Konuda hangi teorik ve pratik konuların çalışıldığını ele alalım " Aritmetik işlemler", bunların ifşa edilme düzeyi ve tanıtılma sırası nedir?

Aritmetik işlemlerin özel anlamı yani kümelerdeki işlemler ile karşılık gelen aritmetik işlemler arasındaki bağlantılar (örneğin, ayrık kümeleri birleştirme işlemi ile toplama eylemi arasındaki bağlantı). Aritmetik işlemlerin özel anlamına ilişkin bilgi şu düzeyde edinilmelidir: ampirik genelleme: öğrenciler, çeşitli durumlarda aritmetik işlemlerin sonuçlarını bulurken kümelerdeki işlemler ve aritmetik işlemler arasında pratik olarak bağlantı kurmayı ve metin problemlerini çözerken aritmetik işlemleri seçmeyi öğrenmelidirler aritmetik problemler.

Aritmetik işlemlerin özellikleri. Bunlar, matematiksel ifadelerin özdeş dönüşümleriyle ilgili matematiksel hükümlerdir; belirli bir matematiksel ifadenin hangi dönüşümler altında değerinin değişmediğini yansıtırlar. Başlangıç ​​matematik dersi aşağıdaki özellikleri içerir: teorik temel hesaplama teknikleri.

İÇİNDE başlangıç ​​kursu matematikçiler inceleniyor aşağıdaki özellikler aritmetik işlemler: toplamanın değişmeli ve birleşmeli özellikleri, bir toplamdan bir sayı çıkarma özelliği, bir sayıdan bir toplam çıkarma özelliği, bir toplamdan bir toplam çıkarma özelliği, çarpmanın değişmeli ve birleşimsel özellikleri, çarpmanın sayıya göre dağılma özelliği toplama, bir toplamı bir sayıya bölme özelliği, bir sayıyı bir çarpıma bölme özelliği.

Program tarafından sağlanan aritmetik işlemlerin özellikleri kavramsal genelleme düzeyinde uzmanlaşmalıdır: öğrenciler formülasyonlarını bilmeli ve hesaplama tekniklerini gerekçelendirirken, problemleri çözerken, denklemleri, alıştırmaları pratik olarak uygulamalıdır. kimlik dönüşümleri vesaire.

Aritmetik işlemlerin diğer özellikleri (sonucun varlığı ve benzersizliği, toplamın ve çarpımın monotonluğu, vb.) ampirik genelleme düzeyinde ortaya çıkar: öğrenciler pratik olarak onlarla çalışır, özelliklerin formülasyonu verilmez.

Aritmetik işlemlerin bileşenleri ve sonuçları arasındaki bağlantılar. Bunlar, aritmetik işlemlerin bileşenlerinin her birinin sonuç ve diğer bileşeni aracılığıyla nasıl ifade edildiğini yansıtan matematiksel ifadelerdir.

Başlangıç ​​matematik dersinde öncelikle bileşenler arasındaki bağlantı ile toplama işleminin sonucu incelenir, daha sonra bileşenler arasındaki bağlantı ile çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu incelenir.

Bağlantı bilgisi kavramsal genelleme düzeyinde edinilmelidir: öğrenciler uygun formülasyonu bilmeli ve denklemleri çözerken ve hesaplama tekniklerini gerekçelendirirken bu bilgiyi pratik olarak kullanmalıdır.

Aritmetik işlemlerin sonuçlarının bileşenlerden birindeki değişikliğe bağlı olarak değişmesi, yani bir ifadenin değerinin, bileşenlerinden birindeki değişikliğe bağlı olarak nasıl değiştiğini karakterize eden matematiksel hükümler.

Bu materyalle ilgili olarak ampirik bir genelleme düzeyi sağlanır: öğrenciler, özel egzersizler yaparlar, ilgili değişiklikleri gözlemlerler. spesifik örnekler bileşenlerden birinin artmasına veya azalmasına bağlı olarak aritmetik işlemlerin sonuçlarındaki değişimin niteliğini belirlemek veya niceliksel değişiklikler– bileşenlerden biri birkaç birim veya birkaç kez artırılır veya azaltılırsa sonucun nasıl değişeceği. Bu tür gözlemler aşağıdakilere hizmet edecektir: daha fazla temel fonksiyon kavramını tanıtmak, aynı zamanda harika egzersizler doğası gereği gelişimseldir.

Bileşenler arasındaki ve bileşenler arasındaki ilişkiler ve aritmetik işlemlerin sonuçları. Bunlar, bileşenler arasındaki (eksi büyük veya çıkana eşittir) veya bileşenler ile aritmetik işlemlerin sonuçları arasındaki "büyüktür", "küçüktür", "eşittir" ilişkilerini yansıtan matematiksel hükümlerdir ( toplam, terimlerin her birinden büyük olabilir veya terimlerin birine veya her birine eşit olabilir). Bu materyal aynı zamanda ampirik genelleme düzeyinde de özümsenir: öğrenciler özel alıştırmalar yaparak uygun ilişkiler kurarlar. Bu ilişkilerin bilgisi hesaplamaları kontrol etmek için kullanılır; bunlar aynı zamanda işlevsel ön hazırlık amaçlarına da hizmet eder.

Tüzük. Bunlar, her şeyden önce, aritmetik işlemlerin tanımının ve bunların özel anlamlarının sonuçları olan hükümlerdir: 0 sayısıyla toplama ve çıkarma kuralları, 1 ve 0 sayılarıyla çarpma ve bölme kuralları ve ayrıca tarihsel olarak belirlenmiş hükümler - Matematiksel ifadelerde aritmetik işlemlerin yapılma sırasına ilişkin kurallar. Öğrenciler kuralların metnini anlamalı ve bunları pratikte kullanabilmelidir.

Terimler ve semboller. Teorik materyalle ilgili bu konuların incelenmesiyle bağlantılı olarak, ilgili terminoloji ve sembolizm tanıtılmaktadır: aritmetik işlemlerin adı, bunları belirten semboller ve adları, aritmetik işlemlerin bileşenlerinin ve sonuçlarının adı, aritmetik işlemlerin adı karşılık gelen matematiksel ifadeler. Şartlar dahil edilmelidir aktif sözlükÖğrenciler tarafından matematiksel ifadelerin formüle edilmesinde kullanılabilmesi için, öğrencilerin aynı zamanda uygun sembolleri doğru şekilde kullanmayı da öğrenmeleri gerekir. Terimler ve semboller girilir yakın bağlantıİlgili aritmetik işlemlerin incelenmesiyle.

İle birlikte teorik materyal ve içinde organik bağlantı tedavi ediliyor pratik sorular: hesaplama teknikleri ve aritmetik problemlerin çözümü. Hesaplamalı teknikler, aritmetik işlemlerin sonuçlarını bulmaya yönelik tekniklerdir. Hesaplamalı teknikler, uygun yöntemlerin açık kullanımına dayalı olarak ortaya çıkar. teorik hükümler. Örneğin, toplama işleminin değişme özelliğine dayanarak terimlerin yeniden düzenlenmesi tekniği tanıtılmıştır. Her merkez tamsayılar üzerinde hesaplama teknikleri üzerinde çalışmaktadır. Negatif olmayan sayılar doğal serinin karşılık gelen bölümü (ilk konsantrasyonda - 10 içinde, ikincisinde - 100 içinde vb.). "On" konsantrasyonunda sadece toplama ve çıkarma teknikleri çalışılır, geri kalan konsantrasyonlarda ise dört aritmetik işlemin teknikleri incelenir.

Yukarıdaki soruların tamamının giriş sırası aşağıdakilere tabidir: ana hedef aritmetik işlemleri incelemek - bilinçli, güçlü, otomatik hesaplama becerilerinin oluşumu.

3. Genel hükümlerİlkokul çocuklarında aritmetik işlemlerle ilgili kavram ve fikir oluşturma yöntemleri.

Öğrencilerin teorik materyali özümsemesi, program tarafından sağlanan genelleme düzeyinde çalışılan matematiksel ilkelerin temel yönlerini özümsemeleri anlamına gelir. Sonuç olarak, öğrencilerin bilgi edinmedeki tüm etkinlikleri, çalışılan teorik ilkelerin temel yönlerini vurgulamayı ve anlamayı amaçlamalıdır. Bu, esas olarak, bilgi oluşumunun her aşamasının hedeflerine uygun bir egzersiz sistemi uygulayan öğrenciler tarafından gerçekleştirilir. Bilgi oluşturma metodolojisinde şunlar vardır: aşağıdaki adımlar: hazırlık aşaması, yeni materyale aşinalık, bilginin pekiştirilmesi.

