Потенциал талбар дахь бөөмийн Шредингерийн тэгшитгэл. Шредингерийн тэгшитгэл

Төрөл бүрийн бичил хэсгүүдийн хөдөлгөөн хүчний талбаруудШредингерийн тэгшитгэлийг ашиглан харьцангуй бус квант механикийн хүрээнд тайлбарласан бөгөөд үүнээс туршилтаар ажиглагдах нөхцөлүүд бий болно. долгионы шинж чанартоосонцор. Энэ тэгшитгэл нь физикийн бүх үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэгэн адил гарал үүсэлтэй биш, харин үндэслэлтэй юм. Тооцооллын үр дүнг туршлагаар тохиролцсоноор түүний зөвийг баталгаажуулдаг. Шредингерийн долгионы тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна ерөнхий хэлбэр :

- (ħ 2 / 2м) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

Энд ħ = h / 2π, h = 6.623∙10 -34 J ∙ s - Планкийн тогтмол;
m нь бөөмийн масс;
∆ - Лапласын оператор (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - хүссэн долгионы функц;
U (x, y, z, t) - боломжит функцхөдөлж буй хүчний талбар дахь хэсгүүд;
i бол төсөөллийн нэгж юм.

Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн долгионы функцэд ногдуулсан нөхцөлд л шийдэлтэй байна.

1. ψ (x, y, z, t) нь хязгаарлагдмал, нэг утгатай, тасралтгүй байх ёстой;
2. түүний анхны деривативууд тасралтгүй байх ёстой;
3. функц | ψ | 2 нь интегралч байх ёстой бөгөөд энэ нь хамгийн энгийн тохиолдолд магадлалыг хэвийн болгох нөхцөлийг бууруулдаг.

∆ψ + (2м / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

Энд ψ = ψ (x, y, z) нь зөвхөн координатын долгионы функц;
E - тэгшитгэлийн параметр - нийт эрчим хүчтоосонцор.

Энэ тэгшитгэлийн хувьд зөвхөн ψ тогтмол функцээр илэрхийлэгдсэн шийдлүүд (хэрэв өөрийн функцууд) нь зөвхөн E параметрийн тодорхой утгуудад тохиолддог бөгөөд үүнийг энергийн хувийн утга гэж нэрлэдэг. Эдгээр E утгууд нь тасралтгүй эсвэл байж болно салангид цуврал, өөрөөр хэлбэл тасралтгүй ба салангид энергийн спектр.

Аливаа бичил бөөмийн хувьд (8.2) төрлийн Шредингерийн тэгшитгэл байгаа тохиолдолд квант механикийн асуудлыг энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл бууруулна, өөрөөр хэлбэл. дотоод энергийн спектрт харгалзах ψ = ψ (x, y, z) долгионы функцүүдийн утгыг олох E. Дараа нь магадлалын нягтыг олоорой | ψ | 2, квант механикт координаттай (x, y, z) цэгийн ойролцоо нэгж эзэлхүүн дэх бөөмсийг олох магадлалыг тодорхойлдог.

Шредингерийн тэгшитгэлийг шийдэх хамгийн энгийн тохиолдлуудын нэг бол хязгааргүй өндөр "хана" бүхий нэг хэмжээст тэгш өнцөгт "потенциал худаг" дахь бөөмийн үйл ажиллагааны асуудал юм. Зөвхөн X тэнхлэгийн дагуу хөдөлж буй бөөмийн ийм "нүх" нь хэлбэрийн потенциал энергиэр тодорхойлогддог

Энд l нь "нүхний" өргөн бөгөөд энергийг доод талаас нь хэмждэг (Зураг 8.1).

Нэг хэмжээст бодлогын хувьд суурин төлөвийн Шредингерийн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2м / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

"Нүхний хана" нь хязгааргүй өндөр байдаг тул бөөмс нь "нүх" -ээс цааш нэвтэрдэггүй. Энэ нь хилийн нөхцөл байдалд хүргэдэг:

ψ (0) = ψ (l) = 0

"Худаг" дотор (0 ≤ x ≤ l) тэгшитгэл (8.4) дараах хэлбэртэй байна.

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2м / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

Энд k 2 = (2м ∙ E) / ħ 2

ψ (х) = A ∙ нүгэл (kx)

Энд k = (n ∙ π)/ l

n-ийн бүхэл утгын хувьд.

(8.8) ба (8.10) илэрхийллээс ийм байна

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2м ∙ л 2) (n = 1, 2, 3 ...)

