ઋતુઓ

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો

પુસ્તકના શીર્ષકમાંથી:

• શોધો
• સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો આઈન્સ ઈ.એલ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો. ખાર્કોવ: ONTI, 1939 (djvu)એન્ડ્રોનોવ એ.એ., લિયોન્ટોવિચ ઇ.વી., ગોર્ડન આઇ.આઇ., મેયર એ.જી. ગુણાત્મક સિદ્ધાંત
• ગતિશીલ સિસ્ટમો
• બીજો ક્રમ. એમ.: નૌકા, 1966 (djvu) એનોસોવ ડી.વી. (ed.) સરળ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ (અનુવાદોનો સંગ્રહ, વિદેશી વિજ્ઞાનમાં ગણિત N4). એમ.: મીર, 1977 (ડીજેવીયુ)આર્નોલ્ડ V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. ક્લાસિકલના ગાણિતિક પાસાઓ અને
• અવકાશી મિકેનિક્સ
• . M.: VINITI, 1985 (djvu)
• બાર્બાશીન ઇ.એ. લ્યાપુનોવ કાર્યો. એમ.: નૌકા, 1970 (djvu)
• બર્કોવિચ એલ.એમ. વિભેદક સમીકરણોનું અવયવીકરણ અને પરિવર્તન. પદ્ધતિઓ અને કાર્યક્રમો. M: RKhD, 2002 (djvu)
• Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. બિનરેખીય ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ (2જી આવૃત્તિ). એમ.: નૌકા, 1974 (djvu) વાઝોવ વી. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોના અસિમ્પ્ટોટિક વિસ્તરણ. એમ.: મીર, 1968 (ડીજેવીયુ)વેનબર્ગ એમ.એમ., ટ્રેનોગિન વી.એ. શાખા સિદ્ધાંત
• બિનરેખીય સમીકરણો . એમ.: નૌકા, 1969 (djvu)વોરોટનિકોવ વી.આઈ., રુમ્યંતસેવ વી.વી. ગતિશીલ સિસ્ટમોના તબક્કા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ સ્થિરતા અને નિયંત્રણ: સિદ્ધાંત, પદ્ધતિઓ અને એપ્લિકેશન. એમ.:
• વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ
• , 2001 (djvu)
• ગોલુબેવ વી.વી. વિભેદક સમીકરણોના વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત પર પ્રવચનો. M.-L.: Gostekhteorizdat, 1950 (djvu) ગોર્બુઝોવ વી.એન. બીજગણિત વિભેદક સમીકરણોના પૂર્ણાંક ઉકેલો. Grodno: GrSU, 2006 (pdf)ગુરસા ઇ. કોર્સ
• ગાણિતિક વિશ્લેષણ , વોલ્યુમ 2, ભાગ 2. વિભેદક સમીકરણો. M.-L.: GTTI, 1933 (djvu)ડેમિડોવિચ બી.પી. પર પ્રવચનો
• ગાણિતિક સિદ્ધાંત
• ટકાઉપણું એમ.: નૌકા, 1967 (djvu)
• ડોબ્રોવોલ્સ્કી વી.એ. વિભેદક સમીકરણોના વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંતના વિકાસ પર નિબંધો. Kyiv: Vishcha School, 1974 (djvu) એગોરોવ ડી. વિભેદક સમીકરણોનું એકીકરણ (3જી આવૃત્તિ). એમ.: યાકોવલેવ પ્રિન્ટિંગ હાઉસ, 1913 (djvu)એરુગિન એન.પી. વાંચવા માટે પુસ્તક
• એરુગિન એન.પી. સામયિક અને અર્ધવર્તુળ ગુણાંક સાથેના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીઓ. Mn.: AN BSSR, 1963 (djvu)
• એરુગિન એન.પી. રેખીય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં લેપ્પો-ડેનિલેવસ્કી પદ્ધતિ. એલ.: લેનિનગ્રાડ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 1956 (djvu)
• ઝૈત્સેવ વી.એફ. આધુનિક જૂથ વિશ્લેષણનો પરિચય. ભાગ 1: પ્લેનમાં પરિવર્તનના જૂથો ( તાલીમ માર્ગદર્શિકાખાસ કોર્સ માટે). SPb.: RGPU im. A.I Herzen, 1996 (pdf)
• ઝૈત્સેવ વી.એફ. આધુનિક જૂથ વિશ્લેષણનો પરિચય. ભાગ 2: પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણો અને તેઓ સ્વીકારે છે તે બિંદુ જૂથો (ખાસ અભ્યાસક્રમ માટે પાઠ્યપુસ્તક). SPb.: RGPU im. A.I Herzen, 1996 (pdf)
• ઇબ્રાગિમોવ એન.કે.એચ. જૂથ વિશ્લેષણનું ABC. એમ.: નોલેજ, 1989 (djvu)
• ઇબ્રાગિમોવ એન.કે.એચ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના જૂથ વિશ્લેષણનો અનુભવ. એમ.: નોલેજ, 1991 (djvu)
• કાલિનિન વી.વી. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (માટે માર્ગદર્શિકા વ્યવહારુ વર્ગો). M.: MGUNG ઇમ. તેમને. ગુબકીના, 2005 (પીડીએફ)
• કામેન્કોવ જી.વી. પસંદ કરેલ કાર્યો. T.1. ચળવળની સ્થિરતા. ઓસિલેશન. એરોડાયનેમિક્સ. એમ.: નૌકા, 1971 (djvu)
• કામેન્કોવ જી.વી. પસંદ કરેલ કાર્યો. T.2. સ્થિરતા અને વધઘટ નથી રેખીય સિસ્ટમો. એમ.: નૌકા, 1972 (djvu)
• કામકે ઇ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની હેન્ડબુક (4થી આવૃત્તિ). એમ.: નૌકા, 1971 (djvu)
• કપલાન્સ્કી I. વિભેદક બીજગણિતનો પરિચય. M.: IL, 1959 (djvu)
• કાર્તાશેવ એ.પી., રોઝડેસ્ટવેન્સ્કી બી.એલ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અને ભિન્નતાઓની ગણતરીના પાયા (2જી આવૃત્તિ). એમ.: નૌકા, 1979 (djvu)
• કોડિંગ્ટન ઇ.એ., લેવિન્સન એન. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત. M.: IL, 1958 (djvu)
• કોઝલોવ વી.વી. પદ્ધતિઓ ગુણાત્મક વિશ્લેષણગતિશીલતામાં નક્કર(2જી આવૃત્તિ). ઇઝેવસ્ક: સંશોધન કેન્દ્ર "નિયમિત અને અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલતા", 2000 (djvu)
• કોઝલોવ વી.વી. હેમિલ્ટોનિયન મિકેનિક્સમાં સમપ્રમાણતા, ટોપોલોજી અને રેઝોનન્સ. ઇઝેવસ્ક: ઉદમુર્ત સ્ટેટ પબ્લિશિંગ હાઉસ. યુનિવર્સિટી, 1995 (djvu)
• Collatz L. પર સમસ્યાઓ eigenvalues(તકનીકી એપ્લિકેશનો સાથે). એમ.: નૌકા, 1968 (djvu)
• લાગુ ગણિતમાં કોલ જે. વિક્ષેપ પદ્ધતિઓ. એમ.: મીર, 1972 (ડીજેવીયુ)
• કોયાલોવિચ બી.એમ. વિશે સંશોધન અનંત સિસ્ટમોરેખીય સમીકરણો // Izv. ભૌતિક.-ગણિત. સંસ્થા તેમને વી.એ. સ્ટેકલોવા. 1930. ટી. III. પૃષ્ઠ 41-167. (djvu)
• કોયાલોવિચ બી.એમ. વિભેદક સમીકરણ ydy-ydx=Rdx પર સંશોધન. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: એકેડેમી ઓફ સાયન્સ, 1894 (djvu)
• ક્રાસોવ્સ્કી એન.એન. ગતિ સ્થિરતાના સિદ્ધાંતની કેટલીક સમસ્યાઓ. એમ.: ફિઝમેટલીટ, 1959 (ડીજેવીયુ)
• Kruskal M. Adiabatic invariants. હેમિલ્ટનના સમીકરણો અને વિભેદક સમીકરણોની અન્ય પ્રણાલીઓનો એસિમ્પ્ટોટિક સિદ્ધાંત, જેનાં તમામ ઉકેલો લગભગ સામયિક છે. M.: IL, 1962 (djvu)
• કુદ્ર્યાશોવ એન.એ. વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંતબિનરેખીય વિભેદક સમીકરણો. મોસ્કો-ઇઝેવસ્ક: કોમ્પ્યુટર સંશોધન સંસ્થા, 2004 (djvu)
• કુરેન્સકી એમ.કે. વિભેદક સમીકરણો. પુસ્તક 1. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો. એલ.: આર્ટિલરી એકેડમી, 1933 (djvu)
• Lappo-Danilevsky I.A. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની રેખીય પ્રણાલીઓના સિદ્ધાંત સુધી મેટ્રિસિસથી ફંક્શનનો ઉપયોગ. M.: GITTL, 1957 (djvu)
• Lappo-Danilevsky I.A. મેટ્રિસીસ અને રેખીય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમોના કાર્યોનો સિદ્ધાંત. L.-M., GITLE, 1934 (djvu)
• લાસેલ જે., લેફશેટ્ઝ એસ. ડાયરેક્ટ લાયપુનોવ પદ્ધતિ દ્વારા સ્થિરતાનો અભ્યાસ. એમ.: મીર, 1964 (ડીજેવીયુ)
• લેવિટન બી.એમ., ઝિકોવ વી.વી. લગભગ સામયિક કાર્યો અને વિભેદક સમીકરણો. M.: MSU, 1978 (djvu)
• લેફશેટ્ઝ એસ. ભૌમિતિક સિદ્ધાંતવિભેદક સમીકરણો. M.: IL, 1961 (djvu)
• લ્યાપુનોવ એ.એમ. સામાન્ય કાર્યટ્રાફિક સ્થિરતા વિશે. M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
• માલકીન આઈ.જી. ગતિ સ્થિરતાનો સિદ્ધાંત. એમ.: નૌકા, 1966 (djvu)
• માર્ચેન્કો વી.એ. સ્ટર્મ-લ્યુવિલે ઓપરેટરો અને તેમની એપ્લિકેશનો. Kyiv: Nauk. દુમકા, 1977 (djvu)
• માર્ચેન્કો વી.એ. સ્પેક્ટ્રલ થિયરી Sturm-Liouville ઓપરેટરો. Kyiv: Nauk. દુમકા, 1972 (djvu)
• માત્વીવ એન.એમ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને એકીકૃત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ (3જી આવૃત્તિ). એમ.: સ્નાતક શાળા, 1967 (ડીજેવીયુ)
• મિશેન્કો ઇ.એફ., રોઝોવ એન.એક્સ. નાના પરિમાણ અને છૂટછાટના ઓસિલેશન સાથેના વિભેદક સમીકરણો. એમ.: નૌકા, 1975 (djvu)
• મોઇસેવ એન.એન. બિનરેખીય મિકેનિક્સની એસિમ્પ્ટોટિક પદ્ધતિઓ. એમ.: નૌકા, 1969 (djvu)
• રેખીય વિભેદક સમીકરણોના મર્યાદિત સ્વરૂપમાં એકીકરણ પર મોર્દુખાઈ-બોલ્ટોવસ્કોય ડી. વોર્સો, 1910 (djvu)
• નાઈમાર્ક M.A. રેખીય વિભેદક ઓપરેટરો(2જી આવૃત્તિ). એમ.: નૌકા, 1969 (djvu)
• Nezbaylo T.G. રેખીય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના એકીકરણનો સિદ્ધાંત. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: PE જેન્કીન એ.ડી., 2007 (pdf)
• નેમિત્સ્કી વી.વી., સ્ટેપનોવ વી.વી. વિભેદક સમીકરણોનો ગુણાત્મક સિદ્ધાંત. M.-L.: OGIZ, 1947 (djvu)
• પ્લીસ વી.એ. ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં બિન-સ્થાનિક સમસ્યાઓ. M.-L.: નૌકા, 1964 (djvu)
• પોનોમારેવ કે.કે. વિભેદક સમીકરણો દોરવા. Mn.: વૈશ. શાળા, 1973 (djvu)
• પોન્ટ્રીયાગિન એલ.એસ. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (4થી આવૃત્તિ). એમ.: નૌકા, 1974 (djvu)
• પોઈનકેરે એ. વિભેદક સમીકરણો દ્વારા નિર્ધારિત વણાંકો પર. M.-L., GITLE, 1947 (djvu)
• રસુલોવ એમ.એલ. સમોચ્ચ અભિન્ન પદ્ધતિ અને વિભેદક સમીકરણો માટેની સમસ્યાઓના અભ્યાસ માટે તેનો ઉપયોગ. એમ.: નૌકા, 1964 (djvu)
• રુમ્યંતસેવ વી.વી., ઓઝિરેનર એ.એસ. કેટલાક ચલોના સંબંધમાં ચળવળની સ્થિરતા અને સ્થિરતા. એમ.: નૌકા, 1987

