тухай уншина уу долгионы функцба квант механикийн магадлалын онолууд: Шредингерийн тэгшитгэлийн мөн чанар, квант бөөмийн төлөв байдал, гармоник осциллятор, диаграмм.
Бид бөөмийн квант төлөв, түүний зан төлөвийг тодорхойлдог квант механик дахь магадлалын далайцын тухай ярьж байна.
Сургалтын зорилго
- Долгионы функц болон бөөмсийг тодорхойлох магадлалын нягтыг нэгтгэ.
Гол цэгүүд
- |ψ| 2 (x) нь тодорхой газар, момент дахь бөөмсийг тодорхойлох магадлалын нягттай тохирч байна.
- Квант механикийн хуулиуд нь долгионы функцийн хувьслыг тодорхойлдог. Шредингерийн тэгшитгэл нь түүний нэрийг тайлбарладаг.
- Долгионы функц нь тооцоолол болон физикийн тайлбарт олон тооны математик хязгаарлалтуудыг хангасан байх ёстой.
Нөхцөл
- Шредингерийн тэгшитгэл нь төлөвийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог хэсэгчилсэн дифференциал юм физик систем. Үүнийг 1925 онд Эрвин Шрөдингер боловсруулсан.
- Гармоник осциллятор нь анхны байрлалаасаа шилжсэн үед х шилжилттэй пропорциональ F хүчний нөлөөлөлд өртдөг систем юм.
Квант механикийн хүрээнд долгионы функц нь бөөмийн квант төлөв ба түүний зан төлөвийг тодорхойлдог магадлалын далайцыг тусгадаг. Ихэвчлэн үнэ цэнэ нь байдаг нийлмэл тоо. Долгионы функцийн хамгийн түгээмэл тэмдэг нь ψ (x) эсвэл Ψ (x) юм. Хэдийгээр ψ нь комплекс тоо боловч |ψ| 2 - бодит бөгөөд тодорхой газар, цаг хугацаанд бөөмсийг олох магадлалын нягттай тохирч байна.
Замын чиглэлийг энд харуулав гармоник осцилляторсонгодог (A-B) ба квант (C-H) механик. Квантын бөмбөг нь долгионы функцтэй жинхэнэ хэсэгцэнхэр өнгөөр, улаанаар төсөөлөгддөг. ТраекторуудC-F - жишээнүүд зогсож буй долгион. Ийм давтамж бүр нь осцилляторын боломжит энергийн түвшинтэй пропорциональ байх болно
Квант механикийн хуулиуд цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг. Долгионы функц нь усан дахь долгион эсвэл утас гэх мэт бусадтай төстэй. Шредингерийн томъёо нь математикийн долгионы тэгшитгэлийн нэг төрөл юм. Энэ нь долгионы бөөмсийн хоёрдмол байдалд хүргэдэг.
Долгионы функц нь дараах хязгаарлалтыг дагаж мөрдөх ёстой.
- үргэлж эцсийн.
- үргэлж тасралтгүй ба тасралтгүй ялгах боломжтой.
- 100% баталгаатай бөөмс оршин тогтнох зохих хэвийн нөхцөлийг хангана.
Хэрэв шаардлага хангаагүй бол долгионы функцийг магадлалын далайц гэж тайлбарлах боломжгүй. Хэрэв бид эдгээр байрлалыг үл тоомсорлож, долгионы функцийг ашиглан квант системийн ажиглалтыг тодорхойлох юм бол бид хязгаарлагдмал ба тодорхой утгыг авахгүй.
Долгион функц, эсвэл psi функц ψ (\displaystyle \psi )- системийн цэвэр төлөвийг тодорхойлохын тулд квант механикт ашигладаг нийлмэл утгатай функц. Суурь дээрх төлөвийн векторын тэлэлтийн коэффициент (ихэвчлэн координатын нэг):
|
ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)Хаана | x⟩ = |
x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)\right\rangle )
координатын суурь вектор, ба Ψ(x, t) = ⟨x |ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )
- координатын дүрслэл дэх долгионы функц.Долгионы функцийг хэвийн болгох Долгион функцΨ (\displaystyle \Psi)
Үүний утгаараа нормчлолын нөхцөл гэж нэрлэгддэг нөхцөлийг хангасан байх ёстой, жишээлбэл, координатын дүрслэлд дараахь хэлбэртэй байна.
∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1) Энэ нөхцөл нь сансар огторгуйн аль ч газраас өгөгдсөн долгионы функцтэй бөөмийг олох магадлал нэгтэй тэнцүү болохыг илэрхийлдэг. INерөнхий тохиолдол Өгөгдсөн дүрслэл дэх долгионы функц хамаарах бүх хувьсагчид дээр интеграци хийгдэх ёстой.Квантын төлөв байдлын суперпозиция зарчим
Долгионы функцүүдийн хувьд суперпозицийн зарчим хүчинтэй бөгөөд хэрэв систем долгионы функцээр тодорхойлогдсон төлөвт байж болно гэсэн үг юм.Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) Тэгээдерөнхий тохиолдол Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)).
, тэгвэл долгионы функцээр тодорхойлсон төлөвт бас байж болно Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\нийлбэр _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).
Энэ төлөвт коэффициентийн модулийн квадрат c n (\displaystyle (c)_(n))хэмжилт хийх үед системийг долгионы функцээр тодорхойлсон төлөвт илрүүлэх магадлалыг тодорхойлдог Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).
Иймээс хэвийн болсон долгионы функцүүдийн хувьд ∑ n = 1 N |.
c n |
2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1) Долгионы функцийн тогтмол байдлын нөхцөлДолгионы функцийн магадлалын утгыг ногдуулдаг тодорхой хязгаарлалтууд
, эсвэл нөхцөл, квант механикийн асуудлууд дахь долгионы функцууд дээр. Эдгээр стандарт нөхцлийг ихэвчлэн нэрлэдэгдолгионы функцийн тогтмол байдлын нөхцөл. Төрөл бүрийн дүрслэл дэх долгионы функцтөлөвийг өөр өөр дүрслэлд ашигладаг - өөр өөр координатын систем дэх ижил векторын илэрхийлэлтэй тохирч байх болно. Долгионы функцтэй бусад үйлдлүүд нь векторуудын хэлээр ижил төстэй байдаг. Долгионы механикт psi функцийн аргументууд нь бүрэн систем болох дүрслэлийг ашигладаг тасралтгүйшилжих ажиглалтын ба матрицын дүрслэл нь psi функцийн аргументууд нь бүрэн систем болох дүрслэлийг ашигладаг.
салангид
зорчих ажиглалтын хэрэгслүүд. Тиймээс функциональ (долгион) ба матрицын томъёолол нь математикийн хувьд тэнцүү байх нь ойлгомжтой.
корпускуляр - квант физикийн долгионы дуализм, бөөмийн төлөвийг долгионы функц ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-функц) ашиглан дүрсэлдэг.Тодорхойлолт 1
Долгион функц
нь квант механикт хэрэглэгддэг функц юм. Энэ нь орон зайд хэмжээс бүхий системийн төлөв байдлыг тодорхойлдог. Энэ бол төрийн вектор юм.
Квантын физикийн зорилго нь үйл явдлыг үнэн зөв таамаглах бус, харин тодорхой үйл явдлын магадлалыг тооцоолох явдал юм. Магадлалын утгыг мэдэж, физик хэмжигдэхүүний дундаж утгыг ол. Долгионы функц нь ийм магадлалыг олох боломжийг олгодог.
Тиймээс t үед dV эзэлхүүн дэх бичил бөөмс байх магадлалыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
Энд $\psi^*$ нь $\psi функцийн нийлмэл коньюгат функц юм.$ Магадлалын нягт (нэгж эзлэхүүн дэх магадлал) нь дараахтай тэнцүү байна.
Магадлал гэдэг нь туршилтанд ажиглагдаж болох хэмжигдэхүүн юм. Үүний зэрэгцээ долгионы функц нь нарийн төвөгтэй байдаг тул ажиглалт хийх боломжгүй (сонгодог физикт бөөмийн төлөв байдлыг тодорхойлдог параметрүүдийг ажиглахад ашиглах боломжтой).
$\psi$-функцийг хэвийн болгох нөхцөл
Долгионы функцийг дурын тогтмол хүчин зүйл хүртэл тодорхойлно. Энэ баримт$\psi$-функцийн тодорхойлсон бөөмийн төлөв байдалд нөлөөлөхгүй. Гэсэн хэдий ч долгионы функцийг хэвийн болгох нөхцлийг хангасан байдлаар сонгосон.
интегралыг бүхэлд нь орон зайд эсвэл долгионы функц нь тэг биш мужийг эзэлдэг. Нормчиллын нөхцөл (2) нь $\psi\ne 0$ бүхий бүс нутагт бөөмс найдвартай байгааг хэлнэ. Хэвийн нөхцөлийг дагаж мөрддөг долгионы функцийг нормчлогдсон гэж нэрлэдэг. Хэрэв $(\left|\psi\right|)^2=0$ байвал энэ нөхцөлсудалж байгаа хэсэгт бөөмс байхгүй байж магадгүй гэсэн үг.
(2) хэлбэрийг хэвийн болгох нь хувийн утгуудын салангид спектрээр боломжтой.
Хэвийн нөхцөлийг хангах боломжгүй байж магадгүй юм. Тэгэхээр, хэрэв $\psi$ нь хавтгай де Бройль долгион бөгөөд бөөмс олох магадлал нь огторгуйн бүх цэгүүдэд ижил байна. Эдгээр тохиолдлуудыг гэж үздэг хамгийн тохиромжтой загвар, бөөмс нь орон зайн том боловч хязгаарлагдмал мужид байдаг.
Долгионы функцийн суперпозиция зарчим
Энэ зарчим нь үндсэн постулатын нэг юм квант онол. Үүний утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв зарим системийн хувьд $\psi_1\ (\rm ба)\ $$\psi_2$ долгионы функцээр дүрслэгдсэн төлөвүүд боломжтой бол энэ системийн хувьд төлөв байна:
$C_(1\)болон\ C_2$ -- тогтмол магадлал. Суперпозиция зарчмыг эмпирик байдлаар баталж байна.
Бид хэд хэдэн квант төлөвийг нэмэх талаар ярьж болно.
Энд $(\left|C_n\right|)^2$ нь систем $\psi_n долгионы функцээр тодорхойлогдсон төлөвт байх магадлал юм. дараах нөхцөл хангагдсан байна:
Хөдөлгөөнгүй төлөв байдал
Квантын онолд онцгой үүрэгхөдөлгөөнгүй төлөвтэй байна (бүгд ажиглагдаж болох төлөвүүд физик үзүүлэлтүүдцаг хугацааны явцад өөрчлөгдөхгүй). (Долгионы функц нь өөрөө үндсэндээ ажиглагдахгүй.) Тогтвортой төлөвт $\psi$-функц нь дараах хэлбэртэй байна.
Энд $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ цаг хугацаанаас хамаарахгүй, $E$ нь бөөмийн энерги юм. Долгионы функцийн (3) хэлбэрийн хувьд магадлалын нягт ($P$) нь цаг хугацааны тогтмол байна.
-аас физик шинж чанар суурин төлөвүүддараа нь $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \(\psi(x,y,z))$ долгионы функцэд тавигдах математикийн шаардлага.
Хөдөлгөөнгүй төлөвийн долгионы функцэд тавигдах математикийн шаардлага
$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- функц нь бүх цэг дээр байх ёстой:
- тасралтгүй,
- хоёрдмол утгагүй,
- хязгаарлагдмал.
Хэрэв боломжит энергитасархай гадаргуутай бол ийм гадаргуу дээр $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ функц болон түүний эхний дериватив тасралтгүй хэвээр байх ёстой. Боломжит энерги хязгааргүй болох орон зайн бүсэд $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ тэг байх ёстой. $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ функцийн тасралтгүй байдал нь энэ бүсийн аль ч хил дээр $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ байхыг шаарддаг. Тасралтгүй байдлын нөхцөлийг долгионы функцийн хэсэгчилсэн деривативуудад ногдуулдаг ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ хэсэгчилсэн z)$).
Жишээ 1
Дасгал:Тодорхой бөөмийн хувьд долгионы функц өгөгдсөн: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, энд $r$ нь бөөмс хүртэлх зай юм. хүчний төв рүү (Зураг 1), $a=const$. Нормчиллын нөхцөлийг хэрэглэж, хэвийн болгох коэффициент А-г ол.
Зураг 1.
Шийдэл:
Тохиолдлынхоо хэвийн нөхцөлийг дараах хэлбэрээр бичье.
\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\баруун),))\]
$dV=4\pi r^2dr$ (1-р зургийг үз. Нөхцөл байдлаас харахад асуудал үүссэн нь тодорхой байна. бөмбөрцөг тэгш хэм). Асуудлын нөхцлөөс бид дараах байдалтай байна.
\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a) ))\зүүн(1.2\баруун).\]
$dV$ ба долгионы функцийг (1.2) хэвийн болгох нөхцөлд орлуулъя:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ баруун).)\]
Зүүн талд интеграцийг хийцгээе:
\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\зүүн(1.4\баруун).)\]
(1.4) томъёоноос бид шаардлагатай коэффициентийг илэрхийлнэ.
Хариулт:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$
Жишээ 2
Дасгал:Устөрөгчийн атом дахь электроны үндсэн төлөвийг тодорхойлсон долгионы функцийг дараах байдлаар тодорхойлж чадвал электрон цөмөөс хамгийн их магадлалтай зай ($r_B$) хэд байх вэ: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, энд $ r$ нь электроноос цөм хүртэлх зай, $a$ нь Борын эхний радиус вэ?
Шийдэл:
Бид $t$ үед $dV$ эзэлхүүн дэх бичил бөөмс байх магадлалыг тодорхойлох томъёог ашигладаг.
$dV=4\pi r^2dr.\ $Тиймээс бид:
Энэ тохиолдолд бид $p=\frac(dP)(dr)$-г дараах байдлаар бичнэ.
Хамгийн их магадлалтай зайг тодорхойлохын тулд $\frac(dp)(dr)$ дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна:
\[(\зүүн.\frac(dp)(dr)\баруун|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\баруун)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\баруун)=0(2.4)\]
$8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ гэсэн шийдэл бидэнд тохирохгүй тул дараах байдалтай байна.
Энэ нийтлэлд долгионы функц ба түүний физик утгыг тайлбарласан болно. Энэхүү ойлголтыг Шредингерийн тэгшитгэлийн хүрээнд хэрэглэхийг мөн авч үздэг.
Шинжлэх ухаан квант физикийн нээлтийн босгон дээр байна
19-р зууны сүүлчээр амьдралаа шинжлэх ухаантай холбохыг хүссэн залуучууд физикч болох хүсэлгүй болжээ. Бүх үзэгдлүүд аль хэдийн нээгдсэн бөгөөд цаашид энэ чиглэлээр томоохон нээлт хийх боломжгүй гэсэн үзэл бодол байсан. Одоо хэдийгээр хүний мэдлэг бүрэн дүүрэн харагдаж байгаа ч хэн ч ингэж ярьж зүрхлэхгүй. Яагаад гэвэл энэ нь ихэвчлэн тохиолддог: аливаа үзэгдэл, үр нөлөөг онолын хувьд урьдчилан таамагласан боловч хүмүүст үүнийг батлах эсвэл үгүйсгэх техник, технологийн хүч дутмаг байдаг. Жишээлбэл, Эйнштейн зуу гаруй жилийн өмнө таамаглаж байсан бол ердөө жилийн өмнө тэдний оршин тогтнохыг батлах боломжтой болсон. Энэ нь дэлхий ертөнцөд бас хамаатай (жишээлбэл, долгионы функц гэх мэт ойлголт нь тэдэнд хамааралтай): эрдэмтэд атомын бүтэц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг ойлгох хүртэл ийм жижиг объектуудын зан төлөвийг судлах шаардлагагүй байв.
Спектр ба гэрэл зураг
Хөгжлийн түлхэц квант физикгэрэл зургийн технологийн хөгжил байв. 20-р зууны эхэн үе хүртэл зураг авах нь төвөгтэй, цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд үнэтэй байсан: камер нь хэдэн арван кг жинтэй, загвар өмсөгчид нэг байрлалд хагас цаг зогсох ёстой байв. Нэмж дурдахад гэрэл мэдрэмтгий эмульсээр бүрсэн эмзэг шилэн хавтангуудтай ажиллахад өчүүхэн төдий алдаа гарсан нь мэдээллийн эргэлт буцалтгүй алдагдахад хүргэсэн. Гэвч аажмаар төхөөрөмжүүд хөнгөн болж, хөшигний хурд богиносч, хэвлэлийн үйлдвэрлэл улам бүр төгс болов. Эцэст нь спектрийг олж авах боломжтой болсон янз бүрийн бодисууд. Спектрийн мөн чанарын тухай анхны онолуудад үүссэн асуултууд ба үл нийцэлүүд нь бүхэл бүтэн байдлыг бий болгосон. шинэ шинжлэх ухаан. Үндэслэл математик тайлбарбичил ертөнцийн зан төлөв нь бөөмийн долгионы функц ба түүний Шредингерийн тэгшитгэл болсон.