Иймээс хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" дахь бичил бөөмс нь зөвхөн тодорхой энергийн түвшинд байж болно E n , i.e. салангид квант төлөвт n.

(8.10) илэрхийллийг (8.9)-д орлуулснаар бид хувийн функцуудыг олно

ψ n (x) = A ∙ нүгэл (nπ / l) ∙ x

Энэ тохиолдолд дараах байдлаар бичнэ.

Хаанаас интегралчлалын үр дүнд бид A = √ (2 / л) -ийг олж аваад дараа нь бид байна.

ψ n (x) = (√ (2 / л)) ∙ нүгэл (nπ / л) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

ψ n (x) функцийн графикууд физик утгагүй, харин функцийн графикууд | ψ n | 2-т "нүхний хана" -аас янз бүрийн зайд бөөмс илрүүлэх магадлалын нягтын тархалтыг харуулав (Зураг 8.1). Чухамхүү эдгээр графикуудыг (түүнчлэн ψ n (х) - харьцуулахын тулд) энэ ажилд судалж байгаа бөгөөд квант механик дахь бөөмийн траекторийн талаархи санаанууд үндэслэлгүй болохыг тодорхой харуулж байна.

(8.11) илэрхийллээс харахад хөрш хоёр түвшний хоорондох энергийн интервал тэнцүү байна

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2м ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Эндээс харахад бичил хэсгүүдийн хувьд (электрон гэх мэт) том хэмжээтэй"нүх" (l≈ 10 -1 м), энергийн түвшин нь маш ойрхон байрладаг тул бараг тасралтгүй спектрийг үүсгэдэг. Энэ нөхцөл байдал, жишээлбэл, хувьд тохиолддог чөлөөт электронуудметалл дотор. Хэрэв "худаг" -ын хэмжээсийг атомын хэмжээтэй харьцуулах боломжтой бол (l ≈ 10 -10 м) бол салангид энергийн спектрийг олж авна ( шугамын спектр). Эдгээр төрлийн спектрийг янз бүрийн бичил хэсгүүдийн хувьд энэ ажилд мөн судалж болно.

Практикт ихэвчлэн тулгардаг (мөн энэ ажилд авч үзсэн) бичил хэсгүүдийн (мөн микросистем - дүүжин) зан байдлын өөр нэг тохиолдол бол квант механик дахь шугаман гармоник осцилляторын асуудал юм.

Мэдэгдэж байгаагаар, боломжит эрчим хүч m масстай нэг хэмжээст гармоник осциллятор нь тэнцүү байна

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

Энд ω 0 нь осцилляторын осцилляторын байгалийн давтамж ω 0 = √ (к / м);
k - осцилляторын уян хатан байдлын коэффициент.

Хамаарал (8.17) нь параболын хэлбэртэй, i.e. доторх "боломжтой нүх" энэ тохиолдолдпараболик байна (Зураг 8.2).

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

энд N n нь бүхэл n-ээс хамаарах тогтмол хэвийн болгох коэффициент;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт бөгөөд коэффициентүүд нь өөр n бүхэл тоонуудын давтагдах томьёо ашиглан тооцдог.
Онолын хувьд дифференциал тэгшитгэлШредингерийн тэгшитгэл нь зөвхөн энергийн хувийн утгуудын шийдэлтэй (8.18) болохыг баталж болно.

E n = (n + (1/2)) ∙ ħ ∙ ω 0

Энэ нь квант осцилляторын энерги нь зөвхөн дискрет утгыг авч болно гэсэн үг юм. квантчилсан. n = 0 үед E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 явагдана, өөрөөр хэлбэл. тэг цэгийн энерги, энэ нь квант системийн хувьд ердийн зүйл бөгөөд төлөөлдөг шууд үр дагавартодорхойгүй байдлын харилцаа.

Квантын осцилляторын Шредингерийн тэгшитгэлийн нарийвчилсан шийдлээс харахад өөр n-ийн энергийн хувийн утга тус бүр өөрийн долгионы функцтэй тохирч байна. тогтмол хэвийн болгох хүчин зүйл нь n-ээс хамаарна

мөн H n (x) - Чебышев-Гермитийн олон гишүүнт n зэрэгтэй.
Түүнээс гадна эхний хоёр олон гишүүнт тэнцүү байна:

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Дараагийн олон гишүүнт нь дараах давтагдах томьёоны дагуу nmi-тэй холбоотой байна.

