પ્રકરણ 1. ઉમેરો. કાર્ટેશિયન ટ્રાન્સફોર્મેશન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સપ્લેનમાં અને અવકાશમાં. પ્લેનમાં અને અવકાશમાં વિશેષ સંકલન પ્રણાલીઓ.
પ્લેનમાં અને અવકાશમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ બનાવવાના નિયમોની ચર્ચા પ્રકરણ 1 ના મુખ્ય ભાગમાં કરવામાં આવી છે. લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સનો ઉપયોગ કરવાની સગવડની નોંધ લેવામાં આવી હતી. મુ વ્યવહારુ ઉપયોગવિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના માધ્યમો, ઘણી વખત અપનાવવામાં આવેલી સંકલન પ્રણાલીને બદલવાની જરૂર હોય છે. આ સામાન્ય રીતે અનુકૂળતાના વિચારણાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: ભૌમિતિક છબીઓ સરળ બનાવવામાં આવે છે, વિશ્લેષણાત્મક મોડેલો અને ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતા બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ વધુ સ્પષ્ટ બને છે.
બાંધકામ અને ઉપયોગ ખાસ સિસ્ટમોકોઓર્ડિનેટ્સ: ધ્રુવીય, નળાકાર અને ગોળાકાર નિર્ધારિત છે ભૌમિતિક અર્થમાંસમસ્યા હલ થઈ રહી છે. વિશિષ્ટ સંકલન પ્રણાલીઓનો ઉપયોગ કરીને મોડેલિંગ ઘણીવાર વ્યવહારિક સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં વિશ્લેષણાત્મક મોડેલોના વિકાસ અને ઉપયોગની સુવિધા આપે છે.
પ્રકરણ 1 ના પરિશિષ્ટમાં મેળવેલ પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે રેખીય બીજગણિત, સૌથી વધુ- વી ગાણિતિક વિશ્લેષણઅને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં.
પ્લેન પર અને અવકાશમાં કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટનું પરિવર્તન.
પ્લેનમાં અને અવકાશમાં કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બનાવવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, તે નોંધવામાં આવ્યું હતું કે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ એક બિંદુ પર છેદવાથી રચાય છે. સંખ્યા અક્ષો: વિમાનમાં બે અક્ષો જરૂરી છે, ત્રણ અવકાશમાં. વેક્ટર્સના વિશ્લેષણાત્મક મોડલ્સના નિર્માણના સંબંધમાં, ઓપરેશનની રજૂઆત ડોટ ઉત્પાદનવેક્ટર્સ અને ભૌમિતિક સામગ્રીની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉપયોગ સૌથી વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે.
જો આપણે પરિવર્તનની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ ચોક્કસ સિસ્ટમસંકલન અમૂર્ત રીતે, પછી માં સામાન્ય કેસમાં મનસ્વી હિલચાલને મંજૂરી આપવી શક્ય છે જગ્યા આપી છેઆપખુદ રીતે અક્ષોનું નામ બદલવાના અધિકાર સાથે અક્ષોનું સંકલન કરો.
આપણે પ્રાથમિક ખ્યાલથી શરૂઆત કરીશું સંદર્ભ સિસ્ટમો , ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સ્વીકૃત. મૃતદેહોની હિલચાલનું અવલોકન કરતાં ખબર પડી કે હલચલ છે અલગ શરીરપોતે નક્કી કરી શકાતું નથી. તમારી પાસે ઓછામાં ઓછું એક વધુ શરીર હોવું જરૂરી છે જેની હિલચાલ જોવા મળે છે, એટલે કે તેમાં ફેરફાર સંબંધિત જોગવાઈઓ વિશ્લેષણાત્મક મોડેલો, કાયદાઓ અને ગતિ મેળવવા માટે, એક સંકલન પ્રણાલી આ બીજા શરીર સાથે સંકળાયેલી હતી, એક સંદર્ભ પ્રણાલી તરીકે, અને એવી રીતે કે સંકલન પ્રણાલી નક્કર !
અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા સ્થાને કઠોર શરીરની મનસ્વી હિલચાલને બે સ્વતંત્ર હિલચાલ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે: અનુવાદાત્મક અને રોટેશનલ, સંકલન પ્રણાલીને રૂપાંતરિત કરવાના વિકલ્પો બે હલનચલન સુધી મર્યાદિત હતા:
1). સમાંતર સ્થાનાંતરણ: અમે ફક્ત એક બિંદુને અનુસરીએ છીએ - બિંદુ.
2). સંકલન પ્રણાલીની અક્ષોનું પરિભ્રમણ બિંદુને સંબંધિત છે: સખત શરીર તરીકે.
પ્લેન પર કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સનું રૂપાંતર.
ચાલો પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ રાખીએ: , અને . કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સિસ્ટમના સમાંતર અનુવાદ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સિસ્ટમને કોણ દ્વારા ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે, અને પરિભ્રમણની હકારાત્મક દિશાને ધરીના કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ પરિભ્રમણ તરીકે લેવામાં આવે છે.
ચાલો આપણે અપનાવેલ સંકલન પ્રણાલીઓ માટે આધાર વેક્ટર નક્કી કરીએ. સિસ્ટમના સમાંતર સ્થાનાંતરણ દ્વારા સિસ્ટમ મેળવવામાં આવી હોવાથી, આ બંને સિસ્ટમો માટે અમે અનુક્રમે આધારભૂત વેક્ટર: , અને એકમ અને અનુક્રમે સંકલન અક્ષો સાથે દિશામાં એકરૂપ થતા સ્વીકારીએ છીએ. સિસ્ટમ માટે, અમે આધાર વેક્ટર તરીકે લઈએ છીએ એકમ વેક્ટર, અક્ષો સાથે દિશામાં એકરુપ , .
એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપીએ અને તેમાં એક બિંદુ = વ્યાખ્યાયિત કરીએ. અમે ધારીશું કે રૂપાંતર પહેલાં અમારી પાસે એકરૂપ સંકલન પ્રણાલીઓ છે અને . કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર લાગુ કરો સમાંતર ટ્રાન્સફર, વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત. બિંદુના સંકલન પરિવર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે. ચાલો વેક્ટર સમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ: = + , અથવા:
ચાલો આપણે પ્રાથમિક બીજગણિતમાં જાણીતા ઉદાહરણ સાથે સમાંતર અનુવાદના રૂપાંતરણને સમજાવીએ.
ઉદાહરણ ડી–1 : પેરાબોલાનું સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે: = = . આ પેરાબોલાના સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડી દો.
ઉકેલ:
1). ચાલો ટેકનિકનો ઉપયોગ કરીએ સ્રાવ સંપૂર્ણ ચોરસ : = , જેને સરળતાથી આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે: –3 = .
2). ચાલો કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન લાગુ કરીએ - સમાંતર ટ્રાન્સફર := આ પછી, પેરાબોલાનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છે: . બીજગણિતમાં આ રૂપાંતર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: parabola = વિસ્થાપન દ્વારા પ્રાપ્ત સૌથી સરળ પેરાબોલાજમણી બાજુએ 2 અને ઉપર 3 એકમો.
જવાબ: સૌથી સરળ સ્વરૂપપેરાબોલાસ: .
એક કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આપીએ અને તેમાં એક બિંદુ = વ્યાખ્યાયિત કરીએ. અમે ધારીશું કે રૂપાંતર પહેલાં અમારી પાસે એકરૂપ સંકલન પ્રણાલીઓ છે અને . ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પરિભ્રમણ રૂપાંતરણ લાગુ કરીએ જેથી કરીને તેની મૂળ સ્થિતિની સાપેક્ષમાં, એટલે કે, સિસ્ટમની તુલનામાં, તે કોણ દ્વારા ફેરવાય તેવું બહાર આવે. બિંદુ = નું સંકલન પરિવર્તન વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી છે. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વેક્ટર લખીએ અને : = .
