Тригонометрийн тэгшитгэл байгуулах. Тригонометрийн тэгшитгэл

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Тригонометрийн тэгшитгэл. Математикийн шалгалтын нэг хэсэг болох эхний хэсэгт тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй холбоотой даалгавар байна. энгийн тэгшитгэлүүд, хэдэн минутын дотор шийдэгддэг, олон төрлийг амаар шийдвэрлэх боломжтой. Үүнд: шугаман, квадрат, рационал, иррационал, экспоненциал, логарифм, тригонометрийн тэгшитгэлүүд орно.

Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Тэдний шийдэл нь тооцооллын хэмжээ, нарийн төвөгтэй байдлын хувьд энэ хэсгийн бусад асуудлуудаас ялгаатай. Санаа зоволтгүй, "хэцүү" гэдэг нь бусад ажилтай харьцуулахад тэдний харьцангуй хүндрэлийг илэрхийлдэг.

Тэгшитгэлийн язгуурыг өөрсдөө олохоос гадна хамгийн том сөрөг буюу хамгийн жижигийг тодорхойлох шаардлагатай. эерэг үндэс. Шалгалтанд тригонометрийн тэгшитгэл авах магадлал мэдээж бага байна.

Улсын нэгдсэн шалгалтын энэ хэсэгт 7 хүрэхгүй хувьтай байна. Гэхдээ энэ нь тэднийг үл тоомсорлох ёстой гэсэн үг биш юм. С хэсэгт та мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй, тиймээс шийдлийн техник, онолыг ойлгох нь маш чухал юм.

Математикийн тригонометрийн хэсгийг ойлгох нь таны олон асуудлыг шийдвэрлэх амжилтыг ихээхэн тодорхойлох болно. Хариулт нь бүхэл тоо эсвэл төгсгөлтэй тоо гэдгийг би танд сануулж байна аравтын. Тэгшитгэлийн язгуурыг олж авсны дараа шалгахаа мартуузай. Энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй бөгөөд энэ нь таныг алдаа гаргахаас аврах болно.

Ирээдүйд бид бусад тэгшитгэлүүдийг үзэх болно, бүү алдаарай! Үндэс томъёог санацгаая тригонометрийн тэгшитгэл, та тэдгээрийг мэдэх хэрэгтэй:

Эдгээр үнэт зүйлсийн талаархи мэдлэг нь зайлшгүй шаардлагатай "ABC" бөгөөд үүнгүйгээр олон ажлыг даван туулах боломжгүй болно. Гайхалтай, хэрэв таны ой санамж сайн бол та эдгээр үнэт зүйлсийг амархан сурч, санаж чадна. Хэрэв та үүнийг хийж чадахгүй бол яах вэ, таны толгойд төөрөгдөл бий, гэхдээ та шалгалт өгөхдөө андуурсан. Тооцоололдоо буруу бичсэний улмаас оноо алдах нь ичмээр юм.

Эдгээр утгууд нь энгийн бөгөөд энэ нь мэдээллийн товхимолд бүртгүүлсний дараа хоёр дахь захидалдаа хүлээн авсан онолд өгөгдсөн болно. Хэрэв та хараахан бүртгүүлээгүй бол бүртгүүлээрэй! Ирээдүйд бид эдгээр утгыг хэрхэн тодорхойлох талаар авч үзэх болно тригонометрийн тойрог. Үүнийг "Тригонометрийн алтан зүрх" гэж нэрлэсэн нь утгагүй юм.

Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд доор авч үзсэн тэгшитгэлүүдэд арксинус, арккосин, арктангенсийн өнцгийн тодорхойлолтыг өгсөн гэдгийг нэн даруй тайлбарлая. Xхаргалзах тэгшитгэлийн хувьд: cosx=a, sinx=a, tgx=a, энд Xилэрхийлэл ч байж болно. Доорх жишээнүүдэд бидний аргументыг тодорхой илэрхийллээр өгсөн болно.

Тиймээс дараахь ажлуудыг авч үзье.

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

Хариултынхаа хамгийн том сөрөг язгуурыг бич.

cos x = a тэгшитгэлийн шийдэл нь хоёр үндэс юм.

