તે સરેરાશ મૂલ્યની નિશાની નથી. સરેરાશ મૂલ્યો

ફેડરલ એજન્સીશિક્ષણ દ્વારા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા "ઉરલ સ્ટેટ ઇકોનોમિક યુનિવર્સિટી"

અંતર શિક્ષણ માટે કેન્દ્ર

ટેસ્ટ

શિસ્ત દ્વારા: " આંકડા"

વહીવટકર્તા:

જૂથ વિદ્યાર્થી: ETR-09 SR

ટ્રોશેવા નતાલ્યા યુરીવેના

યેકાટેરિનબર્ગ

2009

પરિચય

1.1 સરેરાશ મૂલ્યોના પ્રકારો અને ગણતરી પદ્ધતિઓ

1.2 માળખાકીય સરેરાશ

2. વ્યવહારુ કાર્ય

નિષ્કર્ષ

સંદર્ભો

પરિચય

આ પરીક્ષણબે ભાગો સમાવે છે - સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ.

સૈદ્ધાંતિક ભાગમાં, સરેરાશ મૂલ્ય જેવી મહત્વપૂર્ણ આંકડાકીય શ્રેણીની વિગતવાર તપાસ કરવામાં આવશે જેથી કરીને તેનો સાર અને એપ્લિકેશનની શરતોને ઓળખવામાં આવે, તેમજ સરેરાશના પ્રકારો અને તેમની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓને પ્રકાશિત કરવામાં આવે.

વ્યવહારુ ભાગ કોઈપણ એન્ટરપ્રાઇઝના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રદર્શન સૂચકાંકોની ગણતરી અને વિશ્લેષણ માટે સમર્પિત છે - ઘટનાના વિકાસનું આયોજિત સ્તર અને આ સૂચકાંકોમાં ફેરફારોને અસર કરતા મુખ્ય પરિબળોને ઓળખવા માટે સામાન્ય ભાવ સૂચકાંક.

1. સરેરાશ મૂલ્યો: પ્રકારો, ગુણધર્મો, અવકાશ

સરેરાશ મૂલ્ય એ અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાનું સામાન્યીકરણ મૂલ્ય છે, જે સ્થળ અને સમયની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ વસ્તીના એકમ દીઠ તેના લાક્ષણિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

સરેરાશ મૂલ્યો સામાન્ય આંકડાકીય સૂચકાંકોનો સંદર્ભ આપે છે જે સમૂહની સારાંશ લાક્ષણિકતા આપે છે સામાજિક ઘટના, કારણ કે તેઓ વિવિધ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોની મોટી સંખ્યાના આધારે બનાવવામાં આવ્યા છે.

સરેરાશ મૂલ્ય એ પ્રતિબિંબિત કરે છે કે અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીના તમામ એકમોમાં શું સામાન્ય છે. તે જ સમયે, તે વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોની લાક્ષણિકતાના મૂલ્ય પર કાર્ય કરતા તમામ પરિબળોના પ્રભાવને સંતુલિત કરે છે, જાણે કે તેઓ પરસ્પર બુઝાઇ રહ્યા હોય. કોઈપણ સામાજિક ઘટનાનું સ્તર પરિબળોના બે જૂથોની ક્રિયા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેમાંના કેટલાક સામાન્ય અને મુખ્ય છે, સતત કાર્યરત છે, જે ઘટના અથવા પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેની પ્રકૃતિ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, અને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીના તમામ એકમો માટે વિશિષ્ટ છે તે બનાવે છે, જે સરેરાશ મૂલ્યમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. અન્ય વ્યક્તિગત છે, તેમની ક્રિયા ઓછી ઉચ્ચારણ છે અને એપિસોડિક છે, પ્રકૃતિમાં રેન્ડમ છે. તેથી, સરેરાશ મૂલ્ય "અવ્યક્તિગત" મૂલ્ય તરીકે કાર્ય કરે છે, જે તેમાંથી કોઈપણ સાથે માત્રાત્મક રીતે એકરૂપ થયા વિના લાક્ષણિકતાઓના વ્યક્તિગત મૂલ્યોથી વિચલિત થઈ શકે છે. સરેરાશ મૂલ્ય તેના વ્યક્તિગત એકમોની લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના અવ્યવસ્થિત, અસામાન્ય તફાવતોના પરસ્પર રદને કારણે સમગ્ર વસ્તી માટે સામાન્ય, લાક્ષણિકતા અને લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે, કારણ કે તેનું મૂલ્ય બધા કારણોના સામાન્ય પરિણામ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

લાક્ષણિકતાના સૌથી લાક્ષણિક મૂલ્યને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે સરેરાશ મૂલ્ય માટે, તે માત્ર ગુણાત્મક રીતે સજાતીય એકમો ધરાવતી વસ્તી માટે જ નક્કી કરવું જોઈએ. સરેરાશના વૈજ્ઞાનિક રીતે આધારિત ઉપયોગ માટેની આ જરૂરિયાત મુખ્ય શરત છે અને સામાજિક-આર્થિક ઘટનાના વિશ્લેષણમાં સરેરાશની પદ્ધતિ અને જૂથોની પદ્ધતિ વચ્ચે ગાઢ જોડાણ સૂચવે છે.

તે પર ભાર મૂકવો આવશ્યક છે કે કોઈપણ સરેરાશ મૂલ્યની સાચી ગણતરી નીચેની આવશ્યકતાઓને પરિપૂર્ણ કરે છે:

વસ્તીની ગુણાત્મક એકરૂપતા જેમાંથી સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી પર રેન્ડમ, સંપૂર્ણ વ્યક્તિગત કારણો અને પરિબળોના પ્રભાવને દૂર કરવું

સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે, તેની ગણતરીના હેતુ અને કહેવાતા વ્યાખ્યાયિત સૂચકને સ્થાપિત કરવું મહત્વપૂર્ણ છે કે જેના તરફ તે ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું જોઈએ.

સમગ્ર વસ્તી માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ મૂલ્યને એકંદર સરેરાશ કહેવામાં આવે છે - તે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે; જૂથ સરેરાશ દ્વારા દરેક જૂથ માટે ગણતરી કરાયેલ સરેરાશ મૂલ્યો આપેલ જૂથની વિશિષ્ટ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ વિકસિત થતી ઘટનાની લાક્ષણિકતા પ્રદાન કરે છે.

1.1 ગણતરીની પદ્ધતિઓ અલગ હોઈ શકે છે, તેથી આંકડાઓમાં સરેરાશ મૂલ્યોના ઘણા પ્રકારો છે

સરેરાશ મૂલ્યો 2 મોટા પ્રકારોમાં વહેંચાયેલા છે:

શક્તિનો અર્થ (હાર્મોનિક સરેરાશ, ભૌમિતિક સરેરાશ, અંકગણિત સરેરાશ, વગેરે). પાવર સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, તમામ ઉપલબ્ધ લાક્ષણિકતા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. જો તમે સમાન ડેટા માટે તમામ પ્રકારના પાવર એવરેજની ગણતરી કરો છો, તો તેમની કિંમતો સમાન હશે. પછી સરેરાશની બહુમતીનો નિયમ લાગુ પડે છે: સરેરાશના ઘાતાંકમાં વધારા સાથે, સરેરાશ મૂલ્ય પોતે વધે છે ().

માળખાકીય અર્થ (મોડ, મધ્ય). મોડ અને મધ્ય માત્ર વિતરણની રચના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, તેમને "માળખાકીય સ્થિતિની સરેરાશ" કહેવામાં આવે છે. સરેરાશ અને મોડનો ઉપયોગ તે વસ્તીમાં સરેરાશ લાક્ષણિકતા તરીકે થાય છે જ્યાં પાવર એવરેજની ગણતરી કરવી અશક્ય અથવા અવ્યવહારુ હોય છે.

સ્પષ્ટતા માટે, પ્રાયોગિક સંશોધનમાં વિવિધ પ્રકારના પાવર એવરેજની ગણતરી કરવા માટે સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો કોષ્ટક 1 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

કોષ્ટક 1 પાવરના પ્રકારો એટલે

અંકગણિત સરેરાશ એ લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય છે, જેની ગણતરી દરમિયાન એકંદરમાં લાક્ષણિકતાનું કુલ વોલ્યુમ યથાવત રહે છે. અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, તમામ વિશેષતા મૂલ્યોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. તેનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં સમગ્ર વસ્તી માટે વિવિધ લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ તેના વ્યક્તિગત એકમોના લાક્ષણિક મૂલ્યોનો સરવાળો છે. અંકગણિત સરેરાશનું ઉદાહરણ કુલ વેતન ભંડોળ છે.

અંકગણિતનો સાદો સરેરાશ એ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના સાદા સરવાળો સમાન છે, જે વિભાજિત કરવામાં આવે છે. કુલ સંખ્યાઆ મૂલ્યો. તેનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં અસંગઠિત વ્યક્તિગત લાક્ષણિકતા મૂલ્યો હોય.

અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશ એ તેમના ચલોની સરેરાશ છે, જે પુનરાવર્તિત થાય છે અલગ નંબરવખત અથવા અલગ અલગ વજન હોય છે.

અંકગણિતના મૂળભૂત ગુણધર્મોનો અર્થ છે:

જો લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો, એટલે કે. વિકલ્પો, i ગણો ઘટાડો અથવા વધારો, તો નવી વિશેષતાનું સરેરાશ મૂલ્ય અનુરૂપ રીતે i ગણાથી ઘટશે અથવા વધશે.

જો એવરેજ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના તમામ પ્રકારો A સંખ્યા દ્વારા ઘટાડવામાં અથવા વધારવામાં આવે છે, તો અંકગણિત સરેરાશ અનુરૂપ રીતે સમાન સંખ્યામાં ઘટાડો અથવા વધારો કરશે.

જો બધા સરેરાશ વિકલ્પોના વજનમાં k ગણો ઘટાડો અથવા વધારો કરવામાં આવે, તો અંકગણિત સરેરાશ બદલાશે નહીં.

