Diferansiyel denklemin temel çözüm sistemini bulun. Sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler

Ne olduğunu anlamak için temel karar sistemi Aynı örneğe ait eğitim videosunu tıklayarak izleyebilirsiniz. Şimdi bütünün açıklamasına geçelim gerekli çalışma. Bu, bu konunun özünü daha ayrıntılı olarak anlamanıza yardımcı olacaktır.

Doğrusal bir denklemin temel çözüm sistemi nasıl bulunur?

Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini ele alalım:

Gelin buna bir çözüm bulalım doğrusal sistem denklemler Başlangıç ​​olarak biz sistemin katsayı matrisini yazmanız gerekir.

Bu matrisi üçgene dönüştürelim.İlk satırı değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(11)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(21)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, birinciyi ikinci satırdan çıkarmanız ve farkı ikinci satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan birinciyi çıkarıp farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(41)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarıp farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Birinci ve ikinci satırları değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(22)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(32)$ elemanının yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarıp farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(42)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarıp farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(52)$ elemanının yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ikincinin 3 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Bunu görüyoruz son üç satır aynı yani üçüncüyü dördüncü ve beşinciden çıkarırsanız sıfır olur.

Bu matrise göre yaz yeni sistem denklemler.

Yalnızca üç doğrusal bağımsız denklemimiz ve beş bilinmeyenimiz olduğunu görüyoruz, dolayısıyla temel çözüm sistemi iki vektörden oluşacaktır. Yani biz son iki bilinmeyeni sağa kaydırmamız gerekiyor.

Artık sol taraftaki bilinmeyenleri sağ taraftaki bilinmeyenlerle ifade etmeye başlıyoruz. Son denklemle başlıyoruz, önce $x_3$'ı ifade ediyoruz, sonra elde edilen sonucu ikinci denklemde yerine koyup $x_2$'yi, sonra da ilk denklemi ifade ediyoruz ve burada $x_1$'ı ifade ediyoruz. Böylece sol taraftaki tüm bilinmeyenleri, sağ taraftaki bilinmeyenler aracılığıyla ifade etmiş olduk.

Daha sonra $x_4$ ve $x_5$ yerine herhangi bir sayıyı değiştirebiliriz ve $x_1$, $x_2$ ve $x_3$'ı bulabiliriz. Bu sayıların her beşi orijinal denklem sistemimizin kökleri olacaktır. Dahil edilen vektörleri bulmak için FSR$x_4$ yerine 1 yazmamız ve $x_5$ yerine 0 yazmamız, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ bulmamız ve sonra da tam tersi $x_4=0$ ve $x_5=1$ bulmamız gerekiyor.

İkinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

İkinci dereceden diferansiyel denklem şu şekildedir:

Tanım.İkinci dereceden bir denklemin genel çözümü, herhangi bir değer için bu denklemin çözümü olan bir fonksiyondur.

Tanım.İkinci dereceden doğrusal homojen bir denkleme denklem denir. Katsayılar sabitse, yani. bağlı değilse bu denkleme denklem denir sabit katsayılar ve şu şekilde yazın: .

Denklem biz buna doğrusal homojen olmayan denklem diyeceğiz.

Tanım. Doğrusal bir denklemden elde edilen bir denklem homojen denklem Bir fonksiyonun bir ile ve karşılık gelen kuvvetleriyle değiştirilmesine karakteristik denklem denir.

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantına bağlı olarak bir çözümü olduğu bilinmektedir: yani eğer , o zaman kökler ve gerçektir farklı sayılar. Eğer öyleyse. Eğer, yani , o zaman olacak hayali sayı, ve kökler ve - karmaşık sayılar. Bu durumda belirtmeyi kabul ediyoruz.

Örnek 4. Denklemi çözün.

Çözüm. Bunun ayırt edicisi ikinci dereceden denklem, Bu yüzden .

Karakteristik denklemin köklerinin formundan nasıl bulunacağını göstereceğiz. genel çözüm ikinci dereceden homojen doğrusal denklem.

Karakteristik denklemin gerçek kökleri ise, o zaman .

Karakteristik denklemin kökleri aynı ise; , daha sonra diferansiyel denklemin genel çözümü aşağıdaki formül kullanılarak aranır veya .

Eğer karakteristik denklem o halde karmaşık köklere sahiptir.

Örnek 5. Denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. Bu diferansiyel denklem için karakteristik bir denklem oluşturalım: . Kökleri geçerli ve farklıdır. Bu nedenle genel çözüm .

Doğrusal homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sistemi. Doğrusal homojen diferansiyel denklemin çözümlerinin genel çözümünün yapısına ilişkin bir teorem. Bu bölümde temelin olduğunu kanıtlayacağız. doğrusal uzay homojen bir denklemin herhangi bir kısmi çözümü kümesi şu şekilde hizmet edebilir: N onun doğrusal bağımsız kararlar.
Def. 14.5.5.1. temel sistemçözümler. Temel çözüm sistemi doğrusal homojen diferansiyel denklem N -inci derece herhangi bir doğrusaldır bağımsız sistem sen 1 (X ), sen 2 (X ), …, e-n (X ) onun N özel çözümler.
Doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümünün yapısına ilişkin Teorem 14.5.5.1.1. Genel çözüm sen (X ) doğrusal bir homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sisteminden bu denklemin fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonudur:
sen (X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + …+ C n y n (X ).
Belge. İzin vermek sen 1 (X ), sen 2 (X ), …, e-n (X ) doğrusal homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sistemidir. Herhangi bir özel çözümün kanıtlanması gerekmektedir. sen Ne ( X ) bu denklemin formülünde bulunur sen (X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + …+ C n y n (X ) belirli bir sabit kümesi için C 1 , C 2 , …, Cn . Herhangi bir noktayı alalım, bu noktadaki sayıları hesaplayalım ve sabitleri bulalım. C 1 , C 2 , …, Cn doğrusallığa bir çözüm olarak Olumsuz homojen sistem cebirsel denklemler

Böyle bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir, çünkü bu sistemin determinantı eşittir. Doğrusal kombinasyonu düşünün sen (X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + …+ C n y n (X ) sabitlerin bu değerleri ile temel çözüm sisteminden fonksiyonlar C 1 , C 2 , …, Cn ve bunu fonksiyonla karşılaştırın sen Ne ( X ). Fonksiyonlar sen (X ) Ve sen Ne ( X ) bir denklemi karşılar ve aynı başlangıç ​​koşulları bu noktada X Bu nedenle Cauchy probleminin çözümünün benzersizliği nedeniyle bunlar çakışmaktadır: sen Ne ( X ) = C 1 sen 1 (X ) + C 2 sen 2 (X ) + … + C n y n (X ). Teorem kanıtlandı.
Bu teoremden, homojen bir denklemin kısmi çözümlerinin doğrusal uzayının boyutunun şu şekilde olduğu sonucu çıkar: sürekli katsayılar aşmaz N . Geriye bu boyutun daha az olmadığını kanıtlamak kalıyor. N .
Doğrusal homojen diferansiyel denklemin temel çözüm sisteminin varlığına ilişkin Teorem 14.5.5.1.2. Herhangi bir doğrusal homojen diferansiyel denklem N Sürekli katsayılı mertebenin temel bir çözüm sistemi vardır; sistemden N doğrusal bağımsız çözümler.
Belge. Herhangi bir sayısal determinantı alalım N -inci dereceden, sıfıra eşit değil

Teknolojimizi geliştirmeye devam edeceğiz temel dönüşümler Açık homojen doğrusal denklem sistemi.
İlk paragraflara bakıldığında materyal sıkıcı ve vasat görünebilir ancak bu izlenim aldatıcıdır. Teknik tekniklerin daha da geliştirilmesine ek olarak, pek çok gelişme yaşanacaktır. yeni bilgi Bu yüzden lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Homojen doğrusal denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Bir doğrusal denklem sistemi eğer serbest terim varsa homojendir. herkes sistem denklemleri sıfıra eşit. Örneğin:

Kesinlikle açıktır ki homojen bir sistem her zaman tutarlıdır yani her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce gözünüze çarpan şey sözde önemsizçözüm . Sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için önemsiz, gösterişsiz anlamına gelir. Akademik değil elbette ama anlaşılır =) ...Neden bu kadar lafı uzatmayalım ki, bu sistemin başka çözümleri var mı öğrenelim:

Örnek 1

Çözüm: Homojen bir sistemi çözmek için şunu yazmak gerekir: sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu kademeli bir forma getirin. Lütfen burada dikey çubuğu ve sıfır sütununu yazmaya gerek olmadığını unutmayın. ücretsiz üyeler- sonuçta sıfırlarla ne yaparsanız yapın, sıfır olarak kalacaklar:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi.

(2) Üçüncü satıra ikinci satır -1 ile çarpılarak eklendi.

Üçüncü satırı 3'e bölmek pek bir anlam ifade etmiyor.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir homojen sistem elde edilir Gauss yönteminin tersini kullanarak çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Açık bir kriter formüle edelim: homojen bir doğrusal denklem sistemi vardır sadece önemsiz bir çözüm, Eğer sistem matris sıralaması(V bu durumda 3) değişken sayısına eşit (bu durumda – 3 adet).

Hadi ısınalım ve radyomuzu temel dönüşüm dalgasına göre ayarlayalım:

Örnek 2

Homojen bir doğrusal denklem sistemini çözün

Nihayet algoritmayı pekiştirmek için son görevi analiz edelim:

Örnek 7

Homojen bir sistemi çözün, cevabı vektör formunda yazın.

Çözüm: Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

(1) Birinci satırın işareti değiştirildi. Birçok kez karşılaşılan ve bir sonraki eylemi önemli ölçüde basitleştirmenizi sağlayan bir tekniğe bir kez daha dikkat çekiyorum.

(1) 2. ve 3. satırlara ilk satır eklendi. İlk satırın 2 ile çarpılması 4. satıra eklendi.

(3) Son üç satır orantılı olup ikisi çıkarılmıştır.

Sonuç bir standarttır adım matrisi ve çözüm tırtıklı yol boyunca devam ediyor:

– temel değişkenler;
– serbest değişkenler.

Temel değişkenleri serbest değişkenler cinsinden ifade edelim. 2. denklemden:

– 1. denklemde yerine koyun:

Yani genel çözüm şudur:

Söz konusu örnekte üç serbest değişken olduğundan, temel sistem üç vektör içerir.

Üçlü değerlerin yerine koyalım genel çözüme dönüştürün ve koordinatları homojen sistemin her denklemini karşılayan bir vektör elde edin. Ve yine, alınan her vektörü kontrol etmenin şiddetle tavsiye edildiğini tekrar ediyorum - fazla zaman almayacak, ancak sizi hatalardan tamamen koruyacaktır.

Üçlü değerler için vektörü bul

Ve son olarak üçümüz için üçüncü vektörü elde ederiz:

Cevap: , Nerede

Kaçınmak isteyenler kesirli değerlerüçüz düşünebilir ve eşdeğer biçimde bir cevap alın:

Kesirlerden bahsetmişken. Problemde elde edilen matrise bakalım ve kendimize şu soruyu soralım: ilerideki çözümü basitleştirmek mümkün mü? Sonuçta burada önce temel değişkeni kesirlerle, sonra temel değişkeni kesirlerle ifade ettik ve şunu söylemeliyim ki bu süreç en basit ve en keyifli süreç değildi.

İkinci çözüm:

Fikir denemektir diğer temel değişkenleri seç. Matrise bakalım ve üçüncü sütunda iki tanesine dikkat edelim. Peki neden üstte sıfır olmasın? Bir temel dönüşüm daha gerçekleştirelim:

ayrıca bkz. Lineer diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözme
Temel bir çözüm sistemi arayın genel durum yeterli zor görev. Ancak bu sorunun oldukça kolay çözülebileceği bir denklem sınıfı vardır. Bu derse çalışmaya başlıyoruz.
(*)

Bu denklemdeki katsayılar sabitse, yani a i (x)=sabit ise, doğrusal diferansiyel denkleme (*) sabit katsayılı bir denklem diyelim. Bu durumda karşılık gelen homojen denklem L(y)=0 şu şekle sahip olacaktır:
. (6)
Denklem (6)'ya y = erx formunda bir çözüm arayacağız. O zaman y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . (6)'yı yerine koyarsak şunu elde ederiz:

.

Örnek. y""-3y" + 2y=0 denklemi için, r 2 - 3r + 2 = 0 karakteristik denkleminin kökleri r 1 = 1, r 2 = 2'ye eşittir (kökler bulma hizmeti aracılığıyla bulunmuştur) diskriminant) Sonuç olarak, temel çözüm sistemi y 1 = e x, y 2 = e 2 x fonksiyonlarından oluşur ve genel çözüm y = C 1 e x + C 2 e 2 x olarak yazılır.
2. Karakteristik denklemin kökleri arasında katlar vardır. r1'in α çokluğuna sahip olduğunu ve tüm diğerlerinin farklı olduğunu varsayalım. İlk önce r 1 = 0 durumunu ele alalım. O zaman karakteristik denklem şu şekilde olur:

.

