Гурван хэмжээст объекттой ажиллахдаа тэдэнтэй холбоотой янз бүрийн хувиргалт хийх шаардлагатай байдаг: хөдөлгөх, эргүүлэх, шахах, сунгах, налуу гэх мэт. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд эдгээр хувиргалтыг хийсний дараа тодорхой шинж чанаруудыг хадгалах шаардлагатай байдаг.

Тодорхойлолт.Хавтгай хувиргалтыг гэж нэрлэдэг аффин(англи хэлнээс . ойр дотно байдал - хамаатан садан), Хэрэв

• энэ нь нэгээс нэг;
• аливаа шулуун шугамын дүрс нь шулуун шугам юм.

Өөрчлөлт гэж нэрлэдэг ганцаарчилсан, Хэрэв

• өөр өөр цэгүүд өөр өөр цэгүүдэд очдог;
• цэг болгонд зарим нэг цэг ордог.

Үл хөдлөх хөрөнгө аффины хувиралгурван хэмжээст орон зайд:

• n хэмжээст объектыг n хэмжээст объект руу буулгана: цэгээс цэг рүү, шугамаас шугам руу, гадаргуугаас гадаргуу руу;
• шулуун ба хавтгайн параллель байдлыг хадгалах;
• зэрэгцээ объектуудын пропорцийг хадгалдаг - параллель шулуун дээрх сегментийн урт ба зэрэгцээ хавтгай дээрх талбайн хэмжээ.

Аливаа аффины хувиргалтыг тэгээс өөр тодорхойлогч ба орчуулгын вектор бүхий 3х3 матрицаар өгнө.

Үүнийг математикийн үүднээс авч үзье. R нь матрицыг илэрхийлнэ шугаман операторгурван хэмжээст векторуудын орон зайд. Зэрэгцээ дамжуулалтыг гүйцэтгэхийн тулд T вектор шаардлагатай: хэрэв бид (000) ямар ч 3х 3 матрицаар үржүүлбэл (000) дахин авна - R хувиргалттай харьцуулахад координатын системийн гарал үүсэл нь тогтмол цэг юм. Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай байх шаардлагыг тодорхойлолтоор зааж өгсөн болно. Үндсэндээ хэрэв R матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол орон зай бүхэлдээ хавтгай, шулуун эсвэл цэг болж хувирдаг. Тиймээс үүнийг хүндэтгэдэггүй ганцаарчилсан.

Практикт нэг матрицтай аффины хувиргалтыг зааж өгөх нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд өмнөх зүйлд танилцуулсан нэгэн төрлийн координатыг ашиглана. Аффины хувиргалтыг дараах 4х4 матрицаар өгнө.

Эхний гурван утгыг анхаарна уу сүүлчийн мөр 0-тэй тэнцүү байна. Энэ нь шаардлагатай нөхцөлөөрчлөлт нь сайн байх болно. IN ерөнхий тохиолдол 4x4 хэмжээтэй дурын матрицыг тодорхойлно проекктив хувиргалт. Нэрнээс нь харахад ийм өөрчлөлтүүд нь гурван хэмжээст дүр зургийг гаргахад ашиглагддаг. Үүнийг дараагийн өгүүллээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Аффины хувиргалтын онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

Анхаарна ууЭнд болон дараа нь дараах байдлаар нэвтрүүлсэн координатын системийг ашиглана.

• координатын системийн зөв;
• z тэнхлэг нь дэлгэцийн хавтгайд перпендикуляр ажиглагч руу чиглэсэн;
• y тэнхлэг нь дэлгэцийн хавтгайд байрлах ба дээш чиглэсэн;
• X тэнхлэг нь дэлгэцийн хавтгайд байрладаг бөгөөд баруун тийш чиглэнэ.

Геометрийн дамжуулах хоолойг авч үзэхдээ бид энэ талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ хувиргалтын матриц дараах байдалтай байна.

IN энэ тохиолдолд R = E матриц, таних матриц.

Доор авч үзсэн өөрчлөлтүүд нь зөвхөн R матрицад нөлөөлөх тул зөвхөн үүнийг л мэдээлэх болно.

Эргүүлэх (эргэлт)

Хэрэв хавтгай дээр тодорхой цэгийн эргэн тойронд эргэлт хийсэн бол гурван хэмжээст орон зайд тодорхой векторын эргэн тойронд эргэлт хийсэн. Дурын векторын эргэн тойронд эргэлтийн матрицыг байгуулахын өмнө, эргэн тойронд эргэх тусгай тохиолдлыг авч үзье. координатын тэнхлэгүүд.

Анхаарна ууДурын векторыг тойрон эргүүлэх тэнцүү бишдурын чиглэлтэй шугамын эргэн тойронд эргэлт.

У тэнхлэгийг тойрон эргэх үед цэгүүдийн ординатууд (y координатууд) өөрчлөгдөхгүй гэдгийг анхаарна уу. Мөн цэгийн x ба z координатыг y координатаас хамааралгүйгээр хөрвүүлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь ямар ч p (x, y, z) цэг p’(x’(x, z), y, z’(x, y)) цэг рүү очно гэсэн үг. Одоо x ба z координатууд хэрхэн хувирч байгааг ойлгоход л үлдлээ: Oxz хавтгайд энэ нь координатын гарал үүслийн эргэн тойронд цагийн зүүний дагуу эргэлддэг (х z y нь зүүн гурав учраас), өөрөөр хэлбэл. В сөрөг чиглэл. Ийм хувирлын матриц нь мэдэгдэж байна (Хавтгайг эргүүлэх хэсгийг үзнэ үү):

Өөрчлөлтийн матриц R y (φ y ):

x ба z тэнхлэгийг тойрон эргүүлнэ

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан x ба z тэнхлэгийн эргэн тойронд R x (φ x) ба R z (φ z) эргэлтийн матрицуудыг авч болно.

Энд эцсийн үр дүн байна:

R x , R y , R z матрицуудын тодорхойлогч нь 1-тэй тэнцүү байгааг харахад хялбар байдаг. Мөн эргэлтийн матрицууд R rot нь ортогональ шинж чанартай байдаг: R T R = RR T = E. Эндээс эргээд энэ нь дараах байдалтай байна ашигтай эд хөрөнгө, эргэлтийн матрицын урвуу өөрчлөлтийг шилжүүлэн суулгах замаар сольж болно: R -1 (φ) = R T (φ).

Томруулах (багасгах/сунгах, эргүүлэх)

Хоёр хэмжээст орон зайтай адилтган шахалт/өргөлтийн коэффициентийг R матрицын диагональ нөхцлөөр тодорхойлно.

