Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį grąžinus. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Atsitiktinis kintamasis Vadinamas dydis, kuris dėl tomis pačiomis sąlygomis atliktų bandymų įgauna skirtingas, paprastai kalbant, reikšmes, priklausomai nuo atsitiktinių veiksnių, į kuriuos neatsižvelgta. Atsitiktinių dydžių pavyzdžiai: taškų, surinktų už kauliukai, sugedusių gaminių skaičius partijoje, sviedinio smūgio taško nuokrypis nuo taikinio, prietaiso veikimo be gedimų laikas ir kt. Yra diskretūs ir nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai. Diskretus Skambino atsitiktinis kintamasis, galimas vertes kurios sudaro skaičiuojamą aibę, baigtinę arba begalinę (tai yra aibę, kurios elementus galima sunumeruoti).

Nuolatinis Vadinamas atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo kokį nors baigtinį arba begalinį intervalą skaičių ašis. Nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių skaičius visada yra begalinis.

Pažymėsime atsitiktinius kintamuosius didžiosiomis raidėmis pabaiga Lotynų abėcėlė: X, Y, . ; atsitiktinių kintamųjų reikšmės – mažosios raidės: X, y,. . Taigi, XŽymi visą atsitiktinio dydžio galimų reikšmių rinkinį ir X - Kai kurios jo specifinės reikšmės.

Paskirstymo dėsnis Diskretusis atsitiktinis dydis yra bet kokia forma nurodytas atitikimas tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.

Pateikiame galimas atsitiktinio dydžio reikšmes X Yra . Testo rezultate atsitiktinis dydis įgis vieną iš šių reikšmių, t.y. Įvyks vienas įvykis iš visos poromis nesuderinamų įvykių grupės.

Tegul žinomos ir šių įvykių tikimybės:

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X Galima parašyti lentelės forma vadinama Netoli platinimo Diskretusis atsitiktinis kintamasis:

Atsitiktiniai kintamieji. Diskretus atsitiktinis dydis.
Laukimas

Antrasis skyrius tikimybių teorija skirta atsitiktiniai dydžiai , kuris nepastebimai lydėjo mus pažodžiui kiekviename straipsnyje šia tema. Ir atėjo laikas aiškiai suformuluoti, kas tai yra:

Atsitiktinis paskambino dydis, kurios atlikus testą imsis vienas ir vienintelis skaitinė reikšmė, kuri priklauso nuo atsitiktinių veiksnių ir yra iš anksto nenuspėjama.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai yra žymėti per * , o jų reikšmės rašomos atitinkamomis mažomis raidėmis su apatiniais indeksais, pavyzdžiui, .

* Kartais naudojamos ir graikiškos raidės

Mes radome pavyzdį pirmoji tikimybių teorijos pamoka, kur iš tikrųjų atsižvelgėme į šį atsitiktinį kintamąjį:

– taškų skaičius, kuris atsiras po kauliuko metimo.

Dėl šio testo jis iškris vienas ir vienintelis linijos, kuri tiksliai, nuspėti negalima (mes negalvojame apie triukus); šiuo atveju atsitiktinis kintamasis gali turėti vieną iš šių reikšmių:

– berniukų skaičius tarp 10 naujagimių.

Visiškai aišku, kad šis skaičius iš anksto nežinomas, o į kitus dešimt gimusių vaikų gali būti:

Arba berniukai - vienas ir vienintelis iš išvardytų parinkčių.

O norint palaikyti formą, šiek tiek fizinio lavinimo:

– šuolio į tolį nuotolis (kai kuriais vienetais).

Net sporto meistras to negali nuspėti :)

Tačiau jūsų hipotezės?

Kai tik daug realūs skaičiai be galo, tada atsitiktinis dydis gali užtrukti be galo daug vertės iš tam tikro intervalo. Ir štai iš ko jis susideda esminis skirtumas iš ankstesnių pavyzdžių.

Taigi, Atsitiktinius dydžius patartina suskirstyti į 2 dideles grupes:

1) Diskretus (su pertrūkiais) atsitiktinis kintamasis – paima atskiras, izoliuotas reikšmes. Šių verčių skaičius Žinoma arba begalinis, bet suskaičiuojamas.

...ar yra neaiškių terminų? Skubiai kartojame algebros pagrindai!

2) Nuolatinis atsitiktinis dydis – priima Visi skaitines reikšmes iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo.

Pastaba : V mokomoji literatūra populiarios santrumpos DSV ir NSV

Pirmiausia išanalizuokime diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį, tada - tęstinis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

- Tai susirašinėjimą tarp galimų šio dydžio verčių ir jų tikimybių. Dažniausiai įstatymas rašomas lentelėje:

Terminas vartojamas gana dažnai eilė paskirstymas, bet kai kuriose situacijose tai skamba dviprasmiškai, todėl pasiliksiu prie „įstatymo“.

