Stinët

Shtëpi Vendet e botës Nëse për çdo numër natyror n përputhen me një numër real a n :

, pastaj thonë se është dhënë 1 , , pastaj thonë se është dhënë 2 , , pastaj thonë se është dhënë 3 , . . . , sekuenca e numrave , . . . .

a a n Pra,

sekuenca e numrave , pastaj thonë se është dhënë 1 - funksioni i argumentit natyror. Numri thirrur , pastaj thonë se është dhënë 2 — termi i parë i sekuencës , numri , pastaj thonë se është dhënë 3 — termi i dytë i sekuencës , numri n - funksioni i argumentit natyror. e treta e kështu me radhë. Numri mandati i nëntë sekuencat — , dhe një numër natyror .

n sekuenca e numrave numrin e tij sekuenca e numrave +1 Nga dy anëtarë ngjitur sekuenca e numrave +1 - funksioni i argumentit natyror. Dhe anëtar i sekuencës n pasuese n — (në lidhje me anëtar i sekuencës sekuenca e numrave +1 ).

), A

e mëparshme Për të përcaktuar një sekuencë, duhet të specifikoni një metodë që ju lejon të gjeni një anëtar të sekuencës me çdo numër. Shpesh sekuenca specifikohet duke përdorur

formulat e termit të ntë

, domethënë një formulë që ju lejon të përcaktoni një anëtar të një sekuence me numrin e saj. Për shembull, sekuencë pozitive

sekuenca e numrave= 2numra tek 1,

mund të jepet me formulë 1 n- -1 dhe sekuenca e alternimit

Dhe- formula = (-1)b +1 . ◄

n n, Sekuenca mund të përcaktohet

formulat e termit të ntë

formula e përsëritur , pastaj thonë se është dhënë 1 = 1 domethënë, një formulë që shpreh çdo anëtar të sekuencës, duke filluar me disa, përmes anëtarëve të mëparshëm (një ose më shumë). sekuenca e numrave +1 = sekuenca e numrave + 5

, pastaj thonë se është dhënë 1 = 1,

, pastaj thonë se është dhënë 2 = , pastaj thonë se është dhënë 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

, pastaj thonë se është dhënë 3 = , pastaj thonë se është dhënë 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

, pastaj thonë se është dhënë 4 = , pastaj thonë se është dhënë 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

, pastaj thonë se është dhënë 5 = , pastaj thonë se është dhënë 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Nëse , A= 1, Nëse = 1, sekuenca e numrave +2 = sekuenca e numrave + sekuenca e numrave +1 , a 1

a 2 = 1,

atëherë shtatë termat e parë të sekuencës numerike vendosen si më poshtë: = 1,

a 1 = a 2 + atëherë shtatë termat e parë të sekuencës numerike vendosen si më poshtë: = 1 + 1 = 2,

a 2 = atëherë shtatë termat e parë të sekuencës numerike vendosen si më poshtë: + a 1 = 1 + 2 = 3,

a 3 = a 1 + a 2 = 2 + 3 = 5,

, pastaj thonë se është dhënë 6 = , pastaj thonë se është dhënë 4 + , pastaj thonë se është dhënë 5 = 3 + 5 = 8,

, pastaj thonë se është dhënë 7 = , pastaj thonë se është dhënë 5 + , pastaj thonë se është dhënë 6 = 5 + 8 = 13. ◄

a 4 a 5 numrin e tij Sekuencat mund të jenë .

përfundimtar pafund Sekuenca quhet përfundimtare nëse ajo ka numri përfundimtar anëtarët. Sekuenca quhet

formulat e termit të ntë

pafund

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

, nëse ka pafundësisht shumë anëtarë.

sekuenca e numrave natyrorë dyshifrorë:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

final. ◄

Sekuenca e numrave të thjeshtë: pafund. Sekuenca quhet

Sekuenca e numrave të thjeshtë: në rritje , nëse secili prej anëtarëve të tij, duke filluar nga i dyti, është më i madh se ai i mëparshmi.

formulat e termit të ntë

2, 4, 6, 8, . . . , 2sekuencat, . . . në rënie

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /b, . . . , nëse secili prej anëtarëve të tij, duke filluar nga i dyti, është më i vogël se ai i mëparshmi. ◄

- sekuenca në rritje; - sekuenca në rënie. .

Quhet një sekuencë, elementët e së cilës nuk zvogëlohen me rritjen e numrit, ose, anasjelltas, nuk rriten

sekuencë monotone

Sekuencat monotonike, në veçanti, janë sekuenca në rritje dhe sekuenca në rënie. është një sekuencë në të cilën çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, të cilit i shtohet i njëjti numër.

, pastaj thonë se është dhënë 1 , , pastaj thonë se është dhënë 2 , , pastaj thonë se është dhënë 3 , . . . , sekuenca e numrave, . . .

është një progresion aritmetik nëse ka numri natyror Vendet e botës plotësohet kushti:

sekuenca e numrave +1 = sekuenca e numrave + d,

Ku d - një numër i caktuar.

Kështu, ndryshimi midis termave të mëpasshëm dhe të mëparshëm të një të dhënë progresion aritmetik gjithmonë konstante:

Nëse - , pastaj thonë se është dhënë 1 = a 3 - , pastaj thonë se është dhënë 2 = . . . = sekuenca e numrave +1 - sekuenca e numrave = d.

sekuenca e numrave d - funksioni i argumentit natyror. dallimi i progresionit aritmetik.

Për të përcaktuar një progresion aritmetik, mjafton të tregohet termi i parë dhe ndryshimi i tij.

formulat e termit të ntë

formula e përsëritur , pastaj thonë se është dhënë 1 = 3, d = 4 , atëherë gjejmë pesë termat e parë të sekuencës si më poshtë:

a 2 =3,

atëherë shtatë termat e parë të sekuencës numerike vendosen si më poshtë: = a 2 + d = 3 + 4 = 7,

a 1 = atëherë shtatë termat e parë të sekuencës numerike vendosen si më poshtë: + d= 7 + 4 = 11,

a 2 = a 1 + d= 11 + 4 = 15,

, pastaj thonë se është dhënë 5 = , pastaj thonë se është dhënë 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Për një progresion aritmetik me termin e parë , pastaj thonë se është dhënë 1 dhe ndryshimi d saj Vendet e botës

sekuenca e numrave = a 2 + (sekuencat- 1)d.

formulat e termit të ntë

gjeni termin e tridhjetë të progresionit aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 2 =1, d = 3,

një 30 = a 2 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

një n-1 = a 2 + (sekuencat- 2)d,

sekuenca e numrave= a 2 + (sekuencat- 1)d,

sekuenca e numrave +1 = , pastaj thonë se është dhënë 1 + nd,

atëherë padyshim

Çdo anëtar i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm.

numrat a, b dhe c janë terma të njëpasnjëshëm të një progresioni aritmetik nëse dhe vetëm nëse njëri prej tyre është i barabartë me mesataren aritmetike të dy të tjerëve.

formulat e termit të ntë

sekuenca e numrave = 2sekuencat- 7 , është një progresion aritmetik.

Le të përdorim deklaratën e mësipërme. Ne kemi:

sekuenca e numrave = 2sekuencat- 7,

një n-1 = 2(numra tek 1) - 7 = 2sekuencat- 9,

një n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2sekuencat- 5.

