Долгионы тэгшитгэлийн төрөл физик системнь түүний Гамильтонианаар тодорхойлогддог тул квант механикийн бүх математик аппаратад үндсэн ач холбогдол өгдөг.

Чөлөөт бөөмийн Гамильтоны хэлбэр аль хэдийн тогтоогдсон ерөнхий шаардлага, орон зайн нэгэн төрлийн ба изотропи, Галилейгийн харьцангуйн зарчимтай холбоотой. IN сонгодог механикЭдгээр шаардлагууд нь бөөмийн энерги нь түүний импульсээс квадрат хамааралтай болоход хүргэдэг: тогтмолыг бөөмийн масс гэж нэрлэдэг (I, § 4-ийг үзнэ үү). IN квант механикижил шаардлагууд нь энерги ба импульсийн хувийн утгуудын хувьд ижил хамааралд хүргэдэг - нэгэн зэрэг хэмжигдэхүйц хэмжигдэхүйц хэмжигдэхүүн (чөлөөт бөөмийн хувьд).

Гэхдээ эрчим хүч, импульсийн бүх хувийн утгуудын хувьд харилцааг хадгалахын тулд энэ нь тэдний операторуудад бас хүчинтэй байх ёстой.

Энд (15.2) орлуулснаар чөлөөтэй хөдөлж буй бөөмийн Гамильтониан хэлбэрийг олж авна.

Хаана - Лаплас оператор.

Харьцдаггүй бөөмсийн системийн Гамильтониан нийлбэртэй тэнцүү байнаТэд тус бүрийн Гамильтончууд:

a индекс нь бөөмсийг дугаарладаг; - Бөөмийн координатыг ялгах үйл ажиллагаа явуулдаг Лаплас оператор.

Сонгодог (харьцангуй бус) механикт бөөмсийн харилцан үйлчлэлийг Гамильтон функцэд нэмэлт нэр томъёогоор дүрсэлсэн байдаг - харилцан үйлчлэлийн боломжит энерги нь бөөмсийн координатын функц юм.

Системийн Гамильтониан дээр ижил функцийг нэмснээр квант механик дахь бөөмсийн харилцан үйлчлэлийг тайлбарлав.

эхний нэр томъёог оператор гэж үзэж болно кинетик энерги, хоёр дахь нь операторын хувьд боломжит эрчим хүч. Ялангуяа гадаад талбарт байрлах нэг бөөмийн Гамильтониан байна

Энд U(x, y, z) нь гадаад орон дахь бөөмийн потенциал энерги юм.

Ерөнхий тэгшитгэл (8.1)-д (17.2)-(17.5) илэрхийллийг орлуулснаар харгалзах системүүдийн долгионы тэгшитгэл гарч ирнэ. Гадаад талбар дахь бөөмийн долгионы тэгшитгэлийг энд бичье

Тогтворгүй төлөвийг тодорхойлсон тэгшитгэл (10.2) хэлбэрийг авна

(17.6), (17.7) тэгшитгэлийг 1926 онд Шредингер үүсгэсэн бөгөөд Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг.

Чөлөөт бөөмийн хувьд (17.7) тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Энэ тэгшитгэл нь бүх орон зайд төгсгөлтэй шийдлүүдтэй эерэг утгаэнерги E. Хөдөлгөөний тодорхой чиглэлтэй төлөвүүдийн хувьд эдгээр шийдлүүд нь импульсийн операторын хувийн функцууд ба . Ийм бүрэн (цаг хугацаанаас хамааралтай) долгионы функцууд суурин төлөвүүдшиг харагдах

(17,9)

Ийм функц бүр - хавтгай долгион - бөөмс нь тодорхой Е энерги ба импульстэй байх төлөвийг тодорхойлдог. Энэ долгионы давтамж нь тэнцүү бөгөөд харгалзах долгионы урттай долгионы векторыг бөөмийн де Бройль долгионы урт гэнэ.

Ийнхүү чөлөөтэй хөдөлж буй бөөмийн энергийн спектр нь тэгээс эдгээр хувийн утга тус бүр хүртэл үргэлжилдэг тасралтгүй болж хувирдаг (зөвхөн утга нь доройтож, доройтол нь хязгааргүй олон байдаг. Үнэн хэрэгтээ, E-ийн тэг бус утга тус бүрээс бусад нь. тохирдог хязгааргүй олонлогижил үнэмлэхүй утгатай вектор чиглэлд ялгаатай хувийн функцууд (17.9).

Шредингерийн тэгшитгэлд сонгодог механик руу шилжих хязгаарын шилжилт хэрхэн явагддагийг харцгаая, энгийн байх үүднээс гадаад талбарт зөвхөн нэг бөөмийг авч үзье. Долгионы функцийн хязгаарлах илэрхийлэлийг (6.1) Шредингерийн тэгшитгэлд (17.6) орлуулснаар бид ялгах замаар олж авна.

Энэ тэгшитгэл нь цэвэр бодит ба цэвэр төсөөлөлтэй нөхцөлтэй (S ба a нь бодит гэдгийг санаарай); Хоёуланг нь тусад нь тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид хоёр тэгшитгэлийг олж авна.

Эдгээр тэгшитгэлийн эхний хэсэгт байгаа нэр томъёог үл тоомсорлож, бид олж авна

(17,10)

өөрөөр хэлбэл, таамаглаж байсанчлан S бөөмийн үйл ажиллагааны сонгодог Гамильтон-Жакоби тэгшитгэл. Дашрамд хэлэхэд, сонгодог механикт эхний (тэг биш) дарааллын тоо хэмжээ хүртэл хүчинтэй байгааг бид харж байна.

2а-аар үржүүлсний дараа үүссэн тэгшитгэлийн хоёр дахь хэлбэрийг дахин бичиж болно

Энэ тэгшитгэл нь харааны шинж чанартай байдаг физик утга: огторгуйн тодорхой газар бөөмсийг олох магадлалын нягтрал байна бөөмийн сонгодог v хурд; Иймд (17.11) тэгшитгэл нь үргэлжилсэн тэгшитгэлээс өөр зүйл биш бөгөөд магадлалын нягт нь сонгодог механикийн хуулиудын дагуу "хөдөлж" байгааг харуулж байна. сонгодог хурд v цэг бүрт.

Даалгавар

Галилейн хувиргалт дахь долгионы функцийн хувирлын хуулийг ол.

Шийдэл. Өөрчлөлтийг дахин хийцгээе долгионы функц чөлөөт хөдөлгөөнбөөмс (хавтгай долгион). Аливаа функцийг хавтгай долгион болгон өргөжүүлж болох тул дурын долгионы функцийг хувиргах хууль олно.

K ба K" лавлах систем дэх хавтгай долгионууд (K" нь K-тэй харьцуулахад V хурдтай хөдөлдөг):

Түүнээс гадна хоёр систем дэх бөөмсийн момент ба энерги нь хоорондоо томьёогоор хамааралтай байдаг

(I, § 8-г үзнэ үү), Эдгээр илэрхийллийг орлуулснаар бид олж авна

Энэ хэлбэрээр энэ томъёо нь бөөмийн чөлөөт хөдөлгөөнийг тодорхойлдог хэмжигдэхүүнийг агуулахаа больсон бөгөөд хүссэн хэмжээг тогтооно. нийтлэг хуульдурын бөөмийн төлөвийн долгионы функцийг хувиргах. Бөөмийн системийн хувьд (1) дэх илтгэгч нь бөөмс дээрх нийлбэрийг агуулсан байх ёстой.

Лекц 5. ШРӨДИНГЭРИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭ.

Де Бройль долгионы магадлалын утга. Долгион функц.

