Trigonometrinių lygčių sudarymas. Trigonometrinės lygtys

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Trigonometrinės lygtys. Matematikos egzamino pirmoje dalyje yra užduotis, susijusi su lygties sprendimu – tai paprastos lygtys, kurios išsprendžiamos per kelias minutes, daugelį tipų galima išspręsti žodžiu. Apima: tiesines, kvadratines, racionaliąsias, iracionaliąsias, eksponentines, logaritmines ir trigonometrines lygtis.

Šiame straipsnyje apžvelgsime trigonometrines lygtis. Jų sprendimas tiek skaičiavimų apimtimi, tiek sudėtingumu skiriasi nuo kitų šioje dalyje pateiktų problemų. Neišsigąskite, žodis „sunkumas“ reiškia santykinį jų sunkumą, palyginti su kitomis užduotimis.

Be pačių lygties šaknų, būtina nustatyti didžiausią neigiamą arba mažiausią teigiama šaknis. Tikimybė, kad egzamino metu gausite trigonometrinę lygtį, žinoma, yra maža.

Šioje Vieningo valstybinio egzamino dalyje jų yra mažiau nei 7 proc. Tačiau tai nereiškia, kad juos reikia ignoruoti. C dalyje taip pat reikia išspręsti trigonometrinę lygtį, todėl gerai suprasti sprendimo techniką ir suprasti teoriją tiesiog būtina.

Matematikos trigonometrijos skyriaus supratimas labai nulems jūsų sėkmę sprendžiant daugelį problemų. Primenu, kad atsakymas yra sveikasis arba baigtinis skaičius dešimtainis. Kai gausite lygties šaknis, BŪTINAI patikrinkite. Tai neužims daug laiko ir išgelbės jus nuo klaidų.

Ateityje taip pat pažvelgsime į kitas lygtis, nepraleiskite! Prisiminkime šaknies formules trigonometrines lygtis, jūs turite juos žinoti:

Žinios apie šias vertybes yra būtinos, tai yra „ABC“, be kurio neįmanoma susidoroti su daugeliu užduočių. Puiku, jei jūsų atmintis gera, jūs lengvai išmokote ir įsiminėte šias vertybes. Ką daryti, jei to padaryti negalite, jūsų galvoje yra sumaištis, bet jūs tiesiog sutrikote laikydami egzaminą. Būtų gaila prarasti tašką, nes skaičiavimuose įrašėte neteisingą vertę.

Šios reikšmės yra paprastos, jos taip pat pateiktos teorijoje, kurią gavote antrajame laiške užsiprenumeravę naujienlaiškį. Jei dar neužsiprenumeravote, padarykite tai! Ateityje taip pat apsvarstysime, kaip šias vertes galima nustatyti trigonometrinis ratas. Ne veltui ji vadinama „auksine trigonometrijos širdimi“.

Leiskite man iš karto paaiškinti, kad būtų išvengta painiavos, kad toliau nagrinėjamose lygtyse pateikiami arcsinuso, arkosino ir arktangento apibrėžimai naudojant kampą. X atitinkamoms lygtims: cosx=a, sinx=a, tgx=a, kur X taip pat gali būti išraiška. Toliau pateiktuose pavyzdžiuose mūsų argumentas tiksliai nurodytas išraiška.

Taigi, apsvarstykime šias užduotis:

Raskite lygties šaknį:

Savo atsakyme užrašykite didžiausią neigiamą šaknį.

Cos x = a lygties sprendimas yra dvi šaknys:

Apibrėžimas: Tegul skaičius a modulyje neviršija vieneto. Skaičiaus lankinis kosinusas yra kampas x, esantis intervale nuo 0 iki Pi, kurio kosinusas lygus a.

Reiškia

Išreikškime x:

Raskime didžiausią neigiamą šaknį. Kaip tai padaryti? Pakeiskime skirtingos reikšmės n į gautas šaknis, apskaičiuokite ir pasirinkite didžiausią neigiamą.

Skaičiuojame:

Kai n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

Kai n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Kai n = 0 x 1 = 3,0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3,0 – 5,5 = – 5,5

Kai n = 1 x 1 = 3,1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3,1 – 5,5 = – 2,5

Kai n = 2 x 1 = 3,2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3,2 – 5,5 = 0,5

Mes nustatėme, kad didžiausia neigiama šaknis yra –1,5

Atsakymas: –1,5

Spręskite patys:

Išspręskite lygtį:

Lygties sin x = a sprendimas yra dvi šaknys:

Bet kuris (jis sujungia abu pirmiau nurodytus dalykus):

Apibrėžimas: Tegul skaičius a modulyje neviršija vieneto. Skaičiaus lankinis sinusas yra kampas x, esantis intervale nuo –90° iki 90°, kurio sinusas lygus a.

