Influence des propriétés des processus aléatoires sur la modélisation. le chemin

6.1. TECHNIQUE DE MODÉLISATION STOCHASTIQUE

Le concept de « aléatoire » est l’un des plus fondamentaux en mathématiques et en mathématiques. Vie courante. La modélisation processus aléatoires- la direction la plus puissante du moderne modélisation mathématique.

Un événement est dit aléatoire s’il est imprévisible de manière fiable. Le hasard entoure notre monde et joue le plus souvent rôle négatif dans notre vie. Cependant, il existe des circonstances dans lesquelles le hasard peut être utile.

DANS calculs complexes, lorsque le résultat souhaité dépend des résultats de nombreux facteurs, modèles et mesures, la quantité de calculs peut être réduite de valeurs aléatoires chiffres significatifs. De la théorie de l'évolution, il s'ensuit que le hasard se manifeste comme constructif, facteur positif. En particulier, sélection naturelle met en œuvre une sorte de méthode d'essais et d'erreurs, sélectionnant dans le processus de développement des individus possédant les propriétés les plus appropriées de l'organisme. De plus, le caractère aléatoire se manifeste dans la multiplicité de ses résultats, offrant une flexibilité dans la réponse de la population aux changements de l'environnement externe.

Sur la base de ce qui précède, il est logique de mettre le hasard à la base des méthodes permettant d'obtenir une solution par essais et erreurs, par une recherche aléatoire.

Notez que ci-dessus, en donnant un exemple modélisation par simulation- le jeu « Life », nous l'avions déjà essentiellement modèle stochastique. Dans cette section, nous discuterons plus en détail de la méthodologie d’une telle modélisation.

Laissez donc les valeurs de certains paramètres d'entrée dans le modèle fonctionnel être définies uniquement dans un sens probabiliste. Dans ce cas, le style de travail avec le modèle change considérablement.

Après mûre réflexion, les mots « distribution de probabilité », « fiabilité », « échantillon statistique", "processus aléatoire", etc.

Dans la modélisation mathématique informatique de processus aléatoires, on ne peut se passer d'ensembles de ce qu'on appelle nombres aléatoires, satisfaisant la loi de distribution donnée. En fait, ces chiffres sont générés par un ordinateur un algorithme spécifique, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas complètement aléatoires, ne serait-ce que parce que lorsque le programme sera redémarré avec les mêmes paramètres, la séquence se répétera ; ces nombres sont appelés « pseudo-aléatoires ».

Considérons d'abord la génération de nombres également probablement répartis sur un certain segment. La plupart des programmes générateurs de nombres aléatoires produisent une séquence dans laquelle le nombre précédent est utilisé pour trouver le suivant. La première est la valeur initiale. Tous les générateurs de nombres aléatoires produisent des séquences qui se répètent après un certain nombre de termes, appelé période, qui est liée à la longueur finie du mot machine. La méthode la plus simple et la plus courante est la méthode des résidus, ou méthode de congruence linéaire, dans laquelle le prochain nombre aléatoire Xn défini par "cartographie"

Où un, Avec, m - entiers, mod - la fonction dite de division modulo (le reste de la division d'un nombre par un autre modulo). La plus grande période possible du capteur (7,69) est égale à T ; cependant, cela dépend UN Et Avec. Il est clair que quoi période plus longue, Tout le meilleur; cependant, c'est vraiment le meilleur m limité par la grille de bits de l'ordinateur. En tout cas, utilisé dans tâche spécifique l'échantillon de nombres aléatoires doit être plus court que la période, sinon le problème sera mal résolu. Notez que les générateurs produisent généralement la relation DIV_ADBLOCK304">

La question du hasard séquence finie les nombres sont beaucoup plus complexes qu’il n’y paraît à première vue. Il existe plusieurs critères statistiques de caractère aléatoire, mais ils ne fournissent pas tous une réponse exhaustive. Ainsi, les nombres pseudo-aléatoires générés séquentiellement peuvent ne pas apparaître parfaitement uniformément, mais ont tendance à former des groupes (c'est-à-dire à être corrélés). L'un des tests d'uniformité consiste à diviser le segment par). M parties égales - "paniers", et en plaçant chaque nouveau nombre aléatoire dans le "panier" correspondant. Le résultat est un histogramme dans lequel la hauteur de chaque colonne est proportionnelle au nombre de nombres aléatoires dans le « panier » (Fig. 7.54).

Riz. 7.54. Vue d'un histogramme de nombres uniformément répartis sur un segment avec un échantillon suffisamment grand

Il est clair qu'avec un grand nombre de tests, les hauteurs des colonnes doivent être quasiment les mêmes. Cependant, ce critère est nécessaire mais pas suffisant ; par exemple, il « ne remarque pas » même des périodicités très courtes. Pour un utilisateur pas trop exigeant, les capacités du capteur (générateur) de nombres aléatoires intégré à la plupart des langages de programmation sont généralement suffisantes. Ainsi, dans PASCAL, il existe une fonction aléatoire dont les valeurs sont des nombres aléatoires de la plage, il est facile d'obtenir des nombres à partir d'un intervalle arbitraire [ un B].

X = une + (b - une)∙r.

Plus distributions complexes souvent construit en utilisant une distribution uniforme. Nous ne mentionnerons ici qu’une méthode de Neumann assez universelle (souvent aussi appelée méthode de sélection-rejet), qui repose sur une considération géométrique simple. Supposons qu'il soit nécessaire de générer des nombres aléatoires avec une fonction de distribution normalisée f(x) sur l'intervalle [ un B]. Introduisons le positif fonction spécifique comparaisons w(X) tel que w(X)= const et w(x) >F(X) sur [ un B] (généralement w(X)équivaut à valeur maximum F(X) sur [ un B]). Puisque l'aire sous la courbe f(x)égal pour l'intervalle [ x, x + dx] probabilité de réussite X Pendant cet intervalle, une procédure d’essais et d’erreurs peut être suivie. Nous générons deux nombres aléatoires qui déterminent des coordonnées équiprobables dans le rectangle UNBCD en utilisant un capteur de nombres aléatoires uniformément distribués :

x = une + (b - une)∙r, y = w∙r

et si point M(x,y) ne tombe pas sous la courbe f(x), on le jette, et s'il frappe, on le laisse (Fig. 7.55). Dans ce cas, l'ensemble des coordonnées X des points restants s'avèrent distribués conformément à la densité de probabilité f(x).