Тодорхойлолт: Модулийн хувьд a тоог нэгээс хэтрүүлж болохгүй. Тооны нумын косинус нь 0-ээс Pi хүртэлх мужид байрлах x өнцөг бөгөөд косинус нь a-тай тэнцүү байна.

гэсэн үг

илэрхийлье x:

Хамгийн том сөрөг язгуурыг олъё. Үүнийг яаж хийх вэ? Орлуулж үзье өөр өөр утгатайҮүссэн үндэс рүү n оруулаад хамгийн том сөрөгийг нь тооцоод сонгоно уу.

Бид тооцоолно:

n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4.5 = – 10.5 x 2 = 3 (– 2) – 5.5 = – 11.5 байвал

n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4.5 = – 7.5 x 2 = 3 (– 1) – 5.5 = – 8.5 байвал

n = 0 x 1 = 3∙0 – 4.5 = – 4.5 x 2 = 3∙0 – 5.5 = – 5.5 байвал

n = 1 x 1 = 3∙1 – 4.5 = – 1.5 x 2 = 3∙1 – 5.5 = – 2.5 байвал

n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5 байвал

Бид хамгийн том сөрөг язгуур нь –1.5 гэдгийг олж мэдсэн

Хариулт: -1.5

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийг шийд:

sin x = a тэгшитгэлийн шийдэл нь хоёр үндэс юм.

Аль аль нь (энэ нь дээрх хоёрыг хослуулсан):

Тодорхойлолт: Модулийн хувьд a тоог нэгээс хэтрүүлж болохгүй. Тооны нумын өнцөг нь – 90°-аас 90°-ын хооронд орших x өнцөг бөгөөд синус нь a-тай тэнцүү байна.

гэсэн үг

Х-г илэрхийл (тэгшитгэлийн хоёр талыг 4-өөр үржүүлж, Pi-д хуваана):

Хамгийн бага эерэг язгуурыг олъё. Энд орлуулах үед тэр даруй тодорхой байна сөрөг утгууд n бид авах болно сөрөг үндэс. Тиймээс бид n = 0,1,2...-г орлуулах болно.

n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4 үед

n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6 үед

n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12 байвал

n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2 гэж шалгая.

Тэгэхээр хамгийн бага эерэг язгуур нь 4 байна.

Хариулт: 4

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Тэгшитгэлийг шийд:

Хариултандаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бич.

Та захиалж болно нарийвчилсан шийдэлчиний даалгавар!!!

Тэмдгийн доор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгш байдал тригонометрийн функц(`sin x, cos x, tan x` эсвэл `ctg x`) нь тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд бид цаашид авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийг `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` гэж нэрлэдэг бөгөөд энд `x` нь олох өнцөг, `a` нь дурын тоо юм. Тэд тус бүрийн үндсэн томъёог бичье.

1. `sin x=a` тэгшитгэл.

`|a|>1`-д шийдэл байхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` байна хязгааргүй тоошийдвэрүүд.

Үндсэн томъёо: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` тэгшитгэл

`|a|>1`-ийн хувьд - синусын хувьд, шийдлүүд дунд бодит тообайхгүй.

Хэзээ `|a| \leq 1` байна хязгааргүй олонлогшийдвэрүүд.

Үндсэн томъёо: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

График дахь синус ба косинусын тусгай тохиолдлууд.

3. `tg x=a` тэгшитгэл

`a`-ын дурын утгын хувьд хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` тэгшитгэл

Мөн `a`-ын дурын утгуудын хувьд хязгааргүй тооны шийдэлтэй.

Үндэс томъёо: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Хүснэгт дэх тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёо

Синусын хувьд:
Косинусын хувьд:
Тангенс ба котангенсийн хувьд:
Урвуу тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

үүнийг хамгийн энгийн болгон хувиргах тусламжтайгаар;
дээр бичсэн язгуур томъёо, хүснэгтийг ашиглан олж авсан хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээнүүдийг ашиглан шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзье.

Алгебрийн арга.

