Šiandien kviečiame kartu su mumis ištirti ir sudaryti funkcijos grafiką. Atidžiai išstudijavę šį straipsnį, jums nereikės ilgai prakaituoti, kad atliktumėte tokio tipo užduotį. Išstudijuoti ir sukonstruoti funkcijos grafiką nėra lengva, tai yra didelės apimties darbas, reikalaujantis maksimalaus atidumo ir skaičiavimų tikslumo. Kad medžiaga būtų lengviau suprantama, žingsnis po žingsnio išnagrinėsime tą pačią funkciją ir paaiškinsime visus savo veiksmus bei skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabų ir žavų matematikos pasaulį! einam!

Apibrėžimo sritis

Norėdami ištirti ir pavaizduoti funkciją, turite žinoti keletą apibrėžimų. Funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Tai atspindi priklausomybę tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) pokyčių metu. Funkcija taip pat parodo aibių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosius, kurie turi tam tikrą pokyčių diapazoną. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekviena antrojo kintamojo reikšmė atitinka vieną antrojo reikšmę. Šiuo atveju kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Įprasta sakyti, kad kintamieji x ir y yra. Kad ši priklausomybė būtų aiškesnė, sudaromas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijos grafikas? Tai yra taškų rinkinys koordinačių plokštuma, kur kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę. Grafikai gali būti įvairūs – tiesi linija, hiperbolė, parabolė, sinusinė banga ir pan.

Neįmanoma nubrėžti funkcijos be tyrimo. Šiandien išmoksime atlikti tyrimus ir sudaryti funkcijos grafiką. Tyrimo metu labai svarbu užsirašyti. Taip bus daug lengviau susidoroti su užduotimi. Patogiausias tyrimo planas:

1. Apibrėžimo sritis.
2. Tęstinumas.
3. Lyginis arba nelyginis.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Ženklo pastovumas.
8. Didėja ir mažėja.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtumas ir įdubimas.

Pradėkime nuo pirmojo punkto. Raskime apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais egzistuoja mūsų funkcija: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Mūsų atveju funkcija egzistuoja bet kurioms x reikšmėms, tai yra, apibrėžimo sritis yra lygi R. Tai galima parašyti taip xÎR.

Tęstinumas

Dabar išnagrinėsime nepertraukiamumo funkciją. Matematikoje terminas „tęstinumas“ atsirado dėl judėjimo dėsnių tyrimo. Kas yra begalinis? Erdvė, laikas, kai kurios priklausomybės (pavyzdys yra kintamųjų S ir t priklausomybė judėjimo uždaviniuose), įkaitinto objekto (vandens, keptuvės, termometro ir kt.) temperatūra, ištisinė linija (tai yra ta, kuri galima nupiešti nepakeliant nuo lapo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, jei jis tam tikru momentu nenutrūksta. Vienas iš labiausiai iliustruojančių pavyzdžių toks grafikas yra sinusoidė, kurią galite pamatyti paveikslėlyje šį skyrių. Funkcija yra ištisinė tam tikru momentu x0, jei tenkinamos kelios sąlygos:

• funkcija apibrėžta duotame taške;
• dešinės ir kairės ribos taške yra lygios;
• riba lygi vertei funkcijos taške x0.

Jei neįvykdoma bent viena sąlyga, sakoma, kad funkcija nepavyksta. O taškai, kuriuose funkcija nutrūksta, dažniausiai vadinami lūžio taškais. Funkcijos, kuri „nutrūks“, kai rodoma grafiškai, pavyzdys yra: y=(x+4)/(x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti iš nulio).

Funkcijoje, kurią tiriame (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) viskas pasirodė paprasta, nes grafikas bus tolydis.

Lyginis, nelyginis

Dabar patikrinkite pariteto funkciją. Pirma, šiek tiek teorijos. Lyginė funkcija yra ta, kuri tenkina sąlygą f(-x)=f(x) bet kuriai kintamojo x reikšmei (iš reikšmių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafas atrodo kaip daw, pirmojo ir antrojo grafiko ketvirčių pusiausvyra);
• x kvadratas (parabolė);
• kosinusas x (kosinusas).

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie grafikai yra simetriški y ašies (ty y ašies) atžvilgiu.

Kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f(-x)=-f(x) bet kuriai kintamojo x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbolė;
• kubinė parabolė;
• sinusoidinė;
• tangentas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yra simetriškos taško (0:0), ty pradžios, atžvilgiu. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta šioje straipsnio dalyje, lyginė ir nelyginė funkcija turi turėti savybę: x priklauso apibrėžimų aibei, o -x taip pat.

