Kaip teisingai sužinoti trūkstamą skaitiklį ar vardiklį. Tinkamos ir netinkamos trupmenos

Paprasta matematines taisykles o technikos, jei jos nenaudojamos nuolat, pasimiršta greičiausiai. Terminai dingsta iš atminties dar greičiau.

Vienas iš šių paprastų veiksmų yra transformacija tinkama trupmenaį teisingą arba, kitaip tariant, sumaišytą.

Netinkama frakcija

Netinkama trupmena yra tokia, kurios skaitiklis (skaičius virš eilutės) yra didesnis arba lygus vardikliui (skaičius po linija). Ši trupmena gaunama sudėjus trupmenas arba padauginus trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Pagal matematikos taisykles tokia trupmena turi būti paversta tinkama.

Tinkama trupmena

Logiška manyti, kad visos kitos trupmenos vadinamos tinkamomis. Griežtas apibrėžimas: trupmena, kurios skaitiklis yra mažiau nei vardiklis. Dalis, kuri turi visa dalis kartais vadinamas mišriu.

Netinkamos trupmenos pavertimas tinkama trupmena

• Pirmasis atvejis: skaitiklis ir vardiklis yra lygūs vienas kitam. Bet kurios tokios trupmenos konvertavimo rezultatas yra vienas. Nesvarbu, ar tai trys trečdaliai, ar šimtas dvidešimt penki šimtas dvidešimt penktadaliai. Iš esmės tokia trupmena reiškia skaičiaus padalijimą iš savęs.

• Antrasis atvejis: skaitiklis didesnis už vardiklį. Čia reikia prisiminti skaičių padalijimo su liekana metodą.
  Norėdami tai padaryti, turite rasti skaičių, artimiausią skaitiklio reikšmei, kuris dalijasi iš vardiklio be liekanos. Pavyzdžiui, jūs turite devyniolika trečdalių trupmeną. Dauguma uždaryti numerį kurį galima padalyti iš trijų yra aštuoniolika. Tai šeši. Dabar atimkite gautą skaičių iš skaitiklio. Mes gauname vieną. Tai yra likusi dalis. Užrašykite konvertavimo rezultatą: šešis sveikus ir vieną trečdalį.

Tačiau prieš mažinant trupmeną iki tinkamos rūšies, reikia patikrinti, ar galima jį sutrumpinti.
Galite sumažinti trupmeną, jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą. Tai yra skaičius, iš kurio abu dalijasi be liekanos. Jei tokių daliklių yra keletas, reikia rasti didžiausią.
Pavyzdžiui, visi lyginiai skaičiai turi tokį bendrą daliklį – du. O trupmena šešiolika dvyliktosios turi dar vieną bendrą daliklį – keturis. Tai didžiausias daliklis. Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš keturių. Sumažinimo rezultatas: keturi trečdaliai. Dabar, kaip praktika, konvertuokite šią trupmeną į tinkamą trupmeną.

Su trupmenomis gyvenime susiduriame daug anksčiau, nei pradedame jas mokytis mokykloje. Jei visą obuolį perpjauname per pusę, gauname ½ vaisių. Supjaustykime dar kartą – bus ¼. Tai trupmenos. Ir viskas atrodė paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (ir ši tema pradėti mokytis pabaigoje jaunesnioji mokykla) abstraktus matematines sąvokas vis dar yra bauginančiai nesuprantami, o mokytojas turi aiškiai paaiškinti, kas yra tinkama trupmena ir netinkamoji trupmena, paprastasis ir dešimtainis, kokias operacijas su jais galima atlikti ir, svarbiausia, kam viso to reikia.

Kas yra trupmenos?

Susipažinimas nauja tema mokykloje prasideda nuo paprastosios trupmenos. Juos nesunku atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu. Taip pat yra mažųjų raidžių parinktis, skirta rašyti netinkamas ir tinkamas paprastas trupmenas - per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai linijos aukštis yra ribotas ir negalima naudoti „dviejų aukštų“ įvesties formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Tai pamatysime šiek tiek vėliau.

Be paprastųjų trupmenų, yra ir dešimtainių trupmenų. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, tai kitu skaičių sekoms atskirti kablelis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 2,9; 163,34; 1.953. Skaičiams atskirti tyčia naudojome kabliataškį kaip skyriklį. Pirmasis iš jų skambės taip: „du taškai devyni“.

