Baigti darbai

LAIPSNIO DARBAI

Jau daug kas praėjo ir dabar esate absolventas, jei, žinoma, baigiamąjį darbą rašote laiku. Bet gyvenimas yra toks dalykas, kad tik dabar tau tampa aišku, kad, nustojęs būti studentu, tu prarasi visus studentiškus džiaugsmus, kurių daugelio niekada nebandei, viską atidėliodamas ir atidėdamas vėlesniam laikui. O dabar, užuot pasivyjęs, dirbate su baigiamuoju darbu? Yra puikus sprendimas: atsisiųskite reikiamą baigiamąjį darbą iš mūsų svetainės – ir jūs akimirksniu turėsite daug laisvo laiko!
Disertacijos sėkmingai apgintos pirmaujančiuose Kazachstano Respublikos universitetuose.
Darbo kaina nuo 20 000 tenge

KURSINIAI DARBAI

Kursinis projektas yra pirmasis rimtas praktinis darbas. Būtent nuo kursinio darbo rašymo prasideda pasiruošimas tobulėjimui. diplominiai projektai. Jei mokinys išmoksta teisingai pateikti temos turinį kurso projektas ir teisingai surašyti, tada ateityje jis neturės problemų nei su ataskaitų rašymu, nei surašymu tezės, nei su kitų įgyvendinimu praktines užduotis. Siekiant padėti studentams rašyti tokio pobūdžio studentų darbus ir išsiaiškinti klausimus, kylančius jį rengiant, iš tikrųjų buvo sukurta ši informacinė skiltis.
Darbo kaina nuo 2500 tenge

MAGISTRUOTIS

Šiuo metu aukštesnėje švietimo įstaigų Kazachstane ir NVS šalyse aukštojo mokslo lygis yra labai paplitęs profesinį išsilavinimą, kuri po bakalauro – magistro laipsnio. Magistrantūros programoje studentai mokosi turėdami tikslą įgyti magistro laipsnį, kuris daugumoje pasaulio šalių pripažįstamas labiau nei bakalauro laipsnis, taip pat pripažįstamas užsienio darbdavių. Magistrantūros studijų rezultatas – gynimas magistro baigiamasis darbas.
Pateiksime Jums naujausią analitinę ir tekstinę medžiagą, į kainą įeina 2 mokslinius straipsnius ir abstrakčiai.
Darbo kaina nuo 35 000 tenge

PRAKTIKOS ATASKAITOS

Atlikus bet kokios rūšies studentų praktiką (mokomąją, gamybinę, prieš baigiamąją), reikalinga ataskaita. Šis dokumentas bus patvirtinimas praktinis darbas studentas ir praktikos įvertinimo formavimo pagrindas. Paprastai, norint surašyti praktikos ataskaitą, reikia rinkti ir analizuoti informaciją apie įmonę, atsižvelgti į organizacijos, kurioje atliekama praktika, struktūrą, darbo režimą, sukaupti kalendorinis planas ir apibūdinkite savo praktinė veikla.
Padėsime surašyti ataskaitą apie atliktą praktiką, atsižvelgdami į konkrečios įmonės veiklos specifiką.

Vadinami judesiai, kurie turi skirtingą pasikartojimo laipsnį svyravimai .

Jei vertybės fiziniai dydžiai, besikeičiantys judesio metu, kartojami vienodais laiko tarpais, tada toks judesys vadinamas periodiškai . Priklausomai nuo fizinės prigimties svyruojantis procesas atskirti mechaninį ir elektromagnetinės vibracijos. Pagal sužadinimo būdą vibracijos skirstomos į: nemokamai(savas), atsirandantis sistemoje, kuri po tam tikro pradinio smūgio atsidūrė šalia pusiausvyros padėties; priverstinis– atsiranda periodiškai veikiant išorinei įtakai.

