Ойрын орчинд вектор оршихуй их хэмжээнийВекторууд нь нөхцөл байдал нь оюун санааны хяналтанд байдаггүй бөгөөд магадгүй гаднаас нь хянагддаг гэсэн үг юм. Бурхан чөтгөр чамайг мушгин гуйвуулж байна уу, эсвэл Эрхэмсэг дээдсийн хувь тавилан уу гэдгийг хүссэнээрээ ойлгоорой. Нэг үгээр хэлбэл элемент

Вектор

Вектор вектор. - Зөвхөн хэмжигдэхүүн төдийгүй чиглэл өгсөн физик хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг; Жишээлбэл, хүч, хурд, хурдатгал, хөдөлгөөний хэмжээ, хүчний момент ба цэгүүдийн эргэн тойрон дахь хөдөлгөөний хэмжээ гэх мэт. Эдгээр тоо хэмжээ

Вектор Тэгээд дараа нь таны бүх үйлдлийг зохицуулах болно ерөнхий хөдөлгөөнОрчлон ертөнц. Энэ мэдэгдэл хэтэрхий глобал мэт санагдаж байгааг би ойлгож байна, гэхдээ яг ийм байна ухамсартай сонголтямар нэгэн арга хэмжээ авах эсвэл хийхгүй байх

Цаашаа явцгаая. Та физикт баруун, зүүн гарын дүрмийг хэрэглэх боломжтой олон жишээ байдгийг та харсан. Үнэн хэрэгтээ бид вектор анализыг судлахдаа дүрмийн талаар олж мэдсэн баруун гар, энэ нь зөв өнцгийн импульс ба эргүүлэх момент, соронзон орон гэх мэтийг олж авахад ашиглах ёстой. Жишээ нь, соронзон орны цэнэгт үйлчлэх хүч нь -тэй тэнцүү байна. Гэхдээ энэ нөхцөл байдлыг төсөөлөөд үз дээ: бидэнд мэдэгдээрэй , мөн . Бид хаана байгааг эндээс яаж олж мэдэх вэ Баруун тал? Хэрэв бид буцаж очоод векторууд хаанаас ирснийг харвал баруун гарын дүрэм бол зүгээр л нэг дүрэм, нэг төрлийн заль мэх юм. Хамгийн эхэнд зэрэг тоо хэмжээ өнцгийн хурдмөн өнцгийн импульс болон бусад нь үнэхээр бодит вектор биш байсан! Эдгээр нь бүгд тодорхой хавтгайтай ямар нэгэн байдлаар холбогддог бөгөөд зөвхөн бидний орон зай гурван хэмжээст байдаг тул эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь тухайн хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй холбоотой байж болно. Боломжит хоёр чиглэлээс бид зөвийг нь сонгосон.

Ямар нэг зальтай чөтгөр физикчдийг заль мэх хийхээр шийдэж, бүх лабораторид нэвтэрч, хаа сайгүй "баруун" гэдэг үгийг "зүүн" гэж сольсон гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний үр дүнд баруун гарын дүрэм бичигдсэн газар бид зүүн гарын дүрмийг ашиглахаас өөр аргагүй болно. Физикчид үүнийг анзаарахгүй байх болно, учир нь энэ нь физикийн хуулиудад ямар ч өөрчлөлт гарахгүй нь мэдээжийн хэрэг, хэрэв физикийн хуулиуд тэгш хэмтэй байвал.

Үүнийг жишээгээр харуулъя. Хоёр төрлийн вектор байдгийг та мэднэ. Жишээлбэл, сансар огторгуйн зайны сегменттэй төстэй энгийн, "бодит" векторууд байдаг. Манай тоног төхөөрөмжид ямар нэг зүйл "энд", өөр зүйл "тэнд" байг, тэгвэл толин тусгалтай төхөөрөмжид ижил "ямар нэгэн зүйл" байх болно. Хэрэв хоёр тохиолдолд бид "энд" -ээс "тэнд" векторуудыг зурвал нэг вектор нь нөгөөгийн тусгал байх болно (Зураг 52.2), вектор сумны чиглэл нь бүхэл бүтэн орон зайтай яг адилхан, "дотоод тийшээ эргэв" ”. Ийм векторуудыг бид туйл гэж нэрлэдэг.

Зураг. 52.2. Орон зай дахь сегмент ба түүний толин тусгал.

Гэхдээ эргэлттэй холбоотой хоёр дахь төрлийн векторууд нь огт өөр шинж чанартай байдаг. Ямар нэг зүйл эргэлдэж байгааг төсөөлөөд үз дээ гурван хэмжээст орон зай(Зураг 52.3). Хэрэв та үүнийг толинд харвал эргэлт нь зурагт үзүүлсэн шиг, өөрөөр хэлбэл толин тусгал дүрсанхны эргэлт. Яг ижил дүрмийг ашиглан толин тусгалын эргэлтийг илэрхийлэхийг зөвшөөрье. Үүний үр дүнд бид туйлын вектороос ялгаатай нь тусгалын үед өөрчлөгддөггүй бөгөөд туйлын вектор ба бүх орон зайн геометртэй харьцуулахад урвуу болж хувирдаг "вектор" -ыг олж авдаг. Ийм векторыг бид тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Зураг. 52.3. Эргэдэг дугуй ба түүний толин тусгал дүрс.