Panagrinėkime pariteto funkciją. Matome, kad ji neatitinka nė vieno apibūdinimo. Todėl mūsų funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, tai yra, atstumas nuo tam tikro taško linkęs į nulį. Iš viso yra trys asimptotų tipai:

• vertikaliai, ty lygiagrečiai y ašiai;
• horizontali, tai yra lygiagreti x ašiai;
• linkęs.

Kalbant apie pirmąjį tipą, šių eilučių reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• tarpas;
• apibrėžimo srities galai.

Mūsų atveju funkcija yra ištisinė, o apibrėžimo sritis lygi R. Todėl vertikalios asimptotės trūksta.

Funkcijos grafikas turi horizontalią asimptotę, jei atitinka tokį reikalavimą: jei x linkęs į begalybę arba minus begalybę, o riba lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). IN šiuo atveju y=a – tai horizontalioji asimptotė. Mūsų tiriamoje funkcijoje nėra horizontalių asimptotų.

Įstrižinė asimptotė egzistuoja tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada jį galima rasti naudojant formulę: y=kx+b. Vėlgi, mūsų atveju nėra įstrižų asimptotų.

Funkcijos nuliai

Kitas žingsnis – išnagrinėti nulių funkcijos grafiką. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad užduotis, susijusi su funkcijos nulių radimu, įvyksta ne tik studijuojant ir konstruojant funkcijos grafiką, bet ir kaip savarankiška užduotis, ir kaip būdas išspręsti nelygybes. Gali reikėti surasti funkcijos nulius grafike arba naudoti matematinį žymėjimą.

Šių reikšmių radimas padės tiksliau pavaizduoti funkciją. Jei kalbėsime paprasta kalba, tada funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kai y = 0. Jei grafike ieškote funkcijos nulių, tuomet turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriuose grafikas susikerta su x ašimi.

Norėdami rasti funkcijos nulius, turite išspręsti sekančią lygtį: y = 1/3 (x^3-14x^2+49x-36) = 0. Atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname tokį atsakymą:

Ženklo pastovumas

Kitas funkcijos (grafiko) tyrimo ir konstravimo etapas – pastovaus ženklo intervalų radimas. Tai reiškia, kad turime nustatyti, kokiais intervalais atliekama funkcija teigiama vertė o kai kuriose – neigiamas. Paskutiniame skyriuje rastos nulinės funkcijos padės mums tai padaryti. Taigi, turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir paskirstyti funkcijos nulius išilgai jos teisinga tvarka nuo mažiausios iki didžiausios. Dabar reikia nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi „+“ ženklą, o kuris – „-“.

Mūsų atveju funkcija intervalais įgauna teigiamą reikšmę:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama vertė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai gana lengva nustatyti. Pakeiskite bet kurį skaičių iš intervalo į funkciją ir pažiūrėkite, kokį ženklą turi atsakymas (minusas ar pliusas).

Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas

Norėdami ištirti ir sukurti funkciją, turime žinoti, kur grafikas padidės (kils aukštyn išilgai Oy ašies) ir kur kris (nuskaitys žemyn išilgai y ašies).

Funkcija didėja tik tuo atveju, jei atitinka didesnę kintamojo x reikšmę didesnę vertę u. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f(x2) yra didesnis nei f(x1). Ir absoliučiai priešingas reiškinys stebime mažėjančią funkciją (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti didėjimo ir mažėjimo intervalus, turite rasti:

• apibrėžimo sritis (jau turime);
• išvestinė (mūsų atveju: 1/3(3x^2-28x+49);
• išspręskite lygtį 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Atlikę skaičiavimus gauname rezultatą:

Gauname: funkcija didėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės, o mažėja intervalais nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Tiriama funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) yra ištisinė ir egzistuoja bet kuriai kintamojo x reikšmei. Ekstremalumo taškas rodo tam tikros funkcijos maksimumą ir minimumą. Mūsų atveju jų nėra, o tai labai supaprastina statybos užduotį. Kitu atveju juos taip pat galima rasti naudojant išvestinę funkciją. Suradę nepamirškite jų pažymėti diagramoje.

Išgaubtumas ir įdubimas

Toliau tiriame funkciją y(x). Dabar turime patikrinti, ar jis yra išgaubtas ir įgaubtas. Šių sąvokų apibrėžimai yra gana sunkiai suvokiami, geriau viską išanalizuoti naudojant pavyzdžius. Bandymui: funkcija yra išgaubta, jei ji yra nemažėjanti funkcija. Sutikite, tai nesuprantama!

