Teisė dideli skaičiai yra pagrindinis tikimybių teorijos dėsnis dėl to, kad jis suformuluoja esminį ryšį tarp dėsningumo ir atsitiktinumo. Būtent jis teigia, kad daugybė nelaimingų atsitikimų lemia tam tikrą modelį, leidžiantį numatyti įvykių eigą. Daugumoje bendra forma jis išreiškia save Čebyševo teorema:

Leisk ( Χ 1; X2; … X n ; ...) nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai (laikoma, kad jie yra begalinis skaičius). Ir tegul jų skirtumai yra vienodai ribojami (tai yra, visų šių skirtumai atsitiktiniai dydžiai neviršija tam tikros konstantos SU):

Tada nesvarbu, kiek mažai teigiamas skaičius, tenkinamas ribinis tikimybės santykis:

jei atsitiktinių dydžių skaičius pakankamai didelis. Arba, kas yra tas pats, tikimybė

Taigi Čebyševo teorema teigia, kad jei laikysime pakankamai didelį skaičių n nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai ( Χ 1; X2; … Xn), tada įvykis gali būti laikomas beveik patikimu (su tikimybe, artima vienetui), kad šių atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio nuokrypis nuo jų matematinių lūkesčių aritmetinio vidurkio bus absoliuti vertė toks mažas, koks tau patinka.

Įrodymas. Χ 1; X2; … Xn):

(4)

; (5)

Atsižvelgdami į sąlygas (1), nustatome, kad

(6)

Taigi, kai dispersija yra . Tai yra, kai aplink jį pasiskirsto atsitiktinio dydžio reikšmės matematinis lūkestis mažėja neribotą laiką. Ir tai reiškia, kad kai vertė, ty . Arba, tiksliau, tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis bent kažkaip nukryps nuo savo matematinio lūkesčio – konstantos – linkusi į nulį. Būtent bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui

Taigi, pagal įrodytą Čebyševo teoremą, daugelio nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis ( Χ 1; X2; … Xn), būdamas atsitiktiniu dydžiu, iš tikrųjų praranda atsitiktinumo pobūdį ir iš tikrųjų tampa nekeičiama konstanta. Ši konstanta yra lygi verčių matematinių lūkesčių aritmetiniam vidurkiui ( Χ 1; X2; … Xn). Tai yra didelių skaičių dėsnis.

Galima pateikti dar vieną Čebyševo teoremos įrodymą. Norėdami tai padaryti, naudojame Čebyševo nelygybę. Jis galioja tiek diskretiesiems, tiek nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams ir turi reikšmę savaime. Čebyševo nelygybė leidžia įvertinti tikimybę, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio neviršija teigiamo skaičiaus absoliučia verte. Pateiksime Čebyševo nelygybės diskrečiųjų atsitiktinių dydžių įrodymą.

Čebyševo nelygybė: Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis X iš jo matematinių lūkesčių absoliučia verte yra mažesnis už teigiamą skaičių, ne mažesnis nei:

.

Įrodymas: Nuo įvykių, kuriuos sudaro nelygybės įgyvendinimas Ir , yra priešingi, tada jų tikimybių suma lygi 1, t.y. . Taigi mus domina tikimybė. (*)

Mes surasime . Už tai raskime dispersiją atsitiktinis kintamasis X.

Visos šios sumos sąlygos yra neneigiamos. Atmeskime tas sąlygas, kurioms (likusiems terminams ), dėl to suma gali tik mažėti. Tikslumui sutikkime daryti prielaidą, kad k pirmieji terminai (laikysime, kad paskirstymo lentelėje galimos reikšmės sunumeruotos būtent tokia tvarka). Taigi,

Kadangi abi nelygybės pusės yra teigiami, todėl juos sukėlus kvadratu, gauname ekvivalentinę nelygybę . Pasinaudokime šia pastaba, kiekvieną veiksnį pakeisdami likusia suma skaičių (šiuo atveju nelygybė gali tik didėti), gauname. (**)

Pagal sudėjimo teoremą tikimybių suma yra tikimybė, kad X užims vieną, nesvarbu, kokią vertę , o bet kuriam iš jų nuokrypis tenkina nelygybę . Iš to išplaukia, kad suma išreiškia tikimybę . Tai leidžia nelygybę (**) perrašyti taip: . (***).

Pakeiskime (***) V (*) ir gauname , ką ir reikėjo įrodyti.

2-osios Čebyševo teoremos įrodymas:

Atsižvelgsime į naują atsitiktinį dydį - atsitiktinių dydžių aritmetinį vidurkį ( Χ 1; X2; … Xn):

Naudodami matematinio lūkesčio ir dispersijos savybes, gauname:

; . (*)

Kiekybei pritaikę Čebyševo nelygybę, turime.

Atsižvelgiant į santykį (*),

Pagal sąlygą tai reiškia . (***) Dešinę pusę (***) pakeitę nelygybe (**), turime

Iš čia, pereinant prie ribos ties , gauname

Kadangi tikimybė negali viršyti vieneto, galiausiai gauname:

Ką mums reikėjo įrodyti.

