Максвеллийн тэгшитгэл дэх урагшлах долгион. Максвеллийн тэгшитгэл

Ямар ч хэлбэлзлийн хэлхэээнерги ялгаруулдаг. Өөрчлөгдөж буй цахилгаан орон нь эргэн тойрны орон зайд хувьсах соронзон орныг өдөөдөг ба эсрэгээр. Математик тэгшитгэлСоронзон ба цахилгаан талбайн хоорондын хамаарлыг дүрсэлсэн, Максвелл гаргаж авсан бөгөөд түүний нэрийг авчээ. Максвеллийн тэгшитгэлийг бичье дифференциал хэлбэрцахилгаан цэнэг байхгүй тохиолдолд () ба гүйдэл ( j= 0 ):

Хэмжигдэхүүнүүд нь цахилгаан ба соронзон тогтмолууд бөгөөд эдгээр нь вакуум дахь гэрлийн хурдтай холбоотой байдаг.

Тогтмолууд нь орчны цахилгаан ба соронзон шинж чанарыг тодорхойлдог бөгөөд бид үүнийг нэгэн төрлийн ба изотропик гэж үзэх болно.

Цэнэг ба гүйдэл байхгүй тохиолдолд статик цахилгаан ба соронзон орон байх боломжгүй юм. Гэхдээ хувьсах цахилгаан орон нь соронзон орныг өдөөдөг ба эсрэгээр хувьсах соронзон орон нь цахилгаан орон үүсгэдэг. Тиймээс цахилгаан ба соронзон орон нь хоорондоо салшгүй холбоотой байдаг цэнэг, гүйдэл байхгүй вакуум орчинд Максвеллийн тэгшитгэлийн шийдлүүд байдаг. Максвеллийн онол бол хоёрыг нэгтгэсэн анхны онол юм үндсэн харилцан үйлчлэл, өмнө нь бие даасан гэж тооцогддог. Тиймээс бид одоо ярьж байна цахилгаан соронзон орон.

Хэлхээний хэлбэлзлийн процесс нь түүний эргэн тойрон дахь талбайн өөрчлөлт дагалддаг. Эргэн тойрон дахь орон зайд гарч буй өөрчлөлтүүд нь тодорхой хурдтайгаар нэг цэгээс цэг рүү тархдаг, өөрөөр хэлбэл хэлбэлзлийн хэлхээ нь түүнийг хүрээлж буй орон зайд цахилгаан энерги ялгаруулдаг. соронзон орон.

Хэзээ хатуу гармоник өөрчлөлтцаг хугацааны векторууд ба цахилгаан соронзон долгионыг монохромат гэж нэрлэдэг.

Максвеллийн тэгшитгэлээс бид ба векторуудын долгионы тэгшитгэлийг олж авна .

Долгионы тэгшитгэл цахилгаан соронзон долгион

Курсын өмнөх хэсэгт дурдсанчлан ротор (ялзрах)болон зөрүү (див)- эдгээр нь гүйцэтгэсэн зарим ялгах үйлдлүүд юм тодорхой дүрэмвекторууд дээр. Доор бид тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийн хоёр талаас роторыг авъя

Энэ тохиолдолд бид математикийн хичээлээр батлагдсан томъёог ашиглана.

Дээр танилцуулсан Лаплациан хаана байна. Максвеллийн өөр тэгшитгэлийн улмаас баруун талын эхний гишүүн нь тэг байна:

Үүний үр дүнд бид:

илэрхийлье ялзрах Б Максвеллийн тэгшитгэлийг ашиглан цахилгаан орны дундуур:

мөн (2.93) -ийн баруун талд энэ илэрхийллийг ашиглана. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлд хүрнэ:

Холболтыг авч үзвэл

болон орох хугарлын индекс орчин

Цахилгаан орны хүч чадлын векторын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

(2.69) -тай харьцуулбал бид долгионы тэгшитгэлийг олж авсан гэдэгт итгэлтэй байна v- фазын хурдхүрээлэн буй орчинд гэрэл:

Максвеллийн тэгшитгэлийн хоёр талаас роторыг авах

Үүнтэй төстэй байдлаар бид соронзон орны долгионы тэгшитгэлд хүрнэ.

Үүссэн долгионы тэгшитгэл нь цахилгаан соронзон орон нь фазын хурд нь цахилгаан соронзон долгион хэлбэрээр оршин тогтнох боломжтой гэсэн үг юм.

Дунд ( at ) байхгүй үед цахилгаан соронзон долгионы хурд нь вакуум дахь гэрлийн хурдтай давхцдаг.

Цахилгаан соронзон долгионы үндсэн шинж чанарууд

Тэнхлэгийн дагуу тархаж буй хавтгай монохромат цахилгаан соронзон долгионыг авч үзье X:

Ийм шийдлүүд байх магадлал нь олж авсан долгионы тэгшитгэлээс гардаг. Гэсэн хэдий ч цахилгаан ба соронзон орны хүч нь бие биенээсээ хамааралгүй байдаг. Тэдгээрийн хоорондох холбоог (2.99) шийдлийг Максвелл тэгшитгэлд орлуулах замаар тогтоож болно. Дифференциал ажиллагаа ялзрах, зарим вектор талбарт ашигласан Атодорхойлогч гэж бэлгэдлээр бичиж болно:

Энд зөвхөн координатаас хамаарах илэрхийллүүдийг (2.99) орлуулна x, бид олдог:

Хавтгай долгионыг цаг хугацааны хувьд ялгах нь дараахь зүйлийг өгдөг.

Дараа нь Максвеллийн тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Эндээс нэгдүгээрт, цахилгаан ба соронзон орон нь үе шаттайгаар хэлбэлздэг.

Өөрөөр хэлбэл, мөн in изотроп орчин,

Дараа нь та сонгож болно координатын тэнхлэгүүдингэснээр вектор тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ цагт(Зураг 2.27) :

Цагаан будаа. 2.27. Хавтгай цахилгаан соронзон долгион дахь цахилгаан ба соронзон орны хэлбэлзэл

Энэ тохиолдолд (2.103) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Үүнээс үзэхэд вектор нь тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ z:

Өөрөөр хэлбэл, цахилгаан ба соронзон орны векторууд хоорондоо ортогональ, хоёулаа долгионы тархалтын чиглэлд ортогональ байна. Энэ баримтыг харгалзан тэгшитгэлийг (2.104) илүү хялбарчилсан болно.

Энэ нь долгионы вектор, давтамж, хурдны хоорондох ердийн харилцаанд хүргэдэг.

түүнчлэн талбайн хэлбэлзлийн далайцын хоорондох холбоо:

Холболт (2.107) нь зөвхөн хамаарахгүй гэдгийг анхаарна уу хамгийн их утгууддолгионы цахилгаан ба соронзон орны хүч чадлын векторуудын хэмжээ (далайц), гэхдээ одоогийнх нь хувьд - ямар ч үед.

Тиймээс Максвеллийн тэгшитгэлээс харахад цахилгаан соронзон долгион нь гэрлийн хурдаар вакуум орчинд тархдаг. Тухайн үед энэ дүгнэлт асар их сэтгэгдэл төрүүлсэн. Зөвхөн цахилгаан, соронзон биш гэдэг нь тодорхой болсон янз бүрийн илрэлүүдижил харилцан үйлчлэл. Бүх гэрлийн үзэгдэл болох оптик нь цахилгаан соронзон онолын сэдэв болсон. Хүний цахилгаан соронзон долгионы талаарх ойлголтын ялгаа нь тэдгээрийн давтамж эсвэл долгионы урттай холбоотой байдаг.