Өнцгийн хурдны "вектор"-ын чиглэл өөрчлөгдөхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв тусгалын тэгш хэмийн физикийн хууль зөв бол тэгшитгэлийг тэнхлэгийн вектор тус бүрийн тэмдэг тус бүрээр байхаар зохион байгуулах ёстой. вектор бүтээгдэхүүн(энэ нь тусгалтай тохирч байна) юу ч болоогүй. Жишээлбэл, бид өнцгийн импульсийн томъёог бичихэд бүх зүйл эмх цэгцтэй байдаг, учир нь зүүн координатын систем рүү шилжихэд бид тэмдгийг өөрчилдөг боловч тэмдэг нь өөрчлөгддөггүй. Нэмж дурдахад бид баруун гарын дүрмийг зүүн гарын дүрмээр солих ёстой тул хөндлөн үржвэр мөн өөрчлөгдөх болно. Өөр нэг жишээ татъя. Соронзон орон дахь цэнэг дээр үйлчлэх хүч нь тэнцүү байх нь мэдэгдэж байгаа боловч хэрэв бид баруун гар системээс зүүн гарт шилжих юм бол мэдэгдэж байгаа тул туйлын векторууд өөрчлөгдөнө. векторын үржвэр байгаа тул тэмдгийн өөрчлөлтийг тэмдгийн өөрчлөлтөөр нөхөх ёстой бөгөөд энэ нь тэнхлэгийн вектор байх ёстой гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, ийм тусгалтай бол энэ нь . Тиймээс, хэрэв бид зүүн координатыг баруун тийш өөрчлөх юм бол соронзны хойд туйлыг өмнө зүг рүү өөрчлөх хэрэгтэй.

Энэ бүхэн хэрхэн бүтдэг тухай жишээг харцгаая. Зурагт үзүүлсэнтэй төстэй хоёр соронзтой болгоё. 52.4. Соронзны нэг нь нөгөөгийнхөө толин тусгал шиг харагддаг, өөрөөр хэлбэл түүний эргэлтүүд нь эсрэг чиглэлд эргэлддэг бөгөөд ороомог дотор болж буй бүх зүйл яг эсрэг тал руугаа чиглэсэн байх ёстой; Зурагт үзүүлсэн шиг гүйдэл урсдаг. Одоо соронзны хуулиас (хэдийгээр та үүнийг албан ёсоор мэдэхгүй байгаа ч санаж байгаа байх. сургуулийн курс) зурагт үзүүлсэн шиг соронзон орон чиглэсэн байна. Эхний соронз нь өмнөд туйлтай бол нөгөө соронз нь хойд туйлтай байх болно, учир нь түүний гүйдэл нь нөгөө чиглэлд урсаж, соронзон орон нь урвуу байдаг. Тиймээс, энэ нь шилжих үед гарч байна зөв системзүүн тийшээ бид үнэхээр солих ёстой Хойд туйлөмнө зүгт!

Зураг. 52.4. Цахилгаан соронзон ба түүний толин тусгал дүрс.

Харин хойд болон өмнөд туйлууд- Энэ бол зүгээр л гэрээ бөгөөд тэдгээрийг солих нь юу ч гэсэн үг биш юм. Энэ үзэгдлийг өөрөө авч үзье. Хуудасны хавтгайд перпендикуляр соронзон орны дундуур электрон биднээс холдож байна гэж бодъё. Дараа нь, хэрэв бид хүчний томъёог ашиглавал (электрон сөрөг гэдгийг бүү мартаарай!) үүнтэй нийцүүлэн бид үүнийг олж авна. физик хуульэлектрон дотогшоо хазайсан байх ёстой заасан чиглэлд. Тиймээс үзэгдэл нь: Хэрэв гүйдэл тодорхой чиглэлд ороомогт урсаж байвал электрон ямар нэгэн байдлаар хазайдаг. Энэ бол физик бөгөөд бидний бүх зүйлийг юу гэж нэрлэх нь хамаагүй.

Одоо толинд туссан соронзтой ижил туршилт хийцгээе: бид электроныг зохих чиглэлд илгээнэ. Одоо үүн дээр буцах хүчин үйлчилнэ. Үүнийг ижил дүрмийн дагуу тооцоолсны дараа бид зөв үр дүнг авна: харгалзах хөдөлгөөн болно толин тусгал дүрсөмнөх!

хэмжээсүүд. Жишээлбэл, хэрэв бид биеийн массыг эзлэхүүнээр нь хуваах юм бол бид шинийг авна скаляр хэмжигдэхүүн, дундаж массын нягт гэж нэрлэдэг. Дараах зүйлд бид скаляруудыг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах ердийн үйлдлүүдийг нэвтрүүлсэн бодит тооны олонлогийн элементүүд гэж үзэх болно. Бид энэ олонлогийг T0 тэмдгээр тэмдэглэх ба T0 олонлогийн нэг элементээр бүрэн тодорхойлогддог физик хэмжигдэхүүнийг тэг зэрэглэлийн скаляр буюу тензор гэж нэрлэнэ.