Ir dabar Labai svarbus punktas : kadangi atsitiktinis dydis Būtinai priims viena iš vertybių, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė o jų atsiradimo tikimybių suma lygi vienetui:

arba, jei parašyta trumpai:

Taigi, pavyzdžiui, ant kauliuko metamų taškų tikimybių pasiskirstymo dėsnis turi tokią formą:

Jums gali susidaryti įspūdis, kad atskiras atsitiktinis kintamasis gali įgyti tik „geras“ sveikųjų skaičių reikšmes. Išsklaidykime iliuziją – jos gali būti bet kokios:

Kai kurie žaidimai turi kitas įstatymas laimėjęs paskirstymas:

...turbūt seniai svajojote apie tokias užduotis 🙂 Išduosiu paslaptį – aš taip pat. Ypač kai baigiau dirbti lauko teorija.

Sprendimas: kadangi atsitiktinis kintamasis gali turėti tik vieną iš tris reikšmes, tada susiformuoja atitinkami įvykiai pilna grupė, o tai reiškia, kad jų tikimybių suma yra lygi vienetui:

„Partizano“ demaskavimas:

– taigi, tikimybė laimėti sutartinius vienetus yra 0,4.

Kontrolė: tuo turėjome įsitikinti.

Atsakymas:

Neretai pasitaiko, kad platinimo įstatymą reikia parengti pačiam. Tam jie naudoja klasikinis tikimybės apibrėžimas, įvykių tikimybių daugybos / sudėjimo teoremos ir kiti traškučiai tervera:

Dėžutėje yra 50 loterijos bilietų, iš kurių 12 laimi, o 2 iš jų laimi po 1000 rublių, o likusieji - po 100 rublių. Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo įstatymą - laimėjimo dydį, jei atsitiktine tvarka iš dėžutės ištrauktas vienas bilietas.

Sprendimas: kaip pastebėjote, atsitiktinio kintamojo reikšmės paprastai pateikiamos didėjimo tvarka. Todėl pradedame nuo mažiausių laimėjimų, tai yra rublių.

Tokių bilietų iš viso yra 50 – 12 = 38, o pagal klasikinis apibrėžimas :
– tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas bilietas bus pralaimėtojas.

Kitais atvejais viskas paprasta. Tikimybė laimėti rublių yra:

Ir už:

Patikrinkite: – ir tai ypatinga graži akimirka tokios užduotys!

Atsakymas: norimas laimėjimų paskirstymo dėsnis:

Šią užduotį turite išspręsti patys:

Tikimybė, kad šaulys pataikys į taikinį, yra . Sudarykite atsitiktinio dydžio paskirstymo dėsnį - pataikymų skaičių po 2 šūvių.

...žinojau, kad tu jo pasiilgai :) Prisiminkime daugybos ir sudėties teoremos. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį, tačiau praktiškai gali būti naudinga (o kartais ir naudingiau) žinoti tik dalį jo skaitinės charakteristikos .

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Kalbėdamas paprasta kalba, Šis vidutinė numatoma vertė kai bandymas kartojamas daug kartų. Tegul atsitiktinis dydis atitinkamai paima reikšmes su tikimybėmis. Tada matematinis lūkestisšio atsitiktinio dydžio yra lygus produktų suma visos jo reikšmės atitinka atitinkamas tikimybes:

arba sugriuvo:

Apskaičiuokime, pavyzdžiui, matematinį atsitiktinio dydžio lūkesčius – ant kauliuko metamų taškų skaičių:

Kokia tikimybinė gauto rezultato reikšmė? Jei ridensite kauliuką pakankamai kartų, tada vidutinė vertė Sumažėję taškai bus beveik 3,5 – ir kuo daugiau testų atliksite, tuo arčiau. Tiesą sakant, aš jau išsamiai kalbėjau apie šį poveikį pamokoje apie statistinė tikimybė.

Dabar prisiminkime mūsų hipotetinį žaidimą:

Kyla klausimas: ar apskritai apsimoka žaisti šį žaidimą? ...kas turi įspūdžių? Taigi jūs negalite to sakyti „neatsargiai“! Tačiau į šį klausimą galima nesunkiai atsakyti apskaičiavus matematinį lūkestį, iš esmės - svertinis vidurkis pagal laimėjimo tikimybę:

Taigi, matematinis šio žaidimo lūkestis pralaimi.

Nepasitikėk savo įspūdžiais – pasitikėk skaičiais!

Taip, čia galima laimėti 10 ir net 20-30 kartų iš eilės, bet ilgainiui susidursime su neišvengiamu pražūtimi. Ir tau nepatarčiau tokių žaidimų žaisti :) Na, gal tik pramogai.

Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad matematinis lūkestis nebėra ATSITIKTINĖ reikšmė.

Kūrybinė užduotis savarankiškam tyrimui:

Ponas X žaidžia europietišką ruletę kita sistema: nuolat stato 100 rublių už „raudoną“. Sudarykite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį – jo laimėjimą. Apskaičiuokite matematinį laimėjimo tikėjimą ir suapvalinkite jį iki artimiausios kapeikos. Kiek vidutiniškai Ar žaidėjas pralaimi už kiekvieną statytą šimtą?

