપૂર્ણાંકના પોતાના નામ હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 1/2 - "અડધો", 1/3 - "ત્રીજો", 1/4 - "ક્વાર્ટર" 2
સામાન્ય અપૂર્ણાંકના પ્રકાર
સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ત્રણ પ્રકાર છે: યોગ્ય, અયોગ્ય અને મિશ્ર: જો અંશ છેદ કરતા ઓછો હોય, તો આવા અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે સાચું,દાખ્લા તરીકે: જો અંશ છેદ કરતા મોટો અથવા છેદ સમાન હોય, તો આવા અપૂર્ણાંકને કહેવામાં આવે છે. ખોટું, દાખ્લા તરીકે: અયોગ્ય અપૂર્ણાંક એક કરતા મોટો હોય છે (જો અંશ છેદ કરતા મોટો હોય) અથવા એક સમાન હોય (જો અંશ છેદ સમાન હોય) જો અપૂર્ણાંકમાં સંપૂર્ણ સંખ્યા (પૂર્ણાંક ભાગ) અને યોગ્ય અપૂર્ણાંક (અપૂર્ણાંક ભાગ) હોય, તો આવા અપૂર્ણાંકને કહેવામાં આવે છે. મિશ્ર, દાખ્લા તરીકે: મિશ્ર અપૂર્ણાંક હંમેશા એક કરતા મોટો હોય છે. 3
અપૂર્ણાંક રૂપાંતરણ
ગણિતમાં, સામાન્ય અપૂર્ણાંકને વારંવાર રૂપાંતરિત કરવું પડે છે, એટલે કે, મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે અને ઊલટું. ગુણાકાર અને ભાગાકાર જેવી ચોક્કસ કામગીરી કરવા માટે આ જરૂરી છે. તેથી, કોઈપણ મિશ્રિત અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, સમગ્ર ભાગને છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામી રકમ અંશ તરીકે લેવામાં આવે છે, અને છેદ એ જ રહે છે, ઉદાહરણ તરીકે: કોઈપણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, અંશને છેદ દ્વારા વિભાજીત કરો (બાકી સાથે) પરિણામી સંખ્યા પૂર્ણાંક ભાગ હશે, અને બાકીનો ભાગ અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ હશે, ઉદાહરણ તરીકે: તે જ સમયે તેઓ કહે છે: "અમે સમગ્ર ભાગને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકથી અલગ કરી દીધો છે." એક વધુ નિયમ યાદ રાખો: કોઈપણ પૂર્ણાંકને 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, દાખ્લા તરીકે: ચાલો અપૂર્ણાંકની તુલના કેવી રીતે કરવી તે વિશે વાત કરીએ. 4
અપૂર્ણાંકની સરખામણી
અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરતી વખતે, ઘણા વિકલ્પો હોઈ શકે છે: સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકની તુલના કરવી સરળ છે, પરંતુ જો છેદ અલગ હોય તો તે વધુ મુશ્કેલ છે. અને મિશ્ર અપૂર્ણાંકની સરખામણી પણ છે. પરંતુ ચિંતા કરશો નહીં, હવે અમે દરેક વિકલ્પને વિગતવાર જોઈશું અને અપૂર્ણાંકની તુલના કેવી રીતે કરવી તે શીખીશું. સમાન છેદ ધરાવતા પરંતુ અલગ અંશ ધરાવતા બે અપૂર્ણાંકમાંથી, મોટા અંશ સાથેનો અપૂર્ણાંક વધારે છે, ઉદાહરણ તરીકે: સમાન અંશ સાથેના બે અપૂર્ણાંકોમાંથી પરંતુ અલગ છેદ, નાના છેદ સાથેનો અપૂર્ણાંક મોટો છે, ઉદાહરણ તરીકે: અયોગ્ય અથવા મિશ્રિત અપૂર્ણાંક હંમેશા યોગ્ય અપૂર્ણાંક કરતા મોટો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે: બે મિશ્રિત અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરતી વખતે, જે અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ મોટો છે તે મોટો છે, ઉદાહરણ તરીકે: જો મિશ્રિત અપૂર્ણાંકના સમગ્ર ભાગો સમાન હોય, તો જે અપૂર્ણાંકનો અપૂર્ણાંક મોટો છે તે અપૂર્ણાંક વધારે છે, ઉદાહરણ તરીકે: તમે અપૂર્ણાંકને રૂપાંતર કર્યા વિના વિવિધ અંશ અને છેદ સાથે સરખાવી શકતા નથી. પ્રથમ, અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ સુધી ઘટાડવું આવશ્યક છે, અને પછી તેમના અંશની તુલના કરવી આવશ્યક છે. મોટો એ અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ મોટો છે. પરંતુ આપણે લેખના આગામી બે વિભાગોમાં સમાન છેદમાં અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવું તે જોઈશું. પહેલા આપણે અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મ અને અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને જોઈશું, અને પછી તે જ છેદમાં અપૂર્ણાંકને સીધા ઘટાડીને જોઈશું. 5
અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત. અપૂર્ણાંક ઘટાડવા. GCD નો ખ્યાલ.
