Résoudre des équations irrationnelles à racines doubles. Résoudre des équations irrationnelles

Dans cette dernière situation, le graphique d’une fonction n’est pas supérieur à la droite y=C, et le graphique de l’autre fonction n’est pas inférieur à cette droite. Il est clair que les graphiques ne peuvent avoir de points communs que sur cette droite. Ceci explique la transition de l'équation g(x)=h(x) au système.

Vous pouvez passer à la pratique. Considérons les solutions aux équations irrationnelles caractéristiques en utilisant la méthode d'estimation.

Tout d’abord, il convient de comprendre la question de l’exactitude de l’estimation des valeurs des expressions. Pour bien comprendre d'où vient cette question, examinez trois estimations des valeurs racine : d'abord , deuxième, troisième, et dites-moi lequel préférer ? Eh bien, écartons la première, car elle est pour la plupart tirée par les cheveux, mais les deuxième et troisième estimations sont tout à fait réalisables et, selon la situation, la première d'entre elles, relativement approximative, et la seconde peuvent être utilisées. Examinons cette question d'un point de vue pratique.

Pour prouver qu’une équation n’a pas de solution, des estimations approximatives suffisent. Le principal avantage des estimations grossières par rapport aux estimations plus précises réside dans leur relative facilité d’obtention. Les estimations approximatives sont pratiquement évidentes et ne nécessitent pas de recherches supplémentaires, car elles sont basées sur des faits bien connus, tels que : la racine carrée est un nombre non négatif, le module est un nombre non négatif, le carré d'un nombre est un nombre non négatif, la somme des réciproques positifs n'est pas inférieure à deux, les valeurs d'un trinôme quadratique avec un terme dominant négatif et un discriminant négatif sont négatives, etc. Ainsi, pour résoudre l’équation irrationnelle suivante par la méthode d’estimation, une estimation approximative de la racine d’une part et du trinôme quadratique d’autre part suffit.

Il est généralement plus facile d'obtenir des estimations approximatives des valeurs de fonctions ou d'expressions que des estimations précises. Mais bien souvent, des estimations approximatives ne nous permettent pas de tirer des conclusions sur les racines des équations à résoudre, alors que des estimations plus précises le permettent. Résolvons une équation irrationnelle typique.

Commençons par résoudre une équation irrationnelle simple mais très caractéristique : l'estimation des valeurs de son côté gauche découle des estimations de ses racines constitutives, et de l'estimation résultante découle la conclusion qu'il n'y a pas de racines de l'équation.

La situation est plus intéressante lorsque l'expression correspondant au côté gauche de l'équation irrationnelle f(x)=C est la somme ou le produit de plusieurs expressions et que ses valeurs sont estimées comme f(x)≤C ou f(x) ≥C. Dans de tels cas, les déclarations écrites ci-dessus prescrivent de passer de l'équation irrationnelle originale à un système d'équations équivalent. Présentons la solution d’une équation irrationnelle caractéristique.

Consolidons les compétences de transition en utilisant la méthode d'estimation de l'équation irrationnelle f(x) = C avec une somme ou un produit du côté gauche vers un système d'équations équivalent. Pour ce faire, nous allons résoudre une équation irrationnelle relativement complexe dont le côté gauche est la somme de deux expressions irrationnelles dont l’une est le produit de deux expressions. Le principe de solution est le même : on obtient une estimation qui permet de passer de l'équation d'origine à un système équivalent.

Passons aux équations irrationnelles de la forme g(x)=h(x) .

Les exemples précédents étaient assez simples en termes d'évaluation des valeurs d'expressions et de fonctions. Il est temps de travailler plus en détail sur l'aspect évaluation. Pour des raisons évidentes, nous nous concentrerons sur les méthodes d'évaluation auxquelles il faut recourir le plus souvent lors de la résolution d'équations irrationnelles à l'aide de la méthode d'évaluation. Commençons par les méthodes d'estimation qui ne nécessitent pas de trouver la dérivée. Ainsi, pour résoudre l'équation irrationnelle suivante, vous devrez utiliser presque tous les moyens connus : de la propriété des puissances à exposant pair et la propriété de monotonie de la fonction d'extraction de racine jusqu'aux estimations basées sur les propriétés des égalités numériques.

Les méthodes d'obtention d'estimations que nous avons utilisées dans tous les exemples précédents ne couvrent pas complètement la question de l'estimation des valeurs. En d'autres termes, il n'est pas toujours possible d'évaluer les valeurs des fonctions et des expressions avec leur aide. En particulier, les méthodes considérées ne sont pas bonnes lorsque la plage des valeurs admissibles de la variable x pour l'équation irrationnelle à résoudre est différente de l'ensemble de tous les nombres réels R. A titre d'exemple, nous donnons une estimation de la racine dans deux cas : lorsque l'ODZ est un ensemble R et lorsque l'ODZ est un segment de 3 à 5. Sur la base des méthodes d'estimation que nous avons utilisées ci-dessus, nous pouvons obtenir une estimation de . Pour le cas où l’ODZ est un ensemble R, cette estimation est très bonne. Mais pour le cas où l'ODZ est un segment, l'estimation enregistrée s'avère déjà relativement grossière, et il est possible d'estimer la racine plus précisément, à savoir comme . Mais ce n’est pas seulement le DL qui limite les possibilités d’obtenir des estimations à l’aide des méthodes évoquées ci-dessus. Souvent, ces méthodes ne permettent pas d'estimer les valeurs des fonctions en raison du type de fonction estimée. Par exemple, les méthodes d'estimation dont nous parlons permettent d'estimer les valeurs des racines et , ainsi que leur somme : , , d'où et plus loin . Mais ces méthodes d'estimation ne permettent plus d'estimer la différence entre les racines indiquées. Dans de telles situations, il faut recourir à l'étude de la fonction, en trouvant ses valeurs les plus grandes et les plus petites, grâce auxquelles évaluer les valeurs de la fonction. Il est parfois pratique de combiner différentes méthodes pour obtenir des estimations. Montrons la solution d'une équation irrationnelle caractéristique.

Pour conclure la conversation sur la résolution d'équations irrationnelles à l'aide de la méthode fonctionnelle-graphique et de la méthode d'estimation en particulier, rappelons-nous une promesse donnée à la fin du paragraphe dédié. Rappelez-vous, nous avons résolu l'équation irrationnelle de manière assez exotique en introduisant deux nouvelles variables (qu'il fallait encore réfléchir), et ils ont promis de montrer sa solution en utilisant une méthode plus standard. Cette méthode est dans ce cas la méthode d’évaluation. Alors tenons notre promesse.

Résoudre des équations irrationnelles via ODZ

Très souvent, cela fait partie du processus de résolution d’équations. Les raisons qui vous obligent à rechercher DL peuvent être différentes : il faut effectuer des transformations de l'équation, et elles, comme on le sait, sont effectuées sur DL, la méthode de solution choisie consiste à trouver DL, à vérifier à l'aide de DL , etc. Et dans certains cas, ODZ agit non seulement comme un outil auxiliaire ou de contrôle, mais permet également d'obtenir une solution à l'équation. Nous entendons ici deux situations : lorsque l'ODZ est un ensemble vide et lorsque l'ODZ est un ensemble fini de nombres.