Nuoroda : Europietiškoje ruletėje yra 18 raudonų, 18 juodų ir 1 žalias sektorius („nulis“). Jei pasirodo „raudonas“, žaidėjui sumokamas dvigubas statymas, kitu atveju jis patenka į kazino pajamas

Yra daugybė kitų ruletės sistemų, kurioms galite sukurti savo tikimybių lenteles. Bet tai yra atvejis, kai mums nereikia jokių paskirstymo dėsnių ar lentelių, nes buvo nustatyta, kad žaidėjo matematiniai lūkesčiai bus lygiai tokie patys. Vienintelis dalykas, kuris keičiasi nuo sistemos iki sistemos, yra dispersija, apie kurią sužinosime 2-oje pamokos dalyje.

Tačiau pirmiausia bus naudinga ištiesti pirštus ant skaičiuoklės klavišų:

Atsitiktinis kintamasis nurodomas jo tikimybių pasiskirstymo dėsniu:

Sužinokite, ar tai žinoma. Atlikite patikrinimą.

Tada pereikime prie studijų diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija ir jei įmanoma, DABAR!!- kad neprarastų temos gijos.

Sprendimai ir atsakymai:

3 pavyzdys. Sprendimas: pagal sąlygą – tikimybė pataikyti į taikinį. Tada:
– praleidimo tikimybė.

Sudarykime dviejų kadrų pataikymo pasiskirstymo dėsnį:

– nė vieno smūgio. Autorius tikimybių daugybos teorema nepriklausomi renginiai :

- vienas smūgis. Autorius nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių daugybos teoremos:

- du smūgiai. Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Patikrinkite: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Atsakymas :

Pastaba : galite naudoti užrašus - nesvarbu.

4 pavyzdys. Sprendimas: žaidėjas laimi 100 rublių 18 atvejų iš 37, todėl jo laimėjimų paskirstymo įstatymas turi tokią formą:

Apskaičiuokime matematinį lūkestį:

Taigi už kiekvieną šimtą statymų žaidėjas vidutiniškai pralaimi 2,7 rublio.

5 pavyzdys. Sprendimas: pagal matematinio lūkesčio apibrėžimą:

Sukeiskime dalis ir supaprastinkime:

Taigi:

Patikrinkime:

, ką ir reikėjo patikrinti.

Atsakymas :

(Eiti į pagrindinį puslapį)

Kokybiški darbai be plagiato – Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai

Atsitiktinis kintamasis Kintamasis vadinamas kintamuoju, kuris kiekvieno testo rezultate, priklausomai nuo atsitiktinių priežasčių, įgyja vieną anksčiau nežinomą reikšmę. Atsitiktiniai kintamieji žymimi didžiosiomis raidėmis lotyniškomis raidėmis: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Atsitiktiniai dydžiai pagal jų tipą gali būti diskretiškas Ir tęstinis.

Diskretus atsitiktinis dydis- tai yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti ne daugiau kaip skaičiuojamos, tai yra, baigtinės arba skaičiuojamos. Suskaičiuojamumas reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmės gali būti sunumeruotos.

1 pavyzdys . Čia yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

a) smūgių į taikinį skaičius $n$ šūviais, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) emblemų skaičius nukrito metant monetą, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) į laivą atplaukiančių laivų skaičius (suskaičiuojamas verčių rinkinys).

d) skambučių, gaunamų į PBX, skaičius (skaičiuojamas reikšmių rinkinys).

1. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis.

Diskretus atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti reikšmes $x_1,\dots ,\ x_n$ su tikimybėmis $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Šių verčių ir jų tikimybių atitikimas vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Paprastai šis atitikimas nurodomas naudojant lentelę, kurios pirmoje eilutėje nurodomos reikšmės $x_1,\dots ,\ x_n$, o antroje eilutėje - tikimybės $p_1,\dots ,\ p_n$ nurodytos atitinkančios šias vertes.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \taškai & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \taškai & p_n \\
\hline
\end$

2 pavyzdys . Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra taškų, metamų metant kauliuką, skaičius. Toks atsitiktinis dydis $X$ gali užtrukti šias vertes$1,\2,\3,\4,\5,\6$. Visų šių verčių tikimybė yra lygi $ 1/6 $. Tada atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

komentuoti. Kadangi diskrečiojo atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnyje įvykiai $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ sudaro visą įvykių grupę, tada tikimybių suma turi būti lygi vienetui, t. $\sum

2. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis.

Atsitiktinio dydžio laukimas nustato savo „centrinę“ reikšmę. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui matematinė lūkestis apskaičiuojamas kaip reikšmių $x_1,\taškai ,\ x_n$ ir šias reikšmes atitinkančių tikimybių $p_1,\taškai ,\ p_n$ sandaugų suma, ty : $M\left(X\right)=\sum ^n_ $. Literatūroje anglų kalba naudojama kita žyma $E\left(X\right)$.

