Türev f x 1 2. Farkın türevi, türevlerin farkına eşittir

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları tarafından kapsanan materyali pekiştirmek için sitedeki türevi çözme. Çevrimiçi problem çözme hizmetimizi kullanırsanız, bir fonksiyonun türevini birkaç saniyede hesaplamak zor görünmüyor. Yol göstermek detaylı analizüzerinde kapsamlı bir çalışma pratik ders Her üç öğrenciden biri bunu yapabilecektir. Genellikle matematiğin tanıtımı için ilgili bölümün bölümü Eğitim Kurumlarıülkeler. Bu durumda türevi online olarak çözmekten nasıl bahsetmeyiz? kapalı alan sayı dizileri. Birçok zengin bireyin şaşkınlıklarını ifade etmelerine izin veriliyor. Ancak bu arada matematikçiler de yerinde durmuyor ve çok çalışıyor. Türev hesaplayıcı, esas olarak küplerin azalan konumlarının üstünlüğü nedeniyle, doğrusal özelliklere dayalı olarak giriş parametrelerindeki değişiklikleri kabul edecektir. Sonuç, yüzey kadar kaçınılmazdır. Başlangıç verileri olarak çevrimiçi türev, gereksiz adımları atma ihtiyacını ortadan kaldırır. Kurgusal ev işleri hariç. Türevlerin çevrimiçi çözülmesinin gerekli olduğu gerçeğine ek olarak ve önemli husus Matematik çalışırken öğrenciler genellikle geçmişteki problemleri hatırlamazlar. Tembel bir yaratık olan öğrenci bunu anlar. Ama öğrenciler - eğlenceli insanlar! Ya kurallara göre yapın ya da fonksiyonu türevleyin. eğik düzlem maddi bir noktaya ivme kazandırabilir. Aşağı doğru uzaysal ışının vektörünü bir yere yönlendirelim. Gerekli cevapta türevi bulmak soyut görünüyor teorik yön Matematiksel sistemin istikrarsızlığı nedeniyle. Sayı ilişkisini kullanılmayan seçenekler dizisi olarak düşünelim. İletişim kanalı, küpün kapalı çatallanma noktasından itibaren azalan bir vektör boyunca beşinci bir çizgi ile dolduruldu. Eğri uzaylar düzleminde türevi çevrimiçi çözmek bizi geçen yüzyılda düşündüren bir sonuca götürüyor en büyük beyinler gezegenler. Matematik alanındaki olaylar sırasında temel olarak beş önemli faktörler değişken seçim konumunun iyileştirilmesine yardımcı olur. Dolayısıyla puan yasası, çevrimiçi türevin her durumda ayrıntılı olarak hesaplanmadığını belirtir; tek istisna, sadık bir şekilde ilerleyen anlardır. Tahmin bizi şu noktaya getirdi yeni tur gelişim. Sonuçlara ihtiyacımız var. Yüzeyin altından geçen matematiksel eğim doğrultusunda mod türevi hesaplayıcısı, bükme seti üzerindeki çarpımların kesişim alanında bulunur. Geriye epsilon komşuluğu yakınındaki bağımsız noktasında fonksiyonun farklılaşmasını analiz etmek kalıyor. Herkes bunu pratikte doğrulayabilir. Sonuç olarak, programlamanın bir sonraki aşamasında karar verilmesi gereken bir şey olacaktır. Uygulanan hayali araştırma ne olursa olsun, öğrencinin her zaman olduğu gibi çevrimiçi türevine ihtiyacı vardır. Bir fonksiyonun bir sabitle çarpılmasının çevrimiçi türevin çözümünü değiştirmediği ortaya çıktı Genel yön hareket maddi nokta ancak düz bir çizgide hızdaki artışı karakterize eder. Bu anlamda türev hesaplayıcımızı kullanıp, fonksiyonun tüm değerlerini tanımının tüm kümesi üzerinde hesaplamak faydalı olacaktır. Kuvvet dalgalarını inceleyin yerçekimi alanı hiç gerek yok. Türevlerin çevrimiçi çözümü hiçbir durumda giden ışının eğimini göstermez, ancak yalnızca nadir durumlarda, bunun gerçekten gerekli olduğu durumlarda üniversite öğrencileri bunu hayal edebilir. Müdürü araştıralım. En küçük rotorun değeri tahmin edilebilir. Topu tanımlayan sağa bakan çizgilerin sonucuna uygulayın, ancak cevrimici hesap makinesi türevler, bu özel güç ve doğrusal olmayan bağımlılık rakamlarının temelidir. Matematik proje raporu hazır. Kişisel özellik farkı en küçük sayılar ve fonksiyonun ordinat ekseni boyunca