Хөдөлгөөний ерөнхий шинж чанарууд. Хөдөлгөөний үндсэн теорем

Танилцуулга.

Геометрийн хувиргалт нь математикийн нэлээд хожуу салбар юм. Анхны геометрийн хувиргалтыг 17-р зуунд авч үзэж эхэлсэн бөгөөд проекцийн өөрчлөлтүүд зөвхөн 17-р зуунд гарч ирэв XIX эхэн үезуун.

Алгебрийн хичээлүүд янз бүрийн функцууд. Ф функц нь функцийн тодорхойлолтын мужаас х тоо бүрд тодорхой тооны f(x) - х цэг дээрх f функцийн утгыг оноодог. Геометрийн хувьд янз бүрийн тодорхойлолт, утгын багцтай функцүүдийг авч үздэг. Тэд цэг бүрт цэг оноодог. Эдгээр функцийг геометрийн хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Геометрийн өөрчлөлтүүд байдаг их үнэ цэнэгеометрийн хувьд. Геометрийн хувиргалтыг ашиглах нь маш чухал юм геометрийн ойлголтууд, тоонуудын тэгш байдал, ижил төстэй байдал зэрэг. -д баярлалаа геометрийн хувиргалт, геометрийн олон ялгаатай баримтууд нь уялдаа холбоотой онолд нийцдэг.

Хийсвэрлэлд голчлон сансар огторгуйн өөрчлөлтөд анхаарлаа хандуулах болно. Орон зайн бүх хөдөлгөөн, ижил төстэй байдал, дугуй ба аффин хувиргалт, түүнчлэн хавтгайн аффин ба проекктив хувиргалтыг авч үзэх болно. Өөрчлөлт бүрийн хувьд түүний шинж чанар, геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг авч үзэх болно.

Эхлээд өөрчлөлтүүдтэй ажиллахад шаардлагатай зарим үндсэн ойлголтуудыг авч үзье. Зай болон хувирал гэсэн хоёр нэр томъёонд анхаарлаа хандуулцгаая. Тэгэхээр бид эдгээр үгсээр юу гэсэн үг вэ:

Тодорхойлолт. Зайхоёр цэгийн хооронд бид эдгээр цэгүүдэд төгсгөлтэй сегментийн уртыг нэрлэх болно.

Тодорхойлолт. Өөрчлөлтбагц гэж бид энэ олонлогийн нэг нэгээр нь өөр дээрээ буулгах болно.

Одоо авч үзэхийн тулд үргэлжлүүлье бие даасан төрөл зүйлгеометрийн хувиргалт.

I хэсэг. Орон зайн хөдөлгөөн.

Хөдөлгөөний ерөнхий шинж чанарууд.

Тодорхойлолт.Орон зайн өөрчлөлтийг нэрлэдэг хөдөлгөөн, хэрэв энэ нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалж байвал.

Хөдөлгөөний шинж чанар.

1. Хөдөлгөөний эсрэг өөрчлөлт бол хөдөлгөөн юм.
2. Хөдөлгөөний найрлага - хөдөлгөөн.
3. Хөдлөх үед шулуун шугам шулуун, туяа нь туяа, хэрчмээс сегмент, хавтгай нь хавтгай, хагас хавтгай нь хагас хавтгай болж хувирдаг.
4. Хөдөлгөөн дэх хавтгай өнцгийн дүрс нь ижил хэмжээтэй хавтгай өнцөг юм.
5. Хөдөлгөөн нь шулуун шугам хоорондын, шулуун ба хавтгай хоорондын, хавтгай хоорондын өнцгийн хэмжээг хадгалдаг.
6. Хөдөлгөөн нь шулуун шугам, шулуун ба хавтгай, хавтгайн параллель байдлыг хадгалдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа.

1 ба 2. Хөдөлгөөний тодорхойлолтыг дагаж мөрдөөрэй.

1. A, X, B цэгүүд нэг шулуун дээр, X цэг нь А ба В хоёрын хооронд оръё. Тэгвэл AX + XB = AB. A´, X´, B' цэгүүдийг хөдөлгөөний явцад A, X, B цэгүүдийн дүрс гэж үзье. Дараа нь А´Х´+Х´В´=А´В´ (хөдөлгөөний тодорхойлолтоос). Үүнээс үзэхэд A´, X´, B´ цэгүүд нэг шулуун дээр, X´ цэгүүд A´ ба B´-ийн хооронд оршдог.
   Батлагдсан мэдэгдлээс харахад шилжих үед шулуун шугам нь шулуун шугам, туяа нь туяа, сегмент нь сегмент болж хувирдаг.

Онгоцны хувьд нотлох баримтыг дараах байдлаар хийж болно. a, b нь бидний α хавтгайн огтлолцсон хоёр шулуун, a´, b´ тэдгээрийн дүрс байг. a' ба b' огтлолцох нь ойлгомжтой. a´, b´ шулуунуудыг агуулсан хавтгайг α´ гэж үзье. α´ нь α хавтгайн дүрс гэдгийг баталцгаая. М-г үзье дурын цэгхавтгай α, a ба b шулуун дээр хэвтэхгүй. a ба b шулуунуудыг өөр өөр цэгээр огтолж M шугамаар c шулууныг татъя. Энэ шугамын дүрс нь янз бүрийн цэгүүдэд a, b' шугамуудыг огтолж буй c´ шугам юм. Энэ нь M цэгийн дүрс M´ нь α´ хавтгайд байрладаг гэсэн үг юм. Тэгэхээр α хавтгайн аль ч цэгийн дүрс α´ хавтгайд байрлана. α´ хавтгайн аль ч цэгийн урвуу дүрс α хавтгайд оршдог нь мөн адил нотлогдсон. Тиймээс α´ нь α хавтгайн дүрс юм.

Одоо хагас хавтгайд зориулсан мэдэгдлийг батлахад хэцүү биш юм. Та зүгээр л хагас хавтгайг хавтгайд нөхөж, хагас хавтгайг хязгаарлаж буй шулуун шугам a, түүний дүрсийг авч үзэх хэрэгтэй бөгөөд дараа нь хагас хавтгайн аль ч хоёр цэгийн зургууд худал болохыг эсрэгээр батлах хэрэгтэй. a´-ийн нэг талд.

1. 3-р өмчөөс дагаж мөрддөг.
2. Энэ нь 4-р шинж чанар ба огторгуй дахь шулуун шугамын (шулуун ба хавтгай, хоёр хавтгай) хоорондох өнцгийн тодорхойлолтоос гардаг.
3. Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. параллель шугамын зургуудыг (шугам ба хавтгай, хавтгай) огтлолцохыг зөвшөөрөх (зэрэгцээ шугамын хувьд тэдгээрийн дүрс огтлолцох шугам байж болохгүй гэдгийг харуулах шаардлагатай хэвээр байгаа боловч энэ нь нэн даруй хавтгайд агуулагдаж байгаа зүйлээс үүдэлтэй юм. Эдгээр шугамууд нь хавтгай болж хувирна). Дараа нь тэдний нийтлэг зүйлийг анхаарч үзээрэй. Энэ нь хоёр прототиптэй байх бөгөөд энэ нь хувиргалтын тодорхойлолтоор боломжгүй юм.

Тодорхойлолт. F дүрсийг нэрлэдэг тэнцүү байнаХэрэв Ф-г Ф´ болгон хувиргах хөдөлгөөн байвал Ф´ зураг.

Хөдөлгөөний төрлүүд.

3.1. Ижил хувиргалт.

Тодорхойлолт. Ижил өөрчлөлтөөрОрон зайн E-г хувиргалт гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь орон зайн цэг бүр өөрт нь хувирдаг.

Мэдээжийн хэрэг, таних тэмдгийн хувиралхөдөлгөөн юм.

3.2. Зэрэгцээ шилжүүлэг.

Тодорхойлолт.Орон зайд вектор өгье. Зэрэгцээ шилжүүлэгвектор руу орон зай гэдэг нь M цэг бүрийг M цэгт буулгаж, .

Теорем 3.2.Зэрэгцээ дамжуулалт - хөдөлгөөн.

Баталгаа.Вектор руу параллель шилжих үед A, B цэгүүдийн дүрсийг A´, B´ гэж үзье. Тэгш байдлаас гарах AB = A´B´ гэдгийг харуулахад хангалттай.

Эд хөрөнгийг шилжүүлэх.Зэрэгцээ орчуулга нь шулуун шугамыг (хавтгай) өөртөө эсвэл түүнтэй параллель шулуун шугам руу (хавтгай) шилжүүлдэг.

Баталгаа.Теорем 3.2-ын нотолгоонд бид параллель дамжуулалт нь векторуудыг хадгалдаг гэдгийг баталсан. Энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэгч векторууд ба хавтгайн хэвийн векторууд хадгалагдана гэсэн үг юм. Эндээс бидний мэдэгдэл гарч байна.

Төвийн тэгш хэм.

Тодорхойлолт. Тэгш хэм O цэгтэй харьцуулахад ( төвийн тэгш хэм ) орон зай гэдэг нь О цэгийг өөр дээрээ буулгаж, бусад дурын M цэгийг M´ цэг дээр буулгаж, О цэг нь MM´ хэрчмийн дунд цэг болох зайны хувирал юм. О цэг гэж нэрлэдэг тэгш хэмийн төв.

Теорем 3.4.Төвийн тэгш хэм нь хөдөлгөөн юм.

Баталгаа.

A, B – дурын хоёр цэг, A´, B´ – тэдгээрийн дүрс, O – тэгш хэмийн төв гэж үзье. Дараа нь .

Төвийн тэгш хэмийн шинж чанар.Төвийн тэгш хэм нь шулуун шугамыг (хавтгай) өөртөө эсвэл түүнтэй параллель шулуун шугам (хавтгай) болгон хувиргадаг.

Баталгаа.Теорем 3.4-ийн нотолгоонд бид параллель шилжүүлгийн үед векторууд урвуу байдгийг нотолсон. Энэ нь шулуун шугамын чиглэлийн векторууд ба төв тэгш хэмтэй хавтгайн хэвийн векторууд зөвхөн чиглэлийг өөрчилдөг гэсэн үг юм. Эндээс бидний мэдэгдэл гарч байна.