L. S. PONTRYAGIN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS ચોથી આવૃત્તિ યુએસએસઆરના ઉચ્ચ અને સામાન્ય શિક્ષણ મંત્રાલય દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક તરીકે મંજૂર કરવામાં આવી છે 517.9 પાઠ્યપુસ્તક એનાયત USSR સ્ટેટ પ્રાઈઝ ફોર 197B 1702050000-155 P "053@2)-82 લેખક તરફથી સામગ્રી, / B પ્રકરણ એક. પરિચય T § 1. પ્રથમ ઓર્ડર વિભેદક સમીકરણ T § 2. કેટલાક પ્રાથમિક પદ્ધતિઓએકીકરણ 13 § 3. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાના પ્રમેયની રચના... 21 § 4. ઘટાડો સામાન્ય સિસ્ટમસામાન્ય વિભેદક સમીકરણો, 25 § 5. જટિલ વિભેદક સમીકરણો § 6. રેખીય વિભેદક સમીકરણો વિશે કેટલીક માહિતી SS પ્રકરણ બે. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણો 41 § 7. રેખીય સજાતીય સમીકરણસતત ગુણાંક સાથે (કેસ સરળ મૂળ) 42 § 8. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (બહુવિધ મૂળનો કેસ) 60 § 9. સ્થિર બહુપદી 5 § 10. રેખીય અસંગત સમીકરણસતત ગુણાંક સાથે 63 § 11. દૂર કરવાની પદ્ધતિ 67 § 12. જટિલ કંપનવિસ્તારની પદ્ધતિ 75 § 13. ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ 89 § 14. સામાન્ય રેખીય સજાતીય સિસ્ટમસતત સહ-ગુણાંકો સાથે 91 § 15. વિભેદક સમીકરણોની સ્વાયત્ત પ્રણાલીઓ અને તેમના તબક્કાઓ તબક્કાની જગ્યાઓ 108 § 16. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સિસ્ટમનું તબક્કો પ્લેન 115 પ્રકરણ ત્રણ. ચલ ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણો 121 § 17. રેખીય સમીકરણોની સામાન્ય સિસ્ટમ 121 § 18. રેખીય સમીકરણઓર્ડર 131 § 19 નો u-ro. સામયિક ગુણાંક સાથે સામાન્ય રેખીય સજાતીય સિસ્ટમ પ્રકરણ ચાર. અસ્તિત્વ પ્રમેય Г>3 § 20. એક સમીકરણ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયનો પુરાવો 1»2 § 21. લંબાઈ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયનો પુરાવો સામાન્ય સિસ્ટમસમીકરણો 161 1" 4 સામગ્રીઓ § 22. બિન-સતત ઉકેલો 173 § 23. ઉકેલની સતત અવલંબન પ્રારંભિક મૂલ્યો n પરિમાણો 178 § 24. પ્રારંભિક મૂલ્યોના સંદર્ભમાં ઉકેલની ભિન્નતા n પરિમાણો 185 § 25. પ્રથમ પૂર્ણાંક 196 પ્રકરણ પાંચ. સ્થિરતા 204 § 26. લાયપુનોવનું પ્રમેય 205 § 27. કેન્દ્રત્યાગી નિયમનકાર (વ્યાશેગ્રેડસ્કીનું સંશોધન) 218 ​​§ 28. મર્યાદા ચક્ર 224 § 29. ટ્યુબ જનરેટર 244 § 30. સમતુલા સ્થિતિ સ્વાયત્ત સિસ્ટમબીજો ક્રમ 251 § 31. સામયિક ઉકેલોની સ્થિરતા 268 પરિશિષ્ટ I. વિશ્લેષણના કેટલાક પ્રશ્નો 284 § 32.. યુક્લિડિયન જગ્યાઓના ટોપોલોજીકલ ગુણધર્મો 284 § 33. પ્રમેય ગર્ભિત કાર્યો 298 પરિશિષ્ટ P. રેખીય બીજગણિત - . 309 § 34. ન્યૂનતમ વિનાશકારી બહુપદી 309 § 35. મેટ્રિક્સના કાર્યો 316 § 36. મેટ્રિક્સનું જોર્ડન સ્વરૂપ 823 લેખક તરફથી વિષય અનુક્રમણિકા 329 આ પુસ્તક મેં ફેકલ્ટીમાં સંખ્યાબંધ વર્ષો માટે આપેલા વ્યાખ્યાનોના આધારે લખવામાં આવ્યું હતું. મોસ્કોના મિકેનિક્સ અને ગણિતના રાજ્ય યુનિવર્સિટી. પ્રવચનોનો કાર્યક્રમ બનાવતી વખતે, હું એ માન્યતાથી આગળ વધ્યો હતો કે સામગ્રીની પસંદગી રેન્ડમ ન હોવી જોઈએ અને ફક્ત સ્થાપિત પરંપરાઓ પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં. સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને રસપ્રદ કાર્યક્રમોસામાન્ય વિભેદક સમીકરણો ઓસિલેશનના સિદ્ધાંતમાં અને સ્વચાલિત નિયંત્રણના સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. આ એપ્લિકેશન્સ મારા પ્રવચનો માટે સામગ્રીની પસંદગીમાં માર્ગદર્શક તરીકે સેવા આપે છે. ઓસિલેશનનો સિદ્ધાંત અને સ્વચાલિત નિયંત્રણનો સિદ્ધાંત નિઃશંકપણે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાતમામ આધુનિકના વિકાસમાં ભૌતિક સંસ્કૃતિ, અને તેથી હું માનું છું કે વ્યાખ્યાનોના કોર્સ માટે સામગ્રી પસંદ કરવાનો આવો અભિગમ, જો માત્ર શક્ય ન હોય તો, ઓછામાં ઓછું વાજબી છે. વિદ્યાર્થીઓને માત્ર ટેકનિકલ એપ્લીકેશન માટે યોગ્ય ગાણિતિક ટૂલ આપવાના પ્રયાસરૂપે, પણ એપ્લીકેશનને પોતાને દર્શાવવા માટે, મેં લેક્ચર્સમાં કેટલીક ટેકનિકલ સમસ્યાઓનો સમાવેશ કર્યો. પુસ્તકમાં તેઓ § 13, 27, 29 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. આ પ્રશ્નો મારા પ્રવચનો અને તે મુજબ, આ પુસ્તકનો એક અભિન્ન કાર્બનિક ભાગ બનાવે છે. પ્રવચનોમાં પ્રસ્તુત સામગ્રી ઉપરાંત, પુસ્તકમાં કેટલીક વધુ સામગ્રીનો સમાવેશ થાય છે મુશ્કેલ પ્રશ્નો, વિદ્યાર્થી સેમિનારમાં ચર્ચા. તેઓ પુસ્તકના § 19, 31 માં સમાયેલ છે. § 14, 22, 23, 24, 25, 30 માં સમાવિષ્ટ સામગ્રી આંશિક રીતે પ્રવચનોમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી અને દર વર્ષે નહીં. વાચકની સગવડતા માટે, પુસ્તકના અંતે બે ઉમેરણો આપવામાં આવ્યા છે, જેમાં એવી સામગ્રી છે જે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ નથી, પરંતુ તેમાં નોંધપાત્ર રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે. પ્રથમ ઉમેરો (અગાઉની આવૃત્તિમાં નહીં) યુક્લિડિયન અવકાશમાં સ્થિત APTOR ના સેટ 6 ના મૂળભૂત ટોપોલોજીકલ ગુણધર્મોને સુયોજિત કરે છે, અને ગર્ભિત કાર્યો પર પ્રમેયનો પુરાવો પૂરો પાડે છે; બીજો ઉમેરો સમર્પિત છે રેખીય બીજગણિત. આ બીજી આવૃત્તિમાં, અપરિવર્તનશીલતા પરના પ્રમેયને નવી રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. સતત અવલંબનપ્રારંભિક મૂલ્યો" અને પરિમાણોમાંથી ઉકેલો, તેમજ આ જથ્થાઓના સંદર્ભમાં ઉકેલોની ભિન્નતા પર. ઘણા નાના સુધારાઓ પણ કરવામાં આવ્યા છે. નિષ્કર્ષમાં, હું મારા વિદ્યાર્થીઓ અને નજીકના કામના સાથીઓ V. G. Boltyansky, R. V. નો આભાર વ્યક્ત કરવા માંગુ છું. ગેમ - ક્રેલિડ્ઝ અને ઇ.એફ. મિશ્ચેન્કો, જેમણે મને વ્યાખ્યાન તૈયાર કરવામાં અને આપવા, તેમજ આ પુસ્તક લખવામાં અને સંપાદિત કરવામાં મદદ કરી, હું મારા પર નિર્ણાયક પ્રભાવની નોંધ લેવા માંગુ છું. વૈજ્ઞાનિક હિતો, ઓસિલેશન થિયરી અને ઓટોમેટિક કંટ્રોલ થિયરી એલેક્ઝાન્ડર એલેક્ઝાન્ડર એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ એન્ડ્રોનોવના ક્ષેત્રમાં ઉત્કૃષ્ટ સોવિયેત નિષ્ણાત દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવ્યું હતું, જેની સાથે મારા લાંબા ગાળાના મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો હતા. તેમના પ્રભાવે આ પુસ્તકના પાત્ર અને દિશાને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરી. L. S. Pontryagin પ્રકરણ એક પરિચય આ પ્રકરણ મુખ્યત્વે તે ખ્યાલોની વ્યાખ્યા માટે સમર્પિત છે જેનો ભવિષ્યમાં અભ્યાસ કરવામાં આવશે. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ શું છે, તેના ઉકેલને શું કહેવામાં આવે છે અને આમાંથી કેટલા ઉકેલો અસ્તિત્વમાં છે - આ પ્રકરણમાં આ મુખ્ય પ્રશ્નોના જવાબો છે. ઉકેલોની સંખ્યા અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે અહીં સાબિત નથી, પરંતુ માત્ર ઘડવામાં આવે છે. આ અને આ જ પ્રકારના અન્ય ઘણા પ્રમેયોનો પુરાવો ચોથા પ્રકરણમાં આપવામાં આવ્યો છે અને તે પહેલા પ્રથમ પ્રકરણમાં ઘડવામાં આવેલ પ્રમેયનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે, જે તેમનો અર્થ સ્પષ્ટ કરે છે. આ મૂળભૂત માહિતી ઉપરાંત, પ્રથમ પ્રકરણ કેટલાક સરળ પ્રકારના વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો પૂરા પાડે છે. પ્રકરણના અંતે, જટિલ વિભેદક સમીકરણો અને તેમના વ્યાપક ઉકેલોઅને રેખીય વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીઓને લગતી સરળ ટિપ્પણીઓ આપવામાં આવી છે. § 1. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ વિભેદક સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં અજ્ઞાત કાર્યો એક અથવા અનેક ચલોના કાર્યો છે, અને સમીકરણોમાં માત્ર વિધેયોનો જ સમાવેશ થતો નથી, પરંતુ જો અજ્ઞાત કાર્યો ઘણા ચલોના કાર્યો છે , પછી સમીકરણોને આંશિક વ્યુત્પન્નમાં સમીકરણો કહેવામાં આવે છે, અન્યથા, એટલે કે, જ્યારે માત્ર એક સ્વતંત્ર ચલના કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે સમીકરણોને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. ભૌતિક કાર્યક્રમોસ્વતંત્ર ચલ કે જેના પર અજ્ઞાત અજ્ઞાત વિધેયો આધાર રાખે છે તે સમય છે, જે સામાન્ય રીતે t દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, પછી દરેક જગ્યાએ જે સ્વતંત્ર ચલને અનુસરે છે તે t દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. અજ્ઞાત કાર્યો x, y, z, વગેરે દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. t 8 પરિચય (પ્રકરણ I, નિયમ તરીકે, બિંદુઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવશે: x = --, J? = ^-^-, વગેરે. આ અસુવિધાજનક અથવા અશક્ય હોય તેવા કિસ્સામાં, અમે કૌંસમાં સુપરસ્ક્રીપ્ટ સાથે વ્યુત્પન્નનો ક્રમ સૂચવીશું, ઉદાહરણ તરીકે, સૌ પ્રથમ, અમે એક વિભેદકને ધ્યાનમાં લઈશું; વિભેદક સમીકરણપ્રથમ ક્રમ, એટલે કે, એક સમીકરણ જેમાં અજ્ઞાત કાર્યનું માત્ર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શામેલ હોય છે. આ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે: F(t, x, x)=0. A) અહીં t સ્વતંત્ર ચલ છે, x તેનું અજ્ઞાત કાર્ય છે. dx _ ". x = -jt એ તેનું વ્યુત્પન્ન છે, અને F એ ત્રણ ચલોનું આપેલ કાર્ય છે. ફંક્શન F તેની દલીલોના તમામ મૂલ્યો માટે આપવામાં આવતું નથી; તેથી, તેઓ ફંક્શન F ના ડોમેન B વિશે વાત કરે છે. અહીં આપણે ત્રણ ચલ t, x, Xના કોઓર્ડિનેટ પોઈન્ટ સ્પેસનો સમૂહ B નો અર્થ કરીએ છીએ. સમીકરણ A) આ પ્રકારનું કાર્ય jc = વિશિષ્ટતા (પ્રમેય 1), જે આ વિભાગમાં પુરાવા વિના રજૂ કરવામાં આવી છે. સાબિતી ઘણી પાછળથી આપવામાં આવશે (જુઓ § 20). 10 પરિચય [Ch. 1 પ્રમેય 1. ચાલો x=f(t, x) C) એક વિભેદક સમીકરણ છે. આપણે ધારીશું કે ફંક્શન f(t, x) અમુક ઓપન સેટ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. Г પ્લેન Р ચલ t, x. ફંક્શન f વિશે, અમે ધારીશું કે તે પોતે અને તેના આંશિક વ્યુત્પન્ન -J- સમગ્ર ખુલ્લા સમૂહ પર સતત કાર્યો છે Г પ્રમેય જણાવે છે કે: 1) સમૂહના કોઈપણ બિંદુ (tt, xB) માટે Г છે સમીકરણ C નું x=*" -f(t) ઉકેલ, h>(q=*0; D) 2) જો બે ઉકેલો lg = f(/) અને jc=/(સમીકરણ C ના O) એકરૂપ થાય તો સ્થિતિ સંતોષે છે - t = t0, e ના ઓછામાં ઓછા એક મૂલ્ય માટે એકરૂપ થાય છે, જો તે ચલ t ના તે બધા મૂલ્યો માટે સમાન હોય છે જેના માટે તે બંને ^0, xy કહેવાય છે ઉકેલ x = માટે.<р (/), а соотношение D) - начальным условием для этого реше- решения. Говорят также, что решение х = <р (t) удовлетворяет начально- начальному условию D) или же что оно имеет начальные значения t0, x0. Утверждение, что решение x=*y(f) удовлетворяет начальному усло- условию D) (или имеет начальные значения t0, x0), предполагает, что интервал ri<^, xn) સમૂહ Γ એ અમુક ઉકેલ માટે પ્રારંભિક મૂલ્યો છે, સમીકરણ C) અને સામાન્ય પ્રારંભિક મૂલ્યો સાથેના બે ઉકેલો સમાન છે. પ્રમેય 1 ની ભૌમિતિક સામગ્રી એ છે કે સમૂહ Γ ના દરેક બિંદુ (t0, jc0) દ્વારા સમીકરણ Cનો એક અને માત્ર એક જ અભિન્ન વળાંક પસાર થાય છે (ફિગ. 1 જુઓ). એમ કહીને કે "માત્ર એક" અભિન્ન વળાંક સમૂહ Γ ના દરેક બિંદુ (f0, xn)માંથી પસાર થાય છે, અમે કેટલીક અચોક્કસતા સ્વીકારીએ છીએ. વાસ્તવમાં, સમીકરણ C) નો ઉકેલ je = ફંક્શન છે @> સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત અંતરાલ પર નિર્દિષ્ટ ^> આ કાર્યની સાથે, એક કાર્ય x = પણ સંતોષકારક સમીકરણ C) અને સમાન પ્રારંભિક મૂલ્યો t0, x0 હોઈ શકે છે, પરંતુ અલગ અંતરાલ *1 પર ઉલ્લેખિત છે<С^<С** Вто- Вторая часть теоремы 1 утверждает лишь, что функции <р@ и <]>(?) એકરૂપ થાય છે જ્યાં તેઓ બંને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે બિલકુલ ભારપૂર્વક જણાવતું નથી કે તેમની વ્યાખ્યાના અંતરાલો ri છે.<^<^rs и Si<^પછી ઉકેલો x~ વિભેદક વિભેદક સમીકરણ E). 2. ચાલો કિરણોત્સર્ગી પદાર્થની સડો પ્રક્રિયાનું ગાણિતિક વર્ણન આપીએ. પદાર્થની માત્રા કે જે t સમયે હજુ સુધી ક્ષીણ થઈ નથી તે x(t) દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. ભૌતિક વિચારણાઓથી તે અનુસરે છે કે (જો સાંકળ પ્રતિક્રિયાની ઘટના માટે કોઈ શરતો ન હોય તો) સડો દર, એટલે કે વ્યુત્પન્ન jt(t), બિનસલાહભર્યા કિરણોત્સર્ગી પદાર્થની ઉપલબ્ધ માત્રાના પ્રમાણસર છે: અહીં p એ સતત હકારાત્મક પ્રમાણ છે. ગુણાંક, કિરણોત્સર્ગી પદાર્થના ગુણધર્મો પર આધાર રાખીને, અને જમણી બાજુના ઓછા ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે x(t) ઘટે છે. આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શન xA) ઉદાહરણ 1 માં ધ્યાનમાં લેવાયેલા સૌથી સરળ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે, જેથી સ્થિર c નક્કી કરવા માટે તે કેટલાક પ્રારંભિક મૂલ્યો સૂચવવા માટે પૂરતું છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, તે જાણીતું છે કે t = 0 સમયે પદાર્થ xt નો જથ્થો હતો, તો c = x0, અને આપણી પાસે છે: x(t) = x,e-V. સડો દર અહીં પરિમાણ 1/સેકંડના મૂલ્ય p દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ઘણીવાર, મૂલ્ય C ને બદલે, સડો દર કહેવાતા અર્ધ-જીવન સમયગાળા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તે સમય કે જે દરમિયાન પદાર્થના ઉપલબ્ધ પુરવઠાનો અડધો ભાગ ક્ષીણ થઈ જાય છે. ચાલો T દ્વારા અર્ધ જીવન દર્શાવીએ અને p અને G ના મૂલ્યો વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરીએ. આપણી પાસે છે: G-=4-1n2 ક્યાંથી. g 2] એકીકરણની કેટલીક પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ 13 § 2. એકીકરણની કેટલીક પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ જ્યારે આપણે વિભેદક સમીકરણ સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ ત્યારે મુખ્ય કાર્ય જે આપણી સમક્ષ ઉદ્ભવે છે તે તેના ઉકેલો શોધવાનું કાર્ય છે. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, બીજગણિતની જેમ, સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાનો અર્થ શું છે તે પ્રશ્ન જુદી જુદી રીતે સમજી શકાય છે. બીજગણિતમાં, તેઓએ શરૂઆતમાં દરેક ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે રેડિકલનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય સૂત્ર શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો. આ હતા: ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર, ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું કાર્ડન સૂત્ર અને ચોથા અંશના સમીકરણને ઉકેલવા માટે ફેરારી સૂત્ર. પાછળથી જાણવા મળ્યું કે ચોથા ડિગ્રીથી ઉપરના સમીકરણો માટે રેડિકલમાં કોઈ સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર નથી. સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથેના સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલની શક્યતા તેમજ તેના ગુણાંકો પર સમીકરણોના મૂળની અવલંબનનો અભ્યાસ કરવાની શક્યતા રહે છે. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં ઉકેલની વિભાવનાની ઉત્ક્રાંતિ લગભગ સમાન હતી. શરૂઆતમાં, તેઓએ હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, અથવા, જેમ કે તેઓ કહે છે, "ચતુષ્કોણમાં વિભેદક સમીકરણોને એકીકૃત કરો", એટલે કે, તેઓએ પ્રાથમિક કાર્યો અને તેના અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ લખવાનો પ્રયાસ કર્યો. પાછળથી, જ્યારે તે સ્પષ્ટ થયું કે આ અર્થમાં ઉકેલ માત્ર બહુ ઓછા પ્રકારના સમીકરણો માટે અસ્તિત્વમાં છે, ત્યારે સિદ્ધાંતના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર ઉકેલોના વર્તનની સામાન્ય પેટર્નના અભ્યાસમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું. આ વિભાગ કેટલાક સરળ પ્રથમ ક્રમના સમીકરણોને ચતુર્થાંશ દ્વારા સંકલિત કરવાની પદ્ધતિઓ રજૂ કરશે. A) (કુલ તફાવતમાં સમીકરણ). ચાલો સમીકરણ X - h(t,x) "W ને હલ કરીએ જેની જમણી બાજુ g(t,x) અને h(t,x) વિધેયોના ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે વિધેયો g(t. ,x) અને h(t,x ) ચલ t, x ના પ્લેન P ના કેટલાક ખુલ્લા સમૂહ Г પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે, અને છેદ A (t, x) આ સમૂહના કોઈપણ બિંદુએ અદૃશ્ય થતો નથી, અને અભિવ્યક્તિ h(t, x)dx - - g(t, x)dt એ સમગ્ર સમૂહ પરનો સંપૂર્ણ વિભેદક છે * Г બાદમાંનો અર્થ એ છે કે સમૂહ પર એક કાર્ય F (t, h) વ્યાખ્યાયિત છે અને તેને સંતોષે છે. શરતો *l=h(t, x), d-^ = -g(t,x) સમીકરણ A) અમે h(t, x)dx - g(t) સમીકરણના રૂપમાં પ્રતીકાત્મક રીતે લખવા માટે સંમત છીએ. , x)dt = 0, 14 પરિચય [પ્રકરણ I જેની ડાબી બાજુ સંપૂર્ણ વિભેદક છે તે બહાર આવ્યું છે કે સમીકરણ A ના દરેક ઉકેલ je = cp(?) માટે ઓળખ F(t, tp(O) = કોન્સ્ટ) ધરાવે છે, તેનાથી વિપરીત, દરેક ફંક્શન x - y(t) અમુક અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને સમીકરણ F(t,x) = c C) (એક મનસ્વી સ્થિરાંક સાથે) માંથી ગર્ભિત કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વિભેદક સમીકરણ A). ચાલો દરખાસ્ત A સાબિત કરીએ). ચાલો x - (*)JO-*(*.?(<))=о. Левая часть этого равенства, в силу B), представляет собой полную производную по t функции F(t, f(t)), так что JLF(t, на всем интервале г, <[?મનસ્વી x માટે t પર લાદવામાં આવે છે. જો rt અને r2 મર્યાદિત હોય તો આ સમૂહ એક સ્ટ્રીપ છે; અર્ધ-સપાટ - અર્ધ-વિમાન જો માત્ર એક જ માત્રા rlt rit મર્યાદિત હોય અને એક સમતલ જો બંને જથ્થા rlt rs અનંત હોય. સમીકરણ D) ની જમણી બાજુએ તેના આંશિક વ્યુત્પન્ન સાથે આખા સમૂહ Γ પર છે, જેથી પ્રમેય 1 ની શરતો D સમીકરણ માટે સંતુષ્ટ થાય.<^<]"V- Положим: A (t) = \ a (x) dt. E) to Функция A(i) определена на всем интервале О <^" <С г«- Оказывается, что совокупность всех решений уравнения D) записывается формулой (Ь) где л*0 - произвольная константа. Каждое из этих решений опреде- определено на всем интервале "Ч<С^<СГ« и потому непродолжаемо (так как за пределами этого интервала не определена правая часть уравне- уравнения D)). Для доказательства предложения Б) заметим прежде всего, что функция jc, заданная соотношением F), является решением уравнения D). Это непосредственно проверяется путем подстановки. Докажем, что формула F) содержит все решения. Пусть x==y(f)-некоторое решение уравнения D), определенное на ин- интервале $!<^<^5г. Этот интервал должен содержаться в интервале fi<^tકારણ કે સમીકરણ D) ની જમણી બાજુ માત્ર આ છેલ્લા અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. m0, ?0 એ સોલ્યુશન x = y(t) ના પ્રારંભિક મૂલ્યો બનવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે ફોર્મ્યુલા F) માં x0 નંબર પસંદ કરવાનું શક્ય છે એવી રીતે કે આ ફોર્મ્યુલા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ સોલ્યુશન તેના પ્રારંભિક મૂલ્યો -c0, $0 ધરાવે છે. એટલે કે, તે શરતને સંતોષે છે 16 પરિચય [પ્રકરણ I આ સાબિત કરશે (પ્રમેય 1 જુઓ) કે ઉકેલ jt= 2, અને ફંક્શન g(x) વ્યાખ્યાયિત, સતત અને અંતરાલ qi પર અદૃશ્ય થતું નથી 0 અને x પર<^ 0 уравнение это можно ре- решать по способу, указанному в примере 1. Для каждой из этих полуплоскостей мы имеем: i ~ = i cos t dt или, иначе, = sin t - с. Таким образом, получаем: Кроме решений, описываемых этой формулой, мы имеем очевидное решение х = 0. A2) Покажем, что формулы A1) и A2) охватывают совокупность всех решений уравнения A0). Пусть (t0, х0) - произвольные начальные вначения. Если >th = 0, પછી ઉકેલ A2) આ પ્રારંભિક મૂલ્યો ધરાવે છે. જો x0 φ 0, તો પછી ઉકેલ A1) માટે સૂચવેલ પ્રારંભિક મૂલ્યો છે - s\nt i__L xch ઉકેલ A2) અંતરાલ (- oo, +oo) પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેથી તે કાયદેસર રીતે માન્ય નથી. એ જ રીતે, |c|^>1 માટે, ફોર્મ્યુલા A1) અંતરાલ (- oo, -j- co) પર આપવામાં આવેલ એક બિન-વિસ્તૃત ઉકેલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. એક નિશ્ચિત અચલ c માટે, અસમાનતાને સંતોષતા | \ =^ 1 સાથે, સૂત્ર A1) એક ઉકેલ નહીં, પરંતુ ઉકેલોના અનંત સમૂહનો ઉલ્લેખ કરે છે. આ કિસ્સામાં દરેક વ્યક્તિગત ઉકેલ અંતરાલ r પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે!<^0, એક્સ<^0 уравнение A3) можно 20 ВВЕДЕНИЕ [Гл. ! решать по способу, указанному в примере 2. Решая уравнение A3) "з этим способом, мы получаем: х =t-с, или X == \1 - С) у 11х) Часть графика функции A4) (при t<^c) проходит в полуплоскости х<^0, часть же (при <]> c) - અડધા વિમાનમાં π^>0. તે સીધી રીતે ચકાસી શકાય છે, જો કે, તે કાર્ય A4) એ ફિગનો ઉકેલ છે. 4. સમીકરણો A3) અંતરાલ પર t ના તમામ મૂલ્યો માટે - o તે જ સમયે, xsO એ સમીકરણ A3 નો ઉકેલ પણ છે). આમ, દરેક બિંદુ x "= 0, t ¦=" દ્વારા સીધી રેખા x = 0 સાથે પહેલાથી જ બે ઉકેલો છે (ફિગ. 4): ઉકેલ A4) અને ઉકેલ l: = 0. આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રમેયનો બીજો ભાગ 1 (વિશિષ્ટતા ) એ સમીકરણ A3 માટે ધરાવતું નથી). 5 31 અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાના પ્રમેયની રચના 21 § 3. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાના પ્રમેયની રચના § 1 માં, પ્રથમ-પ્રથમ ક્રમના એક વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું, અને આ સમીકરણ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેય ઘડવામાં આવ્યો હતો. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત સમીકરણોની વધુ સામાન્ય પ્રણાલીઓ સાથે પણ વ્યવહાર કરે છે. સામાન્ય રીતે, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમમાં જેટલાં સમીકરણો હોય છે તેમાં અજ્ઞાત કાર્યો હોય છે; તદુપરાંત, બધા અજાણ્યા કાર્યો એ જ સ્વતંત્ર ચલના કાર્યો છે. બધા કિસ્સાઓમાં, અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેય એ મુખ્ય સૈદ્ધાંતિક સ્થિતિ છે જે વિભેદક સમીકરણોની આપેલ સિસ્ટમના અભ્યાસનો સંપર્ક કરવાનું શક્ય બનાવે છે. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતાનો પ્રમેય સમીકરણોની સિસ્ટમના સંબંધમાં ઘડવામાં આવે છે અને સાબિત થાય છે, જે દેખાવમાં, કંઈક અંશે ચોક્કસ પ્રકાર ધરાવે છે. વાસ્તવમાં, આ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં પ્રમાણમાં સામાન્ય પ્રકારની સિસ્ટમો ઓછી થઈ છે. આપણે અહીં જે વિશિષ્ટ પ્રકારનાં વિભેદક સમીકરણોની પ્રણાલીઓ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ તે નીચે પ્રમાણે સામાન્ય કહેવાશે. સિસ્ટમ x1=/"y, x\ x*, . . . , x"); /= 1, . . . , અને, A) સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. આ સિસ્ટમમાં, t એક સ્વતંત્ર ચલ છે, x1,..., x" આ ચલના અજાણ્યા કાર્યો છે, અને f1,...,/" એ i-(- I વેરીએબલ્સના કાર્યો છે, જે અમુક ખુલ્લા સમૂહ Γ પર વ્યાખ્યાયિત છે. n-\-\ પરિમાણની અવકાશ, જેમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ t, x1 xn છે તે હંમેશા માની લેવામાં આવશે કે ફંક્શન્સ ફિટ છે, x1, x* xn), 1 = 1, ..., n, B) સેટ પર સતત છે Г; બરાબર એ જ રીતે: એવું માનવામાં આવશે કે અને-તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ W->i, dx/ " અસ્તિત્વમાં છે અને સેટ Γ પર સતત છે. એ નોંધવું જોઈએ કે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ C), જેનું સાતત્ય ધારવામાં આવે છે, ફક્ત બિન-ચલ x1 x "ના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે, અને સ્વતંત્ર ચલ t દ્વારા નહીં. સમીકરણો A)ની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ સતત-સતત કાર્યોની સિસ્ટમ છે x" = ? (@, 1=1,..., n, D) અમુક અંતરાલ rl પર વ્યાખ્યાયિત<^t*&. K* 4i <4b A3) 24 ВВЕДЕНИЕ [Гл. I существует решение системы A2) с этими начальными значе- значениями, определенное на всем интервале Oy<^t<^qu. В частности, если коэффициенты и свободные члены системы A2) определены на всей прямой, т. е. если qt = - оо, ^4=-|-оо, то для любых начальных значений существует решение системы A2), опре- определенное на всем бесконечном интервале -oo<^t <^-|-oo. Решения нормальной системы A) интерпретируются геометри- геометрически в виде интегральных кривых в (я-f- 1)-мерном прост- пространстве с координатами t, х1, ..., х" (ср. § 1). Уравнения интеграль- интегральной кривой имеют вид: х" = ?"