Paskaita: Funkcijos išvestinės samprata, geometrinė išvestinės reikšmė

Panagrinėkime kokią nors funkciją f(x), kuri bus ištisinė per visą svarstymo intervalą. Aptariamame intervale pasirenkame tašką x 0, taip pat funkcijos reikšmę šiame taške.

Taigi, pažiūrėkime į grafiką, kuriame pažymime savo tašką x 0, taip pat tašką (x 0 + ∆x). Prisiminkite, kad ∆х yra atstumas (skirtumas) tarp dviejų pasirinktų taškų.

Taip pat verta suprasti, kad kiekvienas x atitinka savoji vertė funkcijos y.

Skirtumas tarp funkcijos reikšmių taškuose x 0 ir (x 0 + ∆x) vadinamas šios funkcijos prieaugiu: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Atkreipkime dėmesį į papildomos informacijos, kuris yra grafike, yra sekantas, vadinamas KL, taip pat trikampis, kurį jis sudaro intervalais KN ir LN.

Kampas, kuriuo yra sekantas, vadinamas jo pasvirimo kampu ir žymimas α. Tai galima nesunkiai nustatyti laipsnio matas kampas LKN taip pat lygus α.

Dabar prisiminkime santykius stačiakampis trikampis tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Tai yra sekanto pasvirimo kampo liestinė lygus santykiui funkcijos padidėjimas iki argumentų padidėjimo.

Vienu metu išvestinė yra funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugiu be galo mažuose intervaluose riba.

Išvestinė nustato greitį, kuriuo funkcija keičiasi tam tikroje srityje.

Geometrinė reikšmė išvestinė

Jei tam tikrame taške rasite bet kurios funkcijos išvestinę, galite nustatyti kampą, kuriame bus grafiko liestinė tam tikroje srovėje OX ašies atžvilgiu. Atkreipkite dėmesį į grafiką – tangentinis nuolydžio kampas žymimas raide φ ir nustatomas koeficientu k tiesės lygtyje: y = kx + b.

Tai yra, galime daryti išvadą, kad geometrinė išvestinės reikšmė yra liestinės kampo liestinė tam tikrame funkcijos taške.

Kas yra darinys?
Išvestinės funkcijos apibrėžimas ir reikšmė

Daugelį nustebins netikėta šio straipsnio vieta mano autoriaus kurse apie vieno kintamojo funkcijos išvestinę ir jos taikymą. Juk kaip buvo nuo mokyklos laikų: standartiniame vadovėlyje pirmiausia pateikiamas darinio apibrėžimas, jo geometrinis, mechaninis pojūtis. Tada studentai randa funkcijų išvestinius pagal apibrėžimą ir, tiesą sakant, tik tada tobulina diferenciacijos techniką naudodami išvestinių lentelių.

Bet mano požiūriu, toks požiūris yra pragmatiškesnis: visų pirma, patartina GERAI SUPRASTAI funkcijos riba, ir ypač be galo maži kiekiai. Esmė ta išvestinės apibrėžimas grindžiamas ribos sąvoka, kuris yra prastai įvertintas mokyklos kursas. Štai kodėl nemaža dalis jaunųjų žinių granito vartotojų nesuvokia pačios darinio esmės. Taigi, jei esate prastai orientuotas diferencialinis skaičiavimas arba išmintingos smegenys už daugelį metų sėkmingai atsikratėte šio bagažo, pradėkite nuo to funkcijų ribos. Tuo pačiu metu įvaldykite / prisiminkite jų sprendimą.

Tas pats praktinis pojūtis rodo, kad tai pirmiausia naudinga išmokti rasti išvestinius, įskaitant sudėtingų funkcijų dariniai. Teorija yra teorija, bet, kaip sakoma, visada norisi atskirti. Šiuo atžvilgiu geriau išstudijuoti išvardytus dalykus pagrindinės pamokos, o gal ir taps diferenciacijos meistras net nesuvokdami savo veiksmų esmės.

