Analisis data statistik hukum tidak mungkin dilakukan tanpa menggunakan nilai rata-rata dan indikator variasi terkait. Hanya dengan bantuan nilai rata-rata populasi dapat dicirikan oleh karakteristik variabel kuantitatif yang biasanya digunakan untuk membandingkannya.
Nilai rata-rata dalam statistika adalah suatu ciri umum dari sekumpulan fenomena homogen menurut suatu ciri yang bervariasi secara kuantitatif dalam kondisi tempat dan waktu.
Biasanya menggeneralisasi variasi kuantitatif suatu sifat. Untuk apa pun ukuran rata-rata rangkaian sebaran satuan populasi menurut ciri-ciri yang diteliti bersifat tersembunyi, yaitu rangkaian variasi.
Satu dari kondisi penting perhitungan nilai rata-rata adalah homogenitas kualitatif satuan populasi dalam kaitannya dengan karakteristik yang dirata-ratakan. Nilai rata-rata yang dihitung untuk fenomena jenis yang berbeda, adalah fiksi. Mereka dapat mendistorsi atau menghapus perbedaan populasi yang heterogen.
Secara praktis dan teoritis dalam kriminologi, sosiologi hukum dan lain-lain disiplin ilmu hukum Rata-rata kelompok secara umum dapat diterima, yaitu rata-rata yang dihitung berdasarkan pengelompokan statistik yang memadai.
Rata-rata didasarkan pada generalisasi fakta secara besar-besaran. Hanya dengan cara ini mereka dapat mengidentifikasi tren tertentu yang mendasari proses yang diamati. Nilai rata-rata paling mencerminkan pola umum, yang melekat pada seluruh fenomena yang sedang dipelajari. Hal ini terlihat dari ciri kuantitatif yang khas, yang disebut nilai rata-rata dari semua indikator yang bervariasi.
Rata-rata besaran statistik mempunyai beberapa jenis, namun semuanya termasuk dalam golongan rata-rata pangkat, yaitu rata-rata yang dibangun dari berbagai derajat pilihan: rata-rata aritmatika, rata-rata harmonik, rata-rata kuadrat, rata-rata geometrik, dan sebagainya.
Saat menghitung berbagai rata-rata daya, semua indikator utama yang menjadi dasar penghitungan dilakukan tidak berubah.
Jenis yang berbeda rata-rata dengan indikator awal yang sama miliki
karena nilai derajat yang berbeda, nilai numeriknya jauh dari sama.
Semakin rendah derajat rata-rata, semakin rendah nilai yang sesuai dengan rata-rata - ini adalah sebuah pola. Oleh karena itu, setiap rata-rata dari deret tertentu adalah mayor terhadap rata-rata di sebelah kanannya. Semua ini disebut aturan mayoritas rata-rata.
Pemilihan rata-rata biasa atau tertimbang dilakukan berdasarkan materi statistik, dan pemilihan jenis pangkat merupakan tujuan penelitian.
Selain kekuatan rata-rata, di statistik hukum rata-rata struktural digunakan, yaitu modus dan median.
Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika. Cara menghitungnya sangat sederhana: jumlah nilai semua opsi dibagi jumlah total unit pilihan.
Rata-rata aritmatika untuk deret variasi diskrit dihitung menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang. Dia tidak punya perbedaan mendasar dari mean aritmatika sederhana. Di dalamnya, hanya penjumlahan dari nilai yang sama yang diganti dengan mengalikan nilai tersebut dengan frekuensinya. Jadi, setiap nilai diberi bobot berdasarkan frekuensi kemunculannya. Ketika frekuensi berada dalam ratusan dan ribuan, penggunaan rata-rata tertimbang akan sangat menyederhanakan penghitungan.
Saat menghitung mean aritmatika, sama sekali tidak perlu mengetahui nilai masing-masing nilai atau memiliki rangkaian variasi yang dibuat berdasarkan opsi-opsi ini.
Jumlah totalnya biasanya sudah tersedia dalam catatan resmi lembaga hukum. Penjumlahan terjadi secara berurutan
di kabupaten, kota, subyek Federasi dan di pusat ketika meringkas dan mengelompokkan data yang diperoleh dari dokumen akuntansi utama.
Perhitungan rata-rata berdasarkan data yang dirangkum dalam laporan dimungkinkan bila masing-masing arti yang terpisah pilihan tidak dicatat sama sekali. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa kadang-kadang antara nilai rata-rata dan relatif
tidak ada batasan yang tegas. Semuanya bersifat umum. Selain itu, setiap nilai rata-rata mewakili semacam rasio
dua nilai absolut, yaitu pada saat yang sama merupakan nilai relatif tertentu. Tapi, di sisi lain, apapun nilai relatif memberikan semacam karakteristik rata-rata dari proses tersebut.
Ada beberapa keanehan dan kesulitan dalam menghitung mean aritmatika dengan deret interval indikator statistik, yaitu ketika opsi numerik individual dikelompokkan ke dalam interval.
Statistik hukum lebih sering menggunakan deret interval dibandingkan deret diskrit. Dengan demikian, syarat-syarat pemidanaan, syarat-syarat penyidikan, syarat-syarat pertimbangan perkara pidana dan perdata, umur pelaku, dan lain-lain diperhitungkan.
Untuk menyederhanakan penghitungan mean aritmatika, Anda dapat menggunakan beberapa propertinya, yang diberikan di sini tanpa bukti.
1. Hasil kali rata-rata dengan jumlah frekuensi selalu sama dengan jumlah hasil kali varian dengan frekuensi.
2. Jika Anda mengurangi atau menambahkan angka yang sama dari setiap pilihan, maka rata-rata baru akan berkurang atau bertambah dengan angka yang sama.
3. Jika setiap pilihan dibagi atau dikalikan dengan suatu bilangan, maka mean aritmatikanya akan berkurang atau bertambah dengan jumlah yang sama.
4. Jika semua frekuensi dibagi atau dikalikan dengan angka berapa pun, maka rata-rata aritmatika tidak akan berubah.
5. Jumlah deviasi dari mean aritmatika selalu nol.
6. Rata-rata umum sama dengan rata-rata dari rata-rata parsial, yang ditimbang berdasarkan jumlah bagian populasi yang bersesuaian.
Rata-rata berikutnya, rata-rata geometrik, digunakan untuk menghitung rata-rata pertumbuhan dan laju kenaikan (penurunan) proses yang diamati. Studi tentang parameter-parameter ini dalam dinamika kejahatan, pelaku yang diidentifikasi, tingkat deteksi, catatan kriminal, jumlah total tahanan, dibebaskan, dibebaskan dari tanggung jawab pidana, dipertimbangkan kasus perdata, tuntutan yang dipenuhi dan tidak dipenuhi serta perubahan hukum lainnya dari waktu ke waktu. proses yang signifikan dan fenomena yang dimilikinya penting dalam sains dan praktik.
Dinamika secara hukum peristiwa penting dicirikan oleh banyak indikator, termasuk rata-rata aritmatika dan geometri. Rata-rata aritmatika digunakan untuk menghitung rata-rata kenaikan atau penurunan absolut tahunan, yang dinyatakan
dalam nomor yang disebutkan. Hal-hal tersebut memang penting, namun khususnya tidak cukup
untuk tujuan perbandingan, yang mana tingkat pertumbuhan, kenaikan dan penurunannya, yang dinyatakan dalam persentase, sangat membantu. Parameter ini dihitung menggunakan rumus rata-rata geometrik, tetapi berdasarkan indikator absolut yang sama.
Untuk menghitung rata-rata pertumbuhan tahunan dan tingkat keuntungan, hal ini diperlukan indikator absolut pertama dan tahun terakhir, yang menjadi dasar penghitungan besaran relatif dinamika dalam persentase dan jumlah tahun. DI DALAM koleksi statistik dan pelaporan resmi telah menghitung total dan bahkan persentase pertumbuhan atau penurunan dalam proses yang diamati. Berdasarkan tahun tersebut dan jumlah tahunnya, Anda dapat dengan mudah menemukan tingkat pertumbuhan tahunan rata-rata yang diinginkan dan kenaikan proses bunga.
Modus dan median. Dalam statistik, modus adalah nilai varian yang paling sering ditemukan pada suatu populasi tertentu. Terkadang mungkin ada distribusi di mana semua opsi muncul dengan frekuensi yang hampir sama.
DI DALAM kasus serupa fashion tidak ditentukan, karena praktis tidak ada. Di distribusi lain, modenya mungkin tidak unik.
Mode digunakan ketika diperlukan untuk mengkarakterisasi nilai karakteristik yang lebih sering muncul.
Definisi fashion untuk seri interval agak lebih rumit, karena untuk menentukan modus, perlu ditentukan interval modal dari deret yang diberikan.
