Хууль их тоозүй тогтол ба санамсаргүй байдлын хоорондын үндсэн холбоог томъёолдог тул магадлалын онолын төв хууль юм. Тухайлбал, олон тооны осол аваар нь хэв маягт хүргэдэг бөгөөд энэ нь үйл явдлын явцыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог гэж тэр үзэж байна. Хамгийн ихдээ ерөнхий хэлбэртэр өөрийгөө илэрхийлдэг Чебышевын теорем:

зөвшөөрөх ( Χ 1; X 2; … X n; ...) бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (тэдгээрийг гэж үздэг хязгааргүй тоо). Мөн тэдгээрийн хэлбэлзэл жигд хязгаарлагдмал байг (өөрөөр хэлбэл эдгээр бүх ялгаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнзарим тогтмолыг хэтрүүлж болохгүй ХАМТ):

Дараа нь бага ч гэсэн эерэг тоо, хязгаарлах магадлалын хамаарлыг хангана:

санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо хангалттай их байвал. Эсвэл, ижил зүйл юу вэ, магадлал

Ийнхүү Чебышевын теоремд хэрэв бид хангалттай их тоог авч үзвэл nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( Χ 1; X 2; … Xn), дараа нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тэдний математик хүлээлтийн арифметик дунджаас хазайх нь бараг найдвартай (нэгдмэл байдалтай ойролцоо магадлалтай) гэж үзэж болно. үнэмлэхүй үнэ цэнэхүссэнээрээ жижиг.

Баталгаа. Χ 1; X 2; … Xn):

(4)

; (5)

(1) нөхцөлийг харгалзан бид үүнийг тогтооно

(6)

Иймээс хэлбэлзэл нь . Энэ нь түүний эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд тархах үед юм математикийн хүлээлттодорхойгүй хугацаагаар буурдаг. Энэ нь үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл, . Эсвэл, илүү нарийвчлалтай хэлэхэд, санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээс ямар нэгэн байдлаар хазайх магадлал - тогтмол - тэг рүү чиглэдэг. Тухайлбал, дурын жижиг эерэг тооны хувьд

Тиймээс, батлагдсан Чебышев теоремын дагуу олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж ( Χ 1; X 2; … Xn), санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй байдлын шинж чанараа алдаж, өөрчлөгдөхгүй тогтмол болж хувирдаг. Энэ тогтмол нь утгуудын математик хүлээлтийн арифметик дундажтай тэнцүү байна ( Χ 1; X 2; … Xn). Энэ бол их тооны хууль юм.

Чебышевын теоремийн өөр нэг нотолгоог өгч болно. Үүнийг хийхийн тулд бид Чебышевын тэгш бус байдлыг ашигладаг. Энэ нь салангид болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн аль алинд нь хүчинтэй бөгөөд өөрийн гэсэн утгатай. Чебышевын тэгш бус байдал нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх нь үнэмлэхүй утгын эерэг тооноос хэтрэхгүй байх магадлалыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд Чебышевын тэгш бус байдлын нотолгоог танилцуулъя.

Чебышевын тэгш бус байдал:Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлтын магадлал Xтүүний математик хүлээлтээс үнэмлэхүй утга нь эерэг тооноос бага, дараахаас багагүй байна:

.

Баталгаа: Тэгш бус байдлын хэрэгжилтээс бүрдсэн үйл явдлуудаас хойш Тэгээд , эсрэг байна, тэгвэл тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, i.e. . Тиймээс бидний сонирхож буй магадлал. (*)

Бид олох болно . Үүний төлөө ялгааг олъёсанамсаргүй хувьсагч X.

Энэ дүнгийн бүх нөхцөл нь сөрөг биш юм. Эдгээр нөхцлүүдийг хасъя (Үлдсэн нөхцлийн хувьд ), үүний үр дүнд хэмжээ нь зөвхөн буурч болно. Үүнийг тодорхой гэж үзэхийг зөвшөөрье кэхний нөхцлүүд (хуваарилалтын хүснэгтэд боломжит утгуудыг яг энэ дарааллаар дугаарласан гэж бид таамаглах болно). Тиймээс,

Учир нь тэгш бус байдлын хоёр тал эерэг тул тэдгээрийг квадрат болгосноор бид эквивалент тэгш бус байдлыг олж авна . Үлдсэн нийлбэр дэх хүчин зүйл бүрийг орлуулж, энэ тайлбарыг ашиглацгаая тоо (энэ тохиолдолд тэгш бус байдал зөвхөн нэмэгдэж болно), бид олж авна. (**)

Нэмэх теоремын дагуу магадлалын нийлбэр нь магадлал юм Xүнэт зүйлсийн аль нь ч хамаагүй нэгийг нь авна , тэдгээрийн аль нэгнийх нь хувьд хазайлт нь тэгш бус байдлыг хангадаг . Үүнээс үзэхэд нийлбэр нь магадлалыг илэрхийлдэг . Энэ нь тэгш бус байдлыг (**) дараах байдлаар дахин бичих боломжийг бидэнд олгоно: . (***).

Орлуулж үзье (***) В (*) мөн бид авдаг , энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Чебышевын теорем 2-ын баталгаа:

Шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж ( Χ 1; X 2; … Xn):

Математикийн хүлээлт ба тархалтын шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

; . (*)

Чебышевын тэгш бус байдлыг хэмжигдэхүүнд хэрэглэхэд бид байна.

(*) харьцааг авч үзвэл

Нөхцөлөөр бол гэсэн үг . (***) Баруун гар талыг (***) тэгш бус байдалд (**) орлуулах нь бидэнд байна

Эндээс, -ийн хязгаарт хүрч, бид олж авна

Магадлал нь нэгээс хэтрэхгүй тул эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүнийг бид нотлох шаардлагатай байсан.