અંકગણિત સરેરાશમાંથી લાક્ષણિકતા (ચલ) ના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે.

સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરતા પહેલા, અંતરાલ શ્રેણીને એક અલગમાં રૂપાંતરિત કરવી જરૂરી છે. આ કરવા માટે, દરેક જૂથમાં અંતરાલની મધ્યમાં શોધો. તે ઉપલા અને નીચલા બાઉન્ડ્સના સરવાળાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

જ્યારે માહિતીમાં ફ્રીક્વન્સી ન હોય ત્યારે હાર્મોનિક વેઇટેડ એવરેજ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ થાય છે સંપૂર્ણતાના વ્યક્તિગત વિકલ્પો x માટે, અને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે
. સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, તે નિયુક્ત કરવું જરૂરી છે
, ક્યાં
. હવે આપણે અંકગણિત સરેરાશ માટેના સૂત્રને એવી રીતે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ કે ઉપલબ્ધ ડેટા x અને m પરથી આપણે સરેરાશની ગણતરી કરી શકીએ. અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશ માટેના સૂત્રમાં, અમે m ને બદલે, અને f ને બદલે, ગુણોત્તર , અને આમ હાર્મોનિક ભારાંકિત સરેરાશ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ.

હાર્મોનિક સરેરાશ સરળ મૂલ્યનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે જ્યાં દરેક વિકલ્પનું વજન એક જેટલું હોય, એટલે કે. ,

ભૌમિતિક સરેરાશ મૂલ્યનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે જ્યાં લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો સાપેક્ષ ગતિશીલતા મૂલ્યો હોય છે, જે સાંકળ મૂલ્યોના સ્વરૂપમાં બાંધવામાં આવે છે, ગતિશાસ્ત્ર શ્રેણીમાં દરેક સ્તરના અગાઉના સ્તરના ગુણોત્તર તરીકે, એટલે કે. સરેરાશ વૃદ્ધિ દર દર્શાવે છે.

સરેરાશ મૂલ્યો એ બીજા પ્રકારનાં વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો છે જેનો વ્યાપકપણે તબીબી આંકડાઓમાં ઉપયોગ થાય છે. સરેરાશ મૂલ્ય એ સારાંશ છે, ચોક્કસ બદલાતી જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા (સરેરાશ ઊંચાઈ, સરેરાશ વજન, મધ્યમ વયમૃત). સરેરાશ મૂલ્ય સમગ્ર આંકડાકીય વસ્તીના સામાન્ય વ્યાખ્યાયિત ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેને લાક્ષણિક મૂલ્ય સાથે એક નંબર સાથે બદલીને આ લાક્ષણિકતા. સરેરાશ મૂલ્યનું સ્તર બહાર આવે છે, નબળું પડે છે રેન્ડમ વિચલનોએક અથવા બીજી દિશામાં વ્યક્તિગત અવલોકનો અને લાક્ષણિકતા કાયમી મિલકતઘટના

દવામાં, લાક્ષણિકતા માટે સરેરાશ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે શારીરિક વિકાસ, મૂળભૂત એન્થ્રોપોમેટ્રિક લાક્ષણિકતાઓ (મોર્ફોલોજિકલ અને વિધેયાત્મક: ઊંચાઈ, વજન, ડાયનેમોમેટ્રી, વગેરે.) અને તેમની ગતિશીલતા (લક્ષણમાં વધારો અથવા ઘટાડોના સરેરાશ મૂલ્યો). આ સૂચકાંકોનો વિકાસ અને ધોરણોના સ્વરૂપમાં તેમના સંયોજનો ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે વ્યવહારુ મહત્વવસ્તી (ખાસ કરીને બાળકો અને રમતવીરો) ના સ્વાસ્થ્યનું વિશ્લેષણ કરવા માટે. રોગચાળાના નિષ્ણાતો ફાટી નીકળેલા રોગોની સરેરાશ સંખ્યા, સમય દ્વારા ફાટી નીકળવાનું વિતરણ અને જીવાણુ નાશકક્રિયા માટેના સરેરાશ સમયની ગણતરી કરે છે.

વસ્તી વિષયક અને તબીબી-સામાજિક અભ્યાસોમાં નીચેની ગણતરી કરવામાં આવે છે: સરેરાશ અવધિભાવિ જીવન, મૃતકની સરેરાશ ઉંમર, સરેરાશ વસ્તી, વગેરે.

પ્રાયોગિક પ્રયોગશાળા અભ્યાસોમાં, સરેરાશ મૂલ્યોનો પણ ઉપયોગ થાય છે: તાપમાન, પ્રતિ મિનિટ પલ્સ ધબકારા, સ્તર બ્લડ પ્રેશર, સરેરાશ ઝડપઅથવા ચોક્કસ ઉત્તેજના માટે સરેરાશ પ્રતિક્રિયા સમય, લોહીમાં બાયોકેમિકલ તત્વોનું સરેરાશ સ્તર, વગેરે.

આંકડાકીય ગુણાંક અને સરેરાશ બંને સંભવિત મૂલ્યો છે, પરંતુ તેમની વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવત છે:

• 1) આંકડાકીય ગુણાંકએક લાક્ષણિકતા દર્શાવો જે ફક્ત વસ્તીના ચોક્કસ ભાગમાં થાય છે (કહેવાતા વૈકલ્પિક લાક્ષણિકતા), જે થઈ શકે અથવા ન પણ થઈ શકે (જન્મ, મૃત્યુ, રોગ). સરેરાશ મૂલ્યો સમગ્ર વસ્તીમાં સહજ લક્ષણો દર્શાવે છે, પરંતુ તેમાં વિવિધ ડિગ્રીઓ(વજન, ઊંચાઈ, સારવારના દિવસો).
• 2) આંકડાકીય ગુણાંકનો ઉપયોગ ગુણાત્મક (લક્ષણાત્મક અથવા વર્ણનાત્મક) લાક્ષણિકતાઓને માપવા માટે થાય છે, અને સરેરાશ ગુણાંકનો ઉપયોગ વિવિધ જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતાઓ માટે થાય છે, જ્યાં અમે વાત કરી રહ્યા છીએલક્ષણના આંકડાકીય પરિમાણોમાં તફાવત વિશે, અને તેની હાજરી અથવા ગેરહાજરીની હકીકત વિશે નહીં.

સરેરાશ મૂલ્યોનો મુખ્ય ફાયદો એ તેમની લાક્ષણિકતા છે - સરેરાશ તરત જ આપે છે સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓઘટના આ સંદર્ભે, સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી માટે બે મુખ્ય આવશ્યકતાઓને ઓળખી શકાય છે:

• - વસ્તીની એકરૂપતા;
• - અવલોકનોની પૂરતી સંખ્યા.

કોઈપણ વિતરણ રેન્ડમ ચલ, આવશ્યકપણે ચોક્કસ સંભાવના વિતરણ કાયદાને આધીન નથી, તે વિતરણ પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: સરેરાશ મૂલ્ય (M), પ્રમાણભૂત વિચલન (), વિવિધતાના ગુણાંક (Cv), વગેરે.

ઉદાહરણ તરીકે, સારવારના સમયગાળા અનુસાર 10 દર્દીઓના વિતરણનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમને સંખ્યાત્મક મૂલ્યોની શ્રેણી મળે છે: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - એક અવ્યવસ્થિત શ્રેણી.

આ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને વિતરણ પરિમાણોની ગણતરી કરી શકાય છે. જો કે, તે ઘણા પરિમાણો સાથે શ્રેણીને દર્શાવવા માટે પૂરતું નથી; આંકડાકીય શ્રેણીકોઈપણ સ્થિર પેટર્ન. પરંતુ બિનક્રમાંકિત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને, સંભવિત પેટર્નને શોધવી મુશ્કેલ છે, તેથી ક્રમાંકિત શ્રેણી બનાવવામાં આવે છે.

શ્રેણી કે જેમાં વિવિધ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો અનુસાર અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના એકમોનું વિતરણ આપવામાં આવે છે તેને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો - વિવિધતા શ્રેણી- ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા સજાતીય જથ્થાઓની શ્રેણી, જ્યાં વિકલ્પો (વિકલ્પોના જૂથો) એકબીજાથી અંતરાલ (i) તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ રકમ દ્વારા અલગ પડે છે.

આમ, સારવારના સમયગાળા દ્વારા દર્દીઓનું વિતરણ નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે:

અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની બદલાતી, અલગ અલગ નિશાની (ઊંચાઈ, વજન, વગેરે), તેની સંખ્યાત્મક મૂલ્યવિકલ્પ (V) કહેવાય છે.

આપેલ લાક્ષણિકતાના અવલોકનના કેસોની સંખ્યા, જે દર્શાવે છે કે આપેલ પ્રકાર કેટલી વાર થાય છે, તેને ફ્રીક્વન્સી (p) કહેવામાં આવે છે.

વિવિધતા શ્રેણી આ હોઈ શકે છે:

• 1) જે ઘટનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેના આધારે:
  • - અલગ (અસતત) - સતત બદલાતી લાક્ષણિકતાઓના આધારે રચાયેલ છે, જેનાં મૂલ્યો ફક્ત સંપૂર્ણ સંખ્યામાં દર્શાવવામાં આવે છે (પલ્સ રેટ, જૂથમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા, વગેરે);
  • - અંતરાલ (સતત) - સામાન્ય રીતે લાક્ષણિકતાઓના આધારે રચાય છે જે કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે અને કોઈપણ સંખ્યા (ઊંચાઈ, વજન, વગેરે) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.
• 2) અવલોકનોની સંખ્યાના આધારે:
  • - સરળ - વિકલ્પ એક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય દ્વારા રજૂ થાય છે;
  • - જૂથબદ્ધ - વિકલ્પો ચોક્કસ લાક્ષણિકતા અનુસાર જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, શારીરિક વિકાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, જૂથીકરણ વજન દ્વારા કરી શકાય છે: 40-44 કિગ્રા; 45-49 કિગ્રા. વગેરે
• 3) વ્યવસ્થાના ક્રમના આધારે, વિકલ્પ:
  • - ચડતા - વિકલ્પો ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાય છે;
  • - ઉતરતા - વિકલ્પો ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે.