Dalam statistik, median adalah pilihan yang berada
di tengah seri peringkat. Ini membagi baris terurut menjadi dua. Di kedua sisi median adalah nomor yang sama unit populasi. Saat menentukan nilai median, diasumsikan bahwa nilai atribut terdistribusi secara merata dalam interval tersebut.
Median, yang dihitung seri variasi dengan interval yang berbeda nyata, berbeda dengan median yang dihitung untuk deret yang sama, tetapi dengan interval yang sama.
Dalam praktiknya, modus dan median terkadang digunakan sebagai pengganti mean aritmatika atau bersamaan dengannya. Ketika digunakan bersama-sama, mereka saling melengkapi, terutama ketika menggabungkan sejumlah kecil unit dengan nilai yang sangat kecil dari karakteristik yang dipelajari. Selain mean aritmatika, sebaiknya juga menghitung modus dan median, yang, tidak seperti rata-rata, tidak bergantung pada nilai ekstrim dan karakteristik suatu atribut untuk populasi. Median dapat digunakan sebagai perkiraan rata-rata aritmatika ketika suatu populasi diurutkan dan diurutkan, kemudian median ditentukan oleh nilai tengah dari pilihan-pilihan tersebut. Oleh karena itu, nilai opsi lain tidak perlu diubah.
Selain pembagian median deret variasi menjadi dua bagian yang sama,
lebih banyak digunakan dalam statistik pembagian pecahan: kuartil, yang membagi deret variasi dengan jumlah frekuensi menjadi 4 bagian yang sama, desil - menjadi
10 bagian yang sama dan sentil - per 100 bagian yang sama. Mereka digunakan untuk deskripsi yang lebih ekspresif dan ringkas dari proses yang diteliti, tapi
praktis tidak digunakan dalam statistik hukum.
Indikator variasi sifat. Nilai rata-rata mewakili karakteristik generalisasi penting dari suatu populasi berdasarkan karakteristik yang berubah. Setelah menghitungnya, perlu dipahami seberapa representatif, tipikal atau homogennya mereka, karena rata-rata yang sama dapat mencirikan populasi yang sepenuhnya heterogen.
Agar penilaian kita tentang perbedaan rangkaian variasi akurat secara statistik, kita perlu menggunakan indikator penyimpangan berbagai pilihan dari rata-rata.
Indikator variasi yang pertama dan paling sederhana adalah rentang variasi, yang dihitung sebagai selisih antara yang terbesar dan nilai terendah sifat variabel.
Deviasi rata-rata aritmatika adalah ukuran kedua dari variasi suatu sifat. Ini jarang digunakan dalam analisis statistik. Biasanya indikator variasi ketiga digunakan - dispersi, atau kuadrat rata-rata deviasi.
Dengan mengekstraksi akar pangkat dua dari varians kita mendapatkan indikator variasi berikutnya, keempat, - standar deviasi.
Dispersi dan deviasi standar adalah indikator variasi karakteristik yang paling umum dipelajari. Dalam statistik hukum mereka digunakan untuk perbandingan penelitian statistik, untuk membenarkan kesalahan keterwakilan observasi sampel,
serta ketika mempelajari korelasi dan hubungan statistik lainnya antara tanda suatu faktor dan tanda suatu akibat atau antara sebab dan akibat.
Koefisien variasi merupakan indikator variasi yang kelima. Berbeda dengan rentang variasi, rata-rata linier, deviasi standar, dan dispersi, yang dinyatakan dalam angka absolut dan angka tertentu, merupakan indikator relatif. Koefisien variasi memberikan banyak peluang untuk studi banding karena membandingkan, misalnya, berarti deviasi standar seri variasi dengan pada tingkat yang berbeda secara langsung tidak mungkin. Koefisien variasi sampai batas tertentu tampaknya menjadi kriteria kekhasan rata-rata. Jika relatif besar berarti tipikal dari rata-rata tersebut sangat rendah, dan jika sebaliknya nilainya kecil maka rata-rata tersebut tipikal dan dapat diandalkan.
Dalam proses pengolahan dan pengikhtisaran data statistik, timbul kebutuhan untuk menentukan nilai rata-rata. Sebagai aturan, nilai-nilai individu dari karakteristik yang sama tidak sama di berbagai unit populasi.
nilai rata-rata – suatu ciri yang menggeneralisasi dari ciri yang sedang dipelajari pada populasi yang diteliti. Hal ini mencerminkan tingkat khas per unit populasi dalam kondisi tempat dan waktu tertentu.
Misalnya, ketika mempelajari pendapatan pekerja di suatu perusahaan, ciri umumnya adalah pendapatan rata-rata seorang pekerja. Untuk menentukannya jumlah total dana yang dialokasikan untuk konsumsi dalam bentuk upah, tunjangan sosial dan tenaga kerja, Asisten Keuangan, dividen atas saham dan bunga simpanan dalam kekayaan perusahaan untuk masa yang ditinjau (tahun, triwulan, bulan) dibagi dengan jumlah pekerja di perusahaan itu. Pendapatan rata-rata mencirikan kesamaan seluruh populasi pekerja di suatu perusahaan, yaitu. tingkat pendapatan massa pekerja dalam kondisi khusus operasi suatu perusahaan tertentu pada periode yang ditinjau.
Rata-rata yang dihitung untuk seluruh penduduk disebut Rata-rata umum.
Rata-rata yang dihitung untuk setiap kelompok disebut rata-rata kelompok.
Semakin banyak unit populasi yang rata-ratanya dihitung, semakin stabil populasi tersebut, yaitu. lebih tepatnya. Perhitungan nilai rata-rata mencakup dua operasi:
I – penjumlahan data untuk semua unit (generalisasi data);
II – membagi data yang diringkas dengan jumlah unit dalam populasi.
– nilai rata-rata suatu sifat ; N– jumlah unit populasi;
XSaya – nilai individu dari karakteristik setiap unit populasi.
Inti dari nilai rata-rata menentukan signifikansi khususnya dalam ekonomi pasar. Nilai rata-rata, melalui individu dan acak, memungkinkan kita untuk mengidentifikasi yang umum dan perlu, untuk mengidentifikasi tren pola pembangunan ekonomi.
Rata-rata kekuatan:
ü rata-rata aritmatika;
ü rata-rata geometrik;
ü rata-rata harmonik;
ü berarti persegi;
ü kronologis rata-rata.
Rata-rata struktural: modus dan median.
Pilihan satu atau beberapa jenis rata-rata dibuat tergantung pada tujuan penelitian, esensi ekonomi indikator rata-rata dan sifat data awal yang tersedia. Hanya jika rata-rata diterapkan dengan benar barulah diperoleh nilai yang memiliki arti ekonomi nyata.
Rata-rata aritmatika – jenis rata-rata yang paling umum.
Yang kami maksud dengan mean aritmatika nilai suatu sifat yang dimiliki setiap satuan populasi jika jumlah seluruh nilai suatu sifat tersebar merata kepada semua satuan populasi.
Ini dihitung dalam kasus di mana volume karakteristik rata-rata dibentuk sebagai jumlah nilainya untuk masing-masing unit populasi statistik yang diteliti. Bergantung pada sifat data awal, mean aritmatika ditentukan sebagai berikut:
Rata-rata aritmatika sederhana
dihitung dengan membagi jumlah nilai dengan jumlahnya. 
Contoh: Gaji untuk bulan Januari untuk 3 pekerja di satu bengkel adalah: 6500, 4955, 5323 rubel. Gaji rata-rata per bulan adalah: 
menggosok.
Contoh: Hitung rata-rata masa kerja sepuluh karyawan suatu perusahaan dagang. Nilai atribut tunggal (tahun): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.
= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 tahun.
Seperti yang bisa kita lihat, mean aritmatika dapat berubah menjadi bilangan pecahan, meskipun nilai individual dari atribut tersebut hanya ditentukan dalam bilangan bulat. Hal ini mengikuti hakikat mean aritmatika, yaitu besaran abstrak (teoretis), yaitu. dia bisa menerima ini nilai angka, yang tidak ditemukan dalam kumpulan nilai atribut individual yang disajikan.
Rata-rata aritmatika tertimbang
Seringkali diperlukan untuk menghitung nilai rata-rata suatu karakteristik pada suatu deret distribusi ketika nilai karakteristik yang sama muncul beberapa kali. Dengan menggabungkan data berdasarkan nilai karakteristik (yaitu mengelompokkannya) dan menghitung jumlah kasus pengulangan masing-masing karakteristik, kita memperoleh rangkaian variasi berikut.