@. /=1, .... п, A4) где A4) есть решение системы. Сама система A) интерпретируется с помощью поля направлений в (и-f-1)-мерном пространстве (ср. § 1). Примеры 1. Решим нормальную линейную систему уравнений jf = - toy, y=zi#x. A5) Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с коор- координатами t, х, у. Непосредственно проверяется, что система функций x = Ci cos (not -\- с4), у = с, sin (u>t -\- c8), A6) જ્યાં ct અને r મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, તે સિસ્ટમ A5 નો ઉકેલ છે). એ બતાવવા માટે કે, સ્થિરાંકો ct અને cr યોગ્ય રીતે પસંદ કરીને, ફોર્મ્યુલા A6 નો ઉપયોગ કરીને મનસ્વી ઉકેલ મેળવવાનું શક્ય છે), અમે પ્રારંભિક મૂલ્યો t0, jc0, y0 નો ઉલ્લેખ કરીએ છીએ અને બતાવીએ છીએ કે ઉકેલો A6) વચ્ચે છે. આ પ્રારંભિક મૂલ્યો સાથેનો ઉકેલ. સતત cx અને c માટે આપણે શરતો t, cos(u)/0-fcs) = x0, c,stn(u)fo-f c%) = y0 મેળવીએ છીએ. A7) p અને f એ બિંદુના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ થવા દો (x0, ....“ A8) જો B) ની જમણી બાજુ સતત પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે, તો ઓળખ A8 ની જમણી બાજુ) t ના સંદર્ભમાં સતત ડેરિવેટિવ ધરાવે છે, અને તેથી ફંક્શન fyl (t) અસ્તિત્વમાં છે અને સતત છે. લેખિત ઓળખ A8) k વખતમાં તફાવત કરીને, અમે ક્રમશઃ ઓર્ડર 2, 3,..., k~\-1 કાર્યોના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝના સહઅસ્તિત્વ અને સાતત્યની ચકાસણી કરીશું.<р"@- § 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной В предыдущем параграфе была сформулирована теорема суще- существования и единственности для нормальной системы дифференци- дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установ- установлена теорема существования и единственности для этих общих си- систем уравнений. Дадим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде. В случае одной неизвестной функции х независимого перемен- переменного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно запи- записать в виде: F(t, х, Л, ..., .*(п>) = O. A) અહીં t સ્વતંત્ર ચલ છે, x તેનું અજ્ઞાત કાર્ય છે, અને F- આપેલ કાર્ય n-(-2 ચલો. ફંક્શન F તેની દલીલોના તમામ મૂલ્યો માટે નિર્દિષ્ટ કરી શકાતું નથી, તેથી અમે ફંક્શન F ને સ્પષ્ટ કરવાના ડોમેન B વિશે વાત કરીએ છીએ. અહીં અમારો અર્થ છે પરિમાણ n-ની સંકલન અવકાશના ખુલ્લા સમૂહ B. |-2, જેમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ t, x, x, ..., x("\ જો વિભેદક સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ વ્યુત્પન્નનો મહત્તમ ક્રમ i બરાબર હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે ત્યાં એ nમા ક્રમનું સમીકરણ છે. સમીકરણ A) એ આવું સતત કાર્ય છે - સ્વતંત્ર ચલ t નું કાર્ય x=xy(t), અમુક અંતરાલ ri પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.<^t<^rit что при подстановке ее вместо х в урав- 26 ВВЕДЕНИЕ [Гл 1 нение (I) мы получаем тождество по г на интервале /"!<[?. તે સ્પષ્ટ છે કે x = y(t) સંબંધ A) માં અવેજી ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે કાર્ય o(?) તેના અસ્તિત્વના સમગ્ર અંતરાલ Γx પર<^ t <^ г9 имеет производные до порядка п включительно. Для того чтобы подстановка x = y(t) в соотношение A) была воз- возможна, необходимо также, чтобы точка, имеющая координаты {t, $(t), ..., cp(n) (t)), અંતરાલ rl થી મનસ્વી t માટે ફંક્શન F ની વ્યાખ્યાના સમૂહ B સાથે સંબંધિત છે<^t<^r9. Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. Система эта может быть ваписана в виде: pit v jt X{m>V (/ 0(t, x, x, .... xlm\ y,y y"") = 0. j ( ) 8અહીં t એક સ્વતંત્ર ચલ છે, x થી y તેના બે અજાણ્યા કાર્યો છે, ari O એ બે કાર્યો છે , દરેક ફ્રોમ/i-|-n-[-3 વેરીએબલ્સ કેટલાક ઓપન સેટ Bમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે. જો સિસ્ટમ B માં સમાવિષ્ટ ફંક્શન xના વ્યુત્પન્નનો મહત્તમ ક્રમ) m બરાબર છે, અને વ્યુત્પન્નનો મહત્તમ ક્રમ સિસ્ટમ B માં સમાયેલ ફંક્શન y નો ), n ની બરાબર છે, પછી સંખ્યા m એ સિસ્ટમ B નો ક્રમ કહેવામાં આવે છે) x ની સાપેક્ષ, સંખ્યા r એ સિસ્ટમ B નો ક્રમ છે) y ની સાપેક્ષ, અને સંખ્યા m -\-n સિસ્ટમ B નો ક્રમ કહેવાય છે). સિસ્ટમ B નું સોલ્યુશન એ સતત કાર્યો Jf= ની જોડી છે (t), y = φ (t) સિસ્ટમ B માં). એક સ્વતંત્ર ચલના ત્રણ અથવા વધુ અજાણ્યા કાર્યો સાથેના વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમો સમાન રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમના અજાણ્યા કાર્યો x1, ..., x", અને સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ ફંક્શન x1ના વ્યુત્પન્નનો ઉચ્ચતમ ક્રમ qt, 2 = 1, ..., બરાબર છે. i, પછી નંબર q , ને x1 ના સંદર્ભમાં સિસ્ટમનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા q = qy-f- q2-f- ... -f- qn ને સિસ્ટમનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે , સામાન્ય સિસ્ટમ A) § 3 નો ક્રમ છે i જો સંબંધ A) xin\ ના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય છે તો સમીકરણ A) આ રીતે ફરીથી લખવામાં આવે છે: x"=f(t, x, x, .... xl" -l)). ફોર્મ *"*)=/(", x, x, .... *<"-», у, J>, ... U»> = #(/, dg, jt, .... x , ... સમીકરણ C) અને સિસ્ટમ D) ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ કહેવાય છે. બિન-અજાણ્યા કાર્યોની મનસ્વી સંખ્યા સાથેની સિસ્ટમો કે જે ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્સના સંદર્ભમાં ઉકેલાય છે તે જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, સામાન્ય સિસ્ટમ A) § 3 ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં ઉકેલાય છે. નીચેનામાં, અમે ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં મંજૂર સિસ્ટમો સાથે લગભગ વિશિષ્ટ રીતે વ્યવહાર કરીશું. ચાલો હવે બતાવીએ કે ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમ અને ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્સના સંદર્ભમાં ક્રમ n ની સામાન્ય સિસ્ટમમાં ઘટાડી શકાય છે, ચાલો આપણે બતાવીએ કે ક્રમ n ના એક સમીકરણને સામાન્ય સિસ્ટમમાં કેવી રીતે ઘટાડી શકાય છે ઑર્ડર n A) Let U ">=/(*. y,$, ....U"") E) n નું એક વિભેદક સમીકરણ છે, જે ઉચ્ચ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાય છે સ્વતંત્ર ચલ, y એ ચલ t નું અજ્ઞાત કાર્ય છે, /(r, y, J>, .... d/(u"") એ n-\- 1 ચલ t, y, નું આપેલ કાર્ય છે. _p, ..., Y""", પરિમાણ u-f- 1 ના સંકલન અવકાશના કેટલાક ખુલ્લા સમૂહ Γ માં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ફંક્શન f(t, y, y, ..., y1 ""**) વિશે આપણે ધારીશું. કે તે સેટ Γ પર સતત છે અને તેના આંશિક વ્યુત્પન્ન (જ્યાં એવું માનવામાં આવે છે કે V0) =y) પણ સમીકરણ E ને બદલવા માટે) સમીકરણોની સામાન્ય સિસ્ટમ સાથે, નવા અજાણ્યા ફંક્શન્સ x1, x સ્વતંત્ર ચલ t ના *, ..., x" સમાનતા x* = y , x4=j>, .... xn = y(n"»> નો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. F) તે તારણ આપે છે કે સમીકરણ E) સિસ્ટમ X * = X3, G) ની સમકક્ષ છે) આમાંથી, પ્રમેય 2 ના આધારે, તે દરેક બિંદુ V0> A» માટે અનુસરે છે! સમૂહ Γ નો jV" " ઉકેલ છે y = 4 28 પરિચય 1Chap. સમીકરણ Eનું I), પ્રારંભિક શરતોને સંતોષતા f<*>(U=U*>, * = 0, 1, .... i-1, અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, પ્રારંભિક મૂલ્યો સાથેનો ઉકેલ tv jvA,. - U."-1" - (8) આગળ , કોઈપણ બે ઉકેલો પ્રારંભિક મૂલ્યો (8) સાથે એકરૂપ થાય છે - જો સમીકરણ (b) રેખીય છે, એટલે કે y, _p, ચલોના સંદર્ભમાં કાર્ય / રેખીય છે. ... ... ", Y", અને તેના ગુણાંક અંતરાલ qt પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત<^t<^qi, то для любых начальных значений t0, y0, j>0, ... "Uo"~1)> જ્યાં 9i<С *о "^ ?*>સમગ્ર અંતરાલ qx પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ ઉકેલ y = ty(t) છે<^ t <^ у* Докажем, что уравнение E) эквивалентно системе G). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению E), и докажем, что функции jc1, ..., х", определенные соотношениями F), удовлетворяют систе- системе G). Дифференцируя соотношения F), вводящие новые неиз- неизвестные функции х1, .... х", получаем: Л"=у1к); k=l я-1, (9) х"=у(п\ A0) Заменяя правые части соотношений (9) на основе соотношений F), а правую часть соотношения A0) на основании уравнения E), кото- которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему G). Допустим, что, наоборот, функции х1 хп удовлетворяют системе G); при- примем тогда х1 за у и покажем, что функция у удовлетворяет уравне- уравнению E). Полагая в первом из уравнений системы G) х1 =у, полу- получаем х* =$. Заменяя во втором из уравнений G) х2 через j>, આપણને jc3:=5J મળે છે. આ બાંધકામ આગળ ચાલુ રાખીને, અમે સંબંધો F) પર પહોંચીએ છીએ. છેલ્લે, દરેક ફંક્શન x1, ..., xn ને સિસ્ટમ G ના છેલ્લા સમીકરણોમાં બદલીને) F સૂત્રો દ્વારા), આપણે y માટે સમીકરણ E) મેળવીએ છીએ. ફંક્શન / સેટ Γ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી, સિસ્ટમ G) ની જમણી બાજુઓ પણ સેટ Γ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, ફોર્મ્યુલા F અનુસાર કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફારને આધિન). સિસ્ટમ G માટે) પ્રમેય 2 ની શરતો સેટ પર સંતુષ્ટ છે આમ, અમે આ પ્રારંભિક મૂલ્યો, સદ્ગુણ દ્વારા t0, xl0, x\, ..., xj પસંદ કરી શકીએ છીએ રિપ્લેસમેન્ટ એફ), સમીકરણ E માટે પ્રારંભિક મૂલ્યોમાં ફેરવો). જો સમીકરણ E) રેખીય છે, તો સિસ્ટમ G) પણ રેખીય છે. આમાંથી, પ્રમેય 3 ના આધારે, વાક્યનો અંતિમ ભાગ A) અનુસરે છે. g 41 સામાન્યમાં સમીકરણોની સામાન્ય પદ્ધતિનો ઘટાડો 29 આમ, દરખાસ્ત A) સાબિત થાય છે. દરખાસ્ત A) માં વર્ણવેલ તકનીક, ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલી વિભેદક સમીકરણોની મનસ્વી સિસ્ટમને સામાન્ય સિસ્ટમમાં ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે. સૂત્રો સાથે પ્રસ્તુતિમાં ગડબડ ન થાય તે માટે, નીચેના વાક્ય B) બે સમીકરણો ધરાવતી ચોથા ક્રમની સિસ્ટમનો વિચાર કરો. B) ચાલો u=f(t, u, u, v, *), 1 * = g(t, u, th, v.if)] ( " - બે બીજા-ક્રમના સમીકરણોની સિસ્ટમ. અહીં t એક છે સ્વતંત્ર વેરીએબલ, અને અને અને v એ તેના અજ્ઞાત કાર્યો છે, ચાલો નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને નવા અજાણ્યા ફંક્શન્સ jc1, x9, x*, X1 રજૂ કરીને સિસ્ટમ A11 ને સામાન્ય સિસ્ટમમાં ઘટાડીએ: આ રિપ્લેસમેન્ટ સાથે, સિસ્ટમ A1) સિસ્ટમમાં જાય છે. A2) =/<<. х\ х\ xl = g(t, х1, х\ Xя, х1). Если предположить, что функции fug, стоящие в правых частях уравнений A1), определены в некотором открытом множестве Г пя- пятимерного пространства, где координатами точки служат t, a, it, v, t, причем функции эти непрерывны и имеют непрерывные частные про- производные первого порядка по переменным и, и, v, v, то система A2) нормальна и удовлетворяет условиям теоремы 2 на множестве 1\ Отсюда легко следует, что для произвольной точки tQ, и0, щ, vt, 4fc множества Г существует решение и = <р(*), v = ty(t) системы A\\ удовлетворяющее начальным условиям Кроме того, всякие решения с одинаковыми начальными условиям! совпадают на общей части их интервалов существовании. Доказательство предложения Б) проводится точно так же, ка и доказательство предложения А). Если одно уравнение я-го порядка задано в форме F{t,y,S. ...,/n))=0, A1) не разрешенной относительно высшей производной у^ неизвестной фуш* кции, то прежде всего возникает вопрос о возможности разрешения 30 ВВЕДЕНИЕ [Гл. 1 его относительно _у1"""; этот вопрос можно считать не относящимся к области дифференциальных уравнений, он относится скорее к об- области теории функций. Здесь, однако, имеются некоторые вопросы, которые разбираются в теории дифференциальных уравнений. Они носят следующий характер. Допустим, что уравнение A3) является квадратным относительно переменного _у(л\ Тогда оно определяет двузначную функцию ум остальных переменных. Там, где два зна- значения действительно различны, мы приходим в сущности к двум различным уравнениям вида E), но там, где два значения перемен- переменного yl"\ определяемые уравнением A3), сливаются, расщепление на два уравнения вида E) невозможно и приходится рассматривать уравнение A3). Изучение таких уравнений приводит к понятию об особых решениях дифференциального уравнения и к рассмотрению уравнений на поверхностях. Эти вопросы, однако, в книге рассмат- рассматриваться не будут. Примеры 1. Решим уравнение?-{-сЛс=о, (и) где (о - положительная константа. Непосредственно проверяется, что функция jc = r cos (orf-|-a), r^sO, A5) где г и а - постоянные, удовлетворяет этому уравнению. Покажем, что формула A5) охватывает совокупность всех решений. Пусть x - "f(t)- произвольное решение уравнения A4). В силу теоремы 3 (см. конец предложения А)) можно считать, что решение лг^<р(<) определено для всех значений t. Положим પાપ a = = xv. જો આ સમાનતાઓ સંતુષ્ટ હોય, તો ઉકેલો A5) અને<р@ имеют одинаковые начальные значения 0, ха, х0 и потому совпадают (см. предложение А)). Функция A5) описывает гармонический колебательный процесс. Положительная константа г называется амплитудой колебания A5), а а - его начальной фазой или просто фазой. Уравнение A4) на- вывается уравнением гармонических колебаний. Число ш называется частотой колебаний, хотя в действительности число колебаний в секунду определяется формулой 2. Рассмотрим движение точки р массы т по горизонтальной прямой / под действием силы F, притягивающей ее к точке о на f «1 СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОЙ 81 той же прямой и пропорциональной расстоянию между точками р и о. Для составления уравнения движения точки р введем на прямой / координату, приняв за начало точку о. Переменную координату точки р обозначим через x=x(t). Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения точки р будет иметь вид: т х = F = -kx. Это уравнение обычно записывается в виде: тх -j- kx - 0. A6) Физически сила F может быть осуществлена какой-либо пружиной (рис. 5). Число k называется коэффициентом"упругости этой пру- пружины. Согласно формуле A5) решение уравнения A6) имеет вид: Таким образом, частота колебаний ш=1/ -¦ точки р определя- определяется ее массой т и упругостью пружины k; она не зависит от на- начальных условий. От начальных условий, т. е. от положения л:0 точ- точки р и ее скорости х0 в момент? = 0, зависят амплитуда г коле- колебания и его начальная фаза а. к-*- Рис. 5. 3. Составим и решим приближенно уравнение математического маятника. Математический маятник представляет собой точку р массы т, которая под действием силы тяжести движется по окруж- окружности К радиуса /, лежащей в вертикальной плоскости. Величина / называется длиной маятника. На окружности К введем угловую ко- координату, приняв за начало координат самую нижнюю точку о ок- окружности К (рис. 6). Переменную координату точки р обозначим через <р = ".р(<). Точка р находится под действием силы тяжести P=mg, направленной вертикально вниз. Составляющая этой силы, направленная по нормали к окружности, уравновешивается благодаря реакции связи (окружности или нити, заставляющей точку двигаться по окружности); составляющая, направленная по касательной к ок- окружности в точке р, равна - mgsin "f (если за положительное 32 ВВЕДЕНИЕ [Гл I направление на касательной принять направление, соответствующее возрастанию угла <р). Таким образом, уравнение движения точки р имеет вид: или, иначе, A7) Уравнение это нелинейно, и его решение представляет большие трудности. Если предположить, что координата <р точки р в процессе движения мало отклоняется от нуля, то приближенно в уравнении A7) можно заме- заменить sin"f через <р>અને અમે લોલકનું "અંદાજિત" રેખીય સમીકરણ મેળવીએ છીએ: અને, તેના ઉકેલનું સ્વરૂપ છે (જુઓ A5)): આમ, લોલકના "નાના ઓસિલેશન" ની આવર્તન સૂત્ર w = o ___ ફિગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. 6. એક લોલક પ્રતિ સેકન્ડના નાના ઓસિલેશનની સંખ્યા v એ સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બીજા લોલકની લંબાઈ, એટલે કે, એક લોલક જે પ્રતિ સેકન્ડ (y = \[સેકન્ડ) બનાવે છે. ફોર્મ્યુલા m § 5. જટિલ વિભેદક સમીકરણો અત્યાર સુધી આપણે માત્ર વાસ્તવિક સમીકરણો અને તેમના વાસ્તવિક ઉકેલોને ધ્યાનમાં લીધા છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, જો કે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવામાં આવે છે, ત્યારે વાસ્તવિક સમીકરણના જટિલ ઉકેલો શોધવાનું અને પછી તેમાંથી વાસ્તવિક ઉકેલો પસંદ કરવાનું સરળ બની શકે છે. આ અભિગમને પ્રસ્તુત કરવા માટે આપણે §5] COMPLEX DIFFERENTIAL EQUATIONS 33 વાસ્તવિક ચલના જટિલ કાર્ય અને વિભેદક સમીકરણોની જટિલ સિસ્ટમની વિભાવનાઓ A) તેઓ કહે છે કે વાસ્તવિક ચલ t નું જટિલ કાર્ય x@ આપવામાં આવે છે કેટલાક અંતરાલ આર<^tf<^ra каж- каждому значению переменного t поставлено в соответствие комплексное число где <р@ и ty(t) являются действительными функциями действитель- действительного переменного t. Функция y(t) называется действительной ча- частью комплексной функции х@>અને ફંક્શન ty(t) એ જટિલ ફંક્શન x@_ નો કાલ્પનિક ભાગ કહેવાય છે જો ફંક્શન હોય તો જટિલ ફંક્શન x@ ને સતત કહેવામાં આવે છે. (t) અને ty(t) સતત છે. તેવી જ રીતે, જટિલ ફંક્શન y_(t) જો ફંક્શન ડિફરન્સિએબલ હોય તો તેને ડિફરન્સિએબલ કહેવામાં આવે છેસમાન અંતરાલ પર m0 અને બહુપદી f અને @/ ના ગુણાંક સતત કાર્યો છે. આમ, સિસ્ટમના પ્રથમ ભાગો E) ખુલ્લા સમૂહમાં પ્રમેય 2 ની શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને સંતોષે છે Γ વિશિષ્ટ સ્થિતિ ચલ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે xy, .. પર લાદવામાં આવે છે... y" x" અને y t, જ્યારે બાકીના મનસ્વી રહેવું. 11 *"@ =?" Y=>. Y = 1, અને અમે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ હેઠળ સિસ્ટમ E) નો ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા પર આવીએ છીએ. અને. y=i, પ્રમેય 2 ના આધારે, આ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે; સમાન પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ સાથે કોઈપણ બે ઉકેલો તેમની વ્યાખ્યા અંતરાલોની સામાન્ય શ્રેણી પર એકરુપ હોય છે. જો સિસ્ટમ A) રેખીય છે, તો સિસ્ટમ E) પણ રેખીય છે, અને તેથી પ્રસ્તાવ B નો અંતિમ ભાગ) પ્રમેય 3 માંથી અનુસરે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે સિસ્ટમ A) જમણી બાજુએ zx ચલોમાં બહુપદી ધરાવે છે, ..., z ", વાસ્તવિક હોઈ શકે છે, એટલે કે, આ બહુપદીના ગુણાંક ચલ t ના વાસ્તવિક કાર્યો હોઈ શકે છે; તેમ છતાં, આ કિસ્સામાં આપણે સિસ્ટમ A)ને જટિલ તરીકે ગણી શકીએ, એટલે કે, તેના જટિલ ઉકેલો માટે જુઓ, z1, ..., zn એ જટિલ છે તે ધ્યાનમાં લેતા વાસ્તવિક સમીકરણો માટે આ અભિગમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કારણ કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વાસ્તવિક સમીકરણોના જટિલ ઉકેલો શોધવાનું સરળ છે સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રથમ મળી આવે છે, પછી વાસ્તવિક ઉકેલોને જટિલ ઉકેલોથી અલગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ ફક્ત આવા જટિલ ઉકેલોને ધ્યાનમાં લે છે, જેનો કાલ્પનિક ભાગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. વાસ્તવિક કેસની જેમ, અને જટિલ કિસ્સામાં, વિભેદક સમીકરણોની એકદમ સામાન્ય સિસ્ટમો સામાન્ય સિસ્ટમમાં ઘટાડી શકાય છે. આમ, જટિલ કિસ્સામાં અમારી પાસે § 4 ના પ્રસ્તાવ A), B) જેવા જ પ્રસ્તાવો છે. અહીં આપણે ફક્ત 'મા ક્રમના એક સમીકરણ માટે અસ્તિત્વ પ્રમેયની રચના આપીશું. બી) ચાલો *<">=/(". z. i, .... z)) F) ક્રમ n નું સમીકરણ છે, જેમાં જમણી બાજુ એ ચલ r, ?, ..., z(ના સંદર્ભમાં બહુપદી છે. અંતરાલ 9i પર વ્યાખ્યાયિત ચલ t ના સતત વાસ્તવિક અથવા જટિલ કાર્યો હોવાના ગુણાંક સાથે n~v ...»-?o(" "^ એ મનસ્વી જટિલ સંખ્યાઓ છે, અને tf0 એ અસમાનતાને સંતોષતી વાસ્તવિક સંખ્યા છે qi<^to<^q= ^ , SltlT> = 2/ ચાલો X = ji-|-/v એક જટિલ સંખ્યા છે. ફોર્મ્યુલા G ના સદ્ગુણ દ્વારા) અમારી પાસે છે: અમે બતાવીશું કે X ના જટિલ મૂલ્યો માટે નીચેનું વિભેદક સૂત્ર ધરાવે છે: + (9) પરિમાણ Xના વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે જાણીતું છે. ફોર્મ્યુલા G) અહીં લેવામાં આવે છે જટિલ ચલ w ના ફંક્શન e" ને વ્યાખ્યાયિત કરો, જો ફંક્શન ફંક્શન ew શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો તે સાબિત થઈ શકે છે. જો કે, અમે ધારીશું કે ફંક્શન е" ફોર્મ્યુલા G દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે). §5] જટિલ વિભેદક સમીકરણો 37 ચાલો સૂત્ર (8) સાબિત કરીએ. ચાલો ^i = I| -f- lvu wi પછી આપણી પાસે છે: = e+ (cos (w, -f q) + / sin (vt + w2)) = હવે આપણે સૂત્ર (9) સાબિત કરીએ છીએ. ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ કેવળ કાલ્પનિક સંખ્યા X = tv ના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ. અમારી પાસે છે: - еы = -гг (COS v/ ~\-1 sin -vf) = - v sin v* -|- h cos \t = = h (cos v< -f-1 si" v0 = be"rf- Далее, для произвольного X = jA-j-b в силу формулы дифференци- дифференцирования произведения имеем: еы = Примеры 1. Рассмотрим комплексное уравнение A0) где z -je-f-/y есть комплексная неизвестная функция действитель- функция действительною переменного t, a X = jA-}-b - комплексное число. Из (9) сле- следует, что z = ceu A1) есть решение уравнения A0) при произвольной комплексной посто- постоянной с. Покажем, что формула A1) охватывает совокупность всех решений. Для этого, как и в примере 1 § 1, можно было бы вос- воспользоваться теоремой единственности, но мы используем здесь и тео- теорему 3, для того чтобы показать, как при ее помощи можно несколько упростить вычисления. В данном случае эти упрощения очень незна- незначительны, но в дальнейшем аналогичный прием может дать более существенные результаты. Итак, пусть z = x (t) - произвольное ре- решение уравнения A0). В силу теоремы 3 (см. заключительную часть предложения В)) можно считать, что решение это определено для всех значений t. Полагая y@) = z0, мы видим, что решение z = % (t) имеет своими начальными значениями числа 0, zv Те же начальные значе- значения имеет, очевидно, и решение получаемое из A1) при с = г0. 88 ВВЕДЕНИЕ |Гл I Если положить c = reia, где г^Ои а - действительные числа, ю решение A1) записывается в форме z = reu+ia. A2) Расщепим теперь уравнение A0) на действительную и мнимую части. Мы имеем: = (И- Ь) (или X = {XX - -yy, 1 Таким образом, система A3) двух действительных уравнений равно- равносильна одному комплексному уравнению A0), и потому произвольное решение x = y(t), y=ty(t) системы A3) связано с произвольным ре- решением A2) уравнения A0) соотношением

