Guščino trigonometrinės lygtys. Trigonometrinės lygtys

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninė informacija bet kada susisiekus su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš valdžios organai Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Moldovos Respublikos Insarsky rajono MBOU „Mordovsko-Paevskaya vidurinė mokykla“.

Užbaigė: Pantileikina Nadežda,

11 klasės mokinys

Vadovas: Kadyshkina N.V.,

matematikos mokytojas

Turinys

Įvadas…………………………………………………………………………………….

I skyrius. Apie trigonometrines lygtis……………………………………..…5

1) Pagrindiniai trigonometrinių lygčių tipai ir jų sprendimo būdai:

1. Lygtys sumažintos iki paprasčiausių. ………………………………..5

2. Lygtys, redukuojamos į kvadratines………………………………….5

3. Homogeninės lygtys acosx + b sin x = 0………………………………… 6

4. Formos lygtys acosx + b sin x = c, c≠ 0……………………………………7

5. Faktorizacijos būdu išspręstos lygtys………………………….7

6. Nestandartinės lygtys…………………………………………………….8

II skyrius. Pagrindinės trigonometrijos sąvokos ir formulės……………………….8-10

II skyrius aš. Siūlomos lygtys Vieningi valstybiniai praeities egzaminai metų…………………10-14

Išvada…………………………………………………………………………………….14

Priedas…………………………………………………………..………………………….15-17

Literatūra…………………………………………………………………………………………..18

Įvadas

« Vienintelis būdas vedimas į žinias yra veikla...“

Bernardas Šo

Darbo aktualumas.

Po kelių mėnesių baigiu mokyklą.

Kad nekiltų problemų dėl tolesnio pasirinkimo gyvenimo kelias, būtinas gauti mokyklos pažymėjimą, o norint gauti mokyklos pažymėjimą, reikia išlaikyti du privalomas egzaminas V Vieninga valstybinio egzamino forma- ir vienas iš jųmatematika. Ką aš galiu pasakyti? baigiamieji egzaminai- lemiamas laikotarpis bet kurio moksleivio gyvenime, nuo kurio priklauso ne tik galutinis pažymys pažymoje, bet ir savo profesinę ateitį, pajamas ir karjerą.

Vienišas Valstybinis egzaminas– Tai svarbus išbandymas prieš persikeliant naujas gyvenimas ir priėmimas į universitetą ar kolegiją. Ypač svarbu jį perduoti geri balai. Vieningas valstybinis matematikos egzaminas yra rimtas išbandymas ir be gero pagrindo studentas negalės pretenduoti į padorų rezultatą.

Kaip neišlaikyti egzamino ir gauti gerus balus? Norėdami tai padaryti, turite gerai išspręsti užduotis. Aš neapsimetinėju maksimalus balas Tačiau aš uoliai ruošiuosi. Ir aš pastebėjau, kad net atliekant pirmąją C dalies užduotį, būtent sprendžiant trigonometrines lygtis ir jų sistemas, darau klaidų.Iš pirmo žvilgsnio užduotis C1 yra sąlyginė paprasta lygtis arba lygčių sistema, kurioje gali būti trigonometrinių funkcijų,Vienas iš pagrindinių būdų jas išspręsti yra nuoseklus jų supaprastinimas, siekiant sumažinti iki vieno ar kelių paprasčiausių.Tai kodėl aš klystu?

Temos aktualumas lemia tai, kad mokiniai turi suprasti tam tikrus trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.

Todėl aš nusistačiau taiptikslas:

Sisteminti ir plėsti žinias bei įgūdžius, susijusius su trigonometrinių lygčių sprendimo metodų taikymu.

Tyrimo objektas yra trigonometrinių lygčių tyrimas atliekant vieningo valstybinio egzamino užduotis.

Tyrimo objektas- yra trigonometrinių lygčių sprendimas

Taigi, pagrindinis tikslas rašydamas tai kursinis darbas yra trigonometrinių lygčių ir jų sistemų tyrimas, jų sprendimo būdai.

Atsižvelgiant į tyrimo tikslus, objektą ir dalyką, apibrėžiama: užduotys:

1). Išstudijuokite visas užduotis, susijusias su trigonometrinių lygčių sprendimu Vieningo valstybinio egzamino darbai ankstesniais metais ir koncertuojant diagnostinis darbas;

2) Trigonometrinių lygčių sprendimo studijų metodai.

3). Nustatykite pagrindinį galimos klaidos sprendžiant tokias lygtis;

4). Išsiaiškinkite tokių klaidų priežastį.