Чебышевын теоремын нэг чухал тохиолдлыг авч үзье. Тухайлбал, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( Χ 1; X 2; … Xn) байна ижил хуулиудхуваарилалт, тиймээс адилхан тоон шинж чанар:

(8)

Дараа нь (5) -ын дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид:

(9)

Энэ тохиолдолд хязгаарлах магадлалын хамаарал (7) дараах хэлбэртэй байна.

(10)

(10)-аас дараах дүгнэлт байна их үнэ цэнэтөрөл бүрийн хэмжилт хийхдээ санамсаргүй алдаатай тэмцэх.

Жишээлбэл, та тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмжих хэрэгтэй А. Бид нэг биш, хэд хэдэн үйлдвэрлэх болно ( n) энэ хэмжигдэхүүний утгын бие даасан давтан хэмжилт. Аливаа хэмжилт нь хэмжих хэрэгслийн төгс бус байдал, хэмжилтийн бүх төрлийн санамсаргүй хөндлөнгийн оролцоо гэх мэт санамсаргүй алдаанаас үүдэлтэй байдаг. Тиймээс үр дүн ( Χ 1; X 2; … Xn) хүссэн утгын бие даасан дараалсан хэмжилт А, ерөнхийдөө өгөгдөхгүй - тэдгээр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх болно. Түүгээр ч зогсохгүй байгаа тоо хэмжээгээр ижил хуваарилалт, учир нь хэмжилтийг дахин дахин, өөрөөр хэлбэл тогтмол хийдэг гадаад нөхцөл. Дараа нь тоо хэмжээний хувьд - бүх үр дүнгийн арифметик дундаж nхэмжилт - хязгаарлах магадлалын хамаарал (10) биелнэ. Энэ нь энэ арифметик дундаж нь санамсаргүй байдлын шинж чанараа алдаж, болж хувирдаг гэсэн үг юм А- хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга. Үүнийг дашрамд хэлэхэд (9) томъёогоор нотолж байгаа бөгөөд үүний дагуу:

(11)

Энэ нь хүссэн хэмжээгээр хангалттай олон тооны давтан хэмжилт хийсэн гэсэн үг юм А, тус бүрт санамсаргүй хэмжилтийн алдаа гарах боломжтой бөгөөд дараа нь дундажийг олох боломжтой арифметик үр дүнЭдгээр хэмжилтийн хувьд бид томъёог ашигладаг

А(12)

бид үнэ цэнийг нь авч чадна мөн санамсаргүй алдаа гаргахгүй.

Энэ дүгнэлт нь их тооны хуулийн үр дагавар юм. IN энэ тохиолдолдЭнэ хууль нь хэмжилтийн үр дүнг нэгтгэн дүгнэхэд (4) байгаагаар илэрдэг. санамсаргүй алдааЗарчмын хувьд нэмэх ба хасах тэмдгээр ижил давтамжтайгаар тохиолддог бие даасан хэмжээсүүд нь ерөнхийдөө бие биенээ үгүйсгэдэг. Үлдсэн алдаа нь хуваагдсан хэвээр байх болно n, өөрөөр хэлбэл, энэ нь цаашид буурах болно nнэг удаа. Тэгэхээр хэзээ том үнэ цэнэ nутга нь хэмжсэн утгатай бараг яг тэнцүү байх болно А. Энэхүү дүгнэлтийг практикт өргөнөөр ашигладаг.

Анхаарна уу. Хэмжээний хувьд тэд зөвхөн бие биенээ үгүйсгэдэг санамсаргүй алдаахэмжилт, өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хүчин зүйлийн үйлдэлтэй холбоотой алдаа (хөндлөнгөөс). Гэхдээ системчилсэн (байнгын) алдаанууд, өөрөөр хэлбэл хэмжилт бүрт хамаарах алдаанууд нь мэдээжийн хэрэг. Жишээлбэл, төхөөрөмжид унасан сум (тохируулаагүй) нь хэмжилт бүрт тогтмол (системийн) алдаа үүсгэдэг тул эдгээр хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундаж дээр үүнийг үүсгэдэг. Хэмжилт хийхээс өмнө системчилсэн алдааг арилгах ёстой бөгөөд хэмжилтийн явцад үүнийг зөвшөөрөхгүй.

Дараа нь хэрэв α нь хэмжих хэрэгслийн хуваах утга юм бол бүх дахин хэмжилтийг α нарийвчлалтайгаар хийнэ. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг бүх хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундажийг зөвхөн α-ийн нарийвчлалтайгаар, өөрөөр хэлбэл төхөөрөмжийн нарийвчлалаар тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар зааж өгч болно.

Тиймээс хэмжигдэхүүнийг хангалттай олон тооны давтан хэмжилт хийсний дараа хүн үүнийг бодож болохгүй АДараа нь эдгээр хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундажийг олсноор бид олж авна ягутга учир А.Бид үүнийг зөвхөн хэмжих хэрэгслийн нарийвчлалын хүрээнд авах болно. Тэгээд ч гэсэн, хэрэв бид хасах юм бол системчилсэн алдаахэмжилт.

Энд бас нэг чухал зүйл байна онцгой тохиолдолих тооны хууль. Болъё X=k- зарим үйл явдлын тохиолдлын тоо АВ nдавтан шинжилгээ ( X- санамсаргүй хэмжигдэхүүн). Тэгээд зөвшөөрөх ба – үйл явдал тохиолдох, тохиолдохгүй байх магадлал Анэг туршилтанд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - үйл явдлын харьцангуй давтамж АВ nтуршилтууд. Бас танилцуулъя nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X 1, X 2, …X n), үйл явдлын тохиолдлын тоог илэрхийлдэг Аэхний, хоёрдугаарт, ... n-р туршилтууд. Дараа нь k = X 1 + X 2 +…+ X p, үйл явдал тохиолдох Аүйл явдал тохиолдох магадлалтай бараг давхцдаг Анэг туршилтанд. Энэ дүгнэлт нь олон хүний ​​магадлалыг олоход үндэслэсэн санамсаргүй үйл явдал, магадлалыг нь өөр аргаар олох боломжгүй (онолын хувьд).

