Harmonik osilatör(klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvetin etkisini deneyimleyen bir sistem F, yer değiştirmeyle orantılı X :
,Nerede k- sabit katsayı.
Eğer F Sisteme etki eden tek kuvvet olduğuna göre sisteme denir. basit veya muhafazakar harmonik osilatör. Böyle bir sistemin serbest titreşimleri periyodik hareket denge konumuna yakın (harmonik titreşimler). Frekans ve genlik sabittir ve frekans, genliğe bağlı değildir.
Mekanik örnekler harmonik osilatör matematiksel bir sarkaç (küçük sapma açılarına sahip), bir burulma sarkacı ve akustik sistemlerdir. Harmonik bir osilatörün mekanik olmayan analogları arasında, bir elektriksel harmonik osilatörün ayırt edilmesi mümkündür (bkz. LC devresi).
Muhafazakar harmonik osilatörün serbest salınımları
Denklem ve çözümleri
İzin vermek X- maddi bir noktanın denge konumuna göre yer değiştirmesi ve F- Bir noktaya etki eden herhangi bir nitelikteki kuvveti geri getiren kuvvet
F = − k x (\displaystyle F=-kx),Nerede k= sabit Daha sonra Newton'un ikinci yasasını kullanarak ivmeyi şu şekilde yazabiliriz:
a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac (k)(m))x).Belirleme ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m) ve değiştirilmesi A koordinatın zamana göre ikinci türevine x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), sahibiz
x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).Bu diferansiyel denklem konservatif harmonik osilatörün davranışını tanımlar. Boyut ω 0 (\displaystyle \omega _(0)) döngüsel frekans denir. (Bu, saniyede radyan cinsinden ölçülen dairesel frekansı ifade eder. Bunu hertz cinsinden ifade edilen bir frekansa dönüştürmek için, şuna bölmeniz gerekir: 2 π (\displaystyle 2\pi ).)
Bu denklemin çözümünü formda arayacağız.
x (t) = Bir günah (ω t + φ) (\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)).Burada A- genlik, ω - salınım frekansı, φ - başlangıç aşaması.
Diferansiyel denklemi yerine koyarsak şunu elde ederiz:
x ¨ (t) = − Bir ω 2 günah (ω t + φ) (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)), − Bir ω 2 günah (ω t + φ) + ω 0 2 Bir günah (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).Genlik azalır. Bu, herhangi bir değere sahip olabileceği anlamına gelir (sıfır dahil - bu şu anlama gelir: maddi nokta denge konumunda durur). Eşitliğin her zaman doğru olması gerektiğinden sinüs ile de azaltabilirsiniz. T. Böylece salınım frekansının koşulu aynı kalır:
− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 .(\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) Basit harmonik hareket, daha karmaşık hareket türlerini analiz etmenin bazı yollarının temelini oluşturur. Bu yöntemlerden biri, özü daha fazla öğenin genişletilmesine dayanan Fourier dönüşümüne dayanan yöntemdir. karmaşık tip
hareketleri bir dizi basit harmonik harekete dönüştürür.
Osilatör örnekleri
- Basit harmonik hareketin meydana geldiği herhangi bir sistemin iki temel özelliği vardır:
- bir sistem dengeden bozulduğunda, sistemi dengeye döndürmeye çalışan bir geri çağırıcı kuvvet bulunmalıdır;
geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle tam olarak veya yaklaşık olarak orantılı olmalıdır.
Aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
Yatay ağırlık-yay sistemi Basit harmonik hareketin meydana geldiği bir sistemin tipik bir örneği, bir kütlenin bir yaya bağlandığı ve üzerinde durduğu idealleştirilmiş bir kütle-yay sistemidir. yatay yüzey . Yay ne sıkıştırılır ne de gerilirse yük üzerinde hiçbir etki oluşmaz. değişken kuvvetler ve o bir durumda mekanik denge
F = − k x (\displaystyle F=-kx),Nerede k. Ancak yük denge konumundan çıkarılırsa yay deforme olacak ve yay tarafına bir kuvvet etki ederek yükü denge konumuna döndürme eğiliminde olacaktır. Yük-yay sistemi durumunda böyle bir kuvvet, Hooke kanununa uyan yayın elastik kuvvetidir: oldukça varözel anlam
yay sertliği katsayısıdır. Yer değiştiren bir yük, bir geri getirme kuvvetine maruz kaldığında hızlanır ve orijinal konumuna dönme eğilimi gösterir. başlangıç noktası X = 0 yük, geri getirme kuvvetinin etkisi nedeniyle elde edilen belirli bir miktarda harekete (impulse) sahiptir. Bu nedenle yük, denge konumunu aşar ve yayı tekrar deforme etmeye başlar (ancak halihazırda ters yön). Geri çağırıcı kuvvet, hız normale dönene kadar onu yavaşlatma eğiliminde olacaktır. sıfıra eşit; ve kuvvet yine yükü denge konumuna döndürmeye çalışacaktır.
Enerji kaybı yoksa yük yukarıda açıklandığı gibi salınacaktır; bu hareket periyodiktir.
Dikey ağırlık yay sistemi
Bir yayın üzerinde dikey olarak asılı bir yük olması durumunda elastik kuvvetle birlikte yerçekimi kuvveti de etki eder, yani toplam kuvvet
F = − k x − m g (\displaystyle F=-kx-mg).Bir miktarla değil de işlem yapmak için değişken değişikliği yaparsanız x (\displaystyle x) ve boyutu X = x + m g / k (\displaystyle X=x+mg/k) Bu durumda hareket denklemi, yalnızca değişken için yatay geometri durumuyla aynı formu alacaktır. X (\displaystyle X).
Salınımlar aynı frekansta meydana gelecektir ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Bununla birlikte, eğer yatay durumda deforme olmamış yayın durumu dengeye tekabül ediyorsa, dikey durumda dengedeki yay gerilecektir. Frekansın ivme değerine bağımlılığı serbest düşüş g (\displaystyle g) aynı zamanda hayır; g (\displaystyle g) yalnızca denge pozisyonundaki bir değişimi etkiler m g / k (\displaystyle mg/k).
Bir yay üzerindeki bir yükün salınımlarının frekansının (veya periyodunun) ölçümleri, vücut ağırlığını belirlemek için kullanılan cihazlarda - kütle ölçer olarak adlandırılan cihazlarda kullanılır. uzay istasyonları tartı ağırlıksızlık nedeniyle çalışamadığında.
Evrensel dairesel hareket
Basit harmonik hareket bazı durumlarda evrensel dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümü olarak düşünülebilir.
Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa R merkezi düzlemin orijini olan x−y, o zaman her biri boyunca böyle bir hareket koordinat eksenleri genlikle basit harmoniktir R ve dairesel frekans ω.
Basit bir sarkaç gibi bir ağırlık
Küçük açılarda hareket basit sarkaç basit harmoniğe yakındır. Uzunluktaki bir çubuğa bağlı böyle bir sarkacın salınım periyodu ℓ , formülle verilir
T = 2 π ℓg .Nerede (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).) G (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).) bu nedenle, sarkacın aynı uzunluğu ile Ay'da daha yavaş sallanacaktır, çünkü orada yerçekimi daha zayıftır ve daha az değer serbest düşüş ivmesi.
Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:
ℓ m g günah θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)Nerede BEN- eylemsizlik momenti; V bu durumda BEN = mℓ 2. Titreşim genliğinin çubuğun uzunluğundan önemli ölçüde daha az olduğu durumlarda küçük açılar elde edilir.
ℓ m g θ = I α , (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)ne yapar açısal ivmeθ açısıyla doğru orantılıdır ve bu, basit harmonik hareket tanımını karşılar.
Sönümlemeli harmonik bir osilatörün serbest salınımları
Denklem ve çözümleri
Sönümlü bir osilatör düşünülürken model esas alınır muhafazakar osilatör viskoz sürtünme kuvvetinin eklendiği yer. Viskoz sürtünme kuvveti, yükün ortama göre hareket hızına karşı yönlendirilir ve bu hız ile doğru orantılıdır. Daha sonra tam güç Yüke etki eden aşağıdaki gibi yazılır:
F = - k x - α v .(\displaystyle F=-kx-\alpha v.)