Де Бройль долгион нь тодорхой шинж чанартай байдаг квант шинж чанар, энэ нь сонгодог физикийн долгионтой зүйрлэшгүй. Биш цахилгаан соронзон долгион, учир нь тэдний орон зайд тархалт нь ямар ч тархалттай холбоогүй юм цахилгаан соронзон орон. Долгионуудын мөн чанарын тухай асуултыг эдгээр долгионы далайцын физик утгын тухай асуулт болгон томъёолж болно. Далайцын оронд далайцын модулийн квадраттай пропорциональ долгионы эрчмийг сонгох нь илүү тохиромжтой.

Электрон дифракцийн туршилтаас үзэхэд эдгээр туршилтуудад электрон цацрагийн тэгш бус тархалт тусгагдсан байдаг. янз бүрийн чиглэлүүд. Долгионы үүднээс авч үзвэл зарим чиглэлд электронуудын тоонд максимууд байгаа нь эдгээр чиглэлүүд нь де Бройль долгионы хамгийн өндөр эрчимтэй тохирч байна гэсэн үг юм. Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэг дэх долгионы эрч хүч нь 1 секундын дотор электронуудын энэ цэгт хүрэх магадлалын нягтыг тодорхойлдог.

Энэ нь де Бройль долгионы статистик, магадлалын тайлбарын үндэс болсон юм.

Өгөгдсөн цэг дэх де Бройлийн долгионы далайцын квадрат хэмжээ нь тухайн цэгт бөөмс илрэх магадлалын хэмжүүр юм.

Бөөм олох магадлалын тархалтыг тайлбарлахын тулд Энэ мөчорон зайн аль нэг цэгт цаг хугацааны хувьд бид цаг хугацаа ба координатын функц болох функцийг танилцуулж байна Грек үсэг ψ гэж нэрлэдэг долгионы функцэсвэл зүгээр л psi функц.

Тодорхойлолтоор бол бөөмс x, x+dx дотор координаттай байх магадлал.

Хэрэв , тэгвэл бөөмс dxdydz эзэлхүүнд байх магадлал байна.

Иймд бөөмс dV эзэлхүүний элементэд байрлах магадлал нь psi функцын модуль ба dV эзлэхүүний элементийн квадраттай пропорциональ байна.

Физик утга нь ψ функц өөрөө биш, харин түүний модулийн квадрат бөгөөд энд ψ* нь ψ-ийн нийлмэл функц юм. Хэмжээ нь утга учиртай магадлалын нягт, өөрөөр хэлбэл тодорхойлдог орон зайн өгөгдсөн цэг дээр бөөмс байх магадлал. Өөрөөр хэлбэл, де Бройлийн долгионы эрчмийг тодорхойлдог. Долгионы функц нь бичил биетийн төлөв байдлын гол шинж чанар юм ( энгийн бөөмс, атом, молекул).

Тогтворгүй тэгшитгэлШредингер.

Сонгодог механик дахь Ньютоны тэгшитгэлүүд нь макроскоп биетүүдэд механикийн гол асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог - биед (эсвэл биеийн системд) нөлөөлж буй хүч, анхны нөхцөлийг харгалзан тухайн биеийн координат ба түүний хурдыг дурын агшинд олох боломжтой. цаг хугацааны хувьд, өөрөөр хэлбэл. Биеийн орон зай, цаг хугацааны хөдөлгөөнийг дүрслэх.

Квантын механикт ижил төстэй асуудал гаргахдаа микробөөмсүүдэд хэрэглэх боломжийн хязгаарлалтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. сонгодог ойлголтуудкоординат ба импульс. Цаг хугацааны өгөгдсөн агшинд орон зай дахь бичил бөөмийн төлөв байдал нь долгионы функцээр тодорхойлогддог тул илүү тодорхой хэлбэл, бөөмийг олох магадлалаар тодорхойлогддог. x,y,z цэг t цагт, квант механикийн үндсэн тэгшитгэл нь psi функцтэй холбоотой тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийг 1926 онд Шредингер олж авсан. Ньютоны хөдөлгөөний тэгшитгэлийн нэгэн адил Шредингерийн тэгшитгэл нь гарал үүсэлтэй биш харин постуляцилагдсан байдаг. Энэхүү тэгшитгэлийн үнэн зөв нь түүний тусламжтайгаар олж авсан дүгнэлтүүд нь туршилтуудтай сайн тохирч байгаагаар нотлогддог.

Шредингерийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

,

энд m нь бөөмийн масс, i төсөөллийн нэгж, нь Лаплас оператор бөгөөд үр дүн нь зарим функц дээр ажилладаг

.

U(x,y,z,t) – бидний асуудлын хүрээнд хүчний талбарт хөдөлж буй бөөмийн потенциал энерги. Шредингерийн тэгшитгэлээс харахад psi функцийн төрлийг U функцээр тодорхойлно, i.e. эцсийн эцэст бөөмс дээр үйлчлэх хүчний мөн чанар.

Шредингерийн тэгшитгэлийг нэмж оруулав чухал нөхцөл, эдгээр нь psi функц дээр давхардсан байна. Гурван нөхцөл байна:

1) ψ функц нь төгсгөлтэй, тасралтгүй, хоёрдмол утгатай байх ёстой;

2) дериватив тасралтгүй байх ёстой

3) функц нь интегралдах боломжтой байх ёстой, i.e. интеграл

эцсийн байх ёстой. Хамгийн энгийн тохиолдлуудад гурав дахь нөхцөл нь хэвийн болгох нөхцөл хүртэл буурдаг

Энэ нь огторгуйн хаа нэгтээ бөөмс байгаа гэсэн үг юм найдвартай үйл явдалтүүний магадлал нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой. Эхний хоёр нөхцөл нь дифференциал тэгшитгэлийн хүссэн шийдэлд тавигддаг ердийн шаардлага юм.

Шредингерийн тэгшитгэлд хэрхэн хүрч болохыг тайлбарлая. Энгийн байхын тулд бид өөрсдийгөө нэг хэмжээст тохиолдлоор хязгаарладаг. Чөлөөт хөдөлгөөнт бөөмийг (U = 0) авч үзье.

Де Бройлийн санааны дагуу үүнийг хавтгай долгионтой харьцуулж үзье

Орлуулж дахин бичье

.

Энэ илэрхийллийг t-ийн хувьд нэг удаа, х-ийн хувьд хоёр дахь удаагаа хоёр удаа ялгаж, бид олж авна

Чөлөөт бөөмийн энерги ба импульс нь харилцан хамааралтай байдаг

Энэ хамааралд E ба p 2 илэрхийллийг орлуулах

Сүүлийн илэрхийлэл нь U =0 үед Шредингерийн тэгшитгэлтэй давхцаж байна.

Боломжит энерги U-аар тодорхойлогддог хүчний талбар дахь бөөмсийн хөдөлгөөний хувьд E энерги ба импульс p нь хамааралтай байна.

Энэхүү үндэслэл нь нотлох үнэ цэнэгүй бөгөөд Шредингерийн тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй гэж үзэж болохгүй. Тэдний зорилго бол энэ тэгшитгэлийг хэрхэн бий болгохыг тайлбарлах явдал юм.

Гейзенберг квант механик дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл нь янз бүрийн бичил хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн гэсэн дүгнэлтэд хүргэсэн. хүчний талбарууд, туршилтаар ажиглагдсан утгыг дагаж мөрдөх тэгшитгэл байх ёстой долгионы шинж чанартоосонцор. Удирдах тэгшитгэл нь Ψ долгионы функцийн тэгшитгэл байх ёстой (x, y, z, t),учир нь энэ нь яг энэ, эсвэл илүү нарийвчлалтай, тоо хэмжээ |Ψ| 2, тухайн цаг мөчид бөөмс байх магадлалыг тодорхойлно тΔ эзлэхүүнээр V,өөрөөр хэлбэл координаттай хэсэгт XТэгээд x + dx, yТэгээд y + dу, zТэгээд z+ dz.

