Si të gjeni lartësinë e bazës së një piramide të rregullt trekëndore. Çfarë na lejon ta konsiderojmë piramidën një mrekulli gjeometrike? Burimet e internetit

Këtu mund të gjeni informacione bazë për piramidat dhe formulat dhe konceptet përkatëse. Të gjithë ata studiohen me një mësues matematike në përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Konsideroni një plan, një shumëkëndësh , i shtrirë në të dhe një pikë S, jo e shtrirë në të. Le të lidhim S me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Polyedroni që rezulton quhet piramidë. Segmentet quhen brinjë anësore. Shumëkëndëshi quhet bazë, dhe pika S është maja e piramidës. Në varësi të numrit n, piramida quhet trekëndore (n=3), katërkëndore (n=4), pesëkëndëshe (n=5) e kështu me radhë. Titulli alternativ piramidë trekëndore – katërkëndësh. Lartësia e një piramide është pingulja që zbret nga maja e saj në rrafshin e bazës.

Një piramidë quhet e rregullt nëse një shumëkëndësh i rregullt, dhe baza e lartësisë së piramidës (baza e pingules) është qendra e saj.

Komenti i tutorit:
Mos i ngatërroni konceptet e "piramidës së rregullt" dhe "tetraedrit të rregullt". Në një piramidë të rregullt, skajet anësore nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me skajet e bazës, por në një katërkëndor të rregullt, të 6 skajet janë të barabarta. Ky është përkufizimi i tij. Është e lehtë të vërtetohet se barazia nënkupton që qendra P e poligonit përkon me një lartësi bazë, pra një tetraedron i rregullt është një piramidë e rregullt.

Çfarë është një apotemë?
Apotema e një piramide është lartësia e faqes anësore të saj. Nëse piramida është e rregullt, atëherë të gjitha apotemat e saj janë të barabarta. E kundërta nuk është e vërtetë.

Një mësues matematike për terminologjinë e tij: 80% e punës me piramida ndërtohet përmes dy llojeve të trekëndëshave:
1) Që përmban apotemën SK dhe lartësinë SP
2) Që përmban skajin anësor SA dhe PA të projeksionit të tij

Për të thjeshtuar referencat ndaj këtyre trekëndëshave, është më e përshtatshme që një mësues matematike të thërrasë të parin prej tyre apotemal, dhe e dyta bregdetare. Fatkeqësisht, këtë terminologji nuk do ta gjeni në asnjë nga tekstet shkollore dhe mësuesi duhet ta prezantojë në mënyrë të njëanshme.

Formula për vëllimin e një piramide:
1) , ku është sipërfaqja e bazës së piramidës dhe është lartësia e piramidës
2) , ku është rrezja e sferës së brendashkruar dhe është zona sipërfaqe të plotë piramidat.
3) , ku MN është distanca midis çdo dy skajesh kryqëzuese dhe është zona e paralelogramit të formuar nga mesi i katër skajeve të mbetura.

Vetia e bazës së lartësisë së një piramide:

Pika P (shih figurën) përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar në bazën e piramidës nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1) Të gjitha apotemat janë të barabarta
2) Të gjitha fytyrat anësore po aq të prirur nga baza
3) Të gjitha apotemat janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësinë e piramidës
4) Lartësia e piramidës është e prirur njësoj nga të gjitha faqet anësore

Komenti i mësuesit të matematikës: Ju lutemi vini re se të gjitha pikat kanë një gjë të përbashkët pronë e përgjithshme: në një mënyrë apo tjetër, fytyrat anësore janë të përfshira kudo (apotemat janë elementët e tyre). Prandaj, mësuesi mund të ofrojë një formulim më pak të saktë, por më të përshtatshëm për të mësuar: pika P përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar, bazën e piramidës, nëse ka ndonjë informacion të barabartë për faqet e saj anësore. Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se të gjithë trekëndëshat apotema janë të barabartë.

Pika P përkon me qendrën e një rrethi të rrethuar pranë bazës së piramidës nëse një nga tre kushtet është e vërtetë:
1) Të gjitha skajet anësore janë të barabarta
2) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën
3) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në lartësi

Ky video tutorial do t'i ndihmojë përdoruesit të kenë një ide për temën e Piramidës. Piramida e saktë. Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide dhe do t'i japim një përkufizim. Le të shqyrtojmë se çfarë është një piramidë e rregullt dhe cilat veti ka. Pastaj vërtetojmë teoremën për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt.

