Harmonik bir osilatörün hareket denklemi şu şekildedir. §15

İki atomlu bir moleküldeki atomların titreşim hareketinin en basit modeli, iki kütleli bir sistem olabilir. T/ ve w?, elastik bir yay ile birbirine bağlanmıştır. İki atomun kütle merkezine göre titreşimi, bir eşdeğerin titreşimiyle değiştirilebilir

başlangıca göre kütle sıfır noktası R= 0, nerede

R- kütleler arasındaki mesafe, Tekrar- denge noktasının konumu.

Klasik düşüncede yayın ideal olduğu - F elastik kuvvetinin deformasyonla doğru orantılı olduğu - dengeden sapma olduğu varsayılır. x = R-R e, Hooke yasasına göre:

Nerede İle- esneklik sabiti. Böylece kuvvet denge konumuna geri dönmeye yönlendirilir.

Hooke ve Newton yasalarını birlikte kullanmak (F-ta), yazılabilir:

(gösteren). Böyle bir denklemin çözümü şu şekilde bilinmektedir:

harmonik fonksiyonlara hizmet eder

Nerede evet- genlik ve

Azaltılmış kütlenin kullanılması /lşunu elde ederiz:

Bir sistemin potansiyel enerjisinin ölçüsü V işe hizmet ediyor

İÇİNDE kuantum mekaniği Harmonik bir osilatörün basit bir modeli için salınım hareketinin analizi oldukça karmaşıktır. Schrödinger denkleminin çözülmesine dayanmaktadır.

(e/- titreşim dalga fonksiyonu, e - toplam enerji parçacıklar) ve sunumumuzun kapsamı dışındadır.

Bir kuantum osilatörü için bu yalnızca mümkündür ayrık seri formüle göre enerji E değerleri ve frekanslar E=hv. Ayrıca osilatörün enerjisinin minimum değeri sıfır değildir. Bu miktara denir sıfır enerji osilatörün en düşük enerji seviyesine karşılık gelir ve eşittir, varlığı Heisenberg belirsizlik ilişkisine dayanarak açıklanabilir.

Böylece, uyarınca kuantum mekaniği Harmonik osilatörün enerjisi nicelenir:

Nerede v- salınımlı kuantum sayısı y=0, 1, 2, 3,.... değerini alabilen

Bir osilatör kuantumla etkileşime girdiğinde elektromanyetik radyasyonüç faktör dikkate alınmalıdır: 1) düzey popülasyonu (belirli bir zamanda bir molekül bulma olasılığı) enerji seviyesi); 2) bir kuantumun enerjisinin herhangi iki seviyenin enerji farkına karşılık gelmesi gerektiğine göre frekans kuralı (Bohr);

3) kuantum geçişleri için seçim kuralı: geçiş olasılığı, yani. absorpsiyon spektrumundaki çizgilerin yoğunluğu miktarla belirlenir. geçiş dipol momenti (bkz. teorik giriş). En basit harmonik osilatör durumunda seçim kuralı dalga fonksiyonları dikkate alınarak elde edilir. Geçişlerin yalnızca bitişik seviyeler arasında ("bir adım") gerçekleşebileceğini belirtir: titreşim kuantum sayısı bir değişir Av= 1. Bitişik seviyeler arasındaki mesafeler aynı olduğundan, harmonik bir osilatörün soğurma spektrumu, frekansa sahip yalnızca bir çizgi içermelidir.

Çünkü oda sıcaklığında ve daha fazlasında Boltzmann dağılımına uygun olarak düşük sıcaklıklar en düşük titreşim seviyesi doldurulur, daha sonra en yoğun geçiş en baştan itibaren gerçekleşir. düşük seviye(d=0) ve bu çizginin frekansı, daha yüksek seviyelerden bitişik daha yüksek seviyeye olan daha zayıf geçişlerin frekansı ile çakışmaktadır.

Harmonik osilatör dalga fonksiyonlarının grafikleri farklı anlamlar enerjiler Şekil 2.3'te gösterilmektedir. Harmonik bir osilatör için Schrödinger denkleminin çözümlerini temsil ederler.

Nerede N, - normalleştirme faktörü, H 0- Hermit polinomları, x = R-R e- denge konumundan sapma.

Titreşimsel geçişler için geçiş dipol momenti, R0(veya M")şuna eşittir:

Nerede ju - dipol momenti moleküller; tereddüt

sırasıyla başlangıç ​​ve son durumların katı dalga fonksiyonları. Formülden geçişe izin verildiği açıktır,

denge noktasında ise - molekülün dipol momenti

denge noktasının konumuna yakın değişiklikler (eğri ju=f(R) bu noktada maksimumu geçmez). İntegral (formüldeki ikinci faktör) de sıfıra eşit olmamalıdır. Bitişik seviyeler arasında geçiş meydana gelirse bu koşulun karşılandığı gösterilebilir, dolayısıyla ek kural seçim ai = 1.

İki atomlu moleküller söz konusu olduğunda titreşim spektrumları yalnızca heteronükleer moleküller için gözlemlenebilir; homonükleer moleküller için dipol momenti yoktur ve titreşimler sırasında değişmez. CO2'nin titreşim spektrumları, dipol momentinin değiştiği titreşimler (antisimetrik esneme ve bükülme) sergiler, ancak değişmeden kaldığı simetrik titreşimler görünmez.

Harmonik osilatör

Harmonik osilatör(klasik mekanikte) - denge konumundan çıkarıldığında geri çağırıcı bir kuvvet uygulayan bir sistem F, yer değiştirmeyle orantılı X(Hooke yasasına göre):

Nerede k- sistem sağlamlık katsayısı.

Eğer F Sisteme etki eden tek kuvvet olduğuna göre sisteme denir. basit veya muhafazakar harmonik osilatör. Böyle bir sistemin serbest salınımları, denge konumu etrafındaki periyodik hareketi (harmonik salınımlar) temsil eder. Frekans ve genlik sabittir ve frekans, genliğe bağlı değildir.

Harmonik bir osilatörün mekanik örnekleri, matematiksel bir sarkaç (küçük sapma açılarına sahip), bir burulma sarkacı ve akustik sistemlerdir. Harmonik osilatörün diğer analogları arasında, elektrik vurgulanmaya değer harmonik osilatör(bkz. LC devresi).

Serbest titreşimler

Muhafazakar harmonik osilatör

Muhafazakar harmonik osilatörün bir modeli olarak kütlesel bir yük alıyoruz M, yaya sertlikle sabitlenmiştir k .

İzin vermek X- yükün denge konumuna göre yer değiştirmesi. Daha sonra Hooke yasasına göre, bir geri çağırıcı kuvvet buna etki edecektir:

Daha sonra toplam enerji sabit bir değere sahiptir

Basit harmonik hareket - bu basit bir harekettir harmonik osilatör, ne zorlanan ne de sönümlenen periyodik hareket. Basit harmonik hareket yapan bir cisim, büyüklükteki yer değiştirmeyle doğru orantılı olan tek bir değişken kuvvete maruz kalır. X denge konumundan ters yönde yönlendirilir.

Bu hareket periyodiktir: vücut sinüzoidal bir yasaya göre denge konumu etrafında salınır. Sonraki her salınım bir öncekiyle aynıdır ve salınımların periyodu, frekansı ve genliği sabit kalır. Denge konumunun koordinatlı bir noktada olduğunu varsayarsak, sıfıra eşit, ardından ofset X Vücudun herhangi bir zamanda denge konumundan çıkışı aşağıdaki formülle verilir:

Nerede A- salınımların genliği, F- frekans, φ - başlangıç ​​aşaması.