તે જ સમયે, કોઈપણ ખૂણા માટે અમારી પાસે છે: 
જે આકૃતિ પરથી એકદમ સરળ રીતે જોવા મળે છે. પછી: = . બાદમાં આ રીતે લખી શકાય છે: = . વેક્ટર સમાનતામાંથી આપણે બિંદુ માટે સંકલન પરિવર્તન મેળવીએ છીએ: .કોપીરાઇટ ઉલ્લંઘન અને
પ્લેનમાં અને અવકાશમાં પરિવર્તન
કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, ફ્લેટ કેસ સાથે સંબંધિત દરેક વસ્તુને સામાન્ય રીતે 2D (2-પરિમાણીય), દ્વિ-પરિમાણીય તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે અને અવકાશી કેસ સાથે સંબંધિત દરેક વસ્તુ 3D છે.
Affine પરિવર્તનોપ્લેનમાં
અફિનિસ - સંબંધિત (લેટિન). કારણ કે આકૃતિઓ affine રૂપાંતરણ હેઠળ સચવાય છે.
ધારો કે કેટલીક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ઓક્સવાય) છે. પછી, દરેક બિંદુ M કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y) ની જોડી સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ O * X * Y * રજૂ કરીને, તમે સમાન બિંદુ M પર કોઓર્ડિનેટ્સની બીજી જોડી (x *,y *) સોંપી શકો છો. એક સિસ્ટમથી બીજી સિસ્ટમમાં સંક્રમણ:
x * =ax+by+c, શરત |a b|¹0 સાથે
y * =dx+ey+f |d e|
આ સૂત્રોને બે રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, ક્યાં તો બિંદુ સાચવવામાં આવે છે અને સંકલન સિસ્ટમ બદલાય છે, અથવા સંકલન સિસ્ટમ સાચવવામાં આવે છે અને બિંદુ બદલાય છે. ભવિષ્યમાં, આ સૂત્રોને આપેલ સંકલન પ્રણાલીમાં બિંદુઓના પરિવર્તન તરીકે ચોક્કસપણે ગણવામાં આવશે. તદુપરાંત, વિચારણા હેઠળની બધી સિસ્ટમો લંબચોરસ હશે (સૂત્રો તમને બિન-લંબચોરસ સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે).
 |
એ નોંધવું જોઈએ કે બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ Mx, My સાથે મૂળમાંથી વેક્ટર તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
પછી રૂપાંતરણ તરીકે લખી શકાય છે વેક્ટર ફોર્મ(આ ફક્ત માટે જ સાચું છે લંબચોરસ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ).
M*=((M-O*)X*,(M-O*)Y*)
પ્રથમના કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજી સિસ્ટમની ઉત્પત્તિના O*-કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે. X*,Y* - પ્રથમના કોઓર્ડિનેટ્સમાં બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના વેક્ટર (વેક્ટર દિશાઓ).
a=(Xx*), b=(Xy*), c=-O*X*
d=(Yx*), e=(Yy*), f=-O*Y*
આ પરિવર્તન મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં પણ લખી શકાય છે
, અથવા 
, જ્યાં વેક્ટરને ફોર્મ 1´2 ના મેટ્રિસિસના સ્વરૂપમાં ગણવામાં આવે છે.
મેટ્રિક્સ C=AB નું એલિમેન્ટ Cij એ મેટ્રિક્સ B ના j-th કૉલમના ઘટકો દ્વારા મેટ્રિક્સ A ની i-મી પંક્તિના ઘટકોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે.
વિપરીત રૂપાંતરણ- રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ, અથવા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો 
, પરંતુ કેસ માટે જ્યારે સિસ્ટમને orts દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે તે સરળ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સટ્રાન્સપોઝ કરેલ એક સમાન.
એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન - ભૌમિતિક પરિવર્તનપ્લેન અથવા સ્પેસ ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ પરિભ્રમણ, અનુવાદ, સંયોજિત કરીને મેળવી શકાય છે. સ્પેક્યુલર પ્રતિબિંબઅને કોઓર્ડિનેટ અક્ષોની દિશામાં સ્કેલિંગ.
પરિભ્રમણ (આર - પરિભ્રમણ). એક ખૂણા પર મૂળની આસપાસ a.
x * =x*cosa-y*sina
y * =x*sina+y*cosa
તાણ, સંકલન અક્ષો સાથે સંકોચન (ડી – વિસ્તરણ).
પ્રતિબિંબ (એમ - અરીસો). એબ્સીસા અક્ષ સાથે સંબંધિત.
ટ્રાન્સફર (ટી - અનુવાદ).
ટ્રાન્સફરને મેટ્રિક્સ દ્વારા વેક્ટરના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી, પરંતુ તે વેક્ટરના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. 
વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં તે સાબિત થાય છે કે કોઈપણ પરિવર્તનને આ સૌથી સરળ પરિવર્તનના અનુક્રમિક અમલ (સુપરપોઝિશન) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
કેટલીકવાર બધા પરિવર્તનોને એકમાં રજૂ કરવા માટે તે અનુકૂળ હોય છે મેટ્રિક્સ ફોર્મ, આ હેતુ માટે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ
સાથે બિંદુ M માટે x,y કોઓર્ડિનેટ્સપ્લેન પર, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ એ x1, x2, x3 સંખ્યાઓનો ત્રિવિધ છે, જે એક સાથે શૂન્ય અને સંબંધો દ્વારા જોડાયેલ છે x1/x3=x, x2/x3=y. સમતલ પર x,y કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ એક સમાન જગ્યામાં xh,y,h,h બિંદુ સાથે સંકળાયેલ છે, સામાન્ય રીતે h=1 (x,y,1).
સામાન્ય રૂપાંતરનિર્દેશ કરે છે સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ ah ફોર્મમાં લખી શકાય છે.
અને મૂળભૂત પરિવર્તન મેટ્રિસિસ આના જેવો દેખાશે:
પરિવર્તનનું સંયોજન.
ધારો કે તમારે કોઈ બિંદુ A ની આસપાસ ખૂણાથી કોઈ બિંદુને ફેરવવાની જરૂર છે.
પ્રથમ, બિંદુ A ને મૂળ તરફ ખસેડો (-Ax,-Ay). આગળનો વારો. આગળ, બિંદુ A. (Ax,Ay) પર પાછા ટ્રાન્સફર કરો. એક રૂપાંતર પ્રાપ્ત કરવું શક્ય છે
અવકાશમાં સંલગ્ન પરિવર્તન
3D અવકાશમાં, એક બિંદુ (વેક્ટર) ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,z), અથવા ચાર સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,z,1) દ્વારા રજૂ થાય છે.
વેક્ટરના ડાબે અને જમણા ત્રિપુટીની વિભાવનાઓ રજૂ કરવી જોઈએ. ત્રણ વેક્ટર a,b,cજમણા હાથે ટ્રિપલ બનાવો જો, વેક્ટરની શરૂઆતને સંયોજિત કર્યા પછી, વેક્ટર c ના અંતથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં જોતા નિરીક્ષકને a થી b સુધીનો સૌથી ટૂંકો વળાંક દેખાય. નિયમ જમણો હાથ- વેક્ટર a કોણી સાથે ગોઠવાયેલ છે, વેક્ટર b હથેળીમાં સમાવવામાં આવેલ છે, વેક્ટર c સાથે એકરુપ છે અંગૂઠો. સંકલન પ્રણાલીને સામાન્ય રીતે જમણેરી કહેવામાં આવે છે જો તેની દિશા વેક્ટર જમણેરી ટ્રિપલ બનાવે છે.