Хөдөлгөөнийг тодорхойлох теорем.

Теорем 5.1. (хөдөлгөөнийг тодорхойлох теорем)Хэрэв ABCD болон A'B'C'D' гэсэн хоёр тетраэдр тус тус өгөгдсөн бол тэнцүү ирмэгүүд, тэгвэл A, B, C, D цэгүүдийг A´, B´, C´, D´ цэгүүд рүү тус тус буулгах орон зайн нэг бөгөөд ганц хөдөлгөөн байна.

Баталгаа.

I. Оршихуй.Хэрэв A нь A´, B - B´, C - C´, D - D´-тай давхцаж байвал энгийн таних хувиргалт өгөгдөнө. Хэрэв тийм биш бол А нь А-тай давхцахгүй гэж тодорхой бодъё. A ба A´ цэгүүдийн тэгш хэмийн α хавтгайг авч үзье. S α тэгш хэм нь ABCD тетраэдрийг A´B 1 C 1 D 1 тетраэдр болгон хувиргая.

Хэрэв B 1 нь B´-тай, C 1 нь C´-тэй, D 1 нь D´-тэй давхцаж байвал нотлох баримт бүрэн болно. Хэрэв тийм биш бол бид ерөнхий ойлголтыг алдалгүйгээр B ба B 1 цэгүүд давхцаагүй гэж үзэж болно. B 1 ба B´ цэгүүдийн тэгш хэмийн β хавтгайг авч үзье. A´ цэг нь B 1 ба B´ цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул β хавтгай дээр байрладаг. Тэгш хэм S β нь A´B 1 C 1 D 1 тетраэдрийг A´B´C 2 D 2 тетраэдр болгон хувиргая.

Одоо C 2 нь C´-тай, D 2 нь D´-тай давхцаж байвал нотлох баримт бүрэн болно. Хэрэв тийм биш бол бид C ба C2 цэгүүд давхцаагүй гэж ерөнхий ойлголтыг алдалгүйгээр тооцож болно. C 2 ба C´ цэгүүдийн тэгш хэмийн γ хавтгайг авч үзье. A´, B´ цэгүүд нь C 2 ба C´ цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул γ хавтгайд байрладаг. S γ тэгш хэм нь A´B´C 2 D 2 тетраэдрийг A´B´C´D 3 тетраэдр болгон хувиргая.

Хэрэв D 3 нь D´-тай давхцаж байвал нотлох баримт бүрэн болно. Хэрэв тийм биш бол D 3 ба D´ цэгүүдийн тэгш хэмийн δ хавтгайг авч үзье. A´, B´, C´ цэгүүд нь D 3 ба D´ цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул δ хавтгайд байрладаг. Энэ нь S δ тэгш хэм нь A´B´C´D 3 тетраэдроныг A´B´C´D´ тетраэдр болгон хувиргадаг гэсэн үг юм.

Тиймээс шаардлагатай тооны бууруулсан толин тусгал тэгш хэмийн найрлага нь ABCD тетраэдрийг A'B'C'D' тетраэдр болгон хувиргадаг. Мөн энэ өөрчлөлт нь хөдөлгөөн (2 хөдөлгөөний өмч) юм.

II. Өвөрмөц байдал. A-аас A´, B-аас B´, C-аас C´, D-D´ руу шилжих f ба g гэсэн 2 хөдөлгөөн байг. Дараа нь хөдөлгөөн нь ижил өөрчлөлт юм, оноос хойш A, B, C, D цэгүүдийг хөдөлгөөнгүй орхино. Тэгэхээр f=g.

Теорем 5.1-ийг (орших) нотлохдоо үнэн хэрэгтээ батлагдсан

Теорем 5.2.Орон зайн аливаа хөдөлгөөн нь дөрвөөс илүүгүй толин тусгал тэгш хэмийн найрлага юм.

Орон зайн ижил төстэй байдал.

Эхлээд чухал зүйлийг авч үзье онцгой тохиолдолижил төстэй байдал - ижил төстэй байдал.

Тодорхойлолт. ГомотетиО төвтэй ба коэффициент нь X цэг бүрийн дүрс нь X цэг болох орон зайн хувирал юм.

Гомотетийн шинж чанарууд.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа.

1 ба 2. Гомотетийн тодорхойлолтыг дагаж мөрдөөрэй.

3. Хавтгай дээрх харгалзах теоремтой адил нотлогдсон. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид огторгуйд дурын X цэгийг авч үзвэл хавтгай (AHB) теоремоо батлахад хангалттай байх болно.

4. Зөрчилдөөнөөр нотлогдсон.

1. 1-р өмчөөс дагадаг.

Ижил төстэй шинж чанарууд.

Теорем 2.1.Орон зайн ижил төстэй байдлыг гомотети ба хөдөлгөөний бүрэлдэхүүнээр төлөөлж болно f:

Баталгаа.Дурын цэг дээр төвтэй гомотети хийцгээе. Ийм өөрчлөлтийг f гэж үзье (ийм хувиргалт байгаа нь өөрчлөлтийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй). Хувиргах f нь хөдөлгөөний тодорхойлолтоор хөдөлгөөн байх болно.

f-ийн хөдөлгөөнийг сонгосноор бид ижил төстэй байдлын дүрслэлийг энэ хэлбэрээр олж авах боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Ижил төстэй шинж чанарууд.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа.

1 ба 2. Теорем 2.1-ийн үр дагавар.

3. Ижил төстэй байдлын тодорхойлолтоос дагана.

4. Кубын хувьд теорем үнэн байх нь ойлгомжтой. Шоо дөрвөлжин хэлбэртэй биеийн хувьд мэдээжийн хэрэг.

Дурын олон өнцөгт М-ийг куб торонд давхарлаж болно. Бид энэ торыг нунтаглана. Манай торны нэг шоо тал нь тэг болох хандлагатай байвал хоёр биеийн эзэлхүүн: M дотор бүрэн хэвтэж буй шоо дөрвөлжин хэсгээс бүрдэх I бие, шоо дөрвөлжин хэлбэртэй шоо дөрвөлжин хэлбэртэй S биет. нийтлэг цэгүүд M-тэй - олон талт М-ийн эзэлхүүнийг чиглүүлдэг (энэ нь манай олон өнцөгт M-ийн нүүр бүрийн хувьд энэ нүүрийг огтолж буй шоо дөрвөлжингийн эзэлхүүн тэг болох хандлагатай байдаг). Түүгээр ч зогсохгүй M олон өнцөгтийн M' дүрсний хувьд бидний ижил төстэй байдлын хувьд I', S' биетүүдийн эзэлхүүн (I, S биетүүдийн зураг) нь олон өнцөгт M'-ийн эзэлхүүнтэй байдаг. Манай теорем I ба S биетүүдэд үнэн бөгөөд энэ нь M олон өнцөгтийн хувьд ч үнэн гэсэн үг.

Эзлэхүүн дур зоргоороо биехаргалзах олон талтуудын эзэлхүүнээр тодорхойлогддог тул дурын биеийн хувьд теорем мөн үнэн болно.

Теорем 2.2. (орон зайн ижил төстэй байдлыг тодорхойлох тухай)Хэрэв ABCD ба A'B'C'D' гэсэн хоёр тетраэдр өгөгдсөн бол ийм байна , тэгвэл A→A´, B→B´, C→C´, D→D´ орон зайн яг ижил төстэй байдал байна.

Баталгаа.Ийм ижил төстэй байдал байгаа нь теорем 2.1 ба орон зайн хөдөлгөөнийг тодорхойлох теоремоос (I хэсэг, теорем 5.1) үндэслэсэн болно. Ийм хоёр хувиргалт байг: P ба Р´. Дараа нь хувиргалт нь A, B, C, D гэсэн тогтмол цэгүүдтэй хөдөлгөөн юм. f - таних тэмдэгийн өөрчлөлт. Тиймээс P=P´.

Даалгавар 1.

M, N, P цэгүүд нь AB, BC, AC талууд дээр байрладаг ABC гурвалжин. M´, N´, P´ цэгүүд нь AB, BC, AC талуудтай харьцуулахад M, N, P цэгүүдэд тэгш хэмтэй байна. MNP ба M´N´P´ гурвалжны талбай тэнцүү болохыг батал.

Шийдэл.

Учир нь тогтмол гурвалжинмэдэгдэл нь ойлгомжтой.

Үүнтэй адилаар аливаа трапецийг аффины хувиргалтаар ижил өнцөгт болгон хувиргаж болно, өөрөөр хэлбэл. төлөө ямар нэгэн аффин мэдэгдлийг нотлоход хангалттай тэгш өнцөгт трапец.

Даалгавар 2.

AD ба ВС сууриудтай ABCD трапецын хувьд В цэгээр шулуун шугам татагдана. хажуу талтай зэрэгцээ CD ба диагональ АС-ийг P цэгт огтлолцох ба С цэгээр дамжин AB талтай параллель ба BD диагональ Q цэгт огтлолцох шулуун зурна. PQ шулуун нь трапецын сууриудтай параллель гэдгийг батал.

Шийдэл.

Хоёр талт трапецын хувьд мэдэгдэл нь ойлгомжтой.

Шулуун шугам руу шахах.

Тодорхойлолт. Шулуун шугам руу шахах замаарℓ коэффициенттэй k () нь дурын M цэгийг M´ цэг рүү аваачдаг хувиргалт бөгөөд энд .

Теорем 2.1.Шулуун шугам руу шахах нь аффины хувирал юм.

Баталгаа.Шууд баталгаажуулснаар бид шулуун шугам нь шулуун болж хувирдаг гэдэгт итгэлтэй байна. Шулуун шугам руу шахах нь онцгой тохиолдол гэдгийг та анзаарч болно зэрэгцээ загвар(дизайн чиглэл нь хавтгайн огтлолцох шугамтай перпендикуляр байх үед).