Hareket sıklığı belirlenir karakteristik özellikler sistem (örneğin, hareketli bir cismin kütlesi), genlik ve başlangıç ​​\u200b\u200bfazı başlangıç ​​\u200b\u200bkoşullarına göre belirlenir - salınımların başladığı andaki vücudun yer değiştirmesi ve hızı. Sistemin kinetik ve potansiyel enerjileri de bu özelliklere ve koşullara bağlıdır.

Basit harmonik hareket olabilir matematiksel modeller çeşitli türler bir yayın salınımı gibi hareketler. Kabaca basit harmonik hareket olarak kabul edilebilecek diğer durumlar sarkacın hareketi ve moleküllerin titreşimidir.

Basit harmonik hareket, daha karmaşık hareket türlerini analiz etmenin bazı yollarının temelini oluşturur. Bu yöntemlerden biri, özü daha fazla öğenin genişletilmesine dayanan Fourier dönüşümüne dayanan yöntemdir. karmaşık tip hareketleri bir dizi basit harmonik harekete dönüştürür.

Basit harmonik hareketin meydana geldiği herhangi bir sistemin iki temel özelliği vardır:

1. Bir sistem denge dışına atıldığında, sistemi tekrar dengeye getirecek bir geri çağırıcı kuvvetin bulunması gerekir.
2. Geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle tam olarak veya yaklaşık olarak orantılı olmalıdır.

Yük yayı sistemi bu koşulların her ikisini de karşılar.

Yer değiştiren bir yük, bir geri getirme kuvvetine maruz kaldığında hızlanır ve orijinal konumuna dönme eğilimi gösterir. başlangıç ​​noktası yani denge konumuna. Yük denge konumuna yaklaştıkça geri çağırıcı kuvvet azalır ve sıfıra yaklaşır. Ancak durumda X = 0 yük, geri getirme kuvvetinin etkisi nedeniyle elde edilen belirli bir miktarda harekete (impulse) sahiptir. Bu nedenle yük, denge konumunu aşar ve yayı tekrar deforme etmeye başlar (ancak halihazırda ters yön). Geri çağırıcı kuvvet, hız sıfır olana kadar onu yavaşlatma eğiliminde olacaktır; ve kuvvet yine yükü denge konumuna döndürmeye çalışacaktır.

Sistemde enerji kaybı olmadığı sürece yük yukarıda anlatıldığı gibi salınım yapacaktır; böyle bir harekete periyodik denir.

Daha ileri analizler, yük-yay sistemi durumunda hareketin basit harmonik olduğunu gösterecektir.

Basit harmonik hareketin dinamiği

Tek boyutlu uzaydaki titreşimler için Newton'un İkinci Yasasını dikkate alarak ( f= M  d² X/D T² ) ve Hooke yasası ( F = −kx yukarıda açıklandığı gibi), ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemimiz var:

Bu diferansiyel denklemin çözümü sinüzoidaldir; bir çözüm şudur:

Nerede A, ω ve φ sabit büyüklüklerdir ve denge konumu başlangıç ​​konumu olarak alınır. Bu sabitlerin her biri önemli bir değeri temsil eder. fiziksel özellik hareketler: A genlik, ω = 2π F- dairesel frekans ve φ - başlangıç ​​aşaması.

Evrensel dairesel hareket

Basit harmonik hareket bazı durumlarda evrensel dairesel hareketin tek boyutlu izdüşümü olarak düşünülebilir. Bir nesne yarıçaplı bir daire boyunca sabit bir ω açısal hızıyla hareket ediyorsa R merkezi düzlemin orijini olan x−y, o zaman her biri boyunca böyle bir hareket koordinat eksenleri genlikle basit harmoniktir R ve dairesel frekans ω.

Basit bir sarkaç gibi bir ağırlık

Küçük açılarda hareket basit sarkaç basit harmoniğe yakındır. Uzunluktaki bir çubuğa bağlı böyle bir sarkacın salınım periyodu ℓ ivme ile serbest düşüş G formülle verilir

Bu, salınım periyodunun sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı olmadığını, yerçekiminin ivmesine bağlı olduğunu gösterir. G bu nedenle, sarkacın aynı uzunluğu ile Ay'da daha yavaş sallanacaktır, çünkü orada yerçekimi daha zayıftır ve daha az değer serbest düşüş ivmesi.

Açısal ivme ifadesi koordinatın sinüsüyle orantılı olduğundan, bu yaklaşım yalnızca küçük sapma açıları için doğrudur:

ne yapar açısal ivmeθ açısıyla doğru orantılıdır ve bu, basit harmonik hareket tanımını karşılar.

Sönümlü harmonik osilatör

Aynı modeli temel alarak buna viskoz sürtünme kuvvetini de ekleyeceğiz. Viskoz sürtünme kuvveti, yükün ortama göre hareket hızına karşı yönlendirilir ve bu hız ile orantılıdır. Daha sonra tam güç Yüke etki eden aşağıdaki gibi yazılır:

Benzer eylemleri gerçekleştirerek, şunu elde ederiz: diferansiyel denklem Sönümlü bir osilatörü tanımlayan:

Burada atama tanıtılmıştır: . Katsayıya zayıflama sabiti denir. Bunun aynı zamanda frekans boyutu da vardır.

Çözüm üç duruma ayrılıyor.

Kritik sönüm, osilatörün en hızlı şekilde denge konumuna yöneldiği yerin kritik sönümleme olması açısından dikkat çekicidir. Sürtünme kritikten azsa denge konumuna daha hızlı ulaşacak, ancak atalet nedeniyle dengeyi "aşacak" ve salınım yapacaktır. Sürtünme kritik değerden büyükse osilatör üstel olarak denge konumuna yönelecektir, ancak ne kadar yavaş olursa sürtünme de o kadar büyük olur.

Bu nedenle, kadranlı göstergelerde (örneğin ampermetrelerde), okumaların mümkün olduğu kadar hızlı okunabilmesi için genellikle kritik zayıflama sağlamaya çalışırlar.

Bir osilatörün sönümlenmesi sıklıkla kalite faktörü adı verilen boyutsuz bir parametreyle de karakterize edilir. Kalite faktörü genellikle harfle gösterilir. Tanım gereği kalite faktörü şuna eşittir:

Kalite faktörü ne kadar yüksek olursa, osilatör salınımlarının bozulması o kadar yavaş olur.

Kritik sönümlemeli bir osilatörün kalite faktörü 0,5'tir. Buna göre kalite faktörü osilatörün davranışını gösterir. Kalite faktörü 0,5'ten büyükse osilatörün serbest hareketi salınımları temsil eder; Zamanla denge konumunu sınırsız sayıda geçecektir. 0,5'ten küçük veya ona eşit bir kalite faktörü, osilatörün salınımsız hareketine karşılık gelir; V serbest hareket denge konumunu en fazla bir kez geçecektir.

Kalite faktörüne bazen osilatörün kazanç faktörü denir, çünkü bazı uyarma yöntemlerinde, uyarma frekansı rezonans frekansıyla çakıştığında, salınımların genliği, düşük bir frekansta uyarıldığından yaklaşık iki kat daha büyük olur.

Ayrıca kalite faktörü, salınım genliğinin bir faktör kadar azaldığı salınım döngülerinin sayısının ile çarpılmasına yaklaşık olarak eşittir.

Salınımlı hareket durumunda sönümleme ayrıca şu parametrelerle de karakterize edilir:

• Yaşam süresi titreşimler (diğer adıyla bozunma süresi, bu aynı dinlenme zamanı) τ - salınımların genliğinin azalacağı süre e bir kere.