Perskaičius straipsnį rekomenduoju pradėti nuo šio puslapio medžiagos. Paprasčiausios problemos su išvestinėmis priemonėmis, kur visų pirma nagrinėjama funkcijos grafiko liestinės problema. Bet tu gali palaukti. Faktas yra tas, kad daugeliui išvestinės taikymų nereikia jos suprasti, ir nenuostabu, kad teorinė pamoka pasirodė gana vėlai - kai reikėjo paaiškinti didėjančių/mažėjančių intervalų ir ekstremalų radimas funkcijas. Be to, jis gana ilgą laiką buvo šioje temoje. Funkcijos ir grafikai“, kol galiausiai nusprendžiau įdėti anksčiau.

Todėl, mieli arbatinukai, neskubėkite kaip alkani gyvūnai įsisavinti darinio esmės, nes sodrumas bus neskanus ir nepilnas.

Funkcijos didėjimo, mažėjimo, maksimumo, minimumo sąvoka

Daugelis mokymo priemones veda prie išvestinės sąvokos naudojant kai kuriuos praktines problemas, ir aš taip pat sugalvojau įdomus pavyzdys. Įsivaizduokite, kad ruošiamės keliauti į miestą, kurį galima pasiekti įvairiais būdais. Iškart atmeskime vingiuotus kelius ir svarstykime tik tiesius greitkelius. Tačiau tiesiosios kryptys taip pat skiriasi: į miestą galite patekti lygiu greitkeliu. Arba kalvotu greitkeliu – aukštyn ir žemyn, aukštyn ir žemyn. Kitas kelias eina tik įkalnėn, o kitas visą laiką leidžiasi žemyn. Ekstremalūs entuziastai rinksis maršrutą per tarpeklį su stačiu skardžiu ir stačiu kopimu.

Bet kad ir kokie būtų jūsų pageidavimai, patartina žinoti vietovę arba bent jau ją rasti topografinis žemėlapis. O jei tokios informacijos trūksta? Juk galima rinktis, pavyzdžiui, lygų taką, bet dėl ​​to užklysti į slidinėjimo trasą su linksmais suomiais. Netiesa, kad navigatorius ar net palydovinė nuotrauka pateiks patikimus duomenis. Todėl būtų malonu įforminti tako reljefą naudojant matematiką.

Pažiūrėkime į kelią (vaizdas iš šono):

Bet kokiu atveju primenu elementarų faktą: kelionių būna iš kairės į dešinę. Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad funkcija tęstinis nagrinėjamoje teritorijoje.

Kokios yra šio grafiko ypatybės?

Protarpiais funkcija didėja, tai yra, kiekviena kita jo reikšmė daugiau ankstesnis. Grubiai tariant, tvarkaraštis yra iš apačios į viršų(lipame į kalną). O intervale funkcija mažėja– kiekvienas kitą vertę mažiau ankstesnis, o mūsų tvarkaraštis yra iš viršaus žemyn(leidžiame šlaitu žemyn).

Taip pat atkreipkime dėmesį į vienetiniai taškai. Taške, kurį pasiekiame maksimalus, tai yra egzistuoja tokia kelio atkarpa, kurioje reikšmė bus didžiausia (didžiausia). Tuo pačiu metu tai pasiekiama minimumas, Ir egzistuoja jos kaimynystėje, kurioje vertė yra mažiausia (mažiausia).

Klasėje pažvelgsime į griežtesnę terminologiją ir apibrėžimus. apie funkcijos kraštutinumą, bet kol kas panagrinėkime dar vieną svarbi savybė: intervalais funkcija didėja, bet didėja Su skirtingu greičiu . Ir pirmas dalykas, kuris patraukia jūsų dėmesį, yra tai, kad grafikas pakyla per intervalą daug šaunesnis, nei intervale . Ar įmanoma matematiniais įrankiais išmatuoti kelio statumą?