Цахилгаан соронзон долгионы хуваарь нь давтамжийн (болон долгионы урт) тасралтгүй дараалал юм. цахилгаан соронзон цацраг. Максвеллийн цахилгаан соронзон долгионы онол нь байгальд янз бүрийн чичиргээ (эх сурвалж) -аас үүссэн янз бүрийн урттай цахилгаан соронзон долгион байдгийг тогтоох боломжийг бидэнд олгодог. Цахилгаан соронзон долгион хэрхэн үүсдэгээс хамааран хэд хэдэн давтамжийн мужид (эсвэл долгионы урт) хуваагддаг.

Зураг дээр. Зураг 2.28-д цахилгаан соронзон долгионы масштабыг харуулав.

Цагаан будаа. 2.28. Цахилгаан соронзон долгионы хуваарь

Долгионы хэлбэлзэлтэй байгааг харж болно янз бүрийн төрөлбие биентэйгээ давхцдаг. Тиймээс ийм урттай долгионыг авч болно янз бүрийн аргаар. Тэд бүгд хэлбэлздэг цэнэгтэй хэсгүүдээс үүссэн цахилгаан соронзон долгион тул тэдгээрийн хооронд үндсэн ялгаа байхгүй.

Максвеллийн тэгшитгэл нь мөн гэсэн дүгнэлтэд хүргэдэг хөндлөн чанарвакуум дахь цахилгаан соронзон долгион (мөн изотроп орчинд): цахилгаан ба соронзон орны хүч чадлын векторууд нь хоорондоо болон долгионы тархалтын чиглэлд ортогональ байна.

Нэмэлт мэдээлэл

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Долгионы тэгшитгэл. Физик нэвтэрхий толь бичгийн материал.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html - Максвеллийн тэгшитгэл. Видео лекцүүд.

http://elementy.ru/trefil/24 - Максвеллийн тэгшитгэл. "Элементүүд"-ийн материал.

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Максвеллийн тэгшитгэлийн талаар маш товч.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Максвеллийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн физик утга.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Цахилгаан соронзон орны Максвеллийн тэгшитгэлийн талаар товчхон.

Цахилгаан соронзон долгионы доплер эффект

Заримыг нь оруул инерцийн системцаг тоолох TOХавтгай цахилгаан соронзон долгион тархдаг. Долгионы үе шат нь дараах хэлбэртэй байна.

Өөр инерцийн хүрээн дэх ажиглагч ТО", эхнийхтэй харьцуулахад хурдтай хөдөлж байна Втэнхлэгийн дагуу x, мөн энэ долгионыг ажигладаг боловч өөр өөр координат, цагийг ашигладаг: t",r".Лавлагаа системүүдийн хоорондын холболтыг Лоренцын хувиргалтаар тодорхойлно.

Эдгээр илэрхийллийг үе шатын илэрхийлэл болгон орлъё. үе шатыг авахын тулд Хөдөлгөөнт хүрээн дэх долгионууд:

Энэ илэрхийлэлийг дараах байдлаар бичиж болно

Хаана ба - хөдөлж буй лавлах хүрээтэй харьцуулахад цикл давтамж ба долгионы вектор. (2.110)-тай харьцуулбал давтамж ба долгионы векторын Лоренцын хувиргалтыг олно.

Вакуум дахь цахилгаан соронзон долгионы хувьд

Долгионы тархалтын чиглэлийг эхний лавлах систем дэх тэнхлэгтэй өнцөг үүсгэнэ X:

Дараа нь хөдөлж буй лавлах хүрээн дэх долгионы давтамжийн илэрхийлэл дараах хэлбэртэй байна.

Энэ л байна Цахилгаан соронзон долгионы Доплерийн томъёо.

Хэрэв , тэгвэл ажиглагч цацрагийн эх үүсвэрээс холдож, түүний мэдрэх долгионы давтамж буурна.

Хэрэв , тэгвэл ажиглагч эх үүсвэрт ойртож, түүний цацрагийн давтамж нэмэгдэнэ:

Хурдтай В<< с Бид хуваагч дахь квадрат язгуурын нэгдмэл байдлаас хазайхыг үл тоомсорлож, бид дууны долгион дахь Доплер эффектийн (2.85) томъёотой төстэй томъёонд хүрдэг.

Цахилгаан соронзон долгионы Доплер эффектийн чухал шинж чанарыг тэмдэглэе. Хөдөлгөөнт жишиг хүрээний хурд нь энд ажиглагч ба эх сурвалжийн харьцангуй хурдны үүрэг гүйцэтгэдэг. Үүссэн томъёонууд нь Эйнштейний харьцангуйн зарчмыг автоматаар хангадаг бөгөөд туршилтын тусламжтайгаар яг юу хөдөлж байгааг тогтоох боломжгүй юм - эх сурвалж эсвэл ажиглагч. Энэ нь цахилгаан соронзон долгионы хувьд дууны долгионы хувьд агаартай ижил үүрэг гүйцэтгэх орчин (эфир) байдаггүйтэй холбоотой юм.

Мөн цахилгаан соронзон долгионы хувьд бидэнд байгаа гэдгийг анхаарна уу хөндлөн Доплер эффект. Цацрагийн давтамж өөрчлөгдөх үед:

харин дууны долгионы хувьд долгионы тархалттай ортогональ чиглэлд хөдөлгөөн хийх нь давтамжийн шилжилтэд хүргэсэнгүй. Энэ нөлөө нь хөдөлж буй лавлах хүрээн дэх харьцангуй цаг хугацааны тэлэлттэй шууд холбоотой: пуужин дээрх ажиглагч цацрагийн давтамж нэмэгдэж байгааг хардаг. ерөнхий тохиолдол, Дэлхий дээр болж буй бүх үйл явцын хурдатгал.

Одоо долгионы фазын хурдыг олъё

хөдөлгөөнт лавлагааны хүрээнд. Долгионы векторын Лоренцын хувиргалтаас бид:

Энд харьцааг орлуулъя:

Бид авах:

Эндээс бид хөдөлж буй лавлах хүрээн дэх долгионы хурдыг олно.

Хөдөлгөөнт лавлах хүрээн дэх долгионы хурд өөрчлөгдөөгүй бөгөөд гэрлийн хурдтай тэнцүү хэвээр байгааг бид олж мэдсэн -тай. Гэхдээ вакуум дахь гэрлийн хурдны (цахилгаан соронзон долгион) өөрчлөгдөөгүй байдал нь харьцангуйн онолын үндсэн постулат нь Лоренцын хувиргалтуудад аль хэдийн "хавсарсан" тул зөв тооцоолол хийвэл энэ нь тохиолдохгүй гэдгийг анхаарна уу. Бид координат ба цагийг ашигласан (3.109).

Жишээ 1.Фотоны пуужин хурдтай хөдөлдөг V = 0.9 сек, оптик мужид (долгионы урт мкм). Сансрын нисгэгчдийн ажиглах цацрагийн долгионы уртыг олъё.

