Šiame straipsnyje kalbėsime apie tokią svarbią matematinę sąvoką kaip sudėtinga funkcija ir sužinosime, kaip rasti išvestinę sudėtinga funkcija.

Prieš mokydamiesi rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, supraskime sudėtingos funkcijos sąvoką, kas tai yra, „su kuo ji valgoma“ ir „kaip teisingai ją paruošti“.

Apsvarstykite savavališką funkciją, pavyzdžiui, šią:

Atkreipkite dėmesį, kad argumentas dešinėje ir kairėje funkcijos lygties pusėse yra tas pats skaičius arba išraiška.

Vietoj kintamojo galime įdėti, pavyzdžiui, tokią išraišką: . Ir tada mes gauname funkciją

Pavadinkime išraišką tarpiniu argumentu, o funkciją – išorine funkcija. Tai nėra griežta matematines sąvokas, bet jie padeda suprasti kompleksinės funkcijos sąvokos reikšmę.

Griežtas sudėtingos funkcijos sąvokos apibrėžimas yra toks:

Tegul funkcija yra apibrėžta aibėje ir yra šios funkcijos reikšmių rinkinys. Tegul aibė (arba jos poaibis) yra funkcijos apibrėžimo sritis. Kiekvienam iš jų priskirkime po numerį. Taigi funkcija bus apibrėžta rinkinyje. Tai vadinama funkcijų kompozicija arba sudėtinga funkcija.

Šiame apibrėžime, jei vartojame savo terminiją, išorinė funkcija yra tarpinis argumentas.

Sudėtingos funkcijos išvestinė randama pagal šią taisyklę:

Kad būtų aiškiau, norėčiau šią taisyklę parašyti taip:

Šioje išraiškoje naudojant reiškia tarpinę funkciją.

Taigi. Norint rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, reikia

1. Nustatykite, kuri funkcija yra išorinė, ir raskite atitinkamą išvestinę iš išvestinių lentelės.

2. Apibrėžkite tarpinį argumentą.

Šioje procedūroje didžiausias sunkumas yra rasti išorinę funkciją. Tam naudojamas paprastas algoritmas:

A. Užrašykite funkcijos lygtį.

b. Įsivaizduokite, kad reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrai x reikšmei. Norėdami tai padaryti, šią x reikšmę pakeisite funkcijos lygtimi ir sukurkite aritmetines operacijas. Paskutinis veiksmas, kurį atliekate, yra išorinė funkcija.

Pavyzdžiui, funkcijoje

Paskutinis veiksmas yra eksponentas.

Raskime šios funkcijos išvestinę. Norėdami tai padaryti, parašome tarpinį argumentą

Nuo tada, kai atvykote čia, tikriausiai jau matėte šią formulę vadovėlyje

ir padaryk tokį veidą:

Drauge, nesijaudink! Tiesą sakant, viskas yra tiesiog baisu. Jūs tikrai viską suprasite. Tik vienas prašymas – skaitykite straipsnį neskubėdami, stenkitės suprasti kiekvieną žingsnį. Rašiau kuo paprasčiau ir aiškiau, bet vis tiek reikia suprasti mintį. Ir būtinai išspręskite užduotis iš straipsnio.

Kas yra sudėtinga funkcija?

Įsivaizduokite, kad kraustotės į kitą butą ir dėl to kraunatės daiktus į dideles dėžes. Tarkime, kad reikia surinkti smulkūs daiktai, pavyzdžiui, mokyklinė rašymo medžiaga. Jei tiesiog įmesite juos į didžiulę dėžę, jie pasimes, be kitų dalykų. Norėdami to išvengti, pirmiausia įdėkite juos, pavyzdžiui, į maišelį, kurį vėliau įdėkite į didelę dėžutę, o po to užsandarinate. Šis „sudėtingas“ procesas parodytas toliau pateiktoje diagramoje:

Atrodytų, ką su tuo turi matematika? Taip, nepaisant to, kad sudėtinga funkcija formuojama LYGIAI TAIP pat! Tik mes „pakuojame“ ne sąsiuvinius ir rašiklius, o \(x\), o „paketai“ ir „dėžės“ skiriasi.

Pavyzdžiui, paimkime x ir „supakuosime“ į funkciją:

Dėl to, žinoma, gauname \(\cos⁡x\). Tai mūsų „daiktų krepšys“. Dabar įdėkime jį į „dėžutę“ – supakuokite, pavyzdžiui, į kubinę funkciją.

Kas bus galų gale? Taip, teisingai, bus „daiktų maišas dėžutėje“, tai yra „X kosinusas kubo pavidalu“.

Gautas dizainas yra sudėtinga funkcija. Nuo paprasto jis skiriasi tuo KELI „smūgiai“ (paketai) taikomi vienam X iš eilės ir pasirodo, kad tai „funkcija iš funkcijos“ – „pakavimas pakuotėje“.

IN mokyklos kursasŠių „paketų“ tipų yra labai nedaug, tik keturi:

Dabar „supakuosime“ X į eksponentinę funkciją su 7 baze, o tada į trigonometrinę funkciją. Mes gauname:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Dabar du kartus „supakuosime“ x į trigonometrines funkcijas, pirmiausia į ir tada į:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Paprasta, tiesa?

Dabar pats parašykite funkcijas, kur x:
- pirmiausia jis „supakuotas“ į kosinusą, o po to į eksponentinę funkciją su baze \(3\);
- pirmiausia į penktąją laipsnį, o paskui į liestinę;
- pirmiausia logaritmas iki bazės \(4\) , tada į laipsnį \(-2\).

Atsakymus į šią užduotį rasite straipsnio pabaigoje.

Ar galime X „supakuoti“ ne du, o tris kartus? Taip, jokių problemų! Ir keturis, ir penkis, ir dvidešimt penkis kartus. Pavyzdžiui, čia yra funkcija, kurioje x yra „supakuotas“ \(4\) kartus:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Bet tokios formulės mokyklos praktika nesusitiks (studentams pasiseka labiau - jiems gali būti sunkiau☺).

Sudėtingos funkcijos „išpakavimas“.

Dar kartą pažiūrėkite į ankstesnę funkciją. Ar galite išsiaiškinti „pakavimo“ seką? Į ką X buvo prikimštas pirmas, į ką tada ir taip iki pat pabaigos. Tai yra, kuri funkcija kurioje yra įdėta? Paimkite popieriaus lapą ir užsirašykite, ką manote. Tai galite padaryti naudodami grandinę su rodyklėmis, kaip rašėme aukščiau, arba bet kokiu kitu būdu.

Dabar teisingas atsakymas: pirmiausia x buvo „supakuotas“ į \(4\)-ą laipsnį, po to rezultatas supakuotas į sinusą, o savo ruožtu į logaritmą į bazę \(2\) , ir galiausiai visa ši konstrukcija buvo įstumta į galios penketuką.

Tai yra, jums reikia išvynioti seką ATvirkštine tvarka. Ir čia yra užuomina, kaip tai padaryti lengviau: nedelsdami pažiūrėkite į X - turėtumėte nuo jo šokti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdžiui, čia yra ši funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Mes žiūrime į X – kas jam atsitiks pirmiausia? Paimta iš jo. Ir tada? Imama rezultato tangentė. Seka bus tokia pati:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Kitas pavyzdys: \(y=\cos⁡((x^3))\). Išanalizuokime – iš pradžių kubavome X, o paskui paėmėme rezultato kosinusą. Tai reiškia, kad seka bus tokia: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atkreipkite dėmesį, funkcija atrodo panaši į pačią pirmąją (kur yra nuotraukos). Bet tai yra visiškai kitokia funkcija: čia kube yra x (tai yra \(\cos⁡((x·x·x)))\), o kube yra kosinusas \(x\) ( tai yra \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Šis skirtumas atsiranda dėl skirtingų „pakavimo“ sekų.

Paskutinis pavyzdys (su svarbi informacija jame): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aišku, kad čia pirmiausia atlikome aritmetinius veiksmus su x, tada iš rezultato paėmėme sinusą: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ir šitą svarbus punktas: nepaisant to, kad aritmetinės operacijos savaime nėra funkcijos, čia jos veikia ir kaip „pakavimo“ būdas. Pasigilinkime šiek tiek į šį subtilumą.

Kaip sakiau aukščiau, paprastose funkcijose x „supakuotas“ vieną kartą, o sudėtingose ​​- dvi ar daugiau. Be to, taip pat yra bet koks paprastų funkcijų derinys (tai yra jų suma, skirtumas, daugyba ar padalijimas). paprasta funkcija. Pavyzdžiui, \(x^7\) yra paprasta funkcija, taip pat ir \(ctg x\). Tai reiškia, kad visi jų deriniai yra paprastos funkcijos:

\(x^7+ ctg x\) – paprastas,
\(x^7· lovelė x\) – paprasta,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – paprastas ir kt.

Tačiau jei tokiam deriniui bus pritaikyta dar viena funkcija, ji taps sudėtinga, nes bus du „paketai“. Žiūrėti diagramą:

Gerai, pirmyn dabar. Parašykite „vyniojimo“ funkcijų seką:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Atsakymai vėl pateikiami straipsnio pabaigoje.

Vidinės ir išorinės funkcijos

Kodėl turime suprasti funkcijų įdėjimą? Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad be tokios analizės negalėsime patikimai rasti aukščiau aptartų funkcijų išvestinių.

O norint eiti toliau, mums reikės dar dviejų sąvokų: vidinių ir išorinių funkcijų. Tai labai paprastas dalykas, be to, iš tikrųjų mes juos jau išanalizavome aukščiau: jei prisiminsime savo analogiją pačioje pradžioje, tada vidinė funkcija yra „paketas“, o išorinė – „dėžutė“. Tie. tai, į ką X „įvyniojama“ pirmiausia, yra vidinė funkcija, o į ką „įvyniojama“ vidinė funkcija – jau išorinė. Na, aišku kodėl – ji lauke, vadinasi, išorė.

Šiame pavyzdyje: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) yra vidinė ir
- išorinis.

Ir čia: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) yra vidinis ir
- išorinis.

Užbaikite paskutinę sudėtingų funkcijų analizės praktiką ir pagaliau pereikime prie to, dėl ko visi buvome pradėti – rasime sudėtingų funkcijų išvestinius:

Lentelėje užpildykite tuščias vietas:

Sudėtingos funkcijos išvestinė

Bravo mums, pagaliau pasiekėme šios temos „bosą“ – tiesą sakant, sudėtingos funkcijos išvestinį, o konkrečiai – iki tos labai baisios formulės nuo straipsnio pradžios.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ši formulė skamba taip:

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi išorinės funkcijos išvestinės pastovios vidinės funkcijos ir vidinės funkcijos išvestinei sandaugai.

Ir nedelsdami pažiūrėkite į analizavimo diagramą pagal žodžius, kad suprastumėte, ką daryti su kuo:

Tikiuosi, kad terminai „darinė“ ir „produktas“ nesukels jokių sunkumų. „Sudėtinga funkcija“ - mes jau ją sutvarkėme. Svarbiausia yra „išorinės funkcijos išvestinė, palyginti su pastovia vidine funkcija“. kas tai?

Atsakymas: Tai įprastas išorinės funkcijos darinys, kuriame keičiasi tik išorinė funkcija, o vidinė išlieka ta pati. Vis dar neaišku? Gerai, panaudokime pavyzdį.

Turėkime funkciją \(y=\sin⁡(x^3)\). Aišku, kad vidinė funkcija čia yra \(x^3\), o išorinė
. Dabar suraskime eksterjero išvestinį pastovaus interjero atžvilgiu.

Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x)\) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kurio viduje yra taškas \(x_0\). Suteikime argumentui prieaugį \(\Delta x \), kad jis nepaliktų šio intervalo. Raskime atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (judėdami iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykime ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jei šio santykio riba yra \(\Delta x \rightarrow 0\), tada nurodyta riba vadinama funkcijos išvestinė\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolis y dažnai naudojamas išvestinei žymėti. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, tačiau natūraliai susijusi su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba. Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y = f(x) išvestinė.

Geometrinė išvestinės reikšmė yra taip. Jeigu galima nubrėžti funkcijos y = f(x) grafiko liestinę taške su abscise x=a, kuris nėra lygiagretus y ašiai, tai f(a) išreiškia liestinės nuolydį :
\(k = f"(a)\)

Kadangi \(k = tg(a) \), tai lygybė \(f"(a) = tan(a) \) yra teisinga.

Dabar interpretuokime išvestinės apibrėžimą apytikslių lygybių požiūriu. Tegul funkcija \(y = f(x)\) turi išvestinę in konkretus taškas\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad netoli taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė išvestinėje. duotas taškas X. Pavyzdžiui, funkcijai \(y = x^2\) galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.

Suformuluokime.

Kaip rasti funkcijos y = f(x) išvestinę?

1. Pataisykite \(x\) reikšmę, raskite \(f(x)\)
2. Suteikite argumentui \(x\) prieaugį \(\Delta x\), eikite į naujas taškas\(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sukurkite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos taške x išvestinė.

Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y = f(x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).

Aptarkime tokį klausimą: kaip funkcijos tęstinumas ir diferenciamumas taške yra susiję vienas su kitu?

Tegul funkcija y = f(x) taške x diferencijuojama. Tada funkcijos grafiko taške M(x; f(x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės kampinis koeficientas yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "nutrūkti" taške M, ty funkcija taške x turi būti ištisinė.

Tai buvo „rankiniai“ argumentai. Pateikime griežtesnį samprotavimą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, galioja apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Jei šioje lygybėje \(\Delta x) \) linkęs į nulį, tada \(\Delta y \) bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.

Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai tame taške ji yra tolydi.

Atvirkščias teiginys nėra teisingas. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "sandūros taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės negalima nubrėžti, tai išvestinė tame taške neegzistuoja.

Kitas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, ty ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x = 0. Nuolydžio koeficientas tokios eilutės nėra, tai reiškia, kad \(f"(0) \) taip pat nėra

Taigi, susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip iš funkcijos grafiko galima daryti išvadą, kad ji yra diferencijuojama?

Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu galima nubrėžti funkcijos grafiko liestinę, kuri nėra statmena abscisių ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena abscisių ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.

Diferencijavimo taisyklės

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra su sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, kurios palengvina šį darbą. Jei C - pastovus skaičius ir f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tada yra teisingi šie dalykai diferenciacijos taisyklės:

Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė

Pateikiamas kompleksinės funkcijos išvestinės formulės įrodymas. Atvejai, kai sudėtinga funkcija priklauso nuo vieno ar dviejų kintamųjų, yra išsamiai nagrinėjami. Šiuo atveju daromas apibendrinimas bet koks skaičius kintamieji.

Pateikiame išvadą sekančias formules kompleksinės funkcijos išvestinei.
Jei, tada
.
Jei, tada
.
Jei, tada
.

Sudėtinės funkcijos išvestinė iš vieno kintamojo

Tegul kintamojo x funkcija pavaizduota kaip sudėtinga funkcija tokia forma:
,
kur yra tam tikros funkcijos. Funkcija yra diferencijuojama tam tikrai kintamojo x reikšmei.
Funkcija yra diferencijuojama pagal kintamojo vertę.
(1) .

Tada kompleksinė (sudėtinė) funkcija yra diferencijuojama taške x ir jos išvestinė nustatoma pagal formulę:
;
.

Formulė (1) taip pat gali būti parašyta taip:

Įrodymas
;
.
Įveskime tokį žymėjimą.

Čia yra kintamųjų funkcija ir , yra kintamųjų funkcija ir .
;
.

Bet mes praleisime šių funkcijų argumentus, kad nesugadintume skaičiavimų.
.
Kadangi funkcijos ir yra diferencijuojamos taškuose x ir atitinkamai, tai šiuose taškuose yra šių funkcijų išvestinės, kurios yra šios ribos:
.
Apsvarstykite šią funkciją:
.

Fiksuotai kintamojo u vertei yra funkcija .
.
Apsvarstykite šią funkciją:
.

Tai akivaizdu

.

Tada

Kadangi funkcija taške yra diferencijuojama funkcija, ji tame taške yra ištisinė. Štai kodėl

Dabar randame išvestinę.
,
Formulė įrodyta.
.
Čia ir yra keletas skirtingų funkcijų.

Norėdami įrodyti šią formulę, nuosekliai apskaičiuojame išvestinę taisyklę, skirtą atskirti sudėtingą funkciją.
Apsvarstykite sudėtingą funkciją
.
Jo darinys
.
Apsvarstykite pradinę funkciją
.
Jo darinys
.

Sudėtingos funkcijos išvestinė iš dviejų kintamųjų

Dabar leiskite sudėtingai funkcijai priklausyti nuo kelių kintamųjų. Pirmiausia pažiūrėkime dviejų kintamųjų sudėtingos funkcijos atvejis.

Tegul funkcija, priklausanti nuo kintamojo x, pavaizduota kaip sudėtinga dviejų kintamųjų funkcija tokia forma:
,
Kur
ir kai kuriai kintamojo x reikšmei yra diferencijuojamos funkcijos;
- dviejų kintamųjų funkcija, kuri skiriasi taške , .
(2) .

Formulė (1) taip pat gali būti parašyta taip:

Tada kompleksinė funkcija yra apibrėžta tam tikroje taško kaimynystėje ir turi išvestinę, kuri nustatoma pagal formulę:
;
.
Kadangi funkcijos ir yra diferencijuojamos taške, jos yra apibrėžtos tam tikroje šio taško kaimynystėje, taške yra ištisinės, o taške egzistuoja jų išvestinės, kurios yra šios ribos:
;
.
Čia
;
.

Dėl šių funkcijų tęstinumo tam tikrame taške turime:
(3) .
Kadangi funkcijos ir yra diferencijuojamos taške, jos yra apibrėžtos tam tikroje šio taško kaimynystėje, taške yra ištisinės, o taške egzistuoja jų išvestinės, kurios yra šios ribos:

Kadangi funkcija taške yra diferencijuojama, ji yra apibrėžta tam tikroje šio taško kaimynystėje, šiame taške yra ištisinė, o jos prieaugis gali būti parašytas tokia forma:
;

- funkcijos padidėjimas, kai jos argumentai didinami reikšmėmis ir ;
- funkcijos dalinės išvestinės kintamųjų ir .
;
.
Fiksuotoms ir reikšmėms ir yra kintamųjų ir funkcijos.
;
.

Jie linkę į nulį ir:

. :
.
Nuo ir tada



.

Tada

Funkcijų padidėjimas:

Pakeiskime (3):

Sudėtingos funkcijos išvestinė iš kelių kintamųjų Aukščiau pateiktą išvadą galima nesunkiai apibendrinti tuo atveju, kai kompleksinės funkcijos kintamųjų skaičius yra didesnis nei du. Pavyzdžiui, jei f yra
,
Kur
trijų kintamųjų funkcija
, Tai
, o kai kuriai kintamojo x reikšmei yra diferencijuojamos funkcijos;
(4)
.
- trijų kintamųjų diferencijuojama funkcija taške , , .
; ; ,
Tada iš funkcijos diferencijavimo apibrėžimo turime:
;
;
.

Kadangi dėl tęstinumo
.

Tai Padalinę (4) iš ir pereidami prie ribos, gauname: Ir galiausiai, pasvarstykime .
dauguma
,
Kur
bendras atvejis
Tegul kintamojo x funkcija pavaizduota kaip sudėtinga n kintamųjų funkcija tokia forma:
, , ... , .
Apsvarstykite šią funkciją:
.

kai kuriai kintamojo x reikšmei yra diferencijuojamos funkcijos;

- n kintamųjų diferencijuojama funkcija taške Pradinis lygis (2019)

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, kurį mes naudojame kaip jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Išties, skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba krissime skirtingi kiekiai metrų jūros lygio atžvilgiu (išilgai ordinačių ašies).

Pažymėkime pažangą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra - tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Tai tiesa, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės!

Tai, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau. Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jeigu pabaigos taškas

pasirodė mažesnis nei pradinis, jis bus neigiamas - tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai netiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra daugiau!

IN tikras gyvenimas Matuoti atstumus milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvojai didžiausią galimi skaičiai, tiesiog padauginkite iš dviejų ir gausite dar daugiau. Ir dar begalybė be to kas atsitiks. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Tačiau priminsiu, kad be galo maža nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, gausite gana įprastas numeris, Pavyzdžiui,. Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartų didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir nurodoma, kiek pasikeitė funkcija (aukštis), judant į priekį išilgai ašies per atstumą funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkcija, tik pirminiu ženklu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Tas pats su vediniu: vedinys pastovi funkcija(konstantos) yra lygus nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad galima išilgai išdėstyti segmento galus skirtingos pusės iš viršaus, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Bet tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį keičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur staigiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl tarp neigiamų ir teigiamas vertes būtinai turi būti. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą keičiame į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva:. Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip dėl funkcijos padidėjimo? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
2. Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

IN skirtingus taškus su tuo pačiu argumento prieaugiu, funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kurioje argumentas yra tam tikru laipsniu (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis- tai kai eksponentas:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinė funkcija (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname:.

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

1. . Tikėkite ar ne, tai yra galios funkcija. Jei turite klausimų, pavyzdžiui, „Kaip tai? Kur yra laipsnis?“, prisiminkite temą „“!
   Taip, taip, šaknis taip pat yra laipsnis, tik trupmeninė dalis: .
   Taigi mūsų kvadratinė šaknis- tai tik laipsnis su rodikliu:
   .
   Išvestinės ieškome naudodami neseniai išmoktą formulę:

   Jei šiuo metu vėl pasidaro neaišku, pakartokite temą ""!!! (apie laipsnį su neigiamas rodiklis)

2. . Dabar eksponentas:

   O dabar per apibrėžimą (ar jau pamiršote?):
   ;
   .
   Dabar, kaip įprasta, nepaisome termino, kuriame yra:
   .

3. . Ankstesnių atvejų derinys: .

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija yra „tikslas“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažiau, tuo artimesnę vertę santykis su

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi gauname kita taisyklė:sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

1. Pirmiausia suraskime išvestinę bendras vaizdas, tada pakeiskite jo reikšmę:
   ;
   .
2. Čia mes turime kažką panašaus į galios funkcija. Pabandykime ją atvesti
   normaliai atrodantis:
   .
   Puiku, dabar galite naudoti formulę:
   .
   .
3. . Eeeeeee… kas tai yra????

Gerai, tu teisus, mes dar nežinome, kaip rasti tokių išvestinių. Čia yra kelių tipų funkcijų derinys. Norėdami dirbti su jais, turite išmokti dar keletą taisyklių:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios išvestinė bet kuriai yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas yra konstanta – ji begalinė dešimtainis, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli neikime, pažiūrėkime iš karto atvirkštinė funkcija. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinė funkcija? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma.

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas- funkcijos yra išskirtinai paprastos išvestinių atžvilgiu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią analizuosime vėliau, po eikime per taisykles diferenciacija.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė taip pat tinka skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes š tiesinė funkcija, prisimeni?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: įeinam nauja funkcija ir raskite jo prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Mes jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują bazę:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Ar pavyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti daugiau paprasta forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Išvestinės iš eksponentinės ir logaritmines funkcijas beveik niekada nedalyvauja vieningame valstybiniame egzamine, bet nepakenktų juos pažinti.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas – sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums duodamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji, ką gavau (suriši kaspinu). Kas atsitiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi funkcija sudėtingos funkcijos: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu, .

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime kubu. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime savo šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie originalus pavyzdys atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(tik dabar nemėginkite jo nukirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos ištraukiame ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (šokoladą dedame į vyniotinį). ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo galo.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu sunumeruoti veiksmus. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo jis bus „išoriškesnis“. atitinkama funkcija. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.