Фурьегийн шууд хувиргалт. Фурье хувиргалт

Фурье хувиргалтын үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Шугаман байдал. Функцуудыг харцгаая
, спектртэй
Тэгээд
:

(12)

Дараа нь тэдгээрийн шугаман хослолын спектр нь:

Цагийн саатал. Спектр нь мэдэгдэж байгаа гэж бид таамаглаж байна
дохио

(14)

Хугацаа шилжсэн дохионы спектрийг тооцоолъё.
. Функцийн аргументыг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэе
, Дараа нь
Тэгээд

Дохио хэсэг хугацаанд саатсан гэдгийг бид олж мэдсэн спектрийг үржүүлэхэд хүргэдэг
.

Хэмжээг өөрчлөх.Спектр нь мэдэгдэж байгаа гэж бид таамаглаж байна
дохио
дамжуулан гэх мэт
дохионы спектрийг илэрхийлнэ
. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх
, бид орлуулалт хийдэг интеграцийн хувьсагч
.

(16)

-ээр үржүүлэх
. Өмнөх тохиолдлын нэгэн адил бид спектрийг мэддэг гэж үздэг
дохио
. Энэ дохионы спектрийг үржүүлсэнээр олъё
.

Тиймээс дохиог үржүүлнэ
-аар спектрийн өөрчлөлтөд хүргэдэг .

Дериватив спектр. IN энэ тохиолдолдГол цэг бол функцийн үнэмлэхүй интеграцчлал юм. Функцийн модулийн интеграл хязгаарлагдмал байх ёстойгоос үзэхэд хязгааргүйд функц тэг болох хандлагатай байх ёстой. Функцийн деривативын интегралыг хэсэг хэсгээр нь авсан бөгөөд үр дүнд нь интеграл бус гишүүнчлэлүүд нь тэгтэй тэнцүү байна, учир нь функц нь хязгааргүй үед тэг рүү чиглэдэг.

(18)

Интегралын спектр.Дохионы спектрийг олцгооё
. Түүнээс гадна бид үүнийг таамаглах болно
, өөрөөр хэлбэл дохио нь тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэггүй. Интегралыг хэсэг хэсгээр нь авах үед интегралаас гадуурх нөхцөлүүд тэгтэй тэнцүү байхын тулд энэ шаардлага зайлшгүй шаардлагатай.

(19)

Хувиралтын теорем.Энэ нь мэдэгдэж байна
Тэгээд
функциональ спектрүүд
Тэгээд
тус тус. Энэ нь эргэлтийн спектрийг илэрхийлэх шаардлагатай
дамжуулан
Тэгээд
. Үүнийг хийхийн тулд аль нэг функцийн эргэлтийн Фурье интегралд бид үүнийг хувьсагчаар солино.
, дараа нь орлуулалтыг илтгэгчээр хийж болно
. Ийм орлуулалтын үр дүнд давхар интеграл байх болно бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаХоёр Фурье интеграл.

(20)

Хоёр дохионы эргэлтийн Фурье хувиргалт нь эдгээр дохионы спектрийн үржвэрийг өгдөг.

Дохио үйлдвэрлэх.Энэ нь мэдэгдэж байна
Тэгээд
- функцүүдийн спектрүүд
Тэгээд
тус тус. Бүтээгдэхүүний спектрийг илэрхийлэх шаардлагатай
спектрүүдээр дамжуулан
Тэгээд
. Жишээлбэл, аль нэг дохионы оронд Фурьегийн интегралд орлуулъя
, урвуу Фурье хувиргалтаар илэрхийлэгдэх ба дараа нь бид интеграцийн дарааллыг өөрчилнө.

(21)

Бүтээгдэхүүний дохионы спектр нь эдгээр дохионы спектрүүдийн нэгдэл юм.

Дискрет дохионы спектр

Дискрет дохионуудад онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй, учир нь эдгээр нь дижитал боловсруулалтад ашиглагддаг дохио юм. Дискрет дохио нь тасралтгүй дохионоос ялгаатай нь утгуудад тохирох тоонуудын дараалал юм тасралтгүй дохиотодорхой цаг хугацаанд. Уламжлал ёсоор дискрет дохиог тодорхой хугацаанд тодорхой утгыг авч, үлдсэн хугацаанд тэгтэй тэнцүү байдаг тасралтгүй дохио гэж үзэж болно. Тиймээс, жишээлбэл, салангид
дохиог тасралтгүй дохионы бүтээгдэхүүн гэж тодорхойлж болно
үе үе давтагдах тэгш өнцөгт импульсийн дараалалд
– цаг хугацааны импульс (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Дохионы түүвэрлэлт.

(22)

Тэгш өнцөгт импульс нь үргэлжлэх хугацаатай байдаг , давтагдах хугацаа :

(23)

Импульсийн далайцыг тухайн үеийн импульсийн интеграл нь тэнцүү байхаар сонгосон. . Энэ тохиолдолд цаг хугацааны импульс нь хэмжээсгүй байна. Ийм импульсийн дарааллыг тригонометрийн цуврал болгон өргөжүүлье.

(24)

Шуурхай дохионы дээж авахын тулд
, импульсийн үргэлжлэх хугацааг тэг рүү чиглүүлэх шаардлагатай:
. Ийм цаг хугацааны дохиог бид хамгийн тохиромжтой гэж нэрлэх болно. Энэ тохиолдолд тэлэлтийн коэффициентүүд
Фурье цувралд бүгд 1-тэй тэнцүү байх болно.

(25)

Функцийн Фурье цувралын өргөтгөл нь яг ижил хэлбэртэй байна:

(26)

Цагийн дохионы тригонометрийн цуваа руу тэлэлтийн коэффициентууд
:

(27)

Дараа нь салангид дохио дараах байдлаар харагдах болно.

Дискрет дохионы Фурье хувиргалтыг тооцоолохдоо бид нийлбэр ба интегралчлалын үйлдлүүдийг сольж, дараа нь шинж чанарыг ашигладаг. δ - функцууд:

Дискрет дохионы спектр нь үечилсэн функц юм. Экспонентийг тусдаа гишүүнээр авч үзье
давтамжийн функцээр. Түүний давтагдах хугацаа нь . Ихэнх урт хугацаатоо бүхий нэр томъёоны давталт
, мөн энэ нь бүх спектрийн давтагдах хугацаа байх болно. Тэр нь спектр салангид дохиодавтагдах хугацаатай, давтамжтай тэнцүүквантчлал
.

Дахиад үзүүлбэр үзүүлье
. Үүний улмаас
функцүүдийн бүтээгдэхүүн юм
Тэгээд
, салангид дохионы спектр
тасралтгүй дохионы спектрийн эргэлт гэж тооцсон
ба цаг хугацааны дохионы спектр
.

(30)

Тооцоолъё
, ашиглан (25). Учир нь
үечилсэн функц, түүний спектр нь салангид байдаг.

Тиймээс эргэлт (30)

(32) илэрхийллээс харахад салангид дохионы спектр нь үе үе давтагдах функц юм
.

Түүвэрлэлтийн үр дүнд дохионы спектрт чанарын өөрчлөлт гарч байгаа нь анхны дохио нь түүний спектрээр бүрэн тодорхойлогддог тул гажуудуулж болохыг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч нөгөө талаас, ижил спектрийн үе үе давтагдах нь өөрөө спектрт шинэ зүйл нэвтрүүлдэггүй тул тодорхой нөхцөлд дохионы утгыг тодорхой цаг хугацааны хувьд тодорхой цэгүүдээр мэдэж байвал ямар үнэ цэнэтэй болохыг олж мэдэх боломжтой. Энэ дохио нь цаг хугацааны өөр ямар ч үед авсан, өөрөөр хэлбэл анхны тасралтгүй дохиог олж авах. Энэ бол дохионы спектрийн хамгийн их давтамжтай нийцүүлэн квантжих давтамжийг сонгох нөхцөлийг тавьдаг Котельниковын теоремын утга юм.

Хэрэв энэ нөхцөлийг зөрчсөн бол дохиог дижитал хэлбэрт оруулсны дараа үе үе давтагдах спектрийг давхарлана (Зураг 2). Үүссэн спектр нь өөр дохиотой тохирно.

Цагаан будаа. 2. Спектрийн давхцал.