6). Padarykite išvadas.

Savo darbe išspręsiu keletą trigonometrinių lygčių, parodysiu galimas klaidas jas sprendžiant ir bandysiu atsakyti į šiuos klausimus klausimai:

1). Ar galima išvengti klaidų atliekant C1 tipo užduotis?

2) Jei aš praktikuoju spręsti tokio tipo lygtis, galiu

Ar įmanoma tokias užduotis atlikti be klaidų?

Šiuo tikslu išstudijavau visas demonstracines versijas ir mokymo užduotis praleido su mumis, Vieningo valstybinio egzamino medžiaga ankstesni metai;

studijavo informacinius šaltinius;

savarankiškai sprendė užduotis iš interneto;

iškilus sunkumams konsultavosi su savo mokytoju;

Išmokau analizuoti ir teisingai formatuoti rezultatus.

skyrius aš. Apie trigonometrines lygtis.

1) Apibrėžimas 1. Trigonometrinė lygtis yra lygtis, turinti kintamąjį po ženklu trigonometrinės funkcijos.

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys yra lygtys tipo nuodėmė x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

Tokiose lygtyse kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu ir yra nurodytas skaičius.

Trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų: lygties transformavimas, kad būtų gauta paprasčiausia forma, ir gautos paprasčiausios trigonometrinės lygties sprendimas.

2) Pagrindiniai trigonometrinių lygčių tipai.

Lygtys sumažintos iki paprasčiausių.

Išspręskite lygtį

Sprendimas:

Atsakymas:

Lygtys redukuojamos į kvadratines.

1) Išspręskite lygtį 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Atsakymas:

Homogeninės lygtys: asinx + bcosx = 0

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2x = 0.

Išspręskite lygtį 2sinx – 3cosx = 0

Sprendimas: Tegul cosx = 0, tada 2sinx = 0 ir sinx = 0 – prieštaravimas

kad sin 2 x + cos 2 x = 1. Tai reiškia cosx ≠ 0 ir lygtį galime padalinti iš cosx.

Mes gauname

Atsakymas:

Pavyzdys: Išspręskite lygtį

Sprendimas:

Atsakymas:

Faktorizacijos būdu išspręstos lygtys.

Priper: Išspręskite lygtį sin2x – sinx = 0.

Sprendimas: Naudodami formulę sin2x = 2sinxcosx, gauname

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Atsakymas:

Nestandartinės lygtys.

Išspręskite lygtį cosx = X 2 + 1.

Sprendimas:

Pažiūrėkime į funkcijas

skyrius II. Pagrindinės trigonometrijos sąvokos ir formulės.

Trigonometrinės lygtys - reikalinga tema bet koks matematikos egzaminas.

APIEx, kiek kančių mokiniams sukelia trigonometrijos mokymasis.

Tam tikrų sunkumų kyla net jei šalia yra mokytojasmatematikoje ir paaiškina kiekvieną smulkmeną. Tai tik suprantama pagrindinės formulės yra daugiau nei dvidešimt. O jei skaičiuotume jų išvestines... Studentas painiojasi skaičiuodamas ir neprisimena mechanizmų, kuriais remiantis šios formulės leidžia rasti pvz. .

Jūs žinote formules – jums lengva apsispręsti. Jei nežinai, nesuprasi, net jei tau duos formulę.Jums reikia ne tik žinoti formulę, bet ir žinoti, kur ją galima pritaikyti, kaip ją atidaryti ir kokia yra formulės esmė, o tam reikia išspręsti pavyzdžius konkrečiai toms problemoms, kurios sunku išspręsti.

Iš pradžių man atrodėtrigonometrija yra nuobodus formulių ir grafikų rinkinys. Tačiau susipažinęs su naujomis trigonometrijos sąvokomis ir trigonometrinių lygčių sprendimo metodais kiekvieną kartą įsitikinau, koks įdomus ir žavus yra trigonometrijos pasaulis.

