Su antros eilės paviršiais studentai dažniausiai susiduria pirmaisiais metais. Iš pradžių problemos šia tema gali atrodyti paprastos, bet studijuojant aukštoji matematika o gilinantis į mokslinę pusę, galima pagaliau nesusimąstyti, kas vyksta. Kad taip nenutiktų, reikia ne tik įsiminti, bet suprasti, kaip gaunamas tas ar kitas paviršius, kaip koeficientų pokyčiai veikia jį ir jo vietą, palyginti su pradine koordinačių sistema, ir kaip rasti naują sistemą (vieną kurioje jo centras sutampa su pradžios koordinatėmis, bet lygiagretus vienai iš koordinačių ašys). Pradėkime nuo pat pradžių.
Apibrėžimas
2 eilės paviršius vadinamas GMT, kurio koordinatės atitinka bendrąją šios formos lygtį:
Akivaizdu, kad kiekvienas paviršiui priklausantis taškas tam tikru pagrindu turi turėti tris koordinates. Nors kai kuriais atvejais lokusas taškai gali išsigimti, pavyzdžiui, į plokštumą. Tai tik reiškia, kad viena iš koordinačių yra pastovi ir lygi nuliui visame leistinų verčių diapazone.
Visa rašytinė aukščiau pateiktos lygybės forma atrodo taip:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm – kai kurios konstantos, x, y, z – atitinkantys kintamieji afinines koordinates bet kokį tašką. Šiuo atveju bent vienas iš pastovių veiksnių neturi būti lygus nuliui, tai yra, joks taškas neatitiks lygties.
Daugumoje pavyzdžių daugelis skaitinių veiksnių vis dar yra identiški nuliui, o lygtis yra žymiai supaprastinta. Praktikoje nustatyti, ar taškas priklauso paviršiui, nėra sunku (pakanka pakeisti jo koordinates į lygtį ir patikrinti, ar laikomasi tapatumo). Esminis dalykas tokiame darbe yra pritraukti pastarąjį kanoninė forma.
Aukščiau parašyta lygtis apibrėžia bet kokius (visus išvardytus žemiau) antros eilės paviršius. Pažvelkime į toliau pateiktus pavyzdžius.
2 eilės paviršių tipai
2 eilės paviršių lygtys skiriasi tik koeficientų A nm reikšmėmis. Iš bendras vaizdas esant tam tikroms konstantų vertėms, galima gauti įvairius paviršius, klasifikuojamus taip:
- Cilindrai.
- Elipsinis tipas.
- Hiperbolinis tipas.
- Kūginis tipas.
- Parabolinis tipas.
- Lėktuvai.
Kiekvienas iš išvardytų tipų turi natūralią ir įsivaizduojamą formą: įsivaizduojamoje formoje realių taškų lokusas arba išsigimsta į daugiau paprasta figūra, arba jo visai nėra.
Cilindrai
Tai yra paprasčiausias tipas, nes gana sudėtinga kreivė yra tik prie pagrindo ir veikia kaip orientyras. Generatoriai yra tiesios linijos, statmenos plokštumos, kuriame yra pagrindas.
Grafike pavaizduotas apskritas cilindras - ypatinga byla elipsinis cilindras. XY plokštumoje jos projekcija bus elipsė (mūsų atveju apskritimas) - kreiptuvas, o XZ - stačiakampis - kadangi generatoriai yra lygiagrečiai Z ašiai Norėdami tai gauti iš bendrosios lygties būtina pateikti šias koeficientų vertes:
Vietoj įprastų simbolių x, y, z, x yra su serijos numeris- Nesvarbu.
Tiesą sakant, 1/a 2 ir kitos čia nurodytos konstantos yra tie patys koeficientai, nurodyti bendrojoje lygtyje, tačiau įprasta juos rašyti būtent tokia forma - tai yra kanoninis vaizdavimas. Toliau šio tipo įrašai bus naudojami išskirtinai.
Tai apibrėžia hiperbolinį cilindrą. Schema ta pati – nuoroda bus hiperbolė.
Parabolinis cilindras apibrėžiamas šiek tiek kitaip: jo kanoninė forma apima koeficientą p, vadinamą parametru. Faktiškai koeficientas yra q=2p, bet įprasta jį padalyti į du pateiktus veiksnius.
Yra dar vienas cilindrų tipas: įsivaizduojamas. Tokiam cilindrui nepriklauso joks tikras taškas. Jis apibūdinamas elipsinio cilindro lygtimi, tačiau vietoj vieno yra -1.
Elipsinis tipas
Elipsoidas gali būti ištemptas išilgai vienos iš ašių (išilgai jos priklauso nuo aukščiau nurodytų konstantų a, b, c verčių; akivaizdu, kad didesnė ašis atitiks didesnį koeficientą).
Taip pat yra įsivaizduojamas elipsoidas - su sąlyga, kad koordinačių suma, padauginta iš koeficientų, yra lygi -1:
Hiperboloidai
Kai vienoje iš konstantų atsiranda minusas, elipsoido lygtis virsta vieno lapo hiperboloido lygtimi. Turite suprasti, kad šis minusas neturi būti prieš x3 koordinatę! Tai tik nustato, kuri iš ašių bus hiperboloido sukimosi ašis (arba lygiagreti jai, nes kai kvadrate atsiranda papildomų terminų (pvz., (x-2) 2), figūros centras pasislenka, kaip dėl to paviršius juda lygiagrečiai koordinačių ašims). Tai taikoma visiems 2 eilės paviršiams.
