Гурвалжны биссектриса нь гурвалжны өнцгийг хоёр тэнцүү өнцөгт хуваах сегмент юм. Жишээлбэл, гурвалжны өнцөг нь 120 0 бол биссектрис зурснаар бид тус бүр нь 60 0-ийн хоёр өнцөг үүсгэнэ.

Гурвалжинд гурван өнцөг байдаг тул гурван биссектрис зурж болно. Тэд бүгд нэг таслах цэгтэй. Энэ цэг нь гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ огтлолцлын цэгийг гурвалжны төв гэж нэрлэдэг.

Хэзээ дотоод хоёр биссектриса ба гадаад булан, өнцөг нь 90 0 байна. Гурвалжны гадна талын өнцөг нь гурвалжны дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм.

Цагаан будаа. 1. 3 биссектрис агуулсан гурвалжин

Бисектриса нь эсрэг талыг талуудтай холбосон хоёр сегмент болгон хуваана.

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Биссектрисын цэгүүд нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, биссектрисын аль ч цэгээс гурвалжны өнцгийн талууд тус бүрд перпендикуляр буулгавал эдгээр перпендикулярууд тэнцүү болно.

Хэрэв та нэг оройноос медиан, биссектрис, өндрийг зурвал медиан нь хамгийн урт сегмент, өндөр нь хамгийн богино байх болно.

Биссектрисын зарим шинж чанарууд

IN тодорхой төрөлгурвалжингууд, биссектрис байна онцгой шинж чанарууд. Энэ нь голчлон тэгш өнцөгт гурвалжинд хамаатай. Энэ зураг нь хоёр ижил байна талууд, гурав дахь нь суурь гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв булангийн дээд хэсгээс тэгш өнцөгт гурвалжинбиссектрисийг суурь руу татвал өндөр ба медианы шинж чанаруудтай болно. Үүний дагуу биссектрисын урт нь медиан ба өндрийн урттай давхцдаг.

Тодорхойлолт:

• Өндөр- гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу татсан перпендикуляр.
• Медиан– гурвалжны орой ба дунд хэсгийг холбосон сегмент эсрэг тал.

Цагаан будаа. 2. Хоёр талт гурвалжин дахь биссектриса

Энэ нь бас хамаатай тэгш талт гурвалжин, өөрөөр хэлбэл гурван тал нь тэнцүү гурвалжин.

Жишээ даалгавар

ABC гурвалжинд: BR нь биссектриса бөгөөд AB = 6 см, BC = 4 см, RC = 2 см гурав дахь талын уртыг хас.

Цагаан будаа. 3. Гурвалжин дахь биссектриса

Шийдэл:

Биссектрис нь гурвалжны нэг талыг хуваадаг тодорхой хувь хэмжээ. Энэ пропорцийг ашиглаад AR-г илэрхийлье. Дараа нь бид гурав дахь талын уртыг энэ талыг биссектрисаар хуваасан хэрчмүүдийн нийлбэрээр олно.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3см$

Дараа нь бүх сегмент AC = RC+ AR

АС = 3+2=5 см.

Хүлээн авсан нийт үнэлгээ: 107.

Өнөөдөр маш хялбар хичээл байх болно. Бид зөвхөн нэг объект болох өнцгийн биссектрисийг авч үзэх бөгөөд түүний хамгийн чухал шинж чанарыг батлах болно, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их хэрэгтэй болно.

Зүгээр л тайвширч болохгүй: заримдаа авахыг хүсдэг оюутнууд өндөр онооижил OGE эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд эхний хичээл дээр тэд биссектрисын тодорхойлолтыг нарийн томъёолж чадахгүй.

Тэгээд үнэхээр хийхийн оронд сонирхолтой даалгавар, бид ийм энгийн зүйлд цаг үрдэг. Тиймээс унш, үз, үрчилж ав. :)

Эхлээд жаахан хачирхалтай асуулт: өнцөг гэж юу вэ? Энэ нь зөв: өнцөг гэдэг нь нэг цэгээс гарч буй хоёр туяа юм. Жишээлбэл:

Зурган дээрээс харахад өнцөг нь хурц, мохоо, шулуун байж болно - энэ нь одоо хамаагүй. Ихэнхдээ тохь тухтай байхын тулд цацраг бүрийг тэмдэглэдэг нэмэлт цэгмөн тэд бидний өмнө $AOB$ өнцөг ($\өнцөг AOB$ гэж бичсэн) байгаа гэж хэлдэг.

Captain Obviousness $OA$ ба $OB$ туяанаас гадна $O$ цэгээс олон тооны туяа зурах боломжтой гэдгийг сануулж байх шиг байна. Гэхдээ тэдний дунд нэг онцгой зүйл байх болно - түүнийг биссектрис гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн оройноос гарч, өнцгийг хоёр хуваасан цацраг юм.

Дээрх өнцгүүдийн хувьд биссектриса нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хурц, мохоо, зөв ​​өнцгийн биссектрисын жишээ

Бодит зураг дээр тодорхой туяа (бидний тохиолдолд $OM $ туяа) анхны өнцгийг хоёр тэнцүү болгон хуваадаг нь үргэлж тодорхой байдаггүй тул геометрийн хувьд үүнийг тэмдэглэдэг заншилтай байдаг. тэнцүү өнцөгижил тооны нуман (бидний зурган дээр энэ нь хурц өнцөгт 1 нум, мохоо өнцгийн хувьд хоёр, шулуун өнцгийн хувьд гурав).

