Bagian dari suatu satuan atau beberapa bagiannya disebut pecahan sederhana atau pecahan biasa. Banyaknya bagian yang sama yang membagi suatu satuan disebut penyebut, dan banyaknya bagian yang diambil disebut pembilang. Pecahannya ditulis sebagai:

DI DALAM pada kasus ini a adalah pembilangnya, b adalah penyebutnya.

Jika pembilangnya kurang dari penyebutnya, maka pecahan tersebut kurang dari 1 dan disebut pecahan wajar. Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka pecahan tersebut lebih besar dari 1, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan sama, maka pecahan tersebut sama.

1. Jika pembilangnya dapat dibagi dengan penyebutnya, maka pecahan tersebut sama dengan hasil bagi pembagiannya:

Jika pembagian dilakukan dengan sisa, maka pecahan biasa ini dapat dinyatakan dengan bilangan campuran, misalnya:

Maka 9 adalah hasil bagi tidak lengkap ( seluruh bagian nomor campuran),
1 - sisa (pembilang bagian pecahan),
5 adalah penyebutnya.

Untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan, Anda perlu mengalikan seluruh bagian bilangan campuran dengan penyebutnya dan menjumlahkan pembilang bagian pecahannya.

Hasil yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan biasa, namun penyebutnya tetap sama.

Operasi dengan pecahan

Ekspansi pecahan. Nilai pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.
Misalnya:

Mengurangi sebagian kecil. Nilai pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dibagi dengan angka yang sama selain nol.
Misalnya:

Membandingkan pecahan. Dari dua pecahan yang pembilangnya sama, pecahan yang penyebutnya lebih kecil adalah yang lebih besar:

Dari dua pecahan dengan penyebut yang sama yang pembilangnya lebih besar:

Untuk membandingkan pecahan-pecahan yang pembilang dan penyebutnya berbeda, maka perlu dilakukan perluasan, yaitu dibawa ke faktor persekutuan. Misalnya pecahan berikut:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Jika penyebut pecahannya sama, maka untuk menjumlahkan pecahan tersebut, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya, dan untuk mengurangkan pecahan tersebut, Anda perlu mengurangkan pembilangnya. Jumlah atau selisih yang dihasilkan akan menjadi pembilang dari hasil tersebut, tetapi penyebutnya tetap sama. Jika penyebut pecahannya berbeda, maka pecahan tersebut harus direduksi terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama. Saat menambahkan nomor campuran bagian utuh dan pecahannya ditambahkan secara terpisah. Saat mengurangkan bilangan campuran, pertama-tama Anda harus mengonversikannya ke bentuk pecahan biasa, kemudian mengurangkan salah satu bilangan tersebut, lalu mengonversikan hasilnya lagi, jika diperlukan, ke dalam bentuk bilangan campuran.

Mengalikan pecahan. Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah dan membagi hasil kali pertama dengan hasil kali kedua.

Pembagian pecahan. Untuk membagi suatu bilangan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan kebalikannya.

Desimal- ini hasil pembagian satu per sepuluh, seratus, seribu, dst. bagian. Pertama-tama seluruh bagian bilangan tersebut ditulis, kemudian koma desimal diletakkan di sebelah kanan. Digit pertama setelah koma berarti angka persepuluhan, angka kedua berarti angka seperseratus, angka ketiga berarti angka seperseribu, dan seterusnya. Angka-angka yang terletak setelah titik desimal disebut desimal.

Misalnya:

Sifat-sifat Desimal

Properti:

Pecahan desimal tidak berubah jika Anda menambahkan angka nol ke kanan: 4,5 = 4,5000.
Desimal tidak berubah jika Anda menghilangkan angka nol di akhir desimal: 0,0560000 = 0,056.
Desimal bertambah 10, 100, 1000, dst. kali, jika Anda memindahkan koma desimal satu, dua, tiga, dst. posisi ke kanan: 4,5 45 (pecahan meningkat 10 kali lipat).
Pecahan desimal dikurangi 10, 100, 1000, dst. kali, jika Anda memindahkan koma desimal satu, dua, tiga, dst. posisi ke kiri: 4,5 0,45 (pecahan berkurang 10 kali lipat).

Pecahan desimal periodik berisi sekelompok angka yang berulang tak terhingga yang disebut periode: 0,321321321321…=0,(321)

Operasi dengan desimal

Penjumlahan dan pengurangan desimal dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, Anda hanya perlu menuliskan bilangan yang sesuai. desimal satu di bawah yang lain.
Misalnya:

Perkalian pecahan desimal dilakukan dalam beberapa tahap:

Kita mengalikan desimal sebagai bilangan bulat, mengabaikan koma desimal.
Aturan yang berlaku: jumlah tempat desimal pada hasil kali sama dengan jumlah tempat desimal pada semua faktor.

Misalnya:

Jumlah bilangan desimal faktornya sama dengan: 2+1=3. Sekarang Anda perlu menghitung 3 digit dari akhir angka yang dihasilkan dan memberi titik desimal: 0,675.

Membagi desimal. Membagi pecahan desimal dengan bilangan bulat: jika pembagian kurang dari pembagi, maka Anda perlu menulis angka nol di bagian bilangan bulat hasil bagi dan memberi titik desimal setelahnya. Kemudian, tanpa memperhitungkan koma desimal dari pembagian tersebut, tambahkan digit berikutnya dari bagian pecahan tersebut ke seluruh bagiannya dan bandingkan kembali seluruh bagian yang dihasilkan dari pembagian tersebut dengan pembaginya. Jika bilangan baru lagi-lagi lebih kecil dari pembaginya, operasi harus diulang. Proses ini diulangi hingga dividen yang dihasilkan lebih besar dari pembaginya. Setelah itu, pembagian dilakukan seperti bilangan bulat. Jika pembagiannya lebih besar atau sama dengan pembaginya, bagilah seluruh bagiannya terlebih dahulu, tuliskan hasil pembagiannya dalam hasil bagi dan beri tanda desimal. Setelah itu, pembagian dilanjutkan seperti pada bilangan bulat.

Membagi satu pecahan desimal dengan pecahan desimal lainnya: pertama, koma desimal pada pembagi dan pembagi dipindahkan ke jumlah tempat desimal pada pembagi, yaitu, kita membuat pembagi menjadi bilangan bulat, dan tindakan yang dijelaskan di atas dilakukan.

Untuk membalikkan desimal dalam bilangan biasa, Anda perlu mengambil angka setelah koma sebagai pembilangnya, dan mengambil pangkat sepuluh dari k sebagai penyebutnya (k adalah jumlah tempat desimal). Bagian bilangan bulat bukan nol disimpan dalam pecahan biasa; bagian bilangan bulat nol dihilangkan.
Misalnya:

Untuk mengubah pecahan menjadi desimal, Anda harus membagi pembilangnya dengan penyebutnya sesuai dengan aturan pembagian.

Persentase adalah seperseratus satuan, contoh: 5% berarti 0,05. Rasio adalah hasil bagi suatu bilangan dibagi dengan bilangan lain. Proporsi adalah persamaan dua rasio.

Misalnya:

Sifat utama proporsi: hasil kali suku-suku ekstrem suatu proporsi sama dengan hasil kali suku-suku tengahnya, yaitu 5x30 = 6x25. Dua saling besaran yang bergantung disebut proporsional jika perbandingan nilainya tetap tidak berubah (koefisien proporsionalitas).