3 НЭГДҮГЭЭР ЗЭРГИЙН ТЕНЗОРЧИД – ВЕКТОР

3.1 Тодорхойлолт. Туйлт ба тэнхлэгийн векторууд

Вектор нь чиглүүлсэн шугамын сегмент бөгөөд түүний нэг төгсгөлийг (А цэг) векторын эхлэл, нөгөө төгсгөлийг (В цэг) векторын төгсгөл гэж нэрлэдэг. Векторыг тодорхойлохын тулд физик (гурван хэмжээст) орон зайд (А-аас В хүртэл) чиглэлийг зааж өгөх ёстой. бодит тоо(скаляр), векторын урт (модуль) гэж нэрлэдэг. Векторыг тэмдэглэхийн тулд дараах тэмдэглэгээг ашиглана: a; a; ~a эсвэл AB 58 . Дараах зүйлд векторуудыг жижиг тод үсгээр тэмдэглэнэ Латин цагаан толгой: a; б; в; ::: a векторын урт (модуль) нь AB сегментийн урттай тэнцүү бөгөөд jaj гэж тэмдэглэнэ. Физик орон зайд ижил чиглэлтэй (хамт чиглэлтэй), ижил урттай a ба b векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэнэ jaj = jbj59. Урт нь тэгтэй векторыг тэг вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн 0 гэж тэмдэглэдэг. Тэг векторын чиглэл нь тодорхойгүй бөгөөд ямар ч утгагүй (тэг векторт ямар ч чиглэл өгч болно). Бүх тэг векторууд бие биетэйгээ тэнцүү байна. Энэ утгаараа нэг л тэг вектор байдаг гэдэг. Нэгж урттай векторыг нэрлэдэг нэгж векторэсвэл ortom60 (чиглэл-

58 a гэсэн тэмдэглэгээг Ж.Арган (1806) нэвтрүүлсэн; AB – А.Мобиус; a – O. Heaviside.

Жан Роберт Арганд (франц. Jean-Robert Argand; 1768-07-18 - 1822-08-13) – Швейцарийн математикч; тэр өөрөө математикийн хичээл заалгаж байсан бөгөөд математикийг мэргэжил гэхээсээ илүү хобби гэж үздэг байсан (Тэр Парист номын дэлгүүрт менежер байсан).

Август Фердинанд Мобиус ( гер. August Ferdinand Mobius ; 11/17/1790 - 09/26/1868) - Германы математикч, онолын одон орон судлаач.

59 Ийм векторуудыг чөлөөт гэж нэрлэдэг, учир нь эхлэх цэгийм векторуудыг дур зоргоороо сонгох буюу өөрөөр хэлбэл векторын эхлэлийг огторгуйн аль ч цэг рүү шилжүүлж болно. Үнэгүй векторуудаас гадна физикийн шинжлэх ухаанмодуль, чиглэл, хэрэглээний цэгээр тодорхойлогддог векторуудыг авч үздэг. Нэг шулуун дээр байрлах тэнцүү векторуудын багцыг гулсах вектор гэнэ. Түүнчлэн холбогдсон векторуудыг авч үзэх бөгөөд тэдгээр нь зөвхөн байхгүй бол тэнцүү гэж тооцогддог тэнцүү модулиудболон чиглэл, гэхдээ

Тэгээд нийтлэг хэрэглээний цэг. Вектор ба тензорын тооцоололд гулсах эсвэл холбогдсон векторыг зааж өгөхдөө хоёр чөлөөт векторыг зааж өгөх замаар сольж болох тул чөлөөт векторуудыг авч үздэг.

60 грек хэлнээс oo& – шулуун. “Орт” гэсэн нэр томъёог О.Хэвисайд (1892) нэвтрүүлсэн.

вектор).

Физикийн шинжлэх ухаанд математикийн объектууд нь судалж буй үзэгдэл, үйл явц, тэдгээрийн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход зайлшгүй шаардлагатай. Ялангуяа механикийн хувьд танилцуулсан вектор нь биеийг орон зайд шилжүүлэхийг тодорхойлдог орчуулгын хөдөлгөөнийг дүрслэх боломжийг олгодог. Гэхдээ байгальд орчуулга болгон бууруулж болохгүй өөр төрлийн хөдөлгөөн байдаг. Энэ бол орон зайд биеийн чиг баримжаа өөрчлөгдөхийг тодорхойлдог spinor61 хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг хөдөлгөөн юм. Ийм хөдөлгөөнийг тайлбарлахын тулд ээрэх векторын тухай ойлголтыг оруулсан болно. Спин векторууд нь зөвхөн гурван хэмжээст орон зайд өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу. Албан ёсоор эргэх векторыг дараах байдлаар тодорхойлно. Физик (гурван хэмжээст) орон зайд эргэлтийн векторын тэнхлэг гэж нэрлэгддэг шулуун шугамыг зааж өгдөг. Дараа нь эргэх векторын тэнхлэгт ортогональ хавтгайд тэнхлэгийг тойрон эргэх чиглэлийг харуулсан дугуй сумыг зурна. Дугуй сумны уртыг эргүүлэх векторын модуль (урт) гэж нэрлэдэг бөгөөд эргэлт буюу эргэлтийн хэмжээг заана. Тэгэхээр, эргэх векторууд нь гурван хэмжээст физик орон зай дахь эргэлтийг илэрхийлдэг бол урагшлах векторууд нь нэг орон зай дахь орчуулгыг илэрхийлдэг. Эргэлтийн векторууд