Riz. 7h55. Méthode de sélection-refus. Fonction w(X) = F maximum

Cette méthode n'est pas la plus efficace pour un certain nombre de distributions, mais elle est universelle, simple et compréhensible. Il est efficace lorsque la fonction de comparaison w(X) proche de f(x). Notez que personne ne nous oblige à prendre w(X)= const sur tout l'intervalle [ un B]. Si f(x) a des « ailes » qui tombent rapidement, alors il est plus sage de prendre w(X) comme fonction d'étape.

6.2. MODÉLISATION DE PROCESSUS ALÉATOIRES DANS LES SYSTÈMES DE FILE D'ATTENTE

Qui n'a pas fait la queue et s'est demandé avec impatience s'il serait capable de réaliser un achat (ou de payer un loyer, de monter sur un manège, etc.) dans le temps dont il disposait ? Ou, en essayant d'appeler la ligne d'assistance et en rencontrant plusieurs bips courts, vous devenez nerveux et évaluez si je peux passer ou non ? A partir de problèmes aussi « simples », au début du XXe siècle, science difficile- théorie faire la queue, en utilisant l'appareil de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques, d'équations différentielles et méthodes numériques. Son fondateur était un scientifique danois qui étudiait les problèmes de fonctionnement des centraux téléphoniques.

Par la suite, il s'est avéré que nouvelle science dispose de nombreux débouchés dans l’économie et les affaires militaires. organisation de la production, biologie et écologie ; Des dizaines de livres et des milliers d'articles de magazines ont été écrits à ce sujet.

Modélisation informatique pour résoudre les problèmes de files d'attente. mis en œuvre sous la forme d'une méthode de tests statistiques (méthode de Monte Carlo), bien qu'elle ne soit pas la principale de la théorie des files d'attente, mais y joue un rôle rôle important. L'objectif principal est d'obtenir des résultats analytiques, c'est-à-dire présentés par des formules. Cependant, les possibilités méthodes analytiques sont très limités, alors que la méthode de test statistique est universelle et très simple à comprendre (du moins il semble que ce soit le cas).

Tâche typique : une file d'attente vers un « vendeur ». Considérons l'un des problèmes les plus simples de cette classe. Il existe un magasin avec un seul vendeur, dans lequel les clients entrent au hasard. Si le vendeur est libre, il commence immédiatement à servir l'acheteur ; s'il y a plusieurs acheteurs, une file d'attente se forme.

Voici des tâches similaires :

Aire de réparation dans une flotte de véhicules automobiles et d'autobus ayant quitté la file en raison d'une panne ;

Salle d'urgence et patients venus prendre rendez-vous en raison d'une blessure (c'est-à-dire sans système de rendez-vous) ;

Un central téléphonique avec une seule entrée (ou un seul opérateur téléphonique) et des abonnés qui sont mis en file d'attente lorsque l'entrée est occupée (un tel système est parfois pratiqué) ;

Serveur réseau local et les ordinateurs personnels sur le lieu de travail qui envoient un message à un serveur capable de recevoir et de traiter au maximum un message à la fois.

Pour plus de clarté, nous parlerons du magasin, des clients et du vendeur. Considérons les problèmes qui se posent ici et qui méritent recherche mathématique et il s'avère que c'est très grave.

Ainsi, l’entrée de ce problème est le processus aléatoire des clients venant au magasin. Il est « markovien », c’est-à-dire que les intervalles entre les arrivées de toute paire consécutive d’acheteurs sont des événements aléatoires indépendants distribués selon une certaine loi. La nature réelle de cette loi ne peut être établie que par de nombreuses observations ; En tant que fonction de densité de probabilité du modèle la plus simple, nous pouvons prendre une distribution équiprobable dans la plage temporelle de 0 à quelques T- l'intervalle maximum possible entre les arrivées de deux clients consécutifs. Avec cette répartition, la probabilité qu'il s'écoule 1 minute, 3 minutes ou 8 minutes entre les arrivées de deux clients est la même (si T > 8).

La modélisation de processus aléatoires est la direction la plus puissante de la modélisation mathématique moderne.

Un événement est dit aléatoire s’il est imprévisible de manière fiable. Le hasard entoure notre monde et joue le plus souvent un rôle négatif dans nos vies. Cependant, il existe des circonstances dans lesquelles le hasard peut être utile. Dans les calculs complexes, où le résultat souhaité dépend des résultats de nombreux facteurs, modèles et mesures, il est possible de réduire la quantité de calcul en utilisant des valeurs aléatoires de chiffres significatifs.

Dans la modélisation probabiliste, diverses méthodes sont utilisées pour résoudre des problèmes de divers domaines. Les domaines d'application des méthodes probabilistes sont énumérés ci-dessous.

Méthode de modélisation statistique : résolution de problèmes de valeurs limites de physique mathématique, résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires, méthodes d'inversion matricielle et de grille pour résoudre des systèmes qui s'y réduisent équations différentielles, calcul d'intégrales multiples, solution d'équations intégrales, problèmes Physique nucléaire, dynamique des gaz, filtration, génie thermique.

Méthode de modélisation par simulation : modélisation des systèmes de files d'attente, tâches des systèmes de contrôle automatisés, des systèmes de contrôle automatique et des systèmes de contrôle de processus, problèmes de sécurité de l'information, modélisation de situations de jeu complexes et de systèmes dynamiques.

Méthode d'approximation stochastique : algorithmes récurrents pour résoudre des problèmes d'estimation statistique.

Méthode de recherche aléatoire : résolution de problèmes d'optimisation de systèmes en fonction de grand nombre paramètres, trouver les extrema d'une fonction d'un grand nombre de variables.

Autres méthodes : méthodes probabilistes de reconnaissance de formes, modèles d'adaptation, formation et auto-apprentissage.

Dans la modélisation mathématique informatique de processus aléatoires, on ne peut se passer d'ensembles de nombres dits aléatoires qui satisfont à une loi de distribution donnée. En fait, ces nombres sont générés par un ordinateur à l'aide d'un algorithme spécifique, c'est-à-dire ils ne sont pas complètement aléatoires, ne serait-ce que parce que lorsque le programme sera redémarré avec les mêmes paramètres, la séquence se répétera ; ces nombres sont appelés « pseudo-aléatoires ».