Oleh karena itu, untuk menghitung rata-rata tertimbang, operasi berurutan berikut dilakukan: mengalikan setiap opsi dengan frekuensinya, menjumlahkan produk yang dihasilkan, membagi jumlah yang dihasilkan dengan jumlah frekuensi.
Rata-rata aritmatika tertimbang memperhitungkan arti yang berbeda pilihan individu dalam totalitas. Oleh karena itu, ini harus digunakan dalam semua kasus di mana pilihannya memiliki nomor yang berbeda. Penggunaan rata-rata sederhana dalam kasus ini tidak dapat diterima, karena hal ini pasti menyebabkan distorsi indikator statistik.
Rata-rata aritmatika tampaknya terdistribusi secara merata objek yang terpisah nilai total suatu sifat yang sebenarnya berbeda-beda untuk masing-masingnya.
Kadang-kadang penghitungan nilai rata-rata harus dilakukan dengan menggunakan data yang dikelompokkan dalam bentuk deret distribusi interval, bila varian karakteristik yang digunakan untuk menghitung rata-rata disajikan dalam bentuk interval (dari - ke). Untuk menghitung nilai rata-rata, perlu ditentukan nilai rata-rata x pada setiap pilihan, kemudian ditimbang dengan urutan biasa x y
Dalam interval tertutup, nilai tengah didefinisikan sebagai setengah dari jumlah nilai batas bawah dan atas.
Tugas menghitung nilai rata-rata suatu deret interval diperumit oleh kenyataan bahwa batas ekstrim dari interval awal dan akhir tidak diketahui. Dalam hal ini diasumsikan bahwa jarak antara batas-batas interval ini sama dengan jarak antara batas-batas interval yang berdekatan.
Perlu dicatat bahwa, meskipun kita menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika untuk menghitung rata-rata dari suatu deret interval, rata-rata yang dihitung bukanlah nilai pasti, karena sebagai hasil mengalikan nilai rata-rata kelompok dengan jumlahnya, kita tidak akan mendapatkan nilai sesungguhnya. Tingkat perbedaan tergantung pada sejumlah alasan: 1 – jumlah pilihan. Bagaimana jumlah yang lebih besar pilihan, semakin besar kemungkinan bahwa titik tengah interval akan sedikit berbeda dari rata-rata kelompok. Jika setiap kelompok mempunyai jumlah unit yang sedikit, rata-rata kelompok tidak hanya berada di tengah, tetapi juga mendekati batas atas atau bawah interval.
Contoh, Diperlukan untuk menghitung rata-rata masa kerja 12 karyawan sebuah biro iklan. Pada saat yang sama, nilai individu dari atribut (pengalaman) dalam beberapa tahun diketahui: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.
Setelah menggabungkan data nilai atribut dan menghitung jumlah kasus pengulangan masing-masing atribut, kita akan menghitung rata-rata masa kerja berdasarkan data yang dikelompokkan menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang.
X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 di tahun ini.
Dalam praktek pengolahan materi secara statistik, timbul permasalahan berbagai tugas, yang memiliki kekhasan dalam mempelajari fenomena dan memerlukan penggunaan berbagai rata-rata dalam penyelesaiannya. Mengingat rata-rata statistik selalu menyatakan properti berkualitas dipelajari proses sosial dan fenomena, penting untuk memilih bentuk rata-rata yang tepat, berdasarkan hubungan fenomena dan karakteristiknya.
Sifat-sifat mean aritmatika:
Rata-rata aritmatika memiliki sejumlah sifat, yang pengetahuannya diperlukan untuk memahami esensi rata-rata, serta untuk menyederhanakan perhitungannya.
1. Sedang jumlah aritmatika kuantitas yang bervariasi sama dengan jumlah rata-rata besaran aritmatika:
Jika x i = y i + z i maka
Aturan ini menunjukkan dalam hal apa nilai rata-rata dapat dijumlahkan. Jika misalnya produk manufaktur terdiri dari dua bagian kamu Dan z dan biaya produksi masing-masingnya rata-rata pada= 3 jam z = 5 jam, maka rata-rata waktu yang dihabiskan untuk pembuatan satu produk ( X), akan sama dengan: 3+5 = 8 jam, mis. X= kamu + z..
2. Jumlah deviasi aljabar nilai-nilai individu dari suatu karakteristik yang bervariasi dari rata-rata sama dengan nol, karena jumlah deviasi dalam satu arah dikurangi dengan jumlah deviasi dalam arah lain, yaitu.
, Karena
Aturan ini menunjukkan bahwa rata-rata adalah resultannya.
3. Jika semua pilihan dalam suatu rangkaian dikurangi atau ditambah dengan angka yang sama A, maka rata-ratanya akan berkurang atau bertambah dengan jumlah yang sama A:
4. Jika semua pilihan suatu rangkaian dikurangi atau ditambah sebesar A kali, maka rata-ratanya juga akan menurun atau meningkat A sekali:
5. Jika semua frekuensi suatu rangkaian dibagi atau dikalikan dengan bilangan yang sama D, maka rata-ratanya tidak akan berubah:
Sifat ini menunjukkan bahwa rata-rata tidak bergantung pada besarnya skala, namun pada hubungan antar skala. Oleh karena itu, tidak hanya nilai absolut, tetapi juga nilai relatif dapat bertindak sebagai bobot.
Kronologis rata-rata
Terkadang, ketika menganalisis indikator sosial ekonomi, perlu ditentukan nilai rata-rata jika terdapat data dari rangkaian dinamika momen yang sama. Misalnya rata-rata persediaan barang setiap bulannya; rata-rata jumlah penjual pada triwulan, selama setengah tahun, jika diketahui jumlah penjual pada awal bulan; atau tentukan rata-rata jumlah penduduk tahunan suatu wilayah, lalu gunakan rata-rata kronologisnya.
X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)
X – nilai individual dari atribut setiap unit populasi;
n – jumlah unit populasi.
Arti harmonik
Rata-rata harmonik adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika. Kapan informasi statistik tidak memuat frekuensi untuk varian individu dari populasi, tetapi disajikan sebagai produknya menggunakan rumus rata-rata harmonik tertimbang;
Rata-rata dalam bentuk ini disebut rata-rata harmonik tertimbang Dan dilambangkan dengan xgar M. vzvz . Akibatnya, mean harmonik identik dengan mean aritmatika. Ini digunakan ketika bobot sebenarnya tidak diketahui, tetapi produknya diketahui f x = z
Dalam kasus dimana berhasil fx identik atau sama dengan satu (m=1), berlaku arti harmonik sederhana, dihitung dengan rumus
Di mana X- opsi terpisah; P- nomor mereka.
Rata-rata geometris
Rata-rata ini nyaman digunakan ketika perhatian tidak diberikan pada perbedaan absolut, tetapi pada rasio dua angka. Oleh karena itu, rata-rata geometrik digunakan dalam menghitung tingkat pertumbuhan tahunan rata-rata
atau
Berikut adalah rumus rata-rata geometrik yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Rata-rata geometrik sama dengan akar pangkat P dari produk koefisien pertumbuhan yang mencirikan rasio nilai setiap periode berikutnya dengan nilai periode sebelumnya.
Nilai rata-rata geometrik memberikan jawaban yang paling benar dari segi isi, hasil rata-rata, jika tugasnya adalah mencari nilai atribut yang secara kualitatif berjarak sama dari nilai maksimum dan minimum atribut.
Contoh: Akibat inflasi, pada tahun pertama harga suatu produk menjadi dua kali lipat dibandingkan tahun sebelumnya; untuk tahun kedua – tiga kali lipat dibandingkan tahun sebelumnya. Yang jelas dalam dua tahun harganya naik 6 kali lipat. Hitung rata-rata tingkat pertumbuhan harga per tahun?
Dalam menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata, rata-rata aritmatika tidak cocok. Rata-rata geometrik memberikan jawaban yang benar.
X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 kali.
Berarti persegi
Informasi terkait.
Bentuk indikator statistik yang paling umum digunakan di penelitian ekonomi, adalah nilai rata-rata, yaitu suatu sifat kuantitatif yang digeneralisasikan dari suatu sifat dalam suatu populasi statistik dalam kondisi tempat dan waktu tertentu. Suatu indikator berupa nilai rata-rata mengungkapkan ciri-ciri yang khas dan memberikan gambaran umum tentang fenomena-fenomena yang serupa menurut salah satu ciri yang bervariasi. Ini mencerminkan tingkat karakteristik yang diberikan pada suatu unit populasi. Meluasnya penggunaan rata-rata dijelaskan oleh fakta bahwa rata-rata memiliki sejumlah sifat positif yang menjadikannya alat yang sangat diperlukan untuk menganalisis fenomena dan proses dalam perekonomian.