Эдгээр хувиргалтууд нь хувьсагчийн зарим функцийг хувьсагчийн огт өөр функц болгон хувиргах ба эсрэгээр нь функциональ байдаг.

Фурье хувиргалт нь дараах хэлбэртэй байна.

Интеграл тэгшитгэлийг (4.34) шууд, (4.35) тэгшитгэлийг урвуу Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Эдгээр тэгшитгэлийг бичих товчилсон хэлбэр

Фурье интеграл ( шууд хувиргахФурье) бидэнд тэлэх боломжийг олгодоггүй үечилсэн функцӨгөгдсөн хязгаарт үнэмлэхүй интегралчлах шинж чанартай, зэргэлдээ гармоникуудын хоорондох хязгааргүй жижиг давтамжийн интервал хүртэлх давтамжийн тасралтгүй спектрийг бүрдүүлдэг хязгааргүй гармоник цуврал болгон (жишээ нь, хязгаарт)

Фурье хувиргах арга нь тэг биш анхны (эсвэл хилийн) нөхцөлд тохиромжгүй. Энэ аргыг зөвхөн хайж буй функцүүд нь Фурье дүрстэй байх үед, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлыг хангадаг цаг хугацааны үнэмлэхүй интегралч функцүүдэд ашиглаж болно.

Удирдлагын онолд хамгийн их тохиолддог функцууд нь нэгж алхамын функц (1.44) ба синусоид функцийн үржвэр юм. нэгж функц(1.51). (4.38) нөхцөл хангагдаагүй тул Фурье хувиргалт нь эдгээр функцүүдийн аль нэгэнд хамаарахгүй.

Эдгээр сул талууд нь Фурье хувиргах аргын хэрэглээг хязгаарладаг.

Фурье интегралыг хэрэглэхийн тулд судалж буй функцтэй, жишээлбэл, алхамын функцтэй хангалттай ойролцоо функцийг сонгох шаардлагатай. эцсийн утгуудгэхдээ нэгэн зэрэг хангасан нөхцөл (4.38). Энэ функцийг үржүүлэх замаар олж авч болно

c нь маш бага алхам функц эерэг утга. Шинээр олж авсан туслах функц

c-г тэг рүү чиглүүлж, хязгаар руу шилжих замаар туслах функцээс үндсэн функц руу шилжиж болно тэгтэй тэнцүүТүүгээр ч зогсохгүй олон тооны функцүүдийн хувьд нөхцөл (4.38) үнэн байх бөгөөд бид олж чадна давтамжийн спектрилэрхийлэл (4.34) ашиглан функцууд. Үүний оронд бид шинэ тэмдэглэгээг нэвтрүүлж байна, учир нь энэ хэмжээ нь одоо c-ээс хамаарна:

Хамт тавиад бид олдог

Энэ томъёо нь Лапласын шууд хувиргалттай (4.9) давхцдаг.

Үүнээс үзэхэд Фурье хувиргалтыг гэж үзэж болно онцгой тохиолдолЛаплас өөрчлөгддөг.

Дээр дурдсан хувиргах аргууд нь дараахь дүгнэлтийг гаргах боломжийг бидэнд олгоно.

1) интегро-дифференциал тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэлээр сольсон;

2) хүссэн хэмжигдэхүүний дүрсийг олохдоо анхан шатны нөхцөлийг харгалзан үздэг тул интеграцийн тогтмолыг тодорхойлох үйлдлийг арилгасан;

3) үндсийг тодорхойлох үйл ажиллагаа шинж чанарын тэгшитгэлбүрэн хадгалагдаж байна.

Хамгийн тохиромжтой шийдэл практик асуудлууднь Лаплас хувиргах арга юм. Бага зэрэг өөрчлөгдсөн хэлбэрээр үүнийг салангид автомат удирдлагын системийг судлахад ашиглаж болно (7-р бүлгийг үз).

Шийдвэрлэхийн тулд Лаплас хувиргах аргыг ашиглах талаар авч үзье дифференциал тэгшитгэлтөрөл

Энэ дифференциал тэгшитгэлийг Лапласын шууд хувиргалт (4.9) болон теорем 1 ба 2-ыг ашиглан хувиргацгаая. Үүний үр дүнд бид олж авна. алгебрийн тэгшитгэл, зурагт зориулж бичсэн:

анхны нөхцөлийг агуулсан бүх нөхцлийн нийлбэр хаана байна.

Эндээс та шаардлагатай функцийн зургийг олох боломжтой

Тэг дээр анхны нөхцөл(4.41) ба (4.42) илэрхийллүүдийг хялбаршуулсан:

Хүссэн функцийн дүрсийг мэдэхийн тулд та эх хувийг олох боломжтой, жишээлбэл, зургийн хүснэгтийг ашиглан.

Хэрэв хүссэн хэмжигдэхүүний дүрс нь оновчтой бол алгебрийн бутархай, дараа нь нийлбэр болгон бичихийг оролддог энгийн бутархай-тай тогтмол коэффициентүүд. Эдгээр энгийн бутархай тус бүрийн урвуу хөрвүүлэлтийг хүснэгтээс авах боломжтой бөгөөд эх хувилбарын эцсийн илэрхийлэлийг олсон хувийн утгуудын нийлбэр хэлбэрээр үзүүлэв. Эхийг тодорхойлохын тулд та задралын теоремыг ашиглаж болно.

Хэрэв Лапласын дүрс нь хэлбэрийн рационал алгебрийн бутархай бол

Энэ цувралыг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

(2),
Хаана, k-р цогцолбордалайц.

(1) ба (3) коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Фурье цувралын эдгээр гурван дүрслэл бүгд ижил тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. Заримдаа Фурье цувралтай ажиллахдаа синус ба косинусын оронд төсөөллийн аргументийн илтгэгчийг ашиглах нь илүү тохиромжтой, өөрөөр хэлбэл Фурье хувиргалтыг нарийн төвөгтэй хэлбэрээр ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. Гэхдээ Фурье цувралыг харгалзах далайц, фаз бүхий косинусын долгионы нийлбэр хэлбэрээр харуулсан (1) томъёог ашиглах нь бидэнд тохиромжтой. Ямар ч тохиолдолд бодит дохионы Фурье хувиргалт нь нарийн төвөгтэй гармоник далайцтай болно гэж хэлэх нь буруу юм. Вики сайтад "Фурье хувиргалт (?) нь бодит хувьсагчийн нэг функцийг өөр функцтэй, мөн бодит хувьсагчтай холбодог үйлдэл юм."

Нийт:
Математикийн үндэс спектрийн шинжилгээдохио нь Фурье хувиргалт юм.

Фурье хувиргалт нь бидэнд төлөөлөх боломжийг олгодог тасралтгүй функц f(x) (дохио), (0, T) интервал дээр нийлбэрээр тодорхойлогддог хязгааргүй тооТодорхой далайц ба фаз бүхий тригонометрийн функцүүдийн (хязгааргүй цуваа) (0, T) мөн авч үздэг. Ийм цувралыг Фурье цуврал гэж нэрлэдэг.

Ойлгох шаардлагатай хэд хэдэн зүйлийг тэмдэглэе зөв програмСигналын шинжилгээнд зориулсан Фурье хувиргалт. Хэрэв бид Фурье цувралыг (синусоидын нийлбэр) X тэнхлэгт бүхэлд нь авч үзвэл (0, T) сегментийн гадна Фурье цувралаар дүрслэгдсэн функц нь бидний функцийг үе үе давтахыг харж болно.

Жишээлбэл, 7-р зургийн график дээр анхны функцийг сегмент (-T\2, +T\2) дээр тодорхойлсон бөгөөд Фурье цуврал нь бүх x тэнхлэгт тодорхойлогдсон үечилсэн функцийг илэрхийлдэг.

Энэ нь синусоидууд нь өөрөө үечилсэн функц байдаг тул тэдгээрийн нийлбэр нь үечилсэн функц байх болно.

Зураг.7 Үе үе бус эх функцийг Фурьегийн цуваагаар дүрслэх

Тиймээс:

Бидний анхны функц нь T урттай тодорхой сегмент дээр тодорхойлогддог тасралтгүй, үе үе биш юм.
Энэ функцийн спектр нь салангид байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь төгсгөлгүй гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүд - Фурье цуврал хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.
Үнэн хэрэгтээ Фурье цуваа нь сегмент (0, T) дээр биднийхтэй давхцах тодорхой үечилсэн функцийг тодорхойлдог боловч бидний хувьд энэ үе үе чухал биш юм.

Гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үеүүд нь анхны f(x) функцийг тодорхойлсон сегментийн (0, T) утгын үржвэр юм. Өөрөөр хэлбэл гармоник үеүүд нь дохионы хэмжилтийн үргэлжлэх хугацааны үржвэр юм. Жишээлбэл, Фурье цувралын эхний гармоникийн үе нь f(x) функцийг тодорхойлсон T интервалтай тэнцүү байна. Фурье цувралын хоёр дахь гармоникийн үе нь T/2 интервалтай тэнцүү байна. Гэх мэт (8-р зургийг үз).

Зураг.8 Фурье цувралын гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үе (давтамж) (энд T = 2?)

Үүний дагуу гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн давтамж нь 1/T-ийн үржвэр юм. Өөрөөр хэлбэл, Fk гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн давтамж нь Fk = k\T-тэй тэнцүү бөгөөд k нь 0-ээс? хооронд хэлбэлздэг, жишээ нь k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (тэг давтамж дээр - тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг).

Бидний анхны функц нь T=1 сек-ийн хугацаанд бүртгэгдсэн дохио байг. Дараа нь эхний гармоникийн үе нь бидний дохионы үргэлжлэх хугацаа T1=T=1 сек байх ба гармоник давтамж нь 1 Гц болно. Хоёр дахь гармоникийн үе нь дохионы үргэлжлэх хугацааг 2-т хуваасантай тэнцүү байх болно (T2=T/2=0.5 сек) давтамж нь 2 Гц байна. Гурав дахь гармоникийн хувьд T3=T/3 сек, давтамж нь 3 Гц байна. гэх мэт.

Энэ тохиолдолд гармоникуудын хоорондох алхам нь 1 Гц байна.

Тиймээс 1 секундын үргэлжлэх хугацаатай дохиог 1 Гц давтамжийн нарийвчлалтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (спектр олж авах) задалж болно.
Нарийвчлалыг 2 дахин 0.5 Гц хүртэл нэмэгдүүлэхийн тулд хэмжилтийн үргэлжлэх хугацааг 2 дахин - 2 секунд хүртэл нэмэгдүүлэх шаардлагатай. 10 секунд үргэлжилсэн дохиог 0.1 Гц давтамжийн нарийвчлалтай гармоник бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (спектр олж авах) задалж болно. Давтамжийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэх өөр арга байхгүй.

Дээжийн массив дээр тэг нэмэх замаар дохионы үргэлжлэх хугацааг зохиомлоор нэмэгдүүлэх арга бий. Гэхдээ энэ нь бодит давтамжийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхгүй.

3. Дискрет дохио ба дискрет Фурье хувиргалт

Дохиог хэмжих, тоон хэлбэрт оруулах ердийн схем нь дараах байдалтай байна.

Зураг.9 Хэмжих сувгийн диаграмм

Хэмжилтийн хувиргагчаас ирсэн дохио нь Т хугацааны туршид ADC-д ирдэг. T хугацаанд олж авсан дохионы дээж (түүвэрлэлт) нь компьютерт дамжуулагдаж, санах ойд хадгалагдана.

Зураг 10 Дижитал дохио - T хугацаанд хүлээн авсан N дээж

Сигналыг дижиталжуулах параметрүүдэд ямар шаардлага тавигддаг вэ? Оролтоо хувиргах төхөөрөмж аналог дохиодискрет код (тоон дохио) болгон хувиргах нь аналог-тоон хувиргагч (ADC, англи хэлний аналог-тоон хувиргагч, ADC) гэж нэрлэгддэг (Wiki).

ADC-ийн гол параметрүүдийн нэг бол дээж авах хамгийн дээд давтамж (эсвэл түүвэрлэлтийн хурд, англи хэл дээрх дээжийн хурд) - түүвэрлэлтийн үед цаг хугацааны тасралтгүй дохионы дээж авах хурд юм. Үүнийг герцээр хэмждэг. ((Вики))

Котельниковын теоремын дагуу хэрэв тасралтгүй дохио нь Fmax давтамжаар хязгаарлагдах спектртэй бол түүнийг цаг хугацааны интервалаар авсан салангид дээжээс бүрэн бөгөөд өвөрмөц байдлаар сэргээж болно. , өөрөөр хэлбэл Fd давтамжтай? 2*Fmax, энд Fd нь дээж авах давтамж; Fmax - дохионы спектрийн хамгийн их давтамж. Өөрөөр хэлбэл дохионы дижитал давтамж (ADC түүвэрлэлтийн давтамж) нь бидний хэмжихийг хүсч буй дохионы хамгийн их давтамжаас дор хаяж 2 дахин их байх ёстой.

Хэрэв бид Котельниковын теоремоос бага давтамжтай дээж авбал юу болох вэ?

Энэ тохиолдолд дижиталчилсны дараа өндөр давтамжийн дохио нь үнэндээ байхгүй бага давтамжийн дохио болж хувирдаг "алиа" эффект (мөн стробоскопийн эффект, моар эффект гэж нэрлэдэг) үүсдэг. Зураг дээр. 5 улаан өндөр давтамжийн синус долгион нь жинхэнэ дохио юм. Доод давтамжийн цэнхэр синусоид нь дээж авах явцад өндөр давтамжийн дохионы хагасаас илүү хугацаа өнгөрөхөд хүргэдэг зохиомол дохио юм.

Цагаан будаа. 11. Хангалтгүй өндөр түүвэрлэлтийн хурдтай хуурамч нам давтамжийн дохио гарч ирэх.

Хуучирсан нөлөөнөөс зайлсхийхийн тулд ADC-ийн өмнө тусгай эсрэг шүүлтүүрийг байрлуулсан - бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр (шүүлтүүр) бага давтамжууд), ADC түүвэрлэлтийн давтамжийн хагасаас доош давтамжийг дамжуулдаг гэх мэт өндөр давтамжуудхутгалдаг.

Дискрет дээжээс дохионы спектрийг тооцоолохын тулд салангид Фурье хувиргалтыг (DFT) ашигладаг. "Тодорхойлолтоор" салангид дохионы спектр нь Fmax давтамжаар хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь түүвэрлэлтийн Fd давтамжийн талаас бага хувийг эзэлдэг гэдгийг дахин тэмдэглэе. Иймээс салангид дохионы спектр нь хязгааргүй байж болох тасралтгүй дохионы Фурье цувралын хязгааргүй нийлбэрээс ялгаатай нь хязгаарлагдмал тооны гармоникуудын нийлбэрээр дүрслэгдэж болно. Котельниковын теоремын дагуу гармоникийн хамгийн их давтамж нь дор хаяж хоёр дээжийг эзэлдэг байх ёстой, тиймээс гармоникуудын тоо нь салангид дохионы дээжийн хагастай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, дээжинд N дээж байгаа бол спектр дэх гармоникуудын тоо N/2-тэй тэнцүү байна.

Одоо дискрет Фурье хувиргалтыг (DFT) авч үзье.

Фурье цувралтай харьцуулах

DFT-ийн цаг хугацаа нь салангид шинж чанартай бөгөөд гармоникуудын тоо нь дээжийн хагасаар - N/2-ээр хязгаарлагддагийг эс тооцвол тэдгээр нь давхцаж байгааг бид харж байна.

DFT томьёо нь k, s хэмжигдэхүүнгүй бүхэл тоон хувьсагчаар бичигдсэн бөгөөд k нь дохионы дээжийн тоо, s нь спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо юм.
s утга нь T хугацааны бүрэн гармоник хэлбэлзлийн тоог харуулдаг (дохио хэмжих үргэлжлэх хугацаа). Дискрет хувиргалтФурье нь гармоникийн далайц ба үе шатыг тоон аргаар олоход хэрэглэгддэг. "компьютер дээр"

Эхэндээ олж авсан үр дүн рүү буцах. Дээр дурдсанчлан, үечилсэн бус функцийг (бидний дохио) Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэхэд үүссэн Фурье цуваа нь үнэндээ T үетэй үечилсэн функцтэй тохирч байна (Зураг 12).