Newton'un ikinci yasasını kullanarak sönümlü bir osilatörü tanımlayan bir diferansiyel denklem elde ederiz:x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0 .) Gösterim burada tanıtılmaktadır: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m) . Katsayıγ (\displaystyle \gamma)
sönüm sabiti denir. Bunun aynı zamanda frekans boyutu da vardır.
Çözüm üç duruma ayrılıyor.Nerede x (t) = A e − γ t s ben n (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))
- serbest salınımların frekansı. x (t) = (A + B t) e - γ t .Nerede (\displaystyle \x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).)
x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) T),) β 1, 2 = γ ± γ 2 - ω 0 2.(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Harmonik hareketler basit Ve birleştirmek. Bunu yarıçaplı bir daire içinde hayal edelim A (Şekil 1, merkezi HAKKINDA ) nokta hareket eder N İle sabit hız okla gösterilen yönde ve tam dönüş zamanla bir daire oluşturur T (Şekil 1, merkezi. Projeksiyon M 1 puan daha sonra yukarı ve aşağı doğru bir salınım hareketi gerçekleştirecektir. basit harmonik hareket ve ifade edildi aşağıdaki denklem:
| x = a günah 2 π t T , (\displaystyle x=a\sin (\frac (2\pi t)(T)) |
|
| x = a günah (2 π t T − ϵ) , (\displaystyle x=a\sin \left((\frac (2\pi t)(T))-\epsilon \right),) |
|
ε nerede faz, veya çağ, harmonik titreşim, Ve - genlik(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) okla gösterilen yönde ve - dönem, veya süre, çift nokta salınımı M.
Kahretsin. Şekil 2'de denklem (I) ile ifade edilen hareket grafiksel olarak gösterilmektedir. noktadan A düz bir çizgide Şu tarihte: zamanla orantılı uzunluklar çizilir T; evet uzunluk AR zamanı tasvir eder T, ve uzunluk Ar- bir daire içinde hareket eden bir noktanın geçtiği süre İLE V (Şekil 1, merkezi cehenneme 1. Daha sonra her noktadan R, ordinatı bir kenara bırakın rK, karşılık gelen mesafeye eşit OM. Oluşturulan eğri şöyle olacaktır: sinüzoid; cehenneme Şekil 2 yalnızca birine karşılık gelen bir kısmını göstermektedir tam dönem ve eğrinin bir dalgasını temsil ediyor.
Aynı düz çizgi boyunca, aynı merkeze yakın, aynı periyotta, ancak farklı genliklerde ve farklı fazlarda iki veya daha fazla doğrusal harmonik hareket tek bir harekette birleştirilir basit Aynı periyodun harmonik hareketi. Eğer Ve 1 , Ve 2 , Ve 3,... harmonik hareketlerin bileşenlerinin genlikleridir ve ε 1, ε 2, ε 3,... onların fazlarıdır, o zaman bileşik basit harmonik hareketin genliğinin karesi şuna eşit olacaktır:
α 2 + β 2 , (\displaystyle \alpha ^(2)+\beta ^(2),)ve bu hareketin faz tanjantı orana eşitβ'dan α'ya, burada α ve β aşağıdaki toplamlardır:
α = a 1 çünkü ϵ 1 + a 2 çünkü ϵ 2 + … (\displaystyle \alpha =a_(1)\cos \epsilon _(1)+a_(2)\cos \epsilon _(2)+\ noktalar) β = a 1 günah ϵ 1 + a 2 günah ϵ 2 + … (\displaystyle \beta =a_(1)\sin \epsilon _(1)+a_(2)\sin \epsilon _(2)+\ noktalar)Farklı periyotlara ait birkaç basit geometrik hareketi aynı düz çizgi üzerinde birleştirerek şunu elde ederiz: karmaşık doğrusal harmonik hareketler, ve birbirlerine karşılıklı olarak dik veya eğimli iki çizgi boyunca gerçekleştirilen iki basit geometrik hareketin birleşiminden eğrisel geometrik hareketler elde edilir. Kahretsin. Şekil 3, aşağıdaki denklemle ifade edilen karmaşık doğrusal hareketi grafiksel olarak göstermektedir:
x = günah ω t + günah 2 ω t , (\displaystyle x=\sin \omega t+\sin 2\omega t,) |
 |
ve cehenneme. 4 - denklemle ifade edilen başka bir karmaşık G. hareketi:
x = günah 2 ω t + günah (3 ω t + 3 π 8) , (\displaystyle x=\sin 2\omega t+\sin \left(3\omega t+(\frac (3\pi )(8) ))\Sağ),)burada ω = 2π:T.