Il est clair que si l’ODZ d’une équation, en particulier irrationnelle, est un ensemble vide, alors l’équation n’a pas de solution. Ainsi, l’ODZ de la variable x pour l’équation irrationnelle suivante est un ensemble vide, ce qui signifie que l’équation n’a pas de solution.

Lorsque l'ODZ d'une variable pour une équation est un ensemble fini de nombres, alors en vérifiant séquentiellement en substituant ces nombres, on peut obtenir une solution de l'équation. Par exemple, considérons une équation irrationnelle pour laquelle l'ODZ est constitué de deux nombres, et la substitution montre qu'un seul d'entre eux est la racine de l'équation, d'où l'on conclut que cette racine est la seule solution de l'équation.

Résoudre des équations irrationnelles de la forme « la fraction est égale à zéro »

Équations irrationnelles se réduisant aux égalités numériques

Aller aux modules

Si dans la notation d'une équation irrationnelle, sous le signe d'une racine d'un degré pair, il y a un degré d'une expression avec un exposant égal à l'exposant de la racine, alors vous pouvez passer au module. Cette transformation s'effectue grâce à l'une des formules, où 2·m est un nombre pair, a est n'importe quel nombre réel. Il convient de noter que cette transformation est une transformation équivalente de l’équation. En effet, avec une telle transformation, la racine est remplacée par un module identiquement égal, tandis que l'ODZ ne change pas.

Considérons une équation irrationnelle caractéristique, qui peut être résolue en passant au module.

Vaut-il toujours la peine de passer aux modules lorsque cela est possible ? Dans la grande majorité des cas, une telle transition est justifiée. L'exception concerne les cas où il est évident que les méthodes alternatives pour résoudre une équation irrationnelle nécessitent relativement moins de travail. Prenons une équation irrationnelle qui peut être résolue en passant aux modules et à d'autres méthodes, par exemple en mettant au carré les deux côtés de l'équation ou en déterminant la racine, et voyons quelle solution sera la plus simple et la plus compacte.

Dans l'exemple résolu, la solution pour déterminer la racine semble préférable : elle est plus courte et plus simple à la fois la solution par la transition vers le module et la solution par la mise au carré des deux côtés de l'équation. Aurions-nous pu le savoir avant de résoudre l’équation en utilisant les trois méthodes ? Avouons-le, ce n’était pas évident. Ainsi, lorsque vous examinez plusieurs méthodes de solution et que vous ne savez pas immédiatement laquelle préférer, vous devriez essayer de trouver une solution avec l’une d’entre elles. Si cela fonctionne, alors tant mieux. Si la méthode choisie ne donne pas de résultats ou si la solution s'avère très difficile, vous devriez alors essayer une autre méthode.

A la fin de ce point, revenons à l'équation irrationnelle. Dans le paragraphe précédent, nous l’avons déjà résolu et avons vu qu’une tentative de le résoudre en isolant le radical et en mettant au carré les deux côtés de l’équation conduisait à l’égalité numérique 0=0 et à l’impossibilité de tirer une conclusion sur les racines. Et la solution pour déterminer la racine impliquait de résoudre une inégalité irrationnelle, ce qui en soi est assez difficile. Une bonne méthode pour résoudre cette équation irrationnelle est d’aller aux modules. Donnons une solution détaillée.

Transformation d'équations irrationnelles

La solution d’équations irrationnelles n’est presque jamais complète sans leur transformation. Au moment où nous étudions les équations irrationnelles, nous sommes déjà familiers avec les transformations équivalentes des équations. Lors de la résolution d'équations irrationnelles, elles sont utilisées de la même manière que lors de la résolution des types d'équations précédemment étudiés. Vous avez vu des exemples de telles transformations d'équations irrationnelles dans les paragraphes précédents, et, voyez-vous, elles ont été perçues tout naturellement, puisqu'elles nous sont familières. Ci-dessus, nous avons également découvert une nouvelle transformation pour nous : élever les deux côtés de l'équation à la même puissance, ce qui est typique des équations irrationnelles dans le cas général, ce n'est pas équivalent ; Cela vaut la peine de parler de toutes ces transformations en détail afin de connaître tous les points subtils qui surviennent lors de leur mise en œuvre et d'éviter les erreurs.

Nous analyserons les transformations des équations irrationnelles dans la séquence suivante :

1. Remplacement des expressions par des expressions identiquement égales qui ne modifient pas l'ODZ.
2. Ajouter le même nombre des deux côtés d’une équation ou soustraire le même nombre des deux côtés d’une équation.
3. Ajouter la même expression, sans modifier la valeur de la propriété, des deux côtés de l'équation, ou soustraire la même expression, sans modifier la valeur de la propriété, des deux côtés de l'équation.
4. Transférer des termes d'un côté de l'équation à un autre avec le signe opposé.
5. Multiplier et diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre autre que zéro.
6. Multiplier et diviser les deux côtés d'une équation par la même expression, qui ne modifie pas la plage de valeurs admissibles de la variable et ne la ramène pas à zéro.
7. Élever les deux côtés d’une équation à la même puissance.

Ainsi, l’éventail des questions est décrit. Commençons par les comprendre avec des exemples.

La première transformation qui nous intéresse est le remplacement des expressions de l’équation par des expressions identiquement égales. Nous savons que cela est équivalent si le VA de l'équation obtenue à la suite de la transformation est le même que le VA de l'équation d'origine. De là, il ressort clairement qu'il y a deux raisons principales à l'apparition d'erreurs lors de la réalisation de cette transformation : la première est un changement de la DO qui se produit à la suite de la transformation, la seconde est le remplacement d'une expression par une expression cela ne lui est pas identiquement égal. Examinons ces aspects en détail et dans l'ordre, en considérant des exemples de transformations typiques de ce type.

Passons d'abord en revue les transformations typiques des équations, qui consistent à remplacer une expression par une expression identiquement égale, toujours équivalente. Voici la liste pertinente.