Жишээ нь, тест нь гажигтай (тэгш хэмт бус) зоос шидэж, үйл явдал байг Аэнэ сорилтын хувьд энэ нь сүлд уналт юм. Үйл явдлын магадлал А By сонгодог томъёоэсвэл өөр аргаар онолын томъёоолоход хэцүү, учир нь ийм томьёо нь зоосны хэв гажилтын шинж чанарыг ямар нэгэн байдлаар тусгасан байх ёстой. Тиймээс зорилгод хүрэх жинхэнэ зам нь нэг юм: зоосыг дахин дахин шидэх (шидэлтийн тоо их байх тусам) n,сайн байх тусмаа) ба төрийн сүлд харагдах харьцангуй давтамжийг эмпирик байдлаар тодорхойлно. Хэрэв nтом бол их тооны хуулийн дагуу үүнийг хийх боломжтой өндөр магадлалтайгэж батлах .

Олон тооны хууль нь байгаль, нийгмийн олон үзэгдэлд илэрдэг.

Жишээ 1.Мэдэгдэж байгаагаар, битүү саванд байрлуулсан хий нь савны хананд шахалт үзүүлдэг. Хийн төлөвийн хуулиудын дагуу хийн тогтмол температурт энэ даралт тогтмол байна. Хийн даралт нь бие даасан молекулуудын хөлөг онгоцны хананд эмх замбараагүй нөлөөллөөс үүсдэг. Бүх молекулуудын хөдөлгөөний хурд, чиглэл өөр өөр байдаг тул хөлөг онгоцны хананд янз бүрийн молекулуудын нөлөөллийн хүч ч өөр өөр байдаг. Гэсэн хэдий ч савны хананд хийн даралтыг бие даасан молекулуудын нөлөөллийн хүчээр биш харин тэдгээрийн дундажхүчээр. Гэхдээ тэр дундаж шиг асар их тооүл хамааран идэвхтэй хүчнүүд, их тооны хуулийн дагуу бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно. Тиймээс савны ханан дээрх хийн даралт бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Жишээ 2. Жишээлбэл, автомашины даатгалтай ажилладаг даатгалын компани янз бүрийн даатгалын тохиолдлуудад (автомашины осол, зам тээврийн осол) өөр өөр даатгалын төлбөр төлдөг. Гэсэн хэдий ч, энэ даатгалын дүнгийн дундаж утга нь дунджаар олон янз байдаг nолон тооны хуулийн дагуу бие даасан даатгалын хэмжээ бараг өөрчлөгдөөгүй болно. Даатгалын нөхөн олговрын бодит статистик мэдээллийг судалж байж тодорхойлж болно. Даатгалын компани хохирохгүйн тулд үйлчлүүлэгчдээс авах даатгалын дундаж хураамж нь тухайн компанийн үйлчлүүлэгчдэд төлсөн дундаж хураамжаас өндөр байх ёстой. Гэхдээ компани өрсөлдөх чадвартай байхын тулд (бусад даатгалын компаниудтай сэтгэл татам байдлаар өрсөлдөхийн тулд) энэ урамшуулал хэт өндөр байх ёсгүй.

Бид энэ нотолгоог хоёр үе шаттайгаар явуулдаг. Эхлээд байгаа гэж үзээд энэ тохиолдолд нийлбэр дисперсийн теоремоор D(S„) байгааг анхаар. Чебышевын тэгш бус байдлын дагуу аливаа t > 0-ийн хувьд

t > n-ийн хувьд зүүн тал-аас бага, сүүлийн утга нь тэг рүү чиглэдэг. Энэ нь нотлох баримтын эхний хэсгийг дуусгана.

Одоо D()-ийн оршин тогтнох хязгаарлах нөхцөлийг хасъя. Энэ тохиолдлыг тайрах аргаар өмнөх тохиолдол болгон бууруулсан.

Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр шинэ багцыг дараах байдлаар тодорхойлно.

U k =, V k =0, хэрэв (2.2)

U k =0, V k =, хэрэв

Энд k=1,… , n ба тогтмол байна. Дараа нь

бүгдэд нь k.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг (f(j)) гэж үзье (бүх j хувьд ижил). Бид = M() байгаа гэж үзсэн тул нийлбэр

хязгаарлагдмал. Дараа нь бас бий

нийлбэр нь бүх j дээр хийгддэг. Хэдийгээр энэ нь n-ээс хамаардаг боловч энэ нь ижил байна гэдгийг анхаарна уу

U 1, U 2, ..., U n. Үүнээс гадна, төлөө, тиймийн тул дурын > 0 ба бүх хангалттай том n

U k нь бие биенээсээ хамааралгүй бөгөөд тэдгээрийн U 1 +U 2 +…+U n нийлбэрийг Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан хязгаарлагдмал дисперсийн хувьд X k-тэй яг ижил аргаар авч үзэж болно (2.1)

(2.6)-ын улмаас үүнийг дагадаг

Цуврал (2.4) нийлдэг тул n нэмэгдэх тусам сүүлийн нийлбэр тэг болох хандлагатай байна. Тиймээс хангалттай том n-ийн хувьд

тиймээс

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Гэхдээ (2.9) ба (2.12) хоёуланг нь бид олж авдаг

Тэд дур зоргоороо байдаг тул баруун талхүссэн хэмжээгээрээ бага хэмжээгээр хийж болох бөгөөд энэ нь нотлох баримтыг бүрэн дүүрэн болгодог.