Yeni teorik materyale aşinalık için hazırlık aşamasında Her şeyden önce, yeni bilginin özümsenmesinin aracı olan önceden edinilmiş bilgiyi yeniden üretmeye yönelik alıştırmalar sağlanır. Çoğu durumda bu dönemde çocukların zihinlerinde “yaratılması tavsiye edilir”. konu modelleri» Setler üzerinde işlemler yaparak bilgi ürettik. Örneğin, toplama eyleminin özel anlamını öğrenmeden önce şunları yapmalısınız: yeterli miktar ayrık kümeleri birleştirme işlemini gerçekleştirmeye yönelik alıştırmalar (4 topa 3 top ekleyin ve kaç top olduğunu bulun), bunlar daha sonra toplama işleminin anlamını öğrenmek için temel oluşturacaktır.

Yeni malzemeye alışma aşamasındaÇalışılan matematiksel önermelerin temel yönleri, öğrenciler tarafından gerçekleştirilen bir alıştırmalar sisteminin yardımıyla ortaya çıkarılır. Aritmetik işlemlerin özelliklerine, bunların bileşenleri ve sonuçları arasındaki bağlantılara ve bağımlılıklara aşina olduğunuzda, kullanılması daha tavsiye edilir. buluşsal konuşma yöntemi, başarısız öğrenciler tümevarımsal olarak karşılık gelen modelin "keşfedilmesine" ve görsel araçlar kullanılarak geçerliliğinin ikna edilmesine yöneliktir. Kurallara alışırken, terminoloji ve sembolizmi tanıtırken, açıklama yöntemi yani Öğretmen materyali sunar ve öğrenciler onu algılar.

İncelendikten sonra tümevarımsal olarak aritmetik işlemlerin özel anlamı, özellikleri, bağlantıları ve bileşenler ve sonuçlar arasındaki bağımlılıkları ile öğrencilere, uygulandığında karşılık gelen kalıpların ortaya çıktığı alıştırmalar sunulur. Bunları analiz ederek öğrenciler, oluşturulan bilginin temel özelliklerini belirler ve genelleme düzeyine bağlı olarak veya bir dizi özel sonucu formüle eder (ile) ampirik düzey) veya onlardan şuraya geçer: genel sonuç(kavramsal düzeyde). Yalnızca temel özellikleri değil, aynı zamanda bir dizi temel olmayan özelliği de vurgulamak önemlidir. Örneğin çarpmanın değişme özelliğini nasıl tanıtabileceğinizi düşünün. Öğrencilerden her satırdaki 6 kareyi 4 sıraya dizmeleri ve bulmaları istenir. toplam miktar ortaya konulan kareler. Aynı zamanda öğrencilerin dikkatleri sayma konusuna çekilmektedir. toplam sayı kareler iki şekilde gerçekleştirilebilir: 6* 4 = 24 ve 4* 6 = 24. Alınan kayıtları karşılaştırırken öğrenciler benzer özellikler oluşturur (ürünler verilir, aynı faktörler eşittir, çarpımların değerleri aynıdır) eşit) ve ayırt edici özellikler(çarpanlar değiştirilir). Daha sonra biri veya ikisi çocuk olmak üzere benzer egzersizler yapılır. Ürün çiftlerini karşılaştırmak için yeterli alıştırmayı tamamladıktan sonra öğrenciler, tüm ürün çiftlerinin aynı faktörlere sahip olduğunu ve her bir çiftteki ürünlerin değerlerinin, faktörler değiştirilerek eşit olduğunu belirler. Bu gözlemler öğrencilerin çarpmanın değişme özelliğinin bir formülasyonu olan genelleyici bir sonuca varmalarını sağlar: "Eğer faktörler değiştirilirse çarpımın değeri değişmez."

Bu yeni materyal ekleme yöntemiyle egzersiz sisteminin bir takım gereksinimleri karşılaması gerekir:

· Alıştırma sistemi, oluşturulan bilgi için görsel bir temel sağlamalıdır. Bu nedenle, alıştırmaları yaparken birçok durumda netlik kullanmak önemlidir: kümeler üzerindeki işlemler (dikkate alınan örnekte, eşit ayrık kareler kümelerinin birleşimi) ve bunlara karşılık gelen işlemler matematiksel gösterimler(6* 4 = 24 ve 4* 6 = 24). Bu, çocukların üzerinde çalıştıkları kalıpları “keşfetme” fırsatını yaratır.

· Oluşturulan bilginin temel yönleri değişmeyecek, gerekli olmayan yönleri değişecek şekilde alıştırmalar seçilmelidir. Yani çarpmanın değişme özelliği için temel özelliklerşöyle olacak: ürünler aynı faktörlere sahip, ürünler faktörlerin sırasına göre farklı, ürünlerin değerleri eşit; Önemsiz özellikler sayıların kendisi ve oranlarıdır. Bu nedenle eser çiftlerini seçerken onları almanız gerekir. farklı sayılar ve sayılar farklı oranlardadır (6* 4 ve 4* 6; 2*5 ve 5* 2; 7* 3 ve 3* 7 vb.). Bu, öğrencilerin yeni bilginin sadece temel değil aynı zamanda gerekli olmayan özelliklerini de vurgulamasına olanak tanıyacak ve bu da doğru genellemeye katkıda bulunacaktır.

· Öğrenciler tartışılanlara benzer alıştırmalar oluşturmaya teşvik edilmelidir. Bu tür alıştırmaları oluşturma yeteneği, öğrencilerin oluşturulan bilginin temel yönlerini belirlediklerini gösterecektir.

· Yeni materyale alışırken, genellikle çocukların önceki deneyimlerinin hem olumlu hem de olumlu olduğu durumlar ortaya çıkar. olumsuz etki yeni malzemeye hakim olmak. Yeni materyal tanıtılırken bu dikkate alınmalı ve bazı benzerliklere sahip konuların karşılaştırılması ve karşılaştırılması için özel alıştırmalar sağlanmalıdır. Örneğin çarpmanın değişme özelliğini öğrenmeden önce toplamanın değişme özelliğini tekrarlamanız ve aynı tekniği kullanmanız gerekir. Bu durumda, yeni bir özelliğe hakim olurken bir benzetme yardımcı olacaktır. Çalışmadan önce dağılma özelliği toplamaya göre çarpma işleminin tekrarlanması faydalıdır ilişkisel özellik Bu özelliklerin karıştırılmasını ve yeni bir özelliğe hakim olurken hataların ortaya çıkmasını önlemek için ekleme.

Böylece, özel alıştırmaların yapılması sonucunda öğrenciler ya üzerinde çalışılan matematiksel önermenin genelleştirilmiş bir formülasyonuna ya da yalnızca belirli sonuçlara yönlendirilir.

Bilginin pekiştirilmesi aşamasındaÖğrencilerin çalışılan materyali uygulamak için bir egzersiz sistemini tamamlamaları sonucunda, bilgileri yeni spesifik içerikle zenginleştirilir ve mevcut bilgi sistemine dahil edilir. Her bir matematiksel pozisyona ilişkin bilginin pekiştirilmesi, öğrencilerin tamamlaması sonucunda gerçekleştirilir. özel sistem tabi olarak egzersizler genel gereksinimler:

· Sistemin her uygulaması, üretilen bilgiyi uygulama potansiyeline sahip olmalıdır. Daha sonra bunları gerçekleştiren öğrenci, her seferinde oluşan bilginin temel özelliklerini vurgulayacak ve böylece onu daha iyi özümseyecektir. Bu durumda ilk dahil edilecekler, hem oluşturulan bilginin uygulanmasına hem de önceden edinilmiş diğer bilgilere dayanarak gerçekleştirilebilecek alıştırmalardır. Bu tür egzersizlerin uygun teknikle yapılması, gerçek fırsatlar Her öğrencinin oluşturduğu bilgiyi genelleştirmek.