Zorlanmış titreşimler

Osilatör salınımlarına, kendisine bazı ek dış etkiler uygulandığında zorlanmış denir. Bu etki üretilebilir çeşitli yollarla ve tarafından çeşitli kanunlar. Örneğin kuvvet uyarımı, belirli bir yasaya göre yalnızca zamana bağlı olan bir kuvvetin yükü üzerindeki etkisidir. Kinematik uyarım, yay bağlantı noktasının hareketiyle osilatör üzerindeki etkidir. verilen yasa. Örneğin yükün sürtünme yaşadığı ortamın belirli bir yasaya göre hareket etmesi durumunda sürtünmeden etkilenmek de mümkündür.

Ders 1

SALINIMLAR. DALGALAR. OPTİK

Salınımları inceleyen ilk bilim adamları Galileo Galilei ve Christiaan Huygens'ti. Galileo salınım periyodunun genlikten bağımsızlığını ortaya koydu. Huygens sarkaçlı saati icat etti.

Denge konumundan hafifçe rahatsız edildiğinde kararlı salınımlar sergileyen herhangi bir sisteme harmonik osilatör denir. İÇİNDE klasik fizik bu tür sistemler küçük sapma açıları içindeki matematiksel bir sarkaçtır, küçük salınım genliklerindeki bir yüktür, elektrik devresi, oluşan doğrusal elemanlar kapasitans ve endüktans.

(1.1.1)

Nerede X A

Salınımlı bir malzeme noktasının hızı

A

.

Periyodik olarak tekrarlanan bir süreç (1.1.1) ile örtüşmeyen denklemlerle tanımlanıyorsa buna anharmonik denir. Harmonik olmayan salınımlar gerçekleştiren bir sisteme harmonik olmayan osilatör denir.

1.1.2 . Tek serbestlik dereceli sistemlerin serbest titreşimleri. Karmaşık biçim gönderimler harmonik titreşimler

Doğada bir sistemin denge konumuna yaklaşırken yaptığı küçük salınımlar çok yaygındır. Denge konumundan çıkarılan bir sistem kendi haline bırakılırsa, yani üzerine herhangi bir dış kuvvet etki etmezse, böyle bir sistem serbest performans gösterecektir. sönümsüz salınımlar. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistem düşünelim.

Q

,

Nerede

, (1.1.4)

İfade (1.1.5), serbest harmonik salınımların denklemi (1.1.3) ile örtüşmektedir, ancak şu şartla:

,

, Nerede A=Xe-iα

1.1.3 . Örnekler salınım hareketleriçeşitli fiziksel doğa

Harmonik osilatör. Yay, fiziksel ve matematiksel sarkaçlar

Harmonik osilatör(140.6) formundaki bir denklemle açıklanan, salınan bir sistem denir;

Harmonik bir osilatörün salınımları önemli örnek Periyodik hareket ve klasik ve klasik problemlerin çoğunda kesin veya yaklaşık bir model olarak hizmet eder. kuantum fiziği. Harmonik bir osilatörün örnekleri yay, fiziksel ve matematiksel sarkaçlardır. salınım devresi(devre elemanlarının doğrusal kabul edilebileceği kadar küçük akımlar ve gerilimler için).

1. Yaylı sarkaç- bir kütle yüküdür T mükemmel elastik bir yay üzerinde asılıdır ve hareket altında harmonik salınımlar gerçekleştirir elastik kuvvet F = – kx, Nerede k- yay sertliği. Bir sarkacın hareket denklemi

(142.1) ve (140.1) ifadelerinden, yay sarkacının yasaya göre harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucu çıkmaktadır. x=A s ile (w 0 T + J) döngüsel frekansla

Formül (142.3) aşağıdakiler için geçerlidir: elastik titreşimler Hooke yasasının karşılandığı sınırlar dahilinde (bkz. (21.3)), yani yayın kütlesi cismin kütlesine kıyasla küçük olduğunda. Potansiyel enerji bahar sarkaç(141.5) ve (142.2)'ye göre, şuna eşittir:

2. Fiziksel sarkaç- yerçekiminin etkisi altında sabit bir cisim etrafında salınan katı bir cisim yatay eksen, noktadan geçerek HAKKINDA kütle merkeziyle çakışmayan İLE cesetler (Şek. 201).

Sarkaç denge konumundan belirli bir açıyla eğilirse A, daha sonra, katı bir cismin dönme hareketinin dinamiği denklemine (18.3) göre, moment M geri getirme kuvveti şu şekilde yazılabilir:

Nerede J- sarkacın askı noktasından geçen eksene göre atalet momenti Ah, ben... sarkacın kütle merkezi ile arasındaki mesafe, F t = – mg sin a » – mg a. - geri getirme kuvveti (eksi işareti, yönlerin ft Ve A her zaman tam tersi; günah A » A sarkacın küçük salınımlarına karşılık gelir, yani. sarkacın denge konumundan küçük sapmaları). Denklem (142.4) şu şekilde yazılabilir:

(140.1)'in çözümü bilinen (142.1) ile aynı:

(142.6) ifadesinden, küçük salınımlar için fiziksel sarkacın, w 0 döngüsel frekansı (bkz. (142.5)) ve periyoduyla harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucu çıkar.

Nerede L=J/(ml) - azaltılmış uzunluk fiziksel sarkaç.

Nokta HAKKINDA' düz çizginin devamında işletim sistemi, noktadan uzak HAKKINDA sarkacın verilen uzunlukta bir mesafede asılı kalması L, isminde salıncak merkezi fiziksel sarkaç (Şekil 201). Steiner teoremini (16.1) uygulayarak şunu elde ederiz:

yani. OO' her zaman daha fazlası İşletim sistemi. Askı noktası HAKKINDA sarkaç ve salınım merkezi HAKKINDA' sahip olmak Değiştirilebilirlik özelliği: Süspansiyon noktası salınımın merkezine taşınırsa önceki nokta HAKKINDA süspansiyon

salınımın yeni merkezi olacak ve fiziksel sarkacın salınım periyodu değişmeyecek.

3. Matematiksel sarkaç- Bu idealleştirilmiş kütleli maddi bir noktadan oluşan sistem T, Uzatılamaz, ağırlıksız bir iplik üzerinde asılıdır ve yerçekiminin etkisi altında salınır. İyi yaklaşım matematiksel sarkaç ince uzun bir ipe asılan küçük, ağır bir toptur. Matematiksel bir sarkacın eylemsizlik momenti

Nerede ben- sarkacın uzunluğu.

Matematiksel bir sarkaç şu şekilde temsil edilebildiğinden özel durum fiziksel sarkaç, tüm kütlesinin tek bir noktada yoğunlaştığını varsayarsak - kütle merkezi, daha sonra ifadeyi (142.8) formül (1417) ile değiştirerek, matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu için bir ifade elde ederiz.

(142.7) ve (142.9) formüllerini karşılaştırdığımızda, uzunluğun kısaltılması durumunda şunu görüyoruz: L fiziksel sarkaç uzunluğa eşittir ben Matematiksel bir sarkaç varsa bu sarkaçların salınım periyotları aynıdır. Buradan, fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu- bu, salınım periyodu belirli bir fiziksel sarkacın salınım periyoduna denk gelen böyle bir matematiksel sarkacın uzunluğudur.