Be to, reikia suprasti, kad lygtys pateikiamos kanonine forma ir jas galima keisti keičiant konstantas (išlaikant ženklą!); tuo pačiu metu jų išvaizda (hiperboloidas, kūgis ir pan.) išliks tokia pati.
Tokią lygtį pateikia dviejų lakštų hiperboloidas.
Kūginis paviršius
Kūgio lygtyje nėra vienybės – ji lygi nuliui.
Kūgis yra tik ribotas kūginis paviršius. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad iš tikrųjų diagramoje bus du vadinamieji kūgiai.
Svarbi pastaba: visose nagrinėjamose kanoninėse lygtyse konstantos pagal numatytuosius nustatymus laikomos teigiamomis. Priešingu atveju ženklas gali turėti įtakos galutiniam grafikui.
Koordinačių plokštumos tampa kūgio simetrijos plokštumos, simetrijos centras yra pradžioje.
Įsivaizduojamo kūgio lygtyje yra tik pliusai; jai priklauso vienas tikras taškas.
Paraboloidai
2-os eilės paviršiai erdvėje gali užimti įvairių formų net ir su panašiomis lygtimis. Pavyzdžiui, paraboloidai būna dviejų tipų.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Elipsinis paraboloidas, kai Z ašis yra statmena brėžiniui, bus suprojektuotas į elipsę.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 = 2z
Hiperbolinis paraboloidas: ruožuose, kurių plokštumos lygiagrečios su ZY, bus gautos parabolės, o atkarpose, kurių plokštumos lygiagrečios su XY – hiperbolės.
Susikertančios plokštumos
Pasitaiko atvejų, kai 2 eilės paviršiai išsigimsta plokštumoje. Šios plokštumos gali būti išdėstytos įvairiais būdais.
Pirmiausia pažvelkime į susikertančias plokštumas:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Su šiuo kanoninės lygties modifikavimu tiesiog gauname dvi susikertančias plokštumas (įsivaizduojamas!); visi tikrieji taškai yra koordinatės, kurios nėra lygtyje, ašyje (kanoninėje - Z ašyje).
Lygiagrečios plokštumos
Jei yra tik viena koordinatė, 2 eilės paviršiai išsigimsta į porą lygiagrečios plokštumos. Nepamirškite, bet kuris kitas kintamasis gali užimti grotuvo vietą; tada bus gautos kitoms ašims lygiagrečios plokštumos.
Šiuo atveju jie tampa įsivaizduojami.
Sutapimo plokštumos
Su šiuo paprasta lygtis plokštumų pora išsigimsta į vieną – jos sutampa.
Nepamirškite, kad trimačio pagrindo atveju aukščiau pateikta lygtis nenurodo tiesės y=0! Trūksta kitų dviejų kintamųjų, bet tai tik reiškia, kad jų reikšmė yra pastovi ir lygi nuliui.
Statyba
Viena iš sunkiausių užduočių studentui yra būtent 2 eilės paviršių konstrukcija. Dar sunkiau pereiti iš vienos koordinačių sistemos į kitą, atsižvelgiant į kreivės pasvirimo kampus ašių atžvilgiu ir centro poslinkį. Pažiūrėkime, kaip nuosekliai nustatyti ateities vaizdas piešimas analitiniu būdu.
Norėdami sukurti 2 eilės paviršių, turite:
- perkelkite lygtį į kanoninę formą;
- nustatyti tiriamo paviršiaus tipą;
- sudaryti remiantis koeficientų reikšmėmis.
Žemiau pateikiami visi nagrinėjami tipai:
Norėdami tai sustiprinti, išsamiai apibūdinsime vieną tokio tipo užduočių pavyzdį.
Pavyzdžiai
Tarkime, kad turime lygtį:
3 (x 2 -2x + 1) + 6y 2 + 2z 2 +60y + 144 = 0
Perkelkime jį į kanoninę formą. Parinkime pilnus kvadratus, tai yra, turimus terminus išdėstysime taip, kad jie būtų sumos arba skirtumo kvadrato išskaidymas. Pavyzdžiui: jei (a+1) 2 =a 2 +2a+1, tai a 2 +2a+1=(a+1) 2. Atliksime antrą operaciją. Skliausteliuose tokiu atveju Nereikia atskleisti, nes tai tik apsunkins skaičiavimus, o išryškinti bendras daugiklis 6 (skliausteliuose su tobulas kvadratasžaidimas), jums reikia:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Kintamasis zet šiuo atveju pasirodo tik vieną kartą – kol kas galite jį palikti ramybėje.
Išanalizuokime lygtį šiame etape: prieš visus nežinomuosius yra pliuso ženklas; Padalijus iš šešių palieka vieną. Vadinasi, prieš mus yra lygtis, apibrėžianti elipsoidą.
Atkreipkite dėmesį, kad 144 buvo įtrauktas į 150-6, o tada -6 buvo perkeltas į dešinę. Kodėl reikėjo taip elgtis? Akivaizdu, kad labiausiai didelis daliklis V šiame pavyzdyje-6, todėl norint, kad vienetas išliktų dešinėje, padalijus iš jo, reikia „atidėti“ tiksliai 6 iš 144 (tai, kad vienetas turėtų būti dešinėje, rodo buvimas laisvas terminas – konstanta, nepadauginta iš nežinomojo).
Padalinkime viską iš šešių ir gaukime kanoninę elipsoido lygtį:
(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z 2/3=1
Anksčiau naudotoje 2 eilės paviršių klasifikacijoje laikomas ypatingas atvejis, kai figūros centras yra koordinačių pradžioje. Šiame pavyzdyje jis kompensuojamas.