· Bilgiyi uygulamaya yönelik alıştırmalar çeşitli özel içeriklere (aritmetik problemlerin çözülmesi, matematiksel ifadelerin karşılaştırılması vb.) dayandırılmalıdır. Bu, anlamlı ve esnek bilginin oluşmasını sağlayacak ve resmi olarak asimilasyonunu önleyecektir.

· Alıştırma sistemi, kavram içi bağlantıların (aritmetik işlemler arasındaki bağlantılar, özellikleri arasındaki bağlantılar vb.) ve kavramlar arası bağlantıların (denklemlerin çözümü ile aritmetik işlemlerin bileşenleri ve sonuçları arasındaki bağlantılar) kurulmasını sağlamalıdır. Bu, yeni bilginin mevcut bilgi sistemine dahil edilmesini belirler.

· Oluşan bilginin gücünü sağlamak için yeterli sayıda alıştırma yapılmalıdır.

· Alıştırmalar öğrencilerin erişimine açık olmalı ve basitten karmaşığa doğru sıralanmalıdır.

· Sistem, öğrencileri pratik nitelikteki sorularda uzmanlaşmaya hazırlayan özel alıştırmalar sağlamalıdır: hesaplama yapmak, aritmetik problemleri çözmek, denklemleri çözmek, vb.

· Bu aşamada, bir önceki aşamaya göre daha fazla, benzer konuların karıştırılmasını önleyecek, kavram içi ve kavramlar arası bağlantıların kurulmasına yardımcı olacak yeni materyali daha önce öğrenilmiş materyalle karşılaştırmaya ve karşılaştırmaya yönelik alıştırmalar sağlanmalıdır.

· Bu aşamada öğrencilerin etkinliklerini düzenlerken bağımsız çalışma yöntemine daha sık başvurulmalı ve öğrencilerin zihinsel gelişimleri mümkün olan her şekilde kolaylaştırılmalıdır.

· Ayrıca şunu da dikkate almak gerekir: genç okul çocukları Derslere küçük parçalar halinde ama yeterince uzun bir süre dahil edilirse materyali daha iyi öğrenirler.

Ek No.1

Aritmetik işlemler

Ek No.2

İlgili bilgiler.

Ders türü: ONZ.

Ders konusu: “Aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etmek.”

Ana hedefler:

1) aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etme fikrini oluşturmak, bunu gerçekleştirme yeteneği, öğrencileri "işaretiyle tanıştırmak"» ” ve bu işareti kullanarak sonucun bir tahminini kaydetmek;

2) bölümün değerlendirilmesi için algoritmanın güncellenmesi, bölümdeki basamak sayısını belirleme yeteneği, çarpma ve bölme işlemlerinin anlamı ve aralarındaki ilişki;

3) eylemlerin bileşenleri hakkındaki yorumlarla bileşik denklemleri çözme, farklarla ilgili problemleri çözme ve sayıların çoklu karşılaştırması yeteneğini geliştirmek.

Tasarım aşamasında gerekli zihinsel işlemler: genelleme, sınıflandırma.

Demo materyali:

2) atasözlü poster:

Bugün dünün öğrencisi

3) bilgiyi güncellemeye yönelik görevler:

2160: 9 = 24;

567 3 = 1701;

1920: 2 = 960.

2160: 9 = 240;

1920: 2 = 960.

4) ifadeleri olan kartlar:

5) oranlı kartlar:

6) çift eşitsizliği olan kart:

1000: 200 < 1040: 208 < 1200: 300

7) aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etmek için algoritmanın adımlarını içeren kartlar:

8) notlu kartlar:

9) referans sinyalli kart:

Bildiriler:

1) görevi içeren sayfalar:

2) algoritmanın adımlarını içeren gruplar halinde (grup sayısına göre) çalışmak için kartlar:

3) içinde "Stevens'ın görevi" yazan zarflar:

892 468 – 596 275 = 3993

72 529 + 3456 = 97 085

26 312: 46 = 572

305 540 = 12.900

4) kendi kendine test standardı bağımsız çalışma:

892468 – 596275 = 3993 yanlış 892.468 – 596.275 » 900.000 – 600.000 = 300.000

72529 + 3456 = 97085 yanlış 72529 + 3456 » 80000 + 4000 = 84000

26312: 46 = 572

305 ∙ 540 = 12900 yanlış 305 540 » 300 500 = 150 000

Birinci, ikinci ve dördüncü eşitlikler yanlış olduğuna göre üçüncü eşitlik doğrudur.

Ders ilerlemesi:

1. Motivasyon eğitim faaliyetleri

Hedef:

1) öğrencilerin eğitim faaliyetlerine dahil edilmesi - öğrenebilmenin anlamını anlama konusunda eğitim;

2) dersin içeriğini belirleyin: aritmetik işlemler;

3) Öğrencilerin eğitim faaliyetlerine motivasyonu atasözünün analizi yoluyla.

Organizasyon eğitim süreci 1. aşamada:

Tahtada geçmiş derslerden ifadeler ve D-2 atasözünü içeren bir poster var.

– Tahtaya yazılan atasözünü kendinize okuyun. Anlamını nasıl anlıyorsunuz? (...)

– Son derslerinizde ne öğrendiniz? (Aritmetik işlemlerin sonuçlarını değerlendirin.)

– Bugün aritmetik işlemlerin sonuçlarını analiz etmeye devam edeceksiniz ve önceki derslerde edinilen bilgiler bu çalışmada size yardımcı olacaktır.

Hangi plan üzerinde çalışacaksınız? (...)

2. Bir deneme eylemindeki bilgilerin güncellenmesi ve zorlukların giderilmesi.

Hedef:

1) bölümün değerlendirilmesi için algoritmanın güncellenmesi, bölümdeki basamak sayısını belirleme yeteneği, çarpma ve bölme işlemlerinin anlamı ve aralarındaki ilişki;

2) eylemleri yuvarlak sayılarla, çarpmayla tekrarlayın çok haneli sayı tek haneye;

3) tren zihinsel operasyonlar: analiz, karşılaştırma, genelleme, sınıflandırma.

4) bir deneme eylemini ve bunun bağımsız uygulanmasını ve gerekçelendirilmesini motive etmek;

5) mevcut bireysel görev bir deneme eylemi için (özel tahmin);

6) sabitlemeyi organize edin eğitim amaçlı ve ders konuları;

7) bir deneme eyleminin uygulanmasını ve belirli bir şeyi tahmin etmek için mevcut bilginin yetersizliğini gösteren bir zorluğun tespitini organize etmek;

8) alınan yanıtların bir analizini organize edin ve bir deneme eyleminin gerçekleştirilmesinde veya gerekçelendirilmesinde bireysel zorlukları kaydedin.

2. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

1) Bir bölümdeki basamak sayısını belirleme yeteneğinin güncellenmesi.

Öğretmen tahtaya yazılan sayısal eşitlikleri açar (D-3):

2160: 9 = 24

567 3 = 1701

1920: 2 = 960

– Tahtaya bakın ve sizce hangi eşitliğin "ekstra" olduğunu söyleyin? (İkincisi, çarpma eylemini içerdiğinden, geri kalanı bölme eylemini içerir.)

Öğrencilerden biri veya öğretmenin kendisi onu tahtadan siler (örtür). Eşitlikler tahtada kalır:

2160: 9 = 24

1920: 2 = 960

– Geriye kalan eşitliklerden yalnızca biri doğrudur. Herhangi bir hesaplama yapmadan bulun. (Üçüncü eşitlik doğrudur.)

– İlk iki denklemin doğru olmadığına nasıl karar verdiniz? (Birinci bölüm iki değil üç haneli olmalı. İkinci bölüm tek haneli olmalı ama bu iki haneli.)

– Bu sonuçlara ulaşmanıza ne yardımcı oldu? (Bölümdeki rakam sayısını belirleme kuralı.)

– Düşünün ve hatalarınızı düzeltin. (Birinci bölüm 24 değil 240; ikincisi 40 değil 4'tür.)

– Kanıtla. (240 ∙ 9 = 2160; 521 ∙ 4 = 2084.)

Öğretmen notları kendisi düzeltir (yeni bir poster asar) veya çocuklardan birinden bunu yapmasını ister:

2160: 9 = 240

1920: 2 = 960

2) Çarpma ve bölmenin anlamının, aralarındaki ilişkinin tekrarı.