Naujos koncepcijos

Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie būna dviejų tipų.

Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Kodėl tai svarbu? Pamatysime dabar!

Turite kelis obuolius, perpjautus per pusę. Viso - 5 dalys. Kaip pasakytumėte: ar turite „du su puse“ ar „penki su puse“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, ir mes jį naudosime kalbėdami su draugais. Bet jei reikia paskaičiuoti, kiek vaisių gaus kiekvienas žmogus, jei įmonėje yra penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 - matematiniu požiūriu tai bus aiškiau .

Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima atskirti visą dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), vadinasi, tai yra netinkama. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nekinta. Įsivaizduokite: jie supjaustė pyragą į 4 lygias dalis ir davė jums vieną. Tą patį pyragą jie supjaustė į aštuonias dalis ir davė jums dvi. Ar tai tikrai svarbu? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!

Sumažinimas

Matematikos vadovėliuose pateikiamų problemų ir pavyzdžių autoriai dažnai siekia suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti, bet iš tikrųjų galima sutrumpinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisus“. Bet iš tikrųjų galime parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.

Mišrūs skaičiai

Formoje gali būti pavaizduota netinkama trupmena mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir parašyta horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.

Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite viršuje, virš linijos, o visą dalį - prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.

Galima atlikti atvirkštinis veikimas- Norėdami tai padaryti, visą dalį turite padauginti iš vardiklio ir gautą reikšmę pridėti prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.

Daugyba ir dalyba

Kaip bebūtų keista, trupmenas dauginti yra lengviau nei sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Trupmenų pridėjimas

Ką daryti, jei reikia atlikti sudėjimą arba jų vardiklis yra skirtingi skaičiai? Nepavyks daryti to paties, kaip dauginant - čia turėtumėte suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, apatinėje abiejų trupmenų dalyje turi būti vienodi skaičiai.

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį sumažinti terminus? Tai turi būti mažiausias skaičius, kuris yra abiejų skaičių kartotinis trupmenų vardikliuose: 1/3 ir 1/9 jis bus 9; už ½ ir 1/7 - 14, nes mažesnė vertė, dalijasi iš 2 ir 7 be liekanos, neegzistuoja.

Naudojimas

Kam jie skirti? netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį, gauti mišrų skaičių – ir viskas! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netaisyklingas.

Paimkime sekantis pavyzdys: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą įrašysime pirmuose skliausteliuose kaip netinkamą trupmeną? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)

Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37*68) / (17*37).

Panaikinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje ir galiausiai padalinkime viršutinę ir apatinę dalį iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.

Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, tačiau atsakyme yra tik vienas skaičius. Tai dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.

Dažnos klaidos

Įgyvendindamas mokinys gali lengvai padaryti vieną iš dažniausiai pasitaikančių klaidų. Dažniausiai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai sukaupta galvoje.

Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo išbraukia 13 aukščiau ir žemiau. Bet to nereikėtų daryti jokiomis aplinkybėmis, nes tai yra grubi klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2 Bet atliekant sudėjimą, neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš terminų, tik su visa suma.

Vaikinai taip pat dažnai klysta dalindami trupmenas. Paimkime du teisingus neredukuojamos trupmenos ir padalinkite vienas iš kito: (5/6) / (25/33). Mokinys gali sumaišyti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet taip atsitiktų dauginant, bet mūsų atveju viskas bus kiek kitaip: (5*33) / (6*25). Sumažiname tai, kas įmanoma, ir atsakymas bus 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.

Skliausteliuose

Atminkite, kad bet kuriame matematines išraiškas operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų prioritetas ir skliaustų buvimas. Jei visi kiti dalykai yra vienodi, veiksmų tvarka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.

Juk tai vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nėra tolygiai padalinti, tai tampa trupmena – tiek.

Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną

Kadangi standartiniai įrankiai ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais griebiasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, jie nukopijuoja skaitiklius ir vardiklius į „Paint“ grafinę redagavimo priemonę ir sujungia juos, piešdami tarp jų. horizontali linija. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomos funkcijos, kuris jums bus naudingas ateityje.

Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas „Formulė“. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!

Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kurią matematiniai ženklai, trūksta klaviatūroje, taip pat rašykite trupmenas klasikine forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio padalijimas horizontalia linija. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.

Išmok matematikos

Jei esate 5–6 klasėse, netrukus matematikos žinių (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) prireiks daugelyje. mokykliniai dalykai. Beveik visose fizikos problemose, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, neapsieisite be trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti mintyse, net nerašydami posakių ant popieriaus, bet vis daugiau sudėtingų pavyzdžių. Todėl sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, neatsilikti mokymo programa, atlikite namų darbus laiku ir jums pavyks.

Bendrosios trupmenos skirstomos į \textit (tinkamąsias) ir \textit (netinkamas) trupmenas. Šis skirstymas pagrįstas skaitiklio ir vardiklio palyginimu.

Tinkamos trupmenos

Tinkama trupmena Iškviečiama paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$, kurioje skaitiklis mažesnis už vardiklį, t.y. mln. USD

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, trupmenos $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ yra teisingos , taigi kaip kiekviename iš jų skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, kuris atitinka tinkamos trupmenos apibrėžimą.

Yra tinkamos trupmenos apibrėžimas, pagrįstas trupmenos palyginimu su viena.

teisinga, jei jis mažesnis nei vienas:

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, bendroji trupmena $\frac(6)(13)$ yra tinkama, nes Sąlyga $\frac(6)(13) tenkinama

Netinkamos trupmenos

Netinkama frakcija yra paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$, kurios skaitiklis yra didesnis nei arba lygus vardikliui, t.y. $m\ge n$.

3 pavyzdys

Pavyzdžiui, trupmenos $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ yra netaisyklingos , taigi kaip kiekviename iš jų skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, kuris atitinka netinkamos trupmenos apibrėžimą.

Pateiksime netinkamos trupmenos apibrėžimą, kuris paremtas jos palyginimu su viena.

Paprastoji trupmena $\frac(m)(n)$ yra negerai, jei jis yra lygus arba didesnis už vieną:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

4 pavyzdys

Pavyzdžiui, bendroji trupmena $\frac(21)(4)$ yra netinkama, nes tenkinama sąlyga $\frac(21)(4) >1$;

bendroji trupmena $\frac(8)(8)$ yra netinkama, nes įvykdyta sąlyga $\frac(8)(8)=1$.

Pažvelkime atidžiau į netinkamos trupmenos sąvoką.

Kaip pavyzdį paimkime netinkamą trupmeną $\frac(7)(7)$. Šios trupmenos reikšmė yra paimti septynias objekto dalis, kurios yra padalintos į septynias lygias dalis. Taigi iš septynių turimų akcijų galima sudaryti visą objektą. Tie. neteisinga trupmena $\frac(7)(7)$ aprašo visa tema ir $\frac(7)(7)=1$. Taigi netinkamosios trupmenos, kuriose skaitiklis lygus vardikliui, apibūdina vieną visą objektą ir tokią trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi $1$.

$\frac(5)(2)$ - visiškai akivaizdu, kad iš šių penkių antrųjų dalių galite sudaryti $2$ pilnus objektus (vienas visas objektas bus sudarytas iš $2$ dalių, o norint sudaryti du ištisus objektus reikia $2+2=4$ akcijų) ir lieka viena antra dalis. Tai yra, netinkama trupmena $\frac(5)(2)$ apibūdina $2$ objekto ir $\frac(1)(2)$ šio objekto dalį.

$\frac(21)(7)$ – iš dvidešimt vienos septintosios dalių galite padaryti $3$ pilnus objektus ($3$ objektus su $7$ dalimis kiekviename). Tie. trupmena $\frac(21)(7)$ apibūdina $3$ ištisus objektus.

Iš nagrinėtų pavyzdžių galima daryti išvadą sekantis išėjimas: Netinkama trupmena gali būti pakeista natūraliuoju skaičiumi, jei skaitiklis dalijasi iš vardiklio (pvz., $\frac(7)(7)=1$ ir $\frac(21)(7)=3$, arba natūraliojo skaičiaus ir teisingų trupmenų trupmenų suma, jei skaitiklis nevisiškai dalijasi iš vardiklio (pvz., $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Štai kodėl tokios trupmenos vadinamos negerai.

