Комплекс тоотой асуудлыг шийдэхийн тулд үндсэн тодорхойлолтуудыг ойлгох хэрэгтэй. гол ажилЭнэхүү тойм өгүүлэл нь комплекс тоо гэж юу болохыг тайлбарлаж, комплекс тоотой үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг танилцуулах болно. Тиймээс нийлмэл тоог маягтын тоо гэж нэрлэнэ z = a + bi, Хаана а, б- нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсэг гэж нэрлэгддэг бодит тоонууд. a = Re(z), b=Im(z).
битөсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. i 2 = -1. Ялангуяа аливаа бодит тоог нарийн төвөгтэй гэж үзэж болно: a = a + 0i, хаана нь бодит байна. Хэрэв a = 0Тэгээд b ≠ 0, дараа нь тоог ихэвчлэн цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг.
Одоо нийлмэл тоон дээрх үйлдлүүдийг танилцуулъя.
Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 i.
Ингээд авч үзье z = a + bi.
Комплекс тоонуудын багц нь бодит тоонуудын багцыг өргөтгөж, улмаар олонлогийг өргөтгөдөг рационал тоогэх мэт. Энэхүү хөрөнгө оруулалтын гинжийг дараах зургаас харж болно: N - бүхэл тоо, Z - бүхэл тоо, Q - рациональ, R - бодит, C - цогцолбор. 
Комплекс тоонуудын төлөөлөл
Алгебрийн тэмдэглэгээ.
Комплекс тоог авч үзье z = a + bi, нийлмэл тоог бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг алгебрийн. Энэ бичлэгийн хэлбэрийг бид өмнөх хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Дараах визуал зургийг ихэвчлэн ашигладаг 
Тригонометрийн хэлбэр.
Зурагнаас харахад тоо байна z = a + biөөрөөр бичиж болно. Энэ нь ойлгомжтой a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, тиймээс z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
комплекс тооны аргумент гэж нэрлэдэг. Комплекс тооны ийм дүрслэлийг нэрлэдэг тригонометрийн хэлбэр. Тэмдэглэгээний тригонометрийн хэлбэр нь заримдаа маш тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл тоог бүхэл тоо болгон өсгөхөд ашиглах нь тохиромжтой, тухайлбал, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Тэр z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, энэ томъёог гэж нэрлэдэг Мойврын томъёо.
Үзүүлэн харуулах хэлбэр.
Ингээд авч үзье z = rcos(φ) + rsin(φ)i- тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоо, өөр хэлбэрээр бичнэ үү z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, сүүлчийн тэгшитгэл нь Эйлерийн томъёоноос гардаг тул бид олж авна шинэ дүрэмт хувцаснийлмэл тооны тэмдэглэгээ: z = re iφгэж нэрлэдэг заалт. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэр нь нийлмэл тоог том болгоход маш тохиромжтой. z n = r n e inφ, Энд nзаавал бүхэл тоо биш, харин дурын бодит тоо байж болно. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Дээд алгебрийн үндсэн теорем
Бид x 2 + x + 1 = 0 квадрат тэгшитгэлтэй байна гэж төсөөлье. Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг бөгөөд бодит үндэсгүй боловч энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр нийлмэл язгууртай болох нь тодорхой болсон. Тиймээс, дээд алгебрийн үндсэн теорем нь n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт дор хаяж нэгтэй байдаг цогц үндэс. Эндээс үзэхэд n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт олон талт байдлыг харгалзан үзвэл яг n нийлмэл язгууртай байна. Энэ теорем маш их чухал үр дүнматематикт өргөн хэрэглэгддэг. Энэ теоремын энгийн үр дүн нь нэгдмэл байдлын n зэрэгтэй яг n өөр үндэстэй байдаг.
Даалгаврын үндсэн төрлүүд
Энэ хэсэгт үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно энгийн даалгаваруудкомплекс тоонууд руу. Уламжлал ёсоор нийлмэл тоотой холбоотой бодлогуудыг дараах ангилалд хувааж болно.
- Комплекс тоон дээр энгийн арифметик үйлдэл хийх.
- Комплекс тоон дахь олон гишүүнтийн үндсийг олох.
- Комплекс тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх.
- Комплекс тооноос үндэс гаргаж авах.
- Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд нийлмэл тоог ашиглах.
Одоо авч үзье ерөнхий техникэдгээр асуудлуудын шийдэл.
Нарийн төвөгтэй тоо бүхий хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг эхний хэсэгт тайлбарласан дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг боловч хэрэв нийлмэл тоонуудыг тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр үзүүлсэн бол энэ тохиолдолд та тэдгээрийг алгебрийн хэлбэрт шилжүүлж, мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу үйлдлүүдийг хийж болно.
Олон гишүүнтийн үндсийг олох нь ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Бидэнд квадрат тэгшитгэл байгаа гэж бодъё, хэрвээ түүний ялгаварлагч нь сөрөг биш бол түүний үндэс нь бодит байх бөгөөд сайн мэддэг томьёоны дагуу олж болно. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал, өөрөөр хэлбэл, D = -1∙a 2, Хаана атодорхой тоо бол ялгаварлагчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно D = (ia) 2, тиймээс √D = i|a|, дараа нь та ашиглаж болно сайн мэддэг томъёоквадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд.
Жишээ. Дээр дурдсан зүйл рүү буцъя. квадрат тэгшитгэл x 2 + x + 1 = 0.
Ялгаварлан гадуурхагч - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Одоо бид үндсийг нь хялбархан олох боломжтой: 
Цогцолбор тоонуудыг хүчирхэгжүүлэх ажлыг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв та алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог бага зэрэгт (2 эсвэл 3) өсгөх шаардлагатай бол та үүнийг шууд үржүүлэх замаар хийж болно, гэхдээ хэрэв хүч нь илүү том бол (боодлын хувьд энэ нь ихэвчлэн илүү их байдаг) бол та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр бичиж, аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашиглана уу.
Жишээ. z = 1 + i гэж үзээд арав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
z-г экспоненциал хэлбэрээр бичье: z = √2 e iπ/4.
Дараа нь z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Алгебрийн хэлбэр рүү буцъя: z 10 = -32i.
Комплекс тооны үндсийг задлах нь урвуу ажиллагааэкспонентацийн үйлдэлтэй холбоотой тул үүнийг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг. Үндэс гаргаж авахын тулд тоог бичих экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.
Жишээ. Нэгдлийн 3-р зэргийн бүх үндэсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид z 3 = 1 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох болно, бид язгуурыг экспоненциал хэлбэрээр хайх болно.
Тэгшитгэлд орлуулъя: r 3 e 3iφ = 1 эсвэл r 3 e 3iφ = e 0 .
Эндээс: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, тиймээс φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-д өөр өөр үндэс гарна.
Иймд 1, e i2π/3, e i4π/3 нь үндэс болно.
Эсвэл алгебрийн хэлбэрээр: 
Сүүлчийн төрлийн асуудал нь маш олон төрлийн асуудлуудыг багтаасан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Ийм даалгаврын энгийн жишээг өгье.
Хэмжээг нь ол нүгэл(x) + нүгэл(2х) + нүгэл(2х) + ... + нүгэл(nx).
Хэдийгээр энэ асуудлыг томъёолох нь тийм биш юм бид ярьж байнанийлмэл тоонуудын тухай, гэхдээ тэдгээрийн тусламжтайгаар үүнийг амархан шийдэж болно. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дараахь дүрслэлийг ашигладаг. 
Хэрэв бид одоо энэ дүрслэлийг нийлбэрт орлуулах юм бол асуудал ердийн геометрийн прогрессийг нийлбэр болгон бууруулна.
Дүгнэлт
Нарийн төвөгтэй тооМатематикт өргөн хэрэглэгддэг тул энэхүү тойм өгүүлэл нь нийлмэл тоон дээрх үндсэн үйлдлүүдийг судалж, хэд хэдэн төрлийг тайлбарласан болно. стандарт даалгавармөн товч тайлбарлав ерөнхий аргуудилүү ихийг мэдэхийн тулд тэдний шийдлүүд нарийвчилсан судалгааКомплекс тоонуудын боломжуудын талаар илүү ихийг мэдэхийн тулд тусгай ном зохиол ашиглахыг зөвлөж байна.
Уран зохиол
Нарийн төвөгтэй тоо.Комплекс тоо нь z=a+biabRi2=−1 хэлбэрийн тоо юм
Сэтгэгдэл.
Бодит а тоо нь z тооны бодит хэсэг бөгөөд a=Rez гэж тэмдэглэнэ
Жинхэнэ b тоо нь z тооны төсөөллийн хэсэг бөгөөд b=Imz гэж тэмдэглэнэ
Бодит тоонууд нь тоо, тэдгээрийн дээрх үйлдлүүдийн иж бүрэн багцыг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь математикийн хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм шиг санагддаг. Гэхдээ ийм тэгшитгэлийг x2+1=0 бодит тоогоор хэрхэн шийдэх вэ? Тоонуудын өөр нэг өргөтгөл байдаг - цогцолбор тоо. Комплекс тоонуудад сөрөг тоонуудаас үндэс авч болно.
Алгебрийн хэлбэрнийлмэл тоо.Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр нь z=a+bi(aRbRi2=−1)
Сэтгэгдэл. Хэрэв a=ReZ=0b=Imz=0 бол z тоог төсөөлөл гэнэ. Хэрэв a=ReZ=0b=Imz=0 бол z тоог цэвэр төсөөлөл гэнэ.
Бодит тоонуудын геометрийн тайлбар нь бодит шугам юм. Нэмж дурдахад, бодит мөрөнд "шинэ цэгүүд байхгүй", өөрөөр хэлбэл бодит тэнхлэг дээрх аль ч цэг нь бодит тоотой тохирч байна. Тиймээс энэ мөрөнд нийлмэл тоонуудыг байрлуулах боломжгүй болсон ч та тэдгээрийг дараахтай хамт авч үзэхийг оролдож болно. бодит тэнхлэг, үүн дээр бид комплекс тооны бодит хэсгийг, түүнд перпендикуляр өөр тэнхлэгийг зурах болно; бид үүнийг төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэх болно. Дараа нь ямар ч z = a + ib цогцолбор тоог координатын хавтгай дахь цэгтэй холбож болно. Бид нийлмэл тооны бодит хэсгийг абсцисса тэнхлэг дээр, төсөөлөл хэсгийг ордны тэнхлэг дээр зурах болно. Ийм байдлаар бүх цогцолбор тоо болон онгоцны бүх цэгүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харьцах харилцаа тогтоогддог. Хэрэв ийм захидал харилцааг бий болгосон бол координатын хавтгайдуудсан нарийн төвөгтэй хавтгай. z = a + b i цогцолбор тооны тайлбар нь эхлэл нь О(0,0) цэгт, төгсгөл нь A(a,b) цэгт (a,b) координаттай OA вектор юм. 
Хавсарсан тоонууд. z=a+bi ба z=a−bi тоонуудыг коньюгат комплекс тоо гэнэ
Өмч. Хоёр нийлмэл цогцолбор тооны нийлбэр ба үржвэр нь бодит тоо: z+z=2azz=a2+b2
Эсрэг тоо. z=a+bi ба −z=−a−bi тоонуудыг эсрэг комплекс тоо гэнэ.
Өмч. Эсрэг хоёр комплекс тооны нийлбэр нь тэг байна:
z+(−z)=0
Тэнцүү тоо. Хоёр нийлмэл тоог бодит ба төсөөлөн хэсгүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Алгебрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоо бүхий үйлдлүүд:
Нэмэх шинж чанар: z1=a+bi ба z2=c+di хоёр цогц тооны нийлбэр нь z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d) хэлбэрийн комплекс тоо болно. ) i
Жишээ нь: 5+3i+3−i=8+2i
Хасах шинж чанар: z1=a+bi ба z2=c+di хоёр цогц тооны зөрүү нь z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d) хэлбэрийн комплекс тоо болно. би
Жишээ нь: . 5+3i−3−i=2+4i
Үржүүлэх шинж чанар: z1=a+bi ба z2=c+di хоёр цогц тооны үржвэр нь z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i хэлбэрийн комплекс тоо болно.
Жишээ: 3+2i4−i=12−3i+8i−2i2=14+5i
Хуваах шинж чанар: z1=a+bi ба z2=c+di гэсэн хоёр цогц тооны категори нь z=z2z1=c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi хэлбэрийн комплекс тоо байх болно.
Жишээ нь: . 1+i2+i=1+i1−i2+i1−i=1−i22−2i+i−i2=23−21i
Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн комплекс тоо бүхий үйлдлүүд
z = a + bi цогцолбор тоог z=rcos+isin хэлбэрээр бичихийг комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр гэнэ.
Комплекс тооны модуль: r=a2+b2
Цогцолбор тооны аргумент: cos=rasin=rb 
Төсөөлөл ба нийлмэл тоо
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.
x 2 = a,
a нь мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүн юм. Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Энд гурван боломжит тохиолдол бий:
1). Хэрэв a = 0 бол x = 0 байна.
2). Хэрвээ - эерэг тоо, дараа нь Квадрат язгуурхоёр утгатай: нэг нь эерэг, нөгөө нь сөрөг; жишээ нь x 2 = 25 тэгшитгэл нь 5 ба – 5 гэсэн хоёр үндэстэй. Үүнийг ихэвчлэн давхар язгуур гэж бичдэг:
3).Хэрэв а нь сөрөг тоо бол энэ тэгшитгэл нь бидэнд мэдэгдэж байгаа эерэг ба сөрөг тоонуудын дунд ямар ч шийдэлгүй, учир нь дурын тооны хоёр дахь зэрэг нь сөрөг бус тоо байдаг (энэ талаар бодоорой!). Гэхдээ хэрэв бид x 2 = a тэгшитгэлийн шийдлийг олж авахыг хүсвэл мөн адил сөрөг утгуудЗа, бид шинэ төрлийн тоо - төсөөллийн тоог нэвтрүүлэхээс өөр аргагүй болсон. Ийнхүү хоёр дахь зэрэг нь сөрөг тоо болох тоог төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Төсөөллийн тоонуудын энэхүү тодорхойлолтын дагуу бид төсөөллийн нэгжийг мөн тодорхойлж болно. 
Дараа нь x 2 = – 25 тэгшитгэлийн хувьд бид хоёр төсөөллийн язгуурыг авна.
Эдгээр хоёр язгуурыг тэгшитгэлдээ орлуулснаар бид ижил төстэй байдлыг олж авна. (Шалга!). Бодит тооноос ялгаатай нь бусад бүх тоог (эерэг ба сөрөг, бүхэл ба бутархай, рационал ба иррациональ) бодит тоо гэж нэрлэдэг. бодит тоо. Бодит ба төсөөллийн тооны нийлбэрийг нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
Хаана a, b - бодит тоо, би - төсөөллийн нэгж.
Комплекс тоонуудын жишээ: 3 + 4 i, 7 – 13.6 i, 0 + 25 i = 25 i, 2 + i.
Танд сануулъя шаардлагатай мэдээлэлкомплекс тоонуудын тухай.