વેક્ટર આર્ટવર્ક c=a´b, c એ બંને વેક્ટર માટે લંબરૂપ વેક્ટર છે, જે તેમની સાથે જમણી બાજુ ટ્રિપલ બનાવે છે.
Cx=Ay*Bz-Az*દ્વારા, Cy=Az*Bx-Ax*Bz, C z=Ax*દ્વારા- Ay*Bx
પરિવર્તનો સમાન રહે છે: પરિભ્રમણ (માત્ર હવે ત્રણ અક્ષોની આસપાસ), ખેંચાણ, પ્રતિબિંબ (ત્રણ વિમાનોની તુલનામાં), સ્થાનાંતરણ.
કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝ રોટેશન, જો ડાબી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ માટે મૂળમાંથી જોવામાં આવે તો (જમણી બાજુ માટે, ઊલટું).
, 
, 
, 
, 
, 
ઉદાહરણ તરીકે, તમારે બિંદુ Aમાંથી પસાર થતા દિશા વેક્ટર L સાથે સીધી રેખા વિશે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સ બનાવવાની જરૂર છે.
1. A ને મૂળમાં સ્થાનાંતરિત કરો
2. X ધરી સાથે સીધી રેખાને સંરેખિત કરવી.
પ્રથમ X ધરીની આસપાસ ફેરવો
કોણ દ્વારા a, cosa=Lz/d, sina=Lx/d, જ્યાં d=
જો d=0 હોય, તો સીધી રેખા પહેલેથી જ X અક્ષ સાથે એકરુપ છે.
પછી એક ખૂણો b દ્વારા Y અક્ષની આસપાસ ફેરવો.
ફેરવાયેલ વેક્ટર (Lx,Ly,Lz,1)=(Lx,0,d,1) છે.
cosb=Lx, sinb=d 
3. X ધરીની ફરતે ઇચ્છિત ખૂણા પર ફેરવો
4. L અક્ષ પર પાછા ફરો,
5. બિંદુ A પર સ્થાનાંતરિત કરો
સામાન્ય મેટ્રિક્સ હશે
ઓર્ટ્સ દ્વારા ઉલ્લેખિત કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં રૂપાંતર
જો સિસ્ટમ પરસ્પર લંબરૂપ એકમ વેક્ટર X*,Y*,Z* ના ટ્રિપલ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
, ઇન્વર્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન – ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સ [R] T
ડિઝાઇન
ડિઝાઇન અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, સૌ પ્રથમ, પ્રદર્શિત કરવા માટે ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થોફ્લેટ સ્ક્રીન પર, પરંતુ અન્ય એપ્લિકેશનો છે, જેમ કે પડછાયાઓ.
ડિઝાઇનના બે સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રકારો છે: સમાંતર અને કેન્દ્રિય (પરિપ્રેક્ષ્ય).
ઑબ્જેક્ટને પ્લેન પર પ્રોજેક્ટ કરતી વખતે, તમારે ઑબ્જેક્ટના દરેક બિંદુ દ્વારા આપેલ પ્રોજેક્ટિંગ બીમમાંથી સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે અને પ્લેન સાથે આ સીધી રેખાના આંતરછેદને શોધવાની જરૂર છે.
મુ સમાંતર ડિઝાઇનબીમમાં સમાંતર રેખાઓ હોય છે, જેમાં મધ્ય ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
સમાંતર અંદાજોને બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જ્યારે બીમ રેખાઓ પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર લંબરૂપ હોય છે - અંદાજોને એકોનોમેટ્રિક કહેવામાં આવે છે, અને જ્યારે નહીં, ત્રાંસી (અમે આવા અંદાજોને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં).
જો કે, સ્ક્રીન પર ઑબ્જેક્ટનું એક્સોનોમેટ્રિક સમાંતર પ્રક્ષેપણ મેળવવા માટે, તમારે બીમની દિશાને એક અક્ષ (સામાન્ય રીતે Z) સાથે જોડવાની જરૂર છે. X અને Y અક્ષો એકરૂપ થશે અક્ષ X,Yસ્ક્રીન પર, અને Z અક્ષને સ્ક્રીનમાં ઊંડે સુધી નિર્દેશિત કરવામાં આવશે.
બિંદુનું પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ મેળવવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર બીમના અદ્રશ્ય બિંદુને મૂકવું અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, Z અક્ષ સાથે સ્ક્રીનની દિશા (અદ્રશ્ય બિંદુથી પ્રક્ષેપણ પ્લેન સુધી લંબ) ગોઠવો, પછી Xp=X*d/Z, Yp=Y*d/Z, જ્યાં d એ મૂળથી પ્રોજેક્શન પ્લેન સુધીનું અંતર છે.
આ પરિવર્તનને મેટ્રિક્સ તરીકે લખી શકાય છે. 
,
એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આવા પરિવર્તનમાં ઊંડાઈ (z) ખોવાઈ જાય છે, પરંતુ તે વેક્ટરના છેલ્લા સંકલનમાંથી ગણતરી કરી શકાય છે.
આ ડિઝાઇન રૂપાંતરણો ઉપરાંત, સ્ક્રીન પર છબી યોગ્ય રીતે દેખાય છે તેની ખાતરી કરવા માટે થોડા વધુ બનાવવા અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. સૌ પ્રથમ, તેને વિન્ડોના કદ સુધી ખેંચવાની જરૂર છે, બીજું, તેને X અક્ષની આસપાસ પ્રતિબિંબિત કરવાની જરૂર છે (કારણ કે Y અક્ષ સામાન્ય રીતે નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે), ત્રીજું, તેને વિન્ડોની મધ્યમાં ખસેડવાની જરૂર છે. બારી
સામાન્ય ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ છે.
Cx,Cy - સ્ક્રીન સેન્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ.
ગુણોત્તર – Y કદ અને X કદનો ગુણોત્તર, વિવિધ સ્ક્રીન રીઝોલ્યુશન માટે અલગ. રિઝોલ્યુશન - એકમ સપાટી દીઠ પોઈન્ટની સંખ્યા, માં આ કિસ્સામાંએકમ - સમગ્ર મોનિટર સ્ક્રીન. મોનિટર સ્ક્રીનનો ગુણોત્તર છે આડું કદવર્ટિકલ 4/3 માટે, તેથી આડા અને વર્ટિકલ પિક્સેલ્સની સંખ્યા સાથેના રિઝોલ્યુશન માટે કે જે આ સંખ્યાના ગુણોત્તર = 1 (ઉદાહરણ તરીકે 640/480) નો બહુવિધ છે. અન્યથા ગુણોત્તર=(4*sizey)/(3*sizex) (320x200 =0.83).
એસ - સ્કેલ પરિબળ, માટે સમાંતર પ્રક્ષેપણમાટે મેન્યુઅલી પસંદ કરેલ છે પરિપ્રેક્ષ્ય પ્રક્ષેપણ S એક સમાન છે, પરંતુ d (ડિઝાઇન પ્લેનનું અંતર) FOV (દૃશ્યના ક્ષેત્ર) ના આધારે ગણવામાં આવે છે. FOV એ બીમમાં સીધી રેખાઓ દ્વારા રચાયેલ મહત્તમ કોણ છે, જે દૃશ્યનો કોણ છે.
FOV સામાન્ય રીતે 50° થી 100° સુધી બદલાય છે, માનવ આંખની FOV 90° છે.
વિશ્વ, મોડેલ અને સ્ક્રીન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ
વિશ્વ એ મુખ્ય સંકલન પ્રણાલી છે જેમાં તમામ દ્રશ્ય વસ્તુઓનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે.
મોડલ - સંકલન સિસ્ટમ જેમાં આંતરિક માળખુંવસ્તુઓ
સ્ક્રીન 
- ઓબ્ઝર્વર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ, જેને કેમેરા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પણ કહેવાય છે.