1 apibrėžimas

Netinkamos trupmenos vaizdavimo kaip natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos (pavyzdžiui, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) procesas vadinamas atskiriant visą dalį nuo netinkamos trupmenos.

Dirbant su netinkamomis trupmenomis galima pastebėti glaudus ryšys tarp jų ir mišrių skaičių.

Netinkama trupmena dažnai rašoma kaip mišrus skaičius – skaičius, kurį sudaro sveikoji dalis ir trupmenos dalis.

Norėdami parašyti neteisingą trupmeną kaip mišrų skaičių, turite padalyti skaitiklį iš vardiklio su liekana. Dalinys bus sveikoji mišraus skaičiaus dalis, likusi dalis bus trupmeninės dalies skaitiklis, o daliklis bus trupmeninės dalies vardiklis.

5 pavyzdys

Netinkamą trupmeną $\frac(37)(12)$ parašykite kaip mišrų skaičių.

Sprendimas.

Padalinkite skaitiklį iš vardiklio su likučiu:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (likutis\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Atsakymas.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Norėdami parašyti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną, vardiklį reikia padauginti iš visos skaičiaus dalies, prie gautos sandaugos pridėti trupmeninės dalies skaitiklį, o gautą sumą įrašyti į trupmenos skaitiklį. Netinkamos trupmenos vardiklis bus lygus mišraus skaičiaus trupmeninės dalies vardikliui.

6 pavyzdys

Mišrų skaičių $5\frac(3)(7)$ parašykite kaip netinkamą trupmeną.

Sprendimas.

Atsakymas.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Mišriųjų skaičių ir tinkamų trupmenų pridėjimas

Mišraus skaičiaus papildymas$a\frac(b)(c)$ ir tinkama trupmena$\frac(d)(e)$ atliekama prie duotosios trupmenos pridedant tam tikro mišraus skaičiaus trupmeninę dalį:

7 pavyzdys

Pridėkite tinkamą trupmeną $\frac(4)(15)$ ir mišrų skaičių $3\frac(2)(5)$.

Sprendimas.

Naudokime mišraus skaičiaus ir tinkamos trupmenos pridėjimo formulę:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Padalinę iš skaičiaus \textit(5) galime nustatyti, kad trupmena $\frac(10)(15)$ yra redukuojama. Atlikime sumažinimą ir suraskime pridėjimo rezultatą:

Taigi, tinkamos trupmenos $\frac(4)(15)$ ir mišraus skaičiaus $3\frac(2)(5)$ pridėjimo rezultatas yra $3\frac(2)(3)$.

Atsakymas:$3\frac(2)(3)$

Sumaišyti skaičiai ir netinkamos trupmenos

Netinkamų trupmenų ir mišrių skaičių pridėjimas sumažinama iki dviejų mišrių skaičių pridėjimo, kuriam pakanka atskirti visą dalį nuo netinkamos trupmenos.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite mišraus skaičiaus $6\frac(2)(15)$ ir neteisingos trupmenos $\frac(13)(5)$ sumą.

Sprendimas.

Pirmiausia išskirkime visą dalį iš netinkamos trupmenos $\frac(13)(5)$:

Atsakymas:$8\frac(11)(15)$.

Studijuodami visų mokslų karalienę – matematiką, visi kažkuriuo metu susiduria su trupmenomis. Nors ši sąvoka (kaip ir pačios trupmenų rūšys ar matematiniai veiksmai su jais) nėra visai sudėtinga, ją reikia vertinti atsargiai, nes tikras gyvenimas Tai bus labai naudinga už mokyklos ribų. Taigi, atnaujinkime savo žinias apie trupmenas: kas jos yra, kam jos skirtos, kokios jos rūšys ir kaip su jomis daryti skirtingus dalykus aritmetiniai veiksmai.

Jos Didenybės frakcija: kas tai

Matematikos trupmenos yra skaičiai, kurių kiekvienas susideda iš vienos ar kelių vieneto dalių. Tokios trupmenos dar vadinamos paprastosiomis arba paprastomis. Paprastai jie rašomi kaip du skaičiai, kuriuos skiria horizontali arba pasviroji linija, tai vadinama „trupmenine“ linija. Pavyzdžiui: ½, ¾.

