Kaip rasti didžiausią funkcijos reikšmę intervale. Funkcijos kraštutinumas

Smulkus ir gražus paprasta užduotis iš tų, kurie tarnauja kaip gelbėjimosi priemonė plūduriuojančiam studentui, kategorijos. Gamtoje liepos vidurys, tad pats laikas su nešiojamu kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Anksti ryte pradėjo žaisti saulėtas zuikis teoriją, kad netrukus susitelktų į praktiką, kurioje, nepaisant tariamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti kelis šio puslapio pavyzdžius. Norėdami išspręsti praktines užduotis turi sugebėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Monotoniškumo intervalai ir funkcijos ekstremumai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo taške ir tęstinumo intervale apibrėžimą. Pavyzdinis funkcijos elgesys segmente suformuluotas panašiai. Funkcija yra nepertraukiama tam tikru intervalu, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške teisingai ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbėjome apie vadinamąjį vienpusis tęstinumas veikia taške. Yra keletas būdų, kaip jį apibrėžti, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra nuolatinė taške teisingai, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške ir jo kairioji riba lygi verteišiuo metu:

Įsivaizduok tai žali taškai- tai yra nagai, ant kurių pritvirtinama stebuklinga elastinė juosta:

Psichiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas– viršuje tvora, apačioje tvora, o aptvare ganosi mūsų gaminys. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas. Pirmoji Weierstrasso teorema....Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, bet tai turi svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota funkcija erdvėje nebuvo akivaizdi! Tikrai, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal Antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tikslūs viršutinis kraštas ir tavo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir yra žymimi , o skaičius yra mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Grubiai tariant, didžiausia vertė yra ten, kur daugiausia aukščiausias taškas grafika, o mažiausia – kur daugiausia žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo pabrėžta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos vertė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAIP, Ką maksimali funkcija Ir minimali funkcija. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis nagrinėjamos problemos kontekste mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis nereikia daryti piešinio!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijos reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šis segmentas .

Pagauk kitą bandelę: čia nereikia tikrinti pakankama būklė ekstremumas, nes, kaip ką tik parodyta, minimumo arba maksimumo buvimas dar negarantuoja, koks yra minimalus arba maksimali vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia segmento funkcijos reikšmė. Bet, žinoma, toks sutapimas pasitaiko ne visada.

Taigi pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar juose yra ekstremalių, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Iš funkcijų reikšmių, rastų 1 ir 2 pastraipose, pasirinkite mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Atsisėdame ant kranto mėlyna jūra ir kulnais trenkiame į seklią vandenį:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausia vertė veikia tam tikru intervalu

Sprendimas:
1) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antroje kritinis taškas:

2) Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai gauti su eksponentais ir logaritmais, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluokite skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuokime apytiksles reikšmes, nepamiršdami:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Trupmeninis racionalus pavyzdys savarankiškas sprendimas:

6 pavyzdys

Raskite maksimalų ir minimali vertė veikia tam tikru intervalu

Tokio objekto tyrimas matematinė analizė kaip funkcija turi puikų prasmė ir kitose mokslo srityse. Pavyzdžiui, į ekonominė analizė elgesį reikia nuolat vertinti funkcijas pelną, būtent nustatyti jo didžiausią prasmė ir sukurti strategiją, kaip tai pasiekti.

Instrukcijos

Bet kokio elgesio tyrimas visada turėtų prasidėti apibrėžimo srities paieška. Paprastai pagal sąlygas konkreti užduotis būtina nustatyti didžiausią prasmė funkcijas arba per visą šią sritį, arba per tam tikrą jos intervalą su atviromis arba uždaromis ribomis.

Remiantis , didžiausias yra prasmė funkcijas y(x0), kuriame bet kuriam apibrėžimo srities taškui galioja nelygybė y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafiškai šis taškas bus didžiausias, jei argumentų reikšmės bus išdėstytos išilgai abscisių ašies, o pati funkcija – išilgai ordinačių ašies.

Norėdami nustatyti didžiausią prasmė funkcijas, vadovaukitės trijų žingsnių algoritmu. Atkreipkite dėmesį, kad turite mokėti dirbti su vienpusiais ir , taip pat apskaičiuoti išvestinę. Taigi, tebūnie duota funkcija y(x) ir reikia rasti jos didžiausią prasmė tam tikru intervalu su ribinėmis vertėmis A ir B.