Darome prielaidą, kad kiekvienas skliaustas su nežinomaisiais yra naujas kintamasis. Tai yra: a=x-1, b=y+5, c=z. Naujose koordinatėse elipsoido centras sutampa su tašku (0,0,0), todėl a=b=c=0, iš kur: x=1, y=-5, z=0. Pradinėse koordinatėse figūros centras yra taške (1,-5,0).
Elipsoidas bus gautas iš dviejų elipsių: pirmosios XY plokštumoje ir antrosios XZ plokštumoje (arba YZ - nesvarbu). Koeficientai, pagal kuriuos skirstomi kintamieji, yra padalyti kvadratu kanoninėje lygtyje. Todėl aukščiau pateiktame pavyzdyje teisingiau būtų dalyti iš dviejų, vieno ir trijų šaknies.
Pirmosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, lygi dviem. Pagrindinė ašis lygiagreti X ašiai – dvi šaknys iš dviejų. Antrosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, išlieka ta pati – ji lygi dviem. A pagrindinė ašis, lygiagretus Z ašiai, yra lygus dviem šaknims iš trijų.
Naudodami duomenis, gautus iš pradinės lygties, konvertuodami ją į kanoninę formą, galime nubrėžti elipsoidą.
Apibendrinant
Šiame straipsnyje nagrinėjama tema yra gana plati, tačiau iš tikrųjų, kaip dabar matote, ji nėra labai sudėtinga. Tiesą sakant, jo kūrimas baigiasi tuo metu, kai įsimenate paviršių pavadinimus ir lygtis (ir, žinoma, kaip jie atrodo). Aukščiau pateiktame pavyzdyje mes išsamiai išnagrinėjome kiekvieną žingsnį, tačiau norint gauti lygtį į kanoninę formą, reikia turėti minimalių aukštosios matematikos žinių ir mokiniui neturėtų kilti jokių sunkumų.
Ateities tvarkaraščio analizė remiantis esama lygybe jau yra daugiau nei sunki užduotis. Tačiau norint ją sėkmingai išspręsti, pakanka suprasti, kaip konstruojamos atitinkamos antros eilės kreivės – elipsės, parabolės ir kt.
Degeneracijos atvejai yra dar paprastesnis skyrius. Dėl kai kurių kintamųjų nebuvimo supaprastinami ne tik skaičiavimai, kaip minėta anksčiau, bet ir pati konstrukcija.
Kai tik galėsite drąsiai įvardyti visų tipų paviršius, varijuoti konstantas, paverčiant grafiką viena ar kita forma, tema bus įvaldyta.
Sėkmės studijose!
Elipsinė lygtis:
Ypatingas atvejis elipsinis cilindras yra apskritas cilindras, jo lygtis yra x 2 + y 2 = R 2 . Lygtis x 2 =2pz apibrėžia erdvėje parabolinis cilindras.
Lygtis: apibrėžia erdvėje hiperbolinis cilindras.
Visi šie paviršiai vadinami antros eilės cilindrai, nes jų lygtys yra antrojo laipsnio lygtys dabartinių koordinačių x, y, z atžvilgiu.
18. Realieji skaičiai, kompleksiniai skaičiai Kompleksinių skaičių veiksmai. Sudėtingi skaičiai. Moivre'o formulės.
Sudėtingas skaičius vardas formos z=x+iy išraiška, kur x ir y yra realieji skaičiai, o i yra vadinamasis. įsivaizduojamas vienetas, . Jei x=0, vadinasi skaičius 0+iy=iy. įsivaizduojamas skaičius; jei y=0, tai skaičius x+i0=x tapatinamas su realiuoju skaičiumi x, vadinasi, aibė Rall yra reali. reiškinių skaičiai visų kompleksinių skaičių aibės C poaibis, t.y. .Skaičiaus x pavadinimas tikroji dalis z, .Du kompleksiniai skaiciai ir vadinami lygiais (z1=z2) tada ir tik tada, kai ju realiosios dalys lygios, o menamos dalys lygios: x1=x2, y1=y2. Konkrečiai, kompleksinis skaičius Z=x+iy yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai x=y=0. Sąvokos „daugiau“ ir „mažiau“ kompleksiniams skaičiams neįvedamos. Du kompleksiniai skaičiai z = x + iy и , besiskiriantys tik menamos dalies ženklu, vadinami konjugatiniais.
Geometrinis vaizdas kompleksiniai skaičiai.
Bet koks kompleksinis skaičius z=x+iy gali būti pavaizduotas Oxy plokštumos tašku M(x,y), kad x=Rez, y=Imz. Ir, atvirkščiai, kiekvienas koordinačių plokštumos taškas M(x;y) gali būti laikomas vaizdu kompleksinis skaičius z=x+iy. Plokštuma, kurioje pavaizduoti kompleksiniai skaičiai, vadinama sudėtinga plokštuma, nes jame yra realieji skaičiai z=x+0i=x. Ordinačių ašis vadinama įsivaizduojama ašimi, nes joje yra grynai įsivaizduojami kompleksiniai skaičiai z=0+iy. Kompleksinį skaičių Z=x+iy galima nurodyti naudojant spindulio vektorių r=OM=(x,y). Kompleksinį skaičių z vaizduojančio vektoriaus r ilgis vadinamas šio skaičiaus moduliu ir žymimas |z| arba r. Kampo tarp Kryptis tikroji ašis o kompleksinį skaičių vaizduojantis vektorius r vadinamas šio kompleksinio skaičiaus argumentu, žymimu Argz arba . Kompleksinio skaičiaus argumentas Z=0 neapibrėžtas. Kompleksinio skaičiaus argumentas yra daugiareikšmis dydis ir nustatomas iki termino, kur argz yra pagrindinė argumento reikšmė, esančio intervale (), t.y. - 
(kartais pagrindinė argumento reikšmė laikoma verte priklausantis intervalui (0; )).