Farklı orantılı periyotlara ait iki basit geometrik hareket bağlandığında, hareket noktası Lissajous eğrileri adı verilen eğri çizgileri tanımlar. Komple teori Hareket geometrisi “Thomson ve Tait'in Doğa Felsefesi Üzerine İncelemesi”nde (Cilt I. Kısım I, kinematik) bulunabilir.
Harmonik ilişki(bkz. cilt 1, sayfa 722). Geometrik ilişki kavramı eski geometriciler tarafından ortaya atılmıştır. Papp kitabında " Matematiksel koleksiyon"birincinin üçüncüye oranı, ikinci ve üçüncü olmadan birincinin farkının oranına eşitse, üç sayının G. oranında olduğunu söylüyor; Bu tutuma G. adı verilmiştir çünkü eskilerin müzik teorisinde bulunmuştur.
İki puan A(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Ve 1 bölme uzunluğu M.Ö. G. ilişkisinde eğer uzunluklar ac, ah 1 ve ab G. ilişkisindedir, yani:
a c a b = a c − a a 1 a a 1 − a b , (\displaystyle \mathrm ((\frac (ac)(ab))=(\frac (ac-aa_(1))(aa_(1)-ab))) , )| a c a b = − a c − a a 1 a b − a a 1 , (\displaystyle \mathrm ((\frac (ac)(ab))=-(\frac (ac-aa_(1))(ab-aa_(1))) ) ,) |
|
(\displaystyle \mathrm ((\frac (ab)(ac)):(\frac (a_(1)b)(a_(1)c))=-1) .) ac, ah 1 , abÜç uzunluk arasındaki harmonik ilişki
Ayrıca aşağıdaki formu da verebilirsiniz:2 a a 1 = 1 a b + 1 a c , (\displaystyle \mathrm ((\frac (2)(aa_(1)))=(\frac (1)(ab))+(\frac (1)(ac) )) ,) (III)'den elde edilmesi kolaydır. G. tutum oyunlarıönemli rol
daha yüksek geometride; bkz. Chasles "Traité de géometrie supérieure". Harmonik küresel fonksiyonlar. İngiliz fizikçiler ve matematikçiler, küresel harmonik fonksiyonlar adıyla şunu kastediyorlar: homojen fonksiyonlar V itibaren x, y, z
diferansiyel denklemi karşılayan:x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) T),) d 2 V d x 2 + d 2 V d y 2 + d 2 V d z 2 = 0.(\displaystyle \mathrm ((\frac (d^(2)V)(dx^(2)))+(\frac (d^(2)V)(dy^(2)))+(\frac ( d^(2)V)(dz^(2))=0) .) bireysel parçacık parçacığın denge konumuna doğru yönlendirilen ve parçacıktan uzaklığıyla doğru orantılı olarak değişen bir kuvvetin etkisi altında meydana gelir. Bu tür bir kuvvet, germe, sıkıştırma, bükme sırasında meydana gelir. elastik cisimler Esnek, gerilmiş bir ip denge konumundan saptırıldığında ve birçok durumda benzer vakalar. Bu nedenle harmonik hareket doğada çok sık meydana gelir: hepsi ses titreşimleri Vücudun denge konumundan uzaklığı, harmonik hareketin dikkat çekici özellik- eş zamanlı salınımlar, yani hareket periyodunun süresi hem büyük hem de küçük salınım genlikleri için aynıdır. Bu nedenle aynı ses veren gövde (diyapazon, tel vb.) her zaman aynı perdede bir ton üretir. farklı güçler(sessiz veya yüksek) darbenin gücüne bağlı olarak. Harmonik salınım periyodunun (T) süresi yalnızca hareketli parçacıkların denge konumundan birim uzunluk (1 cm) uzaklıktaki ivmeye (k) bağlıdır, yani