• Réorganiser les termes et les facteurs. Cette transformation peut être effectuée aussi bien du côté gauche que du côté droit de l’équation irrationnelle. Il peut être utilisé par exemple pour regrouper puis réduire des termes similaires afin de simplifier la forme de l'équation. Réorganiser les termes ou les facteurs est évidemment une transformation équivalente de l’équation. Cela se comprend : l'expression originale et l'expression avec les termes ou facteurs réarrangés sont identiquement égales (si, bien sûr, le réarrangement est effectué correctement), et il est évident qu'une telle transformation ne change pas l'ODZ. Donnons un exemple. Sur le côté gauche de l'équation irrationnelle dans le produit x·3·x, vous pouvez intervertir les premier et deuxième facteurs x et 3, ce qui vous permettra par la suite de représenter le polynôme sous le signe racine sous une forme standard. Et sur le côté droit de l'équation dans la somme 4+x+5, vous pouvez intervertir les termes 4 et x, ce qui vous permettra à l'avenir d'additionner les nombres 4 et 5. Après ces réarrangements, l'équation irrationnelle prendra la forme , l'équation résultante est équivalente à l'originale.
• Parenthèses extensibles. L'équivalence de cette transformation d'équations est évidente : les expressions avant et après ouverture des parenthèses sont identiquement égales et ont la même plage de valeurs admissibles. Par exemple, prenons l'équation irrationnelle . Sa solution nécessite d'ouvrir les parenthèses. En ouvrant les parenthèses du côté gauche de l’équation, ainsi que du côté droit de l’équation, on arrive à une équation équivalente.
• Regroupement de termes et/ou de facteurs. Cette transformation d'une équation représente essentiellement le remplacement de toute expression faisant partie de l'équation par une expression identiquement égale avec des termes ou des facteurs regroupés. Évidemment, cela ne change rien à l’ODZ. Cela signifie que la transformation indiquée de l'équation est équivalente. À titre d’illustration, prenons une équation irrationnelle. Réorganiser les termes (nous en avons parlé deux paragraphes plus haut) et regrouper les termes permet de passer à une équation équivalente. Le but d'un tel regroupement de termes est clairement visible : effectuer la transformation équivalente suivante, qui permettra l'introduction d'une nouvelle variable.
• Mettre entre parenthèses le facteur commun. Il est clair que les expressions avant de mettre le commun diviseur entre parenthèses et après avoir mis le commun diviseur entre parenthèses sont identiques. Il est également clair que mettre le facteur commun entre parenthèses ne modifie pas la VA. Par conséquent, retirer le facteur commun entre parenthèses dans une expression qui fait partie d’une équation est une transformation équivalente de l’équation. Cette transformation permet par exemple de représenter le côté gauche d'une équation comme un produit afin de la résoudre par factorisation. Voici un exemple concret. Considérez l'équation irrationnelle. Le côté gauche de cette équation peut être représenté comme un produit ; pour ce faire, vous devez retirer le facteur commun entre parenthèses. À la suite de cette transformation, l'équation irrationnelle sera obtenue , équivalent à celui d'origine, qui peut être résolu par factorisation.
• Remplacement des expressions numériques par leurs valeurs. Il est clair que si l'équation contient une certaine expression numérique, et que l'on remplace cette expression numérique par sa valeur (correctement calculée), alors un tel remplacement sera équivalent. En effet, par essence, une expression est remplacée par une expression identiquement égale, et en même temps l'ODZ de l'équation ne change pas. Ainsi, en remplaçant dans l’équation irrationnelle la somme de deux nombres −3 et 1 et la valeur de cette somme, qui est égale à −2, on obtient une équation irrationnelle équivalente. De même, on peut effectuer une transformation équivalente de l'équation irrationnelle , effectuant des opérations avec des nombres sous le signe racine (1+2=3 et ), cette transformation nous mènera à l'équation équivalente .
• Effectuer des opérations avec des monômes et des polynômes trouvés dans la notation d'une équation irrationnelle. Il est clair que la bonne mise en œuvre de ces actions conduira à une équation équivalente. En effet, dans ce cas l'expression sera remplacée par une expression identiquement égale et l'OD ne changera pas. Par exemple, dans l'équation irrationnelle vous pouvez additionner les monômes x 2 et 3 x 2 et passer à l'équation équivalente . Autre exemple : soustraire des polynômes du côté gauche d'une équation irrationnelle est une transformation équivalente qui conduit à une équation équivalente .

Nous continuons à considérer les transformations d'équations, qui consistent à remplacer des expressions par des expressions identiquement égales. De telles transformations peuvent également être inégales, puisqu'elles peuvent modifier l'ODZ. En particulier, il pourrait y avoir une expansion d'ODZ. Cela peut se produire lors de la réduction de termes similaires, lors de la réduction de fractions, lors du remplacement d'un produit par plusieurs facteurs nuls ou d'une fraction par un numérateur égal à zéro par zéro, et le plus souvent lors de l'utilisation de formules correspondant aux propriétés des racines. À propos, une utilisation imprudente des propriétés des racines peut également conduire à un rétrécissement de l'ODZ. Et si les transformations qui élargissent l'ODZ sont acceptables lors de la résolution d'équations (elles peuvent provoquer l'apparition de racines superflues, qui sont éliminées d'une certaine manière), alors les transformations qui rétrécissent l'ODZ doivent être abandonnées, car elles peuvent provoquer la perte de racines. Attardons-nous sur ces points.

La première équation irrationnelle est . Sa solution commence par transformer l'équation sous la forme basé sur l’une des propriétés des diplômes. Cette transformation est équivalente, puisque l'expression est remplacée par une expression identiquement égale, et l'ODZ ne change pas. Mais la prochaine transition vers l'équation, effectuée sur la base de la définition de la racine, peut déjà être une transformation inégale de l'équation, puisqu'avec une telle transformation l'ODZ est élargie. Montrons la solution complète de cette équation.

La deuxième équation irrationnelle, bien adaptée pour illustrer que les transformations d'équations irrationnelles utilisant les propriétés des racines et la définition d'une racine peuvent être inégales, est de la forme . C'est bien si vous ne vous autorisez pas à démarrer la solution comme ça

Ou alors

Commençons par le premier cas. La première transformation est la transition de l'équation irrationnelle originale à l'équation consiste à remplacer l'expression x+3 par l'expression . Ces expressions sont identiques. Mais avec un tel remplacement, l'ODZ se rétrécit de l'ensemble (−∞, −3)∪[−1, +∞) à l'ensemble [−1, +∞) . Et nous avons convenu d'abandonner les réformes qui rétrécissent la DLZ, car elles peuvent conduire à la perte de racines.

Qu'est-ce qui ne va pas dans le deuxième cas ? Expansion d'ODZ lors de la dernière transition de au nombre −3 ? Pas seulement ça. La première transition de l'équation irrationnelle originale est très préoccupante. à l'équation . L'essence de cette transition est le remplacement de l'expression x+3 par l'expression . Mais ces expressions ne sont pas identiquement égales : pour x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , d'où il résulte que .

Alors comment résoudre cette équation irrationnelle ? Ici, il est préférable d'introduire immédiatement une nouvelle variable , dans ce cas (x+3)·(x+1)=t 2. Donnons une solution détaillée.

Résumons la première des transformations des équations analysées : remplacer une expression qui fait partie d'une équation par une expression identique à celle-ci. A chaque fois qu'elle est réalisée, deux conditions doivent être remplies : premièrement, que l'expression soit remplacée par une expression identiquement égale, et deuxièmement, qu'un rétrécissement de l'ODZ ne se produise pas. Si un tel remplacement ne modifie pas l'ODZ, alors le résultat de la transformation sera une équation équivalente. Si, lors d'un tel remplacement, l'ODZ se dilate, des racines étrangères peuvent apparaître et il faut veiller à les filtrer.

Passons à la deuxième transformation de la liste : ajouter le même nombre des deux côtés de l'équation et soustraire le même nombre des deux côtés de l'équation. Il s'agit d'une transformation équivalente de l'équation. Nous y recourons généralement lorsqu'il y a des nombres identiques à gauche et à droite de l'équation ; la soustraction de ces nombres des deux côtés de l'équation nous permet de nous en débarrasser à l'avenir. Par exemple, sur les côtés gauche et droit de l'équation irrationnelle il y a un terme 3. En soustrayant un triple des deux côtés de l'équation, on obtient une équation qui, après avoir effectué des manipulations avec des nombres, prend la forme et encore simplifié en . D'après le résultat, la transformation en question a quelque chose de commun avec le transfert d'un terme d'une partie de l'équation à une autre de signe opposé, mais nous reviendrons sur cette transformation un peu plus tard. Il existe d’autres exemples d’utilisation de cette transformation. Par exemple, dans une équation irrationnelle, il est nécessaire d’ajouter le chiffre 3 des deux côtés pour organiser un carré parfait sur le côté gauche de l’équation et transformer davantage l’équation en forme afin d’introduire une nouvelle variable.