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

(8.18) төрлийн хувийн функцууд нь квант осцилляторын хувьд бичил бөөмсийг олох магадлалын нягтыг | ψ n (x) | 2 болон түүний зан төлөвийг шалгана уу янз бүрийн түвшинэрчим хүч. Дахин давтагдах томъёог ашиглах шаардлагатай тул энэ асуудлыг шийдэх нь хэцүү байдаг. Энэ асуудлыг зөвхөн компьютер ашиглан амжилттай шийдвэрлэх боломжтой бөгөөд энэ ажилд хийгдэж байгаа зүйл юм.

Би энэ лекцийг та бүхэнд зугаацуулах зорилгоор өгч байна. Би арай өөр хэв маягаар уншиж эхэлбэл юу болохыг харахыг хүссэн. Энэ нь курст ороогүй бөгөөд үүнийг яаж хийхийг зааж өгөх оролдлого гэж бүү бодоорой сүүлийн цагШинэ ямар нэг зүйл. Би өөрийгөө илүү ахисан түвшний үзэгчдэд, квант механикийн талаар ихийг мэддэг хүмүүст семинар өгч, судалгааны тайлангаа танилцуулж байна гэж төсөөлж байна. Семинар ба ердийн лекцийн гол ялгаа нь семинар дээр илтгэгч бүх үе шат, бүхэл бүтэн алгебр тооцоололыг танилцуулдаггүй явдал юм. Тэр зүгээр л: "Тийм, ийм юм хийвэл чамд ийм зүйл ирнэ" гэж хэлдэг ч дэлгэрэнгүй тайлбарладаггүй. Тиймээс энэ лекцээр бид зөвхөн санаагаа илэрхийлж, тооцооллын үр дүнг танилцуулах болно. Бүх зүйлийг нэн даруй, бүрэн ойлгох нь огт шаардлагагүй гэдгийг та ойлгох ёстой, хэрэв та бүх тооцоог хийвэл бүх зүйл бүтнэ гэдэгт итгэх хэрэгтэй.

Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм. Гол нь энэ тухай яримаар байна. Энэ бол маш шинэлэг, хамааралтай, орчин үеийн сэдэв, үүнийг семинарт авчрах нь нэлээд хууль ёсны юм. Энэ сэдэв нь Шредингерийн тэгшитгэлийн сонгодог тал болох хэт дамжуулагчийн үзэгдэл юм.

Ихэвчлэн Шредингерийн тэгшитгэлд гарч буй долгионы функц нь зөвхөн нэг эсвэл хоёр бөөмстэй холбоотой байдаг. Мөн долгионы функц нь өөрөө цахилгаан орон, вектор потенциал эсвэл бусад ижил төстэй зүйлээс ялгаатай нь сонгодог утгатай байдаггүй. Үнэн бол бие даасан бөөмийн долгионы функц нь байрлалын функц гэдэг утгаараа "талбар" боловч ерөнхийдөө сонгодог утгагүй юм. Гэсэн хэдий ч заримдаа квант механик долгионы функц үнэхээр байдаг нөхцөл байдал байдаг сонгодог утга, энэ бол миний хүрэхийг хүссэн зүйл юм. Жижиг хэмжээний материйн квант механик зан үйлийн онцлог нь Ньютоны хуулиудыг бий болгодог гэсэн стандарт дүгнэлтээс бусад тохиолдолд том хэмжээний үзэгдлүүдэд ихэвчлэн мэдрэгддэггүй. сонгодог механик. Гэхдээ заримдаа квант механикийн онцлог нь том хэмжээний үзэгдэлд онцгой нөлөө үзүүлэх нөхцөл байдал байдаг.

Бага температурт системийн энерги маш их, маш хүчтэй буурах үед өмнөх асар их тооны мужуудын оронд зөвхөн маш цөөхөн тооны мужууд - үндсэн мужаас холгүй байрладаг мужуудыг тоглоомд оруулсан болно. . Ийм нөхцөлд энэхүү үндсэн төлөвийн квант механик шинж чанар нь макроскопийн түвшинд илэрч болно. Энэхүү лекцийн зорилго нь квант механик болон том хэмжээний эффектүүдийн хоорондын уялдаа холбоог харуулах явдал юм. квант механикдунджаар үржүүлсэн Ньютоны механик, гэхдээ квант механик нь том, "макроскоп" хэмжигдэхүүнд өөрийн гэсэн өвөрмөц нөлөө үзүүлдэг онцгой тохиолдол юм.