Reiškia

Išreikškite x (abi lygties puses padauginkite iš 4 ir padalinkite iš Pi):

Raskime mažiausią teigiamą šaknį. Čia iš karto aišku, kad pakeičiant neigiamos reikšmės n gausime neigiamos šaknys. Todėl pakeisime n = 0,1,2...

Kai n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Kai n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Kai n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Patikrinkime n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Taigi mažiausia teigiama šaknis yra 4.

Atsakymas: 4

Spręskite patys:

Išspręskite lygtį:

Atsakyme parašykite mažiausią teigiamą šaknį.

Galite užsisakyti detalus sprendimas tavo užduotis!!!

Lygybė, kurioje po ženklu yra nežinomasis trigonometrinė funkcija(„sin x, cos x, tan x“ arba „ctg x“) vadinama trigonometrine lygtimi, todėl toliau nagrinėsime jų formules.

Paprasčiausios lygtys vadinamos „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Užrašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.

1. Lygtis „sin x=a“.

„|a|>1“ sprendimų nėra.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinis skaičius sprendimus.

Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Lygtis „cos x=a“.

Jei `|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, sprendiniai tarp realūs skaičiai neturi.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinis rinkinys sprendimus.

Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose.

3. Lygtis „tg x=a“.

Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.

4. Lygtis „ctg x=a“.

Taip pat turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.

Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės

Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

paverčiant jį paprasčiausiu;
išspręskite paprasčiausią lygtį, gautą naudodamiesi aukščiau parašytomis šaknies formulėmis ir lentelėmis.

Pažvelkime į pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

Algebrinis metodas.

Šis metodas apima kintamojo pakeitimą ir jo pakeitimą lygybe.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,

randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių išplaukia du atvejai:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizavimas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.

Sprendimas. Perkelkime visus lygybės narius į kairę: `sin x+cos x-1=0`. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:

„sin x – 2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,

„sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
„cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite sumažinti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:

„a sin x+b cos x=0“ ( vienalytė lygtis pirmas laipsnis) arba `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis iš „cos x \ne 0“ – pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ – antruoju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Sprendimas. Užsirašykime dešinėje pusėje, pvz., „1=sin^2 x+cos^2 x“:

„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

„sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0“.

Tai yra vienalytė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padaliname iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakaitalą „tg x=t“, todėl gauname „t^2 + t - 2=0“. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:

„tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
„tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Perėjimas prie pusės kampo

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Sprendimas. Taikykime formules dvigubas kampas, gaunasi: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2''

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.

Taikant aukščiau pateiktą algebrinis metodas, gauname:

„tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
„tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Pagalbinio kampo įvedimas

Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, padalykite abi puses iš „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent jų kvadratų suma lygi 1, o moduliai ne didesni kaip 1. Pažymime juos taip: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.

Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš `sqrt (3^2+4^2)', gausime:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Pažymime `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“, tada kaip pagalbinis kampas imkime `\varphi=arcsin 4/5`. Tada rašome savo lygybę tokia forma:

„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.

Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:

„sin (x+\varphi)=2/5“,

„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,

„x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Trupmeninės racionalios trigonometrinės lygtys

Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinių funkcijų.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.

Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygybės pusę iš „(1+cos x)“. Rezultate gauname:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Prilyginkime trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.

„sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
„1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.

Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.

Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, vieningam valstybiniam egzaminui visada yra užduočių, tad pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!

Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti ją išvesti. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.

Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas.

Sprendžiant bet kokio sudėtingumo trigonometrines lygtis galiausiai reikia išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis. Ir šioje geriausias pagalbininkas vėl pasirodo, kad tai trigonometrinis apskritimas.

Prisiminkime kosinuso ir sinuso apibrėžimus.

Kampo kosinusas yra taško abscisė (ty koordinatė išilgai ašies). vieneto ratas, atitinkantis sukimąsi tam tikru kampu.

Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, ordinatė (ty koordinatė išilgai ašies).