Харьцангуй бус квант механикийн үндсэн тэгшитгэлийг 1926 онд Э.Шредингер боловсруулсан. Шредингерийн тэгшитгэл нь физикийн бүх үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэгэн адил (жишээлбэл, сонгодог механик дахь Ньютоны тэгшитгэл, цахилгаан соронзон орны Максвеллийн тэгшитгэл) нь гарал үүсэлтэй биш, харин үндэслэлтэй байдаг. Энэхүү тэгшитгэлийн зөвийг түүнээс олж авсан туршлагаараа баталж байна үр дүнг ашиглах, энэ нь эргээд түүнд байгалийн хуулийн шинж чанарыг өгдөг.

Ерөнхий тэгшитгэлШредингер дараах хэлбэртэй байна.

Хаана ? =ц/(2π), м- бөөмийн масс, Δ - Лаплас оператор , би- төсөөллийн нэгж, У(x, y, z, t) - боломжит функцтүүний хөдөлж буй хүчний талбар дахь бөөмс, Ψ( x, y, z, t) нь бөөмийн хүссэн долгионы функц юм.

Тэгшитгэл (1) нь бага (гэрлийн хурдтай харьцуулахад) хурдтай хөдөлж буй аливаа бөөмийн (0-тэй тэнцүү спиралтай) хувьд хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл. υ "Хамт.

Энэ нь нөхцлөөр нэмэгддэг, долгионы функц дээр давхардсан:

1) долгионы функц нь төгсгөлтэй, хоёрдмол утгатай, тасралтгүй байх ёстой;

2) дериватив тасралтгүй байх ёстой;

3) функц |Ψ| 2 нь интегралч байх ёстой (энэ нөхцөл нь хамгийн энгийн тохиолдолд магадлалыг хэвийн болгох нөхцөл хүртэл буурдаг).

Тэгшитгэл (1) гэж нэрлэгддэг цаг хугацаанаас хамааралтай Шредингерийн тэгшитгэл.

Олон хүний ​​хувьд физик үзэгдлүүд, бичил ертөнцөд тохиолдож байгаа тэгшитгэл (1) нь Ψ-ийн цаг хугацааны хамаарлыг арилгах замаар хялбаршуулж болно, өөрөөр хэлбэл. Шредингерийн тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй төлөв - тогтмол энергийн утгатай төлөвийг ол. Хэрэв бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар нь хөдөлгөөнгүй, өөрөөр хэлбэл функц байвал энэ нь боломжтой юм U = U(x, y,z) цаг хугацаанаас шууд хамаардаггүй бөгөөд боломжит энергийн утгыг агуулна. IN энэ тохиолдолдШредингерийн тэгшитгэлийн шийдийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

. (2)

Тэгшитгэл (2) хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Энэ тэгшитгэлийг параметр болгон оруулсан болно нийт эрчим хүч Этоосонцор. Онолын хувьд дифференциал тэгшитгэлИйм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг нь ногдуулах замаар батлагдсан хилийн нөхцөлфизикийн утгатай шийдлүүдийг сонгосон. Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд ийм нөхцөлүүд байна долгионы функцүүдийн тогтмол байдлын нөхцөл: Шинэ функцууд нь эхний деривативын хамт төгсгөлтэй, тодорхойгүй, тасралтгүй байх ёстой.

Тиймээс Ψ тогтмол функцээр илэрхийлэгдсэн шийдлүүд л бодит физик утгатай байна. Гэхдээ ямар ч параметрийн утгын хувьд ердийн шийдлүүд гардаггүй Э,гэхдээ зөвхөн тэдгээрийн тодорхой багцын хувьд, өгөгдсөн даалгаврын шинж чанар. Эдгээр энергийн утгыг хувийн утга гэж нэрлэдэг . Тохиромжтой шийдлүүд хувийн үнэ цэнээнергийг хувийн функц гэж нэрлэдэг . Хувийн үнэ цэнэ Этасралтгүй болон аль алиныг нь үүсгэж болно салангид цуврал. Эхний тохиолдолд тэд тасралтгүй эсвэл хатуу спектрийн тухай, хоёр дахь нь салангид спектрийн тухай ярьдаг.

Нэг хэмжээст тэгш өнцөгт "боломжит худаг" дахь бөөмсхязгааргүй өндөр "ханатай"

Гүйцэе чанарын шинжилгээХязгааргүй өндөр "хана" бүхий нэг хэмжээст тэгш өнцөгт "потенциал худаг" дахь бөөмсөнд хэрэглэсэн Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлүүд. Ийм "нүх" нь хэлбэрийн боломжит энергиэр тодорхойлогддог (хялбар байхын тулд бөөмс тэнхлэгийн дагуу хөдөлдөг гэж бид үздэг. X)

Хаана лнь "нүхний" өргөн бөгөөд энерги нь түүний ёроолоос хэмжигддэг (Зураг 2).

Нэг хэмжээст бодлогын хувьд суурин төлөвийн Шредингерийн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

. (1)

Асуудлын нөхцлийн дагуу (хязгааргүй өндөр "хана") бөөмс нь "нүх" -ээс цааш нэвтэрдэггүй тул "нүх" -ээс гадна түүнийг илрүүлэх магадлал (мөн долгионы функц) тэг байна. "Нүхний" хил дээр (ат X= 0 ба x = 1)тасралтгүй долгионы функц мөн алга болох ёстой.

Тиймээс энэ тохиолдолд хилийн нөхцөл нь дараахь хэлбэртэй байна.

Ψ (0) = Ψ ( л) = 0. (2)

"Нүхэн" дотор (0 ≤ X≤ 0) Шредингерийн тэгшитгэл (1) нь дараах тэгшитгэлд буурна.

эсвэл . (3)

Хаана k 2 = 2mE / ? 2.(4)

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (3):

Ψ ( x) = Анүгэл kx + Б cos kx.

(2)-ын дагуу Ψ (0) = 0, тэгвэл B = 0. Дараа нь

Ψ ( x) = Анүгэл kx. (5)

Нөхцөл Ψ ( л) = Анүгэл kl= 0 (2) зөвхөн үед л гүйцэтгэгдэнэ kl = nπ, Хаана n- бүхэл тоо, өөрөөр хэлбэл. энэ нь зайлшгүй юм

к = nπ/л. (6)

(4) ба (6) илэрхийллээс дараах байдалтай байна.

(n = 1, 2, 3,…), (7)

жишээлбэл, хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "потенциал худаг" дахь бөөмийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн Шредингерийн хөдөлгөөнгүй тэгшитгэл нь зөвхөн хувийн утгуудын хувьд хангагдана. E p,бүхэл тооноос хамаарна П.Тиймээс эрчим хүч E pХязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" дахь бөөмсийг зөвхөн хүлээн зөвшөөрдөг тодорхой дискрет утгууд, өөрөөр хэлбэл энэ нь квантлагдсан байна.

Эрчим хүчний хэмжигдэхүүн E pгэж нэрлэдэг эрчим хүчний түвшинболон тоо П,бөөмийн энергийн түвшинг тодорхойлдог үндсэн квант тоо.Тиймээс хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" дахь бичил бөөмс нь зөвхөн тодорхой энергийн түвшинд байж болно. E p,эсвэл тэдний хэлснээр бөөмс квант төлөвт байна П.

(5) утгыг орлуулах к(6) -аас бид хувийн функцийг олно:

.

Интеграцийн тогтмол байдал АБид хэвийн болгох нөхцлөөс олж, энэ тохиолдолд дараах хэлбэрээр бичнэ.

.

Интеграцчлалын үр дүнд бид олж авах бөгөөд хувийн функцууд нь дараах хэлбэртэй болно.