Apsistokime ties vienu svarbiu konkrečiu Čebyševo teoremos atveju. Būtent, apsvarstykite atvejį, kai nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai ( Χ 1; X2; … Xn) turi tie patys dėsniai paskirstymus, todėl yra identiški skaitinės charakteristikos:

(8)

Tada atsitiktiniam dydžiui, pagal (5), turime:

(9)

Ribojančios tikimybės santykis (7) šiuo atveju bus toks:

(10)

Iš (10) padaryta išvada puiki vertė kovoti su atsitiktinėmis paklaidomis atliekant įvairius matavimus.

Pavyzdžiui, reikia išmatuoti tam tikrą kiekį A. Gaminsime ne vieną, o keletą ( n) nepriklausomi pakartotiniai šio dydžio vertės matavimai. Bet kokie matavimai yra būdingi atsitiktinei paklaidai, susijusiai su matavimo prietaiso netobulumu, visų rūšių atsitiktiniais matavimo trukdžiais ir kt. Todėl rezultatai ( Χ 1; X2; … Xn) atskirus nuoseklius norimos reikšmės matavimus A, paprastai kalbant, nebus duota – tai bus atsitiktiniai dydžiai. Be to, su kiekiais, turinčiais identiški paskirstymai, nes matavimai atliekami pakartotinai, ty esant pastoviai išorinės sąlygos. Tada kiekiui – visų rezultatų aritmetinis vidurkis n matavimai – išsipildys ribojantis tikimybės ryšys (10). Tai reiškia, kad šis aritmetinis vidurkis praranda atsitiktinumo pobūdį, virsdamas į A– tikroji išmatuoto dydžio vertė. Tai, beje, liudija formulės (9), pagal kurias:

(11)

Tai yra, atlikus pakankamai daug kartotinių norimo kiekio matavimų A, kurių kiekvienoje galima atsitiktinė matavimo paklaida, o tada rasti vidurkį aritmetiniai rezultataišiuos matavimus naudojame formulę

A(12)

galime gauti vertę ir praktiškai be atsitiktinių klaidų.

Ši išvada yra didelių skaičių dėsnio pasekmė. IN šiuo atvejušis dėsnis pasireiškia tuo, kad susumavus matavimo rezultatus (4) atsitiktinių klaidų atskiri matmenys, iš esmės vienodai dažnai pasitaikantys su pliuso ir minuso ženklu, paprastai panaikins vienas kitą. O likusi klaida vis tiek bus padalinta į n, tai yra, jis dar sumažės n vieną kartą. Taigi kada didelės vertės n vertė bus beveik lygi išmatuotai vertei A. Ši išvada, žinoma, plačiai naudojama praktikoje.

Pastaba. Pagal dydį jie tik panaikina vienas kitą atsitiktinių klaidų matavimai, tai yra paklaidos, susijusios su atsitiktinių veiksnių (interferencijų) veikimu. Tačiau sisteminės (nuolatinės) paklaidos, tai yra, kiekvienam matavimui būdingos paklaidos, natūraliai išlieka . Pavyzdžiui, įrenginyje numušta (nesureguliuota) rodyklė kiekviename matavime sukelia pastovią (sisteminę) paklaidą, todėl ją sukelia šių matavimų rezultatų aritmetinis vidurkis. Sisteminės klaidos turi būti pašalintos dar prieš atliekant matavimus ir neleidžiamos matavimo proceso metu.

Tada, jei α yra matavimo prietaiso padalijimo vertė, tai visi pakartotiniai matavimai atliekami α tikslumu. Bet tada, žinoma, visų matavimų rezultatų aritmetinis vidurkis gali būti nurodytas tik α tikslumu, tai yra tikslumu, kurį lemia prietaiso tikslumas.

Todėl nereikėtų manyti, kad atlikus pakankamai daug pakartotinių kiekio matavimų A o tada radę šių matavimų rezultatų aritmetinį vidurkį, gauname tiksli prasmė A. Jį gausime tik matavimo prietaiso tikslumu. Ir net tada, jei išskirsime sisteminė klaida matavimai.

Štai dar vienas svarbus dalykas ypatingas atvejis didelių skaičių dėsnis. Leiskite X=k– kokio nors įvykio atvejų skaičius A V n pakartotiniai testai ( X– atsitiktinis dydis). Ir tegul ir – įvykio atsiradimo ir neįvykimo tikimybė A viename bandyme. Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį – santykinį įvykio dažnį A V n bandymai. Taip pat pristatykime n atsitiktiniai dydžiai ( X 1, X 2, …X n), kurie nurodo įvykio atvejų skaičių A pirmame, antrame... n-tieji bandymai. Tada k = X 1 + X 2 +…+ X p, ir įvykio įvykis A praktiškai sutampa su įvykio tikimybe A viename bandyme. Ši išvada pagrįsta daugelio tikimybių nustatymu atsitiktiniai įvykiai, kurių tikimybių negalima rasti kitu būdu (teoriškai).