Matematinės lūkesčių savybės$M\kairė(X\dešinė)$:

1. $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausio ir aukščiausios vertės atsitiktinis kintamasis $X$.
2. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai, t.y. $M\left(C\right)=C$.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3 pavyzdys . Raskime matematinį atsitiktinio dydžio $X$ laukimas iš pavyzdžio $2$.

Galime pastebėti, kad $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ($1$) ir didžiausios ($6$) atsitiktinio kintamojo $X$ reikšmių.

4 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $3X+5$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 USD.

5 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=4$. Raskite atsitiktinio dydžio $2X-9$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio sklaida.

Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės su vienodais matematiniais lūkesčiais gali skirtingai išsiskirstyti aplink jų vidutines vertes. Pavyzdžiui, dviese mokinių grupės GPA tikimybių teorijos egzaminui pasirodė lygus 4, tačiau vienoje grupėje visi pasirodė gerai, o kitoje - tik C mokiniai ir puikiai mokiniai. Todėl reikia skaitinės atsitiktinio dydžio charakteristikos, kuri parodytų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo matematinius lūkesčius. Ši savybė yra dispersija.

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija$X$ yra lygus:

Anglų literatūroje naudojamas žymėjimas $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Labai dažnai dispersija $D\left(X\right)$ apskaičiuojama naudojant formulę $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Dispersijos savybės$D\kairė(X\dešinė)$:

1. Dispersija visada yra didesnė arba lygi nuliui, t.y. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Konstantos dispersija lygi nuliui, t.y. $D\left(C\right)=0$.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, jei jis yra kvadratas, t.y. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6 pavyzdys . Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ dispersiją iš pavyzdžio $2$.

7 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $4X+1$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2 = 32$.

8 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=3$. Raskite atsitiktinio dydžio $3-2X$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3 = 12$.

4. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.

Diskretaus atsitiktinio dydžio vaizdavimo skirstinio eilutės forma metodas nėra vienintelis, o svarbiausia, jis nėra universalus, nes tolydžio atsitiktinio dydžio negalima nurodyti naudojant skirstinio eilutę. Yra ir kitas atsitiktinio dydžio atvaizdavimo būdas – pasiskirstymo funkcija.

Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis $X$ vadinamas funkcija $F\left(x\right)$, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis mažesnę reikšmę nei kokia nors fiksuota reikšmė $x$, tai yra $F\ left(x\right )=P\left(X 6$, tada $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\ kairė (X=3 \dešinė)+P\kairė (X=4\dešinė)+P\kairė (X=5\dešinė)+P\kairė (X=6\dešinė)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Paskirstymo funkcijos $F\left(x\right)$ grafikas:

Pagrindiniai paskirstymo dėsniai

1. Binominio skirstinio dėsnis.

Binominio skirstinio dėsnis nusako įvykio A m kartų tikimybę n nepriklausomi testai, su sąlyga, kad įvykio A pasireiškimo tikimybė p kiekviename bandyme yra pastovi.

Pavyzdžiui, buitinės technikos parduotuvės pardavimo skyrius iš 10 skambučių vidutiniškai sulaukia vieno televizorių pirkimo užsakymo. Sudarykite m televizorių pirkimo tikimybių pasiskirstymo dėsnį. Sukurkite tikimybių skirstinio daugiakampį.

Lentelėje m – įmonės gautų užsakymų televizoriui įsigyti skaičius. C n m – m televizorių kombinacijų skaičius n, p – įvykio A atsiradimo tikimybė, t.y. užsakant televizorių, q – įvykio A neįvykimo tikimybė, t.y. neužsisakius televizoriaus, P m,n – tikimybė užsakyti m televizorių iš n. 1 paveiksle parodytas tikimybių pasiskirstymo daugiakampis.

2.Geometrinis skirstinys.

Atsitiktinių dydžių geometrinis skirstinys turi tokią formą:

P m – įvykio A tikimybė bandymo numeriu m.
p yra įvykio A tikimybė vieno bandymo metu.
q = 1 - p

Pavyzdys. Buitinės technikos remonto įmonė gavo 10 atsarginių vienetų skalbimo mašinoms partiją. Kartais pasirodo, kad partijoje yra 1 sugedęs blokas. Patikra atliekama tol, kol aptinkamas sugedęs įrenginys. Būtina parengti patikrintų blokų skaičiaus paskirstymo įstatymą. Tikimybė, kad blokas gali būti sugedęs, yra 0,1. Sukurkite tikimybių skirstinio daugiakampį.

Lentelėje matyti, kad didėjant skaičiui m, mažėja tikimybė, kad bus aptiktas sugedęs blokas. Paskutinė eilutė (m=10) sujungia dvi tikimybes: 1 - kad dešimtas blokas pasirodė sugedęs - 0,038742049, 2 - kad visi patikrinti blokai pasirodė geri - 0,34867844. Kadangi tikimybė, kad įrenginys bus sugedęs, yra santykinai maža (p = 0,1), tada tikimybė paskutinis įvykis P m (išbandyta 10 blokų) yra palyginti didelė. 2 pav.

3. Hipergeometrinis skirstinys.

Atsitiktinio dydžio hipergeometrinis pasiskirstymas turi tokią formą:

Pavyzdžiui, sudarykite paskirstymo dėsnį 7 atspėtiems skaičiams iš 49. Į šiame pavyzdyje bendri skaičiai N=49, n=7 pašalinti skaičiai, M – iš viso skaičiai, kurie turi suteiktas turtas, t.y. teisingai atspėtų skaičių, m yra teisingai atspėtų skaičių tarp atimtų skaičių.

Lentelėje matyti, kad tikimybė atspėti vieną skaičių m=1 yra didesnė nei esant m=0. Tačiau tada tikimybė pradeda sparčiai mažėti. Taigi tikimybė atspėti 4 skaičius jau yra mažesnė nei 0,005, o 5 yra nereikšminga.

4.Puasono pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinis kintamasis X turi Puasono skirstinį, jei jo pasiskirstymo dėsnis yra tokios formos:

Np = konst
n yra bandymų skaičius iki begalybės
p yra įvykio tikimybė, linkusi į nulį
m yra įvykio A atvejų skaičius

Pavyzdžiui, per dieną televizoriais prekiaujanti įmonė sulaukia apie 100 skambučių. A televizoriaus prekės ženklo A užsakymo tikimybė yra 0,08; B – 0,06 ir C – 0,04. Parengti televizorių pirkimo užsakymų paskirstymo įstatymą A, B klasės ir C. Sukurkite tikimybių skirstinio daugiakampį.

Iš sąlygos turime: m=100, ? 1 = 8, ? 2 = 6, ? 3 = 4 (?10)

(lentelė nepateikta visa)

Jei n yra pakankamai didelis, kad eitų į begalybę, o p reikšmė lygi nuliui, tai sandauga np eina į pastovus skaičius, Tai šis įstatymas yra binominio skirstinio dėsnio aproksimacija. Iš grafiko aišku, kad labiau tikėtina p, tuo kreivė yra arčiau m ašies, t.y. plokštesnis. (4 pav.)

Reikėtų pažymėti, kad binominis, geometrinis, hipergeometrinis ir Puasono skirstiniai išreiškia diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymą.

5.Vienodas paskirstymo įstatymas.

Jei tikimybės tankis?(x) yra pastovi reikšmė per tam tikrą intervalą, tada pasiskirstymo dėsnis vadinamas vienodu. 5 paveiksle pavaizduoti tikimybių pasiskirstymo funkcijos ir tikimybių tankio grafikai vienoda teisė paskirstymus.

6.Normalaus skirstinio dėsnis (Gauso dėsnis).

Tarp nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių labiausiai paplitęs yra normalus įstatymas paskirstymus. Atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal normalaus pasiskirstymo dėsnį, jei jo tikimybės tankis turi tokią formą:

Kur
a yra atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis
? - vidutinis standartinis nuokrypis

Atsitiktinių dydžių, turinčių normalųjį skirstinio dėsnį, tikimybių tankio grafikas yra simetriškas tiesės x=a atžvilgiu, ty x yra lygus matematiniam lūkesčiui. Taigi, jei x = a, tada kreivės maksimumas yra lygus:

Pasikeitus matematinio lūkesčio vertei, kreivė pasislinks išilgai Ox ašies. Grafike (6 pav.) matyti, kad ties x=3 kreivė turi maksimumą, nes matematinis lūkestis yra 3. Jei matematinis lūkestis turi skirtingą reikšmę, pavyzdžiui, a=6, tai kreivė turės maksimumą ties x=6. Kalbant apie standartinį nuokrypį, kaip matyti iš grafiko, kuo didesnis standartinis nuokrypis, tuo mažesnis maksimali vertė atsitiktinio dydžio tikimybės tankis.

Funkcija, kuri išreiškia atsitiktinio dydžio pasiskirstymą intervale (-?, x) ir turi normalųjį pasiskirstymo dėsnį, išreiškiama Laplaso funkcija naudojant šią formulę:

Tie. atsitiktinio dydžio X tikimybė susideda iš dviejų dalių: tikimybės, kai x įgyja reikšmes nuo minus begalybės iki a, lygi 0,5, o antroji dalis - nuo a iki x. (7 pav.)

Mokykimės kartu

Naudinga medžiaga studentams, diplominiai ir kursiniai darbai pagal užsakymą

Pamoka: Diskrečiųjų atsitiktinių kintamųjų pasiskirstymo dėsnis

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinamas atitikimu tarp galimų verčių ir jų tikimybių. Jis gali būti nurodytas lentelėse, grafiškai ir analitiškai.

Kas yra atsitiktinis dydis, aptariama šioje pamokoje.

Taikant lentelės metodą, pirmoje lentelės eilutėje yra galimos reikšmės, o antroje - jų tikimybės, t.

Šis dydis vadinamas paskirstymo eilute diskrečiųjų atsitiktinių dydžių.

X=x1, X=x2, X=xn sudaro pilną grupę, nes viename bandyme atsitiktinis kintamasis turės vieną ir tik vieną galimą reikšmę. Todėl jų tikimybių suma lygi vienetui, tai yra p1 + p2 + pn = 1 arba

Jei X reikšmių rinkinys yra begalinis, tada 1 pavyzdys. Pinigų loterijoje išleidžiama 100 bilietų. Ištraukiamas vienas 1000 rublių laimėjimas ir 10 100 rublių. Raskite atsitiktinio dydžio X paskirstymo dėsnį – vieno loterijos bilieto savininko galimo laimėjimo kainą.

Reikalingas platinimo įstatymas yra tokios formos:

Kontrolė; 0,01+0,1+0,89=1.
At grafiškai nustatant platinimo įstatymą koordinačių plokštuma sukonstruoti taškus (Xi:Pi), tada sujungti juos tiesiomis atkarpomis. Gauta nutrūkusi linija paskambino paskirstymo daugiakampis. Pavyzdžiui, 1, paskirstymo daugiakampis parodytas 1 paveiksle.

At analitiniu būdu skirstinio dėsnio priskyrimai nurodo formulę, jungiančią atsitiktinio dydžio tikimybes su galimomis jo reikšmėmis.

Diskrečiųjų skirstinių pavyzdžiai

Binominis skirstinys

Tegul bus atlikta n bandymų, kurių kiekviename įvykyje įvyksta A pastovi tikimybė p, todėl neįvyksta su pastovia tikimybe q = 1- p. Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X-įvykio A atvejų skaičius šiuose n bandymų. Galimos X reikšmės yra x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Šių galimų tikimybių

Diskrečiųjų atsitiktinių kintamųjų pasiskirstymo dėsnis vadinamas Windows XP Word 2003 Excel 2003 Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžių verčių. ir […]

Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis paskambino kintamas kiekis, kuri priklausomai nuo atvejo gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis kintamasis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) naudojant paskirstymo funkcijos F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X< x).

Funkcijos F(x) savybės

3 . Paskirstymo dėsnį galima nurodyti grafiškai – paskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis labiausiai atspindinčius skaičius svarbias savybes paskirstymo įstatymas. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį.

Tokio pobūdžio skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis. :

• Pagrindinės skaitinės diskretinio atsitiktinio dydžio charakteristikos Matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) diskretinio atsitiktinio dydžio.
  M(X)=Σ x i p i
• Binominiam skirstiniui M(X)=np, Puasono skirstiniui M(X)=λ Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba. Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
  Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ
• Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis) σ(X)=√D(X).

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

1 užduotis.

Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Atsižvelgiant į problemos sąlygas, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3 užduotis.

Prietaisas susideda iš trijų nepriklausomai veikiančių elementų.

Sprendimas. 1. Kiekvieno elemento gedimo tikimybė viename eksperimente yra 0,1. Sudarykite vieno eksperimento nepavykusių elementų skaičiaus pasiskirstymo dėsnį, sukonstruokite skirstinio daugiakampį. Raskite pasiskirstymo funkciją F(x) ir nubraižykite ją. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Diskretus atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi tokias galimas reikšmes: x 1 =0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 =1 (vienas elementas nepavyko), x 3 =2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 =3 (trijų elementų nepavyko). Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra vienoda, todėl taikytina Bernulio formulė
. Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;

Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1. Taigi, norima dvinario dėsnis

Galimas x i reikšmes nubraižome išilgai abscisių ašies, o atitinkamas tikimybes p i išilgai ordinačių ašies. Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Šiuos taškus sujungę tiesių linijų atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

3. Raskime skirstinio funkciją F(x) = Р(Х

Funkcijos F(x) grafikas

4. Binominiam skirstiniui X:
- matematinė lūkestis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartinis nuokrypis σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Atsitiktiniai kintamieji“.

Užduotis 1 . Į loteriją išleista 100 bilietų. Ištrauktas vienas 50 USD laimėjimas. ir dešimt laimėjimų po 10 USD. Raskite reikšmės X pasiskirstymo dėsnį – galimų laimėjimų kainą.

Sprendimas. Galimos X reikšmės: x 1 = 0; x 2 = 10 ir x 3 = 50. Kadangi „tušti“ bilietai yra 89, tai p 1 = 0,89, tikimybė laimėti 10 USD. (10 bilietų) – p 2 = 0,10 ir laimėti 50 USD -p 3 = 0,01. Taigi:

Lengva valdyti: .

Užduotis 2. Tikimybė, kad pirkėjas iš anksto perskaitė prekės reklamą, yra 0,6 (p = 0,6). Atrankinė reklamos kokybės kontrolė atliekama apklausiant pirkėjus prieš pirmąjį iš anksto išstudijuotąjį reklamą. Sudarykite apklaustų pirkėjų skaičiaus paskirstymo eilutę.

Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas p = 0,6. Nuo: q=1 -p = 0,4. Pakeitę šias reikšmes, gauname: ir sudaryti paskirstymo seriją:

Užduotis 3. Kompiuteris susideda iš trijų savarankiškai veikiančių elementų: sisteminio bloko, monitoriaus ir klaviatūros. Padidėjus įtampai vieną kartą, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra 0,1. Remdamiesi Bernulio paskirstymu, parenkite sugedusių elementų skaičiaus paskirstymo dėsnį per tinklo galios viršįtampią.

Sprendimas. Pasvarstykime Bernulli paskirstymas(arba binominis): tikimybė, kad n testus, įvykis A pasirodys tiksliai k vieną kartą: , arba:

IN Grįžkime prie užduoties.

Galimos X reikšmės (gedimų skaičius):

x 0 =0 – nė vienas elementas nepavyko;

x 1 =1 – vieno elemento gedimas;

x 2 =2 – dviejų elementų gedimas;

x 3 =3 – visų elementų gedimas.

Kadangi pagal sąlygą p = 0,1, tada q = 1 – p = 0,9. Naudodami Bernulio formulę gauname

, ,

, .

Valdymas:.

Todėl reikalingas platinimo įstatymas:

4 problema. Pagaminta 5000 šovinių. Tikimybė, kad viena kasetė yra sugedusi . Kokia tikimybė, kad visoje partijoje bus lygiai 3 sugedusios kasetės?

Sprendimas. Taikoma Puasono pasiskirstymas: Šis skirstinys naudojamas norint nustatyti tikimybę, kad labai didelė

bandymų (masių testų) skaičius, kiekviename iš kurių įvykio A tikimybė yra labai maža, įvykis A įvyks k kartų: , Kur.

Čia n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Randame , tada norimą tikimybę: .

5 problema. Šaudant iki pirmo smūgio su pataikymo tikimybe p = 0,6 šaudant, reikia rasti tikimybę, kad pataikymas įvyks trečiuoju šūviu.

Sprendimas. Taikykime geometrinį skirstinį: atliksime nepriklausomus bandymus, kurių kiekviename įvykyje A yra tikimybė, kad įvyks p (o neįvyks q = 1 – p). Testas baigiasi, kai tik įvyksta įvykis A.

Tokiomis sąlygomis tikimybė, kad įvykis A įvyks k-tajame bandyme, nustatoma pagal formulę: . Čia p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Todėl .

6 problema. Pateikiame atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį:

Raskite matematinį lūkestį.

Sprendimas. .

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė.

7 problema. Raskite atsitiktinio dydžio X dispersiją pagal šį skirstymo dėsnį:

Sprendimas. Čia .

X vertės kvadrato paskirstymo dėsnis 2 :

Būtinas nuokrypis: .

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio (dispersijos) matą nuo jo matematinio lūkesčio.

8 problema. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas skirstiniu:

Raskite jo skaitines charakteristikas.

Sprendimas: m, m 2 ,

M 2 , m.

Apie atsitiktinį dydį X galime pasakyti: jo matematinė lūkestis yra 6,4 m, o dispersija 13,04 m 2 , arba – jo matematinė prognozė yra 6,4 m su m nuokrypiu. Antroji formuluotė akivaizdžiai aiškesnė.

Užduotis 9. Atsitiktinis kintamasis X pateikta paskirstymo funkcija:
.

Raskite tikimybę, kad atlikus testą reikšmė X įgis intervale esančią reikšmę .

Sprendimas. Tikimybė, kad X paims reikšmę iš tam tikro intervalo, lygi integralinės funkcijos prieaugiui šiame intervale, t.y. . Mūsų atveju ir todėl

.

Užduotis 10. Diskretus atsitiktinis dydis X paskirstymo įstatyme nurodyta:

Raskite paskirstymo funkciją F(x ) ir nubrėžkite jį.

Sprendimas. Kadangi paskirstymo funkcija,

Už , Tai

adresu ;

adresu ;

adresu ;

adresu ;

Atitinkama diagrama:

11 problema. Nuolatinis atsitiktinis dydis X pateikiama pagal diferencinio paskirstymo funkciją: .

Raskite pataikymo tikimybę X per intervalą

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad tai yra ypatingas eksponentinės paskirstymo įstatymo atvejis.

Naudokime formulę: .

Užduotis 12. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas, nurodytas skirstymo dėsniu:

PASKIRSTYMO DĖSNIS IR CHARAKTERISTIKOS

ATSITIKTINIAI KINTAMAI

Atsitiktiniai dydžiai, jų klasifikacija ir aprašymo metodai.