T = 2 π : k .(\displaystyle \mathrm (T=2\pi:(\sqrt (k)))) .) Hareketin ivmesi itici kuvvetle doğru orantılı, hareket eden kütleyle ters orantılıdır. Pratikte kullandıkları şey budur: kurulum sırasında müzik aletleri
x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) T),)tellerin gerginliğini değiştirin; bir cep saatinin hızını değiştirmek, sarkaç yayının uzunluğunu değiştirmek vb.(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Harmonik hareketler basit Ve birleştirmek. Bunu yarıçaplı bir daire içinde hayal edelim A (Şekil 1, merkezi basit okla gösterilen yönde ve.
okla gösterilen yönde sabit hızla hareket eder ve zamanla daire etrafında tam bir devrim yapar
Çizim 1. Çizim 2. zamanla bir daire oluşturur T (Şekil 1, merkezi. Projeksiyon Projeksiyon X daha sonra yukarı ve aşağı doğru bir salınım hareketi gerçekleştirecektir. basit harmonik hareket 1 ÖKÜZ
ve aşağıdaki denklemle ifade edilir: = A X günah(2π t/T)
ve aşağıdaki denklemle ifade edilir: = A X (BEN) t/T-ε
Nerede ) (II) e faz, veya çağ, Orada harmonik titreşim, - genlik A Ve - dönem, T M.
Kahretsin. Şekil 2'de denklem (I) ile ifade edilen hareket grafiksel olarak gösterilmektedir. noktadan A düz bir çizgide Şu tarihte: zamanla orantılı uzunluklar çizilir T; evet uzunluk AR zamanı tasvir eder veya süre, çift nokta salınımı ,""" ve uzunluk Ar- bir daire içinde hareket eden bir noktanın geçtiği süre İLE V (Şekil 1, merkezi cehenneme 1. Daha sonra her noktadan R T Ordinat koordine etmek rK, OM. Oluşturulan eğri şöyle olacaktır: sinüzoid; karşılık gelen mesafeye eşit
Aynı düz çizgi boyunca, aynı merkeze yakın, aynı periyotta, ancak farklı genliklerde ve farklı fazlarda iki veya daha fazla doğrusal harmonik hareket tek bir harekette birleştirilir basit Aynı periyodun harmonik hareketi. Eğer Ve cehenneme Şekil 2, bunun yalnızca bir tam periyoda karşılık gelen ve eğrinin bir dalgasını temsil eden bir kısmını göstermektedir. 1 ve 2 ve 3
, ... harmonik hareketin bileşenlerinin genlikleridir ve ε 1, ε 2, ε 3, ... onların fazlarıdır, o zaman bileşik basit harmonik hareketin genliğinin karesi şuna eşit olacaktır: Teğet teğet
bu hareketin fazı β'nın α'ya oranına eşittir; burada α ve β aşağıdaki toplamlardır:
α = a 1 çünkü ε 1 + a 2 çünkü ε 2 +....