એક અલગ ભિન્નતા શ્રેણીમાં એક સાથે અનેક લાક્ષણિકતાઓનો સમાવેશ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરળ, ઘટતું, અવ્યવસ્થિત; અથવા - જૂથબદ્ધ, વધતી જતી, સતત.

સરેરાશના પ્રકારો કે જે સામાન્ય રીતે તબીબી આંકડાઓમાં વપરાય છે તે મધ્ય, મોડ અને અંકગણિત સરેરાશ છે. અન્ય પ્રકારની સરેરાશ: હાર્મોનિક એવરેજ, ક્વોડ્રેટિક એવરેજ, ક્યુબિક એવરેજ, ભૌમિતિક એવરેજ અને અન્ય - માત્ર ખાસ અભ્યાસમાં જ વપરાય છે.

મધ્યક (Me) એ મધ્ય, કેન્દ્રિય વિકલ્પ છે, જે ભિન્નતા શ્રેણીને અડધા ભાગમાં બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો અવલોકનોની સંખ્યા 33 છે, તો મધ્યક એ વિકલ્પ હશે જે 17મા ક્રમે છે, કારણ કે તેની બંને બાજુએ 16 અવલોકનો છે.

અવલોકનોની સમાન સંખ્યા સાથેની પંક્તિમાં, કેન્દ્રમાં બે મૂલ્યો છે. જો તેઓ મૂલ્યમાં સમાન હોય, તો મધ્યકનો અંદાજ કાઢવામાં કોઈ મુશ્કેલી નથી, પરંતુ જો બે જથ્થાના આંકડાકીય મૂલ્યો અલગ હોય, તો તેમનો અડધો સરવાળો મધ્યક તરીકે લેવામાં આવે છે.

મોડ (Mo) એ લાક્ષણિકતાનું સૌથી વધુ વારંવાર બનતું અથવા વારંવાર પુનરાવર્તિત મૂલ્ય છે. જ્યારે મોડ લગભગ એક સરળ (જૂથબદ્ધ નથી) શ્રેણીમાં જોવા મળે છે, ત્યારે તેને એક પ્રકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે સૌથી મોટી સંખ્યાઆવર્તન

અંકગણિત સરેરાશમાંથી મધ્યક અને મોડ વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે એક સરળ, અંદાજિત વ્યાખ્યા સાથે, આ જથ્થાઓ વિવિધતા શ્રેણી (સ્થિતિના માધ્યમ) માં તેમની સ્થિતિ દ્વારા સરળતાથી અને ઝડપથી શોધી શકાય છે, વધુમાં, તેઓ મૂલ્યો પર આધારિત નથી. આત્યંતિક પ્રકારો અથવા શ્રેણીના વિખેરવાની ડિગ્રી પર.

અંકગણિત સરેરાશ (એમ - લેટિન મીડિયામાંથી) મોટેભાગે તબીબી આંકડાઓમાં વપરાય છે. અંકગણિત સરેરાશ સરળ અથવા ભારિત હોઈ શકે છે.

સરળ અંકગણિત સરેરાશનું ઉદાહરણ એ વજન માપવાનું પરિણામ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 6 લોકો:

આમ, અંકગણિત સરળ સરેરાશ તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત જથ્થા (વિકલ્પો) ના સરવાળા તરીકે મેળવવામાં આવે છે. સાદા અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી ફક્ત એવા કિસ્સાઓમાં કરી શકાય છે કે જ્યાં દરેક મૂલ્ય (ચલ) એક અવલોકન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, એટલે કે જ્યારે ફ્રીક્વન્સીઝ એકતા સમાન હોય છે.

જો વેરિઅન્ટની ફ્રીક્વન્સીઝ એક કરતા વધારે હોય, તો સરળ સરેરાશ લાગુ પડતી નથી - અહીં અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા વેરિઅન્ટના ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે મેળવવામાં આવે છે, જે કુલ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. અવલોકનોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે: એટ્રોપિન ટેસ્ટ પછી 18 વિદ્યાર્થીઓમાં પલ્સ રેટ (મિનિટ દીઠ ધબકારા) હતો: 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

સરળ અંકગણિત સરેરાશ છે ખાસ કેસઅંકગણિત સરેરાશ ભારાંકિત, તેથી અંકગણિત સરેરાશ ભારાંક સૂત્રનો ઉપયોગ સરળ અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે પણ થઈ શકે છે. IN બાદમાં કેસફ્રીક્વન્સીઝ એક સમાન છે અને ગુણાકાર બિનજરૂરી છે.

ત્રણેય સરેરાશ મૂલ્યો (Mo, Me, M) સપ્રમાણ ભિન્નતા શ્રેણીમાં એકરૂપ થાય છે (અથવા વ્યવહારીક રીતે ખૂબ જ નજીક છે): અંકગણિત સરેરાશ શ્રેણીની મધ્યને અનુરૂપ છે (સપ્રમાણ શ્રેણીમાં, વધારો તરફ વિચલનો અને એક તરફ ઘટાડો અનુક્રમે સંતુલિત છે); મધ્યક (કેન્દ્રીય મૂલ્ય તરીકે) પણ શ્રેણીના મધ્યને અનુલક્ષે છે; મોડ (સૌથી વધુ સંતૃપ્ત મૂલ્ય તરીકે) પર પડે છે સર્વોચ્ચ બિંદુપંક્તિ, તેના કેન્દ્રમાં પણ સ્થિત છે. તેથી, તમામ સપ્રમાણ શ્રેણીઓ માટે અંકગણિત સરેરાશ સિવાયની સરેરાશની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.

અંકગણિતના ગુણધર્મોનો અર્થ છે:

• 1. સરેરાશ મૂલ્ય એ ચોક્કસ બદલાતી જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા માટે આંકડાકીય વસ્તીની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે; તે સમગ્ર આંકડાકીય વસ્તીની સામાન્ય વ્યાખ્યાયિત મિલકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેને આપેલ લાક્ષણિકતાના લાક્ષણિક મૂલ્ય સાથે એક નંબર સાથે બદલીને. સરેરાશ મૂલ્યનું સ્તર બહાર આવે છે, એક અથવા બીજી દિશામાં વ્યક્તિગત અવલોકનોના અવ્યવસ્થિત વિચલનોને નબળું પાડે છે અને અસાધારણ ઘટનાની સતત મિલકતને લાક્ષણિકતા આપે છે.
• 2. અંકગણિત સરેરાશમાંથી વિચલનોનો સરવાળો 0 ની બરાબર છે.
• 3. સખત સપ્રમાણ વિવિધતા શ્રેણીમાં, અંકગણિત સરેરાશ મધ્યમ સ્થાન ધરાવે છે અને તે Mo, Me ની બરાબર છે.

અંકગણિત સરેરાશ પોતાના દ્વારા લીધા વિના વધારાની તકનીકોઆકારણીઓ ઘણીવાર હોય છે મર્યાદિત મૂલ્ય, કારણ કે તેઓ શ્રેણીના વિક્ષેપ (વિવિધતા) ની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરતા નથી. સમાન કદના સરેરાશ મૂલ્યો સ્કેટરિંગની વિવિધ ડિગ્રી સાથે શ્રેણીમાંથી મેળવી શકાય છે. સરેરાશ એ મૂલ્યો છે જેની આસપાસ વિવિધ વિકલ્પો વેરવિખેર છે, અને વ્યક્તિગત વિકલ્પો એકબીજાની જેટલા નજીક છે, શ્રેણીનું સ્કેટરિંગ જેટલું નાનું છે, તેટલું વધુ લાક્ષણિક સરેરાશ મૂલ્ય.

શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન કરવાની અંદાજિત પદ્ધતિ કંપનવિસ્તાર નક્કી કરી શકે છે. કંપનવિસ્તાર - સૌથી મોટા અને વચ્ચેનો તફાવત સૌથી નીચું મૂલ્યવિકલ્પ:

A = Vmax - Vmin

પરંતુ કંપનવિસ્તાર શ્રેણીમાં મધ્યવર્તી મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, વધુમાં, તેના પરિમાણો અવલોકનોની સંખ્યા પર પણ આધાર રાખે છે.

શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેનું મુખ્ય માપ પ્રમાણભૂત વિચલન () છે.

સિગ્માની ગણતરી કરવા માટે તમારે આની જરૂર છે:

સરેરાશ (V - M) થી વિચલનો (ડી) નક્કી કરો;

ચોરસ વિચલનો (d 2);

• 3) ફ્રીક્વન્સીઝ (d 2p) દ્વારા વિચલનોના વર્ગોને ગુણાકાર કરો;
• 4) ચોરસ વિચલનો અને ફ્રીક્વન્સીઝના ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરો;
• 5) અવલોકનોની સંખ્યા દ્વારા આ રકમને વિભાજીત કરો;
• 6) ભાગનું વર્ગમૂળ કાઢો.

સિગ્માનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરેરાશની લાક્ષણિકતાની ડિગ્રી, શ્રેણીના છૂટાછવાયાની મર્યાદાઓ, વ્યક્તિગત ચલોની સરેરાશની આસપાસ વધઘટની મર્યાદા સ્થાપિત કરી શકો છો. સિગ્મા જેટલું નાનું છે, શ્રેણીનું વિખેરવું નાનું છે, આ શ્રેણી માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ મૂલ્ય વધુ સચોટ અને લાક્ષણિક છે.