"Хоргүй" тоглоомын онол

Олон тооны хуулийн мөн чанарыг цаашид шинжлэхдээ бид тоглогчдын уламжлалт нэр томъёог ашиглах болно, гэхдээ бидний бодол санаа үүнийг зөвшөөрөх болно. тэнцүүболон илүү ноцтой хэрэглээ, бидний хоёр үндсэн таамаглал статистик болон физикийн хувьд илүү бодитой байдаг. мөрийтэй тоглоом. Нэгдүгээрт, тоглогч хязгааргүй хөрөнгөтэй гэж бодъё, ингэснээр ямар ч алдагдал нь тоглоом дуусахад хүргэж чадахгүй. (Энэ таамаглалыг няцаах нь тоглогчийн сүйрлийн асуудалд хүргэдэг бөгөөд энэ нь магадлалын онолын оюутнуудын сонирхлыг байнга татдаг.) ​​Хоёрдугаарт, тоглогч хүссэн үедээ тоглоомыг тасалдуулах зан чанаргүй гэж бодъё: туршилтын n тоог урьдчилан засах ёстой бөгөөд ээлжийн тоглоомуудаас хамаарах ёсгүй. Үгүй бол хязгааргүй капиталаар адислагдсан тоглогч хэд хэдэн амжилтыг хүлээж, зөв ​​мөчид тоглоомоо зогсоох болно. Ийм тоглогч тухайн агшинд байж болох хэлбэлзлийг сонирхдоггүй, харин их тооны хуулиар бус давтагдсан логарифмын хуулиар дүрслэгдсэн урт цуврал тоглоомуудын хамгийн их хэлбэлзлийг сонирхдог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн k-ийг (эерэг эсвэл сөрөг) өгөөж болгон авч үзье k дахь давталттоглоомууд. Дараа нь S n = 1 +…+ k нийлбэр нь тоглоом n удаа давтагдсаны дараах нийт ялалт юм. Хэрэв давталт бүрийн өмнө тоглогч тоглолтонд оролцох эрхийн төлөө (заавал эерэг биш) шимтгэл төлдөг бол n нь түүний төлсөн нийт шимтгэлийг, S n нь нийт цэвэр ялалтыг илэрхийлнэ. Хэрэв p=M(k) байвал их тооны хууль үйлчилнэ. Ойролцоогоор том n-ийн хувьд S n-ийн ялгаа нь n-тэй харьцуулахад бага мэт санагдах нь нэлээд үндэслэлтэй юм. Тиймээс хэрэв p-ээс бага бол том n-ийн хувьд тоглогч өгөөжтэй байх магадлалтай. Үүний нэгэн адил хувь нэмэр нь бараг л алдагдалд хүргэдэг. Товчхондоо, боломж нь тоглогчийн хувьд ашигтай, харин боломж нь тааламжгүй байдаг.

Хэргийн талаар бид одоогоор юу ч хэлээгүйг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд цорын ганц боломжит дүгнэлт бол хэрэв хангалттай том бол S n - n нь n-тэй харьцуулахад маш өндөр магадлал бүхий нийт ашиг эсвэл алдагдал байх болно, гэхдээ S n - n гарах эсэх нь тодорхойгүй байна эерэг эсвэл сөрөг байх, өөрөөр хэлбэл, тоглоом ашигтай эсвэл сүйрүүлэх эсэх. Үүнийг анхаарч үзээгүй сонгодог онол, хор хөнөөлгүй үнэ гэж нэрлэдэг бөгөөд "хор хөнөөлгүй" тоглоом. "Хоргүй" тоглоом нь үнэхээр ашигтай, сүйрлийн аль аль нь байж болно гэдгийг та ойлгох хэрэгтэй.

"Хэвийн тохиолдолд" зөвхөн M(k) төдийгүй D(k) байх нь тодорхой байна. Энэ тохиолдолд их тооны хуулийг төв хязгаарын теоремоор нэмж оруулсан бөгөөд сүүлийнх нь "хор хөнөөлгүй" тоглоомд S n - n урт тоглоомын үр дүнд цэвэр ашиг олох нь маш үндэслэлтэй гэж хэлж байна. дараалал нь n 1/2 бөгөөд хангалттай том n үед энэ ашиг ойролцоогоор байх болно тэгш боломжэерэг эсвэл сөрөг. Тиймээс, хэрэв төв хязгаарын теорем хэрэгжвэл "хор хөнөөлгүй" тоглоом гэсэн нэр томьёо зөвтгөгдөнө, гэхдээ энэ тохиолдолд бид "урт тоглоомын үр дүнд" гэсэн үгсээр онцолсон хязгаарын теоремтой харьцаж байна. Нарийвчилсан дүн шинжилгээ(1.3)-д байгаа конвергенц нь дисперс нэмэгдэх тусам улам дорддогийг харуулж байна. Хэрэв энэ нь том бол ердийн ойролцоозөвхөн маш том n-д үр дүнтэй байх болно.

Тодруулж хэлбэл, түүнд рубль оруулахдаа тоглогч 10-ын магадлалтай (10-1) рубль хожих боломжтой, бусад тохиолдолд буурсан рубльээ алдах машиныг төсөөлөөд үз дээ. Энд бид Бернулли тестүүдтэй бөгөөд тоглоом нь "хор хөнөөлгүй" юм. Нэг сая туршилтыг дуусгасны дараа тоглогч үүний төлөө сая рубль төлөх болно. Энэ хугацаанд тэрээр 0, 1,2,... удаа ялж чадна. Пуассоны ойролцоо тооцооны дагуу бином тархалт, хэдэн аравтын орон хүртэл нарийвчлалтай, яг k удаа хожих магадлал e -1 /k!-тэй тэнцүү байна. Тиймээс 0.368 магадлалтай байна. . . тоглогч нэг сая алдах бөгөөд ижил магадлалтайгаар тэр зөвхөн зардлаа нөхөх болно; тэр яг нэг саяыг авах гэх мэт 0.184... магадлалтай. Энд 10 6 туршилт нь Пуассон тархалттай үр өгөөжтэй тоглоомын нэг удаагийн туршилттай тэнцэнэ.