Viršutinis arba pirmasis iš šių skaičių yra skaitiklis (rodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus), o apatinis, arba antrasis, yra vardiklis (parodo, į kiek dalių padalintas vienetas).

Trupmenų juosta iš tikrųjų veikia kaip padalijimo ženklas. Pavyzdžiui, 7:9 = 7/9

Tradiciškai paprastosios trupmenos yra mažesnės už vieną. Nors po kablelio skaičius gali būti didesnis už jį.

Kam skirtos trupmenos? Taip viskam, nes in realus pasaulis Ne visi skaičiai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, dvi moksleivės kavinėje kartu nusipirko vieną skanų šokoladinį plytelę. Kai ketino pasidalinti desertu, jie susitiko su drauge ir nusprendė pavaišinti ir ją. Tačiau dabar reikia teisingai padalinti šokolado plytelę, atsižvelgiant į tai, kad ji susideda iš 12 kvadratų.

Iš pradžių merginos norėjo viską padalyti po lygiai, o vėliau kiekviena gaudavo po keturis gabalus. Tačiau gerai pagalvoję, jie nusprendė pavaišinti savo draugą ne 1/3, o 1/4 šokolado. O kadangi moksleivės prastai mokėsi trupmenas, tai jos neatsižvelgė, kad tokioje situacijoje liks 9 kūriniai, kuriuos labai sunku padalyti į dvi. Šis gana paprastas pavyzdys parodo, kaip svarbu mokėti teisingai rasti skaičiaus dalį. Bet gyvenime panašių atvejų daug daugiau.

Trupmenų tipai: paprastoji ir dešimtainė

Visi matematines trupmenas yra suskirstyti į dvi dideles kategorijas: paprastąjį ir dešimtainį. Pirmojo iš jų savybės buvo aprašytos ankstesnėje pastraipoje, todėl dabar verta atkreipti dėmesį į antrąją.

Dešimtainė yra skaičiaus trupmenos pozicinis žymėjimas, parašytas raštu, atskirtas kableliu, be brūkšnelio ar pasvirojo brūkšnio. Pavyzdžiui: 0,75, 0,5.

Tiesą sakant, dešimtainė trupmena yra identiška įprastai trupmenai, tačiau jos vardiklis visada yra vienas, po kurio seka nuliai – taigi ir pavadinimas.

Skaičius prieš kablelį yra sveikoji dalis, o viskas po jo yra trupmena. man tai patinka paprastoji trupmena galima konvertuoti į dešimtainę. Taigi, ankstesniame pavyzdyje nurodytas dešimtaines trupmenas galima parašyti kaip įprasta: ¾ ir ½.

Verta paminėti, kad tiek dešimtainės, tiek paprastosios trupmenos gali būti teigiamos arba neigiamos. Jei prieš juos yra ženklas „-“, duota trupmena neigiamas, jei "+" - tada teigiamas.

Paprastųjų trupmenų porūšiai

Yra tokių paprastųjų trupmenų tipų.

Dešimtainės trupmenos potipiai

Skirtingai nuo paprastosios trupmenos, dešimtainė trupmena skirstoma tik į 2 tipus.

• Galutinis – šį pavadinimą gavo dėl to, kad po kablelio jame yra ribotas (baigtinis) skaitmenų skaičius: 19.25.
• Begalinė trupmena yra skaičius su begaliniu skaičiumi skaitmenų po kablelio. Pavyzdžiui, padalijus 10 iš 3, gaunamas rezultatas begalinė trupmena 3,333…

Trupmenų pridėjimas

Atlikti įvairias aritmetines manipuliacijas su trupmenomis yra šiek tiek sunkiau nei su trupmenomis įprasti skaičiai. Tačiau jei suprasite pagrindines taisykles, jomis išspręsti bet kokį pavyzdį nebus sunku.

Pavyzdžiui: 2/3+3/4. Mažiausias bendras jų kartotinis bus 12, todėl būtina, kad šis skaičius būtų kiekviename vardiklyje. Norėdami tai padaryti, padauginame pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 4, pasirodo 8/12, tą patį darome su antruoju nariu, bet padauginame tik iš 3 - 9/12. Dabar galite lengvai išspręsti pavyzdį: 8/12+9/12= 17/12. Gauta trupmena yra neteisinga reikšmė, nes skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Jį galima ir reikia paversti teisingu mišriu, padalijus 17:12 = 1 ir 5/12.

Sudėjus mišrias trupmenas, operacijos pirmiausia atliekamos su sveikais skaičiais, o po to su trupmenomis.

Jei pavyzdyje yra dešimtainė trupmena ir reguliarioji trupmena, būtina padaryti abi paprastas, tada suvesti į tą patį vardiklį ir pridėti. Pavyzdžiui, 3.1+1/2. Skaičius 3.1 gali būti parašytas kaip mišri frakcija 3 ir 1/10 arba kaip neteisinga – 31/10. Bendras vardiklis terminams bus 10, todėl 1/2 skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 5, gausite 5/10. Tada nesunkiai viską suskaičiuosi: 31/10+5/10=35/10. Gautas rezultatas yra netinkama redukuojama trupmena, ją sumažiname iki normali išvaizda, mažinant 5: 7/2 = 3 ir 1/2, arba dešimtainė - 3,5.

Sudedant 2 trupmenas po kablelio, svarbu, kad po kablelio būtų vienodas skaitmenų skaičius. Jei taip nėra, tereikia pridėti reikalingas kiekis nuliai, nes dešimtainėmis trupmenomis tai galima padaryti neskausmingai. Pavyzdžiui, 3,5+3,005. Norėdami išspręsti šią problemą, prie pirmojo skaičiaus turite pridėti 2 nulius, o tada pridėti po vieną: 3.500+3.005=3.505.

Trupmenų atėmimas

Atimant trupmenas reikia daryti taip pat, kaip ir sudedant: sumažinti iki bendro vardiklio, atimti vieną skaitiklį iš kito ir, jei reikia, rezultatą konvertuoti į mišrią trupmeną.

Pavyzdžiui: 16/20-5/10. Bendras vardiklis bus 20. Antrąją trupmeną reikia privesti prie šio vardiklio, abi jos dalis padauginus iš 2, gausite 10/20. Dabar galite išspręsti pavyzdį: 16/20-10/20= 6/20. Tačiau šis rezultatas galioja redukuojamoms trupmenoms, todėl verta padalyti abi puses iš 2 ir gaunamas 3/10.

Trupmenų dauginimas

Dalyti ir dauginti trupmenas – daug daugiau paprastus žingsnius nei sudėjimas ir atėmimas. Faktas yra tas, kad atliekant šias užduotis nereikia ieškoti bendro vardiklio.

Norėdami padauginti trupmenas, tiesiog reikia padauginti abu skaitiklius po vieną, o tada abu vardiklius. Sumažinkite gautą rezultatą, jei frakcija yra sumažinamas kiekis.

Pavyzdžiui: 4/9x5/8. Po pakaitinio daugybos rezultatas yra 4x5/9x8=20/72. Šią trupmeną galima sumažinti 4, todėl galutinis atsakymas pavyzdyje yra 5/18.

Kaip padalinti trupmenas

Trupmenų padalijimas taip pat yra paprastas veiksmas, vis tiek reikia jas padauginti. Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite pakeisti antrąją ir padauginti iš pirmosios.

Pavyzdžiui, dalijant trupmenas 5/19 ir 5/7. Norėdami išspręsti pavyzdį, turite sukeisti antrosios trupmenos vardiklį ir skaitiklį ir padauginti: 5/19x7/5=35/95. Rezultatą galima sumažinti 5 – pasirodo 7/19.

Jei reikia padalyti trupmeną iš pirminio skaičiaus, technika šiek tiek skiriasi. Iš pradžių turėtumėte parašyti šį skaičių kaip netinkamą trupmeną, o tada padalinti pagal tą pačią schemą. Pavyzdžiui, 2/13:5 turėtų būti parašytas kaip 2/13: 5/1. Dabar reikia apversti 5/1 ir gautas trupmenas padauginti: 2/13x1/5= 2/65.

Kartais tenka padalyti mišrias trupmenas. Su jais reikia elgtis taip, kaip su sveikaisiais skaičiais: paverskite juos netinkamomis trupmenomis, apverskite daliklį ir viską padauginkite. Pavyzdžiui, 8 ½: 3. Paverskite viską į netinkamas trupmenas: 17/2: 3/1. Po to seka 3/1 apvertimas ir daugyba: 17/2x1/3= 17/6. Dabar reikia konvertuoti netinkamą trupmeną į teisingą - 2 sveikus ir 5/6.