Pour un utilisateur pas trop exigeant, les capacités du capteur (générateur) de nombres aléatoires intégré à la plupart des langages de programmation sont généralement suffisantes. Ainsi, dans le langage Pascal, il existe une fonction aléatoire dont les valeurs sont des nombres aléatoires de la plage. Son utilisation est généralement précédée de l'utilisation de la procédure de randomisation, qui sert initialement à « configurer » le capteur, c'est-à-dire recevoir différentes séquences de nombres aléatoires pour chaque appel au capteur. Pour les problèmes dont la solution nécessite des séquences non corrélées très longues, le problème devient plus compliqué et nécessite des

1. Caractéristiques de la modélisation par simulation des systèmes de production

Pour analyse systèmes de production, qui sont très complexes, diversifiés, ne disposent pas d'une description mathématique exhaustive et passent également par un certain nombre d'étapes de conception, de mise en œuvre et de développement, il n'est pas possible de construire des modèles mathématiques adéquats, qu'ils soient logiques ou numériques. Il est naturel ici d’utiliser des méthodes de modélisation par simulation.

Le système peut être décrit sans ambiguïté par un ensemble de valeurs de paramètres de production caractéristiques de chaque état spécifique. Si ces valeurs sont saisies dans l'ordinateur, leurs modifications au cours du processus de calcul peuvent être interprétées comme simulant la transition du système d'un état à un autre. Sous ces hypothèses, la simulation peut être considérée comme une représentation dynamique d’un système en le faisant passer d’un état à un autre selon ses règles de fonctionnement caractéristiques.

Lors de la simulation des systèmes de production, des changements dans leur état se produisent à des moments discrets. Le concept principal de la simulation d'un système dans ce cas est d'afficher les changements de son état au fil du temps. Ainsi, le facteur déterminant ici est l'identification et la description sans ambiguïté des états du système modélisé.

Les modèles de simulation permettent, sans utiliser de dépendances analytiques ou autres dépendances fonctionnelles, d'afficher des objets complexes constitués d'éléments hétérogènes entre lesquels existent diverses connexions. Les humains peuvent également être inclus dans ces modèles.

Sans complications fondamentales, ces modèles peuvent inclure des flux à la fois déterministes et stochastiques (matériaux et informations). Grâce à la simulation, vous pouvez visualiser les relations entre les postes de travail, les flux de matières et de produits, les véhicules et le personnel.

Malgré ces avantages évidents, consistant principalement en l'étendue et la polyvalence des applications, cette méthode perd de vue l'existence de connexions logiques, ce qui exclut la possibilité d'une optimisation complète des solutions obtenues à l'aide de ce modèle. Seule la possibilité de sélectionner la meilleure des options consultées est garantie.

En pratique, la modélisation par simulation dans de nombreux cas réels est la seule méthode de recherche possible. Après avoir développé un modèle de simulation, des expérimentations informatiques sont réalisées sur celui-ci, qui permettent de tirer des conclusions sur le comportement du système de production.

L'émergence et le développement de méthodes de modélisation par simulation informatique sont également devenus possibles grâce au développement de la méthode de test statistique, qui a permis de simuler des événements et des processus aléatoires qui occupent une grande place dans la production réelle.

Lors de l'élaboration d'un modèle de simulation et de son utilisation pour modéliser l'objet étudié, il est nécessaire de résoudre plusieurs problèmes interdépendants. Ceux-ci inclus:

analyse du système simulé et préparation de sa description formalisée, comprenant l'identification de l'information et de la structure logique du système, l'identification de ses composants, la sélection des paramètres caractérisant l'état de ces composants, le développement modèle informatique un système capable de reproduire son comportement, en planifiant une expérience pour dérouler les événements dans un modèle informatique qui reflète les événements du système simulé ;

développement d'une méthodologie pour les expériences statistiques informatiques, y compris la génération de nombres aléatoires ou pseudo-aléatoires, la simulation de divers événements aléatoires, le traitement de données statistiques;

mener l'expérience informatique proprement dite sur un modèle de simulation, y compris gérer les paramètres et les variables du modèle lors de son étude sur un ordinateur.

ont été décrits ci-dessus diverses méthodes modélisation de processus aléatoires, où l'aspect fondamental du problème a été principalement considéré. Cette section présente les résultats de l'utilisation de ces méthodes pour modéliser des processus normaux stationnaires avec des types courants de fonctions de corrélation. En même temps, tout le nécessaire a été fait travail préparatoire et des algorithmes de modélisation simples adaptés à une utilisation directe ont été obtenus. De plus, des exemples sont donnés mise en œuvre pratique algorithmes de modélisation.

Dans le tableau 2.2 les types de fonctions de corrélation et les spectres d'énergie des processus simulés et les algorithmes correspondants sont donnés. Les explications nécessaires sont données ci-dessous.

Tableau 2.2.

Suite du tableau 2.2.

Suite du tableau 2.2.

Suite du tableau 2.2.

Un processus aléatoire continu normal stationnaire donné avec une fonction de corrélation est représenté sur un ordinateur numérique sous la forme d'une séquence discrète de ses valeurs liées au temps, où est le pas d'échantillonnage et est un argument entier. Tous les algorithmes discutés ici sont conçus pour obtenir des implémentations discrètes et illimitées dans le temps d'un processus aléatoire simulé sur un ordinateur numérique. Tous ces algorithmes sont basés sur le principe de transformer une séquence de nombres aléatoires indépendants normalement distribués de paramètres (0, 1) (bruit blanc discret) en une séquence corrélée selon la loi

Les processus aléatoires avec fonctions de corrélation, placés dans le tableau sous les n° 1-5, appartiennent à la classe des processus aléatoires à densité spectrale rationnelle. Pour modéliser de tels processus, le plus pratique est l'utilisation d'équations aux différences (§ 2.3), qui conduisent à des algorithmes ne comportant pas d'erreurs méthodologiques et se réduisant à de simples relations de récurrence. Les algorithmes n° 1 à 5 sont obtenus en utilisant cette méthode.

Les algorithmes n° 1 et 2 pour la modélisation de processus avec des fonctions de corrélation exponentielle et exponentielle-cosinus ont déjà été évoqués au § 2.3 et ne nécessitent pas d'explication.