Шредингерийн тэгшитгэлийн зарим шинж чанарыг сануулж эхэлье. Би Шредингерийн тэгшитгэлийг ашиглан соронзон орон дахь бөөмийн үйл ажиллагааг тайлбарлахыг хүсч байна, учир нь хэт дамжуулалтын үзэгдлүүд нь дараах байдалтай холбоотой байдаг. соронзон орон. Гадаад соронзон орон нь вектор потенциалаар тодорхойлогддог ба вектор потенциалын талбарт квант механикийн хууль ямар байдаг вэ гэдэг асуулт гарч ирнэ. Вектор потенциал талбар дахь бөөмийн квант механик үйлдлийг тодорхойлдог зарчим нь маш энгийн. Талбар байгаа үед бөөмс тодорхой замаар нэг газраас нөгөөд шилжих далайц (Зураг 19.1) нь талбайгүйгээр энэ замаар өнгөрөх далайцыг илтгэгчээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. муруйн интегралвектор потенциалаас ээлжлэн үржүүлнэ цахилгаан цэнэгба Планкийн тогтмолоор хуваана [харна уу Ч. 15, § 2 (алдаа 6)]:

Энэ бол квант механикийн анхны мэдэгдэл юм.

Зураг. 19.1. Замын дагуухаас шилжих шилжилтийн далайц нь пропорциональ байна .

Вектор потенциал байхгүй тохиолдолд цэнэглэгдсэн бөөмийн Шредингерийн тэгшитгэл (харьцангуй бус, спингүй) хэлбэртэй байна.

цахилгаан потенциал хаана байна, мөн потенциал энерги хаана байна. Тэгшитгэл (19.1) нь соронзон орон дахь Гамильтон дахь градиентийг градиент хасах бүрээр сольж байх ёстой гэсэн мэдэгдэлтэй тэнцүү бөгөөд ингэснээр (19.2) болж хувирна.

Энэ бол цахилгаан соронзон орон дотор хөдөлж буй цэнэгтэй (харьцангуй бус, спингүй) бөөмийн Шредингерийн тэгшитгэл юм.

Энэ нь зөв гэдгийг тодорхой болгохын тулд би үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлахыг хүсч байна, үүнд тасралтгүй тохиолдлын оронд бие биенээсээ хол зайд тэнхлэгт атомуудын шугам байрладаг ба электроны далайц байдаг. талбар байхгүй үед нэг атомаас нөгөө атом руу үсрэх. Дараа нь тэгшитгэлийн дагуу (19.1) -чиглэлд вектор потенциал байгаа бол үсрэлтийн далайц өмнөхтэй харьцуулахад өөрчлөгдөх бөгөөд үүнийг үржүүлэх шаардлагатай болно. - заагч бүхий илтгэгч, бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнадээр вектор потенциал, нэг атомаас нөгөө атом руу нэгдсэн. Энгийн байхын тулд бид бичих болно , учир нь ерөнхийд нь хэлбэл -ээс хамаарна. Хэрэв бид нэг цэгт байрлах атомын ойролцоо электрон олддог гэдгийг далайцаар тэмдэглэвэл энэ далайцын өөрчлөлтийн хурдыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Энэ нь гурван хэсэгтэй. Нэгдүгээрт, цэг дээр байгаа электрон тодорхой хэмжээний энергитэй байдаг. Энэ нь ердийнх шигээ гишүүнд өгдөг. Дараа нь нэг томьёо байдаг, өөрөөр хэлбэл, атомын электрон нэг алхам ухарсны далайц. Гэсэн хэдий ч, хэрэв энэ нь вектор потенциал байгаа тохиолдолд тохиолдвол далайцын фаз нь дүрмийн дагуу (19.1) шилжих ёстой. Хэрэв хөрш зэргэлдээ атомуудын хоорондох зай мэдэгдэхүйц өөрчлөгдөхгүй бол интегралыг дунд дахь утгыг зайгаар үржүүлсэн байдлаар бичиж болно. Тэгэхээр үржвэрийн үржвэрийн интеграл нь тэнцүү байна. Мөн электрон буцаж үсэрсэн тул би энэ фазын шилжилтийг хасах тэмдгээр тэмдэглэв. Энэ нь хоёр дахь хэсгийг өгдөг. Мөн үүнтэй адил урагшаа үсрэх тодорхой далайцтай байдаг, гэхдээ энэ удаад вектор потенциалыг -ын нөгөө талд, зайд авч, зайгаар үржүүлнэ. Энэ нь гурав дахь хэсгийг өгдөг. Дүгнэж хэлэхэд, вектор потенциалаар тодорхойлогддог талбар дахь бөөмс цэг дээр дуусах далайцын тэгшитгэлийг олж авна.