За, бид тодорхойлолтыг эрэмбэлсэн. Одоо та биссектрис ямар шинж чанартай болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Өнцгийн биссектрисын үндсэн шинж чанар

Үнэн хэрэгтээ биссектрис маш олон шинж чанартай байдаг. Мөн бид дараагийн хичээл дээр тэднийг үзэх нь гарцаагүй. Гэхдээ та яг одоо ойлгох хэрэгтэй нэг заль мэх байна:

Теорем. Өнцгийн биссектриса нь талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм өгөгдсөн өнцөг.

Математикаас орос хэл рүү орчуулбал энэ нь нэг дор хоёр баримтыг илэрхийлнэ.

1. Тодорхой өнцгийн биссектрист дээр байрлах аливаа цэг нь энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.
2. Мөн эсрэгээр: хэрэв цэг нь өгөгдсөн өнцгийн талуудаас ижил зайд оршдог бол энэ өнцгийн биссектрис дээр хэвтэх нь баталгаатай болно.

Эдгээр мэдэгдлийг батлахын өмнө нэг цэгийг тодруулъя: цэгээс өнцгийн тал хүртэлх зайг яг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энд цэгээс шугам хүртэлх зайг сайн тодорхойлох нь бидэнд тусална.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь өгөгдсөн цэгээс энэ шулуун руу татсан перпендикулярын урт юм.

Жишээлбэл, $l$ шулуун ба энэ шулуун дээр ороогүй $A$ цэгийг авч үзье. $AH$-д перпендикуляр зуръя, $H\ in l$. Тэгвэл энэ перпендикулярын урт нь $A$ цэгээс $l$ шулуун шугам хүртэлх зай болно.

Өнцөг нь энгийн хоёр цацраг бөгөөд туяа бүр нь шулуун шугамын нэг хэсэг тул цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зайг тодорхойлоход хялбар байдаг. Эдгээр нь зөвхөн хоёр перпендикуляр юм:

Тэгээд л болоо! Одоо бид зай гэж юу болох, биссектрис гэж юу болохыг мэддэг болсон. Тиймээс бид үндсэн өмчийг баталж чадна.

Амласан ёсоор бид нотлох баримтыг хоёр хэсэгт хуваана:

1. Бисектрисын цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай нь ижил байна

Ингээд авч үзье дурын өнцөгОрой $O$ ба биссектрис $OM$:

Энэ ижил цэг $M$ өнцгийн талуудаас ижил зайд байгааг баталцгаая.

Баталгаа. $M$ цэгээс өнцгийн талууд руу перпендикуляр зуръя. Тэднийг $M((H)_(1))$ ба $M((H)_(2))$ гэж нэрлэе:

Өнцгийн хажуу талуудтай перпендикуляр зур

Бид $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$ гэсэн хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг олж авлаа. Тэдгээр нь нийтлэг гипотенуз $OM$ ба ижил өнцөгтэй:

1. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$ нөхцөлөөр ($OM$ нь биссектрис учраас);
2. $\өнцөг M((H)_(1))O=\өнцөг M((H)_(2))O=90()^\circ $ бүтцээр;
3. $\өнцөг OM((H)_(1))=\өнцөг OM((H)_(2))=90()^\circ -\өнцөг MO((H)_(1))$, учир нь нийлбэр хурц булангуудТэгш өнцөгт гурвалжин үргэлж 90 градус байна.

Тиймээс гурвалжин нь тал ба хоёр талдаа тэнцүү байна зэргэлдээх өнцөг(гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдгийг үзнэ үү). Тиймээс, ялангуяа $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. $O$ цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай үнэхээр тэнцүү байна. Q.E.D. :)

2. Хэрэв зайнууд тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрлана

Одоо байдал эсрэгээрээ. Энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд $O$ өнцөг ба $M$ цэг өгье.

$OM$ туяа нь биссектриса гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$.

Баталгаа. Эхлээд энэ $OM$ туяаг зуръя, эс тэгвээс нотлох зүйл байхгүй болно:

Булангийн дотор $OM$ цацраг явуулсан

Дахин бид хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авна: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$. Мэдээжийн хэрэг, тэд тэнцүү, учир нь:

1. Гипотенуз $OM$ - ерөнхий;
2. Хөл $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ нөхцөлөөр (эцсийн эцэст $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байна);
3. Үлдсэн хөл нь бас тэнцүү, учир нь Пифагорын теоремоор $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Тиймээс гурван талдаа $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$ гурвалжингууд. Ялангуяа тэдгээрийн өнцөг тэнцүү байна: $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$. Энэ нь зөвхөн $OM$ нь биссектриса гэсэн үг юм.

Баталгаажуулахын тулд бид үүссэн тэнцүү өнцгийг улаан нумаар тэмдэглэнэ.

Биссектриса $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ өнцгийг хоёр тэнцүү болгож хуваана.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид өнцгийн биссектриса нь энэ өнцгийн талуудтай ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэдгийг баталсан.

Одоо бид нэр томъёоны талаар бага эсвэл бага хэмжээгээр шийдсэн тул цаашаа явах цаг болжээ шинэ түвшин. Дараагийн хичээл дээр бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй шинж чанаруудбиссектрис болон тэдгээрийг бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурах.

Сорокина Вика

Гурвалжны биссектрисын шинж чанаруудын нотолгоог гаргаж, онолыг бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах талаар авч үзнэ.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Октябрский дүүргийн Саратов хотын захиргааны боловсролын хороо боловсролын байгууллаганэрэмжит 3-р лицей сургууль. А.С. Пушкин.