Pavyzdžiui, tegul testas yra deformuotos (asimetrinės) monetos metimas ir įvykis A už šį iššūkį, tai yra keteros lašas. Įvykio tikimybė A Autorius klasikinė formulė ar kitu būdu teorinė formulė sunku rasti, nes tokia formulė kažkaip turi atspindėti monetos deformacijos ypatybes. Todėl tikrasis kelias, vedantis į tikslą, yra vienas: pakartotinai mesti monetą (kuo daugiau metimų n, tuo geriau) ir empiriškai nustatyti santykinį herbo atsiradimo dažnį. Jeigu n yra didelis, tai pagal didelių skaičių dėsnį galima su didelė tikimybė tvirtinti, kad .

Didelių skaičių dėsnis pasireiškia daugeliu gamtos ir socialinių reiškinių.

1 pavyzdys. Kaip žinoma, dujos, dedamos į uždarą indą, daro slėgį indo sienelėms. Pagal dujų būsenos dėsnius, esant pastoviai dujų temperatūrai, šis slėgis yra pastovus. Dujų slėgį sukelia chaotiškas atskirų molekulių smūgis į indo sieneles. Visų molekulių judėjimo greičiai ir kryptys yra skirtingi, todėl skirtingų molekulių smūgių jėgos į indo sieneles taip pat skiriasi. Tačiau dujų slėgį ant indo sienelių lemia ne atskirų molekulių smūgio jėga, o jų vidutinis jėga. Bet ji kaip vidutinė didžiulis skaičius nepaisant aktyvios jėgos, pagal didelių skaičių dėsnį, išliks praktiškai nepakitęs. Todėl dujų slėgis ant indo sienelių praktiškai nesikeičia.

2 pavyzdys. Draudimo bendrovė, užsiimanti, pavyzdžiui, automobilių draudimu, už skirtingus draudžiamuosius įvykius (autoįvykius ir kelių eismo įvykius) moka skirtingas draudimo sumas. Tačiau vidutinė šios draudimo sumos vertė, kaip daugelio skirtingų vidurkis n nepriklausomos draudimo sumos, pagal didelių skaičių dėsnį, praktiškai nesikeis. Tai galima nustatyti ištyrus faktinę draudimo išmokų statistiką. Kad draudimo įmonė išvengtų nuostolių, vidutinė jos klientų draudimo įmoka turi būti didesnė už vidutinę įmonės mokamą įmoką savo klientams. Tačiau ši įmoka neturėtų būti per didelė, kad įmonė būtų konkurencinga (konkuruoti patrauklumu su kitomis draudimo bendrovėmis).

Šį įrodymą atliekame dviem etapais. Pirma, tarkime, kad yra, ir atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju D(S„) pagal sumos dispersijos teoremą. Pagal Čebyševo nelygybę, bet kuriai t > 0

Jei t > n kairėje pusėje mažesnė nei, o pastaroji reikšmė linkusi į nulį. Tai užbaigia pirmąją įrodymo dalį.

Dabar atmeskime ribojančią D() egzistavimo sąlygą. Sutrumpinimo metodu šis atvejis sumažinamas iki ankstesnio.

Apibrėžkime du naujus atsitiktinių dydžių rinkinius, priklausomai nuo:

U k =, V k = 0, jei (2.2)

U k =0, V k =, jei

Čia k=1,… , n ir yra fiksuotas. Tada

visiems k.

Tegul (f(j)) yra atsitiktinių dydžių tikimybių skirstinys (vienodas visiems j). Darėme prielaidą, kad = M() egzistuoja, taigi suma

baigtinis. Tada taip pat yra

kur sumavimas atliekamas per visus tuos j kuriems. Atkreipkite dėmesį, kad nors jis priklauso nuo n, jis yra tas pats

U 1, U 2, ..., U n. Be to, ir todėl savavališkai > 0 ir visi pakankamai dideli n

U k yra vienas nuo kito nepriklausomi, o jų suma U 1 +U 2 +…+U n gali būti nagrinėjama lygiai taip pat, kaip ir su X k baigtinės dispersijos atveju, taikant Čebyševo nelygybę, gauname panašiai kaip (2.1)

Dėl (2.6) išplaukia, kad

Kadangi eilutė (2.4) konverguoja, paskutinė suma linkusi į nulį, kai n didėja. Taigi, pakankamai dideliam n

ir todėl

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Bet iš (2.9) ir (2.12) gauname

Kadangi jie yra savavališki, dešinėje pusėje gali būti padaryta tokia maža, kaip norima, o tai užbaigia įrodymą.