Iškviečiamas skaičiaus z užrašymas forma z=x+iy algebrinė forma kompleksinis skaičius.
Su tuo skirtumu, kad vietoj „plokščių“ grafikų apsvarstysime dažniausiai pasitaikančius erdvinius paviršius, taip pat išmoksime juos kompetentingai kurti rankomis. Gana ilgai praleidau rinkdamasis programinės įrangos įrankius trimačiams brėžiniams kurti ir radau keletą gerų programų, tačiau nepaisant viso naudojimo paprastumo, šios programos neišsprendžia svarbių praktinis klausimas. Faktas yra tas, kad artimiausioje istorinėje ateityje studentai vis tiek bus ginkluoti liniuote ir pieštuku, ir net turėdami aukštos kokybės „mašininį“ piešinį daugelis negalės jo teisingai perkelti į languotas popierius. Todėl vadove Ypatingas dėmesys yra skirta rankinio konstravimo technikai, o nemaža dalis puslapio iliustracijų yra rankų darbo gaminys.
Kuo tai skiriasi etaloninė medžiaga iš analogų?
Turėdamas padorų Praktinė patirtis, puikiai žinau, su kokiais paviršiais dažniausiai tenka susidurti tikros problemos aukštosios matematikos, ir tikiuosi, kad šis straipsnis jums padės kuo greičiau papildykite savo bagažą atitinkamomis žiniomis ir taikomaisiais įgūdžiais, kurių turėtų pakakti 90-95% atvejų.
Ką šiuo metu reikia mokėti?
Paprasčiausias:
Visų pirma, jūs turite sugebėti teisingai pastatyti erdvinė Dekarto koordinačių sistema (žr. straipsnio pradžią Funkcijų grafikai ir savybės) .
Ką gausite perskaitę šį straipsnį?
Butelis Įvaldę pamokos medžiagas, išmoksite greitai nustatyti paviršiaus tipą pagal jo funkciją ir/ar lygtį, įsivaizduosite kaip jis išsidėstęs erdvėje ir, žinoma, pasidarysite brėžinius. Gerai, jei po pirmojo skaitymo ne viskas susimąsto į galvą – jei reikia, vėliau visada galite grįžti prie bet kurios pastraipos.
Informacija yra kiekvieno galioje – norint ją įvaldyti, nereikia jokių super žinių, ypatingo meninio talento ar erdvinio matymo.
Pradėkite!
Praktikoje dažniausiai pateikiamas erdvinis paviršius dviejų kintamųjų funkcija arba formos lygtis (konstanta dešinėje dažniausiai lygi nuliui arba vienetui). Pirmasis žymėjimas labiau būdingas matematinė analizė, antrasis – už analitinė geometrija. Lygtis iš esmės yra netiesiogiai duota 2 kintamųjų funkcija, kurią paprastais atvejais galima lengvai redukuoti į formą . primenu tau paprasčiausias pavyzdys c:
–plokštumos lygtis malonus .
– plokštumos funkcija aiškiai .
Pradėkime nuo to:
Bendrosios plokštumų lygtys
Tipiški variantai lėktuvų išdėstymas stačiakampė sistema koordinatės išsamiai aptariamos pačioje straipsnio pradžioje Plokštumos lygtis. Tačiau dar kartą apsistokime ties lygtimis, kurios turi Gera vertė praktikai.
Visų pirma, jūs turite visiškai automatiškai atpažinti plokštumų, lygiagrečių koordinatinėms plokštumoms, lygtis. Plokštumų fragmentai standartiškai vaizduojami kaip stačiakampiai, kurie paskutiniais dviem atvejais atrodo kaip lygiagrečiai. Pagal numatytuosius nustatymus galite pasirinkti bet kokius matmenis (žinoma, neperžengiant pagrįstų ribų), tačiau pageidautina, kad taškas, kuriame koordinačių ašis „pramuša“ plokštumą, būtų simetrijos centras: 
Griežtai tariant, koordinačių ašys kai kuriose vietose turėtų būti pavaizduotos punktyrinėmis linijomis, tačiau, kad nesusipainiotume, šio niuanso nepaisysime.
– (piešinys kairėje) nelygybė nurodo toliausiai nuo mūsų esančią puserdvę, neįskaitant pačios plokštumos;
– (vidurinis piešinys) nelygybė nurodo dešiniąją pustarpę, įskaitant plokštumą;
– (dešinysis piešinys) dviguba nelygybė apibrėžia „sluoksnį“, esantį tarp plokštumų, įskaitant abi plokštumas.
Savaiminiam apšilimui:
1 pavyzdys
Nubrėžkite kūną, kurį riboja plokštumos
Sukurkite nelygybių sistemą, kuri apibrėžia tam tikrą kūną.
Iš po jūsų pieštuko švino turėtų atsirasti senas pažįstamas. stačiakampis . Nepamirškite, kad nematomi kraštai ir veidai turi būti nubrėžti punktyrine linija. Pamokos pabaigoje baigė piešti.