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Эрчим хүчний түвшинд (7) харгалзах хувийн функцүүдийн график (8). n= 1,2,3, зурагт үзүүлэв. 3, А.Зураг дээр. 3, бнүхний "хана" -аас янз бүрийн зайд бөөмсийг илрүүлэх магадлалын нягтыг харуулж байна, Ψ-тэй тэнцүү. n(x)‌ 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Учир нь n = 1, 2 ба 3. Зурагнаас жишээлбэл, квант төлөвт байна n= 2, бөөмс нь "нүхний" голд байх боломжгүй, мөн адил ихэвчлэн зүүн болон зөв хэсгүүд. Бөөмийн ийм зан байдал нь квант механик дахь бөөмийн траекторийн тухай ойлголтыг батлах боломжгүй гэдгийг харуулж байна.

(7) илэрхийллээс харахад зэргэлдээ хоёр түвшний хоорондох энергийн интервал дараахтай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, худгийн хэмжээс бүхий электроны хувьд л= 10 -1 м (металл дахь чөлөөт электронууд) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, өөрөөр хэлбэл. Эрчим хүчний түвшин маш ойрхон байрладаг тул спектрийг тасралтгүй гэж үзэж болно. Хэрэв худгийн хэмжээ нь атомын хэмжээтэй харьцуулж байвал ( l ≈ 10 -10 м), дараа нь электроны хувьд Δ E n ≈ 10 -17 nЖ ≈ 10 2 n eV, өөрөөр хэлбэл. Дискрет энергийн утгыг (шугамын спектр) олж авах нь ойлгомжтой.

Тиймээс, хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "потенциал худаг" дахь бөөмсөнд Шредингерийн тэгшитгэлийг хэрэглэх нь эрчим хүчний хэмжигдэхүүнд хүргэдэг бол сонгодог механик нь энэ бөөмийн энергид ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй.

Нэмж дурдахад, энэ асуудлыг квант механикаар авч үзэх нь хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг дахь" бөөмс нь π 2-той тэнцүү хамгийн бага энергиэс бага энергитэй байж болохгүй гэсэн дүгнэлтэд хүргэдэг. ? 2 /(2t1 2). Тэгээс өөр хамгийн бага энерги байгаа нь санамсаргүй биш бөгөөд тодорхойгүй байдлын хамаарлаас үүсдэг. Координатын тодорхойгүй байдал Δ X"Нүхэнд" байгаа тоосонцор өргөн лΔ-тэй тэнцүү X= л.

Дараа нь тодорхойгүй байдлын хамаарлын дагуу импульс нь яг, энэ тохиолдолд тэг утгатай байж болохгүй. Моментийн тодорхойгүй байдал Δ Р ≈ ц/л. Импульсийн утгын энэхүү тархалт нь кинетик энергитэй тохирч байна E мин ≈(Δ х) 2 / (2м) = ? 2 / (2мл 2). Бусад бүх түвшин ( p> 1) энэ хамгийн бага утгаас хэтэрсэн энергитэй байх.

Томъёо (9) ба (7)-аас харахад их квант тоонуудын хувьд ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/П"1, өөрөөр хэлбэл зэргэлдээх түвшин нь ойрхон байрладаг: ойртох тусам илүү их байдаг П.Хэрэв Пмаш том, дараа нь бид түвшний бараг тасралтгүй дарааллын талаар ярьж болно онцлог шинж квант процессууд- салангид байдал жигдэрсэн. Энэ үр дүн нь Борын захидал харилцааны зарчмын (1923) онцгой тохиолдол бөгөөд үүний дагуу квант механикийн хуулиуд заавал байх ёстой. том үнэ цэнэквант тоо нь сонгодог физикийн хууль болж хувирдаг.

Шредингерийн тэгшитгэлийн суурин шийдлүүд.

Хавсралт А

Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлийг олох чөлөөт электрондолгионы багц хэлбэрээр .

Чөлөөт электроны хувьд Шредингерийн тэгшитгэлийг бичье

Өөрчлөлтийн дараа Шредингерийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна

(А.2)

Бид энэ тэгшитгэлийг анхны нөхцөлөөр шийддэг

(А.3)

Энд электрон долгионы функц байна эхлэх мөчцаг. Бид (A.2) тэгшитгэлийн шийдлийг Фурье интеграл хэлбэрээр хайж байна.

(А.4)

Бид (A.4) -ийг (A.2) -д орлуулж, авна

Уусмалыг (A.4) одоо дараах хэлбэрээр бичиж болно

(А.6)

Бидний хэрэглэдэг анхны нөхцөл(А.3), (А.6) -аас бид электроны анхны долгионы функцын Фурье интеграл руу тэлэхийг олж авна.

(А.7)

(A.7) илэрхийлэлд бид хэрэглэнэ урвуу хувиргалтФурье

(А.8)

Хийсэн өөрчлөлтүүдийг тоймлон хүргэе. Тэгэхээр, хэрэв электроны цаг хугацааны анхны момент дахь долгионы функц мэдэгдэж байгаа бол интегралын дараа (A.8) коэффициентүүдийг олно. Дараа нь эдгээр коэффициентийг (А.6)-д орлуулж, интеграл болгосны дараа бид орон зайн аль ч цэгт цаг хугацааны дурын агшинд электроны долгионы функцийг олж авна.

Зарим хуваарилалтын хувьд интеграцчлалыг тодорхой хийж, олж авах боломжтой аналитик илэрхийлэлШредингерийн тэгшитгэлийг шийдэх. Эхний долгионы функцийн хувьд бид хавтгай монохромат долгионоор модуляцлагдсан Гауссын тархалтыг авна.

Энд электроны дундаж импульс байна. Энэ хэлбэрээр анхны долгионы функцийг сонгох нь долгионы багц хэлбэрээр Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.

Анхны долгионы функцийн шинж чанарыг нарийвчлан авч үзье (A.9).

Нэгдүгээрт, долгионы функц нь нэгдмэл байдалд хэвийн байна.

(А.10)

Нормал болгох (A.10) нь дараах хүснэгтийн интегралыг ашиглан амархан нотлогддог.

(А.11)

Хоёрдугаарт, хэрэв долгионы функцийг нэгдмэл болговол долгионы функцийн квадрат модуль нь орон зайн өгөгдсөн цэгээс электрон олох магадлалын нягт юм.

Энд хэмжигдэхүүнийг цаг хугацааны эхний мөч дэх долгионы багцын далайц гэж нэрлэнэ. Пакет далайцын физик утга нь хамгийн их утгамагадлалын хуваарилалт. 1-р зурагт магадлалын нягтын тархалтын графикийг үзүүлэв.

Анхны үеийн магадлалын нягтын тархалт.

1-р зурагт графикийн зарим онцлогийг тэмдэглэе.

1. Координат нь тэнхлэг дээрх цэг юм x, үүнд магадлалын тархалт хамгийн их утгатай байна. Тиймээс бид үүнийг хэлж чадна хамгийн их магадлалтайНэг цэгийн ойролцоо электроныг илрүүлэх боломжтой.

2. Утга нь тархалтын утга буурах цэгээс хазайлтыг тодорхойлно дхамгийн их утгыг дахин нэмэгдүүлнэ.

(А.13)

Энэ тохиолдолд хэмжигдэхүүнийг цаг хугацааны эхний мөч дэх долгионы багцын өргөн, хэмжигдэхүүнийг багцын хагас өргөн гэж нэрлэдэг.

3. Интервалд электрон олох магадлалыг тооцоол .

(А.14)

Тиймээс төв болон хагас өргөнтэй мужид электрон илрүүлэх магадлал 0.843 байна. Энэ магадлал нь нэгдмэл байдалтай ойролцоо байдаг тул ихэвчлэн хагас өргөнтэй бүсийг цаг хугацааны эхний мөчид электрон байрладаг бүс гэж нэрлэдэг.