Jadi, operasi aritmatika berikut telah diidentifikasi.
Misalnya:

Himpunan bilangan rasional meliputi bilangan positif dan negatif (bilangan bulat dan pecahan) dan nol. Lagi definisi yang tepat bilangan rasional yang diterima dalam matematika adalah sebagai berikut: suatu bilangan disebut rasional jika dapat direpresentasikan dalam bentuk bilangan biasa pecahan yang tidak dapat direduksi berbentuk :, dimana a dan b adalah bilangan bulat.

Untuk angka negatif nilai mutlak(modulus) adalah bilangan positif yang diperoleh dengan mengubah tandanya dari “-” menjadi “+”; Untuk nomor positif dan nol adalah angka itu sendiri. Untuk menunjukkan modulus suatu bilangan digunakan dua garis lurus yang didalamnya ditulis bilangan tersebut, contoh: |–5|=5.

Sifat-sifat nilai absolut

Biarkan modulus suatu bilangan diberikan , yang properti berikut ini benar:

Monomial adalah hasil kali dua faktor atau lebih, yang masing-masing berupa bilangan, huruf, atau pangkat suatu huruf: 3 x a x b. Koefisien paling sering disebut sebagai pengali numerik saja. Monomial disebut sejenis jika sama atau hanya berbeda koefisiennya saja. Derajat suatu monomial adalah jumlah eksponen seluruh hurufnya. Jika di antara jumlah monomial ada yang serupa, maka jumlahnya dapat dikurangi menjadi lebih banyak tampilan sederhana: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Operasi ini disebut casting anggota serupa atau dengan mengeluarkannya dari tanda kurung.

Polinomial adalah jumlah aljabar monomial. Derajat suatu polinomial adalah derajat terbesar dari monomial-monomial yang termasuk dalam polinomial tersebut.

Ada rumus berikut perkalian disingkat:

Metode faktorisasi:

Pecahan aljabar merupakan ekspresi bentuk, dimana A dan B dapat berupa bilangan, monomial, atau polinomial.

Jika dua ekspresi (numerik dan alfabet) dihubungkan dengan tanda “=”, maka keduanya dikatakan membentuk persamaan. Kesetaraan sejati apa pun, berlaku untuk semua, dapat diterima nilai numerik huruf-huruf yang terdapat di dalamnya disebut identitas.

Persamaan adalah persamaan literal yang berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf yang termasuk di dalamnya. Huruf-huruf ini disebut tidak diketahui (variabel), dan nilainya persamaan yang diberikan berubah menjadi identitas - dengan akar persamaan.

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya. Dua persamaan atau lebih disebut ekuivalen jika mempunyai akar-akar yang sama.

nol adalah akar persamaan;
persamaannya saja nomor akhir akar

Jenis dasar persamaan aljabar:

Untuk persamaan linier ax + b = 0:

jika a x 0, terdapat satu akar x = -b/a;
jika a = 0, b ≠ 0, tidak ada akar;
jika a = 0, b = 0, akarnya adalah sembarang bilangan real.

Persamaan xn = a, n N:

jika n - angka ganjil, memiliki akar real yang sama dengan a/n;
jika n bilangan genap, maka untuk a 0, maka ia mempunyai dua akar.

Dasar transformasi identitas: mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengannya; memindahkan suku-suku persamaan dari satu ruas ke ruas lain yang tandanya berlawanan; mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi (angka) yang sama selain nol.

Persamaan linear yang tidak diketahui adalah persamaan dengan bentuk: ax+b=0, dimana a dan b adalah nomor yang diketahui, dan x adalah besaran yang tidak diketahui.

Sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui memiliki bentuk:

Dimana a, b, c, d, e, f - nomor yang diberikan; x, y tidak diketahui.

Angka a, b, c, d adalah koefisien yang tidak diketahui; e, f- anggota gratis. Penyelesaian sistem persamaan ini dapat dicari dengan dua metode utama: metode substitusi: dari satu persamaan kita nyatakan salah satu yang tidak diketahui melalui koefisien dan yang tidak diketahui lainnya, lalu substitusikan ke dalam persamaan kedua dengan menyelesaikan persamaan terakhir, kita terlebih dahulu temukan satu yang tidak diketahui, lalu kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama dan temukan yang kedua yang tidak diketahui; metode menambahkan atau mengurangi satu persamaan dari yang lain.

Operasi dengan akar:

Hitung akar ke-n pangkat dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, gelar ke-n yang sama dengan a. Akar aljabar gelar ke-n dari nomor yang diberikan Himpunan semua akar bilangan tersebut disebut.

Bilangan irasional, tidak seperti bilangan rasional, tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa yang tidak dapat direduksi dengan bentuk m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat. Ini adalah angka-angka tipe baru yang dapat dihitung dengan presisi apa pun, tetapi tidak dapat diganti bilangan rasional. Mereka dapat muncul sebagai hasil pengukuran geometris, misalnya: perbandingan panjang diagonal suatu persegi dengan panjang sisinya adalah sama.

Persamaan kuadratnya adalah persamaan aljabar derajat kedua ax2+bx+c=0, dimana a, b, c diberi koefisien numerik atau huruf, x tidak diketahui. Jika kita membagi semua suku persamaan ini dengan a, hasilnya adalah x2+px+q=0 - persamaan tereduksi p=b/a, q=c/a. Akarnya ditemukan dengan rumus:

Jika b2-4ac>0, maka ada dua akar yang berbeda, b2-4ac=0, maka ada dua akar yang sama; b2-4ac Persamaan yang mengandung moduli

Tipe dasar persamaan yang mengandung modul:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| =g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, di mana f(x), g(x), fk(x), gk(x) diberikan fungsi.

Artikel ini adalah tentang pecahan biasa. Di sini kita akan memperkenalkan konsep pecahan dari keseluruhan, yang akan membawa kita pada definisi pecahan biasa. Selanjutnya kita akan fokus pada notasi yang diterima untuk pecahan biasa dan berikan contoh pecahan, mari kita bahas tentang pembilang dan penyebut pecahan. Setelah itu kita akan memberikan definisi pecahan wajar dan tak wajar, pecahan positif dan negatif, serta memperhatikan kedudukan bilangan pecahan pada sinar koordinat. Sebagai kesimpulan, kami mencantumkan operasi dasar dengan pecahan.

Navigasi halaman.

Bagian dari keseluruhan

Pertama kami perkenalkan konsep berbagi.

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki suatu benda yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar identik (yaitu sama). Untuk lebih jelasnya, Anda dapat membayangkan, misalnya, sebuah apel yang dipotong menjadi beberapa bagian yang sama, atau sebuah jeruk yang terdiri dari beberapa irisan yang sama besar. Masing-masing bagian sama yang membentuk seluruh subjek, ditelepon bagian dari keseluruhan atau sederhananya saham.

Perhatikan bahwa bagiannya berbeda. Mari kita jelaskan ini. Mari kita makan dua buah apel. Potong apel pertama menjadi dua bagian yang sama, dan apel kedua menjadi 6 bagian yang sama. Jelas bahwa bagian apel pertama akan berbeda dengan bagian apel kedua.