Turime rasti antros eilės funkcijos išvestinę. Gauname: y=1/3(6x-28). Dabar sulyginkime dešinėje pusėje iki nulio ir išspręskite lygtį. Atsakymas: x=14/3. Mes radome vingio tašką, tai yra vietą, kur grafikas keičiasi iš išgaubto į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybės – įgaubta. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį, kad vingio taškas diagramoje turi būti lygus ir minkštas, ne aštrūs kampai neturėtų būti.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir sudaryti funkcijos grafiką. Mes baigėme tyrimą; dabar nėra sunku sudaryti funkcijos grafiką. Norėdami tiksliau ir detaliau atkurti kreivę arba tiesę koordinačių plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Juos gana lengva apskaičiuoti. Pavyzdžiui, imame x=3, išsprendžiame gautą lygtį ir randame y=4. Arba x=5, y=-5 ir pan. Galite paimti tiek papildomų taškų, kiek jums reikia statybai. Jų randama bent 3-5.

Grafiko braižymas

Mums reikėjo ištirti funkciją (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinačių plokštumoje buvo padaryti visi skaičiavimų metu reikalingi ženklai. Belieka sukurti grafiką, tai yra sujungti visus taškus. Taškų sujungimas turėtų būti sklandus ir tikslus, tai yra įgūdžių reikalas – šiek tiek pasipraktikuokite ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.

Išnagrinėkime funkciją \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ir sukurkime jos grafiką.

1. Apibrėžimo sritis.
Apibrėžimo sritis racionali funkcija(trupmena) bus: vardiklis ne lygus nuliui, t.y. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domenas $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Funkcijų lūžio taškai ir jų klasifikacija.
Funkcija turi vieną lūžio tašką x = 1
Panagrinėkime tašką x= 1. Raskime funkcijos ribą, esančios dešinėje ir kairėje nuo nutrūkimo taško, dešinėje $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ ir taško $$ kairėje \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Tai yra antrojo tipo nenutrūkstamumo taškas, nes vienpusės ribos yra lygios \(\infty\).

Tiesi linija \(x = 1\) yra vertikali asimptotė.

3. Funkcijų paritetas.
Patikriname paritetą \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

4. Funkcijos nuliai (susikirtimo su Ox ašimi taškai). Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Funkcijos nuliai ( susikirtimo taškas su jaučio ašimi): prilygstame \(y=0\), gauname \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi su koordinatėmis \((0;0)\).

Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Nagrinėjamuose intervaluose \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi, todėl apibrėžimo sritį nagrinėsime trimis intervalais.

Nustatykime funkcijos ženklą apibrėžimo srities intervaluose:
intervalas \((-\infty; 0) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervale \((0; 1) \) funkcijos reikšmę randame bet kuriame taške \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), šiame intervale funkcija yra teigiamas \(f(x ) > 0 \), t.y. yra virš Jaučio ašies.
intervalas \((1;+\infty) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Susikirtimo taškai su Oy ašimi: prilygstame \(x=0\), gauname \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Susikirtimo taško su Oy ašimi koordinatės \((0; 0)\)

6. Monotonijos intervalai. Funkcijos kraštutinumas.
Raskime kritinius (stacionarius) taškus, tam randame pirmąją išvestinę ir prilyginsime ją nuliui $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ lygus 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Raskime funkcijos reikšmę šiame taške \( f(0) = 0\) ir \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Gavome du kritinius taškus su koordinatėmis \((0;0)\) ir \((1.5;-6.75)\)

Monotonijos intervalai.
Funkcija turi du kritinius taškus (galimus kraštutinumus), todėl monotoniškumą nagrinėsime keturiais intervalais:
intervalas \((-\infty; 0) \) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
intervalas \((0;1)\) randame pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija didėja per šį intervalą.
intervalas \((1;1.5)\) randame pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija didėja per šį intervalą.
intervalas \((1,5; +\infty)\) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))((1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcijos kraštutinumas.

Tirdami funkciją, gavome du kritinius (stacionarius) apibrėžimo srities intervalo taškus. Išsiaiškinkime, ar tai kraštutinumai. Panagrinėkime išvestinės ženklo pokytį einant per kritinius taškus:

taškas \(x = 0\) išvestinė keičia ženklą su \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - taškas nėra ekstremumas.
taškas \(x = 1,5\) išvestinė keičia ženklą su \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - taškas yra maksimalus taškas.

7. Išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Posūkio taškai.

Norėdami rasti išgaubto ir įgaubto intervalus, randame antrąją funkcijos išvestinę ir prilygstame nuliui $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Prilygsta nuliui $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1) -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija turi vieną kritinį antrojo tipo tašką su koordinatėmis \((0;0)\) .
Apibrėžkime apibrėžimo srities intervalų išgaubimą, atsižvelgdami į antrosios rūšies kritinį tašką (galimą vingio tašką).

intervalas \((-\infty; 0)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalas \((0; 1)\) randame antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), šiame intervale antroji funkcijos išvestinė yra teigiama \(f""(x) > 0 \) funkcija yra išgaubta žemyn (išgaubta).
intervalas \((1; \infty)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Posūkio taškai.

Panagrinėkime antrosios išvestinės ženklo pokytį, einant per antrojo tipo kritinį tašką:
Taške \(x =0\), antroji išvestinė keičia ženklą su \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funkcijos grafikas keičia išgaubtą, t.y. tai vingio taškas su koordinatėmis \((0;0)\).

8. Asimptotės.

Vertikali asimptotė. Funkcijos grafikas turi vieną vertikalią asimptotę \(x =1\) (žr. 2 pastraipą).
Įstrižas asimptotas.
Kad funkcijos \(y= \frac(x^3)(1-x) \) grafikas \(x \to \infty\) turėtų pasvirusią asimptotę \(y = kx+b\) , būtina ir pakanka , kad būtų dvi ribos $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$rasime $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ir antra riba $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, nes \(k = \infty\) – įstrižos asimptotės nėra.

Horizontali asimptota: kad egzistuotų horizontali asimptotė, būtina, kad būtų riba $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ rasime ją $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty $$
Horizontalios asimptotės nėra.

9. Funkcijų grafikas.

Jau kurį laiką „TheBat“ integruota SSL sertifikatų duomenų bazė nustojo tinkamai veikti (dėl kokios priežasties neaišku).

Tikrinus įrašą pasirodo klaida:

Nežinomas CA sertifikatas
Serveris seanso metu nepateikė šakninio sertifikato ir atitinkamas šakninis sertifikatas nerastas adresų knygoje.
Šis ryšys negali būti slaptas. Prašau
susisiekite su serverio administratoriumi.

Ir jums siūloma pasirinkti atsakymus – TAIP / NE. Ir taip kiekvieną kartą, kai pašalinate paštą.

Sprendimas

Tokiu atveju TheBat nustatymuose reikia pakeisti S/MIME ir TLS diegimo standartą Microsoft CryptoAPI!

Kadangi reikėjo sujungti visus failus į vieną, pirmiausia viską konvertavau doc failusį singlą pdf failą(naudojant Acrobat programą), o tada per internetinį keitiklį perkėlė į fb2. Taip pat galite konvertuoti failus atskirai. Formatai gali būti visiškai bet kokie (šaltinis) - doc, jpg ir net ZIP archyvas!

Svetainės pavadinimas atitinka esmę :) Internetinis Photoshop.

Atnaujinimas 2015 m. gegužės mėn

Radau dar vieną puikią svetainę! Dar patogiau ir funkcionaliau sukurti visiškai individualų koliažą! Tai svetainė http://www.fotor.com/ru/collage/. Mėgaukitės tuo dėl savo sveikatos. Ir pati naudosiu.

Gyvenime susidūriau su elektrinės viryklės remonto problema. Aš jau daug ką padariau, daug išmokau, bet kažkaip mažai ką bendro su plytelėmis turėjau. Reikėjo pakeisti reguliatorių ir degiklių kontaktus. Iškilo klausimas - kaip nustatyti degiklio skersmenį ant elektrinės viryklės?

Atsakymas pasirodė paprastas. Jums nereikia nieko matuoti, galite lengvai nustatyti iš akies, kokio dydžio jums reikia.

Mažiausias degiklis- tai yra 145 milimetrai (14,5 centimetro)

Vidurinis degiklis- tai yra 180 milimetrų (18 centimetrų).

Ir galiausiai, labiausiai didelis degiklis- tai 225 milimetrai (22,5 centimetrai).

Pakanka nustatyti dydį akimis ir suprasti, kokio skersmens jums reikia degiklio. Kai to nežinojau, nerimavau dėl šių matmenų, nežinojau, kaip išmatuoti, kuriuo kraštu naršyti ir pan. Dabar aš išmintingas :) Tikiuosi, kad padėjau ir tau!

Gyvenime susidūriau su tokia problema. Manau, kad ne aš vienas.

Kaip ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką?