Ийм нөхцөлд олон тооны хуулийг хэрэглэх нь утгагүй нь ойлгомжтой. Энэ схемд гал түймэр, автомашины осол гэх мэт даатгал багтана. Их хэмжээний эрсдэлд өртөх боловч холбогдох магадлал маш бага байна. Гэхдээ энд ихэвчлэн жилд нэг л сорил байдаг тул n тоо хэзээ ч их болдоггүй. Даатгуулагчийн хувьд тоглоом нь эдийн засгийн хувьд нэлээд ашигтай байж болох ч "хор хөнөөлгүй" байх албагүй. Их тооны хууль үүнд ямар ч хамаагүй. Даатгалын компанийн хувьд энэ нь олон тооны тоглоомуудтай харьцдаг боловч их хэмжээний зөрүүгээс болж санамсаргүй хэлбэлзэл гарч ирдэг. Даатгалын хураамжийг тодорхой жилүүдэд их хэмжээний хохирол амсахгүйн тулд тогтоох ёстой, тиймээс компани олон тооны хуулиас илүүтэй сүйрлийн асуудлыг сонирхож байна.

Хугацаа нь хязгааргүй байх үед "хор хөнөөлгүй" тоглоомын нэр томъёо нь утгагүй болно; Нийт цэвэр ашиг S n - n тэг орчим хэлбэлздэг гэж үзэх үндэслэл байхгүй. Үнэхээр. Үүний үр дүнд тоглогч цэвэр алдагдал хүлээх магадлал нэг рүү чиглэдэг "хор хөнөөлгүй" тоглоомуудын жишээ байдаг. Их тооны хуулинд зөвхөн энэ алдагдал нь n-ээс бага дараалалтай байх болно гэж заасан боловч үүнээс өөр зүйл хэлэх боломжгүй. Хэрэв a n нь дурын дарааллыг бүрдүүлж, n /n0 байвал тоглоомын n давталтын үр дүнд нийт цэвэр алдагдал нь n-ээс давах магадлал нэг болох "хор хөнөөлгүй" тоглоом зохион байгуулах боломжтой.

Магадлалын онол дахь "их тооны хууль" гэдэг нь олон тооны туршилтын дундаж шинж чанарууд нь тодорхой тогтмол үзүүлэлтүүдэд ойртож байгааг тодорхой нөхцлөөр тогтоодог математик теоремуудын цуврал гэж ойлгодог.

Энэ нь Чебышевын тэгш бус байдал дээр суурилдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн үнэмлэхүй утга дахь математикийн хүлээлтээс хазайх нь эерэг ε тооноос бага байх магадлал нь дараахаас багагүй байна.

Дискрет ба тасралтгүй r.v-д хүчинтэй.

53. Чебышевын теорем.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хязгааргүй дараалал байг ижил математикийн хүлээлттэй, ижил тогтмол C-ээр хязгаарлагдсан хэлбэлзэлтэй:

Дараа нь эерэг тоо ямар ч байсан, үйл явдлын магадлал нэг рүү чиглэдэг.

54. Бернуллигийн теорем.

n-г үйлдвэрлэе бие даасан туршилтууд, тус бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p-тэй тэнцүү байна.

55. Ляпуновын төв хязгаарын теоремын тухай ойлголт.

Маш ерөнхий нөхцөлд олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалт нь хэвийн тархалттай ойролцоо байна.

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь практикт өргөн тархсан байдаг. Үүний тайлбарыг А.М.Ляпунов төв хязгаарын теоремд өгсөн: хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь маш олон тооны харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн тус бүр нь нийт нийлбэрт үзүүлэх нөлөө нь үл тоомсорлодог. хэвийн хэмжээнд ойр тархалт.

56. Нийтлэг хүн ам ба түүвэр: үндсэн тодорхойлолт, ойлголт.

Математик статистик нь санамсаргүй массын үзэгдлийн зүй тогтлыг судлах зорилгоор туршилтын өгөгдлийг олж авах, дүрслэх, боловсруулах аргыг боловсруулах шинжлэх ухаан юм.

Математик статистикийн асуудлууд:

Хэмжилтийн үр дүнд үндэслэн үл мэдэгдэх тархалтын функцийг тооцоолох.

Зэрэг үл мэдэгдэх параметрүүдхуваарилалт.

Статик таамаглалыг шалгах.

Зарим тоон шинж чанарыг судалж үзье x.

Дараа нь нийтийг түүний бүх боломжит утгуудын багц гэж ойлгодог.

шинж чанарыг судлах энэ шинж чанараас-аас хүн амэлементүүдийн нэг хэсгийг түүвэр популяци эсвэл түүврийг бүрдүүлдэг Xi хувилбараар санамсаргүй байдлаар сонгоно.

Цуглуулгын элементийн тоог n объект гэнэ.

Түүвэрлэлт: 1) сонгосон объектыг (дараагийн объектыг сонгохоос өмнө) нийт хүн амын дунд буцааж авах давтан түүвэрлэлт.

2) давтагдахгүй түүвэрлэлт, сонгосон объектыг нийт хүн амын дунд буцааж өгөх.