Properti yang paling penting nilai rata-ratanya adalah mencerminkan kesamaan semua unit populasi yang diteliti. Nilai atribut dari masing-masing unit populasi berfluktuasi ke satu arah atau lainnya di bawah pengaruh banyak faktor, di antaranya mungkin ada faktor dasar dan faktor acak. Misalnya, harga saham suatu perusahaan terutama ditentukan oleh hasil keuangan aktivitasnya. Sementara itu, pada hari-hari tertentu dan bursa-bursa tertentu, saham-saham tersebut, karena keadaan yang ada, dapat dijual dengan harga yang lebih tinggi atau lebih rendah. Inti dari nilai rata-rata terletak pada kenyataan bahwa ia menghilangkan penyimpangan nilai karakteristik unit individu populasi yang disebabkan oleh aksi faktor acak, dan memperhitungkan perubahan yang disebabkan oleh aksi faktor utama. . Hal ini memungkinkan nilai rata-rata mencerminkan tingkat sifat yang khas dan mengabstraksikan karakteristik individu yang melekat pada unit individu.
Digunakan dalam statistik jenis yang berbeda nilai rata-rata. Yang paling umum digunakan adalah mean aritmatika, mean harmonik, mean geometrik, dan mean kuadrat. Pilihan rata-rata tertentu bergantung pada isi karakteristik yang dirata-ratakan dan data spesifik yang harus digunakan untuk menghitungnya.
Rata-rata ini dapat dihitung jika setiap varian populasi hanya muncul satu kali (dalam hal ini disebut rata-rata sederhana atau tidak tertimbang), atau ketika pilihan diulang nomor yang berbeda kali (dalam hal ini, jumlah pengulangan opsi disebut frekuensi atau bobot statistik, dan rata-rata, dihitung dengan mempertimbangkan bobotnya, adalah rata-rata tertimbang).
Rata-rata aritmatika sederhana– jenis nilai rata-rata yang paling umum, dihitung dengan rumus
Rata-rata aritmatika tertimbang
Di mana x saya- pilihan, dan f saya– frekuensi atau bobot statistik.
Contoh. Pemeriksaan terhadap lima kantor di lantai satu kantor menunjukkan bahwa 1, 2, 3, 4, 5 orang bekerja di dalamnya. Mari kita hitung mean aritmatika sederhana:
itu. Rata-rata, ada 3 orang per kantor di lantai satu.
Hasil pemeriksaan seluruh ruangan dalam satu gedung ditunjukkan pada Tabel 8.2.
Tabel 8.2
Hasil survei gedung perkantoran
Mari kita hitung rata-rata jumlah karyawan yang bekerja di gedung ini:
Itu. Rata-rata terdapat 7 karyawan per 2 kantor di gedung ini.
Rata-rata aritmatika selalu merupakan karakteristik kuantitatif yang menggeneralisasi dari suatu karakteristik populasi yang bervariasi.
Arti harmonik dihitung dalam kasus di mana perlu untuk menjumlahkan bukan opsi itu sendiri, tetapi nilai timbal baliknya.
Rumus perhitungan berarti harmonik sederhana Berikutnya:
Harmonik berarti berbobot ditentukan oleh rumus
Di mana x saya- pilihan, N– jumlah opsi, V saya– bobot untuk nilai invers x saya.
Contoh. Harmonik artinya tidak berbobot(ini adalah bentuk rata-rata, lebih jarang digunakan dibandingkan bentuk tertimbang). Untuk mengilustrasikan ruang lingkup penerapannya, kami akan menggunakan yang disederhanakan contoh bersyarat. Misalkan dalam sebuah perusahaan yang mengkhususkan diri pada pesanan lewat pos berdasarkan pemesanan di muka, dua karyawan terlibat dalam pengepakan dan pengiriman barang. Yang pertama membutuhkan waktu 5 menit untuk memproses satu pesanan, yang kedua – 15 menit. Berapa rata-rata waktu yang dihabiskan untuk 1 pesanan, jika durasi total Apakah jam kerja pekerja sama?
Sekilas, jawaban atas pertanyaan ini terletak pada rata-rata nilai individu dari waktu yang dihabiskan untuk 1 pesanan, yaitu. (5 + 15) : 2 = 10, menit. Mari kita periksa validitas pendekatan ini dengan menggunakan contoh kerja satu jam. Selama jam ini, pekerja pertama memproses 12 pesanan (60:5), pekerja kedua – 4 pesanan (60:15), sehingga totalnya menjadi 16 pesanan. Jika kita mengganti nilai individual dengan perkiraan nilai rata-ratanya, maka jumlah total pesanan yang diproses oleh kedua pekerja tersebut pada kasus ini akan berkurang:
Mari kita mendekati solusinya melalui rasio rata-rata awal. Untuk menentukan rata-rata waktu yang dihabiskan, total waktu yang dihabiskan untuk interval mana pun (misalnya, satu jam) perlu dibagi dengan jumlah total pesanan yang diproses oleh dua karyawan selama interval ini:
Jika sekarang kita mengganti nilai individual dengan nilai rata-ratanya, maka jumlah total pesanan yang diproses per jam tidak akan berubah:
Pesanan.
Ringkasnya: mean harmonik tak tertimbang dapat digunakan sebagai pengganti mean tertimbang jika nilainya Wj untuk unit populasi adalah sama (dalam contoh yang dipertimbangkan, jam kerja para karyawan adalah sama).
Contoh. Harmonik berarti berbobot. Selama perdagangan pertukaran mata uang, lima transaksi diselesaikan dalam satu jam pertama operasi. Data jumlah penjualan rubel dan nilai tukar rubel terhadap dolar AS disajikan pada tabel 8.3.
Tabel 8.3
Data kemajuan perdagangan di bursa mata uang
Untuk menentukan Harga rata-rata rubel terhadap dolar, Anda perlu menemukan rasio antara jumlah penjualan rubel, yang dihabiskan untuk pembelian dolar selama semua transaksi, dan jumlah dolar yang diperoleh sebagai hasil dari transaksi ini.
Itu. Nilai tukar rata-rata untuk satu dolar adalah 25,48 rubel.
Jika rata-rata aritmatika digunakan untuk menghitung tingkat rata-rata, mis. menggosok. untuk satu dolar, maka dengan nilai tukar ini untuk pembelian 29 juta dolar. perlu mengeluarkan 739,5 juta rubel, itu tidak benar.
Rata-rata geometris digunakan untuk menganalisis dinamika fenomena dan memungkinkan Anda menentukan tingkat pertumbuhan rata-rata. Saat menghitung rata-rata geometrik, nilai individual dari suatu karakteristik biasanya ditentukan indikator relatif dinamika yang dikonstruksikan dalam bentuk rantai nilai sebagai perbandingan setiap tingkat rangkaian dengan tingkat sebelumnya.
Rata-rata geometris sederhana dihitung dengan rumus
Jika kita menggunakan frekuensi M, kita mendapatkan rumus rata-rata geometri tertimbang
Berarti persegi digunakan ketika mempelajari variasi suatu sifat. Penyimpangan dijadikan pilihan nilai-nilai aktual karakteristik baik dari mean aritmatika atau dari norma tertentu.
Untuk data yang tidak dikelompokkan, gunakan rumus berarti persegi sederhana
Untuk data yang dikelompokkan gunakan rumus kuadrat rata-rata tertimbang
Rata-rata aritmatika, harmonik, geometri, dan kuadrat, yang dihitung untuk jumlah pilihan yang sama, berbeda satu sama lain. Milik mereka nilai numerik meningkat dengan meningkatnya eksponen dalam rumus rata-rata daya, yaitu. – aturan mayoritas rata-rata A.Ya. Boyarsky.
Rata-rata struktural
Rata-rata struktural yang paling sering digunakan dalam praktik ekonomi adalah mode Dan median.
Mode– ini adalah nilai karakteristik (varian) yang paling sering ditemukan pada suatu populasi tertentu, yaitu Ini adalah opsi dengan frekuensi tertinggi. DI DALAM seri diskrit fashion ditentukan sesuai dengan definisi, yaitu. Ini merupakan salah satu varian atribut yang memiliki frekuensi tertinggi dalam rangkaian distribusi. Untuk deret interval, kita mencari modusnya menggunakan rumus (8.16), pertama dengan frekuensi tertinggi mendefinisikan interval modal:
dimana x 0 – batas awal (bawah) dari interval modal;
H– ukuran interval;
f Mo– frekuensi interval modal;
f Mo-1– frekuensi interval sebelum modal;
f Mo+1– frekuensi interval setelah modal.
median nilai suatu karakteristik yang berada di tengah-tengah rangkaian rangking disebut, yaitu. dalam baris distribusi yang diberi peringkat, separuh baris mempunyai nilai karakteristik lebih besar dari median, separuh lainnya lebih kecil dari median.