Prašau, NEAPLEISKITE Mokymosi tikslai, net jei jie atrodo pernelyg paprasti. Priešingu atveju gali atsitikti taip, kad praleidote vieną, praleidote du, o tada praleidote solidžią valandą bandydami trimatį piešinį. tikras pavyzdys. Be to, mechaninis darbas padės daug efektyviau išmokti medžiagą ir lavinti intelektą! Tai nėra atsitiktinumas darželis Ir pradinė mokykla vaikai apkraunami piešimo, modeliavimo, konstravimo rinkiniais ir kitomis užduotimis smulkiosios motorikos įgūdžius pirštai. Atsiprašau už nukrypimą, bet neleiskite, kad dingtų mano dvi sąsiuviniai raidos psichologija =)
Kitą plokštumų grupę sąlyginai vadinsime „tiesioginiu proporcingumu“ - tai plokštumos, einančios per koordinačių ašis:
2) formos lygtis nurodo plokštumą, einančią per ašį ;
3) formos lygtis nurodo plokštumą, einančią per ašį.
Nors formalus ženklas akivaizdus (kurio kintamojo lygtyje trūksta – plokštuma eina per tą ašį), visada naudinga suprasti vykstančių įvykių esmę:
2 pavyzdys
Sukonstruoti plokštumą
Koks yra geriausias būdas statyti? aš siūlau sekantis algoritmas:
Pirmiausia perrašykime lygtį į formą , iš kurios aiškiai matyti, kad „y“ gali būti bet koks reikšmės. Pataisykime reikšmę, tai yra, atsižvelgsime į koordinačių plokštumą. Lygčių rinkinys erdvės linija, esantis tam tikroje koordinačių plokštumoje. Pavaizduokime šią liniją brėžinyje. Tiesi linija eina per koordinačių pradžią, todėl jai sukonstruoti pakanka rasti vieną tašką. Leisti . Atidėkite tašką ir nubrėžkite tiesią liniją.
Dabar grįžtame prie plokštumos lygties. Kadangi „Y“ priima bet koks reikšmės, tada plokštumoje sukonstruota tiesė nuolat „atkartojama“ į kairę ir į dešinę. Būtent taip susidaro mūsų plokštuma, einanti per ašį. Norėdami užbaigti piešinį, į kairę ir į dešinę nuo tiesios linijos įdedame du lygiagrečios linijos ir „uždarykite“ simbolinį lygiagretainį su skersiniais horizontaliais segmentais: 
Kadangi sąlyga nenustatė papildomų apribojimų, lėktuvo fragmentas galėjo būti pavaizduotas kiek mažesniais arba kiek didesniais dydžiais.
Dar kartą pakartokime erdvės reikšmę tiesinė nelygybė Pavyzdžiui . Kaip nustatyti jo apibrėžiamą pusę tarpo? Paimkime tam tikrą tašką nepriklausantis plokštumą, pavyzdžiui, tašką iš arčiausiai mūsų esančios puserdvės ir jo koordinates pakeiskite nelygybe:
Gauta tikroji nelygybė, o tai reiškia, kad nelygybė nurodo apatinę (plokštumos atžvilgiu) puserdvę, o pati plokštuma į sprendinį neįtraukta.
3 pavyzdys
Konstruoti lėktuvus
A) ;
b) .
Tai užduotys savęs kūrimas, iškilus sunkumams, pasitelkite panašius samprotavimus. Trumpos instrukcijos ir brėžiniai pamokos pabaigoje.
Praktikoje ypač paplitusios plokštumos, lygiagrečios ašiai. Ypatingas atvejis, kai plokštuma kerta ašį, buvo ką tik aptartas punkte „būk“, o dabar analizuosime daugiau bendra užduotis:
4 pavyzdys
Sukonstruoti plokštumą
Sprendimas: kintamasis „z“ nėra aiškiai įtrauktas į lygtį, o tai reiškia, kad plokštuma yra lygiagreti taikomajai ašiai. Naudokime tą pačią techniką, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose.
Perrašykime plokštumos lygtį į formą 
iš kurių aišku, kad „zet“ gali imti bet koks reikšmės. Pataisykime jį ir nubrėžkime taisyklingą "plokščia" tiesią liniją "gimtojoje" plokštumoje. Norint jį sukonstruoti, patogu paimti atskaitos taškus.
Kadangi „Z“ priima Visi vertės, tada nutiesta tiesė nuolat „dauginasi“ aukštyn ir žemyn, taip suformuodama norimą plokštumą 
. Atidžiai sudarome tinkamo dydžio lygiagretainį: 
Paruošta.
Plokštumos atkarpomis lygtis
Svarbiausia taikomoji veislė. Jeigu Visišansai bendroji plokštumos lygtis ne nulis, tada jis gali būti pavaizduotas formoje 
kuris vadinamas plokštumos atkarpomis lygtis. Akivaizdu, kad plokštuma taškuose kerta koordinačių ašis, o didelis tokios lygties privalumas yra brėžinio sudarymo paprastumas:
5 pavyzdys
Sukonstruoti plokštumą
Sprendimas: Pirmiausia sukurkime plokštumos lygtį segmentais. Perkelkime nemokamas narysį dešinę ir padalykite abi puses iš 12: 
Ne, čia nėra rašybos klaidų ir viskas vyksta erdvėje! Mes tiriame siūlomą paviršių taikant tą patį metodą, kuris neseniai buvo naudojamas plokštumose. Perrašykime lygtį į formą 
, iš ko išplaukia, kad „zet“ ima bet koks reikšmės. Fiksuokime ir sukonstruokime elipsę plokštumoje. Kadangi „zet“ priima Visi reikšmės, tada sukonstruota elipsė nuolat „atkartojama“ aukštyn ir žemyn. Nesunku suprasti, kad paviršius begalinis:
Šis paviršius vadinamas elipsinis cilindras
. Vadinama elipsė (bet kuriame aukštyje). vadovas cilindras, o lygiagrečios tiesės, einančios per kiekvieną elipsės tašką, vadinamos formuojantis cilindras (kurie yra tiesiogine prasmežodžiai jį sudaro). Ašis yra simetrijos ašis paviršius (bet ne jo dalis!).