Les algorithmes n° 2 à 5 sont les mêmes et ne diffèrent que par les valeurs des paramètres, dont la détermination dans chaque cas spécifique se résume à des calculs utilisant les formules données dans le tableau. 2.2. Lors de la dérivation des expressions pour calculer les paramètres des formules récurrentes dans les algorithmes n° 3 à 5, les transformations évoquées au § 2.3 en utilisant l'exemple de la fonction de corrélation exponentielle-cosinus ont été utilisées : densité spectrale les séquences pour chaque type de fonction de corrélation ont été écrites selon (2.51), la sommation des séries infinies correspondantes dans les deux sens a été réalisée selon des tableaux de valeurs unilatérales transformations discrètes Laplace et factorisation des numérateurs du rationnel fractionnaire résultant fonctions spectrales a été réalisée en factorisant les polynômes (les polynômes avaient un ordre pas supérieur au second) puis en utilisant les racines des polynômes selon les expressions (2.61) et (2.62). Les dénominateurs des fonctions spectrales ont été automatiquement factorisés.

Pour simuler les processus aléatoires n° 6-8, qui n'appartiennent pas à la classe des processus à densité spectrale rationnelle, la méthode de sommation glissante a été utilisée comme la plus efficace dans dans ce cas.

Selon les algorithmes n°6 à 8, la séquence est obtenue par la méthode de sommation glissante de la séquence avec poids. Les expressions des coefficients de pondération ont été obtenues en intégrant les spectres énergétiques des processus à l'aide de la formule (2.12). Il a été supposé que la fréquence d'échantillonnage pour le processus aléatoire n° 6 [un processus avec un spectre uniforme dans la bande] est supérieure ou égale à et . Concernant les procédés n°7, 8, il a été supposé que la fréquence d'échantillonnage est suffisamment élevée, pour que limite supérieure dans l'intégrale (2.12) peut être pris égal à l'infini. Par conséquent, les expressions des coefficients dans les algorithmes n° 7, 8 doivent être utilisées lorsque . Remplacer la limite finie par une limite infinie a permis dans ce cas de réduire les intégrales de type (2.12) à des intégrales tabulaires.

Les algorithmes n° 6 à 8 sont approximatifs, cependant, en augmentant le paramètre, l'erreur méthodologique peut être rendue négligeable. Avec les valeurs sélectionnées et l'erreur de la méthode est facilement estimée en convoluant les coefficients de poids. Un exemple de calcul de coefficients et de calcul de l'erreur de la méthode pour un processus aléatoire avec fonction de corrélation n°8 a été donné plus haut au § 2.2. Le même paragraphe fournit une description de l'algorithme de modélisation du processus aléatoire n°9 [voir. algorithme (2.48)].

Les algorithmes donnés dans le tableau. 2.2 ont été soumis à des tests pratiques. La vérification a été réalisée en développant sur un ordinateur numérique des implémentations de processus aléatoires simulés d'une longueur de 1000 échantillons à et à valeurs données paramètres et . À partir de ces réalisations, des exemples de fonctions de corrélation ont été calculées et comparées aux fonctions de corrélation données. Les nombres aléatoires indépendants initiaux ont été générés selon le programme standard du capteur de nombres aléatoires normal pour l'ordinateur numérique M-20.

Pendant la production Valeurs initiales implémentations des processus aléatoires n° 1 à 5 comme des valeurs d'échantillon de nombres aléatoires normaux indépendants avec des paramètres (0, 1) ont été prises.

En figue. 2.5 montré sections initiales implémentations d'une longueur de 400 échantillons de certains processus aléatoires de la table. 2.2 ; Pour faciliter la mise en œuvre, ils sont représentés sous forme de ligne continue. À côté des implémentations sont présentées les fonctions de corrélation données (ligne continue) ainsi que les fonctions de corrélation calculées sur l'ordinateur numérique à l'aide de ces implémentations (ligne pointillée). Les graphiques sont marqués des mêmes numéros que les fonctions de corrélation dans le tableau. 2.2. Valeurs des paramètres et . choisi de manière à ce que les intervalles de corrélation pour tous les processus simulés soient approximativement les mêmes. La figure montre un bon accord entre les fonctions de corrélation spécifiées et celles de l'échantillon.

Le processus aléatoire avec la fonction de corrélation n° 2 est non différentiable, donc ses implémentations ne sont pas aussi fluides que les quatre autres implémentations de processus aléatoires différentiables.

Entre les implémentations n°2 et 3, ainsi qu'entre les implémentations n°6, 7, on peut remarquer une certaine similitude, qui s'explique par le fait que les implémentations ont été formées sur un calculateur numérique en transformant la même implémentation discrète bruit blanc.

Au début des mises en œuvre n°2, 3, des émissions négatives assez importantes sont visibles. Ces valeurs aberrantes sont le résultat d’une distorsion des sections initiales des processus simulés due au processus transitoire. Vraiment, conditions initiales sont choisis de manière à ce que seuls les processus aléatoires n°1 et n°5-9 soient stationnaires dès le début.

Afin de se débarrasser du processus transitoire lors de la modélisation des processus aléatoires n° 2 à 4, lors du calcul de leurs valeurs initiales, au lieu de nombres aléatoires indépendants, comme cela a été accepté ci-dessus, il est nécessaire de prendre un vecteur aléatoire à quatre dimensions avec une corrélation matrice

En conclusion, nous soulignons quelques techniques qui nous permettent d’élargir la classe des processus aléatoires normaux stationnaires simulés grâce à de simples transformations des algorithmes discutés ci-dessus.

On sait, par exemple, que lors de la sommation de plusieurs processus aléatoires normaux stationnaires indépendants, un processus aléatoire normal stationnaire est formé, fonction de corrélation qui est égal à la somme des fonctions de corrélation des termes. Par conséquent, si la fonction de corrélation d’un processus est la somme de deux ou plusieurs fonctions de corrélation du tableau. 2.2, alors des implémentations discrètes de ce processus peuvent être formées en additionnant deux ou plusieurs implémentations indépendantes obtenues à l'aide des algorithmes ci-dessus. Si, par exemple, la fonction de corrélation du processus simulé a la forme

alors l'algorithme de génération de ses implémentations discrètes s'écrira sous la forme

C'est un processus aléatoire

où , transforme les implémentations et en implémentation d'un processus aléatoire avec fonction de corrélation (2.83).

