Товч онол

Үйл явдлын магадлал нь -тэй тэнцүү байх бие даасан туршилтуудыг явуулъя. Эдгээр туршилтуудад тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд Бернуллигийн томъёог ашиглана. Хэрэв энэ нь том бол эсвэл ашиглана уу. Гэсэн хэдий ч, хэрэв энэ нь жижиг хэмжээтэй бол энэ томъёо нь тохиромжгүй юм. Эдгээр тохиолдолд (их, жижиг) тэд асимптотикт ханддаг Пуассоны томъёо.

Ийм магадлалыг олох даалгавар өгцгөөе их тооүйл явдлын магадлал маш бага байдаг туршилтууд, үйл явдал яг нэг удаа тохиолдох болно. Чухал таамаглал дэвшүүлье: бүтээгдэхүүн нь тогтмол утгыг хадгалдаг, тухайлбал . Энэ нь янз бүрийн цуврал туршилтууд дахь үйл явдлын тохиолдлын дундаж тоо, i.e. цагт өөр өөр утгатай, өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Асуудлыг шийдэх жишээ

Асуудал 1

Суурь нь 10,000 цахилгаан чийдэнг хүлээн авсан. Аялал жуулчлалын явцад дэнлүү хагарах магадлал 0.0003 байна. Хүлээн авсан чийдэнгийн дотор таван чийдэн эвдрэх магадлалыг ол.

Шийдэл

Пуассоны томъёог хэрэглэх нөхцөл:

Хэрэв бие даасан туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын магадлал тэгтэй ойролцоо байвал туршилтын тооны их утгын хувьд ч магадлалыг тооцоолно. орон нутгийн теоремЛаплас хангалтгүй нарийвчлалтай болж хувирав. Ийм тохиолдолд Пуассоны томъёог ашиглана.

Үйл явдал - 5 чийдэнг эвдрэх болтугай

Пуассоны томъёог ашиглая:

Манай тохиолдолд:

Хариулт

Асуудал 2

Тус үйлдвэр нь 1000 тоног төхөөрөмжтэй тодорхой төрөл. Нэг цагийн дотор тоног төхөөрөмж доголдох магадлал 0.001 байна. Нэг цагт тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоог хуваарилах хууль гарга. Тоон шинж чанарыг ол.

Шийдэл

Санамсаргүй хувьсагч - тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоо, утгыг авч болно

Пуассоны хуулийг ашиглая:

Эдгээр магадлалыг олцгооё:

Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь энэхүү тархалтын параметртэй тэнцүү байна.

Дундажшийдлийн зардал туршилтын ажил 700 - 1200 рубль (гэхдээ бүх захиалгын хувьд 300 рубльээс багагүй). Үнэ нь шийдвэрийн яаралтай байдал (өдөрөөс хэдэн цаг хүртэл) ихээхэн нөлөөлдөг. Шалгалт/туршилтын онлайн тусламжийн үнэ 1000 рубль байна. тасалбарыг шийдвэрлэхийн тулд.

Та өмнө нь даалгаврын нөхцлүүдийг илгээж, шаардлагатай шийдлийн цаг хугацааны талаар мэдээлсэн тул шууд чат руу хүсэлт үлдээж болно. Хариу өгөх хугацаа хэдхэн минут байна.

Пуассоны тархалт.

Хамгийн ихийг авч үзье ердийн нөхцөл байдал, үүнд Пуассон тархалт гарч ирнэ. Үйл явдал болъё Аорон зайн тогтмол хэсэгт (интервал, талбай, эзэлхүүн) эсвэл тогтмол эрчимтэй цаг хугацааны туршид тодорхой тооны удаа гарч ирдэг. Тодорхой болгохын тулд үйл явдлын урсгал гэж нэрлэгддэг цаг хугацааны дараалсан үйл явдлуудыг авч үзье. Графикийн хувьд үйл явдлын урсгалыг цаг хугацааны тэнхлэгт байрлах олон цэгээр дүрсэлж болно.