Хотын шинжлэх ухаан-практик

бага хурал

"Эхний алхамууд"

Сэдэв: Бисектрис ба түүний шинж чанарууд.

Гүйцэтгэсэн ажил: 8-р ангийн сурагч

Сорокина ВикторияЭрдэм шинжилгээний удирдагч: Дээд зэрэглэлийн математикийн багшПопова Нина Федоровна.

Саратов 2011 он

1. Гарчиг хуудас……………………………………………………1
2. Агуулга……………………………………………………2
3. Introduction and objectives………………………………………………………... ..3
4. Биссектрисын шинж чанарыг харгалзан үзэх

• Гурав дахь цэгийн цэг………………………………….3
• Теорем 1…………………………………………………………4
• Теорем 2……………………………………………………4
• Гурвалжны биссектрисын гол шинж чанар:

1. Теорем 3…………………………………………………………4
2. Даалгавар 1………………………………………………………….7
3. Даалгавар 2……………………………………………………….8
4. Даалгавар 3…………………………………………………………9
5. Даалгавар 4………………………………………………………….9-10

• Теорем 4……………………………………………………10-11
• Биссектрис олох томьёо:

1. Теорем 5……………………………………………………….11
2. Теорем 6……………………………………………………….11
3. Теорем 7……………………………………………………….12
4. Даалгавар 5…………………………………………………………12-13

• Теорем 8……………………………………………………….13
• Даалгавар 6……………………………………………………….14
• Даалгавар 7…………………………………………………………14-15
• Бисектрис ашиглан үндсэн чиглэлийг тодорхойлох………………15

1. Дүгнэлт ба дүгнэлт…………………………………………………..15
2. Ашигласан материалын жагсаалт……………………………………..16

Биссектрис

Геометрийн хичээл дээр сэдвийг судалж байна ижил төстэй гурвалжин, Биссектрисын эсрэг талуудын хамаарлын тухай теоремийн бодлоготой таарсан. Бисектрисийн сэдвээр сонирхолтой зүйл байж болох юм шиг санагдаж байсан ч энэ сэдэв миний сонирхлыг татсан тул би үүнийг илүү гүнзгий судлахыг хүссэн. Эцсийн эцэст биссектрис нь маш их баялаг юм гайхалтай шинж чанарууд, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Энэ сэдвийг авч үзэхэд геометрийн сурах бичгүүдэд биссектрисын шинж чанаруудын талаар маш бага зүйл бичсэнийг та анзаарах болно, гэхдээ шалгалтанд тэдгээрийг мэддэг тул та асуудлыг илүү хялбар бөгөөд хурдан шийдэж чадна. Үүнээс гадна, Улсын шалгалт, Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцэхийн тулд орчин үеийн оюутнууд өөрсдөө суралцах хэрэгтэй Нэмэлт материалруу сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Тиймээс би биссектрисын сэдвийг илүү нарийвчлан судлахаар шийдсэн.

Бисектриса (Латин хэлнээс би- "давхар" ба sectio "Таслах") нь өнцгийн оройноос эхлэлтэй, өнцгийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг туяа юм. Өнцгийн биссектриса (өргөтгөлтэй нь хамт) нь өнцгийн талуудаас (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүдээс) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.)

Гурав дахь цэгүүд

Зураг F байна байршилоноо (цэгийн багц) зарим өмчтэй байхА, хоёр нөхцөл хангагдсан бол:

1. цэг нь зурагт хамаарахаас F, өмчтэй гэсэн үг A;
2. тухайн цэг нь эд хөрөнгийг хангаж байгаагаасА, энэ нь зурагт хамаарах болноФ.

Геометрт авч үзсэн цэгүүдийн эхний байрлал нь тойрог, i.e. нэг тогтмол цэгээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал. Хоёрдугаарт - перпендикуляр биссектриссегмент, өөрөөр хэлбэл. сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байршил. Эцэст нь, гурав дахь - биссектрис - өнцгийн хажуу талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн геометрийн байрлал.

Теорем 1:

Биссектрисын цэгүүд нь талуудаас ижил зайд байрладагтэр буланд байна.

Нотолгоо:

Р - биссектрисын цэгА. Гол цэгээс бууцгааяP перпендикуляр RV болон Булангийн хажуу талд байрлах компьютер. Дараа нь VAR = SAR гипотенуз ба хурц өнцгөөр. Тиймээс PB = PC

Теорем 2:

Хэрэв P цэг нь А өнцгийн талуудаас ижил зайтай байвал энэ нь биссектриса дээр байрладаг.

Баталгаа: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR нь биссектриса юм.

Геометрийн үндсэн баримтуудын дунд биссектрис нь эсрэг талыг эсрэг талуудтай харьцуулан хуваах теорем юм. Энэ баримт удаан хугацааны турш сүүдэрт үлдсэн боловч биссектрисын тухай энэ болон бусад баримтуудыг мэддэг бол шийдвэрлэхэд илүү хялбар асуудлууд хаа сайгүй байдаг. Би сонирхож эхэлсэн бөгөөд бисектрисын энэ шинж чанарыг илүү гүнзгий судлахаар шийдсэн.

Гурвалжны өнцгийн биссектрисын үндсэн шинж чанар

Теорем 3. Бисектрис нь гурвалжны эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай нь харьцуулан хуваадаг.