Nuotraukose A-e pateikiami poslinkio priklausomybės grafikai x karts nuo karto t(trumpai tariant, poslinkio grafikai) kai kurioms vibracijų rūšims:

a) sinusoidiniai (harmoniniai) svyravimai,

b) kvadratiniai virpesiai,

c) pjūklo danties vibracija,

d) svyravimų pavyzdys sudėtingas tipas,

d) slopinami svyravimai,

e) didėjantys svyravimai.

Laisvųjų svyravimų atsiradimo sąlygos: a) išėmus kūną iš pusiausvyros padėties, sistemoje turi atsirasti jėga, linkusi grąžinti ją į pusiausvyros padėtį; b) trinties jėgos sistemoje turi būti pakankamai mažos.

A amplitudėA - didžiausio svyravimo taško nuokrypio nuo pusiausvyros padėties modulis .

Taško svyravimai, atsirandantys su pastovia amplitude, vadinami neslopinamas , ir svyravimai palaipsniui mažėjančia amplitude – išblukęs .

Laikas, per kurį įvyksta visiškas svyravimas, vadinamas laikotarpį(T).

Dažnis periodiniai svyravimai Visiškų svyravimų, atliktų per laiko vienetą, skaičius vadinamas:

Vibracijos dažnio vienetas yra hercas (Hz). Hercas – svyravimų, kurių periodas yra 1 s, dažnis: 1 Hz = 1 s –1.

Ciklinis arba apskrito dažnio Periodiniai virpesiai yra pilnų svyravimų, atliktų per 2p s, skaičius:

. =rad/s.

Harmoninis– tai aprašytos vibracijos periodinė teisė:

arba (1)

kur yra periodiškai kintantis dydis (poslinkis, greitis, jėga ir kt.), A– amplitudė.

Vadinama sistema, kurios judėjimo dėsnis yra (1). harmoninis osciliatorius . Vadinamas sinuso arba kosinuso argumentas svyravimo fazė. Virpesių fazė lemia poslinkį tam tikru laiko momentu t. Pradinė fazė nustato kūno poslinkį tuo momentu, kai prasideda laikas.

Apsvarstykite kompensaciją x svyruojantis kūnas jo pusiausvyros padėties atžvilgiu. Lygtis harmoninė vibracija:

.

Pirmasis laiko darinys suteikia kūno judėjimo greičio išraišką:

Greitis pasiekia savo maksimali vertė laiko momentu, kai =1 yra atitinkamai greičio amplitudė. Taško poslinkis šiuo momentu yra anksti iki nulio = 0.

Pagreitis kinta laikui bėgant taip pat pagal harmonijos dėsnis:

kur yra didžiausia pagreičio vertė. Minuso ženklas reiškia, kad pagreitis nukreiptas priešinga poslinkiui kryptimi, tai yra, pagreitis ir poslinkis kinta priešfazėje. Matyti, kad greitis pasiekia didžiausią vertę, kai svyravimo taškas pereina pusiausvyros padėtį. Šiuo metu poslinkis ir pagreitis yra lygūs nuliui.

Kad kūnas atliktų harmoningą svyruojantį judesį, jį turi veikti jėga, kuri visada yra nukreipta į pusiausvyros padėtį ir kurios dydis yra tiesiogiai proporcingas poslinkiui iš šios padėties. Jėgos, nukreiptos į pusiausvyros padėtį, vadinamos grįžtant .

Panagrinėkime laisvuosius virpesius, vykstančius sistemoje su vienu laisvės laipsniu. Tegul kūnas turi masę T sumontuota ant spyruoklės, kurios elastingumas k. Nesant trinties jėgų, kūną, pašalintą iš pusiausvyros padėties, veikia elastinė jėga spyruoklės . Tada pagal antrąjį dinamikos dėsnį turime:

Jei įvesime žymėjimą , tada lygtį galima perrašyti taip:

Štai viskas diferencialinė lygtis laisvos vibracijos su vienu laisvės laipsniu. Jo sprendimas yra formos funkcija arba . Kiekis yra ciklinis svyravimų periodas spyruoklinė švytuoklė:

. (3).

