Bir fonksiyonun türevi sıfıra eşit olduğunda. Fonksiyonların incelenmesinde türevin uygulanması

Bir fonksiyonun türevini kullanarak incelenmesi. Bu yazıda bir fonksiyonun grafiğinin incelenmesiyle ilgili bazı görevleri analiz edeceğiz. Bu tür problemlerde, y = f (x) fonksiyonunun bir grafiği verilir ve fonksiyonun türevinin pozitif (veya negatif) olduğu noktaların sayısının belirlenmesi ve diğerleri ile ilgili sorular sorulur. Türevlerin fonksiyonların incelenmesine uygulanmasına ilişkin görevler olarak sınıflandırılırlar.

Bu tür problemleri ve genel olarak araştırmayla ilgili problemleri çözmek, ancak fonksiyonların ve türevin grafiklerini incelemek için türevin özelliklerinin tam olarak anlaşılmasıyla mümkündür. Bu nedenle ilgili teoriyi incelemenizi şiddetle tavsiye ederim. Hem çalışabilir hem de izleyebilirsiniz (ancak kısa bir özet içerir).

Gelecek yazılarımızda türev grafiğinin verildiği problemleri de ele alacağız, kaçırmayın! Yani görevler:

Şekilde (−6; 8) aralığında tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Tanımlamak:

1. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısı;

2. Fonksiyonun grafiğine teğetinin y = 2 düz çizgisine paralel olduğu noktaların sayısı;

1. Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun azaldığı aralıklarda, yani (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8) aralıklarında negatiftir. −5, −4, 1, 2, 3, 4 ve 7 tamsayı noktalarını içerirler. 7 puan alırız.

2. Doğrudan sen= 2 eksene paralelAhsen= 2 yalnızca uç noktalarda (grafiğin davranışını artandan azalana veya tersi yönde değiştirdiği noktalarda). Böyle dört nokta vardır: –3; 0; 4.2; 6.9

Kendin için karar ver:

Fonksiyonun türevinin pozitif olduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyin.

Şekilde (−5; 5) aralığında tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Tanımlamak:

2. Fonksiyonun grafiğine teğetinin y = 3 düz çizgisine paralel olduğu tamsayı noktalarının sayısı;

3. Türevin sıfır olduğu noktaların sayısı;

1. Bir fonksiyonun türevinin özelliklerinden, fonksiyonun arttığı aralıklarda, yani (1.4; 2.5) ve (4.4; 5) aralıklarında pozitif olduğu bilinmektedir. Yalnızca bir x = 2 tamsayı noktası içerirler.

2. Doğrudan sen= 3 eksene paralelAh. Teğet doğruya paralel olacaktırsen= 3 yalnızca uç noktalarda (grafiğin davranışını artandan azalana veya tersi yönde değiştirdiği noktalarda).

Bu tür dört nokta vardır: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Türev sıfırdır dört puan(ekstrem noktalarda), bunları zaten belirtmiştik.

Kendin için karar ver:

f(x) fonksiyonunun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyin.

Şekilde (−2; 12) aralığında tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. Bulmak:

1. Fonksiyonun türevinin pozitif olduğu tamsayı noktalarının sayısı;

2. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısı;

3. Fonksiyonun grafiğine teğetinin y = 2 düz çizgisine paralel olduğu tamsayı noktalarının sayısı;

4. Türevin sıfır olduğu noktaların sayısı.

1. Bir fonksiyonun türevinin özelliklerinden, fonksiyonun arttığı aralıklarda, yani (–2; 1), (2; 4), (7; 9) ve ( aralıklarında pozitif olduğu bilinmektedir. 10; 11). Tamsayı noktaları içerirler: –1, 0, 3, 8. Toplamda dört tane vardır.

2. Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun azaldığı aralıklarda, yani (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) aralıklarında negatiftir. 5 ve 6 tamsayı noktalarını içerirler. 2 puan alırız.

3. Doğrudan sen= 2 eksene paralelAh. Teğet doğruya paralel olacaktırsen= 2 yalnızca uç noktalarda (grafiğin davranışını artandan azalana veya tersi yönde değiştirdiği noktalarda). Bu tür yedi nokta vardır: 1; 2; 4; 7; 9; 10; on bir.