Нотлох баримт 1:

Өгөгдсөн: AL - ABC гурвалжны биссектриса

Нотлох:

Баталгаа: F гэж байг шугамын огтлолцлын цэг AL мөн цэгийг дайран өнгөрөх шугам IN АС талтай зэрэгцээ.

Дараа нь BFA = FAC = BAF. Тиймээс B.A.F. тэгш өнцөгт ба AB = BF. Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаасБидэнд ALC болон FLB байна

харьцаа

хаана

Нотлох баримт 2

АВ суурьтай параллель С цэгийг дайран өнгөрөх AL шулуун ба шулуун шугамаар огтлолцсон цэгийг F гэж үзье. Дараа нь та үндэслэлээ давтаж болно.

Нотлох баримт 3

Шугаман дээр буулгасан перпендикуляруудын суурь нь K ба M байг B ба C цэгээс AL тус тус. ABL ба ACL гурвалжин нь хоёр өнцгөөр төстэй. Тийм ч учраас
. Мөн BKL ба CML-ийн ижил төстэй байдлаас харахад бидэнд байна

Эндээс

Баталгаа 4

Талбайн аргыг ашиглая. Гурвалжны талбайг тооцоолъё ABL ба ACL хоёр арга.

Эндээс.

Нотлох баримт 5

α= YOU,φ= гэж үзье BLA. ABL гурвалжны синусын теоремоор

Мөн ACL гурвалжинд.

Учир нь,

Дараа нь тэгш байдлын хоёр талыг нөгөө талын харгалзах хэсгүүдэд хуваавал бид олж авна.

Асуудал 1

Өгөгдсөн: ABC гурвалжинд VC нь биссектрис, BC = 2, KS = 1,

Шийдэл:

Асуудал 2

Өгөгдсөн:

24 ба 18 хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектрисийг ол.

Шийдэл:

AC тал = 18, BC тал = 24,

А.М. - гурвалжны биссектриса.

Пифагорын теоремыг ашиглан бид олдог.

AB = 30.

Түүнээс хойш

Үүнтэй адилаар хоёр дахь биссектрисийг олцгооё.

Хариулт:

Асуудал 3

Тэгш өнцөгт гурвалжинд B зөв өнцөгтэй ABC өнцгийн биссектрисА талыг гаталж байнаМЭӨ

D цэг дээр. BD = 4, DC = 6 гэдгийг мэддэг.

Гурвалжны талбайг ол ADC

Шийдэл:

Гурвалжны биссектрисын өмчөөр

AB = 2 x, AC = 3 x гэж тэмдэглэе. Теоремоор

Пифагор МЭӨ 2 + АВ 2 = АС 2, эсвэл 100 + 4 х 2 = 9 х 2

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x = Дараа нь AB = , S ABC=

Тиймээс,

Асуудал 4

Өгөгдсөн:

Хоёр талт гурвалжинд ABC тал AB 10-тай тэнцүү, суурьАС 12.

Өнцгийн биссектрисаА ба С цэг дээр огтлолцоноД. BD-г олоорой.

Шийдэл:

Гурвалжны биссектриса нь цагт огтлолцдог тул

Нэг цэг, тэгвэл BD нь B-ийн биссектриса болно. BD-г үргэлжлүүлье -тай уулзвар хүртэл M цэг дээрх АС. Дараа нь M нь AC, BM AC-ийн дунд цэг юм. Тийм ч учраас

CD-ээс хойш - гурвалжны биссектрисаТэгвэл BMC

Тиймээс,.

Хариулт:

Теорем 4. Гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог.

Үнэн хэрэгтээ эхлээд хоёр биссектрисийн огтлолцлын P цэгийг авч үзье, жишээ нь АК 1 ба VK 2 . Энэ цэг нь биссектриса дээр байрладаг тул AB ба AC талуудаас ижил зайтай байнаA ба биссектрист хамаарах AB ба ВС талуудаас ижил зайтайB. Энэ нь АС ба ВС талуудаас адилхан алслагдсан тул SC гурав дахь биссектрист хамаарна гэсэн үг юм. 3 , өөрөөр хэлбэл P цэг дээр бүх гурван биссектрис огтлолцоно.

биссектрис олох томьёо
Теорем 5: (биссектрисын эхний томъёо): ABC гурвалжинд AL хэрчим нь биссектриса байвал A, дараа нь AL² = AB·AC - LB·LC.

Нотолгоо: ABC гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрогтой AL шулууны огтлолцох цэгийг M гэж үзье (Зураг 41). Өнцөг BAM нь нөхцөлөөр MAC өнцөгтэй тэнцүү байна. BMA болон BCA өнцгүүд нь ижил хөвчөөр дамжсан бичээстэй өнцгүүдийн хувьд тохирно. Энэ нь BAM ба LAC гурвалжин нь хоёр өнцгөөр төстэй гэсэн үг юм. Тиймээс AL: AC = AB: AM. Энэ нь AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC гэсэн үг юм. Q.E.D.

Теорем6: . (биссектрисын хоёр дахь томьёо): AB=a, AC=b ба талуудтай ABC гурвалжинд2α ба биссектрис l-тэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Баталгаа : ABC байг өгөгдсөн гурвалжин, AL нь түүний биссектриса, a=AB, b=AC, l=AL. Дараа нь С ABC = S ALB + S ALC . Иймд ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 7: Хэрэв a, b нь гурвалжны талууд, Y нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг,нь энэ өнцгийн биссектриса юм. Дараа нь.