Pour calculer discret fonctions trigonométriques et il convient d'utiliser l'algorithme récurrent (1.3), alors l'algorithme (2.84) s'écrira sous la forme

Information brève

Les processus aléatoires étudiés par modélisation de simulation (méthode de Monte Carlo) comprennent notamment les processus associés à la formation et au service des files d'attente (les processus dits faire la queue). La tâche la plus simple de cette classe est la suivante. Il existe un système de file d'attente avec un centre de service (un magasin avec un vendeur, une zone de réparation dans une flotte de véhicules, une salle d'urgence avec un médecin, un central téléphonique avec une entrée, un serveur avec un canal d'entrée, etc.). Les clients recourent aux services du système de manière aléatoire (avec fonction donnée répartition des plages horaires entre les arrivées). Si le système est libre, il commence immédiatement à servir le client, sinon il le met dans une file d'attente. La durée de service pour chaque client est une variable aléatoire dont la loi de distribution est connue.

Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de répondre à des questions telles que « quelle est la fonction de distribution de probabilité du temps d’attente du client dans la file d’attente ? « quel est le temps d'arrêt du système en attente des clients ? », « si ces fonctions elles-mêmes sont difficiles à déterminer, alors quelles sont leurs principales caractéristiques importantes(c'est-à-dire espérance mathématique, variance, etc.) ?

La base de cette tâche est le processus aléatoire d'entrée des clients dans le système de services. Les intervalles entre les arrivées de toute paire consécutive de clients sont des événements aléatoires indépendants distribués selon une certaine loi. La nature réelle de cette loi ne peut être établie que par de nombreuses observations ; En tant que fonction de densité de probabilité du modèle la plus simple, nous pouvons prendre une distribution équiprobable dans la plage temporelle de 0 à quelques T- l'intervalle maximum possible entre les arrivées de deux clients consécutifs. Avec cette répartition, la probabilité qu'il s'écoule 1 minute, 3 minutes ou 8 minutes entre les arrivées de deux clients est la même (si T> 8 minutes).

Une telle répartition est évidemment irréaliste ; En réalité, pour la plupart des processus de file d'attente, la fonction de distribution passe de t= 0, a un maximum à une certaine valeur t = τ et diminue rapidement dans son ensemble t, ceux. a la forme montrée sur la Fig. 7.6.

Bien sûr, vous pouvez choisir beaucoup fonctions élémentaires, ayant qualitativement cet aspect. En théorie des files d'attente, la famille des fonctions de Poisson est largement utilisée

Où λ - une constante P- entier arbitraire.

Les fonctions (35) ont un maximum en x = p/λ et normalisé.

Le deuxième processus aléatoire de ce problème, qui n'a rien à voir avec le premier, est déterminé par une séquence d'événements aléatoires - la durée du service pour chaque client. La distribution de probabilité de la durée du service a la même aspect de qualité, comme dans le cas précédent.

Par exemple, dans le tableau de la colonne UN des nombres aléatoires sont enregistrés - intervalles entre les arrivées des clients (en minutes), dans la colonne DANS - nombres aléatoires - durée du service (en minutes). Pris pour certitude un maximum= 10 et b max= 5.

Riz. .6. Représentation schématique de la densité de probabilité de la répartition temporelle entre les apparitions des clients dans un système de file d'attente

A partir de ce petit tableau, il est bien entendu impossible d'établir quelles lois de répartition sont acceptées pour les quantités UN Et DANS. Les colonnes restantes sont fournies pour faciliter l'analyse ; les nombres qui y sont inclus sont trouvés par calcul élémentaire. La colonne C montre temps conditionnel arrivée du client ; D- moment du début du service ; E- fin de service; F- la durée pendant laquelle le client a passé dans le système dans son ensemble ; G- temps passé à faire la queue pour obtenir un service ; N- temps passé par le système à attendre les clients (s'il n'y en a pas). Il est pratique de remplir le tableau horizontalement, en passant de ligne en ligne. Depuis le début de la prestation le prochain client est déterminé soit par l'heure de son arrivée, si le système n'est pas occupé, soit par l'heure de départ du client précédent, nous vous présentons pour plus de commodité formules correspondantes(en eux je= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c je+1 = c je + une je+1 ; ré 1 = 0, ré je+1 = max(c je+l, e je);(36a)

e 1 = b 1 e je = ré je + b je ; f je = e je + c je ; g1 = 0 ; g je+1 = f je+1 + b je+1 h 1 = 0; h je+1 = ré je+1 - e je(36b)

Ainsi, étant donné les séries aléatoires de nombres dans les colonnes A et B, les clients devaient faire la queue (colonne G), et le système était inactif en attendant le client (colonne N).

Lors de la modélisation de systèmes de ce type, la première question qui se pose est la suivante : quel est le temps moyen dont vous disposez pour faire la queue ? Il semble facile de répondre - il vous suffit de trouver

(37)

dans certaines séries de tests. De même, vous pouvez trouver la valeur moyenne de h . Il est plus difficile de répondre à la question de la fiabilité des résultats obtenus ; Pour ce faire, vous devez effectuer plusieurs séries de tests et utiliser méthodes standards statistiques mathématiques (un traitement utilisant la distribution de Student est souvent approprié).

Plus un problème compliqué- quelle est la distribution des variables aléatoires g Et N pour des distributions données de variables aléatoires UN Et DANS? Vous pouvez essayer d’obtenir une réponse qualitative à cette question en construisant des histogrammes appropriés basés sur les résultats de la simulation. Ensuite, une hypothèse est formulée sur le type de distribution et un ou plusieurs critères statistiques sont utilisés pour tester la fiabilité de cette hypothèse.

Disposant d'une fonction de répartition (même empirique, mais assez fiable), il est possible de répondre à toute question sur la nature du processus d'attente. Par exemple : quelle est la probabilité d’attendre plus longtemps T minutes? La réponse sera obtenue si nous trouvons le rapport de surface trapèze courbé, limité par le calendrier densité de distribution, droite x = t Et y=0 superficie de la figure entière.

Questions de contrôle

1. Qu'est-ce qu'un « processus aléatoire » ?

2. Quels sont les principes de la génération informatique de nombres aléatoires uniformément distribués ?

3. Comment peut-on obtenir une séquence de nombres aléatoires avec une loi de distribution de Poisson ?

4. Qu'est-ce qu'un « système de file d'attente » ? Donne des exemples.

5. Quelle est la méthode de Monte Carlo pour calculer les superficies chiffres plats? volumes de corps ?

6. Quels exemples de processus aléatoires pouvez-vous donner ?

Sujets de dissertation

1. Principes de génération informatique de séquences de nombres aléatoires et critères statistiques déterminer les propriétés des séquences.