türevi, aynı fonksiyonun içbükeyliğini yüksekliğe getirecektir. Bir yön var - bir sonuç var. Teoriyi pratiğe dökmek daha kolaydır. Öğrencilerin çalışmanın başlama zamanına ilişkin önerileri vardır. Bir öğretmenin cevabına ihtiyacım var. Yine önceki konumda olduğu gibi, matematiksel sistem, türevi bulmaya yardımcı olacak bir eylem temelinde düzenlenmez. Alt yarı doğrusal versiyonda olduğu gibi, çevrimiçi türev, dejenere dayalı bir çözümün tanımlanmasını ayrıntılı olarak gösterecektir. koşullu hukuk. Formülleri hesaplama fikri yeni ortaya atıldı. Bir fonksiyonun doğrusal türevi, çözümün gerçekliğini, ilgisiz pozitif değişimleri basitçe ortaya koymaya yönlendirir. Karşılaştırma işaretlerinin önemi, fonksiyonda eksen boyunca sürekli bir kırılma olarak değerlendirilecektir. Bu, çevrimiçi türevin matematiksel analizin sadık bir örneğinden başka bir şey olduğu öğrenciye göre en bilinçli sonucun önemidir. Öklid uzayında eğri bir dairenin yarıçapı ise tam tersine türev hesaplayıcısı tarafından verildi. doğal temsil Sürdürülebilirlik için belirleyici zorlukların paylaşılması. En iyi yöntem kurmak. Görevi bir seviye yukarı taşımak daha kolaydı. Bağımsız fark oranının uygulanabilirliği türevlerin çevrimiçi çözümüne yol açsın. Çözüm apsis ekseni etrafında dönerek bir daire şeklini tanımlıyor. Bir çıkış yolu var ve bu, herkesin çalıştığı üniversite öğrencileri tarafından teorik olarak desteklenen araştırmalara dayanıyor ve o anlarda bile fonksiyonun bir türevi var. İlerleme için bir yol bulduk ve öğrenciler bunu onayladı. Matematik sistemini dönüştürmek için doğal olmayan yaklaşımın ötesine geçmeden türevi bulmayı göze alabiliriz. Sol orantılılık işareti şu şekilde artar: geometrik dizi Nasıl matematiksel gösterim nedeniyle çevrimiçi türev hesaplayıcı bilinmeyen durum doğrusal çarpanlar sonsuz koordinat ekseninde. Dünyanın dört bir yanındaki matematikçiler üretim sürecinin olağanüstü doğasını kanıtladılar. Yemek yemek en küçük kare teorinin açıklamasına göre dairenin içinde. Yine çevrimiçi türev, ilk etapta teorik olarak rafine edilmiş görüşü neyin etkileyebileceğine dair varsayımımızı ayrıntılı olarak ifade edecektir. Bizim sunduğumuz analiz raporundan farklı nitelikte görüşler vardı. Özel dikkat bizim fakülte öğrencilerinin başına gelmeyebilir ama bir fonksiyonun türevini sadece bahane olarak gören akıllı ve teknolojik açıdan ileri matematikçilerin başına gelmeyebilir. Türevin mekanik anlamı çok basittir. Kaldırma kuvveti, zaman içinde yukarı doğru alçalan sabit alanların çevrimiçi türevi olarak hesaplanır. Açıkça türev hesaplayıcısı, yapay bir dönüşümün yozlaşması sorununu şu şekilde tanımlamak için titiz bir süreçtir: amorf vücut. Birinci türev, maddi bir noktanın hareketindeki bir değişikliği gösterir. üç boyutlu uzay Türevlerin çevrimiçi çözümü için özel olarak eğitilmiş teknolojiler bağlamında açıkça gözlemlenen bu durum, aslında matematik disiplininin konusuyla ilgili her konferansta mevcuttur; İkinci türev, maddi bir noktanın hızındaki değişimi karakterize eder ve ivmeyi belirler. Kullanım bazında meridyen yaklaşımı afin dönüşümüzerinde görüntülenir yeni seviye bir fonksiyonun tanım bölgesinden bir noktada türevi. Çevrimiçi bir türev hesaplayıcısı, bazı durumlarda, görevdeki şeylerin dönüştürülebilir düzenlemesine ek olarak, doğru yürütülebilir ana göre sayılar ve sembolik gösterimler olmadan var olamaz. Şaşırtıcı bir şekilde, maddi noktanın ikinci bir ivmesi vardır; bu, ivmedeki değişimi karakterize eder. Kısa bir süre sonra türevi online çözmeye başlayacağız ancak bilgide belli bir aşamaya ulaşıldığında öğrencimiz bu süreci duraklatacaktır. En iyi çare iletişim kurmak canlı iletişim