Дундаж түвшин

Гурвалжны биссектриса. Нарийвчилсан онолжишээнүүдийн хамт (2019)

Гурвалжны биссектриса ба түүний шинж чанарууд

Сегментийн дунд цэг юу болохыг та мэдэх үү? Та мэдээжийн хэрэг. Тойргийн төвийг яах вэ? Үүнтэй адил. Өнцгийн дунд цэг гэж юу вэ? Ийм зүйл болохгүй гэж та хэлж болно. Яагаад сегментийг хагас болгон хувааж болох ч өнцөг нь яагаад хуваагдаж болохгүй вэ? Энэ нь бүрэн боломжтой - зүгээр л нэг цэг биш, гэхдээ .... шугам.

Та нар хошигнолыг санаж байна уу: биссектриса нь булан тойрон гүйж, буланг нь хагасаар хуваадаг харх юм. Тиймээс биссектрисын жинхэнэ тодорхойлолт нь энэ хошигнолтой маш төстэй юм.

Гурвалжны биссектриса- энэ нь энэ өнцгийн оройг эсрэг талын цэгтэй холбосон гурвалжны өнцгийн биссектрисын сегмент юм.

Нэгэн цагт эртний одон орон судлаачид, математикчид биссектрисын олон сонирхолтой шинж чанарыг олж илрүүлжээ. Энэхүү мэдлэг нь хүмүүсийн амьдралыг ихээхэн хялбаршуулсан. Барилга барих, зайг тоолох, их бууны буудлыг тохируулахад хүртэл хялбар болсон ... Эдгээр шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь ТЕГ болон Улсын нэгдсэн шалгалтын зарим ажлыг шийдвэрлэхэд тусална!

Үүнд туслах анхны мэдлэг бол тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса.

Дашрамд хэлэхэд, та эдгээр бүх нэр томъёог санаж байна уу? Тэд бие биенээсээ юугаараа ялгаатай болохыг та санаж байна уу? Үгүй юу? Аймшиггүй. Одоо үүнийг олж мэдье.

Тэгэхээр, тэгш өнцөгт гурвалжны суурь- энэ бол бусадтай тэнцүү биш тал юм. Зургийг хараарай, та үүнийг аль тал нь гэж бодож байна вэ? Энэ нь зөв - энэ бол тал юм.

Медиан гэдэг нь гурвалжны оройгоос зурж, эсрэг талыг (дахин ийм) хагасаар хуваадаг шугам юм.

Бид "Аль тэгш өнцөгт гурвалжны медиан" гэж хэлээгүйг анхаарна уу. Яагаад гэдгийг мэдэх үү? Учир нь гурвалжны оройгоос зурсан медиан нь АЯмар гурвалжны эсрэг талыг хоёр хуваадаг.

За, өндөр нь дээрээс нь зурсан шугам, суурьтай перпендикуляр юм. Та анзаарсан уу? Бид дахин ижил өнцөгт гурвалжны тухай биш, харин ямар ч гурвалжны тухай ярьж байна. Аливаа гурвалжны өндөр нь сууринд үргэлж перпендикуляр байдаг.

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Бараг л. Бисектрис, медиан, өндөр гэж юу болохыг илүү сайн, үүрд санаж байхын тулд тэдгээрийг бие биетэйгээ харьцуулж, тэдгээр нь юугаараа ижил төстэй, бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг ойлгох хэрэгтэй. Үүний зэрэгцээ илүү сайн санахын тулд бүх зүйлийг дүрслэх нь дээр. хүний ​​хэл" Дараа нь та математикийн хэлээр амархан ажиллах болно, гэхдээ та эхлээд энэ хэлийг ойлгодоггүй тул бүх зүйлийг өөрийн хэлээр ойлгох хэрэгтэй.

Тэгэхээр, тэд ямар төстэй вэ? Бисектрис, медиан ба өндөр - бүгд гурвалжны оройноос "гарч", эсрэг талдаа амарч, гарч ирсэн өнцгөөрөө эсвэл "ямар нэгэн зүйл хийдэг". эсрэг тал. Би үүнийг энгийн гэж бодож байна, тийм үү?

Тэд юугаараа ялгаатай вэ?

• Биссектрис нь гарч ирэх өнцгийг хагасаар хуваана.
• Медиан нь эсрэг талыг хагасаар хуваана.
• Өндөр нь үргэлж эсрэг талдаа перпендикуляр байдаг.

Ингээд л болоо. Ойлгоход амархан. Тэгээд нэгэнт ойлгочихвол санаж чадна.

Одоо дараагийн асуулт. Яагаад ижил өнцөгт гурвалжны хувьд биссектриса нь медиан ба өндрийн аль аль нь байдаг вэ?

Та зүгээр л зургийг хараад медиан нь хоёр хуваагдаж байгаа эсэхийг шалгаарай тэнцүү гурвалжин. Тэгээд л болоо! Гэвч математикчид нүдэндээ итгэх дургүй байдаг. Тэд бүх зүйлийг батлах хэрэгтэй. Аймшигтай үг? Ийм зүйл байхгүй - энэ бол энгийн! Хараач: хоёулаа тэнцүү талуудтай бөгөөд ерөнхийдөө нийтлэг талтай байдаг. (- биссектрис!) Тэгээд хоёр гурвалжин хоёртой болох нь харагдаж байна тэнцүү талуудба тэдгээрийн хоорондох өнцөг. Гурвалжны тэгш байдлын анхны шинж тэмдгийг бид санаж байна (хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг харна уу) гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн тул = ба.