સિગ્માનો ઉપયોગ અનેકની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન અને તુલના કરવાનું શક્ય બનાવે છે સજાતીય શ્રેણીવિતરણ, કારણ કે તે નજીવી માત્રા છે અને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે સંપૂર્ણ સંખ્યાઅભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીના એકમોમાં (cm, kg, mg/l, વગેરે). આ કિસ્સામાં, સિગ્માનું સંપૂર્ણ કદ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વજનના આધારે વિતરણની બે પંક્તિઓની સરખામણી કરતી વખતે, જો કે સરેરાશ સ્તરની નજીક હોય, પરંતુ એક પંક્તિમાં સિગ્મા ± 5.6 કિગ્રા અને બીજી પંક્તિમાં ± 2.1 કિગ્રા હશે. - બીજી પંક્તિ ઓછી વેરવિખેર છે, અને તેની મધ્ય વધુ લાક્ષણિક છે.

વિજાતીય શ્રેણીની વિવિધતાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે (ઉદાહરણ તરીકે, વજન અને ઊંચાઈ જેવી લાક્ષણિકતાઓ), સિગ્મા કદની સીધી સરખામણી અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, શ્રેણીની સંબંધિત વિવિધતાની ડિગ્રી સ્થાપિત કરવા માટે, તેઓ વ્યુત્પન્ન મૂલ્યનો આશરો લે છે - પરિવર્તનશીલતા (વિવિધતા) ના ગુણાંક, જે સંબંધિત મૂલ્ય છે, જે % માં દર્શાવવામાં આવે છે અને Cv (V) અક્ષર દ્વારા સૂચિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 1લા વર્ષના પુરૂષ વિદ્યાર્થીઓના શારીરિક વિકાસનો અભ્યાસ કરતી વખતે, નીચેના સૂચકાંકો પ્રાપ્ત થયા હતા: M (વજન) = 67.5 કિગ્રા; એમ (ઊંચાઈ) = 178.1 સેમી તે મુજબ = ± 2.8 કિગ્રા. અને ± 6.2 સે.મી.

ઊંચાઈ માટે વિવિધતાનો ગુણાંક વજન કરતાં ઓછો છે, એટલે કે, ઊંચાઈ વજન કરતાં વધુ સ્થિર લક્ષણ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

વિવિધતાના ગુણાંકમાં વિવિધતાના ત્રણ ડિગ્રી છે:

10% સુધી - નબળી વિવિધતા;

10 - 20% - સરેરાશ વિવિધતા;

20% થી વધુ - મજબૂત વિવિધતા.

વિવિધતા ગુણાંકની ગણતરી કરવાની સમાન પદ્ધતિ સજાતીય શ્રેણીના વિશ્લેષણ માટે પણ યોગ્ય છે, જેમાં સરેરાશ મૂલ્યો કદમાં મોટા પ્રમાણમાં બદલાય છે, તેમજ એક અલગ, એકલ શ્રેણીના અંદાજ માટે.

અંકગણિત સરેરાશ (M) ની ગણતરીનું ઉદાહરણ; પ્રમાણભૂત વિચલન(); વિવિધતાના ગુણાંક (Cv).

45 દર્દીઓમાં કંઠમાળની સારવારનો સમયગાળો હતો: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 , અને 15 દિવસ.

પ્રથમ તબક્કો: અમે દરેક વિકલ્પની ઘટનાની આવર્તનને ધ્યાનમાં લઈને વિવિધતા શ્રેણી બનાવીએ છીએ; શ્રેણીનું વર્ણન આપો; અમે અનુરૂપ આવર્તન દ્વારા વેરિઅન્ટનું ઉત્પાદન શોધીએ છીએ, પરિણામી ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરીએ છીએ અને અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ છીએ:

બીજો તબક્કો: ડી (વી-એમ) ની ગણતરી કરો; ડી 2; d 2p.

નિષ્કર્ષ: ક્લિનિકમાં કંઠમાળની સારવારની સરેરાશ અવધિ 11 દિવસ હતી. સરેરાશ આ શ્રેણી માટે પૂરતી લાક્ષણિક નથી, જેમ કે 36.5% ( ઉચ્ચ ડિગ્રીલક્ષણની વિવિધતા).

આંકડાઓમાં, સરેરાશ મૂલ્ય એ સજાતીય સામાજિક અથવા સમૂહના સામાન્યકરણ સૂચક છે કુદરતી ઘટના, જે સમયના ચોક્કસ બિંદુએ વસ્તીના એકમ દીઠ વિવિધ લાક્ષણિકતાનું લાક્ષણિક સ્તર દર્શાવે છે.

સરેરાશ શોધવી એ સામાન્ય સામાન્યીકરણ તકનીકોમાંની એક છે. સરેરાશ મૂલ્ય એ પ્રતિબિંબિત કરે છે કે જે વસ્તીના તમામ એકમોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેના માટે સામાન્ય (સામાન્ય) શું છે, પરંતુ તે જ સમયે તે વ્યક્તિગત એકમો વચ્ચેના તફાવતોને અવગણે છે. અમે પહેલેથી જ કહ્યું છે કે અવલોકનોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે (n -» oo), સરેરાશ મૂલ્ય, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, તેની ગાણિતિક અપેક્ષાને અનિશ્ચિતપણે સંપર્ક કરશે, એટલે કે, n - સાથે. > oo લખી શકાય છે એક્સ ~ M[X],અહીં એક્સ- સરેરાશ મૂલ્ય. એટલે કે, સરેરાશ મૂલ્ય એક અંદાજ છે ગાણિતિક અપેક્ષા.

ચાલો એક નાનું વિષયાંતર કરીએ અને આપીએ સંક્ષિપ્ત માહિતી n પ્રયોગોના પરિણામે મેળવેલ પરિમાણોના અંદાજો પર. ચાલો ધારીએ કે આપણે n પ્રયોગોના પરિણામોના આધારે ચોક્કસ પરિમાણ d નક્કી કરવાની જરૂર છે. અમે આ પરિમાણના અંદાજિત મૂલ્યને તેનો અંદાજ કહીશું અને સૂચિત કરીશું ડી.કોઈપણ અર્થમાં "સારા" અંદાજ બનવા માટે d ના અંદાજે સંખ્યાબંધ આવશ્યકતાઓને સંતોષવી આવશ્યક છે.

ગ્રેડ ડીપ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારો સાથે, તે ઇચ્છિત પરિમાણમાં સંભવિતતામાં એકરૂપ થવું જોઈએ, એટલે કે.

આ ગુણધર્મ સાથેના અંદાજને સુસંગત કહેવાય છે.

વધુમાં, અંદાજનો ઉપયોગ કરીને ડીપરિમાણ d ને બદલે, તે ન કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે પદ્ધતિસરની ભૂલ, એટલે કે અંદાજની ગાણિતિક અપેક્ષા પરિમાણની બરાબર હોવી જોઈએ:

આ ગુણધર્મ ધરાવતા અંદાજને નિષ્પક્ષ કહેવામાં આવે છે.

જો પસંદ કરેલ નિષ્પક્ષ અંદાજ હોય ​​તો તે સરસ રહેશે ડીશક્ય તેટલું અવ્યવસ્થિત હતું, એટલે કે, અન્યની તુલનામાં તેમાં ન્યૂનતમ તફાવત હતો:

આ ગુણધર્મ ધરાવતા અંદાજને અસરકારક કહેવાય છે.

IN વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓઉપરોક્ત તમામ આવશ્યકતાઓને સંતોષવી હંમેશા શક્ય નથી. તેમ છતાં, કોઈપણ પરિમાણ માટે અંદાજ પસંદ કરતી વખતે, સૂચિબદ્ધ તમામ દૃષ્ટિકોણથી આ અંદાજને ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ચાલો સરેરાશ પર પાછા જઈએ. પર તેમની ગણતરી કરતી વખતે મોટી માત્રામાંઅવલોકનો, અવ્યવસ્થિતતા રદ થાય છે (આ મોટી સંખ્યાના કાયદામાંથી અનુસરે છે), તેથી, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની બિનમહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમાંથી અમૂર્ત કરવું શક્ય છે અને માત્રાત્મક મૂલ્યોદરેક ચોક્કસ પ્રયોગમાં સાઇન ઇન કરો.

A. Quetelet એ સરેરાશના સિદ્ધાંતના પુરાવા અને વિકાસમાં મોટો ફાળો આપ્યો હતો. તેમના શિક્ષણ અનુસાર, સામૂહિક પ્રક્રિયાઓ કારણોના બે જૂથોના પ્રભાવ હેઠળ રચાય છે. સામૂહિક એકંદરના તમામ એકમો માટે સામાન્ય કારણોના પ્રથમ જૂથમાં તે શામેલ છે જે રાજ્યને નિર્ધારિત કરે છે સામૂહિક પ્રક્રિયા. તેઓ આપેલ સજાતીય વસ્તીના એકમો માટે લાક્ષણિક સ્તર બનાવે છે.

કારણોનું બીજું જૂથ રચાય છે ચોક્કસ લક્ષણોસામૂહિક વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમો અને તેથી, લાક્ષણિક સ્તરથી તેમનો ફેલાવો.

આ કારણો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની પ્રકૃતિ સાથે સંબંધિત નથી, તેથી તેમને રેન્ડમ કારણો કહેવામાં આવે છે.

સમગ્ર વસ્તી માટે મેળવેલ સરેરાશ મૂલ્યને કુલ કહેવામાં આવે છે, અને દરેક જૂથ માટે ગણતરી કરાયેલ સરેરાશ મૂલ્યોને જૂથ સરેરાશ કહેવામાં આવે છે. સરેરાશ બે પ્રકારની છે: પાવર એવરેજ (અંકગણિત સરેરાશ, વગેરે), માળખાકીય સરેરાશ (મોડ, મધ્ય).

ચાલો વિચાર કરીએ પાવર સરેરાશ.પાવર એવરેજ ફોર્મ્યુલાના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં એક્સ- સરેરાશ મૂલ્ય;

X ( - વર્તમાન મૂલ્યજે લાક્ષણિકતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે;

ટી- સરેરાશ ડિગ્રી સૂચક;

n - સુવિધાઓની સંખ્યા (વિકલ્પ).