સમીકરણોના (/) અને મુક્ત પદ bt (t) એ t ના કાર્યો છે. જો સિસ્ટમ A)ની તમામ મુક્ત શરતો શૂન્ય સમાન હોય, તો સિસ્ટમને સજાતીય કહેવામાં આવે છે. દરેક રેખીય સિસ્ટમ સજાતીય રેખીય પ્રણાલીને અનુરૂપ છે, જે મુક્ત શરતોને છોડીને તેમાંથી મેળવવામાં આવે છે. આમ, રેખીય સિસ્ટમ A) રેખીય સજાતીય પ્રણાલીને અનુરૂપ છે % = b 1= I, .... i- B) / * ચાલો રેખીય પ્રણાલીઓના કેટલાક સીધા ચકાસી શકાય તેવા ગુણધર્મોને નોંધીએ. તેમને ઘડતી વખતે, એવું માનવામાં આવશે કે રેખીય સિસ્ટમના તમામ ગુણાંક અને મુક્ત શરતો વ્યાખ્યાયિત અને અંતરાલ 9i પર સતત છે. સિસ્ટમ ડી માટેનું સોલ્યુશન છે), તો ફંક્શન્સની સિસ્ટમ એ સિસ્ટમ A માટે ઉકેલ છે). સતત ગુણાંક સાથે પ્રકરણ બે રેખીય સમીકરણો સતત ગુણાંક સાથેના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના મોટા અને મહત્વપૂર્ણ વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેને પ્રાથમિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને અંત સુધી ઉકેલી શકાય છે. હકીકત એ છે કે આ સમીકરણોનું નિરાકરણ સૈદ્ધાંતિક રીતે કોઈ મોટી મુશ્કેલીઓ રજૂ કરતું નથી, ઘણીવાર એવું માનવામાં આવે છે કે તેઓ સિદ્ધાંત માટે કોઈ નોંધપાત્ર રસ ધરાવતા નથી, અને પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેઓને સામાન્ય રીતે એક સરળ ઉદાહરણનું સ્થાન આપવામાં આવે છે. રેખીય સમીકરણોનો સામાન્ય સિદ્ધાંત. દરમિયાન, સતત ગુણાંક સાથેના રેખીય સમીકરણોમાં અસંખ્ય તકનીકી એપ્લિકેશનો હોય છે, કારણ કે આ સમીકરણો દ્વારા ઘણી તકનીકી વસ્તુઓની કામગીરીનું પૂરતું વર્ણન કરવામાં આવે છે. તે તકનીકી એપ્લિકેશનો છે જે સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં સૈદ્ધાંતિક પ્રકૃતિની સંખ્યાબંધ નવી સમસ્યાઓ આગળ મૂકે છે. લાગુ ફોકસ સાથેના ઘણા કાર્યો આ સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે સમર્પિત છે, અને તેમાંથી કેટલાક આ પ્રકરણમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. આમ, આ પ્રકરણ એન્જિનિયરિંગ પ્રેક્ટિસ માટે સામાન્ય ઓપરેશનલ નોટેશન્સનો ઉપયોગ કરે છે, જે દૂર કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલોની સ્થિરતાનો મુદ્દો, જે સ્વચાલિત નિયંત્રણના સિદ્ધાંતમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આગળ, કહેવાતા જટિલ કંપનવિસ્તાર પદ્ધતિનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, જે આંશિક સ્થિર-સ્થિતિ ઉકેલો શોધવાની અનુકૂળ રીત છે અને ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. પ્રેક્ટિસ દ્વારા પેદા થતી કેવળ ગાણિતિક સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે મારી જાતને મર્યાદિત કર્યા વિના, હું અહીં ખૂબ જ સંક્ષિપ્તમાં વિદ્યુત સર્કિટના સિદ્ધાંતનું સ્પષ્ટીકરણ રજૂ કરું છું. વિદ્યુત સર્કિટની ગણતરી આ પ્રકરણમાં વિકસિત ગાણિતિક પદ્ધતિઓનું સારું અને તકનીકી રીતે મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે. વધુમાં, આ પ્રકરણમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર રેખીય પ્રણાલીઓના ફેઝ પ્લેનનો અભ્યાસ શામેલ છે, જે સતત ગુણાંક સાથે સ્વાયત્ત 42 લીનિયર ઇક્વેશન્સના તબક્કાની જગ્યાઓના ખૂબ જ મૂળભૂત અભ્યાસથી આગળ છે [Ch. 2 (સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિનરેખીય) સિસ્ટમો. ઓટો-ઓટોનોમસ સિસ્ટમ્સના તબક્કાની જગ્યાઓ પણ ટેક્નોલોજીમાં મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશનો શોધે છે. જે કહેવામાં આવ્યું છે તેના માટે આભાર, સતત ગુણાંક સાથેના રેખીય સમીકરણો પરનો પ્રકરણ આ પુસ્તકમાં સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંત પરના પાઠ્યપુસ્તકોમાં સામાન્ય રીતે કેસ કરતાં વધુ જગ્યા લે છે. આ પ્રકરણમાંની તમામ સામગ્રીની રજૂઆત ખૂબ જ પ્રાથમિક છે, § 14 ના અપવાદ સિવાય, જ્યાં મેટ્રિસિસના જોર્ડન સ્વરૂપનો ઉપયોગ થાય છે. જોર્ડનોઝ ફોર્મનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવતી દરેક વસ્તુનો ઉપયોગ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવતો નથી અને તેને છોડી શકાય છે, જેમ કે § 14 માં વિગતવાર દર્શાવેલ છે. § 7. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (સરળ મૂળનો કેસ) આ અને પછીના ફકરામાં, રેખીય સજાતીય સમીકરણ ક્રમના સતત ગુણાંક સાથે સમીકરણ ઉકેલવામાં આવશે અને, એટલે કે, સમીકરણ<) ,) пг^0. A) где г есть неизвестная функция независимого переменного /, а. ко- коэффициенты Я|, .... аа суть постоянные числа (действительные или комплексные). Сначала будут найдены все комплексные решения этого уравнения, а затем (в случае, когда коэффициенты at, ..., ап действительны) из них будут выделены действительные решения. Уравнение A) можно записать в виде: *<»>= - Н1 *<"-» - ... - а„_, г - ап г, B) так что к нему применима теорема существования и единственности (см. предложение В) § 5). В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения B) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все ре- решения. В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет опе- операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе опера- операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени г от произвольной функции z = z(t) обоз- обозначается не через -^- г, а через pz, так что буква р, стоящая сле- слева от функции, является символом дифференцирования по t Если позволить себе применить к символу дифференцирова- дифференцирования р некоторые алгебраические действия, то мы приходим к f 7.1 СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 43 обозначению Пользуясь этим обозначением, мы можем написать tz -f-... -f an.. #2 -f aj. перь в правой части последнего ра за скобку функцию г, то мы получа сог" -f- 00 Если теперь в правой части последнего равенства позиолигь себе вынести за скобку функцию г, то мы получаем равенство = (а,/1 Таким образом, мы приходим к формальному определению. А) Пусть L (р) = floP" 4- а\Рп~х + ¦ + ап-\Р + ап - произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z - некото- некоторая действительная или комплексная функция действительного пере- переменного t. Положим: L [р)г = а,гМ + а^п-л) + _^ + а^ + ^ C) Если t(p) и Af(p) суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования />), અને ચલ t ના z, zv z% ફંક્શન્સ, તો પછી, જોવામાં સરળ છે તેમ, આપણી પાસે ઓળખ છે = L(p) zx 4- /- (p)zit ¦ Hp)(AHp)z)=(Hp )M(p))z. રજૂ કરેલા સંકેતોને કારણે, સમીકરણ A) ફોર્મમાં લખી શકાય છે: Tsr)r = 0, D) જ્યાં L (p) = p" 4th, "-14- + o"-iP + "B) ચાલો Z (/?) પ્રતીક p ના સંદર્ભમાં એક મનસ્વી બહુપદી બનો પછી L(p)P*=L(\) . ચાલો મૂકીએ: ચાલો હવે બતાવીએ કે સ્થિરાંકો s..., cn પસંદ કરી શકાય છે જેથી સૂત્ર (8) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત z(t) એ જ પ્રારંભિક શરતો *»-1ને સંતોષે. (9) ફંક્શન z ને સૂત્ર (8) માંથી સમીકરણો (9) માં બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ: "^4fl 4) ", Y-k કેસ 45 સંબંધો A0) સાપેક્ષ અજ્ઞાત c1, c માટે i સમીકરણોની સિસ્ટમ રજૂ કરે છે \ ..., એસપી. સિસ્ટમ A0) ઉકેલી શકાય તે માટે, તે પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સ r(O) J?g@) r(,n-2H0) * નો નિર્ણાયક<"->) -. ^п-2"@) ^-"@) 4"->) - ^!)@), અદૃશ્ય થઈ નથી. તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે મેટ્રિક્સ A1) ફોર્મ ધરાવે છે: /1 1 ... 1 i X8 .. Xn અને તેથી તેનો નિર્ણાયક (વન્ડરમોન્ડે નિર્ણાયક) શૂન્યથી અલગ છે, કારણ કે તમામ સંખ્યાઓ Xt, X, X „ પેરવાઈઝ અલગ છે જો કે, અમે મેટ્રિક્સ A1 ના નિર્ણાયકનો બીજો (સીધો) પુરાવો આપીશું. તે શૂન્યથી અલગ છે અસ્તિત્વમાં છે. આનો અર્થ એ છે કે bn_lt bn_h, ..., bо અસ્તિત્વમાં છે, જે એક સાથે અદૃશ્ય થઈ જાય છે, જેથી મેટ્રિક્સ A1)ની પંક્તિઓનો ગુણાકાર કરીને, આપણે શૂન્ય પંક્તિ મેળવીએ છીએ આ શૂન્ય પંક્તિનો k-R શબ્દ, આપણને મળે છે: *„-**@)+*»-A@)+...V<"~2) @)+ »@) = 0. A2) Если обозначить через М (р) многочлен b$n i -j- fc,p"~* -{-...-(- bn_^p ~\- -\-bn_x, то соотношение A2) можно записать в виде: В силу формул E) и G), отсюда получаем: а это невозможно, так как степень многочлена М(р) не превосхо- превосходит п - 1, потому он не может иметь п различных корней 46 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (Гл. 2 Х|, ..., Xfe, .... А„. Полученное противоречие показывает, что детер- детерминант системы A0) отличен от нуля, и потому константы с1, .... с" можно (и притом однозначно) выбрать так, чтобы решения z^(t) и z(t) удовлетворяли одинаковым начальным условиям. При таком (и только при таком) выборе этих констант решение (8) совпадает с заданным решением г%{1). Итак, теорема 4 доказана. Если коэффициенты многочлена L{p), входящего в уравнение F), действительны, то возникает вопрос о выделении действительных решений из совокупности (8) всех комплексных решений. Решение этого вопроса опирается на предложение Г), при форму- формулировке и доказательстве которого мы будем пользоваться вектор- векторными обозначениями. Напомним их здесь. В) Вектором л-мерного пространства будем называть последо- последовательность, состоящую из п чисел: и = (и\ и2, .... н"). Здесь и - вектор, а и1, н4 и" - числа, называемыа его коорди- координатами. Векторы всегда будем обозначать жирными буквами. Если координаты вектора - действительные числа, то вектор считается действительным, если же координаты его комплексны, то и сам вектор считается комплексным. Вектор и, комплексно сопряженный с вектором я, определяется равенством й = (иТ i?, .... /7). Очевидно, что вектор и тогда и только тогда является действитель- действительным, когда а = и. Произведение вектора « = («", и9, ..., и") на действительное или комплексное число а определяется формулой а« = иа = (ам1, аи8, ..., аи"). Сумма векторов « = («", м9 и") и v=(vl, v* vn) определяется формулой Нулевым вектором называется вектор 0, все координаты которого равны нулю. Пусть «1, «2 «г - конечная система векторов. Соотношение §7] СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 47 где а1(аг а, - числа, среди которых имеются не равные нулю, называется линейной зависимостью между векторами ии и4. .., иг. Если между векторами не существует линейной зависимости, то они называются линейно независимыми. Пусть «/ = («}, и], .... и]), У-1. .... г. Числа и1, образуют матрицу (и"); "=1 я; 7=1» .... г. Если считать, что верхний индекс / указывает номер строки, а нижний j - номер столбца, то матрица {и") имеет высоту и и ширину г. Таким образом, вектору iij в матрице (и1) соответствует j-R столбец (состоящий из координат этого вектора). Отсюда видно, что линей- линейной зависимости векторов иь щ, ..., иг соответствует линейная зависимость столбцов матрицы (и".). В случае г = м матрица (н".) квад- квадратна, и векторы и, и, .... «„ тогда и только тогда линейно неза- независимы, когда детерминант М этой матрицы отличен от нуля. Г) Пусть «I. ** .... zn A3) - система из и линейно независимых комплексных векторов в л-мер- ном пространстве. Допустим, что система A3) вместе с каждым вектором содержит сопряженный ему вектор. При этих предположе- предположениях вектор г, определяемый формулой z = clzx + ... + c"z,v (И) тогда и только тогда действителен, когда коэффициенты, стоящие при сопряженных векторах, сопряжены, а коэффициенты, стоящие при действительных векторах, действительны. Докажем это. Будем предполагать для определенности, что выпол- выполнены соотношения ~Zj = Zf, 7=2* + !. - « J Тогда вектор г согласно A4) имеет вид: z = с1*, + с% +... + с2*-1^, + c*»zih + <* а вектор z - вид: *= T*Zy + ?г2 +...+ «^.rf- ^"!г4А + c2*+1zifttl +... + с» zn. A6) Если с1 = ?, ..., с" = с2*, c2ft+1 = с5*4; . .к, сп == с", A7) то из равенств A5) и Aб) следует, что z = z, т. е. что вектор е действителен. Если, наоборот, предположить, что вектор z дей« 48 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ G ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 ствителен, т. е. что г =г, то равенства A5) и A6) дают (в силу линейной независимости векторов A3)) систему соотношений A7). Итак, предложение Г) доказано. Нижеследующее предложение Д) дает способ выделения дей- действительных решений из совокупности всех комплексных решений уравнения F) в случае, когда коэффициенты многочлена L (р) дей- действительны. Д) Допустим, что коэффициенты многочлена L(p) действительны; тогда наряду с каждым комплексным корнем Х_многочлен L (р) имеет сопряженный с ним корень X. Решения еи и еи уравнения F) сопря- сопряжены между собой (см. § 5,Г)). Если же корень X действителен, то реше- решение еи действительно. Таким образом, наряду с каждым решением в системе решений G) имеется также комплексно сопряженное с ним решение. Для того чтобы решение (8) уравнения F) было действи- действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, стоящие при комплексно сопряженных решениях, были сопряжены, а коэффициенты при действительных решениях действительны. Для доказательства обозначим через zk вектор с координатами {zk@), 2k@),..., г%~2Щ, z?-l>@)) અને z દ્વારા - કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો વેક્ટર (z0, ?«,..., zf,")). પછી સંબંધો A0) સ્વરૂપ લે છે: વેક્ટર Zi, Zi,..., zn રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. , કારણ કે મેટ્રિક્સ A1) શૂન્યથી અલગ છે આમ, D માં આપેલ શરતની આવશ્યકતા સીધી રીતે D થી અનુસરે છે). Xt અને Xa એ બે જટિલ સંયોજક મૂળ છે, અને c1ex^ અને c*ex*1 એ જટિલ સંયોજક છે, અને તેથી તેમનો સરવાળો વાસ્તવિક છે . ઉદાહરણો 1. ચાલો સમીકરણ Г - 35-f- 9i-\-l3z - 0 ના તમામ જટિલ ઉકેલો શોધીએ. તે F સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે), જ્યાં તે સીધી રીતે ચકાસવામાં આવે છે કે p = - 1 એ નું મૂળ છે સ્થિર બહુપદી L (p) નું પાત્ર. L(p) ને p-f-l વડે ભાગવું. આપણને મળે છે: -4/>+13), જ્યાંથી આપણને વધુ બે મૂળ 2 ± 3/ મળે છે. આમ, બહુપદી L (p) ના § 71 THE CASE OF SIMPLE ROOTS 49 એ સંખ્યાઓ છે, પ્રમેય 4 ના આધારે, વિચારણા હેઠળના સમીકરણના સામાન્ય જટિલ ઉકેલનું સ્વરૂપ છે: નીચેના ઉદાહરણો 2 અને 3 માં, વાસ્તવિક ઉકેલો ઓળખવા માટેના બે સામાન્ય નિયમો આપવામાં આવ્યા છે. આ નિયમો સીધું જ દરખાસ્ત D થી અનુસરે છે). 2. અમે ધારીએ છીએ કે સોલ્યુશન સિસ્ટમ G) શરતોને સંતોષે છે...,Zn - Zn, A8) અને સેટ કરો: zx=xx-\-lyx, .... zik_x = xk + lyk, જ્યાં xx xk, yu . i V* - વાસ્તવિક કાર્યો. અમે આગળ ધારીશું કે સંખ્યાઓ c1, c*, ..., c" શરતો A7 સંતોષે છે) અને મૂકો: c1 = 1-(a1 - /*)...-."** " = 1 ( a* - 1b% જ્યાં a1, ..., ak, bl, ..., bk એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ફરીથી અમે માનીશું કે ઉકેલો G) સંતુષ્ટ કરે છે* શરતો A8; aft) -f -f сг*+V2*+i" - f... -f c"e V. અહીં pc..., pft, a, ..., aft, c2ft+1, ..., c " મનસ્વી વાસ્તવિક સ્થિરાંકો છે. છેલ્લી એન્ટ્રી પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક. સતત ગુણાંક સાથે કાલ્પનિક 60 રેખીય સમીકરણો [પ્રકરણ 2 ભાગ v,- રુટ Xy નો ^b 0 ઉકેલને આવર્તન v ની ઓસીલેટરી પ્રકૃતિ આપે છે;- , અને મૂળ \j નો દરેક વાસ્તવિક ભાગ jxy e?.jy અથવા વૃદ્ધિ (^^>0 માટે), અથવા ઘટાડો (એટ (a;-) આપે છે.<^0). 4. Используя результаты примеров 2 и 3, мы можем записать все действительные решения уравнения, рассмотренного в примере 1, в двух следующих формах: г = axev cos 3* -f blev sin Ы -f сV, г = р,с4" cos § 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) Если характеристический многочлен L (Р) =Рп + сцрп-1 +... + -f a„ of the સમીકરણ?(р)г = 0 A) (જુઓ § 7, A)) બહુવિધ મૂળ ધરાવે છે, તો પછી ફોર્મ ei ના કાર્યો વચ્ચે સમીકરણ A ના વિવિધ ઉકેલો શોધવાનું અશક્ય છે). આ કિસ્સામાં અલગ પ્રકારના ઉકેલો શોધવા માટે, અમે નીચેના માર્ગદર્શક વિચારણાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. Xi અને X9 એ લાક્ષણિક બહુપદી L(p) ના બે અલગ અલગ વાસ્તવિક મૂળ હોવા દો; પછી ફંક્શન -j r-" એ સમીકરણ A નો ઉકેલ છે). જો આપણે હવે ધારીએ કે બહુપદી L (p) ના ગુણાંક બદલાય છે, Xj સંખ્યા Xj તરફ વળે છે, તો આ ઉકેલ સમાપ્ત થાય છે (અંતમાં) ફંક્શન fe*"" માટે, o જે માની લેવું સ્વાભાવિક છે કે તે સમીકરણ A નો ઉકેલ છે) જો Xj એ બહુપદી L(p) નું ડબલ રુટ છે, તો તેવી જ રીતે આપણે અનુમાન પર આવીએ છીએ કે જો X લાક્ષણિક બહુપદી L(p) નું A-ફોલ્ડ રુટ છે, પછી સમીકરણ A ના ઉકેલો) બધા કાર્યો છે: આ અનુમાનને જટિલ બહુવિધ મૂળના કિસ્સામાં લંબાવીને, અમે એવી ધારણા પર આવીએ છીએ કે નીચેનું પ્રમેય (જે એક પ્રમેય 4) નું સામાન્યીકરણ માન્ય છે: પ્રમેય 5. ચાલો L(p)z = V B) સતત ગુણાંક સાથે ક્રમ n નું એક રેખીય સજાતીય સમીકરણ છે, આગળ, X„..., Xm એ તમામ જોડી પ્રમાણે અલગનો સમૂહ છે સમીકરણ B ના લાક્ષણિક બહુપદી L(p) ના મૂળ), અને મૂળ X7- ગુણાકાર kj ધરાવે છે, જેથી *»l કેસ બહુવિધ મૂળ 61 ~\~ *« ~\-" ~\- 1*m = n - પુટ: zkt = C) પછી બધા કાર્યો C) સમીકરણ B ના ઉકેલો છે), h/ao અને/m/ કોઈપણ જટિલ સ્થિરાંકો c1, c3, ..., c" કાર્ય D) પણ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે . આ સોલ્યુશન એ અર્થમાં સામાન્ય છે કે સમીકરણ B નો દરેક ઉકેલ) ફોર્મ્યુલા D નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે) c1 c" ની યોગ્ય પસંદગી સાથે. /7 અને સ્થિરાંકો c1, .... c" દરેક આપેલ માટે વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉકેલ z. નોંધ કરો કે વિધેયો C) સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે - oo<^t<^ -|- оо. Доказательству теоремы 5 предпошлем доказательство формулы смещения. А) Пустл?(/?)-произвольным многочлен, X - произвольное ком- комплексное число и/(<) - произвольная достаточное число раз диффе- дифференцируемая функция. Тогда имеет место следующая нажпая формула: L (р) (e*f(t)) = еи ¦ L (/>+ l)f(t). E) ચાલો સૂત્ર E સાબિત કરીએ). ચાલો પહેલા તેને L(p)^p માટે તપાસીએ. અમારી પાસે છે: P (^"/@) = X /" હવે સૂત્ર E) પ્રથમ ડિગ્રી L(p) = ap-\- b ની મનસ્વી બહુપદી માટે તપાસવું સરળ છે. અમારી પાસે છે: (ap + *) (^7@) = ^ (f = ae» (p + X)/(<) + be"f{t) = еи [а (р + X) Доказательство формулы E) в общем случае проведем индуктивно по степени п многочлена L(j>). n=\ માટે સૂત્ર, આપણે જોયું તેમ, સાચું છે. ચાલો માની લઈએ કે તે ડિગ્રી n - 1 (“5 = 2”) ની બહુપદી માટે સાચું છે અને તેને ડિગ્રી n ના બહુપદી L(p) માટે સાબિત કરીએ છીએ ડિગ્રી n બે પરિબળોમાં L(p) = Ly (p) ¦ T (p), જ્યાં Ll(p) ની ડિગ્રી 1 છે, અને "(/>) ડિગ્રી n-1 ધરાવે છે. ફોર્મ્યુલા E એ દરેક બહુપદી T(p) અને Z.2(/0) માટે માન્ય હોવાથી, આપણી પાસે છે (જુઓ § 7, A)): = Lt(p) (I, (p) (eX// @ )) = Ц(р) (euU 62 LINEL EQUATIONS WITH CONSTANT COEFFICIENTS [પ્રકરણ 2 આમ, સૂત્ર E) સાબિત થાય છે. ચાલો હવે દરખાસ્ત B સાબિત કરીએ), જે લગભગ સંપૂર્ણપણે પ્રમેય B ધરાવે છે. B) L(p) ને p પ્રતીકના સંદર્ભમાં એક મનસ્વી બહુપદી બનવા દો અને વાસ્તવિક ચલ t નું કાર્ય ω@ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા દો જ્યાં X એક જટિલ સંખ્યા છે. તે તારણ આપે છે કે જો X એ બહુપદી L(p) નું A-ફોલ્ડ રુટ છે, તો ફંક્શન્સ u(t) o)ft_, (t) સમાન રીતે શૂન્ય સમાન છે. બીજી બાજુ, તે તારણ આપે છે કે જો ફંક્શન u>0@> o>i(<)>¦> wk-\(t) એ ઓછામાં ઓછા એક મૂલ્ય t = te માટે શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે સમાનતાઓ % Co) =... = “oh Co) = 0, F) પછી Xને પકડી રાખો બહુપદી L(p) નું મૂળ છે અને આ મૂળનો ગુણાકાર ઓછામાં ઓછો k છે ચાલો પ્રસ્તાવ B સાબિત કરીએ). ડિસ્પ્લેસમેન્ટ ફોર્મ્યુલા (જુઓ E))ના આધારે આપણી પાસે છે: vr(t) = euL(p + \)tr. G) ચાલો પહેલા ધારીએ કે X એ બહુપદી L(p) નું A- ગણો મૂળ છે, એટલે કે, આ ઓળખમાં p ને p -f- X વડે બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ: /.(p + A) = A* (p + X)/. (8) ફોર્મ્યુલા G) અને (8)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ: is>r(t)=eXtM(p-\-V)(/tr) = Q માટે r = 0, 1, .... A -1, જેથી рНг = 0 પર r<^k. Таким образом, первая часть предложе- предложения Б) доказана. Допустим теперь, что имеют место соотношения (в). Разлагая L(p-\-\) по степеням р, получаем: (9)" Из соотношений G) и (9) получаем: а это в силу F) дает Допустим теперь, что имеют место равенства A0) § 8 | СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ 53 и докажем, что br~0. В силу G), (9) и A0) имеем: В силу F) из этого следует Ь, = 0. Таким образом, Ьй - Ьх = ... = fcft_i = 0, и многочлен /.(p-f-A) имеет вид: Заменяя в этом тождестве р через р - X, получаем: а это показывает, что X есть корень многочлена L (р), причем крат- кратность его не меньше k. .Таким образом, предложение Б) доказано. Доказательство теоремы 5. Из первой части предложе- предложения В) непосредственно следует, что функции C), указанные в фор- формулировке теоремы 5, являются решениями уравнения B). Докажем, что, выбирая надлежащим образом константы с1 с", мы можем получить по формуле D) произвольное решение z% уравнения B) (при этом, в отличие от того, что было сделано при доказательстое теоремы.4, мы здесь не будем пользоваться теоремой 3). Пусть г% - произвольное решение уравнения B), определенное на некотором интервале ri<^i, COS (t -\- ai) -|- ptt COS (t + a-i). § 9. સ્થિર બહુપદી L(p)z = 0, A) ને સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ બનવા દો. આ સમીકરણના ઉકેલો t-~4-°o તરીકે કેવી રીતે વર્તે છે તે પ્રશ્ન (શું તેઓ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે, બંધાયેલા રહે છે અથવા મર્યાદા વિના વધે છે) સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતના અસંખ્ય કાર્યક્રમોમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. . |9] સ્થિર બહુપદીઓ 67 § 8 ના § 7 અને 4 ના 3 ઉદાહરણોમાં પહેલેથી જ નોંધ્યું હતું કે સમીકરણ A) ના ઉકેલોના વર્તન વિશેનો આ પ્રશ્ન બહુપદી L (p) ના મૂળના વાસ્તવિક ભાગો શું છે તેનાથી સંબંધિત છે ). ચાલો હવે આ જોડાણને વધુ સ્પષ્ટ રીતે ઘડીએ: A) બહુપદી L (p)ને સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ મૂળમાં નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગો હોય અથવા, ભૌમિતિક ભાષામાં, જટિલ ચલના સમતલની કાલ્પનિક ધરીની ડાબી બાજુએ આવેલું હોય. . J~l m એ બહુપદી L(p) ના તમામ મૂળ હોવા દો. જો આ બહુપદી સ્થિર હોય, તો ત્યાં ધન સંખ્યા હોય છે f-oo તરીકે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે અને તેથી તે t^ 0 પર મર્યાદિત છે. આમ, અમારી પાસે છે: અથવા, સમાન શું છે, se-al પર જો હવે સમીકરણ A નો મનસ્વી ઉકેલ છે), તો પછી<^>0 અમારી પાસે છે: આમ, અસમાનતા C) સાબિત થાય છે. એ નોંધવું જોઈએ કે જો X, બહુપદી L(p) ના ઓછામાં ઓછા એક મૂળમાં હકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગ ^ ]> 0 હોય, તો સમીકરણ (I) માટે e 1* ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે, જે અનિશ્ચિત રૂપે t તરીકે વધે છે. -»ઓ. સતત ગુણાંક સાથે 68 રેખીય સમીકરણો (પ્રકરણ 8) ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ઘણા અભ્યાસો હજુ પણ બહુપદી માટે વિવિધ સ્થિરતાની સ્થિતિ શોધવા માટે સમર્પિત છે જે વ્યવહારિક ઉપયોગ માટે શક્ય તેટલી અનુકૂળ છે, બીજી ડિગ્રીના બહુપદી માટે, સ્થિરતાની સ્થિતિ સીધી રીતે લેવામાં આવી છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર (જુઓ. B)). મનસ્વી ડિગ્રી n ની બહુપદીની સ્થિરતાનો પ્રશ્ન ગણિતશાસ્ત્રીઓ રૂથ અને હુરવિટ્ઝ દ્વારા થોડા અલગ સ્વરૂપોમાં ઉકેલવામાં આવ્યો હતો. રા-રાઉસ-હરવિટ્ઝ શરતો, જો કે, કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રેક્ટિસ માટે ખૂબ અનુકૂળ નથી, અને તેથી તેઓ સ્થિરતા પરિસ્થિતિઓના નવા ફોર્મ્યુલેશનની શોધ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. અહીં અમે n = 3 માટે રૂથ-હરવિટ્ઝ માપદંડનો પુરાવો આપીશું અને પુરાવા વિના, અમે હુરવિટ્ઝ સ્વરૂપમાં મનસ્વી ડિગ્રી i માટે સ્થિરતાની સ્થિતિ આપીશું. B) વાસ્તવિક ગુણાંક a અને b સાથે બીજી ડિગ્રી L(p)=р%-\-ар-\-b નો બહુપદી સ્થિર છે જો અને માત્ર જો તેના ગુણાંક હકારાત્મક હોય. આ વિધાનને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. C) જો બહુપદી L(p)=pn-\-aipn~x-\- ... +а„ વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે સ્થિર હોય, તો તેના તમામ ગુણાંક ધન છે. આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો આપણે બહુપદી L(p) ને પ્રથમ અને બીજા અંશના વાસ્તવિક અવયવોમાં વિઘટન કરીએ, એટલે કે p-\-c અને pi -\- ap -\- b સ્વરૂપના અવયવોમાં. બહુપદી L(p) સ્થિર હોવાથી, તેની રચનામાં સમાયેલ દર્શાવેલ પ્રકારનો દરેક પરિબળ પણ સ્થિર છે. પરિબળ p -\- c ની સ્થિરતા માટે તે જરૂરી છે કે સંખ્યા c ધન હોય, અને પરિબળ p9 -(- ap -f-b ની સ્થિરતા માટે એ જરૂરી છે કે બંને સંખ્યાઓ a, b હકારાત્મક હોય. પરિબળોના ગુણાંકની સકારાત્મકતા તે સરળતાથી ઉત્પાદનના ગુણાંકની હકારાત્મકતાને અનુસરે છે.<цр -|- а3, а„ >વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેનો O સ્થિર છે જો અને માત્ર જો, a^, a3 પરની સંખ્યાઓ હકારાત્મક હોય અને વધુમાં, અસમાનતાનો પુરાવો હોય. સાબિતીમાં, અમે બહુપદી L(p) = p* + ap*-\-bp-\-c D) સામાન્ય બહુપદી L (p) નો કેસ સરળતાથી આમાં ઘટાડી શકાય છે તે ધ્યાનમાં લઈશું. દરખાસ્ત B ના સદ્ગુણ દ્વારા) અમારા માટે તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે બહુપદી D) હકારાત્મક ગુણાંક સાથે a, b, c સ્થિર છે અને માત્ર જો અસમાનતા ab>c ધરાવે છે. E) સાબિતીમાં, અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું કે બહુપદીના મૂળ તેના ગુણાંકના સતત કાર્યો છે. ચાલો આપણે સૌપ્રથમ એ શોધી કાઢીએ કે કઈ પરિસ્થિતિઓમાં બહુપદી D) સંપૂર્ણ રીતે કાલ્પનિક મૂળ ધરાવે છે, ખાસ કરીને, મૂળ p -0, જેને સંપૂર્ણ કાલ્પનિક પણ માનવું જોઈએ, કારણ કે તે કાલ્પનિક ધરી પર આવેલું છે. અમારી પાસે છે: L(P) = (p-\-a)(pi-\-b)-ab-\-c. F) જો બહુપદી L(p) નું મૂળ 0 હોય, તો c = 0, અને આને ધારણા દ્વારા બાકાત રાખવામાં આવે છે, કારણ કે c > 0. ચાલો ધારીએ કે બહુપદી L(/?) નું મૂળ સંખ્યા /co છે. , જ્યાં φ 0 સાથે. જો આપણે ધારીએ કે સંખ્યા - «o4 -|- b શૂન્યથી અલગ છે, તો સંખ્યા (/o) -|~ a) (- w* -(- b) પાસે બિન-શૂન્ય છે કાલ્પનિક ભાગ અને વાસ્તવિક સંખ્યા -ab -J- c સાથે રદ કરી શકતો નથી આમ, સંખ્યા /u એ બહુપદી L(p)નું મૂળ હોઈ શકે છે જ્યારે - ω4 -)- b = 0; આ કિસ્સામાં આપણી પાસે સમાનતા L(h>) = ~ ab-\-c-b છે. તેનાથી વિપરિત, જો ab - c, તો પછી F દ્વારા) બહુપદી L(p) ના કેવળ કાલ્પનિક મૂળ p = :+:i]/rb છે. આમ, બહુપદી L(p) (ધન ગુણાંક સાથે) સંપૂર્ણ કાલ્પનિક મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો ab = c હોય. ખાસ કરીને, હકારાત્મક ગુણાંક a, b, c માં સતત ફેરફાર સાથે, બહુપદી L(/?) નું મૂળ માત્ર ત્યારે જ કાલ્પનિક ધરીને પાર કરી શકે છે જ્યારે સમાનતા ab = c ધરાવે છે. ચાલો ધારીએ કે અસમાનતા E) પકડી શકતી નથી. પછી કાં તો ab = c અથવા ab<^c. В первом случае многочлен L (р) имеет чисто мнимые корни и, следовательно, неустойчив. Покажем, что во втором случае, т. е. при выполнении неравенства а* О, G) многочлен L{p) также неустойчив. Будем менять непрерывно коэф- коэффициенты а и Ь, оставляя их положительными, так, чтобы они стре- стремились к нулю и чтобы при этом неравенство G) не нарушалось. При этом изменении ни один корень не перейдет с одной стороны мнимой оси на другую, и, следовательно, свойство многочлена быть устойчивым или неустойчивым не изменится. При а = Ь = 0 получаем многочлен р3-\-с, который имеет корни y^cfcos -^-zb/sin -g-J, лежа- лежащие по правую сторону мнимой оси. В силу непрерывности зависи- зависимости корней от коэффициентов, неустойчивость (наличие корней справа от мнимой оси) сохраняется и при достаточно малых поло- положительных а и Ь. 60 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 Допустим теперь, что неравенство E) выполнено, и покажем, что многочлен L (р) устойчив. Для этого будем менять коэффициент с так, чтобы он стремился к нулю, оставаясь положительным, и чтобы неравенство E) при этом не нарушалось. При с = 0 мы получаем многочлен имеющий один нулевой корень и два корня с отрицательными дей- действительными частями. При малом положительном с эти два корня мало изменятся, так что произведение их останется положительным, а нулевой корень перейдет в малый положительный или отрицательный. Так как произведение всех трех корней равно отрицательному чис- числу - с, то корень, близкий к нулю, будет отрицателен. Итак, теорема 6 доказана. Для того чтобы формулировать необходимые и достаточные усло- условия устойчивости любого многочлена с действительными коэффици- коэффициентами, условимся сначала о терминологии. Пусть Рк...>Рп... પિન р - Ра\ РпЛ એ ક્રમ n નો એક મનસ્વી ચોરસ મેટ્રિક્સ છે Рп... Ркл... Ры અમે તેને Pki .../> કહીશું. અમે Afc (P) દ્વારા સૂચિત કરીશું. આમ, નિર્ણાયક Dd(P) પ્રથમ k કૉલમ અને પંક્તિઓમાં સમાવિષ્ટ મેટ્રિક્સ P ના ઘટકોથી બનેલું છે. પ્રમેય 7. aop "-\-aip"~l-f- ... -\-a„, 00~^>0 (8) વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે ડિગ્રી n નો મનસ્વી બહુપદી" બનવા દો. પ્રશ્નને સ્પષ્ટ કરવા માટે તેની સ્થિરતા, મેટ્રિક્સ /a, a3 a... O \ a0 a4 a^ ... O O a, aA \ 0 -i/ § 9] 61 ક્રમ n ની સ્થિર બહુપદી બનાવે છે તે બહાર આવ્યું છે કે બહુપદી (8 ) સ્થિર છે જો અને માત્ર જો તમામ મુખ્ય સગીર &k(Q), k=\, ...", મેટ્રિક્સ Q ના А ધન હોય. પ્રમેય 7 આ પુસ્તકમાં સાબિત થશે નહીં. તેનો પુરાવો, ઉદાહરણ તરીકે, પુસ્તકમાં મળી શકે છે: N. G. Chetaev, Stability of Movement, Gostekhizdat, M., 1956 (જુઓ pp. 79 - 83). ગેરસમજ ટાળવા માટે, ચાલો મેટ્રિક્સ Qનું વર્ણન કરીએ. મેટ્રિક્સ Q ના કૉલમ નંબર kનું સ્વરૂપ છે: જ્યાં તત્વ ak મુખ્ય કર્ણ પર છે; આ કિસ્સામાં, તત્વ ct+y જેની અનુક્રમણિકા k-\-j ઋણ અથવા n કરતાં વધુ છે તે શૂન્ય સમાન ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણો\. "ચાલો પ્રમેય 7 થી પ્રમેય 6 મેળવીએ. કિસ્સામાં n = 3 matr