Matematinė švytuoklė ‑ tai modelis, kuriame visa masė sukoncentruota materialiame taške, svyruojančiame ant nesvario ir nedeformuojamo sriegio. Esant nukrypimui materialus taškas nuo pusiausvyros padėties iki mažo kampo a, kad sąlyga būtų įvykdyta, kūną veiks atkuriamoji jėga. Minuso ženklas rodo, kad jėga nukreipta priešinga poslinkiui kryptimi. Nes , tada jėga lygi . Jėga proporcinga poslinkiui, todėl šios jėgos įtakoje materialusis taškas atliks harmoninius virpesius. Pažymėkime , kur , turime: arba . Taigi matematinės švytuoklės svyravimo periodas: .

Fizinė švytuoklė gali pasitarnauti bet koks kūnas, kuris svyruoja apie ašį, kuri nekerta svorio centro. Atstumas tarp vibracijos ašies ir svorio centro A. Judesio lygtis šiuo atveju bus parašyta , arba esant mažoms kampo φ reikšmėms: . Dėl to turime harmoninių virpesių lygtį su dažniu ir periodu . Paskutinėje lygybėje buvo įvestas sumažintas fizinės švytuoklės ilgis, kad fizinių ir matematinių švytuoklių formulės būtų identiškos.

IN laboratoriniai tyrimai dažnai naudojamas sukimo švytuoklė, leidžiantis labai tiksliai išmatuoti kietųjų kūnų inercijos momentą. Tokiems virpesiams momentas yra proporcingas posūkio kampui φ gana plačiame diapazone.

GOU DOD "IEŠKOTI"

yev

Dinamika

Laboratorinis darbas Nr.9.7

VIBRACINIO JUDĖJIMO DINAMIKA

Instrukcijos

atlikti matavimus ir tyrimus.

Ataskaitos forma

Užpildoma paprastu pieštuku.

Kiek įmanoma tvarkingiau ir įskaitomiau.

Baigė darbą

„……“ …………….20..….g.

Patikrino darbą

.....................................................

Įvertinimas

...............%

„……“ …………….20..….g.

Stavropolis 2011 m

Darbo tikslas:

Pagilinkite savo supratimą apie harmoninių virpesių teoriją. Įvaldykite techniką eksperimentiniai stebėjimai ir matematinės ir fizikinės švytuoklės pavyzdžiu patikrinkite neslopintų harmoninių virpesių dėsnius.

Įranga:įvairių švytuoklių svyravimų stebėjimo stovas, chronometras, liniuotė.

1. Teorinė dalis

Mechaninės vibracijos – tai judėjimo rūšis, kai kūno koordinatės, greičiai ir pagreičiai kartojasi daug kartų.

Nemokama vibracijos, atsirandančios veikiant vidines jėgas telefono sistemos Jei, pašalinant sistemą iš pusiausvyros padėties, atsiranda jėga, nukreipta į pusiausvyros padėtį ir proporcinga poslinkiui, tada tokioje sistemoje atsiranda jėga harmonines vibracijas. Čia koordinatės, greičiai ir pagreičiai atsiranda pagal kosinuso (sinuso) dėsnį.

x=Acos(w0 t+a0 ); v=–v0sin(w0 t+a0 ); a=a0 Acos(w0 t+a0 ) (1)

Kur A- amplitudė,w0 - ciklinis dažnis,a0 – pradinė fazė dvejonės. Ciklinis dažnis yra susijęs su svyravimų periodu T

(2)

Laisvos vibracijos yra harmoningos tik tada, kai trinties nėra arba ji yra nereikšminga.

font-size:16.0pt"> Kūnų sistemos, kuriose atsiranda laisvos vibracijos, dažnai vadinamos švytuoklės.