Гуравдугаарт, анхны долгионы функц нь импульсийн операторын хувийн функц биш юм. Тиймээс долгионы функцтэй төлөвт байгаа электрон нь тодорхой импульсгүй байдаг. Электроны дундаж импульсийг тооцоолъё.

Иймд (А.9) томъёоны утга нь электрон импульсийн дундаж утга юм. Хэрэв та хүснэгтийн интегралыг (A.11) ашиглавал томъёо (A.15) амархан нотлогдох болно.

Тиймээс анхны долгионы функцийн шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийсэн. Одоо функцийг Фурье интегралд (A.8) орлуулж коэффициентүүдийг олъё.

Интегралд (А.16) бид интеграцийн хувьсагчийн дараах өөрчлөлтийг хийнэ.

(А.17)

Үүний үр дүнд интеграл (А.16) дараах хэлбэрийг авна.

(А.18)

Үүний үр дүнд бид коэффициентүүдийн дараах илэрхийллийг олж авна.

(А.18)

Коэффициентийг (A.6) томъёонд орлуулснаар долгионы функцийн дараах интеграл илэрхийлэлийг олж авна.

Интегралд (А.19) бид интеграцийн хувьсагчийн дараах өөрчлөлтийг хийнэ.

(А.20)

Үүний үр дүнд интеграл (А.19) дараах хэлбэрийг авна.

Бид эцэст нь долгионы багцын томъёог олж авдаг.

(А.22)

Цаг хугацааны эхний агшинд (A.22) томъёо нь долгионы анхны функцийн хувьд томьёо (A.9) болж хувирдагийг харахад хялбар байдаг. Функцийн (А.22) магадлалын нягтыг олъё.

Бид долгионы багцыг (A.22) томъёогоор (A.23) орлуулж, үр дүнд нь дараах илэрхийллийг олж авна.

(А.24)

Энд долгионы багцын төв буюу магадлалын нягтын тархалтын дээд цэг нь дараах утгатай тэнцүү хурдтайгаар хөдөлдөг.

Долгионы багцын хагас өргөн нь цаг хугацаа өнгөрөх тусам нэмэгдэж, дараах томъёогоор тодорхойлогддог.

(А.26)

Долгионы багцын далайц цаг хугацааны явцад багасч, дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

(А.27)

Тиймээс долгионы багцын магадлалын тархалтыг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

(А.28)

Зураг 2-т. цаг хугацааны дараалсан гурван цэгт магадлалын тархалтыг харуулж байна.

Цаг хугацааны дараалсан гурван цэгт магадлалын тархалт.

Хавсралт Б

Ерөнхий мэдээлэлШредингерийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар .

Оршил.

Квантын бөөмийн хөдөлгөөн ерөнхий тохиолдолШредингерийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон:

Энд i нь төсөөллийн нэгж, h =1.0546´10 -34 (J×s) нь Планкийн тогтмол юм. Оператор Ĥ Хамилтон оператор гэж нэрлэдэг. Гамильтон операторын хэлбэр нь электроны гадаад оронтой харилцах үйл ажиллагааны төрлөөс хамаарна.

Хэрэв бид электроны эргэлтийн шинж чанарыг харгалзан үзэхгүй бол, жишээлбэл, соронзон орон дахь электроны хөдөлгөөнийг тооцохгүй бол Гамильтон операторыг хэлбэрээр илэрхийлж болно.

(Б.2)

Энд кинетик энергийн оператор байна:

, (Б.3)

Хаана м=9.1094´10 -31 (кг) – электрон масс. Потенциал энерги нь электрон болон гадаад цахилгаан оронтой харилцан үйлчлэлцэхийг тодорхойлдог.

Энэ нь лабораторийн ажилбид тэнхлэгийн дагуух электроны нэг хэмжээст хөдөлгөөнийг авч үзэх болно x. Энэ тохиолдолд Шредингерийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (Б.4)

Тэгшитгэл (B.4) -тэй математикийн цэг view нь үл мэдэгдэх долгионы функцийн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл юм Ю=Ю(x, t). Ийм тэгшитгэл байгаа нь мэдэгдэж байна тодорхой шийдвэр, хэрэв тохирох эхний болон хилийн нөхцлийг заасан бол. Анхны болон хилийн нөхцлүүдийг тодорхой зүйл дээр үндэслэн сонгоно бие махбодийн асуудал.

Жишээлбэл, электрон зүүнээс баруун тийш ямар нэгэн дундаж импульс p 0-тэй хөдөлж байг. Түүнчлэн t=0 анхны үед электрон орон зайн тодорхой мужид байршдаг x m -d.< x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

Энэ тохиолдолд эхний нөхцөл дараах байдалтай байна.

. (Б.5)

Энд Y 0 (x) нь эхний үеийн долгионы функц юм. Долгионы функц нь нарийн төвөгтэй функц, тиймээс долгионы функцийг өөрөө биш харин магадлалын нягтыг графикаар илэрхийлэх нь тохиромжтой.

Электроныг олох магадлалын нягт энэ газарТухайн үед долгионы функцээр дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Магадлалыг эв нэгдэлтэй болгохын тулд хэвийн болгох ёстойг анхаарна уу. Эндээс бид долгионы функцийг хэвийн болгох нөхцөлийг олж авна.

. (Б.7)

Анхны үеийн магадлалын нягтын тархалт

, (B.8)

графикаар дүрсэлж болно. 3-р зурагт. Цагийн эхний мөчид электроны байж болох байршлыг харуулав.

t=0 момент дэх электроны байрлал.

Энэ зургаас харахад электрон хамгийн их магадлалтайгаар x m цэгт байрлана. Захидал Абид магадлалын тархалтын далайцыг (хамгийн их утга) тэмдэглэнэ. Энэ зураг нь тархалтын өргөн 2d эсвэл хагас өргөн d хэрхэн тодорхойлогддогийг харуулж байна. Хэрэв тархалт нь экспоненциал эсвэл Гауссын шинж чанартай бол тархалтын өргөнийг дараах түвшинд тодорхойлно. дхамгийн их утгаас хэд дахин бага.

3-р зурагт. дундаж электрон импульсийн векторыг үзүүлэв. Энэ нь электрон баруунаас зүүн тийш хөдөлж байгаа бөгөөд магадлалын тархалт мөн баруунаас зүүн тийш шилжих болно гэсэн үг юм. Зураг 2-т. цаг хугацааны дараалсан гурван цэгт магадлалын тархалтыг харуулж байна. Зураг 2-т. хамгийн их тархалтын x m (t) зүүнээс баруун тийш шилжиж байгааг харж болно.

Зураг 2-т. Баруунаас зүүн тийш электрон хөдөлгөөн нь магадлалын нягтын тархалтын деформаци дагалдаж байгааг анзаарч болно. Далайц А(t) буурч, хагас өргөн d(t) нэмэгдэнэ. Шредингерийн тэгшитгэлийг (B4) эхний нөхцөлтэй (B.5) шийдснээр электрон хөдөлгөөний дээрх бүх нарийн ширийн зүйлийг олж авч болно.

Дүгнэлт . Физик бодлогын томъёололоос хамааран Шредингерийн тэгшитгэлийн хэлбэр өөрчлөгдөж болно. Шредингерийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон физикийн тодорхой үзэгдлийг судлахдаа Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд шаардлагатай анхны болон хилийн нөхцлүүдийг сонгоно.

Шредингерийн тэгшитгэлийн суурин шийдлүүд.

Хэрэв электрон цаг хугацааны тогтмол гадаад талбарт хөдөлдөг бол түүний боломжит энерги нь цаг хугацаанаас хамаарахгүй. Энэ тохиолдолд нэг нь боломжит шийдлүүдШредингерийн тэгшитгэл (B.4) нь цаг хугацааны хувьд салгах боломжтой шийдэл юм тмөн x координатын дагуу.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд бид математикт мэддэг аргыг ашигладаг. Бид (B.4) тэгшитгэлийн шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.

