Bir dörtgen içine bir daire yazılmışsa, o zaman toplam. Yazılı ve çevrelenmiş dörtgenler

Tüm köşeleri daire üzerinde yer alıyorsa, bir dairenin içine bir dörtgen yazılır. Böyle bir daire bir dörtgen etrafında çevrelenmiştir.

Her dörtgen bir dairenin etrafında tanımlanamayacağı gibi, her dörtgen de bir dairenin içine yazılamaz.

Bir daire içine yazılan dışbükey bir dörtgen, zıt açılarının toplamının 180° olması özelliğine sahiptir. Dolayısıyla, A açısının C açısına ve B açısının D açısına zıt olduğu bir ABCD dörtgeni verilirse, o zaman ∠A + ∠C = 180° ve ∠B + ∠D = 180° olur.

Genel olarak, eğer bir çift zıt köşeler dörtgenlerin toplamı 180° ise diğer çiftin toplamı aynı miktara ulaşacaktır. Bu şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır: dışbükey dörtgen açıların toplamı her zaman 360°'dir. Buna karşılık, bu gerçek, dışbükey çokgenler için açıların toplamının 180° * (n – 2) formülüyle belirlendiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır; burada n, açıların (veya kenarların) sayısıdır.

Döngüsel dörtgen özelliğini aşağıdaki şekilde kanıtlayabilirsiniz. O çemberinin içine bir ABCD dörtgeni yazılsın. ∠B + ∠D = 180° olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

B açısı bir dairenin içine yazılmıştır. Bilindiği gibi böyle bir açı yarıya eşit dayandığı yay. İÇİNDE bu durumda B açısı yay ADC tarafından desteklenir, bu da ∠B = ½◡ADC anlamına gelir. (Yay, onu oluşturan yarıçaplar arasındaki açıya eşit olduğundan, iç bölgesi D noktasını içeren ∠B = ½∠AOC yazabiliriz.)

Diğer tarafta, dörtgenin D açısı ABC yayına dayanmaktadır, yani ∠D = ½◡ABC.

B ve D açılarının kenarları daireyi aynı noktalarda (A ve C) kestiklerinden, daireyi yalnızca iki yaya (◡ADC ve ◡ABC) bölerler. Çünkü tam daire toplamı 360°'ye eşit olur, bu durumda ◡ADC + ◡ABC = 360° olur.

Böylece aşağıdaki eşitlikler elde edildi:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Açıların toplamını ifade edelim:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Parantezlerin ½'sini çıkaralım:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Yayların toplamını sayısal değerleriyle değiştirelim:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Yazılı bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamının 180° olduğunu bulduk. Kanıtlanması gereken şey buydu.

Yazılı bir dörtgenin bu özelliğe sahip olması (karşıt açıların toplamı 180°'dir), karşıt açıları toplamı 180° olan herhangi bir dörtgenin bir daire içine çizilebileceği anlamına gelmez. Gerçekte bu doğru olmasına rağmen. Bu gerçek isminde yazılı dörtgen testi ve şu şekilde formüle edilir: eğer bir dışbükey dörtgenin zıt açılarının toplamı 180° ise, o zaman onun etrafında bir daire tanımlanabilir (veya bir daireye yazılabilir).

Yazılı bir dörtgen için testi çelişki yoluyla kanıtlayabilirsiniz. Karşılıklı B ve D açılarının toplamı 180° olan bir ABCD dörtgeni verilsin. Bu durumda D açısı çemberin üzerinde değildir. Daha sonra CD parçasını içeren doğru üzerinde çemberin üzerinde olacak şekilde bir E noktası alın. Sonuç bir döngüsel ABCE dörtgenidir. Bu dörtgenin zıt B ve E açıları vardır, bu da bunların toplamının 180° olduğu anlamına gelir. Bu, yazılı bir dörtgenin özelliğinden kaynaklanmaktadır.

∠B + ∠D = 180° ve ∠B + ∠E = 180° olduğu ortaya çıktı. Ancak ABCD dörtgeninin AED üçgenine göre D açısı dıştadır, yani daha fazla açı Bu üçgenin E'si. Böylece bir çelişkiye ulaştık. Bu, bir dörtgenin karşıt açılarının toplamı 180° ise, o zaman her zaman bir daire içine yazılabileceği anlamına gelir.

İhtiyacın olacak

• - ile dörtgen verilen parametreler;
• - pusula;
• - cetvel;
• - iletki;
• - hesap makinesi;
• - bir kağıt parçası.