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, bet kuris iš anksto nežinomas. Todėl atsitiktiniam dydžiui galite nurodyti tik reikšmes, iš kurių vienos tikrai reikės kaip eksperimento rezultatas. Toliau šias reikšmes vadinsime galimomis atsitiktinio dydžio reikšmėmis. Kadangi atsitiktinis dydis kiekybiškai apibūdina atsitiktinį eksperimento rezultatą, jį galima laikyti kiekybine atsitiktinio įvykio charakteristika.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis, pavyzdžiui, X..Y..Z, o galimos jų reikšmės – atitinkamomis mažomis raidėmis.

Yra trijų tipų atsitiktiniai dydžiai:

Diskretus; Nepertraukiamas; Mišrus.

Diskretus yra atsitiktinis dydis, kurio galimų reikšmių skaičius sudaro skaičiuojamą aibę. Savo ruožtu aibė, kurios elementus galima sunumeruoti, vadinama skaičiuojama. Žodis „diskretus“ kilęs iš lotyniško žodžio discretus, reiškiančio „nepertraukiamas, susidedantis iš atskirų dalių“.

1 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra sugedusių dalių X skaičius nproduktų partijoje. Iš tiesų, galimos šio atsitiktinio dydžio reikšmės yra sveikųjų skaičių nuo 0 iki n.

2 pavyzdys. Diskretusis atsitiktinis dydis yra šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį. Čia, kaip ir 1 pavyzdyje, galimos reikšmės gali būti sunumeruotos, nors ribiniu atveju galima reikšmė yra be galo didelis skaičius.

Nuolatinis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą skaitinės ašies intervalą, kartais vadinamą šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalu. Taigi bet kuriame baigtiniame egzistavimo intervale nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra be galo didelis.

3 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra įmonės elektros energijos suvartojimas per mėnesį.

4 pavyzdys. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra paklaida matuojant aukštį naudojant aukščiamatį. Iš aukščiamačio veikimo principo aišku, kad paklaida yra intervale nuo 0 iki 2 m. Todėl šio atsitiktinio dydžio egzistavimo intervalas yra intervalas nuo 0 iki 2 m.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinis dydis laikomas visiškai apibrėžtu, jei jo galimos reikšmės yra nurodytos skaitinėje ašyje ir nustatytas pasiskirstymo dėsnis.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio verčių ir atitinkamų tikimybių.

Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis yra paskirstytas pagal tam tikrą dėsnį arba jam taikomas tam tikras pasiskirstymo įstatymas. Kai kurie tikimybių, pasiskirstymo funkcijos, tikimybių tankio ir charakteristikų funkcijos yra naudojami kaip pasiskirstymo dėsniai.

Pasiskirstymo dėsnis pateikia pilną tikėtiną atsitiktinio dydžio aprašymą. Pagal pasiskirstymo dėsnį, prieš eksperimentą galima nuspręsti, kurios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės pasirodys dažniau, o kurios rečiau.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Paprasčiausias diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nurodymo būdas yra lentelė (matrica), kurioje didėjimo tvarka surašytos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir jas atitinkančios tikimybės, t.y.

Tokia lentelė vadinama diskretiškojo atsitiktinio dydžio skirstinio seka. 1

Įvykiai X 1, X 2,..., X n, susidedantys iš to, kad atlikus testą atsitiktinis dydis X atitinkamai įgis x 1, x 2,... x n reikšmes. nenuoseklūs ir vieninteliai galimi (kadangi lentelėje pateikiamos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės), t.y. sudaryti pilną grupę. Todėl jų tikimybių suma lygi 1. Taigi bet kuriam diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui

(Šis vienetas kažkaip paskirstomas tarp atsitiktinio dydžio reikšmių, taigi ir terminas „paskirstymas“).

Pasiskirstymo eilutes galima pavaizduoti grafiškai, jei atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o jų atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Sujungus gautus taškus, susidaro trūkinė linija, vadinama tikimybių skirstinio daugiakampiu arba daugiakampiu (1 pav.).

PavyzdysĮ loteriją įeina: automobilis, kurio vertė 5000 den. vnt., 4 televizoriai, kainuojantys 250 den. vnt., 5 vaizdo registratoriai, kurių vertė 200 den. vienetų Iš viso 7 dienoms parduodama 1000 bilietų. vienetų Sudarykite loterijos dalyvio, įsigijusio vieną bilietą, grynųjų laimėjimų paskirstymo įstatymą.

Sprendimas. Galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės - grynasis laimėjimas už bilietą - yra lygios 0-7 = -7 pinigai. vienetų (jei bilietas nelaimėjo), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. vienetų (jei biliete yra atitinkamai vaizdo grotuvo, televizoriaus ar automobilio laimėjimai). Atsižvelgdami į tai, kad iš 1000 bilietų nelaimėjusiųjų skaičius yra 990, o nurodyti laimėjimai yra atitinkamai 5, 4 ir 1, ir naudojant klasikinį tikimybės apibrėžimą, gauname.