„Nekenksmingų“ žaidimų teorija

Toliau analizuodami didelių skaičių dėsnio esmę, naudosime tradicinę žaidėjų terminologiją, nors mūsų samprotavimai leidžia vienodai ir rimtesnėse programose, o mūsų dvi pagrindinės prielaidos yra realesnės statistikos ir fizikos srityse, o ne azartinių lošimų. Pirma, darykime prielaidą, kad žaidėjas turi neribotą kapitalą, kad joks pralaimėjimas negalėtų baigti žaidimo. (Šios prielaidos atmetimas veda prie žaidėjo pražūties problemos, kuri visada intriguoja tikimybių teorijos studentus.) Antra, tarkime, kad žaidėjas neturi temperamento nutraukti žaidimą kada tik nori: bandymų skaičius n turi būti nustatytas iš anksto ir neturi priklausyti nuo judėjimo žaidimų. Priešingu atveju žaidėjas, apdovanotas neribotu kapitalu, lauktų sėkmės serijos ir reikiamu momentu sustabdytų žaidimą. Tokį žaidėją domina ne tikėtinas svyravimas tam tikru momentu, o maksimalūs ilgos žaidimų serijos svyravimai, kurie apibūdinami iteracinio logaritmo dėsniu, o ne didelių skaičių dėsniu.

Įveskime atsitiktinį kintamąjį k kaip (teigiamą arba neigiamą) išmoką už k-asis pakartojimasžaidimus. Tada suma S n = 1 +…+ k yra bendras laimėjimas po n žaidimo pakartojimų. Jei prieš kiekvieną pakartojimą žaidėjas sumoka (nebūtinai teigiamą) įnašą už teisę dalyvauti žaidime, tai n reiškia visą jo sumokėtą įnašą, o S n – bendrą grynąjį laimėjimą. Didelių skaičių dėsnis galioja, jei egzistuoja p=M(k). Grubiai tariant, didelėms n vertėms yra gana tikėtina, kad skirtumas S n - atrodys mažas, palyginti su n. Todėl, jei jis yra mažesnis nei p, tada, kai yra didelis n, žaidėjas tikriausiai turės tokio dydžio išmoką. Be to, įnašas beveik neabejotinai sukelia nuostolių. Trumpai tariant, atsitiktinumas yra palankus žaidėjui, o atsitiktinumas yra nepalankus.

Atkreipkite dėmesį, kad mes dar nieko nesakėme apie atvejį. Šiuo atveju vienintelė galima išvada yra ta, kad jei ir yra pakankamai didelis, bendras pelnas arba nuostolis S n - n bus labai mažas, palyginti su n. Bet nežinia, ar S n - n pasirodys būti teigiamas ar neigiamas, t. y. ar žaidimas bus pelningas, ar žalingas. Į tai nebuvo atsižvelgta klasikinė teorija, kuris vadino nekenksminga kaina, ir žaidimas su „nekenksmingu“. Turite suprasti, kad „nekenksmingas“ žaidimas iš tikrųjų gali būti neabejotinai pelningas ir žalingas.

Aišku, kad „normaliu atveju“ egzistuoja ne tik M(k), bet ir D(k). Šiuo atveju didelių skaičių dėsnis papildytas centrine ribine teorema, o pastaroji sako, kad labai tikėtina, kad „nekenksmingame“ žaidime grynasis pelnas dėl ilgo žaidimo S n - n bus lygus. eilės n 1/2 ir kad esant pakankamai dideliam n, šis padidėjimas bus apytikslis vienodos galimybės teigiamas ar neigiamas. Taigi, jei galioja centrinė ribinė teorema, tuomet terminas „nekenksmingas“ žaidimas yra pateisinamas, nors ir šiuo atveju turime reikalą su ribine teorema, kurią pabrėžia žodžiai „dėl ilgo žaidimo“. Išsami analizė rodo, kad (1.3) konvergencija blogėja didėjant dispersijai. Jei jis didelis, tada normali aproksimacija bus efektyvus tik itin dideliems n.

Konkrečiai, įsivaizduokime mašiną, kurioje, įdėdamas į jį rublį, žaidėjas gali laimėti (10--1) rublį su 10 tikimybe, o kitais atvejais prarasti nuleistą rublį. Čia mes turime Bernoulli testus ir žaidimas yra „nekenksmingas“. Atlikęs milijoną testų, žaidėjas už tai sumokės milijoną rublių. Per šį laiką jis gali laimėti 0, 1,2,... kartų. Pagal Puasono aproksimaciją binominis skirstinys, kelių skaitmenų po kablelio tikslumu, tikimybė laimėti lygiai k kartų lygi e -1 /k!. Taigi su 0,368 tikimybe. . . žaidėjas praras milijoną, o su tokia pačia tikimybe jis tik susigrąžins savo išlaidas; jis turi 0,184 tikimybę... įgyti lygiai vieną milijoną ir tt Čia 10 6 bandymai prilygsta vienam bandymui žaidime, kurio išmokėjimas turi Puasono paskirstymą.