– 240, 4 ve 960 sayılarıyla yapılabilecek doğru denklemleri yazınız.

Öğrenciler tabletler veya çalışma kitapları üzerinde çalışabilirler. Tartışmanın ardından tahtada eşitlikler ortaya çıkıyor:

240 4 = 960; 4 240 = 960; 960: 4 = 240; 960: 240 = 4

D–5:

– Ne anlama geldiğini hatırlayalım: “çarpın A Açık B"? (Miktarını bulun B her biri eşit olan terimler A . )

– "bölmek" ne demek A Açık B » ? (Böyle bir sayı bulun C , ile çarpıldığında B sonuç bir sayıdır A . )

3) Bölümün tahmin edilmesine yönelik algoritmanın güncellenmesi.

Önce tahtaya çift eşitsizlik (D-6) yazılır, gereksiz olan her şey tahtadan çıkarılır:

1000: 200 < 1040: 208 < 1200: 300

– Söyle bana, bölümün tahmini doğru mu? (Hayır, çünkü bölümün 5'ten büyük, ancak 4'ten küçük olduğu ortaya çıktı.)

– Sizce bu neden oldu? (Üst ve alt sınırlar bulunurken sayılar yanlış seçilmiştir.)

– Bölüm tahmin algoritmasını kullanarak hataları düzeltin.

Öğrencilerden biri bölümü tahmin etmeye yönelik algoritmanın adımlarını okuyarak bölümü tahtada değerlendirir; geri kalan öğrenciler çalışma kitaplarında çalışabilirler:

900: 300 < 1040: 208 < 1200: 200

3 < 1040: 208 < 6

– Sonucu düşünün. Bölümün tam olarak hangi değerleri mümkündür? (Sonuçta ortaya çıkan çifte eşitsizlik 4 ve 5 sayılarıyla karşılanır.)

– 1040'ın 208'e bölümünün hangisi olduğuna nasıl inanılır? (Çarpma kullanarak kontrol edin; son rakam.)

- İyi! Tanımlamak kesin değerözel (208 ∙ 5 = 1040, yani 1040: 208 = 5.)

- Şimdi neyi tekrarladın? (...)

4) Bireysel görev.

Ödevlerin yer aldığı P-1 sayfaları her öğrencinin masasındadır:

– Bir gün kontrol ederken Ev ödevi, 11.476'yı 38'e böldüğümde Zhenya'nın 32, Seryozha - 402, Kolya - 302 ve Boris - 2002 cevabını aldığını keşfettim. 30 saniye içinde hangi oğlanın "5" notunu aldığını belirlemeniz gerekiyor mu?

Görevdeki yenilikler neler? (Hangi sonucun doğru olduğunu hızlı bir şekilde belirlemeniz gerekir.)

Dersin amacını ve konusunu formüle edin. (Amaç: Hangi sonuçların doğru olduğunu hızlı bir şekilde belirlemek, dersin konusu: “ Hızlı yol Hangi cevabın doğru olduğunu belirleyin.")

Görevi ayrılan süre içinde tamamlayın.

kullanarak bir görevi tamamlamak için gereken süreyi kanıtlayıcı bir şekilde takip edebilirsiniz. kum saati veya zamanlayıcı. Süre dolduğunda öğretmen çocuklara sorar:

Kimin cevabı yok?

Neyi yapamadın? (Hangi cevabın doğru olduğunu hemen belirleyemedik.)

Kim cevap verebilir? Hangi çocuk "A" aldı? (Kolya, Seryozha....)

Cevabınızı nasıl gerekçelendirebilirsiniz? Cevabı almak için hangi kuralı kullandınız?

Neyi yapamazsın? (Sonucumuzun doğruluğunu kanıtlayamayız.)

Ne yapalım? (Mevcut durumu anlamamız gerekiyor.)

3. Zorluğun yerini ve nedenini belirlemek.

Hedef:

1) tamamlanan operasyonların restorasyonunu ve zorluğun ortaya çıktığı yer - adım, operasyonun sabitlenmesini (sözlü ve sembolik) organize etmek;

2) öğrencilerin eylemlerinin kullanılan yöntemle (algoritma, kavram vb.) ilişkisini organize etmek ve bu temelde, zorluğun nedeninin - eksik olan belirli bilgi, beceri veya yeteneklerin - dış konuşmada tanımlanmasını ve kaydedilmesini organize etmek Bu sınıfın veya türün ilk problemini çözmek için.

3. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

– Hangi görevi yerine getirdiniz? (İçin kısa zaman 11.476'nın 38'e bölümünün hangi sayı olduğunu bulmaya çalıştık.)

Görevi nasıl tamamladınız? (...)

Sorun nerede ortaya çıktı? (Çok az zaman verildi.)

– Görevi neden tamamlamadınız? (Hangi sayının bölüm olduğunu belirlemenin hızlı bir yolu yoktur.)

Şimdi ne yapmalısınız? (Bir hedef belirleyin, bir eylem planı hazırlayın.)

4. Zorluktan çıkış projesinin yapılması.

Hedef:

hakkında iletişimsel bir biçimde

Aşama 4

Öğrencilerin gelecekteki projelerinin yapımını organize etmek eğitim faaliyetleri:

1. projenin amacının açıklığa kavuşturulması (aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etmek için bir algoritma oluşturmak);

2. Araçların tanımı (algoritmalar, modeller, ders kitabı vb.);

3. Hedefe ulaşmak için bir plan oluşturmak.

4. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

Matematikte olduğu gibi aritmetik işlemlerin sonuçlarının doğruluğunu belirlemenin hızlı bir yolunu (Tahmin) çağırırlar.

– Peki kendinize nasıl bir hedef koyacaksınız? (Aritmetik işlemlerin sonuçlarını değerlendirmenin hızlı bir yolunu bulun.)

– Yaklaşık hesaplamaların hızlı bir yöntemine “tahmin” denir. Bu dersin konusu.

Öğretmen dersin konusunu tahtada açar:

“ARİTMETİK İŞLEMLERİN SONUÇLARININ TAHMİN EDİLMESİ”

Algoritma oluşturmak için ne kullanılabilir? (Aritmetik işlemlerin sonuçlarını değerlendirmeye yönelik algoritmalar, bir bölümdeki basamak sayısını belirleme kuralı.)

Aritmetik işlemlerin sonuçlarını değerlendirmek için ne kullandınız? (Yuvarlak sayılar.)

Eylem planı nedir? (Aritmetik işlemlerin sonuçlarını değerlendirme algoritmasına dayanarak, yeni yol Tahmini gerçekleştirmek için gereken eylemler.)

5. Zorluktan çıkış projesinin yapılması.

Hedef:

1) eksik bilgiyi edinmeyi amaçlayan inşa edilmiş bir projeyi uygulamak için iletişimsel etkileşimi organize edin: aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etmek için bir algoritma;

2) öğrencilerin aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etmek için bir algoritma oluşturmaları için koşullar yaratmak; konuşma, grafik ve sembolik biçimde (bir standart kullanarak) düzeltmek, yeteneği oluşturmak pratik kullanım, öğrencileri “”” işaretiyle tanıştırın;

3) açıklamayı organize edin genel yeni bilgi.

5. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

– Bunu birlikte yapmaya çalışalım. 11.476'yı 38'e bölmeyi düşünün.

Temettü ve bölenle ne yapabilirsiniz? Hangi sayılarla çalışmak uygundur? (Bölen ve böleni, değeri yakın olan yuvarlak sayılarla değiştirin: 11.476'yı 12.000 sayısıyla ve 38'i 40 sayısıyla değiştirin.)

– Bölüm ne olacak? (300.)

– Bu bölümün tam değeri mi? (Hayır, yaklaşıktır ancak değer olarak istenen değere yakındır.)

– Hangi çocuğun A aldığını belirlemek için bu sonucu kullanabilir misiniz? (Kolya bölme bölümü 302 olduğundan “5” notunu almıştır.)

– Sorulan soruyu hızlı bir şekilde cevaplayabildiniz mi? (Evet.)

– Bunun için ne yaptın? (Verilen sayıları uygun yuvarlak sayılarla değiştirerek bölme işlemini gerçekleştirdik.)