Teigiama judėjimo kryptis išilgai trigonometrinis ratas Atsižvelgiama į judėjimą prieš laikrodžio rodyklę. 0 laipsnių (arba 0 radianų) pasukimas atitinka tašką su koordinatėmis (1; 0)

Šiuos apibrėžimus naudojame paprastoms trigonometrinėms lygtims išspręsti.

1. Išspręskite lygtį

Šią lygtį tenkina visos sukimosi kampo reikšmės, atitinkančios apskritimo taškus, kurių ordinatė yra lygi .

Ordinačių ašyje pažymėkime tašką su ordinatėmis:

Vykdykime horizontali linija lygiagrečiai x ašiai, kol susikerta su apskritimu. Gauname du taškus, gulinčius ant apskritimo ir turinčius ordinatę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais:

Jei mes, palikdami tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianais, apeisime pilnas ratas, tada pateksime į tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui ir turintį tą pačią ordinatę. Tai yra, šis sukimosi kampas taip pat atitinka mūsų lygtį. Galime padaryti tiek „tuščiosios eigos“ apsisukimų, kiek norime, grįždami į tą patį tašką, ir visos šios kampų reikšmės patenkins mūsų lygtį. „Tuščiosios eigos“ apsisukimų skaičius bus pažymėtas raide (arba). Kadangi mes galime padaryti šias revoliucijas tiek teigiamai, tiek viduje neigiama kryptis, (arba ) gali turėti bet kokią sveikojo skaičiaus reikšmę.

Tai yra pirmoji sprendimų serija pradinė lygtis turi formą:

, , - sveikųjų skaičių rinkinys (1)

Panašiai antroji sprendimų serija turi tokią formą:

, Kur,. (2)

Kaip jau galėjote atspėti, ši sprendimų serija pagrįsta tašku apskritime, atitinkančiu sukimosi kampą .

Šios dvi sprendimų serijos gali būti sujungtos į vieną įrašą:

Jei imsime (tai yra, net) šiame įraše, gausime pirmąją sprendimų seriją.

Jei imsime (ty nelyginį) šiame įraše, gausime antrą sprendinių seriją.

2. Dabar išspręskime lygtį

Kadangi tai yra vienetinio apskritimo taško abscisė, gauta pasukus kampu, tašką pažymime abscise ašyje:

Vykdykime vertikali linija lygiagrečiai ašiai, kol susikerta su apskritimu. Gausime du taškus, gulėdami ant apskritimo ir turėdami abscisę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais. Prisiminkite, kad judėdami pagal laikrodžio rodyklę gauname neigiamas kampas sukimasis:

Užrašykime dvi sprendimų serijas:

(Į norimą tašką patenkame eidami iš pagrindinio pilno rato, tai yra.

Sujungkime šias dvi serijas į vieną įrašą:

3. Išspręskite lygtį

Liestinė eina per tašką, kurio koordinatės (1,0) yra lygiagrečios OY ašiai

Pažymime jame tašką, kurio ordinatė lygi 1 (ieškome kampų liestinės, lygios 1):

Sujungkime šį tašką prie koordinačių pradžios tiesia linija ir pažymėkime tiesės susikirtimo taškus su vienetiniu apskritimu. Tiesios linijos ir apskritimo susikirtimo taškai atitinka sukimosi kampus ir:

Kadangi taškai, atitinkantys mūsų lygtį atitinkančius sukimosi kampus, yra vienas nuo kito radianų atstumu, sprendimą galime parašyti taip:

4. Išspręskite lygtį

Kotangentų linija eina per tašką, kurio vieneto apskritimo koordinatės yra lygiagrečios ašiai.

Kotangentinėje tiesėje pažymėkime tašką abscise -1:

Sujungkime šį tašką su tiesės pradžios tašku ir tęskime tol, kol susikirs su apskritimu. Ši tiesi linija kirs apskritimą taškuose, kurie atitinka sukimosi kampus į ir radianais:

Kadangi šie taškai yra atskirti vienas nuo kito atstumu, lygiu , Tada bendras sprendimasŠią lygtį galime parašyti taip:

Pateiktuose pavyzdžiuose, iliustruojančiuose paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, buvo panaudotos trigonometrinių funkcijų lentelės reikšmės.

Tačiau jei dešinėje lygties pusėje nėra lentelės vertė, tada reikšmę pakeičiame bendruoju lygties sprendiniu: