Квантын талбар болон бусад салбар дахь нээлтүүд. Үүний зэрэгцээ үүнийг хийх боломжтой шинэ төхөөрөмж, төхөөрөмжүүдийг зохион бүтээж байна төрөл бүрийн судалгаамөн бичил ертөнцийн үзэгдлийг тайлбарлах. Ийм механизмуудын нэг нь үйл ажиллагааны зарчмыг эртний соёл иргэншлийн төлөөлөгчид мэддэг байсан гармоник осциллятор юм.

Төхөөрөмж ба түүний төрлүүд

Гармоник осцилляторнь тогтмол коэффициент бүхий дифференциалаар дүрслэгдсэн хөдөлгөөнд байгаа механик систем юм. Ийм төхөөрөмжүүдийн хамгийн энгийн жишээ бол хавар дээрх жин, дүүжин, акустик систем, хөдөлгөөн юм молекулын тоосонцоргэх мэт.

Уламжлал ёсоор энэ төхөөрөмжийн дараахь төрлүүдийг ялгаж болно.

Төхөөрөмжийн програм

Энэ төхөөрөмжийг ашиглаж байна янз бүрийн талбарууд, голчлон байгаль судлах зориулалттай хэлбэлзлийн системүүд. Фотоны элементүүдийн үйл ажиллагааг судлахын тулд квант гармоник осцилляторыг ашигладаг. Туршилтын үр дүнг янз бүрийн салбарт ашиглаж болно. Ийнхүү Америкийн хүрээлэнгийн физикчид бие биенээсээ нэлээд хол зайд байрлах бериллийн атомууд квант түвшинд харилцан үйлчлэлцдэг болохыг олж тогтоожээ. Түүгээр ч зогсохгүй эдгээр бөөмсийн үйлдэл нь макро ертөнц дэх биетүүдтэй (металл бөмбөлөгүүд) төстэй бөгөөд урагшлах дарааллаар хөдөлж, эв нэгдэлтэй осциллятортой төстэй байдаг. Хэдийгээр физикийн хувьд бериллийн ионууд хол зайд, энергийн хамгийн бага нэгжийг (квант) солилцсон. Энэхүү нээлт нь мэдээллийн технологийн технологийг ихээхэн ахиулах боломжийг олгодог бөгөөд компьютерийн тоног төхөөрөмж, электроникийн үйлдвэрлэлд шинэ шийдлийг бий болгодог.

Гармоник осцилляторыг тооцоолоход ашигладаг хөгжмийн бүтээлүүд. Энэ аргыг спектроскопийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг. Хамгийн тогтвортой систем бол дөрвөн хөгжимчний (квартет) бүрэлдхүүн юм. А орчин үеийн бүтээлүүдТэдний ихэнх нь гармоник шинж чанартай байдаг.

Гармоник осциллятор.

тэгшитгэлээр тодорхойлсон систем, хаана , бид үүнийг гармоник осциллятор гэж нэрлэх болно. Энэхүү тэгшитгэлийн шийдэл нь мэдэгдэж байгаагаар дараах хэлбэртэй байна.

.

Иймд гармоник осциллятор нь тэнцвэрт байрлалын эргэн тойронд гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг систем юм.

Гармоник осцилляторын хувьд гармоник хэлбэлзлийн хувьд өмнө нь олж авсан бүх үр дүн хүчинтэй байна.

Хоёр нэмэлт асуултыг авч үзэн ярилцъя.

Бид олох болно импульсгармоник осциллятор. Илэрхийлэлийг ялгаж үзье t-ээр ба үр дүнг осцилляторын массаар үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

"X" хазайлтаар тодорхойлогддог байрлал бүрт осциллятор нь "p" тодорхой утгатай байна. "p"-ийг "x"-ын функцээр олохын тулд "p" ба "x"-ийн хувьд бичсэн тэгшитгэлээс "t"-ийг хасах хэрэгтэй.

(8.9)

Эдгээр илэрхийлэлийг квадрат болгож, нэмснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

. (8.10)

Гармоник осцилляторын “p” импульсийн “x” хазайлтаас хамаарлыг харуулсан графикийг зуръя (Зураг 8.6). Координатын хавтгай(“p”, “x”) ихэвчлэн дуудагддаг фазын хавтгай, харгалзах график нь байна фазын замнал. Гармоник осцилляторын фазын траектор нь "A" ба "A m w 0" хагас тэнхлэгтэй эллипс юм. Цэг бүр фазын замналтодорхой хугацааны туршид осцилляторын төлөвийг (жишээ нь түүний хазайлт ба импульс) дүрсэлдэг. Цаг хугацаа өнгөрөхөд төлөвийг илэрхийлэх цэг нь фазын траекторийн дагуу хөдөлж, хэлбэлзлийн үед бүрэн хэлхээ үүсгэдэг. Цаашилбал, энэ хөдөлгөөн цагийн зүүний дагуу явагддаг [өөрөөр хэлбэл, хэрэв ямар нэгэн мөчид t¢ x=A, p=0 бол дараагийн агшинд "x" буурч, "p" нь нэмэгдэж буй модулийг авна. сөрөг утгууд, өөрөөр хэлбэл Зургийн цэгийн хөдөлгөөн (өөрөөр хэлбэл төлөвийг илэрхийлэх цэг) цагийн зүүний дагуу явагдана].

Одоо эллипсийн талбайг олъё. Эсвэл

.

Энд n 0 нь осцилляторын байгалийн давтамж бөгөөд энэ нь өгөгдсөн осцилляторын тогтмол утга юм.

Тиймээс, . Хаана

Тиймээс, нийт эрчим хүчгармоник осциллятор нь эллипсийн талбайтай пропорциональ бөгөөд пропорциональ коэффициент нь осцилляторын байгалийн давтамж юм.

8.6. Тэнцвэрийн байрлалын ойролцоох системийн жижиг хэлбэлзэл.

Нэг хэмжигдэхүүнийг "x" ашиглан байрлалыг тодорхойлж болох дурын механик системийг авч үзье. Системийн байрлалыг тодорхойлдог "x" хэмжигдэхүүн нь тодорхой хавтгайгаас хэмжсэн өнцөг эсвэл өгөгдсөн муруйн дагуу хэмжсэн зай байж болно.

Ийм системийн боломжит энерги нь нэг хувьсагчийн “х” функц байх болно: E p =E p (x).

Тэнцвэрийн байрлалд x=0 байхаар эхийг сонгоцгооё. Тэгвэл E p (x) функц x=0 үед минимумтай болно.

("x"-ийн жижиг байдлаас шалтгаалан бид үлдсэн нөхцлүүдийг үл тоомсорлодог)

Учир нь Э x=0 үед p (x) нь хамгийн бага, тэгвэл , ба . гэж тэмдэглэе Э p(x) = b ба , Дараа нь .

Энэ илэрхийлэл нь бараг уян харимхай хүч үйлчилдэг системийн потенциал энергийн илэрхийлэлтэй ижил байна ("b" тогтмолыг 0-тэй тэнцүүлж болно).

Системд үйлчлэх хүчийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно. . Боломжит энергийг алдсаны улмаас ажил хийгдэж байгааг харгалзан олж авсан.

Тиймээс тэнцвэрийн байрлалаас бага зэрэг хазайх үед системийн боломжит энерги нь болж хувирдаг квадрат функцшилжилт, системд үйлчлэх хүч нь бараг хэлбэртэй байна уян хатан хүч. Тиймээс тэнцвэрийн байрлалаас бага зэрэг хазайсан тохиолдолд аливаа механик систем гармониктай ойролцоо чичиргээг гүйцэтгэдэг.

8.7. Математикийн дүүжин.

ТОДОРХОЙЛОЛТ: математикийн дүүжинБид нэг цэг дээр төвлөрсөн масс дүүжлэгдсэн жингүй, сунадаггүй утаснаас бүрдэх идеалжуулсан системийг нэрлэх болно.

Дүүжингийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх нь j өнцгөөр тодорхойлогдоно (Зураг 8.7). Савлуур тэнцвэрийн байрлалаас хазайсан үед эргүүлэх хүч , энэ нь савлуурыг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай ийм чиглэлтэй тул M мөч ба өнцгийн шилжилт j-д өөр өөр тэмдэг өгөх ёстой.

Лекц 1

ДЭЛГЭРЭЛТ. ДАВАЛГАА. ОПТИК

Хэлбэлзлийг судалсан анхны эрдэмтэд бол Галилео Галилей, Кристиан Гюйгенс нар юм. Галилео хэлбэлзлийн үеийн далайцаас бие даасан байдлыг тогтоожээ. Гюйгенс дүүжин цагийг зохион бүтээжээ.

Тэнцвэрийн байрлалаасаа бага зэрэг эвдэрсэн үед тогтвортой хэлбэлзэл үзүүлдэг аливаа системийг гармоник осциллятор гэж нэрлэдэг. Сонгодог физикийн хувьд ийм системүүд нь хазайлтын жижиг өнцгүүдийн доторх математик дүүжин, хэлбэлзлийн далайц багатай ачаалал, цахилгаан хэлхээ, бүрдэнэ шугаман элементүүдбагтаамж ба индукц.

(1.1.1)

Хаана X А

Хурдны хэлбэлзэл материаллаг цэг

А

.

Хэрэв үе үе давтагдах процессыг (1.1.1)-тэй давхцахгүй тэгшитгэлээр тайлбарлавал үүнийг ангармони гэж нэрлэдэг. Ангармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг системийг ангармоник осциллятор гэж нэрлэдэг.

1.1.2 . Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийн чөлөөт чичиргээ. Гармоник чичиргээг илэрхийлэх цогц хэлбэр

Байгальд систем тэнцвэрийн байрлалынхаа ойролцоо жижиг хэлбэлзэл маш түгээмэл байдаг. Хэрэв тэнцвэрийн байрлалаас хасагдсан системийг өөртөө үлдээвэл, өөрөөр хэлбэл түүнд үйлчилдэггүй гадаад хүч, тэгвэл ийм систем нь чөлөөтэй унтрахгүй хэлбэлзлийг гүйцэтгэх болно. Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий системийг авч үзье.

q

,

Хаана

, (1.1.4)

Илэрхийлэл (1.1.5) нь чөлөөт гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл (1.1.3)-тай давхцаж байна.

,

, Хаана A=Xe-iα

1.1.3 . Төрөл бүрийн физик шинж чанартай хэлбэлзлийн хөдөлгөөний жишээ

Гармоник осциллятор. Пүрш, физик, математикийн дүүжин

Гармоник осциллятор(140.6) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон хэлбэлзэлтэй систем гэж нэрлэдэг;

Гармоник осцилляторын хэлбэлзэл нь чухал жишээүечилсэн хөдөлгөөн ба сонгодог болон олон тооны асуудалд яг эсвэл ойролцоо загвар болдог квант физик. Гармоник осцилляторын жишээ бол пүрш, физик, математикийн дүүжин, хэлбэлзлийн хэлхээ(хэлхээний элементүүдийг шугаман гэж үзэж болох маш бага гүйдэл ба хүчдэлийн хувьд).

1. Пүршний дүүжин- массын ачаалал юм Т, төгс уян пүрш дээр дүүжлэгдэж, уян харимхай хүчний нөлөөн дор гармоник хэлбэлзэл хийдэг. Ф = - кх,Хаана к-хаврын хөшүүн байдал. Савлуурын хөдөлгөөний тэгшитгэл

(142.1) ба (140.1) илэрхийллээс харахад пүрш дүүжин нь хуулийн дагуу гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг. x=A s-тэй (w 0 т + j) мөчлөгийн давтамжтай

Томъёо (142.3) хүчинтэй байна уян чичиргээХукийн хуулийг хангасан хязгаарт ((21.3)-ыг үзнэ үү), өөрөөр хэлбэл пүршний масс нь биеийн масстай харьцуулахад бага байх үед. Боломжит эрчим хүч хаврын дүүжин, (141.5) ба (142.2)-ын дагуу тэнцүү байна

2. Физик дүүжин- таталцлын нөлөөгөөр хөдөлгөөнгүй хүний ​​эргэн тойронд хэлбэлздэг хатуу бие хэвтээ тэнхлэг, цэгээр дамжин өнгөрөх ТУХАЙ, массын төвтэй давхцахгүй ХАМТбиетүүд (Зураг 201).

Хэрэв дүүжин тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой өнцгөөр хазайсан бол а,дараа нь динамикийн тэгшитгэлийн дагуу эргэлтийн хөдөлгөөн хатуу(18.3) мөч Мсэргээх хүчийг гэж бичиж болно

Хаана Ж-дүүжлүүрийн инерцийн момент дүүжлүүрийн цэгээр дамжин өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад Өө, би -түүний болон дүүжингийн массын төв хоорондын зай, F t = – mg sin a » -мга. -сэргээх хүч (хасах тэмдэг нь чиглэлүүдтэй холбоотой ФтТэгээд аүргэлж эсрэг; нүгэл а » адүүжингийн жижиг хэлбэлзэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. тэнцвэрийн байрлалаас дүүжингийн жижиг хазайлт). (142.4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно

(142.1)-тэй ижил, шийдэл нь (140.1) мэдэгдэж байна:

(142.6) илэрхийллээс харахад жижиг хэлбэлзлийн хувьд физик дүүжин нь мөчлөгийн давтамж w 0 ((142.5)) ба үетэй гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг.

Хаана L=J/(мл) - багассан урт физик дүүжин.

Цэг ТУХАЙ'шулуун шугамын үргэлжлэл дээр үйлдлийн систем,цэгээс хол ТУХАЙөгөгдсөн уртын зайд дүүжин дүүжлүүр Л,дуудсан дүүжин төвфизик дүүжин (Зураг 201). Штайнерын теоремыг (16.1) хэрэглэснээр бид олж авна

өөрөөр хэлбэл ОО'үргэлж илүү OS.Түдгэлзүүлэх цэг ТУХАЙдүүжин ба дүүжин төв ТУХАЙ'байна солих шинж чанар:хэрэв түдгэлзүүлэх цэгийг дүүжингийн төв рүү шилжүүлсэн бол өмнөх цэг ТУХАЙтүдгэлзүүлэх

савлуурын шинэ төв болох ба физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа өөрчлөгдөхгүй.

3. Математикийн дүүжин- Энэ идеал болгосонмасстай материаллаг цэгээс бүрдэх систем Т,сунадаггүй жингүй утас дээр дүүжлэгдэж, хүндийн хүчний нөлөөн дор хэлбэлздэг. Сайн ойролцоо математикийн дүүжиннимгэн урт утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг хүнд бөмбөг юм. Математик дүүжингийн инерцийн момент

Хаана л- дүүжингийн урт.

Математикийн савлуурыг дараах байдлаар илэрхийлж болно физик дүүжингийн онцгой тохиолдол,Түүний бүх масс нь массын төв болох нэг цэг дээр төвлөрсөн гэж үзвэл (142.8) илэрхийлэлийг (1417) томъёонд орлуулснаар бид математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн үеийн илэрхийлэлийг олж авна.

(142.7) ба (142.9) томъёог харьцуулж үзвэл урт нь багассан бол бид харж байна. Лфизик дүүжин нь урттай тэнцүү байна лматематик дүүжин, тэгвэл эдгээр дүүжингийн хэлбэлзлийн үеүүд ижил байна. Тиймээс, физик дүүжингийн уртыг багасгасан- энэ бол ийм математик дүүжингийн урт бөгөөд түүний хэлбэлзлийн хугацаа нь өгөгдсөн физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаатай давхцдаг.

Хамгийн тохиромжтой гармоник осциллятор. Осцилляторын хамгийн тохиромжтой тэгшитгэл ба түүний шийдэл. Хэлбэлзлийн далайц, давтамж, үе шат

ДЭЛГЭРЭЛТ

ГАРМОНИК чичиргээ

Хамгийн тохиромжтой гармоник осциллятор. Осцилляторын хамгийн тохиромжтой тэгшитгэл ба түүний шийдэл. Хэлбэлзлийн далайц, давтамж, үе шат

Хэлбэлзэл нь байгаль, технологийн хамгийн түгээмэл процессуудын нэг юм. Хэлбэлзэл нь цаг хугацааны явцад давтагдах үйл явц юм. Эргэлзэх өндөр барилгуудболон салхины нөлөөгөөр өндөр хүчдэлийн утаснууд, дугуйны цагны савлуур, машин жолоодох үед пүршний дээр, голын усны түвшин, жилийн турш температур Хүний биеөвчний үед. Дуу нь агаарын даралтын хэлбэлзэл, радио долгион юм үе үе өөрчлөлтүүдцахилгаан ба соронзон орны хүч чадал, гэрэл нь мөн цахилгаан соронзон чичиргээ юм. Газар хөдлөлт - хөрсний чичиргээ, уналт, урсац - сарны таталцлаас үүдэлтэй далайн болон далайн түвшний өөрчлөлт гэх мэт.

Хэлбэлзэл нь механик, цахилгаан соронзон, химийн, термодинамик гэх мэт байж болно. Ийм олон янз байдлыг үл харгалзан бүх хэлбэлзэл нь ижил дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Гармоник осцилляторыг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэлт нь эвдрэлийн хүчинтэй шууд пропорциональ байвал шугаман гэж үзэж болно. Гармоник осцилляторын хэлбэлзлийн давтамж нь далайцаас хамаардаггүй. Осцилляторын хувьд суперпозицийн зарчим хангагдсан байдаг - хэрвээ хэд хэдэн саад учруулж буй хүч үйлчилдэг бол тэдгээрийн нийт үйл ажиллагааны үр нөлөөг эдгээрээс үр нөлөөг нэмсний үр дүнд олж авах боломжтой. идэвхтэй хүчнүүдтус тусад нь.

Гармоник хэлбэлзлийг тэгшитгэлээр тодорхойлно (Зураг 1.1.1)

(1.1.1)

Хаана X- хэлбэлзэх хэмжигдэхүүнийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх; А- хэлбэлзлийн далайц, утгатай тэнцүү байнахамгийн их шилжилт, - цаг хугацааны шилжилтийг тодорхойлдог хэлбэлзлийн үе шат , - нүүлгэн шилжүүлэлтийн хэмжээг тодорхойлох эхний үе шат. эхлэх мөчцаг нь хэлбэлзлийн мөчлөгийн давтамж юм.

Нэг бүтэн хэлбэлзлийн хугацааг үе гэнэ, , энд тухайн хугацаанд гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоо.

Хэлбэлзлийн давтамж нь нэгж хугацаанд гүйцэтгэх хэлбэлзлийн тоог тодорхойлдог бөгөөд энэ нь мөчлөгийн давтамжтай холбоотой байдаг , дараа нь үе.

Тиймээс гармоник осцилляторын хурд, хурдатгал нь мөн үүнээс хамаарч өөр өөр байдаг гармоник хуульдалайцтай ба тус тус. Энэ тохиолдолд хурд нь нүүлгэн шилжүүлэлтээс үе шаттайгаар, хурдатгал нь (Зураг 1.1.2).

Гармоник осцилляторын хөдөлгөөний тэгшитгэл (1.1.1) ба (1.1.2)-ын харьцуулалтаас үзэхэд , эсвэл

Энэ дифференциал тэгшитгэлХоёрдахь эрэмбийг гармоник осцилляторын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүний шийдэл нь хоёр тогтмолыг агуулна Аба , анхны нөхцөлийг тогтоох замаар тодорхойлно

.

Тогтвортой тэнцвэрт байдал нь системийн боломжит энерги нь хамгийн бага ( q- системийн ерөнхий координат). Системийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх нь системийг буцаах хандлагатай хүч үүсэхэд хүргэдэг. Тэнцвэрийн байрлалд харгалзах ерөнхий координатын утгыг , дараа нь тэнцвэрийн байрлалаас хазайлтаар тэмдэглэнэ.

Бид боломжит энергийг тоолох болно хамгийн бага утга. Үүссэн функцийг аваад Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлье, өргөтгөлийн эхний гишүүнийг үлдээе, бидэнд: o

,

Хаана . Дараа нь танилцуулсан тэмдэглэгээг харгалзан:

, (1.1.4)

Системд үйлчлэх хүчний илэрхийлэл (1.1.4)-ийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу системийн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

гэсэн хоёр бие даасан шийдэлтэй: ба , тэгэхээр ерөнхий шийдэл нь:

,

(1.1.6) томъёоноос зөвхөн давтамжийг тодорхойлно өөрийн өмч механик системмөн хөдөлгөөний далайц ба анхны нөхцлөөс хамаарахгүй.

Хэлбэлзэх системийн координатын хугацаанаас хамаарах хамаарлыг бодит хэсгийн хэлбэрээр тодорхойлж болно. нарийн төвөгтэй илэрхийлэл , Хаана A=Xe-iα– цогц далайц, түүний модуль нь ердийн далайцтай давхцаж, аргумент нь эхний үе шаттай давхцдаг.

Химичийн гарын авлага 21

Хими ба химийн технологи

Хөдөлгөөний гармоник хууль

Механик, эргэлтийн хөдөлгөөн нь хэлбэлзлийн хөдөлгөөнд хувирдаг (гол төлөв хазгай ба камерын механизм). Хөдөлгөөнт холбоосын хөдөлгөөний хууль нь гармониктай ойролцоо байж болно. Эдгээр өдөөгчийг зарим төрлийн дэлгэц, чичиргээт центрифуг, өт холигч зэрэгт ашигладаг.

Сонгодог механикийн хувьд цэгийн системийн хөдөлгөөний хуулийг олохын тулд (цаг хугацааны функц болох qi-г координат) Ньютоны тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай. Дурын сонгосон координатын системийн хувьд потенциалтай (VII, 7) эдгээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь q (t) -ийн гармоник хэлбэрт хүргэдэггүй. Гэсэн хэдий ч q, - координатуудын шугаман хослолын тусламжтайгаар тус бүр нь тодорхой давтамжтай гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг шинэ координатуудыг байгуулах боломжтой гэдгийг харуулахад хялбар байдаг (в. Ийм координатууд

Үнэн хэрэгтээ холбоогоор холбогдсон хоёр атомын чичиргээ нь пүршээр бэхлэгдсэн хос бөмбөрцгийн чичиргээтэй төстэй юм. Жижиг шилжилтийн хувьд сэргээх хүч нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ байдаг бөгөөд хэрэв ийм системийг хөдөлгөөнд оруулбал хэлбэлзлийг энгийн гармоник хөдөлгөөний хуулиар тодорхойлно.

Поршен байхгүй бол сэргээгчийг ажиллуулах хамгийн сайн нөхцөл бий болно гармоник хөдөлгөөн, гэхдээ хөдөлгөөн бүрийн төгсгөлд зогссон. Гэсэн хэдий ч энгийн байдлаас шалтгаалан поршений хөдөлгөөний гармоник хуулийг ашигласнаар нэлээд өндөр үр ашгийг олж авах боломжтой.

Эргэлзэх үед ажиллах орчиндамжуулах хоолой эсвэл бусад даралтын сувагт урсгалын хөндлөн огтлол дээрх урсгалын хурдны хуваарилалт нь орчны тогтвортой хөдөлгөөний үед энэ хуваарилалтыг тодорхойлсон хуулиас ялгаатай. Ийнхүү дугуй цилиндр хоолойд шингэний ламинар урсгал хэлбэлзэх үед хурдны параболик хуваарилалт алдагддаг бөгөөд энэ нь гидравликээс мэдэгдэж байгаагаар хоолой дахь шингэний ламинар тогтвортой хөдөлгөөний онцлог шинж юм. At гармоник өөрчлөлтхоолойн дагуух даралтын градиент, хурдны хуваарилалтыг (9.42) томъёог ашиглан олж болно. Үүнийг хийхийн тулд (s) оронд та даралтын градиентийн өөрчлөлтийн гармоник хуулийн Лаплас дүрсийг томъёонд орлуулж, дараа нь гүйцэтгэнэ. урвуу хувиргалт. Энэ аргаар олж авсан функц (t, r) нь ажилд өгөгдсөн.

Аж үйлдвэрийн машинуудын загварт поршений тасалдалтай хөдөлгөөнтэй циклийг хэрэгжүүлэх шаардлагагүй гэдэг нь тодорхой байна. Поршений хөдөлгөөний аливаа хууль, тухайлбал гармоникийн хувьд (тахир хөтөчийн хувьд) хамгийн тохиромжтой Стирлинг машины термодинамик үр ашиг нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна.

Эдгээр суурилуулалтанд хялбаршуулсан, гармониктай ойролцоо, саваа хөдөлгөөний хуулийг баталсан - шахуургын машины дөрвөн баарны холбоосыг бүлүүрт механизмаар сольсон. Энэхүү таамаглалыг нийтээр хүлээн зөвшөөрдөг бөгөөд туршилтаас харахад туршилтын нөхцөлийг бүрэн зөвтгөдөг.

Дотоод байдал хоёр атомт молекултөлөвийг нь зааж өгсөн бол тодорхойлно электрон бүрхүүл, түүнчлэн молекулын эргэлтийн хөдөлгөөний шинж чанаруудыг бүхэлд нь болон хэлбэлзлийн хөдөлгөөнцөм. Эргэлтийн болон чичиргээ нь молекулын электрон төлөвөөс хамааралгүй байх эхний ойролцоо гэж үздэг. Хоёр атомт молекулын эргэлт ба чичиргээний хөдөлгөөнийг тайлбарлах хамгийн энгийн загвар бол хатуу эргүүлэгч - гармоник осцилляторын загвар бөгөөд үүний дагуу молекулын хатуу эргүүлэгчийн эргэлт, гармоник хуулийн дагуу цөмийн чичиргээг бие даан авч үздэг. Сонгодог тайлбарЭнэ загварын хувьд бүлгийг үзнэ үү. IV., 5. Хоёр атомт молекулын энергийн илэрхийллийг квант механикийн томьёо (VII.19), (VII.20) болон (UP.22) ашиглан ижил ойролцоо утгаар бичье.

Чичиргээний далайцын өөрчлөлт, түүнчлэн чичиргээний гармоникаас цочролын горимд шилжих нь солигддог эксцентрик суурилуулах замаар хийгддэг бөгөөд тэдгээрийн профилийг ажлын ширээ ба блок бүхий түлхэгчийн хөдөлгөөний хуулиар тодорхойлдог. үүн дээр суурилуулсан коаксиаль цилиндрүүд.

Хэрэв молекулуудын энерги нь орон зайн координат () эсвэл момент (/ z) -ийн хувьд квадрат хэлбэртэй тодорхой тооны гишүүний нийлбэрээр илэрхийлэгддэг бол тархалтын хэлбэрийг е хэсэгт тэмдэглэв. Хууль нь кинетикийн илэрхийлэлд яг хэдэн нэр томьёо, боломжит энергийн илэрхийлэлд хичнээн нэр томъёо багтсанаас хамаарахгүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид авч үзвэл хуулийн гарал үүслийг хялбаршуулсан болно ижил тооболомжит кинетик энергийг илэрхийлдэг нэр томъёо. Физикийн хувьд энэ нь молекулуудын нийт хөдөлгөөнийг бие даасан 5 гармоник осцилляторын тоогоор илэрхийлдэг гэсэн таамаглалтай тохирч байна. Энэ тохиолдолд молекулын энергийг дараах байдлаар бичиж болно.

бүхий спектрометрт тогтмол хурдатгал харьцангуй хурдЭх үүсвэр ба шингээгчийн хөдөлгөөн нь шугаман эсвэл гармоник хуулийн дагуу үе үе өөрчлөгддөг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн хурдны мужид судалж буй спектрийг бүртгэх боломжийг олгодог. Ихэвчлэн ийм спектрометрт санах ойн сувгууд хурдны циклтэй синхрон нээгдэх үед цаг хугацааны горимд ажилладаг олон сувгийн анализаторын санах ойд мэдээлэл бүртгэгддэг.

Илэрхийллийн нэг квант хуулиудүе үе хөдөлгөөн хийдэг биеийн энергийн түвшний салангид байдал юм. Жишээ болгон осцилляторын гармоник хэлбэлзлийг авч үзье. Сонгодог гармоник осцилляторын энерги тасралтгүй өөрчлөгдөж болно. Энэ энерги нь yA 2 ( хамгийн өндөр үнэ цэнэболомжит энерги x = A). Уян хатан тогтмол

Албадан чичиргээ. Ингээд авч үзье уртааш чичиргээхөдөлгөгч хүчний нөлөөн дор нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий шугаман уян систем P if), гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг. Эхлээд бид уян хатан бус эсэргүүцлийн хүч байхгүй гэсэн таамаглалыг хүлээн зөвшөөрдөг. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөний тэгшитгэл (Зураг 3.7, а) нь tx = -Py + P (/) хэлбэртэй байна, орлуулалтын дараа P = cx, dm = нийгмийн болон P (/) = Po sin (oi) -ийг өгдөг.

Хэрэв бид харьцаж байсан бол сонгодог систем, тэгвэл, тодорхой анхны нөхцөлд, зарчмын хувьд ердийн координатуудын зөвхөн нэг нь өөрчлөгдөх хөдөлгөөнийг өдөөх боломжтой байсан бол энэ хэвийн координат өөрчлөгдөхөд бүх холболтын урт, холбоосын өнцөг гэх мэт өөрчлөлтүүд гарч ирнэ. Энэ координаттай пропорциональ коэффициентүүд ажиглагдах болно Хэрэв хэвийн координатууд гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгдвөл бүх зүйл геометрийн параметрүүдмолекулууд нь мөн гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгдөх ба бүх геометрийн параметрүүд нь ижил фазын тэнцвэрийн утгуудаар дамжих болно. Усны төрлийн XY2 молекулын ердийн чичиргээний жишээг Зураг 8 2-т үзүүлэв.

Хэрэв бодисын электронууд тэнцвэрийн байрлалаасаа бага зэрэг шилжсэн бол тэдгээр нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ гэж тооцогдох нөхөн сэргээх үйл ажиллагааны нөлөөнд автдаг. Энэ тохиолдолд электронуудын хөдөлгөөн нь энгийн гармоник хэлбэлзэл болж хувирдаг. Ийм хэд хэдэн цахилгаан осциллятор агуулсан системээр гэрлийг нэвтрүүлэх нь нэмэлт төхөөрөмж гарч ирэхтэй тэнцүү юм. цахилгаан хүч, Максвеллийн онолын дагуу PZ-ийн нэг бүрэлдэхүүн хэсэг болж хувирдаг цахилгаан соронзон чичиргээСвета. Гэрэл өнгөрөх үед цахилгаан орон нь харгалзах давтамжтайгаар өөрчлөгдөж, энерги хадгалагдах хуулийн дагуу хэлбэлзэгч электроны хөдөлгөөнд нөлөөлдөг. Бодит дахь гэрлийн тархалтын хурд (тиймээс кинетик энерги) нь вакуумаас бага байдаг тул гэрэлтэй харьцах электронуудын кинетик энерги нэмэгддэг; Тиймээс гэрэл нь молекул дахь электронуудын хөдөлгөөнийг өөрчлөх хандлагатай бөгөөд электроныг анхны байрлалд нь байлгах хүчний эсрэг чиглэлд үйлчилдэг.

Энэ хэмжилтийн сонголтыг хоолойн дээжийн мушгирах чичиргээний үед ч хийж болно, хэрэв гадна цилиндрийг хөдөлгөөнгүй суурилуулсан бол дотоод цилиндрийг мушгиа дээр суурилуулж, түүн дээр ажиллах эргүүлэх хүчийг гармоник хуулийн дагуу тохируулна. Хэрэв бид одоо цилиндрийн эргэлт ба эргэлтийн өнцгийн хоорондох фазын зөрүү, түүнчлэн мушгирах өнцгийн далайцыг хэмжвэл O-ийг тодорхойлох тооцооны схемийг дээр дурдсан томьёо болгон бууруулна (VI. 15). ба (VI. 16). Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид эргэлтийн моментийн цилиндрийн өнцгийн хурдны харьцааг хэмжвэл энэ нь асуудалтай тохирч байна. тухай, b тодорхойлолтсистемийн эсэргүүцэл.

Дүгнэж хэлэхэд, бид бүрэн, бие махбодийн хувьд үндэслэлтэй гэдгийг тэмдэглэж байна тоон тодорхойлолтШингэний динамик, бүх авч үзсэн загварууд нь усан дахь тархалт ба хэлбэлзлийг тайлбарлах анхны ойролцоо тооцоолол юм, учир нь тэдгээрийг бүтээхэд хэд хэдэн хялбаршуулсан аргыг ашигласан. Зөвхөн удаан хугацааны суурин амьдралын хязгаарт (энэ нь тохиолдож болно бага температур) эсвэл ионуудын гидратацийн бүрхүүл дэх усны молекулуудын хүчтэй цахилгаан наалдацтай үед гармоникийн ойролцоолсон ба энгийн загварүсрэх тархалт [тэгшитгэл (4-5) хүснэгт. 4] хууль ёсны байна. At өндөр температурмөн усны молекулуудын хоорондын холбоо ионоор суларсан уусмалуудад чичиргээ нь огцом ангармони болж, сулрах, тархах хөдөлгөөнөөр удааширдаг. Энэ тохиолдолд шингэний үйлдэл нь чөлөөт бөөмсийн системийн үйл ажиллагаатай илүү нийцдэг [тэгшитгэл (37)]. Диффуз ба хэлбэлзлийн хөдөлгөөний хооронд ямар ч хамаарал байхгүй гэсэн таамаглал нь мөн маргаантай асуудал. Саяхан Раман нар.

Дараагийн хэсэгт. 11.3 эгнээ задлах болно энгийн жишээнүүд, хувь хүний ​​задарсан эрх чөлөөний зэрэглэлийн дулааны багтаамжид үзүүлэх хувь нэмрийг тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ тохиолдолд хоёр боломжит бөөмсөөс бүрдэх системд илүү анхаарал хандуулах болно эрчим хүчний төлөвүүд, ба гармоник осциллятор, учир нь тэдгээрийн жишээг ашиглан молекулын хөдөлгөөн ба системийн дулааны багтаамжийн хамаарлыг харьцангуй энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг бүрэн шинжлэх боломжтой. Илүү ихийг нарийн төвөгтэй системүүддээр үндэслэн дундаж температурт дулааны багтаамжийг тооцоолоход хялбар байдаг сонгодог хууль жигд хуваарилалтэрх чөлөөний зэрэглэлээр.

Бичил бөөмийн хөдөлгөөний хууль квант механиксонгодог хувилбаруудаас эрс ялгаатай. Нэг талаас, тэдгээр нь (жишээлбэл, мөргөлдөх үед) хуваагдашгүй цэнэг, масстай бөөмс шиг, нөгөө талаас тодорхой давтамжтай (долгионы урттай) долгион шиг ажилладаг бөгөөд тодорхой шинж чанартай байдаг. долгионы функца1з - үл хөдлөх хөрөнгө, otral Хөдөлгөөний эвслийн хууль гэсэн нэр томьёо дурдсан хуудсыг үзнэ үү Новоалексеевка дахь нотариатууд Новоалексеевка дахь Нотариат хэсэгт үнэгүй зар. Одоогоор зарлал байхгүй байна, хамгийн түрүүнд байгаарай!

Орчин үеийн нотариатчдын өмнөх хүмүүсийг эртний Египетээс олж болно, […]

Ширээний гадаргуу дээр жингийн үрэлт байхгүй гэж үзээд хавтгай хэвтээ ширээн дээр байрлах хөшүүн байдлын коэффициент k пүрш дээрх жингийн m-ийн хэлбэлзлийг авч үзье. Хэрэв жинг тэнцвэрийн байрлалаас нь салгавал энэ байрлалтай харьцуулахад хэлбэлзэх болно. Бид эдгээр хэлбэлзлийг цаг хугацаанаас хамааралтай функцээр тайлбарлах бөгөөд энэ нь жингийн t цаг хугацааны тэнцвэрт байдлаас хазайхыг тодорхойлдог.

Хэвтээ чиглэлд жинд зөвхөн нэг хүч үйлчилдэг - алдартай Хукийн хуулиар тодорхойлогддог пүршний уян харимхай хүч.

Пүршний хэв гажилт нь цаг хугацааны функц бөгөөд үүнээс болж энэ нь бас хувьсах шинж чанартай байдаг.

Ньютоны хоёр дахь хуулиас бид

хурдатгал нь шилжилтийн хоёр дахь дериватив учир: .

Хаана. Энэ тэгшитгэлийг гармоник осцилляторын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Сэтгэгдэл. Математикийн уран зохиолд дифференциал тэгшитгэл бичихдээ аргументыг (t) ихэвчлэн түүнээс хамаарах бүх функцийн ойролцоо заадаггүй. Энэ хамаарлыг анхдагчаар тооцдог. (10) дахь Maple математикийн багцыг ашиглахдаа функцийн тодорхой хамаарлыг зааж өгөх шаардлагатай.

Үйлдлийн дор биеийн хөдөлгөөний өмнөх жишээнээс ялгаатай тогтмол хүчманай тохиолдолд хүч цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг ба (10) тэгшитгэлийг ердийн интеграцийн процедурыг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй болсон. Энэ тэгшитгэл нь зарим нэг хэлбэлзлийн процессыг дүрсэлж байгааг мэдэж байгаа тул түүний шийдлийг таахыг хичээцгээе. (10) тэгшитгэлийн боломжит шийдлүүдийн нэг болохын хувьд та дараах функцийг сонгож болно.

Ялгах функц (11), бидэнд байна

(12) илэрхийлэлийг (10) тэгшитгэлд орлуулснаар бид t-ийн аль ч утгын хувьд энэ нь адилхан хангагдсан эсэхийг шалгана.

Гэсэн хэдий ч (11) функц тийм биш юм цорын ганц шийдэлгармоник осцилляторын тэгшитгэл. Жишээлбэл, өөр нэг шийдлийн хувьд та ижил төстэй аргаар шалгахад хялбар функцийг сонгож болно. Түүнчлэн санамсаргүй байдлаар нэрлэгдсэн эдгээр хоёр шийдлийн шугаман хослол байгаа эсэхийг шалгаж болно

-тай тогтмол коэффициентүүд A ба B нь гармоник осцилляторын тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Хоёроос шалтгаалах нь нотлогдож болно байнгын шийдэл(13) нь гармоник осцилляторын тэгшитгэлийн (10) ерөнхий шийдэл юм. Энэ нь томъёо (13) бүх зүйлийг шавхдаг гэсэн үг юм боломжит шийдлүүдэнэ тэгшитгэл. Өөрөөр хэлбэл гармоник осцилляторын тэгшитгэлд (13) томъёоноос дурын А ба В тогтмолуудыг тогтоосноор олж авсан шийдлээс бусад хэсэгчилсэн шийдэл байхгүй.

Физикийн хувьд ихэвчлэн бие даасан ODE эсвэл тэдгээрийн системийн тодорхой шийдлүүдийг хайх шаардлагатай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Та бидний авч үзэж буй пүршний жингийн систем дэх хэлбэлзлийг өдөөж болно янз бүрийн арга замууд. Дараах эхний нөхцлүүдийг тавьцгаая

Энэ нь цаг хугацааны эхний мөчид жин тэнцвэрийн байрлалаас бага хэмжээгээр ухарч, чөлөөтэй суллагдсан (өөрөөр хэлбэл, анхны хурд нь тэг байх үед хөдөлгөөнөө эхэлдэг) гэсэн үг юм. Та өдөөх өөр олон аргуудыг төсөөлж болно, жишээлбэл, тэнцвэрийн байрлал дахь жинг тодорхой "товшилт" өгдөг. эхлэх хурдгэх мэт. [ ерөнхий тохиолдол, ].

Бид эхний нөхцөлүүдийг (14) зарим гэж үздэг нэмэлт нөхцөлерөнхий уусмалаас (13) жингийн хэлбэлзлийг өдөөх бидний аргад тохирох зарим тодорхой шийдлийг тусгаарлах.

(13) илэрхийлэлд t=0 гэж үзвэл B=a гэсэн үг. Тиймээс бид (13) уусмалаас урьд нь дурын тогтмолуудын нэгийг олсон. Дараа нь (13) томъёогоор ялгаж үзвэл бид байна

Энэ илэрхийлэлд t=0 гэж үзээд хоёрдугаарт тооцно анхны нөхцөл(14)-ээс бид A=0 гэсэн дүгнэлт гаргаснаар анхны тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна

Анхны өдөөлт (14) нөхцлөөр тодорхойлогддог, авч үзэж буй механик системийн хэлбэлзлийн горимыг тодорхойлдог.

-аас сургуулийн курсФизикчид (16) томъёонд a нь хэлбэлзлийн далайц (энэ нь жингийн тэнцвэрт байдлаас хазайх хамгийн их утгыг тодорхойлдог), мөчлөгийн давтамж ба хэлбэлзлийн үе шат (эхний үе шат нь дараах байдалтай байна) гэдгийг мэддэг. байх тэгтэй тэнцүү).

Гармоник осцилляторын тэгшитгэл (10) нь шугаман ODE-ийн жишээ юм. Энэ нь үл мэдэгдэх функц ба түүний бүх дериватив нь тэгшитгэлийн гишүүн бүрт нэгдүгээр зэрэгт гарч ирдэг гэсэн үг юм. Шугаман дифференциал тэгшитгэл нь маш чухал юм өвөрмөц онцлог: Тэд суперпозиция зарчмыг хангадаг. Энэ нь шугаман ODE-ийн аль ч хоёр шийдлийн шугаман хослол нь мөн түүний шийдэл болно гэсэн үг юм.

Гармоник осцилляторын тэгшитгэлийн тухай бидний авч үзэж буй жишээнд хоёр тусгай шийдлийн дурын шугаман хослол нь зөвхөн шинэ шийдэл биш, харин энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм (энэ нь түүний бүх боломжит шийдлүүдийг шавхдаг).

Ерөнхийдөө энэ нь тийм биш юм. Жишээлбэл, хэрэв бид гуравдахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэж байсан бол (жишээлбэл, тэгшитгэлд гурав дахь дериватив орсон бол) түүний аль нэг хэсэгчилсэн шийдлийн шугаман хослол нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл болох боловч төлөөлөхгүй. түүний ерөнхий шийдлийг бүрдүүлдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийн хичээлээр N-р эрэмбийн ODE (шугаман эсвэл шугаман бус)-ийн ерөнхий шийдэл нь N дурын тогтмолоос хамаардаг болохыг теорем баталсан. Хэзээ шугаман бус тэгшитгэлэдгээр дурын тогтмолууд ерөнхий шийдэлд (13)-аас ялгаатай нь шугаман бус байдлаар орж болно.

Superposition зарчим нь ODE онолд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг. чухал үүрэг, учир нь түүний тусламжтайгаар дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг түүний тусгай шийдлүүдийн суперпозиция хэлбэрээр бүтээх боломжтой. Жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий шугаман ODE ба тэдгээрийн системүүдийн хувьд (гармоник осцилляторын тэгшитгэл нь тусгайлан энэ төрлийн тэгшитгэлд хамаарна) дифференциал тэгшитгэлийн онолыг боловсруулсан болно. ерөнхий аргашийдлүүд. Үүний мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Тодорхой шийдлийг маягтаар хайж байна. -д орлуулсны үр дүнд анхны тэгшитгэл, бүх цаг хугацаанаас хамааралтай хүчин зүйлс хүчингүй болж, бид тодорхой шинж чанарын тэгшитгэлд хүрдэг бөгөөд N-р зэрэглэлийн ODE-ийн хувьд N-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэл болно. Үүнийг шийдсэнээр бид бүх боломжит хэсэгчилсэн шийдлүүдийг олдог бөгөөд тэдгээрийн дурын шугаман хослол нь анхны ODE-ийн ерөнхий шийдлийг өгдөг. Уншигчдад дифференциал тэгшитгэлийн онолын холбогдох сурах бичгүүдэд хандаж, энэ талаар цаашид ярихгүй бөгөөд үүнээс илүү дэлгэрэнгүй мэдээлэл авах боломжтой, ялангуяа тохиолдлын талаар авч үзэх болно. шинж чанарын тэгшитгэлолон үндэс агуулдаг.

Хэрэв бид шугаман ODE-ийг авч үзвэл хувьсах магадлал, (түүний коэффициентүүд нь цаг хугацаанаас хамаарна), тэгвэл суперпозицийн зарчим бас хүчинтэй, гэхдээ энэ тэгшитгэлийн тодорхой ерөнхий шийдлийг ямар нэгэн байдлаар байгуул. стандарт арга, боломжгүй болсон. Бид цаашдаа энэ асуудал руу буцаж, параметрийн резонансын үзэгдэл ба түүнийг судлахтай холбоотой Матье тэгшитгэлийн талаар ярилцах болно.