મોડેલને સામાન્ય રીતે મોડલ સિસ્ટમમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે સિસ્ટમનું કેન્દ્ર ભૌમિતિક અથવા મોડેલના દળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય, X અક્ષ આગળની દિશા સાથે, Y અક્ષ જમણી બાજુએ, અને Z અક્ષ ઉપર તરફ.
મોડેલ M (વેક્ટર) અને ઓરિએન્ટેશન (ક્યાં તો ત્રણ ઓર્ટ્સ અથવા રોલના ત્રણ ખૂણા (X), પિચ (Y), કોર્સ (Z) ના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વિશ્વ સંકલન પ્રણાલીમાં નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, મેટ્રિક્સ છે. પરિભ્રમણના ક્રમ તરીકે રચાય છે). મોડેલ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે પહેલા ઓરિએન્ટેશન મેટ્રિક્સ અનુસાર ફેરવવું જોઈએ અને પછી માં ભાષાંતર કરવું જોઈએ.
કોર્સ રોલ પિચ
કેમેરાની સ્થિતિ અને દિશા મોડેલની સ્થિતિની જેમ બરાબર સેટ કરી શકાય છે. પરંતુ ઘણીવાર, કેમેરાના દૃશ્યની દિશા જ પૂરતી હોય છે. સામાન્ય રીતે (માં વાસ્તવિક જીવન) કેમેરામાં કોઈ રોલ નથી, ᴛ.ᴇ. X અક્ષ (જમણી બાજુએ) હંમેશા આડી હોય છે અને તેથી YZ પ્લેન હંમેશા ઊભી હોય છે.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, જો આપણે ધારીએ કે કેમેરાની Z અક્ષ (જોવાની દિશા) ઊભી નથી, તો આપણે X અક્ષ=નોર્મ(Z´Up) શોધી શકીએ છીએ, જ્યાં Up(0,0,1) એ વર્ટિકલ વેક્ટર છે. X એ વર્ટિકલ વેક્ટર ઉપર લંબરૂપ હશે, જેનો અર્થ આડો છે). છેલ્લે Y=X´Z અક્ષ (ઉપર). ખાતરી કરો કે સિસ્ટમ બાકી રહે છે.
વિશ્વ પ્રણાલીમાંથી પોઈન્ટ્સને સ્ક્રીન પોઈન્ટ્સમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, પહેલા અનુવાદ લાગુ કરવો અને પછી ટ્રાન્સપોઝ્ડ કેમેરા ઓરિએન્ટેશન મેટ્રિક્સ T દ્વારા ફેરવવું મહત્વપૂર્ણ છે.
જો કે, મોડલ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી કોઈ બિંદુને સ્ક્રીન કોઓર્ડિનેટ્સમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, નીચેનું ટ્રાન્સફોર્મેશન T કરવું અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. આવા પરિવર્તનો પછી, Z અક્ષને દૃશ્યની દિશા સાથે નિર્દેશિત કરવામાં આવશે અને ડિઝાઇન કરી શકાય છે.
વ્યાખ્યાન 6-7-8
પ્લેન પર અને અવકાશમાં પરિવર્તન - ખ્યાલ અને પ્રકારો. 2017, 2018 "પ્લેન પર અને અવકાશમાં પરિવર્તન" શ્રેણીનું વર્ગીકરણ અને લક્ષણો.
ચાલો પ્લેન પર (અથવા અવકાશમાં) કેટલાક વેક્ટર લઈએ (ફિગ. 142). સંલગ્ન રૂપાંતર દરમિયાન, પોઈન્ટ અનુક્રમે પોઈન્ટમાં રૂપાંતરિત થાય છે જે નવી ફ્રેમની સાપેક્ષમાં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે પોઈન્ટ જૂના ફ્રેમની તુલનામાં હતા. કારણ કે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે પ્રારંભિક બિંદુતેના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી, પછી નવા બેન્ચમાર્કને લગતા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જૂના બેન્ચમાર્કને સંબંધિત વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે. તેથી:
સંલગ્ન રૂપાંતરણ દરમિયાન, વેક્ટર એવા વેક્ટર સાથે સંકળાયેલું હોય છે જે, નવી ફ્રેમની સાપેક્ષમાં, તે જ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે વેક્ટર પાસે જૂના ફ્રેમની તુલનામાં હોય છે.
અહીંથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે affine ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ સમાન વેક્ટરસમાન મેળ ખાય છે, તેથી:
2° પ્લેન (અવકાશ) નું સંલગ્ન રૂપાંતરણ પ્લેનના તમામ મુક્ત વેક્ટર (રેસ્પ. સ્પેસ) ની વિવિધતા V નું એક-થી-એક મેપિંગ બનાવે છે.
આ પરિવર્તન છે નીચેની મિલકતરેખીયતા: જો આપેલ પરિવર્તન સાથે, વેક્ટર u, v વેક્ટર u, v ને અનુરૂપ હશે, તો વેક્ટર વેક્ટરને અનુરૂપ હશે, અને વેક્ટર લાઇ વેક્ટરને અનુરૂપ હશે (આ તરત જ પર જઈને સાબિત કરી શકાય છે. કોઓર્ડિનેટ્સ). રેખીયતાની મિલકતમાંથી તે નીચે મુજબ છે:
જો આપેલ અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન માટે વેક્ટર્સ વેક્ટરને અનુરૂપ હોય, તો કોઈપણ રેખીય સંયોજન
વેક્ટર્સ રેખીય સંયોજનને અનુરૂપ છે
વેક્ટર્સ (સમાન ગુણાંક સાથે).
કારણ કે સંલગ્ન રૂપાંતરણ દરમિયાન શૂન્ય વેક્ટર દેખીતી રીતે શૂન્યને અનુલક્ષે છે, તે જે સાબિત થયું હતું તેના પરથી તે અનુસરે છે:
4° એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે રેખીય અવલંબનવેક્ટર્સ સાચવેલ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બે કોલિનિયર વેક્ટર કોલિનિયરમાં ફેરવાય છે, કોઈપણ ત્રણ કોપ્લાનર વેક્ટરકોપ્લાનર બનો).
5° એફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં વ્યસ્ત રૂપાંતર એ એફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે.
વાસ્તવમાં, જો પ્લેનનું આપેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન A એ ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન, જોવામાં સરળ છે તેમ, ટ્રાન્સફોર્મેશન A થી રૂપાંતર વિપરિત છે.
તે જ જગ્યા માટે જાય છે.
અમે જોયું છે કે અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ વેક્ટરની રેખીય અવલંબન સચવાય છે. સાચવેલ અને રેખીય સ્વતંત્રતાવેક્ટર્સ:
6° એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન A હેઠળ, દરેક રેખીય નથી આશ્રિત સિસ્ટમતેમના વેક્ટર્સ, . રેખીય રીતે સ્વતંત્ર એકમાં પસાર થાય છે - અન્યથા, A ના affine રૂપાંતરણ વિપરિત સાથે, એક રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ અને, . રેખીય રીતે સ્વતંત્ર બનશે, જે આપણે જાણીએ છીએ, અશક્ય છે.
કારણ કે ફ્રેમ એક રેખીય સિસ્ટમ છે સ્વતંત્ર વેક્ટર(બે પ્લેન પર, ત્રણ અવકાશમાં) આપેલ બિંદુ O પર લાગુ કરવામાં આવે છે, પછી એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ દરેક ફ્રેમ એક ફ્રેમ બની જાય છે. વધુમાં, એક દરખાસ્ત છે
7° એફાઈન મેપિંગ સાથે (ફ્રેમ I થી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવે છે) દરેક ફ્રેમ II ફ્રેમમાં જાય છે [ અને દરેક બિંદુ M (દરેક વેક્ટર u) બિંદુ M (વેક્ટર પર) જાય છે અને ફ્રેમને સંબંધિત સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ M અને વેક્ટર અને બેન્ચમાર્ક II ના સાપેક્ષ હતા.