Түүврийн өгөгдлийг ашиглахын тулд бидний сонирхож буй нийт хүн амын шинж чанарыг хангалттай итгэлтэйгээр дүгнэхийн тулд түүвэр нь төлөөлөх чадвартай байх шаардлагатай)

Олон тооны хуулийн дагуу түүвэр нь санамсаргүй байдлаар хийгдсэн тохиолдолд төлөөлөх болно гэж үзэж болно: популяцийн объект бүр түүвэрт хамрагдах магадлал ижил байх ёстой.

Хэрэв популяцийн объект хангалттай том бөгөөд түүвэр нь энэ олонлогийн зөвхөн багахан хэсгийг бүрдүүлдэг бол давтагдсан болон давтагддаггүй түүврийн ялгаа арилна.

Өсөх дарааллаар байрлуулсан сонголтуудын жагсаалтыг вариацын цуваа гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн хувилбарын ажиглалтын тоог түүний ni давтамж, ni давтамжийн түүврийн объектын харьцааг n-харьцангуй давтамж wi гэнэ.

Төлөвлөгөө:

1. Төв хязгаарын теоремын тухай ойлголт (Ляпуновын теорем)

2. Их тоо, магадлал, давтамжийн хууль (Чебышев, Бернуллигийн теоремууд)

1. Төв хязгаарын теоремын тухай ойлголт.

Магадлалын онолд ердийн магадлалын тархалт маш чухал. Ердийн хуульмагадлал нь бай руу буудах үед, хэмжилт гэх мэтэд захирагддаг. Ялангуяа хангалттай олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн тархалтын хууль нь тодорхой болсон. дур зоргоороо хуультүгээлттэй ойролцоо байна хэвийн тархалт. Энэ баримтыг төв хязгаарын теорем буюу Ляпуновын теорем гэж нэрлэдэг.

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг практикт өргөн ашигладаг нь мэдэгдэж байна. Үүнийг юу тайлбарлаж байна вэ? Энэ асуултад хариулт авлаа

Төвийн хязгаарын теорем.Хэрэв X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бие биенээсээ хамааралгүй маш олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр бөгөөд тус бүрийн нийт нийлбэрт үзүүлэх нөлөө нь үл тоомсорлож байвал Х нь хэвийн тархалттай ойролцоо тархалттай байна.

Жишээ.Хэмжиж үзье физик хэмжигдэхүүн. Хэмжилтийн үр дүнд олон бие даасан санамсаргүй хүчин зүйл (температур, багаж хэрэгслийн хэлбэлзэл, чийгшил гэх мэт) нөлөөлдөг тул аливаа хэмжилт нь хэмжсэн утгын зөвхөн ойролцоо утгыг өгдөг. Эдгээр хүчин зүйлүүд тус бүр нь үл тоомсорлох "хэсэгчилсэн алдаа" үүсгэдэг. Гэсэн хэдий ч эдгээр хүчин зүйлсийн тоо маш их байдаг тул тэдгээрийн нийлмэл нөлөө нь мэдэгдэхүйц "нийт алдаа" үүсгэдэг.

Нийт алдааг маш олон тооны харилцан бие даасан хэсэгчилсэн алдааны нийлбэр гэж үзвэл нийт алдаа нь хэвийн тархалттай ойролцоо тархалттай байна гэж дүгнэж болно. Туршлага нь энэхүү дүгнэлтийн үнэн зөвийг баталж байна.

"Төв хязгаарын теорем" хангагдах нөхцөлийг авч үзье

X1,X2, ..., Xn- бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дараалал;

М(X1),М(X2), ...,М(Xn) - эдгээр хэмжигдэхүүний математикийн эцсийн хүлээлт нь тэнцүү байна М(Xk)= ак

Д (X1),Д(X2), ...,Д(Xn) - тэдгээрийн эцсийн хэлбэлзэл нь тэнцүү байна Д(X к)= bk2

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: S= X1+X2 + ...+Xn;

A k= X1+X2 + ...+Xn=; B2 = D (X1)+Д(Х2)+ ...+Д(Xn) =

Нормалжсан нийлбэрийн тархалтын функцийг бичье.

Тэд үүнийг тогтвортой байдлын үүднээс хэлдэг X1,X2, ..., XnХэрэв байгаа бол төв хязгаарын теорем хамаарна xнормчлогдсон нийлбэрийн тархалтын функц n ® ¥ хандлагатай байна хэвийн үйл ажиллагаахуваарилалт:

Баруун " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X, түгээлтийн хүснэгтээр тодорхойлсон:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх нь үнэмлэхүй утгын эерэг тооноос хэтрэхгүй байх магадлалыг тооцоолох даалгаврыг өөртөө тавьцгаая. ε

Хэрэв ε хангалттай бага бол бид ийм магадлалыг тооцоолох болно Xматематикийн хүлээлттэй ойролцоо утгыг авах болно. бидний сонирхож буй тооцоог өгөх боломжийг олгодог тэгш бус байдлыг нотолсон.

Чебышевын Лемма.Математикийн хүлээлт M(X) бүхий зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X өгөгдсөн. Аливаа α>0 тооны хувьд илэрхийлэл нь:

Чебышевын тэгш бус байдал.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн үнэмлэхүй утга дахь математикийн хүлээлтээс хазайх нь эерэг тооноос бага байх магадлал ε , 1-ээс багагүй – D(X) / ε 2:

P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

Сэтгэгдэл.Чебышевын тэгш бус байдал нь практик ач холбогдол багатай байдаг, учир нь энэ нь ихэвчлэн бүдүүлэг, заримдаа өчүүхэн (ямар ч сонирхолгүй) тооцоолол өгдөг.

Чебышевын тэгш бус байдлын онолын ач холбогдол маш их юм. Доор бид энэ тэгш бус байдлыг ашиглан Чебышевын теоремыг гаргана.