. (Б.9)

Бид (B.9) тэгшитгэлийг (B.4)-д орлуулж дараах хамаарлыг олж авна.

. (Б.10)

Энд Э- квант механикт электроны нийт энергийн утгыг өгдөг тогтмол. (B.10) хамаарал нь дараах хоёр дифференциал тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

. (Б.11)

(B.11) системийн эхний тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна нийтлэг шийдвэр:

Энд Cнь дурын тогтмол юм. Бид (B.12) илэрхийлэлд (B.9) орлуулж, Шредингерийн тэгшитгэлийн (B.4) шийдлийг дараах хэлбэрээр авна.

, (Б.13)

функц хаана байна y(x) тэгшитгэлийг хангана.

(Б.14)

Тогтмол Cфункцэд агуулагддаг y(x).

Шрөдингерийн тэгшитгэлийн (B.4) илэрхийлэл (B.13) хэлбэрийн шийдийг гэнэ. Шредингерийн тэгшитгэлийн суурин шийдэл. (B.14) тэгшитгэлийг дуудна стационар Шредингерийн тэгшитгэл. Чиг үүрэг y(x) гэж нэрлэдэг долгионы функц, цаг хугацаанаас хамааралгүй.

Долгионы функцээр дүрслэгдсэн электроны төлөвийг (B.13) гэж нэрлэдэг хөдөлгөөнгүй байдал. Квант механик нь хөдөлгөөнгүй төлөвт электрон байдаг гэж үздэг тодорхой энерги Э.

Хүлээн авсан үр дүнг гурван хэмжээст электрон хөдөлгөөний Шредингерийн тэгшитгэлд (B.1) нэгтгэж болно. Хэрэв Хэмилтон оператор Ĥ цаг хугацаанаас шууд хамаарахгүй бол Шредингерийн тэгшитгэлийн (B.1) боломжит шийдлүүдийн нэг нь дараах хэлбэрийн суурин шийдэл юм.

, (Б.15)

Долгионы функц нь хөдөлгөөнгүй Шредингерийн тэгшитгэлийг хангадаг.

(Б.16)

Квант механикийн (B.14) ба (B.16) тэгшитгэлүүд ч ийм нэртэй байдгийг анхаарна уу. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь тэгшитгэл юм үндсэн функцуудТэгээд хувийн үнэ цэнэХамилтон оператор. Өөрөөр хэлбэл (B.16) тэгшитгэлийг шийдэж бид энергийг олно Э(Гамильтон операторын хувийн утга) ба харгалзах долгионы функцууд (Гамилтон операторын хувийн функцууд).

Дүгнэлт . Шредингерийн тэгшитгэлийн суурин шийдлүүд нь Шрөдингерийн тэгшитгэлийн бусад шийдлүүдийн асар том багцын тодорхой ангиллын шийд юм. Гамильтоны оператор нь цаг хугацааны хувьд тодорхой хамааралгүй тохиолдолд суурин шийдлүүд байдаг. Хөдөлгөөнгүй төлөвт электрон тодорхой энергитэй байдаг. Олох боломжит утгуудэрчим хүчний хувьд суурин Шредингерийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Долгионы багц.

Шредингерийн тэгшитгэлийн суурин шийдлүүд нь локалчлагдсан электроны хөдөлгөөнийг дүрслэхгүй байгааг 1-р зураг, 2-р зурагт үзүүлснээр хялбархан харж болно. Үнэхээр стационар шийдийг (Б.13) авч магадлалын тархалтыг олбол цаг хугацаанаас хамааралгүй функцийг олж авна.

(Б.17)

Энэ нь гайхах зүйл биш юм суурин шийдэл (B.13) нь хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн боломжит шийдлүүдийн нэг юм (B.4).

Гэхдээ хамгийн сонирхолтой нь Шредингерийн тэгшитгэлийн (B.4) долгионы функцтэй холбоотой шугаман байдлаас шалтгаална. Ю(x,t), энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийн хувьд суперпозиция зарчмыг хангана. Хөдөлгөөнгүй төлөвүүдийн хувьд энэ зарчим нь дараахь зүйлийг илэрхийлдэг. Хөдөлгөөнгүй шийдлийн дурын шугаман хослол ( өөр өөр энерги ЭШредингерийн тэгшитгэлийн (B.4) ) нь мөн Шредингерийн тэгшитгэлийн (B.4) шийдэл юм.

Өгөх математик илэрхийлэлСуперпозиция зарчмын хувьд бид электроны энергийн спектрийн талаар хэдэн үг хэлэх хэрэгтэй. Хөдөлгөөнгүй Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдэл (B.14) нь салангид спектртэй бол (B.14) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно гэсэн үг.

(Б.18)

Энд n индекс ерөнхийдөө n=0,1,2,¼ утгын хязгааргүй цуваагаар дамждаг. Энэ тохиолдолд Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдийг (B.4) суурин шийдүүдийн нийлбэрээр илэрхийлж болно.

(Б.19)

Квант механикт хувийн функцууд нь нотлогддог yДискрет спектрийн n(x)-ийг функцүүдийн ортонормаль систем болгож болно. Энэ нь ажиллаж байна гэсэн үг юм дараагийн нөхцөлхэвийн болгох.

(Б.20)

Энд d n m нь Кронекерийн тэмдэг юм.

y n (x) нь ортонормаль, дараа нь коэффициентүүд C n нийлбэр (Б.19) нь энгийн физик утгатай байна. Коэффицентийн квадрат модуль C n магадлалтай тэнцүүдолгионы функцтэй (В.19) төлөвт байгаа электрон энергитэй болохыг Э n.

Энэ мэдэгдлийн хамгийн чухал зүйл бол долгионы функцтэй (В.19) төлөвт байгаа электрон тодорхой энергигүй байдаг. Эрчим хүчийг хэмжихэд энэ электрон магадлалаар олонлогоос ямар ч энергитэй байж болно (B.21).

Иймээс электрон нь (B.21) томъёогоор тодорхойлогддог магадлал бүхий нэг буюу өөр энергитэй байж болно гэж тэд хэлдэг.

Тогтворгүй төлөвт байгаа, тодорхой энергитэй электроныг дуудах болно монохромат электрон. Тогтворгүй төлөвт ороогүй, тиймээс тодорхой энергигүй электроныг дуудах болно монохромат бус электрон.

Хөдөлгөөнгүй Шредингер тэгшитгэлийн шийдэл (B.14) нь тасралтгүй спектртэй байвал (B.14) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно гэсэн үг.

, (Б.22)

энерги хаана байна Эзарим тасралтгүй интервал дээр утгыг авдаг [ Эмин, Эхамгийн их]. Энэ тохиолдолд Шредингерийн тэгшитгэлийн (B.4) шийдийг суурин шийдүүдийн интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

(Б.23)

Тасралтгүй спектрийн хувийн функцууд yКвант механикийн хувьд E (x) ихэвчлэн d-функцийг хэвийн болгодог.

, (Б.24)

d-функцийн тодорхойлолт нь дараах интеграл харилцаанд агуулагдана.

d-функцийн үйлдлийг дүрслэн харуулахын тулд энэ функцийн дараах тайлбарыг өгсөн болно.

Тэгэхээр, хэрэв функцүүдийн систем y E (x) нь d-функцийг, дараа нь коэффициентийн модулийн квадратыг хэвийн болгоно C(Э) интегралд (Б.23) нягттай тэнцүү байнадолгионы функцтэй (В.19) төлөвт байгаа электрон энергитэй байх магадлал Э.