Une généralisation de la transformation qui vient d’être discutée consiste à ajouter des deux côtés de l’équation ou à soustraire la même expression des deux côtés de l’équation. Cette transformation d'équations est équivalente lorsque l'ODZ ne change pas. Cette transformation est effectuée principalement afin de se débarrasser ultérieurement des termes identiques qui se trouvent simultanément à gauche et à droite de l'équation. Donnons un exemple. Supposons que nous ayons une équation irrationnelle. Il est évident qu’il existe un terme à gauche et à droite de l’équation. Il est raisonnable de soustraire cette expression des deux côtés de l’équation : . Dans notre cas, une telle transition ne change pas l'ODZ, donc la transformation effectuée est équivalente. Et cela est fait afin de passer à une équation irrationnelle plus simple.

La prochaine transformation des équations, que nous aborderons dans ce paragraphe, est le transfert de termes d'une partie de l'équation à une autre de signe opposé. Cette transformation de l'équation est toujours équivalente. Le champ d'application de son application est assez large. Avec son aide, vous pouvez, par exemple, isoler le radical ou rassembler des termes similaires dans une partie de l'équation, afin de pouvoir ensuite les réduire et ainsi simplifier la forme de l'équation. Donnons un exemple. Pour résoudre une équation irrationnelle vous pouvez déplacer les termes −1 vers la droite, en changeant leur signe, cela donnera une équation équivalente , qui peut être résolu davantage, par exemple, en mettant au carré les deux côtés de l’équation.

Nous avançons plus loin dans la réflexion sur les transformations d'équations pour multiplier ou diviser les deux côtés de l'équation par le même nombre, différent de zéro. Cette transformation est une transformation équivalente de l'équation. La multiplication des deux côtés d’une équation par le même nombre sert principalement à passer des fractions aux nombres entiers. Par exemple, pour que dans l'équation irrationnelle pour se débarrasser des fractions, il faut multiplier les deux parties par 8, ce qui donne une équation équivalente , qui se réduit encore à la forme . La division des deux côtés de l'équation est effectuée principalement dans le but de réduire les coefficients numériques. Par exemple, les deux côtés de l’équation irrationnelle Il est conseillé de diviser par les coefficients numériques 18 et 12, c'est-à-dire par 6, une telle division donne l'équation équivalente , à partir de laquelle nous pourrons ensuite passer à l'équation , qui a des coefficients plus petits, mais aussi entiers.

La transformation suivante d'une équation consiste à multiplier et diviser les deux côtés de l'équation par la même expression. Cette transformation est équivalente lorsque l'expression par laquelle la multiplication ou la division est effectuée ne modifie pas la plage de valeurs admissibles de la variable et ne revient pas à zéro sur celle-ci. En règle générale, multiplier les deux côtés par la même expression est similaire à multiplier les deux côtés d’une équation par le même nombre. Le plus souvent, on a recours à cette transformation afin de se débarrasser des fractions par d'autres transformations. Montrons cela avec un exemple.

Nous n'ignorerons pas les équations irrationnelles, pour résoudre lesquelles nous devons recourir à la division des deux côtés de l'équation par la même expression. Nous avons noté un peu plus haut qu'une telle division est une transformation équivalente si elle n'affecte pas l'ODZ et que cette expression sur l'ODZ ne s'annule pas. Mais parfois, la division doit être réalisée par une expression qui disparaît dans l'ODZ. Ceci est tout à fait possible si, en même temps, vous vérifiez séparément les zéros de cette expression pour voir s'il y a parmi eux des racines de l'équation à résoudre, sinon ces racines pourraient être perdues lors d'une telle division.

La dernière transformation des équations irrationnelles que nous aborderons dans ce paragraphe consiste à élever les deux côtés de l’équation à la même puissance. Cette transformation peut être qualifiée de typique des équations irrationnelles, car elle n'est pratiquement pas utilisée lors de la résolution d'équations d'autres types. Nous avons déjà évoqué cette transformation dans le présent article, lorsque nous avons examiné . Il existe également de nombreux exemples de cette transformation. Nous ne nous répéterons pas ici, mais rappelons simplement que dans le cas général cette transformation n'est pas équivalente. Cela peut conduire à l’apparition de racines étrangères. Par conséquent, si au cours du processus de résolution nous nous sommes tournés vers cette transformation, alors les racines trouvées doivent être vérifiées pour la présence de racines étrangères parmi elles.

À propos de la perte de racines

Qu’est-ce qui peut causer la perte de racines lors de la résolution d’une équation ? La principale raison de la perte de racines est la transformation de l'équation, qui réduit la DO. Pour comprendre ce point, regardons un exemple.

Prenons l'équation irrationnelle , que nous avons déjà résolu dans l'article actuel. Nous avons commencé à le résoudre avec un avertissement contre la réalisation des transformations suivantes de l'équation

La toute première transformation est la transition de l'équation à l'équation – rétrécit l'ODZ. En effet, l'ODZ pour l'équation d'origine est (−∞, −3)∪[−1, +∞) , et pour l'équation résultante, elle est [−1, +∞) . Cela entraîne l'exclusion de l'intervalle (−∞, −3) de la considération et, par conséquent, la perte de toutes les racines de l'équation de cet intervalle. Dans notre cas, en effectuant cette transformation, toutes les racines de l'équation seront perdues, il y en a deux et .

Ainsi, si la transformation d'une équation conduit à un rétrécissement de la DO, alors toutes les racines de l'équation situées dans la partie sur laquelle s'est produit le rétrécissement seront perdues. C’est pourquoi nous appelons à ne pas recourir à des réformes qui réduisent la ZD. Il y a cependant une mise en garde.

Cette clause s'applique aux transformations dans lesquelles l'ODZ est rétrécie d'un ou plusieurs nombres. La transformation la plus typique, dans laquelle plusieurs nombres individuels sortent de l'ODZ, est la division des deux côtés de l'équation par la même expression. Il est clair qu'en effectuant une telle transformation, seules les racines qui font partie de cet ensemble fini de nombres qui disparaissent lors du rétrécissement de l'ODZ peuvent être perdues. Par conséquent, si vous vérifiez séparément tous les nombres de cet ensemble pour voir s'il y a parmi eux des racines de l'équation à résoudre, par exemple par substitution, et incluez les racines trouvées dans la réponse, vous pouvez alors effectuer la transformation prévue sans crainte de perdre ses racines. Illustrons cela avec un exemple.

Considérons l'équation irrationnelle, qui a également déjà été résolue dans le paragraphe précédent. Pour résoudre cette équation en introduisant une nouvelle variable, il est utile de diviser d’abord les deux côtés de l’équation par 1+x. Avec cette division, le nombre −1 sort de l'ODZ. La substitution de cette valeur dans l'équation d'origine donne une égalité numérique incorrecte (), ce qui signifie que −1 n'est pas la racine de l'équation. Après un tel contrôle, vous pouvez effectuer en toute sécurité la division prévue sans craindre de perdre la racine.