Dalam deret diskrit, median dicari langsung dari akumulasi frekuensi yang bersesuaian dengan bilangan median.
Dalam kasus deret variasi interval, median ditentukan oleh rumus
Di mana x o– batas bawah interval median;
N Saya– nomor seri median (Σf/2);
S Saya -1– akumulasi frekuensi hingga interval median;
fSaya– frekuensi interval median.
Contoh. Mari kita hitung modus dan median berdasarkan data pada Tabel. 8.4.
Tabel 8.4
Distribusi keluarga kota berdasarkan ukuran
rata-rata pendapatan per kapita pada bulan Januari 2008
Mari kita cari modusnya menggunakan rumus (8.16):
Mari kita hitung mediannya menggunakan rumus (8.17):
pertama kali ditemukan N median: N Saya = Σf saya /2= 5000. Berdasarkan akumulasi frekuensi, kita tentukan bahwa 5000 berada pada interval (7000 – 8000), nilainya ditentukan dengan rumus:
Kesimpulan: menurut mode, pendapatan per kapita rata-rata yang paling umum adalah 7.730 rubel, menurut median, separuh keluarga di kota tersebut memiliki pendapatan per kapita rata-rata di bawah 7.800 rubel, keluarga lainnya – lebih dari 7.800 rubel.
Rasio modus, median, dan mean aritmatika menunjukkan sifat distribusi karakteristik secara agregat dan memungkinkan kita mengevaluasi asimetrinya. Jika M 0<М е <Х – ada asimetri sisi kanan, dengan X<М е <М 0 dapat disimpulkan bahwa terdapat asimetri sisi kiri deret tersebut.
Tugas tes
1. Apa peran besaran relatif dalam statistik?
2. Apa saja bentuk-bentuk pernyataan besaran relatif?
3. Apa yang dimaksud dengan rata-rata dalam statistik?
4. Jenis rata-rata apa yang digunakan dalam statistik?
5. Dalam kasus apa mean harmonik, kuadrat, dan geometri digunakan?
6. Berdasarkan data pada Tabel 8.5, tentukan modus dan mediannya.
Tabel 8.5
Distribusi perusahaan komersial di kota
dengan tingkat harga eceran produk A
7. Berdasarkan Tabel 8.6, tentukan rata-rata usia staf.
Tabel 8.6
Distribusi karyawan perusahaan berdasarkan usia
8. Dengan menggunakan Tabel 8.7, tentukan rata-rata masa kerja: a) pekerja; b) karyawan.
Tabel 8.7
Distribusi karyawan berdasarkan masa kerja
Bab ini menjelaskan tentang tujuan nilai rata-rata, membahas jenis dan bentuk utamanya, serta metode perhitungannya. Saat mempelajari materi yang disajikan, perlu untuk memahami persyaratan untuk membangun nilai rata-rata, karena kepatuhan terhadapnya memungkinkan Anda untuk menggunakan nilai-nilai ini sebagai karakteristik khas nilai atribut untuk sekumpulan unit homogen.
Bentuk dan jenis rata-rata
nilai rata-rata merupakan ciri umum dari tingkat nilai atribut yang diperoleh per unit populasi. Berbeda dengan nilai relatif yang merupakan ukuran rasio indikator, nilai rata-rata berfungsi sebagai ukuran karakteristik per unit populasi.
Sifat yang paling penting dari nilai rata-rata adalah bahwa nilai tersebut mencerminkan kesamaan semua unit populasi yang diteliti.
Nilai atribut masing-masing unit populasi berfluktuasi ke satu arah atau lainnya di bawah pengaruh banyak faktor, beberapa di antaranya mungkin signifikan atau acak. Misalnya, suku bunga pinjaman bank ditentukan oleh faktor awal untuk semua lembaga kredit (tingkat persyaratan cadangan dan tingkat bunga dasar pinjaman yang diberikan kepada bank komersial oleh bank sentral, dll.), serta karakteristik lembaga tersebut. setiap transaksi tertentu, tergantung pada risiko yang melekat pada pinjaman tertentu, ukuran dan jangka waktu pembayarannya, biaya pemrosesan pinjaman dan pemantauan pembayarannya, dll.
Nilai rata-rata merangkum nilai-nilai individu dari suatu karakteristik dan mencerminkan pengaruh kondisi umum yang paling khas dari suatu populasi tertentu dalam kondisi tempat dan waktu tertentu. Inti dari rata-rata terletak pada kenyataan bahwa rata-rata menghilangkan penyimpangan nilai karakteristik unit individu populasi yang disebabkan oleh aksi faktor acak, dan memperhitungkan perubahan yang disebabkan oleh aksi faktor utama. Nilai rata-rata akan mencerminkan tingkat khas suatu sifat dalam suatu populasi unit tertentu bila dihitung dari populasi yang secara kualitatif homogen. Dalam hal ini, metode rata-rata digunakan dalam kombinasi dengan metode pengelompokan.
Nilai rata-rata yang mencirikan populasi secara keseluruhan disebut umum, dan rata-rata, yang mencerminkan karakteristik suatu kelompok atau subkelompok, - kelompok.
Kombinasi rata-rata umum dan kelompok memungkinkan dilakukannya perbandingan lintas ruang dan waktu serta secara signifikan memperluas batasan analisis statistik. Misalnya, ketika menyimpulkan sensus tahun 2002, ditemukan bahwa Rusia, seperti kebanyakan negara Eropa, memiliki ciri populasi yang menua. Dibandingkan dengan sensus tahun 1989, usia rata-rata penduduk negara itu meningkat tiga tahun menjadi 37,7 tahun, laki-laki - 35,2 tahun, perempuan - 40,0 tahun (menurut data tahun 1989, angka-angka ini masing-masing adalah 34,7, 31). dan 37,2 tahun). Menurut Rosstat, harapan hidup saat lahir pada tahun 2011 untuk laki-laki adalah 63 tahun, untuk perempuan – 75,6 tahun.
Setiap rata-rata mencerminkan kekhasan populasi yang diteliti menurut satu karakteristik. Untuk membuat keputusan praktis, sebagai suatu peraturan, perlu untuk mengkarakterisasi populasi menurut beberapa karakteristik. Dalam hal ini, sistem rata-rata digunakan.
Misalnya, untuk mencapai tingkat profitabilitas operasi yang diperlukan pada tingkat risiko yang dapat diterima dalam aktivitas perbankan, suku bunga rata-rata atas pinjaman yang diberikan ditetapkan dengan mempertimbangkan suku bunga rata-rata simpanan dan instrumen keuangan lainnya.
Bentuk, jenis dan cara menghitung nilai rata-rata tergantung pada tujuan penelitian yang dinyatakan, jenis dan hubungan sifat-sifat yang diteliti, serta sifat data awal. Rata-rata terbagi dalam dua kategori utama:
- 1) rata-rata daya;
- 2) rata-rata struktural.
Rumus rata-rata ditentukan oleh nilai pangkat rata-rata yang diterapkan. Dengan meningkatnya eksponen k nilai rata-rata meningkat sesuai.
Nilai rata-rata mengacu pada indikator statistik umum yang memberikan ringkasan (akhir) karakteristik fenomena sosial massa, karena nilai tersebut dibangun atas dasar sejumlah besar nilai individu dengan karakteristik yang berbeda-beda. Untuk memperjelas esensi nilai rata-rata, perlu mempertimbangkan kekhasan pembentukan nilai-nilai tanda-tanda fenomena tersebut, yang berdasarkan data nilai rata-rata dihitung.
Diketahui bahwa satuan setiap fenomena massa mempunyai banyak karakteristik. Apapun karakteristik yang kita ambil, nilainya akan berbeda untuk masing-masing unit; mereka berubah, atau, seperti yang mereka katakan dalam statistik, bervariasi dari satu unit ke unit lainnya. Misalnya, gaji seorang karyawan ditentukan oleh kualifikasinya, sifat pekerjaannya, masa kerja dan sejumlah faktor lainnya, dan oleh karena itu sangat bervariasi. Pengaruh gabungan dari semua faktor menentukan jumlah pendapatan setiap karyawan, namun kita dapat berbicara tentang gaji bulanan rata-rata pekerja di berbagai sektor ekonomi. Di sini kita beroperasi dengan nilai karakteristik yang khas dari suatu karakteristik yang bervariasi, yang ditetapkan pada suatu unit populasi yang besar.