Долгионы урт нь чичиргээний давтамжтай урвуу пропорциональ байна. Гэрлийн эх үүсвэр болон ажиглагч руу ойртох тохиолдолд Доплер эффектийн (2.115) томъёоноос бид долгионы уртыг хувиргах хуулийг олно.

үүнээс дараах үр дүн гарна:

Зурагт заасны дагуу. 2.28 сансрын нисгэгчдийн хувьд одны цацраг хэт ягаан туяанд шилжсэн болохыг бид тогтоосон.

Цахилгаан соронзон орны энерги ба импульс

Эзлэхүүн энергийн нягтрал wцахилгаан соронзон долгион нь цахилгаан ба эзэлхүүний нягтаас бүрдэнэ соронзон орон.

Одоо энэ нь бага зэрэг математик хийх нь зүйтэй байх болно; Бид Максвеллийн тэгшитгэлийг илүү энгийн хэлбэрээр бичих болно. Та бид тэдгээрийг төвөгтэй болгож байна гэж бодож магадгүй, гэхдээ хэрэв та тэвчээртэй байвал тэд маш энгийн гэдгийг гэнэт олж мэдэх болно. Хэдийгээр та Максвеллийн тэгшитгэл бүрд нэлээд дассан ч эвлүүлэх шаардлагатай олон хэсгүүд байсаар байна. Энэ бол бидний хийх зүйл юм.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлээс эхэлцгээе. Энэ нь ямар нэг зүйлийн ротор байгааг илтгэж байгааг бид мэднэ. Тиймээс, хэрэв та бичсэн бол

тэгвэл та аль хэдийн Максвеллийн тэгшитгэлийн аль нэгийг шийдсэн гэж бодоорой. (Дашрамд хэлэхэд, энэ нь өөр векторын хувьд үнэн хэвээр байдгийг анхаарна уу , хаана нь ямар нэгэн скаляр талбар учир нь curl нь тэг бөгөөд ижил хэвээр байна. Бид энэ тухай өмнө нь ярьж байсан.)

Одоо Фарадейгийн хуулийг харцгаая , учир нь ямар ч гүйдэл, цэнэг агуулаагүй. Хэрэв бид гэж бичиж, -ийг харгалзан ялгах юм бол бид Фарадейгийн хуулийг хэлбэрээр дахин бичиж болно.

.

Бид эхлээд цаг хугацаагаар эсвэл координатаар ялгаж чаддаг тул энэ тэгшитгэлийг мөн хэлбэрээр бичиж болно

. (18.17)

Энэ нь буржгар нь тэгтэй вектор болохыг бид харж байна. Тиймээс ийм вектор нь ямар нэг зүйлийн градиент юм. Биднийг электростатик хийж байх үед , дараа нь бид үүнийг ямар нэг зүйлийн градиент гэж шийдсэн. Энэ нь градиент (техникийн тав тухтай байдлыг хангах үүднээс хасах) байг. Бид ижил зүйлийг хийх болно; бид итгэдэг

. (18.18)

Бид ижил тэмдэглэгээг ашигладаг тул цаг хугацааны явцад юу ч өөрчлөгддөггүй, алга болдог цахилгаан статик тохиолдолд бидний хуучин тэмдэглэгээ байх болно. Тиймээс Фарадейгийн хуулийг хэлбэрээр илэрхийлж болно

. (18.19)

Бид Максвеллийн хоёр тэгшитгэлийг аль хэдийн шийдсэн бөгөөд цахилгаан соронзон орныг дүрслэхийн тулд скаляр потенциал ба вектор потенциал гэсэн дөрвөн боломжит функц хэрэгтэйг олж мэдсэн бөгөөд энэ нь мэдээж гурван функцийг илэрхийлдэг.

Тэгэхээр, яг адил хэсгийг тодорхойлдог. Бид солих үед юу болох вэ? Ер нь тусгай арга хэмжээ авахгүй бол өөрчлөх ёстой байсан. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид дүрмийн дагуу үргэлж өөрчлөгддөг бол энэ нь талбарт нөлөөлөхгүй (өөрөөр хэлбэл физикийг өөрчлөхгүйгээр) өөрчлөгддөг гэж бид үзэж болно.

. (18.20)

Дараа нь (18.19) тэгшитгэлээс олж авсан , эсвэл аль нь ч өөрчлөгдөхгүй.

Өмнө нь бид статик тэгшитгэлийг ямар нэгэн байдлаар хялбарчлахыг сонгосон. Одоо бид үүнийг хийхгүй; Бид өөр сонголт хийхийг хүсч байна. Гэхдээ энэ нь ямар сонголт болохыг хэлэхээсээ өмнө түр хүлээнэ үү, учир нь дараа нь яагаад ийм сонголт хийсэн нь тодорхой болно.

Одоо бид потенциал, эх үүсвэр болон . Бид гүйдэл ба цэнэгийн аль алиныг нь тодорхойлох боломжтой тул (18.16) ба (18.19) тэгшитгэлээс бид үргэлж олж авах боломжтой бөгөөд бид Максвеллийн тэгшитгэлийн өөр хэлбэртэй байх болно.

(18.19) тэгшитгэлийг -д орлуулж эхэлцгээе; бид авдаг

;

Үүнийг мөн хэлбэрээр бичиж болно

. (18.21)

Энэ бол эх сурвалжтай холбосон анхны тэгшитгэл юм.

Бидний сүүлчийн тэгшитгэл хамгийн хэцүү байх болно. Бид Максвеллийн дөрөв дэх тэгшитгэлийг дахин бичиж эхлэх болно.

,

Дараа нь (18.16) ба (18.19) тэгшитгэлийг ашиглан потенциалаар илэрхийлнэ:

.

Эхний нэр томъёог алгебрийн таних тэмдэг ашиглан дахин бичиж болно; бид авдаг

. (18.22)

Энэ нь тийм ч энгийн биш юм!

Аз болоход, бид одоо эрх чөлөөгөө дур зоргоороо ялгаварлан гадуурхах сонголт хийх боломжтой болсон. Одоо бид сонголт хийх бөгөөд ингэснээр төлөө болон төлөө гэсэн тэгшитгэлүүд тусгаарлагдсан боловч ижил хэлбэртэй байна. Бид үүнийг сонгох замаар хийж чадна

. (18.23)

Үүнийг хийснээр (18.22) тэгшитгэлийн хоёр ба гурав дахь гишүүнчлэл хүчингүй болж, энэ нь илүү хялбар болно.

. (18.24)

Мөн бидний тэгшитгэл (18.21) ижил хэлбэртэй байна:

. (18.25)

Ямар сайхан тэгшитгэлүүд вэ! Тэд маш сайн, юуны түрүүнд тэдгээр нь сайн тусгаарлагдсан байдаг - цэнэгийн нягтрал нь , гүйдэл нь . Дараа нь, зүүн тал нь бага зэрэг инээдтэй харагдаж байгаа ч гэсэн - Лаплациантай хамт бид үүнийг нээхэд бид олдог.

. (18.26)

Энэ тэгшитгэл нь , , , -д сайхан тэгш хэмтэй байна; энд мэдээжийн хэрэг шаардлагатай, учир нь цаг хугацаа, координат өөр өөр байдаг; Тэд өөр өөр нэгжтэй.