En conclusion de ce point, notons que le plus souvent, lors de la résolution d'équations irrationnelles, la division des deux côtés de l'équation par la même expression, ainsi que les transformations basées sur les propriétés des racines, conduisent à un rétrécissement de l'ODZ. Il faut donc être très prudent lors de telles transformations et éviter de perdre ses racines.

À propos des racines étrangères et des méthodes pour les éliminer

La solution d’un très grand nombre d’équations s’effectue par transformation d’équations. Certaines transformations peuvent conduire à des équations corollaires, et parmi les solutions de l'équation corollaire, il peut y avoir des racines étrangères à l'équation d'origine. Les racines étrangères ne sont pas les racines de l’équation d’origine et ne doivent donc pas apparaître dans la réponse. En d’autres termes, il faut les éliminer.

Ainsi, si dans la chaîne de transformations de l'équation à résoudre, il y a au moins une équation corollaire, alors vous devez prendre soin de détecter et de filtrer les racines superflues.

Les méthodes de détection et d'élimination des racines étrangères dépendent des raisons à l'origine de leur apparition potentielle. Et il y a deux raisons pour l'apparition possible de racines étrangères lors de la résolution d'équations irrationnelles : la première est l'expansion de l'ODZ à la suite de la transformation de l'équation, la seconde est l'élévation des deux côtés de l'équation à une puissance paire. Regardons les méthodes correspondantes.

Commençons par les méthodes permettant d'éliminer les racines étrangères, alors que la raison de leur éventuelle apparition n'est que l'expansion de l'ODZ. Dans ce cas, l'élimination des racines étrangères s'effectue de l'une des trois manières suivantes :

• Selon ODZ. Pour ce faire, l'ODZ de la variable de l'équation d'origine est trouvée et l'appartenance des racines trouvées est vérifiée. Les racines qui appartiennent à l'ODZ sont des racines de l'équation d'origine, et celles qui n'appartiennent pas à l'ODZ sont des racines étrangères à l'équation d'origine.
• Grâce aux conditions d'ODZ. Les conditions qui déterminent l'ODZ de la variable pour l'équation d'origine sont écrites et les racines trouvées y sont substituées une par une. Les racines qui satisfont à toutes les conditions sont des racines, et celles qui ne satisfont pas à au moins une condition sont des racines étrangères à l'équation d'origine.
• Par substitution dans l'équation d'origine (ou dans toute équation équivalente). Les racines trouvées sont à leur tour substituées dans l'équation originale, celles d'entre elles, par substitution desquelles l'équation se transforme en une égalité numérique correcte, sont des racines, et celles d'entre elles, par substitution desquelles une expression qui n'a pas de sens est obtenue , sont des racines superflues pour l’équation d’origine.

Lors de la résolution de l'équation irrationnelle suivante, filtrons les racines superflues en utilisant chacune des méthodes indiquées afin d'avoir une idée générale de chacune d'elles.

Il est clair que nous n'identifierons pas et n'éliminerons pas les racines étrangères à chaque fois en utilisant toutes les méthodes connues. Pour éliminer les racines étrangères, nous choisirons la méthode la plus appropriée dans chaque cas spécifique. Par exemple, dans l'exemple suivant, il est plus pratique de filtrer les racines superflues à travers les conditions de l'ODZ, car dans ces conditions, il est difficile de trouver l'ODZ sous la forme d'un ensemble numérique.

Parlons maintenant de l'élimination des racines superflues, lorsque la résolution d'une équation irrationnelle s'effectue en élevant les deux côtés de l'équation à une puissance paire. Ici, passer au crible ODZ ou les conditions ODZ n'aidera plus, car cela ne nous permettra pas d'éliminer les racines superflues qui surviennent pour une autre raison - en raison de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance. Pourquoi des racines étrangères apparaissent-elles lorsque les deux membres d’une équation sont élevés à la même puissance paire ? L'apparition de racines superflues dans ce cas découle du fait qu'élever les deux parties d'une égalité numérique incorrecte à la même puissance paire peut donner une égalité numérique correcte. Par exemple, l'égalité numérique incorrecte 3=−3 après avoir élevé les deux côtés au carré devient l'égalité numérique correcte 3 2 =(−3) 2, ce qui équivaut à 9=9.

Nous avons compris les raisons de l'apparition de racines étrangères lors de l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance. Il reste à indiquer comment les racines étrangères sont éliminées dans ce cas. Le criblage est principalement effectué en substituant les racines potentielles trouvées dans l'équation d'origine ou dans toute équation équivalente. Montrons cela avec un exemple.

Mais il convient de garder à l'esprit une autre méthode qui vous permet d'éliminer les racines superflues dans les cas où les deux côtés d'une équation irrationnelle avec un radical solitaire sont élevés à la même puissance. Lors de la résolution d'équations irrationnelles , où 2·k est un nombre pair, en élevant les deux côtés des équations à la même puissance, l'élimination des racines superflues peut être effectuée grâce à la condition g(x)≥0 (c'est-à-dire résoudre réellement une équation irrationnelle en déterminant le racine). Cette méthode vient souvent à la rescousse lorsque le filtrage des racines superflues par substitution s’avère impliquer des calculs complexes. L’exemple suivant en est une bonne illustration.

Littérature

1. Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
2. Mordkovitch A.G. Algèbre et débuts de l'analyse mathématique. 11e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2008. - 287 p. : ill. ISBN978-5-346-01027-2.
3. Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov - 14e éd. - M. : Éducation, 2004. - 384 pp. : ill.
4. Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Mathématiques. Niveau accru de l'examen d'État unifié-2012 (C1, C3). Tests thématiques. Équations, inégalités, systèmes / édité par F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov-sur-le-Don : Légion-M, 2011. - 112 pp. - (Préparation à l'examen d'État unifié) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Diplômé de 2004. Mathématiques. Collection de problèmes pour la préparation à l'examen d'État unifié. Partie 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

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Une équation irrationnelle est toute équation contenant une fonction sous le signe racine. Par exemple:

De telles équations sont toujours résolues en 3 étapes :

1. Isolez la racine. En d'autres termes, si à gauche du signe égal, en plus de la racine, il y a d'autres nombres ou fonctions, tout cela doit être déplacé vers la droite, en changeant le signe. Dans ce cas, seul le radical doit rester à gauche – sans aucun coefficient.
2. 2. Mettez au carré les deux côtés de l’équation. Dans le même temps, nous rappelons que la plage de valeurs de la racine est constituée de nombres non négatifs. Par conséquent, la fonction de droite équation irrationnelle doit également être non négatif : g(x) ≥ 0.
3. La troisième étape découle logiquement de la seconde : vous devez effectuer une vérification. Le fait est que dans un deuxième temps, nous pourrions avoir des racines supplémentaires. Et pour les supprimer, vous devez substituer les nombres candidats résultants dans l'équation d'origine et vérifier : l'égalité numérique correcte est-elle vraiment obtenue ?

Résoudre une équation irrationnelle

Regardons notre équation irrationnelle donnée au tout début de la leçon. Ici la racine est déjà isolée : à gauche du signe égal il n'y a que la racine. Carrer les deux côtés :

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Nous résolvons l'équation quadratique résultante par le discriminant :

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6 ; x 2 = −2

Il ne reste plus qu'à substituer ces nombres dans l'équation d'origine, c'est-à-dire effectuer le contrôle. Mais même ici, vous pouvez faire ce qu'il faut pour simplifier la décision finale.