ટૂંકા લોકપ્રિય વિજ્ઞાન પુસ્તકોની શ્રેણીમાં ચોથું (છેલ્લું) પુસ્તક "ઉચ્ચ ગણિતનો પરિચય." તેમાં, વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત, વિદ્યુત સર્કિટના સિદ્ધાંતમાં આ સમીકરણોના ઉપયોગ સાથે, સતત ગુણાંક સાથેના રેખીય સમીકરણો પર ભાર મૂકવા સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે. સ્વાયત્ત પ્રણાલીઓ, તેમાં સંતુલન સ્થિતિ અને મર્યાદા ચક્રને પણ સિદ્ધાંત અને ટ્યુબ જનરેટરના સંચાલનને નિયંત્રિત કરવા માટેની એપ્લિકેશન સાથે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.
ગણિતમાં રસ ધરાવતા હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ અને જુનિયર યુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીઓ માટે. માધ્યમિક અને ઉચ્ચ શાળાના શિક્ષકો માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટ.
સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત ટેક્નોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં તેનો ઉપયોગ શોધે છે; તેનો ઉપયોગ ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ અને ખાસ કરીને રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં થાય છે. કેટલાક આદર્શીકરણ સાથે, રેડિયો ઉપકરણની કામગીરીને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા ગાણિતિક રીતે વર્ણવી શકાય છે, અને આ સિસ્ટમમાં સમયના અજાણ્યા કાર્યો એ ઉપકરણના વિવિધ ભાગોમાંથી પસાર થતા પ્રવાહોની તીવ્રતા અથવા વ્યક્તિગત ઘટકો વચ્ચેના વોલ્ટેજના ટીપાં છે. ઉપકરણની. રેડિયો ઉપકરણો સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતની એપ્લિકેશનને દર્શાવતી ખૂબ જ સમૃદ્ધ સામગ્રી પ્રદાન કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, મિકેનિક્સમાં સમસ્યાઓ કરતાં વધુ સમૃદ્ધ. આ સંપત્તિ, ખાસ કરીને, એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમ, કેટલીક તકનીકી સમસ્યામાંથી ઉદ્ભવતા, ઘણીવાર વિદ્યુત ઉપકરણ દ્વારા મોડેલ કરી શકાય છે, એટલે કે, વિદ્યુત ઉપકરણનું નિર્માણ શક્ય છે જેની કામગીરીનું વર્ણન આના દ્વારા કરવામાં આવે છે. સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમ જે અમને તકનીકી ઑબ્જેક્ટમાં રસ ધરાવે છે.