Энэ арга нь хувьсагчийг сольж, тэгш байдал болгон орлуулахыг хэлнэ.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

орлуулах: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, дараа нь `2y^2-3y+1=0`,

Бид язгуурыг олно: `y_1=1, y_2=1/2`, үүнээс дараах хоёр тохиолдол гарна:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Хариулт: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorization.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `sin x+cos x=1`.

Шийдэл. Тэгш байдлын бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье: `sin x+cos x-1=0`. -ийг ашиглан бид зүүн талыг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Хариулт: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах

Эхлээд та энэ тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрийн аль нэг болгон багасгах хэрэгтэй.

`a sin x+b cos x=0` ( нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгдүгээр зэрэг) эсвэл `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Дараа нь хоёр хэсгийг эхний тохиолдолд `cos x \ne 0', хоёр дахь тохиолдолд `cos^2 x \ne 0' гэж хуваана. Бид мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх шаардлагатай `tg x`: `a tg x+b=0` ба `a tg^2 x + b tg x +c =0`-ийн тэгшитгэлийг олж авдаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Шийдэл. Үүнийг бичээд үзье баруун тал`1=sin^2 x+cos^2 x` гэх мэт:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл бөгөөд бид түүний зүүн ба баруун талыг `cos ^ 2 x \ne 0' гэж хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` болох `tg x=t` орлуулалтыг танилцуулъя. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь `t_1=-2` ба `t_2=1` байна. Дараа нь:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-д.

Хариулт. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-д`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-д`.

Хагас булан руу яв

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Шийдэл. Томьёог хэрэглээд үзье давхар өнцөг, үр дүнд нь: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 тг^2 х/2 — 11 тг х/2 +6=0`

Дээрхийг хэрэглэж байна алгебрийн арга, бид авах:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Туслах өнцгийн танилцуулга

`a sin x + b cos x =c` тригонометрийн тэгшитгэлд a,b,c нь коэффициент, x нь хувьсагч бөгөөд хоёр талыг `sqrt (a^2+b^2)`-д хуваана:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Зүүн талд байгаа коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, модулиуд нь 1-ээс ихгүй байна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэе: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тэгвэл:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Дараах жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: `3 sin x+4 cos x=2`.

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг `sqrt (3^2+4^2)`-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` гэж тэмдэглэе. Учир нь `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, дараа нь as туслах өнцөг`\varphi=arcsin 4/5`-г авч үзье. Дараа нь бид тэгш байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Синусын өнцгийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

`нүгэл (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Хариулт. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Бутархай рационал тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь тоологч болон хуваагч нь тригонометрийн функц агуулсан бутархайн тэгшитгэл юм.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Шийдэл. Тэгш байдлын баруун талыг `(1+cos x)`-аар үржүүлж хуваа. Үүний үр дүнд бид:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэж үзвэл Z-д `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ гэсэн утгыг авна.

Бутархайн тоог 0-тэй тэнцүү болгоё: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Дараа нь `sin x=0` эсвэл `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \Z`-д шийдлүүд нь `x=2\pi n, n \in Z` ба `x=\pi /2+2\pi n` байна. , `n \in Z`.

Хариулт. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометр, ялангуяа тригонометрийн тэгшитгэлийг геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт ашигладаг. Хичээл 10-р ангиас эхэлдэг, улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар үргэлж байдаг тул тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх томьёог санаж байхыг хичээгээрэй - тэдгээр нь танд хэрэг болох нь гарцаагүй!

Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгож, түүнийг гаргаж авах чадвартай байх явдал юм. Энэ нь санагдаж байгаа шиг хэцүү биш юм. Видеог үзэж өөрөө үзээрэй.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Аливаа түвшний нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцэстээ хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг. Мөн үүнд хамгийн сайн туслагчдахин тригонометрийн тойрог болж хувирав.

Косинус ба синусын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Өнцгийн косинус нь дээрх цэгийн абсцисса (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм. нэгж тойрог, өгөгдсөн өнцгөөр эргүүлэхэд харгалзах.