2.2. Чебышевын теорем

Хэрэв X1, X2, ..., Xn.. нь хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд тэдгээрийн дисперс нь жигд хязгаарлагдмал (тогтмол С тооноос хэтрэхгүй) байвал эерэг тоо хичнээн бага байсан ч хамаагүй. ε , тэгш бус байдлын магадлал

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо хангалттай их байвал нэгдмэл байдалд хүссэнээрээ ойр байх болно.

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

Чебышевын теорем нь:

1. Хязгаарлагдмал хэлбэлзэлтэй хангалттай олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзэх,

Чебышевын теоремыг томъёолохдоо бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд өөр өөр математикийн хүлээлттэй байдаг гэж үзсэн. Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ижил математикийн хүлээлттэй байх нь элбэг тохиолддог. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв бид эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тархалт хязгаарлагдмал гэж дахин үзвэл Чебышевын теорем тэдгээрт хамаарах болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн математик хүлээлтийг дараах байдлаар тэмдэглэе A;

Харж байгаа тохиолдолд математикийн хүлээлтийн арифметик дундаж нь харахад хялбар байдаг. А.

Харж байгаа тодорхой тохиолдолд Чебышевын теоремыг томъёолох боломжтой.

"Хэрэв X1, X2, ..., Xn.. нь ижил математикийн хүлээлттэй хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд эдгээр утгуудын дисперсүүд жигд хязгаарлагдмал байвал тоо нь хичнээн бага байсан ч хамаагүй. ε >Өө, тэгш бус байдлын магадлал

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - а | < ε

санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо хангалттай их байвал нэгдмэл байдалд хүссэнээрээ ойр байх болно" .

Өөрөөр хэлбэл теоремийн нөхцөлд

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3. Чебышевын теоремын мөн чанар

Хэдийгээр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээс хол утгыг авч чаддаг ч хангалттай олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тодорхой нэгтэй ойролцоо утгыг авах магадлал өндөр байдаг. тогтмол тоо, тухайлбал тоо

(М (Xj) + М (X2)+... + М (Х„))/пэсвэл дугаар руу болон доторонцгой тохиолдол.

Өөрөөр хэлбэл, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь мэдэгдэхүйц тархалттай байж болох бөгөөд тэдгээрийн арифметик дундаж нь сарнисан бага байна.

Тиймээс аль нь болохыг тодорхой таамаглах боломжгүй юм боломжит утгасанамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийг авах боловч тэдгээрийн арифметик дундаж нь ямар утгыг авахыг та таамаглаж болно.

Тиймээс, хангалттай олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундаж нь (тэдгээрийн хэлбэлзэл нь жигд хязгаарлагдмал) санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанараа алддаг.

Энэ нь хэмжигдэхүүн тус бүрийн математикийн хүлээлтээс хазайх нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болох ба арифметик утгаараа бие биенээ үгүйсгэдэгтэй холбон тайлбарлаж байна.

Чебышевын теорем нь зөвхөн салангид бус, мөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хүчинтэй; энэ нь тохиолдлын болон зайлшгүй байдлын хоорондын уялдаа холбоотой сургаалын үнэн зөвийг батлах жишээ юм.

2.4. Чебышевын теоремын практикт ач холбогдол

Чебышевын теоремыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг өгье.

Ихэвчлэн тодорхой физик хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн тулд хэд хэдэн хэмжилт хийж, тэдгээрийн арифметик дундажийг хүссэн хэмжээгээр авдаг. Ямар нөхцөлд энэ хэмжилтийн аргыг зөв гэж үзэж болох вэ? Энэ асуултын хариултыг Чебышевын теорем (түүний онцгой тохиолдол) өгдөг.

Үнэн хэрэгтээ хэмжилт бүрийн үр дүнг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үз

X1, X2, ..., Xn

Чебышевын теоремыг дараах хэмжигдэхүүнүүдэд хэрэглэж болно:

1) Тэд хосоороо бие даасан байдаг.

2) ижил математикийн хүлээлттэй байх,

3) тэдгээрийн хэлбэлзэл жигд хязгаарлагдмал.

Хэмжилт бүрийн үр дүн бусдын үр дүнгээс хамаарахгүй бол эхний шаардлагыг хангана.

Хэмжилтийг системчилсэн (ижил тэмдэг) алдаагүйгээр хийсэн тохиолдолд хоёр дахь шаардлагыг хангана. Энэ тохиолдолд бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил бөгөөд тэнцүү байна жинхэнэ хэмжээ А.

Хэрэв төхөөрөмж тодорхой хэмжилтийн нарийвчлалыг хангасан бол гурав дахь шаардлагыг хангана. Хэдийгээр бие даасан хэмжилтийн үр дүн өөр боловч тэдгээрийн тархалт хязгаарлагдмал байдаг.

Хэрэв заасан бүх шаардлагыг хангасан бол бид Чебышевын теоремыг хэмжилтийн үр дүнд ашиглах эрхтэй: хангалттай том хэмжээтэй. nтэгш бус байдлын магадлал

| (X1 + Xa+...+X„)/n - a |< ε хүссэнээрээ эв нэгдэлтэй ойр.

Өөрөөр хэлбэл хангалттай их тоохэмжилтийн хувьд тэдгээрийн арифметик дундаж нь хүссэн хэмжээнээс бага зэрэг ялгаатай байх нь бараг тодорхой юм жинхэнэ утгахэмжсэн хэмжээ.

Чебышевын теорем нь тодорхойлсон хэмжилтийн аргыг хэрэглэх нөхцөлийг заадаг. Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн тоог нэмэгдүүлснээр дур зоргоороо өндөр нарийвчлалтай болно гэж бодох нь алдаа юм. Баримт нь төхөөрөмж өөрөө уншилтыг зөвхөн ± α нарийвчлалтайгаар өгдөг тул хэмжилтийн үр дүн, улмаар тэдгээрийн арифметик дундаж утгыг зөвхөн төхөөрөмжийн нарийвчлалаас хэтрэхгүй нарийвчлалтайгаар олж авах болно.