સૂચક પર આધાર રાખીને ટીસરેરાશની ડિગ્રી અમે નીચેના પ્રકારના પાવર એવરેજ મેળવીએ છીએ:

• - હાર્મોનિક સરેરાશ x ગાર,જો ટી = -1;
• - ભૌમિતિક સરેરાશ es geom,જો ટી = 0;
• - અંકગણિત સરેરાશ x ar,જો ટી = 1;
• - સરેરાશ ચોરસ x ચતુર્થાંશ,જો t = 2;
• - ઘન સરેરાશ x ઘન,જો t = 3,
• - આઈ.ટી. ડી.

સમાન ડેટાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, વધુ ટીસૂત્રમાં (6.4), તેથી વધુ મૂલ્યસરેરાશ, એટલે કે

અમે અમુક પ્રકારના પાવર એવરેજની ગણતરી કરવા માટે ચોક્કસ સૂત્રો રજૂ કરીએ છીએ.

મુ ટી= -1 આપણને હાર્મોનિક સરેરાશ મળે છે:

જો સ્રોત ડેટા જૂથબદ્ધ છે, તો ભારિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આવર્તન p (પ્રયોગોની સંખ્યા કે જેમાં અમને રુચિની ઘટના દેખાય છે) અથવા સંબંધિત આવર્તનનો વજન તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે

ચાલો ભારિત હાર્મોનિક અર્થ માટેના સૂત્રો લખીએ:

મુ ટી= 0 આપણને ભૌમિતિક સરેરાશ મળે છે:

એટલે કે, તેઓને અનિશ્ચિતતા મળી.

તેને વિસ્તૃત કરવા માટે, ચાલો સૂત્રની બંને બાજુના લઘુગણક લઈએ (6.4.)

પછી અવેજી ટી= 0 અને આપણને મળે છે

એટલે કે અમારી પાસે ફોર્મની અનિશ્ચિતતા છે આ અનિશ્ચિતતાને જાહેર કરવા માટે, અમે L'Hopital નો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ. પ્રાપ્ત પરિણામ સંભવિત છે, અને આપણે આખરે મેળવીએ છીએ

ડાયનેમિક્સ શ્રેણીમાં અને વિતરણ શ્રેણીમાં ફેરફારનો સરેરાશ દર શોધવા માટે ભૌમિતિક સરેરાશનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો ભારિત ભૌમિતિક સરેરાશ માટેના સૂત્રો લખીએ.

ચાલો આપીએ નક્કર ઉદાહરણસૂત્ર (6.11) નો ઉપયોગ કરીને ભારિત ભૌમિતિક સરેરાશ શોધો.

ઉદાહરણ 6.1

પ્રારંભિક અવલોકન ડેટા કોષ્ટકમાં આપવામાં આવે છે. 6.1.

કોષ્ટક 6.1

કોષ્ટકમાં 6.1 એક્સ.- કેટલાક રેન્ડમ ચલ X દ્વારા સ્વીકારવામાં આવેલા પરિણામો ગ્રામ અનુભવ; આર. - ઘટનાની આવર્તન - બતાવે છે કે તમામ પ્રયોગોના પરિણામે અમને રસની ઘટના કેટલી વાર દેખાઈ. ઉદાહરણ તરીકે, એક્સ= 2 24 પ્રયોગોમાં 5 વખત દેખાયા.

ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન (આવર્તન).

ફોર્મ્યુલા (6.11) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મેળવીએ છીએ:

સૂત્ર (6.12) મુજબ અમારી પાસે છે

મુ t = 1 આપણને અંકગણિત સરેરાશ મળે છે:

અંકગણિત સરેરાશ એ તમામ પ્રકારના પાવર માધ્યમોમાં સૌથી વધુ વિતરિત પ્રકાર છે. તેનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં સમગ્ર વસ્તી માટે વિવિધ લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ વ્યક્તિગત એકમોની લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.

અહીં ભારિત અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટેના સૂત્રો છે:

મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, સૂત્ર (6.15) ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ નક્કી કરે છે, એટલે કે.

મુ t = 2આપણને સરેરાશ ચોરસ મળે છે:

તેનો ઉપયોગ ચોરસ એકમોમાં દર્શાવવામાં આવેલ સરેરાશ લક્ષણ કદની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

ભારિત સરેરાશ ચોરસ શોધવા માટેના સૂત્રોનું સ્વરૂપ છે:

ga = 3 સાથે આપણને ઘન સરેરાશ મળે છે:

તેનો ઉપયોગ ક્યુબિક એકમોમાં દર્શાવવામાં આવેલા લક્ષણનું સરેરાશ કદ શોધવા માટે થાય છે.

ભારિત ઘન સરેરાશની ગણતરી માટેના સૂત્રો છે:

હવે વિચાર કરીએ માળખાકીય સરેરાશ:મોડ અને મધ્ય. આંકડાઓમાં, સંભાવના સિદ્ધાંતથી વિપરીત, અમે આ જથ્થાના અંદાજો સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ. અમે તેમને પ્રકરણ 2 માં સમાન અક્ષરો સાથે સૂચિત કરીશું, પરંતુ ટિલ્ડ સાથે.

આંકડામાં મોડ (Mo) એ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય છે જે આંકડાકીય વિતરણ શ્રેણીમાં મોટાભાગે જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં સૌથી વધુ આવર્તનઅથવા સંબંધિત આવર્તન (આવર્તન).

ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકમાં. 6.1 સૌથી વધુ સંબંધિત આવર્તન / = 0.33 છે, તેથી મોડ Mo = 5 ની બરાબર છે.

જો આપણી પાસે સમાન અંતરાલ સાથે જૂથબદ્ધ વિતરણ શ્રેણી હોય, તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મોડ શોધી શકાય છે

જ્યાં એમ o નીચે- મોડલ અંતરાલની નીચી મર્યાદા;

g Mo - મોડલ અંતરાલની લંબાઈ;

Pmo - મોડલ અંતરાલ આવર્તન;

M-mo_, - મોડલ પહેલાના અંતરાલની આવર્તન;

M-mo +1 -- મોડલને અનુસરતા અંતરાલની આવર્તન.

નોંધ કરો કે સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીનો ઉપયોગ ગણતરી માટે પણ થઈ શકે છે.

આંકડાઓમાં મધ્યક એ એક વિકલ્પ છે જે વિતરણની ક્રમાંકિત શ્રેણીની મધ્યમાં છે, એટલે કે, મધ્યકનું મૂલ્ય તેની ક્રમાંકિત સંખ્યા દ્વારા સ્થિત છે.

જો વિતરણ શ્રેણી ધરાવે છે વિષમ સંખ્યાતત્વો, સરેરાશ સંખ્યા સૂત્ર અનુસાર જોવા મળે છે

ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકમાં. કોષ્ટક 6.2 ઉચ્ચ ગણિત વિભાગના શિક્ષણ કર્મચારીઓના પગાર દર્શાવે છે.

કોષ્ટક 6.2

શ્રેણીના ઘટકોની સંખ્યા 5 છે, તેથી, સૂત્ર (6.23) નો ઉપયોગ કરીને આપણે મધ્યની સંખ્યા શોધીએ છીએ, તેથી, તાંબુ

અના માં આ કિસ્સામાંની સમાન

જો પંક્તિમાં ઘટકોની સમાન સંખ્યા હોય, તો વિકલ્પ પંક્તિની મધ્યમાં સ્થિત બે વિકલ્પોની સરેરાશ તરીકે જોવા મળે છે.

જૂથબદ્ધ વિતરણ શ્રેણીમાં, મધ્યક (કારણ કે તે સમગ્ર વસ્તીને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે) અંતરાલોમાંના એકમાં સ્થિત છે.

સંચિત (સંચિત) આવર્તન (અથવા સંબંધિત આવર્તન) શ્રેણીની તમામ ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળાના અડધાથી વધુ અથવા બરાબર છે (માટે સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝતે 1/2 ની બરાબર અથવા 1/2 કરતા વધારે છે).

આ કિસ્સામાં, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે

મધ્ય અંતરાલની નીચી મર્યાદા ક્યાં છે;

મધ્ય અંતરાલની લંબાઈ;

ફ્રીક્વન્સીઝનો અડધો સરવાળો;

મધ્ય અંતરાલની શરૂઆત પહેલાં સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો;

મધ્ય અંતરાલ આવર્તન.

આંકડાકીય માહિતીની પ્રક્રિયા અને સારાંશની પ્રક્રિયામાં, સરેરાશ મૂલ્યો નક્કી કરવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે. એક નિયમ તરીકે, સમાન લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો વસ્તીના વિવિધ એકમોમાં સમાન નથી.

સરેરાશ મૂલ્ય – અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીમાં જે લાક્ષણિકતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેનું સામાન્યીકરણ. તે સ્થળ અને સમયની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ વસ્તીના એકમ દીઠ તેના લાક્ષણિક સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, એન્ટરપ્રાઇઝમાં કામદારોની આવકનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સામાન્ય લાક્ષણિકતા એ એક કામદારની સરેરાશ આવક છે. તે નક્કી કરવા માટે, વેતન, સામાજિક અને મજૂર લાભોના સ્વરૂપમાં વપરાશ માટે ફાળવેલ ભંડોળની કુલ રકમ, નાણાકીય સહાય, શેર પરના ડિવિડન્ડ અને એન્ટરપ્રાઇઝની મિલકતમાં થાપણો પરના વ્યાજને સમીક્ષા હેઠળના સમયગાળા માટે (વર્ષ, ત્રિમાસિક, મહિનો) એન્ટરપ્રાઇઝના કામદારોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સરેરાશ આવક એ એન્ટરપ્રાઇઝમાં કામદારોની સમગ્ર વસ્તી માટે શું સામાન્ય છે તે દર્શાવે છે, એટલે કે. સમીક્ષા હેઠળના સમયગાળામાં આપેલ એન્ટરપ્રાઇઝના સંચાલનની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં કામદારોના સમૂહની આવકનું સ્તર.

