Kaip jau minėjau, į integralinis skaičiavimas nėra patogios trupmenos integravimo formulės. Ir todėl pastebima liūdna tendencija: kuo sudėtingesnė trupmena, tuo sunkiau rasti jos integralą. Šiuo atžvilgiu jūs turite griebtis įvairių gudrybių, apie kurias dabar papasakosiu. Pasiruošę skaitytojai gali iš karto pasinaudoti turinys:

• Paprastųjų trupmenų diferencialo ženklo sumavimo būdas

Dirbtinio skaitiklio konvertavimo metodas

1 pavyzdys

Beje, nagrinėjamą integralą galima išspręsti ir pakeitus kintamojo metodą, žymint , tačiau sprendinio rašymas užtruks daug ilgiau.

2 pavyzdys

Rasti neapibrėžtas integralas. Atlikite patikrinimą.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Reikėtų pažymėti, kad kintamojo pakeitimo metodas čia nebeveiks.

Dėmesio, svarbu! 1, 2 pavyzdžiai yra tipiški ir dažnai pasitaiko. Visų pirma, tokie integralai dažnai atsiranda sprendžiant kitus integralus, ypač integruojant neracionalias funkcijas (šaknis).

Nagrinėjama technika veikia ir byloje jei didžiausias skaitiklio laipsnis yra didesnis už aukščiausią vardiklio laipsnį.

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Mes pradedame pasirinkti skaitiklį.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas yra maždaug toks:

1) Skaitiklyje man reikia sutvarkyti , bet ten . Ką daryti? Dedu jį į skliaustus ir padauginu iš: .

2) Dabar bandau atidaryti šiuos skliaustus, kas atsitiks? . Hmm... tai geriau, bet iš pradžių skaitiklyje nėra dviejų. Ką daryti? Reikia padauginti iš:

3) Dar kartą atidarau skliaustus: . Ir štai pirmoji sėkmė! Tai pasirodė teisingai! Tačiau problema ta, kad atsirado papildomas terminas. Ką daryti? Kad išraiška nepasikeistų, tą patį turiu pridėti prie savo konstrukcijos:
. Gyvenimas tapo lengvesnis. Ar galima vėl tvarkyti skaitiklyje?

4) Tai įmanoma. Pabandykime: . Atidarykite antrojo termino skliaustus:
. Atsiprašome, bet ankstesniame žingsnyje iš tikrųjų turėjau , o ne . Ką daryti? Antrąjį terminą reikia padauginti iš:

5) Vėlgi, norėdamas patikrinti, atidarau skliaustus antrajame termine:
. Dabar tai normalu: gauta iš galutinės 3 punkto konstrukcijos! Bet vėl yra mažas „bet“, atsirado papildomas terminas, o tai reiškia, kad turiu papildyti savo posakį:

Jei viskas padaryta teisingai, tada atidarę visus skliaustus turėtume gauti pradinį integrando skaitiklį. Mes tikriname:
Gaubtas.

Taigi:

Paruošta. Paskutiniame termine naudojau funkcijos įtraukimo į diferencialą metodą.

Jei rasime atsakymo išvestinę ir sumažinsime išraišką į bendras vardiklis, tada gauname tiksliai pradinę integrando funkciją. Nagrinėjamas išskaidymo į sumą metodas yra ne kas kita, kaip atvirkštinis veiksmas, kai išraiška sujungiama į bendrą vardiklį.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas panašių pavyzdžių Geriau tai padaryti juodraštyje. Su tam tikrais įgūdžiais jis taip pat veiks protiškai. Prisimenu rekordinį atvejį, kai atlikau atranką į 11 laipsnį, o skaitiklio išplėtimas užėmė beveik dvi Verdo eilutes.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Paprastųjų trupmenų diferencialo ženklo sumavimo būdas

Pereikime prie svarstymo sekantis tipas trupmenomis.
, , , (koeficientai ir nėra lygūs nuliui).

Tiesą sakant, pamokoje jau buvo paminėti keli atvejai su arcsinusu ir arctangentu Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Tokie pavyzdžiai išspręsti pridedant funkciją po diferencialiniu ženklu ir toliau integruojant naudojant lentelę. Štai daugiau tipiniai pavyzdžiai su ilgu ir dideliu logaritmu:

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Čia patartina pasiimti integralų lentelę ir pažiūrėti, kokios formulės ir Kaip vyksta transformacija. Atkreipkite dėmesį kaip ir kodėlŠiuose pavyzdžiuose esantys kvadratai yra paryškinti. Visų pirma, 6 pavyzdyje pirmiausia turime pavaizduoti vardiklį formoje , tada pažymėkite jį po diferencialiniu ženklu. Ir visa tai reikia padaryti norint naudoti standartinę lentelės formulę .

Kam žiūrėti, pabandykite patys išspręsti 7 ir 8 pavyzdžius, juolab kad jie gana trumpi:

7 pavyzdys

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Jei ir jums pavyksta patikrinti šiuos pavyzdžius, tada didelė pagarba – jūsų diferenciacijos įgūdžiai puikūs.

Viso kvadrato pasirinkimo metodas

Formos integralai (koeficientai ir nėra lygūs nuliui) išsprendžiami pilnas kvadrato ištraukimo metodas, kuris jau pasirodė pamokoje Geometrinės grafikų transformacijos.

Tiesą sakant, tokie integralai redukuojasi iki vieno iš keturių lentelių integralų, kuriuos ką tik žiūrėjome. Ir tai pasiekiama naudojant pažįstamas sutrumpintas daugybos formules:

Formulės taikomos būtent šia kryptimi, tai yra, metodo idėja yra dirbtinai organizuoti išraiškas arba vardiklyje, o tada jas atitinkamai konvertuoti į bet kurią.

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai paprasčiausias pavyzdys, kuriame su terminu – vieneto koeficientas(o ne koks nors skaičius ar minusas).

Pažiūrėkime į vardiklį, čia viskas aiškiai priklauso nuo atsitiktinumo. Pradėkime vardiklio konvertavimą:

Akivaizdu, kad reikia pridėti 4. Ir, kad išraiška nepasikeistų, atimkite tuos pačius keturis:

Dabar galite taikyti formulę:

Baigus konvertuoti VISADA Patartina atlikti atvirkštinį judėjimą: viskas gerai, klaidų nėra.

Galutinis nagrinėjamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Paruošta. Apibendrinant "nemokamą" sudėtinga funkcija po diferencialiniu ženklu: , iš esmės galėtų būti nepaisoma

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Ką daryti, kai priešais minusas? Šiuo atveju turime išimti minusą iš skliaustų ir išdėstyti terminus tokia tvarka, kokia mums reikia: . Pastovus(„du“ in šiuo atveju) nelieskite!

Dabar skliausteliuose pridedame vieną. Analizuodami išraišką, darome išvadą, kad turime pridėti vieną už skliaustų:

Čia gauname formulę, taikome:

VISADA Mes patikriname juodraštį:
, ką reikėjo patikrinti.

Švarus pavyzdys atrodo maždaug taip:

Užduotį apsunkina

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Čia terminas yra nebe vieneto koeficientas, o „penki“.

(1) Jei yra konstanta at, tada iš karto išimame ją iš skliaustų.

(2) Apskritai visada geriau šią konstantą perkelti už integralo, kad ji netrukdytų.

(3) Akivaizdu, kad viskas priklausys nuo formulės. Turime suprasti terminą, būtent gauti „du“

(4) Taip, . Tai reiškia, kad mes pridedame prie išraiškos ir atimame tą pačią trupmeną.

(5) Dabar pasirenkame tobulas kvadratas. IN bendras atvejis taip pat turime apskaičiuoti , bet čia yra ilgojo logaritmo formulė , ir nėra prasmės atlikti veiksmą, paaiškės toliau.

(6) Tiesą sakant, mes galime pritaikyti formulę , tik vietoj „X“ turime , o tai nepaneigia lentelės integralo galiojimo. Griežtai tariant, vienas žingsnis buvo praleistas - prieš integruojant funkcija turėjo būti įtraukta į diferencialinį ženklą: , tačiau, kaip jau ne kartą esu pastebėjęs, tai dažnai nepaisoma.