Зураг 12 Үелэх функц f(x) Т0 үетэй, хэмжилтийн үе T>T0

Зураг 12-оос харахад f(x) функц нь T0 үетэй үечилсэн байна. Гэсэн хэдий ч хэмжилтийн түүврийн T үргэлжлэх хугацаа нь T0 функцийн үетэй давхцдаггүй тул Фурье цуваа хэлбэрээр олж авсан функц нь T цэг дээр тасалдалтай байна. Үүний үр дүнд энэ функцийн спектр нь дараахь зүйлийг агуулна. олон тооны өндөр давтамжийн гармоникууд. Хэрэв хэмжилтийн түүврийн T үргэлжлэх хугацаа нь T0 функцийн үетэй давхцаж байвал Фурье хувиргасны дараа олж авсан спектр нь зөвхөн эхний гармоникийг (түүвэрлэлтийн үргэлжлэх хугацаатай тэнцүү үетэй синусоид) агуулна, учир нь f(x) функц байна. синусоид юм.

Өөрөөр хэлбэл, DFT програм нь бидний дохио нь "синусоидын хэсэг" гэдгийг "мэдэхгүй" боловч үе үе функцийг цуврал хэлбэрээр илэрхийлэхийг оролддог бөгөөд энэ нь синусоидын бие даасан хэсгүүдийн нийцгүй байдлаас болж тасалдсан байдаг.

Үүний үр дүнд спектрт гармоникууд гарч ирдэг бөгөөд энэ нь функцийн хэлбэр, түүний дотор энэхүү тасалдлыг нэгтгэх ёстой.

Тиймээс хэд хэдэн синусоидуудын нийлбэр болох дохионы "зөв" спектрийг олж авахын тулд өөр өөр үеүүд, дохионы хэмжилтийн үе нь синусоид бүрийн бүхэл тооны үеийг агуулсан байх шаардлагатай. Практикт энэ нөхцлийг дохионы хэмжилтийн хангалттай урт хугацаанд хангаж болно.

Зураг 13 Хурдны хайрцгийн кинематик алдааны дохионы функц ба спектрийн жишээ

Богино хугацаанд зураг "муу" харагдах болно:

Зураг 14 Роторын чичиргээний дохионы функц ба спектрийн жишээ

Практикт "бодит бүрэлдэхүүн хэсгүүд" нь хаана байгааг ойлгоход хэцүү байж болох бөгөөд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн олон бус хугацаа, дохионы түүвэрлэлтийн үргэлжлэх хугацаа эсвэл дохионы хэлбэрийн "үсрэлт, тасалдал" -аас үүдэлтэй "олдворууд" хаана байна. . Мэдээжийн хэрэг, "бодит бүрэлдэхүүн хэсэг", "олдвор" гэсэн үгсийг хашилтанд оруулдаг. Спектрийн график дээр олон гармоник байгаа нь бидний дохио үнэндээ тэдгээрээс бүрддэг гэсэн үг биш юм. Энэ нь 7-ын тоог 3 ба 4-ийн тооноос "бүрдсэн" гэж бодож байгаатай адил юм. 7-г 3 ба 4-ийн нийлбэрээр илэрхийлж болно - энэ нь зөв.

Тиймээс бидний дохио ... эсвэл бүр "бидний дохио" ч биш, харин бидний дохиог (түүвэрлэлт) давтах замаар бүрдэх үечилсэн функцийг тодорхой далайц, фаз бүхий гармоник (синусын долгион) нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Гэхдээ практикт чухал ач холбогдолтой олон тохиолдолд (дээрх зургуудыг үзнэ үү) спектрээс олж авсан гармоникуудыг бодит үйл явцтай холбох боломжтой байдаг. мөчлөгийн шинж чанардохионы хэлбэрт чухал хувь нэмэр оруулж байна.

Зарим үр дүн

2. Дохио нь олонлогоор илэрхийлэгдэнэ бодит үнэ цэнэба түүний спектр нь бодит утгуудын багцаар илэрхийлэгдэнэ. Гармоник давтамж эерэг байна. Сөрөг давтамжийг ашиглан спектрийг нарийн төвөгтэй хэлбэрээр илэрхийлэх нь математикчдад илүү тохиромжтой байдаг нь "энэ нь зөв", "үүнийг үргэлж хийх ёстой" гэсэн үг биш юм.

3. Цаг хугацааны T интервалаар хэмжигдсэн дохио нь зөвхөн Т хугацааны интервалаар тодорхойлогддог. Бид дохиог хэмжиж эхлэхээс өмнө юу болсон, дараа нь юу болох нь шинжлэх ухаанд тодорхойгүй байна. Мөн бидний хувьд энэ нь тийм ч сонирхолтой биш юм. Хугацаа хязгаарлагдмал дохионы DFT нь "үнэн" спектрийг өгдөг бөгөөд энэ нь тодорхой нөхцөлд түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц, давтамжийг тооцоолох боломжийг олгодог.

Ашигласан материал болон бусад ашигтай материал.

Фурье хувиргалт нь тодорхой бодит хувьсагчтай функцийг холбосон хувиргалт юм. Энэ ажиллагаабидний мэдрэх болгонд гүйцэтгэдэг янз бүрийн дуу чимээ. Чих нь автоматаар "тооцоолол" хийдэг бөгөөд үүнийг бидний ухамсар зохих хэсгийг судалсны дараа л хийх боломжтой байдаг. дээд математик. Хүний сонсголын эрхтэн өөрчлөгддөг бөгөөд үүний үр дүнд дуу авиа үүсдэг ( хэлбэлзлийн хөдөлгөөннөхцөлт тоосонцор уян хатан орчин, хатуу, шингэн эсвэл долгион хэлбэрээр тархдаг хийн орчин) нь янз бүрийн өндөртэй аялгууны дараалсан эзлэхүүний түвшний спектр хэлбэрээр өгдөг. Үүний дараа тархи эргэдэг энэ мэдээлэлтанил дуугаар.

Математик Фурье хувиргалт

Хөрвүүлэлт дууны долгионэсвэл бусад хэлбэлзлийн процессууд (гэрлийн цацраг, далайн түрлэгээс эхлээд одны мөчлөг хүртэл) нарны идэвхжил) математикийн аргуудыг ашиглан хийж болно. Тиймээс, эдгээр техникийг ашиглан та төлөөлөх замаар функцийг өргөжүүлж болно хэлбэлзлийн процессуудсинусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн багц, өөрөөр хэлбэл хамгийн багааас дээд тал руу, дараа нь буцаад хамгийн бага руу шилждэг долгионы муруйнууд. далайн давалгаа. Фурье хувиргалт нь функц нь тодорхой давтамжтай харгалзах синусоид бүрийн фаз эсвэл далайцыг тодорхойлдог хувиргалт юм. Үе шат нь илэрхийлнэ эхлэх цэгмуруй, далайц нь түүний өндөр юм.

Фурье хувиргалт (жишээг зураг дээр үзүүлэв) нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт хэрэглэгддэг маш хүчирхэг хэрэгсэл юм. IN зарим тохиолдолдэнэ нь нэлээд шийдвэрлэх хэрэгсэл болгон ашигладаг нарийн төвөгтэй тэгшитгэлүүд, гэрэл, дулаан эсвэл нөлөөн дор тохиолддог динамик үйл явцыг тодорхойлдог цахилгаан эрчим хүч. Бусад тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн дохионы ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох боломжийг олгодог бөгөөд үүний ачаар та янз бүрийн зүйлийг зөв тайлбарлаж чадна. туршилтын ажиглалтхими, анагаах ухаан, одон орон судлалын чиглэлээр.