યાદ રાખો: તમે ફક્ત સમાન છેદ ધરાવતા અપૂર્ણાંકોને ઉમેરી અને બાદ કરી શકો છો અને તેની તુલના કરી શકો છો. જો છેદ અલગ-અલગ હોય, તો તમારે પહેલા અપૂર્ણાંકને સમાન છેદમાં લાવવાની જરૂર છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકમાંના એકને રૂપાંતરિત કરો જેથી કરીને તેનો છેદ બીજા અપૂર્ણાંક જેવો જ બને. અપૂર્ણાંકમાં એક મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ છે, જેને પણ કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત: જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે, તો અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી: આ મિલકત માટે આભાર અમે કરી શકો છો અપૂર્ણાંક ઘટાડો: અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે અંશ અને છેદ બંનેને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવું.(ઉપરનું ઉદાહરણ જુઓ). જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ છીએ, ત્યારે આપણે આપણી ક્રિયાઓ આ રીતે લખી શકીએ છીએ: વધુ વખત નોટબુકમાં અપૂર્ણાંકને નીચે પ્રમાણે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે: પરંતુ યાદ રાખો: તમે માત્ર પરિબળોને ઘટાડી શકો છો. જો અંશ અથવા છેદમાં સરવાળો અથવા તફાવત હોય, તો તમે શરતોને ઘટાડી શકતા નથી. ઉદાહરણ: તમારે પહેલા સરવાળાને ગુણકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે: કેટલીકવાર, મોટી સંખ્યામાં સાથે કામ કરતી વખતે, અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે, તે શોધવાનું અનુકૂળ છે અંશ અને છેદ (GCD) નો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજકગ્રેટેસ્ટ કોમન ડિવાઈઝર (GCD) બે સંખ્યાઓની gcd શોધવા માટે (ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ), તમારે બંને સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે, બંને અવયવીકરણોમાં સમાન પરિબળોને ચિહ્નિત કરવા અને આ પરિબળોને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. પરિણામી ઉત્પાદન GCD હશે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની જરૂર છે: ચાલો 96 અને 36 નંબરોની જીસીડી શોધીએ: GCD અમને બતાવે છે કે અંશ અને છેદ બંનેનો અવયવ 12 છે, અને આપણે અપૂર્ણાંકને સરળતાથી ઘટાડી શકીએ છીએ. કેટલીકવાર, અપૂર્ણાંકને સમાન છેદમાં લાવવા માટે, તે અપૂર્ણાંકમાંના એકને ઘટાડવા માટે પૂરતું છે. પરંતુ વધુ વખત બંને અપૂર્ણાંક માટે વધારાના પરિબળો પસંદ કરવા જરૂરી છે હવે આપણે આ કેવી રીતે થાય છે તે જોઈશું. તેથી: 6
અપૂર્ણાંકને સમાન છેદમાં કેવી રીતે ઘટાડવું. લઘુત્તમ સામાન્ય બહુવિધ (LCM).