Akivaizdu, kad tokiose situacijose nėra prasmės taikyti didelių skaičių dėsnį. Į šią schemą įeina draudimas nuo gaisro, autoavarijų ir pan. Rizikuojama didelė suma, tačiau atitinkama tikimybė labai maža. Tačiau čia dažniausiai būna tik vienas testas per metus, todėl n testų skaičius niekada netampa didelis. Apdraustajam žaidimas nebūtinai yra „nekenksmingas“, nors jis gali būti ekonomiškai gana pelningas. Didelių skaičių dėsnis su tuo neturi nieko bendra. Kalbant apie draudimo bendrovę, ji užsiima daugybe žaidimų, tačiau dėl didelės dispersijos vis tiek atsiranda atsitiktinių svyravimų. Draudimo įmokos turi būti nustatytos taip, kad tam tikrais metais būtų išvengta didelių nuostolių, todėl įmonė yra suinteresuota griuvėsių problema, o ne didelių skaičių dėsniu.

Kai dispersija begalinė, terminas „nekenksmingas“ žaidimas netenka prasmės; nėra pagrindo manyti, kad bendras grynasis pelnas S n - n svyruoja apie nulį. Tikrai. Yra „nekenksmingų“ žaidimų pavyzdžių, kai tikimybė, kad žaidėjas patirs grynąjį nuostolį, yra viena. Didelių skaičių dėsnis tik teigia, kad šis nuostolis bus mažesnis nei n. Tačiau nieko daugiau teigti negalima. Jei n sudaro savavališką seką, o n /n0, tada galima surengti „nekenksmingą“ žaidimą, kuriame tikimybė, kad bendras grynasis nuostolis dėl n žaidimo pakartojimų viršys a n, yra vienetas.

„Didžiųjų skaičių dėsnis“ tikimybių teorijoje suprantamas kaip matematinių teoremų serija, kurių kiekviena tam tikromis sąlygomis nustato faktą, kad daugelio eksperimentų vidutinės charakteristikos artėja prie tam tikrų konstantų.

Jis pagrįstas Čebyševo nelygybe:

Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte yra mažesnis už teigiamą skaičių ε, yra ne mažesnė kaip:

Galioja diskrečiam ir nuolatiniam r.v.

53. Čebyševo teorema.

Tegul yra begalinė nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka su tais pačiais matematiniais lūkesčiais ir dispersijomis, apribotomis tos pačios konstantos C:

Tada, kad ir koks būtų teigiamas skaičius, įvykio tikimybė yra viena.

54. Bernulio teorema.

Tegu gaminamas n nepriklausomi testai, kurių kiekvienoje įvykio A tikimybė yra lygi p.

55. Liapunovo centrinės ribos teoremos samprata.

Daugelio nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymas labai bendromis sąlygomis yra artimas normaliajam pasiskirstymui.

Žinoma, kad įprastai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai praktikoje yra plačiai paplitę. Tai paaiškino A. M. Lyapunovas centrinėje ribos teoremoje: jei atsitiktinis dydis yra labai daug tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių kiekvieno įtaka visai sumai yra nereikšminga, tada jis turi pasiskirstymas artimas normaliam.

56. Bendroji visuma ir imtis: pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos.

Matematinė statistika yra mokslas, nagrinėjantis eksperimentinių duomenų gavimo, aprašymo ir apdorojimo metodų kūrimą, siekiant ištirti atsitiktinių masės reiškinių modelius.

Matematinės statistikos problemos:

Nežinomos pasiskirstymo funkcijos įvertinimas remiantis matavimo rezultatais.

Įvertinimas nežinomi parametrai paskirstymus.

Statinių hipotezių tikrinimas.

Panagrinėkime kokią nors kiekybinę charakteristiką x.

Tada visuma suprantama kaip visų galimų jos reikšmių visuma.

Ištirti savybes šios savybės iš gyventojų dalis elementų atsitiktinai atrenkami Xi variantais, kurie sudaro imties populiaciją arba imtį.

Kolekcijos elementų skaičius vadinamas jos objektu n.

Atranka: 1) kartotinė atranka, kurios metu pasirinktas objektas (prieš pasirenkant kitą) grąžinamas bendrajai visumai.

2) nesikartojanti atranka, kurios metu pasirinktas objektas grąžinamas bendrajai visumai.

Kad imties duomenis būtų galima pakankamai patikimai spręsti apie mus dominančias bendros aibės charakteristikas, būtina, kad imtis būtų reprezentatyvi)

Remiantis didelių skaičių dėsniu, galima teigti, kad imtis bus reprezentatyvi, jei ji bus atlikta atsitiktinai: kiekvienas objektas populiacijoje turi turėti vienodą tikimybę būti įtrauktas į imtį.

Jei populiacijos objektas yra pakankamai didelis, o imtis sudaro tik nedidelę šios populiacijos dalį, skirtumas tarp pasikartojančių ir nesikartojančių imčių ištrinamas.

Parinkčių sąrašas, išdėstytas didėjančia tvarka, vadinamas variantų serija.