Funkcijos kitimo greitis

Idėja tokia: paimkime tam tikrą vertę (skaitykite "delta x"), kurį paskambinsime argumentų prieaugis, ir pradėkime „išbandyti“ įvairiuose savo kelio taškuose:

1) Pažiūrėkime į kairiausią tašką: įveikę atstumą, lipame šlaitu į aukštį ( žalia linija). Kiekis vadinamas funkcijos padidėjimas, ir viduje šiuo atvejušis padidėjimas yra teigiamas (reikšmių skirtumas išilgai ašies yra didesnis už nulį). Sukurkime santykį, kuris bus mūsų kelio statumo matas. Akivaizdu, kad tai yra labai konkretus skaičius, ir kadangi abu žingsniai yra teigiami, tada .

Dėmesio! Pavadinimai yra VIENA simbolis, tai yra, negalite „nuplėšti“ „deltos“ nuo „X“ ir atsižvelgti į šias raides atskirai. Žinoma, komentaras taip pat susijęs su funkcijos prieaugio simboliu.

Ištirkime gautos trupmenos prigimtį prasmingiau. Iš pradžių būkime 20 metrų aukštyje (kairiame juodajame taške). Įveikę metrų atstumą (kairė raudona linija), atsidursime 60 metrų aukštyje. Tada funkcijos padidėjimas bus metrų (žalia linija) ir: . Taigi, ant kiekvieno metrošioje kelio atkarpoje ūgis didėja vidutiniškai 4 metrais...pamiršote laipiojimo įrangą? =) Kitaip tariant, sukonstruotas ryšys apibūdina funkcijos VIDUTINIĄ POKYČIŲ (šiuo atveju augimą) GRĄ.

Pastaba : skaitines reikšmes Nagrinėjamas pavyzdys tik apytiksliai atitinka brėžinio proporcijas.

2) Dabar eikime tuo pačiu atstumu nuo dešiniojo juodojo taško. Čia kilimas yra laipsniškesnis, todėl prieaugis (raudonoji linija) yra palyginti mažas, o santykis, palyginti su ankstesniu atveju, bus labai kuklus. Santykinai kalbant, metrų ir funkcijos augimo greitis yra . Tai yra, čia yra kiekvienam kelio metrui vidutiniškai pusės metro aukščio.

3) Mažas nuotykis kalno šlaite. Pažiūrėkime į viršutinį juodą tašką, esantį ordinačių ašyje. Tarkime, kad tai yra 50 metrų žyma. Vėl įveikiame distanciją, ko pasekoje atsiduriame žemiau – 30 metrų lygyje. Kadangi judėjimas atliekamas iš viršaus žemyn(ašies „priešinga“ kryptimi), tada galutinis funkcijos prieaugis (aukštis) bus neigiamas: metrų (rudas segmentas brėžinyje). Ir šiuo atveju mes jau kalbame apie mažėjimo greitis Savybės: , tai yra, kiekvienam šios atkarpos tako metrui aukštis mažėja vidutiniškai 2 metrais. Penktame taške pasirūpinkite savo drabužiais.

Dabar paklauskime savęs: kokią „matavimo standarto“ vertę geriausia naudoti? Tai visiškai suprantama, 10 metrų yra labai grubus. Ant jų nesunkiai telpa keliolika kauburėlių. Kad ir iškiltų nelygumai, apačioje gali būti gilus tarpeklis, o po kelių metrų – kita jo pusė su dar stačiu pakilimu. Taigi, su dešimties metrų negausime suprantamo tokių kelio atkarpų aprašymo per santykį .

Iš aukščiau pateiktos diskusijos daroma tokia išvada: kaip mažesnė vertė , tuo tiksliau aprašome kelio topografiją. Be to, teisingi šie faktai:

– Bet kam kėlimo taškai galite pasirinkti vertę (net jei labai maža), kuri atitinka tam tikro padidėjimo ribas. Tai reiškia, kad atitinkamas aukščio prieaugis bus garantuotas teigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos augimą kiekviename šių intervalų taške.