Хэрэв функц хангалттай жигд байвал (бид урт долгионы хязгаарыг авдаг) атомуудыг ойртуулах юм бол (14.4) (х. 80) тэгшитгэл нь вакуум дахь электроны үйл ажиллагааг ойролцоогоор дүрслэх болно гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс дараагийн алхам нь (19.4)-ийн эрх мэдлийн хоёр талыг маш бага гэж үзэн өргөтгөх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь баруун хэсэгэнгийнтэй тэнцүү байх болно , тэгэхээр тэгийн ойролцоолсон энерги нь -тэй тэнцүү байна. Дараа нь эрх мэдэл ирэх боловч экспонентуудын шинж тэмдгүүд нь эсрэгээрээ байдаг тул зөвхөн эрх мэдэл л үлдэнэ. Үүний үр дүнд, хэрэв та Тейлорын цуврал болон экспоненциалуудыг өргөтгөж, дараа нь -тэй нөхцөлүүдийг цуглуулбал та авах болно. Тэг соронзон орон дахь уусмалууд (I бүлэг, § 3-ыг үзнэ үү) нь бөөмсийг дүрсэлдэг гэдгийг одоо санаарай. үр дүнтэй масстомъёогоор өгөгдсөн

Хэрэв та дараа нь тавиад буцаж ирвэл , дараа нь та (19.6) нь (19.3) -ын эхний хэсэгтэй ижил гэдгийг хялбархан шалгаж болно. (Потенциал энергийн нэр томьёоны гарал үүслийг сайн мэддэг бөгөөд би үүнд орохгүй.) Вектор потенциал нь бүх далайцыг экспоненциал хүчин зүйлээр үржүүлдэг гэсэн мэдэгдэл (19.1) нь импульсийн операторыг , -ээр сольсон дүрэмтэй тэнцүү байна. Шредингерийн тэгшитгэлд хийсэн шиг (19.3).

ШРӨДИНГЕРИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭ
БА ТҮҮНИЙ ОНЦГОЙ тохиолдлууд (үргэлжлэл): Бөөмийн ПОТЕНЦИАЛ СААД, Гармоник осциллятороор дамжин өнгөрөх

Боломжит хаалтаар бөөмсийг нэвтрүүлэхсонгодог тохиолдлын хувьд бид 1-р ХЭСГИЙН 7-р ЛЕКЦ дээр аль хэдийн авч үзсэн (7.2-р зургийг үз). Одоо нийт энерги нь түвшнээс бага бичил бөөмсийг авч үзье Уболомжит саад тотгор (Зураг 19.1). IN сонгодог хувилбарэнэ тохиолдолд бөөмийг саадаар нэвтрүүлэх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч, онд квант физикбөөмс дамжин өнгөрөх магадлал бий. Түүгээр ч барахгүй, энэ нь "үсрэх" биш, харин долгионы чанараа ашиглан "нэвчих" юм. Тиймээс үр нөлөөг "хонгил" гэж нэрлэдэг. Газар тус бүрийн хувьд I, II, IIIбичье суурин тэгшитгэлШредингер (18.3).

Учир нь IТэгээд III: , (19.1, а)

Учир нь II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, энд a = const.Дараа нь ба y" =. (19.1a)-д y"-г орлуулснаар: Шаардлагатай нийтлэг шийдвэрбүс нутгийн хувьд Iсуперпозиция хэлбэрээр бичигдэх болно

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src=">. (19.3)

Энэ тохиолдолд эхлэх цэгдолгионы тархалтыг өөрчилдөг Л, a IN 3 = 0 , бүс нутагт оноос хойш IIIзөвхөн өнгөрч буй давалгаа байдаг.

Бүс нутагт II(19.1б) дэх y"-ийн (саад) орлуулалт өгнө

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" өргөн "177" өндөр "32">.

Дамжуулах магадлал тодорхойлогддог нэвтрүүлэх хувь- дамжуулсан долгионы эрчмийг тохиолдлын эрчимтэй харьцуулсан харьцаа:

(0) = y2"(0) , y2"( Л) = y3"( Л); (19.5)

Үүний эхний хоёр нь саадны зүүн ба баруун хил дээрх функцүүдийн "оёдол" гэсэн үг бөгөөд гурав, дөрөв дэх нь ийм шилжилтийн жигд байдлыг илэрхийлдэг. y1, y2, y3 функцуудыг (19.5)-д орлуулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна.