Максвеллийн тэгшитгэлүүд нь биднийг ба потенциалын тэгшитгэлийн шинэ төрөлд хөтөлсөн боловч , болон гэсэн дөрвөн функцийн хувьд ижил математик хэлбэртэй байв. Бид эдгээр тэгшитгэлийг шийдэж сурсан болохоор болон -аас хоёуланг нь олж авах боломжтой. Бид Максвеллийн тэгшитгэлтэй яг дүйцэх цахилгаан соронзон хуулиудын өөр хэлбэрт хүрнэ; ихэнх тохиолдолд тэдгээрийг зохицуулахад илүү хялбар байдаг. Тэгээд

Максвеллийн тэгшитгэлүүд нь цэнэгийн хадгалалтын хуулийг илэрхийлсэн тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийг агуулдаг. 3. Тайлангийн бүх инерцийн системд Максвеллийн тэгшитгэл биелэгдэнэ. 4. Максвеллийн тэгшитгэлүүд тэгш хэмтэй байна.

6.3.4. Цахилгаан соронзон долгион

Максвеллийн тэгшитгэлээс харахад цахилгаан соронзон орон нь бие даан оршин тогтнох чадвартай байдаг цахилгаан цэнэгба гүйдэл. Өөрчлөгдөж буй цахилгаан соронзон орон нь долгионы шинж чанартай бөгөөд гэрлийн хурдаар цахилгаан соронзон долгион хэлбэрээр вакуум орчинд тархдаг.

Цахилгаан соронзон долгион байгаа нь Максвеллийн тэгшитгэлээс үүдэлтэй бөгөөд үүнийг вектор ба долгионы тэгшитгэлээр тайлбарладаг. тус тус:

, (5.19)

Соронзон орны цаг хугацааны өөрчлөлт нь хувьсах цахилгаан орныг өдөөдөг ба эсрэгээр цахилгаан орны цаг хугацааны өөрчлөлт нь хувьсах соронзон орныг өдөөдөг. Хувьсах соронзон орны нөлөөгөөр өдөөгдсөн цахилгаан талбайн эргүүлэг , вектор бүхий хэлбэрүүд зүүн гар систем (Зураг 7.2), цахилгаан талбайн өдөөгдсөн эргүүлэг соронзон орон. , вектор бүхий хэлбэрүүд баруун гар талын шураг систем (Зураг 5.2).

Тэдний тасралтгүй харилцан хөрвүүлэлт үүсдэг бөгөөд энэ нь боломжтой болгодог

цэнэг, гүйдэл байхгүй үед орон зай, цаг хугацаанд оршин тогтнох ба тархах.

Тиймээс Максвеллийн онол нь цахилгаан соронзон долгион оршин тогтнохыг урьдчилан таамаглаад зогсохгүй тэдгээрийн хамгийн чухал шинж чанаруудыг тогтоожээ.

Төвийг сахисан дамжуулагчгүй ба төмөр соронзон бус орчинд цахилгаан соронзон долгионы тархалтын хурд

(5.20)

Энд c нь вакуум дахь гэрлийн хурд юм.

Цагаан будаа. 5.3 Зураг. 5.4

холболт байдаг, тухайлбал: E = vB эсвэл
. (5.21)

Цахилгаан соронзон долгион байгаа нь Максвеллд гэрлийн долгионы шинж чанарыг тайлбарлах боломжийг олгосон. Гэрэл бол цахилгаан соронзон долгион юм.

6.3.5. Цахилгаан соронзон орны энергийн урсгал

Цахилгаан соронзон долгион нь орон зай, цаг хугацаагаар тархахдаа эрчим хүчийг өөртөө авч явдаг. Энэ нь харилцан хувирдаг цахилгаан ба соронзон орон дотор агуулагддаг.

Эзлэхүүний цахилгаан талбайн энергийн нягт

, (5.22)

Энд E нь цахилгаан орны хүч юм.

Эзлэхүүн соронзон орны энергийн нягт

, (5.23)

Энд B нь соронзон орны индукц.

Үүний үр дүнд цахилгаан соронзон долгион нь цаг хугацааны дурын агшинд байрлах орон зайн бүс дэх цахилгаан соронзон орны эзэлхүүний энергийн нягт,

В= w e + w m =
. (5.24)

Эсвэл E = cB ба гэдгийг харгалзан үзвэл
, бидэнд байна

w =  o E 2 , (5.25)

эсвэл
. (5.26)

Нэгж талбайд нэгж хугацаанд цахилгаан соронзон долгионы дамжуулж буй энергийг цахилгаан соронзон энергийн урсгалын нягт гэж нэрлэдэг. Цахилгаан соронзон энергийн урсгалын нягтын векторыг Пойнтинг вектор гэж нэрлэдэг.

Пойнтинг вектор чиглэл цахилгаан соронзон долгионы тархалтын чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл энерги дамжуулах чиглэлтэй давхцдаг. Эрчим хүчний дамжуулалтын хурд нь энэ долгионы фазын хурдтай тэнцүү байна.

Хэрэв цахилгаан соронзон долгион тархахдаа түүний тархалтын чиглэлд перпендикуляр, жишээлбэл, X тэнхлэгийн дагуу тодорхой S талбайг дайран өнгөрвөл тодорхой хугацааны дараа dt долгион нь dx = cdt зайг туулах болно. c нь долгионы тархалтын хурд юм.

Цахилгаан соронзон долгионы эзэлхүүний энергийн нягтаас хойш

дараа нь эзлэхүүнд агуулагдах цахилгаан соронзон долгионы нийт энерги dW

dW = wdV =  o E 2 cdtS.

(5.27)

. (5.28)

Үүний үр дүнд dt хугацаанд S талбайгаар дамжин өнгөрөх цахилгаан соронзон энергийн урсгалын нягт Пойнтинг вектор перпендикуляр байдаг цахилгаан соронзон долгионы тархалтын хурдтай чиглэлтэй давхцдаг Тэгээд

. (5.29)

, өөрөөр хэлбэл

Сонгодог электродинамикийн үндсэн тэгшитгэлүүд (Максвелийн тэгшитгэлийн систем) нь нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэгшитгэлүүд бөгөөд физик, радиофизик, электроникийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгшитгэлийг физикийн ерөнхий хуулиас олж аваагүй бөгөөд энэ нь тэдгээрийг туйлын үнэн зөв гэж үзэх боломжийг олгодоггүй бөгөөд тэдэнтэй янз бүрийн заль мэх хийхийг зөвшөөрдөггүй байв. Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгшитгэлүүд нь яг нарийн бөгөөд физикийн ерөнхий зарчим, вектор алгебрийн үндэснээс гаралтай. 1. Хуулийн дүгнэлтцахилгаан соронзон индукц

Фарадей

Фарадейгийн цахилгаан соронзон индукцийн хуулийг цэгийн цахилгаан цэнэг дээр ажилладаг цахилгаан соронзон хүчний тэгшитгэлээс олж авч болно.

Энэ нөхцөл байдал нь өндөр давтамжийн цахилгаан гүйдэл бүхий дамжуулагчийн хувьд анхдагч цахилгаан талбайгаас электронд үйлчлэх хүч маш хурдан өөрчлөгдөж, электронуудын инерцийн хүчээр эсрэг фазын үед үүсдэг.