бид жижиг тодоор тэмдэглэнэ латин үсгээр a хэлбэрээр. Гэсэн хэдий ч хоёр багц элементтэй ажиллах өөр өөр шинж чанартайэвгүй

Гэхдээ. Түүнчлэн, хэрэв бид лавлагааны системийн чиг баримжаа гэж нэрлэгддэг нэмэлт конвенцийг ашиглавал спин векторууд шууд векторуудтай нэг нэгээр холбогдож болно.

Дараах дүрмийн дагуу а спин векторыг "ердийн" a вектортой холбоно.

a) вектор а нь спин векторын тэнхлэг дээр байрладаг;

в) а вектор нь төгсгөлөөс нь харахад чиглэлтэй байхаар чиглэгддэг

a эргүүлэх вектороор тодорхойлсон эргэлт нь жишиг хүрээний чиг баримжаатай нийцэж байв.

Тиймээс чиглүүлсэн лавлагааны хүрээнд зөвхөн нэг багцтай ажиллах боломжтой: чиглэсэн сегментүүдийн багц. Гэсэн хэдий ч энэ багцад векторуудын ялгаа хэвээр байна. Энэ нь дараах байдалтай байна: лавлагааны системийн чиг баримжаа нь эсрэгээр солигдох үед зарим векторууд өөрчлөгддөггүй (ийм векторуудыг туйл эсвэл үнэн гэж нэрлэдэг); бусад векторууд нь лавлагааны системийн чиг баримжааг эсрэгээр нь солихдоо уртаа хадгалж, чиглэлээ эсрэгээр нь өөрчилдөг (ийм векторуудыг тэнхлэгийн 62, тэнхлэгийн эсвэл

61 англи хэлнээс эргүүлэх - эргүүлэх.

Латаас 62. тэнхлэг - тэнхлэг.

псевдовекторууд).

Эргэлтийн векторууд үргэлж тэнхлэгийн векторуудын ард байдаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. физик орон зай дахь эргэлт. Тиймээс хамт физик цэгЭндээс харахад туйл ба тэнхлэгийн векторуудын ялгаа нь мэдэгдэхүйц бөгөөд арилгах боломжгүй юм. Энэ ялгаа нь жишиг систем дэх координатын системийг сонгохтой ямар ч холбоогүй юм. Жишээлбэл, баруун тийш чиглэсэн лавлагааны системд бид зүүн ба баруун координатын системийг хоёуланг нь ашиглаж болох бөгөөд тэдгээрийн сонголт нь туйлын болон тэнхлэгийн векторуудад огт нөлөөлдөггүй.

3.2 Вектортой үйлдэл

Вектор нэмэх. Нэг төрлийн, ижил хэмжээстэй хоёр вектор63 a ба b нь параллелограммын дүрэм эсвэл гурвалжны дүрмийн дагуу бүтээгдсэн ижил төрөл, хэмжээсийн гурав дахь в вектортой холбоотой. в вектор выг a ба b векторуудын нийлбэр гэж нэрлээд c = a + b гэж тэмдэглэнэ. Вектор нэмэх үйлдэл нь дараах шинж чанартай:

1) a + b = b + a (нэмэлтийн шилжих чадвар);

2) a + (b + c) = (a + b) + c (нэмэлтийн холбоо);

3) a + 0 = 0 + a = a .

Векторыг скаляраар үржүүлэх. Аливаа а вектор ба дурын скаляр нь в вектортой холбоотой бөгөөд үүнийг c = a гэж тэмдэглэсэн байх ба jcj = j jjaj, в векторын чиглэл нь а векторын чиглэлтэй давхцах, хэрэв > 0 бол векторын чиглэл. c нь a векторын чиглэлийн эсрэг, хэрэв< 0 . Операция умножения вектора на скаляр обладает следующими дистрибутивными свойствами:

1) (a + b) = a + b;

2) (+)a = a + a.

Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхойлолтоос харахад векторыг туйлын скаляраар үржүүлэхэд векторын төрөл өөрчлөгдөхгүй, харин векторыг тэнхлэгийн скаляраар үржүүлэхэд векторын төрөл эсрэгээр өөрчлөгддөг нь тодорхой байна.

Скаляр бүтээгдэхүүн. Дурын хоёр вектор a ба b-д скаляр оноогдсон бөгөөд үүнийг a b гэж тэмдэглэсэн бөгөөд = jajjbj cos ", энд " нь a ба b векторуудын хоорондох өнцөг юм. Үйл ажиллагаа скаляр үржүүлэхдараах шинж чанаруудтай:

63 Вектор нь физик хэмжигдэхүүн юм.

1) a b = b a (коммутатив);

2) a (b + c) = a b + a c (тархалт).

