Vertikalios ir horizontalios grafų asimptotės. Funkcijos grafiko asimptotės

Būtent taip jis suformuluotas tipinė užduotis, ir tai apima VISŲ grafiko asimptotų (vertikalių, pasvirusių / horizontalių) radimą. Nors, tiksliau keliant klausimą, kalbame apie asimptotų buvimo tyrimus (juk jų gali ir nebūti).

Pradėkime nuo kažko paprasto:

1 pavyzdys

Sprendimą galima patogiai suskirstyti į du punktus:

1) Pirmiausia patikriname, ar nėra vertikalių asimptočių. Vardiklis eina į nulį ties , ir iš karto aišku, kad šiuo metu funkcija patiria begalinį pertrūkį, o tiesė pateikta lygtimi, yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė. Tačiau prieš darant tokią išvadą būtina rasti vienpuses ribas:

Primenu skaičiavimo metodą, į kurį panašiai atkreipiau dėmesį ir straipsnyje apie funkcijos tęstinumą. Lūžio taškai. Išraiškoje po ribiniu ženklu pakeičiame . Skaitiklyje nėra nieko įdomaus:
.

Tačiau vardiklyje pasirodo be galo mažas neigiamas skaičius :
, tai lemia ribos likimą.

Kairės pusės riba yra begalinė, ir iš esmės jau galima nuspręsti dėl vertikalios asimptotės buvimo. Bet vienpusės ribos reikalingos ne tik tam - jos PADĖDA SUPRASTAI KAIP išsidėstęs funkcijos grafikas ir TEISINGAI ją sukonstruoti. Todėl taip pat turime apskaičiuoti dešinės rankos ribą:

Išvada: vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad tiesė yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.

Pirma riba baigtinis, o tai reiškia, kad reikia „tęsti pokalbį“ ir rasti antrą ribą:

Antroji riba taip pat baigtinis.

Taigi mūsų asimptotas yra:

Išvada: lygties nurodyta tiesė yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Norėdami rasti horizontalią asimptotę, galite naudoti supaprastintą formulę:

Jei yra baigtinė riba, tai tiesi linija yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Nesunku pastebėti, kad funkcijos skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės, o tai reiškia, kad ieškoma riba bus baigtinė:

Atsakymas :

Pagal sąlygą brėžinio daryti nereikia, bet jei jau tiriame funkciją, iš karto sudarome eskizą ant juodraščio:

Remdamiesi trimis rastomis ribomis, pabandykite patys išsiaiškinti, kaip gali būti funkcijos grafikas. Ar išvis sunku? Raskite 5-6-7-8 taškus ir pažymėkite juos brėžinyje. Tačiau šios funkcijos grafikas sudarytas naudojant elementariosios funkcijos grafiko transformacijas, o skaitytojai, atidžiai išnagrinėję aukščiau pateikto straipsnio 21 pavyzdį, gali nesunkiai atspėti, kokia tai kreivė.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Priminsiu, kad procesas patogiai skirstomas į du taškus – vertikalius asimptotus ir įstrižus asimptotus. Mėginio sprendime horizontalioji asimptotė randama naudojant supaprastintą schemą.

Praktikoje dažniausiai susiduriama su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis, o išmokę hiperbolių, mes apsunkinsime užduotį:

3 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas: vienas, du ir padaryta:

1) Vertikalios asimptotės yra begalinio nenuoseklumo taškuose, todėl reikia patikrinti, ar vardiklis eina į nulį. Išspręskime kvadratinę lygtį:

Diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi realias šaknis, o darbas žymiai padidėja =)

Siekiant toliau rasti vienpuses ribas kvadratinis trinaris Patogu faktorizuoti:
(kompaktiškam žymėjimui „minusas“ buvo įtrauktas į pirmąjį skliaustą). Kad būtumėte saugūs, patikrinkime mintyse arba skliausteliuose atidarydami skliaustus.

Perrašykime funkciją formoje

Suraskime taške vienpuses ribas:

Ir taške:

Taigi tiesės yra vertikalios nagrinėjamos funkcijos grafiko asimptotės.

2) Jei pažvelgsite į funkciją , tada visiškai akivaizdu, kad riba bus baigtinė ir turime horizontalią asimptotę. Trumpai parodykime jo buvimą:

Taigi tiesi linija (abscisių ašis) yra šios funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Atsakymas :

Rastos ribos ir asimptotai suteikia daug informacijos apie funkcijos grafiką. Pabandykite mintyse įsivaizduoti piešinį atsižvelgdami į šiuos faktus:

Juodraštyje nubraižykite savo diagramos versiją.

Žinoma, rastos ribos aiškiai nenulemia grafiko išvaizdos ir galite suklysti, tačiau pats pratimas suteiks neįkainojamos pagalbos pilnas tyrimas funkcijas Teisingas paveikslėlis yra pamokos pabaigoje.

4 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

5 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Tai savarankiško sprendimo užduotys. Abu grafikai vėl turi horizontalias asimptotes, kurias iš karto aptinka šiuos požymius: 4 pavyzdyje vardiklio augimo tvarka yra didesnė nei skaitiklio augimo tvarka, o 5 pavyzdyje skaitiklis ir vardiklis yra tos pačios augimo eilės. Mėginio tirpale pirmoji funkcija tiriama, ar nėra įstrižų asimptotų, o antroji - per ribą.

Horizontalūs asimptotai, mano subjektyviu įspūdžiu, yra pastebimai dažnesni nei tie, kurie yra „tikrai pakreipti“. Ilgai lauktas bendras atvejis:

6 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas: žanro klasika:

1) Kadangi vardiklis yra teigiamas, funkcija yra ištisinė visoje skaičių tiesėje ir nėra vertikalių asimptočių. ...Ar tai gerai? Netinkamas žodis – puiku! Taškas Nr.1 ​​uždarytas.

2) Patikrinkime įstrižų asimptotų buvimą:

Pirma riba baigtinis, tad judėkime toliau. Skaičiuodami antrąją ribą, kad pašalintume neapibrėžtį „begalybė minus begalybė“, išraišką sumažiname iki bendro vardiklio:

Antroji riba taip pat baigtinis Todėl nagrinėjamos funkcijos grafikas turi įstrižą asimptotę:

Išvada:

Taigi, kai funkcijos grafikas be galo arti artėja prie tiesios linijos:

Atkreipkite dėmesį, kad jis kerta įstrižą asimptotą ištakoje, ir tokie susikirtimo taškai yra gana priimtini - svarbu, kad begalybėje „viskas būtų normalu“ (iš tikrųjų čia kalbame apie asimptotes).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas: nėra ką ypatingo komentuoti, todėl įforminsiu apytikslis pavyzdys galutinis sprendimas:

1) Vertikalios asimptotės. Panagrinėkime esmę.

Tiesi linija yra vertikali asimptotė diagramai ties .

2) Įstrižai asimptotai:

Tiesi linija yra pasvirusi grafiko asimptotė ties .

Atsakymas :

Rastos vienpusės ribos ir asimptotės leidžia su dideliu pasitikėjimu nuspėti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas. Taisyklingas piešinys pamokos pabaigoje.

8 pavyzdys

Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, kad būtų patogiau skaičiuoti kai kurias ribas, skaitiklį galite padalyti iš vardiklio. Vėlgi, analizuodami rezultatus, pabandykite nubraižyti šios funkcijos grafiką.

Akivaizdu, kad „tikrųjų“ įstrižų asimptotų savininkai yra tų diagramos trupmeninės racionalios funkcijos, kuriame didžiausias skaitiklio laipsnis yra vienu didesnis už aukščiausią vardiklio laipsnį. Jei jo daugiau, įstrižo asimptoto nebebus (pavyzdžiui, ).

Tačiau gyvenime nutinka ir kitų stebuklų:

9 pavyzdys

Sprendimas: funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, o tai reiškia, kad nėra vertikalių asimptočių. Tačiau gali būti linkusių. Mes tikriname:

Prisimenu, kaip dar universitete susidūriau su panašia funkcija ir tiesiog negalėjau patikėti, kad ji turi įstrižą asimptotą. Kol nepaskaičiavau antros ribos:

Griežtai kalbant, čia yra du neaiškumai: ir , bet vienaip ar kitaip, reikia naudoti sprendimo metodą, kuris aptariamas straipsnio apie ribas 5-6 pavyzdžiuose. padidėjęs sudėtingumas. Padauginame ir padalijame iš konjuguotos išraiškos, kad naudotume formulę:

Atsakymas :

Bene populiariausias įstrižas asimptotas.

Iki šiol begalybė buvo „pjaunama vienu teptuku“, tačiau pasitaiko, kad funkcijos grafikas turi dvi skirtingas pasvirusias asimptotes ties ir ties :

10 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos grafiką dėl asimptotų buvimo

Sprendimas: radikali išraiška yra teigiama, o tai reiškia, kad apibrėžimo sritis yra bet koks realusis skaičius ir negali būti vertikalių lazdelių.

Patikrinkime, ar nėra įstrižinių asimptotų.

Jei „x“ linkęs į „minus begalybę“, tada:
(įvedant „X“ po kvadratinė šaknis būtina pridėti minuso ženklą, kad neprarastumėte vardiklio neigiamumo)

Atrodo neįprasta, bet čia neapibrėžtumas yra „begalybė minus begalybė“. Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš konjuguotos išraiškos:

Taigi, tiesi linija yra pasvirusi grafiko asimptotė ties .

Su „pliuso begalybe“ viskas yra trivialiau:

Ir tiesi linija yra ties .

Atsakymas :

Jei;
, Jei.

negaliu atsispirti grafinis vaizdas:


Tai viena iš hiperbolės šakų.

Neretai galimą asimptotų buvimą iš pradžių riboja funkcijos apibrėžimo sritis:

11 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos grafiką dėl asimptotų buvimo

Sprendimas: aišku , todėl nagrinėjame tik dešiniąją pusplokštumą, kurioje yra funkcijos grafikas.

1) Funkcija yra ištisinė intervale, o tai reiškia, kad jei yra vertikali asimptotė, ji gali būti tik ordinačių ašis. Ištirkime funkcijos elgseną šalia taško teisingai:

Atkreipkite dėmesį, kad čia NĖRA neaiškumų (tokie atvejai buvo akcentuoti straipsnio Ribų sprendimo metodai pradžioje).

Taigi tiesi linija (ordinačių ašis) yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.

2) Įstrižinės asimptotės tyrimas gali būti atliktas naudojant pilna schema, tačiau straipsnyje „L'Hopital Rules“ išsiaiškinome, kad tiesinė funkcija daugiau aukšta tvarka augimas nei logaritminis, todėl: (Žr. tos pačios pamokos 1 pavyzdį).

Išvada: x ašis yra horizontali funkcijos grafiko asimptotė.

Atsakymas :

Jei;
, Jei.

Piešimas aiškumo dėlei:

Įdomu tai, kad iš pažiūros panaši funkcija asimptotų visai neturi (norintieji gali tai patikrinti).

Du galutiniai pavyzdžiai savarankiškam mokymuisi:

12 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos grafiką dėl asimptotų buvimo

Norėdami patikrinti, ar nėra vertikalių asimptočių, pirmiausia turite rasti funkcijos apibrėžimo sritį, o tada apskaičiuoti vienpusių ribų porą „įtartiniuose“ taškuose. Neatmetama ir įstrižų asimptotų, nes funkcija apibrėžiama „pliuso“ ir „minuso“ begalybėje.

13 pavyzdys

Išnagrinėkite funkcijos grafiką dėl asimptotų buvimo

Tačiau čia gali būti tik įstrižai asimptotai, o kryptis reikėtų apsvarstyti atskirai.

Tikiuosi radote tinkamą asimptotę =)

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas :
. Raskime vienpuses ribas:

Tiesiai yra funkcijos at grafiko vertikali asimptotė .
2) Įstrižai asimptotai.

Tiesiai .
Atsakymas :

Piešimasį 3 pavyzdį:

4 pavyzdys:Sprendimas :
1) Vertikalios asimptotės. Funkcija tam tikrame taške patiria begalinį pertrauką . Apskaičiuokime vienpuses ribas:

Pastaba: be galo mažas neigiamas skaičius lyginiam laipsniui yra lygus be galo mažam teigiamam skaičiui: .

Tiesiai yra funkcijos grafiko vertikali asimptotė.
2) Įstrižai asimptotai.


Tiesiai (abscisių ašis) yra funkcijos at grafiko horizontalioji asimptotė .
Atsakymas :

Hiperbolė vadinama lokusas taškų, atstumų skirtumas iki dviejų nurodytų taškų, vadinamų židiniais, yra pastovi reikšmė (ši konstanta turi būti teigiama ir mažesnė už atstumą tarp židinių).

Šią konstantą pažymėkime 2a, atstumą tarp židinių – ir parinksime koordinačių ašis taip, kaip § 3. Tegul - savavališkas taškas hiperbolė.

Pagal hiperbolės apibrėžimą

Dešinėje lygybės pusėje turite pasirinkti pliuso ženklą jei ir minuso ženklą, jei

Kadangi paskutinė lygybė gali būti parašyta taip:

Tai hiperbolės lygtis pasirinktoje koordinačių sistemoje.

Išsilaisvinę nuo radikalų šioje lygtyje (kaip § 3), galime sumažinti lygtį iki paprasčiausios formos.

Pirmojo radikalo perkėlimas į dešinėje pusėje lygybė ir abiejų pusių kvadratūra, po akivaizdžių transformacijų gauname:

Dar kartą išlyginant abi lygybės puses, sumažinant panašių narių ir dalijant iš laisvas narys, gauname:

Nuo , vertė yra teigiama. Žymima per , t.y., darant prielaidą

gauname kanoninė lygtis hiperbolė.

Panagrinėkime hiperbolės formą.

1) Hiperbolės simetrija. Kadangi (3) lygtyje yra tik dabartinių koordinačių kvadratai, koordinačių ašys yra hiperbolės simetrijos ašys (žr. panašų teiginį dėl elipsės). Hiperbolės, kurioje yra židiniai, simetrijos ašis vadinama židinio ašimi. Simetrijos ašių susikirtimo taškas – simetrijos centras – vadinamas hiperbolės centru. Hiperbolės, pateiktos pagal (3) lygtį, židinio ašis sutampa su Ox ašimi, o centras yra pradžia.

2) Susikirtimo taškai su simetrijos ašimis. Raskime hiperbolės susikirtimo taškus su simetrijos ašimis – hiperbolės viršūnes. Darydami prielaidą, kad lygtyje randame hiperbolės susikirtimo su ašimi taškų abscises

Vadinasi, taškai yra hiperbolės viršūnės (51 pav.); atstumas tarp jų yra 2a. Norėdami rasti susikirtimo taškus su Oy ašimi, įdedame lygtį Norėdami nustatyti šių taškų ordinates, gauname lygtį

tai yra, y gavome įsivaizduojamas reikšmes; tai reiškia, kad Oy ašis nekerta hiperbolių.

Pagal tai vadinama simetrijos ašis, kertanti hiperbolę tikroji ašis simetrija (židinio ašis), simetrijos ašis, kuri nesikerta su hiperbole, vadinama įsivaizduojama simetrijos ašimi. Hiperbolės, pateiktos pagal (3) lygtį, tikroji simetrijos ašis yra ašis, įsivaizduojama simetrijos ašis – atkarpa, jungianti hiperbolės viršūnes, taip pat jos ilgis 2a, vadinama tikrąja ašimi. hiperbolė. Jei įsivaizduojamoje hiperbolės simetrijos ašyje brėžiame atkarpas OB ir ilgį b abiejose jos centro O pusėse, tai atkarpa ir jos ilgis vadinami įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Dydžiai a ir b vadinami atitinkamai tikrosiomis ir įsivaizduojamomis hiperbolės pusašimis.

3) Hiperbolės forma. Tiriant hiperbolės formą pakanka atsižvelgti teigiamas vertes x ir y, nes kreivė yra simetriškai išdėstyta koordinačių ašių atžvilgiu.

Kadangi iš (3) lygties matyti, kad 1, tada gali pasikeisti nuo a iki Kai didėja nuo a iki tada Y taip pat didėja nuo 0 iki Kreivės forma parodyta Fig. 51. Jis yra tiesiomis linijomis apribotos juostos išorėje ir susideda iš dviejų atskirų atšakų. Bet kuriam vienos iš šių šakų taškui M (dešinė šaka), bet kuriam kitos šakos taškui M (kairė šaka).

4) Hiperbolės asimptotės. Norėdami aiškiau įsivaizduoti hiperbolės tipą, apsvarstykite dvi tiesias linijas, glaudžiai susijusias su ja - vadinamąsias asimptotes.

Darant prielaidą, kad x ir y yra teigiami, išsprendžiame (3) hiperbolės lygtį y ordinatės atžvilgiu:

Palyginkime lygtį su tiesės lygtimi, iškviečiant atitinkamus du taškus, esančius atitinkamai šioje tiesėje ir hiperbolėje ir turinčius tą pačią abscisę (51 pav.). Akivaizdu, kad atitinkamų taškų ordinačių skirtumas Y - y išreiškia atstumą tarp jų, t.y.

Parodykime, kad neribotai didėjant, atstumas MN, žudantis, linkęs į nulį. Tiesą sakant,

Supaprastinus gauname:

Iš paskutinės formulės matome, kad neribotai padidėjus abscisei, atstumas MN mažėja ir linkęs į nulį. Iš to išplaukia, kad kai taškas M, judėdamas išilgai hiperbolės pirmajame kvadrante, tolsta iki begalybės, tada jo atstumas iki tiesės sumažėja ir linkęs į nulį. Ta pati aplinkybė atsitiks, kai taškas M judės išilgai hiperbolės trečiajame kvadrante (dėl simetrijos pradžios O atžvilgiu).

Galiausiai, dėl hiperbolės simetrijos Oy ašies atžvilgiu, gausime antrą tiesią liniją, simetriškai išsidėsčiusią su tiesia linija, prie kurios taškas M taip pat neribotai artės, kai jis juda išilgai hiperbolės ir tolsta iki begalybės. antrasis ir ketvirtasis kvadrantai).

Šios dvi tiesės vadinamos hiperbolės asimptotėmis ir, kaip matėme, jos turi lygtis:

Akivaizdu, kad hiperbolės asimptotės yra išilgai stačiakampio įstrižainių, kurių viena kraštinė lygiagreti Ox ašiai ir lygi 2a, kita lygiagreti Oy ašiai ir yra lygi, o centras yra ties koordinačių kilmė (žr. 51 pav.).

Nubraižant hiperbolę naudojant jos lygtį, pirmiausia rekomenduojama sukonstruoti jos asimptotes.

Lygiakraščio hiperbolė. Hiperbolės atveju ji vadinama lygiakrašte; jos lygtis gaunama iš (3) ir turi tokią formą:

Akivaizdu, kad lygiakraštės hiperbolės asimptočių kampiniai koeficientai bus. Vadinasi, lygiakraštės hiperbolės asimptotės yra statmenos viena kitai ir dalija kampus tarp jos simetrijos ašių.

Ne vienas, vienas, du, trys,... ar be galo daug. Ieškodami pavyzdžių toli nenueisime, prisiminkime elementarios funkcijos. Parabolė, kubinė parabolė ir sinusinė banga apskritai neturi asimptotų. eksponentinis grafikas, logaritminė funkcija turi unikalią asimptotę. Arktangentas ir arkotangentas turi du iš jų, o liestinė ir kotangentas turi be galo daug. Neretai grafikas turi ir horizontalias, ir vertikalias asimptotes. Hiperbolė, visada tave mylėsiu.

Ką reiškia rasti funkcijos grafiko asimptotes?

Tai reiškia, kad reikia išsiaiškinti jų lygtis ir nubrėžti tiesias linijas, jei to reikalauja problema. Procesas apima funkcijos ribų nustatymą.

Vertikali grafiko asimptotė, kaip taisyklė, yra funkcijos begalinio nenuoseklumo taške. Tai paprasta: jei taške funkcija patiria begalinį nenuoseklumą, tai lygties nurodyta tiesė yra vertikali grafiko asimptotė.

Pastaba: atkreipkite dėmesį, kad šis įrašas naudojamas visiškai nurodyti du skirtingos sąvokos. Ar taškas yra numanomas, ar tiesės lygtis, priklauso nuo konteksto.

Taigi, norint nustatyti vertikalios asimptotės buvimą taške, pakanka parodyti, kad bent viena iš vienpusių ribų yra begalinė. Dažniausiai tai yra taškas, kuriame funkcijos vardiklis lygus nuliui. Iš esmės mes jau radome vertikalias asimptotes naujausi pavyzdžiai Pamoka apie funkcijų tęstinumą. Tačiau kai kuriais atvejais yra tik viena vienpusė riba, o jei ji begalinė, tai vėlgi – meilė ir palankumas vertikaliajai asimptotei. Paprasčiausia iliustracija: ir ordinačių ašis.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, taip pat išplaukia akivaizdus faktas: jei funkcija nuolat įjungta, vertikalių asimptočių nėra. Kažkodėl į galvą atėjo parabolė. Tikrai, kur čia galima „klijuoti“ tiesią liniją? ...taip... suprantu... Dėdės Freudo pasekėjai apėmė isteriją =)

Priešingas teiginys bendras atvejis neteisinga: taigi funkcija neapibrėžta visoje skaičių eilutėje, bet visiškai atimta asimptotų.

Funkcijos grafiko pasvirosios asimptotės

Įstrižas (kaip ypatingas atvejis- horizontalios) asimptotes galima nubrėžti, jei funkcijos argumentas linkęs į „plius begalybė“ arba „minus begalybė“. Todėl funkcijos grafikas negali turėti daugiau nei 2 pasvirusias asimptotes. Pavyzdžiui, eksponentinės funkcijos grafikas turi vieną horizontalią asimptotę ties, o arktangento at grafikas turi dvi tokias asimptotes, o tuo pačiu – skirtingas.

Kaip įterpti matematines formulesį svetainę?

Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, tai universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemos. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią JavaScript biblioteką, kuri rodo matematinis žymėjimasžiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą galite greitai prijungti MathJax scenarijų prie savo svetainės, kuris tinkamas momentas automatiškai įkeliama iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. į šablono pradžią (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet koks fraktalas konstruojamas pagal tam tikra taisyklė, kuris taikomas nuosekliai neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodi kubeliai. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

Daugeliu atvejų funkcijos grafiką sudaryti lengviau, jei pirmiausia sukuriate kreivės asimptotes.

Apibrėžimas 1. Asimptotės yra tos tiesės, prie kurių funkcijos grafikas savavališkai priartėja, kai kintamasis linkęs plius begalybė arba minus begalybė.

Apibrėžimas 2. Tiesė vadinama funkcijos grafiko asimptote, jei atstumas nuo kintamasis taškas M funkcijos grafikas iki šios tiesės linkęs į nulį, nes taškas neribotai tolsta M nuo pradžios išilgai bet kurios funkcijos grafiko šakos.

Yra trys asimptotų tipai: vertikalūs, horizontalūs ir įstrižai.

Apibrėžimas . Tiesiai x = a yra funkcijos grafiko vertikali asimptote, jei taškas x = a yra šios funkcijos antrojo tipo nutrūkimo taškas.

Iš apibrėžimo matyti, kad tiesi linija x = a yra funkcijos grafiko vertikali asimptotė f(x), jei tenkinama bent viena iš sąlygų:

Šiuo atveju funkcija f(x) gali būti visai neapibrėžtas, atitinkamai kada x ≥ a Ir x ≤ a .

komentaras:

1 pavyzdys. Funkcijos grafikas y=ln x turi vertikalią asimptotę x= 0 (t. y. sutampa su ašimi Oy) ant apibrėžimo srities ribos, nes funkcijos riba kaip x linkusi į nulį iš dešinės yra lygi minus begalybei:

(nuotrauka aukščiau).

2 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

3 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

If (funkcijos riba, nes argumentas linkęs į pliusą arba minusą begalybę, yra lygi tam tikrai reikšmei b), tai y = b – horizontalioji asimptote kreivas y = f(x) (dešinė, kai X linkusi į pliuso begalybę, kairė, kai X linkusi į minus begalybę, ir dvipusė, jei ribos, kaip X linkusi į pliusą arba minus begalybę, yra lygios).

5 pavyzdys. Funkcijos grafikas

adresu a> 1 paliko horizontalią asimpototę y= 0 (t. y. sutampa su ašimi Jautis), kadangi funkcijos kaip „x“ riba yra atėmus begalybę, yra nulis:

Kreivė neturi dešinės horizontalios asimptotės, nes funkcijos riba kaip „x“ linkusi plius begalybė yra lygi begalybei:

Vertikalus ir horizontalios asimptotės, kurias išnagrinėjome aukščiau, yra lygiagrečios koordinačių ašims, todėl jas sukonstruoti mums tereikėjo tam tikras skaičius- abscisės arba ordinačių ašies taškas, per kurį eina asimptotas. Įstrižai asimptotei reikia didesnio nuolydžio k, kuris rodo linijos pasvirimo kampą ir laisvąjį terminą b, kuris rodo, kiek linija yra aukščiau arba žemiau pradžios. Tie, kurie nepamiršo analitinės geometrijos, o iš jos ir tiesės lygčių, pastebės, kad įstrižai asimptotei jie randa tiesės lygtį su kampiniu koeficientu. Įstrižinės asimptotės egzistavimą lemia tokia teorema, kurios pagrindu randami ką tik paminėti koeficientai.

Teorema. Norėdami padaryti kreivę y = f(x) turėjo asimptotą y = kx + b būtinos ir pakankamos joms egzistuoti baigtinės ribos k Ir b kaip kintamasis x iki plius begalybės ir minus begalybės:

(1)

(2)

Tokiu būdu rasti skaičiai k Ir b ir yra pasvirieji asimptočių koeficientai.

Pirmuoju atveju (kaip x linkęs plius begalybė) gaunama į dešinę pakreipta asimptotė, antruoju (kaip x linkusi į minus begalybę) gaunama kairioji pasviroji asimptotė. Dešinysis įstrižas asimptotas parodytas Fig. žemiau.

Ieškant įstrižosios asimptotės lygties, būtina atsižvelgti į X tendenciją ir į plius begalybę, ir į minus begalybę. Kai kurioms funkcijoms, pavyzdžiui, trupmeninėms racionaliosioms, šios ribos sutampa, tačiau daugeliui funkcijų šios ribos skiriasi ir gali egzistuoti tik viena.

Jei ribos sutampa ir x linkęs plius begalybė ir minus begalybė, tiesi linija y = kx + b yra dvipusė kreivės asimptotė.

Jei bent viena iš asimptotą apibrėžiančių ribų y = kx + b, neegzistuoja, tada funkcijos grafikas neturi pasvirosios asimptotės (bet gali turėti vertikalią).

Nesunku pastebėti, kad horizontali asimptotė y = b yra ypatingas įstrižo atvejis y = kx + b adresu k = 0 .

Todėl, jei kuria nors kryptimi kreivė turi horizontalią asimptotę, tai šia kryptimi pasvirusios nėra, ir atvirkščiai.

6 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus x= 0, t.y.

Todėl lūžio taške x= 0 kreivė gali turėti vertikalią asimptotę. Iš tiesų, funkcijos riba, kai x linksta į nulį iš kairės, yra lygi plius begalybei:

Vadinasi, x= 0 – šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Šios funkcijos grafikas neturi horizontalios asimptotės, nes funkcijos riba kaip x linkusi plius begalybė yra lygi plius begalybei:

Išsiaiškinkime įstrižos asimptotės buvimą:

Turi ribotas ribas k= 2 ir b= 0. Tiesiai y = 2x yra dvipusė pasvirusi šios funkcijos grafiko asimptotė (paveikslėlis pavyzdžio viduje).

7 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija turi vieną pertraukos tašką x= –1 . Apskaičiuokime vienpuses ribas ir nustatykime nutrūkimo tipą:

Išvada: x= −1 yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, taigi tiesi linija x= −1 yra šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Ieškome įstrižų asimptotų. Nes šią funkciją- trupmeninis-racionalus, ribos pagal valią sutampa. Taigi, mes randame koeficientus, kaip pakeisti tiesią liniją - įstrižą asimptotę į lygtį:

Rastus koeficientus pakeičiant tiesės lygtimi su nuolydis, gauname įstrižosios asimptotės lygtį:

y = −3x + 5 .

Paveiksle funkcijos grafikas pažymėtas bordo spalva, o asimptotės – juodai.

8 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Kadangi ši funkcija yra ištisinė, jos grafikas neturi vertikalių asimptočių. Mes ieškome įstrižų asimptotų:

.

Taigi šios funkcijos grafikas turi asimptotę y= 0 at ir neturi asyptoto ties .

9 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Pirmiausia ieškome vertikalių asimptočių. Norėdami tai padaryti, randame funkcijos apibrėžimo sritį. Funkcija apibrėžiama, kai nelygybė ir . Kintamojo ženklas x atitinka ženklą. Todėl apsvarstykite lygiavertę nelygybę. Iš to gauname funkcijos apibrėžimo sritį: . Vertikali asimptotė gali būti tik ant funkcijos apibrėžimo srities ribos. Bet x= 0 negali būti vertikali asimptotė, nes funkcija apibrėžta ties x = 0 .

Apsvarstykite dešinės pusės ribą (kairės ribos nėra):

.

Taškas x= 2 yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, taigi tiesi linija x= 2 – šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Mes ieškome įstrižų asimptotų:

Taigi, y = x+ 1 - šios funkcijos grafiko pasvirusi asimptotė ties . Mes ieškome įstrižos asimptotės adresu:

Taigi, y = −x− 1 - pasvirusi asimptotė ties .

10 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija turi apibrėžimo sritį . Kadangi šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė gali būti tik ant apibrėžimo srities ribos, vienpuses funkcijos ribas randame ties .