Энэ нь үйлчилгээний салбар дахь дуудлагын урсгал (гэр ахуйн цахилгаан хэрэгсэл засварлах, түргэн тусламж дуудах гэх мэт), утасны станц руу дуудлагын урсгал, системийн зарим хэсгүүдийн доголдол, цацраг идэвхт задрал, даавуу эсвэл металл хуудасны хэсгүүд, тэдгээрийн согогийн тоо гэх мэт. Пуассоны хуваарилалт нь зөвхөн эерэг үр дүнгийн тоог ("амжилт") тодорхойлох шаардлагатай асуудлуудад хамгийн ашигтай байдаг.

Жижиг хэсгүүдэд хуваагдсан үзэмтэй талхыг төсөөлөөд үз дээ тэнцүү хэмжээтэй. улмаас санамсаргүй хуваарилалтүзэм бүх хэсгүүдийг агуулна гэж найдаж болохгүй ижил тоо. Эдгээр хэсгүүдэд агуулагдах үзэмний дундаж тоог мэддэг бол Пуассоны тархалт нь ямар ч өгөгдсөн хэсэг байх магадлалыг өгдөг. X=к(к= 0,1,2,...,)үзэмний тоо.

Өөрөөр хэлбэл, Пуассоны тархалт нь урт цувралын аль хэсэг нь 0, 1, 2, гэх мэттэй тэнцүү байхыг тодорхойлдог. онцлох үйл явдлын тоо.

Дараах таамаглалыг дэвшүүлье.

1. Өгөгдсөн хугацааны интервалд тодорхой тооны үйл явдал тохиолдох магадлал нь зөвхөн энэ интервалын уртаас хамаарах ба түүний цаг хугацааны тэнхлэг дээрх байрлалаас хамаарахгүй. Энэ бол хөдөлгөөнгүй байдлын шинж чанар юм.

2. Хангалттай богино хугацаанд нэгээс олон үйл явдал тохиолдох нь бараг боломжгүй юм, i.e. нөхцөлт магадлалижил интервалд өөр үйл явдал тохиолдох нь ® 0 үед тэг болох хандлагатай байдаг. Энэ нь энгийн байдлын шинж чанар юм.

3. Тохиолдох магадлал өгсөн дугаарТогтсон хугацааны үйл явдлууд нь бусад хугацаанд гарч буй үйл явдлын тооноос хамаардаггүй. Энэ бол үр дагаваргүй байдлын өмч юм.

Дээрх саналуудыг хангасан үйл явдлын урсгалыг нэрлэдэг хамгийн энгийн.

Нэлээд богино хугацааг авч үзье. 2-р шинж чанарт үндэслэн үйл явдал энэ хугацаанд нэг удаа гарч ирэх эсвэл огт харагдахгүй байж болно. -ээр тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тэмдэглэе r, болон харагдахгүй байдал – дамжуулан q = 1-х.Магадлал rтогтмол (3-р шинж чанар) бөгөөд зөвхөн утгаас хамаарна (1-р шинж чанар). Интервал дахь үйл явдлын тохиолдлын тоог математикийн хүлээлт 0 ×-тэй тэнцүү байх болно. q+ 1× х = х. Дараа нь нэгж хугацаанд тохиолдох үйл явдлын дундаж тоог урсгалын эрч хүч гэж нэрлээд дараах байдлаар тэмдэглэнэ. а,тэдгээр. а = .

Ингээд авч үзье эцсийн сегментцаг тболон хуваана nхэсгүүд =. Эдгээр интервал тус бүрт тохиолдох үйл явдлууд нь бие даасан байдаг (өмч 2). Тодорхой хугацааны дотор байх магадлалыг тодорхойлъё ттогтмол урсгалын эрчимтэй үед Аүйл явдал яг харагдах болно X = kдахин гарч ирэхгүй n–k. Учир нь үйл явдал тус бүрт байж болно nцоорхой нь 1-ээс илүүгүй удаа гарч ирдэг, дараа нь түүний гадаад төрх байдал күргэлжлэх хугацааны сегментэд нэг удаа тЭнэ нь аль ч хэсэгт харагдах ёстой кхооронд нийт тоо n.Нийт ийм хослолууд байдаг бөгөөд тус бүрийн магадлал тэнцүү байна. Үүний үр дүнд магадлалыг нэмэх теоремоор бид хүссэн магадлалыг олж авдаг сайн мэддэг томъёоБернулли