Скаляр үржвэрээр jaj = p a a векторын урт ба “a ба b – cos” векторуудын хоорондох өнцгийг = j a jjb b j тодорхойлно.

Тодорхойлолтоос цэгийн бүтээгдэхүүнүүнээс үүдэн a ба b векторууд ижил төрлийн байвал = a b нь туйлын скаляр, a ба b векторууд өөр төрлийн байвал тэнхлэгийн скаляр болно.

Скаляр үржвэр нь тэг байвал тэгээс өөр хоёр векторыг ортогональ гэнэ. a (jaj 6= 0) ба b (jbj 6= 0) векторууд a b = 0 бол харилцан перпендикуляр байна.

Хэрэв бид скаляр бүтээгдэхүүний физик утгын талаар ярих юм бол бид өгч болно дараагийн жишээ. Тодорхойлолтоор (хамгийн энгийн тохиолдолд) А ажил гүйцэтгэсэн тогтмол хүч F дээр шугаман хөдөлгөөн u, нүүлгэн шилжүүлэлтийн үед хүч тогтмол өнцөг үүсгэсэн тохиолдолд тэнцүү байна

Тиймээс векторуудын скаляр үржвэрийн хамгийн энгийн физик тайлбар бол шилжилтийн хүчний хийсэн ажил юм. Бусад физикийн жишээг өгч болно.

Вектор үржүүлэх. a векторыг эхний (зүүн) хүчин зүйл, b векторыг хоёр дахь (эсвэл баруун) хүчин зүйл гэж үздэг a ба b векторуудын эрэмбэлэгдсэн хос в вектор нь в вектортой холбоотой.

1) c a = 0 ба c b = 0 (в вектор в a ба b векторын аль алинд нь ортогональ буюу өөрөөр хэлбэл в вектор нь a ба b векторуудаар тархсан хавтгайд ортогональ байна);

2) в векторын төгсгөлөөс харагдах а вектороос (зүүн хүчин зүйл) в вектор b (баруун хүчин зүйл) хүртэлх хамгийн богино эргэлтийн чиглэл нь лавлагааны системийн сонгосон чиг баримжаатай нийцэж байна (баруун тийш чиглэсэн хувьд - цагийн зүүний эсрэг). , зүүн чиг баримжаатай хүмүүсийн хувьд

- цагийн зүүний дагуу);

3) в векторын модулийг jcj = jajjbj sin" дүрмийн дагуу тооцоолно, энд "нь а вектороос b вектор хүртэлх хамгийн богино эргэлтийн өнцөг. Геометрийн хувьд вектор үржвэрийн модуль талбайтай тэнцүүНэг цэгээс гарч буй a ба b векторууд дээр баригдсан параллелограмм.

Вектор үржвэрийг c = a b гэж тэмдэглэнэ. Вектор үржүүлэх үйлдэл нь дараах шинж чанартай.