Fizinė švytuoklė paskambino kietas svyruoja aplinkui veikiamas gravitacijos fiksuota ašis APIE, nepraeinantis per masės centrą SU korpusas (1 pav.).

Kai švytuoklė perkeliama iš pusiausvyros padėties į tam tikrą kampąj, komponentas Fn gravitacija mg subalansuotas reakcijos jėgos N kirvius APIE, ir komponentas F tlinkęs grąžinti švytuoklę į pusiausvyros padėtį. Visos jėgos nukreiptos į kūno masės centrą.

Tuo pačiu metu

Ft =–mgsinj (3)

Minuso ženklas reiškia, kad kampinis poslinkisj ir atkuriant jėgą F t turėti priešingomis kryptimis. Esant pakankamai mažiems švytuoklės nukrypimo kampams ( 5-6 ° ) nuodėmė j » j (j radianais ) Ir F t » - mgj, ty atkuriamoji jėga yra proporcinga įlinkio kampui ir nukreipta į pusiausvyros padėtį, kurios reikia harmoniniams svyravimams gauti.

Švytuoklė, svyruodama, atlieka sukimosi judesį savo ašies atžvilgiu APIE, kuri apibūdinama pagrindine sukimosi judėjimo dinamikos lygtimi

M = Je , ( 4)

Kur M– jėgos momentas F tašies atžvilgiu APIE, J– švytuoklės inercijos momentas tos pačios ašies atžvilgiu, ε – kampinis pagreitisšvytuoklė.

Jėgos momentas F tašies atžvilgiu APIE lygus:

M=Ft× l = - mgj× l, (5)

Kur l– jėgos petysFt - trumpiausias atstumas tarp pakabos taško ir švytuoklės masės centro.

Iš (4) ir (5) lygčių, sudarytų diferencine forma, gaunamas formos sprendimas

j = jm× cos (w0 t+j0 ) , (6)

Kur . (7)

Iš šio sprendimo matyti, kad esant mažoms vibracijos amplitudėms (j<5-6 ° ) fizinė švytuoklė atlieka harmoninius virpesius su kampine virpesių amplitudėjm, ciklinis dažnis ir laikotarpis T

šrifto dydis: 16,0 pt; font-weight:normal"> . (8)

(8) formulės analizė leidžia suformuluoti tokius fizinės švytuoklės svyravimų modelius (esant mažai amplitudei ir nesant trinties jėgų):

· Fizinės švytuoklės svyravimo periodas esant nedideliems poslinkiams nepriklauso nuo svyravimų amplitudės.

· Fizinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo švytuoklės inercijos momento sukimosi (sūpynės) ašies atžvilgiu.

· Fizinės švytuoklės svyravimo periodas priklauso nuo švytuoklės masės centro padėties pakabos taško atžvilgiu.

Paprasčiausia fizinė švytuoklė yra masyvus kabantis svoris, esantis gravitacijos lauke. Jei pakaba nepratęsiama, matmenysapkrova yra nereikšminga, palyginti su pakabos ilgiu, o sriegio masė yra nereikšminga, palyginti su apkrovos mase, tada apkrova gali būti laikoma materialiu tašku, esančiu pastoviu atstumu l nuo pakabos taško APIE. Toks idealizuotas švytuoklės modelis vadinamas matematinė švytuoklė(2 pav.).

Tokios švytuoklės svyravimai vyksta pagal harmonikos dėsnį (6). Nuo materialaus taško inercijos momento ašies, einančios per tašką, atžvilgiu APIE, yra lygus J = ml2, tada matematinės švytuoklės svyravimo periodas lygus

. (9)

(9) formulės analizė leidžia suformuluoti tokius matematinės švytuoklės svyravimų modelius (su maža amplitudė ir nesant trinties jėgų):

· Matematinės švytuoklės svyravimo periodas nepriklauso nuo švytuoklės masės (tai buvo patikrinta ankstesnių laboratorinių darbų metu).

· Matematinės švytuoklės svyravimo periodas esant mažais svyravimų kampais nepriklauso nuo svyravimų amplitudės (tai irgi buvo patikrinta anksčiau).

· Matematinės švytuoklės svyravimo periodas yra tiesiogiai proporcingas jos ilgio kvadratinei šaknei.

2. Eksperimentinė dalis

Z1 užduotis.Fizikinės švytuoklės svyravimų tyrimas

Tikslas.Patikrinkite fizinės švytuoklės svyravimo periodo priklausomybės (8) nuo jos charakteristikų teisingumą. Norėdami tai padaryti, būtina sudaryti atitinkamus eksperimentinius grafikus.

Šiame darbe naudojama fizinė švytuoklė yra tiesi vienalytė strypas. Atstumas nuo strypo svorio centro, t.y. jo vidurio, iki pakabos taško gali būti keičiamas. Strypo inercijos momentas, palyginti su sukimosi ašimi (svyravimas) šrifto dydis:16.0pt;font-weight:normal">font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (10)

Kur d- strypo ilgis, l– atstumas nuo svorio centro (stiebo centro) iki siūbavimo ašies.

Priklausomybės grafikas T=f(l) reiškia kreivę sudėtinga forma. Tolimesniam apdorojimui jis turi būti tiesinis. Norėdami tai padaryti, paverčiame formulę (10) į formą

šrifto dydis: 16,0 pt; font-weight:normal"> (11)

Iš to matome, kad jei nubraižome priklausomybę (T2l) = f(l2), tada turėtumėte gauti tiesią liniją y=kx+b, kurio kampinis koeficientas lygus https://pandia.ru/text/79/432/images/image012_32.gif" width="95" height="53 src=">.

1. Sustiprinkite pakabą avarinė situacija. Išmatuokite atstumą l nuo svorio centro iki ašies

2. Išmatuokite svyravimo periodą T švytuoklė. Norėdami tai padaryti, turite jį nukreipti nedideliu kampu ir išmatuoti laiką 10-15 visiška dvejonė.

4. Nuosekliai mažinant atstumą l , išmatuokite švytuoklės svyravimo periodus kiekvienoje iš šių padėčių.

5. Turi būti sudaryti du grafikai. Pirmasis priklausomybės grafikas T=f(l) rodo sudėtingą netiesinę fizinės švytuoklės svyravimo periodo priklausomybę nuo atstumo iki svyravimo ašies. Antrasis grafikas yra tos pačios priklausomybės linearizacija. Jei antrojo grafiko taškai yra tiesėje su maža sklaida (tai galima paaiškinti matavimo paklaidomis), tada galime daryti išvadą, kad bendroji formulė(8) ir, in šiuo atveju, formulės (10) fizikinės švytuoklės svyravimo periodui.

6. Naudojant gautą priklausomybės grafiką(T2l) = f(l2), nustatyti pagreitį laisvasis kritimas ir eksperimente naudoto strypo ilgis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite nustatyti tiesios linijos kampinį koeficientą ir segmento dydį b nupjauta tiesia linija nuo vertikalios ašies (3 pav.). Tada

(12)

Skaičiuodami strypo ilgį, naudokite eksperimentiniu būdu gautą pagreičio dėl gravitacijos reikšmę.

Išvestyje palyginkite gautas reikšmes g Ir d su jų tikrosiomis vertėmis.

Pranešimas

1 lentelė

Priklausomybės grafikas T = f(l).

Priklausomybės grafikas T2l =f(l2)

Eksperimento rezultatai: ……………………………………………………….

Išvados: …………………………………………………………………………….

……..………………………………………………………………………………..