Farklı periyotlara ait birkaç basit geometrik hareketi aynı düz çizgi üzerinde birleştirerek şunu elde ederiz: karmaşık doğrusal harmonik hareketler, ve birbirlerine karşılıklı olarak dik veya eğimli iki çizgi boyunca gerçekleştirilen iki basit geometrik hareketin birleşiminden eğrisel geometrik hareketler elde edilir. Kahretsin. Şekil 3, aşağıdaki denklemle ifade edilen karmaşık doğrusal hareketi grafiksel olarak göstermektedir:
ve aşağıdaki denklemle ifade edilir:β = a 1 sin ε 1 + a 2 sin ε 2 +.... T= günah ω T,
+ sin2 ω
ve cehenneme. 4 - denklemle ifade edilen başka bir karmaşık G. hareketi:
ve aşağıdaki denklemle ifade edilir:Çizim 3 T= sin2 ω T+ günah(3 ω)
+ 3 π / 8), burada ω = 2 π /T.
Saçmalık. 4 Farklı orantılı periyotlardaki iki basit geometrik hareket bağlandığında, hareket noktası eğri adı verilen eğri çizgileri tanımlar. Lissajous
. Geometrik hareketlerin tam bir teorisi "Thomson ve Tait'in Doğa Felsefesi Üzerine İncelemesi"nde (Cilt I. Bölüm I, kinematik) bulunabilir. Harmonik ilişki Müzik müzik
İki puan A(\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).) Ve 1 bölme uzunluğu antik. G. ilişkisinde eğer uzunluklar ac, ah 1 ve ab G. ilişkisindedir, yani:
bс/ab = (ac - ac 1)/(ac 1 - ab aa
bс/ab = -(ac - ac 1)/(ab - ac 1) (III)
ab/ac: A 1 B/A 1 C = - 1.
(\displaystyle \mathrm ((\frac (ab)(ac)):(\frac (a_(1)b)(a_(1)c))=-1) .) ac, ah 1 ,abÜç uzunluk arasındaki harmonik ilişki
2/ac 1 = 1/ab + 1/ac
(III)'den elde edilmesi kolaydır. D. Tutum yüksek düzeyde önemli bir rol oynar geometri; bkz. Chasles "Özellik é de géometrie supérieure".
Harmonik küresel fonksiyonlar. İngiliz fizikçiler ve matematikçiler küresel harmonik fonksiyonlar adı altında homojen fonksiyonları kastediyorlar. homojen fonksiyonlar V X, sen, z x, y, z
D 2 homojen fonksiyonlar/dx 2 + D 2 homojen fonksiyonlar/ölmek 2 + D 2 homojen fonksiyonlar/dz 2 = 0
Santimetre . Küresel fonksiyonlar.
D. B. Harmonik hareketler Tek bir parçacığın hareketi, parçacığın denge konumuna yönlendirilen ve parçacıktan uzaklığıyla doğru orantılı olarak değişen bir kuvvetin etkisi altında meydana gelir. Bu tür kuvvetler elastik cisimlerin gerilmesi, sıkıştırılması, bükülmesi sırasında, esnek bir gerilmiş ip denge konumundan saptırıldığında ve benzer birçok durumda ortaya çıkar. Bu nedenle, harmonik hareket doğada çok sık meydana gelir: Diyapazonların, tellerin vb. titreşimleri gibi tüm ses titreşimleri harmonik hareketi temsil eder. Bir sarkacın uzunluğuna kıyasla küçük salınımlarla salınımı aynı yasalara göre gerçekleşir. İtici kuvvetin vücudun denge konumundan uzaklığıyla orantılı olması nedeniyle, harmonik hareket dikkat çekici bir özelliğe sahiptir - salınımların izokronisitesi, yani hareket periyodunun süresi hem büyük hem de küçük salınım genlikleri için aynıdır . Bu nedenle aynı sesli gövde ( çatal , sicim vb.) darbenin gücüne bağlı olarak değişen şiddette (sessiz veya yüksek) olmasına rağmen her zaman aynı perdeden bir ses çıkarır. Harmonik salınım periyodunun (T) süresi yalnızca hareketli parçacıkların denge konumundan birim uzunluk (1 cm) uzaklıktaki ivmeye (k) bağlıdır, yani
Hareketin ivmesi itici kuvvetle doğru orantılı, hareket eden kütleyle ters orantılıdır. Pratikte kullanılan şey budur: ne zaman ayar müzik aletleri değişimi tansiyon dizeler; bir cep saatinin hızını değiştirmek, sarkaç yayının uzunluğunu değiştirmek vb.