Энэ нь аль хэдийн сайн байна - энэ нь дундаж болж хувирсан гэсэн үг юм.

Гэхдээ энэ юу вэ?

Зургийг харцгаая - . Тэгээд бид авсан. Тэгэхээр бас! Эцэст нь, яараарай! Тэгээд.

Энэ нотлох баримт танд жаахан хүнд санагдсан уу? Зургийг хараарай - хоёр ижил гурвалжин нь өөрөө ярьдаг.

Ямар ч тохиолдолд хатуу санаарай:

Одоо илүү хэцүү байна: бид тоолох болно дурын гурвалжны биссектрисын хоорондох өнцөг!Бүү ай, энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Зураг луу хар:

Тоолж үзье. Та үүнийг санаж байна уу гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь?

Энэ гайхалтай баримтыг хэрэгжүүлцгээе.

Нэг талаас:

Тэр бол.

Одоо харцгаая:

Гэхдээ биссектриса, биссектриса!

Дараахыг санацгаая:

Одоо үсгүүдээр дамжуулан

\өнцөг AOC=90()^\circ +\frac(\өнцөг B)(2)

Энэ нь гайхмаар биш гэж үү? Энэ нь тодорхой болсон хоёр өнцгийн биссектрисийн хоорондох өнцөг нь зөвхөн гурав дахь өнцгөөс хамаарна!

За, бид хоёр биссектрисийг харлаа. Гурав байвал яах вэ???!!! Тэд бүгд нэг цэг дээр огтлолцох уу?

Эсвэл ийм байх болов уу?

Та яаж бодож байна? Тиймээс математикчид бодож, бодож, нотолсон:

Энэ гайхалтай биш гэж үү?

Яагаад ийм зүйл болдгийг мэдмээр байна уу?

Тэгэхээр... хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин: ба. Тэдэнд байгаа:

• Ерөнхий гипотенуз.
• (Учир нь энэ нь биссектрис юм!)

Энэ нь өнцөг ба гипотенузаар гэсэн үг юм. Тиймээс эдгээр гурвалжны харгалзах хөл нь тэнцүү байна! Тэр бол.

Энэ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил (эсвэл тэнцүү) зайд байгааг бид нотолсон. 1-р цэгийг авч үзнэ. Одоо 2-р цэг рүү шилжье.

Яагаад 2 үнэн вэ?

Тэгээд цэгүүдийг холбоно.

Энэ нь биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм!

Тэгээд л болоо!

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ бүхнийг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ? Жишээлбэл, асуудалд "Тойрог нь өнцгийн талуудад хүрч байна ..." гэсэн өгүүлбэр ихэвчлэн байдаг. За, та ямар нэг зүйл олох хэрэгтэй.

Дараа нь та үүнийг хурдан ойлгох болно

Мөн та тэгш байдлыг ашиглаж болно.

3. Гурвалжны гурван биссектрис нэг цэгт огтлолцоно

Биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал байх шинж чанараас дараах тайлбарыг гаргана.

Энэ нь яг яаж гарч ирдэг вэ? Гэхдээ хараарай: хоёр биссектриса огтлолцох нь гарцаагүй, тийм үү?

Гурав дахь биссектрис дараах байдлаар явж болно.

Гэвч бодит байдал дээр бүх зүйл илүү дээр юм!

Хоёр биссектрисын огтлолцох цэгийг харцгаая. Үүнийг нэрлэе.

Бид энд хоёр удаа юу ашигласан бэ? Тиймээ догол мөр 1, мэдээжийн хэрэг! Хэрэв цэг нь биссектриса дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай байна.

Тэгээд ийм зүйл болсон.

Гэхдээ энэ хоёр тэгш байдлыг анхааралтай ажигла! Эцсийн эцэст тэднээс ийм зүйл гарч ирдэг бөгөөд иймээс .

Тэгээд одоо энэ нь тоглох болно цэг 2: өнцгийн талууд хүртэлх зай тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрладаг ... ямар өнцөг вэ? Зургийг дахин хараарай:

ба өнцгийн талууд хүртэлх зай бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд энэ нь цэг нь өнцгийн биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм. Гурав дахь биссектрис ижил цэгээр дамжсан! Гурван биссектрис бүгд нэг цэгт огтлолцдог! Мөн нэмэлт бэлэг болгон -

Цацраг бичээстэйтойрог.

(Баталгаажуулахын тулд өөр сэдвийг харна уу).

За, одоо та хэзээ ч мартахгүй:

Гурвалжны биссектрисын огтлолцлын цэг нь түүнд бичигдсэн тойргийн төв юм.

Дараа нь үргэлжлүүлье дараах үл хөдлөх хөрөнгөд... Хөөх, биссектрис олон шинж чанартай байдаг, тийм үү? Энэ бол гайхалтай, учир нь илүү олон өмч, тэдгээр илүү олон хэрэгсэлбиссектрисын асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан.

4. Биссектриса ба параллелизм, зэргэлдээ өнцгүүдийн биссектриса

Бисектрис өнцгийг хагасаар хуваадаг нь зарим тохиолдолд огт санаанд оромгүй үр дүнд хүргэдэг. Жишээлбэл,

Тохиолдол 1

Гайхалтай, тийм үү? Яагаад ийм байдгийг ойлгоцгооё.

Нэг талаас бид биссектрис зурдаг!

Гэхдээ нөгөө талаас хөндлөн хэвтсэн өнцөгүүд байдаг (сэдвийг санаарай).