Шрөдингерийн тэгшитгэлийн суурин шийдүүдийн нийлбэр (В.19) эсвэл интеграл (Б.23) хэлбэрээр үзүүлсэн долгионы функц Y(x,t)-ийг гэнэ. долгионы багц.

Ийнхүү монохромат бус электроны төлөвийг долгионы багцаар дүрсэлдэг. Үүнийг бас хэлж болно: жингийн хүчин зүйлүүдтэй монохромат электроны төлөвүүд нь монохромат бус электрон төлөвт нөлөөлдөг.

Зураг 1-д. ба Зураг 2. Электрон долгионы пакетуудыг өөр өөр цаг үед дүрсэлсэн байдаг.

Дүгнэлт . Монохромат бус электроны төлөвийг долгионы багцаар дүрсэлдэг. Монохромат бус электрон нь тодорхой энергитэй байдаггүй. Долгионы багцыг өөрийн энергитэй суурин төлөвүүдийн долгионы функцүүдийн нийлбэр эсвэл салшгүй хэсэг болгон төлөөлж болно. Монохромат бус электрон нь энэ энергийн багцаас нэг буюу өөр энергитэй байх магадлалыг долгионы багцад харгалзах хөдөлгөөнгүй төлөвүүдийн оруулсан хувь нэмэрээр тодорхойлно.

Чөлөөт хөдөлгөөн. Шредингерийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Электрон харилцан үйлчлэх талбараас хамааран хөдөлгөөнгүй Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдэл (B.14) байж болно. өөр төрөл. Энэ лаборатори нь чөлөөт хөдөлгөөнийг шалгадаг. Тиймээс (B.14) тэгшитгэлд бид потенциал энергийг тавьдаг тэгтэй тэнцүү. Үүний үр дүнд бид авдаг дараах тэгшитгэл:

, (Б.26)

Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

. (Б.27)

Энд C 1 ба C 2 нь дурын хоёр тогтмол, k нь долгионы дугаар гэсэн утгатай.

Одоо (B.23) илэрхийллийг ашиглан чөлөөт хөдөлгөөний Шредингерийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичнэ. Бид (B.27) функцийг интегралд (B.23) орлуулна. Үүний зэрэгцээ бид эрчим хүч дээр нэгдлийн хязгаарыг анхаарч үздэг ЭЧөлөөт хөдөлгөөний хувьд тэгээс хязгаар хүртэл сонгогддог. Үүний үр дүнд бид дараах илэрхийлэлийг олж авна.

Энэ интегралд интегралаас эрчим хүч рүү шилжих нь тохиромжтой Эдолгионы тоогоор интеграци хийх к. Долгионы тоо эерэг ба хоёуланг нь авч болно гэж бид таамаглах болно сөрөг утгууд. Тохиромжтой болгох үүднээс бид энергитэй холбоотой w давтамжийг танилцуулж байна Э, дараах хамаарал:

Интегралыг (B.28) хувиргаснаар бид долгионы багцын дараах илэрхийлэлийг олж авна.

. (Б.30)

Интеграл (В.30) нь чөлөөт хөдөлгөөний Шредингерийн тэгшитгэлийн (B.4) ерөнхий шийдийг өгдөг. Магадлал C(к) анхны нөхцлөөс олддог.

Анхны нөхцөлийг (В.5) аваад тэнд (Б.30) шийдийг орлъё. Үүний үр дүнд бид дараах илэрхийлэлийг авна.

(Б.31)

Интеграл (В.31) нь анхны долгионы функцийг Фурье интеграл болгон өргөжүүлэхээс өөр зүйл биш юм. Урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан коэффициентүүдийг олно C(к).

. (Б.32)

Дүгнэлт . Электроны чөлөөт хөдөлгөөн гэж бид байхгүй үед хөдөлгөөнийг хэлнэ гадаад талбарсансар огторгуйн хязгааргүй мужид. Y 0 (x) хугацааны анхны момент дэх электроны долгионы функц мэдэгдэж байвал (B.32) ба (B.30) томъёог ашиглан Шредингерийн Y(x,t) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох боломжтой. ) электроны чөлөөт хөдөлгөөнд зориулагдсан.

§ 217. Шредингерийн ерөнхий тэгшитгэл. Хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл

Да Бройль долгион (§ 216-г үзнэ үү) ба Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын хамаарлыг (§ 215-ыг үзнэ үү) статистик тайлбар нь янз бүрийн хүчний талбар дахь микро хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн квант механик дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл нь тэгшитгэл байх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүргэсэн. Үүнээс бөөмсийн туршилтын долгионы шинж чанарыг ажиглаж болно. Удирдах тэгшитгэл нь долгионы функцтэй холбоотой тэгшитгэл байх ёстой (x, у, z, т ), Учир нь яг энэ, эсвэл бүр тодорхой хэлбэл, тоо хэмжээ нь тухайн цаг мөчид бөөмс байх магадлалыг тодорхойлдог.т эзлэхүүнээрdV , өөрөөр хэлбэл координаттай хэсэгтx Тэгээд x + dx . y Тэгээд y + dy . зуз + dz . Шаардлагатай тэгшитгэл нь бөөмсийн долгионы шинж чанарыг харгалзан үзэх ёстой тул ийм байх ёстой долгионы тэгшитгэл, цахилгаан соронзон долгионыг дүрсэлсэн тэгшитгэлтэй төстэй.

Үндсэн тэгшитгэлхарьцангуй бус квант механик 1926 онд Э.Шредингер томъёолсон. Шредингерийн тэгшитгэл нь физикийн бүх үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэгэн адил (жишээлбэл, сонгодог механик дахь Ньютоны тэгшитгэл, цахилгаан соронзон орны Максвеллийн тэгшитгэл) нь гарал үүсэлтэй биш, харин үндэслэлтэй байдаг. Энэхүү тэгшитгэлийн зөвийг түүний тусламжтайгаар олж авсан үр дүнгийн туршлагатай тохиролцсоноор баталж байгаа бөгөөд энэ нь эргээд түүнд байгалийн хуулийн шинж чанарыг өгдөг. Шредингерийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

(217.1)

Хаана,Т - бөөмийн масс, - Лаплас оператор ,

- төсөөллийн нэгж,В (х, у, z , т ) - бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар дахь боломжит функц;(х, у, z, т ) - бөөмийн хүссэн долгионы функц.

Тэгшитгэл (217.1) нь бага хурдтай (гэрлийн хурдтай харьцуулахад) хөдөлж буй аливаа бөөмийн хувьд (0-тэй тэнцүү эргэлттэй; § 225-ыг үзнэ үү) хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл хурдтай Энэ нь долгионд тавигдах нөхцлүүдээр нэмэгддэг. функц: 1) долгионы функц нь төгсгөлтэй, хоёрдмол утгагүй, тасралтгүй байх ёстой (§ 216-г үзнэ үү); 2) дериватив тасралтгүй байх ёстой; 3) функц нь байх ёстой

нэгтгэх боломжтой; Энэ нөхцөл нь хамгийн энгийн тохиолдолд магадлалыг хэвийн болгох нөхцөл (216.3) хүртэл буурдаг.

Шрөдингерийн тэгшитгэлд хүрэхийн тулд де Бройлийн санааны дагуу хавтгай долгионтой холбоотой чөлөөтэй хөдөлж буй бөөмсийг авч үзье. Энгийн байхын тулд бид нэг хэмжээст тохиолдлыг авч үздэг. Тэнхлэгийн дагуу тархах хавтгай долгионы тэгшитгэл X, хэлбэртэй байна (§ 154-ийг үзнэ үү), эсвэл нийлмэл тэмдэглэгээтэй Тиймээс хавтгай

де Бройль долгион нь хэлбэртэй байдаг

(217.2)

(үүнийг харгалзан үзсэн болно Квант механикт экспонентыг хасах тэмдгээр авдаг.