Энэ тэгшитгэлийг ойролцоо байдлаар бичдэг, учир нь түүний гарал үүслийн анхны үндэслэл нь 2-р өмч байсан бөгөөд энэ нь жижиг нь илүү нарийвчлалтай биелдэг. Яг тэгш байдлыг олж авахын тулд ® 0-ийн хязгаар руу шилжье, эсвэл юу нь ижил байна, n® . Бид үүнийг солисны дараа авах болно

П = а= ба q = 1 – .

Ингээд танилцуулъя шинэ параметр = цагт, энэ нь сегмент дэх үйл явдлын тохиолдлын дундаж тоог илэрхийлнэ т. Энгийн хувиргалт хийж, хүчин зүйлийн хязгаарт хүрсэний дараа бид олж авдаг.

= 1, = ,

Эцэст нь бид авдаг

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2.718... – суурь байгалийн логарифм.

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хувьсагч X, зөвхөн бүхэл тоог хүлээн зөвшөөрдөг, эерэг утгууд 0, 1, 2, ... нь if параметртэй Пуассон тархалттай

Учир нь к = 0, 1, 2, ...

Пуассоны хуваарилалтыг санал болгосон Францын математикчС.Д. Пуассон (1781-1840). Энэ нь харьцангуй ховор, харилцан санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг бие даасан үйл явдлууднэгж хугацаа, урт, талбай, эзэлхүүнээр.

a) том ба b) тохиолдолд к= , Стирлингийн томъёо хүчинтэй байна:

Дараагийн утгыг тооцоолохын тулд давтагдах томъёог ашиглана

П(к + 1) = П(к).

Жишээ 1. Тухайн өдөр 1000 хүнээс: а) аль нь ч биш, б) нэг, в) хоёр, г) гурван хүн төрсөн байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Учир нь х= 1/365, тэгвэл q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Дараа нь

A) ,

б) ,

V) ,

G) .

Тиймээс, хэрэв 1000 хүнээс дээж авсан бол тухайн өдөр төрсөн хүмүүсийн дундаж тоо 65 байх болно; 178; 244; 223.

Жишээ 2. Магадлалтай утгыг тодорхойл Рүйл явдал дор хаяж нэг удаа гарч ирэв.

Шийдэл. Үйл явдал А= (дор хаяж нэг удаа гарч ирэх) ба = (нэг удаа ч гарч ирэхгүй). Тиймээс .

Эндээс Мөн .

Жишээ нь, төлөө Р= 0.5, хувьд Р= 0,95 .

Жишээ 3. Нэг нэхмэлийн ажиллуулдаг нэхмэлийн машинд нэг цагийн дотор 90 утас тасардаг. 4 минутын дотор хамгийн багадаа нэг утас тасрах магадлалыг ол.

Шийдэл. Нөхцөлөөр t = 4 мин. мөн минутанд завсарлагааны дундаж тоо, хаанаас . Шаардлагатай магадлал нь .

Үл хөдлөх хөрөнгө. Параметртэй Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь дараахтай тэнцүү байна.

М(X) = Д(X) = .

Эдгээр илэрхийлэлийг шууд тооцооллоор олж авна.

Энд л солих ажил хийгдсэн n = к– 1 ба энэ нь .

Гаралтад ашигласантай төстэй хувиргалтыг хийх замаар М(X), бид авдаг

Пуассоны тархалтыг ерөнхийд нь бином тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг n

Бернуллигийн схем гэж нэрлэгддэг нөхцөл байдлыг дахин санацгаая. n бие даасан туршилтууд, тус бүр нь зарим үйл явдлыг агуулдаг Аижил магадлалтай гарч ирж болно r. Дараа нь эдгээрт байх магадлалыг тодорхойлох nтуршилтын үйл явдал Аяг харагдах болно кудаа (энэ магадлалыг тэмдэглэсэн П n (к) ) Бернуллигийн томъёог ашиглан яг тооцоолж болно, хаана q=1− х. Гэсэн хэдий ч олон тооны туршилтуудтай nБернуллигийн томьёог ашиглан тооцоо хийх нь маш их тоотой үйлдэл хийхэд хүргэдэг тул маш тохиромжгүй болдог. Тиймээс (хэрэв та санаж байгаа бол − "Санамсаргүй үйл явдал" магадлалын онолын эхний хэсгийг судлахдаа Бернулли бүдүүвч, томьёог судлахдаа үүнийг нэг удаа авч үзсэн. nилүү тохиромжтой (ойролцоогоор) томьёог санал болгосон бөгөөд энэ нь илүү нарийвчлалтай болсон. n(Пуассоны томьёо, локал ба интеграл Мойвр-Лаплас томъёо). Хэрэв Бернулли схемд туршилтын тоо nөндөр ба магадлал rүйл явдал тохиолдох АТуршилт бүрт бага байгаа бол дурдсан Пуассоны томъёо нь сайн ойролцооллыг өгдөг
, параметр хаана байна a =n∙ х. Энэ томъёо нь Пуассоны тархалтад хүргэдэг. Тодорхой тодорхойлолтуудыг өгье

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xбайна Пуассоны тархалт, хэрэв энэ нь утгыг авдаг бол 0, 1, 2, ... магадлал бүхий r 0 , х 1 , ... , тэдгээрийг томъёогоор тооцоолно

болон тоо Ань Пуассоны тархалтын параметр юм. R.v-ийн боломжит утгууд гэдгийг анхаарна уу. Xхязгааргүй олон − Эдгээр нь бүгд сөрөг бус бүхэл тоо юм. Тиймээс d.s.v XПуассоны тархалт нь дараах тархалтын хуультай.

Тооцоолох үед математикийн хүлээлт(мэдэгдэж байгаа тархалтын хуультай d.r.v.-ийн тодорхойлолтын дагуу) одоо үгүй гэж үзэх хэрэгтэй болно эцсийн дүн, мөн харгалзах хязгааргүй цувааны нийлбэрүүд (тархалтын хуулийн хүснэгт нь хязгааргүй олон баганатай тул). Хэрэв бид эдгээр цувралын нийлбэрийг тооцвол санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперс хоёулаа гарч ирнэ. XПуассоны тархалт нь параметртэй давхцаж байна АЭнэ хуваарилалтын:

,
.

Загвараа олцгооё г(X) Пуассоны тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X. Хоёр тоогоор тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний горимыг тооцоолоход ашигласан ижил аргыг хэрэглэцгээе. Загварын тодорхойлолтоор г(X)= к, хэрэв магадлал
бүх магадлалаас хамгийн их нь r 0 , х 1 , ... . Ийм тоог олъё к (энэ нь сөрөг биш бүхэл тоо). Үүнтэй хамт кмагадлал х ктүүний хөрш магадлалаас багагүй байх ёстой: х к −1 ≤ х к ≤ х к +1 . Магадлал бүрд харгалзах томьёог орлуулснаар бид энэ тоог олж авна кдавхар тэгш бус байдлыг хангах ёстой:

Хэрэв бид хүчин зүйлийн томъёог бичиж, энгийн хувиргалт хийвэл бид үүнийг олж авах боломжтой зүүн тэгш бус байдалөгдөг к≤ a, ба баруун к≥ a −1. Тэгэхээр тоо кдавхар тэгш бус байдлыг хангана a -1 ≤к≤ a, өөрөөр хэлбэл сегментэд хамаарах [ a -1, a] . Учир нь энэ сегментийн урт нь тодорхой тэнцүү байна 1 , дараа нь нэг эсвэл 2 бүхэл тоо агуулж болно. Хэрэв тоо Абүхэлд нь, дараа нь сегментэд [ a -1, a] сегментийн төгсгөлд 2 бүхэл тоо байна. Хэрэв тоо Абүхэл тоо биш бол энэ сегментэд зөвхөн нэг бүхэл тоо байна.