Në këtë mësim do të njihemi me konceptin e një piramide dhe do t'i japim një përkufizim.

Konsideroni një shumëkëndësh A 1 A 2...Një n, që shtrihet në rrafshin α, dhe pika P, e cila nuk shtrihet në rrafshin α (Fig. 1). Le të lidhim pikat P me kulme A 1, A 2, A 3, … Një n. marrim n trekëndëshat: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R e kështu me radhë.

Përkufizimi. Polyedron RA 1 A 2 ...A n, i përbërë nga n- katror A 1 A 2...Një n Dhe n trekëndëshat RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 quhet n-piramida e qymyrit. Oriz. 1.

Oriz. 1

Konsideroni një piramidë katërkëndore PABCD(Fig. 2).

R- maja e piramidës.

ABCD- baza e piramidës.

RA- brinjë anësore.

AB- brinjë bazë.

Nga pika R le të hedhim pingulën RN në rrafshin bazë ABCD. Perpendikularja e vizatuar është lartësia e piramidës.

Oriz. 2

Sipërfaqja e plotë e piramidës përbëhet nga sipërfaqja anësore, domethënë sipërfaqja e të gjitha faqeve anësore dhe sipërfaqja e bazës:

S e plotë = ana S + S kryesore

Një piramidë quhet e saktë nëse:

• baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt;
• segmenti që lidh majën e piramidës me qendrën e bazës është lartësia e saj.

Shpjegim duke përdorur shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore

Konsideroni një piramidë të rregullt katërkëndore PABCD(Fig. 3).

R- maja e piramidës. Baza e piramidës ABCD - katërkëndëshi i rregullt, pra një katror. Pika RRETH, pika e prerjes së diagonaleve, është qendra e katrorit. Do të thotë, ROështë lartësia e piramidës.

Oriz. 3

Shpjegimi: në të saktë n Në një trekëndësh, qendra e rrethit të brendashkruar dhe qendra e rrethit përputhen. Kjo qendër quhet qendra e shumëkëndëshit. Ndonjëherë ata thonë se kulmi është projektuar në qendër.

Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të nxjerrë nga kulmi i saj quhet apotemë dhe është caktuar h a.

1. të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta;

2. Faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.

Ne do të japim një provë të këtyre vetive duke përdorur shembullin e një piramide të rregullt katërkëndore.

E dhënë: PABCD- e saktë piramidë katërkëndore,

ABCD- katror,

RO- lartësia e piramidës.

Provojë:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Shih Fig. 4.

Oriz. 4

Dëshmi.

RO- lartësia e piramidës. Domethënë drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe për këtë arsye e drejtpërdrejtë SHA, VO, SO Dhe BËJ i shtrirë në të. Pra trekëndëshat ROA, ROV, ROS, ROD- drejtkëndëshe.

Konsideroni një katror ABCD. Nga vetitë e një katrori del se AO = VO = CO = BËJ.

Pastaj trekëndëshat kënddrejtë ROA, ROV, ROS, ROD këmbën RO- të përgjithshme dhe këmbët SHA, VO, SO Dhe BËJ janë të barabartë, që do të thotë se këta trekëndësha janë të barabartë në dy brinjë. Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e segmenteve, RA = PB = RS = PD. Pika 1 është vërtetuar.

Segmentet AB Dhe dielli janë të barabarta sepse janë brinjë të të njëjtit katror, RA = PB = RS. Pra trekëndëshat AVR Dhe VSR - isosceles dhe të barabartë në tre anët.

Në mënyrë të ngjashme gjejmë se trekëndëshat ABP, VCP, CDP, DAP janë dykëndësh dhe të barabartë, siç kërkohet të vërtetohet në paragrafin 2.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës:

Për ta vërtetuar këtë, le të zgjedhim një piramidë të rregullt trekëndore.

E dhënë: RAVS- piramidë e rregullt trekëndore.

AB = BC = AC.