પ્લેનના કિસ્સામાં અને અવકાશના કિસ્સામાં સાબિતી સમાન છે. ચાલો આપણે આપણી જાતને વિમાનના કિસ્સામાં મર્યાદિત કરીએ. ચાલો II ને ફ્રેમ (ફિગ. 143) બનાવીએ, અને ફ્રેમને પ્રથમ વેક્ટરને લગતું નિવેદન બનવા દો. જો વેક્ટરમાં સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો . પરંતુ પછી વેક્ટરની છબી 3° ગુણધર્મ દ્વારા, વેક્ટર છે
બેન્ચમાર્કને સંબંધિત કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. ચાલો બિંદુ M પાસે સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત કોઓર્ડિનેટ્સ હોય.
પછી, જેથી, અગાઉના એક અનુસાર, સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત, સેક્ટર OM, અને તેથી બિંદુ M, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. નિવેદન સાબિત થયું છે.
સાબિત થયેલ નિવેદન નોંધપાત્ર છે: તે તેના પરથી અનુસરે છે કે, અમુક ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા એક અફીન ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, અમે કોઈપણ ફ્રેમને પ્રારંભિક તરીકે લઈને અને તે કઈ ફ્રેમમાં જવું જોઈએ તે સૂચવીને તેને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.
હમણાં જ કરેલી ટિપ્પણીની અરજી તરીકે, અમે સાબિત કરીએ છીએ કે બે સંલગ્ન રૂપાંતરણોનું ઉત્પાદન એ એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે.
ખરેખર, ફ્રેમ I થી ફ્રેમ II માં સંક્રમણ દ્વારા affine ટ્રાન્સફોર્મેશન આપવામાં આવે છે. હમણાં જ જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, આપણે ફ્રેમ II થી અમુક ફ્રેમ III માં ખસેડીને એક અફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. પછી ફ્રેમ I થી ફ્રેમ III માં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન દેખીતી રીતે રૂપાંતર અને રૂપાંતરનું ઉત્પાદન છે.
રિમાર્ક 1. 1° - 7° અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનના ન્યાયી સાબિત ગુણધર્મો દેખીતી રીતે એક પ્લેનથી બીજા પ્લેન (ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશનું એક ઉદાહરણ) સાથે બીજા પ્લેન સાથેના affine મેપિંગ માટે પણ ધરાવે છે.
પ્લેન અથવા અવકાશનું સમાન રૂપાંતર એ દેખીતી રીતે જ એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે. યાદ કરો કે એફીનમાં રૂપાંતર વિપરિત એફીન છે. છેવટે, જેમ આપણે હમણાં જ સાબિત કર્યું છે, બે સંલગ્ન રૂપાંતરણોનું ઉત્પાદન એ એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે. અહીંથી - § 6, ફકરો 6, પરિશિષ્ટમાં આપેલ શરતના આધારે - નીચેનો મુખ્ય સિદ્ધાંત તરત જ અનુસરે છે:
પ્રમેય 1. તમામ સમતલ (અવકાશ) રૂપાંતરણોના જૂથમાં, સંલગ્ન પરિવર્તનો પેટાજૂથ બનાવે છે.
સંલગ્ન રૂપાંતરણોમાં, હલનચલન એ હકીકત દ્વારા અલગ પડે છે કે તેઓ એક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાંથી બીજામાં સંક્રમણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, તે પણ લંબચોરસ અને સમાન સ્કેલ ધરાવે છે. ગતિમાં વ્યસ્ત રૂપાંતર એ ગતિ છે, અને બે ગતિનું ઉત્પાદન ગતિ છે. કારણ કે ઓળખ પરિવર્તનછે ખાસ કેસગતિ, તો પછી (પ્રમેય 1 સાથે સંપૂર્ણ સામ્યતામાં) આપણી પાસે પણ છે
પ્રમેય 1. તમામ સંલગ્ન રૂપાંતરણોના જૂથમાં, ગતિ એક પેટાજૂથ બનાવે છે.
અમે અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ અને મેપિંગના સરળ ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ.
ત્રણ બિંદુઓ સમરેખા હોય છે અને જો વેક્ટર સમરેખા હોય તો જ. અને સબંધિત રૂપાંતરણ દરમિયાન વેક્ટર્સની સમન્વય સચવાયેલી હોવાથી, બિંદુઓની સમકક્ષતા પણ સચવાય છે. તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:
અફાઈન મેપિંગ (પ્લેન અથવા સ્પેસનું) સાથે, એક સીધી રેખા સીધી રેખા બની જાય છે.
હવે અમે આ હકીકતનો બીજો પુરાવો આપીશું.
એક affine મેપિંગ આપવા દો. તે એ હકીકતમાં સમાવે છે કે દરેક બિંદુ M કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (માં સંકલન સિસ્ટમ) બિંદુ M પર જાય છે, જે બીજી સિસ્ટમમાં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:
9° આપેલ અફિન મેપિંગ સાથે (ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત), તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જેના કોઓર્ડિનેટ્સ (સંકલન સિસ્ટમમાં) કેટલાક સમીકરણને સંતોષે છે તે બિંદુઓના સમૂહમાં જાય છે જેના સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન સંતોષે છે. સમીકરણ
ખાસ કરીને, સમીકરણ સાથે સીધી રેખા
(સિસ્ટમમાં) એક સીધી રેખામાં જશે જે સમાન સમીકરણ ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર સંકલન સિસ્ટમમાં.
એ જ રીતે, જગ્યાના સંલગ્ન પરિવર્તન સાથે (ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત), સિસ્ટમમાં સમીકરણ ધરાવતું પ્લેન
સમાન સમીકરણ (2) ધરાવતા પ્લેનમાં જાય છે, પરંતુ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં.
અવકાશમાં તેના "સામાન્ય સમીકરણ" દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા
અથવા તેનું એક અથવા બીજું વિશિષ્ટ સંસ્કરણ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સમીકરણ
આપેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે, તે એક સીધી રેખામાં રૂપાંતરિત થશે જે સમાન સમીકરણો ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં. તેથી તે સાબિત થયું છે
પ્રમેય 2. વિમાનના અનુક્રમે અવકાશના સંલગ્ન રૂપાંતર સાથે, સીધી રેખાઓ સીધી રેખાઓમાં જાય છે, વિમાનો વિમાનોમાં જાય છે.
તે જ સમયે, સમાનતા જાળવી રાખવામાં આવે છે.
વાસ્તવમાં, જો બે સીધી રેખાઓ (અથવા બે વિમાનો, અથવા એક સીધી રેખા અને એક સમતલ) સમાંતર હોય, તો ફ્રેમને સંબંધિત તેમના સમીકરણો જાણીતી સમાંતર સ્થિતિને સંતોષે છે; પરંતુ આ રેખાઓ (વિમાન) ની છબીઓ ફ્રેમના સંદર્ભમાં સમાન સમીકરણો ધરાવે છે, અને તેથી, સમાન સમાનતાની સ્થિતિને સંતોષે છે.
રિમાર્ક 2. એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ સમાનતાની જાળવણી એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને પણ અનુમાન કરી શકાય છે કે એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન એક-થી-એક છે.
ખરેખર, કોઈપણ એક-થી-એક મેપિંગ માટે (ઉદાહરણ તરીકે, પોતાના પર એક જગ્યા), બે (કોઈપણ) સમૂહોના આંતરછેદની છબી એ આ સમૂહોની છબીઓનું આંતરછેદ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ એક-થી-એક મેપિંગ હેઠળ બે છેદતા સમૂહો છેદે છે.