Atrodo, pradedu suprasti dvasiškai įžvalgų pasaulio proletariato lyderio, surinktų kūrinių 55 tomų autoriaus veidą... Prasidėjo ilga kelionė pagrindinė informacija O funkcijos ir grafikai, o dabar darbas daug darbo reikalaujančia tema baigiasi logišku rezultatu – straipsniu apie išsamų funkcijos tyrimą. Ilgai laukta užduotis suformuluota taip:

Ištirkite funkciją naudodami metodus diferencialinis skaičiavimas ir remiantis tyrimo rezultatais sudaryti grafiką

Arba trumpai: išnagrinėkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Kodėl tyrinėti? IN paprasti atvejai mums nebus sunku su tuo susitvarkyti elementarios funkcijos, nubraižykite grafiką, gautą naudojant elementarios geometrinės transformacijos ir tt Tačiau savybės ir grafiniai vaizdai daugiau sudėtingos funkcijos toli gražu nėra akivaizdūs, todėl reikalingas visas tyrimas.

Pagrindiniai sprendimo žingsniai yra apibendrinti etaloninė medžiaga Funkcijų tyrimo schema, tai yra jūsų skyriaus vadovas. Manekenams reikia nuoseklaus temos paaiškinimo, kai kurie skaitytojai nežino, nuo ko pradėti ar kaip organizuoti savo tyrimą, o pažengusiems studentams gali būti įdomu tik keletas dalykų. Bet kas bebūtumėte, mielas lankytojau, siūloma santrauka su nuorodomis įvairios pamokos V kuo trumpesnį laiką orientuosis ir nukreips jus dominančia kryptimi. Robotai liejo ašaras =) Vadovas buvo išdėstytas pdf failo pavidalu ir užėmė deramą vietą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Esu įpratęs funkcijos tyrimą suskirstyti į 5–6 taškus:

6) Papildomi taškai ir grafikas remiantis tyrimo rezultatais.

Kalbant apie galutinį veiksmą, manau, kad viskas aišku visiems - bus labai apmaudu, jei per kelias sekundes jis bus perbrauktas ir užduotis bus grąžinta peržiūrėti. TEISINGAS IR TIKSLAS BRĖŽINIS – pagrindinis sprendimo rezultatas! Jis su didelė tikimybė„užslėps“ analizės klaidas, o neteisingas ir/ar neatsargus grafikas sukels problemų net ir puikiai atlikus tyrimą.

Pažymėtina, kad kituose šaltiniuose tyrimo punktų skaičius, jų įgyvendinimo tvarka ir projektavimo stilius gali gerokai skirtis nuo mano pasiūlytos schemos, tačiau dažniausiai to visiškai pakanka. Paprasčiausias problemos variantas susideda tik iš 2–3 etapų ir yra suformuluotas maždaug taip: „ištirkite funkciją naudodami išvestinę ir sukurkite grafiką“ arba „ištirkite funkciją naudodami 1 ir 2 išvestinius, sukurkite grafiką“.

Natūralu, kad jei jūsų vadove detaliai aprašomas kitas algoritmas arba jūsų mokytojas griežtai reikalauja, kad laikytųsi jo paskaitų, turėsite šiek tiek pakoreguoti sprendimą. Ne sunkiau nei pakeisti grandininio pjūklo šakutę šaukštu.

Patikrinkime lyginės/nelyginės funkcijos funkciją:

Po to pateikiamas atsakymo šablonas:
, Reiškia, šią funkciją nėra lyginis ar nelyginis.

Kadangi funkcija yra nuolatinė, vertikalių asimptočių nėra.

Įstrižų asimptotų taip pat nėra.

Pastaba : Primenu, kad kuo aukščiau augimo tvarka, nei , todėl galutinė riba yra lygiai „ pliusas begalybė“.

Išsiaiškinkime, kaip funkcija veikia begalybėje:

Kitaip tariant, jei einame į dešinę, tai grafikas be galo daug kyla aukštyn, jei einame į kairę – be galo toli žemyn. Taip, čia taip pat yra dvi ribos vienas įrašas. Jei jums sunku iššifruoti ženklus, apsilankykite pamokoje apie be galo mažos funkcijos.

Taigi funkcija neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios. Turint omenyje, kad lūžio taškų neturime, tampa aišku funkcijų diapazonas: – taip pat bet koks tikrasis skaičius.

NAUDINGA TECHNINĖ TECHNIKA

Kiekvienas užduoties etapas atneša nauja informacija apie funkcijos grafiką, todėl sprendimo metu patogu naudoti savotišką IŠKLAIDYMĄ. Ant juodraščio nubraižykime Dekarto koordinačių sistemą. Kas jau tikrai žinoma? Pirma, grafikas neturi asimptotų, todėl nereikia brėžti tiesių. Antra, mes žinome, kaip funkcija veikia begalybėje. Remdamiesi analize, darome pirmąjį apytikslį apytikslį:

Atkreipkite dėmesį, kad dėl tęstinumą funkcija ir tai, kad grafikas turi kirsti ašį bent kartą. O gal yra keli susikirtimo taškai?