RO- lartësia.

Provojë: . Shih Fig. 5.

Oriz. 5

Dëshmi.

RAVS- piramidë e rregullt trekëndore. Kjo është AB= AC = BC. Le RRETH- qendra e trekëndëshit ABC, Pastaj ROështë lartësia e piramidës. Në bazën e piramidës shtrihet një trekëndësh barabrinjës ABC. Vini re se .

Trekëndëshat RAV, RVS, RSA- të barabartë trekëndëshat dykëndësh(nga pasuria). Një piramidë trekëndore ka tre faqe anësore: RAV, RVS, RSA. Kjo do të thotë se sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është:

Ana S = 3S RAW

Teorema është vërtetuar.

Rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m, lartësia e piramidës është 4 m. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.

E dhënë: piramidë e rregullt katërkëndore ABCD,

ABCD- katror,

r= 3 m,

RO- lartësia e piramidës,

RO= 4 m.

Gjeni: Ana S. Shih Fig. 6.

Oriz. 6

Zgjidhje.

Sipas teoremës së provuar,.

Le të gjejmë fillimisht anën e bazës AB. Ne e dimë se rrezja e një rrethi të gdhendur në bazën e një piramide të rregullt katërkëndore është 3 m.

Pastaj, m.

Gjeni perimetrin e katrorit ABCD me një anë prej 6 m:

Konsideroni një trekëndësh BCD. Le M- mesi i anës DC. Sepse RRETH- mes BD, Kjo (m).

Trekëndëshi DPC- izosceles. M- mes DC. Kjo është, RM- mesatare, dhe për këtë arsye lartësia në trekëndësh DPC. Pastaj RM- apotema e piramidës.

RO- lartësia e piramidës. Pastaj, drejt RO pingul me rrafshin ABC, dhe për këtë arsye e drejtpërdrejtë OM, i shtrirë në të. Le të gjejmë apotemën RM nga një trekëndësh kënddrejtë ROM.

Tani mund të gjejmë sipërfaqen anësore të piramidës:

Përgjigju: 60 m2.

Rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës së një piramide të rregullt trekëndore është e barabartë me m Sipërfaqja anësore është 18 m 2. Gjeni gjatësinë e apotemës.

E dhënë: ABCP- piramida e rregullt trekëndore,

AB = BC = SA,

R= m,

Ana S = 18 m2.

Gjeni: . Shih Fig. 7.

Oriz. 7

Zgjidhje.

Në një trekëndësh kënddrejtë ABCËshtë dhënë rrezja e rrethit të rrethuar. Le të gjejmë një anë AB ky trekëndësh duke përdorur ligjin e sinusit.

Duke ditur brinjën e një trekëndëshi të rregullt (m), gjejmë perimetrin e tij.

Nga teorema mbi sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt, ku h a- apotema e piramidës. Pastaj:

Përgjigju: 4 m.

Pra, ne shikuam se çfarë është një piramidë, çfarë është një piramidë e rregullt dhe vërtetuam teoremën për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në mësimin e ardhshëm do të njihemi me piramidën e cunguar.

Referencat

1. Gjeometria. Klasat 10-11: Libër mësimi për nxënës institucionet arsimore(bazë dhe nivelet e profilit) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, rev. dhe shtesë - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.
2. Gjeometria. Klasa 10-11: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm institucionet arsimore/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
3. Gjeometria. Klasa 10: Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm me studim të thelluar dhe të specializuar të matematikës /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 f.: ill.

1. Portali në internet "Yaklass" ()
2. Portali në internet "Festival ide pedagogjike"I pari i shtatorit" ()
3. Portali i Internetit "Slideshare.net" ()

Detyrë shtëpie

1. A mund të jetë një shumëkëndësh i rregullt baza e një piramide të parregullt?
2. Vërtetoni se skajet e shkëputura të një piramide të rregullt janë pingule.
3. Gjeni vlerën e këndit dihedral në anën e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore nëse apotema e piramidës është e barabartë me faqen e bazës së saj.
4. RAVS- piramidë e rregullt trekëndore. Ndërtoni këndin linear të këndit dihedral në bazën e piramidës.

Një piramidë trekëndore është një piramidë që ka një trekëndësh në bazën e saj. Lartësia e kësaj piramide është pingulja që ulet nga maja e piramidës në bazën e saj.

Gjetja e lartësisë së një piramide

Si të gjeni lartësinë e një piramide? Shumë e thjeshtë! Për të gjetur lartësinë e çdo piramide trekëndore, mund të përdorni formulën e vëllimit: V = (1/3)Sh, ku S është zona e bazës, V është vëllimi i piramidës, h është lartësia e saj. Nga kjo formulë, nxirrni formulën e lartësisë: për të gjetur lartësinë e një piramide trekëndore, duhet të shumëzoni vëllimin e piramidës me 3, dhe më pas ndani vlerën që rezulton me sipërfaqen e bazës, do të jetë: h = (3V)/S. Meqenëse baza e një piramide trekëndore është një trekëndësh, mund të përdorni formulën për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi. Nëse dimë: sipërfaqen e trekëndëshit S dhe brinjën e tij z, atëherë sipas formulës së sipërfaqes S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, ku h është lartësia e piramidës, γ. është buza e trekëndëshit; këndi midis brinjëve të trekëndëshit dhe vetë dy brinjëve, pastaj duke përdorur formulën e mëposhtme: S = (1/2)γφsinQ, ku γ, φ janë brinjët e trekëndëshit, gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit. Vlera e sinusit të këndit Q duhet parë në tabelën e sinuseve, e cila është e disponueshme në internet. Më pas, ne zëvendësojmë vlerën e zonës në formulën e lartësisë: h = (2S)/γ. Nëse detyra kërkon llogaritjen e lartësisë së një piramide trekëndore, atëherë vëllimi i piramidës dihet tashmë.

Piramida e rregullt trekëndore

Gjeni lartësinë e një piramide të rregullt trekëndore, domethënë një piramide në të cilën të gjitha fytyrat janë trekëndëshat barabrinjës, duke ditur madhësinë e buzës γ. Në këtë rast, skajet e piramidës janë anët e trekëndëshave barabrinjës. Lartësia e një piramide të rregullt trekëndore do të jetë: h = γ√(2/3), ku γ është buza e trekëndëshit barabrinjës, h është lartësia e piramidës. Nëse zona e bazës (S) është e panjohur dhe jepet vetëm gjatësia e skajit (γ) dhe vëllimi (V) i poliedrit, atëherë ndryshorja e nevojshme në formulën nga hapi i mëparshëm duhet të zëvendësohet. nga ekuivalenti i tij, i cili shprehet në terma të gjatësisë së skajit. Sipërfaqja e një trekëndëshi (e rregullt) është e barabartë me 1/4 e produktit të gjatësisë anësore të këtij trekëndëshi në katror me rrënjën katrore prej 3. Ne e zëvendësojmë këtë formulë në vend të sipërfaqes së bazës në të mëparshmen formulën, dhe marrim formulën e mëposhtme: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Vëllimi i një tetraedri mund të shprehet përmes gjatësisë së skajit të tij, pastaj nga formula për llogaritjen e lartësisë së një figure, mund të hiqni të gjitha variablat dhe të lini vetëm anën fytyrë trekëndore shifrat. Vëllimi i një piramide të tillë mund të llogaritet duke pjesëtuar me 12 nga produkti gjatësinë e kubit të faqes së saj me rrënjën katrore prej 2.

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën e mëparshme, marrim formulën e mëposhtme për llogaritjen: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Gjithashtu e saktë prizëm trekëndor mund të futet në një sferë dhe duke ditur vetëm rrezen e sferës (R) mund të gjesh lartësinë e vetë tetraedrit. Gjatësia e skajit të tetraedrit është: γ = 4R/√6. Ne zëvendësojmë variablin γ me këtë shprehje në formulën e mëparshme dhe marrim formulën: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. E njëjta formulë mund të merret duke ditur rrezen (R) të një rrethi të gdhendur në një katërkëndor. Në këtë rast, gjatësia e skajit të trekëndëshit do të jetë e barabartë me 12 raporte ndërmjet rrënjë katrore prej 6 dhe rreze. Këtë shprehje e zëvendësojmë me formulën e mëparshme dhe kemi: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Si të gjeni lartësinë e një piramide të rregullt katërkëndore

Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të gjeni gjatësinë e lartësisë së një piramide, duhet të dini se çfarë është një piramidë e rregullt. Një piramidë katërkëndore është një piramidë që ka një katërkëndësh në bazën e saj. Nëse në kushtet e problemit kemi: vëllimin (V) dhe sipërfaqen e bazës (S) të piramidës, atëherë formula për llogaritjen e lartësisë së poliedrit (h) do të jetë si më poshtë - ndani vëllimi i shumëzuar me 3 me sipërfaqen S: h = (3V)/S. Duke pasur parasysh një bazë katrore të një piramide me një vëllim të caktuar (V) dhe gjatësi të anës γ, zëvendësoni zonën (S) në formulën e mëparshme me katrorin e gjatësisë së anës: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Lartësia e një piramide të rregullt h = SO kalon pikërisht nga qendra e rrethit që është rrethuar afër bazës. Meqenëse baza e kësaj piramide është një katror, ​​pika O është pika e kryqëzimit të diagonaleve AD dhe BC. Kemi: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Më pas, në trekëndëshin kënddrejtë SOC gjejmë (duke përdorur teoremën e Pitagorës): SO = √(SC 2 -OC 2). Tani ju e dini se si të gjeni lartësinë e një piramide të rregullt.

Përkufizimi. Buzë anësore- ky është një trekëndësh në të cilin një kënd shtrihet në majë të piramidës, dhe ana e kundërt përkon me anën e bazës (poligonin).

Përkufizimi. Brinjë anësore- Kjo aspekte të përbashkëta skajet anësore. Një piramidë ka aq skaj sa këndet e një shumëkëndëshi.

Përkufizimi. Lartësia e piramidës- kjo është një pingul i ulur nga maja në bazën e piramidës.

Përkufizimi. Apotemë- kjo është një pingul me faqen anësore të piramidës, e ulur nga maja e piramidës në anën e bazës.

Përkufizimi. Seksioni diagonal - kjo është një seksion i një piramide nga një aeroplan që kalon nëpër majën e piramidës dhe diagonalen e bazës.

Përkufizimi. Piramida e saktëështë një piramidë në të cilën baza është një shumëkëndësh i rregullt, dhe lartësia bie në qendër të bazës.

Vëllimi dhe sipërfaqja e piramidës

Formula. Vëllimi i piramidës përmes sipërfaqes dhe lartësisë së bazës:

Vetitë e piramidës

Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë mund të vizatohet një rreth rreth bazës së piramidës, dhe qendra e bazës përkon me qendrën e rrethit. Gjithashtu, një pingul i rënë nga lart kalon përmes qendrës së bazës (rrethit).

Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë ato janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtat kënde.

Brinjët anësore janë të barabarta kur formohen me rrafshin e bazës kënde të barabarta ose nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së piramidës.

Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd, atëherë një rreth mund të futet në bazën e piramidës, dhe maja e piramidës projektohet në qendër të saj.

Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd, atëherë apotemat e faqeve anësore janë të barabarta.

Vetitë e një piramide të rregullt

1. Maja e piramidës është e barabartë nga të gjitha cepat e bazës.

2. Të gjitha skajet anësore janë të barabarta.

3. Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në kënde të barabarta me bazën.

4. Apotemat e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.

5. Sipërfaqet e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.

6. Të gjitha fytyrat kanë kënde të njëjta dihedrale (të sheshta).

7. Një sferë mund të përshkruhet rreth piramidës. Qendra e sferës së rrethuar do të jetë pika e kryqëzimit të pinguleve që kalojnë nga mesi i skajeve.

8. Ju mund të vendosni një sferë në një piramidë. Qendra e sferës së brendashkruar do të jetë pika e kryqëzimit të përgjysmuesve që dalin nga këndi midis skajit dhe bazës.

9. Nëse qendra e sferës së brendashkruar përkon me qendrën e sferës së rrethuar, atëherë shuma e këndeve të rrafshët në kulm është e barabartë me π ose anasjelltas, një kënd është i barabartë me π/n, ku n është numri të këndeve në bazën e piramidës.

Lidhja midis piramidës dhe sferës

Një sferë mund të përshkruhet rreth një piramide kur në bazën e piramidës ka një shumëfaqësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (e nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të planeve që kalojnë pingul përmes mesit të skajeve anësore të piramidës.

Është gjithmonë e mundur të përshkruhet një sferë rreth çdo piramide trekëndore ose të rregullt.

Një sferë mund të futet në një piramidë nëse rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme diedrale të piramidës kryqëzohen në një pikë (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të jetë qendra e sferës.

Lidhja e një piramide me një kon

Një kon thuhet se është i gdhendur në një piramidë nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e gdhendur në bazën e piramidës.

Një kon mund të futet në një piramidë nëse apotemat e piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Një kon thuhet se është i rrethuar rreth një piramide nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e rrethuar rreth bazës së piramidës.

Një kon mund të përshkruhet rreth një piramide nëse të gjitha skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Marrëdhënia midis një piramide dhe një cilindri

Një piramidë quhet e gdhendur në një cilindër nëse maja e piramidës shtrihet në njërën bazë të cilindrit, dhe baza e piramidës është e gdhendur në një bazë tjetër të cilindrit.

Një cilindër mund të përshkruhet rreth një piramide nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së piramidës.

Një katërkëndor ka katër faqe, katër kulme dhe gjashtë skaje, ku çdo dy skaj nuk ka kulme të përbashkëta por nuk prekin.

Çdo kulm përbëhet nga tre faqe dhe skaje që formohen kënd trekëndësh.

Një segment që lidh kulmin e një tetraedri me qendrën fytyrë e kundërt thirrur mediana e tetraedrit(GM).

Bimedian quhet një segment që lidh mesin e skajeve të kundërta që nuk preken (KL).

Të gjithë bimedianët dhe medianët e një tetraedri kryqëzohen në një pikë (S). Në këtë rast, bimediat ndahen përgjysmë, dhe medianat ndahen në një raport 3:1 duke filluar nga lart.

Përkufizimi. Piramida akute me kënd- një piramidë në të cilën apotema është më shumë se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.

Përkufizimi. Piramidë e mpirë- një piramidë në të cilën apotema është më e vogël se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.

Përkufizimi. Tetraedron i rregullt- një katërkëndësh në të cilin të katër faqet janë trekëndësha barabrinjës. Ai është një nga pesë shumëkëndëshat e rregullt. NË tetraedron i rregullt Të gjitha kënde dihedrale(ndërmjet faqeve) dhe këndet trekëndësh (në kulm) janë të barabartë.

Përkufizimi. Katërkëndëshi drejtkëndor quhet tetraedron në të cilin ka një kënd të drejtë midis tre skajeve në majë (skajet janë pingul). Formohen tre fytyra kënd trekëndësh drejtkëndor dhe skajet janë trekëndëshat kënddrejtë, dhe bazën trekëndësh arbitrar. Apotema e çdo fytyre është e barabartë me gjysmën e anës së bazës mbi të cilën bie apotema.

Përkufizimi. Tetraedri izohedral quhet katërkëndësh, faqet anësore të të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe baza është një trekëndësh i rregullt. Një katërkëndësh i tillë ka faqe që janë trekëndësha dykëndësh.

Përkufizimi. Tetraedri ortocentrik quhet katërkëndësh në të cilin të gjitha lartësitë (perpendikularët) që janë ulur nga maja në faqen e kundërt kryqëzohen në një pikë.

Përkufizimi. Piramida e yjeve quhet shumëfaqësh, baza e të cilit është një yll.

Nxënësit ndeshen me konceptin e një piramide shumë kohë përpara se të studiojnë gjeometrinë. Faji qëndron tek mrekullitë e famshme të mëdha egjiptiane të botës. Prandaj, kur fillojnë të studiojnë këtë poliedron të mrekullueshëm, shumica e studentëve tashmë e imagjinojnë qartë atë. Të gjitha atraksionet e sipërpërmendura kanë formën e duhur. Çfarë ka ndodhur piramida e rregullt, dhe cilat veti ka do të diskutohet më tej.

Përkufizimi

Ka shumë përkufizime të një piramide. Që nga kohërat e lashta, ajo ka qenë shumë e popullarizuar.

Për shembull, Euklidi e përcaktoi atë si një figurë trupore të përbërë nga rrafshe që, duke filluar nga një, konvergojnë në një pikë të caktuar.

Heron dha një formulim më të saktë. Ai këmbënguli se kjo ishte shifra që ka një bazë dhe aeroplanë brenda në formën e trekëndëshave, duke konverguar në një pikë.

Bazuar në interpretimin modern, piramida përfaqësohet si një poliedron hapësinor i përbërë nga një k-gon dhe k. figura të sheshta formë trekëndore, duke pasur një pikë të përbashkët.

Le ta shohim më në detaje, nga cilat elemente përbëhet:

• K-gon konsiderohet baza e figurës;
• Format 3-gonale dalin si skajet e pjesës anësore;
• pjesa e sipërme nga e cila burojnë elementet anësore quhet maja;
• të gjithë segmentet që lidhin një kulm quhen skaje;
• nëse një vijë e drejtë ulet nga kulmi në rrafshin e figurës në një kënd prej 90 gradë, atëherë pjesa e saj e mbyllur në hapësirë ​​e brendshme- lartësia e piramidës;
• në çdo element anësor, një pingul, i quajtur apotemë, mund të vizatohet në anën e shumëkëndëshit tonë.

Numri i skajeve llogaritet duke përdorur formulën 2*k, ku k është numri i anëve të k-gonit. Sa faqe ka një shumëfaqësh si një piramidë, mund të përcaktohet duke përdorur shprehjen k+1.

E rëndësishme! Piramida formën e saktë quhet një figurë stereometrike, rrafshi bazë i së cilës është një k-gon me brinjë të barabarta.

Vetitë themelore

Piramida e saktë ka shumë prona, të cilat janë unike për të. Le t'i rendisim ato:

1. Baza është një figurë e formës së duhur.
2. Skajet e piramidës që kufizojnë elementet anësore kanë vlera numerike të barabarta.
3. Elementet anësore janë trekëndësha dykëndësh.
4. Baza e lartësisë së figurës bie në qendër të shumëkëndëshit, ndërsa është njëkohësisht pika qendrore e të brendashkruarit dhe të rrethuarit.
5. Të gjitha brinjë anësore të prirur në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd.
6. Të gjitha sipërfaqet anësore kanë të njëjtin kënd të prirjes në lidhje me bazën.

Faleminderit të gjithëve pronat e listuara, kryerja e llogaritjeve të elementeve është shumë më e lehtë. Bazuar në vetitë e mësipërme, ne i kushtojmë vëmendje dy shenja:

1. Në rastin kur shumëkëndëshi përshtatet në një rreth, faqet anësore do të kenë kënde të barabarta me bazën.
2. Kur përshkruani një rreth rreth një shumëkëndëshi, të gjitha skajet e piramidës që dalin nga kulmi do të kenë gjatësi të barabartë dhe kënde të barabarta me bazën.

Baza është një katror

Piramida e rregullt katërkëndore - një shumëkëndësh baza e të cilit është katror.

Ka katër faqe anësore, të cilat në pamje janë të njëtrajtshme.

Një katror është përshkruar në një plan, por bazohet në të gjitha vetitë e një katërkëndëshi të rregullt.

Për shembull, nëse keni nevojë të lidhni anën e një katrori me diagonalen e tij, atëherë përdorni formulën e mëposhtme: Diagonalja është e barabartë me prodhimin e brinjës së katrorit dhe rrënjës katrore të dy.

Ai bazohet në një trekëndësh të rregullt

Një piramidë e rregullt trekëndore është një shumëkëndësh, baza e të cilit është një 3-këndësh i rregullt.

Nëse baza është trekëndësh kënddrejtë, dhe skajet anësore janë të barabarta me skajet e bazës, atëherë një figurë e tillë quajtur një katërkëndor.

Të gjitha faqet e një katërkëndëshi janë 3-këndësh barabrinjës. NË në këtë rast Ju duhet të dini disa pika dhe të mos humbni kohë për to kur llogaritni:

• këndi i prirjes së brinjëve në çdo bazë është 60 gradë;
• madhësia e të gjitha fytyrave të brendshme është gjithashtu 60 gradë;
• çdo fytyrë mund të veprojë si bazë;
• , të vizatuar brenda figurës, këto janë elemente të barabarta.