Pirmiausia, norėdami sėkmingai išspręsti trigonometrines lygtis, turite gerai žinoti trigonometrines formules, ne tik pagrindiniai, bet ir papildomi (trigonometrinių funkcijų sumos pavertimas sandauga, o sandaugai – suma, laipsnių mažinimo formulės ir kt.),nuo naudojimo pradžios Vieningo valstybinio egzamino apgaulės lapai Ir mobiliuosius telefonus draudžiama

(1 priedas)

Antra , turime aiškiai žinoti standartines formules paprasčiausių trigonometrinių lygčių šaknys (naudinga atsiminti arba gauti naudojant trigonometrinis ratas supaprastintos lygčių šaknų formulės)

Kiekviena iš šių lygčių išspręsta naudojant formules, kurias turėtumėte žinoti. Tai yra formulės:

a) Funkcijay= nuodėmėx. Funkcija yra ribota: ji yra [-1; 1]. Tai reiškia, kad sprendžiant lygtis kaipsinx= 2 arbasinxsinx

1) sinx =a,x= (-1) n lankassin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 lankassin a +n,n Z

Taip pat turite žinoti specialius atvejus: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Taip pat reikia mokėti išspręstidviejų šaknų serijų pavidalu

2. Funkcija y = cos x . Funkcija yra ribota: ji yra [-1; 1]. Tai reiškia, kad sprendžiant lygtis kaipcosx= 2 arbacosx=-5 atsakymas pasirodo toks: nėra šaknų. Funkcijos y= formulėscosx:

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,n Z

2.cos x=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Ypatingi atvejai: 1. cosx =-1, X =  +2 n, n Z

2. cosx = 0,

3. cosx =1, X= 2n,n Z

3. Funkcijay= tgx.

Yra tik viena formulė, be specialių atvejų:tgx = ± a .

X = ± arctan a+n,n Z

Trečia, jūs turite žinoti trigonometrinių funkcijų reikšmes;

(2 priedas)

Ketvirta, Jei lygtyje trigonometrinė funkcija yra po radikalo ženklu, tada tokia trigonometrinė lygtis bus neracionali. Tokiose lygtyse turite laikytis visų taisyklių, kurios naudojamos sprendžiant įprastas lygtis. neracionalios lygtys(atsižvelgiama į plotą priimtinos vertės tiek pati lygtis, tiek išlaisvinta iš lyginio laipsnio šaknies).

V. Ankstesnių metų vieningo valstybinio egzamino pasiūlytos lygtys.

„Sprendimo metodas yra geras, jei nuo pat pradžių galime numatyti ir vėliau tai patvirtinti, kad laikydamiesi šio metodo pasieksime tikslą.

Leibnicas

1. Lygtys, kurios redukuojasi į kvadratines.

C1. Išspręskite lygtį:

Sprendimas: naudodami pagrindinę trigonometrinę tapatybę,perrašome lygtį į formą

Pakeitimascos= tlygtis redukuojama į kvadratinę:2t 2 + 9 t-5 =0, kuris turi šaknist 1 = ½ irt 2 = -5. Grįžę prie kintamojo x gauname
,

Antroji lygtis neturi šaknų nuo |cosx |≥1, o nuo pirmosios x =± +6k, k Z

Atsakymas: =± +6k, k Z

Išvada:Įvesdami naują kintamąjį, turite atsižvelgti į tai, kad sin x ir cos x reikšmes riboja segmentas
, kitaip atsiras pašalinių šaknų.

2. Faktorizacijos būdu išspręstos lygtys

Užduotis C1 (2011 m.)

a) Išspręskite lygtį

b) Nurodykite atkarpai priklausančios lygties šaknis

Sprendimas: a) išspręskite kairę pusę:

sugrupuoti ir išvežti bendras daugiklis už skliaustų gauname

1) lygtis neturi sprendinių.

Antroji lygtis yra vienalytė, ją galima išspręsti dalijant terminą iš termino iš cosx ≠0, gauname
, kur

Atsakymas: a)
b)

Išvada:

1. Sprendžiant tokio tipo lygtį, pirmiausia reikia žinoti, kad |sin x|≤1 ir |cosx |≤1, o lygtis sinx =-2 neturi sprendinių;

2. Antra, pateisinkite padalijimą iš cosx ≠о (nes jei cosx = 0, tai sin x = 0, bet tai neįmanoma;

trečia, tikslinga pasirinkti šaknis, priklausančias tam tikram intervalui

3
.Redukcijos formulių taikymo lygtis

C1 (2010) Atsižvelgiant į lygtį

a) išspręskite lygtį;

b
) Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

Sprendimas: Naudodami redukcijos formules gauname:

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx = 0,

Su osx (2 sinx -1) = 0, iš kur cosx = 0 arba sinx = ½,

b) Raskite k reikšmes, kurioms priklausys šaknys

nurodytą intervalą. Norėdami pasirinkti šaknis. priklausydami tam tikram intervalui, pateikiame sprendimą tokia forma:

b

) Raskite k reikšmes, kuriomis šaknys priklausys nurodytam intervalui.