જ્યારે આપણે અપૂર્ણાંકને સમાન છેદમાં ઘટાડીએ છીએ, ત્યારે આપણે છેદ માટે એવી સંખ્યા પસંદ કરીએ છીએ જે પ્રથમ અને બીજા છેદ બંને વડે વિભાજ્ય હશે (એટલે કે, તે ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ બંને છેદનો ગુણાંક હશે). અને તે ઇચ્છનીય છે કે આ સંખ્યા શક્ય તેટલી નાની હોય, તે ગણતરી કરવી વધુ અનુકૂળ છે. આમ, આપણે બંને છેદના LCM શોધવા જોઈએ. બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય ગુણાંક (LCM)એ સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે આ બંને સંખ્યાઓ દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય છે. કેટલીકવાર એલસીએમ મૌખિક રીતે મળી શકે છે, પરંતુ વધુ વખત, ખાસ કરીને જ્યારે મોટી સંખ્યામાં કામ કરતી વખતે, તમારે નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને લેખિતમાં એલસીએમ શોધવાનું રહેશે: અનેક સંખ્યાઓના LCM શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે: ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 28 અને 21 નંબરોના LCM શોધીએ: જો કે, ચાલો આપણા અપૂર્ણાંક પર પાછા જઈએ. અમે બંને છેદના LCMની ગણતરી કરી લીધા પછી અથવા લખ્યા પછી, આપણે આ અપૂર્ણાંકોના અંશનો ગુણાકાર કરવો જોઈએ વધારાના ગુણક. તમે તેમને અનુરૂપ અપૂર્ણાંકના છેદ દ્વારા LCM ને વિભાજિત કરીને શોધી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે: આમ, અમે અમારા અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ - 15 સુધી ઘટાડ્યા. 7
અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી
સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે, પરંતુ છેદને સમાન છોડો, ઉદાહરણ તરીકે: સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકને બાદ કરવા માટે, તમારે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી બીજા અપૂર્ણાંકના અંશને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, અને છેદને તે જ છોડી દો, ઉદાહરણ તરીકે: સમાન છેદ સાથે મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના સંપૂર્ણ ભાગોને અલગથી ઉમેરવાની જરૂર છે, અને પછી તેમના અપૂર્ણાંક ભાગો ઉમેરવાની જરૂર છે, અને મિશ્ર અપૂર્ણાંક તરીકે પરિણામ લખો: જો, અપૂર્ણાંક ભાગો ઉમેરતી વખતે, તમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મળે છે, તો તેમાંથી સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરો અને તેને સંપૂર્ણ ભાગમાં ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે: બાદબાકી એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે: પૂર્ણાંક ભાગ સમગ્ર ભાગમાંથી બાદબાકી કરવામાં આવે છે, અને અપૂર્ણાંક ભાગ અપૂર્ણાંક ભાગમાંથી બાદબાકી કરવામાં આવે છે: જો સબટ્રેહેન્ડનો અપૂર્ણાંક ભાગ મીન્યુએન્ડના અપૂર્ણાંક ભાગ કરતા મોટો હોય, તો અમે આખા ભાગમાંથી એક "ઉધાર" લઈએ છીએ, મિન્યુએન્ડને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ, અને પછી હંમેશની જેમ આગળ વધીએ છીએ: તેવી જ રીતે પૂર્ણ સંખ્યામાંથી અપૂર્ણાંક બાદ કરો: પૂર્ણ સંખ્યા અને અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઉમેરવો સંપૂર્ણ સંખ્યા અને અપૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે, તમે મિશ્ર અપૂર્ણાંક બનાવવા માટે અપૂર્ણાંકની પહેલા તે સંખ્યા ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે: જો આપણે પૂર્ણ સંખ્યા અને મિશ્ર અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છીએ, અમે આ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગમાં ઉમેરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે: જુદા જુદા છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અથવા બાદ કરવા માટે, તમારે પહેલા તેમને સમાન છેદ પર લાવવું જોઈએ, અને પછી સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરતી વખતે આગળ વધવું જોઈએ (અંશ ઉમેરો): બાદબાકી કરતી વખતે, અમે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ: જો આપણે મિશ્ર અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરીએ, તો આપણે તેમના અપૂર્ણાંક ભાગોને સમાન છેદમાં ઘટાડીશું અને પછી હંમેશની જેમ બાદ કરીએ છીએ: આખા ભાગમાંથી સંપૂર્ણ ભાગ, અને અપૂર્ણાંક ભાગમાંથી અપૂર્ણાંક ભાગ: 8