આવા સિમ્યુલેટીંગ વિદ્યુત ઉપકરણ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવામાં અમુક અંશે મદદ કરી શકે છે, કારણ કે તેની કામગીરીનું અવલોકન કરીને, આપણે ત્યાં સમીકરણોની સિસ્ટમને સંતોષતા અજાણ્યા કાર્યોની વર્તણૂકનું અવલોકન કરીએ છીએ. વિદ્યુત ઉપકરણોના સંચાલનને સંચાલિત કરતા ભૌતિક નિયમો એટલા સરળ રીતે ઘડવામાં આવ્યા છે કે તેઓ ભૌતિકશાસ્ત્રથી લગભગ અજાણ વ્યક્તિ સુધી પણ સરળતાથી વાતચીત કરી શકે છે. અહીં, કંઈક અંશે કટ્ટરપંથી સ્વરૂપમાં, વિદ્યુત ઈજનેરીના સરળ કાયદાઓનું નિવેદન આપવામાં આવ્યું છે અને વિદ્યુત ઉપકરણોના સંચાલનના અભ્યાસ માટે વિભેદક સમીકરણોના ઉપયોગના ઘણા ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે.

ઇ-બુકને અનુકૂળ ફોર્મેટમાં મફતમાં ડાઉનલોડ કરો, જુઓ અને વાંચો:
ઈન્ટ્રોડક્શન ટુ હાયર મેથેમેટિક્સ, બુક 4, ડિફરન્શિયલ ઈક્વેશન્સ એન્ડ ધેર એપ્લીકેશન્સ, પોન્ટ્રીયાગિન એલ.એસ., 1988 - fileskachat.com પુસ્તક ડાઉનલોડ કરો, ઝડપી અને મફત ડાઉનલોડ કરો.