Išsprendus šią nelygybę, visuma

negausime k reikšmių.

Atsakymas: a)

Išvada:

Sprendžiant tokio tipo lygtį, būtina žinoti duotosios lygties formules ir teisingai ją taikyti; sugebėti pateikti sprendimą
į dvi šaknų serijas; pasirinkti tinkamas šaknis, priklausančias tam tikram segmentui.

4. Trigonometrinių lygčių sistemos

C1 (2010). Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas: O.D.Z

Trupmena yra lygi nuliui, jei skaitiklis yra 0, o vardiklis nėra 0.

Iš lygties 2sin 2 x – 3 sinx +1 =0, išspręsdami įvesdami naują kintamąjį, randame

arba sin x =1.

1) Leiskite
, Tada
ir y = cos x = ›0 (naudojant pagrindinį trigonometrinė tapatybė)

arba
Ir
– sprendimo nėra.

2) Leiskite sinx = 1, tada y = cos x = 0 – sprendinio nėra.

Atsakymas:
ir y =

Išvada: 1) būtina atsižvelgti į trigonometrijos apribojimus

funkcijas

2) Užfiksuoti ir atsižvelgti į O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Išspręskite lygtį:

O.D.Z. – cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 arba cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5 = 0, iš kur t 1 = -½, t 2 = -

sinx = -½ sinx=- - neturi sprendimo

x =

atsižvelgiant į O.D.Z. x =

Atsakymas: x =

Išvada: Užrašykite atsakymą atsižvelgdami į O.D.Z.

IŠVADA

Atliktame darbe nagrinėjau trigonometrinių lygčių sprendinius, nagrinėjau trigonometrinių lygčių sprendimo rekomendacijas, trigonometrinių lygčių sprendimo būdus, svarsčiau klaidas, kurios galimos jas sprendžiant.

Aš atėjau į tokias išvadas:

1. C1 tipo užduotys tikrina gebėjimą spręsti trigonometrines lygtis. Šios užduotys iš tiesų yra paprastos, o tai suteikia perteklinio pasitikėjimo savimi ir užliūliuoja dėmesį. Vienintelis šių užduočių sunkumas yra tas, kad, išsprendus lygtį ar lygčių sistemą, reikia atmesti pašalines šaknis.

2. Užduotis C1 yra labiausiai paprasta užduotis grupė C. Ją sprendžiant gremėzdiškos transformacijos ir sudėtingi skaičiavimai. Jei jie atsiranda, reikia nedelsiant sustoti, patikrinti sprendimą ir pabandyti suprasti, kas čia negerai.

3. galiausiai,Pagrindinis reikalavimas – sprendimas turi būti matematiškai raštingas, o samprotavimo eiga iš jo turi būti aiški.Savo sprendimą reikia pasistengti užrašyti trumpai ir aiškiai, bet svarbiausia – teisingai!

4. Ir svarbiausia, kad išmoktumėte išspręsti lygtis be klaidų, turite jas išspręsti! Galų gale, kaip sakė Polia, „Jei norite išmokti plaukti, drąsiai nerkite į vandenį, o jei norite išmokti spręsti problemas, turite jas išspręsti!

1 priedas ( pagrindinės formulės trigonometrija)

1) pagrindinė trigonometrinė tapatybėnuodėmė 2 α + cos 2 α = 1,

Padalinę šią lygtį atitinkamai iš kosinuso ir sinuso kvadrato, gauname

2) dvigubų argumentų formulėsnuodėmė2α =2nuodėmėα cos α,

cos 2α = cos 2 α - nuodėmė 2 α ,

Cos 2α = 1-2sin 2 α,

3) laipsnio mažinimo formulės:

4) dviejų argumentų sumos ir skirtumo formulės:

nuodėmė(α+ β )= nuodėmėα cosβ + cos α nuodėmėβ

nuodėmė(α- β )= nuodėmėα cos β - cos α nuodėmė β

cos(α+ β )= cosα cos β + nuodėmė α nuodėmė β

cos(α- β )= nuodėmėα cos β + nuodėmėα nuodėmė β

5) Redukcijos formulės

Sumažinimo formulės yra šios formos formulės:

Trigonometrinių lygčių sumos ir skirtumai

Paritetas

kosinusas-lyginis, sinusas, tangentas ir kotangentas, tai yra:

Tęstinumas

Sinusas ir kosinusas - . Tangentas ir turi

,kotangentas 0; ±π; ±2π;…

Periodiškumas

Funkcijosy = cosx, y = nuodėmėx -

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.