Sužinokite, ar šis intervalas patenka į apibrėžimo sritį funkcijas. Norėdami tai padaryti, turite jį rasti, atsižvelgdami į visus galimus apribojimus: trupmenos buvimą išraiškoje, kvadratinė šaknis ir tt Apibrėžimo sritis yra argumentų reikšmių rinkinys, kuriam funkcija turi prasmę. Nustatykite, ar duotas intervalas yra jo poaibis. Jei taip, pereikite prie kito žingsnio.

Raskite išvestinę funkcijas ir išspręskite gautą lygtį prilygindami išvestinę nuliui. Tokiu būdu gausite vadinamųjų stacionarių taškų reikšmes. Įvertinkite, ar bent vienas iš jų priklauso intervalui A, B.

Trečiame etape apsvarstykite šiuos taškus ir pakeiskite jų reikšmes į funkciją. Atsižvelgdami į intervalo tipą, atlikite šiuos papildomus veiksmus. Jei yra [A, B] formos atkarpa, ribos taškai įtraukiami į intervalą, tai nurodoma skliausteliuose. Apskaičiuokite vertes funkcijas jei x = A ir x = B. Jei intervalas atviras (A, B), ribinės reikšmės yra pradurtos, t.y. į jį neįtraukti. Išspręskite x→A ir x→B vienpuses ribas. Kombinuotas [A, B) arba (A, B) formos intervalas, kurio viena riba priklauso, o kita ne. Raskite vienpusę ribą, nes x linksta į pradurtą reikšmę, ir pakeiskite kita begalinis dvipusis intervalas (-∞, +∞) arba formos vienpusis begalinis intervalas: , (-∞, B) Realiosioms riboms A ir B elkitės pagal jau aprašytus principus begaliniai, ieškokite atitinkamai x→-∞ ir x→+∞ ribų.

Užduotis šiame etape

Ir norint ją išspręsti, jums reikės minimalių žinių apie temą. Kitas baigiasi mokslo metus, visi nori atostogauti, o norėdamas priartinti šią akimirką, eisiu tiesiai prie reikalo:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodyta sritis yra ribotas uždaryta taškų rinkinys plokštumoje. Pavyzdžiui, taškų, apribotų trikampiu, rinkinys, įskaitant VISĄ trikampį (jei iš sienų„išskirkite“ bent vieną tašką, tada regionas nebebus uždarytas). Praktikoje taip pat yra stačiakampių, apskritų ir šiek tiek didesnių sričių. sudėtingos formos. Pažymėtina, kad matematinės analizės teorijoje pateikiami griežti apibrėžimai apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi žino šias sąvokas intuityviu lygmeniu, ir dabar nieko daugiau nereikia.

Plokščias plotas paprastai žymimas raide ir, kaip taisyklė, nurodomas analitiškai - keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybės. Tipiškas frazės posūkis: "uždara zona, apribotas linijomis ».

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra ploto sukūrimas brėžinyje. Kaip tai padaryti? Turite nubrėžti visas išvardytas linijas (in šiuo atveju 3 tiesiai) ir analizuoti, kas atsitiko. Ieškoma sritis paprastai būna švelniai užtamsinta, o jos riba pažymėta stora linija:


Taip pat galima nustatyti tą pačią sritį tiesinės nelygybės: , kurie dėl tam tikrų priežasčių dažnai rašomi kaip išvardintas sąrašas, o ne kaip sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, tai, žinoma, visos nelygybės, atsainiai.

O dabar užduoties esmė. Įsivaizduokite, kad ašis išeina tiesiai į jus nuo pradžios. Apsvarstykite funkciją, kuri tęstinis kiekviename ploto taškas. Šios funkcijos grafikas parodo kai kuriuos paviršius, Ir maža laimės yra tai, kad norint išspręsti šiandienos problemą, mums nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nesvarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, tęstinis V ribotas uždarytas srityje funkcija pasiekia didžiausią vertę ("aukščiausias") ir mažiausiai ("žemiausias") vertybes, kurias reikia rasti. Tokios vertybės pasiekiamos arba V stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, kurie yra ant šios srities ribos. Tai veda prie paprasto ir skaidraus sprendimo algoritmo:

1 pavyzdys

Ribotu būdu uždara zona

Sprendimas: Visų pirma, piešinyje turite pavaizduoti sritį. Deja, man tai techniškai sunku padaryti interaktyvus modelis užduotį, todėl iš karto pateiksiu galutinę iliustraciją, kurioje pavaizduoti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie pateikiami vienas po kito, kai jie atrandami:

Remiantis preambule, patogu sprendimą suskirstyti į du punktus:

I) Raskite stacionarius taškus. Tai yra standartinis veiksmas, kurį pakartotinai atlikome klasėje. apie kelių kintamųjų ekstremumus:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite tai brėžinyje), tai reiškia, kad turėtume apskaičiuoti funkcijos reikšmę tam tikrame taške:

- kaip straipsnyje Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmės segmente, svarbius rezultatus Parašysiu paryškintu šriftu. Juos patogu pieštuku atsekti sąsiuvinyje.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę – nėra prasmės tikrinti pakankama sąlyga ekstremumui. Kodėl? Net jei funkcija tam tikru momentu pasiekia, pvz. vietinis minimumas , tada tai NEREIKIA, kad gauta reikšmė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlyginius kraštutinumus) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas nepriklauso regionui? Beveik nieko! Reikėtų tai pastebėti ir pereiti prie kito punkto.

II) Tiriame regiono sieną.

Kadangi kraštinė susideda iš trikampio kraštinių, studiją patogu suskirstyti į 3 poskyrius. Bet geriau to nedaryti. Mano požiūriu, naudingiau pirmiausia nagrinėti segmentus lygiagrečiai koordinačių ašys, o pirmiausia – patys gulintys ant kirvių. Norėdami suvokti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu įkvėpimu“:

1) Panagrinėkime apatinę trikampio kraštinę. Norėdami tai padaryti, pakeiskite tiesiai į funkciją:

Arba galite tai padaryti taip:

Geometriškai tai reiškia koordinačių plokštuma (kuri taip pat pateikiama lygtyje)"išraižo" iš paviršiai„erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iškart kyla įtarimų. Išsiaiškinkime kur ji yra:

– gauta vertė „įkrito“ į sritį, ir gali pasirodyti, kad taške (pažymėta brėžinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę visame regione. Vienaip ar kitaip, atlikime skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuokime funkcijos reikšmes taškuose (pažymėta brėžinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą, naudodami „nuimtą“ versiją:

2) Tyrimams dešinėje pusėje mes pakeičiame trikampį į funkciją ir „sutvarkome dalykus“:

Čia mes iš karto atliksime grubų patikrinimą, „paskambinsime“ jau apdorotą segmento galą:
, Puiku.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

– gauta reikšmė taip pat „pateko į mūsų interesų sritį“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kam lygi funkcija atsiradusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Naudojant funkciją , atlikime kontrolinį patikrinimą:

3) Turbūt kiekvienas gali atspėti, kaip ištirti likusią pusę. Mes jį pakeičiame į funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Segmento galai jau buvo ištirtos, bet juodraštyje vis tiek tikriname, ar teisingai radome funkciją :
– sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
– sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka išsiaiškinti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- Yra! Pakeitę tiesę į lygtį, gauname šio „įdomumo“ ordinatę:

Pažymime tašką brėžinyje ir randame atitinkamą funkcijos reikšmę:

Patikrinkime skaičiavimus naudodami „biudžeto“ versiją :
, užsisakyti.

Ir paskutinis žingsnis: Atidžiai peržiūrime visus „paryškintus“ skaičius, pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti net vieną sąrašą:

iš kurių parenkame didžiausias ir mažiausias reikšmes. Atsakymas Užsirašykime suradimo problemos stiliumi didžiausios ir mažiausios segmento funkcijos reikšmės:

Bet kokiu atveju dar kartą pakomentuosiu geometrine prasme rezultatas:
– čia yra aukščiausias paviršiaus taškas regione;
– čia yra žemiausias paviršiaus taškas šioje srityje.

Analizuojamoje užduotyje nustatėme 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius įvairiose užduotyse skiriasi. Trikampio regiono minimalų „tyrimų rinkinį“ sudaro trys taškai. Taip atsitinka, kai, pavyzdžiui, funkcija nurodo lėktuvas– visiškai aišku, kad stacionarių taškų nėra, o didžiausias/mažiausias reikšmes funkcija gali pasiekti tik trikampio viršūnėse. Tačiau yra tik vienas ar du panašūs pavyzdžiai – dažniausiai tenka susidurti su kokiais nors 2 eilės paviršius.