İdeal harmonik osilatör. İdeal osilatör denklemi ve çözümü. Salınımların genliği, frekansı ve fazı

SALINIMLAR

HARMONİK TİTREŞİMLER

İdeal harmonik osilatör. İdeal osilatör denklemi ve çözümü. Salınımların genliği, frekansı ve fazı

Salınım, doğadaki ve teknolojideki en yaygın süreçlerden biridir. Salınımlar zaman içinde tekrarlanan süreçlerdir. Tereddüt etmek yüksek binalar ve rüzgarın etkisi altındaki yüksek gerilim kabloları, sürüş sırasında yara saatinin sarkacı ve yaylar üzerinde bir araba, yıl boyunca nehir seviyesi ve sıcaklık insan vücudu hastalık durumunda. Ses hava basıncındaki dalgalanmalardır, radyo dalgaları periyodik değişiklikler elektriksel gerilim ve manyetik alanışık da elektromanyetik titreşimler. Depremler - toprak titreşimleri, gelgitler ve akıntılar - ayın çekiciliğinden kaynaklanan deniz ve okyanus seviyelerindeki değişiklikler vb.

Salınımlar mekanik, elektromanyetik, kimyasal, termodinamik vb. olabilir. Bu çeşitliliğe rağmen tüm salınımlar aynı diferansiyel denklemlerle tanımlanır.

Denge konumundan yer değiştirme, rahatsız edici kuvvetle doğrudan orantılıysa, harmonik bir osilatörün doğrusal olduğu düşünülebilir. Harmonik bir osilatörün salınım frekansı genliğe bağlı değildir. Bir osilatör için süperpozisyon ilkesi karşılanır - eğer birkaç rahatsız edici kuvvet etki ediyorsa, o zaman toplam eylemlerinin etkisi, etkilerin eklenmesi sonucunda elde edilebilir. aktif kuvvetler ayrı ayrı.

Harmonik titreşimler denklemle tanımlanır (Şekil 1.1.1)

(1.1.1)

Nerede X-salınım miktarının denge konumundan yer değiştirmesi, A– salınımların genliği, değere eşit maksimum yer değiştirme, - zaman anındaki yer değiştirmeyi belirleyen salınım fazı, - zamanın ilk anında yer değiştirmenin büyüklüğünü belirleyen başlangıç ​​​​fazı, - salınımların döngüsel frekansı.

Bir tam salınımın süresine periyot denir ve bu süre içinde tamamlanan salınımların sayısıdır.

Salınım frekansı, birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısını belirler; ilişki ve ardından periyot yoluyla döngüsel frekansla ilişkilidir.

Böylece harmonik osilatörün hızı ve ivmesi de aşağıdakilere göre değişir: harmonik kanunu genliklerle ve sırasıyla. Bu durumda hız, yer değiştirmenin fazında ve ivmenin önündedir (Şekil 1.1.2).

Harmonik bir osilatörün (1.1.1) ve (1.1.2) hareket denklemlerinin karşılaştırılmasından şu sonuç çıkar: veya

Bu ikinci dereceden diferansiyel denkleme harmonik osilatör denklemi denir. Çözümü iki sabit içeriyor A ve göreve göre belirlenenler başlangıç ​​koşulları

.

Kararlı denge sistemin bulunduğu konuma karşılık gelir potansiyel enerji minimum var ( Q– sistemin genelleştirilmiş koordinatı). Sistemin denge konumundan sapması, sistemi geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvetin ortaya çıkmasına neden olur. Denge konumuna karşılık gelen genelleştirilmiş koordinatın değeri ile gösterilir, ardından denge konumundan sapma

Potansiyel enerjiyi sayacağız minimum değer. Ortaya çıkan fonksiyonu kabul edelim, onu bir Maclaurin serisine genişletelim ve genişletmenin ilk terimini bırakalım, elimizde: o

,

Nerede . Daha sonra tanıtılan notasyonları dikkate alarak:

, (1.1.4)

Sisteme etki eden kuvvetin ifadesini (1.1.4) dikkate alarak şunu elde ederiz:

Newton'un ikinci yasasına göre sistemin hareket denklemi şu şekildedir: ,

ve iki tane var bağımsız çözümler: ve bu yüzden genel çözüm:

,

Formül (1.1.6)'dan, frekansın yalnızca belirlendiği sonucu çıkar kendi mülkleri mekanik sistemdir ve hareketin genliğine ve başlangıç ​​koşullarına bağlı değildir.

Salınımlı bir sistemin koordinatlarının zamana bağımlılığı gerçek kısım şeklinde belirlenebilir. karmaşık ifade , Nerede A=Xe-iα– karmaşık genlik, modülü olağan genlikle çakışır ve argümanı başlangıç ​​​​fazıyla çakışır.

Kimyagerin El Kitabı 21

Kimya ve kimya teknolojisi

Harmonik hareket kanunu

Dönme hareketinin salınım hareketine dönüştürüldüğü mekanik (esas olarak eksantrik ve kam mekanizmaları). Sürülen bağlantının hareket kanunu harmoniğe yakın olabilir. Bu uyarıcılar bazı elek türlerinde, titreşimli santrifüjlerde ve sonsuz karıştırıcılarda kullanılır.

İÇİNDE klasik mekanik Bir noktalar sisteminin hareket yasasını bulmak için (qi'yi zamanın fonksiyonu olarak koordine eder), Newton denklemleri sistemini çözmek gerekir. Rastgele seçilen bir koordinat sistemiyle, bu potansiyelli denklemlerin (VII, 7) genel çözümü, q (t)'nin harmonik formuna yol açmaz. Bununla birlikte, q koordinatlarının doğrusal kombinasyonları yardımıyla, her biri belirli bir frekansa sahip bir harmonik yasaya göre değişen yeni koordinatlar oluşturmanın mümkün olduğunu göstermek kolaydır (c. Bu tür koordinatlar

Aslında bir bağla birbirine bağlanan iki atomun titreşimleri, bir yay tarafından bir arada tutulan bir çift kürenin titreşimlerine benzer. Küçük kaymalar için geri çağırma kuvveti yer değiştirmeyle orantılıdır ve eğer böyle bir sistem harekete geçirilirse salınımlar basit harmonik hareket yasasıyla tanımlanacaktır.

Rejeneratör için en iyi çalışma koşulları, pistonun uyumlu bir şekilde hareket etmemesi ve her vuruşun sonunda durması durumunda yaratılacaktır. Ancak basitliği nedeniyle piston hareketinin harmonik kanunu kullanılarak oldukça yüksek bir verim elde edilebilir.

Tereddüt ettiğinde çalışma ortamı Bir boru hattında veya herhangi bir başka basınç kanalında, akış kesiti üzerindeki akış hızlarının dağılımı, ortamın sürekli hareketi durumunda bu dağılımı açıklayan yasadan farklıdır. Bu nedenle, sıvının laminer akışı yuvarlak silindirik bir boruda salındığında, hızların parabolik dağılımı bozulur; bu, hidrolikten bilindiği gibi, sıvının bir boru içindeki laminer sabit hareketinin karakteristiğidir. Şu tarihte: harmonik değişim Boru boyunca basınç gradyanı, hız dağılımı formül (9.42) kullanılarak bulunabilir. Bunu yapmak için, (s) yerine, formüldeki basınç gradyanı değişiminin harmonik yasasının Laplace görüntüsünü değiştirmelisiniz ve ardından gerçekleştirmelisiniz. ters dönüşüm. Bu şekilde elde edilen (t, r) fonksiyonu eserde verilmiştir.

Endüstriyel makinelerin tasarımlarında pistonların aralıklı hareket ettiği bir çevrimin uygulanmasına gerek olmadığı açıktır. Herhangi bir piston hareketi kanunu için, özellikle harmonik bir kanun için (bir krank tahriki için), ideal bir Stirling makinesinin termodinamik verimliliği birliğe eşittir.