સમગ્ર વસ્તી માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ કહેવાય છે સામાન્ય સરેરાશ.

દરેક જૂથ માટે ગણતરી કરેલ સરેરાશ કહેવામાં આવે છે જૂથ સરેરાશ.

વસ્તીના વધુ એકમો કે જેના માટે સરેરાશ ગણવામાં આવે છે, તે વધુ સ્થિર છે, એટલે કે. વધુ ચોક્કસપણે. સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરીમાં બે કામગીરી શામેલ છે:

I - તમામ એકમો માટે ડેટાનો સરવાળો (ડેટા સામાન્યીકરણ);

II – સંક્ષિપ્ત માહિતીને વસ્તીમાં એકમોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવી.

– લક્ષણ માટે સરેરાશ મૂલ્ય ; n- વસ્તી એકમોની સંખ્યા;

એક્સi – વસ્તીના દરેક એકમની લાક્ષણિકતાનું વ્યક્તિગત મૂલ્ય.

સરેરાશ મૂલ્યનો સાર બજાર અર્થતંત્રમાં તેનું વિશેષ મહત્વ નક્કી કરે છે. સરેરાશ મૂલ્ય, વ્યક્તિગત અને રેન્ડમ દ્વારા, અમને આર્થિક વિકાસની પેટર્નના વલણને ઓળખવા માટે, સામાન્ય અને જરૂરી ઓળખવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પાવર સરેરાશ:

ü અંકગણિત સરેરાશ;

ü ભૌમિતિક સરેરાશ;

ü હાર્મોનિક સરેરાશ;

ü સરેરાશ ચોરસ;

ü સરેરાશ કાલક્રમિક.

માળખાકીય સરેરાશ: મોડ અને મધ્ય.

એક અથવા બીજા પ્રકારની સરેરાશની પસંદગી અભ્યાસના હેતુને આધારે કરવામાં આવે છે, આર્થિક સારસરેરાશ સૂચક અને ઉપલબ્ધ સ્ત્રોત ડેટાની પ્રકૃતિ. જ્યારે સરેરાશ યોગ્ય રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે ત્યારે જ તે મૂલ્યો છે જેનો વાસ્તવિક આર્થિક અર્થ પ્રાપ્ત થાય છે.

અંકગણિત સરેરાશ -સરેરાશનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર.

અંકગણિત દ્વારા અમારો અર્થ થાય છે લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય જે વસ્તીના દરેક એકમ પાસે હશે જો લાક્ષણિકતાના તમામ મૂલ્યોનો કુલ સરવાળો વસ્તીના તમામ એકમો વચ્ચે સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવ્યો હોય.

તે એવા કિસ્સાઓમાં ગણવામાં આવે છે કે જ્યાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી આંકડાકીય વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમો માટે સરેરાશ લાક્ષણિકતાનું પ્રમાણ તેના મૂલ્યોના સરવાળા તરીકે રચાય છે. સ્ત્રોત ડેટાની પ્રકૃતિના આધારે, અંકગણિત સરેરાશ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે:

સરળ અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્યોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીને ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ: એક વર્કશોપના 3 કામદારો માટે જાન્યુઆરીનું વેતન હતું: 6500, 4955, 5323 રુબેલ્સ. દર મહિને સરેરાશ પગાર છે:
ઘસવું

ઉદાહરણ:ટ્રેડિંગ એન્ટરપ્રાઇઝના દસ કર્મચારીઓની સેવાની સરેરાશ લંબાઈની ગણતરી કરો. એક લક્ષણ મૂલ્ય (વર્ષો): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4.3 વર્ષ.

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, અંકગણિત સરેરાશ હોઈ શકે છે અપૂર્ણાંક સંખ્યા, ભલે એટ્રિબ્યુટના વ્યક્તિગત મૂલ્યો માત્ર પૂર્ણાંકો તરીકે ઉલ્લેખિત હોય. આ અંકગણિત સરેરાશના સારથી અનુસરે છે, જે એક અમૂર્ત (સૈદ્ધાંતિક) જથ્થો છે, એટલે કે. તે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય લઈ શકે છે જે વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના પ્રસ્તુત સમૂહમાં જોવા મળતું નથી.

અંકગણિત સરેરાશ ભારાંકિત

જ્યારે સમાન લાક્ષણિકતા મૂલ્ય ઘણી વખત થાય ત્યારે વિતરણ શ્રેણી પર લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવી ઘણીવાર જરૂરી છે. લાક્ષણિકતાના મૂલ્ય દ્વારા ડેટાને સંયોજિત કરીને (એટલે ​​​​કે, તેને જૂથબદ્ધ કરીને) અને તેમાંથી દરેકના પુનરાવર્તનના કેસોની સંખ્યાની ગણતરી કરીને, અમે નીચેની વિવિધતા શ્રેણી મેળવીએ છીએ.

પરિણામે, ભારિત સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે, નીચેની ક્રમિક ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે: દરેક વિકલ્પને તેની આવર્તન દ્વારા ગુણાકાર કરવો, પરિણામી ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરવો, પરિણામી રકમને ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળાથી વિભાજીત કરવી.

ભારિત અંકગણિત સરેરાશ ધ્યાનમાં લે છે અલગ અર્થસંપૂર્ણતામાં વ્યક્તિગત વિકલ્પો. તેથી, તેનો ઉપયોગ એવા તમામ કેસોમાં થવો જોઈએ જ્યાં વિકલ્પોની સંખ્યા જુદી જુદી હોય. આ કિસ્સાઓમાં સરળ સરેરાશનો ઉપયોગ અસ્વીકાર્ય છે, કારણ કે તે અનિવાર્યપણે આંકડાકીય સૂચકાંકોની વિકૃતિ તરફ દોરી જાય છે.

અંકગણિત સરેરાશ વચ્ચે સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે અલગ વસ્તુઓ કુલ મૂલ્યએક લક્ષણ જે વાસ્તવમાં તે દરેક માટે બદલાય છે.

કેટલીકવાર સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી અંતરાલ વિતરણ શ્રેણીના સ્વરૂપમાં જૂથબદ્ધ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યારે લાક્ષણિકતાના પ્રકારો જેમાંથી સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે અંતરાલ (થી - થી) ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, દરેક વિકલ્પમાં સરેરાશ મૂલ્ય x નક્કી કરવું જરૂરી છે, અને પછી સામાન્ય ક્રમ x y માં વજન કરો.

બંધ અંતરાલમાં, મધ્યમ મૂલ્યને નીચલા અને ઉપલા સીમાઓના મૂલ્યોના અડધા સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની સમસ્યા અંતરાલ શ્રેણીપ્રારંભિક અને અંતિમ અંતરાલોની આત્યંતિક સીમાઓ અજાણ છે તે હકીકત દ્વારા જટિલ. આ કિસ્સામાં, એવું માનવામાં આવે છે કે આ અંતરાલની સીમાઓ વચ્ચેનું અંતર નજીકના અંતરાલ જેટલું જ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે, જો કે આપણે અંતરાલ શ્રેણીમાંથી સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે અંકગણિત ભારાંકિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, ગણતરી કરેલ સરેરાશ ચોક્કસ મૂલ્ય નથી, કારણ કે જૂથોના સરેરાશ મૂલ્યોને તેમની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાના પરિણામે, આપણે મળશે નહીં વાસ્તવિક મૂલ્ય. વિસંગતતાની ડિગ્રી સંખ્યાબંધ કારણો પર આધારિત છે: 1 - વિકલ્પોની સંખ્યા. કેવી રીતે મોટી સંખ્યાવિકલ્પ, વધુ શક્યતા છે કે અંતરાલનું મધ્ય જૂથ સરેરાશથી થોડું અલગ હશે. જો દરેક જૂથમાં એકમોની સંખ્યા ઓછી હોય, તો જૂથ સરેરાશ માત્ર મધ્યમાં જ નહીં, પણ અંતરાલની ઉપરની અથવા નીચલા મર્યાદાની નજીક પણ હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ,જાહેરાત એજન્સીના 12 કર્મચારીઓની સેવાની સરેરાશ લંબાઈની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. તે જ સમયે, વર્ષોમાં વિશેષતા (અનુભવ) ના વ્યક્તિગત મૂલ્યો જાણીતા છે: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

એટ્રિબ્યુટના મૂલ્ય પરના ડેટાને સંયોજિત કર્યા પછી અને તેમાંથી દરેકના પુનરાવર્તનના કેસોની સંખ્યાની ગણતરી કર્યા પછી, અમે ભારિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જૂથબદ્ધ ડેટાના આધારે સેવાની સરેરાશ લંબાઈની ગણતરી કરીશું.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 વર્ષ

સામગ્રીની આંકડાકીય પ્રક્રિયાની પ્રેક્ટિસમાં, સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે વિવિધ કાર્યો, જે અસાધારણ ઘટનાના અભ્યાસમાં લક્ષણો ધરાવે છે અને તેમના ઉકેલમાં વિવિધ સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ધ્યાનમાં લેતા કે આંકડાકીય સરેરાશ હંમેશા વ્યક્ત કરે છે ગુણવત્તા ગુણધર્મોઅભ્યાસ કર્યો સામાજિક પ્રક્રિયાઓઅને અસાધારણ ઘટના, ઘટના અને તેમની લાક્ષણિકતાઓના સંબંધના આધારે સરેરાશનું યોગ્ય સ્વરૂપ પસંદ કરવું મહત્વપૂર્ણ છે.

અંકગણિતના ગુણધર્મોનો અર્થ છે:

અંકગણિત સરેરાશમાં સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો હોય છે, જેનું જ્ઞાન સરેરાશના સારને સમજવા તેમજ તેમની ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે જરૂરી છે.