Түүхэн суурь

Энэ аргыг анх ашигласан хүн бол Францын математикч Жан Батист Фурье юм. Дараа нь түүний нэрээр нэрлэгдсэн өөрчлөлтийг анх дулаан дамжилтын механизмыг тайлбарлахад ашигласан. Фурье насанд хүрсэн бүх насаа дулааны шинж чанарыг судлахад зарцуулсан. Тэр асар их хувь нэмэр оруулсан математикийн онолалгебрийн тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох. Фурье шинжлэх ухааны профессор байсан Политехникийн сургууль, Египет судлалын хүрээлэнгийн нарийн бичгийн дарга нь эзэн хааны алба хашиж байсан бөгөөд тэрээр Турин руу чиглэсэн зам барихад онцгой үүрэг гүйцэтгэж байсан (түүний удирдлаган дор 80 мянга гаруй хавтгай дөрвөлжин километр хумхаагийн намаг хатсан). Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн идэвхтэй ажилэрдэмтнийг судлахад саад болоогүй математик шинжилгээ. 1802 онд тэрээр дулааны тархалтыг тодорхойлсон тэгшитгэлийг гаргажээ хатуу бодис. 1807 онд эрдэмтэн шийдвэрлэх аргыг нээсэн өгөгдсөн тэгшитгэл, үүнийг "Фурье хувиргалт" гэж нэрлэдэг.

Дулаан дамжилтын шинжилгээ

Эрдэмтэн дулаан дамжилтын механизмыг тайлбарлахдаа математикийн аргыг ашигласан. Тооцоолоход ямар ч бэрхшээл гарахгүй тохиромжтой жишээ бол дулааны энергийн дагуу тархах явдал юм төмөр бөгж, нэг хэсэг нь галд дүрэгдсэн. Туршилт хийхийн тулд Фурье энэ цагирагийн хэсгийг халуунаар халааж, нарийн элсэнд булжээ. Үүний дараа тэрээр түүний эсрэг хэсэгт температур хэмжилт хийсэн. Эхэндээ дулааны хуваарилалт жигд бус байдаг: цагирагийн нэг хэсэг нь хүйтэн, нөгөө нь халуун байдаг эдгээр бүсүүдийн хооронд огцом температурын градиент ажиглагдаж болно. Гэсэн хэдий ч дулаан нь металлын бүх гадаргуу дээр тархах тусам илүү жигд болдог. Тийм ээ, удахгүй энэ үйл явцсинусоид хэлбэртэй байдаг. Нэгдүгээрт, график нь косинус эсвэл синусын функцийн өөрчлөлтийн хуулиудын дагуу жигд өсч, жигд буурч байна. Долгион нь аажмаар тэгшилж, улмаар цагирагийн бүх гадаргуу дээр температур ижил болно.

Энэ аргын зохиогч анхны жигд бус тархалтыг хэд хэдэн энгийн синусоидуудад бүрэн задалж болно гэж санал болгосон. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн үе шат (анхны байрлал) болон өөрийн температурын дээд хязгаартай байх болно. Энэ тохиолдолд ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүр хамгийн багааас дээд тал руу, буцаад өөрчлөгддөг бүрэн эргэлтцагирагыг бүхэл тооны удаа тойрох. Нэг үетэй бүрэлдэхүүн хэсгийг үндсэн гармоник, хоёр ба түүнээс дээш үетэй утгыг хоёр дахь гэх мэтээр нэрлэдэг. Тэгэхээр, математик функцТемпературын максимум, фаз эсвэл байрлалыг тодорхойлдог , хуваарилалтын функцийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэд хийхэд хэцүү нэг бүрэлдэхүүн хэсгийг нэгтгэсэн математик тайлбар, хэрэглэхэд хялбар хэрэгсэл рүү - косинус ба синус цувралууд нь хамтдаа анхны тархалтыг өгдөг.

Шинжилгээний мөн чанар

Өргөдөл гаргаж байна энэ шинжилгээЦагираг хэлбэртэй хатуу биетээр дамжин дулааны тархалтыг өөрчлөхийн тулд математикч синусоид бүрэлдэхүүн хэсгийн хугацааг нэмэгдүүлэх нь түүний хурдан сулрахад хүргэдэг гэж үзсэн. Үүнийг үндсэн ба хоёр дахь гармоникуудаас тодорхой харж болно. Сүүлд нь температур хамгийн ихдээ хоёр удаа хүрдэг ба хамгийн бага утгууднэг дамжуулалт дээр, эхнийх нь - зөвхөн нэг удаа. Хоёрдахь гармоник дахь дулаанаар дамжин өнгөрөх зай нь үндсэн үеийнхээс хагас байх болно. Нэмж дурдахад, хоёр дахь налуу нь эхнийхээс хоёр дахин эгц байх болно. Иймээс илүү эрчимтэй дулааны урсгал хоёр дахин богино зайг туулдаг тул энэ гармоник нь үндсэн үеэс дөрөв дахин хурдан задардаг бөгөөд энэ нь цаг хугацааны функцээр дамждаг. Дараагийнх нь энэ үйл явц илүү хурдан явагдах болно. Математикч энэ арга нь цаг хугацааны явцад температурын анхны тархалтын процессыг тооцоолох боломжийг олгодог гэж үздэг.

Орчин үеийн хүмүүст зориулсан сорилт

Фурье хувиргах алгоритм нь сорилт болсон онолын үндэстухайн үеийн математикчид. 19-р зууны эхээр Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежендре, Биот зэрэг алдартай эрдэмтэд түүний анхны температурын тархалтыг үндсэн гармоник ба өндөр давтамжийн хэлбэрээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задалдаг гэсэн мэдэгдлийг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Гэсэн хэдий ч Шинжлэх Ухааны Академи математикчийн олж авсан үр дүнг үл тоомсорлож чадаагүй бөгөөд түүнд дулаан дамжилтын хуулиудын онолын шагналыг гардуулав. физик туршилтууд. Фурьегийн хандлагад гол эсэргүүцэл нь тасалдалтай функцийг тасралтгүй хэд хэдэн синусоид функцүүдийн нийлбэрээр төлөөлүүлсэнтэй холбоотой байв. Эцсийн эцэст тэд шулуун ба муруй шугамыг таслахыг дүрсэлдэг. Эрдэмтний үеийнхэн хэзээ ч уулзаж байгаагүй ижил төстэй нөхцөл байдал, Хэзээ тасалдсан функцуудквадрат, шугаман, синус эсвэл экспоненциал гэх мэт тасралтгүй тоонуудын хослолоор тодорхойлсон. Хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол хязгааргүй цувааны нийлбэр тригонометрийн функцяг алхам алхмаар багасгах хэрэгтэй. Тухайн үед ийм мэдэгдэл хийх нь утгагүй санагдаж байсан. Гэсэн хэдий ч эргэлзээтэй байсан ч зарим судлаачид (жишээлбэл, Клод Навьер, Софи Жермен) судалгааныхаа цар хүрээг өргөжүүлж, дулааны энергийн хуваарилалтын шинжилгээнээс давсан. Үүний зэрэгцээ математикчдыг хэд хэдэн синусоид функцүүдийн нийлбэрийг тасалдсан функцын яг дүрслэл болгон бууруулж болох уу гэсэн асуулт үргэлжилсээр байв.

200 жилийн түүх

Энэ онол нь хоёр зууны турш хөгжиж, өнөөдөр эцэст нь бүрэлдэж байна. Түүний тусламжтайгаар орон зайн эсвэл цаг хугацааны функцууд нь өөрийн давтамж, үе шат, далайцтай байдаг синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваагддаг. Энэ хувиргалтыг хоёр өөр математик аргаар олж авдаг. Тэдгээрийн эхнийх нь анхны функц тасралтгүй байх тохиолдолд, хоёр дахь нь олон тооны салангид өөрчлөлтүүдээр илэрхийлэгдэх тохиолдолд ашиглагддаг. Хэрэв илэрхийлэл нь салангид интервалаар тодорхойлогддог утгуудаас олдвол түүнийг салангид давтамжтай хэд хэдэн синусоид илэрхийлэлд хувааж болно - хамгийн бага, дараа нь үндсэн нэгээс хоёр, гурав дахин, гэх мэт. Энэ нийлбэрийг ихэвчлэн Фурье цуврал гэж нэрлэдэг. Хэрэв анхны илэрхийлэлБодит тоо бүрийн утгыг өгвөл бүх боломжит давтамжийн хэд хэдэн синусоид болгон задалж болно. Үүнийг ихэвчлэн Фурье интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд шийдэл нь функцийн интеграл хувиргалтыг илэрхийлдэг. Хөрвүүлэлтийг хэрхэн олж авахаас үл хамааран давтамж бүрт хоёр тоог зааж өгөх ёстой: далайц ба давтамж. Эдгээр утгыг дараах байдлаар илэрхийлнэ нэгдсэн онолФурье хувиргалттай хамт цогц хувьсагчдын илэрхийлэл нь янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг бүтээхдээ тооцоолол хийх боломжтой болсон. цахилгаан хэлхээ, дүн шинжилгээ хийх механик чичиргээ, долгионы тархалтын механизмыг судлах гэх мэт.