Tam tikros parinkties stebėjimų skaičius vadinamas jo dažniu ni, o dažnio ni ir imties objekto santykis yra n santykinis dažnis wi.

Planas:

1. Centrinės ribos teoremos samprata (Lyapunov teorema)

2. Didžiųjų skaičių, tikimybės ir dažnio dėsnis (Čebyševo ir Bernulio teoremos)

1. Centrinės ribos teoremos samprata.

Normalusis tikimybių skirstinys turi didelę reikšmę tikimybių teorijoje. Normalus įstatymas tikimybė paklūsta šaudant į taikinį, atliekant matavimus ir pan. Visų pirma paaiškėja, kad pakankamai didelio nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis su savavališki įstatymai paskirstymas yra arti normalusis pasiskirstymas. Šis faktas vadinamas centrine ribine teorema arba Liapunovo teorema.

Yra žinoma, kad įprastai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai yra plačiai naudojami praktikoje. Kas tai paaiškina? Į šį klausimą atsakyta

Centrinės ribos teorema. Jeigu atsitiktinis dydis X yra labai daug vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių suma, kurių kiekvieno įtaka visai sumai yra nereikšminga, tai X pasiskirstymas artimas normaliajam pasiskirstymui.

Pavyzdys. Išmatuojame kai kuriuos fizinis kiekis. Bet koks matavimas duoda tik apytikslę išmatuotos vertės reikšmę, nes matavimo rezultatą įtakoja daug nepriklausomų atsitiktinių veiksnių (temperatūra, prietaiso svyravimai, drėgmė ir kt.). Kiekvienas iš šių veiksnių sukuria nereikšmingą „dalinę klaidą“. Tačiau kadangi šių veiksnių skaičius yra labai didelis, jų bendras poveikis sukelia pastebimą „visą klaidą“.

Laikydami bendrą paklaidą kaip labai daug tarpusavyje nepriklausomų dalinių klaidų sumą, galime daryti išvadą, kad visos paklaidos pasiskirstymas yra artimas normaliajam pasiskirstymui. Patirtis patvirtina šios išvados pagrįstumą.

Panagrinėkime sąlygas, kurioms esant tenkinama „centrinės ribos teorema“.

X1,X2, ..., Xn– nepriklausomų atsitiktinių dydžių seka,

M(X1),M(X2),...,M(Xn) - galutiniai matematiniai šių dydžių lūkesčiai atitinkamai lygūs M(Xk)= ak

D (X1),D(X2),...,D(Xn) - jų galutinės dispersijos yra atitinkamai lygios D(X k)= bk2

Įveskime tokį žymėjimą: S= X1+X2 + ...+Xn;

A k = X1 + X2 + ... + Xn =; B2 = D (X1)+D(Х2)+ ...+D(Xn) =

Parašykime normalizuotos sumos pasiskirstymo funkciją:

Jie sako, kad nuoseklumas X1,X2, ..., Xn Centrinė ribos teorema taikoma, jei tokia yra x normalizuotos sumos pasiskirstymo funkcija kaip n ® ¥ linkusi normali funkcija paskirstymai:

Dešinė " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Apsvarstykite diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį X, nurodyta paskirstymo lentelėje:

Iškelkime sau užduotį įvertinti tikimybę, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio neviršija teigiamo skaičiaus absoliučia verte ε

Jeigu ε yra pakankamai mažas, tada įvertinsime tikimybę, kad X paims vertes gana artimas matematiniams lūkesčiams. įrodė nelygybę, leidžiančią pateikti mus dominantį įvertinimą.

Čebyševo lema. Duotas atsitiktinis kintamasis X, kuris ima tik neneigiamas reikšmes su matematine lūkesčiu M(X). Bet kuriam skaičiui α>0 galioja išraiška:

Čebyševo nelygybė. Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte yra mažesnis už teigiamą skaičių ε , ne mažiau kaip 1 – D(X) / ε 2:

P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 – D (X) / ε 2.

komentuoti.Čebyševo nelygybė turi ribotą praktinę reikšmę, nes ji dažnai pateikia apytikslį ir kartais nereikšmingą (neįdomų) įvertinimą.

Teorinė Čebyševo nelygybės reikšmė labai didelė. Žemiau mes naudosime šią nelygybę Čebyševo teoremai išvesti.

2.2. Čebyševo teorema

Jei X1, X2, ..., Xn.. yra poromis nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, o jų dispersijos yra tolygiai ribojamos (neviršija pastovaus skaičiaus C), tai nesvarbu, koks mažas teigiamas skaičius ε , nelygybės tikimybė

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n – (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

bus tiek arti vienybės, kiek norima, jei atsitiktinių dydžių skaičius yra pakankamai didelis.