Тэднийг хувааж үзье А 1 ба тэмдэглэнэ а 2=А 2/А 1; б 1=Б 1/А 1; а 3=А 3/А 1; б 2=Б 2/А 1.

. (19.6)

Эхний тэгшитгэлийг (19.6) үржүүлье бикмөн үүнийг хоёр дахь нь нэмнэ. Бид 2-ыг авдаг биk = a 2(q +бик)-б 2(q-бик) . (19.7)

Бид хоёр дахь хос тэгшитгэлийг (19.6) үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн систем гэж үзэх болно. а 2 ба б 2.

Энэ системийг тодорхойлох хүчин зүйлүүд:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" өргөн "319" өндөр "32">,

хаана э- qL(q+бик) 2 » 0, учир нь qL >> 1.

Тиймээс, https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, цогцолбор утгын модулийг олох А 3, үүссэн бутархайн хуваагч ба хуваагчийг (-аар үржүүлнэ) q +бик)2. Дараа нь энгийн өөрчлөлтүүдбид авдаг

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Ихэвчлэн E/U~ 90% ба "e"-ийн өмнөх бүх коэффициент нэг зэрэгтэй байна. Иймээс бөөмийн саадыг дамжин өнгөрөх магадлалыг дараах хамаарлаар тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Энэ нь хэзээ гэсэн үг Э< U бөөмс нь саад бэрхшээлийг даван туулахгүй, өөрөөр хэлбэл хонгилын эффект сонгодог физикбайхгүй.

Энэ эффектийг ашигладаг инженерийн практикрадио инженерийн төхөөрөмжид өргөн хэрэглэгддэг туннелийн диодыг бий болгох (3-р ХЭСЭГ, ЛЕКЦ 3-ыг үзнэ үү).

Үүнээс гадна санаачлах боломжтой болсон хуурай газрын нөхцөл байдал термоядролын урвалНарны хэвийн нөхцөлд наранд тохиолддог синтез - температурт Т ~ 109 К. Үүний ачаар дэлхий дээр ийм температур байдаггүй туннелийн нөлөө, температурт урвал эхлэх магадлал бий Т ~ 107 КЭнэ нь дэлбэрэлтийн үед тохиолддог атомын бөмбөг, энэ нь устөрөгчийн гал асаах төхөөрөмж байв. Хичээлийн дараагийн хэсэгт энэ талаар дэлгэрэнгүй.

Гармоник осциллятор.СонгодогБид гармоник осцилляторыг аль хэдийн авч үзсэн (ЛЕКЦ 1,2 3-р ХЭСЭГ). Жишээлбэл, тэд байна хаврын дүүжин, хэний нийт энерги Э = мВ 2/2 + kx 2/2. Онолын хувьд энэ энерги нь тэгээс эхлэн тасралтгүй цуваа утгыг авч болно.

Квант гармоник осциллятор нь хэлбэлзэл юм гармоник хууль-д байрлах бичил хэсгүүд холбогдсон төлөватом эсвэл цөм дотор. Энэ тохиолдолд боломжит энерги нь сонгодог хэвээр байгаа нь ижил төстэй уян хатан сэргээх хүчийг тодорхойлдог kx. Циклийн давтамжийг харгалзан үзвэл Бид боломжит эрчим хүчийг олж авдаг https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Математикийн хувьд энэ асуудал өмнөхөөсөө илүү төвөгтэй юм. Тиймээс бид үүний үр дүнд юу болохыг хэлэхээр хязгаарлагдах болно. Нэг хэмжээст худгийн хувьд бид авдаг салангидхувийн функц ба хувийн энергийн спектр ба энергийн нэг хувийн утга нь нэг долгионы функцтэй тохирно: EnÛ y n(гурван хэмжээст худгийн хувьд төлөв байдлын доройтол байхгүй). Магадлалын нягт |yn|2 нь мөн хэлбэлздэг функц боловч "бөгзөг"-ийн өндөр өөр байна. Энэ нь өчүүхэн зүйл байхаа больсон нүгэл2 , мөн илүү чамин Гермит олон гишүүнтүүд Hn(x). Долгион функцшиг харагдаж байна

, Хаана ХАМТn- хамаарна nтогтмол. Эрчим хүчний хувийн утгын спектр:

, (19.10)

квант тоо хаана байна n = 0, 1, 2, 3 ... . Тиймээс бас байдаг " тэг энерги" , дээрээс нь эрчим хүчний спектр нь "тавиур" үүсгэдэг бөгөөд тавиурууд нь бие биенээсээ ижил зайд байрладаг (Зураг 19.2). Ижил зурагт энергийн түвшин тус бүрийн хувьд харгалзах магадлалын нягт |yn|2, түүнчлэн боломжит энергийг харуулав. гадаад талбар(цэгтэй парабол).