Dtp ба w тэнхлэгийн векторууд нь эргэлтийн тэнхлэгт OA тусгай хэрэглээний цэгүүд байдаггүй. Зураг дээр. 4.1 Тэдгээрийг О цэгээс тогтооно.
Тиймээс биеийн N цэгийн хурдны модуль. Дип ба w тэнхлэгийн векторууд нь эргэлтийн тэнхлэгт хэрэглэх тусгай цэгүүд байхгүй O A. Зураг дээр. 4.1 Тэдгээрийг О цэгээс тогтооно.
Тэнхлэгийн векторыг мөн тэнхлэгийн вектор эсвэл псевдовектор гэж нэрлэдэг.
Гурван хэмжээст орон зай дахь вектор хэмжигдэхүүнийг туйлын болон тэнхлэгийн вектор гэж хуваана.
Аль ч тохиолдолд тэдгээр нь энгийн тэнхлэгийн векторуудыг холбодог. G вектор (Хүснэгт 6.2) нь сэлгэлтийн улмаас F-ээс өөрөөр хувирдаг тул p / / / тензорууд өөр хэлбэртэй байна. соронзон моментууд, эсрэг соронзлолтой дэд тортой холбоотой.
Эргэлтийн болон буцах чадварын өөрчлөлтийн шинж чанаруудын дагуу бид янз бүрийн урсгал ба термодинамик хүчийг скаляр, туйл ба тэнхлэгийн вектор, тэгш хэмтэй тэг ул мөр тензор гэж хуваадаг.
Тэгшитгэл (33) ба (34) векторын урсгал ба хүч, (35) - скаляр, (36) - тэг ул мөр бүхий тэгш хэмтэй тензорууд ба (37) - тэнхлэгийн векторуудыг агуулна.
Энэ ангийн векторуудыг координат эсвэл баруун гурвалсан сонголтоос үл хамааран чиглэлийг шууд зааж өгдөг, туйл гэж нэрлэдэг векторуудаас ялгаатай нь тэнхлэгийн векторууд гэж нэрлэгддэг. Тэнхлэгийн векторууд нь туйлаас ялгаатай нь гурван харилцан ортогональ хавтгайд тусгагдсан үед тэмдэг өөрчлөгддөггүй. Хоёр туйлын векторын хоорондох эсвэл хоёр тэнхлэгийн векторын хоорондох тэгшитгэл нь толин тусгал өөрчлөгддөггүй; Нэг туйл ба нэг тэнхлэгийн вектор хоорондын тэгш байдал нь өөрчлөгддөггүй ба физик утгабайж болохгүй.
Энэ төрлийн хэмжигдэхүүнийг бидний өнөөг хүртэл авч үзсэн туйлын векторуудаас ялгаатай нь псевдовектор буюу тэнхлэгийн вектор гэж нэрлэдэг. Эргэхэд координатын системБүхэлд нь тэнхлэгийн векторууд нь туйлын векторуудтай яг адилхан ажилладаг. Координатын тэнхлэгүүдийг урвуулах үед туйлын векторуудын бүрэлдэхүүн хэсгүүд тэмдэг өөрчлөгддөг бол тэнхлэгийн векторуудын бүрэлдэхүүн хэсгүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Энэ төрлийн хэмжигдэхүүнийг бидний өнөөг хүртэл авч үзсэн туйлын векторуудаас ялгаатай нь псевдовектор буюу тэнхлэгийн вектор гэж нэрлэдэг. Координатын системийг бүхэлд нь эргүүлэх үед тэнхлэгийн векторууд нь туйлын векторуудтай яг адилхан ажилладаг. Координатын тэнхлэгүүдийг урвуулах үед туйлын векторуудын бүрэлдэхүүн хэсгүүд тэмдэг өөрчлөгддөг бол тэнхлэгийн векторуудын бүрэлдэхүүн хэсгүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Өнцгийн хурд ба өнцгийн хурдатгалбие нь вектор хэмжигдэхүүн юм. Эдгээр векторууд нь эргэлтийн тэнхлэгийн дагуу чиглэгддэг (тэнхлэгийн векторууд) бөгөөд тэдгээрийн урт нь харгалзах шинж чанаруудын хэмжээг тодорхойлдог. эргэлтийн хөдөлгөөн.
Сегментийн урт нь сайтын талбайтай тэнцүү байна. Практикийн хувьд график дүрсТэнхлэгийн векторын хувьд ихэвчлэн сегмент (сум) ашигладаг бөгөөд энэ нь туйлын болон тэнхлэгийн векторуудыг ижил аргаар дүрслэх боломжийг олгодог. Хувиргахдаа тусгалыг оруулаад сегментийг тэнхлэгийн векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг өөрчлөх дүрмийн дагуу өөр сегментээр солих шаардлагатай.
Гурван хэмжээст тензорын индексийг латин үсгээр тэмдэглэдэг. Хоёр дахин давтагдсан индексийг нэгтгэх дүрмийг хүлээн зөвшөөрсөн. Тэнхлэгийн векторуудыг мөн тензор хэлбэрээр бичдэг.
Сект дээр дурдсанчлан бусад системийг тусгаснаар бодит физик сэдвийг олж авах боломжтой гэдгийг бүгд мэднэ. Тиймээс тусгалын үйл ажиллагааны хувьд физик хэмжигдэхүүнүүдийг холбосон үндсэн харилцаа өөрчлөгдөхгүй байх ёстой. байгааг бид өмнө нь тэмдэглэсэн вектор хэмжигдэхүүнүүд-тай өөр зан байдалтусгалын хувьд - туйл ба тэнхлэгийн векторууд.