Bet kurio taško, priklausančio tam tikram paviršiui, koordinatės būtinai tenkina lygtį 
.
Erdvinė nelygybė nurodo begalinio „vamzdžio“ „vidų“, įskaitant patį cilindrinį paviršių, ir atitinkamai priešinga nelygybė apibrėžia taškų rinkinį už cilindro ribų.
IN praktines problemas populiariausias ypatingas atvejis yra kai vadovas cilindras yra ratas:
8 pavyzdys
Sukurkite lygties pateiktą paviršių
Neįmanoma pavaizduoti nesibaigiančio „vamzdžio“, todėl menas dažniausiai apsiriboja „apkarpymu“.
Pirma, patogu plokštumoje sukonstruoti spindulio apskritimą, o tada dar porą apskritimų aukščiau ir žemiau. Gauti apskritimai ( gidai cilindras) atsargiai sujunkite keturiomis lygiagrečiomis tiesiomis linijomis ( formuojantis cilindras): 
Nepamirškite mums nematomoms linijoms naudoti punktyrines linijas.
Bet kurio taško, priklausančio tam tikram cilindrui, koordinatės tenkina lygtį 
. Bet kurio taško, esančio griežtai „vamzdžio“ viduje, koordinatės tenkina nelygybę 
, ir nelygybė 
apibrėžia išorinės dalies taškų rinkinį. Norint geriau suprasti, rekomenduoju apsvarstyti keletą konkrečių taškų vietos ir įsitikinkite patys.
9 pavyzdys
Sukurkite paviršių ir raskite jo projekciją į plokštumą
Perrašykime lygtį į formą 
iš to seka, kad „x“ ima bet koks reikšmės. Pataisykime ir pavaizduokime plokštumoje ratas– su centru ištakoje, vieneto spindulys. Kadangi „x“ nuolat priima Visi reikšmes, tada sukonstruotas apskritimas sukuria apskritą cilindrą su simetrijos ašimi. Nupieškite kitą apskritimą ( vadovas cilindras) ir atsargiai sujunkite juos tiesiomis linijomis ( formuojantis cilindras). Kai kur buvo sutapimų, bet ką daryti, toks nuolydis: 
Šį kartą apsiribojau cilindro gabalėliu tarpelyje, ir tai neatsitiktinai. Praktikoje dažnai tenka pavaizduoti tik nedidelį paviršiaus fragmentą.
Čia, beje, yra 6 generatricos - dvi papildomos tiesios linijos „dengia“ paviršių iš viršutinio kairiojo ir apatinio dešiniojo kampų.
Dabar pažiūrėkime į cilindro projekciją į plokštumą. Daugelis skaitytojų supranta, kas yra projekcija, tačiau vis dėlto atlikime dar penkių minučių fizinį pratimą. Atsistokite ir nulenkite galvą virš piešinio taip, kad ašies taškas būtų statmenas jūsų kaktai. Tai, koks cilindras atrodo šiuo kampu, yra jo projekcija į plokštumą. Bet atrodo, kad tai yra begalinė juosta, uždaryta tarp tiesių linijų, įskaitant pačias tiesias linijas. Ši projekcija- būtent taip domenas funkcijos (viršutinis cilindro „latakas“), (apatinis „latakas“).
Beje, išsiaiškinkime situaciją su projekcijomis į kitas koordinačių plokštumas. Tegul saulės spinduliai apšviečia cilindrą nuo galo ir išilgai ašies. Cilindro šešėlis (projekcija) į plokštumą yra panaši begalinė juosta - plokštumos dalis, apribota tiesiomis linijomis (- bet kuriomis), įskaitant pačias tiesias linijas.
Tačiau projekcija į plokštumą yra šiek tiek kitokia. Jei pažvelgsite į cilindrą nuo ašies galo, tada jis bus suprojektuotas į vieneto spindulio apskritimą 
, su kuria pradėjome statybas.
10 pavyzdys
Sukurkite paviršių ir suraskite jo projekcijas į koordinačių plokštumas
Tai užduotis, skirta savarankiškas sprendimas. Jei sąlyga nėra labai aiški, išlyginkite abi puses ir analizuokite rezultatą; išsiaiškinkite, kurią cilindro dalį nurodo funkcija. Naudokite aukščiau ne kartą naudotą statybos techniką. Greitas Sprendimas, piešimas ir komentarai pamokos pabaigoje.
Elipsinė ir kt cilindriniai paviršiai gali būti perkeltas koordinačių ašių atžvilgiu, pavyzdžiui:
(remiantis žinomais straipsnio motyvais apie 2 eilės eilės)
– vienetinio spindulio cilindras, kurio simetrijos linija eina per tašką, lygiagretų ašiai. Tačiau praktikoje su tokiais cilindrais susiduriama gana retai, ir visiškai neįtikėtina susidurti su cilindriniu paviršiumi, kuris yra „įstrižas“ koordinačių ašių atžvilgiu.
Paraboliniai cilindrai
Kaip rodo pavadinimas, vadovas toks cilindras yra parabolė.
11 pavyzdys
Sukurkite paviršių ir suraskite jo projekcijas į koordinačių plokštumas.