2. Méthodes traitement statistique résultats obtenus à partir de la modélisation informatique de processus aléatoires.

Sujet séminaires

Obtention de séquences de nombres aléatoires avec donné par la loi distributions.

Travaux de laboratoire

1. Lors de l'exécution de ce travail, il est nécessaire de générer de longues séquences de nombres pseudo-aléatoires avec une loi de distribution de probabilité donnée. Elle peut s'appuyer sur un capteur standard de nombres aléatoires uniformément répartis, intégré au système de programmation appliqué, utilisant l'une des procédures de conversion de cette séquence en une séquence avec la loi de distribution souhaitée (par exemple, la procédure « sélection-échec »). .

2. L'une des tâches centrales de la modélisation des processus aléatoires consiste à trouver les caractéristiques des variables aléatoires qui font l'objet de la modélisation. La principale de ces caractéristiques est la fonction de distribution. Son apparence peut être évaluée qualitativement à partir de l'histogramme construit lors de la simulation et de l'hypothèse sur forme fonctionnelle vérifier en utilisant l'un des critères standards utilisés dans statistiques mathématiques(par exemple, critère % 2). Cependant, cela n'est pas toujours conseillé, surtout si le problème nécessite de déterminer uniquement certaines caractéristiques d'une variable aléatoire - le plus souvent la valeur moyenne et la variance. Ils peuvent être trouvés sans modéliser la fonction de distribution elle-même. Où évaluation statistique la fiabilité des résultats est obligatoire.

3. Il convient d'afficher les résultats de la simulation sur l'écran de l'ordinateur sous la forme suivante : sous forme de tableaux de valeurs de la valeur calculée (généralement en plusieurs échantillons), sous forme d'histogrammes de distribution de variables aléatoires construits lors de la simulation.

4. Il est conseillé, dans la mesure du possible, d'accompagner la modélisation de simulation d'une visualisation visuelle du processus correspondant sur l'écran de l'ordinateur (le processus de formation de file d'attente, la naissance et la disparition d'objets dans les problèmes de modélisation de population, etc.).

Temps de réalisation approximatif 16 heures.

Affectation à travail de laboratoire

Réaliser une simulation du processus aléatoire spécifié et évaluer la fiabilité des résultats obtenus à l'aide de critères statistiques.

Options de tâche

Option 1

Simulez une file d'attente dans un magasin avec un vendeur selon les lois de distribution équiprobables des variables aléatoires décrites ci-dessus : l'arrivée des clients et la durée du service (pour un certain ensemble fixe de paramètres). Obtenir des caractéristiques stables : valeurs moyennes d'attente en file d'attente de l'acheteur et de temps d'inactivité du vendeur en attendant l'arrivée des acheteurs. Évaluez leur fiabilité. Évaluer la nature de la fonction de distribution des quantités g Et h.

Option 2

Réalisez la même modélisation avec les lois de Poisson de distribution de probabilité des événements d'entrée : l'arrivée des clients et la durée du service (pour un certain ensemble fixe de paramètres).

Option 3

Réalisez la même modélisation sous la loi normale de distribution de probabilité des événements d'entrée : l'arrivée des clients et la durée du service (pour un certain ensemble fixe de paramètres).

Option 4

Dans le système évoqué ci-dessus, une situation critique peut survenir lorsque la file d'attente augmente sans limite au fil du temps. En fait, si les clients entrent très souvent dans le magasin (ou si le vendeur est trop lent), la file d'attente commence à s'allonger, et dans le système considéré avec dernière fois une crise de service viendra.

Construire une relation entre les quantités (a max, b max), reflétant la bordure du spécifié situation critique, avec une distribution également probable des événements d'entrée.

Option 5

Sur l'interurbain échange de téléphone deux opérateurs téléphoniques servent une file d'attente commune de commandes. La commande suivante est servie par l'opérateur téléphonique qui s'est révélé le premier disponible. Si les deux sont occupés au moment de la réception de la commande, l'appel est annulé et vous devez rappeler. Modélisez le processus en considérant que les flux d'entrée sont de Poisson.

Option 6

Simulez la situation décrite dans la version précédente, mais supposez que si au moment de tenter de passer une commande les deux opérateurs téléphoniques sont occupés, une file d'attente se forme.

Option 7

Laissez le central téléphonique avec une entrée être utilisé système conventionnel: si l'abonné est occupé, alors la file d'attente ne se forme pas et vous devez rappeler. Simulez la situation : trois abonnés tentent d'appeler le même propriétaire du numéro et, en cas de succès, lui parlent pendant un certain temps (durée aléatoire). Quelle est la probabilité que quelqu'un essayant d'appeler ne puisse pas le faire dans certaine heure T?

Option 8

Simulez la situation décrite dans la version précédente, mais supposons que si au moment de la tentative de contact, le téléphone de l'abonné est occupé, une file d'attente se forme.

Option 9

Il n’y a qu’un seul médecin travaillant aux urgences. La durée de traitement d'un patient et les intervalles de temps entre les admissions des patients sont des variables aléatoires distribuées selon la loi de Poisson. Selon la gravité des blessures, les patients sont divisés en trois catégories : l'admission d'un patient de n'importe quelle catégorie : Événement aléatoire avec une distribution de probabilité égale. Le médecin traite d'abord les patients présentant les blessures les plus graves (dans l'ordre de leur admission), puis, s'il n'y en a pas, les patients présentant des blessures modérées (dans l'ordre de leur admission), et ensuite seulement - les patients présentant des blessures mineures. Modélisez le processus et estimez les temps d’attente moyens dans la file d’attente pour les patients de chaque catégorie.

Option 10

Simulez la situation décrite dans la version précédente, à condition que deux médecins travaillent aux urgences et que les patients soient répartis en deux catégories au lieu de trois.

Option 11

Un tisserand dessert un groupe de métiers à tisser, effectuant selon les besoins des interventions à court terme, dont la durée est une variable aléatoire. Quelle est la probabilité d’arrêt de deux machines à la fois ? Quelle est la durée moyenne du temps d’arrêt d’une machine ?

Option 12

Simulez la situation décrite dans la version précédente, si un groupe de métiers à tisser est desservi conjointement par deux tisserands.