Тэнцвэрийн цэнэгийг (2) багасгаж, энэ тэгш байдлын хоёр талд "ротор" үйлдлийг хэрэгжүүлье. Жишээлбэл, тэнхлэгийг үзье z Б тэнхлэгийн векторын чиглэлтэй давхцаж байна , тэгвэл радиус вектор дараах байдлаар харагдах болно. r =xби j +y =x , Хаана j – координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлд нэгж векторууд x, Хаана y, тус тус. Радиал вектор , тэгвэл радиус вектор дараах байдлаар харагдах болно. тэнхлэгийн дагуу гуравдагч бүрэлдэхүүн хэсэг байхгүй Жишээлбэл, тэнхлэгийг үзье, тиймээс (3) дахь хоёр дахь гишүүн нь –2(∂)-тэй тэнцүү байна Б /∂t). (3) тэгшитгэлийн эхний гишүүн нь ∂-тэй тэнцүү байна Б /∂т. Үүний үр дүнд сүүлчийн тэгш байдлын баруун талыг хувиргасны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Өөрөөр хэлбэл, цахилгаан соронзон хүчний тэгшитгэлээс (1) соронзон орны электронд үйлчилж буй хүч нь цахилгаан талбайн хүчээр бүрэн тэнцвэржсэн тохиолдолд Фарадейгийн цахилгаан соронзон индукцийн хууль (4) үндсэн заалтуудын нэг болно. электродинамикийн тэгшитгэл.

(2) – (4) тэгшитгэл нь орон зайн өгөгдсөн цэгт электрон байгаа эсэхээс хамаарахгүй. Цахилгаан ба соронзон орны цахилгаан цэнэгээс бие даасан байдлын үр дүнд тэгшитгэл (4) нь нэг цахилгаан соронзон орон хэлбэрээр илэрхийлэгдэх хувьсах талбайн орон зайн цаг хугацааны шинж чанарыг тусгасан болно. Түүнчлэн Фарадейгийн хууль (4) нь цахилгаан соронзон индукцийн хуулийг илэрхийлээд зогсохгүй цахилгаан соронзон орны салшгүй шинж чанар болох цахилгаан ба соронзон орны харилцан хувирлын үндсэн хууль юм.

2. Максвеллийн тэгшитгэлийн гарал үүсэл

Максвеллийн тэгшитгэлийг гаргахын өмнө вектор алгебрийг өөр вектор оператороор нэмэх шаардлагатай.

2.1. Дифференциал вектор оператор “ротор”-ын вектор хувиргалтын урвуу үйлдлийг гүйцэтгэх вектор операторын тодорхойлолт.

Дифференциал вектор оператор "ротор" нь орон зайд векторуудыг хувиргах, ялгах үйлдлийг гүйцэтгэдэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь хоёр төрлийн үйлдлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэдэг нарийн төвөгтэй оператор юм. Энэ нь түүний тодорхойлолтоос шууд гардаг:

,

Хаана А - вектор, =x , j , к – тэгш өнцөгт (декарт) координатын системийн тэнхлэгүүдийн чиглэл дэх нэгж векторууд x, y, Хаана Жишээлбэл, тэнхлэгийг үзье, тус тус. Энэ тохиолдолд "ротор" операторын урвуу операторыг векторын шинжилгээнд тодорхойлдоггүй, гэхдээ түүний хийж буй хувиргалт бүр нь зарчмын хувьд буцаах боломжтой байдаг.

Геометрийн вектор орон зайн хувиргалт дүрслэл А вектор руу ялзрах( а) "Ротор" операторын гүйцэтгэсэн хийг Зураг дээр үзүүлэв. 1.

Цагаан будаа. 1. Векторын геометрийн дүрслэл А ба “ротор” операторын үүсгэсэн вектор талбар.

2.2. Тодорхойлолт 1. Хэрэв харилцан хамааралтай хоёр вектор талбарыг вектороор илэрхийлнэ А , Хаана б , орон зайн хувьсагчтай холбоотой деривативтай байна x, y, Жишээлбэл, тэнхлэгийг үзье(зэрэг ялзрах а Тэгээд ялзрах б ) ба цаг хугацааны дериватив, ¶ А /¶ тМөн ¶ б /¶ т, ба векторын дериватив А векторын орон зайн хувьсагчдын хувьд деривативт цаг хугацааны хувьд ортогональ байна б , мөн эсрэгээр, векторын цаг хугацааны дериватив б векторын орон зайн хувьсагчийн хувьд деривативт ортогональ А , тэгвэл ялгах үйл ажиллагаанд нөлөөлөхгүйгээр векторын талбайн орон зайн хувиргалтыг гүйцэтгэдэг вектор оператор байдаг бөгөөд үүнийг бид уламжлалт байдлаар оператор гэж нэрлэх болно " буцаах", (эсрэгээр нь мушгирсан эсвэл "эргэдэг ротор") дараах байдлаар:

, Хаана ; (5)

, Хаана . (5*)

2.3. "Урвах" вектор операторын шинж чанарууд ротор"

2.3.1. "Урвагдах ротор" вектор оператор нь зөвхөн векторын дериватив дээр ажилладаг.

2.3.2. Вектор оператор "буцах ротор" нь ажиллаж байгаа векторын деривативын өмнө байрладаг.

2.3.3. Вектор деривативын тогтмол ба тоон коэффициентийг вектор операторын хамрах хүрээнээс гадуур зөөж болно.

Хаана в- тогтмол.

2.3.4. "Урвагдах ротор" вектор оператор нь вектор деривативын нийлбэрийг агуулсан тэгшитгэлийн нөхцөл бүр дээр ажилладаг.

Хаана в, Хаана г- тогтмолууд.

2.3.5. "Урвах ротор" вектор операторын тэг дээр хийсэн үйлдлийн үр дүн тэг болно.

Энэ тохиолдолд 2.3.1-д заасны дагуу вектор операторын "буцах ротор" -ын бусад тогтмолууд, түүний дотор векторын үйл ажиллагааны үр дүн тодорхойлогдоогүй болно.

2.4. "Урвах ротор" операторыг ашиглах жишээ

Өөр хоорондоо холбогдсон векторуудыг агуулсан тэгшитгэлд "буцах ротор" операторыг ашиглая а , Хаана б :

Хэрэв бид "буцах ротор" операторыг шинээр үүссэн тэгшитгэлд (**) дахин ашиглавал бид дараахийг олж авна:

эсвэл

, эсвэл эцэст нь:

Урвуу роторын операторын дараалсан давхар (эсвэл тэгш) хэрэглээ нь анхны тэгш байдлыг бий болгодог. Үүний үр дүнд "буцах ротор" вектор оператор нь хоорондоо холбогдсон вектор талбайн дифференциал тэгшитгэлийг харилцан хувиргахаас гадна эдгээр тэгшитгэлүүдийн эквивалентыг тогтоодог.

Геометрийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна. "Ротор" оператор нь шулуун вектор талбарыг ялгаж, мушгиж, түүнийг анхны вектор талбар руу эргүүлж, ортогональ болгодог. "Урвах ротор" вектор оператор нь вектор хувиргалтыг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь "ротор" операторын эрчилсэн эргүүлэг талбарыг задалж, векторын деривативаар илэрхийлэгдэх эргүүлэггүй талбар болгон хувиргадаг. цаг. Интеграл хийгдээгүй тул цаг хугацааны хувьд векторын дериватив нь векторын хэмжээний өөрчлөлттэй тохирч байна. Үүний үр дүнд бид векторын өөрчлөлттэй болсон бөгөөд түүний хэмжээ нь "ротор" операторын орон зайн хувьсагчдад ортогональ нэг чиглэлд өөрчлөгддөг. Эсрэгээр, "буцах ротор" вектор оператор нь векторын цаг хугацааны деривативаар илэрхийлэгдсэн эргүүлэг өөрчлөгддөггүй вектор талбарыг эргүүлж, векторын анхны цаг хугацааны дериватив руу ортогональ ороомог орон зайн вектор талбар болгон хувиргадаг. "Эргэх ротор"-ын операторын эргэлтийн чиглэл нь "ротор"-ын эргүүлэх чиглэлийн эсрэг байдаг тул шинээр үүссэн эргэлтийн талбайн тэмдгийг эсрэгээр (сөрөг) сонгосон. Өөрөөр хэлбэл, "буцах ротор" вектор оператор нь дериватив векторын талбайн бүх "орон зай" дээр "ротор" операторын орон зайн хувиргалтын урвуу үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үүний зэрэгцээ "буцах ротор" вектор оператор нь дериватив дээр ажиллаж байгаа векторыг өөрөө ялгадаггүй. Үүний үр дүнд ижил урвуу вектор хувиргалт үүсдэг.

Хэрэв бид векторын шинжилгээнд векторын деривативыг биш харин векторын ротороос векторыг өөрөө сэргээдэг интеграл вектор операторыг оруулбал (ийм операторыг урвуу ротор гэж нэрлэе, эсвэл " ялзрах-1 "), тэгвэл ийм оператор урвуу вектор хувиргалттай хамт интеграцийн үйлдлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэх ёстой.

Гэсэн хэдий ч интеграцийн математик үйлдлийн хоёрдмол байдлаас шалтгаалан оператор нь "ротор"-оос бүрэн урвуу байна. ялзрах-1 нь өвөрмөц урвуу вектор хувиргалт хийдэггүй.

2.5. "Урвах" вектор операторын хэрэглээ ротор"-ыг физик талбарт

Физик векторын талбарт "буцах боломжтой ротор" вектор операторыг хэрэглэхдээ хувьсагчийн орлуулалтаас болж тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талын хэмжээсийн өөрчлөлтийг харгалзан үзэх шаардлагатай. x, y, Жишээлбэл, тэнхлэгийг үзье, Хаана тхөрвүүлэх үед. Координатын хэмжээсийг тэмдэглэе - метр ( Л), цаг хугацаа хоёр дахь ( Т).

Тодорхойлолт 2. Физик вектор талбаруудын хувьд "буцах ротор" вектор операторыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Тэгээд ;

(6)

, Хаана . (6*)

Хэмжээст харьцааг илэрхийлдэг L/T, тогтмол байдлаар vхурдны хэмжигдэхүүнтэй [м/с] тэгшитгэлийг (6.4) ба (6.4*) дараах байдлаар илэрхийлж болно.

, Хаана ;

(7)

, Хаана .

(7*)

2.6. "Урвагдах ротор" операторыг физик талбарт ашиглах

Бодит физик талбаруудыг холбосон (7), (7*) тэгшитгэлээр тодорхойлсон "буцах ротор" вектор операторыг тэгшитгэл (4)-д хэрэглэцгээе. Э , Хаана Б электродинамикийн хувьд:

;

, энэ нь дараах хэлбэрт хувирна:

Электродинамик тогтмол " v» нь талбайн хэмжээ, тэдгээрийн өөрчлөлтийн хурдаас хамаарахгүй бөгөөд долгионы тэгшитгэлээс харахад долгионы тархалтын хурдтай тохирч байна. цахилгаан соронзон харилцан үйлчлэл, в" 2.99792458H 10 8 м/с бөгөөд үүнийг вакуум дахь гэрлийн хурд гэж бас нэрлэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, Фарадейгийн цахилгаан соронзон индукцийн хууль болох (4) тэгшитгэлээс "буцах ротор" векторын хувиргалтын тусламжтайгаар электродинамикийн үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэг болох Максвеллийн тэгшитгэл (8) дагах нь ойлгомжтой. туршилтаас эсвэл мэдэгдэж буй физик хуулиас . (4) ба (8) тэгшитгэлүүд нь хоорондоо уялдаатай, вектор хувиргалтыг ашиглан бие бие рүүгээ хувиргах боломжтой бөгөөд энэ нь тэдгээрийн физик эквиваленттай тохирч байна. Иймд эдгээр тэгшитгэлийн аль нэгнийх нь үнэн зөвийг хэлбэрээр тогтоосон физик хууль(В энэ тохиолдолд- энэ бол Фарадейгийн цахилгаан соронзон индукцийн хууль (4) юм хангалттай нөхцөл 2-р тэгшитгэлийн (Максвелийн тэгшитгэл (8)) үнэн зөвийг эквивалент физик хууль гэж батлах.

2.7. Вектор талбаруудын хувиргалт

Хэрэв бид "ротор" операторын тодорхойлолтоос үзвэл "урвуу ротор" векторын операторын үйлдлийг Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэрээр дүрсэлж болно. 2-т векторын талбаруудын тодорхой байдал нь дифференциал вектор оператор "ротор"-оор вектор хувиргахаас өмнө болон дараа нь тооцогдоно.

Энэ таамаглалыг шалгацгаая. Тэгшитгэлд "буцах ротор" операторыг ашиглая.

, үүнээс дараах нь:

Үүссэн тэгш байдал нь дифференциал вектор оператор "ротор"-ын анхны тодорхойлолт дахь векторуудын чиглэлийг өөрчилдөг бөгөөд энэ нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй юм.

Тийм ч учраас .

Ижил вектор талбарын деривативт "буцах ротор" вектор операторыг хэрэглэх нь хэрэглэхээс өмнөх вектор талбар ба "ротор" операторыг хэрэглэсний дараа векторын талбар хоорондын үндсэн ялгааг харуулж байна. Энэ нь вектор талбарыг төлөөлөх шаардлагатай гэсэн үг юм А ба вектор талбар ялзрах( А) бие биедээ хувирч болох боловч ялгаатай вектор талбарууд.

Вектороор дүрслэгдсэн анхны вектор талбар А , бид анхдагч (шалтгаан) авч үзэх бөгөөд "ротор" операторын вектор хувиргалтаас үүссэн талбарыг хоёрдогч талбар ("ротор" операторын үйл ажиллагааны үр дагавар) гэж үзэж, үүнийг талбар гэж тэмдэглэнэ. векторууд б .

Цагаан будаа. 2. “Ротор” векторын хувиргалтаас өмнөх ба дараах векторын талбаруудыг тодорхойлсон үр дүн. Талбайн чиглэл нь Зураг дээр үзүүлсэн "ротор" операторын анхны тодорхойлолттой тохирохгүй байна. 1, "баруун шураг" нь "зүүн шураг" болж хувирдаг.

Дараа нь урвуу хувиргалтИйм байдлаар оруулсан тэмдэглэгээнд ялгах үйл ажиллагаанд нөлөөлөхгүй вектор талбарууд нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 3.