1. મધ્યમ અંકગણિત રકમવિવિધ જથ્થાઓ સરેરાશના સરવાળા સમાન છે અંકગણિત જથ્થો:

જો x i = y i + z i તો

આ નિયમ દર્શાવે છે કે કયા કિસ્સામાં સરેરાશ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદિત ઉત્પાદનો બે ભાગો ધરાવે છે yઅને zઅને તેમાંથી દરેકનું ઉત્પાદન સરેરાશ ખર્ચ કરે છે ખાતે= 3 કલાક z = 5 h, પછી એક ઉત્પાદનના ઉત્પાદનમાં વિતાવેલો સરેરાશ સમય ( એક્સ), સમાન હશે: 3+5 = 8 કલાક, એટલે કે. એક્સ= y + z..

2. સરેરાશથી અલગ અલગ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોનો બીજગણિત સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે, કારણ કે એક દિશામાં વિચલનોનો સરવાળો બીજી દિશામાં વિચલનોના સરવાળા દ્વારા રદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે.

કારણ કે

આ નિયમ દર્શાવે છે કે સરેરાશ પરિણામ છે.

3. જો શ્રેણીમાંના બધા વિકલ્પો સમાન સંખ્યાથી ઓછા અથવા વધ્યા હોય એ,પછી સરેરાશ ઘટશે અથવા સમાન સંખ્યામાં વધારો થશે અ:

4. જો શ્રેણી માટેના તમામ વિકલ્પોમાં ઘટાડો અથવા વધારો કરવામાં આવે છે એવખત, પછી સરેરાશ પણ અનુરૂપ રીતે ઘટશે અથવા તે મુજબ વધશે એએકવાર:

5. જો શ્રેણીની તમામ ફ્રીક્વન્સીને સમાન સંખ્યા વડે વિભાજિત અથવા ગુણાકાર કરવામાં આવે તો ડી,પછી સરેરાશ બદલાશે નહીં:

આ ગુણધર્મ દર્શાવે છે કે સરેરાશ ભીંગડાના કદ પર આધારિત નથી, પરંતુ તેમની વચ્ચેના સંબંધ પર આધારિત છે. પરિણામે, માત્ર નિરપેક્ષ જ નહીં, પણ સંબંધિત મૂલ્યો પણ ભીંગડા તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

સરેરાશ કાલક્રમિક

કેટલીકવાર, સામાજિક-આર્થિક સૂચકાંકોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, જો ગતિશીલતાની સમાન ક્ષણ શ્રેણીમાંથી ડેટા હોય તો સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, માલની સરેરાશ માસિક ઇન્વેન્ટરી; ક્વાર્ટર માટે વેચાણકર્તાઓની સરેરાશ સંખ્યા, અડધા વર્ષ માટે, જો મહિનાની શરૂઆતમાં વેચાણકર્તાઓની સંખ્યા જાણીતી હોય; અથવા પ્રદેશની સરેરાશ વાર્ષિક વસ્તી નક્કી કરો, પછી કાલક્રમિક સરેરાશનો ઉપયોગ કરો.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n): (n-1)

X - વસ્તીના દરેક એકમના લક્ષણનું વ્યક્તિગત મૂલ્ય;

n - વસ્તી એકમોની સંખ્યા.

હાર્મોનિક સરેરાશ

હાર્મોનિક સરેરાશ એ અંકગણિત સરેરાશનો પરસ્પર છે. જ્યારે આંકડાકીય માહિતીવસ્તીના વ્યક્તિગત પ્રકારો માટે ફ્રીક્વન્સીઝ સમાવતા નથી, પરંતુ તેમના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે ભારિત હાર્મોનિક સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે;

આ ફોર્મમાં સરેરાશ કહેવામાં આવે છે ભારિત હાર્મોનિક સરેરાશઅનેદ્વારા સૂચિત x ગાર m vzvz . પરિણામે, હાર્મોનિક સરેરાશ અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે. જ્યારે વાસ્તવિક વજન અજાણ હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ ઉત્પાદન જાણીતું હોય છે f x = z

કિસ્સાઓમાં જ્યાં કામ કરે છે f xએક સમાન અથવા સમાન (m=1), લાગુ પડે છે અર્થ હાર્મોનિક સરળ, સૂત્ર દ્વારા ગણતરી

જ્યાં એક્સ- અલગ વિકલ્પો; n- તેમની સંખ્યા.

ભૌમિતિક સરેરાશ

જ્યારે સંપૂર્ણ તફાવતો પર નહીં, પરંતુ બે સંખ્યાના ગુણોત્તર પર ધ્યાન આપવામાં આવે ત્યારે આ સરેરાશ વાપરવા માટે અનુકૂળ છે. તેથી, સરેરાશ વાર્ષિક વૃદ્ધિ દરની ગણતરીમાં ભૌમિતિક સરેરાશનો ઉપયોગ થાય છે

અથવા

આ ભૌમિતિક સરેરાશ સૂત્ર છે, જે નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે:

ભૌમિતિક સરેરાશ શક્તિના મૂળની બરાબર છે nદરેક અનુગામી સમયગાળાના મૂલ્યના પાછલા સમયગાળાના મૂલ્યના ગુણોત્તરને દર્શાવતા વૃદ્ધિ ગુણાંકના ઉત્પાદનમાંથી.

ભૌમિતિક સરેરાશ મૂલ્ય સામગ્રીની દ્રષ્ટિએ સૌથી સાચો જવાબ આપે છે, સરેરાશનું પરિણામ, જો કાર્ય એ વિશેષતાનું મૂલ્ય શોધવાનું છે જે મહત્તમ અને બંનેથી ગુણાત્મક રીતે સમાન હશે ન્યૂનતમ મૂલ્યચિહ્ન

ઉદાહરણ: ફુગાવાના પરિણામે, પ્રથમ વર્ષમાં ઉત્પાદનની કિંમત પાછલા વર્ષની સરખામણીમાં બમણી થઈ ગઈ; બીજા વર્ષ માટે - પાછલા વર્ષના સ્તર કરતાં બીજા ત્રણ ગણા. તે સ્પષ્ટ છે કે બે વર્ષમાં કિંમત 6 ગણી વધી છે. દર વર્ષે ભાવ વૃદ્ધિના સરેરાશ દરની ગણતરી કરો?

સરેરાશ વૃદ્ધિ દરની ગણતરીમાં, અંકગણિત સરેરાશ અયોગ્ય છે. ભૌમિતિક સરેરાશ સાચો જવાબ આપે છે.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2.45 વખત.

મીન ચોરસ

સંબંધિત માહિતી.

બંધારણના સાપેક્ષ કદ એ ભાગ અને સમગ્રના કદ વચ્ચેનો સંબંધ છે. તેઓ એકંદરની રચના અને રચનાને લાક્ષણિકતા આપે છે. પ્રસ્તુતિ ફોર્મ - ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણઅથવા રસ. બંધારણના સંબંધિત મૂલ્યોનો સરવાળો 1 અથવા 100% ની બરાબર છે. બે વસ્તીના અનુરૂપ શેરો વચ્ચેના તફાવતને ટકાવારી બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

આંકડાઓમાં સંપૂર્ણ મૂલ્યો એ જૂથ દ્વારા અને એકંદરે એકમો અને સરવાળોની સંખ્યા છે, જે ડેટાના સારાંશ અને જૂથીકરણનું સીધું પરિણામ છે.

સંપૂર્ણ જથ્થાને સંખ્યાઓ નામ આપવામાં આવ્યું છે, એટલે કે, તેમની પાસે માપનના પોતાના એકમો છે (ઉદાહરણ તરીકે, ટુકડાઓ, ટન, રિવનિયા). સમાવેશ થાય છે સંપૂર્ણ સૂચકાંકોવસ્તીના કદના સૂચકાંકો (ઉદ્યોગોની સંખ્યા) અને લાક્ષણિકતાઓનું પ્રમાણ (ઉત્પાદનો, નફો) અલગ પડે છે. ફીચર મીટરના ત્રણ જૂથો છે - કુદરતી, શ્રમ અને ખર્ચ.

કુદરતી મીટર જન્મજાત ઘટનાને પ્રતિબિંબિત કરે છે ભૌતિક ગુણધર્મો(વજન, લંબાઈ, સમયના માપો). કેટલીકવાર માપના સંયુક્ત એકમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે જથ્થાનું ઉત્પાદન છે વિવિધ કદ(kWh માં વીજળી ઉત્પાદન).

વ્યક્તિગત એકમોના લાક્ષણિક મૂલ્યોનો સીધો સરવાળો કરીને સંપૂર્ણ મૂલ્યો મેળવવા હંમેશા શક્ય નથી. આ કિસ્સામાં, નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સમાવિષ્ટ વ્યક્તિગત શરતો અનુરૂપ અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જાય છે. આ માટે તેઓ વારંવાર ઉપયોગ કરે છે શરતી કુદરતી મીટર. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, વપરાશમાં લેવાયેલા બળતણના જથ્થાની ગણતરી કરતી વખતે, વિવિધ પ્રકારના બળતણ, તેમના કેલરીફ મૂલ્ય અનુસાર, પ્રમાણભૂત ઇંધણના એકમોમાં દર્શાવવામાં આવે છે, જેનું કેલરીફિક મૂલ્ય 7000 કેલ/કિલો છે.

શ્રમ મીટર ઉત્પાદન અથવા અમલ માટે શ્રમ ખર્ચને માપતી વખતે (મેન-અવર, મેન-શિફ્ટ) નો ઉપયોગ થાય છે વ્યક્તિગત કાર્યો, શ્રમ ઉત્પાદકતા નક્કી કરવા માટે, તેમજ શ્રમ સંસાધનોને માપવા માટે.

ખર્ચ મીટર વિવિધ ઘટનાઓનું સામાન્યીકરણ અને તુલના કરવાનું શક્ય બનાવે છે. તેનો ઉપયોગ ટર્નઓવર, નફો અને મૂડી રોકાણ જેવા મહત્વપૂર્ણ સૂચકાંકો નક્કી કરવા માટે થાય છે.