- Taip pat, bet kokiam nuolydžio taškas yra vertė, kuri visiškai tilps šiame šlaite. Vadinasi, atitinkamas aukščio padidėjimas yra aiškiai neigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos sumažėjimą kiekviename duoto intervalo taške.

– Ypač įdomus atvejis, kai funkcijos kitimo greitis lygus nuliui: . Pirma, nulinis aukščio padidėjimas () yra lygaus kelio ženklas. Antra, yra ir kitų įdomių situacijų, kurių pavyzdžius matote paveikslėlyje. Įsivaizduokite, kad likimas atvedė mus į pačią kalvos viršūnę su sklandančiais ereliais arba į daubos dugną su kurkiančiomis varlėmis. Jei žengsite nedidelį žingsnį bet kuria kryptimi, aukščio pokytis bus nereikšmingas, ir galime pasakyti, kad funkcijos kitimo greitis iš tikrųjų yra lygus nuliui. Būtent toks vaizdas matomas taškuose.

Taip mes prieiname nuostabi galimybė idealiai tiksliai apibūdinti funkcijos kitimo greitį. Juk juk matematinė analizė leidžia nukreipti argumento prieaugį į nulį: , tai yra, padaryti jį be galo mažas.

Dėl to kyla kitas logiškas klausimas: ar įmanoma rasti kelią ir jo tvarkaraštį kita funkcija, kuris mums praneštų apie visas plokščias atkarpas, pakilimus, nusileidimus, viršūnes, slėnius, taip pat augimo/mažėjimo greitį kiekviename taške pakeliui?

Kas yra darinys? Išvestinės apibrėžimas.
Išvestinės ir diferencialo geometrinė reikšmė

Perskaitykite atidžiai ir ne per greitai – medžiaga paprasta ir visiems prieinama! Gerai, jei kai kuriose vietose kažkas neatrodo labai aišku, visada galite grįžti prie straipsnio vėliau. Pasakysiu daugiau, pravartu kelis kartus perstudijuoti teoriją, norint gerai suprasti visus dalykus (patarimas ypač aktualus „techie“ studentams, turintiems aukštoji matematika vaidina svarbų vaidmenį ugdymo procese).

Natūralu, kad pačiame išvestinės apibrėžime tam tikru momentu jį pakeičiame taip:

Prie ko priėjome? Ir padarėme išvadą, kad funkcijai pagal įstatymą yra suderintas kita funkcija, kuris vadinamas išvestinė funkcija(arba tiesiog išvestinė).

Išvestinė charakterizuoja kitimo greitis funkcijas Kaip? Idėja eina kaip raudona gija nuo pat straipsnio pradžios. Panagrinėkime kai kuriuos dalykus apibrėžimo sritis funkcijas Tegul funkcija yra diferencijuojama tam tikrame taške. Tada:

1) Jei , tada funkcija didėja taške . Ir akivaizdu, kad yra intervalas(net ir labai mažas), kuriame yra taškas, kuriame funkcija auga, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“.

2) Jei , tada funkcija mažėja taške . Ir yra intervalas, kuriame yra taškas, kuriame funkcija mažėja (grafikas eina „iš viršaus į apačią“).

3) Jei , tada be galo artišalia taško funkcija palaiko pastovų greitį. Tai atsitinka, kaip pažymėta, esant nuolatinei funkcijai ir kritiniuose funkcijos taškuose, ypač minimaliais ir maksimaliais taškais.

Šiek tiek semantikos. Kas yra plačiąja prasme ar reiškia veiksmažodis „diferencijuoti“? Atskirti reiškia pabrėžti bruožą. Išskirdami funkciją, jos kitimo greitį „išskiriame“ funkcijos išvestinės formos pavidalu. Ką, beje, reiškia žodis „darinys“? Funkcija atsitiko nuo funkcijos.