Option 13

DANS Le parc automobile de la ville compte deux zones de réparation. One - sert aux réparations de courte et Durée moyenne, l'autre - à moyen et long terme (c'est-à-dire que des réparations à moyen terme peuvent être effectuées par chacune des zones). Au fur et à mesure des pannes, les véhicules sont livrés à la flotte ; intervalle de temps entre les livraisons - aléatoire Valeur de Poisson. La durée de la réparation est une variable aléatoire avec loi normale distributions. Modélisez le système décrit. Quels sont les délais d'attente moyens pour les véhicules nécessitant respectivement des réparations à court, moyen et long terme ?

Option 14

Implémenter le modèle de simulation modélisation statistique pour résoudre le problème de Buffon (XVIIIe siècle). L'auteur a découvert analytiquement que si sur un champ représenté graphiquement par des lignes parallèles, la distance qui les sépare L, jette une aiguille au hasard je, alors la probabilité que l'aiguille traverse au moins une ligne droite est déterminée par la formule .

Cette tâche a fourni un moyen définition de simulation Nombres P. En effet, si L = 2l, Que . Pendant la simulation, effectuez ce calcul.

Option 15

Développer un modèle de marche aléatoire unidimensionnel (le modèle « ivrogne »). La marche est définie selon la règle : si le nombre aléatoire du segment est inférieur à 0,5, alors un pas est fait vers la droite d'une distance h, sinon - à gauche. La distribution des nombres aléatoires est supposée équiprobable.

Résoudre le problème : quelle est la probabilité qu'une telle marche s'éloigne du point de départ de P. pas?

Option 16

DANS conditions du problème de la version précédente, obtenez une réponse à la question : quelle est la probabilité qu'un « ivrogne » revienne après P. entre dans point de départ?

Option 17

Un point erre aléatoirement sur un plan le long des nœuds d'une grille carrée avec la possibilité de faire probabilité égale pas de gauche à droite de haut en bas à un pas fixe (en un seul mouvement). Le mouvement s'effectue dans un espace fermé volume rectangulaire, et au contact du mur se produit reflet du miroir d'elle.

Lors de la simulation, répondez à la question : comment la fréquence des visites à chaque nœud est-elle liée à la distance qui le sépare du nœud à partir duquel le mouvement commence.

Option 18

Modélisez la même situation que dans la tâche de l'option 17, à condition que la zone d'errance soit illimitée et répondez à la question posée.

Option 19

Simulez le vol d'une abeille. Sur un plan (clairière), les plantes mellifères poussent de manière aléatoire avec une concentration donnée (pour 1 m2). Au centre se trouve une ruche d'où s'envole une abeille. Une abeille peut voler d'une plante à n'importe quelle autre plante, mais la probabilité de choix diminue de façon monotone avec l'augmentation de la distance entre les plantes (selon une loi). Quelle est la probabilité qu’une abeille visite une plante spécifique donnée en quantité spécifiée vols de base ?

Option 20

Implémenter un modèle plat mouvement brownien P. particules dans un rectangle. Considérons les particules comme des boules de taille finie. Les impacts des particules les unes sur les autres et sur les murs doivent être modélisés comme absolument élastiques. Déterminez dans ce modèle la dépendance de la pression du gaz sur les parois sur le nombre de particules.

Option 21

Développer en détail et mettre en œuvre un modèle de mélange (diffusion) de gaz dans une cuve fermée. DANS moment de départ temps, chaque gaz occupe la moitié du récipient. À l'aide de ce modèle, étudiez la dépendance du taux de diffusion sur divers paramètres d'entrée.

Option 22

Implémenter un modèle de simulation du système « prédateur-proie » selon le schéma suivant.

L’« île » de 20x20 est habitée par des lapins sauvages, des loups et des louves. Il existe plusieurs représentants de chaque espèce. Les lapins à chaque instant avec la même probabilité de 1/9 se déplacent vers l'un des huit carrés voisins (à l'exception des zones limitées littoral) ou restez simplement assis, immobile. Chaque lapin a une probabilité de 0,2 de se transformer en deux lapins. Chaque louve se déplace aléatoirement jusqu'à ce que le lapin qu'elle chasse se trouve dans l'une des huit cases adjacentes. Si la louve et le lapin sont sur la même case, la louve mange le lapin et marque un point. Sinon, elle perd 0,1 point.

Les loups et les louves avec zéro point meurent. Au moment initial, tous les loups et toutes les louves ont 1 point. Le loup se comporte comme une louve jusqu'à ce que tous les lapins des cases voisines disparaissent ; puis, si la louve se trouve dans l'une des huit cases voisines, le loup la poursuit.

Si un loup et une louve se trouvent sur le même carré et qu’il n’y a pas de lapin à manger, ils donnent naissance à une progéniture de sexe aléatoire.

Observez les changements de population sur une période de temps. Surveillez comment les changements dans les paramètres du modèle affectent l’évolution des populations.

Option 23

Pour modéliser le processus de propagation de l'infection par la teigne sur une zone de peau de la taille P. X p(p- impairs) cellules.

On suppose que la cellule cutanée infectée d’origine est la cellule centrale. À chaque intervalle de temps, une cellule infectée peut infecter n’importe quelle cellule saine voisine avec une probabilité de 0,5. Après six unités de temps, la cellule infectée devient immunisée contre l'infection, l'immunité qui en résulte dure les quatre unités de temps suivantes, puis la cellule s'avère saine. Lors de la simulation du processus décrit, la sortie État actuel zone cutanée simulée à chaque intervalle de temps, notant les cellules infectées, résistantes à l'infection et saines.

Observez comment les changements dans la taille du champ et la probabilité d’infection affectent les résultats de la simulation.

Option 24

Développer en détail et mettre en œuvre un modèle de répartition des polluants environnement particules d'une substance émises dans l'atmosphère par une cheminée d'usine (par exemple, cendres résultant de la combustion du charbon dans une centrale électrique). Considérons que le mouvement d'une particule est constitué de deux composantes : plan horizontal- sous l'influence de rafales de vent aléatoires, à la verticale - sous l'influence de la gravité.

littérature supplémentaire

1. Bailey N. Méthodes statistiques en biologie : Trad. de l'anglais - M. : IL, 1962.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Introduction à la théorie des files d'attente. - M. : Nauka, 1966.

3. Saati T.Éléments de théorie des files d'attente et ses applications : Trad. de l'anglais - M. : Sov. radio, 1991.

4. Shannon R. Modélisation par simulation des systèmes - art et science : Trad. de l'anglais - M. : Mir, 1978.

Tests pour le chapitre 7

Considérons les algorithmes de modélisation des processus stationnaires normaux et aléatoires de Markov. Ces procédés sont largement utilisés comme modèles mathématiques divers types de processus réels se produisant dans des systèmes techniques complexes. Nous présentons ci-dessous quelques définitions et concepts essentiels adoptés dans le cadre de la corrélation et théories spectrales fonctions aléatoires.