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n – (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

Čebyševo teorema teigia:

1. Atsižvelgiama į pakankamai daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių su ribotomis dispersijomis,

Formuluodami Čebyševo teoremą manėme, kad atsitiktiniai dydžiai turi skirtingus matematinius lūkesčius. Praktikoje dažnai atsitinka taip, kad atsitiktiniai dydžiai turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Akivaizdu, kad jei dar kartą darysime prielaidą, kad šių dydžių dispersijos yra ribotos, tada jiems bus taikoma Čebyševo teorema.

Kiekvieno atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį pažymėkime A;

Nagrinėjamu atveju matematinių lūkesčių aritmetinis vidurkis, kaip nesunku suprasti, taip pat lygus A.

Galima suformuluoti Čebyševo teoremą konkrečiam nagrinėjamam atvejui.

"Jei X1, X2, ..., Xn.. yra poromis nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, turintys tą patį matematinį lūkestį a, ir jei šių reikšmių dispersijos yra vienodai ribojamos, tada nesvarbu, koks mažas skaičius yra ε >O, nelygybės tikimybė

÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - a | < ε

bus tiek arti vienybės, kiek norima, jei atsitiktinių dydžių skaičius yra pakankamai didelis" .

Kitaip tariant, teoremos sąlygomis

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3. Čebyševo teoremos esmė

Nors atskirų nepriklausomų atsitiktinių dydžių reikšmės gali būti toli nuo jų matematinių lūkesčių, labai tikėtina, kad pakankamai didelio atsitiktinių dydžių skaičiaus aritmetinis vidurkis įgaus reikšmes, artimas tam tikram. pastovus skaičius, būtent į numerį

(M (Xj) + M (X2)+... + M (Х„))/п arba į numerį ir viduje ypatingas atvejis.

Kitaip tariant, atskiri atsitiktiniai dydžiai gali turėti reikšmingą sklaidą, o jų aritmetinis vidurkis yra labai mažas.

Taigi, neįmanoma tiksliai numatyti, kuris galima prasmė kiekvienas iš atsitiktinių dydžių imsis, tačiau galite numatyti, kokią reikšmę įgis jų aritmetinis vidurkis.

Taigi pakankamai didelio skaičiaus nepriklausomų atsitiktinių dydžių (kurių dispersijos vienodai ribojamos) aritmetinis vidurkis praranda atsitiktinio dydžio pobūdį.

Tai paaiškinama tuo, kad kiekvieno dydžio nukrypimai nuo jų matematinių lūkesčių gali būti ir teigiami, ir neigiami, o aritmetiniu vidurkiu jie vienas kitą panaikina.

Čebyševo teorema galioja ne tik diskretiesiems, bet ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams; tai pavyzdys, patvirtinantis atsitiktinumo ir būtinybės ryšio doktrinos pagrįstumą.

2.4. Čebyševo teoremos reikšmė praktikai

Pateiksime Čebyševo teoremos taikymo praktinių uždavinių sprendimui pavyzdžių.

Paprastai tam tikram fizikiniam dydžiui išmatuoti atliekami keli matavimai ir jų aritmetinis vidurkis imamas kaip norimas dydis. Kokiomis sąlygomis šis matavimo metodas gali būti laikomas teisingu? Atsakymą į šį klausimą duoda Čebyševo teorema (specialus jos atvejis).

Iš tiesų, kiekvieno matavimo rezultatus laikykite atsitiktiniais dydžiais

X1, X2, ..., Xn

Čebyševo teorema gali būti taikoma šiems dydžiams, jei:

1) Jie yra poromis nepriklausomi.

2) turėti tuos pačius matematinius lūkesčius,

3) jų dispersijos vienodai ribojamos.

Pirmasis reikalavimas tenkinamas, jei kiekvieno matavimo rezultatas nepriklauso nuo kitų rezultatų.

Antrasis reikalavimas tenkinamas, jei matavimai atliekami be sisteminių (to paties ženklo) klaidų. Šiuo atveju visų atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi ir vienodi tikras dydis A.

Trečiasis reikalavimas įvykdytas, jei prietaisas užtikrina tam tikrą matavimo tikslumą. Nors atskirų matavimų rezultatai skiriasi, tačiau jų sklaida ribota.

Jei tenkinami visi nurodyti reikalavimai, turime teisę matavimo rezultatams taikyti Čebyševo teoremą: pakankamai dideliam n nelygybės tikimybė

| (X1 + Xa+...+X„)/n - a |< ε kiek norite arti vienybės.

Kitaip tariant, su pakankamai didelis skaičius beveik neabejotina, kad jų aritmetinis vidurkis skiriasi tiek, kiek norima tikroji prasmė išmatuotas kiekis.

Čebyševo teorema nurodo sąlygas, kuriomis aprašytas matavimo metodas gali būti taikomas. Tačiau klaidinga manyti, kad padidinus matavimų skaičių galima pasiekti savavališkai didelį tikslumą. Faktas yra tas, kad pats prietaisas rodmenis pateikia tik ± α tikslumu, todėl kiekvienas matavimo rezultatas, taigi ir jų aritmetinis vidurkis, bus gaunamas tik tikslumu, neviršijančiu prietaiso tikslumo.