Sąvokas labai sėkmingai interpretuoja mechaninė vedinio reikšmė :
Panagrinėkime kūno koordinačių kitimo dėsnį, priklausantį nuo laiko, ir duoto kūno judėjimo greičio funkciją. Funkcija apibūdina kūno koordinačių kitimo greitį, todėl yra pirmoji funkcijos išvestinė laiko atžvilgiu: . Jei „kūno judėjimo“ sąvoka gamtoje neegzistuotų, tada jos nebūtų išvestinė„kūno greičio“ sąvoka.

Kūno pagreitis yra greičio kitimo greitis, todėl: . Jei pradinės sąvokos „kūno judėjimas“ ir „kūno greitis“ gamtoje neegzistuotų, tada jų nebūtų išvestinė„kūno pagreičio“ sąvoka.

Abstraktus atvira pamoka GBPOU mokytojas Mokytojų kolegija Nr. 4 Sankt Peterburgas“

Martusevičius Tatjana Olegovna

Data: 2014-12-29.

Tema: Darinių geometrinė reikšmė.

Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos.

Mokymo metodai: vizualiai, iš dalies paieška.

Pamokos tikslas.

Supažindinkite su funkcijos grafiko taške liestinės sąvoka, išsiaiškinkite, kokia geometrinė išvestinės reikšmė, išveskite liestinės lygtį ir išmokykite ją rasti.

Ugdymo tikslai:

Suvokti išvestinės geometrinę reikšmę; liestinės lygties išvedimas; išmokti spręsti pagrindines problemas;

pateikti medžiagos pakartojimą tema „Išvestinės apibrėžimas“;

sudaryti sąlygas žinių ir įgūdžių kontrolei (savikontrolei).

Vystymo užduotys:

skatinti įgūdžių taikyti palyginimo, apibendrinimo ir pagrindinio dalyko išryškinimo metodus formavimąsi;

toliau ugdyti matematinius horizontus, mąstymą ir kalbą, dėmesį ir atmintį.

Edukacinės užduotys:

skatinti domėjimąsi matematika;

aktyvumo, mobilumo, bendravimo įgūdžių ugdymas.

Pamokos tipas – kombinuota pamoka naudojant IKT.

Įranga – multimedijos instaliacija, pristatymasMicrosoftGaliaTaškas.

Pamokos etapas

Laikas

Mokytojo veikla

Studentų veikla

1. Organizacinis momentas.

Nurodykite pamokos temą ir tikslą.

Tema: Darinių geometrinė reikšmė.

Pamokos tikslas.

Supažindinkite su funkcijos grafiko taške liestinės sąvoka, išsiaiškinkite, kokia geometrinė išvestinės reikšmė, išveskite liestinės lygtį ir išmokykite ją rasti.

Mokinių paruošimas darbui klasėje.

Pasiruošimas darbui klasėje.

Pamokos temos ir tikslo supratimas.

Užrašų darymas.

2. Pasiruošimas mokytis naujos medžiagos kartojant ir atnaujinant pagrindines žinias.

Pagrindinių žinių kartojimo ir atnaujinimo organizavimas: darinio apibrėžimas ir jo fizinės reikšmės formulavimas.

Darinio apibrėžimo formulavimas ir jo fizinės reikšmės formulavimas. Pagrindinių žinių kartojimas, atnaujinimas ir įtvirtinimas.

Kartojimo organizavimas ir išvestinės paieškos įgūdžių ugdymas galios funkcija ir elementariosios funkcijos.

Šių funkcijų išvestinės radimas naudojant formules.

Savybių pasikartojimas tiesinė funkcija.

Kartojimas, piešinių ir mokytojo teiginių suvokimas

3. Darbas su nauja medžiaga: paaiškinimas.

Funkcijos prieaugio ir argumentų prieaugio ryšio reikšmės paaiškinimas

Išvestinės geometrinės reikšmės paaiškinimas.