Үр дүн:

s x = -1, s y = 1, s z = 1 коэффициентүүдийн хослол нь Ойз хавтгайгаас (x = 0) тусгалыг тодорхойлох болно. s x = s y = s z = -1 байвал бид олж авна төвийн тэгш хэмгарал үүсэлтэй харьцуулахад.

R матрицын тайлбар

Шугаман алгебрийн үүднээс R матриц гэж юу болохыг авч үзье. R матриц нь суурьтай болох нь харагдаж байна шинэ системкоординатууд

Үнэхээр матриц

(R 11 R 12 R 13)

(R 21 R 22 R 33)

(R 31 R 32 R 33)

Декарт суурь векторуудыг хөрвүүлдэг:

(100) → (R 11 R 21 R 31)

(010) → (R 12 R 22 R 32)

(001) → (R 13 R 23 R 33)

Одоо налуугийн өөрчлөлтийг авахад хялбар боллоо. Жишээ нь:

Анхаарна ууХэрэв бид нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн нэр томъёог дагаж мөрдвөл дээрх өөрчлөлтийг шилжилт гэж нэрлэдэг. Шилжилт (зүсэх) R матрицын гол диагональ нь нэгж байх аливаа хувиргалт байх болно. Хэрэв R матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол хувиргалт нь аффин биш юм.

Нарийн төвөгтэй аффины хувиргалт

Нарийн төвөгтэй аффины хувиргалтыг энгийн (элементар) хувиргалтуудын хослолоор олж авч болно. Энэ тохиолдолд энгийн аффины хувиргалтыг янз бүрийн аргаар сонгож болно. Жишээлбэл, эргэлтийг масштаблах, зүсэх хоёрын нэгдэл гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч ая тухтай байлгахын тулд эргэлтийг бас авч үздэг үндсэн хувиргалт. Дурын векторын эргэн тойрон дахь эргэлтийг координатын тэнхлэгүүдийн эргэн тойрон дахь эргэлтүүдийн хослолоор илэрхийлнэ. Үүнийг дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Онгоц болон сансар огторгуй дахь өөрчлөлтүүд

Компьютерийн график дээр хавтгай хайрцагтай холбоотой бүх зүйлийг ихэвчлэн 2 хэмжээст (2 хэмжээст) хоёр хэмжээст гэж нэрлэдэг бөгөөд орон зайн хайрцагтай холбоотой бүх зүйлийг 3D гэж нэрлэдэг.

Хавтгай дээрх аффины өөрчлөлтүүд

Affinis - холбоотой (Латин). Учир нь тоонууд нь аффины хувиргалтын дор хадгалагддаг.

Зарим шулуун шугаман координатын систем (OXY) байна гэж бодъё. Дараа нь M цэг бүрийг хос координаттай (x,y) холбож болно. O * X * Y * координатын өөр системийг нэвтрүүлснээр та ижил M цэгт өөр хос координат (x *,y *) оноож болно. Нэг системээс нөгөөд шилжих:

x * =ax+by+c, |a b|¹0 нөхцөлтэй

y * =dx+ey+f |d e|

Эдгээр томьёог цэгийг хадгалж координатын системийг өөрчлөх, эсвэл координатын системийг хадгалж цэгийг өөрчилсөн гэсэн хоёр янзаар авч үзэж болно. Ирээдүйд эдгээр томьёог өгөгдсөн координатын систем дэх цэгүүдийн хувиргалт гэж яг таг авч үзэх болно. Түүнээс гадна, авч үзэж буй бүх системүүд нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх болно (томъёо нь тэгш өнцөгт бус системтэй ажиллах боломжийг танд олгоно).

М цэгийн координатыг Mx, My координаттай эхээс вектор хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Дараа нь хувиргалтыг дараах байдлаар бичиж болно вектор хэлбэр(энэ нь зөвхөн тэгш өнцөгт координатын системийн хувьд үнэн юм).

M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)

Хоёр дахь системийн гарал үүслийн О*-координатууд эхнийх нь координатууд хаана байна. X*,Y* - эхний координат дахь хоёр дахь координатын системийн векторууд (вектор чиглэлүүд).

a=(Xx*), b=(Xy*),c=-O*X*

d=(Yx*), e=(Yy*),f=-O*Y*

Энэ хувиргалтыг бас бичиж болно матриц хэлбэр

, эсвэл , энд векторуудыг 1´2 хэлбэрийн матриц хэлбэрээр авч үзнэ.

C=AB матрицын Cij элемент нь А матрицын i-р эгнээний элементүүдийг В матрицын j-р баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм.

Урвуу хувиргалт - шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, эсвэл урвуу матрицыг ашиглах , гэхдээ системийг орцоор төлөөлсөн тохиолдолд илүү хялбар байж болно. Энэ тохиолдолд урвуу матрицшилжүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Аффины хувиргалт - геометрийн хувиргалтонгоц эсвэл орон зай ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ-ийг эргэлт, орчуулга, өвөрмөц тусгалба координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлд масштаблах.

Эргүүлэх (R - эргэлт). Өнцөг дээр эхийн эргэн тойронд a.

x * =x*cosa-y*sina

у * =х*сина+у*коса

Координатын тэнхлэгийн дагуух хурцадмал байдал, шахалт (D - тэлэлт).

Тусгал (M - толь). Абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад.

Дамжуулах (T - орчуулга).

Шилжүүлгийг матрицаар векторын үржвэр болгон дүрслэх боломжгүй, харин векторуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно.

Мэдэж байгаадаа аналитик геометрАливаа хувиргалтыг эдгээр хамгийн энгийн хувиргалтуудын дараалсан гүйцэтгэл (суперпозиция) хэлбэрээр илэрхийлж болох нь батлагдсан.

Заримдаа энэ зорилгоор бүх хувиргалтыг нэг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой байдаг, нэг төрлийн координатуудыг ашигладаг.

Нэг төрлийн координатууд

M цэгийн хувьд x,y координатуудХавтгай дээр нэгэн төрлийн координатууд нь x1, x2, x3 тоонуудын гурвалсан тоо бөгөөд тэдгээр нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш ба харилцаа холбоотой x1/x3=x, x2/x3=y. Хавтгай дээрх x,y координаттай цэг нь нэгэн төрлийн орон зай дахь xh,y,h,h цэгтэй холбоотой байдаг ба ихэвчлэн h=1 (x,y,1).

Ерөнхий хувиргалтоноо нэгэн төрлийн координатуудаа гэсэн хэлбэрээр бичиж болно.

Үндсэн хувиргах матрицууд дараах байдлаар харагдах болно.

Өөрчлөлтийн хослол.

Та ямар нэг А цэгийн эргэн тойронд нэг цэгийг өнцгөөр эргүүлэх хэрэгтэй гэж бодъё.

Эхлээд А цэгийг эх (-Ax,-Ay) руу шилжүүлнэ. Дараагийн ээлж. Дараа нь A цэг рүү буцаана (Ax,Ay). Нэг удаагийн хувиргалтыг олж авах боломжтой

Орон зай дахь аффины хувиргалт

3 хэмжээст орон зайд цэгийг (вектор) гурван координат (x,y,z) эсвэл дөрвөн нэгэн төрлийн координатаар (x,y,z,1) төлөөлдөг.

Зүүн ба баруун гурвалсан векторын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх хэрэгтэй. Гурав a,b,c векторХэрэв векторуудын эхлэлийг нэгтгэсний дараа а-аас b хүртэлх хамгийн богино эргэлт нь в векторын төгсгөлөөс цагийн зүүний эсрэг явж байгаа ажиглагчдад харагдаж байвал баруун гар гурвалжин үүснэ. Дүрэм баруун гар– в вектор а тохойтой, в вектор б алган дээр, в вектор в-тэй давхцаж байна эрхий хуруу. Хэрэв чиглэлийн векторууд нь баруун гарын гурвалсан хэлбэртэй байвал координатын системийг ихэвчлэн баруун гар гэж нэрлэдэг.

Вектор урлагийн бүтээл c=a´b, c нь хоёр векторт перпендикуляр вектор бөгөөд тэдгээртэй баруун талын гурвалжинг үүсгэдэг.

Cx=Ay*Bz-Az*By, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, C z=Ax*By- Ay*Bx

Өөрчлөлтүүд ижил хэвээр байна: эргэлт (зөвхөн одоо гурван тэнхлэгийн эргэн тойронд), суналт, тусгал (гурван хавтгайтай харьцуулахад), шилжүүлэг.

Зүүн координатын системийн гарал үүсэлээс харахад цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх (баруун талын хувьд эсрэгээр).

, ,

,

, ,

Жишээлбэл, та А цэгийг дайран өнгөрөх L чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын эргэн тойронд эргэлтийн матриц байгуулах хэрэгтэй.

1. А-г эх цэг рүү шилжүүлнэ

2. Шулуун шугамыг X тэнхлэгтэй зэрэгцүүлэх.

Эхлээд X тэнхлэгийг тойрон эргүүлнэ

өнцгөөр a, cosa=Lz/d, sina=Lx/d, энд d=

Хэрэв d=0 бол шулуун шугам X тэнхлэгтэй аль хэдийн давхцаж байна.

Дараа нь Y тэнхлэгийг б өнцгөөр эргүүлнэ.

Эргүүлсэн вектор нь (Lx,Ly,Lz,1)=(Lx,0,d,1) байна.

cosb=Lx, sinb=d

3. X тэнхлэгийг тойрон хүссэн өнцгөөр эргүүлнэ

4. L тэнхлэг рүү буцах,

5. А цэг рүү шилжүүлнэ

Ерөнхий матриц нь байх болно

Орцоор тодорхойлсон координатын систем рүү хөрвүүлэх

Хэрэв систем X*,Y*,Z* харилцан перпендикуляр нэгж векторуудын гурвалсан тоогоор өгөгдсөн бол.

, урвуу хувиргалт– шилжүүлсэн матриц [R] T

Дизайн

Дизайн нь юуны түрүүнд харуулахын тулд маш чухал юм гурван хэмжээст объектуудхавтгай дэлгэц дээр, гэхдээ сүүдэр гэх мэт өөр програмууд байдаг.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хоёр төрлийн загвар байдаг: зэрэгцээ ба төв (перспектив).

Объектыг хавтгайд проекцлохдоо тухайн объектын цэг тус бүрээр дамжуулан өгөгдсөн проекцын цацрагаас шулуун шугам татах ба энэ шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох хэсгийг олох хэрэгтэй.

At зэрэгцээ загварцацраг нь тодорхой цэгээр дамждаг төв нь зэрэгцээ шугамуудаас бүрддэг.

Зэрэгцээ төсөөллийг хоёр төрөлд хувааж болно, цацрагийн шугамууд нь проекцын хавтгайд перпендикуляр байвал проекцийг аксонометр гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тийм биш бол ташуу гэж нэрлэдэг (бид ийм төсөөллийг авч үзэхгүй).

Гэсэн хэдий ч дэлгэцэн дээрх объектын аксонометрийн зэрэгцээ проекцийг олж авахын тулд цацрагийн чиглэлийг тэнхлэгүүдийн аль нэгтэй (ихэвчлэн Z) хослуулах хэрэгтэй. X ба Y тэнхлэгүүд нь давхцах болно X,Y тэнхлэгүүддэлгэцэн дээр байх ба Z тэнхлэг нь дэлгэцийн гүн рүү чиглэнэ.

Цэгийн хэтийн төлөвийг авахын тулд цацрагийн алга болох цэгийг координатын эхэнд байрлуулж, дэлгэцийн чиглэлийг (мөхөх цэгээс проекцын хавтгайд перпендикуляр) Z тэнхлэгтэй зэрэгцүүлэх нь маш чухал юм. Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, энд d нь эхээс проекцын хавтгай хүртэлх зай юм.

Энэ хувиргалтыг матриц хэлбэрээр бичиж болно. ,

Цорын ганц зүйл бол ийм хувиргалтанд гүн (z) алдагдах боловч векторын сүүлчийн координатаас тооцоолж болно.

Эдгээр дизайны өөрчлөлтүүдээс гадна зураг дэлгэцэн дээр зөв харагдахын тулд хэд хэдэн өөрчлөлт хийх нь маш чухал юм. Нэгдүгээрт, цонхны хэмжээгээр сунгах, хоёрдугаарт, X тэнхлэгийн эргэн тойронд толин тусгал хийх шаардлагатай (У тэнхлэг нь ихэвчлэн доошоо чиглэсэн байдаг), гуравдугаарт, цонхны төв рүү шилжүүлэх шаардлагатай. цонх.

Ерөнхий хувиргах матриц дараах байдалтай байна.

Cx,Cy – дэлгэцийн төвийн координатууд.

харьцаа – өөр өөр дэлгэцийн нягтралд ялгаатай Y хэмжээтэй X хэмжээтэй харьцуулсан харьцаа. Нарийвчлал нь гадаргуугийн нэгжид ногдох пикселийн тоо бөгөөд энэ тохиолдолд нэгж нь дэлгэцийн бүхэл бүтэн дэлгэц юм. Хяналтын дэлгэц нь харьцаатай байдаг хэвтээ хэмжээбосоо 4/3 хүртэл, тиймээс хэвтээ ба босоо пикселийн тоо нь энэ тооны харьцаа=1 (жишээ нь 640/480) үржвэртэй нягтралын хувьд. Үгүй бол харьцаа=(4*хэмжээ)/(3*хэмжээ) (320x200 =0.83).

S – масштабын хүчин зүйл, хувьд зэрэгцээ проекцгараар сонгосон хэтийн төлөвийн төсөөлөл S нь нэгтэй тэнцүү боловч d (дизайн хавтгай хүртэлх зай) FOV (харагдах талбар) дээр үндэслэн тооцоолно. FOV нь цацраг дахь шулуун шугамаар үүссэн хамгийн их өнцөг, харах өнцөг юм.

FOV нь ихэвчлэн 50 ° -аас 100 ° хооронд хэлбэлздэг, хүний ​​​​нүдний FOV нь 90 ° байдаг.

Дэлхий, загвар, дэлгэцийн координатын систем

Дэлхий бол бүх үзэгдлийн объектыг тодорхойлсон гол координатын систем юм.

Загвар – координатын систем байдаг дотоод бүтэцобъектууд.

Дэлгэц – ажиглагчийн координатын систем, мөн камерын координатын систем гэж нэрлэдэг.

Загварыг ихэвчлэн загварын системд системийн төв нь загварын геометрийн эсвэл массын төвтэй давхцаж, X тэнхлэг нь урагш чиглэлтэй, Y тэнхлэг нь баруун тийш, ба Z тэнхлэгийг дээш.

Загвар нь дэлхийн координатын системд загварын төвийн координатуудаар тодорхойлогддог M (вектор) ба чиг баримжаа (гурван өнцөгт эсвэл өнхрөх гурван өнцөг (X), давирхай (Y), курс (Z), матриц нь эргэлтийн дараалал хэлбэрээр үүссэн). Загварын координатаас хувиргахын тулд эхлээд чиг баримжаа матрицын дагуу эргүүлж, дараа нь орчуулах ёстой.

Курс Roll Pitch

Камерын байрлал, чиг баримжаа нь загварын байрлалтай яг ижил байдлаар тохируулагдаж болно. Гэхдээ ихэнхдээ камерын харах чиглэл хангалттай байдаг. Ихэвчлэн (д бодит амьдрал) камер ямар ч өнхрөхгүй, ᴛ.ᴇ. X тэнхлэг (баруун талд) үргэлж хэвтээ, YZ хавтгай нь үргэлж босоо байдаг.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, хэрэв бид камерын Z тэнхлэгийг (харах чиглэл) босоо биш гэж үзвэл X тэнхлэг=Норм(Z´Дээш), Дээш(0,0,1) нь босоо вектор ( X нь босоо векторт перпендикуляр байх болно Up , энэ нь хэвтээ гэсэн үг юм). Эцэст нь Y = X´Z тэнхлэг (дээш). Систем зүүн хэвээр байгаа эсэхийг шалгаарай.

Дэлхийн системээс цэгүүдийг дэлгэцийн цэг рүү хөрвүүлэхийн тулд эхлээд орчуулгыг хийж, дараа нь шилжүүлсэн камерын чиг баримжаа матриц T-ээр эргүүлэх нь чухал юм.

Гэсэн хэдий ч цэгийг загварын координатаас дэлгэцийн координат руу хөрвүүлэхийн тулд дараах T хувиргалтыг хийх нь туйлын чухал юм. Ийм хувиргалт хийсний дараа Z тэнхлэгийг харах чиглэлийн дагуу чиглүүлж, дизайныг хийж болно.

Лекц 6-7-8

Хавтгай ба орон зай дахь өөрчлөлтүүд - үзэл баримтлал ба төрлүүд. "Онгоц ба сансар дахь өөрчлөлтүүд" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.

Бүлэг 1. Нэмэлт. Хавтгай ба орон зайд декартын тэгш өнцөгт координатыг хувиргах. Хавтгай болон орон зай дахь тусгай координатын системүүд.

Хавтгай болон сансар огторгуйд координатын системийг байгуулах дүрмийг 1-р бүлгийн үндсэн хэсэгт авч үзсэн болно. Ашиглахад хялбар байдлыг тэмдэглэв. тэгш өнцөгт системүүдкоординатууд At практик хэрэглээаналитик геометрийн хэрэгслийг ашиглахын тулд батлагдсан координатын системийг өөрчлөх шаардлагатай байдаг. Энэ нь ихэвчлэн тав тухтай байдлын үүднээс тодорхойлогддог: геометрийн дүрслэлийг хялбаршуулж, тооцоололд ашигласан аналитик загвар, алгебрийн илэрхийлэл илүү тодорхой болно.

Барилга, ашиглалт тусгай системүүдкоординатууд: туйл, цилиндр, бөмбөрцөг нь шийдэгдэж буй асуудлын геометрийн утгаараа тодорхойлогддог. Тусгай координатын системийг ашиглан загварчлах нь ихэвчлэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд аналитик загварыг боловсруулах, ашиглахад тусалдаг.

1-р бүлгийн хавсралтаас олж авсан үр дүнг ашиглах болно шугаман алгебр, ихэнх нь- В математик шинжилгээмөн физикт.

Хавтгай ба орон зайд декартын тэгш өнцөгт координатыг хувиргах.

Хавтгай болон орон зайд координатын системийг байгуулах асуудлыг авч үзэхдээ координатын систем нь нэг цэг дээр огтлолцох замаар үүсдэг болохыг тэмдэглэсэн. тооны тэнхлэгүүд: хавтгайд хоёр тэнхлэг, орон зайд гурван тэнхлэг шаардлагатай. Векторуудын аналитик загварыг бий болгохтой холбогдуулан үйл ажиллагааны танилцуулга цэгийн бүтээгдэхүүнвекторууд ба геометрийн агуулгын асуудлыг шийдвэрлэхэд тэгш өнцөгт координатын системийг ашиглах нь илүү тохиромжтой болохыг харуулсан.

Хэрэв бид өөрчлөлтийн асуудлыг авч үзвэл тодорхой системХийсвэрээр солбицдог бол ерөнхий тохиолдолд дур зоргоороо хөдөлгөөнийг зөвшөөрөх боломжтой зай өгсөнтэнхлэгүүдийн нэрийг дур мэдэн өөрчлөх эрхтэй координат тэнхлэгүүд.

Бид үндсэн ойлголтоос эхэлнэ лавлагааны системүүд , физикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Биеийн хөдөлгөөнийг ажиглахад хөдөлгөөн болохыг олж мэдсэн тусгаарлагдсан биеөөрөө тодорхойлох боломжгүй. Хөдөлгөөн ажиглагдаж байгаа, өөрөөр хэлбэл өөрчлөлттэй харьцуулахад дор хаяж нэг биетэй байх шаардлагатай хамаатан садан заалтууд. Аналитик загвар, хууль, хөдөлгөөнийг олж авахын тулд координатын системийг энэ хоёр дахь биетэй жишиг систем болгон холбосон бөгөөд координатын системийг ийм байдлаар холбосон. хатуу !

Дурын хөдөлгөөнөөс хойш хатууСансар огторгуйн нэг цэгээс нөгөө рүү шилжих хоёр бие даасан хөдөлгөөнөөр төлөөлүүлж болно: орчуулгын болон эргэлтийн, дараа нь координатын системийг өөрчлөх сонголтууд нь хоёр хөдөлгөөнөөр хязгаарлагддаг.

1). Зэрэгцээ дамжуулалт: бид зөвхөн нэг цэгийг дагаж мөрддөг - цэг.

2). Координатын системийн тэнхлэгүүдийг цэгтэй харьцуулахад эргүүлэх: хатуу биет байдлаар.

Хавтгай дээрх декарт тэгш өнцөгт координатыг хөрвүүлэх.

Хавтгай дээрх координатын системтэй болцгооё: , ба . Координатын системийг системийн параллель орчуулгаар олж авна. Координатын системийг системийг өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авдаг бөгөөд тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх нь эргэлтийн эерэг чиглэлийг авна.

Батлагдсан координатын системийн суурь векторуудыг тодорхойлъё. Системийг параллель шилжүүлэх замаар системийг олж авсан тул эдгээр хоёр системийн хувьд бид үндсэн векторуудыг хүлээн авна: , ба нэгж нэг ба координатын тэнхлэгтэй чиглэлтэй давхцаж байгаа , . Системийн хувьд бид суурь векторуудыг авдаг нэгж векторууд, тэнхлэгүүдийн чиглэлд давхцаж байгаа , .

Координатын систем өгөгдсөн ба дотор нь цэг = тодорхойлогдсон байг. Бид хувиргахаас өмнө координатын системүүд болон . Координатын системд хэрэглэнэ зэрэгцээ шилжүүлэг, вектороор тодорхойлогддог. Энэ нь цэгийн координатын хувиргалтыг тодорхойлох шаардлагатай. Вектор тэгшитгэлийг ашиглая: = + , эсвэл:

Зэрэгцээ орчуулгын хувиргалтыг анхан шатны алгебрт мэддэг жишээн дээр үзүүлье.

Жишээ D–1 : Параболын тэгшитгэл өгөгдсөн: = = . Энэ параболын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруул.

Шийдэл:

1). Техникийг ашиглацгаая гадагшлуулах бүтэн дөрвөлжин : =, үүнийг дараах байдлаар хялбархан илэрхийлж болно: –3 = .

2). Координатын хувиргалтыг хэрэгжүүлье - зэрэгцээ шилжүүлэг := . Үүний дараа параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Алгебр дахь энэхүү хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно: парабол = нүүлгэн шилжүүлэлтээр олж авсан хамгийн энгийн параболбаруун тийш 2, дээш 3 нэгж.

Хариулт: хамгийн энгийн хэлбэрпараболууд: .

Координатын систем өгөгдсөн ба дотор нь цэг = тодорхойлогдсон байг. Бид хувиргахаас өмнө координатын системүүд болон . Координатын системд эргэлтийн хувиргалт хийцгээе, ингэснээр түүний анхны байрлал, өөрөөр хэлбэл системтэй харьцуулахад энэ нь өнцгөөр эргэлддэг. = цэгийн координатын хувиргалтыг тодорхойлох шаардлагатай. Векторыг координатын системд бичээд : = гэж үзье.

Үүний зэрэгцээ, ямар ч өнцгийн хувьд бид: Энэ нь зурагнаас маш энгийнээр ажиглагдаж байна. Дараа нь: = . Сүүлийнхийг дараах байдлаар бичиж болно: = . Векторын тэгшитгэлээс бид цэгийн координатын хувиргалтыг олж авна: .Зохиогчийн эрхийн зөрчил ба

Энэ дугаарын сэдэв нь матриц хэлбэрээр аффины хувиргалтыг хуваарилах явдал юм. Энэ сэдэв нь үндсэндээ өмнө нь хэлсэн бүх зүйлийн хураангуй юм.

Тодорхойлолт.Хавтгай хувиргалтыг гэж нэрлэдэг аффин, Хэрэв

• энэ нь нэгээс нэг;
• аливаа шулуун шугамын дүрс нь шулуун шугам юм.

Өөрчлөлт гэж нэрлэдэг ганцаарчилсан, Хэрэв

• өөр өөр цэгүүд өөр өөр цэгүүдэд очдог;
• цэг болгонд зарим нэг цэг ордог.

Нэг төрлийн координатууд

Хэрэв бид зэрэгцээ дамжуулалтыг авч үзвэл 2х2 матриц нь үүнийг тодорхойлоход хангалттай биш болох нь харагдаж байна. Гэхдээ үүнийг 3х3 матриц ашиглан тодорхойлж болно. Хоёр хэмжээст цэгийн гурав дахь координатыг хаанаас авах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Тодорхойлолт.Нэг төрлийн координатууд - бүх координатыг ижил тоогоор үржүүлэхэд тэдгээрийн тодорхойлсон объект өөрчлөгдөхгүй байх шинж чанартай координатууд.

Нэг төрлийн вектор координат(х, у) нь гурав дахин их тоо юм(x", y", h), энд x = x"/h, y = y"/h, ба h - зарим нь бодит тоо(хэрэв тохиолдол h = 0 онцгой).

Анхаарна ууЭдгээр координатууд нь хавтгай дээрх цэгийг тусгайлан зааж өгөхийг зөвшөөрдөггүй. Жишээлбэл,(1, 1, 1) ба (2, 2, 2) ижил цэгийг тогтооно(1, 1) . Багц авахыг зөвлөж байна(x, y, 1) , энэ нь онгоцны бүх цэгүүдийг дүрслэх болно.

Нэг төрлийн координатын хувиргах матриц нь 3х3 хэмжээтэй байна. Нэг төрлийн координатуудын зарим хувиргалтыг авч үзье.

Шахах / хурцадмал байдал

Энэ хувиргалт нь харгалзах цэгийн координатыг тэнхлэгийн масштабын хүчин зүйлээр үржүүлдэг.(x, y) -> (a x * x, a y * y) . Хувиргах матрицыг дараах байдлаар бичнэ.

[a x 0 0]

Хаана x - тэнхлэгийн суналт x,

а y - тэнхлэгийн суналт y.

Анхаарна ууШахалтын / өргөтгөлийн коэффициентүүдийн сөрөг утгуудын хувьд харгалзах тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад тусгал үүсдэг гэдгийг тэмдэглэж болно. Энэ тохиолдлыг энэ хувиргалтанд оруулж болно, эсвэл масштабын хүчин зүйлүүд зөвхөн эерэг утгыг авдаг гэж тусад нь авч болно.

Эргээрэй

2х2 эргэлтийн матрицыг өмнө нь дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Одоо үүнийг мөр, баганаар нөхөж байна:

[-sin(phi)cos(phi) 0]

Анхаарна уу phi = n өнцгөөр Энэ матриц нь эргэлтийн онцгой тохиолдол болох гарал үүслийн төвийн тэгш хэмийг тодорхойлдог. Энэ тэгш хэмийг сквош/суналтын хувиргалт (сөрөг масштабын хүчин зүйлсийг зөвшөөрөх) ашиглан тодорхойлж болохыг та анзаарах болно.

Зэрэгцээ шилжүүлэг

Анхны вектор (x, y) (x + t x, y + t y) руу ордог. . Хувиргах матрицыг дараах байдлаар бичнэ.

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

Тусгал

Сквош/суналтын өөрчлөлтийн тухай тэмдэглэлд дурдсанчлан тусгалыг дараах байдлаар олж авна.

[-10 0]

x тэнхлэгийн талаархи тусгал

тэнхлэгийн талаархи тусгал y

Аффины хувиргалтын ерөнхий үзэл бодол

Сүүлийн багана нь (0 0 1) T байх 3x3 матриц нь хавтгайн аффин хувиргалтыг тодорхойлно.

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

Аль нэг шинж чанарын дагуу аффины хувиргалтыг дараах байдлаар бичиж болно.

f (x) = x * R + t,

хаана Р – урвуу матриц 2 x2 ба t - дурын вектор. Нэг төрлийн координатуудад үүнийг дараах байдлаар бичнэ.

[R 1.1 R 1.2 0]

[R 2.1 R 2.2 0]

[ t x t y 1 ]

Хэрэв бид мөрийн векторыг энэ матрицаар үржүүлбэл хувиргах үр дүнг авна.

[ xy1 ] *[ R 1.1 R 1.2 0 ]

[R 2.1 R 2.2 0]

[ t x t y 1 ]

[ x’y’1 ]+[ t x t y 1 ]

Энэ тохиолдолд [ x ’ y ’ ]= R *[ x y ]

Анхаарна ууСонирхолтой уншигч өөрөөсөө асуулт асуусан: R матрицын тодорхойлогч нь юу гэсэн үг вэ? Аффин хувиргалтаар бүх дүрсийн талбайнууд | болж өөрчлөгддөгР |. (Та үүнийг математикийн үүднээс хатуу баталж чадна, гэхдээ энэ баримтыг энд нотлох баримтгүйгээр өгсөн болно.)

Тэр. аффины хувиргалт нь матрицаар тодорхойлогдсон зарим өөрчлөлтийн найрлагаар илэрхийлэгддэгР , ба зэрэгцээ шилжүүлэг. Энэхүү матрицын мөн чанар, бидэнд өгч буй боломжуудыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Матриц Р онгоцны шинэ суурийг тодорхойлдог. Тэдгээр. вектор(1, 0) (R 1,1, R 1,2), вектор (0, 1) (R 2,1, R 2,2) руу очно ). Шинэ суурь нь матрицын мөрүүд юмР.

Жишээ.

Y тэнхлэгийн талаар тусгах үед , ординатын тэнхлэгийн дагуу суурь вектор хадгалагдаж, абсцисса тэнхлэгийн дагуу энэ нь болно(-1, 0) . Тэр. матриц R иймэрхүү харагдах болно:

Дээрх хувиргалтаас гадна аффин хувиргалтыг ашиглан та налууг олж авах боломжтой болох нь одоо тодорхой болж байна.

Дээрх нь аффины хувиргалт гэх мэт хүчирхэг хэрэгслийн талаархи үндсэн мэдээллийг өгдөг. Олон асуулт хэвээр байна: аффины хувиргалтуудын аль дэд анги нь шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хадгалдаг вэ? Бид хэд хэдэн дэд ангиллын найрлагаар аффины хувиргалтыг хэрхэн төлөөлөх вэ? Илүү төвөгтэй хувиргалтыг хэрхэн тодорхойлох вэ, жишээлбэл, тэнхлэгийн тэгш хэмдурын шулуун шугамтай харьцуулахад?

Эдгээр асуултын хариулт болон аффины хувиргалтын талаар илүү нарийвчилсан хэлэлцүүлгийг онолын геометрийн хичээлийн хэсэг болгон тусад нь өгөх болно.

Маягт дахь аффины хувиргалтын практик хэрэгжилтийн талаар ярилцъя үзүүлэх хөтөлбөр. Хавтгайг хулганаар эргүүлэхийг харуулсан програмын боломжуудыг товчлуур дарахад зэрэгцээ орчуулгын функцүүдэд нэмдэг. CTRL.

Учир нь Энэ нийтлэл нь энэ хэсгийн сүүлчийнх бөгөөд демо програмын код тохиромжтой байх ёстой. График програмд ​​ямар блокууд хэрэгтэйг олж мэдэхийн зэрэгцээ энэ программд хэрхэн хэрэгжиж байгааг олж мэдье.

• цонх үүсгэж, мессеж боловсруулдаг блок үйлдлийн систем, файлд хэрэгжүүлсэнэайн. cpp
• дүрсийг гаргадаг график хөдөлгүүр, ангиХөдөлгүүр
• логик координатыг цонхны координат руу хөрвүүлэхэд шаардлагатай давхарга ба эсрэгээр ангиХарах цонх
• хэрэглэгчийн үйлдэлд хариу үйлдэл үзүүлэх үүрэгтэй объект, ангиҮйлдэл

Доорх жишээ нь эдгээр функциональ блокуудыг дэлгэрэнгүй тайлбартайгаар хэрэгжүүлдэг.

5. ГЕОМЕТРИЙН ӨӨРЧЛӨЛТҮҮД

Дэлгэцийн дэлгэц дээр дүрсийг харуулах, үүнтэй холбоотой янз бүрийн үйлдэл, түүний дотор харааны дүн шинжилгээ хийх нь хэрэглэгчээс тодорхой хэмжээний геометрийн мэдлэг шаарддаг. Геометрийн ойлголтууд, үндсэндээ хавтгай, гурван хэмжээст тохиолдлуудтай холбоотой томьёо, баримтууд асуудалд тоглодог компьютерийн график онцгой үүрэг. Геометрийн үзэл бодол, хандлага, санаанууд нь байнга өргөжиж буй боломжуудтай хослуулсан компьютерийн технологибайна шавхагдашгүй эх сурвалжкомпьютер графикийн хөгжилд томоохон дэвшил, түүний үр дүнтэй ашиглахшинжлэх ухааны болон бусад судалгаанд. Заримдаа хамгийн энгийн геометрийн техникүүд ч гэсэн том график асуудлыг шийдвэрлэх үе шатуудад мэдэгдэхүйц ахиц дэвшил өгдөг.

5.1. Онгоц болон сансар огторгуй дахь өөрчлөлтүүд

Объект, тэдгээрийн эд ангиудын хөдөлгөөн зэрэг асуудлыг шийдэхийн тулд камерын удирдлагыг ашигладаг аффины хувиргалт(AP), тэдгээрийн үндсэн шинж чанарыг авч үзье:

1) нэг шугам дээр байрлах цэгүүд, хувиргасны дараа нэг шугам дээр хэвтэх;

2) огтлолцсон шугамууд огтлолцсон хэвээр, зэрэгцээ шугамууд нь зэрэгцээ хэвээр байна;

3) орон зайн AP-тай огтлолцох онгоцууд огтлолцсон хэвээр, параллель хавтгайнууд параллель хэвээр, огтлолцох онгоцууд огтлолцсон хэвээр байна;

4) AP-тай бол хавтгай дээрх хоёр квадратын талбайн харьцаа ба орон зай дахь хоёр шоо дөрвөлжингийн эзлэхүүний харьцаа хадгалагдана.

Хавтгай дээрх аффины өөрчлөлтүүд

Хавтгай дээр шулуун шугам өгөгдсөн гэж бодъё координатын систем. Дараа нь M цэг бүр нь түүний координатын дараалсан хос тоо (x, y) -тай тохирч байна (Зураг 5.1). Хавтгай дээр өөр нэг шулуун шугаман координатын системийг нэвтрүүлснээр бид ижил M цэгийг өөр хос тоотой холбодог - (x *, y *).

Хавтгай дээрх нэг шулуун шугаман координатын системээс нөгөөд шилжих шилжилтийг дараах харьцаагаар тодорхойлно.

x* = α x+ β y+ λ ,

y* = γ x+ δ y+ μ ,

Энд α, β, λ, γ, μ, δ – дурын тоотэгш бус байдалтай холбоотой

α β ≠ 0.

γ δ

Томъёо (1)-ийг хоёр янзаар авч үзэж болно: цэг хадгалагдаж, координатын систем өөрчлөгдөнө (Зураг 5.2) (энэ тохиолдолд). дурын цэг M нь хэвээрээ, зөвхөн координат нь өөрчлөгддөг) эсвэл цэг өөрчлөгдөж, координатын систем хадгалагдана (Зураг 5.3) (энэ тохиолдолд (1) томъёонууд нь дурын M (x, y) цэгийг хувиргах зураглалыг тодорхойлдог. цэг M * (x *, y *), координат нь ижил координатын системд тодорхойлогддог.

IN Дараахь зүйлд бид (1) томъёог авч үзэх болно, үүний дагуу хавтгайн цэгүүд нь өгөгдсөн шулуун шугаман координатын системд хувирдаг.

IN Хавтгайн аффин өөрчлөлтөд маш сайн геометрийн шинж чанартай хэд хэдэн чухал онцгой тохиолдлууд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг. Судалгаа хийж байхдаа геометрийн утга тоон коэффициенттомъёонд (1) эдгээр тохиолдлуудад үүнийг таамаглахад тохиромжтой өгөгдсөн системкоординат нь тэгш өнцөгт декарт юм.

1. Эргээрэй эхлэх цэгөнцгөөрϕ-ийг томъёогоор тайлбарлав

x * = x cosϕ − y sinϕ ,

y * = x sinϕ + y cosϕ .

2. Координатын тэнхлэгийн дагуу суналтыг (шахалтыг) дараах байдлаар тохируулж болно.

x * = α x ,y * = δ y ,α > 0,δ > 0.

Абсцисса тэнхлэгийн дагуух хурцадмал байдал нь α > 1, шахалт нь 0 байх тохиолдолд хийгддэг<α < 1.

3. Тусгал (х тэнхлэгтэй харьцуулахад) ашиглан тодорхойлсон

x *= x ,y *= − y .

4. Зэрэгцээ шилжүүлгийг харилцаа холбоогоор хангадаг

x* = x+ λ , y* = y+ μ .

Эдгээр дөрвөн онцгой тохиолдлыг сонгох нь хоёр нөхцөл байдлаас шалтгаална.

1. Дээрх хувиргалт бүр нь энгийн бөгөөд тодорхой геометрийн утгатай (дээрх томъёонд орсон тогтмол тоонууд нь мөн геометрийн утгатай).

2. Аналитик геометрийн явцад нотлогдсоноор (1) хэлбэрийн аливаа өөрчлөлтийг үргэлж дараах байдлаар илэрхийлж болно.

хамгийн энгийн хувиргалтыг тууштай гүйцэтгэх. Эдгээр сайн мэддэг томъёог үр дүнтэй ашиглахын тулд

Компьютерийн графикт матрицын тэмдэглэгээ илүү тохиромжтой байдаг. A, B, C тохиолдлуудад тохирох матрицуудыг бүтээхэд хялбар бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

Гэсэн хэдий ч доор авч үзсэн асуудлуудыг шийдвэрлэхийн тулд хамгийн энгийн дөрвөн хувиргалтыг (шилжилтийг оруулаад) матрицын хандлагыг ашиглах нь зүйтэй бөгөөд иймээс ерөнхий аффины хувиргалт. Үүнийг жишээлбэл, дараах байдлаар хийж болно: дээр дурдсанчлан хос тоогоор эрэмбэлэгдсэн биш, харин дараалсан гурвын тоогоор эрэмбэлсэн хавтгай дээрх дурын цэгийн тайлбар руу оч.