Цагаан будаа. 3. Вектор хувиргалтын тодорхойлолт, урвуу ажиллагааялгах үйл ажиллагаанд нөлөөлөхгүй "ротор". Векторын талбарыг хуваах нь шалтгаан-үр дагаврын харилцааны үндсэн дээр явагддаг. Анхны талбарыг вектороор илэрхийлнэ А (шалтгаан) ба “ротор” үйлдлээр үүсгэгдсэн талбарыг вектороор илэрхийлнэ б (үр дагавар).

Электродинамикийн хувьд хамгийн энгийн тохиолдлуудад эргэлт алга болдог эргэлдэх лавлах хүрээ рүү шилжих нь соронзон орны хүч байхгүй болоход хүргэдэг бөгөөд хүчний үйлдлийг зөвхөн цахилгаан талбайн хүчээр төлөөлж болно. Гэхдээ энэ нь ямар ч байдлаар соронзон орон байхгүй эсвэл түүнийг үргэлж цахилгаан оронгоор сольж болно гэсэн дүгнэлтэд хүргэхгүй. Онцгой тохиолдолвектор талбарыг тусад нь авсан тусгаарлагдсан системлавлагаа нь зөвхөн цахилгаан цэнэгийн хөдөлгөөн нь эрх чөлөөний хэмжээгээр хязгаарлагддаг энэхүү сонгосон системд хамаарна.

Шулуун векторын талбар ба эргэлдэх хаалттай вектор талбарууд хоёулаа огторгуйд оршдог бөгөөд нэгэн зэрэг хоёр лавлагааны системд байх боломжгүй тул ерөнхий тохиолдолд координатын системийг сонгох замаар нэг талбарыг нөгөө рүү багасгах боломжгүй юм. Эдгээр талбаруудын зөвхөн нэг эх үүсвэр байдаг - цахилгаан цэнэгүүд. Цахилгаан цэнэг нь эргэн тойронд цахилгаан орон (бүх чиглэлтэй вектор талбар) үүсгэдэг бөгөөд цахилгаан цэнэгийн хөдөлгөөн нь соронзон орон (хаалттай дугуй вектор талбар) үүсгэдэг. Үүний зэрэгцээ, мэдээжийн хэрэг шулуун хөдөлгөөнцахилгаан цэнэгүүд нь тэдгээрийн эргэн тойронд дугуй соронзон орон үүсгэдэг ба Тойрог эргэлтцахилгаан цэнэг (мөн цахилгаан цэнэгтэй бөөмсийн эргэн тойронд эргэлт өөрийн тэнхлэг) нь эргэлтийн радиусаар хязгаарлагдсан эзэлхүүнд агуулагдах орон зайд шулуун шугаман соронзон орон үүсгэдэг.

2.8. Цахилгаан соронзон харилцан үйлчлэлийн тархалтын хурд

Вектор талбаруудыг бие биедээ хувиргах хурд нь талбайн хэмжээ эсвэл тэдгээрийн өөрчлөлтийн хурдаас хамаардаггүй бөгөөд долгионы тэгшитгэлээс харахад чөлөөт орон зайд цахилгаан соронзон харилцан үйлчлэлийн долгионы тархалтын хурдтай тохирч байна. (вакуум), в" 2.99792458Х 10 8 м/с байх ба энэ утгыг электродинамик тогтмол гэж нэрлэх нь зөв.

Тиймээс цахилгаан ба соронзон орны өөрчлөлтийг онд хийсэн гурван хэмжээст орон зай, векторуудыг харилцан хувиргах шинж чанартай бөгөөд электродинамик дахь энэ шинж чанар нь Фарадейгийн цахилгаан соронзон индукцийн хуулиар хэрэгждэг. Хэрэв бид ийм хувиргалтыг шууд гэж үзвэл вектор талбайн урвуу хувиргалтыг Максвеллийн зөн совингоор олж авсан тэгшитгэлийг ашиглан гүйцэтгэдэг бөгөөд үүнийг "буцах боломжтой ротор" вектор оператор ашиглан олж авах боломжтой. Цахилгаан цэнэгийн эх үүсвэргүйгээр хийгддэг цахилгаан ба соронзон орны харилцан хувиргалт нь дараахь үйлдлүүдийн нэг юм. тусгай төрөлдолгионы хөдөлгөөн - цахилгаан соронзон энергийг чөлөөт орон зайд дамжуулдаг хөндлөн цахилгаан соронзон долгион үнэмлэхүй хурдталбайн хөрвүүлэлтүүд. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн цахилгаан соронзон долгионы энергийн эх үүсвэр нь үргэлж хурдацтай хөдөлж буй цахилгаан цэнэгүүд юм.

3. Цахилгаан соронзон орны эх үүсвэрийн тэгшитгэл.

Максвеллийн тэгшитгэлийн системийн дөрвөн үндсэн тэгшитгэлийн үлдсэн хоёр нь зөвхөн цахилгаан орон үүсгэдэг цахилгаан цэнэг байдгийг нотолж байна (Гауссын теорем нь Кулоны хуулиас шууд гардаг):

мөн байгальд соронзон цэнэг байхгүй байгаа нь:

Уран зохиол

1. Сокол-Кутиловский О.Л. Таталцал ба цахилгаан соронзон хүч. Екатеринбург, 2005 он.
2. Сокол-Кутиловский О.Л. Оросын физик. Екатеринбург, 2006 он.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Техникийн коллежийн инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага (Г. Гроше, В. Зиглер нарын найруулсан), М., "Шинжлэх ухаан", 1980.

Сокол-Кутиловский О.Л., Электродинамикийн үндсэн тэгшитгэлийн гарал үүсэл // "Тринитаризмын академи", М., Эл No 77-6567, 13648, 08/11/2006

Дифференциал тэгшитгэлийн бүлэг. Дифференциал тэгшитгэлТалбайн вектор тус бүрийг тус тусад нь хангах ёстой , үлдсэн векторуудыг хассанаар олж авч болно. агуулаагүй талбайн талбайн хувьд үнэгүй төлбөрба гүйдэл ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), $\overrightarrow(B)$ ба $\overrightarrow(E)$ векторуудын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

(1) ба (2) тэгшитгэлүүд нь долгионы хөдөлгөөний энгийн тэгшитгэл бөгөөд үүнийг илэрхийлнэ гэрлийн долгионорчинд дараахтай тэнцүү хурдаар ($v$) тараана.

Тайлбар 1

Цахилгаан соронзон долгионы хурдны тухай ойлголт нь зөвхөн долгионтой холбоотой тодорхой утгатай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй энгийн төрөл, жишээ нь хавтгай. $v$ хурд нь тухайн тохиолдолд долгионы тархалтын хурд биш юм дур зоргоороо шийдвэртэгшитгэл (1) ба (2), учир нь эдгээр тэгшитгэлүүд нь байнгын долгион хэлбэрээр шийдлийг хүлээн зөвшөөрдөг.

Хэзээ ч долгионы онолгэрэл нь энгийн процесс гэж тооцогддог гармоник долгионорон зай, цаг хугацаанд. Хэрэв энэ долгионы давтамж $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1) интервалд байвал. ) (c)$, ийм долгион нь хүний ​​тодорхой өнгөний физиологийн мэдрэмжийг үүсгэдэг.