Гармоник осциллятор(сонгодог механикт) - тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх үед сэргээх хүчийг мэдэрдэг систем Ф, шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ x(Хүүкийн хуулийн дагуу):

Хаана к- системийн хөшүүн байдлын коэффициент.

Хэрэв Фсистемд үйлчилж байгаа цорын ганц хүч бол системийг дуудна энгийнэсвэл консерватив гармоник осциллятор. Ийм системийн чөлөөт чичиргээ нь үечилсэн хөдөлгөөнтэнцвэрийн байрлалын ойролцоо (гармоник чичиргээ). Давтамж ба далайц нь тогтмол бөгөөд давтамж нь далайцаас хамаардаггүй.

Гармоник осцилляторын механик жишээ бол математик дүүжин (бага хазайлттай өнцөгтэй), мушгирах дүүжин, акустик систем юм. Гармоник осцилляторын бусад аналогуудын дунд цахилгаан гармоник осцилляторыг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй (LC хэлхээг үзнэ үү).

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

Элементар бөөмс | квант онолталбарууд | ноорог дугаар 6 | квант осциллятор

Шугаман осцилляторын албадан хэлбэлзэл | Ерөнхий физик. Механик | Евгений Бутиков

Элементар бөөмс | квант талбайн онол | ноорог дугаар 5 | сонгодог осциллятор

Осциллятор: тэдгээр нь юу вэ, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах вэ? I-TT.RU сайтаас худалдаачдад зориулсан сургалт

Sytrus 01 of 16 Осцилляторын дүрстэй ажиллах

Хадмал орчуулга

Чөлөөт чичиргээ

Консерватив гармоник осциллятор

Консерватив гармоник осцилляторын загвар болгон бид массын ачааллыг авдаг м, хөшүүн чанараар булагт бэхлэгдсэн к .

Болъё x- тэнцвэрийн байрлалтай харьцуулахад ачааллын шилжилт хөдөлгөөн. Дараа нь Хукийн хуулийн дагуу нөхөн сэргээх хүч үүн дээр ажиллах болно.

(\displaystyle F=-kx.)

− A ω 2 нүгэл ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A нүгэл ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ омега _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.) тдалайц багассан. Энэ нь ямар ч утгатай байж болно гэсэн үг юм (тэг орно - энэ нь ачаалал тэнцвэрийн байрлалд амарч байна гэсэн үг). Тэгш байдал ямар ч үед үнэн байх ёстой тул та мөн синусаар багасгаж болно

(\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1)) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

тогтмол утга E = 1 2 k A 2 . (\ displaystyle E = (\ frac (1) (2)) kA ^ (2).)Энгийн гармоник хөдөлгөөн x- энэ бол энгийн хүний ​​хөдөлгөөн юм

гармоник осциллятор x, албадан эсвэл чийгшүүлээгүй үечилсэн хөдөлгөөн. Энгийн гармоник хөдөлгөөнд байгаа бие нь үнэмлэхүй утгаараа шилжилттэй шууд пропорциональ хувьсах хүчинд өртдөг.

Хаана А- хэлбэлзлийн далайц, е- давтамж, φ - эхний үе шат.

Хөдөлгөөний давтамжийг тодорхойлно онцлог шинж чанаруудсистем (жишээлбэл, хөдөлж буй биеийн масс), харин далайц ба эхний үе шатыг эхний нөхцлөөр тодорхойлдог - хэлбэлзэл эхлэх үеийн биеийн шилжилт ба хурд. Системийн кинетик ба боломжит энерги нь эдгээр шинж чанар, нөхцлөөс хамаарна.

Энгийн гармоник хөдөлгөөнийг гэж үзэж болно математик загвар янз бүрийн төрөлпүршний хэлбэлзэл зэрэг хөдөлгөөнүүд. Энгийн гармоник хөдөлгөөн гэж үзэж болох бусад тохиолдлууд бол дүүжингийн хөдөлгөөн ба молекулуудын чичиргээ юм.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн нь илүү төвөгтэй хөдөлгөөнийг шинжлэх зарим аргуудын үндэс суурь болдог. Эдгээр аргуудын нэг нь Фурье хувиргалт дээр суурилсан арга бөгөөд түүний мөн чанар нь илүү ихийг өргөжүүлэх явдал юм. нарийн төвөгтэй төрөлэнгийн гармоник хөдөлгөөнүүдийн цуваа болгон хөдөлгөөнүүд.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн үүсдэг системийн ердийн жишээ бол массыг пүрштэй холбосон идеалжуулсан масс-пүршний систем юм. Хэрэв хавар нь шахагдаагүй, сунгагдаагүй бол ачаалалд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй. хувьсах хүч, мөн ачаа нөхцөл байдалд байна механик тэнцвэр. Гэсэн хэдий ч ачааллыг тэнцвэрийн байрлалаас салгавал пүрш нь хэв гажиж, түүний хажуу талаас ачаалал дээр хүч үйлчлэх бөгөөд энэ нь ачааллыг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай болно. Ачааллын булгийн системийн хувьд ийм хүч нь Хукийн хуулийг дагаж мөрддөг хаврын уян харимхай хүч юм.

Энгийн гармоник хөдөлгөөн тохиолддог аливаа систем нь хоёр үндсэн шинж чанартай байдаг.

1. Систем тэнцвэрт байдлаас гарах үед системийг тэнцвэрт байдалд буцаах хандлагатай сэргээх хүч байх ёстой.
2. Сэргээх хүч нь шилжилт хөдөлгөөнтэй яг эсвэл ойролцоогоор пропорциональ байх ёстой.

Ачааллын булгийн систем нь эдгээр хоёр нөхцлийг хангадаг.

Нүүлгэн шилжүүлсэн ачаалал нь нөхөн сэргээх хүчинд өртсөний дараа хурдасч, анхны байрлал руугаа буцах хандлагатай байдаг. эхлэх цэг, өөрөөр хэлбэл тэнцвэрийн байрлал руу. Ачаалал тэнцвэрийн байрлалд ойртох тусам сэргээх хүч буурч, тэг болох хандлагатай байдаг. Гэсэн хэдий ч нөхцөл байдалд x = 0 ачаалал нь нөхөн сэргээх хүчний үйл ажиллагааны улмаас олж авсан тодорхой хэмжээний хөдөлгөөнтэй (импульс). Тиймээс ачаалал нь тэнцвэрийн байрлалаас давж, хавар дахин хэв гажиж эхэлдэг (гэхдээ аль хэдийн орсон байна эсрэг чиглэл). Сэргээх хүч нь хурд нь тэг болох хүртэл удаашрах хандлагатай байх болно; ба хүч дахин ачааллыг тэнцвэрт байдалд нь буцаахыг хичээх болно.

Системд эрчим хүчний алдагдал байхгүй л бол ачаалал нь дээр дурдсанчлан хэлбэлзэх болно; ийм хөдөлгөөнийг үе үе гэж нэрлэдэг.

Цаашдын дүн шинжилгээ нь ачаалал-пүршний системийн хувьд хөдөлгөөн нь энгийн гармоник болохыг харуулах болно.