Bu kurulumlarda, çubukların basitleştirilmiş, harmoniklere yakın bir hareket yasası benimsendi - pompalama makinesinin mafsallı dört çubuklu bağlantısının yerini krank mekanizmaları aldı. Bu varsayım genel olarak kabul edilir ve deneylerin gösterdiği gibi deney koşulları açısından tamamen haklıdır.

Dahili durum iki atomlu molekül durumu belirtilmişse tanımlanır elektron kabuğu, ayrıca molekülün bir bütün olarak dönme hareketinin ve çekirdeklerin titreşim hareketinin özellikleri. Dönme ve titreşimlerin ilk yaklaşım olarak molekülün elektronik durumundan bağımsız olduğu kabul edilir. İki atomlu bir molekülün dönme ve titreşim hareketlerini tanımlamaya yönelik en basit model, molekülün katı bir döndürücü olarak dönmesinin ve harmonik yasaya göre çekirdeklerin titreşimlerinin bağımsız olarak değerlendirildiği katı rotator - harmonik osilatör modelidir. Klasik açıklama bu model için bkz. bölüm. IV., 5. Kuantum mekaniği formüllerini (VII.19), (VII.20) ve (UP.22) kullanarak iki atomlu bir molekülün enerjisinin ifadesini aynı yaklaşımla yazalım.

Titreşimlerin genliğinde bir değişiklik ve harmonikten şok titreşim moduna geçiş, profili iticinin çalışma masası ve bir blok ile hareket yasası ile belirlenen değiştirilebilir eksantriklerin takılmasıyla elde edilir. üzerine koaksiyel silindirler monte edilmiştir.

Bölüm e'de, moleküllerin enerjisinin, uzaysal koordinatlara () göre veya momentuma (/z) göre ikinci dereceden belirli sayıda terimin toplamı ile ifade edilmesi durumunda, dağılım biçiminin Kanun, kinetik ifadeye tam olarak kaç terimin dahil edildiğine ve potansiyel enerji ifadesinde ne kadar terim bulunduğuna bağlı değildir. Ancak kanunun türetilmesi, eğer dikkate alınırsa, basitleştirilir. aynı numara Potansiyel kinetik enerjiyi ifade eden terimler. Fiziksel olarak bu, moleküllerin toplam hareketinin 5 bağımsız harmonik osilatör sayısıyla temsil edildiği varsayımına karşılık gelir. Bu durumda molekülün enerjisi şu şekilde yazılabilir:

Spektrometrelerde sabit hızlanma bağıl hız Kaynağın ve soğurucunun hareketi doğrusal veya harmonik bir yasaya göre periyodik olarak değişir, bu da incelenen spektrumun belirli bir hız aralığında kaydedilmesini mümkün kılar. Tipik olarak bu tür spektrometrelerde bilgi, bellek kanalları hız döngüsüyle eşzamanlı olarak açıldığında, zaman modunda çalışan çok kanallı bir analizörün belleğine kaydedilir.

İfadelerden biri kuantum yasaları performans sergileyen vücudun enerji seviyelerinin farklılığıdır. periyodik hareketler. Örnek olarak bir osilatörün harmonik salınımını düşünün. Klasik harmonik osilatörün enerjisi sürekli olarak değişebilir. Bu enerji yA 2'ye eşittir ( en yüksek değer x = A'daki potansiyel enerji). Elastik sabit

Zorlanmış titreşimler. düşünelim boyuna titreşimler Bir harmonik yasaya göre değişen, P itici kuvvetinin etkisi altında bir serbestlik derecesine sahip doğrusal elastik sistem. Başlangıçta esnek olmayan direnç kuvvetlerinin olmadığı varsayımını kabul ediyoruz. Bu durumda hareket denklemi (Şekil 3.7, a) tx = -Py + P (/) biçimindedir; bu, P = cx, dm = sosyal ve P (/) = Po sin (oi) ikamelerinden sonra verir.

Eğer uğraşsaydık klasik sistem O zaman, belirli başlangıç ​​koşulları altında, prensipte, normal koordinatlardan yalnızca birinin değişeceği bir hareketi tetiklemek mümkün olacaktır. Daha sonra, bu normal koordinat değiştiğinde, tüm bağ uzunluklarında, bağ açılarında vb. değişiklikler olur. katsayılarla bu koordinatla orantılı olarak gözlemlenir. Normal koordinatlar bir harmonik yasasına göre değişirse, o zaman her şey olur geometrik parametreler Moleküller de harmonik kanuna göre değişecek ve tüm geometrik parametreler aynı fazda denge değerlerinden geçecektir. Su tipi bir XY2 molekülü için normal titreşimlerin bir örneği Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir maddenin elektronları denge konumlarından hafifçe kaydırılırsa, bu durumda büyüklüğünün yer değiştirmeyle orantılı olduğu kabul edilen bir onarıcı etkinin etkisine maruz kalırlar. Bu durumda elektronların hareketinin basit bir harmonik salınım olduğu ortaya çıkar. Işığın bu tür elektrikli osilatörler içeren bir sistemden geçişi, ilave bir osilatörün ortaya çıkmasına eşdeğerdir. elektrik kuvveti Maxwell'in teorisine göre ışığın elektromanyetik salınımlarının bileşenlerinden biri olduğu ortaya çıkıyor. Işık içinden geçtiğinde, elektrik alanı karşılık gelen frekansta değişir ve enerjinin korunumu yasasına göre salınan elektronun hareketini etkiler. Hız (ve dolayısıyla kinetik enerji) ışığın madde içindeki yayılımı vakumdakinden daha azdır, bu nedenle ışıkla etkileşime giren elektronların kinetik enerjisi artar. Böylece ışık, bir moleküldeki elektronların hareketini değiştirme eğilimindedir ve elektronu orijinal konumunda tutmaya çalışan kuvvetin tersi yönde etki eder.

Bu ölçüm seçeneği, dış silindirin hareketsiz olarak monte edilmesi, iç silindirin bir burulma çubuğu üzerine monte edilmesi ve buna etki eden torkun harmonik kanuna göre ayarlanması durumunda, boru şeklindeki bir numunenin burulma titreşimleri sırasında da uygulanabilir. Şimdi tork ile silindirin dönme açısı arasındaki faz farkını ve ayrıca bükülme açısının genliğini ölçersek, O'yu belirlemeye yönelik hesaplama şeması yukarıda belirtilen formüllere indirgenecektir (VI.15) ve (VI.16). Ancak torkun silindirin açısal hızına oranını ölçersek bu şuna karşılık gelir: b ile ilgili sorun Sistem empedansının belirlenmesi.

Sonuç olarak, eksiksiz ve fiziksel olarak makul olması açısından şunu not ediyoruz: niceliksel açıklama Akışkanların dinamiği açısından dikkate alınan tüm modeller, sudaki difüzyon ve salınımları tanımlamak için yalnızca bir ilk yaklaşımdır, çünkü bunların yapımında bir takım basitleştirmeler kullanılmıştır. Yalnızca uzun hareketsiz yaşam süreleri sınırında (bu, düşük sıcaklıklarda meydana gelebilir) veya iyonların hidrasyon kabuğundaki su moleküllerinin güçlü elektrik büzülmesi durumunda harmonik yaklaşım ve basit model atlamalı difüzyon [denklem (4-5) tablosu. 4] yasaldır. Şu tarihte: yüksek sıcaklıklar ve su molekülleri arasındaki bağların iyonlar tarafından zayıflatıldığı çözeltilerde titreşimler keskin bir şekilde uyumsuz hale gelir, gevşeme ve yayılma hareketleriyle yavaşlar. Bu durumda sıvının davranışı sistemin davranışıyla daha tutarlı olur. serbest parçacıklar[Denklem(37)]. Difüzyon ve salınım hareketleri arasında hiçbir korelasyon olmadığı varsayımı da doğrudur. tartışmalı konu. Son zamanlarda Raman ve ark.