Tergantung pada jumlah bagian yang membentuk keseluruhan objek, bagian tersebut memiliki namanya sendiri. Mari kita selesaikan nama-nama ketukan. Jika suatu benda terdiri dari dua bagian, salah satunya disebut bagian kedua dari keseluruhan benda; jika suatu benda terdiri dari tiga bagian, maka salah satunya disebut sepertiga bagian, dan seterusnya.

Satu detik telah dibagikan nama khusus – setengah. Sepertiga dipanggil ketiga, dan seperempat bagian - seperempat.

Agar singkatnya, berikut ini diperkenalkan: mengalahkan simbol. Satu bagian kedua ditetapkan sebagai atau 1/2, sepertiga bagian ditetapkan sebagai atau 1/3; seperempat bagian - suka atau 1/4, dan seterusnya. Perhatikan bahwa notasi dengan garis horizontal lebih sering digunakan. Untuk memperkuat materi, mari kita berikan satu contoh lagi: entri tersebut menunjukkan seratus enam puluh tujuh bagian dari keseluruhan.

Konsep berbagi secara alami meluas dari objek hingga kuantitas. Misalnya salah satu ukuran panjang adalah meter. Untuk mengukur panjang yang lebih pendek dari satu meter, dapat digunakan pecahan meter. Jadi Anda bisa menggunakan, misalnya setengah meter atau sepersepuluh atau seperseribu meter. Pembagian besaran lain diterapkan serupa.

Pecahan biasa, pengertian dan contoh pecahan

Untuk menggambarkan jumlah share yang kami gunakan pecahan biasa. Mari kita berikan contoh yang memungkinkan kita mendekati definisi pecahan biasa.

Biarkan jeruk terdiri dari 12 bagian. Setiap bagian dalam hal ini mewakili seperduabelas dari keseluruhan jeruk, yaitu,. Dua ketukan kita nyatakan sebagai , tiga ketukan sebagai , dan seterusnya, 12 ketukan kita nyatakan sebagai . Setiap entri yang diberikan disebut pecahan biasa.

Sekarang mari kita berikan gambaran umum definisi pecahan biasa.

Definisi pecahan biasa yang disuarakan memungkinkan kita untuk memberi contoh pecahan biasa: 5/10, , 21/1, 9/4, . Dan inilah catatannya tidak sesuai dengan definisi pecahan biasa, yaitu bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Untuk kenyamanan, pecahan biasa dibedakan pembilang dan penyebut.

Definisi.

Pembilang pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli m.

Definisi.

Penyebut pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli n.

Jadi, pembilangnya terletak di atas garis pecahan (di sebelah kiri garis miring), dan penyebutnya terletak di bawah garis pecahan (di sebelah kanan garis miring). Misalnya pecahan biasa 17/29, pembilang pecahan tersebut adalah 17, dan penyebutnya adalah angka 29.

Tinggal membahas pengertian yang terkandung pada pembilang dan penyebut pecahan biasa. Penyebut suatu pecahan menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari suatu benda, dan pembilangnya, pada gilirannya, menunjukkan jumlah bagian tersebut. Misalnya, penyebut 5 pada pecahan 12/5 berarti satu benda terdiri dari lima bagian, dan pembilang 12 berarti diambil 12 bagian.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut suatu pecahan biasa dapat berupa sama dengan satu. Dalam hal ini kita dapat menganggap bahwa benda tersebut tidak dapat dibagi-bagi, dengan kata lain mewakili sesuatu yang utuh. Pembilang pecahan tersebut menunjukkan berapa banyak benda utuh yang diambil. Dengan demikian, pecahan biasa dari bentuk m/1 mempunyai arti bilangan asli m. Beginilah cara kami membuktikan validitas persamaan m/1=m.

Mari kita tulis ulang persamaan terakhir sebagai berikut: m=m/1. Persamaan ini memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan asli m sebagai pecahan biasa. Misalnya bilangan 4 adalah pecahan 4/1, dan bilangan 103.498 sama dengan pecahan 103.498/1.

Jadi, bilangan asli m apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa dengan penyebut 1 sebagai m/1, dan pecahan biasa apa pun yang berbentuk m/1 dapat diganti dengan bilangan asli m.

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Mewakili suatu benda asli dalam bentuk n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama besar. Setelah suatu barang dibagi menjadi n bagian, kita dapat membaginya secara merata kepada n orang – masing-masing akan menerima satu bagian.

Jika awalnya kita memiliki m item yang identik, yang masing-masing dibagi menjadi n bagian, maka kita dapat membagi m item tersebut secara merata kepada n orang, sehingga setiap orang mendapat satu bagian dari setiap m item. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian dari 1/n, dan m bagian dari 1/n menghasilkan pecahan biasa m/n. Jadi, pecahan biasa m/n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m benda antara n orang.

Beginilah cara kita mendapatkan hubungan eksplisit antara pecahan biasa dan pembagian (lihat gambaran umum pembagian bilangan asli). Hubungan ini diungkapkan sebagai berikut: garis pecahan dapat dipahami sebagai tanda pembagian, yaitu m/n=m:n.

Dengan menggunakan pecahan biasa, Anda dapat menuliskan hasil pembagian dua bilangan asli, yang pembagian integralnya tidak dilakukan. Misalnya hasil pembagian 5 buah apel oleh 8 orang dapat dituliskan 5/8, yaitu setiap orang mendapat lima per delapan bagian apel: 5:8 = 5/8.

Pecahan sama dan tidak sama, perbandingan pecahan

Tindakan yang cukup alami adalah membandingkan pecahan, karena jelas 1/12 buah jeruk berbeda dengan 5/12, dan 1/6 buah apel sama dengan 1/6 buah apel lainnya.

Dari hasil membandingkan dua pecahan biasa, diperoleh salah satu hasil: pecahan tersebut sama atau tidak sama. Dalam kasus pertama yang kita miliki pecahan biasa yang sama, dan yang kedua – pecahan biasa yang tidak sama. Mari kita berikan definisi pecahan biasa yang sama dan tidak sama.

Definisi.

setara, jika persamaan a·d=b·c benar.

Definisi.

Dua pecahan biasa a/b dan c/d tidak sama, jika persamaan a·d=b·c tidak terpenuhi.

Berikut beberapa contoh pecahan sama besar. Misalnya, pecahan biasa 1/2 sama dengan pecahan 2/4, karena 1·4=2·2 (bila perlu lihat aturan dan contoh perkalian bilangan asli). Untuk lebih jelasnya, Anda dapat membayangkan dua buah apel yang identik, yang pertama dipotong menjadi dua, dan yang kedua dipotong menjadi 4 bagian. Jelas sekali bahwa dua perempat bagian apel sama dengan 1/2 bagian. Contoh pecahan biasa yang sama lainnya adalah pecahan 4/7 dan 36/63, serta pasangan pecahan 81/50 dan 1.620/1.000.

Tetapi pecahan biasa 4/13 dan 5/14 tidak sama, karena 4·14=56, dan 13·5=65, yaitu 4·14≠13·5. Contoh pecahan biasa tak sama lainnya adalah pecahan 17/7 dan 6/4.