Теорем 2.2.Хэнд ч зориулав аффины хувиралдөрвөлжин тор байдаг бөгөөд энэ хувиргалтаар тэгш өнцөгт тор болж хувирдаг.

Баталгаа.Дурын дөрвөлжин торыг авч, түүний квадратуудын нэг OABC-ийг авч үзье. Бидний өөрчлөлтийн явцад энэ нь O´A´B´C´ параллелограмм болж хувирна. Хэрэв О´А´В´С´ тэгш өнцөгт бол бидний нотлох баримт бүрэн болно. Үгүй бол А´О´В´ өнцөг нь хурц байна гэж тодорхой бодъё. Бид OABC дөрвөлжин ба торыг бүхэлд нь О цэгийн эргэн тойронд эргүүлнэ. OABC дөрвөлжин эргэх үед (А цэг B цэг рүү шилжсэнээр) A´ цэг B´ цэг рүү, B´ параллелограммын орой руу шилжинэ. O´A´ В´С´-тай зэргэлдээ. Тэдгээр. А´О´В´ өнцөг нь мохоо болно. Тасралтгүй байдлын зарчмаар бол хэзээ нэгэн цагт шулуун байсан. Энэ мөчид OABC дөрвөлжин тэгш өнцөгт болж, бидний тор нь тэгш өнцөгт тор болон хувирав.

Теорем 2.3.Аффины хувиргалтыг шулуун шугам болон ижил төстэй байдал руу шахах найрлагаар илэрхийлж болно.

Баталгаа.Теорем 2.2-ын дагуу.

Теорем 2.4.Тодорхой тойргийг тойрог болгон хувиргах аффины хувирал нь ижил төстэй байдал юм.

Баталгаа.Тойрог тойруулан дөрвөлжин дүрслээд, хувиргах явцад тэгш өнцөгт болж хувирах үүднээс эргүүлье (Теорем 2.2.). Бидний тойрог энэ тэгш өнцөгт дотор бичигдсэн тойрог руу орох тул энэ тэгш өнцөгт нь дөрвөлжин юм. Одоо бид хувиргалтын явцад дөрвөлжин тор болж хувирах дөрвөлжин торыг тодорхойлж болно. Мэдээжийн хэрэг, бидний өөрчлөлт бол ижил төстэй байдал юм.

3. Орон зайн аффин хувиргалт.

Тодорхойлолт. АфинСансрын өөрчлөлт гэдэг нь хавтгай бүрийг хавтгай болгон хувиргах орон зайн өөрчлөлт юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө.

1. Афин хувиргалтаар шулуун шугамууд шулуун шугам болж хувирдаг.
2. Орон зайн аффин хувирал нь хавтгай тус бүрийн зураг дээр аффин зураглалыг өдөөдөг.
3. Аффины хувиргалттай зэрэгцээ хавтгайнууд(шулуун шугам) зэрэгцээ хавтгайд (шулуун шугам) хувирна.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа.

1. Шулуун шугам нь хоёр хавтгайн огтлолцол, мөн аффины хувиргалтын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.
2. Аффины хувиргалт ба шинж чанарын тодорхойлолтоос дагана 1.
3. Онгоцны хувьд энэ нь зөрчилдөөнөөр, шугамын хувьд 2-р шинж чанар ба хавтгайн аффин хувирлын шинж чанараар нотлогддог.

Теорем 3.1. (орон зайн аффин хувиргалтыг тодорхойлох тухай)Аливаа өгөгдсөн ABCD болон A´B´C´D´ тетраэдрийн хувьд А-аас A´, B-ээс B´, C-аас C´, D-D´-г авдаг өвөрмөц аффины хувирал байдаг.

Баталгаа.Баталгаа нь теорем 1.1-тэй төстэй. (параллелепипедийн торыг барьсан).

Теорем 3.1-ийн нотолгооноос үзэхэд хэрэв ташуу координатын систем W, W´ нь түүний аффин хувиргалт дахь дүрс байвал W координатын систем дэх орон зайн дурын цэгийн координатууд нь түүний координатуудтай тэнцүү байна. W´ координатын систем дэх зураг.

Үүнээс зарим нь нэн даруй дагадаг шинж чанаруудаффины хувирал.

1. Аффины хувирлын урвуу нь аффин юм.
2. Аффины хувиргалт нь параллель сегментүүдийн уртын харьцааг хадгалдаг.

Одоо координатын системийг (O, , , ) орон зайд өгье, f аффины хувиргалт нь O-ыг O´, суурь векторуудыг вектор болгон хувиргана. f хувиргалт дээрх M(x,y,z) цэгийн M´(x´,y´,z´) зургийн x´, y´, z´ координатуудыг олъё.

Бид координатын систем дэх М цэг (O, , , ) координатын систем дэх М цэгтэй ижил координаттай байна (O´, , , , ) гэж үзнэ. Эндээс

Тиймээс бид тэнцүү байна (*):

Үүнийг бас тэмдэглэх нь зүйтэй , учир нь , , векторууд нь шугаман хамааралгүй.

Энэ тодорхойлогчийг нэрлэдэг аффины хувиргалтыг тодорхойлогч.

Теорем 3.2.(*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн хувиргалт нь аффин юм.

Баталгаа.Трансформацийн урвуу хувиргалт (*) нь аффин (хөрөнгө 4) эсэхийг шалгахад хангалттай. A, B, C нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш Ax´+By´+Cz´+D=0 дурын хавтгайг авъя. Орлуулах (*) хийснээр бид түүний урвуу дүрсийн тэгшитгэлийг олж авна.

Үүссэн тэгшитгэлд x, y, z-ийн коэффициентүүд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байгаа эсэхийг шалгах л үлдлээ. Энэ үнэн, учир нь ... өөрөөр хэлбэл систем

тэгээс өөр тодорхойлогчтой бол зөвхөн тэг шийдэлтэй байх болно: A=B=C=0, энэ нь буруу.

Теорем 3.3.Биеийн аффин хувиралд харгалзах V ба V´ ботьуудын хувьд хамаарал явагдана.

Баталгаа.Хавсарсан бус векторууд , , үүссэн байг вектор суурьорон зай ба векторуудыг орон зайд өгье , Тэгээд . Эдгээр векторуудын холимог үржвэрийг тооцоолсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

.

Векторууд дээр ирмэг хэлбэрээр баригдсан чиглүүлсэн параллелепипедийн эзэлхүүн нь тэнцүү байдгийг ашиглацгаая. холимог ажилЭдгээр векторууд:

,

Энд V 0 нь суурь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн юм.

Аффины хувиргалт нь харгалзах суурь дахь харгалзах векторуудын координатыг өөрчилдөггүй. Тиймээс, V боть параллелепипедийн зургийн V´ эзлэхүүний хувьд бид:

,

Ирмэг дээрх шиг векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн хаана байна.

Эндээс бид: . Дараа нь , тиймээс чиг баримжаагүй эзлэхүүний хувьд бид . Энэхүү тэгш байдлыг 4 ижил төстэй байдлын өмчийн нотолгоотой адил бүх биед өргөтгөж болно (II хэсэг, §2).

Даалгавар.

Параллелепипедийн орой нь түүнийг агуулаагүй гурван нүүрний төвүүдтэй холбогддог. Үүссэн тетраэдрийн эзэлхүүнийг өгөгдсөн параллелепипедийн эзлэхүүнтэй харьцуулсан харьцааг ол.

Шийдэл.

Тооцоогоо хийцгээе энэ хандлагакубын хувьд мөн аффины хувиргалтаар кубыг параллелепипед болгон хувиргасны дараа бид аффины хувиргалт нь эзлэхүүний харьцааг хадгалдаг давуу талыг ашиглана. Шоогийн хувьд харьцааг тооцоолоход хялбар байдаг. Энэ нь 1:12-тэй тэнцүү байна.

Хариулт: 1:12.

Орон зайн хамаатан садан.

Тодорхойлолт.Хавтгайтай орон зайн аффин хувиргалт тогтмол цэгүүд, дуудсан холбогдох хувиргалт ρ (хамаатан садан), түүний тогтмол цэгүүдийн хавтгайг дуудна ураг төрлийн онгоц. Хамаатан саданд тохирох элементүүдийг нэрлэдэг холбоотой.

Тодорхойлолт.Холбогдох цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын чиглэлийг нэрлэдэг харилцааны чиглэл.

Хамаатан садангийн шинж чанарууд.

1. Холбогдох шугамууд (онгоц) нь харилцааны хавтгайд огтлолцдог эсвэл түүнтэй параллель байна.
2. (Харилцааны чиглэлийг тодорхойлох зөв байдал)Холбоотой хоёр цэгийг холбосон шулуун шугамууд нь параллель байна.
3. Хэрэв ураг төрлийн чиглэл нь энэ ураг төрлийн хавтгайтай параллель биш бол холбогдох хоёр цэгийг холбосон сегмент бүрийг ижил харьцаагаар ураг төрлийн хавтгайд хуваана.
4. Ураг төрлийн чиглэлтэй параллель ямар ч онгоц энэ ураг төрлийн дор хөдөлгөөнгүй байдаг. Үүний дотор хавтгайн ойр дотно байдал өдөөгддөг (тогтмол цэгүүдийн шулуун шугамтай аффины хувирал, түүнийг ойрын тэнхлэг гэж нэрлэдэг), тэнхлэг нь орон зайн өгөгдсөн ойрын хавтгайтай огтлолцох шулуун шугам юм.

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа.

1. Нотлох баримт нь эд хөрөнгийн нотлох баримттай төстэй толины тэгш хэм(I хэсэг, §3.5).

2. А, В хоёр өөр цэг байг; A´, B´ нь тэдний ураг төрлийн дүрс, α нь ураг төрлийн хавтгай юм. Let . Дараа нь (аффины хувиргалтын шинж чанар), i.e. AA´||BB´ гэх мэт.

3 ба 4. Эд хөрөнгийн нотлох баримтаас 2-ыг дагаж мөрдөнө.

Тодорхойлолт.Тэгшитгэлээр илэрхийлсэн гадаргуу , дуудсан эллипсоид. Эллипсоидын онцгой тохиолдол бол бөмбөрцөг юм.

Дараахь баримт байгаа бөгөөд бид үүнийг нотлохгүй, гэхдээ дараахь теоремуудыг батлахад бидэнд хэрэгтэй болно.

Теорем 4.1.Аффины хувирал нь эллипсоидыг эллипсоид болгон хувиргадаг.

Теорем 4.2.Орон зайн дур зоргоороо аффин хувиргалтыг ижил төстэй байдал, ураг төрлийн бүрэлдэхүүнээр илэрхийлж болно.

Баталгаа.σ бөмбөрцгийг эллипсоид σ´ дээр аффин хувиргах f гэж үзье. Теорем 3.1-ээс харахад f-г эдгээр тоогоор тодорхойлж болно. Эллипсоидын төвийг агуулсан, тодорхой тойрог ω´ дагуу огтлолцсон α´ хавтгайг авч үзье (ийм хавтгай байгаа нь тасралтгүй байдлын үүднээс батлахад хялбар). α нь α´-ийн урвуу дүрс, ω´-ийн урвуу дүрс, β нь диаметрийн тойрог болох ω´ тойрогтой бөмбөрцөг байг. β-г σ´-ийн ρ-ийн ураг төрлийн зураглал байдаг ба σ-ийн β-ийн P зураглалын ижил төстэй байдал байдаг. Дараа нь - шаардлагатай төлөөлөл.

Өмнөх теоремын баталгаанаас 4.3 теорем шууд дараах байдалтай байна.

Теорем 4.3.Бөмбөрцгийг хадгалдаг аффины хувиргалт нь ижил төстэй байдал юм.

IV хэсэг. Проекктив өөрчлөлтүүд.

1. Хавтгайн проекцийн хувиргалт.

Тодорхойлолт. Проекктив хавтгай– Энгийн (Евклидийн) хавтгай, хязгааргүйд байрлах цэгүүд болон хязгааргүйд шулуун шугамаар нэмэгддэг. зохисгүй элементүүд. Энэ тохиолдолд шулуун шугам бүрийг нэг буруу цэгээр, бүх хавтгайг нэг буруу шугамаар нэмнэ; зэрэгцээ шугамыг нийтлэг буруу цэгээр, зэрэгцээ бус шугамыг өөр өөр цэгээр нөхдөг; Хавтгайн бүх боломжит шулуун шугамыг нөхөж буй буруу цэгүүд нь буруу шугамд хамаарна.

Тодорхойлолт.Аливаа шулууныг шулуун болгон хувиргах проекцийн хавтгайг хувиргах гэж нэрлэдэг проекктив.

Үр дагавар.Шугамыг хязгааргүйд хадгалдаг проекктив хувиргалт нь аффин; Аливаа аффин хувиргалт нь шугамыг хязгааргүй байлгах проекц юм.

Тодорхойлолт. Төвийн дизайнα хавтгайд төв нь О цэгт байрлах β хавтгайд α хавтгайн дурын А цэгийг OA шулуун шугамын β хавтгайтай огтлолцох A´ цэгтэй холбосон зураглал гэнэ.

Түүнчлэн хэрэв α ба β хавтгайнууд параллель биш бол α хавтгайд О цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай ба ℓ шулуун нь β хавтгайтай параллель байхаар ℓ шулуун байна. Бидний проекцын явцад ℓ нь β хавтгайн хязгааргүй алслагдсан шулуун руу очно (энэ тохиолдолд ℓ шулуун шугамын В цэг бүр нь OB-тэй параллель шугамуудыг нөхөж байгаа хязгааргүй алслагдсан шугамын цэг рүү очно) гэж бид таамаглах болно. β хавтгайд О цэгийг дайран өнгөрч буй хавтгай ба ℓ´ шулуун нь α хавтгайтай параллель байхаар ℓ´ шулуун байна. Бид ℓ´-г α шулуун шугамын хязгааргүйд дүрсэлсэн дүрс гэж үзэх болно. Бид шулуун шугамуудыг ℓ ба ℓ´ гэж нэрлэнэ онцолсон.

Бид проекцын хавтгайн энгийн өөрчлөлтийг өгсөн гэж хэлж болно (хэрэв бид α ба β хавтгайг нэгтгэвэл).

Тодорхойлолтоос энэ нь шууд гарч ирдэг шинж чанарууд төв төсөөлөл :

1. Төвийн дизайн - проекктив хувиргалт.
2. Төвийн дизайн руу урвуу өөрчлөлт нь ижил төвтэй төвийн загвар юм.
3. Сонгосон шугамуудтай параллель шугамууд параллель болно.

Тодорхойлолт. A, B, C, D цэгүүдийг нэг шулуун дээр хэвтэцгээе. Давхар хандлагаЭдгээр цэгүүдийн (AB; CD)-ийг утга гэнэ. Хэрэв цэгүүдийн аль нэг нь хязгааргүй алслагдсан бол төгсгөл нь энэ цэг болох сегментүүдийн уртыг багасгаж болно.

Теорем 1.1.Төвийн төсөөлөл нь хоёрдмол харилцааг хадгалдаг.

Баталгаа. O нь дизайны төв, A, B, C, D нь нэг шулуун дээр байрлах дөрвөн цэг, A´, B´, C´, D´ нь тэдгээрийн дүрс байх болно.

Үүний нэгэн адил .

Нэг тэгш байдлыг нөгөөд нь хуваахад бид олж авна .

Үүний нэгэн адил, D цэгийг харгалзан С цэгийн оронд бид олж авна .

Эндээс , өөрөөр хэлбэл .

Нотлох баримтыг бүрэн дүүрэн болгохын тулд бүх сегмент, талбай, өнцгийг чиглэсэн гэж үзэж болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.

Теорем 1.2.Нэг шулуун дээр хэвтэхгүй π хавтгайн A, B, C, D дөрвөн цэг, π´ хавтгайд нэг шулуун дээр хэвтэхгүй M, N, P, Q дөрвөн цэг байг. Дараа нь А-аас М, В-ээс N, С-ээс P, D-ээс Q-г авдаг төв (зэрэгцээ) проекц ба ижил төстэй байдлын найрлага бий.

Баталгаа.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид ABCD ба MNPQ нь дөрвөлжин гэж хэлэх болно, гэхдээ үнэндээ энэ нь шаардлагагүй (жишээлбэл, AB ба CD сегментүүд огтлолцож болно). Нотолгооноос харахад бид A, B, C, D, M, N, P, Q гэсэн цэгүүдийг хаана ч ашигладаггүй нь тодорхой болно. заасан дарааллаардөрвөн өнцөгт үүсгэдэг.

Одоо A, B, C, D цэгүүдээр AK, BL, CF, DG шугамууд, X 1 X 2-тай параллель (K, L нь DC дээр; G, F - AB дээр байрладаг), N, M цэгүүдээр зурцгаая. - NT , MS шугамууд, Y 1 Y 2-тай зэрэгцээ (T, S нь PQ дээр байрладаг). Төв (зэрэгцээ) проекц f ашиглан бид ABLK трапецийг MNTS трапецын адил π´ хавтгайн A´B´L´K´ трапец болгон хувиргана (энэ нь бидний нотлох баримтын I хэсгийн дагуу боломжтой). Энэ тохиолдолд X 1, X 2 цэгүүдийн сонголтоос харахад X 1 X 2 шугам нь π´ хавтгайн сонгосон шулуун шугам болно. ABCD трапец нь A B´C´D трапецтай төстэй байхаар L´K´ шулуун дээрх C´, D´ цэгүүдийг тэмдэглэе. B´L´ шулуунтай параллель C´F´, D´G´ шулуун шугамуудыг (F´, G´ А´В´ дээр хэвтэж) зурж, А´В´ шулуун дээр Y 1 ´ цэгийг тэмдэглэе. тэр , . C´D´ шулуун дээр бид Y 2 ´ цэгийг тэмдэглэж, Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (зураг харна уу). Y 1 ´ ба Y 2 ´ цэгүүдийн сонголтоос харахад Y 1 ´Y 2 ´ шулуун нь π´ хавтгайн сонгосон шулуун шугам болно. f-г хувиргах үед Е цэг нь A´B´ ба L´K´ шугамын огтлолцол E´ цэг рүү очно. C цэг нь C´D´ шулуун шугамын зарим C 0 ´ цэг рүү очдог.

C 0 нь C´-тай давхцаж байгааг баталцгаая. f хувиргахад X 2 нь хязгааргүйд ордог алсын цэгшулуун шугам C´D´ ба Y 2 ´ - дүрс нь хязгааргүй юм алсын цэгШууд CD ба төвийн проекц нь хоёрдмол харилцааг хадгалдаг тул үүнийг дагадаг , хаана . Одоо CDGF трапецийг C´D´G´F´ трапец болгон хувиргах g хувиргалт, төвийн проекцын бүтэц, ижил төстэй байдлыг авч үзье. Өөрчлөлтийн хувьд g-ийн хувьд үүнийг мөн адил харуулж болно . Эндээс C 0 ба C´ цэгүүд давхцах болно. Үүний нэгэн адил D 0 - f хувиргалт дахь D цэгийн дүрс нь D´-тай давхцаж байгааг харуулж болно. Тиймээс f хувиргалт нь ABCD дөрвөлжин өнцөгт MNPQ дөрвөлжинтэй төстэй A´B´C´D´ дөрвөлжин хэлбэртэй болж хувирдаг бөгөөд энэ нь шаардлагатай байсан юм.

Теорем 1.3.Дөрвөн цэг өгье, үүнээс гурав нь нэг шулуун дээр ороогүй байна: A, B, C, D, A´, B´, C´, D´. Дараа нь A-аас A´, B-ээс B´, C-аас C´, D-D´-г авдаг өвөрмөц проекцийн хувиргалт бий.

ОршихуйЭнэхүү хувиргалт нь теорем 1.1-ээс үүснэ.

Өвөрмөц байдалаффин хувиргалтын өвөрмөц байдлын нэгэн адил нотлогдож болно (Теорем 1.1, III хэсэг): дөрвөлжин торыг авч үзэх, түүний дүрсийг бүтээх, дараа нь түүнийг сайжруулах. Бидэнд тулгарсан бэрхшээлийг даван туулахын тулд

Лекц 10 . Хөдөлгөөний шинж чанарууд ерөнхий үзэл. Хөдөлгөөний үндсэн теорем. Тэгш байдал геометрийн хэлбэрүүд.

Уран зохиол. § 41.

Теорем 1. Онгоцны хөдөлгөөн нь өөрчлөлтийн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Баталгаа.Дурын хоёр хөдөлгөөний үржвэр нь хөдөлгөөн мөн гэдгийг шалгахад хангалттай урвуу хувиргалт to move нь мөн онгоцны хөдөлгөөнийг илэрхийлдэг. Сайн дурын хоёр хөдөлгөөнийг авч үзье g ба h . Дараа нь дурын хоёр цэгийн хувьдА ба Б хавтгайд дараах хамаарал хүчинтэй байна: ба. Учир нь, бүтээгдэхүүн нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг, өөрөөр хэлбэл. хөдөлгөөн юм.

Ф - онгоцны дур зоргоороо хөдөлгөөн. Хоёр цэгийг анхаарч үзээрэйА ба Б ба -аар тэмдэглэнэА" ба Б" урвуу хувиргалт дор тэдний зургууд: Дараа нь. Учир нье онгоцны хөдөлгөөн, дараа нь: . Тийм ч учраас. Хөдөлгөөний урвуу хөрвүүлэлт нь мөн хөдөлгөөн юм. Теорем нь батлагдсан.

Зэрэгцээ хөрвүүлэлт ба эргэлт нь хөдөлгөөний тодорхой төрөл юм. Үүнийг баталж болноБүх зэрэгцээ орчуулгын багц, түүнчлэн тогтмол төвтэй бүх эргэлтүүдийн багц нь хавтгай хөдөлгөөний бүлэгт дэд бүлгүүдийг үүсгэдэг.. Дүрсийг орчуулж буй бүх хөдөлгөөний багц гэдгийг харуулах нь тийм ч хэцүү биш юмФ дотроо, хөдөлгөөний бүлэгт дэд бүлгийг бүрдүүлдэг. Хэрэв ийм хөдөлгөөн нь ижил хөдөлгөөнөөс ялгаатай бол үүнийг нэрлэдэгF зургийн тэгш хэм, мөн заасан дэд бүлэг байнатүүний тэгш хэмийн бүлэг. Эдгээр мэдэгдлийг өөрөө нотол.

Хөдөлгөөний явцад аль багц нь шулуун шугам, сегмент, туяа, өнцөг, тойргийн дүрс болж байгааг олж мэдье.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. f хавтгайн хөдөлгөөн, A", B" ба C" нь f-ийн хөдөлгөөний үеийн A, B, C цэгүүдийн дүрс юм. Дараа нь A, B, C" цэгүүд нь ижил шулуун дээр хэвтэж байвал зөвхөн хэрэв А, В цэгүүдба C нь хоорондоо уялдаатай байна.

Баталгаа.Сургуулийн геометрийн хичээлээс та гурван оноог мэддэг A, B, C нэг шулуун дээр хэвтэх, хэрэв зөвхөн тэдгээрийн аль нэгнийх нь хувьд, жишээ ньБ , нөхцөл хангагдсан: . Энэ тохиолдолд гол зүйл B нь A ба C хооронд байрладаг (Зураг 130, а). Ингэж бодъё A, B, C нь хоорондоо уялдаатай, B нь A ба C хооронд байрладаг . Хөдөлгөөний явцад цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг тул:

". Тиймээс A, B, C" цэгүүд нь хоорондоо уялдаатай байна.

A, B, C цэгүүдийг үзье нэг шулуун шугам дээр бүү хэвт. Дараа нь тэдгээр нь гурвалжны орой дээр байрладаг (Зураг 130, b). Тиймээс тэдгээрийн хоорондох зай нь тэгш бус байдлыг хангана.. Үүний улмаас f цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг бол: . Тиймээс оноо A, B, C" мөн гурвалжны орой дээр байрладаг. Тиймээс, хэрэв оноо A, B, C" Хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал урвуу дүрс нь гурвалжны орой дээр хэвтэж чадахгүй. Эд хөрөнгө нь батлагдсан.

Хөдлөх үед шугаман цэгүүд нь хоорондоо уялдаатай, нэг шулуун дээр хэвтдэггүй цэгүүд нь нэг шулуун дээр хэвтдэггүй цэгүүд болж хувирдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хөдлөх үед шулуун шугамын дүрс нь шулуун шугам юм.

Баталгаа. l-ийг А ба В шулуун шугам гэж үзье түүний дурын хоёр цэг, зарим хөдөлгөөн, . -ээр тэмдэглэе l" шулуун A" B" . 1-р өмчийн дагуу шугаманд хамаарах цэгүүд AB , шулуун дээр байрлах цэг болгон хувиргана A"B" . Тийм ч учраас. Аливаа цэгийн урвуу дүрс гэдгийг харуулъя C "шулуун шугам l" шулуун l дээр байрладаг . Энэ нь үүнийг батлах болно. Байгаа. Теорем 1-ийг батлахдаа бид хувиргалт нь мөн хөдөлгөөн мөн гэдгийг шалгасан. Түүнээс хойш нэг оноо A, B, C" - тэгвэл collinear A, B, C мөн ижил шулуун шугам дээр хэвтэнэ. Эд хөрөнгө нь батлагдсан.

Хөдөлгөөний явцад сегмент, туяа, өнцгийн зургийг олохын тулд шинж чанаруудыг ашиглах хэрэгтэй энгийн харилцаашулуун шугамын цэгүүд. Энэ ойлголтыг эргэн санацгаая.A, B, C нь нэг шулуунд хамаарах өөр өөр цэгүүд байг. Тоо Тэдний энгийн харьцаа гэж нэрлэдэг ( = (AB,C)), хэрэв. Үүний зэрэгцээ А ба В цэгүүд үндсэн, цэг гэж нэрлэдэгХуваагчтай хамт. C цэг хэрвээ зөвхөн сегмент дээр байгаа бол AB, хэзээ. C цэг хэрэв зөвхөн цацрагийн шугам дээр байгаа бол AB нэг цэгээс эхэлдэг B-г агуулаагүй , Хэзээ. Тэгээд эцэст нь гол зүйлХАМТ шулуун туяан дээр хэвтэж байна AB нэг цэгээс эхэлдэгА , цэг агуулаагүй IN , зөвхөн хэрэв байгаа бол (Зураг 131).

Эд хөрөнгө 3. Хөдлөх үед цэгүүдийн энгийн харьцаа хадгалагдана.

Баталгаа.C цэгийг сегментэд хамааруулъя AB . Дараа нь. Учир нь түүний тодорхойлолтын дагуу энгийн харьцаа нь векторуудын харьцаагаар өгөгдөж, дараа нь энэ тохиолдолдсегментүүдийн уртын харьцаатай тэнцүү байна: . Дурын хөдөлгөөнийг авч үзьее , -ээр тэмдэглэнэ A, B, C цэгүүдийн A, B, C" зургууд энэ хөдөлгөөнөөр. ЦэгХАМТ сегментэд хамаарна AB , тиймээс эдгээр цэгүүдийн хооронд оршдог, тиймээс. Хөдөлгөөн нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг тул. Энэ нь C цэгийг дагаж мөрддөг нь A  ба B  хооронд оршдог ба

Одоо гол зүйл гэж үзье B нь A ба C хооронд байрладаг (131-р зургийг үз). Дараа нь, мөн энгийн харилцааны тодорхойлолтоос харахад, . Үүний улмаасе - хөдөлгөөн, . Тиймээс оноо B" нь A" ба C" хооронд байрладаг. болон хэлэлцэж буй хэргийн хувьд эд хөрөнгө нь нотлогдсон. Онооны нотолгоо нь ижил төстэй байдлаар хийгддэг A, B, C , цэг байгаа тохиолдолд A нь C ба B хооронд оршдог . Нотлох баримтаа өөрөө хий.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Хөдлөх үед сегментийг тэнцүү сегмент болгон хувиргадаг.

Баталгаа.Дурын сегментийг авч үзье. Болъёе зарим хөдөлгөөн... ЦэгХАМТ хэрчмэнд хамаарах бөгөөд зөвхөн эдгээр цэгүүд хоорондоо уялдаатай ба. -ээр тэмдэглэе C" хөдөлгөөний үед C цэгийн дүрс f . 1 ба 3-р шинж чанаруудаас ба цэгүүд нь хоорондоо уялдаатай байна. Тиймээс цэгХАМТ" сегментэд хамаарна. Ийнхүү, . Аливаа цэгийн прототип гэдгийг харахад хялбар байдаг C" сегмент мөн хамаарна. Үнэн хэрэгтээ, урвуу хувиргалт нь мөн хөдөлгөөн бөгөөд энэ нь сегмент дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тийм ч учраас. Хөдөлгөөний явцад цэгүүдийн хоорондох зай хадгалагддаг тул сегментүүд нь хоорондоо тэнцүү байна. Эд хөрөнгө нь батлагдсан.

Эд хөрөнгө 5. Хөдлөх үед цацраг нь цацраг болж хувирдаг.

Баталгаа.Энэ өмчийн нотолгоо нь өмнөхтэй төстэй юм. Цацрагыг анхаарч үзээрэйл нэг цэгээс эхэлдэгА . -ээр тэмдэглэеА-аас ялгаатай l цацрагийн цэг хүртэл. Ф - сайн дурын хөдөлгөөн, . Нэг цэг дээр гарал үүсэлтэй туяа дамжин өнгөрнө. ХэрэвХАМТ туяа дээрх зарим цэгл , дараа нь энэ нь сегмент дээр эсвэл түүний үргэлжлэл дээр байрладаг. Хэрэв 4-р өмчийн дагуу түүний зураг сегмент дээр байрладаг. БолъёХАМТ сегментийн үргэлжлэлд хамаарна. Дараа нь. Хөдөлгөөний явцад цэгүүдийн энгийн харьцаа хадгалагдан үлддэг тул. Үүний гол санааг эндээс харж болно C" туяа сегментийн үргэлжлэлд хамаарна. Ийнхүү, . Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд аль ч цэгийн урвуу дүрс байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй C "цацраг l" туяанд хамаарнал . Урвуу хувирал нь бас хөдөлгөөн гэдгийг далимдуулан үндэслэлээ өөрөө хий.

Сургуулийн геометрийн хичээлээс харахад өнцөг гэдэг нь хоёр туяатай байхыг хэлнэ ерөнхий эхлэл.

Үл хөдлөх хөрөнгө 6. Хөдлөх үед өнцөг нь түүнтэй тэнцүү өнцөгт хувирдаг.

Баталгаа.Цацраг туяаг авч үзьем ба n , цэг дээр нийтлэг гарал үүсэлтэйА. Хөдлөх үед f тэдгээр нь туяа болж хувирдаг m" ба n" нэг цэгээс эхэлдэг. Тиймээс өнцгийг өнцөг болгон хувиргадаг. Цацрагаар сонгоцгооё m ба n цэгүүд B ба C : . -ээр тэмдэглэе B" ба C" хөдөлж байх үед тэдний зургууде . Дараа нь (Зураг 131). Учир нь энэ нь гурвалжин юм ABC гурвалжинтай тэнцүү A"B"C". Тиймээс  ABC =  A"B"C" . Эд хөрөнгө нь батлагдсан.

Тойргийн дүрс хөдөлж байхдаа юуг төлөөлж байгааг олж мэдье.

Үл хөдлөх хөрөнгө 7. О цэг дээр төвтэй r радиустай тойргийг өгье. Дараа нь хөдөлж байхдаа ижил радиустай тойрог болж хувирч, төв нь О төвийн дүрстэй давхцаж байна.

Баталгаа.Ф сайн дурын хөдөлгөөн, төвийн дүр төрхТУХАЙ энэ дугуй хөдөлгөөний үед , радиус нь тэнцүү байна. -ээр тэмдэглэе "Цэг дээр төвтэй тойрог r радиустай O". -д хамаарах С цэгийг ав . Байгаа. Түүнээс хойш, тэгвэл оноо C" тойрогт хамаарна ". Эсрэгээр нь C гэж үзье" - тойрог дээрх дурын цэг ", хөдөлгөөний үед түүний прототип. Урвуу хувирал нь хөдөлгөөн учраас, өөрөөр хэлбэл, цэг.ХАМТ тойрогт хамаарна . Ийнхүү ". Эд хөрөнгө нь нотлогдсон.

Бидэнд хэрэгтэй жишиг үзүүлэлтийн тухай ойлголтыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт 2. Хавтгайн аффин хүрээ гэж бид шугаман бус цэгүүдийн эрэмбэлэгдсэн гурвалсан хэсгийг хэлнэ.

Дараах зүйлд бид R аффин хүрээг дараах байдлаар тэмдэглэх болно, хаана нь түүний эхний, хоёр, гурав дахь цэгүүд байна. Бид ихэвчлэн "аффин" гэдэг үгийг орхигдуулж, хүрээг аффин хүрээ гэж ойлгодог. Хэрэв лавлагаа цэгүүд нь нөхцөлийг хангаж байвал: , мөн өнцөг нь шулуун байвал лавлах цэгийг дуудна.ортонормаль.

Бид жишиг цэг бүртэй аффин координатын системийг холбодог. Хэрэв бидэнд лавлах цэг өгсөн бол бид үүнийг системтэй холбоно: , хаана (Зураг 133, а). Мөн эсрэгээр тус бүр аффины системкоординатууд нь бид хангасан лавлах цэгтэй тохирно заасан нөхцөл. Мэдээжийн хэрэг тэгш өнцөгт декартын координатын систем нь ортонормаль хүрээтэй (Зураг 133, б), ортонормаль хүрээ нь тэгш өнцөгт декартын координатын системтэй тохирч байгаа нь ойлгомжтой. Ирээдүйд, дооржишигтэй харьцуулахад цэгийн координатБид түүний координатыг холбогдох координатын системд ойлгох болно.

Хөдөлгөөний өөр нэг шинж чанар үнэн болохыг харахад хялбар байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө 7. Хөдлөх үед лавлах цэгийг жишиг цэг болгон хувиргаж, ортонормаль жишиг цэгийг ортонормаль жишиг цэг болгон хувиргадаг.

Энэхүү мэдэгдэл нь хөдөлгөөний 4 ба 6-р шинж чанаруудаас шууд гардаг.

Дараах үндсэн шинж чанар нь үнэн бөгөөд үүнээс үзэхэд аливаа хөдөлгөөн нь хоёр ортонормаль хүрээгээр бүрэн тодорхойлогддог.

Теорем 2 (хөдөлгөөний үндсэн шинж чанар).Ортонормаль фрэймүүд ба хавтгайд өгөгдөх болтугай. Дараа нь байна цорын ганц хөдөлгөөн g, R хүрээг R" болгон хувиргах: .

Баталгаа.Ийм хөдөлгөөн байдгийг харуулъя. Хоёр тэгш өнцөгтийг авч үзье Декарт системэдгээр ортонормаль жишиг цэгүүдэд тохирох координатууд. Эхний систем нь цэг ба векторуудаар үүсгэгддэг: хоёрдугаарт. Геометрийн хичээлийн эхний хэсэгт заншсан ёсоор бид эдгээр системүүдийн цэгүүдийн координатыг 1 ба 2 индексээр хангана. Оноо бүрийг оноож өгьеМ координат бүхий онгоцууд x ба у системийн эхний цэгтэй харьцуулахадМ" ижил координаттай x ба у хоёр дахь координатын системтэй харьцуулахад. Дагаж мөрдөх гэж юу болох нь ойлгомжтой g онгоцыг өөр дээрээ нэг нэгээр нь буулгасан зураглал юм. g нь хавтгай дээрх цэгүүдийн хөдөлгөөн гэдгийг харуулъя. Дурын цэгүүдийг анхаарч үзээрэйМ ба Н , эхний систем дэх координатууд нь: , , Координатын систем нь тэгш өнцөгт декарт тул эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг дараах томъёогоор тооцоолно M ба N-ийн M "ба N" зургууд хөрвүүлэх үед g , тэгвэл эдгээр цэгүүд хоёр дахь системтэй харьцуулахад ижил координаттай байна: , . Хоёр дахь координатын систем нь мөн тэгш өнцөгт декарт юм. Тиймээс: Тиймээс, g хавтгай цэгүүдийн хөдөлгөөн. Энэ хувиргалт нь цэгүүдийн координатыг хадгалдаг тул (би =1,2,3). Лавлагаа орчуулах хөдөлгөөн байгаа эсэх R in R" нь батлагдсан.

Түүний өвөрмөц байдлыг баталцгаая. Хоёр хөдөлгөөн байна гэж бодъё f ба g , жишиг үзүүлэлтийг орчуулж байна R-ээс R ":, зарим үед иймМ онгоц. Учир нье онгоцны хөдөлгөөн, дараа нь. Нөгөө талаас, g мөн хөдөлгөөн, тиймээс: . Үүний үр дүнд цэг нь цэгүүдээс ижил зайд байрладаг бөгөөд i.e. харьяалагддаг перпендикуляр биссектрис-аас

огтлох (Зураг 134). Үүний нэгэн адил, мөн түүнчлэн энэ перпендикуляр дээр хэвтэж байгааг харуулсан. Тодорхойлолт 2-оос энэ нь цэгүүд болон лавлах цэгүүдийг дагаж мөрддөг тул бид зөрчилдөөнд хүрлээ R" нэг мөрөнд хамаарах боломжгүй. Хоёр байдаг гэсэн таамаглал янз бүрийн хөдөлгөөн, жишиг үзүүлэлтийг орчуулж байна R-ээс R" , - худал. Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар. Хэрэв f нь хавтгайн хөдөлгөөн бол: R ортонормаль хүрээг R ортонормаль хүрээ болгон хувиргах нь R хүрээтэй харьцуулахад x ба y координаттай хавтгайн M цэг бүр нь M"= f(M) цэгтэй тохирч байна. R" хүрээтэй харьцуулахад ижил координатууд x ба y.

Үнэн хэрэгтээ Теорем 1-ийн нотолгоонд бид заасан шинж чанарыг хангасан g хөдөлгөөнийг байгуулсан. R хүрээг R руу шилжүүлэх нэг хөдөлгөөн байдаг тул хөдөлгөөнүүд f ба g таарах. Дараахь тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 3. Хавтгай туг гэж бид цэг, энэ цэгээс эхлэлтэй туяа, хил хязгаар нь энэ туяаг агуулсан хагас хавтгайг хэлнэ.

Бид тугийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: , хаанаМ цэг, l ray, a нь тугны хагас хавтгай юм. Туг бүр нь ортонормаль хүрээтэй өвөрмөц тохирдогМ - тугны цэг, түүний цацраг дээр байрладаг, a нь тугны хагас хавтгайд хамаарна (Зураг 135). Туг бүр нь ортонормаль фреймтэй тохирч байгаа нь тодорхой бөгөөд эсрэгээр нь заасан дүрмийн дагуу ийм хүрээ тус бүр нь тугтай тохирч байх нь ойлгомжтой.

Теорем 3. Хоёр туг өргөгтүн. Дараа нь F тугийг F туг болгон хувиргах өвөрмөц хөдөлгөөн g байна: , .