Нэг төрлийн цэгийн координат

Өгөгдсөн шулуун координатын системтэй харьцуулан тооцсон yy координаттай хавтгай дээрх дурын цэгийг M гэж үзье. Энэ цэгийн нэгэн төрлийн координатууд нь өгөгдсөн x ба у тоонуудтай дараах харьцаагаар холбогдсон x 1 , x 2 , x 3 гэсэн тэгээс бусад тоонуудын дурын гурвалсан тоо юм.

x 1/ x 3= x , x 2/ x 3= y .

Компьютерийн графикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ нэгэн төрлийн координатыг ихэвчлэн дараах байдлаар оруулдаг: хавтгайн дурын M (x, y) цэг нь орон зай дахь M * (x, y, 1) цэгтэй холбоотой байдаг (Зураг 5.4).

Эхийг холбосон шугамын дурын цэг болох О (0, 0, 0) цэгийг M * (x,y, 1) цэгтэй (hx,hy,h) хэлбэрийн гурав дахин тоогоор тодорхойлж болохыг анхаарна уу. ).

Цагаан будаа. 5.4. Нэг төрлийн координатууд

Бид h ≠ 0 гэж үзнэ. hx,hy,h координаттай вектор нь 0(0, 0, 0) ба M *(x,y, 1) цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын чиглэлийн вектор юм. Энэ шулуун нь z = 1 хавтгайг (x,y, 1) цэгээр огтолж байгаа бөгөөд энэ нь координатын хавтгайн (x,y) цэгийг онцгойлон тодорхойлдог.

Тиймээс (х, у) координаттай дурын цэг ба h ≠ 0-ийн хувьд (hx,hy,h) хэлбэрийн гурвалсан тоонуудын хооронд (нэг нэгээр нь) захидал харилцаа тогтоогдсон бөгөөд энэ нь бидэнд боломжийг олгодог. hx,hy,h тоонуудыг энэ цэгийн шинэ координат гэж үзнэ.

Проекцийн геометрийн хувьд нэгэн төрлийн координатын хувьд дараах тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг: x : y : 1 эсвэл x 1 : x 2 : x 3 (х 1, x 2, x 3 тоонууд нэгэн зэрэг тэг болж хувираагүй).

Нэг төрлийн координатыг ашиглах нь хамгийн энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой, жишээлбэл, масштаблах:

1) Нэг төрлийн координаттай (0.5; 0.1; 2.5) h=1 цэгийг бүхэл координатаар дүрслэх боломжгүй, жишээлбэл, сонгохдоо h= 10 бид (5; 1; 25) авна;

2) ингэснээр хувиргах үр дүн нь координаттай цэгийн хувьд арифметик халихад хүргэдэггүй

(80000;40000;1000) авч болно, жишээ нь h= 0.001. дахин

Үүний үр дүнд бид (80;40;1) авна.

Өгөгдсөн жишээнүүд нь тооцоолол хийхдээ нэгэн төрлийн координат ашиглах нь ашигтай болохыг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч компьютерийн графикт нэгэн төрлийн координатыг нэвтрүүлэх гол зорилго нь геометрийн хувиргалтуудад хэрэглэхэд эргэлзээгүй хялбар байдал юм.

Нэг төрлийн координатын гурвалсан ба гуравдахь эрэмбийн матрицуудыг ашиглан хавтгайн ямар нэгэн аффин хувиргалтыг дүрсэлж болно.

Үнэн хэрэгтээ h = 1 гэж үзвэл хоёр оруулгыг харьцуулъя: тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн * ба дараах матриц нэг:

Сүүлчийн харилцааны баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг үржүүлсний дараа бид томъёо (1) болон зөв тоон тэгшитгэл 1 ≡ 1 хоёуланг нь олж авахыг хялбархан харж болно. Тиймээс харьцуулсан бичлэгүүдийг эквивалент гэж үзэж болно.

Дурын аффин хувиргах матрицын элементүүд нь тодорхой геометрийн утгыг агуулдаггүй. Тиймээс, энэ эсвэл өөр зураглалыг хэрэгжүүлэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн геометрийн тодорхойлолтын дагуу харгалзах матрицын элементүүдийг олохын тулд тусгай арга техник шаардлагатай. Дүрмээр бол энэ матрицыг барьж байгуулах ажлыг хэлэлцэж буй асуудлын нарийн төвөгтэй байдлын дагуу хэд хэдэн үе шатанд хуваадаг.

Үе шат бүрт дээр дурдсан A, B, C эсвэл D тохиолдлуудад тохирсон матриц олддог бөгөөд тэдгээр нь тодорхой геометрийн шинж чанартай байдаг.

Харгалзах гуравдугаар эрэмбийн матрицуудыг бичье.

Хавтгайн аффин хувиргалтын жишээг авч үзье.

Жишээ 1. Эргэлтийн матрицыг байгуул

эргэлтийн төвийг өмнөх байрлал руу нь буцаах; харгалзах хувиргалтын матриц.

Матрицуудыг бичсэн дарааллаар нь үржүүлье: . Үүний үр дүнд бид хүссэн хувиргалт (матрицын тэмдэглэгээ) дараах байдлаар харагдах болно.

Үүссэн матрицын элементүүдийг (ялангуяа сүүлийн эгнээнд) санах нь тийм ч хялбар биш юм. Үүний зэрэгцээ гурван үржүүлсэн матриц тус бүрийг харгалзах зураглалын геометрийн тайлбараас хялбархан бүтээдэг.

Жишээ 2. Абсцисса тэнхлэгийн дагуу α, ординатын тэнхлэгийн дагуу β суналтын коэффициенттэй, A(a, b) цэг дээр төвлөрсөн суналтын матрицыг байгуул.

1-р алхам. Сунгах төвийг координатын эхтэй зэрэгцүүлэхийн тулд A (-a, -b) вектор руу шилжүүлнэ.

2-р алхам. α ба β коэффициент бүхий координатын тэнхлэгийн дагуу сунах.

3-р алхам. Хүчдэлийн төвийг өмнөх байрлал руу буцаахын тулд A (a,b) вектор руу шилжүүлэх; харгалзах хувиргалтын матриц.