гэхдээ энэ нь зөвхөн физик утгатай тул энэ нь (217.2-ыг үзнэ үү) чухал биш юм. Дараа нь

хаана

Эрчим хүчний хоорондын хамаарлыг ашиглахЭ ба импульс болон орлуулах илэрхийлэл

(217.3) бид дифференциал тэгшитгэлийг олж авна

тухайн тохиолдолд (217.1) тэгшитгэлтэй давхцаж байнаУ =0 (бид чөлөөт бөөмс гэж үзсэн).

Хэрэв бөөмс нь боломжит энергиээр тодорхойлогддог хүчний талбарт хөдөлж байвалУ , Тэр

нийт эрчим хүчЭ тогтоно ердийн бодит болон боломжит энерги. Үүнтэй төстэй үйл ажиллагаа явуулж байна

хоорондын хамаарлыг үндэслэл болгож ашиглахЭ ТэгээдР (энэ тохиолдолд бид ирнэ

° (217.1) -тэй давхцаж буй дифференциал тэгшитгэл рүү.

Дээрх үндэслэлийг Шредингерийн тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй гэж үзэж болохгүй. Тэд зөвхөн энэ тэгшитгэлд хэрхэн хүрч болохыг тайлбарладаг. Шредингерийн тэгшитгэлийн зөв байдлын нотолгоо нь түүний хүргэж буй дүгнэлтийн туршлагатай тохирч байгаа явдал юм.

Тэгшитгэл (217.1) нь Шредингерийн ерөнхий тэгшитгэл юм. Үүнийг мөн цаг хугацаанаас хамааралтай Шроеднагерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Бичил ертөнцөд тохиолддог олон физик үзэгдлийн хувьд (217.1) тэгшитгэлийг цаг хугацааны хамаарлыг арилгах замаар хялбарчилж, өөрөөр хэлбэл Шредингерийн тэгшитгэлийг олно. суурин төлөвүүд - тогтмол эрчим хүчний утгатай мужууд. Хэрэв бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар нь хөдөлгөөнгүй, өөрөөр хэлбэл функц байвал энэ нь боломжтой юм цаг хугацаанаас шууд хамаардаггүй бөгөөд боломжит энергийн утгыг агуулдаг. Энэ тохиолдолд Шрөдингерийн тэгшитгэлийн шийдлийг хоёр функцийн үржвэрээр илэрхийлж болох бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөвхөн координатын функц, нөгөө нь зөвхөн цаг хугацаа, цаг хугацааны хамаарлыг үржүүлэгчээр илэрхийлнэ.

Тэгэхээр

ХаанаЭ нь хөдөлгөөнгүй талбайн хувьд тогтмол бөөмийн нийт энерги юм. (217.4)-г (217.1) орлуулснаар бид олж авна

эндээс нийтлэг хүчин зүйл болон харгалзах хувиргалтаар хуваасны дараа

Бид функцийг тодорхойлсон тэгшитгэлд хүрнэ

(217.5)

(217.5) тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэл нь параметр болгон нийт энергийг агуулдаг Э тоосонцор. Дифференциал тэгшитгэлийн онолд ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг бөгөөд тэдгээрээс физикийн утгатай шийдлүүдийг хилийн нөхцлөөр сонгож авдаг нь батлагдсан. Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд ийм нөхцөлүүд нь долгионы функцүүдийн тогтмол байдлын нөхцөл юм: долгионы функцүүд нь эхний деривативуудын хамт төгсгөлтэй, нэг утгатай, тасралтгүй байх ёстой. Тиймээс зөвхөн ердийн функцээр илэрхийлэгддэг шийдлүүд нь бодит физик утгатай байдаг боловч параметрийн ямар ч утгын хувьд ердийн шийдлүүд гардаггүй Э, гэхдээ зөвхөн тэдгээрийн тодорхой багцын хувьд, өгөгдсөн даалгаврын шинж чанар. Эдгээр энергийн утгыг зохих утга гэж нэрлэдэг. Шийдлүүд, энергийн хувийн утгад тохирсон утгыг нэрлэдэг өөрийн функцууд. Хувийн үнэ цэнэ Э байнгын аль алиныг нь үүсгэж болно

тасархай ба салангид цувралууд. Эхний тохиолдолд тэд тасралтгүй эсвэл хатуу спектрийн тухай, хоёрдугаарт - салангид спектрийн тухай ярьдаг.

§ 218. Учир шалтгааны зарчим ■ квант механик

Тодорхойгүй байдлын хамаарлаас ихэвчлэн учир шалтгааны зарчмыг бичил сансарт тохиолддог үзэгдлүүдэд хэрэглэх боломжгүй гэсэн дүгнэлтийг гаргадаг. Энэ нь дараах бодол дээр үндэслэсэн болно. Сонгодог механикт учир шалтгааны зарчмын дагуу - зарчимСонгодог детерминизм нь тодорхой цаг хугацааны системийн мэдэгдэж буй төлөв байдал (системийн бүх бөөмсийн координат ба моментийн утгуудаар бүрэн тодорхойлогддог) болон түүнд хэрэглэсэн хүчнүүдэд тулгуурлан түүнийг бүрэн үнэн зөв тодорхойлох боломжтой. дараагийн ямар ч үед мэдэгдэнэ. Тиймээс, сонгодог физикучир шалтгааны тухай дараах ойлголт дээр суурилдаг: төлөв механик систембөөмсийн харилцан үйлчлэлийн хуультай цаг хугацааны эхний мөчид шалтгаан байдаг ба дараагийн мөчид түүний төлөв байдал нь үр дагавар юм.

Нөгөөтэйгүүр, бичил биетүүд нэгэн зэрэг тодорхой координат ба тодорхой харгалзах импульсийн проекцтой байж чадахгүй (тодорхойгүй байдлын хамаарлаар (215.1) тогтоосон), тиймээс системийн төлөв байдал эхний мөчид байна гэж дүгнэв. нарийн тодорхойлоогүй байна. Хэрэв системийн төлөвийг цаг хугацааны эхний мөчид тогтоогоогүй бол дараагийн төлөвийг урьдчилан таамаглах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл учир шалтгааны зарчим зөрчигддөг.

Гэсэн хэдий ч квант механикт бичил биетийн төлөв байдлын тухай ойлголт нь сонгодог механикаас тэс өөр утгыг авдаг тул бичил биеттэй холбоотой учир шалтгааны зарчмыг зөрчих явдал ажиглагддаггүй. Квант механикийн хувьд микро объектын төлөвийг долгионы функцээр бүрэн тодорхойлдог (x, у,z, т), модулийн квадрат нь (x, у,z, т)\ 2 координаттай цэгээс бөөмсийг олох магадлалын нягтыг тодорхойлдог x, y,z.

Хариуд нь долгионы функц (x, у,z, т) нь функцийн цаг хугацааны анхны деривативыг агуулсан Шредингерийн тэгшитгэлийг (217.1) хангана. Энэ нь мөн функцийг (t 0 хугацааны хувьд) зааж өгөх нь дараагийн мөчүүдэд түүний утгыг тодорхойлно гэсэн үг юм. Тиймээс квант механикт анхны төлөв

Шалтгаан байдаг бөгөөд дараагийн мөчид байгаа байдал нь үр дагавар юм. Энэ бол квант механик дахь учир шалтгааны зарчмын хэлбэр бөгөөд өөрөөр хэлбэл функцийг зааж өгөх нь түүний дараагийн мөчүүдийн утгыг урьдчилан тодорхойлдог. Ийнхүү квант механикт тодорхойлсон бичил бөөмсийн системийн төлөв байдал нь учир шалтгааны зарчмын дагуу өмнөх төлөвөөс хоёрдмол утгагүй дагадаг.