ડીજેવીયુ ડાઉનલોડ કરો
નીચે તમે આ પુસ્તક સમગ્ર રશિયામાં ડિલિવરી સાથે ડિસ્કાઉન્ટ સાથે શ્રેષ્ઠ કિંમતે ખરીદી શકો છો.

પુસ્તકો. DJVU પુસ્તકો, PDF મફતમાં ડાઉનલોડ કરો. મફત ઇલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલય
એલ.એસ. પોન્ટ્રીઆગિન, સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો

તમે કરી શકો છો (પ્રોગ્રામ તેને પીળા રંગમાં ચિહ્નિત કરશે)
તમે ઉચ્ચ ગણિત પરના પુસ્તકોની યાદી મૂળાક્ષરો પ્રમાણે જોઈ શકો છો.
તમે ઉચ્ચ ભૌતિકશાસ્ત્ર પરના પુસ્તકોની સૂચિ જોઈ શકો છો, જે મૂળાક્ષરો પ્રમાણે સૉર્ટ કરેલ છે.

• પુસ્તક મફતમાં ડાઉનલોડ કરો, 3.54 MB, djv ફોર્મેટ
પાઠ્યપુસ્તકને 1975 માં યુએસએસઆર રાજ્ય પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો
ચોથી આવૃત્તિ, 1974

પ્રિય મહિલાઓ અને સજ્જનો!! ઈલેક્ટ્રોનિક પ્રકાશનોની ફાઈલો “ગલીચ” વિના ડાઉનલોડ કરવા માટે, ફાઈલ સાથેની રેખાંકિત લિંક પર ક્લિક કરો જમણું માઉસ બટન, આદેશ પસંદ કરો "લક્ષ્યને આ રીતે સાચવો..." ("ઓબ્જેક્ટને આ રીતે સાચવો...") અને ઇલેક્ટ્રોનિક પ્રકાશન ફાઇલને તમારા સ્થાનિક કમ્પ્યુટર પર સાચવો. ઇલેક્ટ્રોનિક પ્રકાશનો સામાન્ય રીતે Adobe PDF અને DJVU ફોર્મેટમાં પ્રસ્તુત થાય છે.