Naujos medžiagos įvedimas per žodinius paaiškinimus naudojant vaizdus ir vaizdines priemones: multimedijos pristatymas su animacija.

Paaiškinimo suvokimas, supratimas, atsakymas į mokytojo klausimus.

Suformuluoti klausimą mokytojui iškilus sunkumams.

Suvokimas nauja informacija, jos pagrindinis supratimas ir supratimas.

Klausimų mokytojui formulavimas iškilus sunkumams.

Užrašo kūrimas.

Išvestinės geometrinės reikšmės formulavimas.

Trijų atvejų svarstymas.

Užsirašinėjimas, piešinių darymas.

4. Darbas su nauja medžiaga.

Pirminis studijuojamos medžiagos suvokimas ir taikymas, jos įtvirtinimas.

Kuriuose taškuose išvestinė yra teigiama?

Neigiamas?

Lygus nuliui?

Mokymai rasti algoritmą atsakant į klausimus pagal grafiką.

Suprasti, įprasminti ir pritaikyti naują informaciją sprendžiant problemą.

5. Pirminis studijuojamos medžiagos suvokimas ir taikymas, jos įtvirtinimas.

Pranešimas apie užduoties sąlygas.

Užduoties sąlygų fiksavimas.

Suformuluoti klausimą mokytojui iškilus sunkumams

6. Žinių taikymas: savarankiškas ugdomasis darbas.

Išspręskite problemą patys:

Įgytų žinių pritaikymas.

Savarankiškas darbas sprendžiant išvestinės iš brėžinio radimo problemą. Atsakymų aptarimas ir tikrinimas poromis, klausimo mokytojui formulavimas iškilus sunkumams.

7. Darbas su nauja medžiaga: paaiškinimas.

Funkcijos grafiko liestinės lygties išvedimas taške.

Išsamus paaiškinimas funkcijos grafiko liestinės lygties išvedimas taške naudojant daugialypės terpės pristatymą aiškumo dėlei, atsakant į studentų klausimus.

Tangentinės lygties išvedimas kartu su mokytoju. Atsakymai į mokytojo klausimus.

Užrašų darymas, piešinio kūrimas.

8. Darbas su nauja medžiaga: paaiškinimas.

Dialoge su studentais algoritmo išvedimas duotosios funkcijos grafiko liestinės tam tikrame taške lygčiai.

Dialoge su mokytoju išveskite algoritmą, kaip rasti tam tikros funkcijos grafiko liestinės lygtį tam tikrame taške.

Užrašų darymas.

Pranešimas apie užduoties sąlygas.

Įgytų žinių pritaikymo mokymai.

Problemos sprendimo būdų paieškos ir jų įgyvendinimo organizavimas. išsamią analizę sprendimai su paaiškinimu.

Užduoties sąlygų fiksavimas.

Darant prielaidas apie galimi būdai problemos sprendimas įgyvendinant kiekvieną veiksmų plano punktą. Problemos sprendimas kartu su mokytoju.

Užfiksuokite problemos sprendimą ir atsakymą.

9. Žinių taikymas: savarankiškas mokomojo pobūdžio darbas.

Individualus valdymas. Prireikus studentams teikiamos konsultacijos ir pagalba.

Patikrinkite ir paaiškinkite sprendimą naudodami pristatymą.

Įgytų žinių pritaikymas.

Savarankiškas darbas sprendžiant išvestinės iš brėžinio radimo problemą. Atsakymų aptarimas ir tikrinimas poromis, klausimo mokytojui formulavimas iškilus sunkumams

10. Namų darbai.

§48, 1 ir 3 uždaviniai, supraskite sprendimą ir užsirašykite jį su brėžiniais į sąsiuvinį.

№ 860 (2,4,6,8),

Pranešimas namų darbai su komentarais.

Namų darbų įrašymas.

11. Apibendrinimas.

Pakartojome išvestinės apibrėžimą; fizinę reikšmę darinys; tiesinės funkcijos savybės.