4. Türev yedi noktada (ekstrem noktalarda) sıfıra eşittir, bunları daha önce belirtmiştik.

Tanım.\(y = f(x)\) fonksiyonunun, içinde \(x_0\) noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde bir artış \(\Delta x \) verelim. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \) noktasına hareket ederken) ve \(\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) \). Bu oranın \(\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasındadır ve \(f"(x_0) \)'yi gösterir.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğunu, ancak doğal olarak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğunu unutmayın. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.

Geometrik anlam türevŞöyleki. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) olduğundan, \(f"(a) = tan(a) \) eşitliği doğrudur.

Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. \(y = f(x)\) fonksiyonunun türevi olsun belirli nokta\(X\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x\). Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “hemen hemen orantılıdır” ve orantı katsayısı da türevin değeridir. verilen nokta X. Örneğin, \(y = x^2\) fonksiyonu için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.

Formüle edelim.

y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?

1. \(x\) değerini sabitleyin, \(f(x)\)'i bulun
2. \(x\) argümanına bir artış \(\Delta x\) verin, şuraya gidin: yeni nokta\(x+ \Delta x \), bul \(f(x+ \Delta x) \)
3. Fonksiyonun artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.

Eğer bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).

Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.

Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) sağlanır. Bu eşitlikte ise \(\Delta x \) sıfıra yönelirse \(\Delta y \) sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.

Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde süreklidir, özellikle x = 0 noktasında, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.

Bir örnek daha. \(y=\sqrt(x)\) fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizginin açı katsayısı yoktur, bu da \(f) anlamına gelir. "(0)\) mevcut değil.

Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?

Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.

Farklılaşma kuralları

Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C - sabit sayı ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:

Bazı fonksiyonların türevleri tablosu

Türevin işareti ile fonksiyonun monotonluğunun doğası arasındaki bağlantıyı gösterme.

Lütfen aşağıdaki hususlara son derece dikkat edin. Bakın size verilenin programı! Fonksiyon veya türevi

Türevin bir grafiği verilirse o zaman sadece fonksiyon işaretleri ve sıfırlarla ilgileneceğiz. Prensip olarak herhangi bir “tepe” veya “oyuk”la ilgilenmiyoruz!

Görev 1.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin negatif olduğu tamsayı noktalarının sayısını belirleyin.

Çözüm:

Şekilde azalan fonksiyon alanları renkli olarak vurgulanmıştır:

Fonksiyonun bu azalan bölgeleri 4 tam sayı değeri içerir.

Görev 2.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun grafiğine teğetinin doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti düz bir çizgiyle paralel olduğunda (veya çakıştığında) (veya bu aynı şeydir), eğim , sıfıra eşit, bu durumda tanjantın da bir açısal katsayısı vardır.

Bu da teğetin eksene paralel olduğu anlamına gelir, çünkü eğim, teğetin eksene olan eğim açısının teğetidir.

Bu nedenle grafikte ekstremum noktalar (maksimum ve minimum noktalar) buluyoruz - bu noktalarda grafiğe teğet fonksiyonlar eksene paralel olacaktır.

Böyle 4 nokta var.

Görev 3.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun grafiğine teğetinin doğruya paralel veya çakıştığı noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti eğimi olan bir doğruya paralel (veya çakıştığı) için, teğetin de bir eğimi vardır.

Bu da temas noktalarında olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle, grafikte kaç noktanın koordinatına eşit olduğuna bakıyoruz.

Gördüğünüz gibi dört nokta var.

Görev 4.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu noktaların sayısını bulun.

Çözüm:

Türev ekstremum noktalarda sıfıra eşittir. Bunlardan 4 tanesine sahibiz:

Görev 5.

Şekilde bir fonksiyonun grafiği ve x eksenindeki on bir nokta gösterilmektedir:. Bu noktalardan kaç tanesinde fonksiyonun türevi negatiftir?

Çözüm:

Azalan fonksiyon aralıklarında türevi alır negatif değerler. Ve fonksiyon noktalarda azalır. Böyle 4 nokta var.

Görev 6.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun ekstremum noktalarının toplamını bulun.

Çözüm:

Ekstrem noktalar– bunlar maksimum puanlar (-3, -1, 1) ve minimum puanlardır (-2, 0, 3).

Ekstrem noktaların toplamı: -3-1+1-2+0+3=-2.

Görev 7.

Şekil aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiğini göstermektedir. Fonksiyonun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklara dahil olan tamsayı noktalarının toplamını belirtiniz.

Çözüm:

Şekil, fonksiyonun türevinin negatif olmadığı aralıkları vurgulamaktadır.

Küçük artan aralıkta tamsayı noktaları yoktur; artan aralıkta dört tamsayı değeri vardır: , ve .

Toplamları:

Görev 8.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Çözüm:

Şekilde türevi pozitif olan tüm aralıklar renkli olarak vurgulanmıştır, bu da fonksiyonun kendisinin bu aralıklarda arttığı anlamına gelir.

En büyüğünün uzunluğu 6'dır.

Görev 9.

Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Segmentin hangi noktasında en büyük değeri alıyor?

Çözüm:

Grafiğin ilgilendiğimiz segment üzerinde nasıl davrandığını görelim türevin yalnızca işareti .

Bu segmentteki grafik eksenin altında olduğundan türevin işareti eksidir.

Problem B9, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemeniz gereken bir fonksiyonun veya türevin grafiğini verir:

1. Türevin değeri x 0 noktasında,
2. Maksimum veya minimum noktalar (ekstrem noktalar),
3. Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir ve bu da çözümü çok daha kolaylaştırır. Görev bölüme ait olmasına rağmen matematiksel analiz Derinlik olmadığı için en zayıf öğrenciler bile bunu yapabilir. teorik bilgi burada gerekli değil.

Türevin, ekstrem noktaların ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalar yapmaktan kaçınmak için B9 sorununun koşullarını dikkatlice okuyun: bazen oldukça uzun metinlerle karşılaşırsınız, ancak önemli koşullar Kararın gidişatını etkileyen çok az şey var.

Türev değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Probleme bir f(x) fonksiyonunun bu grafiğe x 0 noktasında teğet olan bir grafiği verilirse ve bu noktada türevinin değerinin bulunması gerekiyorsa aşağıdaki algoritma uygulanır:

1. Teğet grafikte iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru yazın - bu önemli ançözümler ve buradaki herhangi bir hata, yanlış cevaba yol açar.
2. Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
3. Son olarak D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyonun artışını argümanın artışına bölmeniz gerekir - cevap bu olacaktır.

Bir kez daha belirtelim: A ve B noktaları sıklıkla olduğu gibi f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet çizgisi mutlaka bu türden en az iki nokta içerecektir - aksi takdirde sorun doğru şekilde formüle edilmeyecektir.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Görev. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan bir nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Görev. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan bir nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

İtibaren son örnek bir kural formüle edebiliriz: eğer teğet OX eksenine paralelse, fonksiyonun teğet noktasındaki türevi sıfırdır. Bu durumda hiçbir şeyi saymanıza bile gerek yok; sadece grafiğe bakın.

Maksimum ve minimum puanların hesaplanması

Bazen Problem B9, bir fonksiyonun grafiği yerine türevin grafiğini verir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunmasını gerektirir. Bu durumda iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha da basit başka bir algoritma daha vardır. Öncelikle terminolojiyi tanımlayalım:

1. Eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
2. Eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).

Türev grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için şu adımları uygulamanız yeterlidir:

1. Gereksiz tüm bilgileri kaldırarak türev grafiğini yeniden çizin. Uygulamada görüldüğü gibi, gereksiz veriler yalnızca karara müdahale eder. Bu nedenle şunu not ediyoruz: koordinat ekseni Türevin sıfırları - hepsi bu.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Eğer bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, bu durumda yalnızca iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti şöyledir: orijinal çizimden bunu belirlemek kolaydır: eğer türev grafiği OX ekseninin üzerinde yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≥ 0. Ve bunun tersi, eğer türev grafiği OX ekseninin altında yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≤ 0.
3. Yine türevin sıfırlarını ve işaretlerini kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği nokta minimum noktadır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa doğru yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli fonksiyonlar için çalışır - B9 probleminde başka şema yoktur.

Görev. Şekil, [−5; 5]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım ve sadece sınırları bırakalım [−5; 5] ve türevinin sıfırları x = −3 ve x = 2,5. Ayrıca işaretleri de not ediyoruz:

Açıkçası, x = −3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Görev. Şekilde [−3; 7]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, yalnızca [−3; 7] ve türevinin sıfırları x = −1,7 ve x = 5. Ortaya çıkan grafikte türevin işaretlerini not edelim. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Görev. Şekilde f(x) fonksiyonunun [−6; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; parçasına ait maksimum nokta sayısını bulun; 3].

Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [−4; 3]. Bu yüzden inşa ediyoruz yeni program, üzerinde yalnızca sınırları işaretliyoruz [−4; 3] ve içindeki türevinin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları. Şunu elde ederiz:

Bu grafikte sadece bir maksimum nokta x = 2 vardır. Türevin işareti artıdan eksiye doğru bu noktada değişir.

Koordinatları tam sayı olmayan noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, Son görev x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarıyla x = −3,4'ü de alabiliriz. Sorun doğru bir şekilde derlenirse, "sabit bir ikamet yeri olmayan" puanlar kabul edilmediğinden bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir. doğrudan katılım sorunu çözmede. Tabii ki bu numara tam sayı noktalarıyla çalışmaz.

Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktalar gibi, fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanları bulmak için türev grafiğinin kullanılması önerilmektedir. Öncelikle artan ve azalan şeyin ne olduğunu tanımlayalım:

1. Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde artan olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Başka bir deyişle, argüman değeri ne kadar büyük olursa, fonksiyon değeri de o kadar büyük olur.
2. Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde azalan fonksiyon olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Onlar. daha yüksek değer argüman eşleşmeleri düşük değer işlevler.

Hadi formüle edelim yeterli koşullar artan ve azalan:

1. İçin sürekli fonksiyon f(x) doğru parçası üzerinde artıyorsa, parça içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≥ 0.
2. Sürekli bir f(x) fonksiyonunun doğru parçası üzerinde azalması için parça içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≤ 0.

Bu açıklamaları delilsiz kabul edelim. Böylece, birçok yönden ekstrem noktaları hesaplama algoritmasına benzeyen, artan ve azalan aralıkları bulmak için bir şema elde ederiz:

1. Gereksiz tüm bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde öncelikle fonksiyonun sıfırlarıyla ilgilendiğimiz için yalnızca onları bırakacağız.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar, f'(x) ≤ 0 olduğunda ise azalır. Eğer problem x değişkenine kısıtlamalar getiriyorsa, bunları ek olarak yeni bir grafikte işaretliyoruz.
3. Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamaları bildiğimize göre, problemde gerekli olan miktarı hesaplamak kalıyor.

Görev. Şekilde [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda yer alan tam sayıların toplamını belirtiniz.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizelim ve sınırları işaretleyelim [−3; 7,5] ve ayrıca x = −1,5 ve x = 5,3 türevinin sıfırları. Daha sonra türevin işaretlerini not ediyoruz. Sahibiz:

Türev (− 1,5) aralığında negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamaya devam ediyor:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Görev. Şekilde f(x) fonksiyonunun [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Yalnızca [−10; 4] ve türevin sıfırları, ki bu sefer dört tane vardı: x = −8, x = −6, x = −3 ve x = 2. Türevin işaretlerini işaretleyelim ve aşağıdaki resmi elde edelim:

Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. f'(x) ≥ 0 olacak şekilde. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). Uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
ben 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıklardan en büyüğünün uzunluğunu bulmamız gerektiğinden cevap olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.

Karar verirken çeşitli görevler Bu fonksiyondan aynı analitik süreci kullanarak geometri, mekanik, fizik ve diğer bilgi dalları gerekli hale geldi y=f(x) almak yeni özellik buna denir türev fonksiyonu(ya da sadece verilen bir f(x) fonksiyonunun türevi) ve sembolüyle belirtilir

Belirli bir fonksiyondan elde edilen süreç f(x) yeni bir özellik edinin f"(x), isminde farklılaşma ve aşağıdaki üç adımdan oluşur: 1) argümanı verin X artış  X ve fonksiyonun karşılık gelen artışını belirleyin  y = f(x+ x) -f(x); 2) bir ilişki kurmak

3) sayma X sabit ve  X0, buluruz
ile gösterdiğimiz f"(x) sanki ortaya çıkan işlevin yalnızca değere bağlı olduğunu vurguluyormuş gibi X, bu noktada sınıra gidiyoruz. Tanım: Türev y " =f " (x) verilen fonksiyon y=f(x) belirli bir x için bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir; argümanın artışının sıfıra yönelmesi şartıyla, tabii ki bu limit mevcutsa, yani. sonlu. Böylece,
, veya

Bir miktar değer için ise şunu unutmayın Xörneğin ne zaman x=a, davranış
en  X0 eğilimi yok sonlu sınır, o zaman bu durumda fonksiyonun olduğunu söylüyorlar f(x) en x=a(veya bu noktada x=a) türevi yoktur veya bu noktada türevlenebilir değildir x=a.

2. Türevin geometrik anlamı.

x 0 noktası civarında türevlenebilir olan y = f (x) fonksiyonunun grafiğini düşünün.

f(x)

Bir fonksiyonun grafiğindeki bir noktadan (A(x 0, f (x 0)) geçen ve grafiği bir B(x;f(x)) noktasında kesen rastgele bir düz çizgiyi düşünelim. Böyle bir doğruya (AB) sekant adı verilir. ∆ABC'den: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

AC'den bu yana || Ox ise ALO = BAC = β (paralele karşılık gelen şekilde). Ancak ALO, AB sekantının Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır. Bu, tanβ = k'nin AB düz çizgisinin eğimi olduğu anlamına gelir.

Şimdi ∆х'u azaltacağız, yani. ∆х→ 0. Bu durumda grafiğe göre B noktası A noktasına yaklaşacak ve AB sekantı dönecektir. AB keseninin ∆x→ 0'daki sınırlayıcı konumu, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğeti olarak adlandırılan düz bir çizgi (a) olacaktır.

tgβ =∆y/∆x eşitliğinde ∆x → 0 limitine gidersek, şunu elde ederiz:
ortg =f "(x 0), çünkü
-teğetin Ox ekseninin pozitif yönüne eğim açısı
bir türevin tanımı gereği. Ancak tg = k, teğetin açısal katsayısıdır, bu da k = tg = f "(x 0) anlamına gelir.

Dolayısıyla türevin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir:

Bir fonksiyonun x noktasındaki türevi 0 eşittir eğim apsis x noktasında çizilen fonksiyonun grafiğine teğet 0 .

3. Türevin fiziksel anlamı.

Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünün. Bir noktanın herhangi bir andaki koordinatı x(t) verilsin. Belirli bir zaman periyodundaki ortalama hızın, bu zaman periyodunda kat edilen mesafenin zamana oranına eşit olduğu (bir fizik dersinden) bilinmektedir;

Vav = ∆x/∆t. Son eşitlikteki ∆t → 0 limitine gidelim.

lim Vav (t) = (t 0) - anlık hız t 0 anında, ∆t → 0.

ve lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (türev tanımı gereği).

Yani (t) =x"(t).

Türevin fiziksel anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun türevisen = F(X) noktadaX 0 fonksiyonun değişim hızıdırF(x) noktasındaX 0

Türev fizikte hızı bulmak için kullanılır. bilinen fonksiyon zamana karşı koordinatlar, hızın zamana karşı bilinen bir fonksiyonuna göre ivme.

(t) = x"(t) - hız,

a(f) = "(t) - ivme veya

Bir daire içindeki maddi bir noktanın hareket kanunu biliniyorsa açısal hız bulunabilir ve açısal ivme dönme hareketi sırasında:

φ = φ(t) - zamanla açıdaki değişim,

ω = φ"(t) - açısal hız,

ε = φ"(t) - açısal ivme veya ε = φ"(t)

Homojen olmayan bir çubuğun kütle dağılımı yasası biliniyorsa, homojen olmayan çubuğun doğrusal yoğunluğu bulunabilir:

m = m(x) - kütle,

x  , l - çubuğun uzunluğu,

p = m"(x) - doğrusal yoğunluk.

Türev kullanılarak esneklik ve harmonik titreşim teorisinden kaynaklanan problemler çözülür. Yani Hooke kanununa göre

F = -kx, x – değişken koordinat, k – yay esneklik katsayısı. ω 2 =k/m koyarak yay sarkacının diferansiyel denklemini x"(t) + ω 2 x(t) = 0 elde ederiz,

burada ω = √k/√m salınım frekansı (l/c), k - yay sertliği (H/m).

y" + ω 2 y = 0 formundaki bir denkleme harmonik salınımların denklemi (mekanik, elektriksel, elektromanyetik) denir. Bu tür denklemlerin çözümü fonksiyondur.

y = Asin(ωt + φ 0) veya y = Acos(ωt + φ 0), burada

A - salınımların genliği, ω - döngüsel frekans,

φ 0 - başlangıç ​​aşaması.