Энгийн гармоник хөдөлгөөний динамик

Ньютоны 2-р хуулийг харгалзан нэг хэмжээст орон зай дахь чичиргээний хувьд ( F= м  d² x/г т² ) ба Хукийн хууль ( Ф = −kx, дээр дурдсанчлан) бид хоёр дахь дарааллын шугаман дифференциал тэгшитгэлтэй байна:

Энэ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь синусоид; нэг шийдэл нь:

Хаана А, ω ба φ нь тогтмол хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд тэнцвэрийн байрлалыг анхны байрлалаар авна. Эдгээр тогтмолууд тус бүр нь чухал зүйлийг илэрхийлдэг физик өмчхөдөлгөөнүүд: Ань далайц, ω = 2π е- дугуй давтамж, φ - эхний үе шат.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) .

(\ displaystyle U(t)=(\ frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ омега t+\varphi).)

Бүх нийтийн дугуй хөдөлгөөн

Энгийн гармоник хөдөлгөөнийг зарим тохиолдолд бүх нийтийн дугуй хөдөлгөөний нэг хэмжээст проекц гэж үзэж болно. Хэрэв объект радиустай тойргийн дагуу ω тогтмол өнцгийн хурдтай хөдөлж байвал r , түүний төв нь онгоцны координатын эхлэл юм x−y , дараа нь тус бүрийн дагуу ийм хөдөлгөөнкоординатын тэнхлэгүүд Хэрэв объект радиустай тойргийн дагуу ω тогтмол өнцгийн хурдтай хөдөлж байвалдалайцтай энгийн гармоник юм

ба дугуй давтамж ω.

Энгийн савлуур шиг жин ℓ Жижиг өнцгийг ойртуулахад энгийн дүүжингийн хөдөлгөөн энгийн гармониктай ойролцоо байна. Урт саваанд бэхлэгдсэн ийм савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа хурдатгалтай Чөлөөт уналт g

T = 2 π ℓ г. Чөлөөт уналт, тиймээс, ижил урттай савлуур саран дээр илүү удаан эргэлдэх болно, учир нь тэнд таталцал сул, бага үнэ цэнэчөлөөт уналтын хурдатгал.

Өнцгийн хурдатгалын илэрхийлэл нь координатын синустай пропорциональ байдаг тул энэ ойролцоо тооцоолол нь зөвхөн жижиг хазайлтын өнцгийн хувьд зөв юм.

Хаана I- инерцийн момент; В энэ тохиолдолд I = мℓ 2 .

Энэ нь өнцгийн хурдатгалыг θ өнцөгтэй шууд пропорциональ болгодог бөгөөд энэ нь энгийн гармоник хөдөлгөөний тодорхойлолтыг хангадаг.

Норгостой гармоник осциллятор

Үүнтэй ижил загварыг үндэслэн бид наалдамхай үрэлтийн хүчийг нэмнэ. Наалдамхай үрэлтийн хүч нь орчинтой харьцуулахад ачааллын хөдөлгөөний хурдны эсрэг чиглэсэн бөгөөд энэ хурдтай шууд пропорциональ байна. Дараа нь бүрэн хүч чадал, ачаалал дээр ажиллаж байгаа нь дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Үүнтэй төстэй үйлдлүүдийг хийснээр бид чийгшүүлсэн осцилляторыг дүрсэлсэн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

Тэмдэглэгээг энд танилцуулав: 2 γ = α m (\displaystyle 2\гамма =(\frac (\альфа )(м))). Коэффицент γ (\displaystyle \гамма)Норгосны тогтмол гэж нэрлэдэг. Энэ нь бас давтамжийн хэмжээстэй.

Шийдэл нь гурван тохиолдолд хуваагдана.

Хаана ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\гамма ^(2))))- чөлөөт хэлбэлзлийн давтамж.

Хаана β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\гамма \pm (\sqrt (\гамма ^(2)-\омега _(0)^(2)) ))).

Критик уналт нь осциллятор нь хамгийн хурдан тэнцвэрийн байрлал руу чиглэдэг нь маш чухал юм. Хэрэв үрэлт нь эгзэгтэй хэмжээнээс бага байвал тэнцвэрийн байрлалд илүү хурдан хүрэх боловч инерцийн улмаас түүнийг "хэт давж" хэлбэлзэх болно. Хэрэв үрэлт нь эгзэгтэй хэмжээнээс их байвал осциллятор нь тэнцвэрийн байрлал руу экспоненциал хандлагатай байх болно, гэхдээ илүү удаан байх тусам үрэлт их байх болно.

Тиймээс залгах индикаторуудад (жишээлбэл, амметрээр) зүү нь уншилтыг уншихын тулд аль болох хурдан тайвширч, эгзэгтэй унтралтыг нэвтрүүлэхийг хичээдэг.

Осцилляторын уналт нь ихэвчлэн чанарын хүчин зүйл гэж нэрлэгддэг хэмжээсгүй параметрээр тодорхойлогддог. Чанарын хүчин зүйлийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг Q (\displaystyle Q). Тодорхойлолтоор чанарын хүчин зүйл нь дараахь байдалтай тэнцүү байна.

Чанарын хүчин зүйл өндөр байх тусам осцилляторын хэлбэлзэл удааширна.

Критик уналттай осциллятор нь чанарын коэффициент 0.5 байна. Үүний дагуу чанарын хүчин зүйл нь осцилляторын үйл ажиллагааг харуулдаг. Хэрэв чанарын хүчин зүйл 0.5-аас их байвал осцилляторын чөлөөт хөдөлгөөн нь хэлбэлзлийг илэрхийлнэ; онолын хувьд цаг хугацаа өнгөрөх тусам тэнцвэрийн байрлалыг хязгааргүй олон удаа давах болно. Чанарын коэффициент 0.5-аас бага буюу тэнцүү байх нь осцилляторын осцилляторгүй хөдөлгөөнтэй тохирч байна; В чөлөөт хөдөлгөөнЭнэ нь тэнцвэрийн байрлалыг хамгийн ихдээ нэг удаа гатлах болно.

Чанарын хүчин зүйлийг заримдаа осцилляторын олз гэж нэрлэдэг, учир нь зарим өдөөх аргуудын үед өдөөх давтамж нь резонансын хэлбэлзлийн давтамжтай давхцах үед тэдгээрийн далайцыг ойролцоогоор тохируулдаг. Q (\displaystyle Q)бага давтамжтай ижил эрчимтэй өдөөхөөс хэд дахин их.

Мөн чанарын хүчин зүйл нь хэлбэлзлийн далайц багасах хэлбэлзлийн мөчлөгийн тоотой ойролцоогоор тэнцүү байна. e (\displaystyle e)дахин үржүүлсэн π (\displaystyle \pi).

Хөдөлгөөний хэлбэлзлийн хувьд сааруулагч нь дараахь параметрүүдээр тодорхойлогддог.

• Насан туршдаачичиргээ (өөрөөр хэлбэл задрах хугацаа, Энэ нь ижил юм амрах цаг) τ - хэлбэлзлийн далайц буурах хугацаа днэг удаа.

Энэ хугацааг хэлбэлзлийг сулруулах (зогсоох) шаардлагатай хугацаа гэж үздэг (хэдийгээр албан ёсоор чөлөөт хэлбэлзэл хязгааргүй үргэлжилдэг).

Албадан чичиргээ Осцилляторын хэлбэлзлийг гадны нэмэлт нөлөөлөл үзүүлэх үед албадан гэж нэрлэдэг. Энэ нөлөөллийг янз бүрийн арга хэрэгслээр үүсгэж болноянз бүрийн хууль . Жишээлбэл, хүчний өдөөлт нь тодорхой хуулийн дагуу зөвхөн цаг хугацаанаас хамаарах хүчний ачаалалд үзүүлэх нөлөө юм. Кинематик өдөөлт гэдэг нь хаврын бэхэлгээний цэгийн дагуух хөдөлгөөнөөр осцилляторт үзүүлэх нөлөө юмөгсөн хууль