Jika, saat membandingkan dua pecahan biasa, ternyata keduanya tidak sama, maka Anda mungkin perlu mencari tahu pecahan biasa mana yang lebih sedikit berbeda, dan yang mana - lagi. Untuk mengetahuinya digunakan aturan membandingkan pecahan biasa, yang intinya adalah membawa pecahan yang dibandingkan ke penyebut yang sama dan kemudian membandingkan pembilangnya. Informasi terperinci tentang topik ini dikumpulkan dalam artikel perbandingan pecahan: aturan, contoh, solusi.

Bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah notasi bilangan pecahan. Artinya, pecahan hanyalah “kulit” dari suatu bilangan pecahan, yaitu penampilan, dan seluruh muatan semantik terkandung dalam bilangan pecahan. Namun, agar singkat dan mudah, konsep pecahan dan bilangan pecahan digabungkan dan disebut pecahan. Adalah tepat untuk mengulanginya di sini pepatah terkenal: kami mengatakan pecahan - maksud kami bilangan pecahan, kami mengatakan bilangan pecahan - yang kami maksud adalah pecahan.

Pecahan pada sinar koordinat

Semua bilangan pecahan yang bersesuaian dengan pecahan biasa mempunyai tempat uniknya masing-masing, yaitu ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik-titik pada sinar koordinat.

Untuk mencapai titik pada sinar koordinat yang sesuai dengan pecahan m/n, Anda perlu menyisihkan m ruas dari titik asal dalam arah positif, yang panjangnya 1/n pecahan satuan ruas. Segmen tersebut dapat diperoleh dengan membagi satuan segmen menjadi n bagian yang sama, yang selalu dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

Misalnya, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat yang bersesuaian dengan pecahan 14/10. Panjang suatu ruas yang ujungnya di titik O dan titik terdekatnya, yang diberi tanda garis kecil, adalah 1/10 satuan ruas. Sebuah titik dengan koordinat 14/10 dipindahkan dari titik asal pada jarak 14 ruas tersebut.

Pecahan yang sama berhubungan dengan bilangan pecahan yang sama, yaitu, pecahan yang sama adalah koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, koordinat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 berhubungan dengan satu titik pada sinar koordinat, karena semua pecahan yang tertulis adalah sama (terletak pada jarak setengah satuan segmen yang ditata dari titik asal ke arah positif).

Pada sinar koordinat mendatar dan berarah kanan, suatu titik yang koordinatnya adalah pecahan besar, terletak di sebelah kanan titik yang koordinatnya berada pecahan kecil. Demikian pula, titik dengan koordinat lebih kecil terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat lebih besar.

Pecahan biasa dan tidak wajar, definisi, contoh

Di antara pecahan biasa ada benar dan pecahan biasa . Pembagian ini didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebutnya.

Mari kita definisikan pecahan biasa yang wajar dan tak wajar.

Definisi.

Pecahan yang tepat adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu jika m

Definisi.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu jika m≥n maka pecahan biasa tersebut adalah pecahan biasa.

Berikut beberapa contoh pecahan biasa: 1/4, , 32,765/909,003. Memang, dalam setiap pecahan biasa yang ditulis, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya (jika perlu, lihat artikel membandingkan bilangan asli), sehingga menurut definisinya benar.

Berikut contoh pecahan biasa: 9/9, 23/4, . Memang pembilang pecahan biasa yang pertama ditulis sama dengan penyebutnya, dan pada pecahan selebihnya pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Ada juga definisi pecahan biasa dan pecahan biasa, berdasarkan perbandingan pecahan dengan satu.

Definisi.

benar, jika kurang dari satu.

Definisi.

Pecahan biasa disebut salah, jika sama dengan satu atau lebih besar dari 1.

Jadi pecahan biasa 7/11 benar, karena 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, dan 27/27=1.

Mari kita pikirkan bagaimana pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya pantas mendapatkan nama seperti itu - “tidak wajar”.

Misalnya, ambil pecahan biasa 9/9. Pecahan ini berarti diambil sembilan bagian dari suatu benda yang terdiri dari sembilan bagian. Artinya, dari sembilan bagian yang tersedia kita dapat membuat suatu benda utuh. Artinya, pecahan biasa 9/9 pada dasarnya menghasilkan keseluruhan benda, yaitu 9/9 = 1. Secara umum, pecahan biasa yang pembilangnya sama dengan penyebutnya menyatakan satu benda utuh, dan pecahan tersebut dapat diganti dengan bilangan asli 1.

Sekarang perhatikan pecahan biasa 7/3 dan 12/4. Jelas sekali bahwa dari tujuh pertiga bagian ini kita dapat menyusun dua benda utuh (satu benda utuh terdiri dari 3 bagian, maka untuk menyusun dua benda utuh kita memerlukan 3 + 3 = 6 bagian) dan masih ada sepertiganya. bagian kiri. Artinya, pecahan biasa 7/3 pada dasarnya berarti 2 benda dan juga 1/3 dari benda tersebut. Dan dari dua belas perempat bagian kita dapat membuat tiga benda utuh (tiga benda dengan masing-masing empat bagian). Artinya, pecahan 12/4 pada dasarnya berarti 3 benda utuh.

Contoh-contoh yang dipertimbangkan membawa kita pada kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli, jika pembilangnya dibagi rata dengan penyebutnya (misalnya, 9/9=1 dan 12/4=3), atau dengan jumlah bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi penyebutnya (misalnya, 7/3=2+1/3). Mungkin inilah tepatnya yang menyebabkan pecahan tak wajar diberi nama “tidak beraturan”.

Yang menarik adalah representasi pecahan biasa sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa (7/3=2+1/3). Proses ini disebut mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa, dan memerlukan pertimbangan tersendiri dan lebih cermat.

Perlu juga dicatat bahwa ada hubungan yang sangat erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

Pecahan positif dan negatif

Setiap pecahan biasa berhubungan dengan bilangan pecahan positif (lihat artikel tentang bilangan positif dan negatif). Artinya, pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya pecahan biasa 1/5, 56/18, 35/144 adalah pecahan positif. Jika Anda perlu menyorot kepositifan suatu pecahan, tanda plus ditempatkan di depannya, misalnya +3/4, +72/34.

Jika Anda memberi tanda minus di depan pecahan biasa, maka entri ini akan sesuai dengan bilangan pecahan negatif. Dalam hal ini kita bisa membicarakannya pecahan negatif. Berikut beberapa contoh pecahan negatif: −6/10, −65/13, −1/18.

Pecahan positif dan negatif m/n dan −m/n adalah bilangan berlawanan. Misalnya, pecahan 5/7 dan −5/7 adalah pecahan yang berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, menunjukkan penambahan, pendapatan, perubahan nilai apa pun, dll. Pecahan negatif berhubungan dengan pengeluaran, hutang, atau penurunan jumlah berapapun. Misalnya pecahan negatif −3/4 dapat diartikan sebagai hutang yang nilainya sama dengan 3/4.

Pada arah mendatar dan ke kanan, pecahan negatif terletak di sebelah kiri titik asal. Titik-titik pada garis koordinat yang koordinatnya merupakan pecahan positif m/n dan pecahan negatif −m/n, terletak pada jarak yang sama dari titik asal, tetapi berlawanan arah dengan titik O.

Di sini perlu disebutkan pecahan berbentuk 0/n. Pecahan ini sama dengan angka nol, yaitu 0/n=0.

Pecahan positif, pecahan negatif, dan pecahan 0/n digabungkan membentuk bilangan rasional.