Долгион-бөөмийн хоёрдмол байдал
Атомын бүтцийг тодорхойлсны дараа асуулт гарч ирэв: яагаад электрон цөм дээр унахгүй байна вэ? Эцсийн эцэст, Максвеллийн тэгшитгэлийн дагуу аливаа хөдөлгөөнт цэнэгтэй бөөм нь цацраг ялгаруулдаг тул энерги алддаг. Хэрэв энэ нь цөм дэх электронуудын хувьд үнэн байсан бол бидний мэдэж байгаагаар орчлон ертөнц удаан оршин тогтнохгүй байх байсан. Бидний зорилго бол долгионы функц ба түүний функц гэдгийг санаарай статистик утга.
Эрдэмтдийн гайхалтай таамаглал аврах ажилд ирэв: энгийн бөөмс нь долгион ба бөөмс (корпускул) юм. Тэдний шинж чанар нь импульсийн дагуу масс, давтамжтай долгионы урт юм. Нэмж дурдахад, урьд өмнө үл нийцэх хоёр шинж чанар байсны ачаар энгийн хэсгүүд шинэ шинж чанарыг олж авсан.
Тэдний нэг нь төсөөлөхөд хэцүү ээрэх юм. -аас илүү байдаг нарийн ширхэгтэй тоосонцор, кваркууд, эдгээр шинж чанарууд нь маш олон тул тэдэнд үнэхээр гайхалтай нэр өгсөн: үнэр, өнгө. Хэрэв уншигч квант механикийн тухай номонд тэдэнтэй тааралдвал тэр санаж яваарай: тэдгээр нь анх харахад огтхон ч биш юм. Гэсэн хэдий ч бүх элементүүд нь хачирхалтай шинж чанартай байдаг ийм системийн зан төлөвийг бид хэрхэн дүрслэх вэ? Хариулт нь дараагийн хэсэгт байна.
Шредингерийн тэгшитгэл
Тэгшитгэл нь энгийн бөөмс (мөн ерөнхий хэлбэрээр квант систем) байрладаг төлөвийг олох боломжийг олгодог.
i ħ[(d/dt) Ψ]= Ĥ ψ.
Энэ харилцааны тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна.
- ħ=h/2 π, энд h нь Планкийн тогтмол.
- Ĥ - Хамилтониан, системийн нийт энергийн оператор.
Энэ функцийг шийдэж буй координат, нөхцөлийг бөөмийн төрөл, түүний байрлах талбарт тохируулан өөрчлөх замаар авч үзэж буй системийн зан үйлийн хуулийг олж авах боломжтой.
Квантын физикийн үзэл баримтлал
Ашигласан нэр томьёо нь харагдахуйц энгийн байдалд уншигчид бүү хууртцгаая. "Оператор", " гэх мэт үг хэллэгүүд нийт эрчим хүч", "нэгж нүд", байна физик нэр томъёо. Тэдгээрийн утгыг тусад нь тодруулах хэрэгтэй бөгөөд сурах бичиг ашиглах нь дээр. Дараа нь бид долгионы функцийн тодорхойлолт, хэлбэрийг өгөх болно, гэхдээ энэ нийтлэл нь тойм шинж чанартай юм. Энэ ойлголтыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд математикийн аппаратыг тодорхой түвшинд судлах шаардлагатай.
Долгион функц
Түүний математик илэрхийлэл нь
|ψ(t)> = ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
Электрон эсвэл бусад энгийн бөөмийн долгионы функцийг үргэлж дараах байдлаар дүрсэлдэг Грек үсэгΨ, ийм учраас үүнийг заримдаа psi функц гэж нэрлэдэг.
Эхлээд та функц нь бүх координат, цаг хугацаанаас хамаардаг гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, Ψ(x, t) нь үнэндээ Ψ(x 1, x 2 ... x n, t) юм. Чухал тэмдэглэл, Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдэл нь координатаас хамаарна.
Дараа нь, |x> гэж бид сонгосон координатын системийн суурь векторыг хэлж байгааг тодруулах шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, яг юу авах шаардлагатай байгаагаас хамааран импульс буюу магадлал |x> нь | x 1, x 2, …, x n >. Мэдээжийн хэрэг, n нь хамгийн бага хэмжээнээс хамаарна вектор суурьсонгосон систем. Энэ нь ердийн үед гурван хэмжээст орон зай n=3. Туршлагагүй уншигчдын хувьд x индикаторын ойролцоо байгаа эдгээр бүх дүрс нь зүгээр нэг дур сонирхол биш, харин тодорхой математикийн үйлдэл гэдгийг тайлбарлая. Математикийн хамгийн төвөгтэй тооцоололгүйгээр үүнийг ойлгох боломжгүй тул сонирхсон хүмүүс түүний утгыг өөрсдөө олж мэдэх болно гэдэгт бид чин сэтгэлээсээ найдаж байна.
Эцэст нь Ψ(x, t)= гэдгийг тайлбарлах шаардлагатай
Долгионы функцийн физик мөн чанар
Гэсэн хэдий ч суурь үнэ цэнээнэ хэмжигдэхүүний хувьд энэ нь өөрөө ямар ч үзэгдэл, үзэл баримтлалыг үндэс болгон авч үздэггүй. Долгионы функцийн физик утга нь түүний нийт модулийн квадрат юм. Томъёо дараах байдалтай байна.
|Ψ (x 1 , x 2 , …, x n , t)| 2 = ω,
Энд ω нь магадлалын нягтын утгатай байна. Дискрет спектрийн хувьд (тасралтгүй биш) энэ хэмжигдэхүүн нь зүгээр л магадлал болж хувирдаг.
Долгионы функцийн физик утгын үр дагавар
Энэхүү физик утга нь бүх зүйлд асар их үр дагавартай байдаг. квант ертөнц. ω-ийн утгаас харахад энгийн бөөмсийн бүх төлөв магадлалын утгыг олж авдаг. Ихэнх тод жишээатомын цөмийг тойрсон тойрог замд электрон үүлний орон зайн тархалт юм.
Хамгийн ихтэй атом дахь электронуудын эрлийзжүүлэлтийн хоёр төрлийг авч үзье энгийн хэлбэрүүдүүл: s ба p. Эхний төрлийн үүл нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг. Гэхдээ уншигч та физикийн сурах бичгүүдээс санаж байгаа бол эдгээр электрон үүл нь гөлгөр бөмбөрцөг биш харин нэг төрлийн бүдэг цэгэн бөөгнөрөл хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. Энэ нь цөмөөс тодорхой зайд бүхий бүс байдаг гэсэн үг юм хамгийн их магадлалтай s электронтой уулзана. Гэсэн хэдий ч, бага зэрэг ойр, бага зэрэг энэ магадлал тэг биш, харин бага байна. Энэ тохиолдолд p-электронуудын хувьд электрон үүлний хэлбэр нь тодорхой бус дамббелл хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. Өөрөөр хэлбэл, электрон олох магадлал хамгийн өндөр байдаг нэлээд төвөгтэй гадаргуу байдаг. Гэхдээ энэ "дамббелл" -ын ойролцоо ч гэсэн цөмд ойр, цаашлаад ийм магадлал тэг биш юм.
Долгионы функцийг хэвийн болгох
Сүүлийнх нь долгионы функцийг хэвийн болгох шаардлагатай гэсэн үг юм. Нормчилал гэдэг нь тодорхой харьцаа үнэн байх тодорхой параметрүүдийн ийм "тохируулга" гэсэн үг юм. Хэрэв бид орон зайн координатыг авч үзвэл өгөгдсөн бөөмийг (жишээлбэл электрон) олох магадлал. одоо байгаа орчлон ертөнц 1-тэй тэнцүү байх ёстой. Томъёо нь дараах байдалтай байна.
ʃ V Ψ* Ψ dV=1.
Тиймээс энерги хадгалагдах хууль хангагдсан: хэрэв бид тодорхой электроныг хайж байгаа бол энэ нь бүхэлдээ байх ёстой. зай өгсөн. Үгүй бол Шрөдингерийн тэгшитгэлийг шийдэх нь утгагүй юм. Энэ бөөмс нь оддын дотор эсвэл аварга том сансрын хоосон зайд байгаа нь хамаагүй, энэ нь хаа нэгтээ байх ёстой.
Функц хамаарах хувьсагч нь орон зайн бус координат байж болохыг бид дөнгөж сая дурдсан. Энэ тохиолдолд функцээс хамаарах бүх параметрийн дагуу хэвийн болгох ажлыг гүйцэтгэдэг.
Шуурхай хөдөлгөөн: заль мэх эсвэл бодит байдал уу?
Квант механикийн хувьд математикийг салга физик утгагайхалтай хэцүү. Жишээлбэл, квантыг тав тухтай байлгах үүднээс Планк нэвтрүүлсэн математик илэрхийлэлтэгшитгэлүүдийн нэг. Одоо олон хэмжигдэхүүн ба ойлголтуудын салангид байх зарчим (энерги, өнцгийн импульс, талбар) үндэслэж байна. орчин үеийн хандлагабичил ертөнцийг судлах. Ψ-д бас ийм парадокс бий. Шредингерийн тэгшитгэлийн нэг шийдлийн дагуу хэмжилт хийх явцад системийн квант төлөв шууд өөрчлөгдөх боломжтой. Энэ үзэгдлийг ихэвчлэн долгионы функцийн бууралт, уналт гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь бодит байдал дээр боломжтой бол квант системхамт хөдөлж чаддаг хязгааргүй хурд. Гэхдээ манай Орчлон ертөнцийн материаллаг объектуудын хурдны хязгаар нь өөрчлөгддөггүй: юу ч хөдөлж чадахгүй гэрлээс хурдан. Энэ үзэгдэл хэзээ ч бүртгэгдээгүй ч онолын хувьд няцаах боломж хараахан гараагүй байна. Цаг хугацаа өнгөрөхөд магадгүй энэ парадокс шийдэгдэх болно: нэг бол хүн төрөлхтөн ийм үзэгдлийг бүртгэх хэрэгсэлтэй болно, эсвэл энэ таамаглал үл нийцэхийг батлах математикийн заль мэхийг олох болно. Гурав дахь хувилбар бий: хүмүүс ийм үзэгдлийг бий болгоно, гэхдээ тэр үед нарны системхиймэл хар нүхэнд унах болно.
Олон бөөмсийн системийн долгионы функц (устөрөгчийн атом)
Энэ нийтлэлийн туршид бид маргаж байсанчлан psi функц нь нэгийг тайлбарладаг энгийн бөөмс. Гэхдээ сайтар ажиглавал устөрөгчийн атом нь ердөө хоёр бөөмс (нэг сөрөг электрон, нэг эерэг протон) систем шиг харагдаж байна. Устөрөгчийн атомын долгионы функцийг хоёр бөөмс эсвэл нягтын матриц гэх мэт оператороор тодорхойлж болно. Эдгээр матрицууд нь яг psi функцийн үргэлжлэл биш юм. Үүний оронд тэд нэг болон өөр төлөвт бөөмс олох магадлалын хоорондын уялдаа холбоог харуулдаг. Асуудлыг зөвхөн хоёр байгууллагад нэгэн зэрэг шийдсэн гэдгийг санах нь зүйтэй. Нягтын матрицууд нь хос бөөмсүүдэд хамаарах боловч том хэмжээтэй нь боломжгүй нарийн төвөгтэй системүүджишээлбэл, гурав ба түүнээс дээш биетүүд харилцан үйлчлэх үед. Энэ баримт нь хамгийн "бүдүүлэг" механик болон маш "нарийн" механикуудын хооронд гайхалтай ижил төстэй байдлыг харуулж байна. квант физик. Тийм учраас байгаа болохоор тэгж бодох хэрэггүй квант механик, энгийн физикт шинэ санаа гарч ирэх боломжгүй. Математикийн эргэлт бүрийн ард сонирхолтой зүйлс нуугдаж байдаг.
Тохиолдол дахь цөмийн томъёог гарган авах чөлөөт бөөмс 4.11-д өгөгдсөн асуудал нь харилцан уялдаатай хоёр шалтгааны улмаас хангалтгүй байна. Нэгдүгээрт, нийлбэрийн тухай ойлголт янз бүрийн нөхцөлмөн (4.62) илэрхийлэлд хэрэглэсэн төлөвүүд нь чөлөөт бөөмийн хувьд үргэлжилсэн спектрт хамаарах тохиолдолд хангалттай биш юм. Хоёрдугаарт, чөлөөт бөөмсийн долгионы функцууд ( онгоцны долгион], хэдийгээр тэдгээр нь ортогональ боловч хэвийн болгох боломжгүй, учир нь
илэрхийлэл (4.62) гаргахдаа ашигласан тэгш байдлын нөхцөл (4.47) хангагдаагүй байна. Эдгээр хоёр цэгийг нэгэн зэрэг цэвэр математикийн аргаар засах боломжтой. Дурын функцийн өргөтгөл рүү буцъя өөрийн функцууд :
(4.65)
мөн бүх муж эсвэл зарим муж нь тасралтгүй спектрт хамаарах тул нийлбэрийн нэг хэсгийг интегралаар солих шаардлагатайг харгалзан үзнэ. Энэ нь (4.62) илэрхийлэлтэй төстэй цөмийн зөв илэрхийлэлийг математикийн хувьд хатуу олж авах боломжтой боловч төлөв байдал нь спектрийн тасралтгүй хэсэгт байгаа тохиолдолд ч хэрэг болно.
Эцсийн хэмжээ хүртэл хэвийн болгох. Олон физикчид өөр, бага хатуу хандлагыг илүүд үздэг. Тэдний хийдэг зүйл бол анхны асуудлын зарим өөрчлөлт бөгөөд үр дүн нь (тэдний физик утгаараа) бага зэрэг өөрчлөгдөх боловч бүх төлөв эрчим хүчний хувьд салангид болж хувирдаг тул бүх өргөтгөлүүд хэлбэрийг авдаг. энгийн нийлбэрүүд. Бидний жишээн дээр үүнийг дараах байдлаар хийж болно. Бид цэгээс нөгөө рүү шилжих магадлалын далайцыг авч үздэг дуусах цаг. Хэрэв эдгээр хоёр цэг бие биенээсээ хязгаарлагдмал зайд байгаа бөгөөд тэдгээрийг тусгаарлах хугацааны интервал нь тийм ч урт биш бол электрон үнэхээр чөлөөтэй байна уу, эсвэл ямар нэгэн цэгт байрлах ёстой юу, далайцын хувьд мэдэгдэхүйц ялгаа гарахгүй нь гарцаагүй. цэгээс маш хол байрлах хана бүхий том хайрцагны эзэлхүүн ба . Хэрэв бөөмс нь хананд хүрч, цаг хугацааны явцад буцаж ирвэл энэ нь далайцад нөлөөлж болно; гэхдээ хэрвээ хана хангалттай хол байвал далайцад ямар нэгэн байдлаар нөлөөлөхгүй.
Мэдээжийн хэрэг, энэ таамаглал нь хананы зарим тусгай сонголтоор буруу болж магадгүй юм; жишээ нь, хэрэв цэг нь тухайн цэгээс гарч буй долгионы голомтод байгаа бөгөөд хананаас ойж байгаа бол. Заримдаа инерцийн улмаас тэд чөлөөт орон зайд байрлах системийг төвд байрлах системээр солих замаар алдаа гаргадаг. том бөмбөрцөг. Систем яг төгс бөмбөрцгийн төвд байх нь тодорхой үр нөлөөг (төгс бөөрөнхий биетийн сүүдрийн голд гэрэл толбо харагдахтай адил) үүсгэж болох бөгөөд энэ нь радиустай байсан ч алга болдоггүй. бөмбөрцөг хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдаг. Өөр хэлбэрийн хана эсвэл энэ бөмбөрцгийн төвтэй харьцуулахад системийн офсетийн хувьд гадаргуугийн нөлөөлөл бага байх болно.
Эхлээд нэг хэмжээст тохиолдлыг авч үзье. Координатаас хамааран долгионы функцууд нь хоёр тэмдгийг авдаг хэлбэртэй байна. Хэрэв өөрчлөлтийн хүрээ нь дурын интервалаар хязгаарлагдсан бол функцууд ямар хэлбэртэй байх вэ? Хариулт нь цэгүүдийн утгыг тодорхойлдог хилийн нөхцлөөс хамаарна. Хамгийн энгийн нь физик цэгалсын хараа нь бөөмсийг хүчтэй түлхэх хүчийг бий болгож, улмаар түүний хөдөлгөөний талбайг хязгаарладаг (өөрөөр хэлбэл хамгийн тохиромжтой тусгалтай) ханан дахь хилийн нөхцөл юм. Энэ тохиолдолд цэгүүд болон . Долгионы тэгшитгэлийн шийдлүүд
, (4.66)
тухайн бүс нутгийн энергид харгалзах нь экспоненциал ба эсвэл тэдгээрийн шугаман хослол байх болно. Аль аль нь сонгосон хилийн нөхцлийг хангахгүй, гэхдээ (бүхэл тоо бол) шаардлагатай шинж чанарууд нь сондгой тохиолдолд хагас нийлбэрээр (өөрөөр хэлбэл), тэгш тохиолдолд - тэдгээрийн нийлбэрээр хуваагдана. хагас зөрүү (жишээ нь), үүнийг Зураг дээр схемээр үзүүлэв. 4.1. Тиймээс мужуудын долгионы функцууд нь синус ба косинус хэлбэртэй бөгөөд харгалзах хэлбэртэй байдаг эрчим хүчний түвшинсалангид бөгөөд тасралтгүй байдлыг үүсгэдэггүй.
Зураг. 4.1. Нэг хэмжээст долгионы функцийг хайрцагт хэвийн болгох.
Тэдгээрийн эхний дөрөвийг харуулав. Харгалзах түвшний энерги тэнцүү байна 
, , Мөн . Үнэмлэхүй үнэ цэнэБидний зохиомол хайрцагны хэмжээнээс хамаардаг энерги нь ихэнх бодит асуудлын хувьд ач холбогдолгүй юм. Хамгийн чухал зүйл бол янз бүрийн мужуудын энерги хоорондын хамаарал юм.
Хэрэв шийдлүүд болон хэлбэрээр бичигдсэн бол тэдгээрийг хэвийн болгох болно, учир нь
. (4.67)
Бүх мужуудын нийлбэр нь давсан нийлбэр юм. Жишээлбэл, синус долгионы функцийг авч үзвэл (жишээ нь. тэр ч байтугай үнэт зүйлс), дараа нь жижиг утгууд ба маш том утгын хувьд (хана нь бидний сонирхдог цэгээс хол байдаг) тоогоор хөрш зэргэлдээх функцууд нь маш бага ялгаатай байдаг. Тэдний ялгаа
(4.68)
бага утгатай ойролцоогоор пропорциональ байна. Иймд нийлбэрийг давсан интегралаар сольж болно. Хүчинтэй утгууд нь интервалаар дараалан байрладаг тул төлөвүүд нь интервалд байрлана. Энэ бүхэн нь косинусын долгионы функцтэй төлөвүүдэд бас хамаатай тул бидний бүх томъёонд нийлбэрүүдийг интегралаар сольж болно.
, (4.69)
Төгсгөлд нь долгионы функцүүдийн аль алиных нь үр дүнг нэмэх хэрэгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.
Үүнийг долгионы функц болгон ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжгүй байдаг бөгөөд тэдгээрийн шугаман хослолыг илүүд үздэг
Мөн .
Гэсэн хэдий ч хязгаарлагдмал эзлэхүүнийг нэвтрүүлснээр бид тэдгээрийн шугаман хослолыг бус синус ба косинусыг ашиглахаас өөр аргагүй болдог, учир нь хэзээ утгыг тохируулахшийдэл нь эдгээр функцүүдийн зөвхөн нэг нь байх бөгөөд хоёуланг нь нэг дор хийхгүй. Гэхдээ хэрэв бид -ийн утгуудын ийм жижиг ялгаанаас үүссэн жижиг алдаануудыг үл тоомсорловол эдгээр шинэ шугаман хослолуудын тусламжтайгаар зөв үр дүнд хүрнэ гэж найдаж болно. Хэвийн байдалд оруулсны дараа тэдгээр нь хэлбэрийг авдаг ба . Долгионыг долгион гэж ойлгож болох ч сөрөг утгатай байх тул хоёр төрлийн долгионы функцийг нэгтгэх зэрэг бидний шинэ журам дараах байдалтай байна. эрхий хурууны дүрэм: чөлөөт бөөмийн долгионы функцийг авч, хувьсагчийн өөрчлөлтийн уртын сегмент дээр тэдгээрийг хэвийн болгож (жишээ нь, тавих) төлөвийн нийлбэрийг хувьсагчийн дээгүүр интегралаар сольж, утгыг агуулсан төлөвүүдийн тоог оруулна. интервал нь -тэй тэнцүү бөгөөд өөрөө -ээс өөрчлөгддөг.
Үе үе хилийн нөхцөл. Заримдаа косинус ба синус руу, дараа нь экспоненциал руу буцах ийм аялалыг дараах аргументыг ашиглан тойрч болно. Хана суурилуулах нь хиймэл техник тул түүний тодорхой байрлал, түүнд тохирох хилийн нөхцөл нь ямар ч байх ёсгүй. физик ач холбогдол, хэрэв зөвхөн ханыг хангалттай зайлуулсан бол. Тиймээс бие махбодийн оронд энгийн нөхцөлБид бусдыг ашиглаж болох бөгөөд үүний шийдэл нь шууд экспоненциал болж хувирах болно. Эдгээр нөхцөлүүд
(4.70)
. (4.71)
Тэднийг үе үе гэж нэрлэдэг хилийн нөхцөл, учир нь сансар огторгуйд хугацаатай үе үе байхыг шаардах нь ижил нөхцөл байдалд хүргэнэ. Функцууд нь бүхэл тоо (эерэг эсвэл сөрөг) эсвэл тэг байх тохиолдолд интервал дээр нормчлогдсон шийдлүүд мөн эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Энэ нь дээр дурдсан дүрмийг шууд дагаж мөрддөг.