Статистикт өргөн хэрэглэгддэг түүврийн арга нь Чебышевын теорем дээр суурилдаг бөгөөд түүний мөн чанар нь харьцангуй бага хэмжээтэй байдаг. санамсаргүй түүвэрсудалж буй объектуудын бүхэл бүтэн багцыг (ерөнхий хүн ам) шүүнэ.

Жишээлбэл, боодол хөвөнгийн чанарыг янз бүрийн хэсгээс санамсаргүй байдлаар сонгосон утаснуудаас бүрдсэн жижиг боодолоор тодорхойлдог. Хэдийгээр боодол дахь утаснуудын тоо нь боодолтой харьцуулахад хамаагүй бага боловч боодол нь өөрөө хангалттай хэмжээгээр агуулдаг. их тоохэдэн зуугаар тоологдох утаснууд.

Өөр нэг жишээ болгон бид жижиг дээжээс үр тарианы чанарыг тодорхойлохыг зааж өгч болно. Мөн энэ тохиолдолд санамсаргүй байдлаар сонгосон үр тарианы тоо нь үр тарианы бүх масстай харьцуулахад бага боловч энэ нь өөрөө нэлээд том юм.

Өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад Чебышевын теорем нь практикт үнэлж баршгүй чухал ач холбогдолтой гэж бид дүгнэж болно.

2.5. ТеоремБернулли

Үйлдвэрлэсэн nбие даасан тестүүд (үйл явдал биш, харин тест). Тэдгээрийн тус бүрд ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох магадлал Атэнцүү байна r.

гэсэн асуулт гарч ирнэойролцоогоор хэд байх вэ? харьцангуй давтамжүйл явдлын тохиолдлууд? Энэ асуултын хариултыг Бернуллигийн баталсан теоремоор “их тооны хууль” гэж нэрлэж, магадлалын онолын шинжлэх ухааны үндэс суурийг тавьсан юм.

Бернуллигийн теорем.Хэрэв тус бүрд нь nбие даасан туршилтын магадлал rүйл явдал тохиолдох Атогтмол бол магадлалаас харьцангуй давтамжийн хазайлт нь дур мэдэн нэгдмэл байх магадлал rТуршилтын тоо хангалттай их байвал үнэмлэхүй утга нь дур зоргоороо бага байх болно.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв ε >0 нь дурын жижиг тоо бол теоремын нөхцлөөс хамааран тэгш байдал биелнэ.

P(|м / p - p |< ε)= 1

Сэтгэгдэл.Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр харьцангуй давтамж нь магадлалд тогтвортой ханддаг гэж Бернуллигийн теорем дээр үндэслэн дүгнэх нь буруу байх болно. p;Өөрөөр хэлбэл, Бернуллигийн теорем нь тэгш байдлыг илэрхийлдэггүй (t/p) = p,

INтеорем бид ярьж байнаЗөвхөн хангалттай олон тооны туршилтын үед харьцангуй давтамж нь хүссэнээс бага зэрэг ялгаатай байх магадлалын тухай. тогтмол магадлалтуршилт бүрт ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох.

Даалгавар 7-1.

1. 3600 шоо шидэхэд 6 онооны тоо хамгийн багадаа 900 байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. 3600 зоос шидэхэд 6 оноо тохиолдсоны тоог x гэж үзье. Нэг шидэхэд 6 оноо авах магадлал p=1/6, тэгвэл M(x)=3600·1/6=600. Өгөгдсөн α = 900-д Чебышевын тэгш бус байдлыг (лемма) ашиглая

= П(x³ 900) £ 600 / 900 =2 / 3

Хариулах 2 / 3.

2. 1000 бие даасан туршилт хийсэн, p=0.8. Эдгээр туршилтуудад А үйл явдал тохиолдох тооны магадлалыг математикийн хүлээлтээс 50-аас бага магнитудын зөрүүгээр ол.

Шийдэл. x нь n – 1000 туршилтанд А үйл явдлын тохиолдлын тоо.

M(X)= 1000·0.8=800. D(x)=100·0,8·0,2=160

Өгөгдсөн ε = 50-д Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглая

P(|x-M(X)|< ε) ³ 1 - D(x)/ ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

Хариулах. 0,936

3. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан магадлалыг тооцоол |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. Өгөгдсөн: P(|X- M(X)\< ε) ³ 0.9; Д (X)= 0.004. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан ε-ийг ол . Хариулах. 0,2.

Тестийн асуулт, даалгавар

1. Төвийн хязгаарын теоремын зорилго

2. Ляпуновын теоремыг хэрэглэх нөхцөл.

3. Лемма ба Чебышевын теоремын ялгаа.

4. Чебышевын теоремыг хэрэглэх нөхцөл.

5. Бернуллигийн теоремыг хэрэглэх нөхцөл (их тооны хууль)

Мэдлэг, ур чадварт тавигдах шаардлага

Оюутан төв хязгаарын теоремын ерөнхий утгын томъёоллыг мэддэг байх ёстой. Бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхой теоремуудыг томъёолж чаддаг байх. Чебышевын тэгш бус байдал, олон тооны хуулийг Чебышев хэлбэрээр ойлгох. Үйл явдлын давтамж, "магадлал" ба "давтамж" гэсэн ойлголтуудын хоорондын хамаарлын талаар ойлголттой байх. Бернулли хэлбэрийн их тооны хуулийн талаар ойлголттой байх.

(1857-1918), Оросын нэрт математикч