Operasi dengan pecahan

Kami telah membahas satu tindakan dengan pecahan biasa - membandingkan pecahan - di atas. Empat fungsi aritmatika lagi didefinisikan operasi dengan pecahan– penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan. Mari kita lihat masing-masingnya.

Hakikat umum operasi pecahan mirip dengan hakikat operasi bersesuaian dengan bilangan asli. Mari kita membuat analogi.

Mengalikan pecahan dapat dianggap sebagai tindakan mencari pecahan dari pecahan. Untuk memperjelas, mari kita beri contoh. Misalkan kita mempunyai 1/6 bagian apel dan kita perlu mengambil 2/3 bagiannya. Bagian yang kita butuhkan adalah hasil perkalian pecahan 1/6 dan 2/3. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (yang dalam kasus khusus sama dengan bilangan asli). Selanjutnya sebaiknya Anda mempelajari informasi pada artikel Mengalikan Pecahan - Aturan, Contoh dan Penyelesaiannya.

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: buku teks untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Dalam matematika, pecahan adalah bilangan yang terdiri dari satu atau lebih satuan. Artinya, pecahan mewakili suatu bagian dari satu kesatuan. Misalnya, jika suatu benda dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar dan diambil 1 bagiannya, kita mendapatkan pecahan 1/4, dengan 3 adalah pembilangnya, 4 adalah penyebutnya, dan hasil pembagian tersebut (0,25) adalah hasil bagi. Berbagai macam pecahan digunakan dalam kurikulum sekolah; sebutannya tergantung pada jenisnya.

Pecahan biasa, desimal, dan periodik

Menurut metode pencatatannya, pecahan biasa dan pecahan desimal dibedakan. Dalam kasus pertama, pecahan disebut juga pecahan sederhana. Terdiri dari dua bilangan asli yang dipisahkan dengan garis horizontal atau garis miring, seperti pada gambar di bawah.

Desimal adalah pecahan biasa yang penyebutnya satu diikuti angka nol, contoh pecahan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut. Namun, pecahan tersebut biasanya ditulis tanpa penyebut, dan koma (0,3) digunakan untuk menunjukkan bagian dari keseluruhan. Dalam hal ini, jumlah angka yang ditunjukkan setelah koma desimal sama banyaknya dengan jumlah nol pada penyebut pecahan sederhana.

Bagian pecahan desimal yang ditulis sebelum titik posisinya disebut seluruh bagian pecahan, setelahnya - tempat desimal. Selain itu, jumlah tempat desimal dapat berhingga (2,3) atau tak terhingga (2,333333).

Dalam kasus terakhir, kita berbicara tentang pecahan periodik, karena bilangan yang berulang disebut periode. Dalam penulisan, titik biasanya diapit tanda kurung, misalnya 2,(3). Entri ini berbunyi seperti ini: dua bilangan bulat dan tiga dalam satu periode. Namun pecahan periodik dapat dibulatkan, maka sering disebut pecahan bulat, meskipun dalam matematika akan lebih tepat dikatakan pecahan bulat.

Pecahan wajar, pecahan biasa, dan campuran

Pecahan dikatakan tepat bila modulus pembilangnya lebih kecil dari modulus penyebutnya (1/3, 2/5, 7/8), jika tidak, pecahan tersebut disebut pecahan biasa (3/2, 9/7, 13/5). Pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama disebut juga pecahan biasa.

Pada saat yang sama, pecahan biasa apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan campuran; contoh pecahan tersebut diberikan di bawah ini.

Di sini 1 adalah bagian bilangan bulat dari bilangan campuran, dan 1/2 adalah bagian pecahan. Untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan, Anda perlu mengalikan seluruh bagian dengan penyebutnya dan menambahkan pembilangnya ke nilai yang dihasilkan. Akibat tindakan tersebut, pembilang pecahan biasa ditemukan, sedangkan penyebutnya tetap sama.

Pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dibagi dengan bilangan yang sama (kecuali satu), maka pecahan tersebut disebut dapat direduksi, jika tidak, tidak dapat direduksi. Misalnya:

3/9 adalah pecahan yang dapat direduksi, karena pembilang dan penyebutnya dapat dibagi 3;
3/5 adalah pecahan tak tersederhanakan, karena kedua bilangan tersebut adalah bilangan prima, yaitu hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1;
2/7 adalah pecahan tak dapat direduksi karena tidak ada bilangan persekutuan yang dapat membagi pembilang dan penyebutnya.

Pecahan komposit dan timbal balik

Seringkali anak sekolah belum memahami pecahan mana yang disebut timbal balik dan mana yang komposit. Ternyata semuanya cukup sederhana. Jika kita mengambil pecahan 7/8 dan menukar pembilang dan penyebutnya, kita mendapatkan pecahan 8/7. Pecahan inilah (7/8 dan 8/7) yang disebut timbal balik. Selain itu, perlu diperhatikan bahwa hasil kali pecahan tersebut selalu sama dengan 1.

Pecahan majemuk mencakup ekspresi yang mencakup beberapa ciri pecahan. Contoh pecahan tersebut diberikan di bawah ini.

Selain itu, perbedaan dibuat antara pecahan positif dan pecahan negatif. Untuk menunjukkan pecahan, tanda “-” ditempatkan sebelum pecahan. Dalam hal ini, tanda “+” biasanya tidak ditunjukkan, seperti halnya bilangan positif.

Kita menemukan pecahan dalam kehidupan jauh sebelum kita mulai mempelajarinya di sekolah. Jika kita memotong apel utuh menjadi dua, kita mendapatkan ½ bagian buahnya. Mari kita potong lagi - hasilnya akan menjadi ¼. Ini adalah pecahan. Dan semuanya tampak sederhana. Untuk orang dewasa. Bagi seorang anak (dan topik ini mulai dipelajari di akhir sekolah dasar), konsep matematika abstrak masih sangat sulit dipahami, dan guru harus menjelaskan dengan jelas apa itu pecahan biasa dan tak wajar, persekutuan dan desimal, operasi apa yang dapat dilakukan. dengan mereka dan, yang paling penting, mengapa semua ini diperlukan.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Pengenalan topik baru di sekolah diawali dengan pecahan biasa. Mereka mudah dikenali dengan garis horizontal yang memisahkan dua angka - atas dan bawah. Yang paling atas disebut pembilang, yang paling bawah disebut penyebut. Ada juga pilihan huruf kecil untuk menulis pecahan biasa biasa dan biasa - melalui garis miring, misalnya: ½, 4/9, 384/183. Opsi ini digunakan ketika tinggi garis terbatas dan tidak memungkinkan untuk menggunakan formulir entri “dua lantai”. Mengapa? Ya, karena lebih nyaman. Kita akan melihatnya nanti.

Selain pecahan biasa, ada juga pecahan desimal. Sangat mudah untuk membedakannya: jika dalam satu kasus digunakan garis horizontal atau garis miring, maka di kasus lain koma digunakan untuk memisahkan urutan angka. Mari kita lihat contohnya: 2.9; 163,34; 1.953. Kami sengaja menggunakan titik koma sebagai pemisah untuk membatasi angka. Yang pertama akan berbunyi seperti ini: "dua koma sembilan".

Konsep baru

Mari kita kembali ke pecahan biasa. Mereka datang dalam dua jenis.

Pengertian pecahan biasa adalah sebagai berikut: pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Mengapa ini penting? Kita lihat saja sekarang!

Anda memiliki beberapa apel, dibelah dua. Total - 5 bagian. Bagaimana menurut Anda: apakah Anda memiliki “dua setengah” atau “lima setengah” apel? Tentu saja opsi pertama terdengar lebih natural dan akan kita gunakan saat berbicara dengan teman. Tetapi jika kita perlu menghitung berapa banyak buah yang akan diperoleh setiap orang, jika ada lima orang dalam satu perusahaan, kita akan menuliskan angka 5/2 dan membaginya dengan 5 - dari sudut pandang matematika, ini akan lebih jelas. .

Jadi, untuk penamaan pecahan biasa dan pecahan biasa, aturannya begini: jika suatu bagian dapat dibedakan dalam pecahan (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), maka pecahan tersebut tidak beraturan. Jika hal ini tidak dapat dilakukan, seperti dalam kasus ½, 13/16, 9/10, maka itu benar.

Sifat utama pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama secara bersamaan, maka nilainya tidak berubah. Bayangkan: mereka memotong kue menjadi 4 bagian yang sama dan memberi Anda satu. Mereka memotong kue yang sama menjadi delapan bagian dan memberi Anda dua. Apakah itu penting? Bagaimanapun, ¼ dan 2/8 adalah sama!

Pengurangan

Penulis soal dan contoh dalam buku teks matematika sering kali berusaha membingungkan siswa dengan menawarkan pecahan yang rumit untuk ditulis tetapi sebenarnya dapat disingkat. Berikut ini contoh pecahan biasa: 167/334, yang nampaknya terlihat sangat “menakutkan”. Tapi sebenarnya kita bisa menuliskannya sebagai ½. Angka 334 habis dibagi 167 tanpa sisa - setelah melakukan operasi ini, kita mendapatkan 2.

Nomor campuran

Pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran. Ini adalah saat seluruh bagian dimajukan dan ditulis setinggi garis horizontal. Faktanya, ekspresi tersebut berbentuk penjumlahan: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 dan seterusnya.

Untuk mengambil seluruh bagiannya, Anda perlu membagi pembilangnya dengan penyebutnya. Tuliskan sisa pembagian di atas, di atas garis, dan seluruh bagian - sebelum ekspresi. Jadi, kita mendapatkan dua bagian struktural: satuan utuh + pecahan biasa.

Anda juga dapat melakukan operasi invers - untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan menambahkan nilai yang dihasilkan ke pembilangnya. Tidak ada yang rumit.

Perkalian dan pembagian

Anehnya, mengalikan pecahan lebih mudah daripada menjumlahkan. Yang diperlukan hanyalah memperpanjang garis horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dengan pembagian, semuanya juga sederhana: Anda perlu mengalikan pecahan secara melintang: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Menjumlahkan Pecahan

Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu melakukan penjumlahan atau penyebutnya memiliki angka yang berbeda? Melakukan hal yang sama seperti perkalian tidak akan berhasil - di sini Anda harus memahami definisi pecahan biasa dan esensinya. Suku-suku tersebut perlu dibawa ke penyebut yang sama, yaitu bagian bawah kedua pecahan harus memiliki angka yang sama.

Untuk melakukannya, Anda harus menggunakan sifat dasar pecahan: kalikan kedua bagian dengan angka yang sama. Misalnya, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Bagaimana cara memilih penyebut yang akan dikurangi sukunya? Ini harus berupa bilangan minimum yang merupakan kelipatan kedua bilangan penyebut pecahan: untuk 1/3 dan 1/9 akan menjadi 9; untuk ½ dan 1/7 - 14, karena tidak ada nilai lebih kecil yang habis dibagi 2 dan 7 tanpa sisa.

Penggunaan

Pecahan biasa digunakan untuk apa? Lagi pula, jauh lebih mudah untuk segera memilih seluruh bagian, mendapatkan nomor campuran - dan menyelesaikannya! Ternyata jika ingin mengalikan atau membagi dua pecahan, lebih menguntungkan menggunakan pecahan tak beraturan.

Mari kita ambil contoh berikut: (2 + 3/17) / (37/68).

Tampaknya tidak ada yang perlu dipotong sama sekali. Namun bagaimana jika hasil penjumlahan di dalam tanda kurung pertama kita tuliskan sebagai pecahan biasa? Lihat: (37/17) / (37/68)

Sekarang semuanya beres! Mari kita tuliskan contohnya sedemikian rupa sehingga semuanya menjadi jelas: (37*68) / (17*37).

Mari kita hapus 37 pada pembilang dan penyebutnya, lalu bagi bagian atas dan bawah dengan 17. Ingatkah Anda aturan dasar pecahan biasa dan pecahan biasa? Kita bisa mengalikan dan membaginya dengan bilangan apa saja asalkan pembilang dan penyebutnya dilakukan secara bersamaan.

Jadi, kita mendapat jawabannya: 4. Contohnya terlihat rumit, tetapi jawabannya hanya berisi satu angka. Hal ini sering terjadi dalam matematika. Hal utama adalah jangan takut dan ikuti aturan sederhana.

Kesalahan Umum

Saat menerapkan, seorang siswa dapat dengan mudah membuat salah satu kesalahan umum. Biasanya terjadi karena kurangnya perhatian, dan terkadang karena materi yang dipelajari belum tersimpan dengan baik di kepala.

Seringkali penjumlahan angka-angka pada pembilangnya membuat Anda ingin mengurangi masing-masing komponennya. Misalkan pada contoh: (13+2)/13 ditulis tanpa tanda kurung (dengan garis mendatar), banyak siswa yang karena kurang pengalaman mencoret 13 atas dan bawah. Namun hal ini tidak boleh dilakukan dalam keadaan apapun, karena ini adalah kesalahan besar! Jika alih-alih penjumlahan ada tanda perkalian, kita akan mendapat angka 2 pada jawabannya. Namun saat melakukan penjumlahan, operasi dengan salah satu suku tidak diperbolehkan, hanya dengan jumlah keseluruhan.

Cowok juga sering melakukan kesalahan saat membagi pecahan. Mari kita ambil dua pecahan tak tersederhanakan dan membaginya satu sama lain: (5/6) / (25/33). Siswa dapat mencampurnya dan menulis ekspresi yang dihasilkan sebagai (5*25) / (6*33). Tapi ini akan terjadi dengan perkalian, tetapi dalam kasus kita semuanya akan sedikit berbeda: (5*33) / (6*25). Kami mengurangi apa yang mungkin, dan jawabannya adalah 11/10. Kami menulis pecahan biasa yang dihasilkan sebagai desimal - 1.1.

Kurung

Ingatlah bahwa dalam ekspresi matematika apa pun, urutan operasi ditentukan oleh prioritas tanda operasi dan keberadaan tanda kurung. Semua hal lain dianggap sama, urutan tindakan dihitung dari kiri ke kanan. Hal ini juga berlaku untuk pecahan - ekspresi dalam pembilang atau penyebutnya dihitung secara ketat berdasarkan aturan ini.

Bagaimanapun, ini adalah hasil pembagian satu angka dengan angka lainnya. Jika tidak terbagi rata, maka menjadi pecahan - itu saja.