Баталгаа.Ортонормаль хүрээг авч үзье R ба R" , тугуудтай харгалзах F ба F". М цэгийн х ба у координат, l цацрагийн цэгүүд мөн хагас онгоцнуудыг далбаа R хүрээн дэх F нөхцөлийг тус тус хангана: , болон. Цэгийн координатууд нь ижил нөхцөлд хамаарна M ", цацрагийн цэгүүд l" мөн хагас хавтгай "туг R лавлагаа дахь F" . 2-р теорем ба түүний үр дагавараас харахад өвөрмөц хөдөлгөөн байдаг g, R-ийг R руу авав ", эдгээр лавлах цэгүүдтэй холбоотой цэгүүдийн координатууд хадгалагдана. Үүнээс үзэхэд тугийг орчуулах нэг хөдөлгөөн байдаг. F-д F" . Теорем нь батлагдсан.

Бид дараах тодорхойлолтыг хийж байна.

Тодорхойлолт 4. Эхний дүрсийг хоёр дахь руу шилжүүлэх онгоцны хөдөлгөөн байвал бид геометрийн хувьд тэгш (эсвэл зүгээр л тэнцүү) хавтгайн хоёр дүрсийг нэрлэдэг.

Энэ нь ойлгомжтой тэнцүү тоонуудхөдөлгөөний бүлгээс хувиргах үед өөрчлөгддөггүй (хувиралтгүй) шинж чанаруудтай. Оруулсан тодорхойлолт нь ихэнх хэсэгт заасан геометрийн дүрсүүдийн тэгш байдлын тухай ойлголттой бүрэн нийцдэг сургуулийн курсуудгеометр.

Сэтгэгдэл. Ихэнхдээ геометрийн хувьд тэнцүү дүрсүүдийг дууддагнийцтэй

Анхан шатны геометрийн хувьд үндсэн ач холбогдолгурвалжны тэгш байдлын тухай ойлголттой бөгөөд тэдгээрийн тэмдгийг нотлоход ашигладаг их тооПланиметр ба стереометрийн теоремууд. Хөдөлгөөний үндсэн шинж чанарыг ашигласнаар бид гурвалжны тэгш байдлын эхний шалгуурыг хангасан тохиолдолд л хоёр гурвалжин тэнцүү болохыг харуулах болно.

Теорем 4. Хоёр гурвалжин нь тэдгээрийн харгалзах талууд ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү байх тохиолдолд л тэнцүү байна.

Баталгаа. Геометрийн дүрсүүдийн тэгш байдлын тодорхойлолтоос харахад хавтгайн цэгүүдийн зарим хөдөлгөөнөөр хоёр тэнцүү гурвалжин бие биедээ хөрвүүлэгддэг. Ижил хөдөлгөөн нь гурвалжингийн харгалзах бүх элементүүдийг бие биедээ хувиргадаг. Тиймээс тэнцүү гурвалжны харгалзах талууд ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

Буцах. Хоёр гурвалжинг өгье ABC ба A"B"C" , талууд ба өнцөг нь нөхцөлийг хангасан: , . Ийм хөдөлгөөн байдгийг нотолцгооё g онгоц, үүн дээр: . Гурвалжинд хавсаргана ABC туг, ингэснээр тугны цэг нь оройтой давхцдаг A, цацраг l дээд хэсгийг агуулсан B, орой С хагас хавтгайд харьяалагддаг байв. Үүний нэгэн адил тугийг гурвалжинд хавсаргана A"B"C" (Зураг 136). R ба R" гэж бичье. - тугуудад тохирох ортонормаль жишиг F ба F" . Дараа нь жишигтэй харьцуулахад эхний гурвалжны оройн координатуудР гэсэн хэлбэртэй байна: , энд, чиглэсэн өнцөг BAC гурвалжин ABC . Нөхцөлөөр, дараа нь хүрээн дотор R  оройнууд A, B, C" хоёр дахь гурвалжин ижил координаттай байна. 3-р теоремоос харахад хөдөлгөөн байдаг g , жишиг үзүүлэлтийг орчуулж байна R-ээс R" , үүнд, 2-р теоремын үр дүнд дараах байдлаар цэгүүдийн координатууд хадгалагдана. Тийм ч учраас. Теорем нь батлагдсан.

Үүнийг дурын хоёрын хувьд ч харуулж болно тэнцүү олон өнцөгтүүддараах мэдэгдэл үнэн байна:Хоёр олон өнцөгт нь зөвхөн тэдгээрийн харгалзах талууд ба өнцөг нь тэнцүү байвал тэнцүү байна.

Энэ видео хичээлийн сэдэв нь хөдөлгөөний шинж чанар, түүнчлэн зэрэгцээ орчуулга байх болно. Хичээлийн эхэнд бид хөдөлгөөний тухай ойлголт, түүний үндсэн төрлүүд - тэнхлэгийн болон төвийн тэгш хэмийг дахин давтах болно. Үүний дараа бид хөдөлгөөний бүх шинж чанарыг авч үзэх болно. "Зэрэгцээ дамжуулалт" гэсэн ойлголт, юунд ашиглагдаж байгааг харцгаая, түүний шинж чанарыг нэрлэе.

Сэдэв: Хөдөлгөөн

Хичээл: Хөдөлгөөн. Хөдөлгөөний шинж чанарууд

Теоремыг баталъя: хөдөлж байх үед сегмент нь сегмент болж хувирдаг.

Зураг ашиглан теоремын томъёоллыг тайлж үзье. 1. Хөдөлгөөний явцад MN тодорхой сегментийн төгсгөлүүдийг зарим M 1 ба N 1 цэгүүдэд тус тус зурсан бол MN сегментийн дурын P цэг нь M 1 N 1 сегментийн P 1 цэг рүү заавал очно. эсрэгээр M 1 N 1 сегментийн Q 1 цэг бүрт MN сегментийн тодорхой Q цэг заавал харагдах болно.

Баталгаа.

Зурагнаас харахад MN = MP + PN.

P цэгийг хавтгайн зарим P 1 "цэг рүү явуулъя. Хөдөлгөөний тодорхойлолтоос харахад хэрчмүүдийн урт MN = M 1 N 1, MP = M 1 P 1 ", PN = P 1 "N тэнцүү байна. 1. Эдгээр тэгшитгэлээс M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, өөрөөр хэлбэл Р 1 " цэг нь M 1 сегментэд хамаарна. N 1 ба P 1 цэгтэй давхцаж байгаа бол дээрх тэгш байдлын оронд M 1 P 1 "+ P 1 "N 1 > M 1 N 1 гурвалжны тэгш бус байдал нь үнэн байх болно, өөрөөр хэлбэл бид хөдөлж байх үед үүнийг нотолсон , MN хэрчмийн дурын P цэг нь M 1 хэрчимний P 1 цэг рүү заавал очно. N 1. Теоремын хоёр дахь хэсэг (Q 1 цэгийн тухай) туйлын ижил аргаар батлагдсан.

Батлагдсан теорем нь аливаа хөдөлгөөнд хүчинтэй!

Теорем: хөдөлж байх үед өнцөг нь түүнтэй тэнцүү өнцөг болж хувирдаг.

RAOB-ийг өгье (Зураг 2). Мөн RO орой нь О 1 цэг рүү, А ба В цэгүүд нь А 1 ба В 1 цэгүүдэд тус тус хүрэх хөдөлгөөнийг өгье.

AOB ба A 1 O 1 B 1 гурвалжнуудыг авч үзье. Теоремийн нөхцлийн дагуу A 1, O 1, B 1 цэгүүд рүү шилжихэд A, O, B цэгүүд шилжинэ. Үүний үр дүнд AO = A 1 O 1, OB = O 1 B 1, AB = A 1 B 1 уртуудын тэгш байдал бий болно. Ийнхүү гурван талдаа AOB = A 1 O 1 B 1 байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харахад харгалзах өнцөг O ба O 1 тэнцүү байна.

Тиймээс аливаа хөдөлгөөн нь өнцгийг хадгалдаг.

Хөдөлгөөний үндсэн шинж чанараас олон үр дагавар гарч ирдэг, ялангуяа хөдөлж байх үед ямар ч дүрсийг ижил дүрс дээр дүрсэлсэн байдаг.

Өөр нэг төрлийн хөдөлгөөнийг авч үзье - зэрэгцээ шилжүүлэг.

Зэрэгцээ шилжүүлэгзарим хүмүүсийн хувьд өгөгдсөн векторҮүнийг хавтгайн M цэг бүр ижил хавтгайн M 1 цэг рүү очихоор хавтгайг өөр дээрээ буулгах гэж нэрлэдэг (Зураг 3).

Үүнийг баталцгаая зэрэгцээ орчуулга нь хөдөлгөөн юм.

Баталгаа.

MN дурын сегментийг авч үзье (Зураг 4). Зэрэгцээ шилжүүлгийн үед M цэгийг M 1 цэг рүү, N цэгийг N 1 цэг рүү шилжүүлье. Энэ тохиолдолд зэрэгцээ шилжүүлэх нөхцөл хангагдсан байна: ба . Дөрвөн өнцөгтийг авч үзье

MM 1 N 1 N. Түүний эсрэг талын хоёр тал (MM 1 ба NN 1) нь зэрэгцээ шилжүүлэх нөхцлөөр заасны дагуу тэнцүү ба зэрэгцээ байна. Иймээс энэ дөрвөлжин нь сүүлчийн шинж чанаруудын аль нэгнийх нь дагуу параллелограмм юм. Үүнээс үзэхэд параллелограммын бусад хоёр тал (MN ба M 1 N 1) байна тэнцүү урттай, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Тиймээс зэрэгцээ орчуулга нь үнэхээр хөдөлгөөн юм.

Дүгнэж хэлье. Бид гурван төрлийн хөдөлгөөнийг аль хэдийн мэддэг болсон. тэнхлэгийн тэгш хэм, төвийн тэгш хэм ба зэрэгцээ шилжүүлэг. Хөдлөхдөө сегмент сегмент рүү, өнцөг нь түүнтэй тэнцүү өнцөгт ордог гэдгийг бид нотолсон. Нэмж дурдахад, хөдөлж байх үед шулуун шугам нь шулуун, тойрог нь ижил радиустай тойрог болж хувирдаг болохыг харуулж болно.

1. Атанасян Л.С. нар Геометрийн 7-9-р анги. зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд. - М.: Боловсрол, 2010 он.