Talimatlar

Size verilen dörtgenin tüm açılarını ölçün. Karşıt açıların toplamını bulun. Dörtgeni içine yerleştirin daire ancak zıt açıların toplamı 180°'ye eşitse mümkündür. Böylece, açıklananları oluşturun daire Her zaman bir karenin veya bir yamuğun etrafında dolaşabilirsiniz.

Çizmek daire R yarıçaplı. Merkezini belirleyin. Nasıl O ile gösterilir. Onu dairenin kendisinde bulun keyfi nokta ve herhangi bir harfle adlandırın. Diyelim ki burası A noktası. diğer eylemler Dörtgen size bu yüzden verilmiştir. Bir karenin köşegenleri birbirine diktir ve çevrelenen dairenin yarıçaplarıdır. Bu nedenle, aralarındaki açı 90° olan iki çap oluşturun. Bunların kesiştiği noktalar daire Bunları düz çizgilerle seri olarak bağlayın.

Bir dikdörtgeni sığdırmak için köşegenler arasındaki açıyı veya kenarların boyutlarını bilmeniz gerekir. İkinci durumda açı, Pisagor teoremi, sinüsler veya kosinüsler kullanılarak kullanılabilir. Çaplardan birini çizin. Bunu örneğin A ve C noktalarıyla belirtin. Aynı zamanda köşegenin ortası olan O noktasından köşegenler arasındaki açıyı işaretleyin. Merkez aracılığıyla ve yeni nokta ikinci bir çap çizin. Kare durumunda olduğu gibi, çapların kesişme noktalarını seri olarak bağlayın. daire Yu.

Bir ikizkenar yamuk oluşturmak için daire üzerinde rastgele bir nokta bulun. Ondan üst veya alt tabana eşit bir akor oluşturun. Ortasını bulun ve içinden ve dairenin merkezinden dik bir çap çizin. Yamuğun yüksekliğinin çapını bir kenara koyun. Bu noktadan geçene kadar her iki yönde de bir dik çizin. daire Yu. Uçları çiftler halinde bağlayın.

Faydalı tavsiyeler

Yazılı çokgenler oluştururken AutoCAD programıÖncelikle ana menüde "Çizim" açılır penceresini ve içinde "Çokgen" işlevini bulun. Karenin kenar sayısı hemen belirlenir. Ekranda göründüğünde, "Yazılı/sınırlı çokgen" işlevine gidin. Gerekli oluşum anında ekranda görünecektir.

Bu programda bir yamuk veya dikdörtgen oluşturmak için köşegenlerin kesişme noktasının koordinatlarını bulun. Aynı zamanda çevrelenen dairenin merkezi olacaktır.

Yamuk, iki tarafı (tabanları) paralel ve diğer ikisi ( taraflar) mutlaka paralel olmamalıdır. Bir yamuğun dört köşesinin tümü aynı daire üzerinde yer alıyorsa, bu dörtgenin bu dairenin içinde yazılı olduğu söylenir. Böyle bir rakam oluşturmak zor değil.

İhtiyacın olacak

• Kağıt, kalem, kare, pusula.

Talimatlar

Yazılı yamuk için ek bir gereklilik yoksa, istediğiniz uzunlukta kenarlara sahip olabilirsiniz. Bu nedenle, örneğin sol alt çeyrekte rastgele bir taneyle inşa etmeye başlayın. A harfiyle etiketleyin - burada yazılan köşelerden biri olacaktır. daire yamuk.

A'dan başlayıp kesişme noktasında biten yatay bir çizgi çizin. daire sağ altta. Bu kesişimi B harfiyle etiketleyin. Oluşturulan AB parçası yamuğun alt tabanıdır.

Herhangi uygun bir şekilde merkezin üstüne, alt tabana paralel bir parça çizin. Örneğin, elinizde bir tane varsa, bunu şu şekilde yapabilirsiniz: onu AB tabanına takın ve yardımcı bir dikey çizgi çizin. Daha sonra aleti dairenin merkezinin üzerindeki yardımcı çizgiye yerleştirin ve her iki tarafına da dik çizgiler çizin ve her birini kesişme noktasında sonlandırın. daire Yu. Bu iki dikme bir birinin üzerinde durmalı ve daha sonra yamuğun üst tabanını oluşturmalıdır. Sol uç nokta Bu tabanı D harfiyle, sağdaki tabanı ise C harfiyle etiketleyin.

Kare yoksa ancak pusula varsa üst tabanın inşası daha da kolay olacaktır. Çemberin sol üst çeyreğine rastgele bir nokta yerleştirin. Tek koşul, A noktasının kesinlikle dikey olarak üzerine yerleştirilmemesidir, aksi takdirde oluşturulan şekil bir kare olacaktır. Noktayı D harfiyle etiketleyin ve A ve D noktaları arasındaki mesafeyi pusula üzerinde işaretleyin. Ardından pusulayı B noktasına yerleştirin ve dairenin sağ üst çeyreğinde işaretlenen mesafeye karşılık gelen noktayı işaretleyin. Bunu C harfiyle etiketleyin ve D ve C noktalarını birleştirerek üst tabanı çizin.

AD ve BC parçalarını çizerek yazılı yamuğun kenarlarını çizin.

Konuyla ilgili video

Tanımlanan tanıma göre daire tüm köşe köşelerinden geçmelidir verilen çokgen. Bu durumda, ne tür bir çokgen olduğu hiç önemli değil - üçgen, kare, dikdörtgen, yamuk veya başka bir şey. Ayrıca çokgenin düzenli veya düzensiz olması da önemli değildir. Sadece çevresinde çokgenler olduğunu dikkate almanız gerekir. daire tarif edilemez. Her zaman açıklayabilirsin daireüçgenin etrafında. O zaman dörtgenlere gelince daire bir kare veya dikdörtgen veya ikizkenar yamuk etrafında tanımlanabilir.

İhtiyacın olacak

• Belirtilen çokgen
• Cetvel
• Kare
• Kalem
• Pusula
• İletki
• Sinüs ve kosinüs tabloları
• Matematiksel kavramlar ve formüller
• Pisagor teoremi
• Sinüs teoremi
• Kosinüs teoremi
• Üçgenlerin benzerlik belirtileri

Talimatlar

Verilen parametrelerle bir çokgen oluşturun ve etrafını tanımlamanın mümkün olup olmadığı daire. Eğer size bir dörtgen verilmişse, onun karşıt açılarının toplamını hesaplayınız. Her biri 180°'ye eşit olmalıdır.

Açıklamak için daire, yarıçapını hesaplamanız gerekir. Farklı çokgenlerde dairenin merkezinin nerede olduğunu unutmayın. Bir üçgende tüm yüksekliklerin kesişme noktasıdır verilen üçgen. Bir kare ve dikdörtgenlerde - köşegenlerin kesişme noktasında, yamuk için - simetri ekseninin kenarların orta noktalarını birleştiren çizgiyle kesişme noktasında ve diğerleri için dışbükey çokgen- kesişme noktasında dik açıortaylar yanlara.

Pisagor teoremini kullanarak bir kare ve bir dikdörtgenin çevrelediği dairenin çapını hesaplayın. Eşit olacak karekök dikdörtgenin kenarlarının karelerinin toplamından. Tüm kenarları eşit olan bir karenin köşegeni, bir kenarının karesinin iki katının kareköküne eşittir. Çapı 2'ye bölmek yarıçapı verir.

Üçgenin çevre yarıçapını hesaplayın. Üçgenin parametreleri koşullarda verildiğinden, R = a/(2·sinA) formülünü kullanarak yarıçapı hesaplayın; burada a, üçgenin kenarlarından biridir, ? - onun karşısındaki açı. Bu kenar yerine karşı kenarı ve açıyı alabilirsiniz.

Yamuk çevresinde çevrelenen dairenin yarıçapını hesaplayın. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) Bu formülde a ve b, koşullardan bilinen yamuğun tabanları, h yüksekliği, d ise köşegen, p = 1/ 2*(a+d+c) . Eksik değerleri hesaplayın. Yükseklik sinüs veya kosinüs teoremi kullanılarak hesaplanabilir; yamuğun kenarlarının uzunlukları ve açılar koşullarda verilmiştir. Yüksekliği bilerek ve üçgenlerin benzerliklerini dikkate alarak köşegeni hesaplayın. Bundan sonra yukarıdaki formülü kullanarak yarıçapı hesaplamaya devam eder.

Konuyla ilgili video

Faydalı tavsiyeler

Başka bir çokgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapını hesaplamak için aşağıdakileri yapın: ek yapılar. Daha fazlasını alın basit rakamlar parametreleri sizin tarafınızdan bilinen.

Görev uyum sağlamaktır daire çokgençoğu zaman bir yetişkinin kafasını karıştırabilir. Okul çocuğunun kararını açıklaması gerekiyor, bu yüzden ebeveynler sörf yapmaya gidiyor Dünya çapında Ağ bir çözüm arıyoruz.

Talimatlar

Çizmek daire. Pusula iğnesini dairenin kenarına yerleştirin ancak yarıçapı değiştirmeyin. Kesişen iki yay çizin daire pusulayı sağa ve sola çevirerek.

Pusula iğnesini daire boyunca yayın kesiştiği noktaya kadar hareket ettirin. Pusulayı tekrar çevirin ve dairenin dış hatlarını kesen iki yay daha çizin. Bu işlemi ilk noktayla kesişene kadar tekrarlayın.

Çizmek daire. Çapı ortasından çizin, çizgi yatay olmalıdır. Çemberin merkezinden geçen bir dik çizin, şunu elde edersiniz: dikey çizgi(örneğin SV).

Yarıçapı ikiye bölün. Bu noktayı çap çizgisi üzerinde işaretleyin (bunu A olarak etiketleyin). İnşa etmek daire merkezi A noktasında ve yarıçapı AC olan. İle karşıya geçerken yatay çizgi başka bir puan alacaksınız (örneğin D). Sonuç olarak, CD segmenti beşgenin yazılması gereken tarafı olacaktır.

Yarıçapı CD'ye eşit olan yarım daireleri dairenin konturu boyunca yerleştirin. Böylece orijinal daire beş eşit parçaya bölünecek. Noktaları bir cetvelle birleştirin. Bir beşgenin içine yazılması problemi daire da tamamlandı.

Aşağıdakiler sığdırılarak anlatılmıştır daire kare. Bir çap çizgisi çizin. Bir iletki alın. Çapın dairenin kenarıyla kesiştiği noktaya yerleştirin. Pusulayı yarıçapın uzunluğuna kadar açın.

Kesişene kadar iki yay çizin daire Pusulayı bir yöne veya diğerine çeviriyorsun. Pusulanın ayağını karşı noktaya hareket ettirin ve aynı çözümle iki yay daha çizin. Ortaya çıkan noktaları birleştirin.

Çapın karesini alın, ikiye bölün ve kökü alın. Sonuç olarak, karenin içine kolayca sığabilecek bir kenarı elde edeceksiniz. daire. Pusulayı bu uzunluğa kadar açın. İğnesini tak daire ve dairenin bir tarafıyla kesişen bir yay çizin. Pusulanın ayağını ortaya çıkan noktaya hareket ettirin. Yayı tekrar çizin.

Prosedürü tekrarlayın ve iki nokta daha çizin. Dört noktayı da birleştirin. Bu, bir kareyi sığdırmanın daha kolay bir yoludur daire.

Uyum sağlama görevini düşünün daire. Çizmek daire. Daire üzerinde rastgele bir nokta alın - bu üçgenin tepe noktası olacaktır. Bu noktadan itibaren pusulayı tutarak, ile kesişene kadar bir yay çizin. daire Yu. Bu ikinci zirve olacak. Benzer şekilde ondan üçüncü bir köşe oluşturun. Noktaları bir cetvelle birleştirin. Çözüm bulundu.

Konuyla ilgili video

Çizim araçlarını kullanarak bir kareyi bir daireye kolayca sığdırabilirsiniz. Ancak bu sorun, onların tamamen yokluğunda bile çözülebilir. Sadece karenin bazı özelliklerini hatırlamanız gerekiyor.

İhtiyacın olacak

• -pusula
• -kalem
• -kare
• -makas

Talimatlar

Soruna çizin. Açıkçası, dairenin çapı burada yazılı olanın köşegenidir. Hatırlamak bilinen özellik kare: köşegenleri birbirine diktir. Belirli bir kareyi oluştururken bu köşegen ilişkisini kullanın.

Çemberin çapını çizin. Merkezden, birinciye 90 derecelik açıyla ikinci bir çap çizmek için bir kare kullanın. Dik çapların kesişme noktalarını daireye bağlayın ve bu dairenin içine yazılan bir kare elde edin.

Çizim aracı olarak yalnızca pusulanız varsa bir daire çizin. Daire üzerinde rastgele bir nokta işaretleyin ve düz bir kenar kullanarak içinden bir çap çizin. Şimdi çapın uçları arasındaki dairenin yarısını iki eşit parçaya bölmek için bir pusula kullanmanız gerekiyor. Çapın daire ile kesişme noktalarından, pusula açıklığını değiştirmeden iki çentik açın. Bu çentiklerin kesiştiği noktadan dairenin merkezine ikinci bir çap çizin. Açıkçası, ilkine dik olacak.

Çizim araçlarınız yoksa belirli bir çevreyle sınırlı bir daire kesebilirsiniz. Kesilen şekli tam olarak ikiye katlayın. İşlemi tekrarlayın. Katlama çizgisinin uçlarını hizalamanız gerekir, ardından kavisli bölümler ek çaba harcamadan eşleşecektir. Katlama çizgilerini düzeltin. Şimdi daireyi çevirin. Katlama çizgileri açıkça görülüyor. Katlama çizgilerinin kesişme noktaları arasındaki daire parçalarını daire ile katlayın ve bu parçaları kesin. Kesim çizgileri istenilen karenin kenarlarıdır. Kesilen kareyi yerleştirin verilen daire merkezini dairenin katlama çizgilerinin kesişme noktasıyla hizalayarak. Karenin köşeleri dairenin üzerindeymiş gibi görünecek, ki bu da gerekliydi.

Bir daire tamamen çokgenin içinde yer alıyorsa, çokgenin içine yazılmış olduğu söylenir. Açıklanan şeklin her iki tarafının daire ile ortak bir noktası vardır.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler.

Eğitici. Tanımlanan dörtgen kavramına, özelliklerine, özelliklerine başarılı bir şekilde hakim olmak için koşullar yaratmak ve bunları pratikte uygulama becerilerine hakim olmak.

Gelişimsel. Matematiksel yeteneklerin geliştirilmesi, ileri ve geri düşünce dizisini genelleştirme ve uygulama yeteneği için koşulların yaratılması.

Eğitici. Çizimlerin estetiği yoluyla güzellik duygusunu geliştirmek, alışılmadık olanı şaşırtmak

karar, organizasyonun oluşumu, kişinin işinin sonuçlarının sorumluluğu.

1. Sınırlandırılmış bir dörtgenin tanımını inceleyin.

2. Sınırlandırılmış dörtgenin kenarlarının özelliğini kanıtlayın.

3. Toplamların özelliklerinin ikiliğini tanıtın zıt taraflar ve yazılı ve çevrelenmiş dörtgenlerin zıt açıları.

4. Problemleri çözerken dikkate alınan teoremlerin pratik uygulaması konusunda deneyim sağlamak.

5. Yeni materyalin asimilasyon seviyesinin ilk izlemesini gerçekleştirin.

Teçhizat:

• bilgisayar, projektör;
• ders kitabı “Geometri. Genel eğitim için 10-11 sınıflar”. kurumlar: temel ve profil.

otomatik seviyeler AV. Pogorelov.

Yazılım: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Öğretmeni derse hazırlarken bilgisayar kullanmak.

1. Standart bir Windows işletim sistemi programı kullanılarak ders için aşağıdakiler oluşturuldu:
2. Sunum.
3. Tablolar.
4. Çizimler.

Bildiri materyali.

Ders özeti. (2 dakika)

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı. Selamlar. Dersin konusunu ve amacını belirtin. Dersin tarihini ve konusunu not defterinize kaydedin.

2. Ödevleri kontrol etmek.

Sınırlandırılmış çokgen kavramı üzerinde çalışın. Tanım. Çokgen denir tarif edildi eğer bir daire hakkında Tüm onun tarafları kaygı

biraz daire.

<Презентация. Слайд №2>

<Презентация. Слайд №3>

Sınırlandırılmış dörtgenin özelliklerinin kanıtı.

Teorem. Sınırlandırılmış bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşittir.

Öğrenciler ders kitabıyla çalışır ve teoremin formülasyonunu bir deftere yazarlar.

1. Teoremin formülasyonunu koşullu cümle biçiminde sunun.

2. Teoremin koşulu nedir?

3. Teoremin sonucu nedir? Cevap. Eğer bir daire etrafında bir dörtgen çizilir, O

karşı tarafların toplamları eşittir.

<Презентация. Слайд №4>

İspat yapılır, öğrenciler not defterlerine not alırlar. Öğretmen. Not ikilik

çevrelenmiş ve yazılı dörtgenlerin kenarları ve açıları için durumlar.

Edinilen bilginin pekiştirilmesi.

Bitmiş çizimlere dayalı görevler. 1. Cevap. 2. 10 m. 3. 20 m.

Sınırlandırılmış bir dörtgenin özelliğinin kanıtı.

Ters teoremi belirtin. <Презентация. Слайд №2>

Cevap. Bir dörtgende karşıt tarafların toplamları eşitse, içine bir daire yazılabilir. (Slayt 2'ye dönün, Şekil 7) Öğretmen.

Teoremin formülasyonunu açıklayın. Teorem. Karşı tarafların toplamları ise dışbükey

Dörtgen eşitse içine bir daire yazılabilir.

Edinilen bilginin uygulanması.

3. Bitmiş çizimlere dayalı görevler.

2. Tabanları 1 m ve 9 m, yüksekliği 3 m olan bir ikizkenar yamuğa daire çizmek mümkün müdür?

<Презентация. Слайд №6>

Görev. Köşegenleri 6 m ve 8 m olan eşkenar dörtgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapını bulun.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Bağımsız çalışma.

1 seçenek

1. Bir daire yazmak mümkün mü

1) kenarları 7 m ve 10 m olan bir dikdörtgene,

2. Bir daire etrafında çevrelenen bir dörtgenin karşılıklı kenarları 7 m ve 10 m'dir.

Dörtgenin çevresini bulun.

3. Bir daire etrafında tabanları 4 m ve 16 m olan eşkenar yamuk gösterilmektedir.

1) yazılı dairenin yarıçapı,

Seçenek 2

1. Bir daire çizmek mümkün mü:

1) kenarları 6 m ve 13 m olan bir paralelkenarda,

2) karesi mi?

2. Bir daire etrafında çevrelenen bir dörtgenin karşılıklı kenarları 9 m ve 11 m'dir. Dörtgenin çevresini bulunuz.

3. Yan kenarı 5 m olan eşkenar yamuk, yarıçapı 2 m olan bir dairenin çevresine çevrelenmiştir.

1) yamuğun tabanı,

2) çevrelenmiş dairenin yarıçapı.

5. Ödev. S.86, Sayı 28, 29, 30.

6. Ders özeti. Bağımsız çalışmalar kontrol edilir ve notlar verilir.

<Презентация. Слайд № 8>

ABCD'den a, b, c, d'ye ve köşegenlerini x ve y'den geçirelim. AK ^ BC ve CL ^ AD'yi çizelim.

Zıtların toplamı olduğundan köşeler Döngüsel bir dörtgen 2d ise, eğer B açısı darsa, D açısı da geniş olmalıdır.

Bu nedenle üçgenler ABC ve ADC'yi yazabiliriz:

x 2 = a 2 + b 2 - 2b. BK;

x2 = c2 + d2 + 2d. D.L.

Sağ Üçgenler ABK ve CDL benzer, Çünkü eşit derecede içerirler keskin köşe (B ve CDL açıları eşittir çünkü her biri ADC açısının 2d tamamlayıcısı görevi görür).

Benzerliklerinden şunu çıkarıyoruz:

BK nereli? c =DL'dir. A.

Böylece üç bilinmeyenli x, BK ve DL içeren üç denklem elde ederiz.

BK ve DL'yi ortadan kaldırmak için denklemi cd ile, denklemi ab ile çarptığımız ilk iki denklemin son terimlerini eşitleyelim.

Daha sonra sonuçları toplayıp denklemi dikkate alarak şunları buluruz:

(ab + cd)x 2 = a 2 cd + b 2 cd + c 2 ab + d 2 ab =ac(ad + bc) + bd(bc+ad)=(ac + bd)(ad+bc),

.

Radikal değerin payında olduğuna dikkat edin ilk çarpan- zıt tarafların çarpımlarının toplamı ve ikincisi - ürünlerin toplamı Payda, belirli bir köşegenin uçlarında yakınlaşan kenarların çarpımlarının toplamını temsil ederken, payda başka bir köşegenin uçlarında yakınsayan kenarların çarpımlarının toplamını temsil eder.

Bundan sonra benzetme yoluyla şunu yazabiliriz: aşağıdaki formülİçin köşegenler y:

.

Sonuç 1.

Köşegenlerin çarpımı döngüsel dörtgen karşıt tarafların çarpımlarının toplamına eşittir.

Aslında, x ve y için türetilen ifadeleri çarptığımızda şunu elde ederiz:

Bu öneri şu şekilde bilinir: Ptolemy'nin teoremi.

Sonuç 2.

Çapraz oran döngüsel dörtgen birinci köşegenin uçlarında yakınsayan kenarların çarpımlarının toplamının ikinci köşegenin uçlarında yakınsayan kenarların çarpımlarının toplamına oranına eşittir.

Aslında aynı iki eşitliği bölerek şunu buluruz:

.

Bu iki sonucun hatırlanması kolaydır. Bunlardan x ve y için ters formüller türetebiliriz (xy ve x/y'yi tanımlayan eşitlikleri çarparak veya bölerek).

"Daire" Herhangi bir üçgenin çevresine bir daire çizilebileceğini gördük. Yani, her üçgen için, üçgenin üç köşesinin de üzerine "oturacağı" bir daire vardır. Bunun gibi:

Soru: Aynı şey dörtgen için de söylenebilir mi? Her zaman dörtgenin dört köşesinin de "oturacağı" bir daire olacağı doğru mu?

Bunun DOĞRU OLMADIĞI ortaya çıktı! Bir dörtgen HER ZAMAN bir daire içine yazılamaz. Çok önemli bir durum var:

Bizim resmimizde:

Bakın, açılar birbirine zıttır, yani zıttırlar. Peki ya açılar ve? Onlar da birbirine zıt gibi mi görünüyor? Açılar ve yerine açıları almak mümkün mü?

Elbette yapabilirsin! Önemli olan, dörtgenin toplamı iki zıt açıya sahip olmasıdır. Geriye kalan iki açı da kendiliğinden toplanacaktır. Bana inanmıyor musun? Emin olalım. Bakmak:

Bırak olsun. Herhangi bir dörtgenin dört açısının toplamının ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Kesinlikle, . Yani - her zaman! . Ancak → .

Sihir orada!

O halde şunu çok net bir şekilde hatırlayın:

Bir daire içine bir dörtgen çizilirse, karşıt açılardan herhangi ikisinin toplamı şuna eşittir:

ve tam tersi:

Bir dörtgende toplamları eşit olan iki zıt açı varsa bu dörtgen döngüseldir.

Bunların hepsini burada kanıtlamayacağız (eğer ilgileniyorsanız, teorinin sonraki düzeylerine bakın). Ama bakalım bu nereye varacak harika gerçek yazılı bir dörtgenin zıt açılarının toplamı eşittir.

Mesela şu soru geliyor aklıma: Bir paralelkenarın etrafındaki çemberi tanımlamak mümkün mü? Önce “dürtme yöntemini” deneyelim.

Her nasılsa işe yaramıyor.

Şimdi bilgiyi uygulayalım:

Bir şekilde paralelkenarın üzerine bir daire yerleştirmeyi başardığımızı varsayalım. O zaman kesinlikle: olmalı, yani.

Şimdi paralelkenarın özelliklerini hatırlayalım:

Her paralelkenarın karşılıklı eşit açıları vardır.

Görünüşe göre

Peki ya açılar ve? Tabii ki aynı şey.

Yazılı → →

Paralelkenar→ →

Şaşırtıcı, değil mi?

Bir daireye bir paralelkenar yazılmışsa, tüm açılarının eşit olduğu, yani bir dikdörtgen olduğu ortaya çıktı!

Ve aynı zamanda - dairenin merkezi bu dikdörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıyla çakışıyor. Bu tabiri caizse bir bonus olarak dahil edilmiştir.

Bu, bir daire içine yazılmış bir paralelkenarın dikdörtgen.

Şimdi yamuk hakkında konuşalım. Bir daire içine yamuk yazılırsa ne olur? Ama öyle olacağı ortaya çıktı ikizkenar yamuk . Neden?

Yamuğun bir daire içine yazılmasına izin verin. Sonra tekrar, ancak çizgilerin paralelliği nedeniyle ve.

Bu şu anlama gelir: → → ikizkenar yamuk.

Dikdörtgenden bile daha kolay, değil mi? Ancak kesin olarak hatırlamanız gerekir - kullanışlı olacaktır:

En önemlilerini tekrar sıralayalım ana ifadeler Bir daire içine yazılan bir dörtgene teğet:

1. Bir dörtgen bir dairenin içine ancak ve ancak iki zıt açısının toplamı eşitse yazılır
2. Bir daire içine yazılmış bir paralelkenar - kesinlikle dikdörtgen ve dairenin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışıyor
3. Bir daire içine yazılan yamuk eşkenardır.

Yazılı dörtgen. Orta seviye

Her üçgenin bir çevrelenmiş çemberi olduğu bilinmektedir (bunu “Çevrelenmiş Çember” başlığında kanıtlamıştık). Dörtgen hakkında ne söylenebilir? Görünüşe göre HER dörtgen bir daire içine yazılamaz ve şöyle bir teorem var:

Bir dörtgen bir dairenin içine ancak ve ancak karşıt açılarının toplamı eşitse yazılır.

Çizimimizde -

Bunun neden böyle olduğunu anlamaya çalışalım mı? Başka bir deyişle, şimdi bu teoremi kanıtlayacağız. Ancak bunu kanıtlamadan önce ifadenin nasıl çalıştığını anlamalısınız. Açıklamadaki “o zaman ve ancak o zaman” kelimelerini fark ettiniz mi? Bu tür sözler, zararlı matematikçilerin iki ifadeyi tek bir ifadeye sığdırdıkları anlamına geliyor.

Hadi deşifre edelim:

1. “O halde” şu anlama gelir: Bir dairenin içine bir dörtgen çizilirse, bu durumda karşıt açılardan herhangi ikisinin toplamı eşittir.
2. "Ancak o zaman" şu anlama gelir: Eğer bir dörtgende toplamları eşit olan iki zıt açı varsa, o zaman böyle bir dörtgen bir dairenin içine yazılabilir.

Tıpkı Alice gibi: "Ne dersem onu ​​düşünürüm" ve "Ne düşünüyorsam onu ​​söylerim."

Şimdi hem 1'in hem de 2'nin neden doğru olduğunu bulalım.

İlk 1.