kurmaktır matematik konusu. Görev ne kadar zor olursa olsun, hiçbir koşulda ihlal edilemeyecek ilkeler vardır. Türevini online olarak zamanında ve hatasız bulmakta fayda var. Bu yeni bir duruma yol açacak matematiksel ifade. Sistem stabildir. Fiziksel anlam türev mekanik olan kadar popüler değildir. Çevrimiçi türevin, apsis eksenine bitişik üçgenden normaldeki fonksiyonun çizgilerinin ana hatlarını düzlemde nasıl ayrıntılı olarak gösterdiğini kimsenin hatırlaması pek mümkün değildir. İnsan geçen yüzyılın araştırmalarında önemli bir rolü hak ediyor. Fonksiyonu hem tanım alanından hem de sonsuzdaki noktalarda üç temel aşamada ayıralım. İçinde olacak yazı Sadece araştırma alanında, matematik ve sayılar teorisinde ana vektörün yerini alabilen, ne olursa olsun çevrimiçi türev hesaplayıcıyı probleme bağlar. Bir sebep olsaydı denklem yaratmanın da bir nedeni olurdu. Tüm giriş parametrelerini akılda tutmak çok önemlidir. En iyi her zaman doğrudan kabul edilmez; bunun arkasında muazzam miktarda sıkı çalışma vardır; en iyi beyinlerçevrimiçi türevin uzayda nasıl hesaplandığını bilen. O zamandan beri dışbükeylik bir özellik olarak kabul edildi sürekli fonksiyon. Yine de, türevleri çevrimiçi çözme problemini ilk önce şu şekilde belirlemek daha iyidir: mümkün olan en kısa sürede. Böylece çözüm tamamlanmış olacaktır. Standartların yerine getirilmemesi dışında bu durum yeterli görülmemektedir. Başlangıçta hemen hemen her öğrenci, bir fonksiyonun türevinin nasıl tartışmalı bir büyütme algoritmasına neden olduğuna dair basit bir yöntem ortaya koymayı önerir. Yükselen ışın yönünde. Bu mantıklı Genel durum. Daha önce belirli bir matematiksel işlemin tamamlanmasının başlangıcını işaretlemiştik, ancak bugün tam tersi olacak. Belki türevin online olarak çözülmesi konuyu tekrar gündeme getirecek ve öğretmenler toplantısındaki tartışmalarda bunun korunması için ortak bir görüş edineceğiz. Toplantı katılımcılarının tüm tarafların anlayış göstermelerini umuyoruz. Mantıksal anlam, geçen yüzyılda dünyanın büyük bilim adamları tarafından cevaplanan, problemin düşüncesinin sunum sırasına ilişkin sayıların rezonansındaki türev hesaplayıcının tanımında yatmaktadır. Dönüştürülen bir ifadeden karmaşık bir değişkeni çıkarmanıza ve aynı türden büyük bir eylemi gerçekleştirmek için türevi çevrimiçi bulmanıza yardımcı olacaktır. Gerçek, tahminlerden birçok kez daha iyidir. En düşük değer trendde. Kesin belirleme için benzersiz bir hizmet kullanıldığında, bunun için çevrimiçi türevin özünün ayrıntılı olarak mevcut olduğu sonucun gelmesi uzun sürmeyecektir. Dolaylı olarak, ancak bilge bir adamın söylediği gibi, birçok öğrencinin isteği üzerine bir çevrimiçi türev hesaplayıcısı oluşturuldu. farklı şehirler birlik. Bir fark varsa neden iki kez karar verelim? Vektörü ayarla normal ile aynı tarafta yer alır. Geçtiğimiz yüzyılın ortalarında işlev farklılaşması hiç bugünkü gibi algılanmıyordu. Yaşanan gelişmeler sayesinde çevrimiçi matematik ortaya çıktı. Zaman geçtikçe öğrenciler matematik konularına gereken önemi vermeyi unutuyorlar. Türevin çevrimiçi çözülmesi, teorinin uygulanmasına dayanan tezimize haklı olarak meydan okuyacaktır. pratik bilgi. Ötesine geçer mevcut değer Sunum faktörünü bulun ve fonksiyonun formülünü açık bir biçimde yazın. Herhangi bir hesap makinesi kullanmadan hemen bir türevi çevrimiçi bulmanız gerekir, ancak her zaman bir öğrencinin numarasına başvurabilir ve yine de web sitesi gibi bir hizmeti kullanabilirsiniz. Böylece öğrenci, örnekleri kaba defterden son forma kopyalama konusunda çok fazla zaman kazanacaktır. Herhangi bir çelişki yoksa hizmeti kullanın adım adım çözüm böyle karmaşık örnekler.