4-векторын жишээ нь Pv системийн 4-импульс, 4-потенциал el. Av et al. 4D векторуудүл хөдлөх хөрөнгийн талаарх зан үйлээр нь ангилдаг. Лоренц: туйлын векторууд орон зайн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэмдгийг өөрчилдөг боловч цаг хугацааны бүрэлдэхүүн хэсэг өөрчлөгддөггүй; тэнхлэгийн векторууд эсрэгээр ажилладаг. Үүнтэй төстэй ангиллыг Лоренцын хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй хэмжигдэхүүнүүдэд ашигладаг: тэдгээрийг скаляр ба псевдоскаляр гэж хуваадаг.
Бүх томъёо төгс байхын тулд тэнхлэгийн векторуудыг оруулсан болно адилхан харцбаруун ба зүүн координатын системд.
Туйлт ба тэнхлэгийн векторуудын ижил төстэй байдал нь тэдэнтэй алгебрийн болон дифференциал үйлдлүүдийн нийтлэг байдлаас тодорхой харагдаж байна. Эдгээр векторуудын мөн чанарын ялгаа нь зөвхөн нэг тохиолдолд нөлөөлдөг: туйл ба тэнхлэгийн векторыг нэмэх нь утгагүй үйлдэл юм. Практикт энэ нь үл ойлголцолд хүргэж чадахгүй бол туйл ба тэнхлэгийн тодорхойлолтыг үргэлж орхигдуулж, зүгээр л векторуудын тухай ярьдаг. Цэг бүр дээр туйл буюу тэнхлэгийн вектор өгөгдсөн орон зайн мужийг нэрлэдэг вектор талбар. Туйлт ба тэнхлэгийн векторыг ялгах энгийн дүрэм байдаг. Сурсан физик үзэгдэлтухайн векторын хэвийн хавтгайд толин тусгалтай байх ёстой. Аливаа юмс үзэгдлийн өрнөж буй чиглэл тусгахад эсрэгээрээ өөрчлөгддөг бол түүнийг тодорхойлсон шинж чанар нь физик хэмжигдэхүүн- туйлын вектор. Үгүй бол энэ үзэгдэл нь тэнхлэгийн вектороор тодорхойлогддог.
(19)-д зааснаар энтропи нь хоёр янзаар өөрчлөгдөж болно: 1) дулаан ба бодисын гаднах урсгалаас үүдэлтэй энтропийн өөрчлөлт нь дулаан ба тархалтын урсгалыг агуулсан тэгшитгэлийн баруун талын эхний гишүүнээр илэрхийлэгдэнэ. тэгшитгэлээр тодорхойлсон (20); 2) дотоод өсөлтөөс үүдэлтэй энтропийн өөрчлөлт a. Термодинамикийн хоёр дахь хуулийн дагуу энэ нь (өсөлт) нь системийн дотор болж буй үйл явцын эргэлт буцалтгүй байдлын хэмжүүр юм. (21) илэрхийллээс харахад энтропийн өсөлт нь таван бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдэх ба тэдгээрийн эхнийх нь дулаан солилцооноос, хоёр дахь нь бодисын тархалтаас, нөгөө гурав нь наалдамхай урсгалаас үүсдэг. Нэр томьёо бүр нь урсгалын бүтээгдэхүүн юм (дулааны урсгал А, диффузын урсгал LA. Энд бид эхний хоёр урсгал ба термодинамик хүч нь вектор (туйлт), гурав дахь гишүүн нь скаляр, дөрөв дэх нь - тэг ул мөр бүхий тэгш хэмтэй тензорууд ба тав дахь - тэнхлэгийн векторууд Дараа нь бид (§ 6-г үзнэ үү) (21) -ийн сүүлийн гурван гишүүнтэй холбоотой болохыг харах болно их хэмжээний зуурамтгай чанар, зүсэлтийн зуурамтгай чанар ба эргэлтийн зуурамтгай чанар тус тус.

Цаашаа явцгаая. Та физикт баруун, зүүн гарын дүрмийг хэрэглэх боломжтой олон жишээ байдгийг та харсан. Үнэн хэрэгтээ бид векторын анализыг судлахдаа зөв өнцгийн импульс ба эргүүлэх момент, соронзон орон гэх мэтийг олж авахын тулд ашиглах ёстой баруун гарын дүрмийн талаар олж мэдсэн. Жишээлбэл, соронзон орон дахь цэнэгт үйлчлэх хүч нь Ф = кв× B. Гэхдээ ийм нөхцөл байдлыг төсөөлөөд үз дээ: F, v, B-г бидэнд мэдэгдээрэй. Бид эндээс бидний баруун тал хаана байгааг хэрхэн олж мэдэх вэ? Хэрэв бид буцаж очоод векторууд хаанаас ирснийг харвал баруун гарын дүрэм бол зүгээр л нэг дүрэм, нэг төрлийн заль мэх юм. Анхандаа өнцгийн хурд, өнцгийн импульс гэх мэт хэмжигдэхүүнүүд болон тэдгээртэй төстэй бусад хэмжигдэхүүнүүд үнэхээр бодит вектор биш байсан! Эдгээр нь бүгд тодорхой хавтгайтай ямар нэгэн байдлаар холбогддог бөгөөд зөвхөн бидний орон зай гурван хэмжээст байдаг тул эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь тухайн хавтгайд перпендикуляр чиглэлтэй холбоотой байж болно. Боломжит хоёр чиглэлээс бид зөвийг нь сонгосон.

Ямар нэг зальтай чөтгөр физикчдийг заль мэх хийхээр шийдэж, бүх лабораторид нэвтэрч, хаа сайгүй "баруун" гэдэг үгийг "зүүн" гэж сольсон гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний үр дүнд баруун гарын дүрэм бичигдсэн газар бид зүүн гарын дүрмийг ашиглахаас өөр аргагүй болно. Физикчид үүнийг анзаарахгүй байх болно, учир нь энэ нь физикийн хуулиудад ямар ч өөрчлөлт гарахгүй нь мэдээжийн хэрэг, хэрэв физикийн хуулиуд тэгш хэмтэй байвал.

Үүнийг жишээгээр харуулъя. Хоёр төрлийн вектор байдгийг та мэднэ. Орон зайн Dg сегменттэй төстэй энгийн, "бодит" векторууд байдаг. Манай тоног төхөөрөмжид ямар нэг зүйл "энд", өөр зүйл "тэнд" байг, тэгвэл толин тусгалтай төхөөрөмжид ижил "ямар нэгэн зүйл" байх болно. Хэрэв хоёр тохиолдолд бид "энд" -ээс "тэнд" векторуудыг зурвал нэг вектор нь нөгөөгийн тусгал байх болно (Зураг 52.2), вектор сумны чиглэл нь бүхэл бүтэн орон зайтай яг адилхан, "дотоод тийшээ эргэв" ”. Бид ийм векторуудыг нэрлэдэг туйл.