Учир нь ил тод бодисуудДиэлектрик тогтмол $\varepsilon $ нь ихэвчлэн нэгдлээс их байдаг, $\mu $ орчны соронзон нэвчилт нь нэгдмэл байдалтай бараг тэнцүү байдаг тул (3) тэгшитгэлийн дагуу $v$ хурд нь түүнээс бага байна. вакуум дахь гэрлийн хурд. Эрдэмтэд усанд гэрлийн тархалтыг анх удаа туршилтаар харуулсан Фуко, Хаана Физо.

Ихэвчлэн хурдны утгыг ($v$) бус харин тэдний ашигладаг $\frac(v)(c)$ харьцааг тодорхойлдог. хугарлын хууль . Энэ хуулийн дагуу хоёрыг заагласан хавтгайн хил дээр хавтгай цахилгаан соронзон долгион унах үед нэгэн төрлийн хэвлэл мэдээллийн хэрэгсэл, $(\theta )_1$ өнцгийн синусын хугарлын өнцгийн синусын $(\theta )_2$ харьцаа (Зураг 1) тогтмол бөгөөд долгионы хурдуудын харьцаатай тэнцүү байна. хоёр зөөвөрлөгчөөр тархах ($v_1\ ба (\v)_2$):

(4) илэрхийллийн тогтмол харьцааны утгыг ихэвчлэн $n_(12)$ гэж тэмдэглэдэг. Тэд $n_(12)$ нь эхний орчноос хоёрдугаарт шилжих үед долгионы фронт (долгион) мэдэрдэг эхнийхтэй харьцуулахад хоёр дахь бодисын хугарлын илтгэгч юм.

Зураг 1.

Тодорхойлолт 1

Үнэмлэхүй хугарлын илтгэгч$n$ орчны (энгийн хугарлын илтгэгч) нь вакуумтай харьцуулахад бодисын хугарлын илтгэгч юм.

Байгаа бодис илүү өндөр хувьхугарал нь оптикийн хувьд илүү нягт байдаг. Харьцангуй үзүүлэлтхоёр бодисын хугарал ($n_(12)$) нь тэдгээрийн үнэмлэхүй утгаар($n_1,n_2$) дуртай:

Максвеллийн томъёо

Тодорхойлолт 2

Максвелл орчны хугарлын илтгэгч нь түүний диэлектрик ба соронзон шинж чанар. Хэрэв бид (3) тэгшитгэлээс гэрлийн тархалтын хурдыг илэрхийлсэн томъёог (5) томъёонд орлвол бид дараахь зүйлийг авна.

\ \

Илэрхийлэл (7) гэж нэрлэгддэг Максвеллийн томъёо. Оптикт тооцогддог ихэнх соронзон бус тунгалаг бодисын хувьд бодисын соронзон нэвчилтийг ойролцоогоор тооцож болно. нэгтэй тэнцүүТиймээс тэгш байдлыг (7) ихэвчлэн дараах хэлбэрээр ашигладаг.

Ихэнхдээ $\varepsilon$ гэж үздэг тогтмол утга. Гэсэн хэдий ч бид Ньютоны гэрлийн задралын призмтэй туршилтуудыг сайн мэддэг бөгөөд эдгээр туршилтуудын үр дүнд хугарлын илтгэгч нь гэрлийн давтамжаас хамаардаг нь тодорхой болсон. Тиймээс, хэрэв бид Максвеллийн томъёог хүчинтэй гэж үзвэл бид үүнийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой нэвтрүүлэх чадварбодис нь талбайн давтамжаас хамаарна. $\varepsilon $ болон талбайн давтамжийн хоорондох холболтыг бид харгалзан үзвэл л тайлбарлаж болно атомын бүтэцбодисууд.

Гэсэн хэдий ч, бодисын тогтмол диэлектрик тогтмолтай Максвеллийн томъёог зарим тохиолдолд сайн ойролцоолсон байдлаар ашиглаж болно гэж хэлэх ёстой. Жишээ нь энгийн хийнүүд байж болно химийн бүтэц, үүнд гэрлийн мэдэгдэхүйц тархалт байхгүй бөгөөд энэ нь оптик шинж чанар нь өнгөнөөс сул хамааралтай гэсэн үг юм. Формула (8) нь шингэн нүүрсустөрөгчид ч сайн ажилладаг. Нөгөө талаар олонхи хатуу бодисЖишээ нь, хэрэв бид $\varepsilon$ тогтмол гэж үзвэл шил болон ихэнх шингэнүүд (8) томъёоноос хүчтэй хазайлттай байдаг.

Жишээ 1

Дасгал:Төвлөрөл гэж юу вэ чөлөөт электронуудионосферт $\nu$ давтамжтай радио долгионы хугарлын илтгэгч нь $n$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг бол.

Шийдэл:

Максвеллийн томъёог асуудлыг шийдэх үндэс болгон авч үзье.

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\left(1.2\баруун),\]

$\varkappa$ нь диэлектрикийн мэдрэмж, P нь агшин зуурын туйлшралын утга юм. (1.1) ба (1.2)-аас дараах байдалтай байна.

Хэрэв ионосфер дахь атомуудын концентраци $n_0,$ бол туйлшралын агшин зуурын утга нь дараахтай тэнцүү байна.

(1.3) ба (1.4) илэрхийллүүдээс бид:

$\omega $ нь мөчлөгийн давтамж юм. Эсэргүүцлийн хүчийг харгалзахгүйгээр электроны албадан хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\баруун),\]

Энд $m_e$ нь электроны масс, $q_e$ нь электроны цэнэг юм. (1.7) тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах илэрхийлэл юм.

\ \

Бид радио долгионы давтамжийг мэддэг тул мөчлөгийн давтамжийг олж болно.

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\баруун).\]

(1.5)-д орлъё. баруун тал$x_(max)$-ийн оронд (1.9) илэрхийлэл ба (1.10) ашигласнаар бид дараахийг авна:

Хариулт:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\зүүн(1-n^2\баруун).$

Жишээ 2

Дасгал:Максвеллийн томъёо яагаад зарим туршилтын өгөгдөлтэй зөрчилдөж байгааг тайлбарла.

Шийдэл:

Сонгодогоос цахилгаан соронзон онолМаксвелл энэ орчны хугарлын илтгэгчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Ихэнх бодисын спектрийн оптик мужид бид $\mu \ойролцоогоор 1$ байна гэж үзэж болно. $\varepsilon $ - орчны диэлектрик тогтмол тогтмол байдаг тул бодисын хугарлын илтгэгч тогтмол утгатай байх ёстой. Харин хугарлын илтгэгч нь давтамжаас хамаардаг болохыг туршилт харуулж байна. Максвеллийн онол гарахаас өмнө үүссэн бэрхшээлүүд энэ асуудал, арилгадаг электрон онолЛоренц. Лоренц цахилгаан соронзон долгион нь бодисын нэг хэсэг болох цэнэгтэй хэсгүүдтэй харилцан үйлчлэлийн үр дүнд гэрлийн тархалтыг авч үзсэн. албадан хэлбэлзэлхувьсах цахилгаан соронзон орон дахь гэрлийн долгион. Лоренц өөрийн таамаглалыг ашиглан хугарлын илтгэгчийг цахилгаан соронзон долгионы давтамжтай холбосон томьёог олж авсан (Жишээ 1-ийг үз).

Хариулт:Максвеллийн онолын асуудал нь макроскоп бөгөөд материйн бүтцийг авч үздэггүй явдал юм.