………… s2 / m b = ………… s2 × m

šrifto dydis: 16,0 pt; linijos aukštis: 150%"> ……… m/s2………m

Išvada: ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

2 užduotis. Studijuoti matematinės švytuoklės svyravimai

1. Pakabinkite ant siūlo švino kamuoliukas, kuris geriausiai imituoja materialųjį tašką. Pakeiskite pakabos ilgį maždaug po truputį 10 cm kad gautume 5–6 eksperimentinius taškus. Virpesių skaičius kiekviename eksperimente yra ne mažesnis kaip. Švytuoklės nukrypimo nuo pusiausvyros padėties kampas neturi viršyti 5-6°.

2. Priklausomybė Т=f(l) netiesinis. Todėl eksperimentinio patikrinimo patogumui ši priklausomybė turėtų būti tiesinė. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite svyravimo periodo kvadrato priklausomybę nuo švytuoklės ilgio Т2=f(l). Jei eksperimentiniai taškai yra tiesėje su maža sklaida (tai galima paaiškinti matavimo paklaidomis), tada galime daryti išvadą, kad (9) formulė yra įvykdyta. Jei sklaida yra didelė, visa matavimų serija turi būti kartojama.

3. Naudodamiesi gautu grafiku, nustatykite gravitacijos pagreitį. Pirmiausia turite gauti tikslią eksperimentinės linijos lygtį: y=kx+ b. Norėdami tai padaryti, naudokite metodą mažiausių kvadratų(LSM) (3 lentelė) ir nustatykite tiesės nuolydį k. Remiantis gauta verte nuolydis, apskaičiuokite pagreitį dėl gravitacijos.

k=DT2/Dl = 4p2 /g, kur g = 4 p2 /k. (13)

Pranešimas

Pradinis nuokrypisj = ................

2 lentelė

Nr.	l, m	N	t, c	T, c	T2 , c2

l, m

OLS 3 lentelė

Pavadinimai: l = x, T2 =y

§ 27 išsiaiškinome, kad svyruojant judesiui pagreitis yra kintamas. Todėl šį judėjimą sukelia veiksmas kintamoji jėga. Tegul, veikiant kintamajai jėgai, materialus taškas, turintis masę, atlieka harmoninį svyravimą su pagreičiu a. Tada, atsižvelgdami į (5) formulę, galime rašyti

Taigi jėga, sukelianti harmoninį svyravimą, yra proporcinga poslinkiui ir nukreipta prieš poslinkį. Šiuo atžvilgiu galime duoti sekantį apibrėžimą harmoninis virpesys (išskyrus nurodytą § 27): harmoninis virpesys vadinamas

kurią sukelia jėga, proporcinga poslinkiui ir nukreipta prieš poslinkį. Ši jėga yra linkusi grąžinti tašką į pusiausvyros padėtį, todėl ji vadinama atkuriamąja jėga. Atkuriamoji jėga gali būti, pavyzdžiui, tamprumo jėga, nes ji taip pat proporcinga poslinkiui ir priešinga ženklu (žr. § 10). Atkuriamosios jėgos taip pat gali būti kitokios, neelastingos. Tokiais atvejais jos vadinamos kvazielastingomis jėgomis.

Jei žinomi materialaus taško masė ir koeficientas, tada iš (10) formulės galime nustatyti svyravimo apskritimo dažnį ir periodą:

Dabar panagrinėkime mechaninę svyravimo sistema, vadinamas fizine švytuokle; Tai kietas kūnas, kuris gravitacijos įtakoje svyruoja apie horizontalią ašį. Paprastai fizinė švytuoklė yra strypas su pasvertu galu; kitas jo galas yra judamai prijungtas prie horizontalioji ašis B, statmenai strypui (51 pav.). Nukreipta nuo pusiausvyros padėties kampu a, švytuoklė, veikiama gravitacijos, grįžta į šią padėtį, praleidžia ją inercija ir nukrypsta į priešinga pusė, tada vėl pereina pusiausvyros padėtį ir tt Jei pakaboje trintis maža, tai švytuoklė svyruos labai ilgai. Švytuoklės svorio centras apibūdins apskritimo lanką. Laikykime teigiamą kampą, kai švytuoklė nukrypsta į dešinę nuo pusiausvyros padėties, ir neigiamu, kai nukrypsta į kairę.