3) Funkcijos nuliai ir pastovaus ženklo intervalai.

Pirmiausia suraskime grafiko susikirtimo tašką su ordinačių ašimi. Tai paprasta. Būtina apskaičiuoti funkcijos reikšmę:

Pusantro virš jūros lygio.

Norėdami rasti susikirtimo su ašimi taškus (funkcijos nulius), turime išspręsti lygtį ir čia mūsų laukia nemaloni staigmena:

Paslėpta pabaigoje nemokamas narys, o tai žymiai apsunkina užduotį.

Tokia lygtis turi bent vieną realią šaknį ir dažniausiai ši šaknis yra neracionali. Pačioje baisiausioje pasakoje mūsų laukia trys paršiukai. Lygtį galima išspręsti naudojant vadinamąjį Cardano formulės, tačiau popieriui padaryta žala prilygsta beveik visam tyrimui. Šiuo atžvilgiu protingiau pabandyti pasirinkti bent vieną žodžiu arba juodraštyje. visašaknis. Patikrinkime, ar šie skaičiai yra:
– netinka;
- Yra!

Pasisekė čia. Gedimo atveju taip pat galite išbandyti , o jei šie skaičiai netinka, baiminuosi, kad yra labai maža galimybė rasti pelningą lygties sprendimą. Tuomet geriau tyrimo tašką praleisti visiškai – galbūt kas nors paaiškės paskutiniame etape, kai bus pramušti papildomi taškai. O jei šaknis (-ės) aiškiai „blogos“, tai apie ženklų pastovumo intervalus geriau kukliai nutylėti ir piešti atidžiau.

Tačiau mes turime gražią šaknį, todėl dalijame daugianarį be likučio:

Dauginamo padalijimo iš polinomo algoritmas išsamiai aptariamas pirmame pamokos pavyzdyje Sudėtingos ribos.

Galų gale kairėje pusėje pradinė lygtis suyra į produktą:

O dabar šiek tiek apie sveikas būdas gyvenimą. Aš, žinoma, tai suprantu kvadratines lygtis reikia išspręsti kiekvieną dieną, tačiau šiandien padarysime išimtį: lygtį turi dvi tikras šaknis.

Rastas reikšmes nubraižykime skaičių eilutėje Ir intervalo metodas Apibrėžkime funkcijos požymius:


Taigi, intervalais grafikas yra
žemiau x ašies ir tarpais – virš šios ašies.

Išvados leidžia patobulinti išdėstymą, o antrasis grafiko apytikslis vaizdas atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija turi turėti bent vieną maksimumą intervale ir bent vieną minimumą intervale. Tačiau mes dar nežinome, kiek kartų, kur ir kada tvarkaraštis sustos. Beje, funkcija gali turėti be galo daug kraštutinumai.

4) Funkcijos didinimas, sumažėjimas ir ekstremumai.

Raskime kritinius taškus:

Ši lygtis turi dvi realias šaknis. Sudėkime juos į skaičių eilutę ir nustatykime išvestinės ženklus:


Todėl funkcija padidėja ir sumažėja .
Kai funkcija pasiekia maksimumą: .
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: .

Nustatyti faktai suverčia mūsų šabloną į gana griežtą sistemą:

Nereikia nė sakyti, kad diferencialinis skaičiavimas yra galingas dalykas. Pagaliau supraskime grafiko formą:

5) Išgaubtumo, įgaubimo ir vingio taškai.

Raskime antrosios išvestinės kritinius taškus:

Apibrėžkime ženklus:


Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas . Apskaičiuokime vingio taško ordinates: .

Beveik viskas tapo aišku.

6) Belieka rasti papildomų taškų, kurie padės tiksliau sukonstruoti grafiką ir atlikti savitikrą. Šiuo atveju jų yra nedaug, bet mes jų nepamiršime:

Padarykime piešinį:

Žalia Posūkio taškas pažymėtas, o papildomi taškai pažymėti kryželiu. Tvarkaraštis kubinė funkcija yra simetriškas jo vingio taško atžvilgiu, kuris visada yra griežtai viduryje tarp maksimumo ir minimumo.

Vykdant užduotį pateikiau tris hipotetinius tarpinius brėžinius. Praktiškai užtenka nubraižyti koordinačių sistemą, pažymėti rastus taškus ir po kiekvieno tyrimo taško mintyse įvertinti, kaip galėtų atrodyti funkcijos grafikas. Gerą pasirengimo lygį turintiems studentams nebus sunku atlikti tokią analizę vien savo galva, nenaudojant juodraščio.