Cara menulis pecahan di komputer

Karena alat standar tidak selalu memungkinkan pembuatan pecahan yang terdiri dari dua “tingkatan”, siswa terkadang menggunakan berbagai trik. Misalnya, mereka menyalin pembilang dan penyebut ke dalam editor grafis Paint dan merekatkannya, menggambar garis horizontal di antara keduanya. Tentu saja, ada opsi yang lebih sederhana, yang menyediakan banyak fitur tambahan yang akan berguna bagi Anda di masa mendatang.

Buka Microsoft Word. Salah satu panel di bagian atas layar disebut "Sisipkan" - klik panel tersebut. Di sebelah kanan, di sisi tempat ikon tutup dan perkecil jendela berada, terdapat tombol “Formula”. Inilah yang kita butuhkan!

Jika Anda menggunakan fungsi ini, area persegi panjang akan muncul di layar tempat Anda dapat menggunakan tanda matematika apa pun yang tidak ada di keyboard, serta menulis pecahan dalam bentuk klasik. Yaitu membagi pembilang dan penyebutnya dengan garis mendatar. Anda bahkan mungkin terkejut bahwa pecahan biasa begitu mudah untuk ditulis.

Pelajari matematika

Jika Anda berada di kelas 5-6, maka pengetahuan matematika (termasuk kemampuan bekerja dengan pecahan!) akan segera dibutuhkan di banyak mata pelajaran sekolah. Di hampir semua masalah fisika, ketika mengukur massa zat dalam kimia, geometri, dan trigonometri, pecahan sangat diperlukan. Segera Anda akan belajar menghitung semua yang ada di kepala Anda, bahkan tanpa menuliskan ekspresi di atas kertas, tetapi contoh yang lebih kompleks akan muncul. Jadi, pelajari apa itu pecahan yang benar dan bagaimana cara menggunakannya, ikuti kurikulum Anda, kerjakan pekerjaan rumah Anda tepat waktu, dan Anda akan berhasil.

1 Apa itu pecahan biasa? Jenis pecahan.
Pecahan selalu berarti sebagian dari keseluruhan. Faktanya besaran tidak selalu dapat dinyatakan dalam bilangan asli, yaitu dihitung ulang: 1,2,3, dst. Misalnya, bagaimana Anda menentukan setengah semangka atau seperempat jam? Inilah sebabnya mengapa pecahan atau angka muncul.

Pertama-tama harus dikatakan bahwa secara umum ada dua jenis pecahan: pecahan biasa dan pecahan desimal. Pecahan biasa ditulis seperti ini:
Pecahan desimal ditulis secara berbeda:

Pecahan biasa terdiri dari dua bagian: di atas adalah pembilangnya, di bawah adalah penyebutnya. Pembilang dan penyebutnya dipisahkan oleh garis pecahan. Jadi ingat:

Setiap pecahan adalah bagian dari keseluruhan. Biasanya diambil secara keseluruhan 1 (satuan). Penyebut suatu pecahan menunjukkan berapa banyak bagian yang membagi keseluruhannya ( 1 ), dan pembilangnya adalah berapa banyak bagian yang diambil. Jika kita memotong kue menjadi 6 bagian yang sama (dalam matematika kata mereka saham ), maka setiap bagian kuenya akan sama dengan 1/6. Kalau Vasya makan 4 buah, berarti dia makan 4/6.

Sebaliknya, garis miring tidak lain hanyalah tanda pembagian. Oleh karena itu, pecahan adalah hasil bagi dua bilangan - pembilang dan penyebutnya. Dalam teks soal atau resep, pecahan biasanya ditulis seperti ini: 2/3, 1/2, dst. Beberapa pecahan memiliki namanya sendiri, misalnya 1/2 - “setengah”, 1/3 - “ketiga”, 1/4 - “seperempat”
Sekarang mari kita cari tahu apa saja jenis pecahan biasa.

2 Jenis pecahan biasa

Ada tiga jenis pecahan biasa: pecahan biasa, pecahan biasa, dan pecahan campuran:

Pecahan yang tepat

Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka disebut pecahan demikian benar, Misalnya: Pecahan wajar selalu kurang dari 1.

Fraksi yang tidak tepat

Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya atau sama dengan penyebutnya, maka disebut pecahan demikian salah, Misalnya:

Pecahan biasa lebih besar dari satu (jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya) atau sama dengan satu (jika pembilangnya sama dengan penyebutnya)

Fraksi campuran

Jika suatu pecahan terdiri dari bilangan bulat (bagian bilangan bulat) dan pecahan biasa (bagian pecahan), maka pecahan tersebut disebut Campuran, Misalnya:

Pecahan campuran selalu lebih besar dari satu.

3 Konversi Pecahan

Dalam matematika, pecahan biasa seringkali harus diubah, yaitu pecahan campuran harus diubah menjadi pecahan biasa dan sebaliknya. Hal ini diperlukan untuk melakukan operasi tertentu, seperti perkalian dan pembagian.

Jadi, pecahan campuran apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa. Untuk melakukan ini, bagian bilangan bulat dikalikan dengan penyebut dan pembilang bagian pecahan ditambahkan. Jumlah yang dihasilkan diambil sebagai pembilangnya, dan penyebutnya dibiarkan sama, misalnya:

Pecahan biasa apa pun dapat diubah menjadi pecahan campuran. Caranya, bagi pembilangnya dengan penyebutnya (dengan sisa). Bilangan yang dihasilkan akan menjadi bagian bilangan bulat, dan sisanya akan menjadi pembilang bagian pecahan, misalnya:

Pada saat yang sama mereka berkata: “Kami telah mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa.”

Satu aturan lagi yang perlu diingat: Bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1, Misalnya:

Mari kita bicara tentang cara membandingkan pecahan.

4 Perbandingan pecahan

Saat membandingkan pecahan, terdapat beberapa pilihan: Sangat mudah untuk membandingkan pecahan dengan penyebut yang sama, namun akan jauh lebih sulit jika penyebutnya berbeda. Dan ada juga perbandingan pecahan campuran. Tapi jangan khawatir, sekarang kita akan melihat setiap opsi secara detail dan mempelajari cara membandingkan pecahan.

Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama

Dari dua pecahan yang penyebutnya sama tetapi pembilangnya berbeda, maka pecahan yang pembilangnya lebih besar adalah yang lebih besar, misalnya:

Membandingkan pecahan yang pembilangnya sama

Dari dua pecahan yang pembilangnya sama tetapi penyebutnya berbeda, maka pecahan yang penyebutnya lebih kecil adalah yang lebih besar, contoh:

Membandingkan pecahan campuran dan pecahan biasa dengan pecahan biasa

Pecahan biasa atau pecahan campuran selalu lebih besar dari pecahan biasa, misalnya:

Membandingkan dua pecahan campuran

Jika membandingkan dua pecahan campuran, maka pecahan yang bagian bilangan bulatnya lebih besar akan lebih besar, misalnya:

Jika bagian bilangan bulat pecahan campuran sama, maka pecahan yang bagian pecahannya lebih besar akan lebih besar pula, contoh:

Membandingkan pecahan yang pembilang dan penyebutnya berbeda

Anda tidak dapat membandingkan pecahan yang pembilang dan penyebutnya berbeda tanpa mengonversinya. Pertama, pecahan harus direduksi menjadi penyebut yang sama, kemudian pembilangnya harus dibandingkan. Yang lebih besar adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar. Namun kita akan melihat cara mereduksi pecahan ke penyebut yang sama di dua bagian artikel berikutnya. Pertama kita akan melihat sifat dasar pecahan dan mereduksi pecahan, lalu langsung mereduksi pecahan ke penyebut yang sama.