ઘણી વખત સૂચકના સંપૂર્ણ મૂલ્યની ગણતરી દ્વારા કરવામાં આવે છે ચોક્કસ નિયમઅન્ય સૂચકાંકોના આધારે. ઉદાહરણ તરીકે, કુલ નફાની ગણતરી કુલ આવક અને કુલ ખર્ચ વચ્ચેના તફાવત તરીકે કરવામાં આવે છે.

ઘણા નિરપેક્ષ મૂલ્યો બેલેન્સ શીટના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, જે બે વિભાગોમાં સૂચકની ગણતરી માટે પ્રદાન કરે છે: રચનાના સ્ત્રોતો દ્વારા (બેલેન્સ શીટનો રસીદ ભાગ) અને ઉપયોગના ક્ષેત્રો (ખર્ચ ભાગ). ગતિશીલ બેલેન્સ શીટ સ્વરૂપમાં સંપૂર્ણ સૂચકાંકો રજૂ કરવાનું પણ શક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક વર્ષમાં એન્ટરપ્રાઇઝમાં સાધનોના એકમોની સંખ્યામાં વધારો એ વર્ષના અંત અને પ્રારંભમાં સાધનોના એકમોની સંખ્યામાં તફાવત તરીકે અથવા એકમોની સંખ્યા વચ્ચેના તફાવત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. નવા દાખલ અને નિવૃત્ત સાધનો.

પ્રકરણ 4.3. સંબંધિત મૂલ્યો.

સાપેક્ષ મૂલ્યો સામાજિક-આર્થિક ઘટનાઓ વચ્ચેના માત્રાત્મક સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. બીજગણિત સ્વરૂપતે સમાન અથવા અલગ નામોના બે જથ્થાને વિભાજિત કરવાનો ભાગ છે. ગુણોત્તરના છેદને તુલનાના આધાર અથવા સંબંધિત તીવ્રતાના આધાર તરીકે ગણવામાં આવે છે.

સરખામણીનો આધાર 100, 1000, 10,000 અથવા 100,000 એકમો હોઈ શકે છે. પછી સંબંધિત મૂલ્ય અનુક્રમે ટકાવારી (%), ppm (%o), પ્રોડેસિમિલ (%oo), પ્રોસેન્ટિમિલ (%ooo) માં દર્શાવવામાં આવશે.

વિવિધ સામગ્રી અને પ્રકૃતિના સંબંધિત મૂલ્યોનો ઉપયોગ થાય છે.

વચ્ચે સંબંધ વિવિધ નામો સંપૂર્ણ મૂલ્યોઆપે છે સંબંધિત કદતીવ્રતા . આ એક નામાંકિત જથ્થો છે જે અંશ અને છેદના એકમોને જોડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, માથાદીઠ ઉત્પાદન. સંબંધિત તીવ્રતાના મૂલ્યો ચોક્કસ વાતાવરણમાં ઘટનાના વિતરણ અથવા વિકાસની ડિગ્રી દર્શાવે છે. તેમાં વસ્તી વિષયક ગુણાંક (ફળદ્રુપતા, મૃત્યુદર, સ્થળાંતર પ્રવાહની તીવ્રતા)નો પણ સમાવેશ થાય છે, જે ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન ઘટનાઓની સંખ્યા (મૃત્યુ, જન્મ) ના ગુણોત્તર દ્વારા ગણવામાં આવે છે. સરેરાશ સંખ્યાસમાન સમયગાળામાં વસ્તી.

સરખામણી નામ જથ્થાઓ અમને નીચેના પ્રકારના સંબંધિત જથ્થાને ઓળખવા દે છે: માળખું, સંકલન, ગતિશીલતા, યોજના સોંપણી, યોજના અમલીકરણ, ઑબ્જેક્ટ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી.

સંબંધિત સંકલન મૂલ્યો - આ સંપૂર્ણ અથવા સંબંધના વ્યક્તિગત ભાગો વચ્ચેના સંબંધો છે વ્યક્તિગત ભાગોતેમાંથી એક માટે એકંદર, સરખામણીના આધાર તરીકે લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ, 100 ગ્રામીણ દીઠ શહેરી રહેવાસીઓની સંખ્યા; 100 પુરુષો દીઠ સ્ત્રીઓની સંખ્યા. આ મૂલ્યો ટકાવારી, પીપીએમ અથવા બહુવિધ ગુણોત્તર તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, દર 100 પુરુષો માટે 114 સ્ત્રીઓ છે).

વિકાસની તીવ્રતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, ઉપયોગ કરો ગતિશીલતાની સંબંધિત તીવ્રતા, જે બે સમયગાળામાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઘટનાના સ્તરના ગુણોત્તર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

સંબંધિત સરખામણી મૂલ્યો લાક્ષણિકતા ધરાવતા સમાન નામના સૂચકાંકોના ગુણોત્તર તરીકે ગણવામાં આવે છે વિવિધ પદાર્થોઅથવા પ્રદેશ અને સમાન ટેમ્પોરલ નિશ્ચિતતા ધરાવે છે.

કેટલીક પ્રક્રિયાઓનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે અને તેમને પ્રતિબિંબિત કરતા સૂચકાંકો માટે યોજનાના લક્ષ્યો નક્કી કરવામાં આવ્યા છે. આયોજિત અને સરખામણી કરીને વાસ્તવિક મૂલ્યોસૂચકાંકોની ગણતરી સંબંધિત મૂલ્યો દ્વારા કરવામાં આવે છે: યોજના સોંપણી અને યોજના અમલીકરણ.

જો આપણે વર્તમાન સમયગાળાનું વાસ્તવિક સ્તર દર્શાવીએ y1, મૂળભૂત y0અને આયોજિત સ્તર ypl, પછી સંબંધિત મૂલ્ય:

Kd = y1 / y0,

2) આયોજિત કાર્ય

Kpz =ypl / y0,

3) યોજનાનો અમલ

Kvp =y1 / ypl .

પ્રકરણ 4.4. સરેરાશ કદના પ્રકારો અને સ્વરૂપો.

સરેરાશ કદકહેવાય છે આંકડાકીય સૂચક, જે સ્થળ અને સમયની ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ વસ્તીના સજાતીય એકમોની વિવિધ લાક્ષણિકતાની સામાન્ય લાક્ષણિકતા આપે છે. સરેરાશનું મૂલ્ય સમગ્ર વસ્તીને લાક્ષણિકતા આપે છે અને આપેલ લાક્ષણિકતાના સંબંધમાં તેને લાક્ષણિકતા આપે છે.

સરેરાશ મૂલ્યઅભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના તમામ એકમો માટે શું સામાન્ય છે તે પ્રતિબિંબિત કરે છે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ વેતનવિચારણા હેઠળ કામદારોની વસ્તી માટે વેતનની સ્થિતિનું સામાન્યીકરણ માત્રાત્મક વર્ણન પ્રદાન કરે છે.

સરેરાશનો સારએ હકીકતમાં રહેલું છે કે તે લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોમાં રેન્ડમ વિચલનોને રદ કરે છે અને મુખ્ય પરિબળને કારણે થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લે છે.

સરેરાશ મૂલ્યોની પદ્ધતિ દ્વારા આંકડાકીય પ્રક્રિયામાં ચોક્કસ સંતુલિત સરેરાશ મૂલ્ય X સાથે વિવિધ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વ્યાપારી બેંકના દરરોજ 5 ટેલરનું વ્યક્તિગત આઉટપુટ 136, 140, 154 અને 162 ઓપરેશન્સ જેટલું હતું. એક ઓપરેટર દ્વારા દરરોજ કરવામાં આવતા વ્યવહારોની સરેરાશ સંખ્યા મેળવવા માટે, તમારે આ વ્યક્તિગત સૂચકાંકો ઉમેરવાની અને પરિણામી રકમને ઓપરેટરની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

ઉપરોક્ત ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ઓપરેશન્સની સરેરાશ સંખ્યા કોઈપણ વ્યક્તિગત સાથે સુસંગત નથી, કારણ કે એક પણ ઓપરેટરે 150 કામગીરી કરી નથી. પરંતુ જો આપણે કલ્પના કરીએ કે દરેક ઓપરેટરે 150 ઓપરેશન કર્યા છે, તો પછી કુલ રકમબદલાશે નહીં, પણ 750 ની બરાબર હશે. આમ, અમે સરેરાશ મૂલ્યોની મુખ્ય મિલકત પર આવ્યા છીએ: લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોનો સરવાળો સરેરાશ મૂલ્યોના સરવાળા જેટલો છે.

આ ગુણધર્મ ફરી એકવાર એ વાત પર ભાર મૂકે છે કે સરેરાશ મૂલ્ય સમગ્ર આંકડાકીય વસ્તીની સામાન્યીકરણની લાક્ષણિકતા છે.

સરેરાશ મૂલ્યો બે મોટા વર્ગોમાં વહેંચાયેલા છે:

પાવર સરેરાશ:

અંકગણિત

હાર્મોનિક

ભૌમિતિક

ચતુર્ભુજ

માળખાકીય સરેરાશ:

ફેશન

મધ્યક

સરેરાશનો સૌથી સામાન્ય પ્રકાર એ અંકગણિત સરેરાશ છે:

સરળ અંકગણિત સરેરાશ

અંકગણિત સરેરાશ ભારાંકિત

અંતરાલ શ્રેણી માટે અંકગણિતનો અર્થ.

સરળ અંકગણિત સરેરાશસરેરાશ શબ્દનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જ્યારે તે નક્કી કરવામાં આવે છે કે ડેટાના સમૂહમાં આપેલ લાક્ષણિકતાનું કુલ વોલ્યુમ આપેલ એકમાં સમાવિષ્ટ તમામ એકમોમાં સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે.

આમ, કામદાર દીઠ સરેરાશ વાર્ષિક આઉટપુટ એ આઉટપુટની માત્રા છે જે દરેક કર્મચારી પર પડે છે જો આઉટપુટનું સમગ્ર વોલ્યુમ સમાન ડિગ્રી સુધીસંસ્થાના તમામ કર્મચારીઓમાં વહેંચવામાં આવે છે. અંકગણિત સરેરાશ સરળ મૂલ્યની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.