Tanım.$y = f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde $\Delta x $ bir artış verelim. $\Delta y $ fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım ($x_0 $ noktasından $x_0 + \Delta x $ noktasına giderken) ve $\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) $. Bu oranın $\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) $ $x_0 $ noktasındadır ve $f"(x_0) $'yi gösterir.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Türevi belirtmek için sıklıkla y sembolü kullanılır." y" = f(x)'in şu şekilde olduğuna dikkat edin: yeni özellik, ancak doğal olarak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla ilişkilidir. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.

Türevin geometrik anlamıŞöyleki. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $ olduğundan, $f"(a) = tan(a) $ eşitliği doğrudur.

Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. $y = f(x)$ fonksiyonunun türevi olsun belirli nokta$X$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, yani $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x$. Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “neredeyse orantılıdır” ve orantı katsayısı da türevin değeridir. verilen nokta X. Örneğin, $y = x^2$ fonksiyonu için yaklaşık eşitlik $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.

Formüle edelim.

y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?

1. $x$ değerini sabitleyin, $f(x)$'i bulun
2. $x$ argümanına bir artış $\Delta x$ verin, şuraya gidin: yeni nokta$x+ \Delta x $, bul $f(x+ \Delta x) $
3. Fonksiyonun artışını bulun: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.

Bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).

Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.

Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ sağlanır. Bu eşitlikte ise $\Delta x $ sıfıra yönelirse $\Delta y $ sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.

Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde süreklidir, özellikle x = 0 noktasında, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.

Bir örnek daha. $y=\sqrt(x)$ fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizginin açı katsayısı yoktur, bu da $f) anlamına gelir. "(0)$ mevcut değil.

Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?

Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktada teğeti yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.

Farklılaşma kuralları

Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C - sabit sayı ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Bazı fonksiyonların türevleri tablosu

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.

Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesi sonucunda, bir türev tablosu ortaya çıktı ve tam olarak belirli kurallar farklılaşma. Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.

Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Diğer türevler temel işlevler Türevler tablosunda buluyoruz ve çarpım, toplam ve bölümün türevlerinin formülleri türev alma kurallarında yer alıyor. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;

Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; bu, türevin işaretinden çıkarılabilir:

Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Karekökün türevi
6. Sinüs türevi
7. Kosinüsün türevi
8. Teğetin türevi
9. Kotanjantın Türevi
10. Arsinüsün türevi
11. Arkosinin türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üssün türevi
17. Üstel bir fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Bir toplamın veya farkın türevi
2. Ürünün türevi
2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir

onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi şuna eşittir: cebirsel toplam bu fonksiyonların türevleri.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir, yani

Kural 2.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse çarpımları da aynı noktada türevlenebilirdir

onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Türevin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin üç çarpan için:

Kural 3.Eğer işlevler

bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümü de türevlenebiliru/v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.

Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabilirim?

Bir çarpımın türevini ve bölümünü bulurken gerçek sorunlar Aynı anda birden fazla farklılaşma kuralının uygulanması her zaman gereklidir, bu nedenle daha fazla örnek bu türevler için - makalede"Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim durumunda türevi sıfıra eşittir ve bu durumda sabit faktör türev işaretinden çıkarılır. Bu tipik hata, üzerinde meydana gelen İlk aşama Türevleri inceliyorlar, ancak birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.

Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).

Diğer yaygın hata - mekanik çözüm basit bir fonksiyonun türevi olarak karmaşık bir fonksiyonun türevi. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce türevleri bulmayı öğreneceğiz basit işlevler.

Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından “Kesirlerin toplamlarının kuvvetleri ve kökleri olan türevi” dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:

Daha sonra, toplamın türev alma kuralını uyguluyoruz: Cebirsel fonksiyonların toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aldık aşağıdaki değerler türevler:

Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:

Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının olduğu problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, , o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız trigonometrik fonksiyonlar, yani fonksiyon şöyle göründüğünde o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Ürünün farklılaştırılması kuralına göre ve tablo değeri elde ettiğimiz karekökün türevi:

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin türevini alma kuralını ve karekök türevinin tablo değerini kullanarak elde ederiz.

Türevini bulma problemi Verilen fonksiyon matematiğin ana derslerinden biridir lise ve yükseköğretim kurumlarında. Türevini almadan bir fonksiyonu tam olarak keşfetmek ve grafiğini oluşturmak imkansızdır. Bir fonksiyonun türevi, türev almanın temel kurallarını ve temel fonksiyonların türev tablosunu biliyorsanız kolayca bulunabilir. Bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım.

Bir fonksiyonun türevi, argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitidir.

Limit kavramı okulda tam olarak işlenmediğinden bu tanımı anlamak oldukça zordur. Ancak türevleri bulmak için çeşitli işlevler, tanımını anlamanıza gerek yok, işi matematikçilere bırakalım ve doğrudan türevi bulmaya geçelim.

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir. Bir fonksiyonun türevini aldığımızda yeni bir fonksiyon elde ederiz.

Bunları belirtmek için kullanacağız edebiyat f, g, vb.

Türevler için birçok farklı gösterim vardır. Bir vuruş kullanacağız. Örneğin g" yazmak, g fonksiyonunun türevini bulacağımız anlamına gelir.

Türev tablosu

Türevin nasıl bulunacağı sorusuna cevap verebilmek için ana fonksiyonların türevlerinin bir tablosunu vermek gerekir. Temel fonksiyonların türevlerini hesaplamak için aşağıdaki işlemleri gerçekleştirmek gerekli değildir: karmaşık hesaplamalar. Türev tablosundaki değerine bakmak yeterlidir.

(sin x)"=çünkü x
(çünkü x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(yay x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Örnek 1. y=500 fonksiyonunun türevini bulun.

Bunun bir sabit olduğunu görüyoruz. Türev tablosundan bir sabitin türevinin sıfıra eşit olduğu bilinmektedir (formül 1).

Örnek 2. y=x 100 fonksiyonunun türevini bulun.

Bu güç fonksiyonuÜssü 100 olan ve türevini bulmak için fonksiyonu üsle çarpmanız ve 1'e düşürmeniz gerekir (formül 3).