(7) Atsakyme po šaknimi patartina išplėsti visus skliaustus atgal:

Sunku? Tai nėra pati sunkiausia integralinio skaičiavimo dalis. Nors nagrinėjami pavyzdžiai nėra tiek sudėtingi, kiek reikalauja gerų skaičiavimo metodų.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Vardiklyje yra integralai su šaknimis, kurie, naudojant pakaitalą, redukuojami iki tokio tipo integralų, apie kuriuos galite perskaityti straipsnyje Sudėtingi integralai, bet jis skirtas labai pasiruošusiems studentams.

Priimant skaitiklį po diferencialo ženklu

Tai paskutinė dalis pamoka, tačiau tokio tipo integralai pasitaiko gana dažnai! Jei pavargote, gal geriau paskaityti rytoj? ;)

Integralai, kuriuos svarstysime, yra panašūs į ankstesnės pastraipos integralus, jie turi formą: arba (koeficientai , ir nėra lygūs nuliui).

Tai yra, mūsų skaitiklyje mes turime tiesinė funkcija. Kaip išspręsti tokius integralus?

Internetinis skaičiuotuvas.
Dvinalio kvadratas ir jo faktorius kvadratinis trinaris.

Tie. problemos susiveda ieškant skaičių \(p, q\) ir \(n, m\)

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą.

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurines mokyklas ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai

matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais. Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) savo mokymus. jaunesni broliai

ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio trinalio įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti. Įvesties taisyklės

kvadratinis daugianario
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.

Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai. Be to, galima įvesti ne tik kaip po kablelio, bet ir kaip paprastąją trupmeną.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėmis trupmeninė dalis nuo visumos galima atskirti tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio kaip šis: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įeinant skaitinė trupmena Skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas padalijimo ženklu: /
Visa dalis atskirtas nuo trupmenos ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5x +1/7x^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Pavyzdys detalus sprendimas

Dvinalio kvadrato išskyrimas.$$ ax^2+bx+c \rowrrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Atsakymas:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizavimas.$$ ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Atsakymas:$$2x^2+2x-4 = 2 \kairė(x -1 \dešinė) \kairė(x +2 \dešinė) $$

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sek...

Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Dvinalio kvadrato išskyrimas nuo kvadratinio trinalio

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas kaip a(x+p) 2 +q, kur p ir q yra realūs skaičiai, tada jie sako, kad nuo kvadratinis trinaris, dvinario kvadratas yra paryškintas.

Iš trinalio 2x 2 +12x+14 išskiriame dvinario kvadratą.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite 6x kaip 2*3*x sandaugą, tada pridėkite ir atimkite 3 2. Mes gauname:
$2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Tai. Mes ištraukite kvadratinį binomį iš kvadratinio trinalio, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadratinio trinalio koeficientas

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas forma a(x+n)(x+m), kur n ir m yra tikrieji skaičiai, tada sakoma, kad operacija atlikta kvadratinio trinalio faktorizacija.

Parodykime pavyzdžiu, kaip ši transformacija atliekama.

Paskaičiuokime kvadratinį trinarį 2x 2 +4x-6.

Išimkime koeficientą a iš skliaustų, t.y. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformuokime išraišką skliausteliuose.
Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite 2x kaip skirtumą 3x-1x, o -3 kaip -1*3. Mes gauname:
$$ = 2(x^2+3 \ctaškas x -1 \ctaškas x -1 \ctaškas 3) = 2(x(x+3)-1 \ctaškas (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Tai. Mes koeficientas kvadratinis trinomas, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinio trinalio faktorius galimas tik tada, kai kvadratinė lygtis, atitinkantis šį trinarį, turi šaknis.
Tie. mūsų atveju galima koeficientuoti trinarį 2x 2 +4x-6, jei kvadratinė lygtis 2x 2 +4x-6 =0 turi šaknis. Faktorizacijos procese nustatėme, kad lygtis 2x 2 + 4x-6 = 0 turi dvi šaknis 1 ir -3, nes su šiomis reikšmėmis lygtis 2(x-1)(x+3)=0 virsta tikrąja lygybe.

Apibrėžimas

2 x 2 + 3 x + 5 formos išraiškos vadinamos kvadratiniais trinadžiais. Apskritai kvadratinis trinaris yra a x 2 + b x + c formos išraiška, kur a, b, c a, b, c - savavališki skaičiai ir a ≠ 0.

Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - 4 x + 5. Parašykime tokia forma: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Prie šios išraiškos pridėkime 2 2 ir atimkime 2 2, gausime: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Atkreipkite dėmesį, kad x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, taigi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Mūsų atlikta transformacija vadinama „tobulos kvadrato išskyrimas nuo kvadratinio trinario“.

Išskirkite tobulą kvadratą iš kvadratinio trinalio 9 x 2 + 3 x + 1.

Atminkite, kad 9 x 2 = (3 x) 2, „3x=2*1/2*3x“. Tada „9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1“. Pridėkite ir atimkite „(1/2)^2“ prie gautos išraiškos, gauname

„((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4“.

Parodysime, kaip tobulo kvadrato išskyrimo iš kvadratinio trinalio metodas naudojamas kvadratiniam trinariui koeficientuoti.

Kvadratinio trinalio koeficientas 4 x 2 – 12 x + 5.

Mes pasirenkame tobulą kvadratą iš kvadratinio trinalio: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Dabar pritaikome formulę a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , gauname: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Kvadratinio trinalio koeficientas – 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Dabar pastebime, kad 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Prie išraiškos 9 x 2 - 12 x pridedame terminą 2 2, gauname:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Taikome kvadratų skirtumo formulę, turime:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Kvadratinio trinalio koeficientas 3 x 2 - 14 x - 5 .

Negalime pateikti išraiškos 3 x 2 kaip kokios nors išraiškos kvadrato, nes to dar nesimokėme mokykloje. Tai atliksite vėliau, o užduotyje Nr.4 mes išnagrinėsime kvadratinės šaknys. Parodykime, kaip galite apskaičiuoti nurodytą kvadratinį trinarį:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3 (x-7/3-8/3) (x-7/3+8/3) = 3 (x-5) (x+1/3) = (x-5) (3x+1) `.

Parodysime, kaip naudoti tobulo kvadrato metodą, kad surastumėte didžiausią arba mažiausią kvadratinio trinalio reikšmę.
Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - x + 3. Pasirinkite visą kvadratą:

„(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4“. Atminkite, kad kai „x=1/2“, kvadratinio trinalio reikšmė yra „11/4“, o kai „x!=1/2“, pridedama „11/4“ reikšmė teigiamas skaičius, todėl gauname skaičių, didesnį nei „11/4“. Taigi, mažiausia vertė kvadratinis trinaris yra „11/4“ ir jis gaunamas, kai „x=1/2“.

Raskite didžiausią kvadratinio trinalio reikšmę – 16 2 + 8 x + 6.

Mes pasirenkame tobulą kvadratą iš kvadratinio trinalio: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Kai „x=1/4“, kvadratinio trinalio reikšmė yra 7, o kai „x!=1/4“ teigiamas skaičius atimamas iš skaičiaus 7, tai yra, gauname skaičių, mažesnį nei 7. Taigi skaičius 7 yra didžiausia vertė kvadratinis trinaris, ir jis gaunamas, kai „x=1/4“.

Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį „(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)“ ir sumažinkite trupmeną.

Atkreipkite dėmesį, kad trupmenos vardiklis x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Padalinkime trupmenos skaitiklį iš viso kvadrato iš kvadratinio trinalio išskyrimo metodu. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ši frakcija atvedė į formą `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` po sumažinimo (x - 3) gauname `(x+5)/(x-3)`.

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 – 13 x 2 + 36.

Šiam daugianariui pritaikykime viso kvadrato išskyrimo metodą. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x paskambino

1.2.3. Sutrumpintų daugybos tapatybių naudojimas

Pavyzdys. koeficientas x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Dauginamo faktorius naudojant jo šaknis

Teorema. Tegul daugianario P x šaknis x 1 . Tada šis daugianomas gali būti padalytas taip: P x x x 1 S x , kur S x yra koks nors daugianomas, kurio laipsnis yra vienu mažesnis

reikšmės pakaitomis į P x išraišką Gauname, kad kai x 2 jūs-.

išraiška pasisuks į 0, tai yra, P 2 0, o tai reiškia, kad x 2 yra kelių šaknis

narys. Padalinkite daugianarį P x iš x 2 .

12x2412x24

P x x 2 x 2 x 12 x 2 x 2 3 x 4 x 12 x 2 x 3 4 x 3

x2x3x4

1.3. Viso kvadrato pasirinkimas

Viso kvadrato parinkimo metodas pagrįstas formulių naudojimu: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Viso kvadrato išskyrimas yra tapatybės transformacija, kurioje tam tikras trinaris yra pavaizduotas kaip a b 2 dvinario ir tam tikros skaitinės arba abėcėlinės išraiškos kvadrato suma arba skirtumas.

Kvadratinis trinaris, palyginti su kintamo dydžio yra formos išraiška

Tada išraišką b x pavaizduojame kaip 2b x (du kartus sandauga

Prie skliausteliuose esančios išraiškos pridedame ir iš jos atimame skaičių

2x127.

4 ir 2,

1.4. Polinomai keliuose kintamuosiuose

Kelių kintamųjų daugianarius, kaip ir vieno kintamojo daugianarius, galima sudėti, padauginti ir pakelti iki natūralios laipsnio.

Svarbu identiška transformacija kelių kintamųjų daugianomas yra faktorizacija. Čia naudojami tokie faktorizavimo metodai kaip bendro veiksnio išdėstymas iš skliaustų, grupavimas, naudojant sutrumpintus daugybos tapatumus, išskiriant visą kvadratą ir įvedant pagalbinius kintamuosius.

1. Padalinkite daugianario P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 koeficientą.

2 x 5128 x 2 m 32 x 2 x 364 y ​​32 x 2 x 4 y x 24 x 16 y 2.

2. Koeficientas P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Taikykime grupavimo metodą

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x 3 y

4 x 3 y5 x z.

3. Koeficientas P x ,y x 4 4y 4 . Pasirinkime visą kvadratą:

x 4 m 4 x 44 x 2 m 24 m 24 x 2 m 2 x 22 m 2 2 4 x 2 m 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Laipsnio su bet kuriuo racionaliuoju rodikliu savybės

Laipsnis su bet kuriuo racionalus rodiklis turi šias savybes:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

kur a 0; b 0; r 1; r 2 yra savavališki racionalieji skaičiai.

1.6. Pratimai atlikti savarankiškai

1. Atlikite veiksmus naudodami sutrumpintas daugybos formules. 1) a 52;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Apskaičiuokite naudodami sutrumpintus daugybos tapatumus:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Įrodykite tapatybes:

1). x 2 13 3 x 2 x 12 6 x 1 11 x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Padalinkite šiuos daugianario koeficientus:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 t 2 20 tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72 p 4 q 7 81 p 5 q 6;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 28 y 2 2;

19) 1000 t 3 27 t 6.

5. Apskaičiuokite paprasčiausiu būdu:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Raskite daugianario dalinį ir liekaną P x pagal daugianarįQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x 6 1; Q x x 4 4 x 2 .

7. Įrodykite, kad daugianario x 2 2x 2 neturi tikrų šaknų.

8. Raskite daugianario šaknis:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. faktorius:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Išspręskite lygtis, išskirdami visą kvadratą:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Raskite posakių reikšmes:

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Apskaičiuokite:

16 0,25

16 0,25

Įjungta šią pamoką priminsime visus anksčiau išnagrinėtus daugianario faktoringo metodus ir apsvarstysime jų taikymo pavyzdžius, be to, išnagrinėsime naujas metodas- viso kvadrato atpažinimo būdas ir išmokti jį pritaikyti sprendžiant įvairias problemas. Tema:Faktoringo polinomai Pamoka:Faktoringo polinomai. Viso kvadrato pasirinkimo būdas. Metodų derinys Prisiminkime pagrindinius daugianario faktorinavimo metodus, kurie buvo tyrinėti anksčiau: Metodas, kai skliausteliuose išskiriamas bendras veiksnys, tai yra veiksnys, kuris yra visose daugianario sąlygose. Pažiūrėkime į pavyzdį: Prisiminkite, kad monomialas yra laipsnių ir skaičių sandauga. Mūsų pavyzdyje abu terminai turi keletą bendrų identiškų elementų. Taigi išimkime bendras daugiklis skliausteliuose: ; Priminsime, kad išimtą koeficientą padauginus iš skliausto, galima patikrinti išimto koeficiento teisingumą. Grupavimo metodas. Ne visada įmanoma išgauti bendrą daugianario veiksnį. Tokiu atveju reikia suskirstyti jos narius į grupes taip, kad kiekvienoje grupėje būtų galima išskirti bendrą veiksnį ir pabandyti jį suskaidyti taip, kad išėmus veiksnius grupėse atsirastų bendras veiksnys. visą išraišką ir galite tęsti skaidymą. Pažiūrėkime į pavyzdį: Sugrupuokime pirmąjį terminą su ketvirtuoju, antrąjį su penktuoju ir trečiąjį su šeštuoju: Paimkime bendrus veiksnius grupėse: Dabar išraiška turi bendrą veiksnį. Išimkime: Sutrumpintų daugybos formulių taikymas. Pažiūrėkime į pavyzdį: ; Parašykime išraišką išsamiai: Akivaizdu, kad prieš mus yra skirtumo kvadratu formulė, nes tai yra dviejų išraiškų kvadratų suma ir iš jos atimama jų dviguba sandauga. Naudokime formulę: Šiandien mes išmoksime kitą metodą - viso kvadrato parinkimo metodą. Jis pagrįstas sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis. Priminkime jiems: Sumos kvadrato formulė (skirtumas); Šių formulių ypatumas yra tas, kad jose yra dviejų išraiškų kvadratai ir jų dviguba sandauga. Pažiūrėkime į pavyzdį: Užrašykime posakį: Taigi, pirmoji išraiška yra , o antroji yra . Norint sukurti sumos arba skirtumo kvadrato formulę, dvigubos išraiškų sandaugos nepakanka. Jį reikia pridėti ir atimti: Užbaikime sumos kvadratą: Transformuokime gautą išraišką: Taikykime kvadratų skirtumo formulę, prisiminkime, kad dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra jų skirtumo sandauga ir suma: Taigi, šis metodas visų pirma susideda iš to, kad reikia identifikuoti kvadrate esančias išraiškas a ir b, tai yra nustatyti, kurių išraiškų kvadratai yra šiame pavyzdyje. Po to turite patikrinti, ar yra padvigubintas sandaugas, o jei jo nėra, pridėkite ir atimkite, tai nepakeis pavyzdžio prasmės, tačiau daugianarį galima koeficientuoti naudojant kvadrato formules. kvadratų suma arba skirtumas ir skirtumas, jei įmanoma. Pereikime prie pavyzdžių sprendimo. 1 pavyzdys – koeficientas: Raskime išraiškas, kurios yra kvadratinės: Parašykime, koks turėtų būti jų dvigubas produktas: Sudėkime ir atimkime dvigubą sandaugą: Užbaikime sumos kvadratą ir pateiksime panašius: Parašykime tai naudodami kvadratų skirtumo formulę: 2 pavyzdys – išspręskite lygtį: ; Kairėje lygties pusėje yra trinaris. Turite tai įtraukti į veiksnius. Mes naudojame kvadrato skirtumo formulę: Turime pirmosios išraiškos kvadratą ir dvigubą sandaugą, antrosios išraiškos kvadrato trūksta, pridėkime ir atimkime: Sulenkime visą kvadratą ir suteikime panašius terminus: Taikykime kvadratų skirtumo formulę: Taigi turime lygtį Žinome, kad sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas iš veiksnių lygus nuliui. Remdamiesi tuo, sukurkime tokias lygtis: Išspręskime pirmąją lygtį: Išspręskime antrąją lygtį: Atsakymas: arba ; Tęsiame panašiai kaip ankstesniame pavyzdyje – pasirinkite skirtumo kvadratą. Ar jums patiko straipsnis? Pasidalinkite su draugais! Pasidalinkite Facebook Taip pat skaitykite Pamokos santrauka "Rusijos mokslinis kompleksas" Trumpa santrauka tema mokslinis kompleksas NATO plėtra į rytus: pažangos etapai NATO šalių tankų identifikavimo ženklų pristatymas Ilgio vienetas - kilometras" Nuotraukoje matomas Žemės vaizdas iš Mėnulio orbitos. Sveiki atvykę į Trenkasinskaya kaimo biblioteką Rutulys, įrašytas į cilindrą. Manoma, kad rutulys yra įrašytas į cilindrą, jei jis liečia jo pagrindą ir šoninį paviršių (liečia kiekvieną generatrix) Informatikos pristatymas tema "nuotolinis mokymasis mokykloje" Pristatymas apie nuotolinį mokymąsi technologijų pamokose Pristatymas – neramūs laikai Į viršų