Nilai rata-rata mencerminkan hal itu umum, yang khas untuk semua unit populasi yang diteliti. Pada saat yang sama, ia menyeimbangkan pengaruh semua faktor yang mempengaruhi nilai karakteristik masing-masing unit populasi, seolah-olah saling memadamkannya. Tingkat (atau ukuran) dari setiap fenomena sosial ditentukan oleh tindakan dua kelompok faktor. Beberapa di antaranya bersifat umum dan pokok, terus-menerus beroperasi, berkaitan erat dengan sifat fenomena atau proses yang dipelajari, dan berbentuk khas untuk seluruh satuan populasi yang diteliti, yang tercermin dalam nilai rata-rata. Yang lainnya adalah individu, efeknya kurang terasa dan bersifat episodik dan acak. Mereka bertindak dalam arah yang berlawanan, menyebabkan perbedaan antara karakteristik kuantitatif dari masing-masing unit populasi, mencoba mengubah nilai konstan dari karakteristik yang diteliti. Pengaruh karakteristik individu padam dalam nilai rata-rata. Dalam pengaruh gabungan faktor-faktor tipikal dan individual, yang seimbang dan saling meniadakan ciri-ciri umum, prinsip dasar yang diketahui dari statistik matematika diwujudkan dalam bentuk umum. hukum bilangan besar.
Secara agregat, nilai-nilai individu dari karakteristik bergabung menjadi massa umum dan, seolah-olah, larut. Karena itu nilai rata-rata bertindak sebagai “impersonal”, yang dapat menyimpang dari nilai-nilai karakteristik individu tanpa secara kuantitatif sesuai dengan salah satu dari karakteristik tersebut. Nilai rata-rata mencerminkan sifat-sifat umum, ciri-ciri dan ciri-ciri seluruh populasi karena saling menghilangkan perbedaan-perbedaan yang acak dan tidak lazim di antara ciri-ciri unit-unit individualnya, karena nilainya ditentukan seolah-olah oleh resultan umum dari semua sebab.
Namun, agar nilai rata-rata mencerminkan nilai paling khas dari suatu karakteristik, nilai tersebut tidak boleh ditentukan untuk populasi mana pun, tetapi hanya untuk populasi yang terdiri dari unit-unit yang secara kualitatif homogen. Persyaratan ini merupakan syarat utama bagi penggunaan nilai rata-rata yang berbasis ilmiah dan menyiratkan adanya hubungan erat antara metode nilai rata-rata dan metode pengelompokan dalam analisis fenomena sosial ekonomi. Oleh karena itu, nilai rata-rata merupakan indikator umum yang mencirikan tingkat khas dari suatu karakteristik yang bervariasi per unit populasi yang homogen dalam kondisi tempat dan waktu tertentu.
Dalam mendefinisikan esensi nilai rata-rata, perlu ditekankan bahwa perhitungan yang benar dari setiap nilai rata-rata memerlukan terpenuhinya persyaratan berikut:
- homogenitas kualitatif populasi yang menjadi dasar penghitungan nilai rata-rata. Artinya penghitungan nilai rata-rata harus didasarkan pada metode pengelompokan, yang menjamin teridentifikasinya fenomena-fenomena yang homogen dan serupa;
- tidak termasuk pengaruh penyebab dan faktor acak, murni individual pada perhitungan nilai rata-rata. Hal ini dicapai jika penghitungan rata-rata didasarkan pada materi yang cukup masif di mana hukum bilangan besar terwujud, dan semua keacakan dihilangkan;
- Saat menghitung nilai rata-rata, penting untuk menetapkan tujuan penghitungannya dan apa yang disebut indikator penentu(properti) yang harus diorientasikan.
Indikator penentu dapat berupa penjumlahan nilai-nilai karakteristik yang dirata-ratakan, jumlah nilai inversnya, hasil kali nilainya, dan lain-lain. Hubungan antara indikator penentu dan nilai rata-rata dinyatakan sebagai berikut: jika semua nilai karakteristik yang dirata-rata diganti dengan nilai rata-rata, maka jumlah atau produknya dalam hal ini tidak akan mengubah indikator penentu. Berdasarkan hubungan antara indikator penentu dan nilai rata-rata, hubungan kuantitatif awal dibangun untuk perhitungan langsung nilai rata-rata. Kemampuan nilai rata-rata untuk mempertahankan sifat-sifat populasi statistik disebut mendefinisikan properti.
Nilai rata-rata yang dihitung untuk seluruh populasi disebut Rata-rata umum; nilai rata-rata dihitung untuk setiap kelompok - rata-rata kelompok. Rata-rata umum mencerminkan ciri-ciri umum dari fenomena yang diteliti, rata-rata kelompok memberikan gambaran tentang fenomena yang berkembang dalam kondisi khusus suatu kelompok tertentu.
Cara penghitungannya mungkin berbeda-beda, oleh karena itu dalam statistika terdapat beberapa jenis rata-rata, yang utama adalah mean aritmatika, mean harmonik, dan mean geometrik.
Dalam analisis ekonomi, penggunaan rata-rata merupakan alat utama untuk menilai hasil kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, peristiwa sosial, dan mencari cadangan untuk pembangunan ekonomi. Pada saat yang sama, harus diingat bahwa ketergantungan yang berlebihan pada indikator rata-rata dapat menyebabkan kesimpulan yang bias ketika melakukan analisis ekonomi dan statistik. Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa nilai rata-rata, sebagai indikator umum, menghilangkan dan mengabaikan perbedaan-perbedaan dalam karakteristik kuantitatif unit-unit individu populasi yang sebenarnya ada dan mungkin merupakan kepentingan independen.
Jenis rata-rata
Dalam statistik, berbagai jenis rata-rata digunakan, yang dibagi menjadi dua kelas besar:
- sarana pangkat (rata-rata harmonik, rata-rata geometri, rata-rata aritmatika, rata-rata kuadrat, rata-rata kubik);
- sarana struktural (mode, median).
Menghitung rata-rata daya perlu menggunakan semua nilai karakteristik yang tersedia. Mode Dan median hanya ditentukan oleh struktur distribusinya, oleh karena itu disebut rata-rata struktural dan posisional. Median dan modus sering digunakan sebagai karakteristik rata-rata pada populasi yang tidak mungkin atau tidak dapat menghitung rata-rata daya.
Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata aritmatika. Di bawah rata-rata aritmatika dipahami sebagai nilai suatu sifat yang dimiliki oleh setiap satuan populasi jika jumlah seluruh nilai suatu sifat itu tersebar secara merata kepada semua satuan populasi. Perhitungan nilai ini dilakukan dengan menjumlahkan semua nilai dari karakteristik yang bervariasi dan membagi jumlah yang dihasilkan dengan total unit populasi. Misalnya, lima pekerja memenuhi pesanan produksi suku cadang, sedangkan pekerja pertama memproduksi 5 suku cadang, pekerja kedua - 7, pekerja ketiga - 4, pekerja keempat - 10, pekerja kelima - 12. Karena dalam data awal nilai masing-masing pilihan hanya terjadi satu kali, untuk menentukan output rata-rata seorang pekerja harus menerapkan rumus rata-rata aritmatika sederhana:
yaitu dalam contoh kita, output rata-rata satu pekerja sama dengan
Seiring dengan mean aritmatika sederhana, mereka belajar rata-rata aritmatika tertimbang. Sebagai contoh, mari kita hitung rata-rata usia siswa dalam kelompok yang terdiri dari 20 orang, yang usianya berkisar antara 18 hingga 22 tahun, di mana xi- varian karakteristik yang dirata-ratakan, fi- frekuensi, yang menunjukkan berapa kali hal itu terjadi saya-itu nilai agregat (Tabel 5.1).
Tabel 5.1
Usia rata-rata siswa
Dengan menerapkan rumus rata-rata aritmatika tertimbang, kita memperoleh:
Ada aturan tertentu untuk memilih mean aritmatika tertimbang: jika terdapat serangkaian data pada dua indikator, salah satunya perlu dihitung
nilai rata-rata, dan pada saat yang sama nilai numerik penyebut rumus logikanya diketahui, dan nilai pembilangnya tidak diketahui, tetapi dapat ditemukan sebagai produk dari indikator-indikator tersebut, maka nilai rata-ratanya harus dihitung menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika.
Dalam beberapa kasus, sifat data statistik awal sedemikian rupa sehingga penghitungan rata-rata aritmatika kehilangan maknanya dan satu-satunya indikator generalisasi hanyalah jenis rata-rata lain - rata-rata harmonik. Saat ini, sifat komputasi mean aritmatika telah kehilangan relevansinya dalam penghitungan indikator statistik umum karena meluasnya pengenalan teknologi komputasi elektronik. Nilai rata-rata harmonik, yang juga bisa sederhana dan berbobot, telah menjadi sangat penting secara praktis. Jika nilai numerik pembilang suatu rumus logika diketahui, dan nilai penyebutnya tidak diketahui, tetapi dapat dicari dengan membagi sebagian indikator yang satu dengan indikator yang lain, maka nilai rata-rata dihitung dengan menggunakan harmonik. rumus rata-rata tertimbang.
Misalnya, diketahui bahwa mobil menempuh 210 km pertama dengan kecepatan 70 km/jam, dan 150 km sisanya dengan kecepatan 75 km/jam. Tidak mungkin menentukan kecepatan rata-rata sebuah mobil sepanjang perjalanan 360 km dengan menggunakan rumus rata-rata aritmatika. Karena opsinya adalah kecepatan di masing-masing bagian xj= 70 km/jam dan X2= 75 km/jam, dan bobot (fi) dianggap sebagai bagian jalan yang bersesuaian, maka hasil kali pilihan dan bobot tidak mempunyai arti fisik maupun ekonomi. Dalam hal ini, hasil bagi memperoleh makna dengan membagi bagian-bagian jalan menjadi kecepatan-kecepatan yang sesuai (pilihan xi), yaitu waktu yang dihabiskan untuk melewati masing-masing bagian jalan (fi / xi). Jika bagian-bagian lintasan dilambangkan dengan fi, maka seluruh lintasan dinyatakan sebagai Σfi, dan waktu yang dihabiskan untuk seluruh lintasan dinyatakan sebagai Σ fi / xi , Kemudian kecepatan rata-rata dapat dicari sebagai hasil bagi seluruh lintasan dibagi dengan total waktu yang dihabiskan:
Dalam contoh kita, kita mendapatkan:
Jika, saat menggunakan mean harmonik, bobot semua opsi (f) adalah sama, maka alih-alih menggunakan bobot, Anda dapat menggunakan rata-rata harmonik sederhana (tidak tertimbang):
dimana xi adalah pilihan individual; N- jumlah varian dari karakteristik rata-rata. Dalam contoh kecepatan, mean harmonik sederhana dapat diterapkan jika segmen jalur yang dilalui pada kecepatan berbeda adalah sama.
Setiap nilai rata-rata harus dihitung sehingga ketika setiap varian dari karakteristik rata-rata diganti, nilai beberapa indikator umum akhir yang terkait dengan indikator rata-rata tidak berubah. Jadi, ketika mengganti kecepatan aktual pada masing-masing bagian rute dengan nilai rata-ratanya (kecepatan rata-rata), jarak total tidak boleh berubah.
Bentuk (rumus) nilai rata-rata ditentukan oleh sifat (mekanisme) hubungan indikator akhir ini dengan rata-rata, oleh karena itu indikator akhir yang nilainya tidak boleh berubah ketika mengganti opsi dengan nilai rata-ratanya, adalah ditelepon indikator penentu. Untuk mendapatkan rumus rata-rata, Anda perlu membuat dan menyelesaikan persamaan menggunakan hubungan antara indikator rata-rata dan indikator penentu. Persamaan ini dibangun dengan mengganti varian karakteristik (indikator) yang dirata-ratakan dengan nilai rata-ratanya.
Selain mean aritmatika dan mean harmonik, jenis (bentuk) mean lainnya juga digunakan dalam statistik. Itu semua adalah kasus khusus rata-rata daya. Jika kita menghitung semua jenis rata-rata daya untuk data yang sama, maka nilainya
hasilnya akan sama, aturannya berlaku di sini tingkat utama rata-rata. Ketika eksponen rata-rata meningkat, nilai rata-rata itu sendiri juga meningkat. Rumus yang paling sering digunakan untuk menghitung berbagai jenis rata-rata daya dalam penelitian praktis disajikan pada Tabel. 5.2.
Tabel 5.2
Rata-rata geometrik digunakan jika ada N koefisien pertumbuhan, sedangkan nilai individual dari suatu karakteristik, pada umumnya, adalah nilai dinamika relatif, yang dikonstruksikan dalam bentuk nilai rantai, sebagai rasio terhadap level sebelumnya dari setiap level dalam deret dinamika. Dengan demikian, rata-rata mencirikan tingkat pertumbuhan rata-rata. Rata-rata geometris sederhana dihitung dengan rumus
Rumus rata-rata geometri tertimbang memiliki bentuk berikut:
Rumus di atas identik, tetapi rumus yang satu diterapkan pada koefisien atau tingkat pertumbuhan saat ini, dan rumus yang kedua diterapkan pada nilai absolut tingkat seri.
Berarti persegi digunakan dalam perhitungan dengan nilai fungsi kuadrat, digunakan untuk mengukur derajat fluktuasi nilai individu suatu karakteristik di sekitar mean aritmatika dalam deret distribusi dan dihitung dengan rumus
Rata-rata tertimbang persegi dihitung menggunakan rumus lain:
Rata-rata kubik digunakan saat menghitung dengan nilai fungsi kubik dan dihitung dengan rumus
rata-rata tertimbang kubik:
Semua nilai rata-rata yang dibahas di atas dapat direpresentasikan sebagai rumus umum:
dimana nilai rata-ratanya; - makna individu; N- jumlah unit populasi yang diteliti; k- eksponen yang menentukan jenis rata-rata.
Bila menggunakan sumber data yang sama, semakin banyak k pada rumus rata-rata daya umum, semakin besar nilai rata-ratanya. Oleh karena itu, terdapat hubungan alami antara nilai rata-rata daya:
Nilai rata-rata yang dijelaskan di atas memberikan gambaran umum tentang populasi yang diteliti, dan dari sudut pandang ini, signifikansi teoretis, terapan, dan pendidikannya tidak dapat disangkal. Tetapi kebetulan nilai rata-rata tidak sesuai dengan salah satu opsi yang sebenarnya ada, oleh karena itu, selain rata-rata yang dipertimbangkan, dalam analisis statistik disarankan untuk menggunakan nilai opsi spesifik yang menempati posisi yang sangat spesifik di pasar. rangkaian nilai atribut yang diurutkan (diurutkan). Di antara besaran-besaran tersebut, yang paling umum digunakan adalah struktural, atau deskriptif, rata-rata- modus (Mo) dan median (Saya).
Mode- nilai suatu karakteristik yang paling sering ditemukan pada suatu populasi tertentu. Sehubungan dengan deret variasi, modus adalah nilai yang paling sering muncul dari deret rangking, yaitu opsi dengan frekuensi tertinggi. Fashion dapat digunakan dalam menentukan toko yang paling sering dikunjungi, harga paling umum untuk suatu produk. Ini menunjukkan ukuran suatu fitur yang merupakan karakteristik sebagian besar populasi dan ditentukan oleh rumus
dimana x0 adalah batas bawah interval; H- ukuran interval; fm- frekuensi interval; fm_ 1 - frekuensi interval sebelumnya; fm+ 1 - frekuensi interval berikutnya.
median opsi yang terletak di tengah baris peringkat disebut. Median membagi deret tersebut menjadi dua bagian yang sama sehingga terdapat jumlah unit populasi yang sama di kedua sisinya. Dalam hal ini, separuh unit dalam populasi memiliki nilai karakteristik bervariasi yang lebih kecil dari median, dan separuh lainnya memiliki nilai lebih besar dari median. Median digunakan ketika mempelajari suatu elemen yang nilainya lebih besar atau sama dengan, atau sekaligus kurang dari atau sama dengan, setengah elemen suatu deret distribusi. Median memberikan gambaran umum tentang di mana nilai-nilai atribut terkonsentrasi, dengan kata lain, di mana pusatnya berada.
Sifat deskriptif median dimanifestasikan dalam kenyataan bahwa ia mencirikan batas kuantitatif nilai-nilai karakteristik yang bervariasi yang dimiliki oleh setengah unit populasi. Masalah mencari median deret variasi diskrit dapat diselesaikan dengan mudah. Jika semua satuan deret diberi nomor urut, maka nomor urut opsi median ditentukan (n + 1) / 2 dengan jumlah anggota ganjil n. Jika jumlah anggota deret tersebut bilangan genap , maka mediannya adalah nilai rata-rata dari dua pilihan yang memiliki nomor urut N/ 2 dan N / 2 + 1.
Saat menentukan median dalam deret variasi interval, tentukan dulu interval tempatnya berada (interval median). Interval ini dicirikan oleh fakta bahwa jumlah akumulasi frekuensinya sama dengan atau melebihi setengah jumlah seluruh frekuensi rangkaian. Median deret variasi interval dihitung menggunakan rumus
Di mana X0- batas bawah interval; H- ukuran interval; fm- frekuensi interval; F- jumlah anggota seri;
∫m-1 adalah jumlah akumulasi suku-suku deret sebelum deret tertentu.