Jei bandysite tokias užduotis šiek tiek išspręsti, tada trikampiai gali priversti galvą suktis, todėl aš jums pasiruošiau neįprasti pavyzdžiai kad taptų kvadratas :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes ribotame uždarame regione.

Ypatingas dėmesys Atkreipkite dėmesį į racionalią regiono ribos tyrimo tvarką ir techniką, taip pat į tarpinių patikrinimų grandinę, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, galite tai išspręsti bet kokiu būdu, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, 2 pavyzdyje, yra visos galimybės gerokai apsunkinti jūsų gyvenimą. Apytikslis pavyzdys baigti užduotis pamokos pabaigoje.

Susisteminkime sprendimo algoritmą, antraip su mano, kaip voro, darbštumu jis kažkaip pasiklydo ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

– Pirmuoju žingsniu statome plotą, patartina jį nuspalvinti ir paryškinti kraštą paryškinta linija. Sprendimo metu atsiras taškai, kuriuos reikia pažymėti brėžinyje.

– Raskite stacionarius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose iš jų kurie priklauso regionui. Tekste paryškiname gautas reikšmes (pavyzdžiui, apibraukite jas pieštuku). Jei stacionarus taškas NEPRIklauso regionui, tai pažymime šį faktą piktograma arba žodžiu. Jei stacionarių taškų iš viso nėra, darome raštišką išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio punkto negalima praleisti!

– Tiriame regiono sieną. Pirma, pravartu suprasti tiesias linijas, kurios yra lygiagrečios koordinačių ašims (jei tokių iš viso yra). Taip pat pabrėžiame funkcijų reikšmes, apskaičiuotas „įtartiniuose“ taškuose. Aukščiau daug pasakyta apie sprendimo techniką, o dar kai kas bus pasakyta žemiau – skaitykite, skaitykite dar kartą, gilinkitės į tai!

– Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmes ir pateikite atsakymą. Kartais atsitinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegu pvz. ir paaiškėjo, kad tai mažiausia vertė. Tada mes tai užrašome

Paskutiniai pavyzdžiai skirti kitiems naudingų idėjų kuris bus naudingas praktikoje:

4 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes uždaroje srityje .

Išlaikiau autoriaus formuluotę, kurioje plotas pateiktas dvigubos nelygybės forma. Šią sąlygą galima parašyti lygiavertė sistema arba tradicine šios užduoties forma:

Primenu, kad su netiesinis susidūrėme su nelygybėmis, o jei nesuprantate žymėjimo geometrinės reikšmės, prašome nedelsti ir išsiaiškinti situaciją jau dabar;-)

Sprendimas, kaip visada, pradedama sukonstruoti sritį, kuri atstovauja tam tikrą „padą“:

Hmm, kartais tenka kramtyti ne tik mokslo granitą...

I) Raskite stacionarius taškus:

Sistema yra idiotų svajonė :)

Nejudantis taškas priklauso regionui, ty yra ant jo ribos.

Ir taip, viskas gerai... pamoka praėjo puikiai – štai ką reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Tiriame regiono sieną. Be daugiau dėmesio, pradėkime nuo x ašies:

1) Jei , tada

Raskime, kur yra parabolės viršūnė:
– vertink tokias akimirkas – „pataikai“ tiesiai iki taško, nuo kurio jau viskas aišku. Tačiau vis tiek nepamirštame patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Apsvarstykime apatinę „pado“ dalį „vienu prisėdimu“ - be jokių kompleksų pakeičiame ją į funkciją, o mus domina tik segmentas:

Valdymas:

Tai jau suteikia jaudulio monotoniškam važiavimui raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Nuspręskime kvadratinė lygtis, ar prisimeni dar ką nors apie tai? ...Tačiau, žinoma, atminkite, kitaip jūs neskaitytumėte šių eilučių =) Jei dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose skaičiavimai po kablelio(kas, beje, reta), tada čia mūsų laukia įprasti bendrosios trupmenos. Mes randame „X“ šaknis ir naudojame lygtį, norėdami nustatyti atitinkamas „kandidatų“ taškų „žaidimo“ koordinates:


Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai studijuojame laimėtus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Tai yra „kandidatai“, tai yra „kandidatai“!