atkuriant jėgą

kur yra švytuoklės masė. Minuso ženklas atsiranda dėl to, kad jėgos kryptys ir įlinkio kampas visada yra priešingi. Esant nedideliems nukrypimams rad a a. Tada

kur yra švytuoklės svorio centro lanko poslinkis iš pusiausvyros padėties, švytuoklės ilgis (atstumas nuo pakabos taško iki svorio centro). Taigi atkuriamoji jėga pasirodo proporcinga poslinkiui ir priešinga ženklu (t. y. tai kvazielastinga jėga). Todėl švytuoklės svyravimai yra harmoningi.

Pagal pagrindinį sukimosi dinamikos dėsnį (žr. § 21), atkūrimo jėgos momentas bus išreikštas ryšiu:

kur yra švytuoklės inercijos momentas pakabos ašies atžvilgiu ir kampinis pagreitis. Tada

Kadangi (žr. § 6), tada, atsižvelgdami į (5) formulę, galime rašyti

kur (o yra apskritas švytuoklės virpesių dažnis. Palyginę (13) ir (14) formules, gauname

iš kur randame fizinės švytuoklės svyravimo apskritimo dažnio ir periodo išraiškas:

Praktikoje fizinę švytuoklę dažnai galima laikyti matematine. Matematinė švytuoklė – tai materialus taškas, svyruojantis ant nesvario ir nedeformuojamo sriegio (52 pav.). Pagal materialaus taško inercijos momento apibrėžimą (žr. § 21), matematinės švytuoklės inercijos momentas.

kur yra materialaus taško masė, sriegio ilgis. Pakeitę šią reikšmę į (16) formulę, gauname galutinę matematinės švytuoklės svyravimo laikotarpio išraišką:

Iš (17) formulės išplaukia, kad

esant nedideliems nuokrypiams ir matematinės švytuoklės svyravimo periodas yra proporcingas kvadratinė šaknis nuo švytuoklės ilgio, yra atvirkščiai proporcinga gravitacijos pagreičio kvadratinei šaknei ir nepriklauso nuo svyravimų amplitudės bei švytuoklės masės.

Norėdami kiekybiškai apibūdinti kūno virpesius, veikiančius spyruoklės tamprios jėgos arba rutulio, pakabinto ant sriegio, virpesius, naudojame Niutono mechanikos dėsnius.

Kūno, svyruojančio veikiant tamprumo jėgai, judėjimo lygtis. Pagal antrąjį Niutono dėsnį, kūno masės m ir jo pagreičio sandauga yra lygi visų kūnui veikiančių jėgų rezultantui:

Tai yra judėjimo lygtis. Parašykime rutulio, judančio tiesia linija išilgai horizontalės, veikiant spyruoklės tamprumo jėgai, judėjimo lygtį (žr. 3.3 pav.). Nukreipkime OX ašį į dešinę. Tegu koordinačių pradžia atitinka rutulio pusiausvyros padėtį (žr. 3.3 pav., a).

Projekcijoje į OX ašį judesio lygtį (3.1) galima parašyti taip: ma x = F x valdiklis, kur atitinkamai valdo a x ir F x spyruoklės pagreičio ir tamprumo jėgos projekcijos į šią ašį.

Pagal Huko dėsnį projekcija F x ynp yra tiesiogiai proporcinga rutulio poslinkiui iš jo pusiausvyros padėties. Poslinkis yra lygus rutulio x koordinatei, o jėgos projekcija ir koordinatė turi priešingi ženklai(žr. 3.3 pav., b, c). Vadinasi,

F x valdiklis = -kx (3.2)

kur k yra spyruoklės standumas.