Negalėjau atsispirti šiam pavyzdžiui =)
Sprendimas: Eikime pramintu taku. Perrašykime lygtį į formą, iš kurios išplaukia, kad „zet“ gali įgauti bet kokią reikšmę. Fiksuokime ir sukonstruokime paprastą parabolę plokštumoje, prieš tai pažymėję trivialius atskaitos taškus. Kadangi „Z“ priima Visi vertes, tada sukonstruota parabolė nuolat „atkartojama“ aukštyn ir žemyn iki begalybės. Tą pačią parabolę klojame, tarkime, aukštyje (plokštumoje) ir atsargiai sujungiame lygiagrečiomis tiesiomis linijomis ( formuojantis cilindrą): 
primenu tau naudinga technika: jei iš pradžių nesate tikri dėl piešinio kokybės, tai geriau iš pradžių linijas nubrėžti labai plonai pieštuku. Tada įvertiname eskizo kokybę, išsiaiškiname vietas, kuriose paviršius slepiasi nuo mūsų akių, ir tik tada spaudžiame rašiklį.
Projekcijos.
1) Cilindro projekcija į plokštumą yra parabolė. Pažymėtina, kad šiuo atveju apie tai kalbėti neįmanoma dviejų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritis– dėl to, kad cilindro lygtis negali būti redukuojama į funkcinis vaizdas.
2) Cilindro projekcija į plokštumą yra pusiau plokštuma, įskaitant ašį
3) Ir galiausiai, cilindro projekcija į plokštumą yra visa plokštuma.
12 pavyzdys
Sukurti paraboliniai cilindrai:
a) apsiribokite paviršiaus fragmentu artimoje erdvės pusėje;
b) intervale
Iškilus sunkumams neskubame ir samprotaujame pagal analogiją su ankstesniais pavyzdžiais, laimei, technologija buvo kruopščiai išvystyta. Tai nėra labai svarbu, jei paviršiai pasirodys šiek tiek gremėzdiški – svarbu teisingai atvaizduoti pagrindinį vaizdą. Aš pati tikrai nesijaudinu dėl linijų grožio, jei gaunu priimtiną piešinį su C balu, dažniausiai jo neperdarau. Beje, pavyzdiniame sprendime naudojama kita technika piešinio kokybei pagerinti ;-)
Hiperboliniai cilindrai
Vadovai tokie cilindrai yra hiperbolės. Šio tipo paviršiai, mano pastebėjimais, yra daug rečiau nei ankstesni tipai, todėl apsiribosiu vienu schematiniu piešiniu hiperbolinis cilindras :
Samprotavimo principas čia lygiai toks pat – įprastas mokyklos hiperbolė nuo plokštumos nuolat „dauginasi“ aukštyn ir žemyn iki begalybės.
Nagrinėjami cilindrai priklauso vadinamiesiems 2 eilės paviršiai, o dabar ir toliau susipažinsime su kitais šios grupės atstovais:
Elipsoidas. Rutulys ir rutulys
Kanoninė lygtis elipsoidas stačiakampėje koordinačių sistemoje turi formą 
, kur - teigiami skaičiai (ašių velenai elipsoidas), kuris in bendras atvejis skirtinga. Elipsoidas vadinamas paviršius, taip kūnas, ribojamas tam tikro paviršiaus. Kūnas, kaip daugelis spėjo, nulemtas nelygybės 
ir bet kurių koordinates vidinis taškas(taip pat bet kuris paviršiaus taškas) būtinai tenkina šią nelygybę. Konstrukcija yra simetriška koordinačių ašių ir koordinačių plokštumų atžvilgiu: 
Sąvokos „elipsoidas“ kilmė taip pat akivaizdi: jei paviršius yra „nupjautas“ koordinačių plokštumos, tada skyriai turės tris skirtingus (bendruoju atveju)
Apibrėžimas 1. Cilindrinis paviršius yra paviršius, sudarytas iš lygiagrečių viena kitai tiesių, vadinamas jo formuojantis .
Jei kuri nors plokštuma, kertanti visus besiformuojančius cilindrinius paviršius, kerta ją išilgai linijos R, tada ši eilutė vadinama vadovas šis cilindrinis paviršius.
Teorema . Jei erdvėje įvesta Dekarto koordinačių sistema ir lygtis plokštumoje xOy yra kokios nors tiesės lygtis R, tada ši lygtis erdvėje yra cilindrinio paviršiaus lygtis L su pagalbine linija R, o generatoriai yra lygiagrečiai ašiai Ozas(3.19 pav., a).
Įrodymas. Taškas 
guli ant cilindrinio paviršiaus L jei ir tik tada, kai projekcija 
taškų Mį lėktuvą xOy lygiagrečiai ašiai Ozas guli ant linijos R, t.y. jei ir tik jei galioja lygtis 
.
Panašios išvados galioja ir formos lygtims 
(3.19 pav., b) ir 
(3.19 pav., c).
Apibrėžimas 2 . Vadinami cilindriniai paviršiai, kurių kreiptuvai yra antros eilės linijos antros eilės cilindriniai paviršiai .
Yra trijų tipų antros eilės cilindrai: elipsės formos (3.20 pav.)
, (5.42)
hiperbolinis (3.21 pav.)
, (5.43)
parabolinis (3.22 pav.)
. (5.44)
Ryžiai. 3.20 pav. 3.21 pav. 3.22
Dėl cilindrų, pateiktos lygtimis(5.42), (5.43) ir (5.44), pagalbinės linijos yra atitinkamai elipsė
,
hiperbolė
,
parabolė
,
o generatoriai lygiagreti ašiai Ozas.
komentuoti. Kaip matėme, antros eilės kūginiai ir cilindriniai paviršiai turi tiesinius generatorius ir kiekvienas iš šių paviršių gali būti suformuotas tiesia linija judant erdvėje.