Тиймээс хэрэв тоо Абүхэл тоо, дараа нь Пуассоны тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим X 2 зэргэлдээ утгыг авна: г(X)=a−1Тэгээд г(X)=а. Хэрэв тоо Абүхэлд нь биш, дараа нь загвар байна нэг утга г(X)= к, Хаана к тэгш бус байдлыг хангах цорын ганц бүхэл тоо юм a -1 ≤к≤ a, өөрөөр хэлбэл г(X)= [А] .

Жишээ. Тус үйлдвэр бааз руу 5000 бүтээгдэхүүн илгээсэн. Бүтээгдэхүүнийг тээвэрлэх явцад гэмтэх магадлал 0.0002 байна. 18 бүтээгдэхүүн гэмтэх магадлал хэд вэ? Гэмтсэн бүтээгдэхүүний дундаж үнэ хэд вэ? Гэмтсэн бүтээгдэхүүний хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ, түүний магадлал хэд вэ?

Тухайлбал, замын тодорхой хэсэгт долоо хоногт гарч буй зам тээврийн ослын тоог бүртгэдэг. Энэ тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд дараах утгыг авч болно: ( дээд хязгаарҮгүй). Зам тээврийн ослын тоо хүссэн хэмжээгээрээ байж болно. Хэрэв бид долоо хоногт ямар нэг богино хугацаа, нэг минут гэж үзвэл тухайн хугацаанд хэрэг явдал гарах эсвэл болохгүй. Нэг минутын дотор зам тээврийн осол гарах магадлал маш бага бөгөөд бүх минутын турш ойролцоогоор ижил байна.

Ослын тооны магадлалын хуваарилалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

энд m - замын тодорхой хэсэгт долоо хоногт гарсан ослын дундаж тоо; e нь тогтмол 2.718...

Үүнд зориулагдсан өгөгдлийн онцлог шинж чанарууд хамгийн сайн аргаарПуассоны тохирох тархалт дараах байдалтай байна.

1. Цаг хугацааны жижиг интервал бүрийг туршлага гэж үзэж болох бөгөөд үүний үр дүн нь осол ("амжилт") эсвэл байхгүй ("бүтэлгүйтэл") гэсэн хоёр зүйлийн нэг юм. Интервалууд нь маш бага тул нэг интервалд зөвхөн нэг "амжилт" байж болох бөгөөд магадлал нь бага бөгөөд тогтмол байдаг.

2. Нэг дэх “амжилт”-ын тоо том интервалөөр нэг дэх тэдний тооноос хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл. "Амжилт" нь тодорхой хугацааны туршид санамсаргүй байдлаар тархсан байдаг.

3. "Амжилтын" дундаж тоо бүх хугацааны туршид тогтмол байна. Пуассоны магадлалын тархалтыг зөвхөн цаг хугацааны интервалаар санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ажиллахад ашиглахаас гадна нэг километр замд ногдох замын гадаргуугийн согог эсвэл текстийн хуудасны үсгийн алдааг харгалзан үзэхэд ашиглаж болно. Ерөнхий томъёоПуассоны магадлалын тархалт:

Энд m нь нэгж тутамд "амжилт"-ын дундаж тоо юм.

Пуассоны магадлалын тархалтын хүснэгтэд утгыг m ба тодорхой утгуудын хувьд хүснэгтэд үзүүлэв

Жишээ 2.7. Дунджаар нэг утасны станцтаван минутын дотор гурван утасны яриа захиалах. Таван минутын дотор 0, 1,2, 3, 4 болон дөрвөөс дээш дуудлага захиалах магадлал хэд вэ?

Пуассоны магадлалын тархалтыг хэрэгжүүлье, учир нь:

1. Хязгааргүй тооны туршилтууд байдаг, i.e. утсаар ярих захиалга гарч ирэх жижиг хугацаа, магадлал бага, тогтмол байдаг.

2. Утасны ярианы эрэлтийг цаг хугацааны явцад санамсаргүй байдлаар хуваарилдаг гэж үздэг.

3. дундаж гэж үздэг утасны яриаямар ч минутын хугацаанд ижил байна.

Энэ жишээнд 5 минутын дотор захиалгын дундаж тоо 3 байна. Тиймээс Пуассоны тархалт:

Пуассоны магадлалын тархалтын тусламжтайгаар 5 минутын доторх "амжилт"-ын дундаж тоог (жишээлбэл, жишээ 2.7) мэдэж байгаа тул нэг цагийн "амжилт"-ын дундаж тоог олохын тулд та зүгээр л хийх хэрэгтэй. 12-оор үржүүлнэ. Жишээ 2.7-д, нэг цагийн захиалгын дундаж тоо: 3 x 12 = 36. Үүний нэгэн адил, хэрэв та минутанд хийх захиалгын дундаж тоог тодорхойлохыг хүсвэл:

Жишээ 2.8. Дунджаар таван өдрийн дотор ажлын долоо хоног 3.4 Автомат шугамд гэмтэл гардаг. Ашиглалтын өдөр бүр хоёр удаа эвдрэл гарах магадлал хэд вэ? Шийдэл.

Та Пуассоны хуваарилалтыг ашиглаж болно:

1. Хязгааргүй тооны туршилтууд байдаг, i.e. автомат шугам дээр эвдрэл гарч болзошгүй эсвэл байхгүй байж болох жижиг хугацаа. Цаг хугацаа бүрийн хувьд энэ магадлал бага бөгөөд тогтмол байна.

2. Бодлого нь цаг хугацааны хувьд санамсаргүй байдлаар хуваарилагдсан гэж үздэг.

3. Ямар ч таван өдрийн алдааны дундаж тоог тогтмол гэж үзнэ.

Таван хоногт дунджаар 3.4 асуудал гардаг. Тиймээс өдөрт тулгарч буй асуудлын тоо:

Тиймээс,

Практикт чухал ач холбогдолтой олон хэрэглээнд Пуассоны тархалт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Олон тооны тоо салангид хэмжигдэхүүнүүддараах шинж чанаруудтай Пуассон процессын хэрэгжилт юм.

Тодорхой үйл явдал өгөгдсөн хүрээний боломжит үр дагаварт хэдэн удаа тохиолдохыг бид сонирхож байна санамсаргүй туршилт. Боломжит үр дүнгийн талбар нь цаг хугацааны интервал, сегмент, гадаргуу гэх мэт байж болно.
Өгөгдсөн үйл явдлын магадлал нь боломжит үр дүнгийн бүх хэсэгт ижил байна.
Боломжит үр дүнгийн нэг хэсэгт тохиолдох үйл явдлын тоо нь бусад бүс нутагт тохиолдох үйл явдлын тооноос үл хамаарна.
Боломжит үр дагавар нь ижил бүсэд байх магадлал энэ үйл явдалнэгээс олон удаа тохиолддог, боломжит үр дүнгийн хүрээ багасах тусам тэг болох хандлагатай байдаг.

Пуассон процессын утга учрыг илүү сайн ойлгохын тулд төв хэсэгт байрлах банкны салбараар зочилж буй үйлчлүүлэгчдийн тоог судалъя гэж бодъё. бизнесийн дүүрэг, үдийн хоолны үеэр, i.e. 12-13 цаг хүртэл. Та нэг минутын дотор ирэх үйлчлүүлэгчдийн тоог тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё. Энэ нөхцөл байдал дээр дурдсан шинж чанаруудтай юу? Нэгдүгээрт, бидний сонирхож буй үйл явдал бол үйлчлүүлэгчийн ирэлт бөгөөд боломжит үр дүнгийн хүрээ нь нэг минутын интервал юм. Нэг минутын дотор банкинд хэдэн үйлчлүүлэгч ирэх вэ - аль нь ч биш, нэг, хоёр ба түүнээс дээш? Хоёрдугаарт, нэг минутын дотор үйлчлүүлэгч ирэх магадлал бүх нэг минутын интервалд ижил байна гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм. Гуравдугаарт, нэг минутын завсарлагааны хугацаанд нэг үйлчлүүлэгч ирэх нь өөр нэг минутын завсарлагааны хугацаанд бусад үйлчлүүлэгч ирэхээс үл хамаарна. Эцэст нь, хэрэв хугацааны интервал тэг болох хандлагатай бол, жишээлбэл, 0.1 секундээс бага бол банкинд нэгээс олон үйлчлүүлэгч ирэх магадлал тэг болно. Тиймээс нэг минутын дотор өдрийн хоолны үеэр банкинд ирэх үйлчлүүлэгчдийн тоог Пуассоны хуваарилалтаар тодорхойлдог.

Пуассоны тархалт нь нэг параметртэй бөгөөд үүнийг λ ( грек үсэг"lambda") нь боломжит үр дүнгийн тухайн хэсэгт амжилттай болсон туршилтуудын дундаж тоо юм. Пуассоны тархалтын дисперс нь мөн λ, стандарт хазайлт нь . Амжилттай туршилтын тоо XПуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс хязгааргүй хооронд хэлбэлздэг. Пуассоны тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана P(X)- магадлал Xамжилттай туршилт, λ - хүлээгдэж буй амжилтын тоо, д- натурал логарифмын суурь нь 2.71828, X- нэгж цагийн амжилтын тоо.

Бид өөрсдийн жишээ рүү буцъя. Үдийн цайны завсарлагааны үеэр нэг минутад дунджаар гурван үйлчлүүлэгч банкинд ирдэг гэж бодъё. Тухайн үед хоёр харилцагч банкинд ирэх магадлал хэд вэ? Банкинд хоёроос дээш харилцагч ирэх магадлал хэд вэ?

λ = 3 параметртэй (1) томъёог хэрэглэцгээе. Тэгвэл өгөгдсөн минутын дотор хоёр үйлчлүүлэгч банкинд ирэх магадлал нь тэнцүү байна.

Банкинд хоёроос дээш харилцагч ирэх магадлал нь P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) -тэй тэнцүү байна. Бүх магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой тул томьёоны баруун талд байгаа цувааны нөхцөлүүд нь X ≤ 2 үйл явдалд нэмэгдэх магадлалыг илэрхийлнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ цувааны нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна – P(X ≤ 2). Тиймээс P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Одоо (1) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Ийнхүү нэг минутын дотор хоёроос илүүгүй харилцагч банкинд ирэх магадлал 0.423 (эсвэл 42.3%), нэг минутын дотор хоёроос дээш харилцагч банкинд ирэх магадлал 0.577 (буюу 57.7%) байна.

Ялангуяа λ параметр нь хангалттай том бол ийм тооцоо нь уйтгартай мэт санагдаж магадгүй юм. зайлсхийхийн тулд нарийн төвөгтэй тооцоолол, Пуассоны олон магадлалыг тусгай хүснэгтээс олж болно (Зураг 1). Жишээлбэл, нэг минутанд дунджаар гурван үйлчлүүлэгч банкинд ирдэг бол тухайн минутанд хоёр үйлчлүүлэгч ирэх магадлал нь шугамын уулзварт байна. X= 2 ба багана λ = 3. Тиймээс 0.2240 буюу 22.4% -тай тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 1. λ = 3 үед Пуассоны магадлал

Өнөө үед =POISSON.DIST() функцтэй Excel бэлэн байгаа бол хэн ч хүснэгт ашиглах нь юу л бол (Зураг 2). Энэ функц нь амжилттай туршилтын тоо гэсэн гурван параметртэй X, амжилттай туршилтын дундаж хүлээгдэж буй тоо λ, параметр Интеграл, хоёр утгыг авна: ХУДАЛ – энэ тохиолдолд амжилттай туршилтын тооны магадлалыг тооцоолно X(Зөвхөн X), ҮНЭН – энэ тохиолдолд амжилттай туршилтын тооны магадлал 0-ээс X.

Цагаан будаа. 2. Тооцоолол Excel-ийн магадлалПуассоны тархалт λ = 3

Пуассоны тархалтыг ашиглан бином тархалтыг ойртуулах

Хэрэв тоо nтом бөгөөд тоо r- цөөхөн, бином тархалтПуассоны тархалтыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолж болно. Яаж илүү их тоо nмөн цөөн тоо r, ойролцоогоор өндөр нарийвчлалтай. Дараах Пуассон загварыг бином тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг.

Хаана P(X)- магадлал X-тай амжилт өгөгдсөн параметрүүд nТэгээд r, n- дээжийн хэмжээ, r- амжилтанд хүрэх бодит магадлал, д- натурал логарифмын суурь, X- түүврийн амжилтын тоо (X = 0, 1, 2, …, n).

Онолын хувьд санамсаргүй хувьсагчПуассон тархалттай 0-ээс ∞ хүртэлх утгыг авна. Гэсэн хэдий ч Пуассоны тархалтыг binomial тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг нөхцөлд Пуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь амжилтын тоо юм. nажиглалт - тооноос хэтрэхгүй n. Томъёо (2)-аас харахад тоо нэмэгдэж байна nболон тоо буурах rилрүүлэх магадлал их тооамжилтын түвшин буурч, тэг болох хандлагатай байна.

Дээр дурдсанчлан Пуассоны тархалтын хүлээлт μ ба дисперс σ 2 нь λ-тэй тэнцүү байна. Иймд Пуассоны тархалтыг ашиглан бином тархалтыг ойртуулахдаа (3) математикийн хүлээлтийг ойролцоолсон томъёог ашиглана.

(3) μ = E(X) = λ =n.p.

Стандарт хазайлтыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд (4) томъёог ашиглана.

Томъёо (4)-ийг ашиглан тооцоолсон стандарт хазайлт нь хандлагатай байгааг анхаарна уу стандарт хазайлтбином загварт - амжилтанд хүрэх магадлал үед хтэг болох хандлагатай, үүний дагуу бүтэлгүйтэх магадлал 1 – хэв нэгдэлтэй байхыг эрмэлздэг.

Тодорхой үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн дугуйны 8 хувь нь гэмтэлтэй гэж бодъё. Пуассоны тархалтыг binomial тархалтыг ойртуулахын тулд ашиглахыг харуулахын тулд бид 20 дугуйны дээжээс нэг гэмтэлтэй дугуйг олох магадлалыг тооцоолно. (2) томъёог хэрэглэцгээе, бид олж авна

Хэрэв бид үнэн хоёрын тархалтыг ойртуулахын оронд тооцоолох юм бол дараах үр дүнг авах болно.

Гэсэн хэдий ч эдгээр тооцоо нь нэлээд уйтгартай байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та Excel програмыг магадлалыг тооцоолоход ашигладаг бол Пуассоны тархалтын ойролцоо тооцоог ашиглах нь илүүц болно. Зураг дээр. Зураг 3-аас харахад Excel-ийн тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал ижил байна. Гэсэн хэдий ч, миний бодлоор энэ хэсэг нь зарим нөхцөлд бином тархалт ба Пуассоны тархалт ижил төстэй үр дүнг өгдөг гэдгийг ойлгоход хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 3. Excel-ийн тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлын харьцуулалт: (a) Пуассоны тархалт; (б) бином тархалт

Тиймээс, энэ болон өмнөх хоёр тэмдэглэлд гурван салангид байна тоон тархалт: , болон Пуассон. Эдгээр хуваарилалтууд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг илүү сайн ойлгохын тулд бид асуултын жижиг модыг толилуулж байна (Зураг 4).