Comment simplifier la solution

Réfléchissons : pourquoi effectuons-nous même une vérification à la fin de la résolution d'une équation irrationnelle ? Nous voulons nous assurer que lorsque nous substituons nos racines, il y aura un nombre non négatif à droite du signe égal. Après tout, nous savons déjà avec certitude qu'il y a un nombre non négatif à gauche, car la racine carrée arithmétique (c'est pourquoi notre équation est appelée irrationnelle) par définition ne peut pas être inférieure à zéro.

Il suffit donc de vérifier que la fonction g (x) = 5 − x, qui se trouve à droite du signe égal, est non négative :

g(x) ≥ 0

On substitue nos racines dans cette fonction et on obtient :

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Des valeurs obtenues, il s'ensuit que la racine x 1 = 6 ne nous convient pas, car en la substituant par le côté droit de l'équation originale, nous obtenons un nombre négatif. Mais la racine x 2 = −2 nous convient tout à fait, car :

1. Cette racine est la solution de l'équation quadratique obtenue en élevant les deux côtés équation irrationnelle dans un carré.
2. Lors du remplacement de la racine x 2 = −2, le côté droit de l'équation irrationnelle originale se transforme en un nombre positif, c'est-à-dire la plage de valeurs de la racine arithmétique n'est pas violée.

C'est tout l'algorithme ! Comme vous pouvez le constater, résoudre des équations avec des radicaux n’est pas si difficile. L'essentiel est de ne pas oublier de vérifier les racines reçues, sinon il y a une très forte probabilité de recevoir des réponses inutiles.

Si une équation contient une variable sous le signe racine carrée, alors l’équation est dite irrationnelle.
Considérez l'équation irrationnelle

Cette égalité, par définition d'une racine carrée, signifie que 2x + 1 = 32. En fait, à partir de l’équation irrationnelle donnée, nous sommes passés à l’équation rationnelle 2x + 1 = 9, mettant au carré les deux côtés de l’équation irrationnelle. La méthode consistant à mettre au carré les deux côtés d’une équation est la principale méthode de résolution d’équations irrationnelles. Cependant, cela est compréhensible : comment pouvons-nous nous débarrasser autrement du signe racine carrée ? A partir de l'équation 2x + 1 = 9, nous trouvons x = 4.
C'est à la fois la racine de l'équation 2x + 1 = 9 et l'équation irrationnelle donnée.
La méthode de la mise au carré est techniquement simple, mais elle entraîne parfois des problèmes. Prenons par exemple l'équation irrationnelle

En mettant les deux côtés au carré, on obtient

Nous avons ensuite :
2x-4x = -7 +5 ; -2x = -2 ; x = 1.
Mais la valeur x - 1, étant la racine de l'équation rationnelle 2x - 5 = 4x - 7, n'est pas la racine de l'équation irrationnelle donnée. Pourquoi? En remplaçant 1 au lieu de x dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons . Comment pouvons-nous parler de la réalisation d’une égalité numérique si ses côtés gauche et droit contiennent des expressions qui n’ont aucun sens ? Dans de tels cas, ils disent : x = 1 est une racine étrangère pour une équation irrationnelle donnée. Il s’avère que l’équation irrationnelle donnée n’a pas de racines.
Résolvons l'équation irrationnelle

-
Les racines de cette équation peuvent être trouvées oralement, comme nous l'avons fait à la fin du paragraphe précédent : leur produit est - 38, et leur somme est - 17 ; ce n'est pas difficile de deviner que ce sont les numéros 2
et - 19. Donc, x 1 = 2, x 2 = - 19.
En substituant la valeur 2 au lieu de x dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

Ce n'est pas vrai.
En substituant la valeur - 19 au lieu de x dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

C’est également incorrect.
Quelle est la conclusion ? Les deux valeurs trouvées sont des racines superflues. En d’autres termes, l’équation irrationnelle donnée, comme la précédente, n’a pas de racines.
Une racine étrangère n'est pas un concept nouveau pour vous ; des racines étrangères ont déjà été rencontrées lors de la résolution d'équations rationnelles. La vérification permet de les détecter ; Pour les équations irrationnelles, la vérification est une étape obligatoire dans la résolution de l'équation, ce qui aidera à détecter les racines étrangères, le cas échéant, et à les éliminer (on dit généralement « éliminer »).

Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en mettant les deux côtés au carré ; Après avoir résolu l'équation rationnelle résultante, il est nécessaire de procéder à une vérification, en éliminant d'éventuelles racines étrangères.

En utilisant cette conclusion, regardons quelques exemples.

Exemple 1. Résoudre l'équation

Solution. Mettons au carré les deux côtés de l'équation (1) :

Ensuite, nous avons séquentiellement

5x - 16 = x 2 - 4x + 4 ;
x 2 - 4x + 4 - 5x + 16 = 0 ;
x 2 - 9x + 20 = 0 ;
x1 = 5, x2 = 4.
Examen. En remplaçant x = 5 dans l'équation (1), nous obtenons l'égalité correcte. En remplaçant x = 4 dans l'équation (1), nous obtenons l'égalité correcte. Cela signifie que les deux valeurs trouvées sont des racines de l'équation (1).
Réponse : 4 ; 5.

Exemple 2. Résoudre l'équation
(nous avons rencontré cette équation au § 22 et nous avons « reporté sa solution à des temps meilleurs »), nous obtenons.
2x2 + 8* + 16 = (44 - 2x) 2 .
Ensuite nous avons
2x 2 + 8x + 16 = 1936 - 176x + 4x 2 ;
- 2x 2 + 184x - 1920 = 0 ;
x 2 - 92x + 960 = 0 ;
x1 = 80, x2 = 12.
Examen. En substituant x = 80 dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

Il s’agit évidemment d’une fausse équation car le côté droit contient un nombre négatif et le côté gauche contient un nombre positif. Cela signifie que x = 80 est une racine étrangère à cette équation.

En substituant x = 12 dans l'équation irrationnelle donnée, nous obtenons

C'est-à-dire... = 20, est une égalité correcte. Par conséquent, x = 12 est la racine de cette équation.
Réponse : 12.

Divisons les deux côtés du dernier terme de l'équation par 2 :

Examen. En substituant la valeur x = 14 dans l'équation (2), nous obtenons est une égalité incorrecte, ce qui signifie que x = 14 est une racine étrangère.
En substituant la valeur x = -1 dans l'équation (2), nous obtenons
- une véritable égalité. Donc x = - 1 est la racine de l'équation (2).
RÉPONSE : - 1.

Exemple 4. Résoudre l'équation

Solution. Bien sûr, vous pouvez résoudre cette équation en utilisant le même schéma que celui que nous avons utilisé dans les exemples précédents : réécrire l'équation sous la forme

Mettez au carré les deux côtés de cette équation, résolvez l'équation rationnelle résultante et vérifiez les racines trouvées en les substituant dans
équation irrationnelle originale.