Taigi, išsiaiškinus, kas yra trupmenos ir kaip su jomis galima atlikti įvairias aritmetines operacijas, reikia pasistengti to nepamiršti. Juk žmonės visada yra labiau linkę ką nors skaidyti į dalis, nei pridėti, todėl reikia mokėti tai daryti teisingai.

Tinkama trupmena

Ketvirčiai

1. Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: ​​“< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du ne teigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Trupmenų pridėjimas Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams yra vadinamasis sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius paskambino suma a Ir b numeriai ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas .
3. . Sumavimo taisyklė turi tokią formą: Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams Daugybos operacija. daugybos taisyklė sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių suma a Ir b dirbti ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba .
4. . Daugybos taisyklė atrodo taip: Užsakymo santykio tranzityvumas. a , b Ir sumavimo taisyklė Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a Jeigu b Ir b Jeigu sumavimo taisyklė mažiau a Jeigu sumavimo taisyklė, Tai a, o jei b Ir b, o jei sumavimo taisyklė mažiau a, o jei sumavimo taisyklė lygus
5. . 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama. Papildymo asociatyvumas. Užsakyti
6. pridedant tris racionalieji skaičiai neturi įtakos rezultatui.
7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
10. Daugybos asociatyvumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
11. Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
12. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Daugybos operacija derinama su sudėjimo operacija pagal paskirstymo dėsnį:
13. Užsakymo santykio ryšys su papildymo operacija.Į kairę ir dešinėje pusėje racionalioji nelygybė galite pridėti tą patį racionalųjį skaičių.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Archimedo aksioma. a Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

Racionaliųjų skaičių numeracija Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. Paprasčiausias iš šių algoritmų atrodo taip. Kiekviename yra sudaryta begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. j i stulpelis, kurio trupmena yra. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur

- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir

- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą. Šios taisyklės ieškomos iš viršaus į apačią ir pagal pirmąsias rungtynes ​​pasirenkama kita pozicija.. Tai yra, trupmena 1/1 priskiriama skaičiui 1, trupmena 2/1 – skaičiui 2 ir tt Reikia pažymėti, kad numeruojamos tik neredukuojamos trupmenos. Formalus neredukuojamumo požymis yra tas, kad didžiausias bendrasis trupmenos skaitiklio ir vardiklio daliklis yra lygus vienetui.

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta niekuo racionalus skaičius

1 formos racionalieji skaičiai / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria klaidinantis įspūdis kad racionaliais skaičiais galima išmatuoti bet kokius geometrinius atstumus. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Iš Pitagoro teoremos žinome, kad stačiojo trikampio hipotenuzė išreiškiama kaip kvadratinė šaknis iš jo kojų kvadratų sumos. Tai. lygiašonio hipotenuzės ilgis stačiakampis trikampis su vienetine kojele yra lygus, ty skaičiui, kurio kvadratas yra 2.

Jei darysime prielaidą, kad skaičių galima pavaizduoti kokiu nors racionaliu skaičiumi, tai yra toks sveikasis skaičius m ir toks natūralusis skaičius n, kad , o trupmena yra neredukuojama, t.y. skaičiai m Ir n- abipusiai paprasta.

Jei, tada , t.y. m 2 = 2n 2. Todėl skaičius m 2 yra lyginis, bet dviejų sandauga nelyginiai skaičiai nelyginis, o tai reiškia, kad pats skaičius m taip pat net. Taigi yra natūralusis skaičius k, kad numeris m gali būti pavaizduotas formoje m = 2k. Skaičių kvadratas mšia prasme m 2 = 4k 2, bet kita vertus m 2 = 2n 2 reiškia 4 k 2 = 2n 2, arba n 2 = 2k 2. Kaip parodyta anksčiau su numeriu m, tai reiškia, kad skaičius n- net kaip m. Bet tada jie nėra palyginti pagrindiniai, nes abu yra padalinti į dvi dalis. Gautas prieštaravimas įrodo, kad tai nėra racionalus skaičius.