Statistikoje plačiai naudojamas atrankos metodas yra pagrįstas Čebyševo teorema, kurios esmė ta, kad palyginti mažam atsitiktinis pavyzdys spręsti apie visą tiriamų objektų rinkinį (bendrą populiaciją).

Pavyzdžiui, medvilnės ryšulio kokybę lemia nedidelis pluoštas, sudarytas iš atsitiktinai iš skirtingų ryšulio dalių atrinktų pluoštų. Nors pluoštų ryšulyje yra žymiai mažiau nei ryšulyje, pačiame ryšulyje jų yra pakankamai didelis skaičius pluoštų, kurių skaičius siekia šimtus.

Kaip kitą pavyzdį galime nurodyti grūdų kokybės nustatymą iš nedidelio mėginio. Ir šiuo atveju atsitiktinai parinktų grūdų skaičius yra nedidelis, palyginti su visa grūdo mase, bet pats savaime jis yra gana didelis.

Jau iš pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad Čebyševo teorema praktikai turi neįkainojamą reikšmę.

2.5. TeoremaBernulis

Pagaminta n nepriklausomi testai (ne įvykiai, o testai). Kiekviename iš jų įvykio tikimybė A lygus r.

Kyla klausimas koks jis bus apytiksliai? santykinis dažnisįvykio įvykiai? Į šį klausimą atsako Bernoulli įrodyta teorema, kuri buvo vadinama „didžiųjų skaičių dėsniu“ ir padėjo pagrindą tikimybių teorijai kaip mokslui.

Bernulio teorema. Jei kiekviename iš n nepriklausomo testo tikimybė rįvykio atsiradimas A yra pastovi, tada tikimybė, kad santykinio dažnio nuokrypis nuo tikimybės yra savavališkai artimas vienetui r absoliučia verte bus savavališkai mažas, jei bandymų skaičius yra pakankamai didelis.

Kitaip tariant, jei ε >0 yra savavališkai mažas skaičius, tai, atsižvelgiant į teoremos sąlygas, galioja lygybė

P(|m / p - p|< ε)= 1

komentuoti. Remiantis Bernulio teorema, būtų neteisinga daryti išvadą, kad didėjant bandymų skaičiui, santykinis dažnis nuolat linksta į tikimybę. p; kitaip tariant, Bernoulli teorema nereiškia lygybės (t/p) = p,

IN teorema mes kalbame apie tik apie tikimybę, kad atlikus pakankamai daug bandymų santykinis dažnis skirsis tiek mažai, kiek norima pastovi tikimybėįvykio įvykis kiekviename tyrime.

7-1 užduotis.

1. Įvertinkite tikimybę, kad išmetus 3600 kauliukų, 6 taškų skaičius bus ne mažesnis kaip 900.

Sprendimas. Tegu x yra 6 taškų atvejų skaičius išmetus 3600 monetų. Tikimybė gauti 6 taškus per vieną metimą yra p=1/6, tada M(x)=3600·1/6=600. Naudokime Čebyševo nelygybę (lemą), kai duota α = 900

= P(x³ 900) 600 GBP / 900 = 2 / 3

Atsakymas 2 / 3.

2. Atlikta 1000 nepriklausomų testų, p=0,8. Raskite tikimybę, kad įvykio A atvejų skaičius šiuose bandymuose nukryps nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte, mažesne nei 50.

Sprendimas. x yra įvykio A atvejų skaičius n – 1000 bandymų.

M(X)= 1000·0,8=800. D(x)=100·0,8·0,2=160

Naudokime Čebyševo nelygybę duotam ε = 50

P(|x-M(X)|< ε) ³ 1 – D(x)/ ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

Atsakymas. 0,936

3. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, įvertinkite tikimybę, kad |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. Duota: P(|X- M(X)\< ε)³ 0,9; D (X)= 0,004. Naudodamiesi Čebyševo nelygybe, raskite ε . Atsakymas. 0,2.

Testo klausimai ir užduotys

1. Centrinės ribos teoremos paskirtis

2. Liapunovo teoremos pritaikomumo sąlygos.

3. Lemos ir Čebyševo teoremos skirtumas.

4. Čebyševo teoremos pritaikomumo sąlygos.

5. Bernulio teoremos (didžiųjų skaičių dėsnio) taikymo sąlygos

Reikalavimai žinioms ir įgūdžiams

Studentas turi žinoti bendrąją semantinę centrinės ribos teoremos formuluotę. Gebėti suformuluoti konkrečias teoremas nepriklausomiems identiškai paskirstytiems atsitiktiniams dydžiams. Supraskite Čebyševo nelygybę ir didelių skaičių dėsnį Čebyševo forma. Turėkite idėją apie įvykio dažnumą, santykį tarp sąvokų „tikimybė“ ir „dažnis“. Supraskite didelių skaičių dėsnį Bernulli forma.

(1857-1918), puikus rusų matematikas