Mais nous utiliserons une méthode plus élégante : nous introduisons une nouvelle variable y = . Nous obtenons alors 2y 2 + y - 3 = 0 - une équation quadratique par rapport à la variable y. Trouvons ses racines : y 1 = 1, y 2 = -. Le problème se réduisait donc à résoudre deux

A partir de la première équation on trouve x = 1, la deuxième équation n'a pas de racines (rappelez-vous qu'elle ne prend que des valeurs non négatives).
Réponse : 1.
Concluons ce paragraphe par une conversation théorique assez sérieuse. Le point est le suivant. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaires, quadratiques, rationnelles, irrationnelles. Vous savez que lors de la résolution d'équations, diverses transformations sont effectuées,
par exemple : un membre de l'équation est transféré d'une partie de l'équation à une autre avec le signe opposé ; les deux côtés de l'équation multiplient ou divisent par le même nombre non nul ; sont libérés du dénominateur, c'est-à-dire qu'ils remplacent l'équation = 0 par l'équation p (x) = 0 ; les deux côtés de l’équation sont au carré.

Bien sûr, vous avez remarqué qu'à la suite de certaines transformations, des racines étrangères pouvaient apparaître, et il fallait donc être vigilant : vérifier toutes les racines trouvées. Nous allons donc maintenant essayer d'appréhender tout cela d'un point de vue théorique.

Définition. Deux équations f (x) = g (x) et r(x) = s (x) sont dites équivalentes si elles ont les mêmes racines (ou, en particulier, si les deux équations n'ont pas de racines).

Habituellement, lors de la résolution d'une équation, ils essaient de remplacer cette équation par une équation plus simple, mais équivalente. Un tel remplacement est appelé transformation équivalente de l’équation.

Les transformations équivalentes de l'équation sont les transformations suivantes :

1. Transfert des termes de l'équation d'une partie de l'équation à une autre de signes opposés.
Par exemple, remplacer l'équation 2x + 5 = 7x - 8 par l'équation 2x - 7x = - 8 - 5 est une transformation équivalente de l'équation. Cela signifie que

les équations 2x + 5 = 7x -8 et 2x - 7x = -8 - 5 sont équivalentes.

2. Multiplier ou diviser les deux côtés d'une équation par le même nombre non nul.
Par exemple, remplacer l'équation 0,5x 2 - 0,3x = 2 par l'équation 5x 2 - 3x = 20
(les deux côtés de l'équation sont multipliés terme par terme par 10) est une transformation équivalente de l'équation.

Les transformations suivantes sont des transformations inégales de l'équation :

1. Libération des dénominateurs contenant des variables.
Par exemple, remplacer une équation par l'équation x 2 = 4 est une transformation inégale de l'équation. Le fait est que l'équation x 2 = 4 a deux racines : 2 et - 2, et la valeur x = 2 ne peut pas satisfaire l'équation donnée (le dénominateur va à zéro). Dans de tels cas, nous avons dit ceci : x = 2 est une racine étrangère.

2. Mettre au carré les deux côtés de l’équation.
Nous ne donnerons pas d'exemples, car il y en avait beaucoup dans ce paragraphe.
Si l'une des transformations non équivalentes indiquées a été utilisée dans le processus de résolution de l'équation, alors toutes les racines trouvées doivent être vérifiées par substitution dans l'équation d'origine, car parmi elles peuvent contenir des racines étrangères.

En étudiant l'algèbre, les écoliers sont confrontés à de nombreux types d'équations. Parmi ceux qui sont les plus simples, il y a les linéaires, contenant une inconnue. Si une variable dans une expression mathématique est élevée à une certaine puissance, alors l'équation est appelée quadratique, cubique, biquadratique, etc. Ces expressions peuvent contenir des nombres rationnels. Mais il existe aussi des équations irrationnelles. Ils diffèrent des autres par la présence d'une fonction où l'inconnue est sous le signe radical (c'est-à-dire que, purement extérieurement, la variable ici peut être vue écrite sous la racine carrée). La résolution d'équations irrationnelles a ses propres caractéristiques. Lors du calcul de la valeur d'une variable pour obtenir la bonne réponse, il faut en tenir compte.

"Innommable avec des mots"

Ce n’est un secret pour personne que les mathématiciens de l’Antiquité utilisaient principalement des nombres rationnels. Ceux-ci incluent, comme on le sait, des nombres entiers exprimés sous forme de fractions périodiques ordinaires et décimales, représentatifs d'une communauté donnée. Cependant, les scientifiques du Moyen et du Proche-Orient, ainsi que de l'Inde, développant la trigonométrie, l'astronomie et l'algèbre, ont également appris à résoudre des équations irrationnelles. Par exemple, les Grecs connaissaient des quantités similaires, mais en les mettant sous forme verbale, ils utilisaient le concept « alogos », qui signifiait « inexprimable ». Un peu plus tard, les Européens, les imitant, ont qualifié ces chiffres de « sourds ». Ils diffèrent de tous les autres en ce qu'ils ne peuvent être représentés que sous la forme d'une fraction infinie non périodique, dont l'expression numérique finale est tout simplement impossible à obtenir. Par conséquent, le plus souvent, ces représentants du royaume des nombres sont écrits sous la forme de nombres et de signes comme une expression située sous la racine du deuxième degré ou supérieur.

Sur la base de ce qui précède, essayons de définir une équation irrationnelle. De telles expressions contiennent ce qu'on appelle des « nombres inexprimables », écrits en utilisant le signe racine carrée. Il peut s'agir de toutes sortes d'options assez complexes, mais dans leur forme la plus simple, elles ressemblent à celle de la photo ci-dessous.

Lorsque vous commencez à résoudre des équations irrationnelles, il est tout d'abord nécessaire de calculer la plage de valeurs admissibles de la variable.

L'expression a-t-elle un sens ?

La nécessité de vérifier les valeurs obtenues découle des propriétés. Comme on le sait, une telle expression n'est acceptable et n'a de sens que sous certaines conditions. Dans le cas de racines de degrés pairs, toutes les expressions radicales doivent être positives ou égales à zéro. Si cette condition n'est pas remplie, la notation mathématique présentée ne peut pas être considérée comme significative.

Donnons un exemple spécifique de la façon de résoudre des équations irrationnelles (photo ci-dessous).

Dans ce cas, il est évident que les conditions spécifiées ne peuvent être satisfaites pour aucune valeur acceptée par la valeur souhaitée, puisqu'il s'avère que 11 ≤ x ≤ 4. Cela signifie que seul Ø peut être une solution.

Méthode d'analyse

De ce qui précède, il devient clair comment résoudre certains types d’équations irrationnelles. Ici, une simple analyse peut être un moyen efficace.

Donnons un certain nombre d'exemples qui le démontreront encore une fois clairement (photo ci-dessous).

Dans le premier cas, après un examen attentif de l'expression, il s'avère immédiatement extrêmement clair qu'elle ne peut pas être vraie. En effet, le côté gauche de l’égalité devrait donner un nombre positif, qui ne peut en aucun cas être égal à -1.

Dans le second cas, la somme de deux expressions positives ne peut être considérée comme égale à zéro que lorsque x - 3 = 0 et x + 3 = 0 en même temps. Et c'est encore une fois impossible. Et cela signifie que la réponse doit à nouveau être écrite Ø.

Le troisième exemple est très similaire à celui déjà évoqué précédemment. En effet, ici les conditions de l'ODZ exigent que l'inégalité absurde suivante soit satisfaite : 5 ≤ x ≤ 2. Et de la même manière, une telle équation ne peut pas avoir de solutions sensées.