Bir dairenin içine bir dörtgen çizilsin. Merkezini işaretleyip yarıçaplarını çizelim. Ne olacak? Yazılı bir açının karşılık gelen merkez açının yarısı kadar olduğunu hatırlıyor musunuz? Hatırlarsanız hemen kullanalım, hatırlamıyorsanız konuya bir göz atın "Daire. Yazılı açı".

Yazılı

Yazılı

Ama bakın: .

- yazılıysa bunu anlıyoruz, o zaman

Eh, bunun da eklendiği açık. (bizim de dikkate almamız gerekiyor).

Şimdi “tam tersi”, yani 2.

Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamının eşit olduğu ortaya çıksın. hadi diyelim

Etrafında bir çember tanımlayabilir miyiz henüz bilmiyoruz. Ancak bir üçgenin etrafındaki daireyi tanımlayabileceğimizin garanti olduğundan eminiz. O halde hadi yapalım.

Eğer bir nokta çemberin üzerine oturmuyorsa, o zaman kaçınılmaz olarak ya dışarıda ya da içeride biter.

Her iki durumu da ele alalım.

Önce nokta dışarıda olsun. Daha sonra doğru parçası daireyi bir noktada keser. Hadi bağlanalım ve. Sonuç, yazılı (!) bir dörtgendir.

Zaten karşıt açılarının toplamının eşit olduğunu yani durumumuza göre olduğunu biliyoruz.

Öyle olması gerektiği ortaya çıktı.

Ama bunun nedeni olamaz - dış köşe için ve anlamına gelir.

Peki ya içeride? Benzer şeyleri yapalım. Mesele içeride olsun.

Daha sonra parçanın devamı daireyi bir noktada kesiyor. Yine - yazılı bir dörtgen ve duruma göre yerine getirilmesi gerekiyor, ancak - dış açı ve araç, yani yine bu olamaz.

Yani bir nokta çemberin dışında veya içinde olamaz; bu onun çemberin üzerinde olduğu anlamına gelir!

Bütün teorem kanıtlandı!

Şimdi bu teoremin ne gibi iyi sonuçlar verdiğini görelim.

Sonuç 1

Bir daire içine yazılan bir paralelkenar yalnızca bir dikdörtgen olabilir.

Bunun neden böyle olduğunu anlayalım. Bir dairenin içine bir paralelkenar yazılsın. O zaman yapılmalıdır.

Ancak paralelkenarın özelliklerinden bunu biliyoruz.

Ve tabii ki aynı şey açılar için de geçerli.

Böylece bir dikdörtgen ortaya çıkıyor - tüm köşeler yan yana.

Ancak bunun yanında hoş bir gerçek daha var: dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışmaktadır.

Nedenini anlayalım. Umarım çapın gördüğü açının düz bir çizgi olduğunu çok iyi hatırlıyorsunuzdur.

Çap,

Çap

yani merkezdir. İşte bu.

Sonuç 2

Bir daire içine yazılan bir yamuk ikizkenardır.

Yamuğun bir daire içine yazılmasına izin verin. Daha sonra.

Ve aynısı.

Her şeyi tartıştık mı? Tam olarak değil. Aslında, yazılı bir dörtgeni tanımanın başka bir "gizli" yolu daha var. Bu yöntemi çok katı olmayan (ama anlaşılır) bir şekilde formüle edeceğiz ve bunu yalnızca son seviye teoriler.

Eğer bir dörtgende, şekildeki gibi bir resim gözlemlenebiliyorsa (burada, noktaların yanlarına "bakan" açılar ve eşitse), o zaman böyle bir dörtgen yazılıdır.

Bu çok önemli bir çizimdir; problemlerde bulunması genellikle daha kolaydır eşit açılar, açıların toplamından ve.

Formülasyonumuzdaki titizlik eksikliğine rağmen doğrudur ve dahası, Birleşik Devlet Sınavı sınav görevlileri tarafından her zaman kabul edilmektedir. Bunun gibi bir şey yazmalısınız:

“- yazılı” - ve her şey yoluna girecek!

Bunu unutma önemli işaret- Resmi hatırlayın, belki sorunu çözerken zamanla gözünüze çarpacaktır.

Yazılı dörtgen. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir daire içine bir dörtgen çizilirse, karşıt açılardan herhangi ikisinin toplamı şuna eşittir:

ve tam tersi:

Bir dörtgende toplamları eşit olan iki zıt açı varsa bu dörtgen döngüseldir.

Bir dairenin içine bir dörtgen ancak ve ancak iki karşıt açısının toplamı eşitse yazılır.

Bir daire içine yazılmış paralelkenar- kesinlikle bir dikdörtgen ve dairenin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışıyor.

Bir daire içine yazılan yamuk ikizkenardır.