Өнцөгний синус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Хөдөлгөөний эерэг чиглэл тригонометрийн тойрогЦагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөнийг авч үзнэ. 0 градусын эргэлт (эсвэл 0 радиан) нь координаттай (1;0) цэгтэй тохирч байна.

Бид эдгээр тодорхойлолтыг энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

1. Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл нь тойрог дээрх ординат нь -тэй тэнцүү цэгүүдэд тохирох эргэлтийн өнцгийн бүх утгуудаар хангагдана.

Ординат тэнхлэг дээр ординаттай цэгийг тэмдэглэе.

Гүйцэе хэвтээ шугамтойрогтой огтлолцох хүртэл х тэнхлэгтэй параллель байна. Бид тойрог дээр хэвтэж, ординаттай хоёр оноо авдаг. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна:

Хэрэв бид эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгийг радианаар үлдээвэл тойрч гарна бүтэн тойрог, дараа нь бид радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгт хүрнэ, ординат нь ижил байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ эргэлтийн өнцөг нь бидний тэгшитгэлийг хангадаг. Бид хүссэн хэмжээгээрээ "сул" эргэлт хийж, ижил цэг рүү буцаж очих боломжтой бөгөөд эдгээр бүх өнцгийн утгууд нь бидний тэгшитгэлийг хангана. "Хөдөлгөөнгүй" эргэлтүүдийн тоог үсгээр (эсвэл) тэмдэглэнэ. Учир нь бид эдгээр хувьсгалыг эерэг, сөрөг аль алинаар нь хийж чадна сөрөг чиглэл, (эсвэл ) ямар ч бүхэл тоо авч болно.

Энэ нь эхний цуврал шийдлүүд юм анхны тэгшитгэлхэлбэртэй байна:

, , - бүхэл тооны багц (1)

Үүний нэгэн адил хоёр дахь цуврал шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, Хаана, . (2)

Таны таамаглаж байсанчлан энэхүү цуврал шийдлүүд нь тойрог дээрх эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэг дээр суурилдаг.

Эдгээр хоёр цуврал шийдлийг нэг оруулгад нэгтгэж болно:

Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, бүр) авбал эхний цуврал шийдлүүдийг авах болно.

Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, сондгой) авбал хоёр дахь цуврал шийдлүүдийг авна.

2. Одоо тэгшитгэлээ шийдье

Энэ нь өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса тул бид тэнхлэг дээрх абсцисс бүхий цэгийг тэмдэглэнэ.

Гүйцэе босоо шугамтойрогтой огтлолцох хүртэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ байна. Бид тойрог дээр хэвтэж, абсциссатай хоёр оноо авна. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна. Цагийн зүүний дагуу хөдөлж байх үед бид авдаг гэдгийг санаарай сөрөг өнцөгэргэлт:

Хоёр цуврал шийдлийг бичье:

(Бид үндсэн бүтэн тойргоос гарах замаар хүссэн цэг рүүгээ хүрдэг, өөрөөр хэлбэл.

Эдгээр хоёр цувралыг нэг оруулгад нэгтгэцгээе:

3. Тэгшитгэлийг шийд

Шүргэх шугам нь OY тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координат (1,0) цэгийг дайран өнгөрдөг.

Үүн дээр 1-тэй тэнцүү ординат бүхий цэгийг тэмдэглэе (бид аль өнцөг нь 1-тэй тэнцүү байх тангенсыг хайж байна):

Энэ цэгийг координатын эхтэй шулуун шугамаар холбож, шугамын огтлолцох цэгүүдийг нэгж тойрогтой тэмдэглэе. Шулуун шугам ба тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь эргэх өнцөгтэй тохирч байна.

Бидний тэгшитгэлийг хангах эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүд бие биенээсээ радиан зайд оршдог тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

4. Тэгшитгэлийг шийд

Котангентын шугам нь тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координаттай цэгээр дамждаг.

Котангенсийн шулуун дээр абсцисса -1-тэй цэгийг тэмдэглэе.

Энэ цэгийг шулуун шугамын эхтэй холбож, тойрогтой огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье. Энэ шулуун шугам нь тойрог болон радиануудын эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүдээр тойргийг огтолно.