Norėdami tai išspręsti patys:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes uždaroje teritorijoje

Įrašas iš garbanoti petnešos skamba taip: „taškų rinkinys toks“.

Kartais į panašių pavyzdžių naudoti Lagranžo daugiklio metodas, tačiau vargu ar tikrai reikės jį naudoti. Taigi, pavyzdžiui, jei duota funkcija su ta pačia sritimi „de“, tai po pakeitimo į ją – su išvestine iš be sunkumų; Be to, viskas surašyta „vienoje eilutėje“ (su ženklais), nereikia atskirai apsvarstyti viršutinio ir apatinio puslankių. Bet, žinoma, yra ir daugiau sudėtingų atvejų, kur be Lagrange funkcijos (kur, pavyzdžiui, yra ta pati apskritimo lygtis) Sunku išsiversti – kaip ir be gero poilsio!

Visiems gero laiko ir iki greito pasimatymo kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimta ordinačių reikšmė nagrinėjamame intervale.

Norėdami rasti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę, turite:

1. Patikrinkite, kurie stacionarūs taškai yra įtraukti į tam tikrą segmentą.
2. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir ties stacionarūs taškai nuo 3 punkto
3. Iš gautų rezultatų pasirinkite didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norėdami rasti didžiausią arba mažiausią taškų skaičių, jums reikia:

1. Raskite funkcijos $f"(x)$ išvestinę
2. Raskite stacionarius taškus išsprendę lygtį $f"(x)=0$
3. Funkcijos išvestinės koeficientas.
4. Nubrėžkite koordinačių liniją, uždėkite ant jos stacionarius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite išvestinės ženklus, naudodami 3 žingsnio žymėjimą.
5. Raskite maksimalų arba mažiausią taškų skaičių pagal taisyklę: jei taške išvestinė pakeičia ženklą iš pliuso į minusą, tai bus didžiausias taškas (jei iš minuso į pliusą, tai bus mažiausias taškas). Praktiškai patogu naudoti rodyklių atvaizdą intervalais: intervale, kuriame išvestinė yra teigiama, rodyklė brėžiama aukštyn ir atvirkščiai.

Kai kurių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė:

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės

1. Sumos ir skirtumo išvestinė lygi kiekvieno nario išvestinei

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Raskite funkcijos $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ išvestinę

Sumos ir skirtumo išvestinė yra lygi kiekvieno nario išvestinei

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Produkto darinys.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Raskite išvestinę $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Dalinio išvestinė

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Raskite išvestinę $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Išvestinė sudėtinga funkcija yra lygus išorinės funkcijos išvestinės ir vidinės funkcijos išvestinės sandaugai

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Raskite funkcijos $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ mažiausią tašką

1. Raskime ODZ funkcijos: $x+11>0; x>-11 USD

2. Raskite funkcijos $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ išvestinę

3. Raskite stacionarius taškus prilygindami išvestinę nuliui

$(2x+21)/(x+11)=0$

Trupmena lygi nuliui, jei skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nėra nulis

$2x+21=0; x≠-11 USD

4. Nubrėžkime koordinačių liniją, ant jos pastatykime stacionarius taškus ir gautuose intervaluose nustatykime išvestinės ženklus. Norėdami tai padaryti, pakeiskite bet kurį skaičių iš dešiniojo krašto į išvestinę, pavyzdžiui, nulį.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimaliame taške išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, todėl taškas $-10.5$ yra minimalus taškas.

Atsakymas: -10,5 USD

Raskite didžiausią funkcijos $y=6x^5-90x^3-5$ reikšmę segmente $[-5;1]$

1. Raskite funkcijos $y′=30x^4-270x^2$ išvestinę

2. Išvestinę prilyginkite nuliui ir raskite stacionarius taškus

30 x ^ 4–270 x ^ 2 = 0 USD

Išimsime bendras daugiklis 30 $ x ^ 2 $ skliausteliuose

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Kiekvieną veiksnį prilyginkime nuliui

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pasirinkite stacionarius taškus, priklausančius duotam segmentui $[-5;1]$

Stacionarūs taškai $x=0$ ir $x=-3$ mums tinka

4. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir stacionariuose taškuose nuo 3 veiksmo