Гэхдээ эргэлттэй холбоотой хоёр дахь төрлийн векторууд нь огт өөр шинж чанартай байдаг. Төсөөлөөд үз дээ өөртөөгурван хэмжээст орон зайд эргэдэг зүйл (Зураг 52.3). Хэрэв та үүнийг толинд харах юм бол эргэлт нь зурагт үзүүлсэн шиг, өөрөөр хэлбэл, анхны эргэлтийн толин тусгал дүрс хэлбэрээр явагдана. Яг ижил дүрмийг ашиглан толин тусгалын эргэлтийг илэрхийлэхийг зөвшөөрье. Үүний үр дүнд бид туйлын вектороос ялгаатай нь "вектор" авдаг Үгүйтусгалын үед өөрчлөгдөж, туйлын вектор болон бүх орон зайн геометртэй харьцуулахад урвуу болж хувирдаг. Бид ийм вектор гэж нэрлэдэг тэнхлэгийн

Хэрэв тусгалын тэгш хэмийн физик хууль зөв бол тэгшитгэлийг тэнхлэгийн вектор тус бүрийн тэмдэг ба вектор бүтээгдэхүүн бүрийн (тусгалтай харгалзах) тэмдэг өөрчлөгдөхөд юу ч болохгүй байхаар зохион байгуулах ёстой. Жишээлбэл, L = r X p өнцгийн импульсийн томъёог бичихэд бүх зүйл эмх цэгцтэй байна, учир нь бид зүүн координатын систем рүү шилжихэд L-ийн тэмдгийг өөрчилдөг боловч p ба r-ийн тэмдэг өөрчлөгддөггүй. . Нэмж дурдахад бид баруун гарын дүрмийг зүүн гарын дүрмээр солих ёстой тул хөндлөн үржвэр мөн өөрчлөгдөх болно. Өөр нэг жишээ татъя.

Соронзон орон дахь цэнэг дээр үйлчлэх хүч нь F = qv X V-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг боловч хэрэв бид баруун гартай системээс зүүн гарт шилжих юм бол мэдэгдэж байгаагаар F ба v. туйлын векторууд бол вектор байгаа тул бүтээгдэхүүний тэмдгийн өөрчлөлтийг В тэмдгийг өөрчлөх замаар нөхөх ёстой бөгөөд энэ нь В нь тэнхлэгийн вектор байх ёстой гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, ийм тусгалтай В нь -В болж хувирах ёстой. Тиймээс, хэрэв бид зүүн координатыг баруун тийш өөрчлөх юм бол соронзны хойд туйлыг өмнө зүг рүү өөрчлөх хэрэгтэй.

Энэ бүхэн хэрхэн бүтдэг тухай жишээг харцгаая. Зурагт үзүүлсэнтэй төстэй хоёр соронзтой болгоё. 52.4. Соронзны нэг нь нөгөөгийнхөө толин тусгал шиг харагддаг, өөрөөр хэлбэл түүний эргэлтүүд нь эсрэг чиглэлд эргэлддэг бөгөөд ороомог дотор болж буй бүх зүйл яг эсрэг тал руугаа чиглэсэн байх ёстой; Зурагт үзүүлсэн шиг гүйдэл урсдаг. Соронзон хүчний хуулиас (хэдийгээр та үүнийг албан ёсоор мэдэхгүй ч, сургуулийн хичээлээс санаж байгаа байх) соронзон орон нь зурагт үзүүлсэн шиг чиглэгддэг болох нь харагдаж байна. Эхний соронз нь өмнөд туйлтай бол нөгөө соронз нь хойд туйлтай байх болно, учир нь түүний гүйдэл нь нөгөө чиглэлд урсаж, соронзон орон нь урвуу байдаг. Тиймээс баруун гараас зүүн гарт шилжихдээ хойд туйлыг өмнөд туйлаар солих ёстой юм байна!

Гэхдээ хойд, өмнөд туйл бол зүгээр л тохиролцоо, түүнийг солих нь юу ч биш. Өөрсдийгөө нэг харцгаая үзэгдэл.Хуудасны хавтгайд перпендикуляр соронзон орны дундуур электрон биднээс холдож байна гэж бодъё. Дараа нь, хэрэв бид v X B хүчний томъёог ашиглавал (электрон нь сөрөг гэдгийг бүү мартаарай!) Энэ физик хуулийн дагуу электрон заасан чиглэлд хазайх ёстой гэдгийг олж мэднэ. Тиймээс үзэгдэл нь: Хэрэв гүйдэл тодорхой чиглэлд ороомогт урсаж байвал электрон ямар нэгэн байдлаар хазайдаг. Энэ бол физик бөгөөд бидний бүх зүйлийг юу гэж нэрлэх нь хамаагүй.

Одоо толинд туссан соронзтой ижил туршилт хийцгээе: бид электроныг зохих чиглэлд илгээнэ. Одоо үүн дээр буцах хүчин үйлчилнэ. Үүнийг ижил дүрмийн дагуу тооцоолсны дараа бид зөв үр дүнг авна: харгалзах хөдөлгөөнөмнөх толин тусгал дүрс байх болно!