N'inci dereceden LDE - ur-e, bilinmeyen fonksiyona ve türevlerine göre doğrusal ve şu şekle sahiptir:

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) verilen formda ur-e

*Eğer y 1 LOU'nun bir çözümüyse, o zaman C y 1 (burada C isteğe bağlı bir sabittir), bu denklemin de bir çözümüdür.

*LOE'nin y 1 + y 2 çözümlerinin toplamı aynı denklemin bir çözümüdür.

1 0 Rastgele çözüm sabitleri y 1 , y 2 ,…, y m LOU ile doğrusal kombinasyon aynı denklemin bir çözümüdür.

*eğer gerçek katsayıları p i (x)∈R olan LOU (1) kapsamlı çözüm y(x)=u(x)+iv(x), o zaman bu çözümün gerçel kısmı Rey=u(x) ve imajiner kısmı Imy=v(x) aynı denklemin ayrı ayrı çözümleridir.

y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) fonksiyonları çağrılır doğrusal bağımlı eğer varsa, bir (a,b) aralığında sabitler a1,a2,…,an≠0 öyle ki (a,b) aralığının tüm x'leri için özdeşlik a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + doğrudur ve a n y n (x)=0'dır. Fonksiyonlar doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan en az biri diğerlerinin doğrusal birleşimidir.

Kimlik yalnızca a1=a2=…=an=0 için geçerliyse, y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) fonksiyonları çağrılır doğrusal bağımsız(a,b) aralığında.

*eğer fonksiyonlar y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) ise doğrusal bağımlı(a,b) aralığında, ardından determinant (Vronsky Adası)

W(x)=W= =0 bu aralıkta.

Durum doğrusal bağımsızlıközel çözümler:

* eğer doğrusal bağımsız fonksiyonlar y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x), katsayıları pi (x) (a,b) aralığında sürekli olan LOE (1)'in çözümleriyse, o zaman onlar için derlenirler Wronski determinantı (a,b) aralığının hiçbir noktasında = 0 değildir.

LOU (1)'in (a,b) (i=1,2,...,n) üzerinde sürekli katsayıları p i (x) olan genel çözümü, y oo = n doğrusal olarak bağımsız kısmi çözümlerin y i'nin doğrusal bir birleşimidir. keyfi sabit katsayılı aralık.

1 0 maksimum sayı LOU'nun doğrusal bağımsız çözümleri sırasına eşittir.

FSR- n'inci dereceden herhangi n bağımsız kısmi çözüm LOU'su.

*y on =y oo +y chn

Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümünün yapısı. N'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulmak için keyfi sabitlerin değişimi yöntemi.

LPDE'ler keyfi sabitlerin değiştirilmesi yöntemiyle çözülür. İlk önce genel çözüm bulunur homojen denklem , aynı şeye sahip sol taraf, orijinali olarak homojen olmayan denklem. Daha sonra denklemin çözümü formda bulunur, yani. C sabitlerinin bağımsız değişken x'in f-mi'si olduğu varsayılmaktadır. Bu durumda sistemin çözümü olarak C 1(x) ve C2(x) fonksiyonları elde edilebilir.

U o = sen oo + u çn

Bir denklemin maksimum çözüm sayısı sırasına eşittir.

genel çözüm

44*. Sabit katsayılı doğrusal homojen diferansiyel denklem. Karakteristik polinom ve karakteristik denklem. Durumda temel bir çözüm sisteminin inşası basit kökler karakteristik polinom (gerçek ve karmaşık).

y"+p(x)y=f(x) formundaki denklem; burada p(x), f(x) a aralığında sürekli fonksiyonlardır

Eğer f(x)= 0 ise denklem homojen olarak adlandırılır.

LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0 ise

Tüm pi katsayıları sabittir, bu durumda kısmi çözümleri y=e kx formunda bulunabilir; burada k bir sabittir. Ur'da ikame

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

e kx ile azaltarak sözde elde ederiz Karakteristik seviye

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

N'inci derecedeki bu denklem, y= e kx'in sabit katsayılı orijinal diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu k değerlerini belirler.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – gerçek ve farklı

FSR: ek 1 x , ek 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - ur-i'nin çoklu kökü ve diğer tüm n-m kökleri farklıdır

FSR: ek ~ x ,x ek ~ x ,…, x m -1 ek ~ x , e km +1 x , ek n x