Өнөөдөр Фурьегийн хувирал

Өнөө үед энэ үйл явцыг судлах нь голчлон олддог үр дүнтэй аргуудфункцээс хувирсан хэлбэр рүү шилжих, буцах. Энэ шийдлийг Фурьегийн шууд ба урвуу хувиргалт гэж нэрлэдэг. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Фурьегийн шууд хувиргалтыг хийхийн тулд та математикийн аргуудыг ашиглаж болно, эсвэл аналитик аргыг ч ашиглаж болно. Практикт ашиглахад тодорхой бэрхшээлүүд гарч ирдэг ч ихэнх интегралуудыг аль хэдийн олж, математикийн лавлах номонд оруулсан болно. Ашиглах замаар тоон аргуудТа маягт нь туршилтын өгөгдөл дээр суурилсан илэрхийлэл эсвэл интеграл нь хүснэгтэд ороогүй, аналитик хэлбэрээр үзүүлэхэд хэцүү функцуудыг тооцоолж болно.

Гадаад төрхөөс өмнө компьютерийн технологиИйм өөрчлөлтийн тооцоо нь маш уйтгартай байсан бөгөөд гараар гүйцэтгэх шаардлагатай байв их хэмжээнийтодорхойлох цэгүүдийн тооноос хамаарах арифметик үйлдлүүд долгионы функц. Тооцооллыг хөнгөвчлөхийн тулд өнөөдөр 1965 онд Жеймс Кули, Жон Туки нар шинээр хэрэгжүүлэх боломжтой тусгай хөтөлбөрүүд бий програм хангамж"гэж алдаршсан хурдан хувиргахФурье". Энэ нь муруйг шинжлэхдээ үржүүлгийн тоог багасгах замаар тооцоолох цагийг хэмнэх боломжийг олгодог. Хурдан Фурье хувиргах арга нь муруйг олон тооны жигд түүврийн утгуудад хуваахад суурилдаг. Үүний дагуу үржүүлгийн тоог хоёр дахин бууруулж, онооны тоог ижил хэмжээгээр бууруулна.

Фурье хувиргалтыг ашиглах

Энэ процессыг шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт ашигладаг: физик, дохио боловсруулах, комбинаторик, магадлалын онол, криптограф, статистик, далай судлал, оптик, акустик, геометр болон бусад. Түүний хэрэглээний баялаг боломжууд нь хэд хэдэн зүйл дээр суурилдаг ашигтай шинж чанарууд, тэдгээрийг "Фурье хувирлын шинж чанарууд" гэж нэрлэдэг. Тэднийг харцгаая.

1. Функцийн хувиргалт нь шугаман оператор бөгөөд зохих нормчлолтой бол нэгдмэл байна. Энэ өмчПарсевалын теорем буюу in ерөнхий тохиолдолПланчерелийн теорем буюу Понтрягины дуализм.

2. Өөрчлөлт нь буцаах боломжтой. Түүнээс гадна урвуу үр дүн нь шууд шийдэлтэй бараг ижил хэлбэртэй байна.

3. Синусоид үндсэн илэрхийллүүдөөрсдийнх нь юм ялгаатай функцууд. Энэ нь ийм дүрслэл нь тогтмол хүчин зүйлээр энгийн алгебрийн хувьд өөрчлөгддөг гэсэн үг юм.

4. Хувиралын теоремын дагуу энэ процесс нь нарийн төвөгтэй үйлдлийг энгийн үржвэр болгон хувиргадаг.

5. Дискрет Фурье хувиргалтыг "хурдан" аргыг ашиглан компьютер дээр хурдан тооцоолж болно.

Фурье хувиргалтын төрлүүд

1. Ихэнхдээ энэ нэр томъёоилэрхийлэхэд ашигладаг тасралтгүй хувиргалт, комплексийн нийлбэр хэлбэрээр квадрат интегралчлагдах аливаа илэрхийлэлийг өгнө харуулах илэрхийллүүдтодорхой өнцгийн давтамж ба далайцтай. Энэ төрөлтогтмол коэффициентээр ялгаатай байж болох хэд хэдэн өөр хэлбэртэй байна. Үргэлжилсэн арга нь математикийн лавлах номноос олж болох хөрвүүлэх хүснэгтийг агуулдаг. Ерөнхий тохиолдол бол бутархай хувиргалт, үүний тусламжтайгаар энэ процессыг шаардлагатай бодит хүчин чадалд хүргэж болно.

2. Үргэлжилсэн арга нь ерөнхий ойлголт юм эртний техникүүдХязгаарлагдмал бүсэд орших янз бүрийн үечилсэн функц эсвэл илэрхийлэлд зориулагдсан Фурье цувааг синусоидуудын цуваа хэлбэрээр илэрхийлдэг.

3. Дискрет Фурье хувиргалт. Энэ аргыг компьютерийн технологид шинжлэх ухааны тооцоолол, тоон дохио боловсруулахад ашигладаг. Энэ төрлийн тооцоог хийхийн тулд салангид олонлог, үе үе эсвэл тодорхой цэгүүдийг тодорхойлдог функцтэй байх шаардлагатай. хязгаарлагдмал газар нутагоронд нь тасралтгүй интегралуудФурье. Энэ тохиолдолд дохионы хувиргалтыг синусоидуудын нийлбэрээр илэрхийлнэ. Үүний зэрэгцээ "хурдан" аргыг ашиглах нь танд ашиглах боломжийг олгодог салангид шийдлүүдаливаа практик даалгаврын хувьд.

4. Цонхтой Фурье хувиргалт нь ерөнхий хэлбэр юм сонгодог арга. Дургүй стандарт шийдэл, өгөгдсөн хувьсагчийн оршин тогтнох бүх хүрээг хамарсан тохиолдолд энд онцгой сонирхоланхны хувьсагч (хугацаа) хадгалагдсан тохиолдолд зөвхөн орон нутгийн давтамжийн тархалтыг илэрхийлнэ.

5. 2D хувиргалтФурье. Энэ аргахоёр хэмжээст өгөгдлийн массивтай ажиллахад ашигладаг. Энэ тохиолдолд хувиргалтыг эхлээд нэг чиглэлд, дараа нь нөгөө чиглэлд хийнэ.

Дүгнэлт

Өнөөдөр Фурьегийн арга нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт баттай нотлогдсон. Жишээлбэл, 1962 онд ДНХ-ийн давхар мушгиа хэлбэрийг Фурьегийн шинжилгээг ашиглан ДНХ-ийн утаснуудын талстуудад анхаарлаа хандуулж, үүний үр дүнд цацрагийн дифракцийн үр дүнд олж авсан дүрсийг хальсан дээр тэмдэглэв. Энэ зураг нь өгөгдсөн болор бүтцэд Фурье хувиргалтыг ашиглах үед далайцын утгын талаарх мэдээллийг өгсөн. ДНХ-ийн дифракцийн зургийг ижил төстэй шинжилгээгээр олж авсан зурагтай харьцуулах замаар фазын өгөгдлийг олж авсан. химийн бүтэц. Үүний үр дүнд биологичид сэргэв болор бүтэц- анхны функц.

Судалгаанд Фурье хувиргалт асар их үүрэг гүйцэтгэдэг гадаад орон зай, физикчид хагас дамжуулагч материалмөн плазм, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, сейсмологи, эрүүл мэндийн үзлэг.