Prandaj,

◄

Vini re se Vendet e botës Termi i th i një progresion aritmetik mund të gjendet jo vetëm përmes , pastaj thonë se është dhënë 1 , por edhe ndonjë të mëparshme një k

sekuenca e numrave = një k + (sekuencat- k)d.

formulat e termit të ntë

Për , pastaj thonë se është dhënë 5 mund të shkruhet

a 3 = a 2 + 4d,

a 3 = atëherë shtatë termat e parë të sekuencës numerike vendosen si më poshtë: + 3d,

a 3 = a 1 + 2d,

a 3 = a 2 + d. ◄

sekuenca e numrave = një n-k + kd,

sekuenca e numrave = një n+k - kd,

atëherë padyshim

çdo anëtar i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me gjysmën e shumës së anëtarëve të këtij progresioni aritmetik të ndarë nga ai.

Përveç kësaj, për çdo progresion aritmetik vlen barazia e mëposhtme:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

formulat e termit të ntë

në progresion aritmetik

1) , pastaj thonë se është dhënë 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (, pastaj thonë se është dhënë 9 + , pastaj thonë se është dhënë 11 )/2;

2) 28 = një 10 = a 1 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) një 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sepse

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ sekuenca e numrave,

së pari Vendet e botës termat e një progresion aritmetik janë të barabartë me produktin e gjysmës së shumës së termave ekstremë dhe numrit të termave:

Nga këtu, në veçanti, rrjedh se nëse keni nevojë të përmblidhni termat

një k, një k +1 , . . . , sekuenca e numrave,

atëherë formula e mëparshme ruan strukturën e saj:

formulat e termit të ntë

në progresion aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Nëse jepet një progresion aritmetik, atëherë sasitë , pastaj thonë se është dhënë 1 , sekuenca e numrave, d, sekuencat DheS Vendet e botës të lidhura me dy formula:

Prandaj, nëse kuptimet e tre janë dhënë nga këto sasi, pastaj nga këto formula përcaktohen vlerat përkatëse të dy sasive të tjera, të kombinuara në një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura.

Një progresion aritmetik është një sekuencë monotonike. Në këtë rast:

• formula e përsëritur d > 0 , atëherë është në rritje;
• formula e përsëritur d < 0 , atëherë është në rënie;
• formula e përsëritur d = 0 , atëherë sekuenca do të jetë e palëvizshme.

Progresioni gjeometrik

Progresioni gjeometrik është një sekuencë në të cilën çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër.

Dhe 1 , Dhe 2 , Dhe 3 , . . . , b n, . . .

është një progresion gjeometrik nëse për ndonjë numër natyror Vendet e botës plotësohet kushti:

b n +1 = b n · q,

Ku q ≠ 0 - një numër i caktuar.

Kështu, raporti i termit pasues të një progresion të caktuar gjeometrik me atë të mëparshëm është një numër konstant:

Dhe 2 / Dhe 1 = Dhe 3 / Dhe 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

sekuenca e numrave q - funksioni i argumentit natyror. emëruesi i progresionit gjeometrik.

Për të përcaktuar një progresion gjeometrik, mjafton të tregojmë termin e parë dhe emëruesin e tij.

formulat e termit të ntë

formula e përsëritur Dhe 1 = 1, q = -3 , atëherë gjejmë pesë termat e parë të sekuencës si më poshtë:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

Dhe 5 = Dhe 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

Dhe 1 dhe emërues q saj Vendet e botës Termi i th mund të gjendet duke përdorur formulën:

b n = Dhe 1 · qn -1 .

formulat e termit të ntë

gjeni termin e shtatë të progresionit gjeometrik 1, 2, 4, . . .

Dhe 1 = 1, q = 2,

Dhe 7 = Dhe 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = Dhe 1 · qn,

atëherë padyshim

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

çdo anëtar i progresionit gjeometrik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren gjeometrike (proporcionale) të anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm.

Meqenëse e kundërta është gjithashtu e vërtetë, pohimi i mëposhtëm qëndron:

numrat a, b dhe c janë terma të njëpasnjëshëm të disa progresioneve gjeometrike nëse dhe vetëm nëse katrori i njërit prej tyre e barabartë me produktin dy të tjerët, domethënë njëri nga numrat është mesatarja gjeometrike e dy të tjerëve.

formulat e termit të ntë

Le të vërtetojmë se sekuenca e dhënë nga formula b n= -3 2 b , është një progresion gjeometrik. Le të përdorim deklaratën e mësipërme. Ne kemi:

b n= -3 2 b,

b n -1 = -3 2 b -1 ,

b n +1 = -3 2 b +1 .

Prandaj,

b n 2 = (-3 2 b) 2 = (-3 2 b -1 ) · (-3 · 2 b +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

që vërteton pohimin e dëshiruar. ◄

Vini re se Vendet e botës Termi i th i një progresion gjeometrik mund të gjendet jo vetëm përmes Dhe 1 , por edhe ndonjë anëtar të mëparshëm b k , për të cilën mjafton të përdoret formula

b n = b k · qn - k.

formulat e termit të ntë

Për Dhe 5 mund të shkruhet

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atëherë padyshim

b n 2 = b n - k· b n + k

katrori i çdo termi të një progresion gjeometrik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me produktin e termave të ndarë në mënyrë të barabartë të këtij progresioni.

Për më tepër, për çdo progresion gjeometrik barazia është e vërtetë:

b m· b n= b k· b l,

m+ sekuencat= k+ l.

formulat e termit të ntë

në progresion gjeometrik

1) Dhe 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = Dhe 5 · Dhe 7 ;

2) 1024 = Dhe 11 = Dhe 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) Dhe 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = Dhe 4 · Dhe 8 ;

4) Dhe 2 · Dhe 7 = Dhe 4 · Dhe 5 , sepse

Dhe 2 · Dhe 7 = 2 · 64 = 128,

Dhe 4 · Dhe 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= Dhe 1 + Dhe 2 + Dhe 3 + . . . + b n

së pari Vendet e botës anëtarët e një progresion gjeometrik me emërues q ≠ 0 llogaritur me formulën:

Dhe kur q = 1 - sipas formulës

S n= nb 1

Vini re se nëse keni nevojë të përmblidhni kushtet

b k, b k +1 , . . . , b n,

atëherë përdoret formula:

formulat e termit të ntë

në progresion gjeometrik 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Nëse jepet progresion gjeometrik, pastaj sasitë Dhe 1 , b n, q, sekuencat n- S n të lidhura me dy formula:

Prandaj, nëse jepen vlerat e çdo tre prej këtyre sasive, atëherë vlerat përkatëse të dy sasive të tjera përcaktohen nga këto formula, të kombinuara në një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura.

Për një progresion gjeometrik me termin e parë Dhe 1 dhe emërues q ndodhin në vijim vetitë e monotonitetit :

• progresi po rritet nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:

Dhe 1 > 0 Dhe q> 1;

Dhe 1 < 0 Dhe 0 < q< 1;

• Progresioni zvogëlohet nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:

Dhe 1 > 0 Dhe 0 < q< 1;

Dhe 1 < 0 Dhe q> 1.

Nëse q< 0 , atëherë progresioni gjeometrik është i alternuar: termat e tij me numra tek kanë të njëjtën shenjë me termin e parë dhe termat me numra çift kanë shenjën e kundërt. Është e qartë se një progresion gjeometrik i alternuar nuk është monoton.

Produkt i të parës Vendet e botës termat e një progresion gjeometrik mund të llogariten duke përdorur formulën:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) sekuencat / 2 .

formulat e termit të ntë

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie

Progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie quhet një progresion i pafund gjeometrik, moduli i emëruesit të të cilit është më i vogël 1 , pra

|q| < 1 .

Vini re se një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie mund të mos jetë një sekuencë në rënie. I përshtatet rastit

1 < q< 0 .

Me një emërues të tillë, sekuenca është e alternuar. Për shembull,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie emërtoni numrin të cilit i afrohet pa kufi shuma e të parëve Vendet e botës anëtarët e një progresion me një rritje të pakufizuar në numër Vendet e botës . Ky numër është gjithmonë i fundëm dhe shprehet me formulë

formulat e termit të ntë

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Marrëdhënia ndërmjet progresioneve aritmetike dhe gjeometrike

Progresionet aritmetike dhe gjeometrike janë të lidhura ngushtë. Le të shohim vetëm dy shembuj.

, pastaj thonë se është dhënë 1 , , pastaj thonë se është dhënë 2 , , pastaj thonë se është dhënë 3 , . . . d , Kjo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

formulat e termit të ntë

1, 3, 5, . . . - progresion aritmetik me diferencë 2 Dhe

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresion gjeometrik me emërues 7 2 . ◄

Dhe 1 , Dhe 2 , Dhe 3 , . . . - progresion gjeometrik me emërues q , Kjo

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresion aritmetik me diferencë log aq .

formulat e termit të ntë

2, 12, 72, . . . - progresion gjeometrik me emërues 6 Dhe

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresion aritmetik me diferencë lg 6 . ◄

Ose aritmetika është një lloj sekuence numerike e renditur, vetitë e së cilës studiohen në kursi shkollor algjebër. Ky artikull diskuton në detaje pyetjen se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik.

Çfarë lloj progresi është ky?

Para se të kaloni në pyetjen (si të gjeni shumën e një progresion aritmetik), ia vlen të kuptoni se për çfarë po flasim.

Çdo sekuencë numra realë, i cili fitohet duke shtuar (zbritur) ndonjë vlerë nga çdo numër i mëparshëm, quhet progresion algjebrik (aritmetik). Ky përkufizim, kur përkthehet në gjuhën matematikore, merr formën:

Këtu i është numri serial i elementit të rreshtit a i. Kështu, duke ditur vetëm një numër fillestar, mund ta riktheni lehtësisht të gjithë serinë. Parametri d në formulë quhet ndryshim i progresionit.

Mund të tregohet lehtësisht se për serinë e numrave në shqyrtim vlen barazia e mëposhtme:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Kjo do të thotë, për të gjetur vlerën e elementit të n-të me radhë, duhet të shtoni ndryshimin d në elementin e parë a 1 n-1 herë.

Sa është shuma e një progresion aritmetik: formula

Para se të jepni formulën për shumën e treguar, ia vlen të merret parasysh një e thjeshtë rast i veçantë. Duke pasur parasysh një progresion të numrave natyrorë nga 1 në 10, ju duhet të gjeni shumën e tyre. Meqenëse ka pak terma në progresion (10), është e mundur të zgjidhet problemi kokë më kokë, domethënë të mblidhen të gjithë elementët në rend.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Një gjë që ia vlen të merret në konsideratë gjë interesante: meqenëse çdo term ndryshon nga tjetri me të njëjtën vlerë d = 1, atëherë mbledhja në dyshe e të parit me të dhjetën, të dytit me të nëntën e kështu me radhë do të japë të njëjtin rezultat. Vërtet:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Siç mund ta shihni, janë vetëm 5 nga këto shuma, domethënë saktësisht dy herë më pak se numri i elementeve të serisë. Pastaj duke shumëzuar numrin e shumave (5) me rezultatin e secilës shumë (11), do të arrini në rezultatin e marrë në shembullin e parë.

Nëse i përgjithësojmë këto argumente, mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Kjo shprehje tregon se nuk është aspak e nevojshme të përmblidhen të gjithë elementët në një rresht, mjafton të dihet vlera e të parit a 1 dhe të fundit a n, si dhe numri i përgjithshëm n terma.

Besohet se Gauss ishte i pari që mendoi për këtë barazi kur ai po kërkonte një zgjidhje për një problem të caktuar. mësues shkolle detyrë: mbledh 100 numrat e parë të plotë.

Shuma e elementeve nga m në n: formula

Formula e dhënë në paragrafin e mëparshëm i përgjigjet pyetjes se si të gjendet shuma e një progresion aritmetik (elementet e parë), por shpesh në problema është e nevojshme të përmblidhet një seri numrash në mes të progresionit. Si ta bëni këtë?

Mënyra më e lehtë për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje është duke marrë parasysh shembulli tjetër: le të jetë e nevojshme të gjendet shuma e termave nga m-të në n-të. Për të zgjidhur problemin, duhet të paraqisni segmentin e dhënë nga m në n të progresionit në formën e një serie të re numrash. Në këtë përfaqësimi m-të termi a m do të jetë i pari dhe a n do të numërohet n-(m-1). Në këtë rast, duke zbatuar formulën standarde për shumën, do të merret shprehja e mëposhtme:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Shembull i përdorimit të formulave

Duke ditur se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik, ia vlen të merret parasysh një shembull i thjeshtë i përdorimit të formulave të mësipërme.

Më poshtë është një sekuencë numerike, ju duhet të gjeni shumën e termave të saj, duke filluar nga 5 dhe duke përfunduar me 12:

Numrat e dhënë tregojnë se ndryshimi d është i barabartë me 3. Duke përdorur shprehjen për elementin e n-të, mund të gjeni vlerat e termave të 5-të dhe të 12-të të progresionit. Rezulton:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Njohja e vlerave të numrave në fund të të dhënave progresion algjebrik, dhe gjithashtu duke ditur se cilët numra në rresht zënë, mund të përdorni formulën për shumën e marrë në paragrafin e mëparshëm. Do të rezultojë:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vlen të përmendet se kjo vlerë mund të merret ndryshe: së pari gjeni shumën e 12 elementëve të parë nga formula standarde, më pas llogaritni shumën e 4 elementëve të parë duke përdorur të njëjtën formulë, pastaj zbrisni të dytin nga shuma e parë.

Problemet mbi progresionin aritmetik ekzistonin tashmë në kohët e lashta. Ata u shfaqën dhe kërkuan zgjidhje sepse kishin nevojë praktike.

Pra, në një nga papiruset Egjipti i lashtë duke pasur përmbajtje matematikore, - papirusi Rhind (shek. 19 p.e.s.) - përmban detyrën e mëposhtme: ndani dhjetë masa bukë mes dhjetë njerëzve, me kusht që ndryshimi midis secilit prej tyre të jetë një e teta e masës.

Dhe në veprat matematikore të grekëve të lashtë ka teorema elegante që lidhen me progresionin aritmetik. Kështu, Hipsikujt e Aleksandrisë (shekulli II, i cili arriti në shumë detyra interesante dhe i cili shtoi librin e katërmbëdhjetë te Elementet e Euklidit, formuloi mendimin: “Në një progresion aritmetik që ka një numër çift termash, shuma e termave të gjysmës së dytë është më e madhe se shuma e termave të të parës me katrorin. nga 1/2 e numrit të termave.”

Sekuenca shënohet me një. Numrat e një sekuence quhen anëtarë të saj dhe zakonisht përcaktohen me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të këtij anëtari (a1, a2, a3 ... lexo: "a 1", "a 2", "a 3" dhe kështu me radhë).

Sekuenca mund të jetë e pafundme ose e fundme.

Çfarë është një progresion aritmetik? Me të nënkuptojmë atë që fitohet duke shtuar termin e mëparshëm (n) me të njëjtin numër d, që është diferenca e progresionit.

Nëse d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atëherë ky progresion konsiderohet në rritje.

Një progresion aritmetik quhet i fundëm nëse merren parasysh vetëm termat e parë të tij. Në shumë sasi të mëdha anëtarë është tashmë përparim i pafund.

Çdo progresion aritmetik përcaktohet me formulën e mëposhtme:

an =kn+b, ndërsa b dhe k janë disa numra.

Pohimi i kundërt është absolutisht i vërtetë: nëse një sekuencë jepet me një formulë të ngjashme, atëherë është pikërisht një progresion aritmetik që ka vetitë:

1. Çdo term i progresionit është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij pasues.
2. Anasjelltas: nëse, duke filluar nga i dyti, çdo term është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij të mëpasshëm, d.m.th. nëse kushti plotësohet, atëherë kjo sekuencë është një progresion aritmetik. Kjo barazi është gjithashtu një shenjë e progresionit, prandaj quhet zakonisht veti karakteristike progresion.
   Në të njëjtën mënyrë, teorema që pasqyron këtë veti është e vërtetë: një sekuencë është një progresion aritmetik vetëm nëse kjo barazi është e vërtetë për cilindo nga termat e sekuencës, duke filluar nga i dyti.

Vetia karakteristike për çdo katër numra të një progresioni aritmetik mund të shprehet me formulën an + am = ak + al, nëse n + m = k + l (m, n, k janë numra të progresionit).

Në një progresion aritmetik, çdo term i nevojshëm (N-të) mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Për shembull: termi i parë (a1) në një progresion aritmetik është dhënë dhe i barabartë me tre, dhe ndryshimi (d) është i barabartë me katër. Ju duhet të gjeni termin e dyzet e pestë të këtij progresi. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) na lejon të përcaktojmë mandati i nëntë një progresion aritmetik përmes ndonjë prej kth termave të tij, me kusht që ai të jetë i njohur.

Shuma e termave të një progresion aritmetik (nënkupton n-të e para progresion i kufizuar) llogaritet si më poshtë:

Sn = (a1+an) n/2.

Nëse termi i parë dihet gjithashtu, atëherë një formulë tjetër është e përshtatshme për llogaritjen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Shuma e një progresion aritmetik që përmban n terma llogaritet si më poshtë:

Zgjedhja e formulave për llogaritjet varet nga kushtet e problemeve dhe të dhënat fillestare.

Seritë natyrore të çdo numri, si p.sh. 1,2,3,...,n,...- shembulli më i thjeshtë progresion aritmetik.

Përveç progresionit aritmetik, ekziston edhe një progresion gjeometrik, i cili ka vetitë dhe karakteristikat e veta.

Para se të fillojmë të vendosim problemet e progresionit aritmetik, le të shqyrtojmë se çfarë është një sekuencë numrash, pasi një progresion aritmetik është një rast i veçantë i një sekuence numrash.

Sekuenca e numrave është grup numrash, çdo element i të cilit ka numrin e vet serial. Elementet e këtij grupi quhen anëtarë të sekuencës. Numri serial i një elementi të sekuencës tregohet nga një indeks:

Elementi i parë i sekuencës;

Elementi i pestë i sekuencës;

- elementi "n" i sekuencës, d.m.th. elementi "qëndron në radhë" në numrin n.

Ekziston një lidhje midis vlerës së një elementi të sekuencës dhe numrit të sekuencës së tij. Prandaj, ne mund ta konsiderojmë një sekuencë si një funksion, argumenti i të cilit është numri rendor i elementit të sekuencës. Me fjalë të tjera, mund të themi se sekuenca është një funksion i argumentit natyror:

Sekuenca mund të vendoset në tre mënyra:

1 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një tabelë. Në këtë rast, ne thjesht vendosim vlerën e secilit anëtar të sekuencës.

Për shembull, Dikush vendosi të merrte menaxhimin personal të kohës dhe për të filluar, të llogarisë sa kohë shpenzon në VKontakte gjatë javës. Duke regjistruar kohën në tabelë, ai do të marrë një sekuencë të përbërë nga shtatë elementë:

Rreshti i parë i tabelës tregon numrin e ditës së javës, e dyta - kohën në minuta. Ne shohim që, domethënë, të hënën Dikush kaloi 125 minuta në VKontakte, domethënë të enjten - 248 minuta, dhe, domethënë, të Premten vetëm 15.

2 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur formulën e termit të n-të.

Në këtë rast, varësia e vlerës së një elementi të sekuencës nga numri i tij shprehet drejtpërdrejt në formën e një formule.

Për shembull, nëse , atëherë

Për të gjetur vlerën e një elementi të sekuencës me një numër të caktuar, ne e zëvendësojmë numrin e elementit në formulën e termit të n-të.

Ne bëjmë të njëjtën gjë nëse duhet të gjejmë vlerën e një funksioni nëse dihet vlera e argumentit. Ne e zëvendësojmë vlerën e argumentit në ekuacionin e funksionit:

Nëse, për shembull, , Kjo

Më lejoni të vërej edhe një herë se në sekuencë, ndryshe nga arbitrare funksioni numerik, argumenti mund të jetë vetëm një numër natyror.

3 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e vlerës së numrit të anëtarit të sekuencës n nga vlera e anëtarëve të mëparshëm.

Në këtë rast, nuk mjafton të dimë vetëm numrin e anëtarit të sekuencës për të gjetur vlerën e tij. Duhet të specifikojmë anëtarin e parë ose anëtarët e parë të sekuencës. ,

Për shembull, merrni parasysh sekuencën Mund të gjejmë vlerat e anëtarëve të sekuencës një nga një

, duke filluar nga e treta: Kjo do të thotë, çdo herë, për të gjetur vlerën e termit të n-të të sekuencës, kthehemi te dy të mëparshmet. Kjo metodë e specifikimit të një sekuence quhet të përsëritura , nga fjalë latine recurro

- kthehu.

Sekuencat monotonike, në veçanti, janë sekuenca në rritje dhe sekuenca në rënie. është një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër.

Numri thirret dallimi i progresionit aritmetik. Diferenca e një progresioni aritmetik mund të jetë pozitiv, negativ ose i barabartë me zero.

Nëse title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} në rritje.

Për shembull, 2; 5; 8; 11;...

Nëse , atëherë çdo term i një progresioni aritmetik është më i vogël se ai i mëparshmi, dhe progresioni është në rënie.

Për shembull, 2; -1; -4; -7;...

Nëse , atëherë të gjithë kushtet e progresionit janë të barabartë me të njëjtin numër, dhe progresioni është stacionare.

Për shembull, 2; 2; 2; 2; ...

Vetia kryesore e një progresion aritmetik:

Le të shohim vizatimin.

Ne e shohim atë

, dhe në të njëjtën kohë

Duke shtuar këto dy barazi, marrim:

.

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 2:

Pra, çdo anëtar i progresionit aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy fqinjëve:

Për më tepër, që nga

, dhe në të njëjtën kohë

, Kjo

, dhe për këtë arsye

Çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar me title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula e termit të th.

Ne shohim se termat e progresionit aritmetik plotësojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

dhe në fund

kemi marrë formula e termit të n-të.

E RËNDËSISHME!Çdo anëtar i një progresion aritmetik mund të shprehet përmes dhe. Duke ditur termin e parë dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjeni cilindo nga termat e tij.

Shuma e n termave të një progresion aritmetik.

Në një progresion aritmetik arbitrar, shumat e termave të barabarta nga ato ekstreme janë të barabarta me njëra-tjetrën:

Konsideroni një progresion aritmetik me n terma. Le të jetë shuma e n kushteve të këtij progresioni e barabartë me .

Le t'i rregullojmë termat e progresionit së pari në rendin rritës të numrave, dhe më pas në rend zbritës:

Le të shtojmë në dyshe:

Shuma në çdo kllapa është , numri i çifteve është n.

Ne marrim:

a shuma e n termave të një progresion aritmetik mund të gjendet duke përdorur formulat:

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemeve të progresionit aritmetik.

1 . Sekuenca jepet me formulën e termit të n-të: . Vërtetoni se kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

Le të vërtetojmë se ndryshimi midis dy termave ngjitur të sekuencës është i barabartë me të njëjtin numër.

Ne zbuluam se ndryshimi midis dy anëtarëve ngjitur të sekuencës nuk varet nga numri i tyre dhe është një konstante. Prandaj, sipas përkufizimit, kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

2 . Jepet një progresion aritmetik -31; -27;...

a) Gjeni 31 terma të progresionit.

b) Përcaktoni nëse numri 41 përfshihet në këtë progresion.

A) Ne shohim se;

Le të shkruajmë formulën për termin e n-të për progresionin tonë.

Në përgjithësi

Në rastin tonë , Kjo është arsyeja pse

Ne marrim:

b) Supozoni se numri 41 është një anëtar i sekuencës. Le të gjejmë numrin e tij. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim ekuacionin:

kemi marrë vlera natyrore n, pra, po, numri 41 është anëtar i progresionit. Nëse vlera e gjetur e n-së nuk do të ishte një numër natyror, atëherë do të përgjigjeshim se numri 41 NUK është anëtar i progresionit.

3 . a) Ndërmjet numrave 2 dhe 8, vendosni 4 numra në mënyrë që ata së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

b) Gjeni shumën e termave të progresionit që rezulton.

A) Le të fusim katër numra midis numrave 2 dhe 8:

Ne morëm një progresion aritmetik me 6 anëtarë.

Le të gjejmë ndryshimin e këtij progresi. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën për termin e n-të:

Tani është e lehtë të gjesh kuptimet e numrave:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Përgjigje: a) po; b) 30

4. Kamioni transporton një ngarkesë guri të grimcuar me peshë 240 tonë, duke rritur shkallën e transportit me të njëjtin numër tonësh çdo ditë. Bëhet e ditur se ditën e parë janë transportuar 2 tonë gurë të grimcuar. Përcaktoni sa tonë gurë të grimcuar u transportuan në ditën e dymbëdhjetë nëse e gjithë puna përfundoi në 15 ditë.

Sipas gjendjes së problemit, sasia e gurëve të grimcuar që transporton kamioni rritet çdo ditë me të njëjtin numër. Prandaj, kemi të bëjmë me një progresion aritmetik.

Le ta formulojmë këtë problem në termat e një progresion aritmetik.

Gjatë ditës së parë janë transportuar 2 tonë gurë të grimcuar: a_1=2.

E gjithë puna u krye në 15 ditë: .

Kamioni po transporton një grumbull guri të grimcuar me peshë 240 tonë:

Duhet të gjejmë.

Së pari, le të gjejmë ndryshimin e progresionit. Le të përdorim formulën për shumën e n kushteve të një progresion.

Në rastin tonë:

Epo, miq, nëse po e lexoni këtë tekst, atëherë kapaku i brendshëm më thotë se ju nuk e dini ende se çfarë është një progresion aritmetik, por vërtet (jo, si kjo: SHUMË!) dëshironi të dini. Prandaj, nuk do t'ju mundoj me prezantime të gjata dhe do të shkoj direkt në temë.

Së pari, disa shembuj. Le të shohim disa grupe numrash:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Çfarë kanë të përbashkët të gjitha këto grupe? Në pamje të parë, asgjë. Por në fakt ka diçka. Gjegjësisht: çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër.

Gjykojeni vetë. Seti i parë është thjesht numra të njëpasnjëshëm, secili tjetër është një më shumë se ai i mëparshmi. Në rastin e dytë, ndryshimi midis serisë numrat në këmbë tashmë është e barabartë me pesë, por ky ndryshim është ende konstant. Në rastin e tretë, nuk ka rrënjë fare. Megjithatë, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dhe $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.m.th. dhe në këtë rast, çdo element tjetër thjesht rritet me $\sqrt(2)$ (dhe mos kini frikë se ky numër është irracional).

Pra: të gjitha sekuencat e tilla quhen progresione aritmetike. Le të japim një përkufizim të rreptë:

Përkufizimi. Një sekuencë numrash në të cilat secili tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me saktësisht të njëjtën sasi quhet progresion aritmetik. Vetë shuma me të cilën ndryshojnë numrat quhet ndryshim i progresionit dhe më së shpeshti shënohet me shkronjën $d$.

Shënim: $\left(((a)_(n)) \djathtas)$ është vetë progresioni, $d$ është ndryshimi i tij.

Dhe një çift në të njëjtën kohë komente të rëndësishme. Së pari, progresi konsiderohet vetëm porositur sekuenca e numrave: ato lejohen të lexohen në mënyrë rigoroze sipas rendit në të cilin janë shkruar - dhe asgjë tjetër. Numrat nuk mund të riorganizohen ose të ndërrohen.

Së dyti, sekuenca në vetvete mund të jetë ose e fundme ose e pafundme. Për shembull, grupi (1; 2; 3) është padyshim një progresion aritmetik i fundëm. Por nëse shkruani diçka në frymë (1; 2; 3; 4; ...) - ky është tashmë një përparim i pafund. Elipsi pas të katërt duket se lë të kuptohet se ka edhe shumë numra të tjerë për të ardhur. Pafundësisht shumë, për shembull.

Do të doja gjithashtu të vërej se përparimet mund të jenë në rritje ose në rënie. Ne kemi parë tashmë ato në rritje - të njëjtin grup (1; 2; 3; 4; ...). Këtu janë shembuj të progresioneve në rënie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Në rregull, në rregull: shembulli i fundit mund të duket tepër e ndërlikuar. Por pjesa tjetër, mendoj, e kuptoni. Prandaj, ne prezantojmë përkufizime të reja:

Përkufizimi. Një progresion aritmetik quhet:

1. duke u rritur nëse çdo element tjetër është më i madh se ai i mëparshmi;
2. duke u ulur nëse, përkundrazi, çdo element pasues është më i vogël se ai i mëparshmi.

Për më tepër, ekzistojnë të ashtuquajturat sekuenca "stacionare" - ato përbëhen nga i njëjti numër përsëritës. Për shembull, (3; 3; 3; ...).

Mbetet vetëm një pyetje: si të dallojmë një progresion në rritje nga një në rënie? Për fat të mirë, gjithçka këtu varet vetëm nga shenja e numrit $d$, d.m.th. Dallimet e progresionit:

1. Nëse $d \gt 0$, atëherë progresioni rritet;
2. Nëse $d \lt 0$, atëherë progresioni është dukshëm në rënie;
3. Së fundi, ekziston rasti $d=0$ - në këtë rast i gjithë progresioni reduktohet në një sekuencë të palëvizshme numra të njëjtë: (1; 1; 1; 1; ...), etj.

Le të përpiqemi të llogarisim ndryshimin $d$ për tre progresionet në rënie të dhëna më sipër. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo dy element ngjitur (për shembull, i pari dhe i dyti) dhe të zbresësh numrin në të majtë nga numri në të djathtë. Do të duket kështu:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Siç e shohim, në të gjitha tre raste ndryshimi në fakt doli negativ. Dhe tani që pak a shumë i kemi kuptuar përkufizimet, është koha të kuptojmë se si përshkruhen progresionet dhe cilat veçori kanë ato.

Termat e progresionit dhe formula e përsëritjes

Meqenëse elementët e sekuencave tona nuk mund të ndërrohen, ato mund të numërohen:

\[\majtas(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \djathtas\)\]

Elementet individuale të këtij grupi quhen anëtarë të një progresion. Ato tregohen me një numër: anëtari i parë, anëtari i dytë, etj.

Për më tepër, siç e dimë tashmë, termat fqinjë të progresionit lidhen me formulën:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Djathtas ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Shkurtimisht, për të gjetur termin $n$th të një progresioni, duhet të dini termin $n-1$th dhe ndryshimin $d$. Kjo formulë quhet e përsëritur, sepse me ndihmën e saj mund të gjeni çdo numër vetëm duke ditur atë të mëparshmin (dhe në fakt, të gjithë të mëparshmit). Kjo është shumë e papërshtatshme, kështu që ekziston një formulë më dinake që redukton çdo llogaritje në termin e parë dhe ndryshimin:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d\]

Ju ndoshta keni hasur tashmë në këtë formulë. Ata pëlqejnë ta japin atë në të gjitha llojet e librave referencë dhe librave me probleme. Dhe në çdo tekst të arsyeshëm të matematikës është një nga të parët.

Megjithatë, ju sugjeroj të praktikoni pak.

Detyra nr. 1. Shkruani tre termat e parë të progresionit aritmetik $\left((a)_(n)) \djathtas)$ nëse $((a)_(1))=8,d=-5$.

Zgjidhje. Pra, ne e dimë termin e parë $((a)_(1))=8$ dhe ndryshimin e progresionit $d=-5$. Le të përdorim formulën e sapo dhënë dhe të zëvendësojmë $n=1$, $n=2$ dhe $n=3$:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d; \\ & ((a)_(1))=(a)_(1))+\majtas(1-1 \djathtas)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\majtas(2-1 \djathtas)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+\majtas(3-1 \djathtas)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: (8; 3; −2)

Kjo është ajo! Ju lutemi vini re: progresi ynë është në rënie.

Natyrisht, $n=1$ nuk mund të zëvendësohej - termi i parë është tashmë i njohur për ne. Megjithatë, duke zëvendësuar unitetin, ne u bindëm se edhe për mandatin e parë formula jonë funksionon. Në raste të tjera, gjithçka zbriste në aritmetikë banale.

Detyra nr. 2. Shkruani tre termat e parë të një progresion aritmetik nëse mandati i shtatë është i barabartë me -40 dhe ai i shtatëmbëdhjetë është i barabartë me -50.

Zgjidhje. Le të shkruajmë kushtin e problemit në terma të njohur:

\[((a)_(7))=-40;\katër ((a)_(17))=-50.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \fund (radhis) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \fund (radhis) \drejtë.\]

Unë vendos shenjën e sistemit sepse këto kërkesa duhet të plotësohen njëkohësisht. Tani le të vërejmë se nëse e zbresim të parën nga ekuacioni i dytë (ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë, pasi kemi një sistem), marrim këtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))+16d-\majtas(((a)_(1))+6d \djathtas)=-50-\majtas(-40 \djathtas); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fund (radhis)\]

Ja sa e lehtë është të gjesh ndryshimin e progresionit! Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë numrin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Për shembull, në të parën:

\[\fillimi(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Poshtë \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fund (matricë)\]

Tani, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, mbetet të gjejmë termat e dytë dhe të tretë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))=(a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fund (radhis)\]

Gati! Problemi është zgjidhur.

Përgjigje: (−34; −35; −36)

Vini re vetinë interesante të progresionit që zbuluam: nëse marrim termat $n$th dhe $m$th dhe i zbresim nga njëri-tjetri, marrim diferencën e progresionit të shumëzuar me numrin $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \majtas(n-m \djathtas)\]

E thjeshtë por shumë pronë e dobishme, të cilën patjetër duhet ta dini - me ndihmën e saj mund të shpejtoni ndjeshëm zgjidhjen e shumë problemeve të përparimit. Këtu është një shembull i qartë i kësaj:

Detyra nr. 3. Termi i pestë i një progresion aritmetik është 8.4, dhe termi i dhjetë i tij është 14.4. Gjeni termin e pesëmbëdhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje. Meqenëse $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ dhe ne duhet të gjejmë $((a)_(15))$, shënojmë sa vijon:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fund (radhis)\]

Por sipas kushtit $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, pra $5d=6$, nga e cila kemi:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: 20.4

Kjo është ajo! Ne nuk kishim nevojë të krijonim asnjë sistem ekuacioni dhe të llogarisnim termin e parë dhe ndryshimin - gjithçka u zgjidh në vetëm disa rreshta.

Tani le të shohim një lloj tjetër problemi - kërkimi i termave negativë dhe pozitivë të një progresi. Nuk është sekret që nëse një progresion rritet, dhe termi i tij i parë është negativ, atëherë herët a vonë termat pozitivë do të shfaqen në të. Dhe anasjelltas: kushtet e një progresion në rënie herët a vonë do të bëhen negative.

Në të njëjtën kohë, nuk është gjithmonë e mundur të gjesh këtë moment "përballë" duke kaluar në mënyrë sekuenciale nëpër elementë. Shpesh, problemet shkruhen në atë mënyrë që pa i ditur formulat, llogaritjet do të merrnin disa fletë letre - thjesht do të bieshim në gjumë ndërsa gjenim përgjigjen. Prandaj, le të përpiqemi t'i zgjidhim këto probleme në një mënyrë më të shpejtë.

Detyra nr 4. Sa terma negativë ka në progresionin aritmetik −38,5; −35,8; ...?

Zgjidhje. Pra, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, nga ku gjejmë menjëherë ndryshimin:

Vini re se ndryshimi është pozitiv, kështu që përparimi rritet. Termi i parë është negativ, kështu që në një moment do të ngecim te numrat pozitivë. Pyetja e vetme është se kur do të ndodhë kjo.

Le të përpiqemi të zbulojmë se sa kohë (d.m.th. deri në cilin numër natyror $n$) mbetet negativiteti i termave:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n)) \lt 0\Djathtas shigjetë ((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d \lt 0; \\ & -38.5+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 2.7 \lt 0;\katër \majtas| \cdot 10 \djathtas. \\ & -385+27\cdot \majtas(n-1 \djathtas) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Djathtas ((n)_(\maks))=15. \\ \fund (radhis)\]

Rreshti i fundit kërkon një shpjegim. Pra, ne e dimë se $n \lt 15\frac(7)(27)$. Nga ana tjetër, ne jemi të kënaqur vetëm me vlerat e plota të numrit (për më tepër: $n\in \mathbb(N)$), kështu që numri më i madh i lejuar është saktësisht $n=15$, dhe në asnjë rast 16 .

Detyra nr 5. Në progresionin aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Gjeni numrin e termit të parë pozitiv të këtij progresioni.

Ky do të ishte saktësisht i njëjti problem si ai i mëparshmi, por ne nuk e dimë $((a)_(1))$. Por termat fqinjë janë të njohur: $((a)_(5))$ dhe $((a)_(6))$, kështu që ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

Për më tepër, le të përpiqemi të shprehim termin e pestë përmes të parës dhe ndryshimin duke përdorur formulën standarde:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=(a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpika 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fund (radhis)\]

Tani vazhdojmë në analogji me detyrë e mëparshme. Le të zbulojmë se në cilën pikë të sekuencës sonë do të shfaqen numrat pozitivë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=-162+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Djathtas ((n)_(\min ))=56. \\ \fund (radhis)\]

Zgjidhja minimale e numrit të plotë të kësaj pabarazie- numri 56.

Ju lutemi vini re: në detyrën e fundit gjithçka erdhi deri te pabarazi e rreptë, kështu që opsioni $n=55$ nuk do të na përshtatet.

Tani që kemi mësuar se si të zgjidhim probleme të thjeshta, le të kalojmë në ato më komplekse. Por së pari, le të studiojmë një veçori tjetër shumë të dobishme të progresioneve aritmetike, e cila do të na kursejë shumë kohë dhe qeliza të pabarabarta në të ardhmen.

Mesatarja aritmetike dhe dhëmbëzimi i barabartë

Le të shqyrtojmë disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik në rritje $\left(((a)_(n)) \right)$. Le të përpiqemi t'i shënojmë ato në vijën numerike:

Kam shënuar në mënyrë specifike terma arbitrare $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dhe jo disa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etj. Sepse rregulli për të cilin do t'ju tregoj tani funksionon njësoj për çdo "segment".

Dhe rregulli është shumë i thjeshtë. Le të kujtojmë formulën e përsëritur dhe ta shkruajmë atë për të gjithë termat e shënuar:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=(a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fund (radhis)\]

Megjithatë, këto barazi mund të rishkruhen ndryshe:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=(a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fund (radhis)\]

Pra, çfarë? Dhe fakti që termat $((a)_(n-1))$ dhe $((a)_(n+1))$ qëndrojnë në të njëjtën distancë nga $((a)_(n)) $ . Dhe kjo distancë është e barabartë me $d$. E njëjta gjë mund të thuhet për termat $((a)_(n-2))$ dhe $((a)_(n+2))$ - ato janë hequr gjithashtu nga $((a)_(n) )$ në të njëjtën distancë të barabartë me $2d$. Mund të vazhdojmë pafundësisht, por kuptimi ilustrohet mirë nga fotografia

Çfarë do të thotë kjo për ne? Kjo do të thotë se $((a)_(n))$ mund të gjendet nëse numrat fqinjë janë të njohur:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne kemi nxjerrë një pohim të shkëlqyer: çdo term i një progresion aritmetik është i barabartë me mesataren aritmetike të termave fqinjë të tij! Për më tepër: ne mund të tërhiqemi nga $((a)_(n))$-ja jonë majtas dhe djathtas jo me një hap, por me hapa $k$ - dhe formula do të jetë ende e saktë:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ato. ne mund të gjejmë lehtësisht disa $((a)_(150))$ nëse dimë $((a)_(100))$ dhe $((a)_(200))$, sepse $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Në pamje të parë, mund të duket se ky fakt nuk na jep asgjë të dobishme. Megjithatë, në praktikë, shumë probleme janë përshtatur posaçërisht për të përdorur mesataren aritmetike. Hidhini një sy:

Detyra nr. 6. Gjeni të gjitha vlerat e $x$ për të cilat numrat $-6((x)^(2))$, $x+1$ dhe $14+4((x)^(2))$ janë terma të njëpasnjëshëm të një progresion aritmetik (në rendin e treguar).

Zgjidhje. Që kur numrat e specifikuar janë anëtarë të progresionit, kushti mesatar aritmetik është i plotësuar për ta: element qendror$x+1$ mund të shprehet në terma të elementëve fqinjë:

\[\filloj(rreshtoj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fund (radhis)\]

Doli klasik ekuacioni kuadratik. Rrënjët e tij: $x=2$ dhe $x=-3$ janë përgjigjet.

Përgjigje: −3; 2.

Detyra nr 7. Gjeni vlerat e $$ për të cilat numrat $-1;4-3;(()^(2))+1$ formojnë një progresion aritmetik (në atë renditje).

Zgjidhje. Le të shprehim përsëri termin e mesëm përmes mesatares aritmetike të termave fqinjë:

\[\fillim(lidhoj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\katër \majtas| \cdot 2 \djathtas.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fund (radhis)\]

Përsëri ekuacion kuadratik. Dhe përsëri ka dy rrënjë: $x=6$ dhe $x=1$.

Përgjigje: 1; 6.

Nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi dilni me disa numra brutalë, ose nuk jeni plotësisht të sigurt për saktësinë e përgjigjeve të gjetura, atëherë ekziston një teknikë e mrekullueshme që ju lejon të kontrolloni: a e kemi zgjidhur problemin saktë?

Le të themi në problemin nr. 6 morëm përgjigjet −3 dhe 2. Si mund të kontrollojmë që këto përgjigje janë të sakta? Le t'i lidhim ato në gjendjen origjinale dhe të shohim se çfarë ndodh. Më lejoni t'ju kujtoj se kemi tre numra ($-6(()^(2))$, $+1$ dhe $14+4(()^(2))$), të cilët duhet të formojnë një progresion aritmetik. Le të zëvendësojmë $x=-3$:

\[\fillimi(rreshtoj) & x=-3\Rightshigjeta \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fund (radhis)\]

Morëm numrat −54; −2; 50 që ndryshojnë me 52 është padyshim një progresion aritmetik. E njëjta gjë ndodh për $x=2$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=2\Djathtas shigjetë \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fund (radhis)\]

Përsëri një progresion, por me një diferencë prej 27. Kështu, problemi u zgjidh saktë. Ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë vetë problemin e dytë, por unë do të them menjëherë: gjithçka është e saktë edhe atje.

Në përgjithësi, duke vendosur detyrat e fundit, hasëm një tjetër fakt interesant, e cila gjithashtu duhet të mbahet mend:

Nëse tre numra janë të tillë që i dyti është mesi aritmetika së pari dhe së fundi, atëherë këta numra formojnë një progresion aritmetik.

Në të ardhmen, të kuptuarit e kësaj deklarate do të na lejojë të "dizajnojmë" fjalë për fjalë progresionet e nevojshme, bazuar në kushtet e problemit. Por, përpara se të përfshihemi në një "ndërtim" të tillë, duhet t'i kushtojmë vëmendje një fakti tjetër, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga ajo që tashmë është diskutuar.

Grupimi dhe përmbledhja e elementeve

Le të kthehemi në boshti numerik. Le të vërejmë atje disa anëtarë të progresionit, midis të cilëve, ndoshta. vlen për shumë anëtarë të tjerë:

Le të përpiqemi të shprehim "bishtin e majtë" përmes $((a)_(n))$ dhe $d$, dhe "bishtin e djathtë" përmes $((a)_(k))$ dhe $d$. Është shumë e thjeshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fund (radhis)\]

Tani vini re se shumat e mëposhtme janë të barabarta:

\[\fillim(radhis) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fund (radhis)\]

E thënë thjesht, nëse konsiderojmë si fillim dy elementë të progresionit, të cilët në total janë të barabartë me një numër $S$, dhe më pas fillojmë të kalojmë nga këta elementë në anët e kundërta(në drejtim të njëri-tjetrit ose anasjelltas për t'u larguar), pastaj do të jenë të barabarta edhe shumat e elementeve mbi të cilat do të pengohemi$S$. Kjo mund të paraqitet më qartë grafikisht:

Kuptimi ky fakt do të na lejojë të zgjidhim problemet në një thelb më shumë nivel të lartë vështirësi nga ato që kemi konsideruar më lart. Për shembull, këto:

Detyra nr 8. Përcaktoni ndryshimin e një progresioni aritmetik në të cilin termi i parë është 66, dhe prodhimi i termit të dytë dhe të dymbëdhjetë është më i vogli i mundshëm.