Zoom illimité

La nature de l’irrationnel ne peut être expliquée et connue de la manière la plus claire et la plus complète qu’à travers la série infinie de nombres décimaux. Un exemple spécifique et frappant des membres de cette famille est pi. Ce n'est pas sans raison que cette constante mathématique est connue depuis l'Antiquité, étant utilisée pour calculer la circonférence et l'aire d'un cercle. Mais parmi les Européens, c'est l'Anglais William Jones et le Suisse Leonard Euler qui l'ont mis en pratique pour la première fois.

Cette constante apparaît comme suit. Si l'on compare des cercles de circonférences différentes, alors le rapport de leurs longueurs et diamètres est nécessairement égal au même nombre. C'est pi. Si nous l’exprimons par une fraction ordinaire, nous obtenons environ 22/7. Cela a été fait pour la première fois par le grand Archimède, dont le portrait est montré dans la figure ci-dessus. C'est pourquoi un tel numéro tire son nom. Mais il ne s’agit pas d’une valeur explicite, mais d’une valeur approximative du nombre peut-être le plus étonnant. Un brillant scientifique a trouvé la valeur souhaitée avec une précision de 0,02, mais, en fait, cette constante n'a pas de signification réelle, mais est exprimée par 3,1415926535... Il s'agit d'une série infinie de nombres, s'approchant indéfiniment d'une valeur mythique.

La quadrature

Mais revenons aux équations irrationnelles. Pour trouver l’inconnu, ils ont souvent recours dans ce cas à une méthode simple : mettre au carré les deux côtés de l’égalité existante. Cette méthode donne généralement de bons résultats. Mais il faut tenir compte du caractère insidieux des quantités irrationnelles. Toutes les racines obtenues ainsi doivent être vérifiées, car elles peuvent ne pas convenir.

Mais continuons à regarder les exemples et essayons de trouver les variables en utilisant la méthode nouvellement proposée.

Il n’est pas du tout difficile, en utilisant le théorème de Vieta, de trouver les valeurs souhaitées des quantités après, à la suite de certaines opérations, avoir formé une équation quadratique. Ici, il s'avère que parmi les racines, il y aura 2 et -19. Cependant, lors de la vérification, en remplaçant les valeurs résultantes dans l'expression d'origine, vous pouvez vous assurer qu'aucune de ces racines ne convient. C'est un phénomène courant dans les équations irrationnelles. Cela signifie que notre dilemme n’a encore aucune solution et que la réponse devrait indiquer un ensemble vide.

Exemples plus complexes

Dans certains cas, il est nécessaire de mettre au carré les deux côtés d’une expression non pas une, mais plusieurs fois. Examinons des exemples où cela est requis. Ils peuvent être vus ci-dessous.

Après avoir reçu les racines, n'oubliez pas de les vérifier, car des racines supplémentaires peuvent apparaître. Il convient d'expliquer pourquoi cela est possible. En appliquant cette méthode, l’équation est quelque peu rationalisée. Mais en nous débarrassant des racines qui nous déplaisent et qui nous empêchent d’effectuer des opérations arithmétiques, nous semblons élargir la gamme de significations existante, ce qui est lourd (comme on peut le comprendre) de conséquences. Anticipant cela, nous effectuons un contrôle. Dans ce cas, il est possible de s'assurer qu'une seule des racines convient : x = 0.

Systèmes

Que devons-nous faire dans les cas où nous devons résoudre des systèmes d’équations irrationnelles et où nous avons non pas une, mais deux inconnues ? Ici, nous agissons de la même manière que dans les cas ordinaires, mais en tenant compte des propriétés ci-dessus de ces expressions mathématiques. Et dans chaque nouvelle tâche, bien sûr, vous devez utiliser une approche créative. Mais, encore une fois, il est préférable de tout considérer à l'aide de l'exemple spécifique présenté ci-dessous. Ici, vous devez non seulement trouver les variables x et y, mais également indiquer leur somme dans la réponse. Il existe donc un système contenant des quantités irrationnelles (voir photo ci-dessous).

Comme vous pouvez le constater, une telle tâche n’a rien de surnaturellement difficile. Il vous suffit d'être intelligent et de deviner que le côté gauche de la première équation est le carré de la somme. Des tâches similaires se retrouvent dans l'examen d'État unifié.

Irrationnel en mathématiques

À chaque fois, le besoin de créer de nouveaux types de nombres est apparu parmi l’humanité alors qu’elle ne disposait pas de suffisamment « d’espace » pour résoudre certaines équations. Les nombres irrationnels ne font pas exception. Comme en témoignent les faits historiques, les grands sages y ont prêté attention pour la première fois avant notre ère, au VIIe siècle. Cela a été réalisé par un mathématicien indien connu sous le nom de Manava. Il a bien compris qu’il était impossible d’extraire une racine de certains nombres naturels. Par exemple, ceux-ci incluent 2 ; 17 ou 61, ainsi que bien d’autres.

L'un des Pythagoriciens, un penseur nommé Hippasus, est arrivé à la même conclusion en essayant de faire des calculs à l'aide d'expressions numériques des côtés du pentagramme. Ayant découvert des éléments mathématiques qui ne peuvent pas être exprimés en valeurs numériques et qui n'ont pas les propriétés des nombres ordinaires, il a tellement irrité ses collègues qu'il a été jeté par-dessus bord du navire à la mer. Le fait est que d’autres Pythagoriciens considéraient son raisonnement comme une rébellion contre les lois de l’univers.

Signe du radical : évolution

Le signe racine pour exprimer la valeur numérique des nombres « sourds » n'a pas immédiatement commencé à être utilisé pour résoudre des inégalités et des équations irrationnelles. Les mathématiciens européens, en particulier italiens, ont commencé à réfléchir au radical vers le XIIIe siècle. Dans le même temps, ils ont eu l'idée d'utiliser le latin R pour la désignation. Mais les mathématiciens allemands ont agi différemment dans leurs travaux. Ils préférèrent la lettre V. En Allemagne, les désignations V(2), V(3) se répandirent bientôt, destinées à exprimer la racine carrée de 2, 3, etc. Plus tard, les Néerlandais sont intervenus et ont modifié l'enseigne du radical. Et René Descartes a complété l'évolution, amenant le signe racine carrée à la perfection moderne.

Se débarrasser de l'irrationnel

Les équations et inégalités irrationnelles peuvent inclure une variable non seulement sous le signe de la racine carrée. Cela peut être de n’importe quel degré. Le moyen le plus courant de s’en débarrasser est d’élever les deux côtés de l’équation à la puissance appropriée. C'est l'action principale qui aide dans les opérations avec l'irrationnel. Les actions dans les cas pairs ne sont pas particulièrement différentes de celles dont nous avons déjà parlé plus tôt. Ici, les conditions de non-négativité de l'expression radicale doivent être prises en compte et, à la fin de la solution, il est nécessaire de filtrer les valeurs superflues des variables de la même manière que cela a été montré dans les exemples déjà considérés. .

Parmi les transformations supplémentaires qui permettent de trouver la bonne réponse, la multiplication de l'expression par son conjugué est souvent utilisée, et il est aussi souvent nécessaire d'introduire une nouvelle variable, ce qui facilite la solution. Dans certains cas, il est conseillé d'utiliser des graphiques pour trouver la valeur des inconnues.