Асуудлыг судлах хүчирхэг хэрэгслүүдийн нэг математик физикинтеграл хувиргалтын арга юм. f(x) функц нь (a, 6), төгсгөлтэй эсвэл төгсгөлгүй интервалд өгөгдөх болно. f(x) функцийн интеграл хувиргалт нь K(x, w) нь өгөгдсөн хувиргалтанд тогтсон функцийг хувиргах цөм гэж нэрлэдэг функц юм (интеграл (*) нь зөв эсвэл үндсэндээ байдаг гэж үздэг. зохисгүй мэдрэмж). §1. Фурье интеграл Фурье цуваа руу тэлэх нөхцөлийг [-f, I] интервалаар хангадаг ямар ч f(x) функцийг энэ интервал дээр тригонометрийн цувралын a* ба 6„ коэффициентээр илэрхийлж болно. 1) Эйлер-Фурье томъёогоор тодорхойлогддог: ФУРЬЕРИЙН ХӨНГӨЛӨЛТ Фурье интеграл. Нарийн төвөгтэй хэлбэринтеграл Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синусыг хувиргах Далайц ба фазын спектрүүд Шинж чанар Хэрэглээнүүд Тэгш байдлын (1) баруун талд байгаа цувааг өөр хэлбэрээр бичиж болно. Үүний тулд бид (2) томъёоноос a" ба op коэффициентүүдийн утгыг оруулж, cos ^ x ба sin x-ийг интегралын тэмдгийн доор байрлуулна (интеграл хувьсагч нь m тул боломжтой) O) мөн ялгааны косинусын томъёог ашиглана. Бид интервал дээр /(g) функцийг анх тодорхойлсон бол байна тооны тэнхлэг, [-1,1] сегментээс том (жишээлбэл, бүхэл тэнхлэг дээр), дараа нь өргөтгөл (3) нь зөвхөн [-1,1] сегмент дээр энэ функцын утгыг хуулбарлаж, бүхэлд нь үргэлжлүүлнэ. тоон тэнхлэгийг 21 үетэй үечилсэн функц болгон (Зураг 1). Иймд f(x) функц (ерөнхийдөө үечилсэн бус) бүхэл тооны мөрөнд тодорхойлогдвол (3) томъёонд I +oo-ийн хязгаарт очихыг оролдож болно. Энэ тохиолдолд дараах нөхцлүүдийг биелүүлэхийг шаардах нь зүйн хэрэг: 1. f(x) нь Фурье цувааны задралын нөхцлийг аль ч үед хангасан. эцсийн сегменттэнхлэг Ox\ 2. f(x) функц нь бүх тооны тэнхлэгт үнэмлэхүй интеграл болно 2-р нөхцөл хангагдсан үед тэгш байдлын баруун талын (3) эхний гишүүн нь I -* +oo гэж тэглэх хандлагатай байна. Үнэн хэрэгтээ, (3)-ын баруун талд байгаа нийлбэр нь I +oo-ийн хязгаарт юу болж хувирдагийг тогтоохыг хичээцгээе. Дараа нь (3)-ын баруун талд байгаа нийлбэр нь Due хэлбэрийг авна гэж үзье үнэмлэхүй нэгдэлинтеграл, энэ их I нийлбэр нь өөрчлөлтийн интервалд (0, +oo) бүрдэх £ хувьсагчийн функцийн интеграл нийлбэртэй төстэй илэрхийллээс бага зэрэг ялгаатай тул нийлбэр (5) болно гэж хүлээх нь зүйн хэрэг интеграл руу орох нөгөө талаас, (3) томъёоноос бид (7)-ийн хүчинтэй байх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор илэрхийлнэ. Теорем 1. Хэрэв f(x) функц нь бүхэл бүтэн бодит тооны шулуун дээр абсолют интеграл болох ба түүний уламжлалын хамт дурын [a, 6] интервал дээр эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны тасалдалтай цэгүүд байвал тэгшитгэл биелнэ. : Түүнээс гадна, ямар ч xq цэгийн тасалдал 1-р төрлийн f(x) функц болох (7)-ын баруун талын интегралын утга нь (7)-тай тэнцүү байх үед Фурье интеграл томьёо гэж нэрлэгддэг. ба түүний баруун талын интегралыг Фурье интеграл гэнэ. Хэрэв бид ялгааны косинусын томъёог ашиглавал (7) томъёог хэлбэрээр бичиж болно a(ξ), b(ζ) функцууд нь 2м үечилсэн функцын харгалзах Фурьегийн a ба bn коэффициентүүдийн аналог юм. , гэхдээ сүүлийнх нь тодорхойлогддог дискрет утгууд n, харин a(0> BUT нь тодорхойлогдсон тасралтгүй утгууд£ G (-oo, +oo). Фурьегийн интегралын нийлмэл хэлбэр. /(x) нь Окс тэнхлэгт бүрэн интеграл болно гэж үзвэл интегралыг авч үзье. интеграл нь жигд функцхувьсагч тийм болохоор интеграл томъёоФурьег дараах байдлаар бичиж болно: Тэгш байдлыг үржүүлнэ төсөөллийн нэгж i ба тэгш байдлыг нэмнэ (10). Эйлерийн томьёоны ачаар бид хаанаас авах болно Энэ бол Фурье интегралын цогц хэлбэр юм. Энд £-ээс дээш гадаад интеграци нь Кошигийн үндсэн утгын утгаар ойлгогдоно: §2. Фурье хувиргалт. Косинус ба синус Фурьегийн хувиргалт f(x) функцийг Ox тэнхлэгийн аль ч төгсгөлтэй сегмент дээр хэсэгчлэн гөлгөр, бүх тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралчлах боломжтой байг. Тодорхойлолт. Эйлерийн томьёоны дагуу бид авах функцийг /(r) функцийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг (спектр функц). Энэ нь (-oo,+oo) интервал дээрх f(r) функцийн цөмтэй интеграл хувиргалт юм. Фурье интеграл томьёог ашиглан бид үүнийг F-ээс шилжилтийг өгдөг урвуу Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. (t)-аас f(x). Заримдаа Фурьегийн шууд хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлдог: Дараа нь урвуу Фурье хувирлыг томъёогоор тодорхойлно /(x) функцийн Фурьегийн хувиргалтыг мөн дараах байдлаар тодорхойлно: ФУРьегийн хувиргалт Фурьегийн интеграл Фурьегийн интегралын нийлмэл хэлбэр Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синус Далайц ба фазын спектрийг хувиргадаг Шинж чанар Хэрэглээ Дараа нь эргээд, Энэ тохиолдолд хүчин зүйлийн ^ байрлал нь нэлээд дур зоргоороо байдаг: үүнийг томъёонд (1") эсвэл томъёонд (2") оруулж болно. Жишээ 1. Функцийн Фурье хувиргалтыг ол -4 Бидэнд байна Энэ тэгшитгэл нь интеграл тэмдгийн дор £-д хамаарах ялгах боломжийг олгодог (Ялгарал хийсний дараа олж авсан интеграл нь ( ямар ч төгсгөлтэй сегментэд хамаарах) үед жигд нийлдэг): Хэсгээр интеграци хийвэл бид дараах байдалтай болно. Интегралаас гадуурх нэр томъёо алга болж, бид хаанаас олж авдаг (C нь интегралын тогтмол юм (4)), бид (3) -ын тусламжтайгаар C = F (0) -ийг олно Бид 2-р жишээг (кодемсетаторыг копропиленээр гадагшлуулах) олж авдаг нь мэдэгдэж байна. 4 функцийг авч үзье F(ξ) функцийн спектрийн хувьд бид (Зураг 2) олж авна. Бүх тооны шулуун дээрх f(x) функцийн абсолют интегралчлалын нөхцөл маш хатуу. Энэ нь жишээлбэл, ийм зүйлийг оруулаагүй болно үндсэн функцууд, as) = ​​cos x, f(x) = e1, үүнд Фурье хувиргалт (энд авч үзсэн сонгодог хэлбэрээр) байхгүй. Зөвхөн |x| гэж хурдан тэглэх хандлагатай байдаг функцүүд Фурье хувиргалттай байдаг. -+ +oo (1 ба 2-р жишээн дээрх шиг). 