તે અનુસરે છે કે પ્લેનના સંલગ્ન રૂપાંતરણ સાથે ત્યાં બે સમાંતર રેખાઓ હોય છે, અને જગ્યાના સંલગ્ન મેપિંગ સાથે બે હોય છે. સમાંતર વિમાનોસમાંતર બની; સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેની સમાંતરતાની મિલકત પણ સચવાય છે.
અવકાશમાં બે સમાંતર રેખાઓ આપવા દો; તેઓ એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે અને છેદે નથી. અવકાશના સંલગ્ન રૂપાંતર સાથે, આ બે રેખાઓ બે રેખાઓમાં ફેરવાઈ જશે જે એક જ પ્લેનમાં પણ છે અને છેદતી નથી, એટલે કે બે સમાંતર રેખાઓમાં.
પ્રમેય 3. જ્યારે પ્લેન (અવકાશ) નું સંલગ્ન રૂપાંતર રેખા d ને રેખામાં રૂપાંતરિત કરે છે, ત્યારે રેખા d નો એક સેગમેન્ટ રેખાના સેગમેન્ટમાં જાય છે અને રેખા d ના બિંદુ M સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે આ સંદર્ભે K, બિંદુ પર જાય છે
M એ સમાન ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજીત કરતી સીધી રેખા d છે (ફિગ. 144).
પુરાવો. સકારાત્મક A માટે આપણે સેગમેન્ટની અંદર પડેલા પોઈન્ટ્સ મેળવીએ છીએ (અનુક્રમે, અને ઋણ માટે - આ સેગમેન્ટની બહાર), પછી પ્રથમ પ્રમેય 3 ના બીજા વિધાનમાંથી અનુસરે છે. અમે પ્રમેય 3 ના બીજા વિધાનને સાબિત કરીએ છીએ, પોતાને આ કિસ્સામાં મર્યાદિત કરીએ છીએ. પ્લેન (સંકલન સિસ્ટમમાં) આપણી પાસે છે
કારણ કે બિંદુ M એ સેગમેન્ટને , પછીના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે
અવકાશમાં આ સમાનતાઓ સમાનતા દ્વારા પૂરક બનશે. આ સંલગ્ન રૂપાંતરણ સાથે, પોઈન્ટ પોઈન્ટ જેવા જ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પોઈન્ટમાં ફેરવાઈ જશે, પરંતુ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં. આ કોઓર્ડિનેટ્સ હજુ પણ સંબંધો (3) દ્વારા જોડાયેલા છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ MM ગુણોત્તરમાં વિભાજીત થાય છે. આ પ્રમેય 3 સાબિત કરે છે.
ચાલો, અવકાશના એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન A હેઠળ, પ્લેનને પ્લેન પર મેપ કરવામાં આવે. ચાલો પ્લેનમાં કેટલાક સંદર્ભ બિંદુ લઈએ, એટલે કે, અમુક બિંદુ o (ફિગ. 145) પર લાગુ બિન-કોલીરી વેક્ટર્સની જોડી. A ને રૂપાંતર કરતી વખતે, પ્લેન વિશેનો બિંદુ પ્લેન વિશેના બિંદુમાં જશે, નોન-કોલિનિયર વેક્ટર્સ નોન-કોલિનિયર વેક્ટર્સમાં જશે, એટલે કે, પ્લેનમાંથી સંદર્ભ બિંદુ પ્લેનના સંદર્ભ બિંદુ પર જશે.
પ્લેનમાં પડેલું કોઈપણ વેક્ટર પછી તે સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેનમાં પડેલા વેક્ટરમાં ફેરવાઈ જશે જે વેક્ટર સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત હતું. તે આનાથી અનુસરે છે કે પ્લેનનો કોઈપણ બિંદુ M પ્લેનના એક બિંદુ M પર જશે, જે સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત છે, તે જ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે બિંદુ M પાસે સંદર્ભ બિંદુની તુલનામાં પ્લેનમાં હતો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રમેય 4. ચાલો, અવકાશના સંલગ્ન રૂપાંતરણ હેઠળ, પ્લેન i પ્લેનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. પછી રૂપાંતરણ A ચોક્કસ સંદર્ભ સમતલમાં મનસ્વી સંદર્ભ પ્લેનનો નકશો બનાવે છે અને પ્લેનના દરેક બિંદુ M ને પ્લેનનો એક બિંદુ M અસાઇન કરે છે, જે સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં, બિંદુ M પાસે સંદર્ભની તુલનામાં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. બિંદુ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: રૂપાંતરણ A પ્લેન અને પ્લેનનું એફિન મેપિંગ બનાવે છે.
જેમ તમે અનુમાન કરી શકો છો, જગ્યા સાથે બધું પ્લેન જેવું જ છે. પ્લેનમાં સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં એપી સંબંધિત તમામ નિયમો અવકાશમાં સચવાય છે, પ્લેનમાં હતી તે બધી સમસ્યાઓ અવકાશમાં રહે છે. એવું માની શકાય છે કે આ બધા નિયમો કોઈપણ માટે માન્ય છે n-પરિમાણીય જગ્યા. તમારે શું સારી રીતે યાદ રાખવાની જરૂર છે: ત્યાં છે વિવિધ ખ્યાલો: ત્રિજ્યા વેક્ટર આવશ્યકપણે CG માં એક બિંદુ છે, અને મુક્ત વેક્ટર એ ફક્ત દિશા છે, અને ત્રીજો ખ્યાલ સામાન્ય છે. તેમના માટે પરિવર્તનો અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અવકાશમાં બધું સમાન છે, અને અવકાશમાં તે વધુ સુસંગત છે, કારણ કે ત્રિ-પરિમાણીય ગ્રાફિક્સમાં ઘણી સમસ્યાઓ છે જે પ્લેનમાં વારંવાર આવતી નથી અથવા આવતી નથી.
તેથી, અવકાશમાં આપણી પાસે ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ x, y, z છે અને એકરૂપતાની મિલકત મેળવવા માટે W કોઓર્ડિનેટ વધુમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. AP માટે પણ આપણે ધારીએ છીએ કે W=1 અને પછી (x, y, z) = ( , )
સામાન્ય કિસ્સામાં પરિવર્તનને વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે - એક પંક્તિ અને રૂપાંતર મેટ્રિક્સ - સ્લાઇડ 29:
મેટ્રિક્સમાં 12 ગુણાંક છે. બ્લોક (3x3) (જેમ કે 2D બ્લોકમાં (2x2)) પરિવર્તન માટે જવાબદાર છે - પરિભ્રમણ, સ્કેલિંગ... નીચેની લાઇન સમાંતર અનુવાદ માટે જવાબદાર છે, જમણી સ્તંભ પરિપ્રેક્ષ્ય પરિવર્તન માટે જવાબદાર હોવી જોઈએ, પરંતુ અમે ધ્યાનમાં લઈશું નહીં. આ મુદ્દાઓ હમણાં માટે. ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ સમાન દેખાવ અને અર્થ ધરાવે છે - (સ્લાઇડ 30)
અને વળાંક - (સ્લાઇડ 31)
જો આપણે બિંદુને ફેરવવાનું ઉદાહરણ યાદ કરીએ, તો તે અવકાશમાં એટલી સરળતાથી કરી શકાતું નથી. પ્લેન પર ગણવામાં આવેલ પરિભ્રમણ અનિવાર્યપણે Z અક્ષની આસપાસ કરવામાં આવતું હતું, અને જો તે અવકાશમાં અમુક બિંદુને ફેરવવા માટે જરૂરી હોય, તો તે સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ કરી શકાતું નથી. સરળ ક્રિયા. દ્વારા તેનું વર્ણન કરવામાં આવશે ત્રણ મેટ્રિક્સ- Z અક્ષ, X અક્ષ, Y અક્ષની આસપાસ, એટલે કે. તેને સંખ્યાબંધ અલગ-અલગ ક્રિયાઓમાં વિભાજિત કરવાની જરૂર પડશે - ત્રણ ઘટકોમાં.