Už savarankiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Čia viskas greičiau ir smagiau, apytikslis pavyzdys baigiant pamokos pabaigoje.

Tyrimai atskleidžia daug paslapčių trupmeninės racionalios funkcijos:

3 pavyzdys

Funkcijai tirti naudokite diferencialinio skaičiavimo metodus ir, remdamiesi tyrimo rezultatais, sudarykite jos grafiką.

Sprendimas: pirmasis tyrimo etapas nepasižymi niekuo išskirtiniu, išskyrus skylę apibrėžimo srityje:

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių tiesėje, išskyrus tašką, apibrėžimo sritis: .

, o tai reiškia, kad ši funkcija nėra lyginė ar nelyginė.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

Funkcijos grafiką sudaro dvi ištisinės šakos, esančios kairėje ir dešinėje pusplokštumose - tai bene labiausiai svarbi išvada 1 taškas.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

a) Naudodami vienpuses ribas, išnagrinėjame funkcijos elgesį šalia įtartino taško, kur aiškiai turėtų būti vertikali asimptotė:

Iš tiesų, funkcijos išlieka begalinis tarpas taške
o tiesi linija (ašis) yra vertikali asimptota grafika

b) Patikrinkime, ar yra įstrižų asimptotų:

Taip, jis yra tiesus įstrižas asimptotas grafika, jei.

Nėra prasmės analizuoti ribas, nes jau aišku, kad funkcija apima savo įstrižą asimptotę neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Antrasis tyrimo taškas atnešė daug svarbi informacija apie funkciją. Padarykime apytikslį eskizą:

Išvada Nr. 1 susijusi su pastovaus ženklo intervalais. Prie „minuso begalybės“ funkcijos grafikas aiškiai yra žemiau x ašies, o ties „pliuso begalybe“ – virš šios ašies. Be to, vienpusės ribos mums pasakė, kad taško kairėje ir dešinėje funkcija taip pat yra didesnis už nulį. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusplokštumoje grafikas turi kirsti x ašį bent vieną kartą. Dešinėje pusplokštumoje gali nebūti funkcijos nulių.

Išvada Nr. 2 yra ta, kad funkcija didėja taške ir į kairę nuo jo (eina „iš apačios į viršų“). Į dešinę nuo šio taško funkcija mažėja (eina „iš viršaus į apačią“). Dešinėje grafiko šakoje tikrai turi būti bent vienas minimumas. Kairėje kraštutinumai negarantuojami.

Išvadoje Nr.3 pateikiama patikima informacija apie grafiko įdubimą taško apylinkėse. Dar negalime nieko pasakyti apie išgaubimą/įgaubtumą begalybėse, nes liniją galima spausti link asimptotės ir iš viršaus, ir iš apačios. Paprastai tariant, yra analitinis metodas išsiaiškink tai dabar, bet grafiko forma taps aiškesnė vėliau.

Kodėl tiek daug žodžių? Norėdami kontroliuoti tolesnius tyrimo taškus ir išvengti klaidų! Tolesni skaičiavimai neturėtų prieštarauti padarytoms išvadoms.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos grafikas nekerta ašies.

Naudodami intervalo metodą nustatome ženklus:

, Jei ;
, Jei .

Šio punkto rezultatai visiškai atitinka 1 išvadą. Po kiekvieno etapo pažiūrėkite į juodraštį, mintyse patikrinkite tyrimą ir užpildykite funkcijos grafiką.

Nagrinėjamame pavyzdyje skaitiklis dalijamas pagal terminą iš vardiklio, o tai labai naudinga diferencijuojant:

Tiesą sakant, tai jau buvo padaryta ieškant asimptotų.

– kritinis taškas.

Apibrėžkime ženklus:

padidėja iki ir sumažėja iki

Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: .

Taip pat nebuvo jokių neatitikimų su išvada Nr. 2 ir, greičiausiai, einame teisingu keliu.

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra įgaubtas visoje apibrėžimo srityje.

Puiku – ir jums nieko nereikia piešti.

Posūkio taškų nėra.

Įdubimas atitinka 3 išvadą, be to, tai rodo, kad begalybėje (ir ten, ir ten) yra funkcijos grafikas aukštesnė jos įstrižas asimptotas.

6) Sąžiningai užduotį prisegsime papildomais taškais. Čia turėsime sunkiai dirbti, nes iš tyrimo žinome tik du dalykus.

