Sferinės trems ir grotelės. Sierpinskio servetėlė – dar vienas monstras

Įprastas fraktalas, vadinamas Sierpinski servetėle, gaunamas nuosekliai išpjaunant centrinius lygiakraščius trikampius, kaip parodyta Fig. 2

2 pav. Sierpinski servetėlės ​​konstrukcija

Rezultatas yra „skylė“ figūra (žr. 3 pav.), susidedanti iš begalinis skaičius izoliuoti taškai. Sierpinski servetėlės ​​fraktalinis matmuo apskaičiuojamas pagal (3) formulę.

Čia nuliniame žingsnyje turime vieną lygiakraštį trikampį, kurio kraštinės ilgis, o kitame žingsnyje – tris lygiakraštius trikampius su kraštinėmis. Todėl a, . Servetėlė turi nulinį plotą, nes nesunku patikrinti, ar jos konstravimo procese plotas yra tiksliai lygus plotui originalus trikampis. Tai taip pat rodo fraktalinio matmens reikšmė, kuri yra mažesnė už plokštumos, kurioje yra šis objektas, matmenį.

Dabar apskaičiuokime neįtrauktų sričių perimetrą. Jei pradinio trikampio kraštinė buvo lygi 1, tai pirmame statybos etape centrinio trikampio perimetras yra lygus 3/2. Antrame etape prie jo pridedami trys nauji trikampiai su bendras perimetras, lygus 9/4 ir kt. Akivaizdu, kad ant n-tas žingsnis perimetras P nustatomas pagal geometrinės progresijos sumą

Sierpinskio kilimo fraktalinis algoritmas

3 paveikslas – Sierpinski servetėlė

Kita vertus, ilgio skalė n-ajame žingsnyje yra lygi. Todėl formulė įgauna panašią į (1) formulę pakrantės ilgiui

kur D nustatomas pagal (6) formulę

4 pav. Sierpinskio kreivės inicijavimo elementas ir generatorius

Galima sukurti ištisinę liniją, kuri turi tokį fraktalinį matmenį ir geometriškai prilygsta Sierpinski servetėlėms. Tokios konstrukcijos inicijavimo elementas yra vienetinio ilgio segmentas, kuris vėliau pakeičiamas konstrukcija, vadinama generatoriumi, susidedančia iš trijų 1/2 ilgio segmentų, išdėstytų vienas kito atžvilgiu 120° kampu (žr. 4 pav. ). Tada kiekvienas iš šių trijų segmentų savo ruožtu pakeičiamas perpus mažesniu generatoriumi, kaip parodyta Fig. 5 kairėje. Dešinė pusė Tame pačiame paveikslėlyje pavaizduotas kitas procedūros žingsnis. Būsimos Sierpinski servetėlės ​​kontūrai aiškiai išryškėja kituose dviejuose etapuose (žr. 5 pav.).

5 pav. Antrasis ir trečiasis Sierpinskio kreivės konstravimo žingsniai

Ši procedūra kartojama iki begalybės. Nesunku pastebėti, kad kiekvieną paskesnį vaizdą galima gauti iš ankstesnio, suklijuojant tris perpus sumažintas kopijas, iš kurių dvi pasisuks 120° ir -120° kampu originalo atžvilgiu.

6 pav. Kiti du Sierpinskio kreivės konstravimo žingsniai

Panašiai kaip Sierpinski servetėlėje, galima sukonstruoti kvadratinį Sierpinski kilimą, kuris yra dvimatis Cantor išskirtų vidurinių trečdalių rinkinio analogas.

7 paveikslas – kvadratinio Sierpinski kilimo konstrukcija

Jo sukūrimo receptas yra toks. Pirmiausia paimkite kvadratą, kurio kraštinės ilgis lygus vienam. Tada kiekviena kvadrato pusė padalijama į tris lygias dalis, o visas kvadratas atitinkamai – į devynis vienodus kvadratus, kurių kraštinė lygi 1/3. Iš gautos figūros iškirptas centrinis kvadratas. Tada ta pačia tvarka išpjaunamas kvadratas. Kodėl kiekvienam iš 8 likusių kvadratų taikoma ta pati procedūra ir pan. (žr. 7 pav.)

8 paveikslas - Sierpinski aikštės kilimas

Rezultatas yra skylėtas kvadratinis Sierpinski kilimas, kurio matmenų vertė yra fraktalinė

Tai taip pat yra idealaus į save panašaus fraktalo pavyzdys. Tačiau jo fraktalinis matmuo yra didesnis nei Sierpinski servetėlės, t.y. tam tikra prasme jis yra mažiau nesandarus.

"SIERPINSKI KILIMAS"

Turinys

Įvadas

1. Fraktalų samprata.

Apie kilimus

Vaclavas Sierpinskis

Sierpinskio trikampis

Sierpinski kilimas

Sierpinskio funkcijos

Fraktalų rūšys ir pagrindinės savybės

Fraktalų statyba

Apie fraktalų naudojimą

Išvada

Pagrindiniai punktai

1 priedas

2 priedas

3 priedas

4 priedas

5 priedas

6 priedas

7 priedas (pristatymas)

Literatūra

Jei žmonės atsisako tikėti

į matematikos paprastumą,

tada tai tik todėl, kad jie

Jie nesupranta gyvenimo sudėtingumo.

Jonas fon Neumannas

Įvadas

Darbas skirtas fraktalų tyrimų temai: Sierpinski kilimas.

Kaip žinoma, šis fraktalas yra vienas iš klasikinių fraktalų geometrijos fraktalų.

Pagrindinis šio darbo tikslas – ištirti fraktalą, vadinamą Sierpinskio kilimu.

Fraktalo sąvokos poreikis atsirado palyginti neseniai, būtent maždaug prieš 40 metų. Tada geometriniai modeliaiįvairios gamtos statiniai tradiciškai buvo statomi gana paprastų geometrinių formų pagrindu: tiesios linijos, daugiakampiai, apskritimai, daugiakampiai, rutuliai. Tačiau tapo akivaizdu, kad šis klasikinis rinkinys, pakankamas elementarioms struktūroms apibūdinti, tampa menkai pritaikomas tokiems sudėtingiems objektams kaip žemyno pakrančių kontūrai, greičio laukas turbulentingame skysčio sraute, žaibo išlydis ore, porėtos medžiagos, debesų forma, snaigės, ugnies liepsna, medžio kontūrai ir kt. Šiuo atžvilgiu mokslininkai pradėjo diegti naujus geometrinės sąvokos. Ir viena iš šių sąvokų buvo fraktalo sąvoka. Šią sąvoką 1975 metais pristatė lenkų kilmės prancūzų matematikas Benoit Mandelbrot. Ir nors matematikoje panašios konstrukcijos viena ar kita forma atsirado seniai, fizikoje tokių idėjų vertė buvo suvokta tik XX amžiaus aštuntajame dešimtmetyje. Tada Mandelbroto knyga „Fraktalinė gamtos geometrija“ suvaidino svarbų vaidmenį skleidžiant fraktalinės geometrijos idėjas. Pagrindas nauja geometrija yra savęs panašumo idėja. Tai išreiškia faktą, kad hierarchinis fraktalinių struktūrų organizavimo principas, žiūrint jas per mikroskopą su skirtingais didinimais, reikšmingai nepasikeičia. Dėl to šios mažų mastelių struktūros atrodo vidutiniškai taip pat, kaip ir didelės. Tai apibrėžia skirtumą tarp euklido geometrijos, kuri nagrinėja tik lygias kreives, ir be galo tvirtų, į save panašių fraktalų kreivių. Euklido kreivių elementai visada yra panašūs, bet nereikšmingu būdu: visos kreivės yra tiesios, o tiesi linija visada yra panaši į save. Idealiu atveju fraktalinė kreivė bet kokia, net ir mažiausia, masteliu nesumažėja iki tiesės ir yra bendras atvejis geometriškai netaisyklingos, chaotiškos. Konkrečiai kalbant, čia nėra liestinės taške sąvokos, nes šias kreives apibūdinančios funkcijos paprastai yra nediferencijuojamos.

Galbūt įtikinamiausias argumentas dėl fraktalų tyrimo yra stulbinantis jų grožis.

Fraktalai nuostabiai sujungia loginį požiūrį ir gamtos reiškinių žinias.

Atsiradus šiuolaikiniams kompiuteriams, tapo įmanoma pasiekti daug didelių fraktalinės geometrijos pažangų. Kompiuteriniai eksperimentai leido gana visapusiškai suprasti įvairius fraktalus ir jų atsiradimo priežastis. Dažnai teorinis šių struktūrų modeliavimas kartais net buvo aplenktas eksperimentiniai metodai tyrinėja tikrus sudėtingos formos gamtos objektus.

Tobulėjant fraktalinei geometrijai, daugeliui tapo akivaizdu, kad Euklido geometrijos formos yra daug prastesnės už daugumą gamtos objektų dėl netaisyklingumo, netvarkos ir nenuspėjamumo stokos.

Šiuo metu galime pasakyti, kad fraktalų geometrija yra plačiai žinoma ir gana aktuali. Taip yra todėl, kad fraktalinės geometrijos kalba yra taikoma visam mokslui modernus pasaulis apskritai. Pavyzdžiui, medicinoje sukurti modelį kraujotakos sistemažmonėms arba tiriant sudėtingus ląstelių membranų paviršius.

1. Fraktalų samprata.

Fraktalai yra visur aplink mus – tiek kalnų kontūruose, tiek vingiuotoje pajūrio linijoje. Kai kurie fraktalai nuolat keičiasi, pavyzdžiui, judantys debesys ar mirgančios liepsnos, o kiti, pavyzdžiui, medžiai ar mūsų kraujagyslių sistemos, išlaikyti evoliucijos procese įgytą struktūrą.
H. O. Peigenas ir P. H. Richteris.

Geometrija, kurią mokomės mokykloje ir naudojame kasdienybė, kaip minėta anksčiau, datuojamas Euklidu (apie 300 m. pr. Kr.). Trikampiai, kvadratai, apskritimai, lygiagretainiai, gretasieniai, piramidės, sferos, prizmės - tipiniai objektai, laikoma klasikine geometrija. Į žmogaus sukurtus objektus dažniausiai įtraukiamos šios figūros arba jų fragmentai. Tačiau gamtoje jų sutinkama ne itin dažnai. Išties, ar, pavyzdžiui, miško gražuolės eglės panašios į kurį nors iš išvardytų daiktų ar jų derinį? Tai nesunku pastebėti, skirtingai nei Euklido formos gamtos objektai neturi glotnumo, jų kraštai lūžę, dantyti, paviršiai šiurkštūs, surūdiję įtrūkimų, praėjimų ir skylučių.

"Kodėl geometrija dažnai vadinama šalta ir sausa? Viena iš priežasčių yra nesugebėjimas apibūdinti debesies, kalno, medžio ar jūros kranto formos. Debesys nėra sferos, kalnai nėra kūgiai, kranto linijos nėra apskritimai, o pluta nėra lygi." , o žaibas nekeliauja tiesia linija. Gamta mums parodo ne tik aukštesnį, bet ir visiškai kitokį sudėtingumo lygį." , - šie žodžiai prasideda „Fraktalinė gamtos geometrija“, kurią parašė Benoit Mandelbrot. Žodisfraktalas kilęs iš lotynų kalbosfractus o išvertus reiškiasuskaidytas . 1975 m. Benoit Mandelbrotas pasiūlė nurodyti netaisyklingą, betį save panašus struktūrose, kuriose jis dalyvavo. Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su Mandelbroto knygos paskelbimu 1977 m.Gamtos fraktalinė geometrija“ . Jo darbai naudojami mokslinių rezultatų kiti mokslininkai, dirbę 1875–1925 m. toje pačioje srityje (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Tačiau tik mūsų laikais buvo įmanoma sujungti jų darbą į vieną sistemą.

Fraktalų vaidmuo kompiuterinėje grafikoje šiandien yra gana didelis. Jie ateina į pagalbą, pavyzdžiui, kai reikia, naudojant kelis koeficientus, apibrėžti labai sudėtingų formų linijas ir paviršius. Iš požiūrio taško kompiuterinė grafika, Fraktalų geometrija yra būtina kuriant dirbtinius debesis, kalnus ir jūros paviršius. Iš tikrųjų rasta lengvas būdas sudėtingų neeuklido objektų, kurių atvaizdai labai panašūs į natūralius, atvaizdai.

Fraktalai yra geometriniai objektai, turintys nuostabių savybių: bet kurioje fraktalo dalyje yra sumažintas vaizdas. Tai yra, nesvarbu, kiek padidinsite fraktalą, maža jo kopija žiūrės į jus iš bet kurios jo dalies.

Mandelbroto fraktalo apibrėžimas yra toks:"Fraktalas yra struktūra, susidedanti iš dalių, kurios tam tikra prasme yra panašios į visumą" . Vidinės fraktalų savybės yra patogiosapibūdinti skaitinė charakteristika, pusiaukuri davė pavadinimą fraktalinė dimensija.Atlikime paprastą eksperimentą. Paimkimetuščio milimetrinio popieriaus lapas ir eskizastim ant jo savavališkai tiesussegmentas Suskaičiuokime klijų kiekįsrovė, kurios kraštinės ilgis 1 cm, ir klijų skaičiustaškai, kurių kraštinės ilgis 1 mm, per kuriuospraeina šį skyrių. Kiek kartų vienąar skaičius didesnis už kitą? Jei eksperimentas yra apievažiuokite atsargiai, tada uždenkite segmentąmilimetro ląstelės bus dešimt kartųdaugiau nei centimetrų.

Geometrija gamtoje neapsiriboja tokiomis paprastomis figūromis kaip linija, apskritimas, kūgio pjūvis, daugiakampis, rutulys, kvadratinis paviršius, taip pat jų deriniai. Pavyzdžiui, kas gali būti gražiau už teiginį, kad planetos mūsų saulės sistema judėti aplink saulę elipsės formos orbitomis?

Tačiau daugelis natūralių sistemų yra tokios sudėtingos ir netaisyklingos, kad joms modeliuoti naudoti tik pažįstamus klasikinės geometrijos objektus atrodo beviltiška. Kaip, pavyzdžiui, galima sukurti kalnų grandinės ar medžio vainiko geometrijos modelį? Kaip apibūdinti biologinių konfigūracijų įvairovę, kurią stebime augalų ir gyvūnų pasaulyje? Įsivaizduokite, kokia sudėtinga kraujotakos sistema, susidedanti iš daugybės kapiliarų ir kraujagyslių, tiekiančių kraują į kiekvieną ląstelę. žmogaus kūnas. Įsivaizduokite, kaip sumaniai išsidėstę plaučiai ir pumpurai, savo struktūra primenantys medžius šakotu vainiku.

Realaus gyvenimo dinamika gali būti tokia pat sudėtinga ir netaisyklinga. natūralios sistemos. Kaip modeliuoti pakopinius krioklius ar audringus procesus, lemiančius orą?

Fraktalai ir matematinis chaosas yra tinkami įrankiai šiems klausimams tirti. Terminasfraktalas reiškia tam tikrą statinę geometrinę konfigūraciją, pvz., krioklio momentinę nuotrauką.Chaosas yra dinaminis terminas, naudojamas apibūdinti reiškinius, panašius į audringų orų elgesį. Dažnai tai, ką stebime gamtoje, mus intriguoja begaliniu to paties modelio kartojimu, padidintu arba sumažintu tiek kartų, kiek norisi. Pavyzdžiui, medis turi šakas. Ant šių šakų yra mažesnės šakos ir kt. Teoriškai šakojantis elementas kartojasi be galo daug kartų, vis mažėja. Tą patį galima pamatyti ir žiūrint į nuotrauką. kalnuotas reljefas. Pabandykite šiek tiek priartinti kalnų masyvą – vėl pamatysite kalnus. Taip pasireiškia būdinga fraktalų savybėsavęs panašumas.

Daug darbo su fraktalais naudoja savęs panašumą kaip apibrėžiančią savybę. Remdamiesi Benoit Madelbrot, mes sutinkame su požiūriu, kad fraktalai turėtų būti apibrėžti fraktalų (trupmeninių) matmenų požiūriu. Iš čia ir kilęs žodisfraktalas (nuo lat.fractus - trupmeninis).

Trupmeninės dimensijos sąvoka yra sudėtinga sąvoka, kuri pateikiama keliais etapais. Tiesi linija yra vienmatis objektas, o plokštuma yra dvimatis objektas. Jei tiesią liniją ir plokštumą gerai susuksite, galite padidinti gautos konfigūracijos matmenis; šiuo atveju nauja dimensija tam tikra prasme paprastai bus trupmeninė, kurią turime patikslinti. Ryšys tarp trupmeninės dimensijos ir savęs panašumo yra tas, kad savęs panašumo pagalba galima paprasčiausiu būdu sukonstruoti trupmeninės dimensijos aibę. Net ir daug sudėtingesnių fraktalų, tokių kaip Mandelbroto aibės ribos, kur nėra gryno savęs panašumo, atveju yra beveik visiškas pagrindinės formos pasikartojimas vis labiau sumažinta forma.

Fraktalinės geometrijos įkūrėjas.

Matematikai nepaisė iššūkio ir

mieliau pabėgo nuo gamtos išradingai

visokios teorijos, kurios ne

paaiškinti, ką matome ar jaučiame.

Benoit Mandelbrotas

Benoit Mandelbrot (pranc. Benoit Mandelbrot; g. 1924 m. lapkričio 20 d. Varšuva) – prancūzų matematikas.

Fraktalinės geometrijos įkūrėjas ir pagrindinis tyrėjas. Vilko fizikos premijos laureatas (1993).

Benoit Mandelbrot gimė 1924 m. Varšuvoje Lietuvos žydų šeimoje. Bet jau 1936 metais Benoit Mandelbrot šeima emigravo į Prancūziją, į Paryžių. Paryžiuje jis buvo paveiktas savo dėdės Scholemo Mandelbroit, garsaus Paryžiaus matematiko ir matematikų grupės, vadinamos "Nicolas Bourbaki", narys.

Prasidėjus karui Mandelbrotai pabėgo į Pietų Prancūziją, laisvą nuo okupacijos, į Tiulio miestą. Benoit Mandelbrot ten lankė mokyklą, tačiau netrukus prarado susidomėjimą studijomis. Todėl šešiolikos metų jis beveik nemokėjo abėcėlės ir daugybos lentelės iki penkių.

Tačiau Benoit Mandelbrotas atrado neįprastą matematinę dovaną, kuri leido jam iškart po karo tapti Sorbonos studentu. Paaiškėjo, kad Benoit turi puikią erdvinę vaizduotę. Jis net algebrinės problemos išspręsti geometriškai. Jo sprendimų originalumas leido Benoit Mandelbrot įstoti į universitetą.

Baigęs universitetą, Benoit Mandelbrotas pirmiausia tapo „grynuoju matematiku“. Jis gavo daktaro laipsnį.

1958 m. jis persikėlė į JAV, kur pradėjo dirbti IBM tyrimų centre Jorktaune, nes IBM tuo metu dirbo matematikos srityse, kurios domino Benoit Mandelbrot.

Dirbdamas IBM, Benoit Mandelbrotas toli nuo gryno taikomų problemųįmonių. Jis dirbo kalbotyros, žaidimų teorijos, ekonomikos, aeronautikos, geografijos, fiziologijos, astronomijos ir fizikos srityse. Jam patiko pereiti nuo vienos temos prie kitos, studijuoti įvairias kryptis.

Studijuodamas ekonomiką, Benoit Mandelbrot atrado, kad iš pažiūros savavališki kainų svyravimai gali sukelti paslėptą matematinė tvarka laike, kuris nėra aprašytas standartinėmis kreivėmis.

Benoit Mandelbrot pradėjo studijuoti medvilnės kainų statistiką ilgas laikotarpis laiko (daugiau nei šimtą metų). Kainų svyravimai per dieną atrodė atsitiktiniai, tačiau Mandelbrotas sugebėjo išsiaiškinti jų pokyčių tendencijas. Jis atsekė ilgalaikių kainų svyravimų ir trumpalaikių svyravimų simetriją. Šis atradimas ekonomistams buvo netikėtas.

Tiesą sakant, Benoit Mandelbrot naudojo savo rekursinio (fraktalinio) metodo pradmenis, kad išspręstų šią problemą.

Apie kilimus.

Šiek tiek apie įkandimą

Praktinis pritaikymas fraktalai

Fraktalų randama vis daugiau didesnis pritaikymas moksle. Pagrindinė to priežastis yra ta, kad jie kartais net geriau apibūdina realų pasaulį nei tradicinė fizika ar matematika. Štai keletas pavyzdžių:

Kompiuterinės sistemos

Dauguma naudingas naudojimas Fraktalai kompiuterių moksle yra fraktalų duomenų glaudinimas. Šio tipo suspaudimas pagrįstas tuo, kad realų pasaulį gerai apibūdina fraktalinė geometrija. Tuo pačiu metu vaizdai suglaudinami daug geriau, nei tai daroma naudojant įprastinius metodus (pvz., jpeg arba gif). Kitas fraktalinio suspaudimo privalumas yra tas, kad padidinus vaizdą, nėra pikselių efekto (taškų dydis padidinamas iki dydžių, kurie iškraipo vaizdą). Naudojant fraktalinį suspaudimą, po padidinimo vaizdas dažnai atrodo dar geriau nei anksčiau.

Skysčių mechanika

1. Srauto turbulencijos tyrimas labai gerai prisitaiko prie fraktalų. Turbulentiniai srautai yra chaotiški, todėl sunku tiksliai modeliuoti. Ir čia padeda perėjimas prie fraktalinio vaizdavimo, kuris labai palengvina inžinierių ir fizikų darbą, leidžia geriau suprasti sudėtingų srautų dinamiką.

2. Naudodami fraktalus taip pat galite imituoti liepsnas.

3. Porėtos medžiagos yra gerai pavaizduotos fraktalų pavidalu dėl to, kad jų geometrija yra labai sudėtinga. Jis naudojamas naftos moksle.

Telekomunikacijos

Duomenims perduoti per atstumą naudojamos fraktalų formos antenos, kurios labai sumažina jų dydį ir svorį.

Paviršių fizika

Fraktalai naudojami paviršių kreivumui apibūdinti. Nelygus paviršius pasižymi dviejų skirtingų fraktalų deriniu.

Vaistas

1.Biosensorinė sąveika.

2.Širdies plakimas

Biologija

Chaotiškų procesų modeliavimas, ypač aprašant populiacijos modelius.

Fraktalų taikymas antenų technologijoje

Remiantis anksčiau pirmoje dalyje aptartomis idėjomis ir algoritmais, jis buvo pasiūlytas naujas metodas fraktalinių elementų panaudojimo antenų matricose metodai. Jo naudojimas leidžia padidinti išdėstymo tankį ir sumažinti elementų tarpusavio ryšius. Be to, remiantis fraktalų teorija, buvo ištirtos tokių antenų savybės ir spinduliavimo tipas. Fraktalų teorijos panaudojimas leidžia gauti elektriškai ilgas, bet fiziškai kompaktiškas ir nedidelį plotą užimančias antenas. Dėl šios savybės galima pasiekti antenos miniatiūrizavimą.

Šiuolaikinės antenos reikalauja didelio tikslumo ir minimalių matmenų. Radijo ryšiams reikalingos sistemos, galinčios veikti kuo daugiau dažnių juostų. Oro antenos sistemos reikalauja, kad antenos būtų kuo labiau sumažintos. Šiems tikslams pasiekti buvo pasiūlyta įvairių metodų fraktalų taikymas antenų teorijoje. Parodykime galimas fraktalų taikymo sritis antenos technologijoje:

a) laidinės antenos, mikrojuostos antenos – šios antenos turi fizinę fraktalinę struktūrą;

b) antenos su fraktalinio spinduliavimo modeliu (DP), grotelės su fraktalinio srovės paskirstymu - antenos statomos remiantis kompiuterinis modeliavimas fraktalų charakteristikos.

Pateiksime fraktalinės struktūros naudojimo paprastai žiedinei antenai pavyzdį.

Tinklelio gijimas atrodys taip:

R – bendras kiekis ciklai; N =4 – elementų skaičius viename žiede; – elemento fazė (poslinka),; – masto fraktalų faktorius.

12.Išvada

Fraktalai mus supa visur: medžiai, kalnai, debesys. Tačiau, be to, fraktalai randami žmogaus akiai nematomuose objektuose: tai įvairių gyvų audinių ląstelės, žemės plutos įtrūkimai ir daug daugiau. Fraktalinė grafika gali būti naudojama daugelyje gamtos mokslų sričių. Jis naudojamas ne tik matematikoje, bet ir ekonomikoje, geografijoje, astronomijoje, biologijoje, fizikoje ir net literatūroje. Fraktalai padeda geofizikams nustatyti įtrūkimo formą ir pobūdį žemės pluta ir pasiskirstymo jo sluoksniuose ypatumai įvairių cheminiai elementai, o astronomai gali imituoti formavimąsi planetų sistemos ir galaktikos, spindulių ir kosminių dulkių sklaidos pobūdis.

Fraktalų mokslas yra labai jaunas ir jo laukia puiki ateitis. Fraktalų grožis toli gražu nėra išsekęs ir vis tiek padovanos mums nemažai šedevrų – tų, kurie džiugina akį, ir tų, kurie teikia tikrą malonumą protui.

Mano darbe nėra išvardytos visos žmogaus žinių sritys, kuriose fraktalų teorija buvo pritaikyta. Tik noriu pasakyti, kad nuo teorijos atsiradimo nepraėjo daugiau nei trečdalis amžiaus, tačiau per tą laiką fraktalai daugeliui tyrinėtojų tapo staigiu reiškiniu. ryški šviesa naktimis, kurios nušvietė iki šiol nežinomus faktus ir modelius konkrečiose duomenų srityse. Pasitelkę fraktalų teoriją, jie pradėjo aiškinti galaktikų evoliuciją ir ląstelių vystymąsi, kalnų atsiradimą ir debesų susidarymą, kainų judėjimą biržoje bei visuomenės ir šeimos raidą. Galbūt iš pradžių ši aistra fraktalams buvo net per stipri ir bandymai viską paaiškinti pasitelkiant fraktalų teoriją buvo nepagrįsti. Tačiau, be jokios abejonės, ši teorija turi teisę egzistuoti.

Dirbdama tiriamąja tema reikšmingai pagilinau matematikos žinias, praplėčiau matematinius akiračius.

Studijuodamas fraktalus sužinojau, kad daugelis jų turi nuostabių savybių ir yra plačiai naudojami įvairiose srityse mokslas.

Remdamasis savo tyrimo rezultatais, sukūriau kompiuterinį pristatymą, su kuriuo kiekvienas besidomintis gali aiškiai suprasti fraktalų rūšis ir neįprastas savybes.

Įsitikinau, kad matematika yra unikalus ir nuostabus mokslas, kurio metodai leidžia apibūdinti daugumos dėsningumus ir struktūrą. neįprasti reiškiniai aplinkinis pasaulis. Be to, fraktalų raštai su keistomis dinamiškomis formomis– vienas iš matematikos ir meno vienybės simbolių. Sukurta šiuolaikiniai kompiuteriai Fraktalai formuoja gilias estetines emocijas, kurios kelia pagarbą ir susidomėjimą matematika.

Tikiu, kad mano atliktas darbas tiriant fraktalus man yra labai naudingas, o jo rezultatai gali būti sėkmingai panaudoti matematikos pamokose ir popamokinė veikla. Nes tai tikrai įdomu!

13.Pagrindiniai punktai .

1. Fraktalų teorija labai jauna. Jis pasirodė šeštojo dešimtmečio pabaigoje Benoit Mandelbroto dėka.

2. Fraktalas yra į save panaši struktūra, kurios vaizdas nepriklauso nuo mastelio. Tai yra rekursyvus modelis, kurio kiekviena dalis kurdama pakartoja viso modelio kaip visumos plėtrą.

3. Fraktalai vis dažniau naudojami moksle. Pavyzdžiui, kompiuterių sistemose, skysčių mechanikoje, medicinoje, biologijoje ir kt.

4. Yra daug įvairių fraktalų: Kantoriaus rinkinys, Sierpinski trikampis, Sierpinski kilimas, Kocho kreivė, Kocho snaigė, Harter-Hathway drakonas ir kt.

6. Fraktalai tai labai palengvina sudėtingus procesus ir objektai, o tai labai svarbu modeliuojant. Jie leidžia apibūdinti nestabilias sistemas ir procesus ir, svarbiausia, numatyti tokių objektų ateitį.

1 priedas

Dinaminiai ir stochastiniai fraktalai

Paimkime atspirties tašką z 0 įjungta sudėtinga plokštuma. Dabar apsvarstykite begalinę skaičių seką kompleksinėje plokštumoje, kurių kiekviena išplaukia iš ankstesnės: z 0 , z 1 = f(z 0 ), z 2 = f(z 1 ), ... z n+1 = f(z n ), kurf( z) – bet kuri kompleksinio kintamojo funkcija. Priklausomai nuo pradžios taškas z 0 tokia seka gali elgtis skirtingai: linkusi į begalybę kaip n → ∞; suartėti į kokį nors galinį tašką; cikliškai imkite fiksuotų verčių seriją; galima daugiau sudėtingi variantai. Dažant skirtingos spalvos Sudėtingos plokštumos taškai, kurie elgiasi skirtingai, dažnai sukelia formas, turinčias fraktalinių savybių.

Mandelbroto rinkinys

Mandelbroto aibė yra kompleksinės plokštumos taškų c rinkinys, kuriam seka (z n ), kurz 0 =0,z n+1 = z n 2 + c, baigtinis (tai yra, neina į begalybę).

Mandelbroto rinkinys yra vienas garsiausių fraktalų, taip pat ir už matematikos ribų, dėl savo spalvų vizualizacijų. Jo fragmentai nėra griežtai panašūs į originalų rinkinį, tačiau pakartotinai didinant tam tikros dalys tampa vis panašesnės viena į kitą.

Įrodyta, kad visas rinkinys yra visiškai 2 spindulio apskritime plokštumoje. Todėl manysime, kad jei už taškąc funkcijų iteracijų sekaf c = z 2 + c su pradine vertez = 0 po didelio jų skaičiausN (tarkime, 100) neperžengė šio apskritimo, tada taškas priklauso rinkiniui ir yra nudažytas juodai. Atitinkamai, jei kuriame nors etape mažiauN , sekos modulo elementas tampa didesnis nei 2, tada taškas aibei nepriklauso ir lieka baltas. Taigi galima gauti nespalvotą rinkinio vaizdą, kurį gavo Mandelbrotas. Norėdami, kad jis būtų spalvotas, galite, pavyzdžiui, kiekvieną tašką nudažyti ne iš aibės spalva, atitinkančia iteracijos skaičių, kai jo seka peržengė apskritimą.

Julija rinkinys

Bet kuris kompleksinės plokštumos taškas z turi savo elgseną (išlieka baigtinis, linkęs į begalybę, įgauna fiksuotas reikšmes) funkcijos f(z) iteracijų metu, o visa plokštuma yra padalinta į dalis. Be to, taškų rinkiniai, turintys vieną specifinį elgesio tipą, dažnai turi fraktalinių savybių. Tai yra funkcijos f(z) Julijos rinkiniai.

Fraktalą apibrėžiančiose formulėse pridėjus atsitiktinius trikdžius, galima gauti stochastinius fraktalus, kurie labai tikėtinai reprezentuoja kai kuriuos tikrus objektus.

2 priedas

Fraktalų ir jų pavyzdžiai nuostabios savybės

Koch snaigių variantai

a) Kocho snaigė „priešingai“ gaunama, jei pradiniame lygiakraštyje trikampyje sukonstruosime Kocho kreives.

b) Cesaro linijos: vietoj lygiašonių trikampių naudojami lygiašoniai trikampiai, kurių pagrindo kampas yra nuo 60° iki 90°. Paveiksle kampas yra 88°.

c) Kvadrato variantas: kvadratai baigti.

H - fraktalas

Viskas prasideda nuo H raidės figūros, kurioje vertikalūs ir horizontalūs segmentai yra lygūs. Tada jo kopija, sumažinta perpus, pritvirtinama prie kiekvieno iš 4 figūros galų. Kiekviename gale (jų jau yra 16) pridedama H raidės kopija, jau sumažinta 4 kartus. Ir taip toliau.

Riboje jūs gaunate fraktalą, kuris užpildo tam tikrą kvadratą, taigiHTačiau fraktalas reiškia linijas, kurios užpildo dalį plokštumosbendras visų susidarančių segmentų ilgisH-fraktalas, begalinis.

Šis turtas H-fraktalai buvo plačiai naudojami elektroninių mikroschemų gamyboje: jei reikia, kad daug sudėtingos grandinės elementų vienu metu gautų tą patį signalą, jie gali būti išdėstyti tinkamos iteracijos segmentų galuose. H-fraktalą ir atitinkamai prijungtas.

Yra ir kitų fraktalų kreivių, kurios užpildo dalį plokštumos. Toks objektas pirmą kartą pasirodė italų matematiko Giuseppe Peano darbe 1890 m. Peano bandė rasti vaizdinį paaiškinimą, kad atkarpa ir kvadratas yra vienodo storio (jei laikysime juos taškų rinkiniais). Šią teoremą anksčiau įrodė vokiečių matematikas Georgas Cantoras, naudodamas savo sugalvotą aibių teoriją. Peano pavyzdys buvo geras Kantoro teisingumo patvirtinimas.

Kartais išraiška Peano kreivė nenurodo konkretus pavyzdys, bet į bet kurią kreivę, kuri užpildo dalį plokštumos arba erdvės.

Hilberto kreivę aprašė vokiečių matematikas Davidas Hilbertas 1891 m.

Kitas pavyzdys yra „Graikijos kryžiaus“ fraktalas:

Gosper kreivė arba Gosper snaigė (apibūdino amerikiečių matematikas ir programuotojas Billas Gosperas):

Pitagoro medis

Šis fraktalas vadinamas taip, nes kiekviena poromis besiliečiančių kvadratų trijulė riboja stačiųjų lygiašonį trikampį ir gaunamas paveikslėlis, dažnai naudojamas Pitagoro teoremai iliustruoti. Pitagoro kelnės vienodas visomis kryptimis“.

Aiškiai matyti, kad visas medis yra ribotas. Jei didžiausias kvadratas yra vienetas, tada medis tilps į 6 × 4 stačiakampį. Tai reiškia, kad jo plotas neviršija 24. Bet, kita vertus, kiekvieną kartą jis pridedamas du kartus daugiau trise kvadratų nei ankstesniame, o jų linijiniai matmenys yra kartų mažiau. Todėl kiekviename žingsnyje pridedamas tas pats plotas, kuris yra lygus pradinės konfigūracijos plotui, tai yra 2. Atrodytų, kad tada medžio plotas turėtų būti begalinis, bet iš tikrųjų ten yra čia nėra prieštaravimo, nes gana greitai kvadratai pradeda persidengti, o plotas didėja ne taip greitai. Jis vis dar ribotas, bet vis tiek tikslią vertę yra nežinoma ir yra atvira problema.

Jei Pitagoro medyje pakeisite kampus prie trikampio pagrindo, gausite šiek tiek kitokias medžio formas, vadinamus išpūstais Pitagoro medžiais. O 60° kampu visi trys kvadratai bus lygūs, o medis plokštumoje virs periodiniu raštu:

Levy kreivė

Nors šį objektą 1906 m. tyrinėjo italas Ernesto Cesaro, jo panašumą ir fraktalines savybes 1930-aisiais ištyrė prancūzas Paulas Pierre'as Levy.

Dėl panašumo į raidę „C“, parašytą spalvingu šriftu, ji dar vadinama Lewy kreive.

Jei atidžiai įsižiūrėsite, pastebėsite, kad Levy kreivė yra panaši į Pitagoro medžio vainiko formą.

Levy kreivės variantai

a) Iškreiptą kreivę gausime, jei vietoj lygiašonio stačiojo trikampio kiekviename žingsnyje naudosime kitą stačiakampį trikampį.

b) Kitas Levy C kreivės variantas gali būti sudarytas, jei pradedate ne nuo atkarpos, o su raide P. Pirmieji trys, aštuntas ir vienuoliktas šios kreivės konstravimo žingsniai parodyti žemiau:

c) Jei kaip pagrindą imsime kvadratą, gausime Levi salą:

Harteris – greitkelio drakonas

Manoma, kad šį pavadinimą fraktalas gavo dėl savo panašumo į tradicinius kinų drakonus.

Drakono fraktalas turi ir įdomią savybę: išpjaunant kelias drakono fraktalo formos plyteles, jas galima pastatyti viena šalia kitos taip, kad neliktų tarpų. Jei tokių plytelių yra daug, tuomet dalį plokštumos galite iškloti jomis:

3 priedas

Fraktaliniai ir topologiniai matmenys

Išsamiau panagrinėkime vieną iš fraktalų aibės savybių ir supažindinkime su topologinių ir fraktalų matmenų sąvokomis. Topologinis matmuo – tai koordinačių skaičius, reikalingas taško vietai figūroje nurodyti. Taigi, bet kuri linija (pavyzdžiui, apskritimas ar tiesė) yra vienmatė – pakanka vienos koordinatės tiksliai nurodyti tašką, o rutulio plokštuma ir paviršius yra dvimačiai. Dabar pažvelkime į fraktalinės dimensijos apibrėžimą.Atkreipkite dėmesį, kad jei paimsime du kvadratus, kurių kraštinės yra 1 ir 2, tada pirmasis kvadratas bus 4 kartus mažesnis nei antrasis. Taigi kvadrato matmuo yraD= 2 ir

Taigi, fraktalinis matmuo taip pat gali būti apibrėžtas taip: jei, kai pradinė figūra sumažinamaNkai ji telpa į saveMkartų, tada šios figūros matmuo yra skaičiusD, Kur

Raskime Kocho kreivės fraktalinį matmenį naudodami šį apibrėžimą. Atkreipkite dėmesį, kad Kocho kreivė susideda iš 4 dalių (viena iš jų paryškinta paveikslėlyje žemiau), kurių kiekviena yra panaši į visą kreivę, tačiau kiekviena iš šių dalių yra 3 kartus mažesnė už kreivę:

Tai yra, į šiuo atveju N = 3, M= 4. Šios lygties sprendimas:

mes tai randameD ≈ 1,261859...

Taigi, kadangi aukščiau aptartas fraktalas yra kreivė, jo topologinis matmuo yra 1, o fraktalo matmuo yra ≈ 1,261859... Taigi šios figūros fraktalinis matmuo yra didesnis už topologinį ir yra trupmeninis, kaip nurodyta savybėje .

4 priedas

Fraktalai gamtoje ir technologijose

Šiais laikais fraktalų teorija plačiai taikoma įvairiose srityse. žmogaus veikla. Fizikoje fraktalai natūraliai atsiranda modeliuojant netiesinius procesus, tokius kaip turbulentinis skysčio srautas, sudėtingi difuzijos ir adsorbcijos procesai, liepsnos, debesys ir pan. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijos produktuose. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir sistemoms apibūdinti. vidaus organai(kraujagyslių sistema). Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį.

Fraktalai informacijos teorijoje naudojami grafiniams duomenims suspausti (čia daugiausia naudojama fraktalų savipanašumo savybė - juk norint atsiminti nedidelį paveikslėlio fragmentą ir transformacijas, su kuriomis galima gauti likusias dalis, atminties reikia daug mažiau reikia, nei išsaugoti visą failą). Fraktalai taip pat naudojami fraktalų muzikai kurti ir duomenų šifravimui.

Radijo elektronikoje pastarąjį dešimtmetį pradėtos gaminti fraktalinės formos antenos. Užimdami mažai vietos, jie užtikrina aukštos kokybės signalo priėmimą.

O ekonomistai fraktalais apibūdina valiutos kurso svyravimo kreives (šią savybę Mandelbrotas atrado daugiau nei prieš 30 metų).

Tačiau fraktalai plačiausiai naudojami kompiuterinėje tapyboje, nes fraktalai yra nuostabiai gražūs ir paslaptingi geometriniai objektai, sujungiantys turtingą spalvų paletę, geometrinių formų įvairovę ir pakartojamumą.

5 priedas

Žaidimai su trikampiu ir Sierpinski kilimu

Sierpinskio trikampį laikome kompleksinės plokštumos poaibiu ir jam taikome įvairias kompleksinės plokštumos transformacijas. Pavyzdžiui, leiskite sukurti Sierpinskio trikampį vieneto segmentas tikroji ašis.

Ir dabar mes taikome inversijos transformaciją trikampio centro atžvilgiu kompleksinei plokštumai:. Tada gauname tokį vaizdą.

Žemiau yra nuotraukos, skirtosInversinė transformacija kilimo centro atžvilgiu turi formą Pasirodo, Sierpinskio trikampis gaunamas dėl vienos iš atsitiktinio taško ėjimo plokštumoje atmainų. Šis metodas vadinamas „chaoso žaidimu“. Su jo pagalba galite sukurti keletą kitų fraktalų.

„Žaidimo“ esmė yra tokia. Taisyklingas trikampis tvirtinamas plokštumojeA 1 A 2 A 3 . Pažymėkite bet kurį pradžios taškąB 0 . Tada atsitiktinai pasirinkite vieną iš trijų trikampio viršūnių ir pažymėkite taškąB 1 - atkarpos vidurys, kurio galai yra šioje viršūnėje ir tiesB 0 (dešinėje esančiame paveikslėlyje viršūnė buvo pasirinkta atsitiktinaiA 1 ). Tas pats kartojamas su taškuB 1 gautiB 2 . Tada jie gauna taškusB 3 , B 4 , ir tt Svarbu, kad taškas „šoktų“ atsitiktinai, tai yra, kad kiekvieną kartą trikampio viršūnė būtų pasirinkta atsitiktinai, nepaisant to, kas buvo pasirinkta ankstesniuose žingsniuose. Nuostabu, jei pažymėsite taškus iš sekosB i , tada netrukus pradės ryškėti Sierpinskio trikampis. Žemiau yra kas nutinka, kai pažymimi 100, 500 ir 2500 taškų.

6 priedas.

Matematiko Sierpinskio pasiekimų atkūrimas namuose

Matematikos grožis turi unikalią prigimtį, ir neįgudusiam pasauliečiui nėra lengva jį įvertinti. Bet tai įmanoma – pavyzdžiui, naudojant įspūdingą ir vizualiai akivaizdų fraktalų pavyzdį, su kuriuo praktikavosi grupė žmonių. Šie linksmi bičiuliai į namus, įskaitant virtuvę, perkėlė sudėtines geometrines figūras, turinčias panašumo.

Jie pasiskolino du garsius išradėjo vardu pavadintus fraktalus: Sierpinskio trikampį ir Sierpinskio kilimą. Pasinaudoję tuo, kad jų konstrukcija paremta paprastomis formomis ir suprantamu būdu, miklios entuziastų rankos griebėsi molio ir tešlos. Rezultatas buvo du produktai: molio skulptūros ir šokoladiniai sausainiai – visi su žingsnis po žingsnio instrukcijas Tipas „pasidaryk pats“.

Kaip matote, šiuo atveju Sierpinskio trikampis yra išlietas iš dviejų spalvų molio. Niekas netrukdo naudoti pigesnio plastilino, taip pat padidinti spalvų skaičių. Svarbiausia viską kruopščiai išmatuoti liniuote ir būti atsargiems. Ir metodas yra prieinamas vaikui, nes jis susideda iš tų pačių operacijų kartojimo. Teoriškai procesas yra begalinis, tačiau atliekant pratimą su moliu rekomenduojama apsiriboti šešiais pakartojimais: taip kontrastas vis tiek išlieka stiprus, o raštas tampa įspūdingas.

Kalbant apie Sierpinski kilimą, jo sukūrimo principas yra panašus į aukščiau parodytą trikampio konstrukciją, tačiau pritaikyti namuose tai dar mažiau sudėtinga. Todėl tikslinga ir žingeidi šeimininkė gali pasigaminti tokį fraktalą ne tik dėl grožio, bet ir dėl maisto – pavyzdžiui, naudodama dviejų rūšių tešlą.

Nuorodos

A. D. Morozovas „Įvadas į fraktalų teoriją“. Maskva, 2002 m.

E. Federas „Fraktalai“. „Pasaulis“, 1997 m.

R. M. Kronover „Fraktalai ir zaos dinaminėse sistemose“. Maskva, 2000 m

A. I. Azevičius „Fraktalai: geometrija ir menas“ // „Matematika mokykloje“. – 2005. – Nr.4.

Bozhogin S.V. Fraktalai ir multifraktalai.

Shlyk V.A. Per fraktalinę geometriją į naują pasaulio suvokimą.

Mandelbrotas B.B. "Fraktalinė gamtos geometrija".

Pasaulinis internetas.

6 skyriuje nagrinėjamos plokštumos Kocho kreivės, kurių matmuo yra , kuriose nėra dvigubų taškų, todėl jas galima vadinti savaime susikertančiomis arba nesusijusiomis. O 7 skyrius skirtas Peano kreivėms, kurių neišvengiama riba yra tankūs dvigubi taškai visur. Šiame skyriuje ketiname žengti kitą žingsnį ir ištirti keletą sąmoningai išsišakojusių panašių figūrų pavyzdžių: plokštumos kreivių (), erdvės kreivių () ir paviršių (). Dvigubų taškų skaičius šakotoje panašioje kreivėje linkęs į begalybę.

Šiame skyriuje naudojamas matematinis aparatas nėra naujas (nors žinomas labai nedaugeliui specialistų) – nauja yra mano taikymas gamtai apibūdinti.

Sierpinskio servetėlė – KITAS MONSTRAS

Sierpinski servetėlės ​​terminą pasiūliau reikšti paveiksle, pavaizduotame Fig. 205. Pav. 207 parodyta tos pačios figūros erdvinė versija. Jų konstravimo tvarka aprašyta paveikslų legendose.

Khane skaitome: „Kreivės taškas vadinamas šakos tašku, jei jo savavališkai mažos apylinkės riboje yra daugiau nei du taškai, priklausantis tam tai kreiva... Sveikas protas, matyt, tvirtina, kad jokia kreivė negali būti sudaryta tik iš... šakos taškų. Šį akivaizdų įsitikinimą paneigia... Sierpinskio kreivė, kurios visi taškai yra šakos taškai.

EIFELIO BOKŠTAS: JĖGA IR MALONE

Ir vėl Khanas klysta su savo pažiūromis, nors reikia pripažinti, kad jo nebūdingas žodžių pasirinkimas („matyt“) pasirodo labai išmintingas. Mano pirmasis kontrargumentas yra pasiskolintas iš inžinerijos pažangos. (Prieš pradėdamas diskutuoti apie kompiuterių struktūras 12 skyriaus pabaigoje, jau sakiau, kad nematau nieko nelogiško dirbtinės sistemos su sudėtinga struktūra virsta tikru kūriniu, skirtu gamtos reiškiniams.)

Aš tvirtinu, kad (ilgai prieš Kochą, Peano ir Sierpinskį) Gustavo Eifelio Paryžiuje pastatytas bokštas sąmoningai įkūnijo fraktalinės kreivės, turinčios daug šakų taškų, idėją.

Iš pradžių Eifelio bokštą sudaro keturi A formos elementai. Pasak legendos, Eifelis pasirinko raidę A, kad išreikštų žodį Amour savo bokšte. Visi keturi A formos elementai turi bendrą viršūnę, o gretimi A formos elementai turi bendrą kraštą. Be to, viršuje kyla dar vienas, tiesus bokštas.

Atkreipkite dėmesį, kad tiek A formos, tiek viršutinis bokštas yra pagaminti ne iš vientisų sijų, o iš milžiniškų santvarų. Santvara yra tvirtai pritvirtintas tarpusavyje sujungtų jungčių rinkinys, kurių kiekvienos negalima deformuoti nedeformavus bent vienos iš gretimų grandžių. Tokio pat stiprumo santvaros yra daug lengvesnės nei vientisos cilindrinės sijos. Ir Eifelis suprato, kad ūkiai, kurių grandys yra patys ūkiai, yra dar lengvesni.

Bakminsteris Fulleris atvėrė pasauliui akis, kad stiprybės paslaptis slypi šakojimosi taškuose, tačiau patyrę gotikinių katedrų statytojai apie tai žinojo gerokai anksčiau. Kuo toliau taikydami šį principą, tuo labiau artėjame prie Sierpinskio idealo! Buvęs studentas Besikovichas Freemanas Dysonas, ieškodamas tvirtų ir lengvų konstrukcijų savo tarpplanetiniams pastatams, kartą aprašė be galo ekstrapoliuotą Eifelio bokštą (, p. 646).

KRITINĖS PERKOLIACINĖS KLASTERIS

Vėl grįžkime prie gamtos, tiksliau – prie aprašyto gamtos vaizdo statistinė fizika. Manau, kad studijuodami perkoliaciją per groteles tiesiog negalime išsiversti be vieno iš Sierpinski servetėlių giminaičių. 13 skyriuje, kuris pradėjo šio precedento aptarimą, buvo teigiama, kad perkoliacijos klasteriai yra fraktaliniai. Dabar eisiu toliau ir pasakysiu, kad šakota Sierpinski servetėlės ​​struktūra yra labai perspektyvus stuburo klasterių struktūros modelis.

Fizikai šį modelį įvertins daugiausia už tai, kad jis veikia ir veikia greitai: darbe matyti, kad naudojant tokį modelį galima tiksliai atlikti įprastinius skaičiavimus. Detalės yra per daug techninės, kad jas būtų galima įtraukti į šį rašinį, bet priežastys, kodėl padariau tokias išvadas, gali būti įdomios. Pirmą kartą apie tai pagalvojau, kai pastebėjau Sierpinski servetėlės ​​ir klasterio stuburų panašumą, parodytą šiame paveikslėlyje:

Akivaizdžiausia priežastis yra trys palikti tušti pašalinus kabančias jungtis (susidarė po to, kai klasteris buvo sumažintas iki pagrindo) ir klasteriai, esantys visiškai klasteryje, kuris mane sudomino. Antroji priežastis: 13 skyriuje parodėme, kad panašumas į save yra aukščiausias laipsnis pageidautina geometrinio perkoliacijos klasterio modelio savybė, o Sierpinski servetėlės ​​išsišakojimas yra tiksliai panašus į save. Ir galiausiai, šių dviejų struktūrų matmenys yra tokie artimi, kad vargu ar tai gali būti tik atsitiktinumas! S. Kirkpatricko apskaičiavimu, plokščios grupės matmenys yra stebėtinai artimi Sierpinski servetėlės ​​matmenims! Erdvinio klasterio matmuo beveik sutampa su asimetrinio tinklo fraktaliniu matmeniu, kaip parodyta Fig. 207. Be to, parodoma, kad greitkelio ir apibendrintos servetėlės ​​matmens tapatumas išsaugomas . Dar vieną argumentą servetėlių modelio naudai pateiksime kiek vėliau paskutinio išsišakojimo pritaikymo forma.

SIERPINSKI TRINITY KILIMAS

Nuo trikampių gardelių pereikime prie stačiakampių. Jie demonstruoja platų galimų dizainų įvairovę – kreivės plokštumoje ir erdvėje bei paviršius erdvėje. Kalbant apie kreives, nepaisant jų išorinio panašumo į Sierpinski servetėlę, jos labai skiriasi nuo jos esminiu šakojimosi požiūriu, prie kurio grįšime apibrėžę šias kreives.

Pažodinis „Cantor“ metodo išplėtimas vidurinių trečdalių pašalinimui į plokštumą aprašytas paaiškinime Fig. 205; Tokios statybos iniciatorius – aikštė. Fraktalas, gautas be galo kartojant šį procesą, yra plačiai žinomas nekukliu Sierpinskio trijų dalių kilimu. Jos matmuo.

NE TREJYBĖS FRAKTALŲ KILIAI

Norėdami sukurti „kilimą su dideliu medalionu centre“, rašome, kaip įprasta, , kur yra sveikasis skaičius, didesnis nei 3; Paimkime kvadratą kaip iniciatorių, kvadratą, kurio kraštinė yra tame pačiame taške kaip trema, ir siaurą kvadratų žiedą su kraštine kaip generatorių. Tokio kilimo matmuo yra . Jei imsime nelyginį sveikąjį skaičių, kaip trema vieną kvadratą, kurio kraštinė yra r ir kurio centras yra tame pačiame taške kaip iniciatoriaus centras, ir kaip generatorių platų mažų kvadratų žiedą, gausime „kilimą su mažu medalionas centre“. Tokio kilimo matmuo yra . Taigi, centruotuose kilimuose galima savavališkai priartėti prie bet kurios vertės intervale nuo 1 iki 2.

Necentruoti kilimai apibrėžiami adresu . Pvz., Kada ir galite viršutiniame dešiniajame kvadrato kampe sudėti trima, kurią sudaro vienas kvadratas. Pasirodo, kad atitinkama riba yra Sierpinski servetėlė, sudaryta iš trikampio, sudarančio apatinę kairiąją kvadrato pusę.

TRINITY FRAKTALŲ PUTOS

Pažodinis trijų dalių kilimo išplitimas į kosmosą prasideda nuo vidurinio subkubo (27-osios pradinio kubo tūrio dalies) pašalinimo iš kubo kaip tremos, po kurio lieka 26 subkubų „apvalkalas“. Siūlau šios procedūros būdu gautą fraktalą vadinti trinare fraktalų puta. Jos matmuo.

Kiekvieną tremą iš visų pusių supa ištisinė riba, padalinta į begalinį skaičių be galo plonų sluoksnių begalinis tankis. Norėdami patekti iš taško, esančio viename trigubyje, į tašką, esantį kitame trigubyje, turite pereiti begalinį sluoksnių skaičių. Tai primena „erdvės ir laiko putas“, kurios, pasak J. A. Wheelerio ir J. W. Hawkingo, sudaro geriausią materijos struktūrą. Tačiau esu priverstas pripažinti, kad šios temos neišmanau pakankamai, todėl nedrįstu čia jos aptarinėti.

TRINITY FRACTAL MENGER KEMPINĖ

Carlas Mengeris siūlo kitą figūrą kaip drebėjimą: kryžių, iš kurio centro iš priekio ir galo kyšo iškilimas. Tokiu atveju kubas lieka sujungtas vienas su kitu subkubeliais, kurių kraštinė yra 1/3. Iš šių subkubų dvylika sudaro "strypus" arba virves, o likę aštuoni yra mazgai arba jungtys. Nustatytos ribos matmuo (žr. 208 pav.) yra . Šią struktūrą vadinu kempine, nes čia ir varškė, ir išrūgos yra sujungti rinkiniai. Galite įsivaizduoti, kaip vanduo laisvai teka tarp bet kurių dviejų taškų serumo srityje.

Norėdami gauti virvių ir lakštų derinį, paimkite trejybės kryžių, turintį tik vieną išsikišimą – priekyje. Ir jei tuo pačiu metu karts nuo karto pakeisite išsikišimo kryptį, tada galutinės konstrukcijos lakštai pasirodys pilni skylių. Galbūt čia verta paminėti, kad apie visas šias formas galvojau, kai ieškojau modelių, apibūdinančių audringą nutrūkimą – dar prieš tai, kai apie jas perskaičiau Mengeryje.

NE TREJYBĖS KEVENTĖS IR PUTOS

Norint gauti apibendrintas Menger kempines su ne trigubu pagrindu, trema turi būti trijų cilindrų su kvadratiniais pagrindais derinys, laikantis šių sąlygų: kiekvieno cilindro ašis turi sutapti su viena iš vienetinio kubo ašių, kiekvienas cilindras turi būti lygus 1, o jo pagrindo kraštinės turi būti lygiagrečios kitoms kubo ašims. Kuo ilgesnė pagrindo pusė, tuo „lengvesnė“ gaunama kempinė. Didžiausias galimas korpuso pagrindo kraštinės ilgis yra , generatorius šiuo atveju yra kubelių su šonu derinio formos . Taigi matmuo. Panašiu būdu gauname „tankią“ kempinę (tik nelyginei) - šiuo atveju cilindro pagrindo kraštinės ilgis yra lygus . Kai generatorius atrodo kaip kubelių derinys su šonu . Ir dabar matmenys yra vienodi .

Fraktalinės putos apibendrinamos panašiai. Su „tirštomis“ putomis jos suteikia matmenų , ir „retas“ - . Jei tuštumos yra didelės, o matmenys yra artimi 2, tada putos atrodo kaip per daug purus Ementalio sūris; su mažomis tuštumais, putos taip pat primena kitą gurmanišką sūrį - Appenzell.

TUŠTU DYDŽIO PASKIRSTYMAS

Kempinių trejetukai susilieja į vieną visumą, o kilimų ir putplasčio trejetukai yra viena nuo kitos izoliuotos tuštumos, tarsi pauzės Kantoro dulkėse (žr. 8 skyrių). Jų tiesinės skalės pasiskirstymas paklūsta taisyklei

,

kur yra konstanta. Šią taisyklę puikiai žinome iš 13 skyriaus aptarimo apie tuštumas Kantoro dulkėse, taip pat salas ir spiečius.

FRAKTALŲ TINKLO SAMPRATA. GROTOS

Standartinėje geometrijoje gardelė yra lygiagrečių linijų, ribojančių vienodus kvadratus, trikampius ar kitas įprastas figūras, rinkinys. Tas pats terminas, matyt, galioja ir įprastiniams fraktalams, kurių bet kurie du taškai gali būti sujungti vienas su kitu dviem skirtingais keliais, kurie niekur kitur nesikerta. Esant netaisyklingam – pavyzdžiui, atsitiktiniam – fraktalui, gardelę pakeičiau tinklu.

Atidesnis standartinių ir fraktalinių gardelių palyginimas atskleidžia labai reikšmingus skirtumus. Pirmasis yra tas, kad standartinės gardelės yra nekintamos, bet ne mastelio, o fraktalų gardelės yra atvirkščiai. Antrasis skirtumas: kai standartinės gardelės ląstelės dydis mažėja, gardelė galiausiai susilieja į plokštumą. Be to, kai kurias standartines gardeles galima interpoliuoti įdedant papildomas eilutes viduryje tarp esamų eilučių ir tęsiant šį procesą iki begalybės. Šiuo atveju gardelė taip pat susilieja į plokštumą. Panašiai, jei įmanoma standartinės erdvinės gardelės interpoliacija, visa erdvė tampa jos riba. Tai yra, standartinės gardelės riba nėra gardelė. Fraktalų atveju situacija yra visiškai priešinga: apytikslės fraktalų gardelės riba yra fraktalų gardelė.

Šis terminas tinka ir fraktalų putoms – jas galima laikyti šakotomis fraktalų gardelėmis.

SEKCIJŲ FRAKTALINIAI MATMENYS

Pagrindinė taisyklė. Daugeliu atvejų, tiriant fraktalus, svarbu žinoti tiesinių ir plokštuminių pjūvių matmenis. Pagrindinis pastebėjimas čia (jį naudojome 10 skyriuje norėdami parodyti, kad turbulencijos matmuo) yra susijęs su plokštumos fraktalo figūros pjūviu intervalu „nepriklausomai nuo fraktalo“. Pasirodo, jei sekcija nėra tuščia, tada jos matmuo „beveik neabejotinai“ yra lygus .

Atitinkama erdvinio atvejo reikšmė yra .

Išimtys. Deja, šį rezultatą labai sunku iliustruoti, kai kalbama apie neatsitiktinius fraktalus, turinčius simetrijos ašis. Intervalai, į kuriuos pirmiausia atkreipiame dėmesį, yra lygiagrečiai šioms ašims ir dėl to yra netipiški, todėl beveik bet kuri paprasta atkarpa kokiu nors kitu intervalu priklauso išskirtinei aibei, kuriai bendroji taisyklė netaikoma.

Paimkite, pavyzdžiui, Sierpinski kilimą, Menger trijų dalių kempinę ir trijų dalių putas. Vertė, kuri beveik neabejotinai turėtų būti sekcijos matmuo plokščia figūra segmentas, atitinkamai bus lygus:

Sierpinskio kilimo y ašiai lygiagrečio intervalo abscises pažymėkime x. Jei skaičius, parašytas trinare skaičių sistemoje, baigiasi begaline nulių ir dviejų seka, tada pačios atkarpos reiškia intervalus, o tai reiškia, kad jie yra didesni, nei tikėjomės. Jei x baigiasi begaline vienetų seka, tai sekcijos yra dulkėtos Cantor rinkiniai, kurių matmuo yra per mažas. Ir jei jis baigiasi periodine periodo seka, įskaitant vienetus ir nulius arba du, tada sekcijų matmuo turi formą . Tikėtina vertė gaunama tik .< То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа . Таким образом, мы получаем три различных размерности - наибольшую, наименьшую и среднюю.

Labai panašūs rezultatai gaunami erdviniu atveju.

Kalbant apie Sierpinski servetėlę, greičiausiai jos dydis yra tačiau "natūralių" sekcijų matmenų reikšmės svyruoja nuo 1 iki 0. Pavyzdžiui, jei trumpas intervalas, einantis per vienos iš servetėlės ​​kraštų vidurį, yra pakankamai arti statmenos, tada jo sankirta su servetėle bus vienas taškas (sekcijos matmuo).

Šių specialių skyrių įvairovė iš dalies paaiškinama originalių figūrų taisyklingumu. Kita vertus, ekonomiškiausia atkarpa (ir nebūtinai tiesi linija) neišvengiamai sudaro topologinio matmens ir šakojimosi laipsnio sąvokų pagrindą, į kurį dabar kreipiamės.

ŠAKOTIEJI FRAKTALAI KAIP KREIVĖS IR PAVIRŠIAUS

Kaip jau minėjome, terminas „kreivė“ šiame rašinyje vartojamas kaip frazės „susijusi figūra su topologiniu matmeniu“ atitikmuo. Paprastai tariant, tokia formuluotė matematikui atrodo ne visai patenkinama, tačiau tikslios šios sąvokos išraiškos yra labai subtilios. Laimei, 6 skyriuje, norint paaiškinti, kodėl bet kuri Kocho kreivė su iniciatoriumi nusipelno kreivės pavadinimo, pakako vieno paprasto svarstymo: kaip ir pats intervalas, Kocho kreivė yra sujungta, bet atsijungia, kai yra bet kuris jai priklausantis taškas. pašalinta išskyrus 0 ir 1 O snaigės riba šiuo atžvilgiu panaši į apskritimą – ji yra sujungta, bet atsijungia, jei pašalinami bet kurie du jos taškai.

Pedantiškiau tariant (kaip dabar turėtume), topologinė dimensija apibrėžiama rekursyviai. Už tuščią rinkinį. Bet kurio kito rinkinio vertė yra viena didesnė už mažiausią rinkinį skiriančios „skilties“ matmenį. Baigtinių ir Cantor dulkių rinkinių matmenys yra , nes norint juos atskirti, reikia išimti tuščią rinkinį. Pašalinus „skyrius“ su matmenimis, atsijungia šie sujungti rinkiniai: apskritimas, intervalas, Kocho snaigės riba, Sierpinski servetėlė ir kilimas, Menger kempinės. (Paskutiniais trimis atvejais pakanka vengti specialių sekcijų, kuriose yra intervalai.) Vadinasi, visų išvardytų aibių matmuo yra .

Remiantis tais pačiais samprotavimais, fraktalinės putos yra paviršius, kurio matmenys yra .

Panagrinėkime kitą įrodymo versiją, kad servetėlėms visi kilimai ir visos kempinės su topologiniu matmeniu . Kadangi yra sveikasis skaičius , tai iš nelygybės išplaukia, kad ji turi būti lygi 0 arba 1. Tačiau nagrinėjamos aibės yra sujungtos, o tai reiškia, kad matmuo negali būti mažesnis už 1. Vienintelis sprendimas yra: .

KREIVĖS IŠSIŠAKĖJIMO LAIPSNIS

Topologinis matmuo ir atitinkamos dulkių, kreivės ir paviršiaus sąvokos suteikia mums tik pirmo lygio klasifikaciją.

Tiesą sakant, du baigtinės aibės, kuriuose yra atitinkamai taškai, turi tą patį matmenį, bet skiriasi topologiškai. Ir Kantoro dulkės skiriasi nuo bet kokių baigtinių dulkių.

Pažiūrėkime, kaip galime pritaikyti lygiagretų skirtumą kreivėms pagal aibėje esančių taškų skaičių (< его «мощности» ), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике - любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

Išsišakojimo laipsnio sąvoka apima aibės skyrių, kuriame yra mažiausias taškų skaičius, kurį reikia pašalinti norint atskirti aibę. Be to, jis apima visų rinkiniui priklausančių taškų apylinkes.

Apskritimas. Norėdami sklandžiai pereiti nuo standartinės į fraktalinę geometriją, pradėkime 1 spindulio apskritimą pavadindami aibe. Diskas, apribotas apskritimu, vadinamas taško kaimynyste. Taigi bet kuris taškas yra kokioje nors savavališkai mažoje kaimynystėje, kurios riba susikerta taškuose. Tai viskas: jei taško bendrosios apylinkės riba, nebūtinai apvali, bet "ne per didelė", tada lygi bent 2. Žodžiai "ne per didelis" ankstesniame sakinyje neabejotinai gali sukelti painiavą. , deja, jų išvengti neįmanoma. Reikšmė vadinama apskritimo šakojimosi laipsniu. Atkreipkite dėmesį, kad visuose apskritimo taškuose ši vertė yra pastovi.

Servetėlė. Tarkime, kad rinkinys yra Sierpinski servetėlė, pagaminta naudojant tris. Čia jau ne visiems taškams vienodai. Leiskite naudoti Sierpinskio samprotavimus, kad parodyčiau, kad visuose aibės taškuose, išskyrus iniciatoriaus viršūnes, reikšmė gali būti arba arba.

Reikšmė nurodo bet kokio baigtinio aproksimavimo, naudojant trikampius, viršūnes. Tvarkos aproksimacijos viršūnė yra dviejų trikampių, kurių kraštinės ilgis yra 2, bendra viršūnė. Apskritimai su centru taške ir spinduliu (at ) kerta aibę 4 taškuose ir jungia savavališkai mažas taško apylinkes. Ir jei jis riboja „pakankamai mažą“ taško apylinkę (atsižvelgiant į tai, kad iniciatoriaus viršūnės yra išorėje), tada galima parodyti, kad ji kertasi bent 4 taškuose.

Reikšmė apibūdina bet kurį aibės tašką, kuris yra begalinės trikampių sekos riba, kurių kiekvienas yra prieš jį esančiame trikampyje ir kurio viršūnės skiriasi nuo pirmtako viršūnių. Aplink šiuos trikampius aprašyti apskritimai kerta aibę 3 taškuose, apribodami savavališkai mažas taško apylinkes. Tokiu atveju, jei jis riboja pakankamai mažą taško kaimynystę (iniciatoriaus viršūnės taip pat turi būti išorėje), tada galima parodyti, kad jis susikerta bent 3 taškuose.

Kilimai. Kai rinkinys yra Sierpinski kilimas, gauname radikaliai skirtingą rezultatą. Bet kurios pakankamai mažos kaimynystės ribos sankirta reiškia nesuskaičiuojamai begalinį taškų rinkinį, neatsižvelgiant į parametrus , arba .

komentuoti.Šioje baigtinėje/begalinėje dichotomijoje servetėlės ​​mažai skiriasi nuo standartinių kreivių, o kilimai nesiskiria nuo plokštumų.

Vienodumas. Unikalumas.Žymėdamas mažiausiomis ir didžiausiomis reikšmėmis, kurias galima pasiekti aibei priklausančiame taške, Urysonas įrodo, kad . Šakymasis vadinamas homogenišku, jei lygybė tenkinama, tai atsitinka, kai , kaip paprastose uždarose kreivėse, arba kai .

Kitoms grotelėms kur , siūlau terminą kvazihomogeninis. Paprasčiausias ir žinomiausias tokių grotelių pavyzdys yra į save panaši Sierpinski servetėlė. Kiti neatsitiktiniai pavyzdžiai yra įtraukti į Uryson surinktą rinkinį (žr.) ir nėra panašūs. Taigi kvazihomogeniškumo ir savęs panašumo sąlygas vienu metu tenkina tik vienas žinomas rinkinys – Sierpinski servetėlė. Ar galima griežtai patvirtinti šį, matyt, unikalumą?

Standartinės grotelės.Čia šakojimosi laipsnis svyruoja nuo minimalios 2 vertės visiems gardelės taškams, išskyrus mazgus, iki kintamos galutinės didžiausios vertės, pasiekiamos gardelės mazguose: 4 (kvadratinė gardelė), 6 (trikampė arba kubinė gardelė) arba 3 (šešiakampė gardelė). ). Tačiau mažėjant bet kokio tipo standartinės gardelės ląstelės dydžiui, ji iš kreivės virsta plokštuma, o šakojimosi laipsnis linkęs į begalybę.

Pastarasis tampa akivaizdesnis, jei fiksuoto langelio dydžio gardelėje be galo mažą pakeisime be galo dideliu. Norint atskirti vis didėjantį grotelių plotą, reikės kirsti be galo daug taškų.

Formalus apibrėžimas. < См. и , с. 442.

PRAKTINIAI ŠAKALŲ TAIKYMAI

Užduokime sau įprastą klausimą. Kad ir kiek matematikus domintų Sierpinskio, Mengerio ir panašios figūros, ar neakivaizdu, kad gamtą studijuojančiam žmogui šakotumo laipsnis negali domėtis? Atsakymas toks pat pažįstamas – jums ir man! - kaip klausimas. Išsišakojimo laipsnis tampa reikšmingas jau „ realus pasaulis» baigtinės aproksimacijos, gautos sustabdžius interpoliaciją, vedančią į fraktalą ties tam tikru teigiamu baigtiniu vidiniu slenksčiu.

Tiesą sakant, jei pateikiamas Sierpinski servetėlės ​​aproksimavimas, sudarytas iš užpildytų trikampių, kurių kraštinės ilgis , tada galima atskirti sritį tiesinė skalė kuris viršija , paprasčiausiai pašalinus tris ar keturis taškus, kurių kiekvienas priklauso ribai tarp dviejų gretimų tuštumų. Šis skaičius (3 arba 4) nesikeičia, nes aproksimacija tobulėja. Todėl šakojimosi požiūriu visi servetėlių aproksimacijos gali būti laikomi kreivėmis.

Visi kilimai, priešingai, turi bendrą savybę: nė viena tuštumų pora neturi bendros ribos. Norint atskirti baigtinį tokios figūros aproksimaciją, kai atsižvelgiame į tuštumas, mažesnes nei , reikia pašalinti ištisus intervalus. Ir šių intervalų skaičius didėja kaip . Wyburn parodė, kad visos fraktalų kreivės, turinčios šią savybę, yra topologiškai identiškos (< гомеоморфны ) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.

Atsižvelgiant į ankstesnes pastabas, nenuostabu, kad šakojimo baigtinumas randa tokias akivaizdžias ir aiškiai apibrėžtas taikymo sritis tais atvejais, kai fraktalų geometrija turi detaliai nustatyti, kokia proporcija plokštuminė fraktalinė kreivė sujungia du savo standartus. ribos: tiesios ir plokštumos. Apibendrinant galime pasakyti, kad žinoti kreivės fraktalinį matmenį jokiu būdu nepakanka. Pavyzdžiui, tirdami kritinius Ising modelių reiškinius fraktalinėje gardelėje, darbo autoriai nustatė, kad svarbiausi rezultatai (< будь то при нулевой или при положительной температуре ) непосредственно зависят от конечности величины .

Dabar atėjo laikas pateikti paaiškinimą, kuriam anksčiau nebuvome pasiruošę. Priežastis, kodėl klasterio stuburas kritinėje Bernoulli perkoliacijoje yra geriau modeliuojamas naudojant Sierpinski servetėlę, o ne kilimą, paaiškinama kitame Kirkpatricko atradime. Net ir itin didelėse gardelėse kritinę liniją galima atjungti pašalinus tam tikrą, iš esmės nepakitusią, nedidelį jungčių skaičių (2 eilės reikšmės). Net ir atsižvelgiant į visus galimus nukrypimus, šis atradimas man atrodo labai įtikinamas įrodymas, kad .

ALTERNATYVI IŠSIŠAKIMO FORMA

Yra du Koch snaigės variantai, kurie šakojasi nesudarant kilpų. Pirmasis yra plokščia kreivė, kurios iniciatorius yra kvadratas, o generatorius atrodo taip:

Kaip matote iš paveikslo, gauta kreivė visai neprimena snaigės:

Kitas pavyzdys yra paviršius, kurio tūris yra nulinis, plotas begalinis ir matmuo lygus . Iniciatorius yra taisyklingas tetraedras. Prie kiekvieno veido vidurinio ketvirčio (t. y. prie trikampio, kurio viršūnės yra briaunų, ribojančių veidą, vidurio taškai) pritvirtintas kitas tetraedras, kurio linijiniai matmenys yra per pusę. Procedūra kartojama su kiekvienu gauto taisyklingo (asimetriško ir neišgaubto) 24 pusių veido veidu, o po to vėl ir vėl iki begalybės. Nuo antrojo statybos etapo pridėti tetraedrai vienas kitą liečia veidais be susikirtimų. Galų gale jie užpildo visą iniciatoriaus paviršių. Kiekvieną šios struktūros ketvirtį, išaugintą ant vieno iš iniciatoriaus veidų, pavadinkime Kocho piramide.

KOCH PIRAMIDĖS PASLAPTYS

Kocho piramidė išties nuostabi – žiūrint iš viršaus, jos forma labai paprasta, tačiau joje yra daug slaptų praėjimų ir kamerų, kurios nustebins net drąsiausią vaizduotę.

Žiūrint iš viršaus, Kocho piramidė yra tetraedras, kurio pagrindas yra lygiakraštis trikampis. Kiti trys paviršiai yra tiesūs lygiašoniai trikampiai, sujungti viršūnėmis stačiu kampu. Jei trims paviršiams pritaikysime tris Kocho piramides taisyklingas tetraedras, tada gausite paprastą kubą.

Dabar pakelkime savo piramidę aukštyn ir nukratykime dykumos smėlį. Žvelgdami į jo pagrindą iš tam tikro atstumo matome, kad jis padalintas į keturis vienodus lygiakraščius trikampius. Tačiau vietoje vidurinio trikampio yra skylė, vedanti į „pirmosios eilės kamerą“, kuri turi taisyklingo tetraedro formą, kurios ketvirtoji viršūnė sutampa su piramidės viršūne. Priėję arčiau ir turėdami galimybę pamatyti smulkesnes detales, atrandame, kad tiek taisyklingieji trikampiai, esantys pagrindo kampuose, tiek viršutiniai kraštai Pirmosios eilės kameros taip pat nėra lygūs paviršiai. Jų lygumą sutrikdo antros eilės tetraedrinės kameros. Panašiai, nagrinėdami antros eilės kameras, matome, kad kiekvienos trikampės sienos viduryje yra trikampė skylė, vedanti į trečios eilės kamerą. Kuo giliau neriame į piramidę, tuo mažesnės kameros atsiveria mūsų akims, ir pabaigos nematyti.

Visų kamerų tūrių suma tiksliai lygi visos Kocho piramidės tūriui. Kita vertus, jei darysime prielaidą, kad kamerų pagrindai yra šių kamerų dalis, o kiti trys paviršiai nėra, tada paaiškėja, kad kameros nesusikerta nė viename taške. Jei mūsų piramidės statytojai būtų turėję uolos storyje išgraužti kameras, jie būtų turėję pašalinti visą uolą, palikdami tik ploną apvalkalą. Kreivė, kuria Kocho piramidė remiasi į plokštumą, ir kamerų „sienos“ yra Sierpinskio servetėlės.

RUFINIAI IR GRANDELĖS

Darbo autoriai nejučiomis svariai prisidėjo prie fraktalinės geometrijos, bandydami užpildyti rutuliais, kurių kiekvieno spindulys turi formą , kur ; spindulio rutuliukų skaičius tūrio vienete turi formą) ir pan. Šis dizainas reiškia šias viršutines vertės ribas

SKELBIMAS: LACUNARITY

Net po to, kai prie matmenų pridedame šakojimosi laipsnį, fraktalas daugeliu atžvilgių lieka netinkamai apibrėžtas. Ypač svarbi yra dar viena papildoma savybė, kurią pavadinau blankumu. Tuštumos labai lakūniškame fraktale turi labai didelio dydžio, ir atvirkščiai. Čia būtų galima pateikti pagrindinius apibrėžimus, bet man atrodo, kad tikslingiau tai atidėti iki 34 skyriaus.

Ryžiai. 205. SIERPINSKI RODYKLĖ (RIBĖS MATMENYS D ~1,5849)

Sierpinskis jis sukonstruoja kreivę, kurios iniciatorius yra intervalas, o generatorius ir antrasis teragonas atrodo taip:

Tolesni statybos etapai yra tokie:

Kaip ši kreivė atrodys vienoje iš vėlesniuose etapuose konstrukciją, galite susidaryti idėją pažvelgę ​​į „pakrančių linijos“ kontūrą paveikslo viršuje. 205 (virš didžiausio juodo trikampio).

Savęs liečiantis. Baitinės kreivės aproksimacijos neturi savaiminio liestinio taškų (kaip 6 skyriuje), tačiau ribinėje kreivėje yra begalinis tokių taškų skaičius.

Lėktuvą užpildančios rodyklės. Rodyklė pav. 205 (jei paguldysite jį ant šono, ji labiau atrodys kaip atogrąžų žuvis) apibrėžiamas kaip Sierpinskio kreivės atkarpa tarp dviejų nuoseklių grįžimų į savęs prisilietimo tašką – šiuo atveju intervalo vidurį. Tokios rodyklės gali užpildyti plokštumą; o gretimos rodyklės yra sujungtos viena su kita, kaip beprotiška Velcro užsegimo ekstrapoliacija. (Arba, grįžus prie ankstesnės metaforos, vienos žuvies pelekai tiksliai telpa tarp dviejų kitų žuvų pelekų.) Be to, sujungę keturias tinkamai parinktas gretimas strėles, gauname lygiai tokią pačią, dvigubai didesnę strėlę.

Trys Sierpinski servetėlės. Sierpinski servetėlių kreivę vadinu alternatyviu jos sudarymo būdu, kuris pagrįstas „trijų“ iškirpimu – metodu, plačiai naudojamu 8 ir 31–35 skyriuose. Mes gauname Sierpinski servetėlę kaip iniciatorių: generatorius ir du sekantys statybos etapai uždari komplektai:

Šiame trema generatoriuje kaip atskiras poaibis yra aukščiau pateiktas tiesinis generatorius.

Vandens baseinas. Pirmą kartą su Sierpinskio strėle susidūriau – nors apie Sierpinskį dar nežinojau – tyrinėdamas vienos baseino formą.

Ryžiai. 207. ASIMMETRINIS FRAKTALŲ TINKLAS (DIMENSIJA)

Šis tinklas gaunamas rekursyviai sukonstruojant uždarą tetraedrą (iniciatorių) ir keturių mažesnių tetraedrų rinkinį (veikiantį kaip generatorius).

Jos matmuo. Pabandykime projektuoti jį išilgai linijos, jungiančios bet kurios priešingų briaunų poros vidurio taškus. Iniciatoriaus tetraedro projekcija bus kvadratas, kurį vadinsime pradine. Kiekvienas antrosios kartos tetraedras projektuojamas į subkvadratą, kurio kraštinės ilgis yra 1/4 pradinio kvadrato kraštinės ilgio ir tt Taigi visas tinklas projektuojamas ant pradinio kvadrato. Subkvadratų ribos sutampa.

Ryžiai. 208. SIERPINSKI KILIMAS (MATMENYS) IR MENGER KEMPINĖ (DIMENSIJA)

Sierpinski kilimas. Sierpinskis sukonstruoja kreivę, kurios iniciatorius yra vientisas kvadratas, o generatorius ir kiti du teragonai pateikiami žemiau:

Tokio kilimo plotas nyksta, o bendras jo tuštumų perimetras linksta į begalybę.

Ryžiai. 208. Mengerio kempinė. Konstravimo principas yra akivaizdus. Tęsdami konstrukciją ad infinitum, gauname tam tikrą likutį, vadinamą Mengerio kempine. Apgailestauju, kad ankstesniuose savo rašiniuose jos autorystę klaidingai priskyriau Sierpinskiui. (Paveikslėlis paimtas iš Leonardo M. Blumenthal ir Carlo Menger knygos „Geometric Studies“ su maloniu jos leidėjų W. H. Freeman & Co. © 1970 leidimu.) Kempinės sankirtos su pradinio kubo medianomis arba įstrižainėmis yra trijų dalių Cantor rinkiniai.

Susijungiančios salos. Ir kilimą, ir Sierpinski servetėlę galima gauti kitu būdu – dar vieną Kocho rekursijos apibendrinimą, leidžiantį savaime sutapti, tačiau į tai atsižvelgiama tik vieną kartą.

Norėdami gauti servetėlę, iniciatorius turėtų paimti taisyklingą trikampį, o generatorius - paveikslą, pavaizduotą kairėje žemiau esančiame paveikslėlyje. Norėdami gauti kilimą, kaip iniciatorių imsime kvadratą, o dešinėje parodyta figūra bus generatorius.

Čia vėl susiduriame su dviem mums pažįstamais iš 13 skyriaus reiškiniais: kiekvienos salos pakrantė yra ištaisoma, todėl jos matmuo yra 1, o servetėlės ​​ar kilimo matmuo išreiškia žemės suskaidymo laipsnį (ty laipsnį). jos padalijimo į salas), o ne salų pakrančių nelygumo laipsnį.

Priešingu atveju rezultatas yra visiškai naujas: 13 skyriuje jūra yra sujungtas rinkinys, kuris atrodo kaip tinkama atviros jūros erdvės topologinė interpretacija. Ji taip pat yra atvira aibių topologijos prasme, tai yra, jos riba jai nepriklauso. Šios konstrukcijos naujovė slypi tame, kad Kocho salos dabar gali asimptotiškai „susilieti“ į kažkokią ištisinę supersalą, tačiau žemynas iš jos neišnyra, o pakrantės kartu sudaro gardelę.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. , с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности.

Ryžiai. 210. SKILDYMAS SNIEGO KAMEROSE (D MATMENYS ~1,8687)

Seniai tolimoje šalyje, nuostabiuose Sniego rūmuose, Didysis Valdovas sėdėjo su savo palyda. Tačiau tarp jo pavaldinių įvyko skilimas, po kurio prasidėjo karas, kuriame nė viena pusė neįgijo pranašumo. Ir tada Išmintingieji vyresnieji nubrėžė ribą, kuri padalijo rūmus į dvi dalis, kad į juos galėtų patekti ir Šiaurės, ir Pietų atstovai, nebijodami patekti į priešišką teritoriją.

Labirinto paslaptys. Kas valdo Didžiąją kamerą ir kaip į ją galima patekti iš išorės? Kodėl kai kurios mažos kameros nėra orientuotos į bet kurią pasaulio pusę? Užuominą galima rasti beždžionių medyje pav. 55.

Pirmiausia pakalbėkime apie paradoksaalias su kilimais susijusias problemas.

Pirmoji užduotis vadinama „šiek tiek apie įkandimą“.

Įsivaizduokite, kad turite dresuotų žiurkių – jos išmoko nukąsti lygiai pusę turimo sūrio. Jei išleisite juos į sūrį ne kaip visą kekę, o po vieną, tada kiekviena kita žiurkė nugraužs pusę to, kas liko, o likusi dalis mažės ir mažės su kiekviena žiurke, įkandusia sūrį. Bet jei turite begalinis skaičiusžiurkės, tai galų gale (juokingai skamba kalbant apie begalybę, bet nuoširdžiai) iš sūrio nieko neliks. Išties pirmasis suvalgo pusę sūrio, antrasis – ketvirtadalį, t.y. pusė pusės, trečdalis – aštuntoji, t.y. pusė iš pusės iš pusės. Viskas, kas suvalgoma, laikoma taip: .

o tai reiškia, kad iki begalybės pabaigos žiurkės suvalgys visą sūrį, kurį joms davėte.

Bet jei išmokysite graužikus nukąsti trečdalį visų grynųjų pinigų, viskas bus šiek tiek sudėtingiau. Pirmasis suvalgys trečdalį. Tačiau antrasis – ne vienas devintas. Kodėl?

Paaiškinimas gana paprastas. Pirmai žiurkei suvalgius savo dalį, liko sūrio, vadinasi, antroji žiurkė valgys nuo, t.y. . Treti, kaip galima paskaičiuoti, valgys iš t.y. , ketvirtasis – iš, t.y. Ar supranti principą? Galiausiai iš sūrio nieko neliks.

Dabar įsivaizduokite, kad sūrį padalinote per pusę, o viena dalis (pusės, bet žiurkės apie tai nežino) buvo paskelbta uždrausta - pavyzdžiui, apibarstyta nuodais - ir žiurkėms buvo leista nukąsti pusę sūrio. antra. Kaip atspėjote, iš leistinos pusės nieko neliks, o visa uždrausta pusė liks.

Ypatingai įdomus toks žiurkių dresavimas, kai nuodais neužbarstai nei vienos sūrio pusės, bet vis tiek kažką gauni (tai tam, kad neapsinuoditum). Norėdami tai padaryti, pavyzdžiui, galite išmokyti žiurkes nukąsti pradinį sūrio kiekį. Pasibaigus nesibaigiantiems pietums, žiurkės jums paliks 1/3 sūrio – tai apskaičiuojama taip:

Mūsų atveju iš penkių reikia atimti du, gauni tris, o padalijus vieną iš trijų, gauni vos trečdalį.

Jei dėl kokių nors priežasčių praleidote šį numerį, grįšite prie jo po kelių minučių. Arba metų. Arba perskaičius įrašą. Arba antriniu skaitymu. Arba kitame gyvenime. Juk žmogus tobulumo pasiekia tik tada, kai viename iš praeitų gyvenimų buvo matematikas.

Bet net jei prie skaičių grįšite tik kitame gyvenime, neišvengiamai prisiminsite tai: .

Antroji užduotis vadinasi „Šiek tiek apie padalijimą“.

Įsivaizduokite, kad nusprendėte ant sienos pakabinti lėkštę. Namuose nėra nei klijų, nei juostos – tik vinys. Bandai prikalti lėkštę, ir, žinoma, ji suskyla į keletą dalių. Be to, toje vietoje, kur pataikėte į vinį, dalis plokštelės visiškai sutrupėjo.

Bet tu esi atkaklus. Ir jūs stengiatės prikalti kiekvieną plokštelės gabalėlį prie sienos. Galbūt paimkite mažesnius nagus. Žinoma, kiekviena iš fragmentų subyra į savo smulkesnius fragmentus, o buvusių fragmentų viduryje kažkas negrįžtamai subyra. Tebūnie taip.

Jei būsite be galo atkaklūs ir bandysite prikalti nuo begalės bandymų susidariusias skeveldras, neliks lėkštės gabalėlio, kuris nebūtų pramuštas vinimi ir nebūtų sutrupėjusios skylės. Bet, kaip jau galima spėti, visai nebūtina, kad iš lėkštės nieko neliks. Viskas priklauso nuo to, kaip treniravote nagus. Jei jie neatskiria per daug plokštelės, tada bendras susmulkintos plokštės plotas gali būti mažesnis nei likusių fragmentų plotas. O gal daugiau – svarbiausia, kad ji to padarys mažiau ploto visą buvusią plokštelę.

Lenkų mokslininkas Waclawas Sierpinskis (1882-1969) nedresavo žiurkių ir nelaužė lėkščių. Jis buvo matematikas. O garsiausias jo siurrealistinis-matematinis veiksmas buvo drožyba ant servetėlių ir kilimų.

1 pav. „Servetėlė“ 2 pav. Kilimas

Du labiausiai garsios figūros, išrastas Sierpinskio - „servetėlė“ (trikampis, iš kurio paeiliui išpjaunami vis mažesnio dydžio trikampiai, kurių kiekvieno plotas keturis kartus mažesnis už ankstesnį) ir kilimas (kvadratas su kvadratų pjūviu, kiekvienas kvadratas, kurio plotas devynis kartus mažesnis nei ankstesnis).

Gautos figūros plotas po begalinio skaičiaus kirtimų - tiek servetėlės, tiek kilimo - yra lygus nuliui. Ir tai nėra tiksliai skaičiai. Čia turėtume sustoti ir suformuluoti skirtumą tarp figūros ir linijos. Viena vertus, atrodo, kad figūra turi plotą, bet linija neturi. Euklidas taip pat rašė, kad linija yra ilgis be pločio, o kas yra plotas be pločio? Jokios laisvės! Tačiau matematikai tuo nebuvo patenkinti ir nusprendė išsiaiškinti, ką reiškia „be pločio“. Ir mes sutarėme: jei pasirinksime tašką ir apibūdinsime apskritimą be ribos aplink šį tašką (matematikai tai vadina kaimo žodžiu „kaimynystė“), o tada pradėsime jį mažinti, tada jei anksčiau ar vėliau visa apylinkė pateks į vidų. tai kažkas, tada tai buvo figūra. Ir jei šalia visada yra „svetimų“ taškų, tai buvo kažkokia linija.

Taigi čia yra. Kadangi Sierpinskio kilimai ir servetėlės ​​yra suskilusios, kaip ir mūsų lėkštė, vis mažesnės ir mažesnės, o kiekvieno fragmento centre yra „trupėjusi“ zona su nesibaigiančiais skaldymais ir skilimais, „tuštumos“ pateks į bet kurį išsaugotą tašką. Sierpinskio figūra. Taigi tai yra eilutė. Na, taip, viskas yra taip, kaip turi būti: tai yra sumaniai susivėlusi linija, o linijos plotas lygus nuliui.

Bet jei iš kilimo iškirpsite šiek tiek mažesnio ploto kvadratus, gali pasirodyti, kad likusios dalies plotas bus didesnis nei nulis. Tarkime, jei pirmiausia išmesite vieną dvidešimt penktadalį (kvadratą, kurio kraštinė penkis kartus mažesnė už pradinę), tada aštuonis kvadratus, dvidešimt penkis kartus mažesnius nei iškirpta pirmuoju žingsniu, tada šešiasdešimt keturis. mažesnės penkis kartus mažesnės... žodžiu, prisiminkite ką aš siūliau prisiminti ir pasirūpinkite, kad tokio kilimo būtų išpjauta tik 1/17. Ir liks 16/17. Tačiau šalia bet kurio taško, kas liko, vis tiek bus skylių. Tai linija su plotu.

Bet jūs galite iškirpti dar mažesnius kvadratus! Ir nebūtinai kvadratų, būtų aiškiai apibrėžta taisyklė, pagal kurią išpjauname skylutes, o tai, kas liko, suskaidome į naujas dalis. Kiekviename gabale turėtų atsirasti skylė - tai yra visa linijų kūrimo iš formų paslaptis. O skylių dydis lemia, ar linijos turės plotą, ar išliks „ilgis be pločio“.

Sierpinskio figūrėlės yra bene paprasčiausi ir gražiausi fraktalai, kuriuos žinau.

Sierpinskio kilimas (Sierpinskio kvadratas) yra fraktalas, vienas iš dvimačių Cantor rinkinio analogų, kurį 1915 metais pasiūlė lenkų matematikas Waclaw Sierpinski.

3 pav. Kilimas 4 pav. Kilimas

Sierpinski kilimo konstrukcija gaunama iš kvadrato paeiliui išpjaunant vidurinius kvadratus. Būtent, mes skirstome duota aikštė iki devynių vienodi kvadratai ir iškirpkite vidurinį kvadratą. Gauname kvadratą su skylute. Likusiems aštuoniems kvadratams pakartokite šią procedūrą. Kiekvieną iš jų padalinkite į devynis vienodus kvadratus ir išpjaukite vidurinius kvadratus. Kartodami šią procedūrą gausime vis labiau skylėtą figūrą. Kas liks po visų kirtimų, bus norimas Sierpinskio kilimas.

5 pav. Teisingas kvadratų pjovimo būdas ant Sierpinski kilimėlio

Kadangi nupjauti kvadratai vis dažniau išsidėstę, dėl to ant Sierpinski kilimo neliks nė vieno kvadrato, net ir mažiausio be skylutės.

Apskaičiuokime Sierpinskio kilimo plotą, pradinį kvadratą laikysime vienetu. Norėdami tai padaryti, pakanka apskaičiuoti nupjautų kvadratų plotą. Pirmajame etape išpjaunamas ploto kvadratas. Antrame etape iškirpti aštuoni kvadratai, kurių kiekvieno plotas yra .

Kiekviename paskesniame žingsnyje iškirptų kvadratų skaičius padidėja aštuonis kartus, o kiekvieno iš jų plotas sumažėja devynis kartus. Taigi bendras išpjautų kvadratų plotas yra geometrinių progresijų suma pradedantysis narys ir vardiklis. Naudodami geometrinės progresijos sumos formulę, nustatome, kad šis skaičius yra lygus vienetui, t.y. Sierpinskio kilimo plotas lygus nuliui.

Dabar paimkime kvadratą, kurio plotas lygus dviem, ir iškirpkime iš jo kvadratą, kurio centras yra toks pat, kurio plotas yra. Įsivaizduokime likusią dalį aštuonių stačiakampių pavidalu ir kiekviename iš jų išpjaukime kvadratą su tuo pačiu centro plotu . Taigi bendras mažų kvadratų plotas bus lygus . Kartodami šią procedūrą išgausime vis labiau skylančią figūrą, kuri dar vadinama Sierpinskio kilimu.

Taip pat, kaip ir anksčiau, šiame Sierpinski kilime neliks nė vieno, net ir mažiausio, kvadrato be skylės. Tačiau, skirtingai nei įprasto Sierpinski kilimo, jo plotas nėra lygus nuliui. Iš tiesų, iškirptų kvadratų plotas yra geometrinės progresijos su pradiniu nariu ir vardikliu suma, t.y., lygus 1. Todėl likusios dalies plotas lygus vienybei.

Trikampį ir Sierpinskio kilimą galime nagrinėti kompleksinėje plokštumoje ir pritaikyti jam įvairias kompleksinės plokštumos transformacijas. Pavyzdžiui, leiskite Sierpinskio trikampiui sudaryti tikrosios ašies vienetinį segmentą.

Ir dabar mes taikome inversijos transformaciją trikampio centro atžvilgiu kompleksinei plokštumai: . Tada gauname tokį paveikslėlį (6 pav.).

6 pav. Inversija apie centrą

Žemiau yra nuotraukos, skirtos.

7 pav. Šablonas

Tą patį galima padaryti ir su Sierpinski kilimu. Tegul jis bus pastatytas ant vienetinio kvadrato.

Inversinė transformacija kilimo centro atžvilgiu turi formą .

8 pav. Transformacija kilimo centro atžvilgiu

Taip pat galite taikyti inversiją kampo arba kvadrato atžvilgiu.

10 pav. Inversija kampo atžvilgiu

Nuorodos:

1. Weinbergas, M.M. Funkcinė analizė [Elektroninis išteklius]/ M.M. Weinberg Specialusis kursas skirtas pedagoginiai institutai. Švietimas, 1979. 128 psl. http://rgho.st/49518130 (prieigos data 2018-12-05)
2. Kolmogorovas, A.N. Funkcijų teorijos ir funkcinės analizės elementai [Tekstas]/ A.N. Kolmogorovas, S.V. Fominas, M.: Mokslas. 1981 m
3. Makarovas, I.P. Papildomi skyriai matematinė analizė[tekstas]/ I.P. Makarovas. Vadovėlis fizikos ir matematikos katedrų studentams. Švietimas, M.: 1968 m
4. Morozovas, A.D. Įvadas į fraktalų teoriją [Tekstas]/ A.D. Morozovas, M.: "Kompiuterinių tyrimų institutas", 2002 m.
5. Sadovnichy, V. A. Operatorių teorija [Tekstas] / V. A. Sadovnichy 5th ed. Bustard, 2004. 384 p. ISBN 5-7107-8699-3.

Automatinė figūra, išrastas lenkų matematikas W. Sierpinskis, paskambino Sierpinski kilimas.

Sierpinski kilimo statyba

Jis gaunamas iš kvadrato paeiliui išpjaunant vidurinius kvadratus. Būtent šį kvadratą padaliname į devynis vienodus kvadratus ir išpjauname vidurinį kvadratą. Gauname kvadratą su skylute.

Likusiems aštuoniems kvadratams pakartokite šią procedūrą. Kiekvieną iš jų padalinkite į devynis vienodus kvadratus ir išpjaukite vidurinius kvadratus. Kartodami šią procedūrą gausime vis labiau skylėtą figūrą. Tai, kas liks po visų kirtimų, bus tai, ko ieškote Sierpinski kilimas.

Kadangi nupjauti kvadratėliai išdėstomi vis dažniau, dėl to ant Sierpiškio kilimo neliks nė vieno kvadrato, net ir mažiausio be skylutės.

Sierpinskio kilimo plotas

Antrame etape iškirpti aštuoni kvadratai, kurių kiekvieno plotas yra 1/81. Kiekviename paskesniame žingsnyje iškirptų kvadratų skaičius padidėja aštuonis kartus, o kiekvieno iš jų plotas sumažėja devynis kartus.

Taigi bendras iškirptų kvadratų plotas yra geometrinės progresijos suma, kurios pradinis narys yra 1/9 ir vardiklis 8/9. Naudodami geometrinės progresijos sumos formulę, nustatome, kad šis skaičius lygus vienetui, t.y. Sierpinski kilimo plotas lygus nuliui.

Dabar paimkite kvadratą, kurio plotas yra 2, ir iškirpkite kvadratą su tuo pačiu centru, kurio plotas yra 1/2. Įsivaizduokime likusią dalį aštuonių stačiakampių pavidalu ir kiekviename iš jų išpjaukime kvadratą, kurio ploto centras yra toks pat 1/32.

Taigi bendras mažų kvadratų plotas bus lygus 1/4. Kartodami šią procedūrą gausime vis labiau skylėtą figūrą. Šio Sierpinski kilimo plotas bus lygus nuliui .

Iškirptų kvadratų plotas yra geometrinės progresijos suma, kurios pradinis narys yra 1/2 ir vardiklis 1/2, t.y. lygus 1.

Pradedant ne nuo kvadrato, o su taisyklingas trikampis, o iškirpę centrinius trikampius, gauname automatiškai panašią figūrą, panašią į Sierpinskio kilimą ir vadinamą Sierpinski servetėlė.