Pasirodo, kad tarp visų antros eilės paviršių, be cilindro ir kūgio, vieno lakšto hiperboloidas ir hiperbolinis paraboloidas taip pat turi tiesinius generatorius, ir, kaip ir cilindro ir kūgio atveju, abu šie. paviršiai gali būti suformuoti judant tiesia linija erdvėje (žr. specialiąją literatūrą).
§4. Bendrosios antros eilės paviršiaus lygties redukavimas į kanoninę formą
Bendroje antros eilės paviršiaus lygtyje
a) kvadratinė forma
Kur 
;
b) tiesinė forma
Kur 
;
c) laisvas narys 
.
Norint paversti (5.45) lygtį į kanoninę formą, pirmiausia reikia atlikti tokią koordinačių transformaciją 
, taigi ir susijęs ortonormalus pagrindas 
, kuri kvadratinę formą (5.46) paverčia kanonine (žr. 2 knygos 8 skyrių, §3, 3.1 pastraipą).
Šios kvadratinės formos matrica yra
,
kur, t.y. matrica A– simetriškas. Pažymėkime pagal 
savąsias reikšmes, ir per 
ortonormalus pagrindas, sudarytas iš matricos savųjų vektorių A. Leisti
–
perėjimo matrica iš pagrindo 
į bazę 
, A 
– su šiuo pagrindu susieta nauja koordinačių sistema.
Tada, transformuojant koordinates
(5.48)
kvadratinė forma (5.46) įgauna kanoninę formą
Kur 
.
Dabar, taikydami koordinačių transformaciją (5.48) tiesinei formai (5.47), gauname
Kur 
,
– nauji formos koeficientai (5,47).
Taigi (5.45) lygtis įgauna formą
+.
Šią lygtį galima sumažinti iki kanoninė forma naudojant lygiagretų koordinačių sistemos perkėlimą pagal formules
arba 
(5.49)
Atlikus koordinačių sistemos transformaciją pagal lygiagretus perdavimas
(5.49), bendroji lygtis antros eilės paviršiai (5.45) Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu 
išreikš vieną iš šių septyniolikos paviršių:
1) elipsoidas 
2) įsivaizduojamas elipsoidas 
3) vieno lapo hiperboloidas 
4) dviejų lakštų hiperboloidas 
5) kūgis 
6) įsivaizduojamas kūgis 
7) elipsinis paraboloidas
8) hiperbolinis paraboloidas
9) elipsinis cilindras
10) įsivaizduojamas elipsinis cilindras
11) dvi įsivaizduojamos susikertančios plokštumos
12) hiperbolinis cilindras
13) dvi susikertančios plokštumos
14) parabolinis cilindras
15) dvi lygiagrečios plokštumos
16) dvi įsivaizduojamos lygiagrečios plokštumos
17) dvi sutampančios plokštumos
Pavyzdys. Nustatykite paviršiaus tipą ir vietą, apibrėžtą Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu 
ir susijęs ortonormalus pagrindas 
lygtis
Pateiksime kvadratinę formą
(5.51)
į kanoninę formą. Šios formos matrica turi formą
.
Iš charakteristikų lygties nustatykime šios matricos savąsias reikšmes
Iš čia 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Dabar randame savieji vektoriai matricos A: 1) leiskite 
, tada iš lygties 
arba koordinačių forma
rasti kur 
– bet koks skaičius, taigi 
, A 
. Iš visos kolinearinių vektorių rinkinio 
pasirinkti vektorių 
, kurio modulis 
, t.y. normalizuoti vektorių 
.
2) už 
mes turime
.
Iš čia 
, Kur 
- bet koks skaičius. Tada 
, A 
. Vektoriaus normalizavimas 
, raskite vieneto vektorių 
:
,
Kur 
.
3)
, tada komponentams 
vektorius 
mes turime sistemą
Iš kur, kur 
– bet koks skaičius, taigi 
, A 
. Vektoriaus normalizavimas 
, raskite vieneto vektorių 
vektoriaus nurodytai krypčiai 
:
Kur 
.
Dabar pereikime nuo ortonormalaus pagrindo 
ortonormaliu pagrindu 
, sudarytas iš matricos savųjų vektorių A ir sujungti su paskutiniu pagrindu naują Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą 
. Tokios transformacijos perėjimo matrica turi formą
,
o koordinatės perskaičiuojamos pagal formules
(5.52)
Taikydami šią koordinačių transformaciją kvadratinei formai (5.51), sumažiname ją iki kanoninės formos
, Kur 
.
Dabar išsiaiškinkime, kokią formą turi tiesinė formulė
, Kur 
,
jeigu koordinatės transformuojamos pagal (5.52) formules. Mes turime
Taigi, jei koordinačių sistema 
transformuoti naudojant formules (5.52), tada santykinai nauja sistema koordinates 
nagrinėjamas antros eilės paviršius pateikiamas lygtimi
Lygtis (5.53) redukuojama į kanoninę formą, naudojant lygiagretų koordinačių sistemos perkėlimą pagal formules
po to paviršiaus lygtis koordinačių sistemos atžvilgiu 
įgauna formą
arba 
Ši lygtis išreiškia elipsinį cilindrą, kurio kryptinė elipsė yra koordinačių plokštumoje 
, o generuojančios linijos yra lygiagrečios ašiai 
komentuoti. Antros eilės paviršiaus bendrosios lygties sumažinimo į kanoninę formą schema, aprašyta šiame skyriuje, gali būti taikoma antrojo laipsnio kreivės bendrosios lygties sumažinimui į kanoninę formą.
