Боломжит утгууд нь үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг. Санамсаргүй хувьсагч

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд олон боломжит утгуудаас аль нэг утгыг нь авдаг хэмжигдэхүүн бөгөөд туршилт хийхээс өмнө аль нь болохыг таамаглах боломжгүй хэмжигдэхүүн юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь жишээлбэл, үхэг шидэх үед авсан онооны тоо, өдрийн турш эмийн санд зочилсон хүмүүсийн тоо, модон дээрх алимны тоо гэх мэт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өдрийн санамсаргүй байдлаар сонгосон өвчтөний температур, тодорхой эмийн санамсаргүй байдлаар сонгосон таблетын масс, санамсаргүй байдлаар сонгосон оюутны өндөр гэх мэт юм.

ТУХАЙ

Гэсэн хэдий ч хамт математикийн цэгӨдрийн турш эмийн санд зочилсон хүмүүсийн тоо (энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X 1 гэж тэмдэглэе) болон тодорхой бүлгийн оюутнуудаас санамсаргүй байдлаар сонгосон оюутны өндөр (X утга) зэрэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд 2), үндсэн ялгаа байдаг, тухайлбал: X 1 утгын хувьд та бүгдийг нь жагсааж болно боломжит утгууд(1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), харин X 2 утгын хувьд үүнийг хийх боломжгүй, учир нь хэмжилтийн үр дүнд энэ утга нь сегментээс ямар ч утгыг авч болно.

ба - тус тус бүлгийн оюутнуудын хамгийн бага ба хамгийн их өндөр.

Санамсаргүй хувьсагчдыг ихэвчлэн том үсгээр тэмдэглэдэг Латин цагаан толгой- X, Y, Z гэх мэт, тэдгээрийн боломжит утгууд - харгалзах жижиг үсэгтоон индексүүдтэй. Жишээлбэл, x санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дараах байдлаар тэмдэглэв: x 1, x 2, x 3 гэх мэт.

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тухай ойлголт

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний бүх боломжит утгуудын багц нь хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй, гэхдээ заавал тоолж болох утгуудын багцыг, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг (наад зах нь онолын хувьд) дугаарлаж, тэмдэглэж болох олонлогийг төлөөлдөг бол дискрет хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. тохирох дараалал.

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний боломжит утгуудын багц нь хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй интервалыг илэрхийлж байвал түүнийг тасралтгүй гэж нэрлэдэг. тооны тэнхлэг.

Эдгээр тодорхойлолтыг үндэслэн дээр дурдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, тухайлбал шоо шидэх үед авсан онооны тоо, өдрийн турш эмийн санд ирсэн зочдын тоо, алимны тоо. мод нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд өдрийн тогтсон цагт өвчтөний температур, тодорхой эмийн санамсаргүй сонгосон таблетын жин, санамсаргүй байдлаар сонгосон оюутны өндөр зэрэг тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, мөн дүрмээр бол бид боломжит утгуудын тоо хязгаарлагдмал санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд анхаарлаа хандуулах болно.

Ихэнх бүрэн мэдээлэлДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай энэ хувьсагчийн тархалтын хуулиар өгөгдсөн.

Тодорхойлолт. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын уялдаа холбоо юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ихэвчлэн хоёр мөртэй хүснэгт хэлбэрээр зааж өгдөг бөгөөд эхний мөрөнд энэ утгын бүх боломжит утгыг (ихэвчлэн өсөх дарааллаар), хоёр дахь мөрөнд харгалзах магадлалыг жагсаасан болно. Хүснэгт 1 дэх эдгээр утгуудад:

Жишээ 2.Арав байна оюутны бүлгүүд, 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10, 11 сурагчийг дугаарлана. Санамсаргүй сонгогдсон бүлгийн оюутнуудын тоогоор тодорхойлогддог санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг гарга.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн боломжит утгууд нь дараах байдалтай байна (өсөх дарааллаар):

8, 9, 10, 11, 12.

Учир нь санамсаргүй хувьсагч X нь 8 сурагчтай бүлэг санамсаргүй байдлаар сонгогдсон тохиолдолд (энэ үйл явдлыг А гэж нэрлэе) X санамсаргүй хэмжигдэхүүн утгыг авах магадлал 8-тай тэнцүү утгыг авна.
, энэ санамсаргүй үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна:
.

Сонгодог магадлалын тодорхойлолтын дагуу санамсаргүй тохиолдлын магадлал А-тай тэнцүү байна
10 бүлгийн хоёр нь тус бүр 8 сурагчтай.

Тиймээс магадлалын утгын хувьд бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Үүний нэгэн адил та X санамсаргүй хэмжигдэхүүний үлдсэн утгуудын магадлалыг олж болно.

Энэ нь бидэнд хүссэн хуваарилалтын хуулийг гаргах боломжийг олгодог (Хүснэгт 2):

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мөн энэ хувьсагчийн боломжит утга бүрийн харгалзах магадлалыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог томьёо ашиглан тодорхойлж болно.

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Дүрмээр бол, бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхдээ түүнийг үйлдвэрлэх үйл явцад олон хүн нөлөөлдөг янз бүрийн хүчин зүйлүүд, үүний үр дүнд бүтээгдэхүүний чанарын үзүүлэлтүүдийн утгын тархалт ажиглагдаж байна. Тиймээс үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүн, үйлчилгээний чанарын үзүүлэлтүүдийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзэх ёстой.