Тэгээд одоо энэ нь болж байна; дундыг нь хая:! - хоёр өнцөгт!

Тохиолдол 2

Гурвалжинг төсөөлөөд үз (эсвэл зургийг хар)

Цэгээс цааш талыг нь үргэлжлүүлье. Одоо бидэнд хоёр өнцөг байна:

• - дотоод булан
• - гадна булан нь гадаа байна, тийм үү?

Тиймээс, одоо хэн нэгэн нэг биш, харин хоёр биссектрис зурахыг хүссэн: хоёулаа хоёулаа. Юу тохиолдох вэ?

Энэ бүтэх болов уу? тэгш өнцөгт!

Гайхалтай нь яг ийм байна.

Үүнийг олж мэдье.

Хэмжээ нь хэд гэж та бодож байна вэ?

Мэдээжийн хэрэг, тэд бүгд хамтдаа ийм өнцөг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь шулуун шугам болж хувирдаг.

Одоо үүнийг санаж, биссектрис бөгөөд энэ өнцөг дотор яг байгааг хараарай хагасбүх дөрвөн өнцгийн нийлбэрээс: ба - - өөрөөр хэлбэл яг. Та үүнийг тэгшитгэл болгон бичиж болно:

Тиймээс, гайхалтай боловч үнэн:

Гурвалжны дотоод ба гадаад өнцгүүдийн биссектрисын хоорондох өнцөг тэнцүү байна.

Тохиолдол 3

Энд бүх зүйл дотоод болон гадаад булантай адилхан байгааг та харж байна уу?

Эсвэл яагаад ийм зүйл болж байгааг дахин бодъё?

Дахин хэлэхэд, хувьд зэргэлдээ булангууд,

(зэрэгцээ суурьтай харгалзах байдлаар).

Дахин хэлэхэд тэд эвлэрдэг яг хагаснийлбэрээс

Дүгнэлт:Хэрэв асуудал нь биссектрис агуулсан бол зэргэлдээөнцөг буюу биссектриса хамааралтайпараллелограмм эсвэл трапецын өнцөг, дараа нь энэ асуудалд мэдээжоролцдог зөв гурвалжин, магадгүй бүхэл бүтэн тэгш өнцөгт ч байж магадгүй.

5. Биссектриса ба эсрэг тал

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг ямар нэгэн байдлаар бус харин онцгой бөгөөд маш сонирхолтой байдлаар хуваадаг болох нь харагдаж байна.

Тэр бол:

Гайхалтай баримт, тийм үү?

Одоо бид энэ баримтыг батлах болно, гэхдээ бэлэн байгаарай: энэ нь өмнөхөөсөө арай илүү хэцүү байх болно.

Дахин хэлэхэд - "сансар" руу гарах - нэмэлт формац!

Шууд явцгаая.

Юуны төлөө? Одоо харах болно.

Бисектрисийг шулуунтай огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье.

Энэ танил зураг мөн үү? Тийм, тийм, тийм, 4-р зүйлтэй яг адилхан, тохиолдол 1 - энэ нь (- биссектрис)

Хөндлөн хэвтэж байна

Тэгэхээр, тэр ч бас.

Одоо гурвалжнуудыг харцгаая.

Та тэдний талаар юу хэлж чадах вэ?

Тэд адилхан. За, тийм ээ, тэдний өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Тэгэхээр хоёр буланд.

Одоо бид холбогдох талуудын харилцааг бичих эрхтэй болсон.

Тэгээд одоо товчхондоо:

Өө! Надад ямар нэг зүйлийг сануулж байна, тийм үү? Энэ бол бидний батлахыг хүссэн зүйл биш гэж үү? Тийм, тийм, яг тэр!

"Сансрын алхалт" ямар агуу болохыг та харж байна - нэмэлт шулуун шугам барих - түүнгүйгээр юу ч болохгүй байсан! Тиймээс бид үүнийг нотолсон

Одоо та үүнийг аюулгүй ашиглаж болно! Гурвалжны өнцгийн биссектрисийн өөр нэг шинж чанарыг харцгаая - бүү сандар, одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа - энэ нь илүү хялбар байх болно.

Бид үүнийг ойлгодог

Теорем 1:

Теорем 2:

Теорем 3:

Теорем 4:

Теорем 5:

Теорем 6:

Геометр бол хамгийн төвөгтэй, ойлгомжгүй шинжлэх ухааны нэг юм. Үүн дээр анх харахад ойлгомжтой мэт санагдсан зүйл зөв болох нь тун ховор. Биссектриса, өндөр, медиан, проекц, тангенс - их хэмжээнийүнэхээр хэцүү нэр томъёо, андуурахад маш амархан.

Үнэн хэрэгтээ, зөв ​​хүслээр та ямар ч төвөгтэй байдлын онолыг ойлгож чадна. Биссектриса, медиан, өндрийн тухай ярихад тэдгээр нь гурвалжинд онцгой биш гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Эхлээд харахад энэ энгийн шугамууд, гэхдээ тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн шинж чанар, функцтэй байдаг бөгөөд мэдлэг нь шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг геометрийн асуудлууд. Тэгэхээр гурвалжны биссектриса хэд вэ?