વધુ એક નોંધ - મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક 1 ની બરાબર છે. આનો અર્થ એ છે કે પરિભ્રમણ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઑબ્જેક્ટ તેનું કદ બદલશે નહીં અને કોઈપણ વિકૃતિમાંથી પસાર થશે નહીં, એટલે કે. નક્કર શરીરની જેમ વર્તે છે. આ શરીરને અવકાશમાં જરૂરી ઓરિએન્ટેશન આપી શકાય છે. સમાંતર ટ્રાન્સફર વિશે પણ એવું જ કહી શકાય.
ત્યાં વધુ છે સાર્વત્રિક પદ્ધતિમૂળમાંથી પસાર થતી મનસ્વી અક્ષ વિશે પરિભ્રમણ કરવું. આવા રૂપાંતરનું મેટ્રિક્સ QUATERNIONS પર બનેલ છે અને નીચે આપેલ છે:
તમારે તમારી જાતને ક્વાટર્નિયન્સ સાથે પરિચિત થવું જોઈએ!
ચતુર્થાંશ વિશે નોંધ.
છેલ્લો સંબંધ મેળવતી વખતે, ક્વાટર્નિઅન્સની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આ હાઇપર કોમ્પ્લેક્સ નંબરોની સિસ્ટમ છે (હેમિલ્ટન દ્વારા 1843 માં પ્રસ્તાવિત, તે સમયે ઇંગ્લેન્ડના મુખ્ય ખગોળશાસ્ત્રી).
ચતુર્થાંશ એક જોડી છે (a, ū ). a એ સ્કેલર છે, વાસ્તવિક સંખ્યા. ū - ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો વેક્ટર. ક્વાટર્નિઅન્સ હાઇપર કોમ્પ્લેક્સ નંબરોની સિસ્ટમ (શ્રેણી) બનાવે છે, અન્ય સંખ્યા શ્રેણીની જેમ. ટૂંકમાં, આ 4-ઘટક છે ગાણિતિક અમૂર્તતેના પોતાના ગુણધર્મો અને ઉમેરણ અને ગુણાકારની કામગીરી કરવા માટેના નિયમો સાથે. સામાન્ય રીતે ચતુર્થાંશને a+bi+cj+dk સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે, જ્યાં a,b,c,d – વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, અને i,j,k અફર છે કાલ્પનિક એકમો, અને તેમના માટે તે નિર્ધારિત છે
i 2 =j 2 =k 2 =ijk= -1;
ઉદાહરણો સંખ્યા શ્રેણી:
કુદરતી: 1,2,3,4,5….
પૂર્ણાંકો: 0,1,-1,2,-2,…
તર્કસંગત: 1;-1;1/2; 0.12,..
વાસ્તવિક: તર્કસંગત + અતાર્કિક: π, e, ,….
જટિલ:-1; ½; π; 3i+z; -еiπ/3;… (અગાઉના તમામનો સમાવેશ કરો)
ચતુર્થાંશ: 1; -1; 1/2; હું; j; k; πj-1/2k; ...
9. ત્રિ-પરિમાણીય પરિવર્તનનું ઉદાહરણ - કેમેરા મેટ્રિક્સ બનાવવું -(સ્લાઇડ 34)
ઘણી વાર અવલોકનથી દ્રશ્યમાં ફેરફાર જરૂરી છે. તે. ત્યાં અમુક દ્રશ્ય છે અને તમે ત્રિ-પરિમાણીય પરિવર્તન મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને અવલોકનને આ દ્રશ્યમાં બદલવા માંગો છો.
અમે ધારીએ છીએ કે વર્ચ્યુઅલ ઓબ્ઝર્વર (કેમેરા) અમુક બિંદુએ "C" માં સ્થિત છે ઓર્થોગોનલ સિસ્ટમ સંકલન U, V, N
અને બીજી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ છે - X,Y,Z (વિશ્વ). વિશ્વ કોઓર્ડિનેટ્સ અવકાશમાં પદાર્થોની સાચી સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે. સ્ક્રીન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સોકેટ પર ઇમેજને સંશ્લેષણ (બનાવવા) માટે બનાવવામાં આવી છે. વિમાન આ સિસ્ટમ દ્વિ-પરિમાણીય અથવા ત્રિ-પરિમાણીય હોઈ શકે છે. ઇમેજ ડિવાઇસની સિસ્ટમ તરીકે અન્ય કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સ પણ છે જે આપેલ સ્વરૂપમાં ઇમેજને પ્રદર્શિત કરે છે.
પ્રોજેક્શન- ગ્રાફિક ઉપકરણ પર ઑબ્જેક્ટ પ્રદર્શિત કરવાની પદ્ધતિ: પ્લેન અથવા સપાટી પર સ્ક્રીન, કાગળ, ફેબ્રિક અથવા અન્ય સામગ્રી માધ્યમ.
અમે ધારીશું કે બંને સંકલન પ્રણાલી જમણા હાથની છે, અને કેમેરામાંની એક અને વિશ્વ એક છે. આનો અર્થ એ છે કે Z અક્ષ આપણી સામે છે. તમામ દિશા વેક્ટર સામાન્ય અને કુદરતી રીતે ઓર્થોગોનલ છે. ગણતરીઓના સમૂહને ઘટાડવા માટે આ જરૂરી છે. કૅમેરા C ને પ્રોગ્રામમાં ઉલ્લેખિત અમુક એક-વખત, વન-ટાઇમ એબ્સ્ટ્રેક્શન તરીકે ગણવામાં આવવો જોઈએ. તે અગાઉથી ગોઠવી શકાય છે અને પછી તમામ ઑબ્જેક્ટ્સ પર લાગુ કરી શકાય છે.
રૂપરેખાંકિત કરવાનો અર્થ શું છે? સમાયોજિત કરવાનો અર્થ એ છે કે તમામ વેક્ટરને ઓર્થોનર્મલાઈઝ કરવું અને તેમને અન્ય CS માં વેક્ટર - દિશાઓ સાથે સંકલન કરવું. અને પછી જ્યાં સુધી પરિસ્થિતિની જરૂર હોય ત્યાં સુધી તેને લાગુ કરો.
આપણે શું જોવા જઈ રહ્યા છીએ? અમે એવા રૂપાંતરણની શોધ કરીશું જે વિશ્વ સંકલન પ્રણાલીમાંથી ઑબ્જેક્ટને નિરીક્ષકની સંકલન પ્રણાલીમાં સ્થાનાંતરિત કરે છે.
અમે તે કેવી રીતે કરીશું?
પ્રથમ, ચાલો કૅમેરાને (- C z), (- C y), (- C x); પછી આપણે ફેરવીશું, અને એવી રીતે કે -U અક્ષ X અક્ષ સાથે, V Y અક્ષ સાથે અને N અક્ષ Z અક્ષ સાથે એકરુપ થાય; તે અમે ફોર્મમાં ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ શોધીશું: અનુવાદ-રોટેશન.
કૅમેરા કોઓર્ડિનેટ્સ (x,y,z) સાથે સ્થિત બિંદુ "C" માં હોવાથી, તેનું રિવર્સ ટ્રાન્સફર કરવું જરૂરી છે: ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ સ્લાઇડ 33 પર બતાવવામાં આવે છે.
જ્યાં T એ ટ્રાન્સફર મેટ્રિક્સ છે
સંલગ્ન રૂપાંતરણ એ છે જે રેખાઓની સમાંતરતાને જાળવી રાખે છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે કોણ અથવા લંબાઈ હોય.
કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સમાં, દરેક વસ્તુ જે તેનાથી સંબંધિત છે દ્વિ-પરિમાણીય કેસ, સામાન્ય રીતે 2D (2-પરિમાણ) પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ધારો કે પ્લેનમાં એક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરવામાં આવી છે. પછી દરેક બિંદુ M ને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 1) ની સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી (x, y) સોંપવામાં આવે છે.
ઉપરોક્ત સૂત્રોને બે રીતે ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે: કાં તો બિંદુ સાચવવામાં આવે છે અને સંકલન પ્રણાલીમાં ફેરફાર થાય છે, આ કિસ્સામાં મનસ્વી બિંદુ M સમાન રહે છે, ફક્ત તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) (x*, y*) બદલાય છે, અથવા બિંદુ બદલાય છે અને કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ આ કિસ્સામાં સાચવવામાં આવે છે આ કિસ્સામાં, સૂત્રો એક મેપિંગને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે એક મનસ્વી બિંદુ M(x, y) ને M*(x*, y*) સુધી લઈ જાય છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ છે સમાન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત. ભવિષ્યમાં, અમે સૂત્રોનું એક નિયમ તરીકે અર્થઘટન કરીશું કે પ્લેનના બિંદુઓ આપેલ રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ્સની સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્લેનના સંલગ્ન પરિવર્તનોમાં વિશેષ ભૂમિકાસારી રીતે શોધી શકાય તેવી ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતા કેટલાક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસ ચલાવો. ભૌમિતિક અર્થની શોધ કરતી વખતે સંખ્યાત્મક ગુણાંકઆ કિસ્સાઓ માટેના સૂત્રોમાં તે ધારવું અનુકૂળ છે આપેલ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ લંબચોરસ કાર્ટેશિયન છે.
સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી તકનીકો છે: કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ: અનુવાદ, સ્કેલિંગ, પરિભ્રમણ, પ્રતિબિંબ. બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓઅને આ રૂપાંતરણોને સમજાવતા આંકડાઓ કોષ્ટક 1 માં સારાંશ આપેલ છે.
પ્લેન પર Affine પરિવર્તનો
ટ્રાન્સફર દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે આઉટપુટ પ્રિમિટિવ્સને સમાન વેક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત કરવું.
સ્કેલિંગ એ સમગ્ર છબી અથવા તેના ભાગને મોટું અથવા ઘટાડવાનું છે. સ્કેલિંગ કરતી વખતે, ઇમેજ પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણ એ આપેલ ધરીની આસપાસ આઉટપુટ પ્રિમિટિવ્સના પરિભ્રમણનો સંદર્ભ આપે છે. (ડ્રોઇંગ પ્લેનમાં, એક બિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણ થાય છે.)
પ્રતિબિંબ એ એક અક્ષ (ઉદાહરણ તરીકે, X) ને લગતી છબીની અરીસાની છબી મેળવવાનો ઉલ્લેખ કરે છે.
આ ચાર વિશિષ્ટ કેસોની પસંદગી બે સંજોગો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
1. ઉપરોક્ત દરેક પરિવર્તનનો એક સરળ અને સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અર્થ છે (તેનો ભૌમિતિક અર્થ પણ છે સતત સંખ્યાઓઉપરોક્ત સૂત્રોમાં શામેલ છે).
2. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં સાબિત થયા મુજબ, ફોર્મ (*) ના કોઈપણ રૂપાંતરણને હંમેશા A, B, C અને D (અથવા આના ભાગો) ના સૌથી સરળ પરિવર્તનના અનુક્રમિક અમલ (સુપરપોઝિશન) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. પરિવર્તનો).
આમ, નીચેની વાત સાચી છે મહત્વપૂર્ણ મિલકતપ્લેનનું અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન: ફોર્મ (*) ના કોઈપણ મેપિંગનું વર્ણન A, B, C અને D સૂત્રો દ્વારા નિર્દિષ્ટ મેપિંગનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
માટે અસરકારક ઉપયોગઆ જાણીતા સૂત્રોકમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ કાર્યોમાં તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે મેટ્રિક્સ નોટેશન.
આ પરિવર્તનોને જોડવા માટે, સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ રજૂ કરવામાં આવે છે. બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ એ એકસાથે ન હોય તેવા કોઈપણ ત્રિવિધ છે શૂન્ય બરાબરસંખ્યાઓ x1, x2, x3 સાથે સંકળાયેલ છે આપેલ નંબરો x અને y નીચેના સંબંધો દ્વારા:
પછી બિંદુ M(x, y) M(hX, hY, h) તરીકે લખવામાં આવે છે, જ્યાં h 0 એ સ્કેલ ફેક્ટર છે. દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સતરીકે મળી શકે છે
પ્રોજેક્ટિવ ભૂમિતિમાં, આ કોઓર્ડિનેટ્સ અનિશ્ચિતતાઓને દૂર કરવા માટે રજૂ કરવામાં આવે છે જે અનંત દૂરના (અયોગ્ય) તત્વોનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે ઊભી થાય છે. સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સને પ્લેન Z= h માં પરિબળ h દ્વારા માપવામાં આવેલા પ્લેનના એમ્બેડિંગ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા.
સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સના બિંદુઓ ત્રણ-તત્વ પંક્તિ વેક્ટરમાં લખવામાં આવે છે. ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિસિસનું કદ 3x3 હોવું આવશ્યક છે.
સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ અને થર્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસિસના ત્રણ ગણોનો ઉપયોગ કરીને, પ્લેનના કોઈપણ સંલગ્ન રૂપાંતરણનું વર્ણન કરી શકાય છે.
વાસ્તવમાં, h = 1 ધારીને, ચાલો બે એન્ટ્રીઓની તુલના કરીએ: એક (*) ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે અને નીચેનું મેટ્રિક્સ એક:
તમે હવે પરિવર્તનની રચનાઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો, એકબીજાને અનુસરતા પરિવર્તનની શ્રેણીને બદલે એક પરિણામનો ઉપયોગ કરીને. તમે કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, મુશ્કેલ કાર્યસંખ્યાબંધ સરળમાં વિભાજીત કરો. બિંદુ A વિશે ફેરવો મનસ્વી બિંદુત્રણ કાર્યોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
ટ્રાન્સફર, જેમાં B = 0 (જ્યાં 0 મૂળ છે);
વળવું
રિવર્સ ટ્રાન્સફર, જેમાં બિંદુ B તેની જગ્યાએ પરત આવે છે, વગેરે.
રચના સૌથી વધુ છે સામાન્ય દૃશ્યકામગીરીના T, D, R, M પાસે મેટ્રિક્સ છે:
ઉપરનો ભાગ 2x2 કદમાં - સંયુક્ત પરિભ્રમણ અને સ્કેલિંગ મેટ્રિક્સ, અને tx અને ty કુલ અનુવાદનું વર્ણન કરે છે.
દર્શાવેલ મૂળભૂત પરિવર્તનો નીચે મુજબ છે:
સ્ક્રોલિંગરેન્ડરિંગ સપાટી પર વિન્ડોને ખસેડવું (જો ચળવળ ફક્ત ઉપર અને નીચે દિશાઓ સુધી મર્યાદિત હોય, તો તેને વર્ટિકલ સ્ક્રોલિંગ કહેવામાં આવે છે);
ઝૂમઇમેજ સ્કેલમાં ધીમે ધીમે ફેરફાર;
સમરસલ્ટચોક્કસ અક્ષની આસપાસ ફરતા આઉટપુટ પ્રિમિટિવ્સની ગતિશીલ છબી, જેની દિશા અવકાશમાં સતત બદલાતી રહે છે;
પાનચળવળની દ્રશ્ય ભાવના બનાવવા માટે છબીનું ક્રમિક સ્થાનાંતરણ.