Fonction aléatoire est une fonction d'un argument non aléatoire t, qui pour chaque valeur fixe de l'argument est Variable aléatoire. Fonction aléatoire temps appelé processus aléatoire. Fonction aléatoire coordonnées les points dans l'espace sont appelés champ aléatoire. Vue spécifique, acceptée par un processus aléatoire à la suite de l'expérience, est appelée la réalisation (trajectoire) du processus aléatoire. Toutes les réalisations obtenues d'un processus aléatoire constituent un ensemble de réalisations. Les valeurs des réalisations à des instants précis (tranches de temps) sont appelées valeurs instantanées du processus aléatoire.

Introduisons la notation suivante : X(t) - processus aléatoire ; x i (t) - i-ème implémentation du processus X(t) ; x i (t j) - valeur instantanée du processus X(t), correspondant à la i-ème implémentation au j-ème instant. L'ensemble des valeurs instantanées correspondant aux valeurs des différentes implémentations au même instant t j sera appelé la j-ème séquence du processus X(t) et noté x(t j). De ce qui précède, il s'ensuit que les arguments d'un processus aléatoire peuvent être le temps et le numéro de mise en œuvre. A cet égard, deux approches pour étudier les propriétés d'un processus aléatoire sont légitimes : la première repose sur l'analyse d'un ensemble d'implémentations, la seconde opère avec un ensemble de séquences - tranches de temps. La présence ou l'absence de dépendance des valeurs des caractéristiques probabilistes d'un processus aléatoire au temps ou au nombre de mise en œuvre détermine telle propriétés fondamentales processus, tels que la stationnarité et l’ergodicité. Stationnaire le processus s'appelle caractéristiques probabilistes qui ne dépend pas du temps. Ergodique est un processus dont les caractéristiques probabilistes ne dépendent pas du numéro d’implémentation.

Le processus aléatoire est appelé normale(ou gaussien), s'il est unidimensionnel et lois bidimensionnelles les distributions de chacune de ses sections sont normales. Les caractéristiques complètes d’un processus aléatoire normal sont son espérance mathématique et sa fonction de corrélation. Pour un processus aléatoire normal stationnaire, le MOF est constant et la fonction de corrélation dépend uniquement de la différence entre les instants pour lesquels les ordonnées du processus aléatoire sont prises ( =t 2 -t 1). Pour un processus aléatoire stationnaire, avec un écart suffisamment grand de l'ordonnée du processus aléatoire X(t 2) par rapport à son espérance mathématique m x à l'instant t 2 devient pratiquement indépendant de la valeur de cet écart à l'instant t 1 . Dans ce cas, la fonction de corrélation K(t), qui donne la valeur du moment de connexion entre X(t 2) et X(t 1), tendra vers zéro. Par conséquent, K() peut soit diminuer de façon monotone, comme le montre la figure 2.2, soit avoir la forme illustrée à la figure 2.3. Une fonction de la forme (Fig. 2.2.), en règle générale, est approximée par les expressions :

(2.38)

et une fonction de forme (Fig. 2.3.) - avec des expressions :

Figure 2.2. Figure 2.3.

La stabilité d'un processus aléatoire stationnaire dans le temps nous permet de remplacer l'argument - le temps - par une variable auxiliaire qui, dans de nombreuses applications, a la dimension de la fréquence. Ce remplacement vous permet de simplifier considérablement les calculs et d'obtenir une plus grande clarté des résultats. La fonction résultante (S()) est appelée densité spectrale d'un processus aléatoire stationnaire et est mutuellement liée à la fonction de corrélation transformations inverses Fourier :

(2.42)

(2.43)

Il existe d'autres normalisations de densité spectrale, par exemple :

(2.44)

A partir des transformées de Fourier, il est facile d'obtenir, par exemple, pour un processus aléatoire avec K(t) de la forme (2.38) :

(2.45)

Un processus aléatoire stationnaire, dont la densité spectrale est constante (S(w)=S=const), est appelé stationnaire. bruit blanc. La fonction de corrélation du bruit blanc stationnaire est égale à zéro pour tous, ce qui signifie que deux de ses sections ne sont pas corrélées.

Le problème de la modélisation d'un processus aléatoire normal stationnaire (SNSP) peut être formulé comme le problème de trouver un algorithme permettant d'obtenir des implémentations discrètes de ce processus sur un ordinateur. Le processus X(t) est remplacé avec une précision donnée par le processus correspondant X(nDt) de temps discret t n = nDt (Dt est le pas d'échantillonnage du processus, n est un argument entier). En conséquence, le processus aléatoire x(t) sera associé à des séquences aléatoires :

xk [n]=xk (nDt), (2.46)

où k est le numéro de mise en œuvre.

Évidemment, un membre arbitraire d'une séquence aléatoire x(nDt) peut être considéré comme une fonction aléatoire de son nombre, c'est-à-dire argument entier n et, ainsi, exclure Dt de la considération, qui est prise en compte lors de l'écriture (2.46). De plus, pour distinguer un argument entier d’un argument variant continuellement, il est placé entre crochets.

Les séquences aléatoires sont souvent appelées processus aléatoires discrets ou séries chronologiques.

On sait qu'en ajoutant à fonction aléatoire une variable non aléatoire ne modifie pas la valeur de la fonction de corrélation. Ainsi, en pratique, des processus aléatoires centrés sont très souvent modélisés (le MOR est égal à zéro), à partir duquel on peut toujours passer au réel en ajoutant le MOR aux membres de la séquence aléatoire simulant le processus aléatoire.

Pour les séquences aléatoires, la fonction de corrélation et la densité spectrale sont calculées à partir des dépendances :

(2.47)

(2.48)

Réduire un processus aléatoire à une séquence aléatoire signifie essentiellement le remplacer par un vecteur multidimensionnel. Par conséquent, la méthode considérée de modélisation de vecteurs aléatoires est, d'une manière générale, adaptée à la modélisation de processus aléatoires spécifiés sur un intervalle de temps fini. Cependant, pour les processus aléatoires normaux stationnaires, il y a plus méthodes efficaces construction d'algorithmes de modélisation. Considérons deux méthodes les plus largement utilisées dans la pratique.