પ્રકરણ એક. પરિચય
§ 1. પ્રથમ ઓર્ડર વિભેદક સમીકરણ
§ 2. એકીકરણની કેટલીક પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ
§ 3. અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયનું નિવેદન
§ 4. વિભેદક સમીકરણોની સામાન્ય સિસ્ટમને સામાન્યમાં ઘટાડો
§ 5. જટિલ વિભેદક સમીકરણો
§ 6. રેખીય વિભેદક સમીકરણો વિશે કેટલીક માહિતી

પ્રકરણ બે. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણો
§ 7. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (સરળ મૂળનો કેસ)
§ 8. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સમીકરણ (બહુવિધ મૂળનો કેસ)
§ 9. સ્થિર બહુપદી
§ 10. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત સમીકરણ
§ 11. દૂર કરવાની પદ્ધતિ
§ 12. જટિલ કંપનવિસ્તારની પદ્ધતિ
§ 13. ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટ
§ 14. સતત ગુણાંક સાથે સામાન્ય રેખીય સજાતીય સિસ્ટમ
§ 15. વિભેદક સમીકરણોની સ્વાયત્ત પ્રણાલીઓ અને તેમના તબક્કાની જગ્યાઓ
§ 16. સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય સિસ્ટમનો તબક્કો પ્લેન

પ્રકરણ ત્રણ. ચલ ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણો
§ 17. રેખીય સમીકરણોની સામાન્ય સિસ્ટમ
§ 18. nમા ક્રમનું રેખીય સમીકરણ
§ 19. સામયિક ગુણાંક સાથે સામાન્ય રેખીય સજાતીય સિસ્ટમ

પ્રકરણ ચાર. અસ્તિત્વ પ્રમેય
§ 20. એક સમીકરણ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયનો પુરાવો
§ 21. સમીકરણોની સામાન્ય સિસ્ટમ માટે અસ્તિત્વ અને વિશિષ્ટતા પ્રમેયનો પુરાવો
§ 22. બિન-સતત ઉકેલો
§ 23. પરિમાણોના પ્રારંભિક મૂલ્યો પર ઉકેલની સતત અવલંબન
§ 24. પરિમાણોના પ્રારંભિક મૂલ્યોના સંદર્ભમાં ઉકેલની ભિન્નતા
§ 25. પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલ્સ

પ્રકરણ પાંચ. ટકાઉપણું
§ 26. લ્યાપુનોવનું પ્રમેય
§ 27. કેન્દ્રત્યાગી નિયમનકાર (વિશ્નેગ્રેડસ્કી દ્વારા સંશોધન)
§ 28. મર્યાદા ચક્ર
§ 29. ટ્યુબ જનરેટર
§ 30. બીજા ક્રમની સ્વાયત્ત સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિ
§ 31. સામયિક ઉકેલોની સ્થિરતા

પરિશિષ્ટ I: કેટલાક વિશ્લેષણ મુદ્દાઓ
§ 32. યુક્લિડિયન જગ્યાઓના ટોપોલોજીકલ ગુણધર્મો
§ 33. ગર્ભિત કાર્યો પર પ્રમેય

પરિશિષ્ટ II. રેખીય બીજગણિત
§ 34. ન્યૂનતમ વિનાશકારી બહુપદી
§ 35. મેટ્રિસિસના કાર્યો
§ 36. મેટ્રિક્સનું જોર્ડન સ્વરૂપ

પુસ્તકનો સંક્ષિપ્ત સારાંશ

આ પુસ્તક મેં મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીની મિકેનિક્સ અને ગણિતની ફેકલ્ટીમાં ઘણાં વર્ષો સુધી આપેલા પ્રવચનો પર આધારિત છે. પ્રવચનોના કાર્યક્રમનું સંકલન કરતી વખતે, હું એ માન્યતાથી આગળ વધ્યો હતો કે સામગ્રીની પસંદગી રેન્ડમ ન હોવી જોઈએ અને ફક્ત સ્થાપિત પરંપરાઓ પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં. સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોની સૌથી મહત્વપૂર્ણ અને રસપ્રદ એપ્લિકેશનો ઓસિલેશનના સિદ્ધાંત અને સ્વચાલિત નિયંત્રણના સિદ્ધાંતમાં જોવા મળે છે. આ એપ્લિકેશન્સ મારા પ્રવચનો માટે સામગ્રીની પસંદગીમાં માર્ગદર્શક તરીકે સેવા આપે છે.

ઓસિલેશનનો સિદ્ધાંત અને સ્વચાલિત નિયંત્રણનો સિદ્ધાંત નિઃશંકપણે તમામ આધુનિક ભૌતિક સંસ્કૃતિના વિકાસમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, અને તેથી હું માનું છું કે વ્યાખ્યાનના કોર્સ માટે સામગ્રીની પસંદગી માટેનો આવો અભિગમ, જો માત્ર શક્ય ન હોય તો. , પછી ઓછામાં ઓછું વાજબી. વિદ્યાર્થીઓને માત્ર ટેકનિકલ એપ્લીકેશન માટે યોગ્ય ગાણિતિક ટૂલ આપવાના પ્રયાસરૂપે, પણ એપ્લીકેશનને પોતાને દર્શાવવા માટે, મેં લેક્ચર્સમાં કેટલીક ટેકનિકલ સમસ્યાઓનો સમાવેશ કર્યો. પુસ્તકમાં તેઓ § 13, 27, 29 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. આ પ્રશ્નો મારા પ્રવચનો અને તે મુજબ, આ પુસ્તકનો એક અભિન્ન કાર્બનિક ભાગ બનાવે છે.

પ્રવચનોમાં પ્રસ્તુત સામગ્રી ઉપરાંત, પુસ્તકમાં વિદ્યાર્થીઓના સેમિનારમાં ચર્ચા કરાયેલા કેટલાક વધુ મુશ્કેલ મુદ્દાઓનો સમાવેશ થાય છે. તેઓ પુસ્તકના § 19, 31 માં સમાયેલ છે. § 14, 22, 23, 24, 25, 30 માં સમાવિષ્ટ સામગ્રી આંશિક રીતે પ્રવચનોમાં રજૂ કરવામાં આવી હતી અને દર વર્ષે નહીં.

વાચકની સગવડતા માટે, પુસ્તકના અંતે બે ઉમેરણો આપવામાં આવ્યા છે, જેમાં એવી સામગ્રી છે જે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ નથી, પરંતુ તેમાં નોંધપાત્ર રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે. પ્રથમ ઉમેરણ (અગાઉની આવૃત્તિમાં હાજર નથી) યુક્લિડિયન અવકાશમાં સ્થિત સમૂહોના મૂળભૂત ટોપોલોજીકલ ગુણધર્મોને સુયોજિત કરે છે અને ગર્ભિત કાર્યો પર પ્રમેયનો પુરાવો આપે છે; બીજું પરિશિષ્ટ રેખીય બીજગણિતને સમર્પિત છે.

આ બીજી આવૃત્તિમાં, પ્રારંભિક મૂલ્યો અને પરિમાણો પરના ઉકેલોની સતત અવલંબન, તેમજ આ જથ્થાઓના સંદર્ભમાં ઉકેલોની ભિન્નતા પરના પ્રમેયને નવી રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. ઘણા નાના સુધારા પણ કરવામાં આવ્યા છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું મારા વિદ્યાર્થીઓ અને નજીકના કામના સાથીઓ V. G. Boltyansky, R. V. Gamkrelidze અને E. F. Mishchenkoનો આભાર વ્યક્ત કરવા માંગુ છું, જેમણે મને વ્યાખ્યાન તૈયાર કરવામાં અને આપવા, તેમજ આ પુસ્તક લખવામાં અને સંપાદિત કરવામાં મદદ કરી.

હું ઓસિલેશન થિયરી અને ઓટોમેટિક કંટ્રોલ થિયરીના ક્ષેત્રમાં ઉત્કૃષ્ટ સોવિયેત નિષ્ણાત, એલેક્ઝાંડર એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ એન્ડ્રોનોવ, જેમની સાથે મારા લાંબા ગાળાના મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો હતા, દ્વારા કરવામાં આવેલ મારા વૈજ્ઞાનિક હિતો પર નિર્ણાયક પ્રભાવની પણ નોંધ લેવા માંગુ છું. તેમના પ્રભાવે આ પુસ્તકના પાત્ર અને દિશાને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરી, એલ.એસ. પોન્ટ્રીયાગિન.

પુસ્તકો, પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, પુસ્તક ડાઉનલોડ કરો, પુસ્તકો ઑનલાઇન વાંચો, ઑનલાઇન વાંચો, મફતમાં પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, પુસ્તકો વાંચો, પુસ્તકો ઑનલાઇન વાંચો, વાંચો, પુસ્તકાલય ઑનલાઇન, પુસ્તકો વાંચો, મફતમાં ઑનલાઇન વાંચો, મફતમાં પુસ્તકો વાંચો, ઈ-બુક, ઑનલાઇન વાંચો પુસ્તકો, શ્રેષ્ઠ પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસપ્રદ પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઈ-પુસ્તકો, મફતમાં પુસ્તકો, મફતમાં ડાઉનલોડ કરવા માટે પુસ્તકો, મફત પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, મફતમાં પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો સંપૂર્ણ, ઑનલાઇન પુસ્તકાલય, પુસ્તકો મફતમાં ડાઉનલોડ કરો, વાંચો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની નોંધણી વિના મફતમાં ઑનલાઇન પુસ્તકો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે મફત પુસ્તકો ઑનલાઇન વાંચો, ઇલેક્ટ્રોનિક લાઇબ્રેરી ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઑનલાઇન ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વાંચવા માટે પુસ્તકો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર પુસ્તકોની દુનિયા, મફત ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વાંચો, ઑનલાઇન લાઇબ્રેરી ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર ભૌતિકશાસ્ત્ર, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પુસ્તકો વાંચવા, મફત ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે ઑનલાઇન પુસ્તકો, લોકપ્રિય પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, મફત પુસ્તકોની લાઇબ્રેરી ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇ-બુક ડાઉનલોડ કરો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, મફત ઓનલાઇન લાઇબ્રેરી ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇ-પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, ઓનલાઈન પાઠ્યપુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઈ-પુસ્તકોની લાઈબ્રેરી ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઈ-પુસ્તકો નોંધણી વગર મફતમાં ડાઉનલોડ કરો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, સારા પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, સંપૂર્ણ પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઈલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલય મફતમાં ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વાંચો, ઈલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલય મફત ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર ડાઉનલોડ કરો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરવા માટેની સાઇટ્સ, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની સ્માર્ટ પુસ્તકો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની પુસ્તકો શોધો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે મફતમાં ઈ-પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની ઈ-બુક ડાઉનલોડ કરો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની શ્રેષ્ઠ પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો. ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલય મફત ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઑનલાઇન મફત પુસ્તકો વાંચો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, પુસ્તકોની સાઇટ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલય, વાંચવા માટે ઑનલાઇન પુસ્તકો, ઇલેક્ટ્રોનિક ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર પુસ્તક, મફતમાં અને નોંધણી વિના પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરવા માટેની સાઇટ, નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની પુસ્તકાલય, જ્યાં ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પુસ્તકો મફતમાં ડાઉનલોડ કરવા, મફતમાં અને નોંધણી વિના ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પુસ્તકો વાંચવા, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકો ડાઉનલોડ કરવા, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના મફત ઈ-પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરવા, મફત પુસ્તકો સંપૂર્ણ, પુસ્તકાલય ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરો મફતમાં, શ્રેષ્ઠ ઈ-પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની ઑનલાઇન લાઇબ્રેરી, નોંધણી વિના મફતમાં ઈ-પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, મફતમાં ઑનલાઇન પુસ્તકાલય ડાઉનલોડ કરો, મફતમાં પુસ્તકો ક્યાંથી ડાઉનલોડ કરવા, ઇલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલયો મફતમાં, ઈ-પુસ્તકો માટે મફત, મફત ઈલેક્ટ્રોનિક લાઈબ્રેરીઓ, મફતમાં ઓનલાઈન લાઈબ્રેરી, પુસ્તકો વાંચવા માટે મફત, પુસ્તકો વાંચવા માટે ઓનલાઈન, મફત ઓનલાઈન વાંચવા માટે, ઓનલાઈન ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વાંચવા માટે રસપ્રદ પુસ્તકો, ઓનલાઈન ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના પુસ્તકો વાંચવા, ઈલેક્ટ્રોનિક લાઈબ્રેરી ઓનલાઈન ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર , ઇલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની મફત લાઇબ્રેરી, ઑનલાઇન લાઇબ્રેરી વાંચો, મફતમાં અને નોંધણી વિના ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર વાંચો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર પુસ્તક શોધો, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર પુસ્તકોની સૂચિ, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે મફત પુસ્તકો ઑનલાઇન ડાઉનલોડ કરો, ઑનલાઇન લાઇબ્રેરી ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, નોંધણી વિના મફતમાં પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, જ્યાં તમે મફતમાં ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરી શકો છો, જ્યાં તમે પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરી શકો છો, પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરવા માટેની સાઇટ્સ મફતમાં, ઑનલાઇન વાંચવા માટે, વાંચવા માટે પુસ્તકાલય, મફતમાં ઑનલાઇન વાંચવા માટે પુસ્તકો નોંધણી વિના, પુસ્તકો પુસ્તકાલય, મફત પુસ્તકાલય ઑનલાઇન, મફતમાં વાંચવા માટે ઑનલાઇન પુસ્તકાલય, મફતમાં પુસ્તકો વાંચો અને નોંધણી વિના, ઈલેક્ટ્રોનિક પુસ્તકાલય મફતમાં પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, મફતમાં ઑનલાઇન વાંચો.

,
2017 થી, અમે મોબાઇલ ફોન્સ (ટૂંકી ટેક્સ્ટ ડિઝાઇન, WAP ટેક્નોલોજી) માટે વેબસાઇટના મોબાઇલ સંસ્કરણને નવીકરણ કરી રહ્યા છીએ - વેબ પૃષ્ઠના ઉપરના ડાબા ખૂણામાં ટોચનું બટન. જો તમારી પાસે પર્સનલ કોમ્પ્યુટર અથવા ઈન્ટરનેટ ટર્મિનલ દ્વારા ઈન્ટરનેટની ઍક્સેસ નથી, તો તમે તમારા મોબાઈલ ફોનનો ઉપયોગ અમારી વેબસાઈટ (ટૂંકી ડિઝાઈન) ની મુલાકાત લેવા માટે કરી શકો છો અને જો જરૂરી હોય તો વેબસાઈટનો ડેટા તમારા મોબાઈલ ફોનની મેમરીમાં સાચવી શકો છો. પુસ્તકો અને લેખોને તમારા મોબાઈલ ફોન (મોબાઈલ ઈન્ટરનેટ) પર સાચવો અને તેને તમારા ફોનથી તમારા કમ્પ્યુટર પર ડાઉનલોડ કરો. મોબાઇલ ફોન (ફોન મેમરીમાં) અને મોબાઇલ ઇન્ટરફેસ દ્વારા તમારા કમ્પ્યુટર પર પુસ્તકો ડાઉનલોડ કરવા માટે અનુકૂળ. બિનજરૂરી ટૅગ વિના ઝડપી ઇન્ટરનેટ, મફત (ઇન્ટરનેટ સેવાઓની કિંમતે) અને પાસવર્ડ વિના. સામગ્રી ફક્ત માહિતીના હેતુઓ માટે પ્રદાન કરવામાં આવી છે. વેબસાઇટ પર બુક ફાઇલો અને લેખોની સીધી લિંક અને તૃતીય પક્ષો દ્વારા તેનું વેચાણ પ્રતિબંધિત છે.

નોંધ. ફોરમ્સ, બ્લોગ્સ, વેબસાઈટ મટિરિયલ્સ ટાંકવા માટે અનુકૂળ ટેક્સ્ટ લિંક, અમારી વેબસાઈટમાંથી સામગ્રી ટાંકતી વખતે HTML કોડ કૉપિ કરી અને તમારા વેબ પેજમાં પેસ્ટ કરી શકાય છે. સામગ્રી ફક્ત માહિતીના હેતુઓ માટે પ્રદાન કરવામાં આવી છે. ઇન્ટરનેટ દ્વારા તમારા મોબાઇલ ફોનમાં પુસ્તકો પણ સાચવો (ત્યાં સાઇટનું મોબાઇલ સંસ્કરણ છે - પૃષ્ઠની ઉપર ડાબી બાજુએ લિંક) અને તેને તમારા ફોનથી તમારા કમ્પ્યુટર પર ડાઉનલોડ કરો. બુક ફાઇલોની સીધી લિંક પ્રતિબંધિત છે.