Bir sonraki bölümde. 11.3 sıra sökülecek basit örnekler bireysel ayrışmış serbestlik derecelerinin ısı kapasitesine katkılarının tahmin edilmesine olanak tanır. Bu durumda iki olası parçacıktan oluşan bir sisteme daha fazla dikkat edilecektir. enerji durumları ve harmonik bir osilatör, çünkü onların örneğini kullanarak moleküler hareket ile sistemin ısı kapasitesi arasındaki ilişkiyi nispeten basit ve aynı zamanda oldukça tam olarak analiz etmek mümkündür. Daha fazlası için karmaşık sistemler Ortalama sıcaklıklarda ısı kapasitesini tahmin etmek genellikle kolaydır. klasik hukuk düzgün dağılım serbestlik derecesine göre.

Kuantum mekaniğinde mikropartiküllerin hareket yasaları klasik olanlardan önemli ölçüde farklıdır. Bir yandan bölünemez yük ve kütleye sahip parçacıklar gibi (örneğin çarpışmalar sırasında), diğer yandan belirli bir frekansa (dalga boyu) sahip dalgalar gibi davranırlar ve aşağıdakilerle karakterize edilirler: dalga fonksiyonuа1з - mülkiyet, otral Harmonik Hareket Yasası teriminin geçtiği sayfalara bakın Novoalekseevka'daki Noterler Novoalekseevka'daki Noterler bölümünde ücretsiz ilanlar. Henüz duyuru yok, ilk siz olun!

SALINIMLAR. DALGALAR. OPTİK

SALINIMLAR

Ders 1

HARMONİK TİTREŞİMLER

İdeal harmonik osilatör. İdeal osilatör denklemi ve çözümü. Salınımların genliği, frekansı ve fazı

Salınım, doğadaki ve teknolojideki en yaygın süreçlerden biridir. Salınımlar zaman içinde tekrarlanan süreçlerdir. Yüksek binalar ve yüksek gerilim kabloları rüzgarın, sürüş sırasında yara saatinin sarkacının ve yaylar üzerindeki bir arabanın, yıl boyunca nehir seviyesinin ve hastalık sırasında insan vücudunun sıcaklığının etkisi altında salınır. Ses hava basıncındaki dalgalanmalardır, radyo dalgaları elektrik ve manyetik alanın gücündeki periyodik değişikliklerdir, ışık da elektromanyetik dalgalanmalardır. Depremler - toprak titreşimleri, gelgitler ve akıntılar - ayın çekiciliğinden kaynaklanan deniz ve okyanus seviyelerindeki değişiklikler vb.

Salınımlar mekanik, elektromanyetik, kimyasal, termodinamik vb. olabilir. Bu çeşitliliğe rağmen tüm salınımlar aynı diferansiyel denklemlerle tanımlanır.

Salınımları inceleyen ilk bilim adamları Galileo Galilei ve Christiaan Huygens'ti. Galileo salınım periyodunun genlikten bağımsızlığını ortaya koydu. Huygens sarkaçlı saati icat etti.

Denge konumundan hafifçe rahatsız edildiğinde kararlı salınımlar sergileyen herhangi bir sisteme harmonik osilatör denir. Klasik fizikte bu tür sistemler, küçük sapma açılarına sahip matematiksel bir sarkaç, küçük salınım genliklerine sahip bir yük ve doğrusal kapasitans ve endüktans elemanlarından oluşan bir elektrik devresidir.

Denge konumundan yer değiştirme, rahatsız edici kuvvetle doğrudan orantılıysa, harmonik bir osilatörün doğrusal olduğu düşünülebilir. Harmonik bir osilatörün salınım frekansı genliğe bağlı değildir. Bir osilatör için süperpozisyon ilkesi karşılanır - eğer birkaç rahatsız edici kuvvet etki ediyorsa, o zaman bunların toplam eyleminin etkisi, etki eden bireysel kuvvetlerin etkilerinin eklenmesinin bir sonucu olarak elde edilebilir.

Harmonik titreşimler denklemle tanımlanır (Şekil 1.1.1)

(1.1.1)

Nerede X-salınım miktarının denge konumundan yer değiştirmesi, A– Maksimum yer değiştirmenin değerine eşit salınımların genliği, - Zaman anındaki yer değiştirmeyi belirleyen salınım fazı, - Zamanın ilk anında yer değiştirmenin değerini belirleyen başlangıç ​​fazı, - salınımların döngüsel frekansı.

Bir tam salınımın süresine periyot denir ve bu süre içinde tamamlanan salınımların sayısıdır.

Salınım frekansı, birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısını belirler; ilişki ve ardından periyot yoluyla döngüsel frekansla ilişkilidir.

Salınımlı bir malzeme noktasının hızı

hızlanma

Böylece harmonik osilatörün hızı ve ivmesi de harmonik yasasına göre genliklerle ve sırasıyla değişir. Bu durumda hız, yer değiştirmenin fazında ve ivmenin önündedir (Şekil 1.1.2).

Harmonik bir osilatörün (1.1.1) ve (1.1.2) hareket denklemlerinin karşılaştırılmasından şu sonuç çıkar: veya

Bu ikinci dereceden diferansiyel denkleme harmonik osilatör denklemi denir. Çözümü iki sabit içeriyor A ve başlangıç ​​koşullarının ayarlanmasıyla belirlenir

.

Periyodik olarak tekrarlanan bir süreç (1.1.1) ile örtüşmeyen denklemlerle tanımlanıyorsa buna anharmonik denir. Harmonik olmayan salınımlar gerçekleştiren bir sisteme harmonik olmayan osilatör denir.

1.1.2 . Tek serbestlik dereceli sistemlerin serbest titreşimleri. Harmonik titreşimlerin karmaşık gösterimi

Doğada bir sistemin denge konumuna yaklaşırken yaptığı küçük salınımlar çok yaygındır. Denge konumundan çıkarılan bir sistem kendi haline bırakılırsa, yani üzerine hiçbir dış kuvvet etki etmezse, böyle bir sistem serbest, sönümsüz salınımlar gerçekleştirecektir. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistem düşünelim.

Kararlı denge, sistemin potansiyel enerjisinin minimum olduğu bir konuma karşılık gelir ( Q– sistemin genelleştirilmiş koordinatı). Sistemin denge konumundan sapması, sistemi geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvetin ortaya çıkmasına neden olur. Denge konumuna karşılık gelen genelleştirilmiş koordinatın değeri ile gösterilir, ardından denge konumundan sapma

Potansiyel enerjiyi minimum değerden sayacağız. Ortaya çıkan fonksiyonu kabul edelim, onu bir Maclaurin serisine genişletelim ve genişletmenin ilk terimini bırakalım, elimizde: o

,

Nerede . Daha sonra tanıtılan notasyonları dikkate alarak:

, (1.1.4)

Sisteme etki eden kuvvetin ifadesini (1.1.4) dikkate alarak şunu elde ederiz:

Newton'un ikinci yasasına göre sistemin hareket denklemi şu şekildedir: ,

İfade (1.1.5), serbest harmonik salınımların denklemi (1.1.3) ile örtüşmektedir, ancak şu şartla:

ve iki bağımsız çözümü vardır: ve , dolayısıyla genel çözüm şöyledir:

,

Formül (1.1.6)'dan, frekansın yalnızca mekanik sistemin kendine özgü özellikleri tarafından belirlendiği ve genliğe ve hareketin başlangıç ​​koşullarına bağlı olmadığı sonucu çıkar.

Salınımlı bir sistemin koordinatlarının zamana bağımlılığı, karmaşık ifadenin gerçek kısmı şeklinde belirlenebilir. , Nerede A=Xe-iα– karmaşık genlik, modülü olağan genlikle çakışır ve argümanı başlangıç ​​​​fazıyla çakışır.

1.1.3 . Çeşitli fiziksel yapıdaki salınım hareketlerine örnekler

Bir yay üzerindeki yükün salınımları

Yayın esneklik sınırlarının ötesinde deforme olmaması koşuluyla, bir yay üzerindeki yükün salınımlarını ele alalım. Böyle bir yükün denge konumuna göre harmonik salınımlar gerçekleştireceğini gösterelim (Şekil 1.1.3). Aslında Hooke kanununa göre sıkıştırılmış veya gerilmiş bir yay harmonik bir kuvvet yaratır:

Nerede – yay sertliği katsayısı, – denge konumunun koordinatı, X– yükün (malzeme noktasının) o andaki koordinatı, – denge konumundan yer değiştirme.

Koordinatın orijinini sistemin denge konumuna yerleştirelim. Bu durumda.

Yay bir miktar gerilirse X, ardından istediğiniz an serbest bırakın T=0 ise yükün hareket denklemi Newton’un ikinci yasasına göre şu şekli alacaktır: -kx=ma, veya , Ve

(1.1.6)

Bu denklem form olarak harmonik salınımlar gerçekleştiren bir sistemin hareket denklemiyle (1.1.3) örtüşmektedir; çözümünü şu şekilde arayacağız:

. (1.1.7)

(1.17)'yi (1.1.6)'ya koyarsak: yani, ifade (1.1.7), şu şartla, denklem (1.1.6)'nın bir çözümüdür:

Eğer zamanın ilk anında yükün konumu keyfi ise, hareket denklemi şu şekli alacaktır:

.

Harmonik salınımlara maruz kalan bir yükün enerjisinin yokluğunda nasıl değiştiğini düşünelim. dış kuvvetler(Şekil 1.14). Eğer şu anda T=0 yüke yer değiştirmeyi söyle x=A, o zaman toplam enerjisi deforme olmuş yayın potansiyel enerjisine eşit olacaktır, kinetik enerjisi sıfırdır (nokta 1).

Yüke bir kuvvet etki eder F= -kx, onu denge konumuna döndürme eğiliminde olur, böylece yük ivmeyle hareket eder ve hızını ve dolayısıyla kinetik enerjisini artırır. Bu kuvvet yükün yer değiştirmesini azaltır X, yükün potansiyel enerjisi azalarak kinetik enerjiye dönüşür. Yük yayı sistemi kapalı olduğundan toplam enerjisi korunur, yani:

. (1.1.8)

Zaman anında yük denge konumundadır (2 noktası), potansiyel enerjisi sıfırdır ve kinetik enerjisi maksimumdur. Maksimum hız yükü enerjinin korunumu kanunundan (1.1.8) buluyoruz:

Kinetik enerji rezervinden dolayı yük elastik kuvvete karşı iş yapar – ve denge konumu geçer. Kinetik enerji yavaş yavaş potansiyel enerjiye dönüşür. Yükün maksimum negatif yer değiştirmesi olduğunda – A, kinetik enerji hafta=0, yük durur ve elastik kuvvetin etkisi altında denge konumuna doğru hareket etmeye başlar F= -kx. Daha fazla hareket benzer şekilde gerçekleşir.

Sarkaçlar

Sarkaç derken kast ettiğimiz sağlam yer çekiminin etkisi altında salınan sabit nokta veya akslar. Fiziksel ve matematiksel sarkaçlar vardır.

Matematiksel bir sarkaç, üzerinde bir kütlenin asılı olduğu, tek bir maddi noktada yoğunlaşan, ağırlıksız, uzamayan bir iplikten oluşan idealleştirilmiş bir sistemdir.

Örneğin matematiksel bir sarkaç, uzun ince bir ipin üzerindeki bir toptur.

Sarkacın denge konumundan sapması açı ile karakterize edilir φ dikey bir iplik oluşturan (Şekil 1.15). Sarkaç denge konumundan saptığında, bir dış kuvvet anı (yerçekimi) meydana gelir: , Nerede M- ağırlık, – sarkaç uzunluğu

Bu moment, sarkacın denge konumuna (yarı elastik kuvvete benzer şekilde) geri dönme eğilimi gösterir ve yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilir. φ yani formülde eksi işareti var.

Bir sarkacın dönme hareketinin dinamiği denklemi şu şekildedir: ben=,

.

Küçük salınımlar durumunu ele alacağız, bu nedenle günah φ ≈φ, belirtmek

sahibiz: , veya ve son olarak

Harmonik titreşimlerin denklemi ve çözümü:

.

Matematiksel bir sarkacın salınım frekansı yalnızca uzunluğu ve yerçekimi ivmesi ile belirlenir ve sarkacın kütlesine bağlı değildir. Dönem:

Eğer salınan bir cisim hayal edilemiyorsa maddi nokta, daha sonra sarkaç fiziksel olarak adlandırılır (Şekil 1.1.6). Hareketinin denklemini şu şekilde yazıyoruz:

.

Küçük dalgalanmalar durumunda , veya =0 , burada . Bu, harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin hareket denklemidir. Fiziksel bir sarkacın salınım frekansı, kütlesine, uzunluğuna ve askı noktasından geçen eksene göre atalet momentine bağlıdır.

belirtelim. Büyüklük fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğuna denir. Bu, salınım periyodu belirli bir fiziksel sarkacın periyoduna denk gelen matematiksel bir sarkacın uzunluğudur. Asma noktasını kütle merkezine bağlayan düz bir çizgi üzerinde, dönme ekseninden azaltılmış bir mesafede bulunan bir noktaya, fiziksel sarkacın salınım merkezi denir ( HAKKINDA'). Sarkaç salınımın merkezinde asılıysa, azaltılmış uzunluk ve salınım süresi noktadaki ile aynı olacaktır. HAKKINDA. Böylece, askı noktası ve salınım merkezi karşılıklılık özelliklerine sahiptir: askı noktası salınım merkezine aktarıldığında, önceki askı noktası yeni salınım merkezi haline gelir.

Söz konusu fiziksel sarkaçla aynı periyotta sallanan bir matematiksel sarkaca, bu fiziksel sarkacın eş zamanlı sarkacına denir.

1.1.4. Salınımların eklenmesi (vuruşlar, Lissajous figürleri). Salınımların eklenmesinin vektör açıklaması

Aynı yönlendirilmiş salınımların eklenmesi yöntemi kullanılarak yapılabilir. vektör diyagramları. Herhangi bir harmonik salınım aşağıdaki gibi bir vektör olarak temsil edilebilir. Bir eksen seçelim X noktada başlangıç ​​noktası ile HAKKINDA(Şek.1.1.7)

noktadan HAKKINDA bir açı yapan bir vektör oluşturalım akslı X. Bu vektörün dönmesine izin verin açısal hız. Bir vektörün bir eksene izdüşümü Xşuna eşittir:

yani genlikli harmonik salınımlar gerçekleştirir A.