Цогцолбор тоохэлбэрийн илэрхийлэл юм а + би, Хаана а, ббодит тоонууд ба би- гэж нэрлэгддэг төсөөллийн нэгж, квадрат нь –1-тэй тэнцүү тэмдэг, өөрөөр хэлбэл би 2 = –1. Тоо адуудсан бодит хэсэг, мөн тоо б - төсөөллийн хэсэгнийлмэл тоо z = а + би. Хэрэв б= 0, дараа нь оронд нь а + 0битэд энгийнээр бичдэг а. Бодит тоо байгаа нь харагдаж байна онцгой тохиолдолнийлмэл тоо.
Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд нь бодит тоонуудтай адил байна: тэдгээрийг бие биендээ нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах боломжтой. Нэмэх, хасах нь дүрмийн дагуу явагдана ( а + би) ± ( в + ди) = (а ± в) + (б ± г)би, үржүүлэх нь дүрмийг дагаж мөрддөг ( а + би) · ( в + ди) = (ac – бд) + (зар + МЭӨ)би(энд үүнийг ашигладаг би 2 = –1). Тоо = а – бидуудсан нарийн төвөгтэй коньюгатруу z = а + би. Тэгш байдал z · = а 2 + б 2 нь нэг цогцолбор тоог өөр (тэг бус) цогцолбор тоогоор хэрхэн хуваахыг ойлгох боломжийг танд олгоно.
(Жишээлбэл, 
.)
Цогцолбор тоо нь тохиромжтой, харааны шинж чанартай байдаг геометрийн дүрслэл: тоо z = а + бикоординаттай вектороор дүрсэлж болно ( а; б) дээр Декарт онгоц(эсвэл бараг ижил зүйл болох цэг - эдгээр координат бүхий векторын төгсгөл). Энэ тохиолдолд хоёр нийлмэл тооны нийлбэрийг харгалзах векторуудын нийлбэр хэлбэрээр дүрсэлсэн (үүнийг параллелограммын дүрмийг ашиглан олж болно). Пифагорын теоремын дагуу координаттай векторын урт ( а; б) -тэй тэнцүү байна. Энэ хэмжээг нэрлэдэг модульнийлмэл тоо z = а + биба | гэж тэмдэглэнэ z|. Энэ векторын x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй (цагийн зүүний эсрэг тоолно) хийсэн өнцгийг нэрлэнэ маргааннийлмэл тоо zба Arg гэж тэмдэглэнэ z. Аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй бөгөөд зөвхөн 2-ын үржвэрийг нэмэх хүртэл л болно π
радианууд (эсвэл градусаар тооцвол 360 °) - эцсийн эцэст эхийг тойрон ийм өнцгөөр эргүүлэх нь векторыг өөрчлөхгүй нь ойлгомжтой. Харин уртын вектор бол rөнцөг үүсгэдэг φ
х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй бол түүний координат нь ( r cos φ
; rнүгэл φ
). Эндээс л болж байна тригонометрийн тэмдэглэгээнийлмэл тоо: z = |z| · (cos(Arg z) + бинүгэл(Арг z)). Энэ хэлбэрээр нарийн төвөгтэй тоо бичих нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг, учир нь энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх нь маш энгийн: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Арг z 2) + бинүгэл(Арг z 1 + Арг z 2)) (хоёр нийлмэл тоог үржүүлэхэд тэдгээрийн модулиудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ). Эндээс дагана Мойврын томъёонууд: z n = |z|n· (учир нь n· (Арг z)) + бинүгэл( n· (Арг z))). Эдгээр томьёог ашиглан нийлмэл тооноос ямар ч зэрэгтэй үндсийг гаргаж авахыг сурахад хялбар байдаг. n-р үндэс z тооноос авсан хүч- энэ бол нарийн төвөгтэй тоо w, Юу w n = z. Энэ нь ойлгомжтой 
, Тэгээд хаана колонлогоос дурын утгыг авч болно (0, 1, ..., n- 1). Энэ нь үргэлж яг байдаг гэсэн үг юм nүндэс nнийлмэл тооны 1-р зэрэг (хавтгай дээр тэдгээр нь ердийн тооны орой дээр байрладаг n-гон).