Осцилляторын боломжит энерги нь тэгээс ялгаатай байдаг гүн утгатай. Энэ нь бичил хэсгүүдийн чичиргээ зогсдоггүй гэсэн үг юм хэзээ ч, энэ нь эргээд хүрэх боломжгүй гэсэн үг үнэмлэхүй тэгтемператур.

1. , Бурсийн физик: Компьютерийн дэмжлэгтэй лекцийн курс: Сурах бичиг. оюутнуудад зориулсан тусламж илүү өндөр сурах бичиг байгууллагууд: 2 боть - М.: VLADOS-PRESS хэвлэлийн газар, 2001.

Зарчмын хувьд онцгой зүйл байхгүй, тэдгээрийг хүснэгт, тэр ч байтугай графикаас олж болно.

Бөөмийг X тэнхлэгийн дагуу хөдөлгөх Энэ тохиолдолд хөдөлгөөн нь сегментээр хязгаарлагддаг. 0.л). x=0 ба x=l цэгүүдэд үл нэвтрэх хязгааргүй өндөр хана байдаг. Энэ тохиолдолд боломжит энерги нь хэлбэртэй байна

Потенциал энергийн x-ээс хамаарах ийм хамаарлыг гэнэ боломжит сайн.

Шредингерийн суурин тэгшитгэлийг бичье

psi функц нь зөвхөн x координатаас хамаардаг тул тэгшитгэлийг дараах байдлаар хялбаршуулна

Боломжит худгийн дотор U=0

Бөөм нь боломжит худгаас хэтэрч чадахгүй. Тиймээс худгийн гадна бөөмс илрүүлэх магадлал 0 байна. Үүний дагуу нүхний гаднах psi-функц нь тэгтэй тэнцүү байна. Тасралтгүй байдлын нөхцлөөс харахад худгийн хил дээр ψ нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. . Энэ нь тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хангах ёстой хилийн нөхцөл юм.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя

мөн бид хэлбэлзлийн онолоос сайн мэддэг тэгшитгэлийг олж авдаг

Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь хэлбэртэй байна гармоник функц

Харгалзах k ба α параметрүүдийн сонголтыг хилийн нөхцлөөр тодорхойлно, тухайлбал:

n = 0 хасагдсан, учир нь энэ тохиолдолд ψ = 0 байх ба бөөмс хаана ч байхгүй. Тиймээс k тоо нь зөвхөн нөхцөлийг хангасан тодорхой дискрет утгыг авдаг. Энэ нь маш их дагаж мөрддөг чухал үр дүн. Бид олох болно хувийн үнэ цэнэбөөмийн энерги

тэдгээр. Боломжит худаг дахь электроны энерги нь дур зоргоороо биш, харин салангид утгыг авдаг, i.e. байна квантчилсан. E n-ийн утга нь бүхэл тооноос хамаарнаn , 1-ээс ∞ хүртэлх утгыг авч дуудагдана гол квант тоо . Тоонжуулсан энергийн утгыг нэрлэдэг эрчим хүчний түвшин,ба квант тоо n нь энергийн түвшний тоог тодорхойлно. Тиймээс боломжит худаг дахь электрон тодорхой энергийн түвшинд E n байж болно. Түүгээр ч зогсохгүй эхний эрчим хүчний түвшинд тохирсон энергийн хамгийн бага утга нь тэгээс ялгаатай байна

.

Зэргэлдээх энергийн түвшний хоорондох зайг тодорхойлъё

Том m ба l үед түвшний хоорондох зай багасч, спектр бараг тасралтгүй болдог. Түвшин хоорондын харьцангуй зай

n → ∞,

өөрөөр хэлбэл спектр тасралтгүй болдог. Энэ бол Борын захидал харилцааны зарчим: Их хэмжээний квант тоонуудын хувьд квант механикийн дүгнэлт, үр дүн нь сонгодог үр дүнтэй тохирч байх ёстой.

Хувийн функцийг тодорхойлох асуудал руугаа буцъя. Бидэнд байгаа хилийн нөхцлүүдийг хэрэглэсний дараа

А коэффициентийг олохын тулд бид хэвийн болгох нөхцлийг ашигладаг

Интегралын утга нь л /2.

Тиймээс хувийн функцууд нь хэлбэртэй байна

Хувийн функцүүдийн графикууд иймэрхүү харагдаж байна

Эцэст нь томъёолъё үндсэн дүгнэлтүүд:

1. Боломжит худаг дахь бөөмийн энергийн спектр нь салангид байдаг - энерги нь квантлагдсан байдаг.

2. Хамгийн бага утга кинетик энергитэгтэй тэнцүү байж болохгүй.

3. Салангид шинж чанар эрчим хүчний түвшиндоод түвшинд харагдана м,лТэгээд n, ерөнхийдөө м,л,nхөдөлгөөн сонгодог болсон.

4. Худаг дахь бичил бөөмийн байрлал ижил магадлалтай биш, харин өөрийн функцээр тодорхойлогддог бол сонгодог бөөмийн хувьд бүх байрлал ижил магадлалтай байна.

Өөрийгөө хянах асуултууд:

1. Тодорхой цэгт бөөмс олох магадлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

2. Боломжит худаг гэж юу вэ?

3. Шредингерийн тэгшитгэл ямар утгатай вэ? Шредингерийн тэгшитгэл бидэнд юуг олох боломжийг олгодог вэ?

4. psi функцэд ямар нөхцөл тавигддаг вэ?

5. Үндсэн квант тооны физик утга нь юу вэ?

6. Квант механик яагаад статистикийн онол вэ?

7. Борын захидал харилцааны зарчим юу вэ?

Бөөмийн хувьд квант ертөнцСонгодог механикийн объектуудаас бусад хууль үйлчилнэ. Де Бройлигийн таамаглалын дагуу бичил биетүүд нь бөөмс ба долгионы шинж чанартай байдаг ба үнэн хэрэгтээ электрон цацрагийг нүхээр тараах үед долгионы дифракцийн шинж чанар ажиглагддаг.

Тиймээс бид хөдөлгөөний тухай ярьж болохгүй квант бөөмс, гэхдээ бөөмс дотор байх магадлалын тухай тодорхой цэгхэзээ нэгэн цагт.

Шредингерийн тэгшитгэл юуг тодорхойлдог вэ?

Шредингерийн тэгшитгэл нь талбайн квант объектуудын хөдөлгөөний онцлогийг тодорхойлох зорилготой юм. гадаад хүч. Ихэнхдээ бөөмс нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй хүчний талбараар дамждаг. Энэ тохиолдолд суурин Шредингерийн тэгшитгэлийг бичнэ.

Үзүүлсэн тэгшитгэлд m ба E нь хүчний талбарт байрлах бөөмийн энерги бөгөөд U нь энэ талбар юм. - Лаплас оператор. — Планкийн тогтмол нь 6.626 10 -34 Ж с.

(үүнийг магадлалын далайц эсвэл psi-функц гэж нэрлэдэг) - энэ нь бидний бичил биетийг сансар огторгуйд аль газар байрлуулахыг олж мэдэх боломжийг олгодог функц юм. Энэ нь функц нь өөрөө биш, харин түүний дөрвөлжин утгатай байдаг. Бөөмс энгийн эзэлхүүнтэй байх магадлал:

Тиймээс хязгаарлагдмал эзэлхүүн дэх функцийг дараахь магадлалаар олж болно.

psi функц нь магадлал учраас аль аль нь байж болохгүй тэгээс бага, нэгээс хэтрэхгүй. Нийт магадлалХязгааргүй эзэлхүүнтэй бөөмсийг олох нь хэвийн болгох нөхцөл юм:

Суперпозиция зарчим нь psi функцийн хувьд ажилладаг: хэрэв бөөмс эсвэл систем нь хэд хэдэн квант төлөвт байж болох юм бол тэдгээрийн нийлбэрээр тодорхойлогддог төлөв байдал бас боломжтой.

Хөдөлгөөнгүй Шредингерийн тэгшитгэл нь олон шийдэлтэй боловч шийдвэрлэхдээ үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй хилийн нөхцөлба зөвхөн сонгоно уу өөрийн шийдэл- байгаа хүмүүс физик утга. Ийм шийдлүүд нь зөвхөн зориулагдсан байдаг хувь хүний ​​үнэт зүйлсбөөмийн салангид энергийн спектрийг бүрдүүлдэг Е бөөмийн энерги.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

ЖИШЭЭ 1

ЖИШЭЭ 2