Хэрэв бид , , -тэй тэнцүү талуудтай тэгш өнцөгт хайрцгийг авч үзвэл гурван хэмжээст тохиолдолд юу болохыг ойлгож чадна. Бид үе үе хилийн нөхцлүүдийг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл долгионы функц ба түүний эхний деривативын утгууд нь эсрэг талын утгатай тэгш хэмтэй тэнцүү байхыг шаарддаг. Чөлөөт бөөмийн хэвийн долгионы функц нь бүтээгдэхүүн болно
, (4.72)
хайрцагны эзэлхүүн хаана байна, ба хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ, ба (, , - бүхэл тоо) байх болно. Нэмж дурдахад, , , , интервалд тус тус хэвтэж байгаа шийдлүүдийн тоо нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү тул та нэмэлт хүчин зүйлийг оруулах хэрэгтэй. [Илэрхийлэл (4.64) хоёр долгионы функцийн үржвэрийг агуулна.] Хоёрдугаарт, нийлбэрийн тэмдгийг интегралаар солих ёстой. 
. Энэ бүхэн Бүлгийн 2-р зүйлд хийсэн зүйлийг зөвтгөдөг. 4, түүнчлэн гаралтын үр дүн Асуудал 4.11.
Цөм нь хайрцгийн хэмжээнээс хамаарах ёсгүй тул үржүүлэгчид хүчингүй болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Математикийн хатуу байдлын талаархи зарим тэмдэглэл. Тооцооллын төгсгөлд эзлэхүүн багасч байгааг хараад уншигчид хоёр хариу үйлдэл үзүүлж магадгүй юм: хана нь юунд ч нөлөөлөөгүйгээс болж багасч байгаадаа сэтгэл ханамжтай байх, эсвэл яагаад бүх зүйлийг ингэж хийв гэж эргэлзэх. зам сул, "бохир" болон будлиантай, ямар ч байхгүй хана ашиглан жинхэнэ утга учир, гэх мэт, энэ бүхнийг ямар ч хана гэх мэт зүйлгүйгээр илүү гоёмсог, математикийн хувьд илүү хатуу хийж болох үед. Таны ямар төрлийн хариу үйлдэл үзүүлэх нь таны физик эсвэл математикийн талаар бодож байгаа эсэхээс хамаарна. Математикчид болон физикчдийн хооронд физикийн математикийн хатуу байдлын талаар маш их үл ойлголцол байдаг тул арга бүрийг үнэлэх нь зүйтэй болов уу: хайрцагны үндэслэл, математикийн нарийн тооцоо.
Мэдээжийн хэрэг илүү олон зүйл бий өчүүхэн асуулт: Аль арга нь бидэнд илүү танил вэ, өөрөөр хэлбэл, хамгийн багадаа шинэ мэдлэг шаарддаг вэ? Хайрцаг дахь янз бүрийн төлөвийн тоог тоолохын өмнө энэ нь ихэнх физикчдийн бодож байсан хамгийн эхний зүйл байв.
Үүний зэрэгцээ математикийн хувьд хатуу шийдэлбие махбодийн хувьд хатуу биш байж болно; өөрөөр хэлбэл, хайрцаг үнэхээр байгаа байх боломжтой. Энэ нь тэгш өнцөгт хайрцаг байх албагүй, учир нь туршилтыг оддын дор хийдэггүй; илүү олон удаа тэд өрөөнд зарцуулагддаг. Хэдийгээр бие махбодийн хувьд хана нь туршилтанд нөлөөлөхгүй байх нь үндэслэлтэй мэт санагдаж байгаа ч асуудлын ийм мэдэгдлийг идеализаци гэж үзэх ёстой. Ханыг хязгааргүй хүртэл арилгах нь тэдгээрийг хангалттай алслагдсан тольоор солихоос илүү дээр биш юм. Эхний тохиолдолд бодит хана нь хязгааргүй байдаггүй тул математикийн хатуу байдал мөн зөрчигддөг.
Алсын хананд хандах хандлага нь үндэслэлтэй мэт шударга бөгөөд хатуу юм. Энэ нь хэд хэдэн давуу талтай. Жишээлбэл, эцсийн томъёоны эзэлхүүнийг багасгахад бид идеализацийн дор хаяж нэг тал нь хамааралгүй болохыг харж байна - хана хэр хол зайд байна. Энэхүү үр дүн нь бодит орчны жинхэнэ байршил нь тийм ч чухал биш байж магадгүй гэдгийг бидэнд улам бүр ойлгуулж байна. Эцэст нь хэлэхэд, бид эцсийн хэмжигдэхүүнтэй тохиолдолд үүссэн томъёо нь маш их хэрэгтэй байдаг. Жишээлбэл, ch-д. 8 бид үүнийг өөр өөр тоог тоолоход ашиглах болно дууны долгионтэгш өнцөгт бодисын том блок дотор .
Нөгөөтэйгүүр, математикийн нарийн аргын давуу тал нь үр дүнд ороогүй үндсэндээ шаардлагагүй нарийн ширийн зүйлийг арилгах явдал юм. Хэдийгээр хананы танилцуулга нь яагаад тэдгээр нь юунд ч нөлөөлөхгүй байгаа талаар ямар нэг зүйлийг олж мэдэх боломжийг олгодог боловч нарийн ширийн зүйлийг нарийвчлан судлахгүйгээр үүнийг үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байж болно.
Долгионы функцийг хэвийн болгох асуудал нэлээд хэцүү байдаг. онцгой жишээ, гэхдээ энэ нь гол санааг харуулж байна. Физикч нь оновчтой асуудлыг шийдвэрлэхдээ математикчийн анхааруулж байгааг ойлгож чадахгүй. бие махбодийн асуудал. Бодит ажил нь хамаагүй хэцүү гэдгийг тэр мэддэг. Энэ нь аль хэдийн зөн совингоор хялбарчлагдсан бөгөөд энэ нь шаардлагагүй зүйлийг хаяж, үлдсэн зүйлийг ойролцоолсон байдаг.