Denklemin (21.2) çözümündeki kosinüs, harmonik hareketin dairesel hareketle bir ilgisi olduğunu göstermektedir. Bu karşılaştırma elbette yapaydır çünkü doğrusal harekette daire oluşturulacak hiçbir yer yoktur: ağırlık kesinlikle yukarı ve aşağı hareket eder. Dairesel hareket mekaniğini incelerken harmonik hareket denklemini zaten çözdüğümüzü söyleyerek kendimizi haklı gösterebiliriz. Bir parçacık bir daire etrafında sabit bir hızla hareket ediyorsa, dairenin merkezinden parçacığa olan yarıçap vektörü, büyüklüğü zamanla orantılı olan bir açıyla döner. Bu açıyı belirleyelim (Şekil 21.2). Daha sonra 
. Hızlanma olduğu biliniyor 
ve merkeze doğru yönlendirildi. Belirli bir andaki hareketli bir noktanın koordinatları eşittir
Peki ya hızlanma? İvmenin -bileşeni nedir? Bu değer tamamen geometrik olarak bulunabilir: ivme değerinin projeksiyon açısının kosinüsüyle çarpımına eşittir; Ortaya çıkan ifadenin önüne eksi işareti koymalısınız çünkü ivme merkeze doğru yönlendirilir:
Başka bir deyişle, bir parçacık bir daire içinde hareket ettiğinde, hareketin yatay bileşeninin ivmesi orantılıdır. yatay yer değiştirme merkezden. Elbette daire içinde hareket durumu için çözümleri biliyoruz: . Denklem (21.7) dairenin yarıçapını içermemektedir; herhangi bir dairenin etrafında aynı şekilde hareket ederken de aynıdır.
İncir. 21.2. Bir daire içinde sabit hızla hareket eden parçacık.
Bu nedenle, bir yay üzerindeki ağırlığın sapmasının orantılı olmasını ve hareketin sanki bir daire içinde hareket eden bir parçacığın -koordinatını takip ediyormuşuz gibi görünmesini beklememiz için çeşitli nedenler vardır. açısal hız. Bu, bir ağırlığın yay üzerindeki yukarı ve aşağı hareketinin, bir noktanın daire boyunca hareketine tam olarak karşılık geldiğini gösteren bir deney yapılarak doğrulanabilir. Şek. Şekil 21.3'te, bir ark lambasının ışığı, dönen bir diske saplanmış hareketli bir iğnenin ve yakınlarda hareket eden dikey olarak salınan bir ağırlığın gölgelerini ekrana yansıtıyor. Ağırlığın doğru zamanda ve doğru yerden salınmasını sağlarsanız ve ardından diskin hızını, hareketlerinin frekansları çakışacak şekilde dikkatlice seçerseniz, ekrandaki gölgeler birbirini tam olarak takip edecektir. İşte bulduğunuzda emin olmanın başka bir yolu sayısal çözüm, neredeyse kosinüse yaklaştık.
İncir. 21.3. Basit harmonik hareketin denkliğinin gösterilmesi ve düzgün hareketçevresi etrafında.
Düzgün dairesel hareketin matematiğinin matematiğe çok benzemesi nedeniyle burada vurgulanabilir. salınım hareketi yukarı ve aşağı, o zaman bu hareketi bir daire içindeki hareketin izdüşümü olarak hayal edersek salınım hareketlerinin analizi büyük ölçüde basitleştirilecektir. Yani tamamen gereksiz bir denklem gibi görünen denklem (21.2)'yi tamamlayabilir ve her iki denklemi bir arada ele alabiliriz. Bunu yaptıktan sonra, tek boyutlu salınımları bir daire içindeki harekete indirgeyeceğiz, bu da bizi çözmekten kurtaracak. diferansiyel denklem. Başka bir numara daha yapabilirsiniz - girin karmaşık sayılar, ancak bunun hakkında daha fazlası bir sonraki bölümde.