(x 100)"=100 x 99

Örnek 3. y=5 x fonksiyonunun türevini bulun

Bu üstel fonksiyon, formül 4'ü kullanarak türevini hesaplayalım.

Örnek 4. y= log 4 x fonksiyonunun türevini bulun

Logaritmanın türevini formül 7'yi kullanarak buluyoruz.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Farklılaşma kuralları

Şimdi bir fonksiyonun türevini tabloda yoksa nasıl bulacağımızı bulalım. İncelenen fonksiyonların çoğu temel değildir, ancak basit işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir sayıyla çarpma) kullanan temel fonksiyonların kombinasyonlarıdır. Türevlerini bulmak için türev alma kurallarını bilmeniz gerekir. Aşağıda f ve g harfleri fonksiyonları temsil etmektedir ve C bir sabittir.

1. Sabit katsayı türevin işaretinden çıkarılabilir

Örnek 5. y= 6*x 8 fonksiyonunun türevini bulun

Onu çıkarıyoruz sabit katsayı 6 ve yalnızca x 4'ün türevini alın. Bu, türevi, türevler tablosunun formül 3'ü kullanılarak bulunan bir güç fonksiyonudur.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Bir toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

(f + g)"=f" + g"

Örnek 6. y= x 100 +sin x fonksiyonunun türevini bulun

Bir fonksiyon, türevlerini tablodan bulabileceğimiz iki fonksiyonun toplamıdır. (x 100)"=100 x 99 ve (sin x)"=cos x olduğundan. Toplamın türevi bu türevlerin toplamına eşit olacaktır:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +çünkü x

3. Farkın türevi, türevlerin farkına eşittir

(f – g)"=f" – g"

Örnek 7. y= x 100 – cos x fonksiyonunun türevini bulun

Bu fonksiyon, türevlerini tablodan da bulabileceğimiz iki fonksiyonun farkıdır. O zaman farkın türevi, türevlerin farkına eşittir ve işaretini değiştirmeyi unutmayın, çünkü (cos x)"= – sin x.

(x 100 – çünkü x)"= 100 x 99 + sin x

Örnek 8. y=e x +tg x– x 2 fonksiyonunun türevini bulun.

Bu fonksiyonun hem toplamı hem de farkı var; her terimin türevlerini bulalım:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Bu durumda orijinal fonksiyonun türevi şuna eşittir:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Ürünün türevi

(f * g)"=f" * g + f * g"

Örnek 9. y= cos x *e x fonksiyonunun türevini bulun

Bunu yapmak için önce her faktörün (cos x)"=–sin x ve (e x)"=e x türevini buluyoruz. Şimdi her şeyi çarpım formülünde yerine koyalım. Birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpıyoruz ve birinci fonksiyonun çarpımını ikincinin türeviyle ekliyoruz.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Bölümün türevi

(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Örnek 10. y= x 50 /sin x fonksiyonunun türevini bulun

Bir bölümün türevini bulmak için önce pay ve paydanın türevini ayrı ayrı buluruz: (x 50)"=50 x 49 ve (sin x)"= cos x. Bölümün türevini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Karmaşık bir fonksiyon, çeşitli fonksiyonların birleşimiyle temsil edilen bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmanın da bir kuralı vardır:

(u (v))"=u"(v)*v"

Böyle bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı bulalım. y= u(v(x)) olsun - karmaşık fonksiyon. Fonksiyona u harici ve v - dahili adını verelim.

Örneğin:

y=sin (x 3) karmaşık bir fonksiyondur.

O halde y=sin(t) harici bir fonksiyondur

t=x 3 - dahili.

Bu fonksiyonun türevini hesaplamaya çalışalım. Formüle göre iç ve dış fonksiyonların türevlerini çarpmanız gerekiyor.

(sin t)"=cos (t) - harici fonksiyonun türevi (burada t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - iç fonksiyonun türevi

O halde (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 karmaşık bir fonksiyonun türevidir.