Selain median, untuk lebih mengkarakterisasi struktur populasi yang diteliti, juga digunakan nilai opsi lain yang menempati posisi yang sangat spesifik dalam rangkaian peringkat. Ini termasuk kuartil Dan desil. Kuartil membagi rangkaian menurut jumlah frekuensi menjadi 4 bagian yang sama, dan desil - menjadi 10 bagian yang sama. Ada tiga kuartil dan sembilan desil.
Median dan modus, tidak seperti mean aritmatika, tidak menghilangkan perbedaan individu dalam nilai suatu karakteristik variabel dan oleh karena itu merupakan karakteristik tambahan dan sangat penting dari populasi statistik. Dalam praktiknya, mereka sering digunakan sebagai pengganti rata-rata atau bersamaan dengan itu. Sangat disarankan untuk menghitung median dan modus jika populasi yang diteliti berisi sejumlah unit tertentu dengan nilai karakteristik yang bervariasi yang sangat besar atau sangat kecil. Nilai-nilai pilihan ini, yang tidak terlalu khas dari populasi, meskipun mempengaruhi nilai mean aritmatika, tidak mempengaruhi nilai median dan modus, yang menjadikan nilai median dan modus sebagai indikator yang sangat berharga bagi ekonomi dan statistik. analisis.
Indikator variasi
Tujuan penelitian statistik adalah untuk mengidentifikasi sifat dan pola dasar populasi statistik yang diteliti. Dalam proses pengolahan ringkasan data observasi statistik, mereka membangun seri distribusi. Ada dua jenis rangkaian distribusi - atributif dan variasional, bergantung pada apakah karakteristik yang dijadikan dasar pengelompokannya bersifat kualitatif atau kuantitatif.
Variasi disebut deret distribusi yang dibangun atas dasar kuantitatif. Nilai-nilai sifat kuantitatif pada satuan individu suatu populasi tidaklah konstan, sedikit banyak berbeda satu sama lain. Perbedaan nilai suatu sifat disebut variasi. Nilai numerik individu dari suatu karakteristik yang terdapat pada populasi yang diteliti disebut varian nilai. Adanya variasi pada satuan individu suatu populasi disebabkan oleh pengaruh sejumlah besar faktor terhadap pembentukan tingkat sifat tersebut. Studi tentang sifat dan derajat variasi karakteristik pada masing-masing unit populasi adalah isu terpenting dalam setiap penelitian statistik. Indeks variasi digunakan untuk menggambarkan ukuran variabilitas sifat.
Tugas penting lainnya dari penelitian statistik adalah menentukan peran faktor individu atau kelompoknya dalam variasi karakteristik tertentu dari suatu populasi. Untuk mengatasi masalah ini, statistik menggunakan metode khusus untuk mempelajari variasi, berdasarkan penggunaan sistem indikator yang digunakan untuk mengukur variasi. Dalam praktiknya, seorang peneliti dihadapkan pada varian nilai atribut yang cukup banyak, sehingga tidak memberikan gambaran sebaran unit berdasarkan nilai atribut secara agregat. Untuk melakukan ini, susun semua varian nilai karakteristik dalam urutan menaik atau menurun. Proses ini disebut memberi peringkat pada seri tersebut. Seri yang diperingkat segera memberikan gambaran umum tentang nilai agregat yang diambil fitur tersebut.
Kurangnya nilai rata-rata untuk gambaran populasi yang menyeluruh memaksa kita untuk melengkapi nilai rata-rata dengan indikator yang memungkinkan kita menilai kekhasan rata-rata tersebut dengan mengukur variabilitas (variasi) dari karakteristik yang diteliti. Penggunaan indikator variasi ini memungkinkan analisis statistik menjadi lebih lengkap dan bermakna sehingga memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang esensi fenomena sosial yang diteliti.
Tanda-tanda variasi yang paling sederhana adalah minimum Dan maksimum - ini adalah nilai atribut terkecil dan terbesar secara agregat. Banyaknya pengulangan varian individu dari nilai karakteristik disebut frekuensi pengulangan. Mari kita nyatakan frekuensi pengulangan nilai atribut fi, jumlah frekuensi yang sama dengan volume populasi yang diteliti adalah:
Di mana k- jumlah opsi untuk nilai atribut. Lebih mudah untuk mengganti frekuensi dengan frekuensi - wi. Frekuensi- indikator frekuensi relatif - dapat dinyatakan dalam pecahan satuan atau persentase dan memungkinkan Anda membandingkan rangkaian variasi dengan jumlah pengamatan yang berbeda. Secara formal kami memiliki:
Untuk mengukur variasi suatu sifat digunakan berbagai indikator absolut dan relatif. Indikator variasi absolut meliputi deviasi linier rata-rata, rentang variasi, dispersi, dan deviasi standar.
Rentang variasi(R) mewakili selisih antara nilai maksimum dan minimum suatu atribut pada populasi yang diteliti: R= Xmaks - Xmin. Indikator ini hanya memberikan gambaran paling umum tentang variabilitas karakteristik yang dipelajari, karena indikator ini hanya menunjukkan perbedaan antara nilai maksimum opsi. Ini sama sekali tidak ada hubungannya dengan frekuensi dalam deret variasi, yaitu dengan sifat distribusi, dan ketergantungannya dapat memberikan karakter acak yang tidak stabil hanya pada nilai ekstrim dari karakteristik tersebut. Kisaran variasi tidak memberikan informasi apapun tentang karakteristik populasi yang diteliti dan tidak memungkinkan kita menilai derajat kekhasan nilai rata-rata yang diperoleh. Ruang lingkup penerapan indikator ini terbatas pada populasi yang cukup homogen; lebih tepatnya, variasi suatu karakteristik dicirikan oleh suatu indikator berdasarkan dengan mempertimbangkan variabilitas seluruh nilai karakteristik tersebut.
Untuk mengkarakterisasi variasi suatu karakteristik, perlu dilakukan generalisasi penyimpangan semua nilai dari nilai apa pun yang khas untuk populasi yang diteliti. Indikator seperti itu
variasi, seperti simpangan linier rata-rata, dispersi, dan simpangan baku, didasarkan pada pertimbangan penyimpangan nilai karakteristik unit individu populasi dari rata-rata aritmatika.
Deviasi linier rata-rata mewakili mean aritmatika dari nilai absolut deviasi opsi individu dari mean aritmatikanya:
Nilai absolut (modulus) deviasi varian dari mean aritmatika; F- frekuensi.
Rumus pertama diterapkan jika masing-masing opsi muncul secara agregat hanya satu kali, dan rumus kedua diterapkan secara seri dengan frekuensi yang tidak sama.
Ada cara lain untuk merata-ratakan deviasi pilihan dari mean aritmatika. Metode ini, yang sangat umum dalam statistik, adalah menghitung deviasi kuadrat opsi dari nilai rata-rata, diikuti dengan rata-ratanya. Dalam hal ini, kita memperoleh indikator variasi baru - dispersi.
Penyebaran(σ 2) - rata-rata deviasi kuadrat pilihan nilai atribut dari nilai rata-ratanya:
Rumus kedua diterapkan jika opsi memiliki bobotnya sendiri (atau frekuensi rangkaian variasi).
Dalam analisis ekonomi dan statistik, biasanya mengevaluasi variasi suatu karakteristik paling sering menggunakan standar deviasi. Deviasi standar(σ) adalah akar kuadrat dari varians:
Deviasi linier dan standar rata-rata menunjukkan seberapa besar fluktuasi rata-rata nilai suatu karakteristik di antara unit-unit populasi yang diteliti, dan dinyatakan dalam satuan pengukuran yang sama dengan pilihannya.
Dalam praktik statistik, seringkali terdapat kebutuhan untuk membandingkan variasi karakteristik yang berbeda. Misalnya, sangat menarik untuk membandingkan variasi usia personel dan kualifikasi mereka, masa kerja dan upah, dll. Untuk perbandingan seperti itu, indikator variabilitas absolut karakteristik - rata-rata linier dan deviasi standar - tidak cocok. Faktanya, tidak mungkin membandingkan fluktuasi masa kerja, yang dinyatakan dalam tahun, dengan fluktuasi upah, yang dinyatakan dalam rubel dan kopeck.
Saat membandingkan variabilitas berbagai karakteristik secara bersamaan, akan lebih mudah jika menggunakan ukuran variasi relatif. Indikator-indikator ini dihitung sebagai rasio indikator absolut terhadap mean aritmatika (atau median). Dengan menggunakan rentang variasi, deviasi linier rata-rata, dan deviasi standar sebagai indikator variasi absolut, diperoleh indikator variabilitas relatif:
Indikator variabilitas relatif yang paling umum digunakan, yang mencirikan homogenitas populasi. Suatu populasi dianggap homogen jika koefisien variasinya tidak melebihi 33% untuk sebaran mendekati normal.