2. Фарков А.В. Геометрийн тестүүд: 9-р анги. Л.С.Атанасян болон бусад хүмүүсийн сурах бичигт - М.: Шалгалт, 2010 он.

3. Погорелов А.В.Геометр, сурах бичиг. 7-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгуулах - М.: Боловсрол, 1995 он.

1. Орос ерөнхий боловсролын портал ().

2. Баяр наадам сурган хүмүүжүүлэх санаа « Нээлттэй хичээл» ().

1. Атанасян (ашигласан материалын жагсаалтыг үзнэ үү), 293-р хуудас, § 1, 114-р зүйл.

Хөдөлгөөн нь зайг хадгалдаг тул зайгаар тодорхойлогддог тул дүрсийн бүх геометрийн шинж чанарыг хадгалдаг. Энэ үед бид хамгийн ихийг авах болно ерөнхий шинж чанаруудхөдөлгөөн, энэ нь тодорхойгүй тохиолдолд нотлох баримт бүрдүүлэх.

Өмч чанар 1. Хөдлөхөд нэг шулуун дээр байрлах гурван цэг нэг шулуун дээр байрлах гурван цэг, нэг шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг нэг шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг болж хувирдаг.

Хөдөлгөөн нь цэгүүдийг тус тусад нь хувиргах үед тэгш байдал хангагдсан байна

Хэрэв A, B, C цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг бол тэдгээрийн аль нэг нь, жишээлбэл, В цэг нь нөгөө хоёрын хооронд байрладаг. Энэ тохиолдолд, мөн тэгшитгэлээс (1) дараах нь . Энэ тэгш байдал нь B цэг нь А ба С цэгүүдийн хооронд оршдог гэсэн үг юм. Эхний мэдэгдэл батлагдсан. Хоёр дахь нь эхний ба хөдөлгөөний урвуу байдал (урвуу байдлаар) дагалддаг.

Property 2. Хөдөлгөөнөөр сегмент нь сегмент болж хувирдаг.

f хөдөлгөөн нь А ба В цэгүүдийг AB хэрчимийн төгсгөлүүдтэй холбоно уу. Дараа нь 1-р өмчийн нотолгооны нэгэн адил бид түүний дүрсийг тогтоож болно - цэг нь А ба В цэгүүдийн хоорондох AB сегмент дээр байрладаг. Цаашилбал, цэг бүр

А В сегментийн Y нь AB сегментийн Y цэгийн дүрс юм. Тухайлбал, А цэгээс А Y зайд зайлуулсан Y цэг. Үүний үр дүнд AB сегментийг AB сегмент рүү шилжүүлнэ.

Өмч чанар 3. Хөдлөхөд туяа нь туяа, шулуун нь шулуун болж хувирдаг.

Эдгээр мэдэгдлийг өөрөө нотол. Өмч 4. Гурвалжинг хөдөлгөөнөөр гурвалжин, хагас хавтгайг хагас, хавтгайг хавтгай, параллель хавтгайг параллель хавтгай болгон хувиргана.

ABC гурвалжин нь А оройг X цэгүүдтэй холбосон сегментүүдээр дүүрсэн эсрэг талМЭӨ (Зураг 26.1). Хөдөлгөөн нь ВС сегментийг тодорхой B C сегменттэй, А цэгийг ВС шулуун дээр оршдоггүй А цэгтэй холбоно. AX сегмент бүрт энэ хөдөлгөөн нь X цэг BC дээр байрлах AX сегментийг холбоно. Эдгээр бүх AX сегментүүд ABC гурвалжинг дүүргэх болно.

Гурвалжин дотор нь ордог

Хагас хавтгайг нэг тал нь хагас хавтгайн хил дээр байрладаг, хязгааргүй тэлдэг гурвалжнуудын нэгдэл гэж дүрсэлж болно.

(Зураг 26.2). Тиймээс хагас хавтгай хөдөлж байх үед хагас хавтгай болж хувирна.

Үүний нэгэн адил хавтгайг хязгааргүй тэлэх гурвалжнуудын нэгдэл болгон төлөөлж болно (Зураг 26.3). Тиймээс, хөдөлж байхдаа онгоцыг хавтгай дээр буулгадаг.

Хөдөлгөөн нь зайг хадгалдаг тул хөдлөх үед дүрс хоорондын зай өөрчлөгддөггүй. Ялангуяа хөдөлгөөний явцад параллель онгоцууд зэрэгцээ болж хувирдаг.

Өмч 5. Хөдлөхөд тетраэдрийн дүрс нь тетраэдр, хагас орон зайн дүрс нь хагас орон зай, огторгуйн дүрс нь бүх орон зай юм.

ABCD тетраэдр нь D цэгийг бүх боломжит X цэгүүдтэй холбосон сегментүүдийн нэгдэл юм ABC гурвалжин(Зураг 26.4). Хөдлөх үед сегментүүдийг сегментүүд дээр буулгадаг тул тетраэдр нь тетраэдр болж хувирдаг.

Хагас орон зайг суурь нь хагас орон зайн хилийн хавтгайд оршдог тэлдэг тетраэдрүүдийн нэгдэл гэж илэрхийлж болно. Тиймээс, хөдөлж байх үед хагас орон зайн дүрс нь хагас орон зай байх болно.

Сансар огторгуйг хязгааргүй тэлэх тетраэдрүүдийн нэгдэл гэж төсөөлж болно. Тиймээс хөдөлж байх үед орон зайг бүхэлд нь орон зайд дүрсэлсэн байдаг.

Өмч чанар 6. Хөдлөх үед өнцгүүд хадгалагдана, өөрөөр хэлбэл өнцөг бүрийг ижил төрлийн, ижил хэмжээтэй өнцгөөр дүрсэлсэн байдаг. Хоёр талт өнцгийн хувьд ч мөн адил.

Хөдлөхдөө хагас хавтгайг хагас хавтгайд дүрсэлсэн байдаг. Учир нь гүдгэр өнцөгнь хоёр хагас хавтгайн огтлолцол бөгөөд гүдгэр бус өнцөг ба хоёр өнцөгт өнцөг нь хагас хавтгайн нэгдэл бөгөөд шилжих үед гүдгэр өнцөг нь гүдгэр өнцөг, гүдгэр бус өнцөг болж хувирдаг.

өнцөг ба хоёр талт өнцөг тус тус - гүдгэр бус ба хоёр талт өнцөгт.

О цэгээс гарч буй a, b туяаг О цэгээс ялгарч буй a, b туяан дээр буулгая. a туяа дээр A, B туяанд B оройтой OAB гурвалжинг ав (Зураг 26.5). Энэ нь дээр гарч ирнэ тэнцүү гурвалжин a туяа дээр А оройтой, b туяа дээр В оройтой OAB. Энэ нь a, b ба a, b туяа хоорондын өнцөг тэнцүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс хөдөлж байх үед өнцгийн утгууд хадгалагдана.

Үүний үр дүнд шулуун шугамын перпендикуляр байдал, улмаар шулуун ба хавтгай нь хадгалагдана. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийн тодорхойлолт, хэмжээсийг санах хоёр талт өнцөг, эдгээр өнцгийн утгууд хадгалагдан үлдсэн болохыг бид олж мэдэв.

Өмч 7. Хөдөлгөөн нь гадаргуугийн талбай, биеийн эзэлхүүнийг хадгалдаг.

Үнэн хэрэгтээ, хөдөлгөөн нь перпендикуляр байдлыг хадгалдаг тул өндрийн хөдөлгөөн (гурвалжин, тетраэдр, призм гэх мэт) нь өндөрт (эдгээр гурвалжин, тетраэдр, призмийн зураг гэх мэт) хувирдаг. Энэ тохиолдолд эдгээр өндрийн уртыг хадгалах болно. Тиймээс хөдөлгөөний үед гурвалжны талбай, тетраэдрүүдийн эзлэхүүн хадгалагдана. Энэ нь олон өнцөгтийн талбай болон олон өнцөгтийн эзэлхүүн хоёулаа хадгалагдана гэсэн үг юм. Муруй гадаргуугийн талбай ба ийм гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүнийг олон талт гадаргуугийн талбайн шилжилтийг хязгаарлах замаар олж авдаг. Тиймээс тэдгээр нь хөдөлгөөний үед хадгалагддаг.

Өмч чанар 1. Хавтгай дээрх цэгүүдийн хөдөлгөөнийг f, A, B, C" нь f-ийн хөдөлгөөний үеийн A, B, C цэгүүдийн дүрс. Дараа нь A, B, C" цэгүүд дээр хэвтэнэ. А, В, С цэгүүд хоорондоо таарч байвал ижил шулуун шугам.

Өмч 4. Хөдлөхдөө түүнтэй тэнцэх хэрчим болж хувирдаг Өмч чанар 5. Хөдлөхөд туяа туяа болж хувирдаг.

Өмч 7. О цэгт төвтэй r радиустай тойрог өгье. Дараа нь хөдөлж байх үед төв нь О төвийн дүрстэй давхцаж байгаа ижил радиустай тойрог болж хувирна.

Хавтгайн аффин хүрээ гэж бид шугаман бус цэгүүдийн эрэмбэлэгдсэн гурвалсан хэсгийг хэлнэ. Өмч чанар 7. Хөдлөхөд хүрээ нь хүрээ, ортонормаль хүрээ нь ортонормаль хүрээ болж хувирдаг.

Теорем (Хөдөлгөөний үндсэн теорем). Ортонормаль фрэймүүд ба хавтгайд өгөгдөх болтугай. Дараа нь R хүрээг R болгон хувиргах өвөрмөц хөдөлгөөн g байна": .

Үр дагавар. Хэрэв f нь хавтгайн хөдөлгөөн бол: R ортонормаль хүрээг R ортонормаль хүрээ болгон хувиргах нь R-тэй харьцангуй x ба y координаттай хавтгайн М цэг бүр нь ижил M"= f(M) цэгтэй тохирч байна. R-тэй харьцуулахад x ба y координатууд".