Zgjidhje. Le të shkruajmë gjithçka që dimë:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \fund (radhis)\]

Pra, ne nuk e dimë ndryshimin e progresionit $d$. Në fakt, e gjithë zgjidhja do të ndërtohet rreth diferencës, pasi produkti $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=(a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\majtas(66+d \djathtas)\cdot \majtas(66+11d \djathtas)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \djathtas)\cdot \left(d+6 \djathtas). \fund (radhis)\]

Për ata në tank: E nxora shumëzues i përbashkët 11 nga kllapa e dytë. Kështu, produkti i kërkuar është një funksion kuadratik në lidhje me variablin $d$. Prandaj, merrni parasysh funksionin $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiku i tij do të jetë një parabolë me degë lart, sepse nëse zgjerojmë kllapat, marrim:

\[\fillim(rreshtoj) & f\left(d \djathtas)=11\majtas(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \djathtas)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpika 72d+11\cpika 66\cpika 6 \fund(radhis)\]

Siç mund ta shihni, koeficienti i termit më të lartë është 11 - kjo është numër pozitiv, pra kemi të bëjmë vërtet me një parabolë me degë lart:

orarin funksion kuadratik- parabolë

Ju lutemi vini re: vlerë minimale kjo parabolë merr $((d)_(0))$ në kulmin e saj me abshisë. Natyrisht, ne mund ta llogarisim këtë abshisë duke përdorur skemën standarde (ekziston formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), por do të ishte shumë më e arsyeshme të shënohet se kulmi i dëshiruar shtrihet në simetrinë e boshtit të parabolës, prandaj pika $((d)_(0))$ është e barabartë nga rrënjët e ekuacionit $f\left(d \right)=0$:

\[\fillim(rreshtoj) & f\majtas(d \djathtas)=0; \\ & 11\cdot \majtas(d+66 \djathtas)\cdot \majtas(d+6 \djathtas)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\katër ((d)_(2))=-6. \\ \fund (radhis)\]

Kjo është arsyeja pse nuk nxitova të hapja kllapat: në formën e tyre origjinale, rrënjët ishin shumë, shumë të lehta për t'u gjetur. Prandaj, abshisa është e barabartë me mesataren numrat aritmetikë−66 dhe −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Çfarë na jep numri i zbuluar? Me të, produkti i kërkuar merr vlera më e vogël(nga rruga, ne kurrë nuk kemi llogaritur $((y)_(\min ))$ - kjo nuk kërkohet nga ne). Në të njëjtën kohë, ky numër është ndryshimi nga progresioni origjinal, d.m.th. gjetëm përgjigjen. :)

Përgjigje: -36

Detyra nr. 9. Ndërmjet numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac(1)(6)$ futni tre numra në mënyrë që së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

Zgjidhje. Në thelb, ne duhet të bëjmë një sekuencë prej pesë numrash, me të parën dhe numri i fundit tashmë dihet. Le t'i shënojmë numrat që mungojnë me variablat $x$, $y$ dhe $z$:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \djathtas\ )\]

Vini re se numri $y$ është "mesi" i sekuencës sonë - është i barabartë nga numrat $x$ dhe $z$, dhe nga numrat $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac (1) (6)$. Dhe nëse nga numrat $x$ dhe $z$ jemi në për momentin ne nuk mund të marrim $y$, atëherë situata është e ndryshme me skajet e progresionit. Le të kujtojmë mesataren aritmetike:

Tani, duke ditur $y$, do të gjejmë numrat e mbetur. Vini re se $x$ ndodhet midis numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $y=-\frac(1)(3)$ që sapo gjetëm. Kjo është arsyeja pse

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, gjejmë numrin e mbetur:

Gati! I gjetëm të tre numrat. Le t'i shkruajmë në përgjigje sipas radhës në të cilën duhet të futen midis numrave origjinalë.

Përgjigje: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Detyra nr 10. Ndërmjet numrave 2 dhe 42, vendosni disa numra që së bashku me këta numra formojnë një progresion aritmetik, nëse e dini se shuma e numrave të parë, të dytë dhe të fundit është 56.

Zgjidhje. Edhe më shumë detyrë e vështirë, e cila, megjithatë, zgjidhet sipas të njëjtës skemë si ato të mëparshme - përmes mesatares aritmetike. Problemi është se ne nuk e dimë saktësisht se sa numra duhet të futen. Prandaj, le të supozojmë me saktësi se pas futjes së gjithçkaje do të ketë saktësisht numra $n$, dhe i pari prej tyre është 2, dhe i fundit është 42. Në këtë rast, progresioni i kërkuar aritmetik mund të paraqitet në formën:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \djathtas\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

Megjithatë, vini re se numrat $((a)_(2))$ dhe $((a)_(n-1))$ janë marrë nga numrat 2 dhe 42 në skajet me një hap drejt njëri-tjetrit, dmth. në qendër të sekuencës. Dhe kjo do të thotë se

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Por atëherë shprehja e shkruar më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \djathtas)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fund (radhis)\]

Duke ditur $((a)_(3))$ dhe $((a)_(1))$, ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\majtas(3-1 \djathtas)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Djathtas shigjetë d=5. \\ \fund (radhis)\]

Gjithçka që mbetet është të gjesh kushtet e mbetura:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpika 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpika 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpika 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpika 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpika 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpika 5=42; \\ \fund (radhis)\]

Kështu, tashmë në hapin e 9-të do të arrijmë në skajin e majtë të sekuencës - numrin 42. Gjithsej duheshin futur vetëm 7 numra: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Përgjigje: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme me fjalë me përparime

Si përfundim, do të doja të konsideroja disa relativisht detyra të thjeshta. Epo, kaq e thjeshtë: për shumicën e studentëve që studiojnë matematikë në shkollë dhe nuk kanë lexuar atë që është shkruar më sipër, këto probleme mund të duken të vështira. Sidoqoftë, këto janë llojet e problemeve që shfaqen në OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, kështu që ju rekomandoj që të njiheni me to.

Detyra nr. 11. Ekipi prodhoi 62 pjesë në janar, dhe në çdo muaj pasardhës ata prodhoi 14 pjesë më shumë se në muajin e kaluar. Sa pjesë prodhoi ekipi në nëntor?

Zgjidhje. Natyrisht, numri i pjesëve të renditura sipas muajve do të përfaqësojë një progresion aritmetik në rritje. Për më tepër:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=62;\katër d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 14. \\ \fund (rreshtoj)\]

Nëntori është muaji i 11-të i vitit, kështu që ne duhet të gjejmë $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpika 14=202\]

Prandaj, 202 pjesë do të prodhohen në nëntor.

Detyra nr. 12. Punëtoria e libërlidhjes ka lidhur 216 libra në janar dhe në çdo muaj pasardhës ka lidhur 4 libra më shumë se në atë të mëparshëm. Sa libra lidhi seminari në dhjetor?

Zgjidhje. Gjithçka është e njëjtë:

$\fillim(rreshtoj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 4. \\ \fund (rreshtoj)$

Dhjetori është muaji i fundit, i 12-të i vitit, kështu që ne po kërkojmë për $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Kjo është përgjigja - 260 libra do të lidhen në dhjetor.

Epo, nëse keni lexuar deri këtu, unë nxitoj t'ju përgëzoj: ju keni përfunduar me sukses "kursin e luftëtarëve të rinj" në përparimet aritmetike. Ju mund të kaloni me siguri në mësimin tjetër, ku do të studiojmë formulën për shumën e progresionit, si dhe të rëndësishme dhe shumë pasoja të dobishme prej saj.