2.1. Косинус ба синус Фурьегийн хувиргалт Косинус ба ялгааны томъёог ашиглан Фурьегийн интеграл томьёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ: f(x) тэгш функц байя. Дараа нь бид тэгш байдал (5) байна, f(x) сондгой тохиолдолд бид мөн адил авна. Үхрийн тэнхлэг нь тэгш, томъёо (7) - сондгой. (7) Тодорхойлолт. Функцийг f(x)-ийн Фурье косинусын хувиргалт гэж нэрлэдэг. (6)-аас харахад тэгш функцийн хувьд f(x) Энэ нь f(x) нь эргээд Fc(£)-ийн косинусын хувирал гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл / ба Fc функцууд нь харилцан косинусын хувиргалт юм. Тодорхойлолт. Функцийг f(x)-ийн Фурье синус хувиргалт гэж нэрлэдэг. (7) -аас бид үүнийг олж авдаг сондгой функц f(x) өөрөөр хэлбэл f ба Fs нь харилцан синусын хувиргалт юм. Жишээ 3 (тэгш өнцөгт импульс). Дараах байдлаар тодорхойлогдсон f(t) тэгш функц байя: (Зураг 3). Олж авсан үр дүнг ашиглан интегралыг (9) томъёогоор тооцоолъё. Иймд (12")-аас бид 2.2-ыг олж авна.Фурье интегралын далайц ба фазын спектрүүд 2м-ийн үетэй үелэх функц /(x)-ийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлье.Энэ тэгшитгэлийг хаана байна хэлбэрээр бичиж болно. n давтамжтай хэлбэлзлийн далайц нь үе шат юм. Бид үечилсэн функцийн далайц ба фазын спектрийн тухай ойлголтуудад хүрдэг ), тодорхой нөхцөлд энэ функцийг бүх давтамж дээр өргөжүүлдэг Фурье интегралаар илэрхийлэх боломжтой болж байна (тасралтгүй давтамжийн спектрийн тодорхойлолт).Спектрийн функц , эсвэлспектрийн нягт Фурьегийн интегралыг илэрхийлэл гэж нэрлэдэг (f функцийн Фурьегийн шууд хувиргалтыг гэнэ., Ф«) = -аggSfc) функц нь f(«) функцийн фазын спектр юм. A(ξ) далайцын спектр нь f(x) функцэд ζ давтамжийн хувь нэмрийг хэмжих хэмжүүр болдог. Жишээ 4. 4-р функцийн далайц ба фазын спектрийг олно уу. Эндээс спектрийн функцийг олно уу Эдгээр функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 4. §3. Фурье хувирлын шинж чанарууд 1. Шугаман байдал. Хэрэв ба G(0) нь f(x) ба d(x) функцүүдийн Фурье хувиргалт бол дурын a ба p тогтмолуудын хувьд a f(x) + p d(x) функцийн Фурье хувирал нь функц болно. a Интегралын шугаман байдлын шинж чанарыг ашигласнаар Фурье хувиргалт байна шугаман оператор. Үүнийг тэмдэглээд бид бичих болно. Хэрэв F(ξ) нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт абсолют интегралдах боломжтой f(x) функцийн Фурье хувирал бол F(()) нь бүгдэд нь хязгаарлагдмал байна f(x) функц бүхэлдээ абсолют интегралч байг тэнхлэг - f(x) функцийн Фурье хувиргалт Дараа нь 3«fltsJ нь Фурье хувирлын хүлцлийн функц, A нь fh(x) = f функц байна (z-h) -ийг f(x) функцийн шилжилт гэж нэрлэнэ Бодлого: f(z) функц нь F(0> h -) -ийг Фурье хувиргалттай болго.бодит тоо . 3. Фурье хувиргах ба ялгах процессыг харуул. Үнэмлэхүй интегралч f(x) функц нь бүх Ox тэнхлэг дээр мөн абсолют интегралдах боломжтой f"(x) деривативтэй байг, ингэснээр f(x) нь |x| -» +oo гэж тэг болох хандлагатай байна. f"-ийг авч үзвэл. (x)жигд функц , бид хэсгүүдээр интеграл гэж бичвэл, бид интегралаас гадуурх нэр томьёо алга болно (үүнээс хойш, мөн бид олж авна. Иймээс /(x) функцийн дифференциал нь түүний Фурье дүрсийг ^Π/] хүчин зүйлээр үржүүлсэнтэй тохирч байвал f(x) функц нь m-ийг багтаасан гөлгөр туйлын нэгтгэгдэхүйц деривативуудтай бөгөөд тэдгээр нь f(x) функцтэй адил тэг рүү чиглэж, шаардлагатай тооны хэсгүүдийг нэгтгэснээр Фурье хувирлыг олж авна Энэ нь ялгах үйлдлийг утгаараа үржүүлэх үйлдлээр орлуулж, тодорхой төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх асуудлыг хялбаршуулдаг тул туйлын интегралдах функц f^k\x)-ийн Фурье хувиргалт нь хязгаарлагдмал байдаг функц (2-р шинж чанар), дараа нь (2) хамаарлаас бид дараах тооцоог гаргана: ФУРЬЕРИЙН ХӨНГӨЛӨГЧ Фурье интеграл Фурьегийн хувиргалт Косинус ба синусын хувиргалтууд. Далайц ба фазын спектрүүд Шинж чанар Хэрэглээ Энэ тооцооноос дараах байдлаар гарна. f(x) нь үнэмлэхүй интегралдах деривативтай байх тусам түүний Фурье хувиргалт нь тэг болох тусам хурдан болдог. Сэтгэгдэл. Фурье интегралын ердийн онол нь нэг утгаараа эхлэл, төгсгөлтэй боловч ойролцоогоор ижил эрчимтэйгээр хязгааргүй үргэлжлэхгүй процессуудыг авч үздэг тул нөхцөл байдал нь нэлээд байгалийн юм. 4. f(x) функцийн бууралтын хурдын хамаарал |z| -» -f oo ба түүний Fourm хувиргалтын жигд байдал. Зөвхөн f(x) төдийгүй түүний үржвэр нь xf(x) нь бүхэл бүтэн Окс тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралдах функц байна гэж үзье. Дараа нь Фурье хувиргалт) нь дифференциалагдах функц болно. Үнэн хэрэгтээ, интегралын £ параметрийн хувьд албан ёсны дифференциал нь параметрийн хувьд үнэмлэхүй бөгөөд жигд нийлдэг интегралд хүргэдэг. Тиймээс ялгах боломжтой бөгөөд өөрөөр хэлбэл, f(x) -ийг үржүүлэх үйл ажиллагаа. Аргумент x нь Фурье хувиргасны дараа t үйлдэлд шилждэг. Хэрэв f(x) функцтэй хамт функцүүд нь Окс тэнхлэгт бүрэн интегралдах боломжтой бол ялгах процессыг үргэлжлүүлж болно. Функц нь m-ийг багтаасан дараалалтай деривативуудыг олж авдаг бөгөөд ингэснээр f(x) функц хурдан буурах тусам функц 2-р теорем (өрөмдлөгийн тухай) жигд болно. f,(x) ба f2(x) функцүүдийн Фурье хувиргалтыг тус тус авч үзье. Тэгээд хаана байна давхар интегралтуйлын баруун талд нийлдэг. - x гэж тавья. Дараа нь бид байх болно, эсвэл, интегралчлалын дарааллыг өөрчлөх, Функцийг функцүүдийн эвдрэл гэж нэрлэдэг ба тэмдэгтээр тэмдэглэсэн Формула (1) Одоо дараах байдлаар бичиж болно: Энэ нь f функцүүдийн эргэлтийн Фурье хувиргалтыг харуулж байна. \(x) ба f2(x) нь y/2x-ийн үржвэрийн үржвэртэй тэнцүү байна. Суулгахад хялбар дараах шинж чанаруудэргэлт: 1) шугаман байдал: 2) шилжих чадвар: §4. Фурье хувиргалтын хэрэглээ 1. P(^) шугаман байна дифференциал оператортогтмол коэффициент бүхий m-ийг эрэмбэлэх, y(x) функцийн деривативын Фурье хувиргалтын томъёог ашиглан бид "Дээрх P нь дифференциал оператор болох дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Хүссэн y(x) шийдэл нь дараах байдалтай байна гэж үзье. Фурье хувиргалт y (O. ба f (x) функц нь /(£) хувиралттай байна) (1) тэгшитгэлд Фурьегийн хувиргалтыг хэрэглэснээр бид дифференциалын оронд тэнхлэг дээрх алгебрийн тэгшитгэлийг хаана -тай харьцуулан олж авна. Энд тэмдэг нь урвуу Фурье хувиргалтыг илэрхийлдэг. Энэ аргын хэрэглээний гол хязгаарлалт нь eL*, eaz cos fix, eax sin рх хэлбэрийн функцуудыг агуулсан дараах баримттай холбоотой. -oo тэнхлэг.< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и