Aynı yönde ve aynı döngüsel küçük iki harmonik salınımı düşünün, vektörler tarafından verilen Ve . Eksen ofsetleri X eşittir:

ortaya çıkan vektör bir çıkıntıya sahiptir ve kosinüs teoremine göre ortaya çıkan salınımı temsil eder (Şekil 1.1.8), böylece harmonik salınımların eklenmesi vektörlerin eklenmesiyle gerçekleştirilir.

Karşılıklı dik salınımların toplamasını yapalım. Maddi bir noktanın iki şeyi karşılıklı olarak yapmasına izin verin dikey titreşimler sıklık:

.

Maddi noktanın kendisi belirli bir eğrisel yörünge boyunca hareket edecektir.

Hareket denkleminden şu sonuç çıkar: ,

. (1.1.9)

Denklem (1.1.9)'dan elipsin denklemini elde edebiliriz (Şekil 1.1.9):

Bu denklemin özel durumlarını ele alalım:

1. Salınım faz farkı α= 0. Aynı zamanda onlar. veya Bu, düz bir çizginin denklemidir ve ortaya çıkan salınım, bu düz çizgi boyunca genlikle meydana gelir (Şekil 1.1.10).a.

ivmesi zamana göre yer değiştirmenin ikinci türevine eşittir o zaman Newton'un ikinci yasasına göre salınım noktasına etki eden kuvvet şuna eşittir:

Yani kuvvet yer değiştirmeyle orantılıdır. X ve denge pozisyonuna doğru yer değiştirmeye karşı yönlendirilir. Bu kuvvete geri getirme kuvveti denir. Bir yay üzerindeki yük durumunda, geri getirme kuvveti elastik kuvvettir; matematiksel bir sarkaç durumunda ise yerçekimi kuvvetinin bir bileşenidir.

Doğadaki geri çağırıcı kuvvet Hooke kanununa uyar F= -kx, Nerede

– kuvvet katsayısının geri getirilmesi. O halde salınım noktasının potansiyel enerjisi:

(entegrasyon sabiti sıfıra eşit seçilir, böylece X).

ANHARMONİK Osilatör

Basit bir düşünelim fiziksel sistem– Hooke kuvvetinin etkisi altında yatay bir yüzey üzerinde sürtünme olmadan salınabilen bir malzeme noktası (bkz. Şekil 2).

Yükün yer değiştirmesi küçükse (deforme olmamış yayın uzunluğundan çok daha az) ve yayın sertliği k'ye eşitse, yüke etki eden tek kuvvet Hooke kuvvetidir. Daha sonra denklem

yükün hareketi (Newton'un İkinci Yasası) şu şekildedir:

Terimleri eşitliğin sol tarafına kaydırıp maddi noktanın kütlesine bölerek (m'ye kıyasla yayın kütlesini ihmal ediyoruz) hareket denklemini elde ederiz.

(*) ,

,

,

salınım periyodu.

Daha sonra fonksiyonu alarak

ve zamana göre farklılaştırdıktan sonra, öncelikle yükün hareket hızının şuna eşit olduğuna ikna olduk:

ve ikinci olarak, tekrarlanan farklılaşmadan sonra,

,

yani X(t) aslında bir yay üzerindeki yük denkleminin bir çözümüdür.

Böyle bir sisteme, genel olarak, bir hareket denklemine (*) sahip olan mekanik, elektriksel veya diğer herhangi bir sisteme harmonik osilatör denir. X(t) tipi bir fonksiyona harmonik salınıcının hareket kanunu denir.
denir genlik,döngüsel veya doğal frekans,başlangıç ​​aşaması. Doğal frekans, osilatörün parametreleri tarafından belirlenir, genlik ve başlangıç ​​​​fazı, başlangıç ​​​​koşulları tarafından belirlenir.

Hareket kanunu X(t) serbest salınımları temsil eder. Bu tür salınımlar, sönümsüz sarkaçlar (matematiksel veya fiziksel), ideal bir salınım devresindeki akım ve voltaj ve diğer bazı sistemler tarafından gerçekleştirilir.

Harmonik titreşimler hem bir yönde hem de farklı yönlerde toplanabilir. Eklemenin sonucu aynı zamanda harmonik bir salınımdır, örneğin,

.

Bu, titreşimlerin üst üste binmesi (süperpozisyon) ilkesidir.

Matematikçiler, Fourier serileri adı verilen bu türden bir seri teorisi geliştirdiler. Ayrıca Fourier integralleri (frekanslar sürekli olarak değişebilir) ve hatta karmaşık frekanslarla çalışan Laplace integralleri gibi bir takım genellemeler de vardır.

§15. Sönümlü osilatör. Zorlanmış titreşimler.

Gerçek mekanik sistemler her zaman en azından biraz sürtünme vardır. En basit durum sıvı veya viskoz sürtünmedir. Bu, büyüklüğü sistemin hareket hızıyla orantılı olan (ve doğal olarak hareket yönünün tersine yönlendirilen) sürtünmedir. Hareket X ekseni boyunca meydana gelirse, hareket denklemi (örneğin, yay üzerindeki bir ağırlık için) şu şekilde yazılabilir:

,

Nerede – viskoz sürtünme katsayısı.

Bu hareket denklemi şu şekle dönüştürülebilir:

.

Burada
– zayıflama katsayısı, – hala osilatörün doğal frekansıdır (artık harmonik olarak adlandırılamaz; viskoz sürtünmeli sönümlü bir osilatördür).

Matematikçiler bu tür diferansiyel denklemleri çözebilirler. Çözümün fonksiyon olduğu gösterildi

Son formül aşağıdaki gösterimi kullanır: – başlangıç ​​genliği, zayıf sönümlü salınımların frekansı
,
. Ayrıca zayıflamayı karakterize eden diğer parametreler de sıklıkla kullanılır: logaritmik zayıflama azalması
, sistem dinlenme süresi
, sistem kalite faktörü
Burada pay, sistem tarafından depolanan enerjidir ve payda, T periyodu boyunca enerji kaybıdır.

Güçlü zayıflama durumunda
Çözeltinin periyodik olmayan bir formu vardır.

Sürtünme kuvvetlerine ek olarak, osilatöre bir dış kuvvetin etki ettiği durumlar sıklıkla vardır. Daha sonra hareket denklemi forma indirgenir

,

sağdaki ifadeye genellikle azaltılmış kuvvet denir, ifadenin kendisi
zorlayıcı kuvvet denir. Keyfi bir itici güç için denklemin çözümünü bulmak mümkün değildir. Genellikle harmonik bir itici güç dikkate alınır
. Bu durumda çözüm, uzun süre sıfıra eğilim gösteren (**) tipinde sönümlü bir parçayı ve sabit (zorlanmış) salınımları temsil eder.

Zorunlu salınımların genliği

,

ve zorunlu salınımların aşaması

.

Doğal frekansın itici kuvvetin frekansına yaklaştıkça zorlanmış salınımların genliğinin arttığına dikkat edin. Bu fenomen şu şekilde bilinir: rezonans. Eğer sönüm büyükse rezonans artışı da büyük değildir. Bu rezonansa "donuk" denir. Düşük zayıflamalarda "keskin" rezonansın genliği oldukça önemli ölçüde artabilir. Sistem idealse ve içinde sürtünme yoksa, zorlanmış salınımların genliği sınırsız bir şekilde artar.

Ayrıca itici güç frekansında

İtici kuvvetin genliğinin maksimum değeri, şuna eşit olarak elde edilir:

.