Tada rutulio judėjimo lygtis įgaus formą

ma x = -kx. (3.3)

Padalinę kairę ir dešinę lygties (3.3) puses iš m, gauname

Kadangi masė m ir standumas k - konstantos, tada jų santykis taip pat yra pastovi reikšmė.

Gavome lygtį, kuri apibūdina kūno virpesius veikiant tamprumo jėgai. Tai labai paprasta: kūno pagreičio projekcija a x yra tiesiogiai proporcinga jo x koordinatei, paimtai su priešingu ženklu.

Matematinės švytuoklės judėjimo lygtis. Kai rutulys svyruoja ant neištempto sriegio, jis nuolat juda apskritimo lanku, kurio spindulys lygus ilgiui siūlai l. Todėl rutulio padėtį bet kuriuo metu lemia viena reikšmė - sriegio nuokrypio nuo vertikalės kampas. Kampą laikysime teigiamu, jei švytuoklė iš pusiausvyros padėties pakrypsta į dešinę, o neigiamą – į kairę (žr. 3.5 pav.). Trajektorijos liestinė bus laikoma nukreipta į teigiamo kampo atskaitos tašką.

Gravitacijos projekciją į švytuoklės trajektorijos liestinę pažymėkime F t Ši projekcija momentu, kai švytuoklės sriegis nukrypsta nuo pusiausvyros padėties kampu, lygi:

„-“ ženklas yra čia, nes reikšmės Ft ir turi priešingus ženklus. Kai švytuoklė nukrypsta į dešinę ( > 0), gravitacijos dedamoji t nukreipta į kairę ir jos projekcija yra neigiama: F t< 0. При отклонении маятника влево ( < 0) эта проекция положительна: F t > 0.

Švytuoklės pagreičio projekciją į jos trajektorijos liestinę pažymėkime t.. Ši projekcija apibūdina švytuoklės greičio modulio kitimo greitį.

Pagal antrąjį Niutono dėsnį

Padalinę kairę ir dešinę šios lygties puses iš m, gauname

Anksčiau buvo manoma, kad švytuoklės sriegio nukrypimo nuo vertikalės kampai gali būti bet kokie. Ateityje juos laikysime mažais. Mažiems kampams, jei kampas matuojamas radianais,

Jei kampas mažas, tai pagreičio projekcija apytiksliai lygi pagreičio projekcijai OX ašyje: (žr. 3.5 pav.). Iš trikampio ABO mažam kampui a turime:

Pakeitę šią išraišką į lygybę (3.8), o ne kampą , gauname

Šios lygties forma yra tokia pati kaip (3.4) lygtis, skirta rutulio, pritvirtinto prie spyruoklės, pagreičiui. Vadinasi, šios lygties sprendinys turės tokią pačią formą kaip ir (3.4) lygties sprendimas. Tai reiškia, kad rutulio judėjimas ir švytuoklės svyravimai vyksta vienodai. Rutulio poslinkiai ant spyruoklės ir švytuoklės korpuso iš pusiausvyros padėčių laikui bėgant kinta pagal tą patį dėsnį, nepaisant to, kad svyravimus sukeliančios jėgos skiriasi fizinė prigimtis. Padauginus lygtis (3.4) ir (3.10) iš m ir prisiminus antrąjį Niutono dėsnį ma x = Fх res, galime daryti išvadą, kad svyravimai šiais dviem atvejais atsiranda veikiant jėgoms, kurių rezultatas yra tiesiogiai proporcingas poslinkiui svyruojantis kūnas iš pusiausvyros padėties ir yra nukreiptas į priešingą šiam poslinkiui pusę.

Lygtis (3.4), kaip ir (3.10), matyt, labai paprasta: pagreitis yra tiesiogiai proporcingas koordinatei (paslinkimas iš pusiausvyros padėties).