– Bu ne anlama geliyor: rahat? (Birincisi anlam olarak verilere yakındırlar ve ikinci olarak bölünmeleri tablo halinde indirgenmiştir.)

– Bu yöntemi kullanarak diğer eylemlerin sonuçlarını tahmin etmenin mümkün olduğunu düşünüyor musunuz? (Olabilmek.)

– Şimdi gruplar halinde oturun. Göreviniz: tasarlamak genel algoritma algoritmanın adımlarını istenen sıraya göre düzenleyerek aritmetik işlemlerin sonuçlarının tahminleri. İşe koyulun!

Öğrenciler gruplar halinde otururlar. Her gruba algoritmanın adımlarını içeren P-2 kartları verilir. Görevi herkesten önce tamamlayan öğrenci grubu, doğruluğuna bakılmaksızın algoritmanın kendi versiyonunu kaydetmeleri için tahtaya davet edilir.

– Sınıf arkadaşlarınızın önerdiği algoritmaya dikkat edin. Onların düşüncelerine katılıyor musunuz? Başka seçenekler var mı? (...)

Tartışmanın ardından, istenen algoritmanın üzerinde anlaşmaya varılan bir versiyonu tahtaya kaydedilir, örneğin:

– Koltuklarınıza dönün. Ortaya çıkan algoritmayı hep birlikte okuyun.

Çocuklar algoritmanın adımlarını koro halinde okurlar.

– “Uygun numaralar” ile ne demek istiyorsunuz? (“Uygun sayılar” derken, öncelikle değer olarak birbirine yakın, ikinci olarak da hesaplamalara uygun sayıları kastediyoruz.)

– Üçüncü adım ne için? (Bir şey için tahmin yapılır; bunun yardımıyla sorulan soruya cevap veririz.)

– Tebrikler! Tek yapmanız gereken yeni algoritmayı destekleyen bir özet bulup yazmak. Seçeneğinizi önerin.

Öğrenciler seçeneklerini bulur ve tabletlerine veya kendilerine verilen kağıtlara kaydederler. destekleyici notlar. Gösterimler için sembol seçme konusunda onlara tam bir yaratıcılık özgürlüğü verebilir veya bunlar üzerinde hemen anlaşabilirsiniz.

– Tüm aritmetik işlemlerin sonucunu tahmin etmek için tek bir algoritma derlediğinize göre, eylem işaretini “yıldız” ile gösterelim.

Sembol tahtaya sabitlenmiştir: *.

– Geriye kalan tek şey "uygun" sayılar için bir atama ve yaklaşık bir eşitlik işareti bulmaktır.

Çocukların önerilerini dinleyebilir ve tahtaya da kaydedilen istediğiniz isme gidebilirsiniz: *, A , » .

Çalışmayı bitirdikten sonra öğretmen çocuklardan tabletlerini veya kağıtlarını kaldırmalarını ve ne yaptıklarını göstermelerini ister ve ardından önerilen seçeneklere ilişkin bir tartışma düzenler. Bundan sonra önceden hazırlanmış referans sinyali D-9'u tahtaya asın:

-Görevini tamamladın mı? (Tamamen değil, yine de onu kullanarak pratik yapmanız gerekiyor.)

6. Dış konuşmada birincil konsolidasyon.

Hedef:

çalışılan eğitim içeriğini konuşmaya kaydedin: aritmetik işlemleri tahmin etmek için bir algoritma, bir görevi gerçekleştirirken oluşturulan algoritmanın uygulanması konusunda eğitim alın.

6. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

1) – Öncelikle oluşturulan algoritmayı kullanarak şu soruyu sözlü olarak yanıtlayın: “1543 km'lik mesafeyi 48 saatte kat etmek gerçekçi mi?” Bu nasıl yapılır? (Arabanın hızını tahmin etmeniz gerekiyor.)

– Nereden başlıyorsun? (Hızı bulmak için bir ifade oluşturalım. Hız, alınan mesafenin hareket zamanına bölünmesine eşit olduğundan 1543: 48 ifadesini elde ederiz.)

Öğretmen tahtaya aşağıdaki notu içeren bir kart koyar:

1543: 48

– Bundan sonra ne yapacaksın? (Bölümün tahmini. Bunu yapmak için önce 1543 ve 48 sayılarını uygun yuvarlak sayılarla (1500 ve 50) değiştirin, ardından bölme işlemini gerçekleştirin ve 30 sayısını alın.)

Cevaplar ilerledikçe öğretmen tahtaya 1500:50 oranlı bir kart yerleştirir ve tahminin sonucunu yazar:

– Algoritmanın son adımı nedir? (Sonucu analiz edip bir sonuca varıyoruz.)

– Hangi sonuca varacaksınız? bu durumda? (Aracın hızı 30 km/saat olabileceği için 48 saatte 1543 km yol almak mümkündür. Genel olarak aracın hızı daha yüksek olabildiği için bu mesafeyi daha kısa sürede kat etmek mümkündür. )

2) № 1,P. 28 (sözlü olarak).

a) 248 ve 702'yi uygun sayılarla değiştiririz - 200 ve 700. 200 · 700 = 140.000 Bu, cevabın altı basamaklı bir sayı olduğu ve Vera'nınkinin beş basamaklı bir sayı olduğu anlamına gelir.

b) 42.300 sayısını uygun bir sayı olan 42.000 ile değiştireceğiz ve 6 sayısını değiştirmeden bırakacağız. Daha sonra

42.000: 6 = 7000 ve Volodya'nın cevabı neredeyse 10 kat daha küçüktü.

3) № 3 (1) , sayfa. 29.

603 · 490 ≈ 600 · 500 = 300.000 6 0 3

4 9 0

5 4 2 7

2 4 1 2

2 9 5 4 7 0

Görev tahtadaki öğrencilerden biri tarafından yorumlarla tamamlanır, geri kalan çocuklar not defterlerinde çalışır.

3) № 4 (1) , sayfa. 29.

Bu görevle çalışmak, yüksek sesle yorum yaparak çiftler halinde gerçekleştirilir.

7. Standarda göre kendi kendine test ile bağımsız çalışma.

Hedef:

1) organize etmek kendini idam etmeöğrencilerin yeni bir eylem yöntemi için görevleri: aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etme yeteneklerini test edin.

2) çocukların görevin doğruluğuna ilişkin öz değerlendirmelerini organize etmek (gerekirse düzeltme) olası hatalar).

7. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

Şimdi ne yapmalısınız? (Bilginizi sınayın.)

Bilginizi test etmenize ne yardımcı olacak? (Bağımsız çalışma.)

– Masalarınızda eski bilge dostunuzdan gelen bir mesajın bulunduğu zarflar var. Kimden düşünüyorsun? (Stevens'tan!)

– Stevens bugün her birinizi bilmecelerinden birini daha çözmeye davet ediyor. Görevi zarflardan çıkarın.

Öğrenciler masaların üzerinde duran zarflardan P-3 sayısal eşitliklerini çıkarırlar:

892 468 – 596 275 = 3993

72 529 + 3456 = 97 085

26 312: 46 = 572

305 540 = 12.900

– Bu örneklerden sadece bir tanesinin doğru çözüldüğü bilinmektedir. 1 dakika içinde bulun. Aynı sayfalar üzerinde çalışabilirsiniz. Haydi başlayalım!

Burada ayrıca kum saatini kullanarak saati not edebilirsiniz. Öğrenciler yanlış eşitlikleri doğrudan çalışma sayfalarında eksi işaretiyle işaretlerler. Bağımsız çalışma için ayrılan sürenin bitiminden sonra çocuklara, kendi sonuçlarını kontrol etmeleri için kendi kendini test etme standartları verilir.

– Durmak! Zamanınız doldu. Kendinizi kendi kendine test standardına göre test edin ve test sonucunu “+” veya “?” işaretlerini kullanarak kaydedin.

Görevi nasıl tamamladınız?

– Görevi tamamlamakta kim zorluk yaşadı? (...)

– Sebebi nedir? (“Uygun” sayıları bulamadık; hesaplama hataları yaptık vs.)

– Her şey yolundaysa ellerinizi kaldırın. (...)

- Tebrikler! Kendinize bir “+” verin!

8. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama.

Hedef:

Sayıların farkı ve çoklu karşılaştırması ile ilgili problemleri çözme becerisini geliştirmek, eylemlerin bileşenleri hakkında yorumlarla bileşik denklemleri çözmek.

8. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

1) № 6,P. 29.

Görev analizi:

Bilinen... Bulmalıyız...

Koruda kaç ağaç olduğunu bulmak için tüm ağaç türlerinin toplamını bulmanız gerekir.

Durumdan yalnızca huş ağaçlarının sayısı biliniyor - 240 ve diğer ağaçların sayısı bilinmiyor, ancak bulunabilirler. Huş ağaçlarından 93 daha az akçaağaç olduğu söyleniyor, yani 240 - 93. Çam sayısını bulmak için ortaya çıkan akçaağaç sayısını ikiye katlamanız gerekiyor. Huş ve çam ağaçlarının sayısını toplayıp 3'e bölerek ladin ağaçlarının sayısını elde ederiz. Sorunun sorusunu cevaplamak için ortaya çıkan sayıları eklemeniz gerekir.

1) 240 – 93 = 147 (inç) – akçaağaç sayısı;

2) 147 · 2 = 294 (inç) – çam ağaçlarının sayısı;

4) 534: 3 = 178 (d.) – köknar ağacı sayısı;

Beyaz çörekten 4 kat daha fazla çörek olduğu biliniyor. Bu, sayılarını bulmak için elde edilen porçini mantarı sayısını 4 ile çarpmanız gerektiği anlamına gelir.

Boletüs sayısını bulmak için bulunan boletüs sayısını 34'ten çıkarın.

1) 38 – 34 = 4 (g.) – beyaz;

2) 4 · 4 = 16 (g.) – boletus mantarları;

3) 34 – 16 = 18 (yıl)

Cevap: Ormandan 4 adet porçini mantarı, 16 adet çörek mantarı ve 18 adet kavak mantarı getirildi.

– Görev şartlarını okuyun ve çözmek istediğiniz sorunu seçin.

Öğrenciler problem cümlelerini okur ve seçimlerini yaparlar.

– İlk sorunu çözecek olanlar ellerini kaldırsın. (...)

– Şimdi ikinci sorunu çözecek olanlar ellerini kaldırsın. (...)

İki öğrenci bağımsız olarak gizli panolarda çalışır, geri kalanlar çözümü çalışma kitaplarında tamamlar. Sonunda kurulda çalışanlar diyagramı doldurmayı gerekçelendirir, sorunu analiz eder ve çözümü açıklar. Son olarak öğretmen, sunulan çözüm seçenekleri üzerinde sınıftaki tüm öğrencilerle anlaşmaya varılmasını organize eder.

2) № 8 (a) , s. 29.

(920 – X ) : 20 Å 25 = 63 Son işlem toplamadır, terim bilinmemektedir.

(920 – X): 20 = 63 – 25 Bir terimi bulmak için bilineni toplamdan çıkarmanız gerekir

Terim. (920 – X): 20, 63 ile 25 veya 38'in farkına eşittir.

(920 – X ) : 20 = 38 Son işlem bölme işlemidir. Temettü bilinmiyor. İle

920 – X= 38 · 20 bölüneni bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir. 920 – X

38 ile 20'nin çarpımına yani 760'a eşittir.

920 – X= 760 Çıkarılan bilinmiyor. Çıkarılanı bulmak için yapmanız gerekenler

X= 920 – 760 eksilip farkı çıkarın. X farka eşit 920 ve 760,

X = 160 veya 160.

(920 – 160) : 20 + 25 = 63 Sınav: 160 sayısını yerine koyun verilen denklem yerine X.

38 + 25 = 63,920 – 160 = 760, 760: 20 = 38, 38 + 25 = 63. Yani değer

63 = 63 (ve) eşitliğin sol tarafındaki ifadedeki sayıya eşittir

sağ taraf. Eşitlik doğrudur, dolayısıyla denklem

Doğru karar verildi.

Bir öğrenci tahtada yorumlarla çalışır, geri kalan çocuklar ise not defterlerinde çalışır.

9. Dersteki öğrenme etkinliklerinin yansıması.

Hedefler:

1) derste öğrenilen yeni içeriği kaydedin;

2) öğrencilerin bildiği gereksinimlerin karşılanması açısından eğitim faaliyetlerinin yansıtıcı bir analizini düzenlemek;

3) dersteki kendi faaliyetlerinizi değerlendirin;

4) eğer varsa, derste çözülmemiş zorlukları gelecekteki eğitim faaliyetlerine yönelik talimatlar olarak kaydedin;

5) ödevinizi tartışın ve yazın.

9. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

– Bugün ne yeni öğrendin? (“Aritmetik işlemlerin sonuçları nasıl tahmin edilir?”)

– "Tahmin" terimi ne anlama geliyor? (Hızlı yaklaşık hesaplamalar için bir yöntem.)

– Tahmini nasıl yapıyorsunuz? (Sayıları uygun yuvarlak sayılarla değiştirin ve ardından işlemi gerçekleştirin.)

Çocuklardan aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin ederek çözülebilecek gerçek yaşam durumlarını bulmalarını isteyebilirsiniz.

– Ne yeni ile matematiksel işaret sınıfta tanıştınız mı? (“Yaklaşık olarak eşit.”)

– Ne için kullanılır? (Kesin olmayan hesaplamaların sonucunu kaydetmek için.)

– Dersin sonunda kimin sorusu var?

– Konuyu iyi anladığını kim düşünüyor? (...)

– Evde ne üzerinde çalışılması gerektiğini düşünüyorsunuz? (...)

Ev ödevi:

→ Aritmetik işlemler

Aritmetik işlemler

Verilen birden fazla sayıdan yeni bir sayı bulmaya ne ad verilir? aritmetik işlem. Aritmetikte altı işlem vardır: ek, çıkarma, çarpma, bölüm, üs alma, kök çıkarma.

1. Ek. Bu eylem, toplamları adı verilen bir sayıyı bulmak için toplamlar adı verilen birkaç sayıyı kullanmaktan oluşur.

Örnek: 4+3=7, burada 4 ve 3 terim, 7 ise toplamıdır.

2. Çıkarma- belirli bir toplamdan (çıkarılan) ve belirli bir terimden (çıkarılan) istenen terimin (farkın) bulunduğu bir eylem.
Bu toplama işleminin tersidir.

Örnek: 7 – 3 = 4, burada 7 eksilen, 3 çıkan ve 4 farktır.

3. Çarpma. Belirli bir sayıyı (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, çarpanın faktördeki birim sayısı kadar toplam olarak tekrarlanması anlamına gelir. Çarpma sonucuna çarpım denir.

Örnek: 2 ∙ 3 ​​​​= 6, burada 2 çarpan, 3 çarpan ve 6 ise üründür. (2 ∙ 3 ​​​​= 2 + 2+ 2 = 6)

Çarpan ve çarpan rollerini değiştirirse çarpım aynı kalır. Bu nedenle çarpan ve çarpana da denir faktörler.

Örnek: 2 ∙ 3 ​​​​= 3 ∙ 2, yani (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Eğer faktör 1 ise a ∙ 1 = a olduğu varsayılır.

Örneğin: 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. Bölüm. Bölerek bu iş(bölünebilir) ve verilen faktörü (bölen) kullanarak gerekli faktörü (bölümü) bulun.
Bu çarpma işleminin tersidir.

Örnek: 8: 2 = 4, burada 8 bölen, 2 bölen ve 4 bölümdür.

Bölme kontrol ediliyor: 2. bölen ile 4. bölümün çarpımı 8. böleni verir. 2 ∙ 4 = 8

Kalanlı bölme

Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölerken bölüm bir tam sayı ile sonuçlanırsa, tam sayıların bu şekilde bölünmesine denir. kesin, ya da ilk sayı tamamen bölünmüş(veya basitçe - bölünmüş) saniyeye göre.

Örneğin: 35 (bir tamsayıya göre) 5'e bölünebilir, bölüm 7 tamsayıdır.

İkinci sayıya birincinin böleni denir ve birincisi ikincinin katıdır.

Çoğu durumda bölme işlemi yapmadan öğrenebilirsiniz Tamamen bölünebilir mi? bir tam sayının diğerine bölümü (bkz. bölünebilirlik işaretleri).

Tam bölünme her zaman mümkün değildir. Bu durumda sözde işlemi gerçekleştirin. kalanla bölme. Bu durumda bunu buluyorlar en büyük sayı, bir bölenle çarpıldığında temettüyü aşmayan bir ürün verecektir. Bu numara denir tamamlanmamış özel. Temettü ile bölenin çarpımı ve kısmi bölüm arasındaki farka denir. bölümün geri kalanı.
Bölünme, bölenin kısmi bölüm artı kalanla çarpımına eşittir. Kalan her zaman bölenden küçüktür.

Örnek: 27 sayısının 4'e bölümünün kısmi bölümü 6, kalan 3'tür. Açıkçası 27 = 4∙6 + 3 ve 3˂4.

5. Üs alma. Belirli bir sayıyı tamsayı kuvvetine (ikinciye, üçüncüye vb.) yükseltmek, bu sayıyı iki, üç kat vb. çarpan olarak almak anlamına gelir. Başka bir deyişle üs alma işlemi tekrarlanan çarpma işlemiyle gerçekleştirilir.
Çarpan olarak alınan sayıya denir derece esası; Bir bazın kaç kez tekrarlandığını gösteren sayıya denir üs; bir sayının bir üssüne yükseltilmesinin sonucuna denir bu sayının gücü.

Örnek: 2∙2∙2 = 2³ = 8; burada 2 derecenin tabanı, 3 üs, 8 ise derecedir.

Bir sayının ikinci kuvvetine de denir kare, üçüncü derece – küp. Bir sayının birinci kuvveti sayının kendisidir.

6. Kök çıkarma belirli bir dereceye göre ( radikal sayı ) Ve bu gösterge derece ( kök üssü) istenilen tabanı (kök) bulun.
Bu, bir güce yükselmenin tam tersidir.

Örnek: ³√64 = 4; burada 64 radikal sayı, 3 kök üssü, 4 köktür.

Kök çıkarma kontrolü: 4³=64. 4 sayısının 3. kuvvetine yükseltildiğinde 64 elde edilir.

İkinci derecenin köküne de denir kare; üçüncü derecenin kökü - kübik.
Tabelada karekök Kök üssün atlanması gelenekseldir: √36 = 6, ²√36 = 6 anlamına gelir.

Kullanılan litre:
Kılavuzu ilköğretim matematik- Vygodsky M.Ya., “Bilim”, 1974
Matematik El Kitabı. 9-11. sınıf öğrencileri için el kitabı. - Şahno K.U., "Üçpedgiz", 1961

Ders 7. Birinci ve ikinci onluk sayılar için hesaplamalı toplama ve çıkarma yöntemleri

1. Temel kavramlar.

2. İlk ondaki sayılar için hesaplama teknikleri.

3. İkinci onluk sayılar için hesaplama teknikleri.

Temel Kavramlar

İÇİNDE ilkokul Dört aritmetik işlemi inceliyorlar: 1. sınıfta çocuklar toplama ve çıkarmaya, 2. sınıfta ise çarpma ve bölmeye aşina oluyorlar.

Toplama ve çıkarma işlemlerine birinci aşama işlemler denir. Çarpma ve bölme işlemlerine ikinci aşama işlemler denir.

Toplama sembolü “+” (artı) işareti, çıkarma sembolü ise “-” (eksi) işaretidir. Çarpma sembolü, yazılı olarak genellikle " " hücresinin ortasındaki bir nokta ile değiştirilen "x" işaretidir. Bölme sembolü “:” işaretidir. Lisede, yatay bir çubuk aynı zamanda bölme sembolü olarak da kullanılır (basılı metinlerde genellikle eğik çizgiyle değiştirilir), 3/4, U 2 biçimindeki bir gösterim bir bölme gösterimi olarak dikkate alınır.

Küme-teorik bakış açısından, ekleme, belirli bir kümeyi veya belirli bir kümeyle karşılaştırıldığında birkaç öğeyi birleştiren ve artıran kümelerle (kümeler, nesne grupları) bu tür nesnel eylemlere karşılık gelir. Bu bağlamda, eylemleri kaydetmenin ve eylemlerin sonuçlarını hesaplamanın sembolizmini tanımadan önce, çocuğun tüm bu durumları nesnel kümeler üzerinde modellemeyi öğrenmesi, bunları öğretmenin sözlerinden anlaması (yani doğru şekilde temsil etmesi), Nesnel bir eylemin hem sürecini hem de sonucunu elleriyle gösterir ve ardından bunları sözlü olarak karakterize eder.

Çocuğun gerçekleştirmeyi öğrenmesi gereken görevler sözlü açıklama toplama eyleminin sembolizmini tanımadan önce öğretmen:

1. Üç havuç ve iki elma alın (görsel). Bunları sepetinize koyun. Kaç tane bir arada olduğunu nasıl öğrenebilirim? (Saymamız gerekiyor.)

2. Rafta 2 adet fincan ve 4 adet bardak bulunmaktadır. Bardakları dairelerle ve bardakları karelerle etiketleyin. Kaç kişinin bir arada olduğunu gösterin. Say onu.

3. Vazodan 4 şeker ve 1 gofret alındı. Bunları rakamlarla etiketleyin ve vazodan kaç tane şeker alındığını gösterin. Say onu.

Aşağıda önerilen üç durumun tümü, iki kümenin birleşimini modellemektedir.

1. Vanya'nın 3 rozeti var. Simgeleri dairelerle işaretleyin. Ona daha fazlasını verdiler ve o da 2 tane daha aldı. Şu anda kaç tane rozeti olduğunu öğrenmek için ne yapmalısınız? (2 eklemeniz gerekir.) Yapın. Sonucu sayın.

2. Petya'nın 2 adet oyuncak kamyonu vardı. Kamyonları karelerle işaretleyin. Ve aynı sayıda araba. Arabaları dairelerle işaretleyin. Kaç tane daire yerleştirdin? Doğum gününde kendisine üç araba daha verildi. Şimdi hangi arabalar daha çok var? Bunları dairelerle işaretleyin. Bana ne kadar daha fazlasını göster.

3. Bir kutuda 6, diğerinde 2 kalem daha var. İlk kutudaki kalemleri yeşil çubuklarla, ikinci kutudaki kalemleri ise kırmızı çubuklarla etiketleyin. İlk kutuda kaç tane, ikinci kutuda kaç tane kalem olduğunu gösterin. Hangi kutuda daha fazla kalem var? Hangisinde daha az var? Ne kadardır?

Bu üç durum, belirli bir popülasyondaki veya belirli bir popülasyonla karşılaştırılan bir popülasyondaki birkaç birimlik artışı modellemektedir.

Sembolik olarak bu durumlar toplama işlemi kullanılarak tanımlanmaktadır: 6 + 2 = 8.

Dört tür çıkarma işlemi vardır maddi eylemler:

a) nüfusun bir kısmının (setinin) uzaklaştırılması;

b) bu ​​nüfusun birkaç birim azaltılması;

c) verilen nüfusla karşılaştırıldığında popülasyonda birkaç birim azalma;

d) iki kümenin fark karşılaştırması.

Çıkarma eyleminin sembolizmine aşina olmadan önce çocuğun öğretmenin sözlü açıklamasına göre gerçekleştirmeyi öğrenmesi gereken görevler şunlardır:

1. Bir boa yılanı açık bir alanda çiçekleri kokladı. Toplamda 7 çiçek vardı. Çiçekleri dairelerle işaretleyin. Yavru Fil geldi ve yanlışlıkla 2 çiçeğe bastı. Bunu göstermek için ne yapılması gerekiyor? Bebek Fil'in artık kaç çiçeğin kokusunu alabildiğini gösterin.

2. Maymunun 6 muzu vardı. Bunları dairelerle işaretleyin. Birkaç muz yedi ve 4 muzunu kaybetti. Bunu göstermek için ne yapılması gerekiyor? Neden 4 muzu çıkardın? (4 tane daha az var.) Bana kalan muzları göster. Kaç tane var?

3. Böceğin 6 bacağı vardır. Böceğin bacak sayısını kırmızı çubuklarla belirtin. Ve bir filin 2 bacağı daha azdır. Fil bacaklarının sayısını yeşil çubuklarla belirtin. Kimin daha az bacağı olduğunu gösterin. Kimin daha fazla bacağı var? Ne kadardır?

4. Bir rafta 5 adet fincan bulunmaktadır. Bardakları dairelerle etiketleyin. Diğer rafta ise 8 adet bardak var. Gözlükleri karelerle işaretleyin. Hangisinin daha fazla olduğunu hemen görebilmeniz için bunları yerleştirin - bardak mı yoksa fincan mı? Neyden daha az? Ne kadardır?

Yukarıda belirtilen konu eylem türlerine göre aşağıdaki görevler verilmektedir.

Sembolik olarak bu durumlar çıkarma işlemi kullanılarak tanımlanmaktadır: 8-5 = 3.

Çocuk kulaktan anlamayı öğrendikten ve belirlenen tüm nesnel eylem türlerini modellemeyi öğrendikten sonra, eylem işaretleriyle tanıştırılabilir. Bu aşamada öğretmenin talimatlarının sırası şu şekildedir:

1) görevde söylenenleri dairelerle (çubuklar vb.) belirtin;

2) belirlemek belirtilen sayı sayılarla daireler (çubuklar);

3) aralarına koyun doğru işaret eylemler. Örneğin:

Bir vazoda 4 beyaz ve 3 pembe lale vardır. Beyaz lalelerin sayısını ve pembe lalelerin sayısını belirtin. Bütün lalelerin aynı vazoda olduğunu göstermek için girişe hangi işaret konulmalıdır?

Giriş yapılır: 4 + 3.

Böyle bir kayda " denir matematiksel ifade" O

Durumun niceliksel özelliklerini ve söz konusu nüfuslar arasındaki ilişkileri karakterize eder.

Cevapta elde edilen 7 sayısına ifadenin değeri denir.

3 + 4 = 7 şeklindeki gösterime eşitlik denir. Çocuğunuzu hemen almaya yönlendirmemelisiniz. tam eşitlik ifadenin değerini yazarak:

ifade\

ifade değeri

eşitlik

Eşitliğe geçmeden önce çocuklara görevler sunmakta fayda var:

a) durumu ve ifadeyi ilişkilendirmek (belirli bir durum için bir ifade seçin veya durumu ifadeye göre değiştirin - durum bir resimde gösterilebilir, bir tahtaya çizilebilir, bir flanel grafik üzerinde modellenebilir);

b) durumlar için ifadeler oluşturmak (duruma uygun bir ifade oluşturmak).

Çocuklar bir eylemin işaretini doğru seçmeyi ve seçimlerini açıklamayı öğrendikten sonra bir denklem oluşturmaya ve eylemin sonucunu kaydetmeye geçebilirler.

Sabit bir matematik ders kitabında toplama ve çıkarma işlemleri aynı anda öğretilir. Bazı alternatif ders kitaplarında (I.I. Arginskaya, N.B. Istomina) önce toplama, sonra çıkarma işlenir.

3 + 5 formundaki ifadeye toplam denir.

Bu notasyondaki 3 ve 5 sayılarına terim denir.

3 + 5 = 8 şeklindeki gösterime eşitlik denir. 8 sayısına ifadenin değeri denir. Bu durumda 8 sayısı toplama sonucunda elde edildiğinden, buna genellikle toplam da denir.

Örneğin:

4 ve 6 sayılarının toplamını bulun. (Cevap: 4 ve 6 sayılarının toplamı 10'dur.)

8-3 formundaki bir ifadeye fark denir.

8 sayısına eksilen, 3 sayısına ise çıkarılan denir.

İfadenin değeri - 5 sayısı aynı zamanda fark olarak da adlandırılabilir.

Örneğin:

6 ile 4 sayıları arasındaki farkı bulun. (Cevap: 6 ile 4 sayıları arasındaki fark 2'dir.)

Toplama ve çıkarma işlemlerinin bileşenlerinin adları anlaşmayla getirildiğinden (çocuklara bu isimler söylenir ve bunları hatırlamaları gerekir), öğretmen eylem bileşenlerini tanımayı ve adlarını konuşmada kullanmayı gerektiren görevleri aktif olarak kullanır. Örneğin:

1. Bu ifadeler arasında ilk terimin (eksik, çıkarılmış) 3'e eşit olduğunu bulun:

3 + 2; 7 - 3; 6 + 3; 8 + 1; 3 + 5; 3 - 2; 7 - 3; 3 + 4; 3 - 1.

2. İkinci terimin (eksilmiş, çıkarılmış) 5'e eşit olduğu bir ifade oluşturun. Değerini bulun.

3. Toplamın 6 olduğu örnekleri seçin. Altlarını kırmızıyla çizin. Farkın 2 olduğu örnekleri seçin. Altlarını maviyle çizin.

4. 5 - 4 ifadesinde adı geçen 4 sayısı nedir? 5 sayısına ne denir? Farkı bulun. Farkın aynı sayıya eşit olduğu başka bir örnek yapın.

5. 18 eksilt, 9 çıkar. Farkı bulun.

6. 11 ve 7 sayıları arasındaki farkı bulun. Çıkarılan ve eksilenleri adlandırın.

2. sınıfta çocuklar toplama ve çıkarma işlemlerinin sonuçlarını kontrol etme kurallarına aşina olurlar:

Toplama çıkarma ile kontrol edilebilir: 57 + 8 = 65. Kontrol edin: 65-8 = 57.

Toplamdan bir terim çıkarın ve başka bir terim elde edin. Bu, eklemenin doğru yapıldığı anlamına gelir.

Bu kural herhangi bir konsantrasyondaki ekleme işleminin kontrol edilmesi için geçerlidir (herhangi bir sayı ile hesaplamaları kontrol ederken).

Çıkarma toplama ile kontrol edilebilir: 63 - 9 =54. Kontrol edin: 54 + 9 = 63.

Çıkarılanı farka ekledik ve eksiği bulduk. Bu, çıkarma işleminin doğru yapıldığı anlamına gelir.

Bu kural aynı zamanda herhangi bir sayıyla çıkarma işleminin test edilmesi için de geçerlidir.

3. sınıfta çocuklar, toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl kontrol edileceğine ilişkin çocuğun fikirlerinin bir genellemesi olan toplama ve çıkarma bileşenleri arasındaki ilişkiye ilişkin kurallara aşina olurlar: w

Toplamdan bir terim çıkarırsanız başka bir terim elde edersiniz.

Farkı ve çıkanı toplarsanız eksiyi alırsınız.

Farkı eksiden çıkarırsanız, çıkanı elde edersiniz.

Bu kurallar, ilkokulda eşitliğin karşılık gelen bilinmeyen bileşenini bulma kuralına göre çözülen denklemleri çözmeye hazırlanmanın temelini oluşturur.

Örneğin:

Denklem 24 - x=19'u çözün.

Denklemin çıkanı bilinmiyor. Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir: x = 24 - 19, x = 5.

İçin gerçek sayılar Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi aritmetik işlemleri tanımlayabilirsiniz. Bunun nasıl yapıldığını aşağıdaki ayrıntılı yazıda bulabilirsiniz. Bu argümanlara aşina olmayı gerekli bulan okuyucu, aritmetik işlemlerin sonsuz kesirler bazı sonsuz süreçleri gerçekleştirme ihtiyacıyla ilişkilidir. Uygulamada reel sayılar üzerinde aritmetik işlemler yaklaşık olarak yapılmaktadır.

Bu yolda mümkün resmi tanımlar bu eylemler. Bu, § 1.8'de tartışılacaktır.

Bir sonraki paragrafta, yapılan tanımlardan çıkan gerçek sayıların özellikleri listelenmektedir. Bu özellikleri formüle ediyoruz. Kanıtlanabilirler, ancak biz bunları yalnızca bazı durumlarda (tam kanıtörneğin S. M. Nikolsky'nin ders kitabına bakın " Matematiksel analiz", cilt I, bölüm. 2). Bu özellikler beş grupta toplanır (I – V). Bunlardan ilk üçü bize yol gösterecek temel özellikleri içerir. aritmetik hesaplamalar ve eşitsizlikleri çözmek. Grup IV bir özelliği (Arşimed) oluşturur. Son olarak V grubu da bir özellikten oluşmaktadır. Bu özellik limitler diliyle formüle edilmiştir. Kanıtlanacak, ancak daha sonra - § 2.5'te.