Тодорхойлолт

"Биссектрис" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө хослолоос гаралтай Латин үгс"хоёр" ба "тайрах", "тайрах" нь түүний шинж чанарыг шууд бусаар илэрхийлдэг. Ихэвчлэн хүүхдүүдийг энэ туяатай танилцуулахдаа "Бисектрис бол булан тойрон гүйж, буланг хоёр хуваадаг харх юм" гэсэн товч өгүүлбэрийг санаж байх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, ийм тайлбар нь ахимаг насны хүүхдүүдэд тохиромжгүй байдаг, үүнээс гадна тэд ихэвчлэн өнцгийн талаар биш, харин геометрийн дүрсийн талаар асуудаг. Тэгэхээр гурвалжны биссектриса нь гурвалжны оройг эсрэг талтай холбосон туяа бөгөөд өнцгийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг. Биссектрисын эсрэг талын цэг дурын гурвалжинсанамсаргүй байдлаар сонгогддог.

Үндсэн функц ба шинж чанарууд

Энэ цацраг нь хэд хэдэн үндсэн шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт, гурвалжны биссектриса нь өнцгийг хоёр хуваасан тул түүн дээр байрлах дурын цэг дээр байх болно. тэнцүү зайдээд хэсгийг бүрдүүлж буй талуудаас. Хоёрдугаарт, гурвалжин бүрт байгаа өнцгийн тооноос хамааран гурван биссектрис зурж болно (тиймээс нэг дөрвөн өнцөгт аль хэдийн дөрөв байх болно гэх мэт). Гурван цацраг огтлолцох цэг нь гурвалжинд сийлсэн тойргийн төв юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө нь илүү төвөгтэй болдог

Онолыг бага зэрэг төвөгтэй болгоё. Өөр сонирхолтой өмч: гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг хэрчмүүдэд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн харьцаа нь оройг бүрдүүлж буй талуудын харьцаатай тэнцүү байна. Эхлээд харахад энэ нь төвөгтэй боловч үнэн хэрэгтээ бүх зүйл энгийн: санал болгож буй зураг дээр RL: LQ = PR: PK. Дашрамд хэлэхэд энэ шинж чанарыг "Бисектор теорем" гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд эртний Грекийн математикч Евклидийн бүтээлүүдэд анх гарч ирсэн. Бид түүнийг аль нэгэнд нь санаж байсан Орос сурах бичигзөвхөн XVII зууны эхний улиралд л.

Энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Дөрвөн өнцөгт дээр биссектриса нь ижил өнцөгт гурвалжинг таслав. Энэ зураг нь медиан AF-ийн бүх ижил өнцгийг харуулж байна.

Мөн дөрвөлжин ба трапецын хувьд нэг талт өнцгийн биссектриса нь бие биентэйгээ перпендикуляр байна. Зураг дээр APB өнцөг нь 90 градус байна.

Хоёр талт гурвалжинд

Адил өнцөгт гурвалжны биссектриса нь илүү ашигтай туяа юм. Энэ нь зөвхөн өнцгийн хагасыг хуваагч төдийгүй медиан ба өндрийн хэмжээ юм.

Медиан нь зарим булангаас гарч, эсрэг талын голд унасан сегмент бөгөөд ингэснээр үүнийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Өндөр нь оройноос эсрэг тал руу чиглэсэн перпендикуляр бөгөөд түүний тусламжтайгаар аливаа асуудлыг энгийн бөгөөд энгийн Пифагор теорем болгон бууруулж болно. Энэ тохиолдолд гурвалжны биссектриса нь гипотенузын квадрат ба нөгөө хөлийн ялгааны язгууртай тэнцүү байна. Дашрамд хэлэхэд энэ өмч нь геометрийн асуудалд ихэвчлэн тулгардаг.

Нэгтгэхийн тулд: энэ гурвалжинд FB биссектриса нь медиан (AB = BC) ба өндөр (FBC ба FBA өнцөг нь 90 градус) юм.

Тойм хэлбэрээр

Тэгэхээр та юу санаж байх хэрэгтэй вэ? Гурвалжны биссектриса нь оройг нь хуваасан туяа юм. Гурван цацрагийн огтлолцол дээр энэ гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн төв байдаг (энэ өмчийн цорын ганц сул тал нь практик ач холбогдолгүй бөгөөд зөвхөн зургийг чадварлаг гүйцэтгэхэд л үйлчилдэг). Энэ нь мөн эсрэг талыг сегмент болгон хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн харьцаа нь энэ туяа дамжсан талуудын харьцаатай тэнцүү байна. Дөрвөн өнцөгтийн хувьд шинж чанарууд нь арай илүү төвөгтэй болдог, гэхдээ тэдгээр нь асуудалд бараг хэзээ ч гарч ирдэггүй. сургуулийн түвшин, тиймээс тэд хөтөлбөрт ихэвчлэн хөндөгддөггүй.

Адил өнцөгт гурвалжны биссектрис бол ямар ч сургуулийн сурагчийн мөрөөдөл юм. Энэ нь медиан (өөрөөр хэлбэл, эсрэг талыг хоёр хуваадаг) ба өндөр (тэр тал руу перпендикуляр) хоёулаа байдаг. Ийм биссектрисатай асуудлыг шийдэх нь Пифагорын теорем руу буурдаг.

Мэдлэг үндсэн функцуудбиссектрис, түүнчлэн түүний үндсэн шинж чанарууд нь дундаж ба геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай өндөр түвшинхүндрэлүүд. Үнэн хэрэгтээ энэ цацраг нь зөвхөн планиметрт байдаг тул түүний талаархи мэдээллийг цээжлэх нь бүх төрлийн ажлыг даван туулах боломжийг олгоно гэж хэлж болохгүй.