Sužinojome, kokia geometrinė išvestinės reikšmė.

Išmokome išvesti tam tikros funkcijos grafiko liestinės lygtį tam tikrame taške.

Pamokos rezultatų taisymas ir patikslinimas.

Pamokos rezultatų sąrašas.

12. Refleksija.

1. Pamoka jums pasirodė: a) lengva; b) paprastai; c) sunku.

a) visiškai įvaldęs, galiu pritaikyti;

b) išmoko, bet sunkiai pritaiko;

c) nesuprato.

3. Multimedijos pristatymas klasėje:

a) padėjo įsisavinti medžiagą; b) nepadėjo įsisavinti medžiagos;

c) trukdė įsisavinti medžiagą.

Refleksijos vedimas.

Darbo tipas: 7

Būklė

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b, atsižvelgiant į tai, kad liestinės taško abscisė.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė. Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, tai yra, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas vienu metu priklauso abiem funkcija ir liestinė, tai yra -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Gauname lygčių sistemą

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Darbo tipas: 7
Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Būklė

Atsakymas

Rodyti sprendimą

Tema: Darinių geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei.

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Raskite liestinės taško abscisę. Funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko tiesės kampinis koeficientas savavališkame taške x_0 yra lygus y"(x_0). Bet y"=-2x+5, o tai reiškia y" (x_0)=-2x_0+5. Sąlygoje nurodytas tiesės koeficientas y=-3x+4 lygiagrečios tiesės turi tokius pat kampinius koeficientus, kad = -2x_0 +5=-3. Gauname: x_0 = 4.

Darbo tipas: 7
Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Būklė

Rodyti sprendimą

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m.

Profilio lygis “ Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova. Iš paveikslo nustatome, kad liestinė eina per taškus A(-6; 2) ir B(-1; 1). C(-6; 1) pažymėkime tiesių x=-6 ir y=1 susikirtimo tašką, o \alpha – kampą ABC (paveiksle matote, kad jis smailus). Tada tiesė AB sudaro kampą \pi -\alpha su teigiama Ox ašies kryptimi, kuri yra bukoji.

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Kaip žinoma, tg(\pi -\alpha) bus funkcijos f(x) išvestinės reikšmė taške x_0.

Darbo tipas: 7
Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Būklė

Atkreipkite dėmesį, kad

Rodyti sprendimą

tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Iš čia, naudodami redukcijos formules, gauname:

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, tai yra, y"(x_0)=32x_0+b=-2. Kita vertus, liestinės taškas vienu metu priklauso abiem funkcija ir liestinė, tai yra 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Gauname lygčių sistemą \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(atvejai)

Išspręsdami sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Kaip žinoma, tg(\pi -\alpha) bus funkcijos f(x) išvestinės reikšmė taške x_0.

Darbo tipas: 7
Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Būklė

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra didesni už nulį, todėl x_0=1, tada b=-2-32x_0=-34.

Rodyti sprendimą

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x), apibrėžtos intervale (-2; 8), grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=6, skaičių. Tiesi linija y=6 yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Kaip žinoma, tg(\pi -\alpha) bus funkcijos f(x) išvestinės reikšmė taške x_0.

Darbo tipas: 7
Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Būklė

Įjungta

Rodyti sprendimą

šią diagramą

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Kaip žinoma, tg(\pi -\alpha) bus funkcijos f(x) išvestinės reikšmė taške x_0.

Darbo tipas: 7
Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Būklė

tokie taškai yra ekstremumo taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 4 ekstremalūs taškai.

Rodyti sprendimą

Tiesė y=4x-6 lygiagreti funkcijos y=x^2-4x+9 grafiko liestinei.

Raskite liestinės taško abscisę. Funkcijos y=x^2-4x+9 grafiko liestinės nuolydis savavališkame taške x_0 yra lygus y"(x_0). Bet y"=2x-4, o tai reiškia y"(x_0)= 2x_0-4 Sąlygoje nurodytas liestinės y =4x-7 nuolydis lygus 4. Lygiagrečios tiesės turi tokius pat kampinius koeficientus, todėl randame tokią x_0 reikšmę, kad 2x_0-4=4. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x_0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x_0. Iš paveikslo nustatome, kad liestinė eina per taškus A(1; 1) ir B(5; 4).

Santykis $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ yra kampo $\alpha $1, sudaryto iš sekantinės MN su teigiama OX ašies kryptimi, liestinė. Kadangi $\Delta $x linkęs į nulį, taškas N priartės prie M, o sekanto MN ribinė padėtis bus taške M kreivės liestinė MT. Taigi išvestinė f`(x) yra lygi liestine kampo $\alpha $ kreivės liestinės suformuoto taške M (x, y) su teigiama kryptimi į OX ašį - liestinės kampinis koeficientas (1 pav.).

1 pav. Funkcijų grafikas

Skaičiuojant reikšmes naudojant formules (1), svarbu nepadaryti klaidų ženkluose, nes prieaugis gali būti ir neigiamas.

Taškas N, esantis kreivėje, gali būti nukreiptas į M iš bet kurios pusės. Taigi, jei 1 paveiksle, nurodykite liestinę priešinga kryptimi, kampas $\alpha $ pasikeis dydžiu $\pi $, o tai labai paveiks kampo liestinę ir atitinkamai nuolydis.

Išvada

Iš to seka, kad išvestinės egzistavimas yra susijęs su kreivės y = f(x) liestinės egzistavimu, o kampinis koeficientas - tg $\alpha $ = f`(x) yra baigtinis. Todėl liestinė neturėtų būti lygiagreti OY ašiai, kitaip $\alpha $ = $\pi $/2, o kampo liestinė bus begalinė.

Kai kuriuose taškuose ištisinė kreivė gali neturėti liestinės arba turėti liestinę, lygiagrečią OY ašiai (2 pav.). Tada funkcija negali turėti išvestinės šiose reikšmėse. Funkcijos kreivėje gali būti bet koks skaičius panašių taškų.

2 pav. Išskirtiniai kreivės taškai

Apsvarstykite 2 paveikslą. Tegul $\Delta $x yra nulis nuo neigiamų arba teigiamų verčių:

\[\Delta x\to -0\begin(masyvas)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(masyvas)\]

Jei šiuo atveju santykiai (1) turi galutinę ribą, ji žymima taip:

Pirmuoju atveju išvestinė yra kairėje, antruoju – išvestinė dešinėje.

Ribos buvimas rodo kairiosios ir dešiniosios išvestinių lygiavertiškumą ir lygybę:

Jei kairioji ir dešinioji išvestinės yra nelygios, tai duotame taške yra liestinės, kurios nėra lygiagrečios OY (taškas M1, 2 pav.). Taškuose M2, M3 santykiai (1) linkę į begalybę.

Taškams N, esantiems kairėje nuo M2, $\Delta $x $

$M_2$ dešinėje $\Delta $x $>$ 0, bet išraiška taip pat yra f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Taškui $M_3$ kairėje $\Delta $x $$ 0 ir f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.y. išraiškos (1) tiek kairėje, tiek dešinėje yra teigiamos ir linkusios į +$\infty $, kai $\Delta $x artėja prie -0 ir +0.

Išvestinės nebuvimo atvejis konkrečių taškų tiesi linija (x = c) parodyta 3 paveiksle.

3 pav. Jokių išvestinių priemonių

1 pavyzdys

4 paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas ir grafiko liestinė abscisių taške $x_0$. Raskite funkcijos išvestinės reikšmę abscisėje.

Sprendimas. Išvestinė taške yra lygi funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykiui. Pasirinkime du liestinės taškus su sveikosiomis koordinatėmis. Pavyzdžiui, tai gali būti taškai F (-3,2) ir C (-2,4).