Seksionet e një poliedri

Në çdo poliedron ka disa lloje seksionesh banesë. Shpesh në kursi shkollor gjeometritë punojnë me dy:

• boshtore;
• paralel me bazën.

Një seksion boshtor fitohet duke kryqëzuar një shumëfaqësh me një plan që kalon nëpër kulm, skajet anësore dhe boshtin. Në këtë rast, boshti është lartësia e tërhequr nga kulmi. Aeroplani i prerjes është i kufizuar nga linjat e kryqëzimit me të gjitha fytyrat, duke rezultuar në një trekëndësh.

Kujdes! Në një piramidë të rregullt, seksioni boshtor është një trekëndësh dykëndësh.

Nëse rrafshi i prerjes shkon paralelisht me bazën, atëherë rezultati është opsioni i dytë. Në këtë rast, kemi një figurë tërthore të ngjashme me bazën.

Për shembull, nëse baza është një katror, ​​atëherë seksioni paralel me bazën do të jetë gjithashtu një katror, ​​vetëm me dimensione më të vogla.

Kur zgjidhin probleme në këtë kusht, ata përdorin shenja dhe veti të ngjashmërisë së figurave, bazuar në teoremën e Talesit. Para së gjithash, është e nevojshme të përcaktohet koeficienti i ngjashmërisë.

Nëse rrafshi është tërhequr paralel me bazën dhe ai ndërpritet pjesa e sipërme poliedrik, atëherë në pjesën e poshtme fitohet një piramidë e rregullt e cunguar. Atëherë thuhet se bazat e një poliedri të cunguar janë shumëkëndësha të ngjashëm. Në këtë rast, faqet anësore janë trapezoide izoscele. Seksioni boshtor është gjithashtu i njëtrajtshëm.

Për të përcaktuar lartësinë e një poliedri të cunguar, është e nevojshme të vizatoni lartësinë brenda seksion boshtor, domethënë në një trapez.

Sipërfaqet

bazë problemet gjeometrike që duhet të zgjidhen në një lëndë të gjeometrisë shkollore janë gjetja e sipërfaqes dhe vëllimit të një piramide.

Ekzistojnë dy lloje të vlerave të sipërfaqes:

• zona e elementeve anësore;
• sipërfaqe të të gjithë sipërfaqes.

Nga vetë emri është e qartë se për çfarë po flasim. Sipërfaqja anësore përfshin vetëm elemente anësore. Nga kjo rrjedh se për ta gjetur atë, thjesht duhet të shtoni zonat e planeve anësore, domethënë zonat e 3-goneve izosceles. Le të përpiqemi të nxjerrim formulën për sipërfaqen e elementeve anësore:

1. Sipërfaqja e një barazcelulare 3-gon është e barabartë me Str=1/2(aL), ku a është ana e bazës, L është apotema.
2. Numri i planeve anësore varet nga lloji i k-gonit në bazë. Për shembull, një piramidë e rregullt katërkëndore ka katër plane anësore. Prandaj, është e nevojshme të shtohet sipërfaqe prej katër shifrat Side=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Shprehja është thjeshtuar në këtë mënyrë sepse vlera është 4a = Rosn, ku Rosn është perimetri i bazës. Dhe shprehja 1/2*Rosn është gjysmëperimetri i saj.
3. Pra, konkludojmë se sipërfaqja e elementeve anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me produktin e gjysmëperimetrit të bazës dhe apotemës: Sside = Rosn * L.

Sipërfaqja e përgjithshme e piramidës përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të rrafsheve anësore dhe bazës: Sp.p = Side + Sbas.

Sa i përket zonës së bazës, këtu formula përdoret sipas llojit të poligonit.

Vëllimi i një piramide të rregullt e barabartë me produktin e sipërfaqes së planit bazë dhe lartësinë e pjesëtuar me tre: V=1/3*Sbas*H, ku H është lartësia e shumëkëndëshit.

Çfarë ka ndodhur piramida e saktë në gjeometri

Vetitë e një piramide të rregullt katërkëndore