Türev hesaplama- En önemli operasyonlardan biri diferansiyel hesap. Aşağıda basit fonksiyonların türevlerini bulmak için bir tablo bulunmaktadır. Daha karmaşık kurallar farklılaşma, diğer derslere bakın:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri tablosu

Verilen formülleri referans değerleri olarak kullanın. Karar vermenize yardımcı olacaklar diferansiyel denklemler ve görevler. Resimde, basit fonksiyonların türevleri tablosunda, kullanımı anlaşılır bir biçimde bir türev bulmanın ana durumlarının bir "kopya sayfası" vardır, yanında her durum için açıklamalar vardır.

Basit fonksiyonların türevleri

1. Bir sayının türevi sıfırdır
с' = 0
Örnek:
5' = 0

Açıklama:
Türev, bir fonksiyonun argümanı değiştiğinde değerinin değişme hızını gösterir. Sayı hiçbir koşulda hiçbir şekilde değişmediğinden değişim oranı her zaman sıfırdır.

2. Bir değişkenin türevi bire eşit
x' = 1

Açıklama:
Argümanın (x) her birer birer artmasıyla, fonksiyonun değeri (hesaplamaların sonucu) aynı miktarda artar. Dolayısıyla y = x fonksiyonunun değerindeki değişim oranı, argümanın değerindeki değişim oranına tam olarak eşittir.

3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
сx` = с
Örnek:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Açıklama:
İÇİNDE bu durumda, işlev bağımsız değişkeni her değiştiğinde ( X) değeri (y) artar İle bir kere. Dolayısıyla, argümanın değişim hızına göre fonksiyon değerinin değişim hızı, tam olarak değere eşittir. İle.

Buradan şu sonuç çıkıyor
(cx + b)" = c
yani diferansiyel doğrusal fonksiyon y=kx+b eşittir eğim düz çizginin eğimi (k).

4. Bir değişkenin modulo türevi bu değişkenin modülüne oranına eşit
|x|"= x / |x| x ≠ 0 olması şartıyla
Açıklama:
Bir değişkenin türevi (bkz. formül 2) bire eşit olduğundan, modülün türevi yalnızca fonksiyonun değişim hızının değerinin başlangıç noktasından geçerken tersine değişmesi bakımından farklılık gösterir (bir grafik çizmeyi deneyin) y = |x| fonksiyonunun değerini kendiniz görün ve bu tam olarak hangi değerdir ve x / |x| ifadesini döndürür.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bir. Yani, ne zaman negatif değerler x değişkeni, argümandaki her artışla, fonksiyonun değeri tam olarak aynı değerde azalır ve pozitif olanlar için tam tersine artar, ancak tamamen aynı değerde.

5. Bir değişkenin bir kuvvete göre türevi bu gücün bir sayısının çarpımına ve bir birim azaltılmış güce bağlı bir değişkene eşittir
(x c)"= cx c-1 x c ve cx c-1'in tanımlı olması ve c ≠ 0 olması şartıyla
Örnek:
(x 2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Formülü hatırlamak için:
Değişkenin derecesini bir faktör olarak aşağı taşıyın ve ardından derecenin kendisini bir azaltın. Örneğin, x 2 için - ikisi x'in önündeydi ve sonra azaltılmış güç (2-1 = 1) bize basitçe 2x'i verdi. Aynı şey x 3 için de oldu - üçlüyü "aşağı doğru hareket ettiriyoruz", onu bir azaltıyoruz ve küp yerine bir karemiz var, yani 3x 2. Biraz "bilim dışı" ama hatırlaması çok kolay.

6.Bir kesrin türevi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Örnek:
Bir kesir onu yükselterek temsil edilebildiğinden negatif derece
(1/x)" = (x -1)" ise türev tablosunun 5. kuralındaki formülü uygulayabilirsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Bir kesrin türevi keyfi derece değişkeniyle paydada
(1/xc)" = - c / x c+1
Örnek:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Kökün türevi(altındaki değişkenin türevi kare kök)
(√x)" = 1 / (2√x) veya 1/2 x -1/2
Örnek:
(√x)" = (x 1/2)", kural 5'teki formülü uygulayabileceğiniz anlamına gelir
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Rasgele bir derecenin kökü altındaki bir değişkenin türevi
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)