Санамсаргүй хувьсагч тодорхой интервал дотор туршилтын үр дүнд өөр өөр тоон утгыг авч болох хэмжигдэхүүн юм (STB GOST R 50779.10 стандартын дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өгөгдсөн багц утгуудаас ямар ч утгыг авч болох, магадлалын тархалттай холбоотой хувьсагч юм.).

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Туршилтын үр дүнд зөвхөн салангид, тусгаарлагдсан утгыг авч болох бөгөөд тэдгээрийн хоорондын завсрын утгыг авч чадахгүй. Жишээлбэл, багц дахь ашиглах боломжгүй хэсгүүдийн тоо нь зөвхөн бүхэл тоо байж болно эерэг тоо 1, 2, 3 гэх мэт боловч 1,3 байж болохгүй; 1.7 гэх мэт.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн туршилтын үр дүнд ямар ч авч болох үнэ цэнэ юм тоон утгуудтодорхой интервал дахь тэдгээрийн боломжит утгуудын тасралтгүй цувралаас.

Жишээлбэл, машин дээр боловсруулсан эд ангиудын бодит хэмжээсүүд нь тодорхой хязгаарт ямар ч тоон утгыг авч чаддаг тул тасралтгүй төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Туршилтын явцад санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхой тоон утгыг авах чадварыг магадлалыг ашиглан үнэлдэг.

Өсөх дарааллаар байрлуулсан санамсаргүй хувьсагчдын утгуудын багцыг утга тус бүрийн магадлалыг илэрхийлдэг. санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалт (STB-ийн дагуу ГОСТ Р 50779.10 тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өгөгдсөн утгыг авах эсвэл өгөгдсөн утгын багцад хамаарах магадлалыг тодорхойлдог функц юм).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг хүснэгт, график хэлбэрээр, статистик тооцоог ашиглан үзүүлж болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг хүснэгт хэлбэрээр танилцуулахдаа судалж буй үйлдвэрлэлийн нэгжийн тоо (хэмжилтийн дугаар) нь энэ нэгжийн чанарын үзүүлэлтийн утгатай тохирч байна (хэмжилтийн үр дүн).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг график хэлбэрээр үзүүлэхдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлал (давтамж, давтамж) -ын координатуудад тархалтын график зурдаг.

Доорх зурагт салангид болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын графикуудыг харуулав.

Зураг - Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын график

Зураг - Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын график

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний онолын болон эмпирик тархалт байдаг. Онолын тархалтад санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгыг магадлалыг ашиглан, эмпирик тархалтад туршилтын үр дүнд олж авсан давтамж эсвэл давтамжийг ашиглан үнэлдэг.

Тиймээс, санамсаргүй хэмжигдэхүүний эмпирик тархалт нь өсөх дарааллаар байрлуулсан, утга тус бүрийн давтамж эсвэл давтамжийг харуулсан туршилтын утгуудын багц юм. (STB-ийн дагуу ГОСТ Р 50779.10 давтамжийн хуваарилалт Энэ нь шинж чанарын утга ба түүний давтамж эсвэл харьцангуй давтамжийн хоорондох эмпирик хамаарал юм).

Хүснэгт. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний онолын тархалтыг хүснэгтээр дүрсэлсэн жишээ

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний эмпирик тархалтыг графикаар дүрсэлж болно баганан диаграм , өндөр нь давтамжтай пропорциональ ижил өргөнтэй баганын багцаас үүссэн дискрет утгуудсанамсаргүй хувьсагч.

Зураг - Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний баганан график.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн үргэлжилсэн бол түүний тархалтыг хүснэгт эсвэл график хэлбэрээр илэрхийлэхэд хүндрэл гардаг. Тиймээс практикт тасралтгүй төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа олж авсан утгууд нь ижил интервалд хуваагддаг бөгөөд ингэснээр интервалын утга нь судалж буй утгын хэмжилтийн алдаанаас арай том байх болно. Дараа нь давтамжийг дагуу биш тоолно бодит үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, гэхдээ интервалаас дээш. Иймд тасралтгүй төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний эмпирик тархалтын хүснэгт дараах хэлбэртэй байна.

Хүснэгт. Эмпирик тархалттасралтгүй төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний эмпирик тархалтыг графикаар тархалтын гистограм, давтамжийн олон өнцөгт эсвэл хуримтлагдсан давтамжийн олон өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Тархалтын гистограм Энэ нь суурь нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваах интервалтай тэнцүү, талбайнууд нь эдгээр интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд унах давтамжтай пропорциональ зэргэлдээх тэгш өнцөгтүүдийн багц юм. (STB-ийн дагуу ГОСТ Р 50779.10 гистограм (хуваарилалт) байна график дүрслэлСуурь нь ангийн интервал, талбайнууд нь эдгээр ангиллын давтамжтай пропорциональ зэргэлдээх тэгш өнцөгтүүдээс бүрдсэн тоон шинж чанарын давтамжийн тархалт).

Зураг - Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний тархалтын гистограмм.

Давтамжийн олон өнцөгт - Энэ эвдэрсэн шугам, абсциссууд нь хуваалтын интервалуудын дунд цэгүүдтэй тэнцүү, ординатууд нь харгалзах давтамжтай тэнцүү цэгүүдийг холбох замаар олж авсан.

Зураг - Санамсаргүй тасралтгүй утгын давтамжийн олон өнцөгт.

Хуримтлагдсан олон өнцөгт давтамжууд абсциссууд нь тэнцүү цэгүүдийг холбосноор олж авсан тасархай шугам юм дээд хязгаархуваалтын интервалууд ба ординатууд - хуримтлагдсан давтамж эсвэл хуримтлагдсан давтамж (хуримтлагдсан харьцангуй давтамж).

Зураг - Санамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүний хуримтлагдсан давтамжийн олон өнцөгт.

Тасралтгүй төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн онолын тайлбарт тархалтын функцийг ашигладаг. Онолын хуваарилалтсанамсаргүй тасралтгүй хэмжигдэхүүнийг графикаар дүрсэлж болно интеграл, урвуу интеграл, дифференциалтүгээлтийн функц ба функцууд эрчим.

X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн, х нь бодит тоо (энэ тохиолдолд X< х ). X үйл явдал< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) гэж нэрлэдэг түгээлтийн функц магадлал санамсаргүй хэмжигдэхүүн эсвэл интеграл функцхуваарилалт.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд хуримтлагдсан тархалтын функц F(X)-ийг хүснэгт эсвэл графикаас хялбархан тодорхойлно.

Тиймээс, дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын дээрх жишээний хувьд (X дээр< 4):

F(X) = Р( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хуримтлагдсан тархалтын функцийн график шаталсан муруй шиг харагдана. X-ийн дурын утгын муруйн ординатууд нь өмнөх утгуудын магадлалын нийлбэрийг илэрхийлнэ.

Зураг - Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хуримтлагдсан тархалтын функц

Туршилтын явцад санамсаргүй хэмжигдэхүүн хоёрын дотор байх магадлал утгыг тохируулах x 1 ба x 2 (x 2 > x 1) нь энэ хэсгийн интеграл функцийн өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Хэрэв бид дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын дээрх жишээг харвал x1 = 2 ба x2 = 3-ын хувьд:

Р(2≤Х≤3) = Р(Х< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд хуримтлагдсан тархалтын функцийн график нь монотон өсөн нэмэгдэж буй муруй мэт харагдана. Практикт интеграл тархалтын функцийг тодорхойлоход ашигладаг онолын давтамжуудхуваарилалт.

Зураг - Хуримтлагдсан тархалтын функц

тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Урвуу хуримтлагдсан тархалтын функц нь нэгдэл ба хуримтлагдсан тархалтын функцийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Тархалтын нягт (дифференциал тархалтын функц) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуримтлагдсан тархалтын функцийн эхний дериватив гэж нэрлэдэг.

Учир нь аналитик тайлбарнайдвартай байдлын онолд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ашигладаг эрчим хүчний функц , харьцаатай тэнцүү байна дифференциал функцурвуу хуримтлагдсан тархалтын функцэд хуваарилалт:

Зураг - Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний эрчмийн функц.

Сэдэв 3.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түгээлтийн функцууд

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц, түүний шинж чанар

Дискрет тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Дискрет тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Дискрет хуваарилалтын жишээ

Үнэмлэхүй тасралтгүй тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Туйлын тасралтгүй тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт

Туйлын тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Нягт, түүний шинж чанар

Үнэмлэхүй тасралтгүй тархалтын жишээ

Санамсаргүй векторын тухай ойлголт.

Санамсаргүй вектор ойлголт

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалт

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт.

Магадлалын онол гарч ирснээс хойш түүний гол ажил нь санамсаргүй үр дүн бүхий туршилтуудын магадлалын шинж чанарыг бус, харин эдгээр туршилтуудтай холбоотой тоон хэмжигдэхүүнүүдийг судлах явдал байсан бөгөөд үүнийг мэдээжийн хэрэг гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг юм. санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Жишээлбэл, бид дээрх хос тоонуудыг сонирхохгүй байж магадгүй дээд нүүрүүдкуб, тэдгээрийн нийлбэр; Бернуллигийн схем дэх анхны амжилтаас өмнөх амжилтын тоо эсвэл бүтэлгүйтлийн тоо.

Ихэнхдээ уран зохиолоос та сэдвийн өөрчлөлтийг олж болно дараах тодорхойлолт: Санамсаргүй хувьсагчдуудсан хувьсах утга, туршилтын үр дүнгээс хамааран тухайн тохиолдлын тодорхой утгыг авдаг.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна тоон утга, түүний үнэ цэнэ нь санамсаргүй үр дүн бүхий туршилтын үр дүнд ямар төрлийн (анхан шатны) үр дүн гарсанаас хамаарна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн авч болох бүх утгуудын багцыг нэрлэдэг энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц.

Эдгээрийн нэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн ойлголт учраас бид илүү хатуу тодорхойлолт өгөх болно гол ойлголтуудмагадлалын онолыг холбодог математик шинжилгээматематик статистикийн үзэл баримтлалын үндсийг бүрдүүлнэ.

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хувьсагчорон зайд тодорхойлогдсон X = X(ω) функц гэж нэрлэдэг энгийн үйл явдлуудҮйл явдал болох Ом (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Нөхцөл байдал (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из А. Үүнээс гадна үйл явдлуудаар дамжуулан (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно нарийн төвөгтэй үйл явдал, санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой X. Ийм үйл явдал нь мөн А үйл явдлын σ-алгебрт хамаарах бөгөөд тиймээс түүнд магадлал тодорхойлогддог.

Сэтгэгдэл. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь функц бөгөөд түүний домэйн нь энгийн үйл явдлын орон зай Ω, утгын багц нь тоон олонлог, магадгүй бүхэл бүтэн багц юм. бодит тоо Р.

А үйл явдлын σ-алгебр нь функц гэж үзвэл магадлалын муж болно.

Сэтгэгдэл . "Санамсаргүй хувьсагч" гэсэн нэр томъёо нь зарим талаараа буруу байна. туршилт эсвэл хэргийн үр дүн." (В. Феллер “Магадлалын онолын танилцуулга”, Ч. IX)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг Грек цагаан толгойн үсгээр тэмдэглэнэ: (xi), (eta),  эсвэл том үсгээрЛатин цагаан толгой X, Y, ... Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй дараалал хэлбэрээр бичнэ. x 1 ,x 2 ,, x n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Сэтгэгдэл . Өмнө нь бид тодорхой үйл явдлуудтай холбоотой магадлалын тухай ойлголтыг танилцуулсан. Одоо бид функцүүдийн талаар ярих болно. Функцийн тухай ойлголттой холбоотой байж болох хамгийн тод үйл явдал бол түүний ямар нэг утгыг (тодорхой эсвэл интервалд хамаарах) хүлээн зөвшөөрөх явдал юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын шинж чанарыг судлахын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний утгуудын дэд олонлогоос утгыг авах магадлалыг олох боломжийг олгодог дүрмийг мэдэх хэрэгтэй. Аливаа ийм дүрэм гэж нэрлэдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль буюу тархалтын (магадлал).(энэ тохиолдолд "магадлал" гэдэг үгийг ихэвчлэн орхигдуулдаг)

Бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд байдаг нийтлэг тархалтын хууль нь түгээлтийн функц.

Тодорхойлолт.Бүх магадлалын багц P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль XВ ерөнхий тохиолдол. Товчхондоо санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг энгийнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. F(x) = P(X) функц< х}, х є (-∞, ∞) называется Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

x цэг дээрх тархалтын функцийн утга нь үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех үндсэн үр дүнω, үүний хувьд X< х.

Ихэвчлэн бид x цэг дээрх тархалтын функцийн утга нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ээс бага утгыг авах магадлалтай тэнцүү гэж хэлдэг.

Геометрийн хувьд энэ нь дараахыг илэрхийлнэ: F(x) нь X цэгийн зүүн талд байрлах тооны шулуун дээрх цэгээр дүрслэгдсэн утгыг X санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлал юм.

Сэтгэгдэл . Түгээлтийн функцийг мөн нэрлэдэг интеграл функц буюу X санамсаргүй хэмжигдэхүүний интеграл тархалтын хууль

Түгээлтийн функц нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

0≤ F(x)≤1 (тодорхойлолтоор тархалтын функц нь магадлал учраас)

x 1-ийн хувьд F(x 1) ≤ F(x 2) байна< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 нь x → - ∞ , lim F(x) = 1 нь x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) нь зүүн тасралтгүй функц, i.e. F(x) = F(x - 0), энд F(x - 0) = lim F(y) y → x - 0 (зүүн талын хязгаар)

Сэтгэгдэл . F(x) тархалтын функц аль санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарахыг онцлохын тулд заримдаа энэ функцэд тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх дэд тэмдэгтийг оноодог. Жишээлбэл, F X (x) = P (X< х}

Сэтгэгдэл. Зарим хэвлэлд түгээлтийн функцийг F(x) = P(X ≤ x) гэж тодорхойлсон байдаг. Энэ тодорхойлолт нь үндсэндээ юуг ч өөрчлөхгүй, зөвхөн сүүлийн тав дахь шинж чанар нь тархалтын функцийг өөрчлөх болно. Энэ тохиолдолд функц нь зөв тасралтгүй болж хувирдаг.

Хэлэлцүүлэг: "Функц гэж юу вэ?"

Бидэнд X ба Y хоёр багц өгье, Y нь тоон олонлог юм. X олонлогийн элемент (цэг) бүр Y олонлогийн (нэг бөгөөд цорын ганц) элемент (тоо) -тай холбоотой байх f дүрмийг өгье. f дүрмийг X ба Y олонлогтой хамт, функцийг тодорхойлох f. y=f(x) гэсэн тэмдэглэгээ нь f дүрмийг X олонлогийн зарим х цэгт хэрэглэсэн бөгөөд үүний үр дүнд бид Y олонлогоос у цэгийг авсан гэсэн үг юм. X-г аргумент (бие даасан хувьсагч) ба y гэж нэрлэдэг. нь X цэг дээрх f функцийн утга (хамааралтай хувьсагч) юм. X олонлогийг функцийн тодорхойлолтын домэйн (тодорхойлолтын домайн) гэж нэрлэдэг; X багц нь заавал байх албагүй тоон багц. Иймд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь энгийн үйл явдлын тоон бус орон зайд тодорхойлогдсон функц юм.

Санамсаргүй хувьсагчид

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд зөвхөн нэг боломжит утгыг авах бөгөөд аль нь урьдчилан мэдэгддэггүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет гэдэг нь тодорхой магадлал бүхий тусдаа, тусгаарлагдсан боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Тасралтгүй хэмжигдэхүүн нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалаас бүх утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоо юм. Энэ хуулийг хүснэгт, томъёо, график хэлбэрээр өгсөн болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг зүйлсийн нэг нь Бернулли тестийн давталтын схемд хүргэдэг binomial тархалтын хууль гэж нэрлэгддэг хууль юм. Формула (8) байна аналитик илэрхийлэлэнэ хууль.

Жишээ 11.

Хоёр тэмдэгтээс бүрдсэн кодыг ашиглан мессежийг холбооны сувгаар дамжуулдаг. Эхнийх нь гарч ирэх магадлал 2/3 байна. Гурван тэмдэгтийг дамжуулсан. Эхний тэмдэгтийн тохиолдлын тархалтын хуулийг ол.

Шийдэл.

Нөхцөлөөр n=4, r=2/3, q=1/3. Эхний тэмдэгтийн харагдах тооны боломжит утгууд: 0, 1, 2 ба 3. Томъёо (8) ашиглан тэдгээрийн магадлалыг олцгооё:

Энэ хуулийг хүснэгт хэлбэрээр танилцуулж болно

Тархалтын функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх магадлалыг тодорхойлдог функц юм Xтуршилтын үр дүнд үнэ цэнэ бага байх болно X,тэр нь

Геометрийн хувьд энэ нь магадлал бүхий санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм rтоон тэнхлэгт зүүн талд байрлах цэгээр дүрслэгдсэн утгыг авна X.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функц нь тасралтгүй хэсэгчлэн дифференциалагдах функц юм. Үндсэн шинж чанарууд нь дараахь тодорхойлолтоос гаралтай.

1. Түгээх функцийн утгууд нь сегментэд хамаарна, өөрөөр хэлбэл.

2. Ф(x) нь буурахгүй функц, өөрөөр хэлбэл хэрэв

3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь [ интервалд агуулагдах утгыг авах магадлал а,б[, энэ интервал дээрх тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү байна

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд авах магадлал тусдаа утгатайтэгтэй тэнцүү. Тиймээс тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

Жишээ 12.

Санамсаргүй хувьсагч Xтүгээлтийн функцээр өгөгдсөн

Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол X[-1;0.5] сегментэд хамаарах утгыг авна.

Шийдэл.

гэсэн нөхцөлөөс үүдэн гарч байна X- 0-ээс 1 хүртэлх утгыг авах боломжтой тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Магадлалын тархалтын нягт тасралтгүйсанамсаргүй хувьсагч Xтархалтын функцийн анхны дериватив гэж нэрлэдэг

Түгээлтийн функц F(x)тархалтын нягтын эсрэг деривативуудын нэг юм. Нягтын тодорхойлолтыг үндэслэн эсвэл дифференциал хуульТүгээлт ба түүний түгээлтийн функцтэй холболтын хувьд дараахь шинж чанаруудыг харуулахад хялбар байдаг.

1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь сөрөг бус функц юм

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлал Xинтервалд тэнцүү байна

(16)

3. 2-р шинж чанараас бид түгээлтийн функцийн илэрхийлэлийг олж авна

(17)

4. Хэвийн байдалд оруулах нөхцөл

(18)

Жишээ 13.Салангид хэмжигдэхүүн Xхүснэгтээр өгсөн

Түгээлтийн функцийг олоод график зур.

Шийдэл.

1. Хэрэв , тэгвэл , оноос хойш X 2-оос бага утга авч болохгүй.

Энэ тохиолдолд интервалд (-¥, X)санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөвхөн нэг утгыг онох X (X=2). Тийм ч учраас

Аливаа аргументын утгын хувьд Xфункцууд F(x),сэтгэл ханамжтай энэ тэгш бус байдал, интервалд (-¥, X) санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр утгыг онох ( X=2 ба X=3). Учир нь тэр үйл явдлууд Xөгөгдсөн утгууд нь нийцэхгүй байгааг хүлээн зөвшөөрөх болно (эсвэл X=2 эсвэл X=3), тэгвэл

4. Үүний нэгэн адил хэрэв

Тиймээс түгээлтийн функц нь хэлбэртэй байна

Түгээлтийн функцийг графикаар зурах

Цагаан будаа. 1 - Түгээлтийн функцийн график

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Жишээ 14. Хэмжилтийн алдааны тархалтын нягт

Үзэл баримтлалыг өргөжүүлэх санамсаргүй үйл явдал, зарим нь харагдахаас бүрддэг тоон утгуудтуршилтын үр дүнд, байна санамсаргүй хувьсагч X.

Тодорхойлолт. СанамсаргүйТэд туршилтын үр дүнд зарим нэг нийлбэрээс зөвхөн нэг утгыг авдаг бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгдээгүй хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг.

Санамсаргүй хувьсагчжишээлбэл, физик талбарт янз бүрийн хүчин зүйлийн нөлөөллийг харгалзан геологийн өгөгдлийг тайлбарлах боломжийн загвар юм.

Тусдаа туршилтын үр дүн шиг, яг үнэ цэнэСанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг урьдчилан таамаглах боломжгүй, зөвхөн түүний статистик хэв маягийг тогтоох боломжтой. санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн магадлалыг тодорхойлох. Жишээлбэл, хэмжилт физик шинж чанар чулуулагхаргалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ажиглалтууд юм.

Геологичид тааралддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дотроос хоёр үндсэн төрлийг ялгаж болно: хувьсагч салангидболон хэмжээ тасралтгүй.

Тодорхойлолт. ДискретСанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй тоолж болох багц утгыг авах боломжтой хэмжигдэхүүн юм.

гэх мэт ердийн жишээнүүдДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хээрийн ажлын бүх үр дүн, туршилтын бүх үр дүн, талбайгаас авчирсан дээж гэх мэт байж болно.

Санамсаргүй хувьсагчийн хэлбэрийн бүх боломжит утгууд бүтэн бүлэгүйл явдал, жишээлбэл. , хаана нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй. Тиймээс бид үүнийг хэлж чадна санамсаргүй хувьсагчсанамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь гаргадаг.

Судалгааны үр дүнд дараахь цуврал өгөгдлийг олж авъя. тоон найрлагазарим үүлдэр: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Нийт 20 туршилт хийсэн. Өгөгдөлтэй ажиллахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийг өөрчилсөн: үр дүнгийн утгуудыг өсөх дарааллаар байрлуулж, утга тус бүрийн тохиолдлын тоог тоолсон. Үүний үр дүнд бид (Хүснэгт 7.1):

Тодорхойлолт. Өгөгдлийн өсөлтийн тархалтыг гэж нэрлэдэг зэрэглэл.

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний зарим шинж чанарын ажиглагдсан утгыг хувилбар гэнэ.

Тодорхойлолт. Хувилбаруудаас бүрдсэн цувралыг нэрлэдэг вариацын цуврал.

Тодорхойлолт. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний зарим шинж чанарын өөрчлөлтийг нэрлэдэг янз бүр.

Тодорхойлолт. Өгөгдсөн сонголт хэдэн удаа өөрчлөгддөгийг харуулсан тоог давтамж гэж нэрлэдэг ба -аар тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт. МагадлалЭнэ сонголтын харагдах байдал нь давтамжийн харьцаатай тэнцүү байна нийт дүнвариацын цуврал

Оруулсан тодорхойлолтыг харгалзан бид хүснэгт 7.1-ийг дахин бичнэ.

Магадлал Atстатистик дүн шинжилгээ туршилтын өгөгдлийг голчлон ашигладагсалангид хэмжигдэхүүнүүд . Хүснэгт 7.3-т чухал ач холбогдолтой эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн үндсэн тоон шинж чанарыг харуулавпрактик ач холбогдол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн	N p/p	Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанар (параметр) ба түүний тэмдэглэгээ	Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарыг олох томьёо
1	Анхаарна уу	(2)	Хүлээлт
2	Тоон тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалыг тодорхойлдог	(3)	Дундаж утга
3	Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бие даасан байвал	Загвар	Энэ бол хамгийн их үнэ цэнэ юм Хамгийн их тохиолддог утгатай тэнцүү. Хэрэв ийм үнэт зүйлс байвалвариацын цуврал
4	хэд хэдэн, энэ нь тодорхойгүй байна.	Медиан Хэрэв тэгш болвол	Хэрэв хачирхалтай бол
5	Энэ нь эрэмбэлсэн цувралын төвд байгаа үнэ цэнэ юм.		Тархалт
7	Дундаж утгын эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бодит тархалтыг тодорхойлдог.	(6)	Өөрчлөлтийн коэффициент
8	Тархалтын зэрэгцээ энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьсах чадварыг тодорхойлдог

Төвлөрсөн хэвийн хазайлт

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Удирдамж

Захидлын боловсролын нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн (NISPO) оюутнуудын "Санамсаргүй хувьсагч" сэдвийг судлах

Горки, 2013 он

Санамсаргүй хувьсагч

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үзэл баримтлал юм . санамсаргүй хувьсагч нь туршилтын үр дүнд олон боломжит утгаасаа зөвхөн нэгийг нь авдаг хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилж мэдэгддэггүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг салангид ба тасралтгүй . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) Энэ нь бие биенээсээ тусгаарлагдсан хязгаарлагдмал тооны утгыг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. хэрэв энэ хэмжигдэхүүний боломжит утгыг дахин тооцоолох боломжтой бол. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн (CNV) Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд бүх боломжит утгууд нь тооны шугамын тодорхой интервалыг бүрэн дүүргэдэг.

Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн X, Y, Z гэх мэт том үсгээр тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.

Бичлэг
"санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал" гэсэн үг X 0.28-тай тэнцэх 5 утгыг авна.”

Жишээ 1 . XШоог нэг удаа шиднэ. Энэ тохиолдолд онооны тоог харуулсан 1-ээс 6 хүртэлх тоо гарч ирж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(өнхрүүлсэн онооны тоо). Туршилтын үр дүнд энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 гэсэн зургаан утгын зөвхөн нэгийг нь авч болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн

DSV байна. Жишээ 2 X. Чулуу шидэхэд тодорхой зайг туулдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(чулуун нислэгийн зай). Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой интервалаас зөвхөн нэг утгыг авч болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн

NSV байдаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь авч болох утга, эдгээр утгыг авах магадлалаар тодорхойлогддог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын хамаарлыг нэрлэдэг .

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
Хэрэв бүх боломжит утгууд мэдэгдэж байвал Xсанамсаргүй хувьсагч
болон магадлал Эдгээр үнэт зүйлсийн харагдах байдал, дараа нь тэд хууль гэдэгт итгэдэгX DSV түгээлтүүд

мэдэгдэж байгаа бөгөөд хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно:
,
, …,
Хэрэв цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын системд дүрсэлсэн бол DSV тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болно.

ба тэдгээрийг шулуун шугамын сегментүүдээр холбоно. Үүссэн дүрсийг тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг. Жишээ 3 X. Цэвэрлэх зориулалттай үр тариа нь 10% хогийн ургамал агуулдаг. 4 үр тариаг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(сонгосон дөрвөөс хогийн ургамлын тоо). DSV түгээлтийн хуулийг бий болгох

ба түгээлтийн полигон. Шийдэл

DSV X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр бичиж, тархалтын олон өнцөгт байгуулъя.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн чухал шинж чанаруудыг шинж чанараар нь тодорхойлдог. Эдгээр шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт санамсаргүй хувьсагч.

DSV түгээлтийн хуулийг мэддэг байг X:

Математикийн хүлээлт DSV XЭнэ хэмжигдэхүүний утга тус бүрийн бүтээгдэхүүний нийлбэр ба харгалзах магадлал:
.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний бүх утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байна. Тиймээс практик асуудалд энэ нь ихэвчлэн тохиолддог математикийн хүлээлтэнэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгыг авна.

Жишээ 8 . Буудагч 0.1, 0.45, 0.3, 0.15 магадлалаар 4, 8, 9, 10 оноо авдаг. Нэг удаагийн цохилтоор онооны тооны математик хүлээлтийг ол.

ба түгээлтийн полигон. . Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэе X=(оноо авсан онооны тоо). Дараа нь . Ийнхүү нэг цохилтоор авсан онооны дундаж тоо 8.2, 10 цохилтоор 82 оноо авсан байна.

Үндсэн шинж чанарууд Математикийн хүлээлт нь:

.

.

, Хаана
,
.

.

, Хаана XТэгээд Юбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

Ялгаа
дуудсан хазайлт санамсаргүй хувьсагч Xтүүний математик хүлээлтээс. Энэ ялгаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний математикийн хүлээлт нь тэг, i.e.
.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлохын тулд бид математикийн хүлээлтээс гадна ашигладаг тархалт , энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн эргэн тойрон дахь утгуудын тархалтыг (тархалтыг) тооцоолох боломжийг олгодог. Математикийн хүлээлттэй ижил төстэй хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг харьцуулахдаа "хамгийн сайн" утгыг тархалт багатай гэж үзнэ, өөрөөр хэлбэл. бага тархалт.

Зөрчил санамсаргүй хувьсагч Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт гэнэ: .

IN практик асуудлуудаа дисперсийг тооцохдоо эквивалент томьёог ашиглана.

Дисперсийн үндсэн шинж чанарууд нь:

.

Магадлалын онолын хамгийн чухал үндсэн ойлголтуудын нэг бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдэг нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авах боломжтой хэмжигдэхүүн бөгөөд аль нь болохыг урьдчилан мэддэггүй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ:

1) гурван цохилттой цохилтын тоо;

2) хүлээн авсан дуудлагын тоо утасны станцөдөрт;

3) 10 цохилтоор цохилтын хурд.

Эдгээр гурван жишээнд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тусдаа, тусгаарлагдсан утгыг авч болно, үүнийг урьдчилан тоолж болно.

Тиймээс, жишээ 1) эдгээр утгууд нь:

жишээ 2):

жишээ 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Урьдчилан тоолж болох дискрет утгуудыг авдаг ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай эсвэл дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Бусад төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг, жишээлбэл:

1) галлах үед нөлөөллийн цэгийн абсцисса;

2) аналитик жин дээр биеийг жинлэх алдаа;

3) өгөгдсөн өндөрт хүрэх үеийн агаарын хөлгийн хурд;

4) улаан буудайн санамсаргүй байдлаар авсан үр тарианы жин.

Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь бие биенээсээ тусгаарлагддаггүй; Тэд заримдаа тодорхой хил хязгаартай байдаг тодорхой цоорхойг байнга дүүргэдэг бөгөөд ихэнхдээ тодорхойгүй, тодорхойгүй хил хязгаартай байдаг.

Боломжит утгууд нь тодорхой интервалыг тасралтгүй дүүргэдэг ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг чухал үүрэгмагадлалын онолд. Магадлалын “сонгодог” онол голчлон үйл явдлуудаар ажилладаг байсан бол орчин үеийн магадлалын онол аль болох санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ажиллахыг илүүд үздэг.

Магадлалын онолд зориулсан үйл явдлуудаас санамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү шилжих аргуудын жишээг өгье.

Туршилтыг явуулсны үр дүнд ямар нэгэн үйл явдал гарч болзошгүй, үгүй ​​ч байж болно. Үйл явдлын оронд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзэж болох бөгөөд хэрэв үйл явдал тохиолдвол 1-тэй тэнцүү, тохиолдохгүй бол 0-тэй тэнцүү байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь мэдээж тасалдсан; энэ нь 0 ба 1 гэсэн хоёр боломжит утгатай. Энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тухайн үйл явдлын шинж чанарын санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Практикт үйл явдлын оронд тэдгээрийн шинж чанар бүхий санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээр ажиллах нь илүү тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, хэрэв үйл явдал тохиолдох боломжтой цуврал туршилтуудыг хийвэл нийт тооүйл явдлын тохиолдлууд нь бүх туршилтууд дахь үйл явдлын шинж чанарын санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ техникийг ашиглах нь маш тохиромжтой байдаг.

Нөгөөтэйгүүр, үйл явдлын магадлалыг тооцоолохын тулд энэ үйл явдлыг ямар нэгэн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (эсвэл тасралтгүй хувьсагчдын систем) холбох нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг.

Жишээлбэл, М цэгийг барихын тулд зарим O объектын координатыг хэмжиж, энэ объектыг тухайн газрын панорама (сканнер) дээр дүрсэлцгээе. М цэгийн байрлал дахь R алдаа нь заасан утгаас хэтрэхгүй байх тохиолдолд бид сонирхож байна (Зураг 2.4.1). Объектын координатыг хэмжихэд гарсан санамсаргүй алдааг тэмдэглэе. Энэ үйл явдал нь төв нь О цэгтэй радиусын тойрог дотор байрлах координатууд нь санамсаргүй M цэгтэй тэнцэх нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал тохиолдохын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ба тэгш бус байдлыг хангах ёстой.

Үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлын (2.4.1) хангагдсан байх магадлалаас өөр зүйл биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанарууд нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд энэ магадлалыг тодорхойлж болно.

Үйл явдал ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондох ийм органик холбоо нь маш онцлог шинж чанартай байдаг орчин үеийн онолБоломжтой бол "үйл явдлын схем" -ээс "санамсаргүй хэмжигдэхүүний схем" рүү шилждэг магадлал. Сүүлчийн схем нь эхнийхтэй харьцуулахад санамсаргүй үзэгдэлтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү уян хатан, бүх нийтийн төхөөрөмж юм.

ТАРХАЛТ, ОНЦЛОГИЙН ХУУЛЬ

Санамсаргүй хувьсагчид

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тэдгээрийн ангилал, тайлбарлах аргууд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд нэг буюу өөр утгыг авч болох боловч аль нь урьдчилж мэдэгддэггүй хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд та зөвхөн утгыг зааж өгөх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь туршилтын үр дүнд авах нь гарцаагүй. Дараа нь бид эдгээр утгыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд гэж нэрлэх болно. Учир нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тоон шинж чанартай байдаг санамсаргүй үр дүнтуршлага гэж үзэж болно тоон шинж чанарсанамсаргүй үйл явдал.

Санамсаргүй хувьсагчдыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр, жишээлбэл, X..Y..Z, тэдгээрийн боломжит утгыг харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.

Гурван төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг:

Салангид; Тасралтгүй; Холимог.

Дискретболомжит утгуудын тоо нь тоолж болох олонлогийг бүрдүүлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Хариуд нь элементүүдийг дугаарлаж болох олонлогийг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. "Дискрет" гэдэг үг нь "тасралтгүй, бүрдсэн" гэсэн утгатай латин хэлнээс гаралтай. бие даасан хэсгүүд» .

Жишээ 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь n бүтээгдэхүүний багц дахь гэмтэлтэй X хэсгийн тоо юм. Үнэн хэрэгтээ энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь 0-ээс n хүртэлх бүхэл тоонуудын цуваа юм.

Жишээ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бай руу эхний цохилтоос өмнөх буудлагын тоо юм. 1-р жишээн дээрх шиг боломжит утгуудыг дугаарлаж болно, гэхдээ хязгаарлагдмал тохиолдолд боломжит утга нь хязгааргүй их тоо байдаг.

ТасралтгүйЭнэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд боломжит утгууд нь тоон тэнхлэгийн тодорхой интервалыг байнга дүүргэдэг бөгөөд заримдаа энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний оршин байх интервал гэж нэрлэдэг. Иймээс аливаа хязгаарлагдмал интервал дээр тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй их байна.

Жишээ 3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь аж ахуйн нэгжийн сарын цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ юм.

Жишээ 4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өндөр хэмжигч ашиглан өндрийг хэмжихэд гарсан алдаа юм. Өндөр хэмжигчний ажиллах зарчмаас харахад алдаа нь 0-ээс 2 м-ийн хооронд хэлбэлздэг тул энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс 2 м хүртэлх интервал юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тоон тэнхлэг дээр түүний боломжит утгыг зааж, тархалтын хуулийг тогтоосон тохиолдолд бүрэн тодорхойлогдсон гэж үзнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархсан гэж нэрлэдэг энэ хууль, эсвэл өгөгдсөн хуваарилалтын хуульд захирагддаг. Хэд хэдэн магадлал, тархалтын функц, магадлалын нягтрал, шинж чанарын функцийг тархалтын хууль болгон ашигладаг.

Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн магадлалын тодорхойлолтыг өгдөг. Тархалтын хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд аль нь илүү, аль нь бага гарч ирэхийг туршилтын өмнө шүүж болно.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр, аналитик (томьёоны хэлбэрээр) болон график хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Хамгийн энгийн хэлбэрДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг өсөх дарааллаар жагсаасан хүснэгт (матриц) юм.

Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг. 1

Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x 1, x 2,...x n утгыг авахаас бүрдэх X 1, X 2,..., X n үйл явдлууд юм. Тохиромжгүй, цорын ганц боломжтой (хүснэгт санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг жагсаасан тул), өөрөөр хэлбэл. бүрэн бүлэг бүрдүүлэх. Иймд тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Иймээс аливаа дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд

(Энэ нэгж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын хооронд ямар нэгэн байдлаар тархсан байдаг тул "тархалт" гэсэн нэр томъёо).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, тэдгээрийн харгалзах магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурвал тархалтын цувааг графикаар дүрсэлж болно. Олж авсан цэгүүдийн холболт нь магадлалын тархалтын олон өнцөгт эсвэл олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг тасархай шугамыг үүсгэдэг (Зураг 1).

ЖишээСугалаанд: 5000 денийн үнэтэй машин багтсан. нэгж, 250 денийн үнэтэй 4 зурагт. нэгж, 200 денийн үнэ бүхий 5 видео бичигч. нэгж Нийт 1000 тасалбар 7 хоногийн турш худалдаалагдаж байна. нэгж Нэг тасалбар худалдаж авсан сугалаанд оролцогчийн авсан цэвэр хожлын мөнгийг хуваарилах хуулийг гарга.

ба түгээлтийн полигон.. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд - нэг тасалбарын цэвэр ялалт нь 0-7 = -7 мөнгөтэй тэнцүү байна. нэгж (хэрэв тасалбар хожоогүй бол), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. нэгж (хэрэв тасалбар нь видеомагнитофон, зурагт эсвэл автомашины хожилтой бол). 1000 тасалбараас азгүй хүмүүсийн тоо 990, заасан хожил нь 5, 4, 1 байгааг харгалзан үзэхэд сонгодог тодорхойлолтмагадлалыг бид олж авдаг.