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા કરતાં વધુ સરળ છે કારણ કે તમારે તેમને સમાન છેદ સુધી ઘટાડવાની જરૂર નથી. અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટેના સરળ નિયમો યાદ રાખો: અંશ અને છેદમાં સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતા પહેલા, અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, એટલે કે, અમારા ઉદાહરણની જેમ, અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળોથી છૂટકારો મેળવો. અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે વિભાજીત કરવા, તમારે છેદને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને અંશને યથાવત છોડી દો: દાખ્લા તરીકે: અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવું એક અપૂર્ણાંકને બીજા વડે વિભાજીત કરવા માટે, તમારે ડિવિડન્ડને વિભાજક (પરસ્પર અપૂર્ણાંક) દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે આ કેવા પ્રકારનો પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક છે? જો આપણે અપૂર્ણાંકને ફ્લિપ કરીએ, એટલે કે, આપણે અંશ અને છેદને અદલાબદલી કરીએ, તો આપણને પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક મળે છે. અપૂર્ણાંક અને તેના વ્યસ્તનું ઉત્પાદન એક આપે છે. ગણિતમાં, આવી સંખ્યાઓને પારસ્પરિક કહેવામાં આવે છે: ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ આમ, ચાલો અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવા પર પાછા આવીએ: એક અપૂર્ણાંકને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે, તમારે વિભાજકના પરસ્પર દ્વારા ડિવિડન્ડનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.: દાખ્લા તરીકે: મિશ્ર અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરતી વખતે, જેમ કે ગુણાકાર કરતી વખતે, તમારે પહેલા તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે: જ્યારે સંપૂર્ણ કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવામાં આવે છે, તમે આ સંખ્યાઓને છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે પણ રજૂ કરી શકો છો 1
. અને ક્યારે અપૂર્ણાંક દ્વારા સંપૂર્ણ સંખ્યાને વિભાજીત કરવીઆ સંખ્યાને છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરો 1
:સકારાત્મક અને નકારાત્મક અપૂર્ણાંક
અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી
સામાન્ય, દશાંશ અને સામયિક અપૂર્ણાંક
યોગ્ય, અયોગ્ય અને મિશ્ર અપૂર્ણાંક
(1/3, 2/5, 7/8), અન્યથા અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે (3/2, 9/7, 13/5). અંશ અને છેદ સમાન હોય તેવા અપૂર્ણાંકને પણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
ઘટાડી શકાય તેવા અને અફર અપૂર્ણાંક
સંયુક્ત અને પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક
અપૂર્ણાંક શું છે?
નવી વિભાવનાઓ
અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત
ઘટાડો
મિશ્ર સંખ્યાઓ
ગુણાકાર અને ભાગાકાર
અપૂર્ણાંક ઉમેરી રહ્યા છે
ઉપયોગ
સામાન્ય ભૂલો
કૌંસ
કમ્પ્યુટર પર અપૂર્ણાંક કેવી રીતે લખવો
ગણિત શીખો
અપૂર્ણાંકનો અર્થ હંમેશા સમગ્રનો અમુક ભાગ થાય છે. હકીકત એ છે કે જથ્થો હંમેશા કુદરતી સંખ્યામાં વ્યક્ત કરી શકાતો નથી, એટલે કે, પુનઃગણતરી: 1,2,3, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે અડધા તરબૂચ અથવા એક કલાકનો એક ક્વાર્ટર કેવી રીતે નિયુક્ત કરો છો? તેથી જ અપૂર્ણાંક અથવા સંખ્યાઓ દેખાય છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક અલગ રીતે લખવામાં આવે છે:
સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે: ટોચ પર અંશ છે, તળિયે છેદ છે. અંશ અને છેદ અપૂર્ણાંક રેખા દ્વારા અલગ પડે છે. તેથી યાદ રાખો:
હવે ચાલો જાણીએ કે કયા પ્રકારના સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે.યોગ્ય અપૂર્ણાંક
યોગ્ય અપૂર્ણાંક હંમેશા 1 કરતા ઓછો હોય છે.અયોગ્ય અપૂર્ણાંક
મિશ્ર અપૂર્ણાંક
સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકની તુલના
સમાન અંશ સાથે અપૂર્ણાંકની તુલના
યોગ્ય અપૂર્ણાંક સાથે મિશ્ર અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવી
બે મિશ્ર અપૂર્ણાંકની સરખામણી
વિવિધ અંશ અને છેદ સાથે અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવી
વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી.
- પરસ્પર વિપરીત છે, ત્યારથી 