5 Sifat utama pecahan. Mengurangi pecahan. Konsep GCD.

Ingat: Anda hanya dapat menjumlahkan, mengurangi, dan membandingkan pecahan yang penyebutnya sama. Jika penyebutnya berbeda, maka pecahan tersebut harus dikecilkan terlebih dahulu ke penyebut yang sama, yaitu mengubah salah satu pecahan tersebut agar penyebutnya menjadi sama dengan pecahan kedua.

Pecahan mempunyai satu sifat penting yang disebut juga sifat utama pecahan:

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama, maka nilai pecahan tersebut tidak berubah:

Berkat properti ini kami bisa mengurangi pecahan:

Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama.(lihat contoh di atas). Saat kita mengurangi pecahan, kita dapat menulis tindakan kita seperti ini:

Lebih sering di buku catatan, pecahan disingkat sebagai berikut:

Tapi ingat: Anda hanya bisa mengurangi faktor. Jika pembilang atau penyebutnya mengandung jumlah atau selisih, sukunya tidak dapat dikurangi.

Contoh:

Anda harus terlebih dahulu mengubah jumlahnya menjadi pengali: Terkadang, saat bekerja dengan bilangan besar, untuk mengurangi pecahan, akan lebih mudah untuk menemukannya

pembagi persekutuan terbesar pembilang dan penyebut (PBB) Pembagi Persekutuan Terbesar (PBT)

Untuk mencari gcd dua bilangan (misalnya, pembilang dan penyebut suatu pecahan), Anda perlu memfaktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima, menandai faktor yang sama pada kedua faktorisasi, dan mengalikan faktor-faktor tersebut. Produk yang dihasilkan adalah GCD. Misalnya, kita perlu mereduksi pecahan:

Mari kita cari KPK dari angka 96 dan 36:

GCD menunjukkan kepada kita bahwa pembilang dan penyebutnya memiliki faktor 12, dan kita dapat dengan mudah mengurangi pecahan tersebut.

Terkadang, untuk membawa pecahan ke penyebut yang sama, cukup dengan mengurangi salah satu pecahannya. Namun lebih sering kita perlu memilih faktor tambahan untuk kedua pecahan. Jadi:

6 Cara mengecilkan pecahan yang penyebutnya sama. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, kita memilih bilangan penyebut yang habis dibagi penyebut pertama dan kedua (yaitu, bilangan tersebut merupakan kelipatan kedua penyebut, dalam istilah matematika). Dan diharapkan angka ini sekecil mungkin, agar lebih mudah untuk dihitung. Jadi, kita harus mencari KPK dari kedua penyebutnya.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan (KPK) adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi kedua bilangan tersebut tanpa sisa. Kadang-kadang KPK dapat dicari secara lisan, namun lebih sering, terutama saat mengerjakan bilangan besar, Anda harus mencari KPK secara tertulis, dengan menggunakan algoritma berikut:

Untuk mencari KPK dari beberapa bilangan, Anda memerlukan:

Faktorkan bilangan-bilangan tersebut menjadi faktor prima
Ambil ekspansi terbesar dan tuliskan angka-angka ini sebagai produk
Pilih angka dalam perluasan lain yang tidak muncul dalam perluasan terbesar (atau muncul lebih sedikit di dalamnya) dan tambahkan ke dalam hasil perkalian.
Kalikan semua angka pada hasil perkaliannya, ini akan menjadi KPKnya.

Misalnya, cari KPK dari bilangan 28 dan 21:

Namun, mari kita kembali ke pecahan kita. Setelah kita mencari atau menulis perhitungan KPK kedua penyebutnya, kita harus mengalikan pembilang pecahan tersebut dengan pengganda tambahan. Anda dapat mencarinya dengan membagi KPK dengan penyebut pecahan yang bersangkutan, misalnya:

Jadi, kita mengurangi pecahan kita menjadi penyebut yang sama - 15.

7 Penjumlahan dan pengurangan pecahan

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya, tetapi membiarkan penyebutnya tetap sama, misalnya:

Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama, misalnya:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan campuran yang penyebutnya sama

Untuk menjumlahkan pecahan campuran, Anda perlu menjumlahkan seluruh bagiannya secara terpisah, lalu menjumlahkan bagian pecahannya, dan menuliskan hasilnya sebagai pecahan campuran:

Jika, saat menjumlahkan bagian pecahan, Anda mendapatkan pecahan biasa, pilih seluruh bagiannya dan tambahkan ke seluruh bagian, misalnya:

Pengurangan dilakukan dengan cara yang sama: bagian bilangan bulat dikurangi dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dikurangi dari bagian pecahan:

Jika bagian pecahan dari pengurang lebih besar dari bagian pecahan dari minuend, kita “meminjam” satu dari bagian bilangan bulat, mengubah minuend menjadi pecahan biasa, dan kemudian melanjutkan seperti biasa:

Juga kurangi pecahan dari bilangan bulat:

Cara menjumlahkan bilangan bulat dan pecahan

Untuk menjumlahkan bilangan bulat dan pecahan, Anda cukup menjumlahkan bilangan tersebut sebelum pecahan untuk menghasilkan pecahan campuran, misalnya:

jika kita menjumlahkan bilangan bulat dan pecahan campuran, bilangan ini kita tambahkan ke bagian bilangan bulat pecahan, contoh:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut yang sama, lalu melanjutkan seperti saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama (menjumlahkan pembilangnya):

Saat melakukan pengurangan, kami melanjutkan dengan cara yang sama:

Jika kita mengerjakan pecahan campuran, kita kurangi bagian pecahannya menjadi penyebut yang sama lalu kurangi seperti biasa: bagian bilangan bulat dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dari bagian pecahan:

8 Mengalikan dan membagi pecahan.

Mengalikan dan membagi pecahan jauh lebih mudah daripada menjumlahkan dan mengurangkan karena Anda tidak perlu menyederhanakannya hingga penyebutnya sama. Ingat aturan sederhana untuk mengalikan dan membagi pecahan:

Sebelum mengalikan bilangan pembilang dan penyebutnya, disarankan untuk mengurangi pecahannya, yaitu menghilangkan faktor pembilang dan penyebutnya, seperti pada contoh kita.

Untuk membagi pecahan dengan bilangan asli, Anda perlu mengalikan penyebutnya dengan angka ini, dan membiarkan pembilangnya tidak berubah:

Misalnya:

Membagi pecahan dengan pecahan

Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kamu perlu mengalikan pembagiannya dengan kebalikan dari pembaginya (kebalikan pecahannya).

Jika kita membalikkan pecahan, yaitu menukar pembilang dan penyebutnya, kita mendapatkan pecahan kebalikannya. Hasil kali pecahan dan kebalikannya menghasilkan satu. Dalam matematika, bilangan-bilangan berikut disebut kebalikan:

Misalnya saja angka - saling berbanding terbalik, karena