Ir paveikslas, kurį daugelis tikriausiai jau seniai įsivaizdavo:

Vykdydami užduotį turite atidžiai įsitikinti, kad tarp tyrimo etapų nėra prieštaravimų, tačiau kartais situacija yra skubi ar net beviltiška aklavietė. Analitika „neprideda“ – tai viskas. Tokiu atveju rekomenduoju avarinę techniką: surandame kuo daugiau taškų, priklausančių grafikui (kiek turime kantrybės), ir pažymime juos koordinačių plokštumoje. Grafinė analizė rastos vertybės daugeliu atvejų pasakys, kur yra tiesa, o kur melas. Be to, grafiką galima iš anksto sukurti naudojant kokią nors programą, pavyzdžiui, „Excel“ (žinoma, tam reikia įgūdžių).

4 pavyzdys

Norėdami ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką, naudokite diferencialinio skaičiavimo metodus.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Jame savikontrolę sustiprina funkcijos paritetas - grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu, o jei kas nors jūsų tyrime prieštarauja šis faktas, ieškokite klaidos.

Net arba nelyginė funkcija galima ištirti tik esant , ir tada naudoti grafiko simetriją. Šis sprendimas yra optimalus, bet, mano nuomone, atrodo labai neįprastai. Asmeniškai aš viską vertinu skaičių ašis, bet papildomų taškų vis tiek randu tik dešinėje:

5 pavyzdys

Vykdyti pilnas tyrimas funkciją ir sudaryti jos grafiką.

Sprendimas: reikalai tapo sunkūs:

1) Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje: .

Tai reiškia, kad ši funkcija yra nelyginė, jos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

Kadangi funkcija nuolat įjungta, vertikalių asimptočių nėra

Funkcijai, kurioje yra eksponentas, tai būdinga atskiras„pliuso“ ir „begalybės minuso“ tyrimas, tačiau mūsų gyvenimą palengvina grafiko simetrija - arba yra asimptotė ir kairėje, ir dešinėje, arba jos nėra. Todėl abu begalinė riba galima pateikti vienu įrašu. Sprendimo metu naudojame L'Hopital taisyklė:

Tiesi linija (ašis) yra horizontali grafiko asimptotė ties .

Atkreipkite dėmesį, kaip aš gudriai išvengiau viso įstrižos asimptotės paieškos algoritmo: riba yra visiškai teisėta ir paaiškina funkcijos elgseną begalybėje, o horizontalioji asimptotė buvo aptikta „tarsi tuo pačiu metu“.

Nuo tęstinumo ir egzistavimo horizontalioji asimptote seka tai, kad funkcija apribota aukščiau Ir apribota žemiau.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, pastovaus ženklo intervalai.

Čia taip pat sutrumpiname sprendimą:
Grafikas eina per pradžią.

Kitų susikirtimo taškų su koordinačių ašimis nėra. Be to, ženklo pastovumo intervalai yra akivaizdūs, o ašies braižyti nereikia: , tai reiškia, kad funkcijos ženklas priklauso tik nuo „x“:
, Jei ;
, Jei.

4) funkcijos didėjimas, mažėjimas, ekstremumai.


– kritiniai taškai.

Taškai yra simetriški nuliui, kaip ir turėtų būti.

Nustatykime išvestinės požymius:


Funkcija intervalais didėja, o intervalais mažėja

Kai funkcija pasiekia maksimumą: .

Dėl turto (funkcijos keistumas) minimumo nereikia skaičiuoti:

Kadangi funkcija mažėja per intervalą, akivaizdu, kad grafikas yra „minus begalybėje“ pagal jos asimptote. Per intervalą funkcija taip pat mažėja, tačiau čia yra atvirkščiai - perėjus per maksimalų tašką, linija artėja prie ašies iš viršaus.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, taip pat išplaukia, kad funkcijos grafikas yra išgaubtas ties „minus begalybe“ ir įgaubtas ties „pliuso begalybe“.

Po šio tyrimo taško buvo sudarytas funkcijų reikšmių diapazonas:

Jei ką nors nesuprantate dėl kokių nors punktų, dar kartą raginu juos užsirašyti į savo sąsiuvinį koordinačių ašys ir su pieštuku rankoje iš naujo išanalizuokite kiekvieną užduoties išvadą.

5) Grafo išgaubtumas, įgaubimas, kreivumas.

– kritiniai taškai.

Taškų simetrija išsaugoma ir, greičiausiai, neklystame.

Apibrėžkime ženklus:


Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas .

Buvo patvirtintas išgaubimas / įgaubimas kraštutiniais intervalais.

Visuose kritinius taškus Tvarkaraštyje yra krypčių. Raskime vingio taškų ordinates ir vėl sumažinkime skaičiavimų skaičių naudodami funkcijos nelygumą: