Si të gjeni ndryshimin e një progresion aritmetik. Progresioni aritmetik

Për shembull, sekuenca \(2\); \(5\); \(8\); \(njëmbëdhjetë\); \(14\)... është një progresion aritmetik, sepse çdo element i mëpasshëm ndryshon nga ai i mëparshmi me tre (mund të merret nga ai i mëparshmi duke shtuar tre):

Në këtë progresion, diferenca \(d\) është pozitive (e barabartë me \(3\)), dhe për këtë arsye çdo term tjetër është më i madh se ai i mëparshmi. Përparime të tilla quhen në rritje.

Megjithatë, \(d\) mund të jetë gjithashtu një numër negativ. Për shembull, në progresion aritmetik \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ndryshimi i progresionit \(d\) është i barabartë me minus gjashtë.

Dhe në këtë rast, çdo element tjetër do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Këto përparime quhen në rënie.

Shënimi aritmetik i progresionit

Përparimi tregohet me një shkronjë të vogël latine.

Numrat që formojnë një progresion quhen anëtarët(ose elemente).

Ato shënohen me të njëjtën shkronjë si një progresion aritmetik, por me një indeks numerik të barabartë me numrin e elementit në rend.

Për shembull, progresioni aritmetik \(a_n = \majtas\( 2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\) përbëhet nga elementet \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dhe kështu me radhë.

Me fjalë të tjera, për progresionin \(a_n = \majtas\(2; 5; 8; 11; 14…\djathtas\)\)

Zgjidhja e problemeve të progresionit aritmetik

Në parim, informacioni i paraqitur më sipër është tashmë i mjaftueshëm për të zgjidhur pothuajse çdo problem të progresionit aritmetik (përfshirë ato të ofruara në OGE).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik dhënë nga kushtet \(b_1=7; d=4\). Gjeni \(b_5\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_5=23\)

Shembull (OGE). Janë dhënë tre termat e parë të një progresioni aritmetik: \(62; 49; 36…\) Gjeni vlerën e termit të parë negativ të këtij progresioni..
Zgjidhja:

Përgjigje: \(-3\)

Shembull (OGE). Jepen disa elemente të njëpasnjëshme të një progresion aritmetik: \(…5; x; 10; 12.5...\) Gjeni vlerën e elementit të caktuar me shkronjën \(x\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(7,5\).

Shembull (OGE). Është dhënë progresion aritmetik kushtet e mëposhtme: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Gjeni shumën e gjashtë anëtarëve të parë të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_6=9\).

Shembull (OGE). Në progresion aritmetik \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Gjeni ndryshimin e këtij përparimi.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(d=7\).

Formula të rëndësishme për progresionin aritmetik

Siç mund ta shihni, shumë probleme në progresionin aritmetik mund të zgjidhen thjesht duke kuptuar gjënë kryesore - që një progresion aritmetik është një zinxhir numrash, dhe çdo element pasues në këtë zinxhir merret duke shtuar të njëjtin numër me atë të mëparshëm ( dallimi i progresionit).

Sidoqoftë, ndonjëherë ka situata kur është shumë e papërshtatshme të vendosësh "përballë". Për shembull, imagjinoni që në shembullin e parë nuk duhet të gjejmë elementin e pestë \(b_5\), por treqind e tetëdhjetë e gjashtë \(b_(386)\). A duhet të shtojmë katër \(385\) herë? Ose imagjinoni që në shembullin e parafundit duhet të gjeni shumën e shtatëdhjetë e tre elementëve të parë. Do të lodhesh duke numëruar...

Prandaj, në raste të tilla ata nuk i zgjidhin gjërat “me kokë”, por përdorin formula të veçanta të nxjerra për progresion aritmetik. Dhe ato kryesore janë formula për termin e n-të të progresionit dhe formula për shumën e termave të parë \(n\).

Formula e termit \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ku \(a_1\) është termi i parë i progresionit;
\(n\) – numri i elementit të kërkuar;
\(a_n\) – termi i progresionit me numrin \(n\).

Kjo formulë na lejon të gjejmë shpejt edhe elementin e treqindtë ose të miliontë, duke ditur vetëm të parin dhe ndryshimin e progresionit.

Shembull. Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Gjeni \(b_(246)\).
Zgjidhja:

Përgjigje: \(b_(246)=1850\).

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ku

\(a_n\) – termi i fundit i përmbledhur;

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik specifikohet nga kushtet \(a_n=3.4n-0.6\). Gjeni shumën e termave të parë \(25\) të këtij progresioni.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(25)=1090\).

Për shumën \(n\) të termave të parë, mund të merrni një formulë tjetër: thjesht duhet të \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) në vend të \(a_n\) zëvendëso formulën për të \(a_n=a_1+(n-1)d\). Ne marrim:

Formula për shumën e n termave të parë: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ku

\(S_n\) – shuma e kërkuar e \(n\) elementeve të parë;
\(a_1\) – termi i parë i përmbledhur;
\(d\) – ndryshimi i progresionit;
\(n\) – numri i elementeve në total.

Shembull. Gjeni shumën e termave të parë \(33\)-ex të progresionit aritmetik: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(33)=-231\).

Probleme më komplekse të progresionit aritmetik

Tani ju keni gjithçka informacionin e nevojshëm për zgjidhjen e pothuajse çdo problemi të progresionit aritmetik. Le ta përfundojmë temën duke shqyrtuar probleme në të cilat jo vetëm që duhet të aplikoni formula, por edhe të mendoni pak (në matematikë kjo mund të jetë e dobishme ☺)

Shembull (OGE). Gjeni shumën e të gjithë termave negativë të progresionit: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S_(65)=-630,5\).

Shembull (OGE). Progresioni aritmetik përcaktohet nga kushtet: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Gjeni shumën nga \(26\)th në elementin \(42\) përfshirëse.
Zgjidhja:

Përgjigje: \(S=1683\).

Për përparimin aritmetik, ka disa formula të tjera që nuk i kemi marrë parasysh në këtë artikull për shkak të dobisë së tyre të ulët praktike. Megjithatë, ju mund t'i gjeni lehtësisht.

Koncepti sekuenca e numrave nënkupton korrespondencën e çdo numri natyror me disa vlera aktuale. Një seri e tillë numrash mund të jetë ose arbitrare ose të ketë veti të caktuara- progresion. NË rastin e funditçdo element (anëtar) pasues i sekuencës mund të llogaritet duke përdorur atë të mëparshëm.

Progresion aritmetik - sekuencë vlerat numerike, në të cilin termat fqinjë ndryshojnë nga njëri-tjetri me të njëjtin numër ( pronë e ngjashme të gjithë elementët e serisë, duke filluar nga i dyti, kanë). Ky numër– diferenca ndërmjet termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm është konstante dhe quhet diferencë e progresionit.

Dallimi i progresionit: përkufizim

Konsideroni një sekuencë të përbërë nga j vlera A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j i përket grupit të numrave natyrorë N. Një aritmetike progresioni, sipas përkufizimit të tij, është një sekuencë, në të cilën a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vlera d është diferenca e dëshiruar e këtij progresi.

d = a(j) – a(j-1).

Theksoj:

• Një progresion në rritje, në të cilin rast d > 0. Shembull: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Zvogëlimi i progresionit, pastaj d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresioni i ndryshimit dhe elementet e tij arbitrare

Nëse njihen 2 terma arbitrare të progresionit (i-të, k-të), atëherë ndryshimi për një sekuencë të caktuar mund të përcaktohet bazuar në marrëdhëniet:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, që do të thotë d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Dallimi i progresionit dhe termi i tij i parë

Kjo shprehje do të ndihmojë në përcaktimin e një vlere të panjohur vetëm në rastet kur dihet numri i elementit të sekuencës.

Diferenca e progresionit dhe shuma e tij

Shuma e një progresion është shuma e termave të tij. Për të llogaritur vlerën totale të elementeve të tij të parë j, përdorni formulën e duhur:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, por meqenëse a(j) = a(1) + d(j – 1), pastaj S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Një progresion aritmetik është një seri numrash në të cilët secili numër është më i madh (ose më i vogël) se ai i mëparshmi për të njëjtën sasi.

Kjo temë shpesh duket komplekse dhe e pakuptueshme. Indekset e shkronjave mandati i nëntë progresionet, ndryshimet e progresionit - e gjithë kjo është disi konfuze, po... Le të kuptojmë kuptimin e progresionit aritmetik dhe gjithçka do të përmirësohet menjëherë.)

Koncepti i progresionit aritmetik.

Progresioni aritmetik është një koncept shumë i thjeshtë dhe i qartë. A keni ndonjë dyshim? Më kot.) Shihni vetë.

Do të shkruaj një seri numrash të papërfunduar:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Mund ta zgjeroni këtë seri? Cilët numra do të vijnë më pas, pas pesëshit? Të gjithë... uh..., me pak fjalë, të gjithë do të kuptojnë se numrat 6, 7, 8, 9, etj. do të vijnë më pas.

Le ta komplikojmë detyrën. Unë ju jap një seri numrash të papërfunduar:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ju do të jeni në gjendje të kapni modelin, të zgjeroni serinë dhe emrin i shtati numri i rreshtit?

Nëse e keni kuptuar që ky numër është 20, urime! Jo vetëm që ndjeve Pikat kryesore progresion aritmetik, por edhe i përdori me sukses në biznes! Nëse nuk e keni kuptuar, lexoni më tej.

Tani le të përkthejmë pikat kryesore nga ndjesitë në matematikë.)

Pika e parë kyçe.

Progresioni aritmetik merret me seri numrash. Kjo është konfuze në fillim. Jemi mësuar të zgjidhim ekuacione, të vizatojmë grafikë e të gjitha këto... Por këtu zgjerojmë serinë, gjejmë numrin e serisë...

Është në rregull. Vetëm se progresionet janë njohja e parë me një degë të re të matematikës. Seksioni quhet "Seri" dhe punon në mënyrë specifike me seri numrash dhe shprehjesh. Mësohu me të.)

Pika e dytë kyçe.

Në një progresion aritmetik, çdo numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Në shembullin e parë, ky ndryshim është një. Çfarëdo numri që merrni, është një më shumë se ai i mëparshmi. Në të dytën - tre. Çdo numër është tre më shumë se ai i mëparshmi. Në fakt, është ky moment që na jep mundësinë të kuptojmë modelin dhe të llogarisim numrat pasues.

Pika e tretë kyçe.

Ky moment nuk bie në sy, po... Por është shumë, shumë i rëndësishëm. Këtu është ai: secili numri i progresionit qëndron në vendin e vet. Aty është numri i parë, është i shtati, është dyzet e pesta etj. Nëse i përzieni rastësisht, modeli do të zhduket. Progresioni aritmetik gjithashtu do të zhduket. Ajo që ka mbetur është vetëm një seri numrash.

Kjo është e gjithë çështja.

Sigurisht, në temë e re shfaqen terma dhe emërtime të reja. Ju duhet t'i njihni ato. Përndryshe nuk do ta kuptoni detyrën. Për shembull, do të duhet të vendosni diçka si:

Shkruani gjashtë termat e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2,5.

Frymëzuese?) Letrat, disa indekse... Dhe detyra, meqë ra fjala, nuk mund të ishte më e thjeshtë. Thjesht duhet të kuptoni kuptimin e termave dhe emërtimeve. Tani do ta zotërojmë këtë çështje dhe do t'i kthehemi detyrës.

Termat dhe emërtimet.

Progresioni aritmetikështë një seri numrash në të cilat secili numër është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.

Kjo sasi quhet . Le ta shohim këtë koncept në më shumë detaje.

Diferenca e progresionit aritmetik.

Diferenca e progresionit aritmetikështë shuma me të cilën çdo numër progresion më shumë e mëparshme.

Një pikë e rëndësishme. Ju lutemi kushtojini vëmendje fjalës "më shumë". Matematikisht, kjo do të thotë se çdo numër progresion është duke shtuar ndryshimi i progresionit aritmetik me numrin e mëparshëm.

Për të llogaritur, le të themi e dyta numrat e serisë, ju duhet të së pari numri shtoni pikërisht kjo diferencë e një progresion aritmetik. Për llogaritjen e pesta- dallimi është i nevojshëm shtoni te e katërta, mirë, etj.

Diferenca e progresionit aritmetik Ndoshta pozitive, atëherë çdo numër në seri do të dalë real më shumë se ai i mëparshmi. Ky progresion quhet në rritje. Për shembull:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Këtu merret çdo numër duke shtuar numër pozitiv, +5 nga ai i mëparshmi.

Dallimi mund të jetë negativ, atëherë çdo numër në seri do të jetë më pak se ai i mëparshmi. Ky përparim quhet (nuk do ta besoni!) në rënie.

Për shembull:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Këtu fitohet edhe çdo numër duke shtuar tek ai i mëparshmi, por tashmë numër negativ, -5.

Nga rruga, kur punoni me progresion, është shumë e dobishme të përcaktoni menjëherë natyrën e tij - nëse është në rritje apo në rënie. Kjo ndihmon shumë për të lundruar në vendim, për të dalluar gabimet tuaja dhe për t'i korrigjuar ato para se të jetë tepër vonë.

Diferenca e progresionit aritmetik zakonisht shënohet me shkronjë d.

Si të gjeni d? Shume e thjeshte. Është e nevojshme të zbritet nga çdo numër në seri e mëparshme numri. Zbrit. Nga rruga, rezultati i zbritjes quhet "ndryshim".)

Le të përcaktojmë, për shembull, d për rritjen e progresionit aritmetik:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Ne marrim çdo numër në serinë që duam, për shembull, 11. Ne zbresim prej tij numri i mëparshëm ato. 8:

Kjo është përgjigja e saktë. Për këtë progresion aritmetik, diferenca është tre.

Mund ta marrësh çdo numër progresi, sepse për një përparim specifik d-gjithmonë e njëjta. Të paktën diku në fillim të rreshtit, të paktën në mes, të paktën kudo. Nuk mund të marrësh vetëm numrin e parë. Thjesht sepse numri i parë asnjë i mëparshëm.)

Nga rruga, duke e ditur këtë d=3, gjetja e numrit të shtatë të këtij progresioni është shumë e thjeshtë. Le t'i shtojmë 3 numrit të pestë - marrim të gjashtën, do të jetë 17. Le të shtojmë tre në numrin e gjashtë, marrim numrin e shtatë - njëzet.

Le të përcaktojmë d për progresionin aritmetik zbritës:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ju kujtoj se, pavarësisht nga shenjat, për të përcaktuar d nevojiten nga çdo numër hiq atë të mëparshmen. Zgjidhni çdo numër progresioni, për shembull -7. Numri i tij i mëparshëm është -2. Pastaj:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Dallimi i një progresion aritmetik mund të jetë çdo numër: numër i plotë, thyesor, irracional, çdo numër.

Terma dhe emërtime të tjera.

Çdo numër në seri quhet pjesëtar i një progresion aritmetik.

Secili anëtar i progresionit ka numrin e vet. Numrat janë rreptësisht në rregull, pa asnjë mashtrim. E para, e dyta, e treta, e katërta etj. Për shembull, në progresionin 2, 5, 8, 11, 14, ... dy është termi i parë, pesë është i dyti, njëmbëdhjetë është i katërti, mirë, e kuptoni ...) Ju lutem kuptoni qartë - vetë numrat mund të jetë absolutisht çdo gjë, e tërë, e pjesshme, negative, çfarëdo qoftë, por numërimi i numrave- rreptësisht në rregull!

Si të shkruani një progresion në pamje e përgjithshme? Nuk ka problem! Çdo numër në një seri shkruhet si një shkronjë. Për të treguar një progresion aritmetik, zakonisht përdoret shkronja a. Numri i anëtarit tregohet nga një indeks në fund djathtas. Ne shkruajmë terma të ndarë me presje (ose pikëpresje), si kjo:

një 1, një 2, një 3, një 4, një 5, .....

a 1- ky është numri i parë, a 3- e treta, etj. Asgjë e zbukuruar. Kjo seri mund të shkruhet shkurtimisht si kjo: (a n).

Përparimet ndodhin të fundme dhe të pafundme.

Ultimate progresion ka sasi e kufizuar anëtarët. Pesë, tridhjetë e tetë, çfarëdo. Por është një numër i kufizuar.

E pafundme progresion - ka numër i pafund anëtarët, siç mund ta merrni me mend.)

Shkruani progresion i kufizuar ju mund të kaloni nëpër një seri si kjo, të gjitha termat dhe një pikë në fund:

një 1, një 2, një 3, një 4, një 5.

Ose si kjo, nëse ka shumë anëtarë:

një 1, një 2, ... një 14, një 15.

NË shënim i shkurtër ju do të duhet të tregoni gjithashtu numrin e anëtarëve. Për shembull (për njëzet anëtarë), si kjo:

(a n), n = 20

Një progresion i pafund mund të njihet nga elipsa në fund të rreshtit, si në shembujt në këtë mësim.

Tani mund të zgjidhni detyrat. Detyrat janë të thjeshta, thjesht për të kuptuar kuptimin e një progresion aritmetik.

Shembuj detyrash mbi progresionin aritmetik.

Le të shohim në detaje detyrën e dhënë më lart:

1. Shkruani gjashtë termat e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 2 = 5, d = -2,5.

Ne e transferojmë detyrën në gjuhë e qartë. Jepet një progresion aritmetik i pafund. Numri i dytë i këtij progresi është i njohur: a 2 = 5. Dallimi i progresionit është i njohur: d = -2,5. Ne duhet të gjejmë termat e parë, të tretë, të katërt, të pestë dhe të gjashtë të këtij progresi.

Për qartësi, do të shkruaj një seri sipas kushteve të problemit. Gjashtë termat e parë, ku mandati i dytë është pesë:

një 1, 5, një 3, një 4, një 5, një 6, ....

a 3 = a 2 + d

Zëvendësoni në shprehje a 2 = 5 Dhe d = -2,5. Mos harroni për minusin!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Termi i tretë doli të ishte më i vogël se i dyti. Gjithçka është logjike. Nëse numri është më i madh se ai i mëparshmi negativ vlera, që do të thotë se vetë numri do të jetë më i vogël se ai i mëparshmi. Progresi është në rënie. Mirë, le ta marrim parasysh.) Ne numërojmë termin e katërt të serisë sonë:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Pra, u llogaritën termat nga e treta në të gjashtin. Rezultati është seria e mëposhtme:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Mbetet për të gjetur termin e parë a 1 Nga e dyta e famshme. Ky është një hap në drejtimin tjetër, në të majtë.) Pra, diferenca e progresionit aritmetik d nuk duhet shtuar në a 2, A heq:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Kjo eshte. Përgjigja e detyrës:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Në kalim, dua të vërej se ne e zgjidhëm këtë detyrë të përsëritura mënyrë. Kjo fjalë e frikshme thjesht do të thotë kërkimi i një anëtari të progresionit sipas numrit të mëparshëm (të ngjitur). Më poshtë do të shqyrtojmë mënyra të tjera për të punuar me progresion.

Një përfundim i rëndësishëm mund të nxirret nga kjo detyrë e thjeshtë.

Mbani mend:

Nëse njohim të paktën një term dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjejmë çdo term të këtij progresioni.

Të kujtohet? Ky përfundim i thjeshtë ju lejon të zgjidhni shumicën e problemeve kursi shkollor në këtë temë. Të gjitha detyrat rrotullohen tre kryesore parametrat: anëtar i një progresion aritmetik, ndryshim i një progresion, numri i një anëtari të progresionit. Të gjitha.

Natyrisht, e gjithë algjebra e mëparshme nuk është anuluar.) Pabarazitë, ekuacionet dhe gjëra të tjera i bashkëngjiten progresionit. Por sipas vetë progresionit- gjithçka rrotullohet rreth tre parametrave.

Si shembull, le të shohim disa detyra të njohura në këtë temë.

2. Shkruani progresionin e fundëm aritmetik si seri nëse n=5, d = 0,4 dhe a 1 = 3,6.

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Gjithçka tashmë është dhënë. Duhet të mbani mend se si numërohen anëtarët e një progresion aritmetik, t'i numëroni dhe t'i shkruani. Këshillohet të mos humbisni fjalët në kushtet e detyrës: "përfundimtar" dhe " n=5". Për të mos llogaritur derisa të jeni plotësisht blu në fytyrë.) Ka vetëm 5 (pesë) anëtarë në këtë progresion:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Mbetet për të shkruar përgjigjen:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Një detyrë tjetër:

3. Përcaktoni nëse numri 7 do të jetë anëtar i progresionit aritmetik (a n), nëse a 1 = 4.1; d = 1.2.

Hmm... Kush e di? Si të përcaktoni diçka?

Si-si... Shkruani progresionin në formën e një serie dhe shikoni nëse do të ketë një shtatë atje apo jo! Ne numërojmë:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Tani është qartë e dukshme që jemi vetëm shtatë rrëshqiti midis 6.5 dhe 7.7! Shtatë nuk hynë në serinë tonë të numrave, dhe, për rrjedhojë, shtatë nuk do të jenë anëtare të progresionit të dhënë.

Përgjigje: jo.

Këtu është një problem i bazuar në opsion real GIA:

4. Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:

...; 15; X; 9; 6; ...

Këtu është një seri e shkruar pa fund dhe fillim. Asnjë numër anëtarësh, asnjë ndryshim d. Është në rregull. Për të zgjidhur problemin, mjafton të kuptojmë kuptimin e një progresion aritmetik. Le të shohim dhe të shohim se çfarë është e mundur të dish nga ky serial? Cilët janë tre parametrat kryesorë?

Numrat e anëtarëve? Këtu nuk ka asnjë numër të vetëm.

Por ka tre numra dhe - vëmendje! - fjalë "konsistente" ne gjendje. Kjo do të thotë se numrat janë rreptësisht në rregull, pa boshllëqe. A janë dy në këtë rresht? fqinje numrat e njohur? Po, kam! Këto janë 9 dhe 6. Prandaj, ne mund të llogarisim diferencën e progresionit aritmetik! Zbrit nga gjashtë e mëparshme numri, d.m.th. nëntë:

Kanë mbetur thjesht gjëra të vogla. Cili do të jetë numri i mëparshëm për X? Pesëmbëdhjetë. Kjo do të thotë se X mund të gjendet lehtësisht shtim i thjeshtë. Shto ndryshimin e progresionit aritmetik në 15:

Kjo eshte e gjitha. Përgjigje: x=12

Ne i zgjidhim vetë problemet e mëposhtme. Shënim: këto probleme nuk bazohen në formula. Thjesht për të kuptuar kuptimin e një progresioni aritmetik.) Thjesht shkruajmë një seri numrash dhe shkronjash, shikojmë dhe kuptojmë.

5. Gjeni termin e parë pozitiv të progresionit aritmetik nëse a 5 = -3; d = 1.1.

6. Dihet se numri 5,5 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 = 1,6; d = 1.3. Përcaktoni numrin n të këtij anëtari.

7. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 4; a 5 = 15.1. Gjeni një 3.

8. Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Gjeni termin e progresionit të treguar me shkronjën x.

9. Treni filloi të lëvizte nga stacioni, duke rritur në mënyrë uniforme shpejtësinë me 30 metra në minutë. Sa do të jetë shpejtësia e trenit pas pesë minutash? Jepni përgjigjen tuaj në km/orë.

10. Dihet se në progresionin aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Gjeni një 1.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Gjithçka funksionoi? E mahnitshme! Ju mund të zotëroni përparimin aritmetik në një nivel më të lartë në mësimet e mëposhtme.

A nuk funksionoi gjithçka? Nuk ka problem. Në Seksionin Special 555, të gjitha këto probleme zgjidhen pjesë-pjesë.) Dhe, natyrisht, përshkruhet një teknikë e thjeshtë praktike që nxjerr menjëherë në pah zgjidhjen e detyrave të tilla qartë, qartë, me një shikim!

Nga rruga, në enigmën e trenit ka dy probleme që njerëzit shpesh pengohen. Njëra është thjesht në aspektin e progresionit, dhe e dyta është e përgjithshme për çdo problem në matematikë dhe fizikë gjithashtu. Ky është një përkthim i dimensioneve nga njëri në tjetrin. Ajo tregon se si duhet të zgjidhen këto probleme.

Në këtë mësim ne shikuam kuptimin elementar të një progresion aritmetik dhe parametrat kryesorë të tij. Kjo është e mjaftueshme për të zgjidhur pothuajse të gjitha problemet në këtë temë. Shtoni d për numrat, shkruani një seri, gjithçka do të zgjidhet.

Zgjidhja e gishtave funksionon mirë për pjesë shumë të shkurtra të një rreshti, si në shembujt në këtë mësim. Nëse seria është më e gjatë, llogaritjet bëhen më të ndërlikuara. Për shembull, nëse në problemin 9 në pyetje zëvendësojmë "pesë minuta" në "tridhjetë e pesë minuta" problemi do të përkeqësohet ndjeshëm.)

Dhe ka edhe detyra që janë të thjeshta në thelb, por absurde për sa i përket llogaritjeve, për shembull:

Është dhënë një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 =3 dhe d=1/6.

Po çfarë, a do të shtojmë 1/6 shumë e shumë herë?! Mund të vrasësh veten!?

Ju mundeni.) Nëse nuk e dini formulë e thjeshtë, e cila ju lejon të zgjidhni detyra të tilla në një minutë. Kjo formulë do të jetë në mësimin e ardhshëm. Dhe ky problem zgjidhet atje. Ne nje minut.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Epo, miq, nëse po e lexoni këtë tekst, atëherë kapaku i brendshëm më thotë se ju nuk e dini ende se çfarë është një progresion aritmetik, por vërtet (jo, si kjo: SHUMË!) dëshironi të dini. Prandaj, nuk do t'ju mundoj me prezantime të gjata dhe do të shkoj direkt në temë.

Së pari, disa shembuj. Le të shohim disa grupe numrash:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Çfarë kanë të përbashkët të gjitha këto grupe? Në pamje të parë, asgjë. Por në fakt ka diçka. Gjegjësisht: çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër.

Gjykojeni vetë. Seti i parë është thjesht numra të njëpasnjëshëm, secili tjetër është një më shumë se ai i mëparshmi. Në rastin e dytë, ndryshimi midis serisë numrat në këmbë tashmë është e barabartë me pesë, por ky ndryshim është ende konstant. Në rastin e tretë, ka rrënjë krejtësisht. Megjithatë, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dhe $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.m.th. dhe në këtë rast, çdo element tjetër thjesht rritet me $\sqrt(2)$ (dhe mos kini frikë se ky numër është irracional).

Pra: të gjitha sekuencat e tilla quhen progresione aritmetike. Le të japim një përkufizim të rreptë:

Përkufizimi. Një sekuencë numrash në të cilat secili tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me saktësisht të njëjtën sasi quhet progresion aritmetik. Vetë shuma me të cilën ndryshojnë numrat quhet ndryshim i progresionit dhe më së shpeshti shënohet me shkronjën $d$.

Shënim: $\left(((a)_(n)) \djathtas)$ është vetë progresioni, $d$ është ndryshimi i tij.

Dhe një çift në të njëjtën kohë komente të rëndësishme. Së pari, progresi merret parasysh vetëm porositur sekuenca e numrave: ato lejohen të lexohen në mënyrë rigoroze sipas rendit në të cilin janë shkruar - dhe asgjë tjetër. Numrat nuk mund të riorganizohen ose të ndërrohen.

Së dyti, sekuenca në vetvete mund të jetë ose e fundme ose e pafundme. Për shembull, grupi (1; 2; 3) është padyshim një progresion aritmetik i fundëm. Por nëse shkruani diçka në shpirt (1; 2; 3; 4; ...) - kjo është tashmë përparim i pafund. Elipsi pas të katërt duket se lë të kuptohet se ka edhe shumë numra të tjerë për të ardhur. Pafundësisht shumë, për shembull.

Do të doja gjithashtu të vërej se përparimet mund të jenë në rritje ose në rënie. Ne kemi parë tashmë ato në rritje - të njëjtin grup (1; 2; 3; 4; ...). Këtu janë shembuj të progresioneve në rënie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

NË RREGULL, NË RREGULL: shembulli i fundit mund të duket tepër e ndërlikuar. Por pjesa tjetër, mendoj, e kuptoni. Prandaj, ne prezantojmë përkufizime të reja:

Përkufizimi. Një progresion aritmetik quhet:

1. duke u rritur nëse çdo element tjetër është më i madh se ai i mëparshmi;
2. duke u ulur nëse, përkundrazi, çdo element pasues është më i vogël se ai i mëparshmi.

Për më tepër, ekzistojnë të ashtuquajturat sekuenca "stacionare" - ato përbëhen nga i njëjti numër përsëritës. Për shembull, (3; 3; 3; ...).

Mbetet vetëm një pyetje: si të dallojmë një progresion në rritje nga një në rënie? Për fat të mirë, gjithçka këtu varet vetëm nga shenja e numrit $d$, d.m.th. Dallimet e progresionit:

1. Nëse $d \gt 0$, atëherë progresioni rritet;
2. Nëse $d \lt 0$, atëherë progresioni është dukshëm në rënie;
3. Së fundi, ekziston rasti $d=0$ - në këtë rast i gjithë progresioni reduktohet në një sekuencë të palëvizshme numra të njëjtë: (1; 1; 1; 1; ...), etj.

Le të përpiqemi të llogarisim ndryshimin $d$ për tre progresionet në rënie të dhëna më sipër. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh dy elementë ngjitur (për shembull, i pari dhe i dyti) dhe të zbresësh numrin në të majtë nga numri në të djathtë. Do të duket kështu:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Siç e shohim, në të gjitha tre raste ndryshimi në fakt doli negativ. Dhe tani që pak a shumë i kemi kuptuar përkufizimet, është koha të kuptojmë se si përshkruhen progresionet dhe cilat veçori kanë ato.

Termat e progresionit dhe formula e përsëritjes

Meqenëse elementët e sekuencave tona nuk mund të ndërrohen, ato mund të numërohen:

\[\majtas(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \djathtas\)\]

Elementet individuale të këtij grupi quhen anëtarë të një progresion. Ato tregohen me një numër: anëtari i parë, anëtari i dytë, etj.

Për më tepër, siç e dimë tashmë, termat fqinjë të progresionit lidhen me formulën:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Djathtas ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Shkurtimisht, për të gjetur termin $n$th të një progresioni, duhet të dini termin $n-1$th dhe ndryshimin $d$. Kjo formulë quhet e përsëritur, sepse me ndihmën e saj mund të gjeni çdo numër vetëm duke ditur atë të mëparshmin (dhe në fakt, të gjithë të mëparshmit). Kjo është shumë e papërshtatshme, kështu që ekziston një formulë më dinake që redukton çdo llogaritje në termin e parë dhe ndryshimin:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d\]

Ju ndoshta keni hasur tashmë në këtë formulë. Ata pëlqejnë ta japin atë në të gjitha llojet e librave referencë dhe librave me probleme. Dhe në çdo tekst të arsyeshëm të matematikës është një nga të parët.

Megjithatë, ju sugjeroj të praktikoni pak.

Detyra nr. 1. Shkruani tre termat e parë të progresionit aritmetik $\left((a)_(n)) \djathtas)$ nëse $((a)_(1))=8,d=-5$.

Zgjidhje. Pra, ne e dimë termin e parë $((a)_(1))=8$ dhe ndryshimin e progresionit $d=-5$. Le të përdorim formulën e sapo dhënë dhe të zëvendësojmë $n=1$, $n=2$ dhe $n=3$:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d; \\ & ((a)_(1))=(a)_(1))+\majtas(1-1 \djathtas)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\majtas(2-1 \djathtas)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+\majtas(3-1 \djathtas)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: (8; 3; −2)

Kjo eshte e gjitha! Ju lutemi vini re: progresi ynë është në rënie.

Natyrisht, $n=1$ nuk mund të zëvendësohej - termi i parë tashmë është i njohur për ne. Megjithatë, duke zëvendësuar unitetin, ne u bindëm se edhe për mandatin e parë formula jonë funksionon. Në raste të tjera, gjithçka zbriste në aritmetikë banale.

Detyra nr. 2. Shkruani tre termat e parë të një progresion aritmetik nëse mandati i shtatë është i barabartë me -40 dhe ai i shtatëmbëdhjetë është i barabartë me -50.

Zgjidhje. Le të shkruajmë kushtin e problemit në terma të njohur:

\[((a)_(7))=-40;\katër ((a)_(17))=-50.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \fund (radhis) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \fund (radhis) \drejtë.\]

Unë vendos shenjën e sistemit sepse këto kërkesa duhet të plotësohen njëkohësisht. Tani le të vërejmë se nëse e zbresim të parën nga ekuacioni i dytë (ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë, pasi kemi një sistem), marrim këtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))+16d-\majtas(((a)_(1))+6d \djathtas)=-50-\majtas(-40 \djathtas); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fund (radhis)\]

Ja sa e lehtë është të gjesh ndryshimin e progresionit! Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë numrin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Për shembull, në të parën:

\[\fillimi(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Poshtë \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fund (matricë)\]

Tani, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, mbetet të gjejmë termat e dytë dhe të tretë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=(a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fund (radhis)\]

Gati! Problemi është zgjidhur.

Përgjigje: (−34; −35; −36)

Vini re vetinë interesante të progresionit që zbuluam: nëse marrim termat $n$th dhe $m$th dhe i zbresim nga njëri-tjetri, marrim diferencën e progresionit të shumëzuar me numrin $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \majtas(n-m \djathtas)\]

E thjeshtë por shumë veti e dobishme, të cilën patjetër duhet ta dini - me ndihmën e saj mund të shpejtoni ndjeshëm zgjidhjen e shumë problemeve të përparimit. Këtu është një shembull i qartë i kësaj:

Detyra nr. 3. Termi i pestë i një progresion aritmetik është 8.4, dhe termi i dhjetë i tij është 14.4. Gjeni termin e pesëmbëdhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje. Meqenëse $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ dhe ne duhet të gjejmë $((a)_(15))$, shënojmë sa vijon:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fund (radhis)\]

Por sipas kushtit $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, pra $5d=6$, nga e cila kemi:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: 20.4

Kjo eshte e gjitha! Ne nuk kishim nevojë të krijonim asnjë sistem ekuacioni dhe të llogarisnim termin e parë dhe ndryshimin - gjithçka u zgjidh në vetëm disa rreshta.

Tani le të shohim një lloj tjetër problemi - kërkimi i termave negativë dhe pozitivë të një progresi. Nuk është sekret që nëse një progresion rritet, dhe termi i tij i parë është negativ, atëherë herët a vonë termat pozitivë do të shfaqen në të. Dhe anasjelltas: kushtet e një progresi në rënie herët a vonë do të bëhen negative.

Në të njëjtën kohë, nuk është gjithmonë e mundur të gjesh këtë moment "përballë" duke kaluar në mënyrë sekuenciale nëpër elementë. Shpesh, problemet shkruhen në atë mënyrë që pa i ditur formulat, llogaritjet do të merrnin disa fletë letre - thjesht do të bieshim në gjumë ndërsa gjenim përgjigjen. Prandaj, le të përpiqemi t'i zgjidhim këto probleme në një mënyrë më të shpejtë.

Detyra nr 4. Sa terma negativë ka në progresionin aritmetik −38,5; −35,8; ...?

Zgjidhje. Pra, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, nga ku gjejmë menjëherë ndryshimin:

Vini re se ndryshimi është pozitiv, kështu që përparimi rritet. Termi i parë është negativ, kështu që në një moment do të ngecim te numrat pozitivë. Pyetja e vetme është se kur do të ndodhë kjo.

Le të përpiqemi të zbulojmë: deri kur (d.m.th. deri në çfarë numri natyror$n$) negativiteti i termave është ruajtur:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n)) \lt 0\Djathtas shigjetë ((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d \lt 0; \\ & -38.5+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 2.7 \lt 0;\katër \majtas| \cdot 10 \djathtas. \\ & -385+27\cdot \majtas(n-1 \djathtas) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Djathtas ((n)_(\maks))=15. \\ \fund (radhis)\]

Rreshti i fundit kërkon një shpjegim. Pra, ne e dimë se $n \lt 15\frac(7)(27)$. Nga ana tjetër, ne jemi të kënaqur vetëm me vlerat e plota të numrit (për më tepër: $n\in \mathbb(N)$), kështu që numri më i madh i lejuar është saktësisht $n=15$, dhe në asnjë rast 16 .

Detyra nr 5. Në progresionin aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Gjeni numrin e termit të parë pozitiv të këtij progresioni.

Ky do të ishte saktësisht i njëjti problem si ai i mëparshmi, por ne nuk e dimë $((a)_(1))$. Por termat fqinjë janë të njohur: $((a)_(5))$ dhe $((a)_(6))$, kështu që ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

Për më tepër, le të përpiqemi të shprehim termin e pestë përmes të parës dhe ndryshimin duke përdorur formulën standarde:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=(a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpika 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fund (radhis)\]

Tani ne vazhdojmë në analogji me detyrë e mëparshme. Le të zbulojmë se në cilën pikë të sekuencës sonë do të shfaqen numrat pozitivë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=-162+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Djathtas ((n)_(\min ))=56. \\ \fund (radhis)\]

Zgjidhja minimale e numrit të plotë të kësaj pabarazie- numri 56.

Ju lutemi vini re: në detyrën e fundit gjithçka erdhi deri te pabarazi e rreptë, kështu që opsioni $n=55$ nuk do të na përshtatet.

Tani që kemi mësuar se si të zgjidhim probleme të thjeshta, le të kalojmë në ato më komplekse. Por së pari, le të studiojmë një veçori tjetër shumë të dobishme të progresioneve aritmetike, e cila do të na kursejë shumë kohë dhe qeliza të pabarabarta në të ardhmen.

Mesatarja aritmetike dhe dhëmbëzimi i barabartë

Le të shqyrtojmë disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik në rritje $\left(((a)_(n)) \right)$. Le të përpiqemi t'i shënojmë ato në vijën numerike:

Kam shënuar në mënyrë specifike terma arbitrare $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dhe jo disa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etj. Sepse rregulli për të cilin do t'ju tregoj tani funksionon njësoj për çdo "segment".

Dhe rregulli është shumë i thjeshtë. Le të kujtojmë formulën e përsëritur dhe ta shkruajmë atë për të gjithë termat e shënuar:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fund (radhis)\]

Megjithatë, këto barazi mund të rishkruhen ndryshe:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=(a)_(n))+3d; \\ \fund (radhis)\]

Epo, çfarë? Dhe fakti që termat $((a)_(n-1))$ dhe $((a)_(n+1))$ qëndrojnë në të njëjtën distancë nga $((a)_(n)) $ . Dhe kjo distancë është e barabartë me $d$. E njëjta gjë mund të thuhet për termat $((a)_(n-2))$ dhe $((a)_(n+2))$ - ato janë hequr gjithashtu nga $((a)_(n) )$ në të njëjtën distancë të barabartë me $2d$. Mund të vazhdojmë pafundësisht, por kuptimi ilustrohet mirë nga fotografia

Çfarë do të thotë kjo për ne? Kjo do të thotë se $((a)_(n))$ mund të gjendet nëse numrat fqinjë janë të njohur:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne kemi nxjerrë një pohim të shkëlqyer: çdo term i një progresion aritmetik është i barabartë me mesataren aritmetike të termave fqinjë të tij! Për më tepër: ne mund të tërhiqemi nga $((a)_(n))$-ja jonë majtas dhe djathtas jo me një hap, por me hapa $k$ - dhe formula do të jetë ende e saktë:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ato. ne mund të gjejmë lehtësisht disa $((a)_(150))$ nëse dimë $((a)_(100))$ dhe $((a)_(200))$, sepse $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Në pamje të parë, mund të duket se ky fakt nuk na jep asgjë të dobishme. Megjithatë, në praktikë, shumë probleme janë përshtatur posaçërisht për të përdorur mesataren aritmetike. Hidhi nje sy:

Detyra nr. 6. Gjeni të gjitha vlerat e $x$ për të cilat numrat $-6((x)^(2))$, $x+1$ dhe $14+4((x)^(2))$ janë terma të njëpasnjëshëm të një progresion aritmetik (në rendin e treguar).

Zgjidhje. Sepse numrat e specifikuar janë anëtarë të progresionit, kushti mesatar aritmetik është i plotësuar për ta: element qendror$x+1$ mund të shprehet në terma të elementëve fqinjë:

\[\filloj(rreshtoj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fund (radhis)\]

Doli klasik ekuacioni kuadratik. Rrënjët e tij: $x=2$ dhe $x=-3$ janë përgjigjet.

Përgjigje: −3; 2.

Detyra nr 7. Gjeni vlerat e $$ për të cilat numrat $-1;4-3;(()^(2))+1$ formojnë një progresion aritmetik (në atë renditje).

Zgjidhje. Le të shprehim përsëri termin e mesëm përmes mesatares aritmetike të termave fqinjë:

\[\fillim(lidhoj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\katër \majtas| \cdot 2 \djathtas.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fund (radhis)\]

Përsëri ekuacion kuadratik. Dhe përsëri ka dy rrënjë: $x=6$ dhe $x=1$.

Përgjigje: 1; 6.

Nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi dilni me disa numra brutalë, ose nuk jeni plotësisht të sigurt për saktësinë e përgjigjeve të gjetura, atëherë ekziston një teknikë e mrekullueshme që ju lejon të kontrolloni: a e kemi zgjidhur problemin saktë?

Le të themi në problemin nr. 6 morëm përgjigjet −3 dhe 2. Si mund të kontrollojmë që këto përgjigje janë të sakta? Le t'i lidhim ato në gjendjen origjinale dhe të shohim se çfarë ndodh. Më lejoni t'ju kujtoj se kemi tre numra ($-6(()^(2))$, $+1$ dhe $14+4(()^(2))$), të cilët duhet të formojnë një progresion aritmetik. Le të zëvendësojmë $x=-3$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=-3\Djathtas \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fund (radhis)\]

Morëm numrat −54; −2; 50 që ndryshojnë me 52 është padyshim një progresion aritmetik. E njëjta gjë ndodh për $x=2$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=2\Djathtas shigjetë \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fund (radhis)\]

Përsëri një progresion, por me një diferencë prej 27. Kështu, problemi u zgjidh saktë. Ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë vetë problemin e dytë, por unë do të them menjëherë: gjithçka është e saktë edhe atje.

Në përgjithësi, duke vendosur detyrat e fundit, hasëm një tjetër fakt interesant, e cila gjithashtu duhet të mbahet mend:

Nëse tre numra janë të tillë që i dyti është mesi aritmetika së pari dhe së fundi, atëherë këta numra formojnë një progresion aritmetik.

Në të ardhmen, të kuptuarit e kësaj deklarate do të na lejojë të "dizajnojmë" fjalë për fjalë progresionet e nevojshme, bazuar në kushtet e problemit. Por, përpara se të përfshihemi në një "ndërtim" të tillë, duhet t'i kushtojmë vëmendje një fakti tjetër, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga ajo që tashmë është diskutuar.

Grupimi dhe përmbledhja e elementeve

Le të kthehemi në boshti numerik. Le të vërejmë atje disa anëtarë të progresionit, midis të cilëve, ndoshta. vlen për shumë anëtarë të tjerë:

Le të përpiqemi të shprehim "bishtin e majtë" përmes $((a)_(n))$ dhe $d$, dhe "bishtin e djathtë" përmes $((a)_(k))$ dhe $d$. Është shumë e thjeshtë:

\[\fillo(radhis) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fund (radhis)\]

Tani vini re se shumat e mëposhtme janë të barabarta:

\[\fillim(radhis) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fund (radhis)\]

E thënë thjesht, nëse konsiderojmë si fillim dy elementë të progresionit, të cilët në total janë të barabartë me një numër $S$, dhe më pas fillojmë të kalojmë nga këta elementë në anët e kundërta(në drejtim të njëri-tjetrit ose anasjelltas për t'u larguar), pastaj do të jenë të barabarta edhe shumat e elementeve mbi të cilat do të pengohemi$S$. Kjo mund të paraqitet më qartë grafikisht:

Kuptimi ky fakt do të na lejojë të zgjidhim problemet në një thelb më shumë nivel të lartë vështirësi nga ato që kemi konsideruar më lart. Për shembull, këto:

Detyra nr 8. Përcaktoni ndryshimin e një progresioni aritmetik në të cilin termi i parë është 66, dhe prodhimi i termit të dytë dhe të dymbëdhjetë është më i vogli i mundshëm.

Zgjidhje. Le të shkruajmë gjithçka që dimë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \fund (radhis)\]

Pra, ne nuk e dimë ndryshimin e progresionit $d$. Në fakt, e gjithë zgjidhja do të ndërtohet rreth diferencës, pasi produkti $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))=(a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=(a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\majtas(66+d \djathtas)\cdot \majtas(66+11d \djathtas)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \djathtas)\cdot \left(d+6 \djathtas). \fund (radhis)\]

Për ata në tank: E nxora shumëzues i përbashkët 11 nga kllapa e dytë. Kështu, produkti i kërkuar është një funksion kuadratik në lidhje me variablin $d$. Prandaj, merrni parasysh funksionin $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiku i tij do të jetë një parabolë me degë lart, sepse nëse zgjerojmë kllapat, marrim:

\[\fillim(rreshtoj) & f\left(d \djathtas)=11\majtas(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \djathtas)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpika 72d+11\cpika 66\cpika 6 \fund(radhis)\]

Siç mund ta shihni, koeficienti i termit më të lartë është 11 - ky është një numër pozitiv, kështu që vërtet kemi të bëjmë me një parabolë me degë lart:

orarin funksion kuadratik- parabolë

Shënim: vlerë minimale kjo parabolë merr $((d)_(0))$ në kulmin e saj me abshisë. Natyrisht, ne mund ta llogarisim këtë abshisë duke përdorur skemën standarde (ekziston formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), por do të ishte shumë më e arsyeshme të shënohet se kulmi i dëshiruar shtrihet në simetrinë e boshtit të parabolës, prandaj pika $((d)_(0))$ është e barabartë nga rrënjët e ekuacionit $f\left(d \right)=0$:

\[\fillim(rreshtoj) & f\majtas(d \djathtas)=0; \\ & 11\cdot \majtas(d+66 \djathtas)\cdot \majtas(d+6 \djathtas)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\katër ((d)_(2))=-6. \\ \fund (radhis)\]

Kjo është arsyeja pse nuk nxitova të hapja kllapat: në formën e tyre origjinale, rrënjët ishin shumë, shumë të lehta për t'u gjetur. Prandaj, abshisa është e barabartë me mesataren numrat aritmetikë−66 dhe −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Çfarë na jep numri i zbuluar? Me të, produkti i kërkuar merr vlera më e vogël(nga rruga, ne kurrë nuk kemi llogaritur $((y)_(\min ))$ - kjo nuk kërkohet nga ne). Në të njëjtën kohë, ky numër është diferenca e progresionit origjinal, d.m.th. gjetëm përgjigjen. :)

Përgjigje: -36

Detyra nr. 9. Ndërmjet numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac(1)(6)$ futni tre numra në mënyrë që së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

Zgjidhje. Në thelb, ne duhet të bëjmë një sekuencë prej pesë numrash, me të parën dhe numri i fundit tashmë dihet. Le të shënojmë numrat që mungojnë me variablat $x$, $y$ dhe $z$:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \djathtas\ )\]

Vini re se numri $y$ është "mesi" i sekuencës sonë - është i barabartë nga numrat $x$ dhe $z$, dhe nga numrat $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac (1)(6)$. Dhe nëse nga numrat $x$ dhe $z$ jemi në ky moment ne nuk mund të marrim $y$, atëherë situata është e ndryshme me skajet e progresionit. Le të kujtojmë mesataren aritmetike:

Tani, duke ditur $y$, do të gjejmë numrat e mbetur. Vini re se $x$ ndodhet midis numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $y=-\frac(1)(3)$ që sapo gjetëm. Kjo është arsyeja pse

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, gjejmë numrin e mbetur:

Gati! I gjetëm të tre numrat. Le t'i shkruajmë në përgjigje sipas radhës në të cilën duhet të futen midis numrave origjinalë.

Përgjigje: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Detyra nr 10. Ndërmjet numrave 2 dhe 42, vendosni disa numra që së bashku me këta numra formojnë një progresion aritmetik, nëse e dini se shuma e numrave të parë, të dytë dhe të fundit është 56.

Zgjidhje. Edhe me shume detyrë e vështirë, e cila, megjithatë, zgjidhet sipas të njëjtës skemë si ato të mëparshme - përmes mesatares aritmetike. Problemi është se ne nuk e dimë saktësisht se sa numra duhet të futen. Prandaj, le të supozojmë me saktësi se pas futjes së gjithçkaje do të ketë saktësisht numra $n$, dhe i pari prej tyre është 2, dhe i fundit është 42. Në këtë rast, progresioni i kërkuar aritmetik mund të paraqitet në formën:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \djathtas\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

Megjithatë, vini re se numrat $((a)_(2))$ dhe $((a)_(n-1))$ janë marrë nga numrat 2 dhe 42 në skajet me një hap drejt njëri-tjetrit, dmth. në qendër të sekuencës. Dhe kjo do të thotë se

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Por atëherë shprehja e shkruar më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \djathtas)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fund (radhis)\]

Duke ditur $((a)_(3))$ dhe $((a)_(1))$, ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\majtas(3-1 \djathtas)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Djathtas shigjetë d=5. \\ \fund (radhis)\]

Gjithçka që mbetet është të gjesh kushtet e mbetura:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpika 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpika 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpika 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpika 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpika 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpika 5=42; \\ \fund (radhis)\]

Kështu, tashmë në hapin e 9-të do të arrijmë në skajin e majtë të sekuencës - numrin 42. Gjithsej duheshin futur vetëm 7 numra: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Përgjigje: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme me fjalë me përparime

Si përfundim, do të doja të konsideroja disa relativisht detyra të thjeshta. Epo, kaq e thjeshtë: për shumicën e studentëve që studiojnë matematikë në shkollë dhe nuk kanë lexuar atë që është shkruar më lart, këto probleme mund të duken të vështira. Sidoqoftë, këto janë llojet e problemeve që shfaqen në OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, kështu që ju rekomandoj që të njiheni me to.

Detyra nr. 11. Ekipi prodhoi 62 pjesë në janar, dhe në çdo muaj pasardhës ata prodhoi 14 pjesë më shumë se në muajin e kaluar. Sa pjesë prodhoi ekipi në nëntor?

Zgjidhje. Natyrisht, numri i pjesëve të renditura sipas muajve do të përfaqësojë një progresion aritmetik në rritje. Për më tepër:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=62;\katër d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 14. \\ \fund (rreshtoj)\]

Nëntori është muaji i 11-të i vitit, kështu që ne duhet të gjejmë $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpika 14=202\]

Prandaj, 202 pjesë do të prodhohen në nëntor.

Detyra nr. 12. Punëtoria e libërlidhjes ka lidhur 216 libra në janar dhe në çdo muaj pasardhës ka lidhur 4 libra më shumë se në atë të mëparshëm. Sa libra lidhi seminari në dhjetor?

Zgjidhje. Te gjitha njesoj:

$\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 4. \\ \fund (rreshtoj)$

Dhjetori është muaji i fundit, i 12-të i vitit, kështu që ne po kërkojmë për $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Kjo është përgjigja - 260 libra do të lidhen në dhjetor.

Epo, nëse keni lexuar deri këtu, unë nxitoj t'ju përgëzoj: ju keni përfunduar me sukses "kursin e luftëtarëve të rinj" në përparimet aritmetike. Ju mund të kaloni me siguri në mësimin tjetër, ku do të studiojmë formulën për shumën e progresionit, si dhe të rëndësishme dhe shumë pasoja të dobishme prej saj.